Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης που εξετάζουµε κάνει το καλύτερο δυνατό, όταν ακολουθήσει την στρατηγική που υπάρχει στο διάνυσµα. (β) ένα διάνυσµα στρατηγικών, τέτοιο ώστε κανείς από τους παίκτες δεν έχει κίνητρο να αλλάξει την συµπεριφορά του, δεδοµένου ότι οι υπόλοιποι παίκτες ακολουθούν τις στρατηγικές που λεει αυτό το διάνυσµα /το µερίδιο τους. Ας προσπαθήσουµε τώρα να κάνουµε µια σύγκριση της ισορροπίας κατά Nash, και της ισορροπίας σε κυρίαρχες στρατηγικές έτσι ώστε να δούµε σε τι διαφέρουν. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δυο παίκτες: [ Π 1 (S 1, S 2 ), Π 2 (S 1, S 2 )] όπου Π 1 (S 1, S 2 ) είναι το αποτέλεσµα του παίκτη 1, όταν ο παίκτης 1 ακολουθεί την στρατηγική S 1 και ο παίκτης 2 την S 2. Όµοια ισχύει και για το Π 2 (S 1, S 2 ). Ας δούµε τώρα πως ορίζεται µια ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. Μια ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές έχει τις εξής ιδιότητες: Π 1 (S 1 *, S 2 ), > Π 1 (S 1, S 2 ), S 1, S 2 Π 2 (S 1, S 2 *), > Π 2 (S 1, S 2 ), S 1, S 2 όπου (S 1 *, S 2 *) ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. 41

2 Τι µας λέει αυτή η σχέση; Τα κέρδη του παίκτη 1 όταν ακολουθεί την στρατηγική S 1 *, είναι µεγαλύτερα από τα κέρδη του όταν ακολουθεί οποιαδήποτε άλλη στρατηγική, και αυτό ανεξάρτητα από την στρατηγική που ακολουθεί ο άλλος παίκτης. ηλαδή για κάθε S 1, S 2. To ίδιο ισχύει και για τον παίκτη 2. Για κάθε στρατηγική του παίκτη 1, η S 2 * δίνει περισσότερα κέρδη στον παίκτη 2 από ότι οποιαδήποτε άλλη στρατηγική S 2. Σηµείωση: Αυτό ισχύει για κάθε S 1, S 2 ακόµα και αν S 1 =S 1 * ή S 2 =S 2 *. Το γεγονός αυτό αποδεικνύει ότι µια ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές, είναι και ισορροπία κατά Nash. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH Το (S 1 *, S 2 *) είναι ισορροπία κατά Nash αν ισχύει ότι: Π 1 (S 1 *, S 2 *) Π 1 (S 1, S 2 *), S 1 Π 2 (S 1 *, S 2 *) Π 2 (S 1 *, S 2 ), S 2 Σηµείωση: Μπορούµε να βάλουµε και ισότητα, διότι δεν είναι ανάγκη να είναι αυστηρή η ισορροπία κατά Nash. Όπως βλέπουµε, ο προσδιορισµός είναι διαφορετικός για κάθε µια σχέση. Το Π 1 (S 1 *, S 2 *) Π 1 (S 1 *, S 2 ), S 1 σηµαίνει ότι αν ο παίκτης 2 ακολουθεί την στρατηγική S 2 * στην ισορροπία κατά Nash τότε το καλύτερο που έχει να κάνει ο παίκτης 1 είναι ν ακολουθήσει την στρατηγική S 1 *. ηλαδή, τα κέρδη του ακολουθώντας την στρατηγική S 1 *, δεδοµένου ότι ο 2 ακολουθεί την στρατηγική S 2 *, είναι µεγαλύτερα από οποιαδήποτε άλλη στρατηγική. Το ίδιο πράγµα ισχύει και για τον παίκτη 2. Το παραπάνω αποτελεί µια µικρή διαφορά που µπορεί να διακρίνει κανείς στις δύο κατηγορίες ισορροπίας. Η ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές είναι πολύ πιο απαιτητική σαν ισορροπία από ότι η ισορροπία κατά Nash, διότι ισχύει για κάθε S 1, S 2. 42

3 Σηµείωση: Οι ορισµοί µπορούν να επεκταθούν για n αριθµό παικτών. Αυτό που εµείς θα πρέπει να κάνουµε είναι να κοιτάζουµε κάθε φορά τα κέρδη ενός παίκτη, δεδοµένου του τι κάνουν οι υπόλοιποι παίκτες. Ας δούµε τώρα ορισµένα παραδείγµατα προκειµένου να διαπιστώσουµε ότι ορισµένες φορές, ο αριθµός των ισορροπιών κατά Nash, είναι µεγαλύτερος από ένα. Στις περιπτώσεις αυτές θα δούµε πως επιλέγουµε την ισορροπία κατά Nash. Επιπλέον µέσα στο πλαίσιο αυτό, θα δούµε ορισµένα παίγνια (παίγνια συντονισµού) όπου η επιλογή της ισορροπίας είναι πιο εύκολη, ενώ σε ορισµένα άλλα που είναι περισσότερο παίγνια ανταγωνισµού η επιλογή µεταξύ των ισορροπιών είναι πιο δύσκολη. Παίγνιο συντονισµού Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε 2 επιχειρήσεις που αποφασίζουν ταυτόχρονα µεταξύ computer µε µικρές ή µεγάλες δισκέτες. (Β) Μ Μ (Α) Μ 1, 1-1,-1 µ -1,- 1 2, 2 Παρατηρούµε ότι αν οι δυο επιχειρήσεις συντονιστούν στην ίδια δισκέτα πετυχαίνουν κέρδη, ενώ αν διαλέξουν διαφορετικές θα έχουν απώλειες. Είναι προφανές λοιπόν ότι είναι καλύτερο να συντονιστούν σε µικρές δισκέτες, παρά σε µεγάλες (αφού τα κέρδη είναι µεγαλύτερα). Το παίγνιο αυτό είναι παίγνιο συντονισµού διότι και οι δύο εταιρείες έχουν κίνητρο να ακολουθήσουν την ίδια στρατηγική. Ας δούµε τώρα ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash αυτού του παιγνίου. Αν η εταιρεία Α, ακολουθήσει τη στρατηγική «µεγάλη δισκέτα», η Β έχει σαν καλύτερη απάντηση επίσης τη «µεγάλη δισκέτα». 43

4 Αν η Α ακολουθήσει τη στρατηγική «µικρή», η καλύτερη απάντηση της Β, είναι να υιοθετήσει και εκείνη τη «µικρή». Με την ίδια λογική, βρίσκουµε ότι αν η Β επιλέξει «µεγάλη δισκέτα» η καλύτερη απάντηση της Α είναι «µεγάλη» και αντίστοιχα για «µικρή», «µικρή». (Β) Μ Μ (Α) Μ 1, 1-1,-1 µ -1,- 1 2, 2 Από τον πίνακα βλέπουµε ότι έχουµε δύο διανύσµατα - δυο συνδυασµούς στρατηγικών που είναι ισορροπίες κατά Nash: (Μ, Μ) και (µ, µ). Το ερώτηµα που γεννάται τώρα είναι µε ποιο τρόπο θα επιλέξουµε µεταξύ των δυο αυτών ισορροπιών; Καταρχήν, µέσα στο παιχνίδι δεν υπάρχει τρόπος, να πούµε ότι η µια ισορροπία είναι πιο ισορροπία από την άλλη. Υπάρχει ένα επιχείρηµα το οποίο είναι εκτός παιγνίου. Το επιχείρηµα αυτό λέγεται focal point (σηµείο εστίασης). Και ειδικά σε αυτό το παιγνίδι είναι ξεκάθαρο πως µπορούνε οι επιχειρήσεις να πετύχουν την καλή ισορροπία. Καλή ισορροπία µε την έννοια ότι το (µ, µ) = (2, 2) δίνει και στους δύο µεγαλύτερα κέρδη από ότι η ισορροπία (Μ, Μ) = (1, 1). Focal point: είναι ένας τρόπος µε τον οποίο συντονίζονται οι παίκτες, έτσι ώστε να πετύχουν κάποια από τις ισορροπίες, όταν υπάρχουν πολλαπλές. Στο παίγνιο αυτό, βλέπουµε ξεκάθαρα ότι και οι δύο θέλουν να πάνε στο (µ, µ) διότι έχουν περισσότερα κέρδη. Οπότε λίγο πολύ µπορούµε να σκεφτούµε ότι κάθε µια εταιρεία ξέρει ότι ο αντίπαλος της έχει τις ίδιες σκέψεις στο µυαλό του, οπότε τελικά και οι δύο θα επιλέξουν 44

5 ταυτόχρονα το συνδυασµό στρατηγικών (µ, µ) και θα πετύχουν υψηλότερα κέρδη. Η ισορροπία (µ, µ) είναι καλύτερη κατά Pareto από την ισορροπία (Μ, Μ), αφού δίνει µεγαλύτερα κέρδη και στις δύο επιχειρήσεις (χωρίς να χάνει κανείς). Σηµείωση: Όλα τα δεδοµένα του πίνακα είναι γνωστά. Λέµε ότι οι ισορροπίες είναι pareto ranked. ηλαδή, µπορούν να καταταχθούν κατά Pareto όπου το (µ, µ) είναι ψηλότερο σηµείο από το (Μ, Μ). Όταν µετακινηθούµε από το (Μ, Μ) στο (µ, µ) και οι δύο παίκτες έχουν µεγαλύτερα κέρδη χωρίς να χάνει κανείς. Άρα θα επιλέξουν (µ, µ) αλλά όχι επειδή υπάρχει µέσα στο παιγνίδι. Υπάρχει µια άλλη λογική εκτός του παιγνιδιού που λέγεται focal point και η οποία είναι ένας τρόπος συντονισµού. Και ποιος είναι ο συντονισµός στην προκειµένη περίπτωση; Και οι δύο ξέρουν ότι το (µ, µ) είναι καλύτερο και για τις δύο εταιρείες. Οπότε, λίγο πολύ είναι λογικό να συντονιστούν στην καλή ισορροπία. Αυτό είναι ένα παίγνιο συντονισµού. Ας δούµε τώρα ένα παίγνιο που είναι καθαρού συντονισµού. Έστω ότι έχουµε το ίδιο παίγνιο και ότι το µόνο που αλλάζει είναι τα κέρδη στο τετράγωνο (µ, µ). (Β) Μ µ (Α) Μ 1, 1-1,-1 Μ -1,- 1 1, 1 Εδώ τα πράγµατα είναι δύσκολα. εν µπορούµε να επιλέξουµε µεταξύ των δυο ισορροπιών. Ένα τέτοιο παίγνιο λέγεται παίγνιο αµιγούς συντονισµού (pure coordination game). Εδώ, δεν υπάρχει κανένας τρόπος µε πρώτη µατιά να γίνει η επιλογή της ισορροπίας. Μπορεί όµως, να είναι τέτοια η κουλτούρα στη χώρα, όπου το µικρό να αρέσει περισσότερο, άρα τότε θα υπάρχει πάλι focal point. 45

6 Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα µε τα µεταφορικά µέσα για να καταλάβουµε περισσότερο την έννοια του focal point. ίνονται 1000 αν πούµε όλοι µαζί ταυτόχρονα το ίδιο µεταφορικό µέσο. Αυτό είναι ένα παίγνιο αµιγούς συντονισµού, µε πάρα πολλές ισορροπίες. Οποιοδήποτε µεταφορικό µέσο, αν όλοι ονοµάσουν το ίδιο (µεταφορικό µέσο) είναι µια ισορροπία. Πρέπει όλες οι στρατηγικές να είναι οι ίδιες. Το focal point είναι έξω από το παιγνίδι. Το παιγνίδι µε την δισκέτα δεν είναι αµιγούς συντονισµού, απλά παιγνίδι συντονισµού, διότι υπάρχει ένα pareto ranking µεταξύ των ισορροπιών. Στο παίγνιο: (Β) Μ µ (Α) Μ 1, 1-1,-1 Μ -1,- 1 2, 2 χωρίς το focal point, θα οδηγηθούµε σε µια ισορροπία. Το αν θα είναι το (µ, µ) ή το (Μ, Μ) δεν το ξέρουµε. Για να επανέλθουµε στο παράδειγµα, µε τα µέσα µεταφορών στην Ολλανδία αν βάλουµε µια τέτοια ερώτηση υπάρχει µια πολύ µεγάλη πιθανότητα να πούνε όλοι ποδήλατο, γιατί το ποδήλατο είναι πολύ διαδεδοµένο. Οπότε υπάρχει κάποιο focal point. Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΦΥΛΩΝ (The Battle of Sexes) Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο ερωτευµένους οι οποίοι έχουν δύο επιλογές: είτε να πάνε στις ταυροµαχίες (Τ) είτε στον χορό (Χ). (Όπως είπαµε είναι ερωτευµένοι, οπότε θέλουν να πάνε στο ίδιο µέρος.) Αν πάνε σε διαφορετικά µέρη χάνουν και οι δύο. Ο άντρας προτιµά τις ταυροµαχίες, ενώ η γυναίκα το χορό. 46

7 (Γ) Τα Χ Τ 2, 1-1,-1 Χ -1,- 1 1, 2 Αν ο άντρας επιλέξει ταυροµαχίες το καλύτερο για την γυναίκα είναι να επιλέξει ταυροµαχίες. Αν ο άντρας επιλέξει χορό το καλύτερο για την γυναίκα είναι επίσης χορός. Αν η γυναίκα επιλέξει ταυροµαχίες, το καλύτερο για τον άντρα είναι ταυροµαχίες και αντίστοιχα χορό, αν η γυναίκα επιλέξει χορό. (Γ) Τ Χ (Α) Τ 2, 1-1,-1 Χ -1,- 1 1, 2 best response function Από τον πίνακα βλέπουµε ότι υπάρχουν δύο ισορροπίες κατά Nash. Παρατηρούµε επίσης ότι δεν µπορούµε να τις ταξινοµήσουµε κατά Pareto, διότι όταν µετακινηθούµε από την µια στην άλλη, κάποιος χάνει και κάποιος κερδίζει. Άρα εδώ, δεν υπάρχει ένα ξεκάθαρο κριτήριο µε βάση το οποίο να επιλέξουµε την ισορροπία. Η ισορροπία (Τ,Τ) είναι προτιµητέα από τον άντρα και (Χ, Χ) είναι προτιµητέα από την γυναίκα. Στο παίγνιο αυτό δεν υπάρχει focal point. Υπάρχουν δύο ισορροπίες και δεν υπάρχει τρόπος να επιλεγεί µια από αυτές. Ας δούµε τώρα, τι θα συνέβαινε από άποψη ισορροπιών κατά Nash, αν το παιγνίδι άλλαζε: δηλαδή αν υπήρχε κάποιος που έπαιρνε πρώτα την απόφαση και µετά ακολουθούσε κάποιος άλλος. Αυτό που θα κάνουµε τώρα είναι να συγκρίνουµε τις ισορροπίες κατά Nash της στρατηγικής µορφής ενός παιγνίου που είναι αρχικά σε αναλυτική µορφή, µε τις ισορροπίες κατά Νash, οι οποίες 47

8 προκύπτουν από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) που είναι time consistent (διαχρονικά συνεπής). Σηµείωση: Το παιγνίδι έχει και µια τρίτη ισορροπία που είναι σε µεικτές στρατηγικές. Η ισορροπία κατά Nash δεν είναι τίποτα άλλο παρά το σηµείο τοµής των δύο best response functions. (το παίγνιο που είδαµε έχει δύο τοµές) Στο προηγούµενο παίγνιο υπάρχει διαχρονική συνέπεια: από την στιγµή που είναι ταυτόχρονη η επιλογή, υπάρχει µια χρονική στιγµή που παίζεται και τελειώνει. ιαχρονική συνέπεια σηµαίνει ότι δεν κάνει κάποιος µια απειλή σήµερα την οποία αύριο δεν θα εφαρµόσει ή στο µέλλον δεν κάνει κάτι που δεν θα ήταν λογικό να το κάνει, δεδοµένης της ιστορίας του παιγνίου. Ας δούµε τώρα ένα παράδειγµα προκειµένου να γίνει πιο κατανοητή η έννοια της διαχρονικής συνέπειας. Το πρόβληµα µε την ισορροπία κατά Nash, είναι ότι απαιτεί οι παίκτες να είναι πολύ ορθολογικοί. Να µπορούν δηλαδή, να κάνουν όλες τις σκέψεις πριν πάρουν την τελική τους απόφαση και να ξέρουν λίγο πολύ πως σκέφτεται ο άλλος. Όταν υπάρχουν πολλές ισορροπίες κατά Nash, πρέπει να βρεθούν στοιχεία εκτός παιγνίου τα οποία θα µας βοηθήσουν στην επιλογή µεταξύ των ισορροπιών. Για παράδειγµα, αν η γυναίκα είναι κυρίαρχη στο σπίτι, ως ισορροπία θα επιλεγεί το (X, X). Όπως αναφέραµε πιο πάνω υπάρχει και µια τρίτη ισορροπία που είναι σε µεικτές στρατηγικές στο παίγνιο αυτό, και η οποία είναι συµµετρική. ηλαδή µε µια πιθανότητα ο άντρας επιλέγει ταυροµαχίες και µε µια άλλη χορό. Το ίδιο κάνει και η γυναίκα. Στην περίπτωση αυτή µπορεί να προκύψει οτιδήποτε: είτε ταυροµαχία, είτε χορός, είτε οποιοσδήποτε άλλος συνδυασµός. Και αυτές οι στρατηγικές έχουν την ιδιότητα του best response (καλύτερες απαντήσεις δεδοµένου του τι κάνει ο αντίπαλος) και επιπλέον είναι και συµµετρικές. Το αποτέλεσµα όµως αυτών των στρατηγικών είναι χειρότερο από ο,τιδήποτε άλλο. ηλαδή θα βγει ένα αποτέλεσµα που είναι κοντά στο (-1,-1). 48

9 Σε προσδοκώµενους πλέον όρους, βγαίνουν αρνητικά αποτελέσµατα. Όπως είπαµε όµως αυτή είναι η τρίτη ισορροπία του παιγνίου. Ας δούµε τώρα κάτι άλλο. Ας υποθέσουµε ότι η γυναίκα αποφασίζει πρώτη και ο άντρας ακολουθεί. Θα βάλουµε ανάποδα τα αποτελέσµατα, διότι η γυναίκα είναι ο πρώτος παίκτης και ο άντρας ο δεύτερος. Για να δούµε, ποια είναι η στρατηγική µορφή αυτού του παιγνίου. Η γυναίκα έχει δυο στρατηγικές και ο άντρας τέσσερεις: (Α) Τ Τ Τ Χ Χ Τ Χ Χ ( Γ ) Τ 1, 2 1, 2-1, -1-1, -1 Χ -1, -1 2, 1-1, -1 2, 1 Ας υποθέσουµε ότι η γυναίκα επιλέγει ταυροµαχίες. Ποιες είναι οι καλύτερες απαντήσεις, που µπορεί να δώσει ο άντρας; Το Τ Τ και Τ Χ. Αν η γυναίκα επιλέξει χορός ο άντρας θα απαντήσει µε ΤΧ και ΧΧ. Αν ο άντρας επιλέξει T T, η καλύτερη απάντηση της γυναίκας είναι Τ. 49

10 Αν ο άντρας επιλέξει Τ Χ, η γυναίκα θα επιλέξει X. Αν επιλέξει ο άντρας Χ Τ, το Τ και Χ είναι το ίδιο για τη γυναίκα ενώ αν επιλέξει ο άντρας Χ Χ, η γυναίκα θα επιλέξει Χ. (Α) Τ Τα Τ Χ Χ Τ Χ Χ ( Γ ) T 1, 2 1, 2-1, -1-1, -1 Χ -1, , -1 2, 1 : Γυναίκα : Άντρας Από τον πίνακα παρατηρούµε ότι έχουµε τρεις ισορροπίες κατά Νash. Αν θυµηθούµε όταν ακολουθήσαµε το backwards induction είχαµε βρει µόνο µια ισορροπία. Είπαµε ότι αν το παιγνίδι φθάσει στο C ο άντρας θα επιλέξει ταυροµαχίες. Αν φθάσει στο D θα επιλέξει χορό. εδοµένου ότι η γυναίκα ξέρει τι θα κάνει ο άντρας στο µέλλον, θα επιλέξει χορό, συγκρίνοντας το 1 του (1, 2) µε το 2 του (2, 1). 50

11 Άρα η µόνη ισορροπία που προκύπτει από το backwards induction είναι το (Χ, Τ Χ). Σηµείωση: Υπενθυµίζουµε ότι λέµε (Τ Χ), διότι πρέπει να βάλουµε και την επιλογή του άντρα σε περίπτωση που κάνει κάποιο λάθος η γυναίκα και επιλέξει ταυροµαχίες. Άρα το (Χ, Τ Χ) είναι η ισορροπία που προκύπτει µε βάση την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction). (Η ισορροπία είναι ένα διάνυσµα στρατηγικών κι εποµένως πρέπει να εκφράζεται σε στρατηγικές). Το αποτέλεσµα του παιγνιδιού είναι: (Χ, ΤΧ) (2,1). Συνεπώς το (2, 1) είναι αποτέλεσµα και όχι ισορροπία. Ίσως στο µυαλό µας αυτή τη στιγµή να υπάρχει η απορία: γιατί να βάλουµε Τ Χ για τον άντρα; Έχουµε πει σε προηγούµενες ενότητες ότι η στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο, το οποίο προσδιορίζει µια επιλογή σε όλους τους κόµβους στους οποίους θα µπορούσε να κληθεί ένας παίκτης, να πάρει µια απόφαση. εν σηµαίνει ότι πράγµατι θα κληθεί να πάρει µια απόφαση. Παραπάνω είδαµε ότι το παίγνιο έχει τρεις ισορροπίες κατά Nash: (Τ, Τ Τ), (Χ, Τ Χ), (Χ, Χ Χ). Ας δούµε τις ιδιότητες που παρουσιάζουν οι τρεις αυτές ισορροπίες. (Χ, Τ Χ): Η ισορροπία είναι λογική διότι βγαίνει από µια ανάλυση την οποία θα κάνουν οι παίκτες στο παιγνίδι, δεδοµένου ότι πρώτα παίρνει την απόφαση της η γυναίκα και µετά ο άντρας. Τι προβλήµατα έχουν οι δύο άλλες ισορροπίες; (Χ, Χ Χ): Η γυναίκα αποφασίζει χορό και ο άντρας αποφασίζει χορό, ότι και να συµβεί! ηλαδή, ο άντρας αποφασίζει χορό, όχι µόνο όταν η γυναίκα αποφασίζει χορό, αλλά ακόµα και όταν κάνει λάθος η γυναίκα και πει ταυροµαχίες. εδοµένου ότι παρατηρεί την απόφασή της γυναίκας, ότι είναι ταυροµαχίες, το να επιλέξει χορό δεν έχει κανένα νόηµα. Είναι µια χρονική ασυνέπεια, µε την 51

12 έννοια ότι ξέρει ότι η γυναίκα έχει αποφασίσει ταυροµαχίες. Άρα δεν είναι ορθολογικός. Το λάθος είναι ότι, παρότι βλέπει ότι η γυναίκα θέλει να πάει στις ταυροµαχίες αποφασίζει να πάει στο χορό. Ο άντρας αποφασίζει κάτι που δεν έχει νόηµα. (Τ, Τ Τ): Εδώ, ο άντρας επιβάλλει βασικά αυτό που θέλει. Πως το επιβάλλει; Ουσιαστικά, εδώ πρέπει να σκεφτούµε ότι ο άντρας την πρώτη στιγµή λέει: «εγώ θα πάω στις ταυροµαχίες ό,τι και να γίνει». Η γυναίκα αν ξέρει ότι ο άντρας θα πάει στις ταυροµαχίες ότι και να γίνει, θα πάει στις ταυροµαχίες. Αυτό είναι µια απειλή. Είναι αξιόπιστη; εν είναι αξιόπιστη γιατί αν η γυναίκα αποφασίσει να πάει στον χορό, η απειλή την οποία έχει εκτοξεύσει ο άντρας, είναι µια απειλή που δεν θα την πραγµατοποιήσει. Συνεπώς εδώ έχουµε µια διαχρονική ασυνέπεια. Εποµένως η µόνη ισορροπία που είναι διαχρονικά συνεπής, είναι η (Χ, Τ Χ), η οποία είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Επανάληψη: (Τ, ΤΤ): Λέει ο άντρας την στιγµή µηδέν: «εγώ θα πάω στις ταυροµαχίες ότι και να γίνει». Αν η γυναίκα τον πιστέψει, προφανώς θα πάει στις ταυροµαχίες. Αν όµως δεν τον πιστέψει και αποφασίσει να πάει στον χορό, δεδοµένης της απόφασης της γυναίκας τι θα κάνει ο άντρας; Θα επιλέξει χορό. Άρα η απειλή αυτή δεν είναι αξιόπιστη. (Χ, Χ Χ): Αυτό το παράπτωµα είναι πιο ελαφρύ. Μια χαζοµάρα. Λέει η γυναίκα: «ας πάµε στις ταυροµαχίες». Αν γίνει αυτό, προφανώς ο άντρας δεν θα πάει στον χορό, γιατί παρατηρεί την απόφαση της γυναίκας που είναι ταυροµαχίες. Άρα, αυτό έχει ένα στοιχείο που δεν είναι ορθολογικό. Άρα το (Χ, Χ Χ) είναι µια ισορροπία κατά Nash, αλλά δεν είναι µια ισορροπία συνεπής µε την έννοια ότι περιλαµβάνει ένα στοιχείο που δεν είναι λογικό εκτός ισορροπίας. Ποτέ δεν θα φτάσει το παιγνίδι στο (c), διότι η γυναίκα θα επιλέξει χορό. Αλλά, αν θα επιλεγούν µε µια µικρή πιθανότητα οι ταυροµαχίες, τι θα συνέβαινε; Αυτή είναι η λογική! 52

13 Σηµείωση: Ουσιαστικά πολλές φορές αυτό που κάνουµε είναι το εξής. Έχουµε ένα παίγνιο, βρίσκουµε µια ισορροπία και µετά λέµε: ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µια µικρή αβεβαιότητα γύρω από το παιχνίδι. Ας υποθέσουµε µε µικρή πιθανότητα, η γυναίκα δεν είναι ορθολογική. Κάνουµε το perturbation του παιγνιδιού, και βλέπουµε αν σε αυτό το καινούριο version του παιγνιδιού συµβαίνει κάτι περίεργο. Αν συµβαίνει κάτι περίεργο, αυτό που έχουµε ορίσει ως ισορροπία του παιγνίου, δεν είναι µια λογική ισορροπία. Και εδώ, στο (Χ, Χ Χ) συµβαίνει κάτι περίεργο εκτός ισορροπίας, ενώ στο (Τ, Τ Τ) υπάρχει µια απειλή η οποία δεν είναι αξιόπιστη. Η υπόθεση µας εδώ είναι ότι οι 2 παίκτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους. Γιατί; ιότι είναι η στρατηγική µορφή του παιγνίου, και στην στρατηγική µορφή γνωρίζουµε ότι δεν υπάρχει χρόνος. Άρα, οι αποφάσεις παίρνονται ταυτόχρονα (είναι σαν να παίρνονται ταυτόχρονα). Όµως ουσιαστικά ο άντρας λέει τι θα κάνει σε περίπτωση που η γυναίκα πει ταυροµαχία ( ΟΚ) και στην περίπτωση που η γυναίκα πει χορό ( ΟΚ). Είναι σχετικά δεσµευµένη απόφαση. Για παράδειγµα το Τ Τ είναι Τ στην περίπτωση που η γυναίκα πει Τ και στην περίπτωση που η γυναίκα πει Χ. Σηµείωση: Στην ισορροπία κατά Nash, οι παίκτες σκέφτονται τι σκέφτεται ο άλλος και πριν παίξουν, έχουν κάνει µια ολόκληρη δυναµική προσαρµογή στην ισορροπία. ηλαδή ουσιαστικά πριν παιχτεί το παιγνίδι, υπάρχει µια ολόκληρη λογική που οδηγεί και συγκλίνει στην ισορροπία. Αλλά είναι thought experiment. Εδώ έχουµε τρεις ισορροπίες κατά Nash και µόνο κάτω από το κριτήριο της διαχρονικής συνέπειας επιλέγουµε την (Χ, Τ Χ). Όµως, η διαχρονική συνέπεια είναι ένα κριτήριο, το οποίο θα δούµε στη συνέχεια αν είναι αποδεχτό. ΑΠΟΤΡΟΠΗ ΕΙΣΟ ΟΥ (ΕΝΤRING DETERRENCE) Με το παράδειγµα αυτό, θα δούµε ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash αυτού του παιγνίου, καθώς και ποιες έχουν ή όχι λογική. 53

14 Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα µονοπωλητή και ένα εν δυνάµει εισερχόµενο στην αγορά. Κάθε παίκτης έχει δύο στρατηγικές: Μ ΑΠΟ ΟΧΗ ΠΟΛΕΜΟΣ ΤΙΜΩΝ Ε ΟΧΙ 0, 100 0, 100 ΕΙΣΟ ΟΣ 40, 50-10, 0 Εδώ, δεδοµένου ότι ο εν δυνάµει εισερχόµενος γνωρίζει τι θα κάνει ο µονοπωλητής όταν εισέλθει (θα αποδεχτεί), ο δυνάµει εισερχόµενος εισέρχεται οπότε (είσοδος και αποδοχή) είναι η µόνη λογική ισορροπία, η οποία προκύπτει από την µέθοδο της οπισθογενούς επαγωγής (backwards induction). Ας δούµε τώρα τι γίνεται µε τις ισορροπίες κατά Nash. Αν ο εν δυνάµει εισερχόµενος, αποφασίσει να µην εισέλθει, ο µονοπωλητής είναι αδιάφορος αν θα τον αποδεχτεί ή θα τον πολεµήσει. Αν ο εν δυνάµει εισερχόµενος εισέλθει, ο µονοπωλητής είναι καλύτερα να αποδεχτεί την 54

15 είσοδο. Αν ο µονοπωλητής αποδεχτεί την είσοδο, το καλύτερο για τον εν δυνάµει εισερχόµενο είναι να εισέλθει. Αν ο µονοπωλητής, κάνει πόλεµο τιµών, το καλύτερο είναι να µην εισέλθει. (Μ) ΑΠΟ ΟΧΗ ΠΟΛΕΜΟΣ ΤΙΜΩΝ (Ε) ΟΧΙ 0, 100 0, 100 ΕΙΣΟ ΟΣ 40, 50-10, 0 Από τον πίνακα παρατηρούµε ότι έχουµε δύο ισορροπίες κατά Nash. Η µια είναι η κλασσική (είσοδος, αποδοχή) που βρήκαµε και πριν, και η δεύτερη είναι η (όχι, πόλεµος τιµών). Που στηρίζεται αυτή η καινούρια ισορροπία κατά Nash; Για µια ακόµα φορά, στηρίζεται σε µια απειλή η οποία δεν είναι αξιόπιστη. ιότι, ο µονοπωλητής λεει: «εγώ θα κάνω πόλεµο τιµών». Άρα, το καλύτερο για τον εν δυνάµει εισερχόµενο είναι να πει: «αφού θα µου κάνει πόλεµο τιµών, καλύτερα να µην εισέλθω». Το θέµα είναι ότι, ότι όταν ήδη εισέλθει ο εν δυνάµει εισερχόµενος, ο µονοπωλητής προφανώς θα αλλάξει την πολιτική του, και θα αποδεχθεί την είσοδο. 55

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΑΓΟΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Α: «Τέλειος» ανταγωνισµός A1. Το υπόδειγµα των εγχειριδίων Στον Πλούτο των Εθνών (1776) ο Adam Smith παρουσίασε το φηµισµένο πλέον επιχείρηµά του

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================

Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ============================================================== Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Παιγνίων Παύλος Σ. Εφραιμίδης Περιεχόµενα Τι είναι η θεωρία παιγνίων Ο ρόλος ενός µαθηµατικού µοντέλου Το δίληµµα του φυλακισµένου Σηµείο ισορροπίας Nash Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων (game theory) µας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΡ 6 στατιστική έρευνα του cosmicway.net

ΣΚΟΡ 6 στατιστική έρευνα του cosmicway.net ΣΚΟΡ 6 στατιστική έρευνα του cosmicway.net Το σκορ-6 τείνει να γίνει το πιό δηµοφιλές ιπποδροµιακό στοίχηµα. εν είναι υπερβολή ότι το σκορ-6 είναι το µόνο παιχνίδι που µπορεί να σας επιτρέψει να «νικήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Extensive Games with Imperfect Information

Extensive Games with Imperfect Information Extensive Games with Imperfect Information Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εκτεταµένα παίγνια µε ατελή πληροφόρηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού

Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ολιγοπώλιο Μεταξύ του µονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισµού Ο ατελής ανταγωνισµός αναφέρεται σε εκείνες τις δοµές µ της αγοράς που κυµαίνονται µεταξύ του τέλειου ανταγωνισµού και του µονοπωλίου. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

οποία ερχόµενη πίσω από τη γραµµή εκκίνησης κτυπήσει την αριθµηµένη µπίλια.

οποία ερχόµενη πίσω από τη γραµµή εκκίνησης κτυπήσει την αριθµηµένη µπίλια. ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΟΚΤΑΜΠΑΛΟ 1. Σκοπός του παιχνιδιού. Το παιγνίδι παίζεται µε δηλωµένα χτυπήµατα και παίζεται µε µια άσπρη µπίλια και δεκαπέντε αριθµηµένες µπίλιες από το 1 ως το 15. Ο ένας παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Η ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ Στον Προσκοπισµό οι νέοι έχουν την ευκαιρία να αποκτήσουν µια σειρά από εµπειρίες που συµβάλλουν στην φυσιολογική

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Μικροοικονοµική Θεωρία Θεωρία Χρησιµότητας και Προτιµήσεων. Καταναλωτικές Προτιµήσεις: Βασικά Αξιώµατα. Συνολική και οριακή χρησιµότητα Καµπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καµπύλη χρησιµότητας. Ιστορική Αναδροµή

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΕΟ 23 ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ ΑΜ.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΕΟ 23 ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ ΑΜ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΕΟ 23 ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΟΙΤΗΤΗ ΑΜ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Εισαγωγή....σελ. 2 2.Παρουσίαση του προϊόντος......σελ. 2 3.Μείγµα µάρκετινγκ...σελ. 3 4.Τµηµατοποίηση-Στόχευση-Τοποθέτησης...σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων Οργάνωση καθημερινών ημερίδων 1) Αγώνες ζευγών 1α) Διαθέσιμες κινήσεις: Φιλοσοφία, μηχανισμοί και τα χαρακτηριστικά τους. Οι κινήσεις είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία που έχει ένας διαιτητής στη διάθεσή

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητήστε τις ευκαιρίες. Του ρα Κώστα Γ. Κονή*

Αναζητήστε τις ευκαιρίες. Του ρα Κώστα Γ. Κονή* Αναζητήστε τις ευκαιρίες Του ρα Κώστα Γ. Κονή* Ένα απο τα κύρια χαρακτηριστικά της επιχειρηµατικότητας και των επιτυχεµµένων επιχειρηµατιών είναι η ικανότητα τους να εντοπίζουν και να αξιοποιούν ευκαιρίες.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ

ΘΕΜΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 4 η ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΠΟΕ-ΟΤΑ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 14 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 1. Απεργιακές κινητοποιήσεις. Ν.Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΣ: Συνάδελφοι, πριν ένα τέταρτο βγήκαµε µε κοινή δήλωση στα κανάλια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΝΙΚΟΥ ΑΝ ΡΟΥΛΑΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΤΟΥ ΠΑΣΟΚ ΣΤΟΝ «REAL FM»

ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΝΙΚΟΥ ΑΝ ΡΟΥΛΑΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΤΟΥ ΠΑΣΟΚ ΣΤΟΝ «REAL FM» ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΟΣΙΑΛΙΣΤΙΚΟ ΚΙΝΗΜΑ ΧΑΡ. ΤΡΙΚΟΥΠΗ 50 10680 ΑΘΗΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ TΗΛ. (210)3665311-12 FAX: (210)3665115 e-mail : pressoffice1@pasok.gr Αθήνα, 5 Νοεµβρίου 2013 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΝΙΚΟΥ ΑΝ ΡΟΥΛΑΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑ

Διαβάστε περισσότερα

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου ιδακτικό υλικό µαθητή παράθυρα Κατά τη διάρκεια της µελέτης µας γράφουµε και διαβάζουµε, απλώνοντας πάνω στο γραφείο τετράδια και βιβλία. Ξεκινώντας ανοίγουµε αυτά που µας ενδιαφέρουν πρώτα και συνεχίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο Μέσο Σταθµισµένο Κόστος Κεφαλαίου (WACC), Ελεύθερες Ταµειακές Ροές (FCF) και Αποτίµηση (Valuation) 9.1. Εισαγωγή Μέχρι τώρα αναφερθήκαµε στο κόστος κεφαλαίου µε τη γενικότερη µορφή του και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για. την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών.

Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για. την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών. Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών. 1. Ταξινόµ ηση. Ηλικία: 5-7 ετών. Σκοπός: Να διερευνήσουµε πώς το παιδί ταξινοµεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Θεωρία Χρησιµότητας και Συµπεριφοράς του Καταναλωτή Εισαγωγή: Όπως γνωρίζουµε, το οικονοµικό πρόβληµα εστιάζεται στην αποτελεσµατική κατανοµή των ανεπαρκών οικονοµικών πόρων στις εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΤΑ Επιχειρησιακή Νοηµοσύνη. Ενότητα: Bc1.1.6 Παρακολούθηση (monitoring) εκτέλεσης Επιχειρησιακών Διαδικασιών και εξαγωγή «µετρήσιµων» (metrics)

ΟΤΑ Επιχειρησιακή Νοηµοσύνη. Ενότητα: Bc1.1.6 Παρακολούθηση (monitoring) εκτέλεσης Επιχειρησιακών Διαδικασιών και εξαγωγή «µετρήσιµων» (metrics) ΟΤΑ Επιχειρησιακή Νοηµοσύνη Ενότητα: Bc1.1.6 Παρακολούθηση (monitoring) εκτέλεσης Επιχειρησιακών Διαδικασιών και εξαγωγή «µετρήσιµων» (metrics) Πρακτική Άσκηση (επίπεδο 2): Η άσκηση ζητά να εκτελεσθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αποτροπή Εισόδου και Οριακή Τιμολόγηση

Αποτροπή Εισόδου και Οριακή Τιμολόγηση Αποτροπή Εισόδου και Οριακή Τιμολόγηση - Στη βραχυχρόνια περίοδο, υποθέτουμε ότι το πλήθος των επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά ενός αγαθού παραμένει σταθερό. - Αντίθετα, στη μακροχρόνια περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Άλλος ένας χάρτης- µάθηµα, που χειρίζεται δύο βασικά θέµατα: - Το θέµα των υποδοχών, αµοιβαίων ή µεικτών, και - Το θέµα του χρονικού προσδιορισµού.

Άλλος ένας χάρτης- µάθηµα, που χειρίζεται δύο βασικά θέµατα: - Το θέµα των υποδοχών, αµοιβαίων ή µεικτών, και - Το θέµα του χρονικού προσδιορισµού. Άλλος ένας χάρτης- µάθηµα, που χειρίζεται δύο βασικά θέµατα: - Το θέµα των υποδοχών, αµοιβαίων ή µεικτών, και - Το θέµα του χρονικού προσδιορισµού. Με αυτόν τον ωριαίο χάρτη επιβεβαιώνεται, ακόµα µια φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος

Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος 1.1 Ορισµός του Προβλήµατος Υποθέτουµε ότι έχουµε 1000 δοχεία τα οποία περιέχουν κόκκινες και µαύρες µπάλες µε συγκεκριµένους συνδυασµούς. Ονοµάζουµε: α) τα δοχεία που περιέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα: Εγκλεισμός

Δραστηριότητα: Εγκλεισμός Δραστηριότητα: Εγκλεισμός Ηλικίες στις οποίες έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία: Προαπαιτούμενες Ικανότητες: Χρόνος: Εστίαση Μέγεθος Ομάδας 11 - ενήλικες Καμία Τι είναι αλγόριθμος Αλγόριθμοι αναζήτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Η Πετυχηµένη Προσέγγιση του Πελάτη

Η Πετυχηµένη Προσέγγιση του Πελάτη Η Πετυχηµένη Προσέγγιση του Πελάτη Κώστας ούνας Εµπορικός ιευθυντής Medihelm AE Αλλάζοντας τις αντιλήψεις µας, αλλάζει η συµπεριφορά µας και αλλάζουν βελτιώνονται τα αποτελέσµατα µας! κερδοφορίας του φαρµακείου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

--------------------------------------

-------------------------------------- ------------------------------------- Project Brief Ανάπτυξη ηλεκτρονικής εκπαιδευτικής εφαρμογής -------------------------------------- 1 Στόχοι / Overview 1. Περιγράψτε με λίγα λόγια το έργο. Ποιοι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. 9.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. 9.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.1 Εισαγωγή Η βιώσιµη ανάπτυξη είναι µία πολυδιάστατη έννοια, η οποία αποτελεί µία εναλλακτική αντίληψη της ανάπτυξης, µε κύριο γνώµονα το καθαρότερο περιβάλλον και επιδρά στην

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων ιδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΠΑΧΟΥΣ ΥΑΛΟΣΤΑΣΙΩΝ Πολύ συχνά οι κατασκευαστές υαλοστασίων έχουν βρεθεί µπροστά στο δίληµµα για το ποιό πάχος γυαλιού θα έπρεπε να επιλέξουν για κάποια κατασκευή από τζάµι. Οι προβληµατισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστικές δοµές και συναίσθηµα Ειδικές Πηγές: Το φαινόµενο πολυπλοκότητας ακρότητας (Linville, 1982)

Γνωστικές δοµές και συναίσθηµα Ειδικές Πηγές: Το φαινόµενο πολυπλοκότητας ακρότητας (Linville, 1982) 91 στόχους µας και εποµένως δεν µας προκαλείται διέγερση και ούτε έντονο συναίσθηµα («σε συµπαθώ, αλλά δεν είµαι ερωτευµένος µαζί σου»). Τέλος, υπάρχει και η περίπτωση του «µαζί δεν κάνουµε και χώρια δεν

Διαβάστε περισσότερα

. ΚΟΥΛΟΧΕΡΗΣ. Ασφάλεια Μεταφορών Επικίνδυνων Εµπορευµάτων στην Ελλάδα

. ΚΟΥΛΟΧΕΡΗΣ. Ασφάλεια Μεταφορών Επικίνδυνων Εµπορευµάτων στην Ελλάδα . ΚΟΥΛΟΧΕΡΗΣ Το θέµα που θα αναπτύξω έχει σχέση µε τα οχήµατα µεταφοράς επικινδύνων εµπορευµάτων. Θα µου επιτρέψετε να κάνω µια πολύ συνοπτική ιστορική αναδροµή. Καταρχήν, όταν λέµε όχηµα εννοούµε το πλήρες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αναδημοσίευση από τις παρουσιάσεις Α) Η ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΕΘΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ T SWOT ANALYSIS - Μάθημα: Πολεοδομική και Οικιστική Ανάπτυξη και Πολιτική Β) Βαγής Σαμαθρακής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΝΑΡΚΩΤΙΚΩΝ. 5.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΝΑΡΚΩΤΙΚΩΝ. 5.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΝΑΡΚΩΤΙΚΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στην ενότητα αυτήν θα παρουσιάσουµε µία αναλυτική περιγραφή της γνώµης των Ευρωπαίων πολιτών σχετικά µε τα ναρκωτικά. Καθώς είναι γνωστό, στις µέρες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΩΛΗΣΕΩΝ

Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΙΙ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Παρασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος

Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Αξιολόγηση Επενδύσεων ιαχρονική Αξία Χρήµατος Βασικά Σηµεία ιάλεξης Ορισµός Επένδυσης Μελλοντική Αξία Επένδυσης Παρούσα Αξία Επένδυσης Αξιολόγηση Επενδυτικών Έργων Ορθολογικά Κριτήρια Μέθοδος της Καθαρής

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 Διάλεξη 6 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 1 Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέχρι στιγμής το μονοπώλιο έχει θεωρηθεί σαν μια επιχείρηση η οποία πωλεί το προϊόν της σε κάθε πελάτη στην ίδια τιμή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα