COVER. The 43rd International Physics Olympiad Experimental Competition. Tartu, Estonia Thursday, July 19 th 2012

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "COVER. The 43rd International Physics Olympiad Experimental Competition. Tartu, Estonia Thursday, July 19 th 2012"

Transcript

1 COVER The 43rd International Physics Olympiad Experimental Competition Tartu, Estonia Thursday, July 19 th 2012 Η εξέταση διαρκεί 5 ώρες. Αποτελείται από 2 προβλήματα συνολικά 20 μονάδων. Υπάρχουν 2 πίνακες στη διάθεση σας (σας 2 γειτονικά σας cubicles), η πειραματική διάταξη του προβλήματος E1 είναι πάνω στο ένα τραπέζι κι η πειραματική διάταξη του E2 βρίσκεται στο άλλο τραπέζι. Μπροείτε να κινείστε ελέυθερα στο χώρο μεταξύ των πειραματικών σας διατάξεων. Όμως δεν επιτρέπεται να κινείτε οποιοδήποτε όργανο της μιας πειραματικής διάταξης στο τραπέζι της άλλης. Αρχικά τα πειραματικά όργανα στο ένα τραπέζι είναι καλυμένα και στο άλλο βρίσκονται μέσα σε ένα κουτί. Εσείς δεν πρέπει ούτε να ξεσκεπάσετε την μια πειραματική διάταξη ούτε να ανοίξετε το κουτί της άλλης ούτε να ανοίξετε το φάκελο με τα προβλήματα πριν ακούσετε το ηχητικό σήμα έναρξης του πειραματικού μέρους του διαγωνισμού (υπάρχουν 3 σύντομα ηχητικά σήματα). Δεν επιτρέπεται να φύγεται από τον χώρο εξετασης χωρίς άδεια. Εάν θέλετε όποιαδηποτε βοήθεια (χαλασμένη υπολογιστική, ανάγκη επίσκεψης στην τουαλέτα, κλπ.) παρακαλείστε να ανυψώσετε το σημαιάκι ανταπόκρισης «HELP» ή «TOILET» (με το μακρί χερούλι που βρίσκεται στο κάθισμα σας) πάνω από το κουτί με τα υλικά σας και να το κρατήσετε μέχρι ένα από τα μέλη της οργανωτικής επιτροπής να φτάσει κοντά σας. Να χρησιμοποιείτε μόνο τη μπροστινή πλευρά των φύλλων του τετραδίου σας. Για κάθε πρόβλημα, υπάρχουν αντίστοιχα Φύλλα Απαντήσεων (δείτε την επικεφαλίδα και το pictogramme). Να γράφετε τις απαντήσεις στο αντίστοιχο Φύλλο Απαντήσεων. Για κάθε πρόβλημα, το Φύλλο Απαντήσεων είναι αριθμημένο, να χρησιμποποιείτε τα φύλλα, βάση της αρίθμησης τους. Φροντίστε πάντα να σημειώνετε ξεκάθαρα το Τμήμα του Προβλήματος και την Ερώτηση στην οποία αναφέρεται η απάντησή σας. Να αντιγράφετε τις τελικές απαντήσεις σας μέσα στο αντίστοιχο κουτάκι των Φύλλων Απαντήσεων Υπάρχουν ακόμη Πρόχειρα φύλλα, να τα χρησιμοποιείτε για να γράφετε ότιδηποτε δεν θέλετε να βαθμολογηθεί. Εάν γράψετε κάτι το οποίο δεν θέλετε να βαθμολογηθεί στο Φύλλο Απαντήσεων (όπως αρχικές και λανθασμένες λύσεις) πρέπει να τα διαγράψετε. Εάν χρειάζεστε περισσότερα Φύλλα Απαντήσεων για ένα ορισμένο πρόβλημα, παρακαλείστε όπως αναυψώσετε το σημαιάκι «HELP» και πείτε σε ένα μέλος της οργανωτικής επιτροπής τον αριθμό του προβλήματος και θα σας δωθούν δύο φύλλα απαντήσεων (αυτό μπορείτε να το κάνετε περισσότερο από μία φορά) Πρέπει να χρησιμοποιήσετε όσο το δυνατόν λιγότερο κείμενο: προσπαθήστε να εξηγήσετε τη λύση σας κυρίως με εξισώσεις, αριθμούς, σύμβολα και διαγράμματα. Αποφύγετε άσκοπες κινήσεις κατά τη διάρκεια της πειραματικής εξέτασης και μην διαταράσσετε τα τοιχώματα του χώρου εξέτασής σας. Το πείραμα με το laser σταθερότητα. Μην κοιτάτε την ακτίνα της δέσμης laser ή τις αντανακλάσεις της! Μπορεί να προκαλέσετε μόνιμη ζημιά στην όρασή σας. Το πρώτο μονό ηχητικό σήμα σας λέει ότι έχουν μείνει 30 λεπτά για την επίλυση του προβλήματος, το δεύτερο διπλό ηχητικό σήμα σημαίνει ότι έχουν απομείνει 5 λεπτά, το τρίτο τριπλό σήμα ήχου χαρακτηρίζει το τέλος της επίλυσης του χρόνου. Μετά από το τρίτο ηχητικό σήμα πρέπει να σταματήσετε αμέσως. Να βάλετε όλα τα φύλλα στο φάκελο που βρίσκεται στο γραφείο σας. Δεν επιτρέπεται να πάρετε οποιοδήποτε φύλλο της εξέτασης από το δωμάτιο. Εάν έχετε τελειώσει την επίλυση πριν από το τελικό σήμα ήχου, παρακαλείστε να ανυψώσετε το σημαιάκι σας. Page 1 of 6

2 PROBLEM Problem E1 Πρόβλημα E1. Η μαγνητική διαπερατότητα του νερού (10 μονάδες) Η επίδραση του μαγνητικού πεδίου στα περισσότερα υλικά (με εξαίρεση τα φερρομαγνητικά) είναι εξαιρετικά ασθενής. Αυτό οφείλεται στο ότι η πυκνότητα ενέργειας του μαγνητικού πεδίου σε υλικά με σχετική μαγνητική διαπερατότητα μ δίνεται από 1 2 τον τύπο w = Β, και, τυπικά, η τιμή του μ είναι πολύ 2 μμ 0 κοντά στη μονάδα. Όμως, με κατάλληλες πειραματικές τεχνικές είναι ξεκάθαρα παρατηρήσιμη. Σε αυτό το πρόβλημα θα μελετήσουμε την επίδραση του μαγνητικού πεδίου, που δημιουργείται από μόνιμο μαγνήτη Νεοδυμίου, στο νερό. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα για τον υπολογισμό της μαγνητικής διαπερατότητας του νερού. Δεν σας ζητείται να υπολογίσετε οποιαδήποτε σφάλματα σε αυτό το πρόβλημα και δε χρειάζετε να λάβετε υπόψη σας την επίδραση της επιφανειακής τάσης. Η πειραματική διάταξη αποτελείται από μια βάση στήριξης 1 (οι αριθμοί με χρωματική επισήμανση αντιστοιχούν στους αριθμούς του σχήματος), ένα ψηφιακό βερνιέρο 3, ένα δείκτη laser 4, ένα δοχείο με νερό 5 και ένα κυλινδρικό μόνιμο μαγνήτη 7 μέσα στο νερό (ο μαγνήτης είναι αξονικά μαγνητισμένος). Το δοχείο με το νερό παραμένει σταθερό στη βάση του συστήματος στήριξης λόγω της έλξης του μαγνήτη. Το laser είναι στερεωμένο στο βερνιέρο, η βάση του οποίου είναι στερεωμένη στη βάση στήριξης. Ο βερνιέρος επιτρέπει στο laser να μετατοπίζεται οριζόντια. Το κουμπί on off στο laser μπορεί να κρατηθεί πατημένο με τη βοήθεια του άσπρου κωνικού σωλήνα 13. Το βάθος του νερού πάνω από τον μαγνήτη θα πρέπει να είναι επαρκώς κοντά στο 1 mm (εάν το νερό είναι πιο ρηχό η επιφάνεια του θα καμπυλωθεί έντονα και θα είναι δύσκολο να πάρετε μετρήσεις από την οθόνη). Ένα ποτήρι με νερό 15 και μία σύριγγα 16 μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ρυθμίσετε το επίπεδο του νερού (για να ανεβάσετε το επίπεδο του νερού κατά 1 mm, προσθέστε 13 ml νερού). Το τετραγωνισμένο χαρτί 2 (η «οθόνη») πρέπει να στερεωθεί κάθετα στην κατακόρυφη επιφάνεια της βάσης στήριξης με ένα μικρό μαγνητάκι 14. Εάν η κηλίδα από το laser στην οθόνη γίνεται θολή είτε έχει μεγάλη διασπορά, ελέγξετε την επιφάνεια του νερού για πιθανή σκόνη (και φυσήξτε την για φύγει). η ανακλώσα δέσμη laser προσπίπτει στην οθόνη, το 11 είναι η LCD οθόνη του βερνιέρου, το 10 είναι το κουμπί του βερνιέρου που μετατρέπει τις μονάδες μέτρησης από mm σε ίντσες και αντίστροφα, το 8 είναι ο διακόπτης on off και το 9 είναι το κουμπί που καθορίζει την αρχή μέτρησης του βερνιέρου. Κάτω από το laser, υπάρχει ακόμη ένα κουμπί του βερνιέρου, το οποίο προσωρινά επανακαθορίζει την αρχή (εάν το πατήσετε ακούσια, πατήστε ακόμη μία φορά για να επιστρέψει στην κανονική ρύθμιση μέτρησης). Αριθμητικές τιμές για τους υπολογισμούς: η οριζόντια απόσταση μεταξύ του κέντρου του μαγνήτη και της οθόνης που προσπίπτει η ανακλώσα δέσμη laser είναι L0 = 490mm. Ελέγξτε (και ρυθμίστε, εάν χρειάζεται) τη στοίχιση του κέντρου του μαγνήτη σε σχέση με τις δύο κάθετες διευθύνσεις. Ο κάθετος άξονας του μαγνήτη πρέπει να τέμνεται από την δέσμη του laser καθώς επίσης και με τη μαύρη γραμμή 12 του κουτιού που περιέχει το νερό και τους μαγνήτες. Η μαγνητική επαγωγή σε ύψος 1 mm από την επίπεδη επιφάνεια του μαγνήτη, στη διεύθυνση του άξονα του, είναι B0 = 0.50T, η πυκνότητα του νερού είναι ρw = 1000 kg/m 3, η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9.8m/s 2 και η μαγνητική διαπερατότητα στο κενό είναι μ0 = 4π 10 7 H/m. ΠΡΟΕΙΔΟΠΟΙΗΣΕΙΣ: o Η κατεύθυνση του Laser είναι προκαθορισμένη, μην την μετακινήσετε! o Μην κοιτάζεται απευθείας στη δέσμη του laser είτε στην ανάκλαση της από το νερό! o Μην προσπαθήσετε να μετακινήσετε τον ισχυρό μαγνήτη του Νεοδύμιου! o Μην τοποθετήσετε μαγνητικά υλικά κοντά στο μαγνήτη! o Κλείνετε το laser όταν δεν το χρησιμοποιείται, η μπαταρία του διαρκεί μόνον 1 h! Μέρος A. Ποιοτικό σχήμα της επιφάνειας του νερού (1 μονάδα) Όταν ένας κυλινδρικός μαγνήτης τοποθετηθεί κάτω από την επιφάνεια του νερού, τότε προκαλείται καμπυλότητα της επιφάνειας του νερού. Παρατηρείστε την καμπυλότητα στην επιφάνεια ακριβώς πάνω από το μαγνήτη βασισμένοι στο προφίλ των ανακλάσεων της δέσμης laser και, με βάση την παρατήρηση σας, αποφασίστε αν το νερό είναι διαμαγνητικό υλικό (δηλαδή υλικό με μ<1) ή παραμαγνητικό υλικό (δηλαδή υλικό με μ>1). Οι υπόλοιποι αριθμοί στο σχήμα είναι: το 6 είναι το σημείο όπου page 2 of 6 Γράψτε την σωστή απάντηση στο Φύλο των Απαντήσεων σας συμπληρώνοντας επίσης και την αντίστοιχη ανισότητα μ>1 ή μ<1. Για τη συγκεκριμένη απάντηση χρειάζεται μόνο ποιοτική παρατήρηση και όχι ποσοτική με πράξεις. Μέρος B. Ακριβές σχήμα της επιφάνειας του νερου (7 μονάδες) Η καμπυλότητα της επιφάνειας του νερού μπορεί να βρεθεί με μεγάλη ακρίβεια μετρώντας την ανάκλαση της δέσμης του laser στην επιφάνεια. Χρησιμοποιώντας αυτή τη διαδικασία θα

3 PROBLEM Problem E1 υπολογίσουμε την επίδραση του βάθους του νερού κατά μήκος της οριζόντιας θέσης πάνω από το μαγνήτη. i. (1.6 μονάδες) Να μετρήσετε την επίδραση του ύψους y=f(x) της κουκίδας από τη δέσμη laser συναρτήσει της ένδειξης του βερνιέρου x (βλ. σχήμα). Χρησιμοποιήστε όλο το ωφέλιμο εύρος του βερνιέρου. Καταγράψτε τα αποτελέσματα στον πίνακα του Φύλλου Απαντήσεων. ii. (0.7 μονάδες) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση y=f(x). iii. (0.7 μονάδες) Χρησιμοποιώντας την παραπάνω γραφική παράσταση, προσδιορίστε την γωνία a0 που σχηματίζει μια ακτίνα της δέσμης του laser και η οριζόντια περιοχή της επιφάνειας του νερού. Σημειώστε ότι η κλιση (εφβ ή tanβ) της επιφάνειας του νερού μπορεί να εκφραστεί ως: tan β β 2 cos a 2 0 y y0 ( x x0 ) tan a0 L + x x Όπου y0 είναι το ύψος του ίχνους του laser στην οθόνη όταν η ακτίνα ανακλάται από από την επιφάνεια του νερού κατά τον άξονα του μαγνήτη και x0 η αντίστοιχη θέση του βερνιέρου. 0 0 iv. (1.4 μονάδες) Υπολογίστε τις τιμές της κλίσης και συμπληρώστε τις στον πίνακα του Φύλου Απαντήσεων σας. Μπορείτε να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σας αν αντικαταστήσετε κάποιους συνδυασμούς όρων της έκφρασης του προηγούμενου βήματος με τιμές που θα πάρετε από την προηγούμενη γραφική παράσταση. v. (1.6 μονάδες) Υπολογίστε το ύψος της επιφάνειας του νερού σε σχέση με την επιφάνεια του νερού σε σημεία μακρυά από το μαγνήτη σαν συνάρτηση της οριζόντιας θέσης x και συμπληρώστε το στον πίνακα του Φύλου Απαντήσεων. vi. (1 μονάδες) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του προηγούμενου ερωτήματος. Υποδείξτε στο γράφημα αυτό την περιοχή όπου η δέσμη του laser κτυπάει την επιφάνεια του νερού κατευθείαν πάνω από το μαγνήτη. Μέρος Γ. Μαγνητική διαπερατότητα (2 μονάδες) Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Μέρους Β, υπολογίσετε την τιμή του μ 1, όπου μ η σχετική μαγνητική διαπερατότητα του νερού. Γράψτε την τελική σας σχέση και το αριθμητικό σας αποτέλεσμα στο Φύλο Απαντήσεων. page 3 of 6

4 PROBLEM Problem E2 Πρόβλημα Ε2. Μη γραμμικό Μαύρο Κουτί (10 μονάδες) Σε απλά προβλήματα, θεωρούμε ότι τα ηλεκτρικά κυκλώματα αποτελούνται από εξαρτήματα με γραμμική απόκριση, εξαρτήματα δηλαδή στα οποία τα ηλεκτρικά μεγέθη είναι ανάλογα το ένα του άλλου. Παραδείγματα τέτοιων εξαρτημάτων είναι η Ωμική Αντίσταση (V = RI), η Χωρητικότητα ενός πυκνωτή (Q = CV) και η Αυτεπαγωγή ενός πηνίου (V = LI), όπου τα μεγέθη R, C και L είναι σταθερές. Σε αυτό το πρόβλημα, όμως, εξετάζουμε ένα κύκλωμα που περιέχει στοιχεία με μη γραμμική απόκριση, κλεισμένα σε ένα «Μαύρο Κουτί», για τα οποία η υπόθεση της γραμμικότητας παύει να ισχύει. Η πειραματική διάταξη αποτελείται από ένα πολύμετρο (επιγράφεται ως IPhO measure ), μια πηγή ρεύματος, ένα μαύρο κουτί που περιέχει μη γραμμικά στοιχεία, και τέσσερα καλώδια σύνδεσης, οι ακροδέκτες των οποίων είναι αλληλοσυνδεόμενοι. Προσέξτε να μην παραβιάσετε τη σφραγίδα του Μαύρου Κουτιού. Το πολύμετρο μπορεί να μετρήσει ένταση του ρεύματος και τάση ταυτόχρονα. Μπορείτε να καταγράψετε μέχρι και 2000 μετρήσεις, κάθε μια από τις οποίες περιλαμβάνει: α) την Τάση V, β) την Ένταση I, γ) την Ισχύ P = IV, δ) την αντίσταση R = V/I, ε) την Παράγωγο V της Τάσης V, ως προς το χρόνο, στ) την Παράγωγο İ της Έντασης I ως προς το χρόνο και ζ) το χρόνο t. Δείτε το εγχειρίδιο οδηγιών για λεπτομέρειες. Αν καταγράψετε περισσότερες από 2000 μετρήσεις, οι πιο παλιές θα διαγραφούν. IN A OUT V GND Αντίσταση με μη γραμμική σχέση τάσης έντασης [η ένταση I είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου με I(0) = 0]. Αντίστοιχα, η (διαφορική) χωρητικότητα του πυκνωτή C(V ) = dq/dv δεν είναι εντελώς σταθερή. - + I=6mA U=-612.5mV mV Current source Θεωρούμε την τάση του μαύρου κουτιού θετική όταν το δυναμικό του κόκκινου ακροδέκτη είναι υψηλότερο από το δυναμικό του μαύρου. Θετική τάση επιτυγχάνεται όταν συνδέονται οι ομόχρωμοι ακροδέκτες μαύρου κουτιού και πηγής ρεύματος (επιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε αρνητικές τάσεις). + - C(V) Black box Nonlinear device Multimeter Ο πυκνωτής στο Μαύρο Κουτί μπορεί με ασφάλεια να εκφορτιστεί είτε βραχυκυκλώνοντας τα άκρα του, ή συνδέοντάς τον στους ακροδέκτες IN και OUT του Η Πηγή Συνεχούς Ρεύματος παρέχει ρεύμα σταθερής πολύμετρου: η εσωτερική αντίσταση του πυκνωτή είναι έντασης με την προϋπόθεση ότι η τάση στα άκρα της αρκετά μεγάλη ώστε να μην προκληθεί ζημιά εξ αιτίας κυμαίνεται μεταξύ των τιμών V και V. Όταν του ρεύματος. δε λειτουργεί, η Πηγή Συνεχούς Ρεύματος Δεν σας ζητείται να υπολογίσετε οποιαδήποτε σφάλματα σε συμπεριφέρεται σας μια μεγάλη (πρακτικά άπειρη) αυτό το πρόβλημα. αντίσταση. Μέρος Α. Κύκλωμα χωρίς επαγωγή (7 μονάδες) Στο Μέρος αυτό, κλείστε το διακόπτη του Μαύρου Το Μαύρο Κουτί περιέχει έναν Πυκνωτή διπλής στρώσης Κουτιού (πιέζοντας το I ), για να απομονώσετε το πηνίο. (που είναι ένας ελαφρώς μη γραμμικός πυκνωτής Παρακαλώ λάβετε υπόψη σας ότι μερικές από τις μεγάλης χωρητικότητας), ένα άγνωστο Στοιχείο μη μετρήσεις είναι ιδιαίτερα χρονοβόρες, συνεπώς κρίνεται γραμμικής συμπεριφοράς και μια αυτεπαγωγή L = 10μH σκόπιμο να διαβάσετε όλα τα πειραματικά βήματα που αμελητέας αντίστασης, με δυνατότητα προσθαφαίρεσης πρέπει να εκετελέσετε στο Μέρος Α για να αποφύγετε από το κύκλωμα με χρήση του διακόπτη, όπως φαίνεται άσκοπο κόπο. στο σχήμα. Το μη γραμμικό Στοιχείο μπορεί να θεωρηθεί ως i. (1 μονάδα) Επιβεβαιώστε ότι το ρεύμα εξόδου της Πηγής είναι περίπου 6mA και προσδιορίστε το εύρος page 4 of 6

5 PROBLEM Problem E2 τιμών του για τιμές τάσης από 0 ως 480 mv. Σχεδιάστε τις συνδέσεις του κυκλώματος. ii. (1.2 μονάδες) Δείξτε ότι η (διαφορική) χωρητικότητα C(V) του Μαύρου Κουτιού είναι περίπου 2F μετρώντας την τιμή της για μια τιμή της τάσης δικής σας επιλογής C(V0)= C0. Σχεδιάστε τις συνδέσεις του κυκλώματος. iii. (2.2 μονάδες) Αγνοώντας τη μη γραμμική συμπεριφορά της χωρητικότητας [C(V) C0], προσδιορίστε τη χαρακτηριστική καμπύλη έντασης τάσης του μη γραμμικού στοιχείου του Μαύρου Κουτιού. Στο Φύλλο Απαντήσεων σχεδιάστε την καμπύλη I(V) για μετρήσιμες τιμές θετικής τάσης στο Μαύρο Κουτί. Σχεδιάστε τις συνδέσεις του κυκλώματος. iv. (2.6 μονάδες) Χρησιμοποιώντας πειραματικές τιμές από όλο το εύρος μετρήσιμων τιμών, βρείτε και σχεδιάστε την καμπύλη C(V) για μετρήσιμες θετικές τιμές τάσης του Μαύρου Κουτιού. Γράψτε τις ακραίες τιμές της (διαφορικής) χωρητικότητας Cmin, Cmax. Σχεδιάστε τις συνδέσεις του κυκλώματος. Μέρος Β. Κύκλωμα με επαγωγή (3 μονάδες) Συμπεριλάβετε την αυτεπαγωγή στο κύκλωμα ανοίγοντας το διακόπτη του Μαύρου Κουτιού (πιέζοντας το 0 ). Χρησιμοποιώντας μέθοδο ίδια με αυτή του ερωτήματος A iii, μετρήστε και σχεδιάστε τη χαρακτηριστική καμπύλη έντασης τάσης του μη γραμμικού στοιχείου. Περιγράψτε τις όποιες σημαντικές διαφορές μεταξύ των γραφημάτων των Μερών Α και Β και προτείνετε μια εξήγηση γι αυτές, χρησιμοποιώντας ποιοτικά επιχειρήματα. Σημείωση: θα πρέπει να γνωρίζετε ότι το μη γραμμικό στοιχείο έχει στην πραγματικότητα μια δεύτερη χωρητικότητα (περίπου 1 nf), η οποία είναι παράλληλα συνδεδεμένη με τη μη γραμμική Αντίσταση. IPhO measure: Σύντομο Εγχειρίδιο Χρήσης. Η συσκευή IPhO measure είναι ένα πολύμετρο ικανό να μετρά ταυτόχρονα τάση V και ένταση I. Καταγράφει επίσης τις τιμές της παραγώγου της τάσης V και της έντασης I ως προς το χρόνο t, οι οποίες συμβολίζονται με V και İ αντίστοιχα, το γινόμενό τους P = VI, το λόγο τους R = V/I, και τη χρονική στιγμή t της μέτρησης. Οι αποθηκευμένες μετρήσεις ομαδοποιούνται σε ξεχωριστά Σύνολα. Κάθε αποθηκευμένο δείγμα αριθμείται βάσει του αριθμού s του συνόλου στο οποίο ανήκει (S) και της τιμής ενός μετρητή (n) εντός του συνόλου. Όλες οι μετρήσεις καταγράφονται σε μια εσωτερική μνήμη flash και μπορούν να ανακτηθούν και να παρουσιαστούν στην οθόνη αργότερα. Ηλεκτρική συμπεριφορά Η συσκευή συμπεριφέρεται σαν ένα αμπερόμετρο και ένα βολτόμετρο που συνδέονται όπως στο σχήμα. IN A OUT Multimeter Εύρος Εσωτερική Αντίσταση Βολτόμετρο V 1 MΩ Βολτόμετρο V 57 kω Αμπερόμετρο A 1 Ω Βασική χρήση Πιέστε το διακόπτη POWER για να θέσετε το IPhOmeasure σε λειτουργία. Σε αυ τη τη φάση η συσκευή δεν πραγματοποιεί μετρήσεις. Για να ξεκινήσει η μετρητική διαδικασία πατήστε START. Εναλλακτικά, στη φάση V GND αυτή μπορείτε να ανακτήσετε προηγούμενες μετρήσεις σας (βλ. παρακάτω). Για να ανακτήσετε αποθηκευμένα σύνολα μετρήσεων πατήστε PREVIOUS ή NEXT. Πατώντας παρατεταμένα μεταβαίνετε από ένα σύνολο σε άλλο. Σε φάση που η συσκευή δεν καταγράφει μετρήσεις πιέστε το START για να αρχίσει η καταγραφή ενός νέου Συνόλου. Σε φάση που η συσκευή καταγράφει μετρήσεις πιέστε SAMPLE για να αποθηκεύσετε ένα σύνολο δεδομένων (δηλ. τις τρέχουσες τιμές). Σε φάση που η συσκευή καταγράφει μετρήσεις, μπορείτε να εμφανίσετε άλλα σύνολα μετρήσεων του τρέχοντος συνόλου, πατώντας PREVIOUS ή NEXT. Πατήστε STOP για να ολοκληρώσετε ένα σύνολο και να σταματήσετε τις μετρήσεις. Η συσκευή είναι ακόμη σε λειτουργία, οπότε μπορείτε είτε να ξεκινήσετε καινούργια μέτρηση, ή να ανακτήσετε αποθηκευμένες μετρήσεις. Πατώντας POWER θέτετε τη συσκευή εκτός λειτουργίας. Στην οθόνη θα εμφανιστεί το κείμενο my mind is going.... Δε χρειάζεται να ανησυχήσετε! Όλες οι μετρήσεις σας θα αποθηκευθούν και θα μπορείτε να τις ανανκτήσετε ξαναθέτοντας τη συσκευή σε λειτουργία. Τα αποθηκευμένα δείγματα δε διαγράφονται. page 5 of 6

6 PROBLEM Problem E2 Οθόνη Το απεικονιζόμενο δείγμα αποτελείται από εννέα μεταβλητές: 1. Αύξων Αριθμός n του δείγματος στο σύνολο, 2. Αύξων Αριθμός s του συνόλου, 3. Χρονική στιγμή t από την έναρξη του συνόλου, 4. Ένδειξη βολτομέτρου V, 5. Ρυθμός μεταβολής της τάσης V (η χρονική παράγωγος V ). Αν η παράγωγος δε μπορεί να υπολογιστεί αξιόπιστα λόγω διακυμάνσεων, εμφανίζεται η ένδειξη +nan/s, 6. Ένδειξη αμπερομέτρου I, 7. Ρυθμός μεταβολής της έντασης I (η χρονική παράγωγος İ). Αν η παράγωγος δε μπορεί να υπολογιστεί αξιόπιστα λόγω διακυμάνσεων, εμφανίζεται η ένδειξη +nan/s, 8. Γινόμενο P = VI, 9. Λόγος R = V/I. Αν κάποια τιμή βρίσκεται εκτός του επιτρεπόμενου εύρους, εμφανίζεται η ένδειξη +inf or inf. page 6 of 6

7 The 43 rd International Physics Olympiad July 2012 Grading scheme: Experiment General rules This grading scheme describes the number of points allotted for the design of the experiments, measurements, plotting, and formulae used for calculations. In the case of a formula, points are allotted for each term entering it. If a certain term of a useful formula is written incorrectly, 0.1 is subtracted for a minor mistake (eg. missing non-dimensional factor); no mark is given if the mistake is major (with non-matching dimensionality). Points for the data measurements and calculations are not given automatically: the data which are clearly wrong are not credited. If the numerical data miss units, but the units can be guessed, 25% of points will be subtracted for the corresponding line in this grading scheme (rounded to one decimal place). The same rule applies if there is a typo with units with a missing or redundant prefactor (millli-, micro-, etc); no mark is given if the mistake is dimensional (e.g Ampere instead of Volt). No penalty is applied in these cases when a mistake is clearly just a rewriting typo (i.e. when there is no mistake in the draft). No penalty is applied for propagating errors unless the calculations are significantly simplified (in which case mathematical calculations are credited partially, according to the degree of simplification, with marking granularity of 0.1 pts). page 1 of 4

8 Problem E1. The magnetic permeability of water (10 points) Part A. Qualitative shape of the water surface (1 points) Correct choice (B or D) 0.5 pts; Correct sign (µ < 1) 0.5 pts; Part B. Exact shape of the water surface (7 points) i. (1.6 pts) Data Sufficient number of reasonably accurate ±2 mm data points: (n 9)/10 pts but 0 and pts; (-0.1 if there is a sign error throughout the whole measurements) Sufficient range of horizontal displacements: (x 45 mm)/50 rounded to one decimal but 0 and pts. ii. (0.7 pts) Graph Axes supplied with units 0.1 pts; Data points correctly plotted 0.4 pts; (each clearly wrong point on graph: 0.1 pt down to total 0) More densely spaced data points in the regions of fast change 0.2 pts. iii. (0.7 pts) Angle ( 38 ) Idea: using the flat regions far from the magnet 0.5 pts if the central part of the magnet is used: 0.1 Correct value: ±5 / ±10 / > /0.1/0 pts; iv. (1.4 pts) Calculated table According to the number of correctly calculated data points: 0.1n up to n = 10; (n 10) rounded down one decimal place for n > 10 (but 1.4); v. (1.6 pts) Height profile Idea of calculation: integration of surface slope 0.7 pts (if not stated but used correctly: full marks) x multiplied by mean slope at that interval 0.3 pts For n correctly calculated data points: n/30 pts (but no more than 0.6; rounded down to one decimal place). vi. (1 pt) Graph Units on axes 0.1 pts Data points correctly plotted 0.4 pts (each clearly wrong point on graph: 0.1 pt down to total 0) Correct qualitative shape: height difference in wings less than the 20% of maximum variation) 0.1 pts flat central region: the water level height variation in the region spanning ±10 mm around the magnet s axis is less than 20 µm) 0.2 pts Magnet indicated correctly: (width 24 mm ± 2 mm) 0.1 pts Part C. Magnetic permeability (2 points) symmetrically positioned 0.1 pts Concept of equipotentiality 0.8 pts Formula correctly includes magnetic energy 0.4 pts Formula correctly includes gravitational energy 0.2 pts height at the middle corrected for the integration error 0.2 pts Value calculated correctly from the existing data 0.1 pts Value: magnitude correct within 50% 0.2 pts (no marks if not obtained from the experimental data) correct sign 0.1 pts page 2 of 4

9 Problem E2. Nonlinear Black Box (10 points) Part A. Circuit without inductance (7 points) Typical I(V ) and C(V ) curves can be found in solutions file and sample filled-in answer sheets. Because I(V ) and C(V ) curves shape, typical capacitance, I 0 and V max varies a bit from one setup to another, reference curves for particular setup can be acquired for grading when deemed necessary. For each question, if the position of the switches on the circuit diagram is not indicated, take -0.1 pts from the marks for the circuit. i. (1 pt) Correct circuit 0.3 pts Measurements that cover 0 V to 480 mv 0.3 pts (unless only one data point) Correct value I min (±0.4 ma) 0.2 pts Correct value I max (±0.4 ma) 0.2 pts In case of (single) measurement without the black box: Circuit diagram 0.1 pts Measurement with the correct result 0.1 pts If only I min, I max together with a correct scheme documented, 0.7 pts in total; if only I min, I max, 0 pts in total; if a scheme without the black box and a single I measurement, 0.2 pts in total. (-0.1 for measuring voltage on ammeter + black box) Realising that I c = C 0 V 0.2 pts Using the fact that I c = I 0 when V = V max 0.2 pts Correct result 0.1 pts linear extrapolation to obtain V at V = V max 0.2 pts Three or more measurements 0.2 pts iii. (2.2 pts) For method: If charging the capacitor: Correct circuit 0.2 pts (-0.1 for measuring voltage on ammeter + black box) (-0.1 for wrong polarity of the black box) Realising that I(V ) = I 0 C 0 V 0.2 pts If discharging the capacitor: Correct circuit (there are several) 0.2 pts (-0.1 for wrong polarity of the black box) Realising that I(V ) = C 0 V 0.2 pts For measurements: Total # of data correct data points 10 n < 15; 15 n < 20; n /0.2/0.3 pts ii. (1.2 pts) Measuring C 0 at V = 0 Correct circuit 0.2 pts (-0.1 for measuring voltage on ammeter + black box) (-0.1 for wrong polarity of the black box) Realising that I c = C 0 V 0.2 pts Using the fact that I c = I 0 when V = pts Correct result 0.2 pts -0.1 for error between ±30% and ±50% linear extrapolation to obtain V at V = pts Alternatively instead of the last line Three or more measurements 0.2 pts Precharging the capacitor to a negative voltage 0.2 pts Alternate solution C 0 at V max Additionaly for correct data points: In range 0mV - 80mV at least 4/5 data pts 0.1/0.2 pts In range 80mV - 200mV at least 4/5 data pts 0.1/0.2 pts In range 200mV - 400mV at least 3 data pts 0.1 pts In range 400mV - 550mV at least 4/5 data pts 0.1/0.2 pts For plotting: Units on axes 0.1 pts Data points correctly plotted 0.4 pts (each clearly wrong point on graph: 0.1 pt down to total 0) Correct qualitative shape 0.3 pts (single maximum, single minimum with flat bottom, followed by fast rise) Correct circuit 0.2 pts page 3 of 4

10 iv. (2.6 pts) Correct circuit 0.2 pts (-0.1 for measuring voltage on ammeter + black box) (-0.1 for wrong polarity of the black box) Idea to use the reverse cylce to pt iii 0.4 pts Writing the lin. eq for finding C(V ) 0.4 pts (No pts if only one Eq.) Expressing from there C(V ) 0.1 pts Idea to use the same voltages for both cycles 0.4 pts (0.3 pts if intermediate values read from graph) For plotting: Units on axes 0.1 pts Data points correctly plotted 0.4 pts (each clearly wrong point on graph: 0.1 pt down to total 0) For correct data points: In range 0mV - 80mV at least 4 data pts 0.1 pts In range 80mV - 200mV at least 4 data pts 0.1 pts In range 200mV - 400mV at least 3 data pts 0.1 pts In range 400mV - 550mV at least 4 data pts 0.1 pts For finding C max and C min : Finding reasonable C max 0.1 pts Finding reasonable C min 0.1 pts Part B. Circuit with inductance (3 points) For correct data points: In range 0mV - 80mV at least 4 data pts 0.1 pts In range 80mV - 200mV at least 4 data pts 0.1 pts In range 200mV - 400mV at least 3 data pts 0.1 pts In range 400mV - 550mV at least 4 data pts 0.1 pts For plotting: Units on axes 0.1 pts Data points correctly plotted 0.4 pts (each clearly wrong point on graph: 0.1 pt down to total 0) Correct qualitative shape 0.3 pts (two sharp falls, plateau in between) For detecting differences: Correct range for V : 0.2 pts Correct cond. for I(V ) 0.5 pts Noting that we have now LC-circuit 0.2 pts Noting that neg. resist. instability 0.4 pts (or something equivalent) Mentioning emergence of oscillations 0.2 pts Noting that I(V ) is the average current 0.3 pts page 4 of 4

11 Problem E1. The magnetic permeability of water (10 points) Part A. Qualitative shape of the water surface (1 points) Observing reflections from the water surface (in particular, those of straight lines, such as the edge of a sheet of paper), it is easy to see that the profile has one minimum and has a relatively flat bottom, ie. the correct answer is Option D (full marks are given also for Option B). This profile implies that water is pushed away from the magnet, which means µ < 1 (recall that ferromagnets with µ > 1 are pulled). Part B. Exact shape of the water surface (7 points) i. (1.6 pts) The height of the spot on the screen y is tabulated below as a function of the horizontal position x of the caliper. Note that the values of y in millimetres can be rounded to integers (this series of measurements aimed as high as possible precision). x (mm) y (mm) x (mm) y (mm) x (mm) y (mm) x (mm) y (mm) ii. (0.7 pts) is essentially unperturbed; connecting the respective points on the graph, we obtain a line corresponding to a flat water surface the red line. Using these two extreme data points we can also easily calculate the angle α 0 = arctan iv. (1.4 pts) For faster calculations, y y 0 (x x 0 ) tan α 0 (appearing in the formula given) can be read from the previous graph as the distance between red and blue line; the red line is given by equation y r = y 0 + (x x 0 ) tan α 0. One can also precalculate 1 2 cos2 α The calculations lead to the following table (with z = tan β 10 5 ; as mentioned above, during the competition, lesser precision with two significant numbers is sufficient). On this graph, the data of to two different water levels are depicted; blue curve corresponds to a water depth of ca 2 mm (data given in the table above); the violet one to 1 mm. iii. (0.5 pts) If the water surface were flat, the dependence of x on y would be linear, and the tangent of the angle α 0 would be given by tan α 0 = y x, where x is a horizontal displacement of the pointer, and y the respective displacement of the spot height. For the extreme positions of the pointer, the beam hits the water surface so far from the magnet that there, the surface page 1 of 4 x (mm) z x (mm) z x (mm) z x (mm) z

12 v. (1.6 pts) The water height can be obtained as the integral h = tan βdx. Thus, we calculate the water height row-byrow, by adding to the height in the previous row the product of the horizontal displacement x i+1 x i with the average slope 1 2 (tan β i+1 + tan β i ). x (mm) h (µm) x (mm) h (µm) x (mm) h (µm) x (mm) h (µm) Note that the water level height at the end of the table should be also 0 (this corresponds also to an unperturbed region); the non-zero result is explained by the measurement uncertainties. One can improve the result by subtracting from h a linear trend x 10 mm 80 mm. 8 µm If the water level above the magnet is 1 mm, the water level descends below its unperturbed level at the axis of the magnet by ca 120 µm. vi. (1 pt) Similarly to the previous figure, blue curve corresponds to a water depth of ca 2 mm, (data given in the table above), and the violet one to 1 mm. The position of the magnet can be found by measuring the caliper (find the positions when the laser beam hits the edges of the magnet and determine the distance between these positions the result is ca 24 mm), and using the symmetry: magnet is placed symmetrically with respect to the surface elevation curve. Part C. Magnetic permeability (2 points) Water surface takes an equipotential shape; for a unit volume of water, the potential energy associated with the magnetic interaction is B2 2µ 0 (µ 1 1) B 2 1 µ 2µ 0 ; the potential energy associated with the Earth s gravity is ρgh. At the water surface, the sum of those two needs to be constant; for a point at unperturbed surface, this expression equals to zero, so B 2 µ 1 2µ 0 + ρgh = 0 and hence, µ 1 = 2µ 0 ρgh/b 2. Here, h = 120 µm stands for the depth of the water surface at the axis of the magnet; note that we have compensated the cumulative error as described at the end of the previous task and obtained h as the difference between the depth at the magnet s axis (121 µm) and the halfdepth at the right-hand-side of the graph (1 µm). Putting in the numbers, we obtain µ 1 = page 2 of 4

13 Problem E2. Nonlinear Black Box (10 points) Part A. Circuit without inductance (7 points) It is possible to make all the measurements needed for this problem with a single circuit as shown in the figure. While the current source is switched on, we are charging the capacitor in the black box, until the current I(V max ) through the nonlinear element equals to the output current I 0 of the current source. V max = 540±40mVs varies from one experimental setup to another. When the current source is switched off or disconnected, the capacitor will discharge through the nonlinear element. Multimeter IN OUT GND When the voltage on the black box is V max, the current through the nonlinear element is I 0. Switching the current source off, we will have the capacitor discharging with the same current. C 0 = I 0 / V (V = V max ) We can also measure the capacitance for any intermediate voltage as in A-iv. iii. (2.2 pts) If we neglect the nonlinearity of the capacitor, there are (at least) two ways to obtain the current voltage characteristic of the nonlinear element in the black box. Applying Kirchhoff s I law to the charging capacitor, Current source + Switch O I Switch O I Black box I(V ) = I c C 0 V (V ). An I(V ) characteristic obtained by charging the capacitor is shown on the following figure. i. (1 pt) During charging of the capacitor from V = 0 to V = V max we note that the output of the current source is constant (I 0 = 6.0 ma) close to the precision of the multimeter. ii. (1.2 pts) Using the definition of differential capacitance, we can calculate the current through the capacitor in the black box from the time derivative of the voltage on the black box. I c = dq dt = dq dv dv dt = C(V ) V There are several ways to determine the capacitance used in the black box based on chosen voltage. When the voltage on the black box is close to zero, the current through the nonlinear element is also close to zero, because I(V = 0) = 0. After switching the current source on, most of the input current I 0 will at first go through the capacitor. C 0 = I 0 / V (V = 0) Applying Kirchhoff I law to the discharging capacitor, I (ma) Part A Part B I(V ) = C 0 V (V ). This can be measured more precisely after first reversing the polarity of the current source and charging the capacitor backwards, because the multimeter does not display derivatives when they change sharply (as in few moments after switching the current source on). Example measurements taken this way follow. V (0) (mv/s) C 0 (F) C 0 = 1.74 F page 3 of V (V) iv. (2.6 pts) In order to obtain the differential capacitance, we solve a system of linear equations by eliminating I(V ): { I0 = V C(V ) + I(V ) I(V ) = V C(V ); = C(V ) = I 0 V V. Therefore we need to take measurements during both charging and discharging the capacitor in the black box at the same voltages. A graph of measurement results follows.

14 C (F) V (V) Part B. Circuit with inductance (3 points) Measuring and plotting the current voltage characteristic of the nonlinear element in the same way as in part A-iii, we obtain a graph that differs only in the negative differential resistance (I (V ) < 0) region, in our case 70 mv < V < 330 mv. This is the region where, when we look at small-signal oscillations, the nonlinear element behaves as a negative-valued Ohmic resistance. After enabling the inductance we have a LC circuit whose oscillations are amplified (instead of being dampened) by the negative differential resistance. Because the resonant frequency ω = 1 LC p 30 MHz (with C p being the capacitance of the nonlinear element) is high, we actually measure the average current through the nonlinear element, while the real current oscillates all over the region of negative differential resistance. page 4 of 4

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

the total number of electrons passing through the lamp.

the total number of electrons passing through the lamp. 1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy

Διαβάστε περισσότερα

Math221: HW# 1 solutions

Math221: HW# 1 solutions Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0. DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα IPHO_42_2011_EXP1.DO Experimental ompetition: 14 July 2011 Problem 1 Page 1 of 5 1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα Για ένα πυκνωτή χωρητικότητας ο οποίος είναι μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr 9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas 09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018

Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >

Διαβάστε περισσότερα

[1] P Q. Fig. 3.1

[1] P Q. Fig. 3.1 1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

Paper Reference. Paper Reference(s) 6665/01 Edexcel GCE Core Mathematics C3 Advanced. Thursday 11 June 2009 Morning Time: 1 hour 30 minutes

Paper Reference. Paper Reference(s) 6665/01 Edexcel GCE Core Mathematics C3 Advanced. Thursday 11 June 2009 Morning Time: 1 hour 30 minutes Centre No. Candidate No. Paper Reference(s) 6665/01 Edexcel GCE Core Mathematics C3 Advanced Thursday 11 June 2009 Morning Time: 1 hour 30 minutes Materials required for examination Mathematical Formulae

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 9 Solutions. θ + 1. θ 2 + cotθ ( ) sinθ e iφ is an eigenfunction of the ˆ L 2 operator. / θ 2. φ 2. sin 2 θ φ 2. ( ) = e iφ. = e iφ cosθ.

Problem Set 9 Solutions. θ + 1. θ 2 + cotθ ( ) sinθ e iφ is an eigenfunction of the ˆ L 2 operator. / θ 2. φ 2. sin 2 θ φ 2. ( ) = e iφ. = e iφ cosθ. Chemistry 362 Dr Jean M Standard Problem Set 9 Solutions The ˆ L 2 operator is defined as Verify that the angular wavefunction Y θ,φ) Also verify that the eigenvalue is given by 2! 2 & L ˆ 2! 2 2 θ 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

Review Test 3. MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question.

Review Test 3. MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question. Review Test MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question. Find the exact value of the expression. 1) sin - 11π 1 1) + - + - - ) sin 11π 1 ) ( -

Διαβάστε περισσότερα

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R + Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b

Διαβάστε περισσότερα

Forced Pendulum Numerical approach

Forced Pendulum Numerical approach Numerical approach UiO April 8, 2014 Physical problem and equation We have a pendulum of length l, with mass m. The pendulum is subject to gravitation as well as both a forcing and linear resistance force.

Διαβάστε περισσότερα

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1 Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

Parametrized Surfaces

Parametrized Surfaces Parametrized Surfaces Recall from our unit on vector-valued functions at the beginning of the semester that an R 3 -valued function c(t) in one parameter is a mapping of the form c : I R 3 where I is some

Διαβάστε περισσότερα

1 String with massive end-points

1 String with massive end-points 1 String with massive end-points Πρόβλημα 5.11:Θεωρείστε μια χορδή μήκους, τάσης T, με δύο σημειακά σωματίδια στα άκρα της, το ένα μάζας m, και το άλλο μάζας m. α) Μελετώντας την κίνηση των άκρων βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Srednicki Chapter 55

Srednicki Chapter 55 Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Exercise Sheet 5

Solutions to Exercise Sheet 5 Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X

Διαβάστε περισσότερα

Pg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is

Pg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =

Διαβάστε περισσότερα

ST5224: Advanced Statistical Theory II

ST5224: Advanced Statistical Theory II ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. ίνεται ότι το πλάτος µιας εξαναγκασµένης µηχανικής ταλάντωσης µε απόσβεση υπό την επίδραση µιάς εξωτερικής περιοδικής δύναµης είναι µέγιστο.

3. ίνεται ότι το πλάτος µιας εξαναγκασµένης µηχανικής ταλάντωσης µε απόσβεση υπό την επίδραση µιάς εξωτερικής περιοδικής δύναµης είναι µέγιστο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example:

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example: UDZ Swirl diffuser Swirl diffuser UDZ, which is intended for installation in a ventilation duct, can be used in premises with a large volume, for example factory premises, storage areas, superstores, halls,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Written Examination. Antennas and Propagation (AA ) April 26, 2017.

Written Examination. Antennas and Propagation (AA ) April 26, 2017. Written Examination Antennas and Propagation (AA. 6-7) April 6, 7. Problem ( points) Let us consider a wire antenna as in Fig. characterized by a z-oriented linear filamentary current I(z) = I cos(kz)ẑ

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C An alcoholometer is a device that measures the concentration of ethanol in a water-ethanol mixture (often in units of %abv percent alcohol by volume). The depth to which an alcoholometer sinks in a water-ethanol

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.

Διαβάστε περισσότερα

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with Week 03: C lassification of S econd- Order L inear Equations In last week s lectures we have illustrated how to obtain the general solutions of first order PDEs using the method of characteristics. We

Διαβάστε περισσότερα

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013 The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O Q1. (a) Explain the meaning of the terms mean bond enthalpy and standard enthalpy of formation. Mean bond enthalpy... Standard enthalpy of formation... (5) (b) Some mean bond enthalpies are given below.

Διαβάστε περισσότερα

Surface Mount Multilayer Chip Capacitors for Commodity Solutions

Surface Mount Multilayer Chip Capacitors for Commodity Solutions Surface Mount Multilayer Chip Capacitors for Commodity Solutions Below tables are test procedures and requirements unless specified in detail datasheet. 1) Visual and mechanical 2) Capacitance 3) Q/DF

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Variational Wavefunction for the Helium Atom

Variational Wavefunction for the Helium Atom Technische Universität Graz Institut für Festkörperphysik Student project Variational Wavefunction for the Helium Atom Molecular and Solid State Physics 53. submitted on: 3. November 9 by: Markus Krammer

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

Aluminum Electrolytic Capacitors (Large Can Type)

Aluminum Electrolytic Capacitors (Large Can Type) Aluminum Electrolytic Capacitors (Large Can Type) Snap-In, 85 C TS-U ECE-S (U) Series: TS-U Features General purpose Wide CV value range (33 ~ 47,000 µf/16 4V) Various case sizes Top vent construction

Διαβάστε περισσότερα

PhysicsAndMathsTutor.com 1

PhysicsAndMathsTutor.com 1 PhysicsAndMathsTutor.com 1 Q1. The magnetic flux through a coil of N turns is increased uniformly from zero to a maximum value in a time t. An emf, E, is induced across the coil. What is the maximum value

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Aluminum Electrolytic Capacitors

Aluminum Electrolytic Capacitors Aluminum Electrolytic Capacitors Snap-In, Mini., 105 C, High Ripple APS TS-NH ECE-S (G) Series: TS-NH Features Long life: 105 C 2,000 hours; high ripple current handling ability Wide CV value range (47

Διαβάστε περισσότερα

Spherical Coordinates

Spherical Coordinates Spherical Coordinates MATH 311, Calculus III J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2011 Spherical Coordinates Another means of locating points in three-dimensional space is known as the spherical

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds! MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.

Διαβάστε περισσότερα

D Alembert s Solution to the Wave Equation

D Alembert s Solution to the Wave Equation D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. www.cms.org.cy

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ www.cms.org.cy ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ

Διαβάστε περισσότερα