PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007."

Transcript

1 PREDNAPETI BETON Predavanja Zagreb, 2007.

2 SADRŽAJ 1. UVOD SVOJSTVA MATERIJALA Čelik za prednapinjanje Beton Mort za injektiranje SUSTAVI ZA PREDNAPINJANJE Uvod Sustav BBRV Sustav Vorspann-Tehnik Sustav Dywidag Sustav VSL GUBICI I PADOVI SILE PREDNAPINJANJA Gubitak sile prednapinjanja zbog trenja Gubitak naprezanja zbog prokliznuća klina Gubitak naprezanja zbog elastičnih deformaija betona Pad naprezanja zbog skupljanja i puzanja betona te relaksaije čelika IZBOR PRESJEKA I PRELIMINARNIH DIMENZIJA KONTROLA NAPREZANJA GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI Proračun uzdužne armature Proračun poprečne armature GRANIČNO STANJE UPORABLJIVOSTI PROTOKOL PREDNAPINJANJA KONSTRUKCIJSKA PRAVILA PREDNAPETIH KONSTRUKCIJA Najmanje udaljenosti užadi i natega Armatura prednapetih konstrukijskih elemenata Najmanji razred čvrstoće betona u trenutku prednapinjanja Vođenje natega Dodatna načela za vanjsko prednapinjanje betonskih mostova Ojačanje konstrukije vanjskim nategama Sidreni i skretni elementi Nadzor konstrukije s vanjskim nategama Područje sidrenja pri naknadnom napinjanju Položaj i raspored spojki Zaštitne ijevi natega

3 1. UVOD Beton je umjetni kamen to je materijal velike tlačne a male vlačne čvrstoće. Vlačna naprezanja izazvana skupljanjem, temperaturom i vanjskim opterećenjem vrlo brzo dostižu vlačnu čvrstoću betona te dolazi do raspuavanja u armiranobetonskim konstrukijama. Nakon pojave pukotina sva vlačna naprezanja prihvaćaju se armaturom. Širine pukotina se ograničavaju ovisno o trajanju opterećenja i agresivnosti sredine kako ne bi došlo do ugrožavanja trajnosti konstrukije. Slika 1.1 Betonska greda. Slika 1.2 Dijagram normalnih naprezanja u betonskoj gredi. Slika 1.3 Armiranobetonska greda. Cilj prednapinjanja je eliminirati ili barem smanjiti vlačna normalna naprezanja u svim presjeima i to djelovanjem umjetno izazvanim silama. Te sile nazivamo silama prednapinjanja. Tako dobivena naprezanja moraju biti manja od dopustivih vrijednosti u svima fazama izvedbe i uporabe građevine. Povijest prednapetog betona: oko god. prvi zabilježeni patent prednapetog betona registrirao je američki inženjer iz San Franisa imenom Henry Jakson izgradivši betonski nadvoj s prednapetim zategama. No, nakon godinu dana nadvoj se srušio. H. Jakson nije znao za fenomen puzanja betona i opuštanja mekog čelika, što je u konačnii rezultiralo nestankom prednapinjanja Eugene Freyssinet patentira prethodno prednapinjanje betona čelikom velike čvrstoće Mörsh, prva knjiga o prednapetom betonu Osnovana Međunarodna federaija za prednapinjanje (FIP - Fédération Internationale de la Préontrainte) Osnovan Europski odbor za beton (CEB - Comité Européen du Béton) 3

4 Udruživanjem CEB i FIP nastaje organizaija FIB. Prednosti prednapetih konstrukija: savladavanje velikih raspona uz veću vitkost i manju masu, povećana trajnost zbog izostanka pukotina, smanjeni progibi, velika otpornost na zamor (posljedia male promjene naprezanja u čeliku za prednapinjanje, sposobnost zatvaranja pukotina nakon djelovanja promjenljivih i izvanrednih djelovanja, ubrzanje i raionalizaija montažnog građenja. Nedostai prednapetih konstrukija: potrebna je stručna radna snaga zbog zahtjevnijih radova, potrebna je posebna oprema, velika preiznost u projektiranju i izvođenju i skuplje gradivo. Prednapete konstrukije upotrebljavaju se kod građevina s elementima velikih raspona kao što su mostovi, zgrade, montažne građevine, hale, krovne konstrukije, silosi, bunkeri, te za potrebe sanaije postojećih građevina... Slika 1.4 Sanaija naglavne grede stupa vanjskim prednapinjanjem. Ideja da se napinjanjem armature u betonu unesu tlačna naprezanja kako bi se sva naprezanja u eksploataiji mogli preuzeti sudjelovanjem čitavog presjeka dovela je do potpunog prednapinjanja. Nedostai ovakvih konstrukija su: - velika potrošnja čelika za prednapinjanje - pojava nepredviđenih pukotina - nepotrebna velika sigurnost - nemogućnost korištenja duktilnosti. Pukotine koje se otvaraju djelovanjem i pokretnog opterećenja ne utječu na trajnost konstrukije zbog njihovog kraćeg trajanja pa nije potrebno prednapinjanje za ukupno opterećenje. Takvo prednapinjanje nazivamo djelomično prednapregnuti beton, kada se dopuštaju pukotine ograničenih širina. Nakon prestanka djelovanja pokretnog opterećenja pukotine se zatvaraju pa su takve konstrukije dovoljno sigurne od korozije i drugih štetnih utjeaja. Između djelomično i potpuno prednapregnutog betona nalazi se ograničeno prednapeti beton. Kod kojeg se za najnepovoljnije kombinaije opterećenja u tijeku građenja i eksploataije dopuštaju vlačna naprezanja ograničenih veličina, odnosno manjih od dopuštenih. 4

5 < ft,m Slika 1.5 Naprezanja na gornjem i donjem rubu za potpuno, ograničeno i djelomično prednapeti beton. Prema načinu prednapinjanja razlikujemo: prethodno ili adhezijsko prednapinjanje ( prednapinjanje prije stvrdnjavanja betona) naknadno ili kablovsko prednapinjanje ( prednapinjanje nakon stvrdnjavanja betona) Slika 1.6 Prethodno ili adhezijsko prednapinjanje ( prednapinjanje prije stvrdnjavanja betona). Slika 1.7 Naknadno ili kablovsko prednapinjanje ( prednapinjanje nakon stvrdnjavanja betona). Prema stupnju prednapinjanja razlikujemo: potpuno prednapeti beton k=1 armirani beton k=0 ograničeno i djelomično prednapeti beton 0<k<1 5

6 gdje je k odnos momenta dekompresije i ukupnog momenta: M dek k = (1.1) M g +Δg + q Moment dekompresije je moment savijanja izazvan vanjskim opterećenjem koji je po veličini i smjeru takav da na vlačnom rubu poništi naprezanja izazvana silom prednapinjanja. Potpuno prednapeti elementi su oni u kojima pri najnepovoljnijoj kombinaiji djelovanja u betonu nema vlačnih naprezanja. Za njih je stupanj prednapinjanja 1.0. U ograničeno prednapetim elementima mogu nastati vlačna naprezanja, ali manja od dopuštenih. Kod njih je stupanj prednapinjanja manji od 1.0. Kod djelomično prednapetih elemenata pri određenoj kombinaiji djelovanja mogu se pojaviti pukotine, ali njihove karakteristične širine moraju biti manje od propisanih. Stupanj prednapinjanja im je između 0.4 i 0.7. Naknadno kabelsko prednapinjanje može biti : unutarnje (kabel se nalazi u presjeku) ili vanjsko (kabel se nalazi izvan presjeka). Slika 1.8 Unutarnje i vanjsko prednapinjanje. Slika 1.9 Primjer vanjskog prednapinjanja. 6

7 2. SVOJSTVA MATERIJALA 2.1. Čelik za prednapinjanje Kvaliteta čelika može se opisati preko karakteristične vlačne čvrstoće f pk i karakteristične granie naprezanja f p0.1,k koja odgovara naprezanju s nepovratnom deformaijom 0.1%. Dijagram naprezanje-deformaija dan je na slii 2.1. Duktilnost čelika ojenjuje se preko minimalne postignute ukupne deformaije ε pu,k i odnosa (f p /f p0.1 ) k. Slika 2.1 Računski dijagram čelika za prednapinjanje. Slika 2.2 Radni dijagrami armature i čelika za prednapinjanje. Vrijednosti f p0.1,k, f pk i ε pu,k za pojedine vrste čelika (žie, užad, šipke), koje se koriste u europskoj zajednii, dane su tablično. Traži se da čelik za prednapinjanje bude zavarljiv. Maksimalni dopušteno naprezanje registrirano na preši po za postizanje početne sile prednapinjanja P o ne smije prijeći: 0.80 f pk p0 (2.1) 0.90 f p0.1, k 7

8 Neposredno nakon uklanjanja preše i unošenja sile u beton maksimalno dopušteno naprezanje, kod prednapinjanja poslije stvrdnjavanja, odnosno kod prednapinjanja prije stvrdnjavanja nakon gubitaka sidrenjem, ne smije prijeći: 0.75 f pk pm,0 (2.2) 0.85 f p0.1, k Sila unošenja proračunava se po izrazu: P m,o = pm,o A p (2.3) gdje je A p nazivna površina kabela. Čelik za prednapinjanje dijeli se, ovisno o veličini relaksaije, na 3 klase: Klasa 1: žie i užad s visokom relaksaijom Klasa 2: žie i užad s niskom relaksaijom Klasa 3: šipke. Ovisno o naprezanju u čeliku i klasama relaksaije može se na dijagramu naprezanje relaksaija (sl. 2.3) pronaći relaksaija čelika nakon 1000 h. Slika 2.3 Relaksaija čelika prema EC2 nakon 1000 h kod 20 o C u funkiji naprezanja s p Ako nema drugih podataka za modul elastičnosti čelika uzima se N/mm 2. nhrn EN Čelik za prednapinjanje 1. dio: Opći zahtjevi (pren :2000) nhrn EN Čelik za prednapinjanje 2. dio: Žia (pren :2000) nhrn EN Čelik za prednapinjanje 3. dio: Užad (pren :2000) nhrn EN Čelik za prednapinjanje 4. dio: Šipke (pren :2000) Tablia 2.1 Hrvatske norme za čelik za prednapinjanje 8

9 Slika 2.4 Čelik za prednapinjanje Zahtjevi na čelik za prednapinjanje: Visoka čvrstoća Niska relaksaija Mogućnost oblikovanja savijanjem na hladno Zavarljivost Niska osjetljivost na koroziju (posebno naponsku) Geometrijska pravilnost Velike dužine pri isporui Ponekad dobra prionjivost Ponekad otpornost na zamor Vrsta natege Najmanji broj Pojedinačna šipka ili žia 3 Šipke i žie, skupljene u nategu ili uže 7 Natege osim užadi ** 3 Tablia 2.2 Najmanji broj natega. Tablia vrijedi ako se pretpostavi jednak promjer svih žia, šipki ili natega; **Taj zahtjev može se također smatrati ispunjenim ako element sadrži najmanje jedno uže sa sedam ili više žia (promjer žie 4,0 mm) Beton Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukijama: Visoka tlačna čvrstoća, Mali iznos skupljanja i puzanja, Trajnost Tip prednapinjanja Najniži razred tlačne čvrstoće betona Prethodno prednapinjanje (adheziono) C30/37 Naknadno prednapinjanje C25/30 Tablia 2.3 Najniži razredi betona za prednapeti beton. Razred betona C30/37 C35/45 C40/50 C50/60 ƒk, N/mm Dupušteno tlačno naprezanje u uporabi, N/mm

10 Dupušteno tlačno naprezanje u fazi transporta, N/mm ƒtm, N/mm Modul elastičnosti betona: E f + 8 m = k Tablia 2.4 Dopuštena tlačna i vlačna naprezanja u betonu Mort za injektiranje Injektiranje ijevi natega se izvodi normiranim postupima s mortovima čija su svojstva propisana normama: HRN EN 446 HRN EN 447 Mort za injektiranje kabela za prednapinjanje Postupi injektiranja Mort za injektiranje kabela za prednapinjanje Svojstva uobičajenih mortova za injektiranje Tablia 2.5 Hrvatske norme za svojstva morta za injektiranje kabela. Prostor između kabela i zaštitnih ijevi potrebno je ispuniti mortom za injektiranje ili uljem (ne smije biti zraka ni vode). Mort za injektiranje se pod pritiskom ubrizgava u najnižoj točki kabela a odzračivanje i izlaz morta se događaju u najvišoj točki. Slika 2.5 Poprečni presjek kabela za prednapinjanje. Slika 2.6 Uzdužni presjek prednapete grede. Cementni mort za injektiranje ima dvije zadaće. Štiti natege od korozije. Kako bi se ostvarila dobra zaštita od korozije, čelik mora biti potpuno obavijen ementnim mortom dostatne gustoće. Ne smiju se pojavljivati nezapunjeni dijelovi gdje se zadržao zrak ili voda. Voda se zimi može zalediti i izazvati odlamanje zaštitnog sloja betona. Druga zadaća ementnog morta za injektiranje je osiguranje sprezanja natege i konstruktivnog elementa. Za to je potrebna dostatna čvrstoća. 10

11 Izvedba ukazuje na činjeniu da je problematično osiguranje potpune ispunjenosti zaštitne ijevi ementnim mortom bez šupljina. Najmanje šupljine mogu dovesti do korozije čelika. Cementni mort se ne smije injektirati pod velikim tlakom (2 MPa ili druga vrijednost određena postupkom injektiranja) niti velikom brzinom jer se tako onemogućuje stvaranje zračnih čepova, segregaija, oštećivanje konstrukije, opreme i ventila, štite se radnii te se omogućuje kontrola protoka morta. Cementni mort za injektiranje mora ispunjavati posebne zahtjeve: - malo izlučivanje vode, sedimentaija: Cementni mort ne smije biti proizveden s previše vode jer se ona ne može upiti u okolni beton zbog zaštitne ijevi. Izlučena zaostala voda povećava opasnost od korozije i pri niskim temperaturama može se zamrzavati. Ispitivanja su pokazala da se u zaštitnim ijevima s gornje strane u prvim satima, zbog sedimentaije, može stvoriti tanka mješavina ementa i vode ili mjehurići zraka. Zbog toga se kod velikih natega treba naknadno injektirati. Najveće izlučivanje u pravilu nastupa nakon 3-4 sata. Mjerenja treba provesti u tom vremenskom razmaku. S druge strane, ementni mort ne smije biti previše suh jer se zaštitna ijev može začepiti. Ispitivanja su pokazala da poteškoće s vodom rastu sa starošću ementa. Stoga je potrebno ograničiti starost ementa u proizvodnji ementnog morta za injektiranje. Cement ne smije biti mlađi od 2 do 3 dana kako bi se dostatno ohladio niti stariji od tri tjedna. - kohezija u plastičnom stanju do završetka postupka injektiranja: Očvršćivanje ementnog morta za injektiranje može početi tek nakon potpunog injektiranja zaštitne ijevi. U nekim slučajevima može biti potrebno i nekoliko sati za dovršenje postupka injektiranja. Dulji vremenski periodi postižu se dodaima koji ne smiju sadržavati kloride. Kod dodataka treba paziti na činjeniu da njihovo djelovanje ovisi o temperaturi. Konzistenija jako ovisi i o temperaturi morta. Najbolje vrijednosti bez dodataka postižu se pri temperaturi morta od oko 15 C. Cementni se mort injektira uz ispunjene uvjete navedene u tablii 2.6 za temperaturu zraka, konstrukijski element i ementni mort. Temperatura C Zrak Konstrukijski element Cementni mort najmanja najveća Tablia 2.6 Rasponi temperature pri injektiranju. Kada su temperature veće ili manje od navedenih u tablii, potrebne su posebne mjere koje osiguravaju uspješnost postupka injektiranja. - malo izdvajanje ementnog morta: Kod izdvajanja ementnog morta može doći do zarobljene vode ili velikih promjena volumena tijekom perioda očvršćivanja. Stoga je potrebno birati malu vrijednost vodoementnog omjera v/. U isto vrijeme mort mora biti i dostatno plastičan te se stoga v/ omjer treba birati u rasponu 0,40 do 0,44. - mala deformaija zbog skupljanja: Skupljanje morta je uglavnom vrlo malo jer on ne može izgubiti vodu unutar zaštitne ijevi. - povećanje volumena stvaranjem mikropora: Mort se do ukrućenja treba širiti kako bi ispunio eventualne praznine. Tlačna sila zbog povećanja volumena ne smije biti prevelika. - dostatna tlačna čvrstoća i prionljivost - dostatna otpornost na zamrzavanje. 11

12 Svojstva ementnog morta za injektiranje u postupku potvrđivanja sukladnosti ispituju se normiranim postupima (HRN EN 446). Ispituju se: kohezija, izlučivanje vode, promjena volumena, čvrstoća. Slika 2.7 Zaštitne ijevi u kojima se nalaze natege kod naknadnog prednapinjanja mogu biti čelične ili plastične. Promjer zaštitne ijevi kabela ovisi o broju užadi. Na slii 2.8 prikazana je tablia za sustav Dywidag. Zadnja dva broja kod oznake kabela odnose se na broj užadi. Npr. oznaka kabela 6812 znači da kabel ima 12 užadi. Zaštitna ijev je čelična rebrasta i ima dva promjera unutarnji i vanjski. Prostor između natege i zaštitine ijevi može se ispuniti i s drugim materijalima: mast, ulje, vosak. Takva natega (unbonded) nije spojena s presjekom i kod nje postoji drugačiji tretman kod dokaza na slom (proračun uzdužne armature). Kod natege injektirane injekijskom smjesom na bazi ementa (bonded) dolazi do promjene deformaija od djelovanja ostalih opterećenja. Kod bonded natege iz tog razloga dobivamo manje armature iz dokaza na slom. Slika 2.8 Podai o zaštitnim ijevima. 12

13 3. SUSTAVI ZA PREDNAPINJANJE 3.1. Uvod Sastavni dijelovi natege jesu: žie, snopovi žia užad, snopovi užadi šipke. Slika 3.1 Poprečni presjek užeta za prednapinjanje. a) standardni i b) kompaktni 7-žični presjek. Sidrene glave ili usidrenja ovisno o sustavu prednapinjanja čine: adhezijska sidra na osnovi prianjanja sidra s navojem sidra na osnovi klina i čahure sidra na osnovi glavie. Slika 3.2 Sidro kabela za prednapinjanje Slika 3.3 Aktivno sidro kabela za prednapinjanje. 13

14 Slika 3.4 Privremeno sidro (kod radne reške) za nastavak kabela za prednapinjanje. Opremu za prednapinjanje sačinjavaju: preše za napinjanje natega oprema za injektiranje natega naprave za uvlačenje užadi hidrauličke pumpe Slika 3.5 Klinovi za sidrenje užadi. Slika 3.6 Preša za prednapinjanje kabela. 14

15 Slika 3.7 Oprema za injektiranje. Slika 3.8 Hidrauličke pumpe. Slika 3.9 Uređaj za uvlačenje užadi u zaštitnu ijev. (Tendon Pulling Mahine). Kako ne bi došlo do pomianja kabela (tj. zaštitnih ijevi) za vrijeme betoniranja, zaštitnu ijev je potrebno vezati za podupirače ili postavljenu armaturu. Na taj način će se osigurati projektirana geometrija kabela. Podupirači kabela: ne smiju štetno djelovati ni na čelik ni na beton, trebaju biti dovoljno čvrsti da osiguraju stabilni položaj kabela u projektiranoj poziiji, ne smiju oštetiti zaštitu. 15

16 Slika 3.10 Podupirači kabela. Slika 3.11 Prije betoniranja potrebno je napraviti kontrolu geometrije kabela. Kod proračuna ovakvih konstrukija potrebno je voditi računa o dopuštenim razmaima kabela, sidara kabela i prostoru potrebnom za prešu jer ovi podai također određuju dimenzije pojedinih dijelova poprečnog presjeka. Na slii 3.12 i u tablii 3.1 dane su standardne vrijednosti koje se upotrebljavaju u većini sustava za prednapinjanje. Svaki sustav za prednapinjanje ima svoje podatke o ovim vrijednostima, a koje ovise o sili u kabelu odnosno broju užadi. Slika Varijable za kabelsko prednapinjanje. 16

17 Promjer i broj užadi Utori u betonu mm Sidro dimenzije, mm Zaštitna ijev mm Razmak sidara, mm Preša mm 1 2 α C D E / / / / / / / / / / / / Tablia 3.1 Standardne dimenzije za kabelsko prednapinjanje. Promjer i broj užadi Utori u betonu mm Slika Varijable za kabelsko prednapinjanje ploča. Sidro dimenzije, mm Zaštitna ijev mm Razmak sidara, mm Preša mm 1a 1b 2 3a 3b 4 5 xe, ye xs, ys C E F dia. 125, , , , dia. 145, , , , Tablia 3.2 Standardne dimenzije za kabelsko prednapinjanje ploča. 17

18 Slika Sidra kabela kod naknadnog prednapinjanja. Slika Završetak prednapetih žia kod adhezijskog prednapinjanja Sustav BBRV Tri šviarska građevinska inženjera M. Birkenmaier, A. Brandestin i M. R. Roš formirali su studijsku grupu pod imenom BBR i u suradnji sa strojarskim inženjerom C. Vogtom pronašli i izradili tehnologiju za prednapinjanje betonskih i drugih konstrukija pod imenom Sustav BBRV Sustav Vorspann-Tehnik Na osnovi Freyssinetova patenta razrađen je i proširen sustav Vorspann-Tehnik. Koriste se pojedinačne žie, šipke, užad te snopovi žia i užadi. Kako se najčešće koristi užad, ovdje će se dati potrebni podai za njihovo korištenje prema prospektima Vorspann- Tehnik-sustava Sustav Dywidag Tvrtka Dywidag vlasništvo Dykerhoff & Widmann iz Münhena proizvodi najviše sustave od pojedinačnih šipki te one od užadi Sustav VSL Šviarska tvrtaka sa sjedištem u Bernu. Vidi link: ili 18

19 4. GUBICI I PADOVI SILE PREDNAPINJANJA Slika 4.1 Dijagrami unutarnjih sila od prednapinjanja na statički određenom sustavu. Moment od prednapinjanja na statički određenom sustavu određuje se prema: M p = P e Gdje je: P- sila u kabelu e- udaljenost težišta kabela od težišta idealnog poprečnog presjeka. Kabel možemo promatrati kao vanjsko opterećenje. On djeluje na nosač preko skretnih sila i preko sila na sidru. 2 p L M p = P e = 8 Skretna sila: 8 P e p = 2 L vanjske sile (g+q) prednapinjanje ukupno < M/W P/A (P*e)/W,dop + + = Slika 4.2 Dijagram normalnih naprezanja u poprečnom presjeku određuje se metodom superpoziije. 19

20 Sila prednapinjanja ostvarena istezanjem čelika mijenja se u tijeku vremena i uzduž elementa (slika 4.3), a time se mijenjaju i naprezanja u betonu i čeliku. Do gubitaka sile prednapinjanja dolazi prije i u tijeku unošenja tlačnog naprezanja u beton, a do padova, zbog relaksaije čelika i viskoznih deformaija betona, nakon uvođenja. P Sila u kabelu nakon uklanjana preše Sila u kabelu u trenutku napinjanja Sila u kabelu nakon svih gubitaka i padova Slika 4.3 Dijagram sile u kabelu za slučaj prednapinjanja s jedne strane Gubitak sile prednapinjanja zbog trenja Prednapete konstrukije poslije stvrdnjavanja izvode se tako da se kabeli prije montaže postavljaju u zaštitne ijevi. Poslije betoniranja i očvršćavanja betona kabeli se napinju pri čemu dolazi do njihova izduženja u odnosu na zaštitne ijevi, koje su već u ovom trenutku čvrsto vezane uz beton. Na spoju kabela i ijevi pri pomianju prednapete armature javlja se trenje koje se suprotstavlja istezanju. Gubitak sile prednapinjanja zbog trenja: μ( Θ+ k x Δ P (x) = P 1 ) (4.1) μ ( ) 0 e P 0 početna sila prednapinjanja koja ne smije prekoračiti veličinu A p p0 0,80f pk p0 - maksimalni dopušteno naprezanje na preši, mjerodavan je manji 0,9f p0.1,k μ - koefiijent trenja između kabela i zaštitne ijevi Θ -suma kutova skretanja kabela na duljini x u lučnoj mjeri k valovitost kabela Vrijednosti koefiijenata μ i k mogu se naći u dokumentaiji proizvođača sustava prednapinjanja. Euroode 2 predlaže slijedeće vrijednosti za koefiijent trenja μ za kabele koji popunjavaju 50% zaštitne ijevi: hladno obrađene žie 0.17 užad

21 rebrasti čelik 0.65 glatke šipke 0.33 Tablia 4.1 Vrijednosti za koefiijent trenja μ. Za vrijednost k navode se granie: < k < 0.01 po dužnom metru (1/m) Koefiijenti k i μ mogu se također naći u dokumentaiji sustava prednapinjanja. Kod skretanja kabela u vertikalnoj i horizontalnoj ravnini, za ukupno se skretanje uzima: Θ = α + γ - kada skretanje slijedi jedno iza drugog ili 2 2 tg Θ = tg α + tg γ - kada se skretanje javlja na istoj dionii, gdje je α ukupni kut skretanja u vertikalnoj, a γ u horizontalnoj ravnini Gubitak naprezanja zbog prokliznuća klina U trenutku predavanja sile prednapinjanja od preše sidru, zbog prokliznuća klina, dolazi do gubitka postignutog izduženja. Proizvođač sustava za prednapinjanje daje vrijednost prokliznuća klina (Dl) ovisno o tipu sidra. Kada se sidrenje ostvaruje pomoću hladno obrađenih glavia (sustav BBRV) takvih gubitaka nema. Odnos duljine prokliznuća klina i gubitka naprezanja bit će: 1 x1 Δl = Δ zl dx (4.2) o E z Gubitak sile prednapinjanja prokliznućem klina: Θ Δ Psl = 2P0 x1 μ + k (4.3) l Duljina utjeaja prokliznuća klina x 1 Δl Es = (4.4) μ p0 ( Θ / l + k) 4.3. Gubitak naprezanja zbog elastičnih deformaija betona Pri adhezijskom prednapinjanju dolazi do elastičnog skraćenja elementa pri prijenosu sile s čelika na beton. Gubitak naprezanja je proporionalan naprezanju koje se unosi u beton: Gubitak sile prednapinjanja zbog elastičnih deformaija betona za prednapinjanje prije stvrdnjavanja betona: α e ΔP = 0 A p (4.5) 1 + ρ1 α e početno naprezanje u betonu u visini težišta čelika umanjen za gubitke trenjem i prokliznućem klina 0 = P0 ρ1 / A (4.6) A ρ1 = 1 + yp - utjeaj eksentriiteta sile P 0 I - udaljenost težišta betonskog presjeka i kabela y p 21

22 A I - površina betonskog presjeka - moment tromost betonskog presjeka α e =E s /E m - omjer modula elastičnosti Gubitak sile prednapinjanja zbog elastičnih deformaija betona za prednapinjanje nakon stvrdnjavanja betona: n 1 ΔP = 0,5 αe 0 A p (4.7) n n broj kabela koji se sukesivno prednapinju 4.4. Pad naprezanja zbog skupljanja i puzanja betona te relaksaije čelika Korištenjem algebarske veze naprezanje-deformaija prema Trostu, te pretpostavke da se težište meke i prednapete armature poklapa, dolazi se do izraza za pad naprezanja u prednapetom čeliku u obliku: Vremenski gubii zbog skupljanja, puzanja i relaksaije čelika u vrijeme t: () t Δ Pt = Δ p, + s+ r ( t, t ) E + Δ + α ϕ( t, t )( + ) ε s 0 s pr e 0 g p0 Ap = Ap (4.8) Ap A + e yp [ + ( t t )] A α 1 I 1 0,8ϕ, 0 ε s (t,t 0 ) - proijenjena deformaija skupljanja Δ - promjena naprezanja u kabelu zbog relaksaije, a dobije se prema pr slii na osnovu omjera ( / ) uz,85 0 p f pk p 0 pg pg 0 - početno naprezanje od prednapinjanja i stalnog opterećenja ϕ(t,t 0 ) - prognozirana vrijednost za koefiijent puzanja - naprezanje u betonu u visini kabela od stalnog opterećenja (-) g pg 0 - početna vrijednost naprezanja od prednapinjanja u betonu u visini kabela Uz poznate gubitke srednja vrijednost sile prednapinjana u vrijeme t na udaljenosti x od kraja uzduž prednapetog elementa određuje se prema izrazima: Za prednapinjanje prije stvrdnjavanja betona Pm,t = P0 ΔPμ ( x) ΔP ΔPir ΔPt ( t) (4.9) Za kabelsko prednapinjanje P = P ΔPμ x ΔP ΔP ΔP t (4.10) m,t 0 ( ) ( ) sl t Sila prednapinjanja u vrijeme t=0 je P m0 određuje se smanjenjem početne sile za trenutne gubitke, dakle prema istim izrazima u kojima je zadnji član 0. Ova sila ne smije prekoračiti veličinu A p pm,0. pm,0 je maksimalno dopušteno naprezanje nakon gubitaka sidrenjem kod prednapinjanja prije stvrdnjavanja betona, odnosno maksimalno dopušteno naprezanje nakon uklanjanja preše kod kabelskog prednapinjanja. Mjerodavna je manja vrijednost od slijedećih: 22

23 0,75 f pk pm,0 (4.11) 0,85 f p0.1, k Konačna sila prednapinjanja P m je sila nakon svih gubitaka i trenutnih i vremenskih u t=. Oznaka čelika Y 1080/1230 Y 1375/1570 Y 1470/1670 Y 1570/1770 Y 1600/1860 f pk f p0.1,k f pk f p0.1,k p0 Max sigma na preši f pk f p0.1,k Max sigma na sidru t= pm,0 pm, Max sigma na sidru t= Tablia 4.2 Maksimalna naprezanja u čeliku za vrijeme i nakon napinjanja i u beskonačnosti. 5. IZBOR PRESJEKA I PRELIMINARNIH DIMENZIJA Visine prednapetih nosača najčešće su manje od odgovarajućih armiranobetonskih greda. Ekonomične visine prednapetih nosača kreću se od l/15 do l/20, a minimalna je l/30 za mostove i l/40 za krovne nosače s lakšim pokrovom (l-raspon nosača). Koristi se više formula za preliminarnu visinu prednapetog nosača, a jedna je od njih: h = (3 do 4) M + (h u m, M g+q u knm) (5.1) g q Oblik presjeka vrlo je važan kod prednapetih sustava. Raionalnost presjeka ijeni se prema udaljenostima gornjeg i donjeg ruba jezgre. Kao primjer ekonomičnosti uzima se relaija visina jezgre i polovie visine presjeka: k g + k d = 0.5 d. Općenito, raionalan presjek može se dobiti konentraijom površine prema rubovima, odnosno što dalje od težišta presjeka. Površina vlačnog pojasa ovisi o visini presjeka i odnosa g/q. Ako je visina velika i odnos g/q velik, donji pojas može izostati (T-presjek). Veličina gornjeg pojasa ovisi o sumi tereta (g+q). Što je ovaj zbroj veći to je potrebna veća širina pojasa. Ako je naprotiv q/g velik, a visina mala, onda vlačni pojas treba imati veću širinu (I-presjek ili još bolje sandučasti presjek). 6. KONTROLA NAPREZANJA Prednapeti elementi proračunavaju se prema metodi dopuštenih naprezanja i po metodi graničnih stanja. Naprezanja u betonu, armaturi i čeliku za prednapinjanje u presjeima elemenata, pri najnepovoljnijoj kombinaiji opterećenja u toku prednapinjanja, građenja i korištenja, ne smiju prekoračiti dopuštene vrijednosti dane propisima. Isto tako mora se dokazati da elementi i konstrukije zadovoljavaju uvjete nosivosti i upotrebljivosti. Granično stanje naprezanja ograničava naprezanja za proračunsko opterećenje. 23

24 Naprezanje u betonu,, za rijetku kombinaiju opterećenja, treba biti: 0,6 fk (6.1) a za nazovistalnu kombinaiju: 0, 45 fk (6.2) Naprezanje u čeliku, za rijetku kombinaiju opterećenja, treba biti: s 0,8 f yk (6.3) Naprezanje u prednapetom čeliku za t=0, treba biti: s 0,75 f pk i 0,85 f p0.1, k (6.4) Naprezanje u prednapetom čeliku za t=, treba biti: 0, 65 (6.5) s f pk Klasa betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 f t,m f tk, 0, f tk, 0, Tablia 6.1 Vlačne čvrstoće betona. Za razvedene presjeke kao što su T, I i sandučasti presjei kojima su ploče tanje od 10 m, dopušteno naprezanje umanjuju se za 10%. U montažnim spojevima, bez posebne armature u spoju, najmanje naprezanje tlaka mora iznositi 1.5 N/mm 2. Prilikom proračuna naprezanja potrebno je odrediti sudjelujuću širinu. Jedan od uvjeta za njeno određivanje s obzirom na raspon dan je u tablii 6.2. Slika 6.1 Sudjelujuća šrina b T-presjek Polu T-presjek Prvo polje bw L bw L Srednje polje bw L bw L Konzola bw L bw L Tablia 6.2 Sudjelujuća šrina b Izrazi za sudjelujuću širinu vrijede uz sljedeće uvjete: Odnos susjednih raspona mora biti između 1.0 i 1.5. Duljina konzole mora biti manja od polovie susjednog raspona. Izrazi iz tablie se vrijede samo ako su manji od stvarne širine gornje pojasnie. Kontrolu naprezanje potrebno je provesti za dva slučaja: 24

25 u fazi napinjanja i u fazi korištenja. Iz uvjeta dopustivih naprezanja na donjem i gornjem rubu poprečnog presjeka u fazi napinjanja i u fazi korištenja određuje se oblik poprečnog presjeka ili broj kabela. Za proračun naprezanja u betonu i armaturi koriste se formule teorije elastičnosti. N M f < t f A ± W < Naprezanje na donjem i gornjem rubu za djelovanje pozitivnog momenta savijanja od vlastite težine (M g ) za fazu napinjanja (ako je sustav statički određen). d P0 P0 e M max = + t, dop 0.95 A 0.95 Wd 0.95 W d g P0 P0 e M max = +, dop 0.95 A 0.95 W 0.95 W d d Naprezanje na donjem i gornjem rubu za djelovanje pozitivnog momenta savijanja od vanjskih opterećenja (M max ) za fazu eksploataije (ako je sustav statički određen). d Pm Pm e M max = + t, dop A W W P, id P d, id e M d, id g m m max = +, dop A, id Wd, id Wd, id Idealna površina presjeka: A,id = A + (n - 1) (A z + A s ) Naprezanje na donjem rubu za djelovanje pozitivnog momenta savijanja od vanjskih opterećenja (M max ) za fazu eksploataije (ako je sustav statički određen). d Pm Pm e M max = t, dop = + A Wd Wd d Pm Pm e M max = + t, dop = 0 A W W P d = m A W + d e g k d = - jezgra dolje A M d max 1, = t dop k g Wd Wd k g = - jezgra gore A e udaljenost težišta kabela od težišta neto idealnog presjeka. 0 Za fazu napinjanja za djelovanje pozitivnog momenta savijanja od vlastite težine potrebno je na donjem rubu kontrolirati tlačna naprezanja, stoga izraz glasi: P = mo e M g 1 d +, = 0 dop A k g Wd 25

26 t < t ft,m < f,dop b < f,dop b < ft,m Slika 6.2 Naprezanje u fazi napinjanja i eksploataije. t < f,dop t < ft,m b < f,dop b < ft,m Slika 6.3 Naprezanje u fazi napinjanja i eksploataije za presjek betoniran u dvije faze. Iz ta četiri uvjeta dopustivih naprezanja može se grafički konstruirati područje u kojem se smije nalaziti prednapeti čelik. Slika 6.4 Magnel-ovi pravi. 26

27 7. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI Nakon što se napravi kontrola naprezanja na osnovu koje se određuje količina prednapetog čelika, potrebno je odrediti potrebu količinu armature prema kriterijima graničnog stanja nosivosti. Potrebno je dokazati da su računske veličine izazvane vanjskim djelovanjem manje od vrijednosti otpora poprečnog presjeka Proračun uzdužne armature Slika 7.1 Granično stanje nosivosti prednapete grede. M Sd M Rd Potrebna površina nenapete armature: M Sd Ap p z p As1 = zs f yd Računska čvrstoća armature f yd = f yk / γ s Računska čvrstoča čelika za prednapinjanje: 1660/ = 0.9 f / γ = /1.15 = N / mm kN / m pd pk s = 2 Slika 7.2 Količina armature s obzirom na stupanj prednapinjanja. 27

28 7.2. Proračun poprečne armature Prednapeti elementi, osobito oni s povijenim kabelima, imaju povećanu nosivost na poprečne sile u odnosu na konvenionalno armirane nosače. Poprečne sile mogu biti znatno umanjene vertikalnom komponentom sile prednapinjanja, a glavna kosa vlačna naprezanja djelovanjem horizontalne komponente sila u kabelima. Proračun prednapetih elemenata naprezanih glavnim kosim naponima provodi se prema Proširenoj Mörshovoj analogiji s rešetkom. U nosačima s povijenim kabelima prema gore računska poprečna sila bit će: V = γ V + γ V γ ( P sinα) Sd g g q q p α - kut nagiba osi rezultantnoga kabela prema osi nosača u promatranom presjeku. Posmično naprezanje u presjeku dobiva se prema izrazu: VSd Sid τ Sd = Iid bw Ako se u rebru nalaze šipke ili kabeli kod kojih je promjer zaštitne ijevi φ n > b w /8, posmična naprezanja se proračunavaju s reduiranom širinom: b w, red = bw 0.5 φ Kontinuirano opterećenje na duljini 0.75 h uz ležaj ne uključuje se u poprečnu silu iz istih razloga kao kod armiranobetonskih nosača. 8. GRANIČNO STANJE UPORABLJIVOSTI Za razliku od graničnih stanja nosivosti koefiijenti sigurnosti za opterećenje i za materijal u graničnim stanjima uporabljivosti iznose ukoliko nije drugačije određeno: γ G,j =γ Q,j =1,0 γ M =1,0 Treba dokazati da je: Ed Cd Tri osnovne kontrole koje se provode u graničnom stanja uporabljivosti su: kontrola naprezanja, kontrola pukotina i kontrola progiba. Kod djelomično prednapetih konstrukija predviđa se otvaranje pukotina samo nadolaskom pokretnog opterećenja i njihovo zatvaranje nakon prestanka djelovanja tog opterećenja. Karakteristične širine pukotina moraju biti manje od graničnih veličina danih propisima, a koje ovise o agresivnosti okoline i trajanja opterećenja. Za karakterističnu širinu pukotina uzeta je 70% veća vrijednost od srednje širine pukotina. Betonski mostovi dijeli mostove u razrede od A do E. Konstruktivnom elementu moraju biti dodijeljeni razredi agresivnog djelovanja okoliša. 28

29 Kombinaija djelovanja za dokaz računska vrijednost Razred dekompresije širine pukotine w k širine pukotina ( 0) [mm] A rijetka - B učestala rijetka C nazovistalna učestala 0,2 D učestala E nazovistalna 0,3 F nazovistalna 0,4 Tablia 8.1 Zahtjevi za ograničenje širina pukotina i dekompresiju. prednapinjanje sa sprezanjem ostvarenim naknadnim injektiranjem najmanji razred širine pukotina i dekompresije način prednapinjanja prethodno prednapinjanje prednapinjanje bez sprezanja ostvarena injektiranjem AB elementi razred agresivnog djelovanja okoliša XC1 D D F F XC2, XC3, XC4 C a C E E XD1, XD2, XD3, b C a B E E XS1, XS2,XS3 a ukoliko je zaštita od korozije osigurana drugim mjerama, dopušten je razred D b u pojedinim slučajevima postoji mogućnost da su potrebne posebne mjere za zaštitu od korozije Tablia 8.2 Najmanji razred širine pukotina i dekompresije u ovisnosti o razredu agresivnog djelovanja okoliša. Ukoliko su zadovoljeni uvjeti prema tabliama, smatra se da su zadovoljeni uvjeti trajnosti i kakvoće mosta u smislu graničnog stanja uporabe. Za konstruktivne elemente s posebnim zahtjevima (npr. posude za vodu) mogući su stroži uvjeti za širinu pukotina. Zadovoljavanje graničnog stanja dekompresije znači da je betonski presjek za mjerodavnu kombinaiju opterećenja u fazi građenja, na rubu, a u konačnom stanju u potpunosti u tlaku od prednapete sile u vlačnom području. Kada se dimenzionira prema razredima širine pukotina i dekompresije, A, B i C za mjerodavnu kombinaiju djelovanja na natezi bližem rubu presjeka ne smiju nastupiti vlačna naprezanja. Kod dokaza dekompresije u fazama građenja dopušteni su sljedeći koefiijenti za karakterističnu vrijednost prednapinjanja: - ubetonirane natege, vođene ravno ili približno ravno (npr. entrično prednapinjanje kod uzdužnog potiskivanja): r inf = 1,00, r sup = 1,10; - ubetonirane zakrivljeno vođene natege: r inf = 0,95, r sup = 1,10; - vanjske natege: r inf = 1,00, r sup = 1,00. Dokaz dekompresije provodi se uzimajući u obzir linearne promjene temperature ΔT M. Puno prednapinjanje odgovara razredima A i B, ograničeno prednapinjanje razredu C, a armirani beton razredima D i E (tablia 6.15). prednapinjanje puno ograničeno Djelomično razred A i B B i C C, D i E Tablia 8.3 Približna usporedba razreda širine pukotina i dekompresije i starih naziva 29

30 Dokazi za granično stanje uporabe sadrže: - ograničenje naprezanja; - ograničenje pukotina i dokaze dekompresije; - ograničenje deformaija; - ograničenje vibraija i dinamičkih utjeaja. Ukoliko se most prednapinje u uzdužnom smjeru, a u poprečnom ne, potrebno je tako odrediti dimenzije poprečnog presjeka da su na rubu poprečnog presjeka za rijetku kombinaiju djelovanja vlačna naprezanja betona u naponskom stanju I manja od vrijednosti u tablii Dokaz ograničenja širina pukotina u poprečnom smjeru provodi se uz iste uvjete kao i u uzdužnome smjeru. razred tlačne čvrstoće betona C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 dop,rub [N/mm 2 ] 4,0 5,0 5,5 6,0 6,5 Tablia 8.4 Dopuštena rubna vlačna naprezanja betona u poprečnom smjeru kada se ne prednapinje u poprečnom smjeru 9. PROTOKOL PREDNAPINJANJA Prednapinjanje prednapetog čelika izvode speijalizirane osobe prema protokolu prednapinjanja. Kako bi bili sigurni da je čelik doista prednapet prema proračunskoj sili potrebno je kontrolirati dvije osnovne vrijednosti: pritisak na preši u barima i izduženje čelika u milimetrima. Slika 9.1 Protokol prednapinjanja. Ako se tijekom unošenja sile u naknadno napete kabele računsko izduženje ne dobiva u graniama ± 5 % uvjetovane ukupne sile ili unutar ± 10 % uvjetovane sile za jedan kabel, treba poduzeti mjere 30

31 predviđene projektnim speifikaijama. Jednako treba postupiti i ako se tijekom unošenja sile u prethodno napete kabele računsko izduženje ne dobiva u graniama ± 3 % uvjetovane ukupne sile ili unutar ± 5 % uvjetovane sile za jedan kabel. 10. KONSTRUKCIJSKA PRAVILA PREDNAPETIH KONSTRUKCIJA Najmanje udaljenosti užadi i natega Svijetli razmak natega prethodnog prednapinjanja prema DIN , iznosi: horizontalno: d p 20 mm d g + 5mm (d p promjer natege) vertikalno: d p 10 mm d g (d g promjer najvećeg zrna agregata) Minimalni razmai prednapete armature prema EC2: d g + 5 d g sh φ, sv φ 20mm 10mm Svijetli razmak natege sa sprezanjem ostvarenim naknadnim injektiranjem ementnog morta prema DIN , iznosi: horizontalno: 0,8 d h,vanjski 40 mm (d h promjer zaštitne ijevi natege) vertikalno: 0,8 d h,vanjski 50 mm HRN ENV :2004 ne dopušta smanjenje na 0,8 d h,vanjski (odnosno d p ). Slika 10.1 Najmanje udaljenosti natega (zaštitnih ijevi) prema DIN , Navedene vrijednosti svijetlih razmaka natega vrijede samo ukoliko u tehničkim dopuštenjima ili uputama proizvođača nisu navedene strože vrijednosti. Prilikom određivanja najmanjih razmaka natega potrebno je obratiti pažnju i na najmanje potrebne razmake za ugradnju i vibriranje betona. Podrobniju provjeru zahtijevaju gusto armirana područja oko sidara i spojki. Spojke su mehanički elementi koji služe za nastavljanje natega, kada je prethodna natega napeta. Kritični su i vitki elementi, kao što su hrptovi sandučastih nosača. Ne bi trebalo izvoditi više od tri natege jednu do druge u horizontalnom smjeru bez razmaka za vibriranje. Širina otvora za vibriranje ovisi o opremi, a najmanje iznosi 10 m kod elemenata viših od 2 m. Kod visokih i/ili nagnutih otvora za injektiranje potrebno je rabiti ijev za ugradnju betona kako bi se spriječila segregaija betona (kontraktor postupak). 31

32 Kod rebrastih i sandučastih nosača, sukladno konentraiji naprezanja, natege se konentriraju uz hrptove i nisu raspodijeljene po ijeloj širini ploče. Razmak natega ugrađenih u betonski presjek do poinčanih elemenata, koji se ugrađuju u presjek, ili do poinčane armature, mora biti najmanje 20 mm i ne smije postojati nikakva metalna veza između poinčanog elementa i natege. Između prethodno napetih natega i ugrađenih elemenata (npr. slivnjaka) mora se zadržati najmanje 10 m svijetlog razmaka Armatura prednapetih konstrukijskih elemenata Kod prednapetih konstrukijskih elemenata uvijek se preporučuje ugrađivanje najmanje konstrukijske armature prema tablii U tablii su dane vrijednosti koefiijenta armiranja ρ za proračun minimalne armature. Karakteristična tlačna čvrstoća betona f k [N/mm 2 ] ρ a) [ ] 0,51 0,61 0,70 0,83 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 Karakteristična tlačna čvrstoća betona f k [N/mm 2 ] ρ a) [ ] 1,34 1,41 1,47 1,54 1,60 1,66 a) ove vrijednosti proizlaze iz ρ = 0,16 f tm /f yk Tablia 10.1 Osnovne vrijednosti koefiijenta armiranja ρ za proračun minimalne armature. Kod prethodnog prednapinjanja dopušteno je uzeti u obzir (pribrojiti u punom iznosu) natege koji se nalaze unutar dvostruke debljine zaštitnog sloja prilikom odabira najmanje konstrukijske armature. Najmanje vrijednosti konstrukijske armature prema formulama za najveću i najmanju armaturu, za ograničavanje širine pukotina i za prednapete elemente prema tablii 6.18 ne zbrajaju se, mjerodavna je najveća vrijednost. Konstrukijska armatura ugrađuje se kao približno ortogonalna mreža u vlačno i tlačno područje konstrukijskog elementa. Najveći razmak šipki armature je 200 mm. - bočne plohe greda - ploče sa h 1,0 m na svakom rubu a (oslonjeni i slobodni) - vanjski rub b tlačnih područja greda i ploča - u stlačenom vlačnom području ploča a,b - tlačni pojas nosača sa h > 12 m (gornje i Ploče, pojasne lamele i široke grede (b w > h) po m Konstrukijski elementi u razredu agresivnog djelovanja okoliša XC1 do XC4 0,5 ρ h odnosno 0,5 ρ h f 0,5 ρ h odnosno 0,5 ρ h f Konstrukijski elementi u ostalim razredima agresivnog djelovanja okoliša 1,0 ρ h odnosno 1,0 ρ h f 1,0 ρ h odnosno 1,0 ρ h f Grede sa b w h, hrptovi T- ili sandučastih nosača Konstrukijski Konstrukijski elementi u razredu elementi u agresivnog ostalim razredima djelovanja okoliša agresivnog XC1 do XC4 djelovanja okoliša 1,0 ρ b w po m 1 1,0 ρ b w po m ,0 ρ h b w --- 1,0 ρ h f

33 donje područje - u svako) a gdje je: h visina grede ili debljina ploče h f debljina tlačnog ili vlačnog pojasa ploče razgranatog presjeka b w debljina hrpta grede ρ osnovna vrijednost koefiijenta armiranja a Nije potrebna veća armatura od 3,4 m 2 /m 1 u svakome smjeru. b U konstrukijskim elementima u razredu agresivnog djelovanja okoliša XC1 dopušteno je izostaviti armaturu predviđenu prema ovoj tablii za razrede XC1 do XC4. Za ploče od predgotovljenih elemenata manje širine 1,20 m dopušteno je izostaviti poprečnu armaturu predviđenu prema ovoj tablii u svim navedenim slučajevima. Tablia 10.2 Najmanja konstrukijska armatura ovisno o području prednapetog konstrukijskog elementa Najmanji razred čvrstoće betona u trenutku prednapinjanja Kod prethodnog ili naknadnog prednapinjanja natega beton u trenutku prednapinjanja t j mora imati najmanju potrebnu tlačnu čvrstoću f mj. U tablii 10.3 dane su vrijednosti najmanjih tlačnih čvrstoća za prednapinjanje na dio sile te za konačno prednapinjanje. Čvrstoća f mj [N/mm 2 ] a a Razred tlačne čvrstoće betona Prednapinjanje na dio sile (do 30 % sile prema tehničkom dopuštenju) Prednapinjanje na konačnu silu C25/ C30/ C35/ C40/ C45/ C50/ C55/ C60/ C70/ C80/ C90/ C100/ Vrijedi srednja vrijednost tlačne čvrstoće valjka (kod primjene koaka potrebno je čvrstoće preračunati). Tablia 10.3 Najmanji razred tlačne čvrstoće betona f mj u trenutku (t = t j ) prednapinjanja natega Za prednapinjanje na dio sile vrijede vrijednosti u prvome stupu, pri čemu sila prednapinjanja u svakoj natezi ne smije premašiti 30 % najveće dopuštene sile za tu nategu. Ukoliko se ispitivanjima dokaže da u trenutku prednapinjanja tlačna čvrstoća daje vrijednost koja se nalazi između vrijednosti navedenih u tablii, dopušteno je silu prednapinjanja linearno interpolirati između 30 % najveće sile i 100 % sile na koju se prednapinje Vođenje natega Kod definiranja vođenja natega uz statička ograničenja potrebno je uzeti u obzir i ova konstrukijska pravila: - zaštitni sloj betona: 33

34 Dostatna debljina zaštitnog sloja potrebna je zbog zaštite čelika za prednapinjanje od korozije kao i za prijenos sila. - potrebno je osigurati neosjetljivost konstrukije na dimenzijska odstupanja: Osnovni kriterij dobrog vođenja natega je jasno prepoznavanje odstupanja predviđenih vrijednosti i stvarno izmjerenih. Kada je koefiijent trenja znatno veći od proračunom predviđenog, očekuju se i znatnije promjene duljine izduljenja natega. - armatura i položaj sidara (spojki): Spojke treba smjestiti u područja malih naprezanja zbog njihove male čvrstoće na zamor, a to su područja nul-momenata savijanja. Za pravilno razmještanje spojki potrebna je velika površina, jer na mjestu nastavka spojke razmiču natege i takvo vođenje često može prouzrokovati skoro entrično vođenje natega. Važno je u području oko spojke, koje treba biti gusto armirano, predvidjeti dostatne razmake za ugradnju i vibriranje betona. - momenti od prednapinjanja trebaju djelovati suprotno od opterećenja vlastitom težinom i prometom: - potrebno je pridržavati se najmanjih radijusa vođenja natega. Oštri lomovi u vođenju natega nisu mogući: - u područjima najvećih momenata, natege se smještaju što je moguće dalje uz rub poprečnog presjeka. Ovakav položaj natega osigurava sudjelovanje natega u ograničavanju širina pukotina, čak i u područjima s manjim naprezanjima, kada je ostvareno sprezanje natega s presjekom uz pomoć injektiranja ementnim mortom: - natege se najčešće polažu tako da slijede liniju parabole ili kružnie. Kod kompjutorskog proračuna moguće su i složenije krivulje. Posljednjih 90 do 100 m natege do sidra (spojki) treba voditi u pravu: - smanjenje sile prednapinjanja u uzdužnome smjeru slijedi iz naprezanja konstrukijskog elementa. Preporučuje se provesti barem 2/3 potrebnih natega za preuzimanje momenta u polju preko obje ležajne osi. Za neka od navedenih konstrukijskih pravila daju se podrobnija objašnjenja. Sva navedena pravila vrijede u slučaju kada u tehničkom dopuštenju nisu navedeni stroži kriteriji. Kod sandučastih nosača i rebrastih poprečnih presjeka natege možemo voditi zakrivljeno kroz hrptove ili ravno kroz ploče (slika 10.2). Ovdje se navode prednosti i nedostai oba rješenja. Zakrivljeno vođenje natega Prednosti: zakrivljeno vođenje natega po paraboli proizvodi konstantne skretne sile koje se izravno suprotstavljaju vanjskome kontinuiranom djelovanju oblik vođenja natege možemo prilagoditi vanjskom djelovanju, čime je moguće ekonomičnije iskorištavanje čelika moguće je polaganje duljih natega koji se protežu kroz više polja, čime se može smanjiti broj zahtjevnih sidrenih mjesta. Nedostai: potrebne su veće debljine hrptova, posebno u područjima sidrenja i spajanja natega 34

35 trenje uzrokuje relativno velike gubitke sile prednapinjanja na zakrivljenim mjestima natega. Slika 10.2 Vođenje natega zakrivljeno i ravno Ravno vođenje natega u pojasnim pločama Prednosti: natege su jednostavne pa se brže postavljaju hrptovi su oslobođeni natega te se mogu prema statičkim ili konstrukijskim razlozima izvesti tanji, što smanjuje vlastitu težinu i naprezanja od prisila za razliku od vanjskog prednapinjanja može se iskoristiti maksimalni krak sila minimalni su gubii zbog trenja zbog ravnog vođenja natega smanjivanje broja aktivnih natega prema potrebi jednostavno je izvedivo. Nedostai: ne mogu se iskoristiti skretne sile za preuzimanje dijela kontinuiranog djelovanja ravnim nategama ne stvaraju se rasterećujuće poprečne sile zbog velikih duljina nastavljanja, kod kontinuiranih nosača, povećava se utrošak čelika za prednapinjanje Dodatna načela za vanjsko prednapinjanje betonskih mostova Kod sandučastih nosača ravno vođenje naknadno napetih natega dopušteno je samo u pločama, i to u kolničkoj ploči i donjoj ploči sanduka. Kod tzv. mješovite gradnje natege se unutar presjeka vode ravno (s ostvarenim sprezanjem) i poligonalno s nategama postavljenim izvan presjeka. Najveća prednost vanjskih natega je bolja korozivna zaštita, mogućnost dotezanja, izmjene natega i kontrola. Sidrena i skretna mjesta vanjskih natega moraju se izvesti tako da omogućavaju izmjenu natega bez oštećivanja ostalih elemenata konstrukije. Poprečne vibraije vanjskih natega od prometnih opterećenja, vjetra ili drugih učinaka moraju se onemogućiti odgovarajućim rješenjima. Razmai vanjskih natega određuju se prema mogućnosti zamjene i kontrole. Skretanja natega sve do kuta od 0,0175 rad (= 1,0 ) mogu se predvidjeti bez skretnika ukoliko takav postupak nije izričito isključen u tehničkom dopuštenju postupka prednapinjanja (vidi HRN ENV , točka (104) 0,02 rad = 1,15 ). Skretnii moraju biti tako izrađeni da omogućuju kutne netočnosti u bilo kojem smjeru od najmanje 0,055 rad u oba svoja smjera bez vidljivog smanjenja učinkovitosti sidrenja. 35

36 Najmanji radijusi zakrivljenosti vanjskih natega su: - užad promjera 13 mm: 1,70 m - užad promjera 15 mm: 2,50 m. Kod ploča s dostatno učvršćenim gornjim i donjim područjem armature, debljine h 450 mm, prednapetih vanjskim nategama, dovoljno je nategu pričvrstiti na dva mjesta za jedno od područja armature i pridržavati se potrebnih udaljenosti prema sljedećem: - između dva pričvršćenja u području oslonaa 300 mm a 1000 mm - između sidra natega i veze s gornjim područjem armature a 1500 mm - između sidra natega i veze s donjim područjem armature ili između veze s gornjim i donjim područjem armature a 3000 mm. U područjima pričvršćenja vanjske natege za gornje ili donje područje armature potrebno je da gornja ili donja ploha ploče bude ravna. Sila prednapinjanja vanjske natege ne treba premašiti 3 MN. Ukupna duljina vanjske natege između sidara ne smije biti dulja od 200 m. Potrebno je posvetiti veliku pažnju ugradnji sidara, skretnika i otvora. Kod izvedbe treba provjerati visinu i položaj. Vodi se zapisnik o odstupanjima izmjerenih vrijednosti i projektom predviđenih. Ugrađene natege ne smiju nalijegati na rubove na izlasku iz presjeka. U području sidrenja vanjske natege, najmanje se na duljini od 1,00 m, vode u pravu, ukoliko tehničkim rješenjem nije navedena druga veća duljina. Svijetli razmak paralelnih vanjskih natega ili natega do susjednih konstrukijskih elemenata iznosi najmanje 8 m zbog mogućnosti kontrole. Kako bi se izbjeglo titranje natega, potrebno ih je na najvećem razmaku do 35 m pričvrstiti. Skretna i sidrena mjesta vrijede kao pričvršćenja u smislu titranja natega. Na ostalim potrebnim mjestima za pričvršćenje, rješenja su slična pridržavanju ijevi odvodnje ili sl. Kod mješovite gradnje (vanjske natege i natege unutar presjeka) udio vanjskih natega u konačnoj sili prednapinjanja u svakom presjeku treba iznositi najmanje 20 % ukupne sile prednapinjanja. Ukoliko je potrebno ugraditi i natege za poprečno prednapinjanje kolničke ploče mostova dopuštene su samo natege unutar betonskog presjeka bez sprezanja ostvarenog injektiranjem koje je moguće i zamijeniti Ojačanje konstrukije vanjskim nategama Kod mostova je potrebno predvidjeti mogućnost naknadnog ojačanja sandučastog nosača dodatnim vanjskim nategama za sile prednapinjanja od oko 3,0 MN, po svakom hrptu jednu. Kod mješovite gradnje potrebno je predvidjeti po dvije dodatne natege po hrptu. Za ugradnju dodatnih natega potrebno je predvidjeti otvore i slobodne profile. Vođenje odvodnje ili drugih instalaija potrebno je prilagoditi kasnijoj ugradnji dodatnih vanjskih natega. Potrebno je osigurati preklapanje nad ležajnim oslonima i na taj način ojačati polje po polje. 36

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 5. VJEŽBE DIMENZIONIRANJE - GSN Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI DIMENZIONIRANJE - GSN 1. Sila prednapinjanja 2. Provjera

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBG 4. STTIČKI PRORČUN STUBIŠT PROGR IZ KOLEGIJ BETONSKE I ZIDNE KONSTRUKCIJE 9 6 5 5 SVEUČILIŠTE U ZGREBU JBG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... naliza opterećenja 5 5 4 6 8 0 Slia 4..

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama

7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama 5. ožujka 2018. 7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama Primjer sloma zbog djelovanja poprečne sile SLIKA 1. T- nosač slomljen djelovanjem poprečne sile Do sloma armirano-betonske grede uslijed

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 017. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) () () 600 (B) 600 (B) 500 () 500 () SDRŽJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01... 3.1. naliza opterećenja ploče POZ 01-01...

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama:

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE BETON Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: Visoka tlačna čvrstoća (s niskim v/c odnosom) Mali iznos skupljanja

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 14. rujna 2017. Marijan Mikec SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Izrada projektno-tehničke dokumentacije armiranobetonske

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI Zakovični spojevi Zakovice s poluokruglom glavom - za čelične konstrukcije (HRN M.B3.0-984), (lijevi dio slike) - za kotlove pod tlakom (desni dio slike) Nazivni promjer (sirove)

Διαβάστε περισσότερα

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 1 -

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 1 - Betonske konstrukcije 1 - vežbe 1 - Savijanje pravougaoni presek Sadržaj vežbi: Osnove proračuna Primer 1 vezano dimenzionisanje Primer 2 slobodno dimenzionisanje 1 SLOŽENO savijanje ε cu2 =3.5ä β2x G

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

3. REBRASTI GREDNI MOSTOVI

3. REBRASTI GREDNI MOSTOVI Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu predmet: MASIVNI MOSTOVI Skripte uz predavanja 3. REBRASTI GREDNI MOSTOVI SADRŽAJ: 3. REBRASTI GREDNI MOSTOVI... 0 3.1. OPĆENITO... 1 3.2. PRORAČUN PLOČE KOLNIKA

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2017. Ivan Kovačević SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Građevinski fakultet Modul konstrukcije pismeni ispit 22. jun 2015.

Građevinski fakultet Modul konstrukcije pismeni ispit 22. jun 2015. Univerzitet u Beogradu Prethodno napregnuti beton Građevinski fakultet grupa A Modul konstrukcije pismeni ispit 22. jun 2015. 0. Pročitati uputstvo na kraju teksta 1. Projektovati prema dopuštenim naponima

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

Proračun potrebne glavne snage rezanja i glavnog strojnog vremena obrade

Proračun potrebne glavne snage rezanja i glavnog strojnog vremena obrade Zaod a tehnologiju Katedra a alatne strojee Proračun potrebne glane snage reanja i glanog strojnog remena obrade Sadržaj aj ježbe be: Proračun snage kod udužnog anjskog tokarenja Glano strojno rijeme kod

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Ponašanje PB nosača pod rastućim opt.

4 Ponašanje PB nosača pod rastućim opt. 4.1 Savijanje 4.1.1 Utjecaj prianjanja Čimbenik koji najviše utječe na to hoće li se i u kolikoj mjeri ponašanje PB nosača razlikovati pod rastućim opterećenjem od ponašanja neprednapetih nosača jest prianjanje

Διαβάστε περισσότερα

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA VIJČANI SPOJ PRIRUBNICA HRN M.E2.258 VIJCI HRN M.E2.257 BRTVA http://de.wikipedia.org http://de.wikipedia.org Prirubnički spoj cjevovoda na parnom stroju Prirubnički spoj cjevovoda http://de.wikipedia.org

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα