εννοιολογικές παρανοήσεις και δυσκολίες στην έννοια της συνάρτησης

Transcript

1 εννοιολογικές παρανοήσεις και δυσκολίες στην έννοια της συνάρτησης ί ί

2 η έννοια της συνάρτησης: παρανοήσεις και δυσκολίες η έννοια της συνάρτησης είναι µια πολύ δύσκολη έννοια πλήθος ερευνών 1973 Freudenthal 1978 Janvier 1982 Tall & Vinner 1993 Dubinsky, Sfard, Sierpinska

3 η έννοια της συνάρτησης: παρανοήσεις και δυσκολίες επιστηµολογική πολυµορφία αναπαραστατική πολυπλοκότητα ευρύ εννοιολογικό πεδίο πλήθος χρήσεων διδακτική προσέγγιση

4 η θέση της συνάρτησης στο Α.Π. βασική έννοια συναρτησιακές σχέσεις από το Δηµοτικό (προβλήµατα πολλαπλασιασµού) τυπική εµφάνιση της έννοιας στο Γυµνάσιο µε µελέτη συναρτησιακών σχέσεων του Δηµοτικού επέκταση και διεύρυνση του εννοιολογικού πεδίου στο Λύκειο

5 η θέση της συνάρτησης στα Μαθηµατικά κεντρικός και ενοποιητικός ρόλος πολλαπλές χρήσεις: ανάλυση και µοντελοποίηση φαινοµένων και σχέσεων σύγκριση δοµών στοιχεία δοµών πράξεις σε δοµές.

6 η ιστορική εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης ποσότητα αποτελούµενη από µεταβλητή και σταθερές (Bernoulli) αναλυτική έκφραση που αποτελείται µε οποιοδήποτε τρόπο από τη µεταβλητή ποσότητα και αριθµούς ή σταθερές ποσότητες (Euler) αναλυτική συνάρτηση µιας µεταβλητής (Lagrange)

7 η ιστορική εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης κάθε αυθαίρετη καµπύλη µπορεί να αναπαρασταθεί από µία τριγωνοµετρική σειρά (Fourier) το y είναι συνάρτηση του x αν υπάρχει ένας κανόνας που για κάθε τιµή του x µας δίνει µία µοναδική τιµή του y (Dirichlet) η πρώτη συνάρτηση που έχει άπειρα σηµεία ασυνέχειας η πρώτη συνάρτηση που ορίζεται µέσω σειράς, είναι συνεχής και δεν έχει πουθενά παράγωγο

8 η ιστορική εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης συνολοθεωρητικός ορισµός της συνάρτησης ως: ειδική περίπτωση απεικόνισης, αντιστοιχίας, σχέσης, γράφηµα, υποσύνολο του ΑxΒ {(x, y)/ x A, y B, x 1 =x 2 y 1 =y 2 } (Peano, Bourbaki)

9 επιστηµολογική πολυπλοκότητα ανάλογα µε το πλαίσιο που δουλεύουµε η συνάρτηση µπορεί να θεωρηθεί ως: σχέση, απεικόνιση µετασχηµατισµός αντικείµενο οι αναπαραστάσεις και οι διαδικασίες είναι διαφορετικές και επιβάλλουν ή απαιτούν διαφορετικές αντιλήψεις: σηµειακή επεξεργασία τοπική αντίληψη γραφικής παράστασης οι πράξεις στο δεξί µέλος µιας αναλυτικής έκφρασης αντίληψη πράξης / ενέργειας για τη συνάρτηση

10 αναπαραστατική πολυπλοκότητα τρεις αναπαραστάσεις για τη συνάρτηση: τύπος γραφική παράσταση πίνακας τιµών κάθε µορφή αναπαράστασης αναδεικνύει διαφορετικές πληροφορίες, απαιτεί διαφορετική "ανάγνωση", έχει άλλες γνωστικές απαιτήσεις

11 αναπαραστατική πολυπλοκότητα η µετάβαση από τον έναν τύπο στον άλλο δεν είναι αυτόµατη κάθε τύπος αναπαράστασης "αναπαριστά" κάποια στοιχεία της συνάρτησης κανένας τύπος αναπαράστασης δεν "αναπαριστά" πλήρως τη συνάρτηση, δεν στέκει στη θέση της

12 δυσκολίες και εννοιολογικές παρανοήσεις προαπαιτούµενες και προϋπάρχουσες γνώσεις και αντιλήψεις επιστηµολογικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης αναπαραστατικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης οργάνωση και περιορισµός του εννοιολογικού πεδίου

13 προαπαιτούµενες και προϋπάρχουσες γνώσεις και αντιλήψεις γενικές: κανονικότητα µορφών ορισµός / περιγραφή µαθηµατικού αντικειµένου ειδικές: µεταβλητή / άγνωστος αριθµός / ποσότητα συναρτησιακές / αιτιώδεις σχέσεις

14 επιστηµολογικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης ταύτιση αναπαράστασης µε τη συνάρτηση σχέση ανεξάρτητης / εξαρτηµένης µεταβλητής εστίαση στην εξαρτηµένη µεταβλητή εστίαση στην ανεξάρτητη µεταβλητή εστίαση στην καµπύλη

15 αναπαραστατικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης ταύτιση αναπαράστασης µε τη συνάρτηση ταύτιση συνάρτησης µε τον τύπο γεωµετρική αντίληψη της γραφικής παράστασης απαραίτητο στοιχείο στον τύπο µιας συνάρτησης να υπάρχει το x

16 οργάνωση και περιορισµός του εννοιολογικού πεδίου ειδικές συναρτήσεις υπεροχή των συναρτήσεων που ορίζονται από αναλυτικούς τύπους διαπραγµάτευση της συνέχειας σε ειδικές µορφές και κυρίως µόνο σε συνεχή πεδία ορισµού µη πλήρεις ορισµοί / περιγραφές χρήση όρων "µηχανή" και "κανόνας"

17 παραδείγµατα αντιλήψεων πρέπει να υπάρχει τύπος δύο συναρτήσεις µε τον ίδιο τύπο και διαφορετικό πεδίο ορισµού θεωρούνται ως ίδια συνάρτηση κανονικός και οµαλός τρόπος αναπαράστασης, κυρίως γραφικής υποχρεωτική µεταβολή στην ανεξάρτητη µεταβλητή

18 παραδείγµατα αντιλήψεων ταύτιση της συνάρτησης µε τον τύπο της (π.χ. συνάρτηση είναι το x 2 ) ταύτιση της έννοιας µε το γνωστό πλάτος της έννοιας συνάρτηση µε µη συνεχές γράφηµα δεν θεωρείται συνεχής (π.χ. η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση y=x, x N)

19 παραδείγµατα αντιλήψεων γεωµετρική αντίληψη - 30% από το 0 ως το Γ είναι αύξουσα από το Γ ως το Δ φθίνουσα.

20 παραδείγµατα αντιλήψεων Πολυωνυµική αντίληψη - 35% Η συνάρτηση είναι συνεχής και έχει παράγωγο σε όλα τα σηµεία εκτός από το x o, έχει µέγιστο στο x 1

21 παραδείγµατα αντιλήψεων συναρτησιακή αντίληψη 30% Η συνάρτηση έχει µέγιστο στο (x 0, y 0 ).

22 παραδείγµατα αντιλήψεων {(x, 2x), x R} Συνάρτ. Όχι συν. 75% 25% {(1,3),(2,5),(3,4)} 65% 35% {(x,y)/ x N, y=1} 60% 40% M. Thomas, 2003