ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Πέµπτη 26 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλα τα πρώτα (µέγιστα) ιδεώδη του δακτυλίου Z n. Λύση. (1) Θα προσδιορίσουµε πρώτα όλα τα ιδέωδη του δακτυλίου Z n. Υπενθυµίζουµε πρώτα ότι : «αν R είναι ένας δακτύλιος και I είναι ένα ιδεώδες του R, τότε τα ιδεώδη του δακτυλίου πηλίκο R/I είναι της µορφής J/I, όπου J είναι ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε : I J», ϐλέπε Άσκηση 10 του Φυλλαδίου 10. Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων Z n = Z/nZ έπεται ότι τα ιδεώδη του δακτυλίου Z/nZ είναι της µορφής J/nZ όπου J είναι ένα ιδεώδες του Z έτσι ώστε nz J Γνωρίζουµε όµως ότι τα ιδεώδη του Z είναι τα εξής : και άρα τα ιδεώδη του Z/nZ είναι της µορφής : Επειδή kz, k = 0, 1, 2, 3, kz/nz, k 0, και nz kz nz kz n kz n = k m, για κάποιο m Z k n καταλήγουµε ότι τα ιδεώδη του δακτυλίου Z/nZ είναι τα εξής : kz/nz, όπου k n (2) Ενα ιδεώδες kz/nz του Z/nZ είναι µέγιστο, αντίστοιχα πρώτο, αν και µόνον αν ο δακτύλιος πηλίκο Z/nZ / kz/nz = Z/kZ = Z k είναι σώµα, αντίστοιχα ακέραια περιχή, όπου παραπάνω χρησιµοποιήσαµε το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών για ακτυλίους. Οµως ο δακτύλιος Z k είναι σώµα αν και µόνον αν ο δακτύλιος Z k είναι ακέραια περιοχή αν και µόνον αν ο αριθµός k είναι πρώτος. Συνοψίζοντας ϑα έχουµε ότι τα πρώτα ιδεώδη του δακτυλίου Z/nZ συµπίπτουν µε τα µέγιστα ιδεώδη και είναι τα εξής : kz/nz, όπου k n και k είναι πρώτος ηλαδή, τα πρώτα ιδεώδη του δακτυλίου Z/nZ συµπίπτουν µε τα µέγιστα, και είναι τα εξής : d 1 Z/nZ, d 2 Z/nZ,, d m Z/nZ, όπου d 1, d 2,, d m είναι όλοι οι πρώτοι διαιρέτες του n

2 2 Τέλος µέσω του ισοµορφισµού f : Z/nZ Z n, f(k + nz) = [k] n τα ιδεώδη d i Z/nZ, 1 i m, του δακτυλίου Z/nZ αντιστοιχούν µε τα ιδεώδη f(d i Z/nZ) = [d i ] n, τα οποία συµπίπτουν µε τις κυκλικές υποοµάδες [d i ] n της κυκλικής οµάδας Z n, οι οποίες παράγονται από τα στοιχεία [d i ] n. Υπενθυµίζουµε ότι η τάξη της κυκλικής οµάδας [d i ] n είναι n d i, 1 i m. Άρα τα πρώτα ιδεώδη του δακτυλίου Z n συµπίπτουν µε τα µέγιστα ιδεώδη και είναι τα εξής : [p] n, όπου p είναι πρώτος διαιρέτης του n όπου [p] n είναι η κυκλική υποοµάδα της Z n, τάξης n p, η οποία παράγεται από την κλάση [p] n του διαιρέτη p του n. Ασκηση 2. (1) Βρείτε όλα τα πρώτα ιδεώδη και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου Z 12. (2) Βρείτε όλα τα πρώτα ιδεώδη και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου Z 2 Z 2. (3) Βρείτε ένα µέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου Z Z. (4) Βρείτε ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου Z Z το οποίο να µην είναι µέγιστο. (5) Βρείτε ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου Z[t] το οποίο να µην είναι µέγιστο. (6) Βρείτε ένα µη τετριµµένο γνήσιο ιδεώδες 1 του δακτυλίου Z Z το οποίο να µην είναι πρώτο. Λύση. (1) Από την προηγούµενη Άσκηση 1 ϑα έχουµε ότι τα µέγιστα ιδεώδη του Z 12 = Z/12Z συµπίπτουν µε τα πρώτα ιδεώδη και είναι τα εξής : kz/12z, όπου 12Z kz και k είναι πρώτος διαιρέτης του 12 Άρα k = 2, 3 και εποµένως τα πρώτα = µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου Z/12Z είναι τα εξής : 2Z/12Z και 3Z/12Z Εποµένως στον δακτύλιο Z 12 τα πρώτα = µέγιστα ιδεώδη είναι τα εξής : [2] 12 και [3] 12 όπου [2] 12 και [3] 12 είναι οι κυκλικές υποοµάδες, τάξης 6 και 4 αντίστοιχα, της οµάδας Z 12 οι οποίες παράγονται από τα στοιχεία [2] 12 και [3] 12. (2) Εύκολα ϐλέπουµε ότι όλα τα ιδεώδη του Z 2 Z 2 είναι τα εξής : {([0] 2, [0] 2 )} = {[0] 2 } {[0] 2 }, {[0] 2 } Z 2, Z 2 {[0] 2 }, Z 2 Z 2 Επειδή τα πρώτα και µέγιστα ιδεώδη ενός δακτυλίου είναι εξ ορισµού γνήσια, και επειδή το µηδενικό ιδεώδες ενός δακτυλίου είναι µέγιστο (πρώτο) αν και µόνον αν ο δακτύλιος είναι σώµα (ακέραια περιοχή), το ιδεώδες Z 2 Z 2 δεν είναι πρώτο ούτε µέγιστο. Επίσης επειδή ο δακτύλιος Z 2 Z 2 περιέχει διαιρέτες του µηδενός (π.χ. ([1] 2, [0] 2 ) ([0] 2, [1] 2 ) = ([0] 2, [0] 2 )), το µηδενικό ιδεώδες {([0] 2, [0] 2 )} δεν είναι ούτε πρώτο ούτε µέγιστο. Τα ιδεώδη I = {[0] 2 } Z 2 και J = Z 2 {[0] 2 } είναι µέγιστα διότι οι δακτύλιοι πηλίκα Z 2 Z 2 / {[0]2 } Z 2 = Z2 και Z 2 Z 2 / Z2 {[0] 2 } = Z 2 είναι σώµατα. Οι παραπάνω ισοµορφισµοί επάγονται από τους επιµορφισµούς δακτυλίων για τους οποίους προφανώς έχουµε f : Z 2 Z 2 Z 2, f[([n] 2, [m] 2 )) = [n] 2 g : Z 2 Z 2 Z 2, g[([n] 2, [m] 2 )) = [m] 2 I = {[0] 2 } Z 2 = Ker(f) και J = Z 2 {[0] 2 } = Ker(g) 1 Υπενθυµίζουµε ότι ένα ιδεώδες I σε έναν δακτύλιο R καλείται µη-τετριµµένο αν I {0}. Το ιδεώδες I καλείται γνήσιο αν I R.

3 3 µε χρήση του Πρώτου Θεωρήµατος Ισοµορφισµών ακτυλίων, δηλαδή οι Ϲητούµενοι ισοµορφισµοί ορίζονται ως εξής : f : Z 2 Z 2 / {[0]2 } Z 2 Z 2, f ( ([n] 2, [m] 2 ) + I ) = [n] 2 g : Z 2 Z 2 / Z2 {[0] 2 } Z 2, g ( ([n] 2, [m] 2 ) + J ) = [m] 2 Εναλλακτικά: µπορεί κανείς να δείξει ότι τα ιδεώδη I και J είναι µέγιστα µε χρήση του ορισµού. Π.χ., αν K είναι ένα ιδεώδες του Z 2 Z 2 έτσι ώστε {[0] 2 } Z 2 K Z 2 Z 2 τότε K είναι µια υποοµάδα της προσθετικής οµάδας ( Z 2 Z 2, + ) η οποία έχει τάξη 4. Άρα από το Θεώρηµα του Lagrange η τάξη της υποοµάδας K ϑα είναι δαιρέτης της τάξης οµάδας Z 2 Z 2 που είναι 4, και άρα, επειδή η K περιέχει την {[0] 2 } Z 2, η K ϑα έχει τάξη 2 ή 4. Προφανώς τότε : είτε {[0] 2 } Z 2 = K ή K = Z 2 Z 2. Επειδή προφανώς το ιδεώδες {[0] 2 } Z 2 είναι γνήσιο, έπεται ότι το ιδεώδες {[0] 2 } Z 2 είναι µέγιστο. (3) Αναζητούµε ένα ιδεώδες I του Z Z, έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο (Z Z)/I να είναι σώµα. Με αυτή τη προοπτική ϑεωρούµε το υποσύνολο I = Z 2Z Z Z και αναζητούµε επιµορφισµό από τον δακτύλιο Z Z σε ένα σώµα µε πυρήνα το υποσύνολο I. Ορίζουµε απεικόνιση f : Z Z Z 2, f(n, m) = [m] 2 Εύκολα ϐλέπουµε ότι η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων, και Ker(f) = { (n, m) Z Z f(n, m) = [0] 2 } = { (n, m) Z Z [m]2 = [0] 2 } = = { (n, m) Z Z 2 m } = { (n, m) Z Z m 2Z } = Z 2Z και εποµένως το υποσύνολο Z 2Z είναι ιδεώδες του δακτυλίου Z Z, ως πυρήνας οµοµορφισµού δακτυλίων. Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων (Z Z) / (Z 2Z) = Z2 Επειδή ο δακτύλιος Z 2 είναι σώµα, έπεται ότι το ιδεώδες Z 2Z είναι µέγιστο. (4) Αναζητούµε ένα ιδεώδες I του Z Z, έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο (Z Z)/I να είναι ακέραια περιοχή, αλλά όχι σώµα. Με αυτή τη προοπτική ϑεωρούµε το υποσύνολο I = Z {0} Z Z και αναζητούµε επιµορφισµό από τον δακτύλιο Z Z σε µια ακέραια περιοχή, η οποία δεν είναι σώµα, µε πυρήνα το υποσύνολο I. Ορίζουµε απεικόνιση f : Z Z Z, f(n, m) = m Εύκολα ϐλέπουµε ότι η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων, και Ker(f) = { (n, m) Z Z f(n, m) = 0 } = { (n, m) Z Z m = 0 } = = { (n, 0) Z Z n Z } = Z {0} και εποµένως το υποσύνολο Z {0} είναι ιδεώδες του δακτυλίου Z Z, ως πυρήνας οµοµορφισµού δακτυλίων. Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων (Z Z) / (Z {0}) = Z Επειδή ο δακτύλιος Z είναι ακέραια περιοχή, αλλά όχι σώµα, έπεται ότι το ιδεώδες Z {0} είναι πρώτο, αλλά όχι µέγιστο.

4 4 (5) Αναζητούµε ένα ιδεώδες I του Z[t], έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο Z[t]/I να είναι ακέραια περιοχή, αλλά όχι σώµα. Με αυτή τη προοπτική ϑεωρούµε το κύριο ιδεώδες του Z[t] το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t: I = (t) = { tp (t) Z[t] P (t) Z[t] } ηλαδή το (t) αποτελείται από όλα τα πολυώνυµα µε µηδενικό σταθερό όρο. Η απεικόνιση f : Z[t] Z, f(p (t)) = P (0) η οποία στέλνει κάθε πολυώνυµο στον σταθερό του όρο, έιναι προφανώς ένας επιµορφισµός δακτυλίων, µε πυρήνα Ker(f) = { P (t) Z[t] f(p (t)) = 0 } = { P (t) Z[t] P (0) = 0 } = (t) Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων Z[t]/(t) = Z Επειδή ο δακτύλιος Z είναι ακέραια περιοχή, αλλά όχι σώµα, έπεται ότι το ιδεώδες (t) είναι πρώτο, αλλά όχι µέγιστο. (6) Αναζητούµε ένα ιδεώδες I του Z Z, έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο (Z Z)/I να µην είναι ακέραια περιοχή, και άρα να έχει διαιρέτες του µηδενός. Με αυτή τη προοπτική ϑεωρούµε το υποσύνολο 2Z 3Z = { (2k, 3l) Z Z k, l Z } Επειδή το σύνολο 2Z 3Z είναι µη-κενό (περιέχει το στοιχείο (0, 0)) και είναι προφανώς κλειστό στην πρόσθεση του δακτυλίου Z Z και στον πολλαπλασιασµό των στοιχείων του µε στοιχεία του δακτυλίου Z Z, έπεται άµεσα ότι το υποσύνολο 2Z 3Z είναι ένα ιδεώδες του Z Z. Θα προσδιορίσουµε τον δακτύλιο πηλίκο (Z Z) ( 2Z 3Z). Ορίζουµε απεικόνιση f : Z Z Z 2 Z 3, f(n, m) = ([n] 2, [m] 3 ) Εύκολα ϐλέπουµε ότι η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων, και Ker(f) = { (n, m) Z Z f(n, m) = ([0] 2, [0] 3 ) } = = { (n, m) Z Z ([n] 2, [m] 3 ) = ([0] 2, [0] 3 ) } = = { (n, m) Z Z [n] 2 = [0] 2 & [m] 3 = [0] 3 } = = { (n, m) Z Z 2 n & 3 m } = 2Z 3Z Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων (Z Z)]/(2Z 3Z) = Z2 Z 3 Επειδή ο δακτύλιος Z 2 Z 3 δεν είναι ακέραια περιοχή (για παράδειγµα ([1] 2, [0] 3 ) ([0] 2, [1] 3 ) = ([0] 2, [0] 3 )), έπεται ότι το ιδεώδες 2Z 3Z δεν είναι πρώτο. Ασκηση 3. Να δείξετε ότι κάθε ακέραια περιοχή µε πεπερασµένο πλήθος (κύριων) ιδεωδών είναι σώµα. Λύση. Εστω R µια ακέραια περιοχή, και υποθέτουµε ότι το πλήθος των κύριων ιδεωδών της R είναι πεπερασµένο. Επειδή ο δακτύλιος R, ως ακέραια περιοχή, είναι µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, για να δείξουµε ότι ο R είναι σώµα, αρκεί να δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο x R είναι αντιστρέψιµο, δηλαδή : R x 0 = x U(R) όπου U(R) είναι η οµάδα των αντιστρεψίµων στοιχείων του R. Θεωρούµε τα κύρια ιδεώδη (x n ) τα οποία παράγονται από τις ϕυσικές δυνάµεις του x: I n = (x n ) = { rx n R r R }, n 1

5 5 Επειδή η συλλογή κύριων ιδεωδών I n = (x n ), n 1, είναι πεπερασµένη, έπεται ότι υπάρχουν n, m 1 µε n m έτσι ώστε : (x n ) = (x m ), n, m 1, n m Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, υποθέτουµε ότι m < n. Τότε x m (x m ) = (x n ) = x m = rx n = rx n m x m = (1 R rx n m )x m = 0 Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι : x m = 0 ή rx n m = 1 R Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, και x 0, έπεται ότι x m 0, και εποµένως ϑα έχουµε, χρησιµοποιώντας την µεταθετικότητα του δακτυλίου R, ότι : rx n m = 1 R = x n m r Αν n m = 1, τότε ϑα έχουµε rx = 1 R = xr και άρα x U(R). Αν n m > 1, τότε n m 2 και άρα µπορούµε να γράψουµε την τελευταία σχέση ως εξής : (rx n m 1 )x = 1 R = x(rx n m 1 ) και εποµένως x U(R) Άρα κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιµο, δηλαδή ο δακτύλιος R είναι σώµα. Ασκηση 4. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. είξτε ότι κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο ιδεώδες, αν ισχύει µια από τις ακόλουθες συνθήκες : (1) Ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. (2) Ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος (κύριων) ιδεωδών. Λύση. Καθώς το πρώτο ερώτηµα είναι ειδική περίπτωση του δεύτερου ερωτήµατος, ϑα αποδείξουµε πρώτα το (2). (2) Εστω ότι ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος κύριων ιδεωδών, και έστω P ένα πρώτο ιδεώδες του R. Τότε γνωρίζουµε ότι ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι ακέραια περιοχή. Αν J = (x + P ) είναι ένα κύριο ιδεώδες του R/P το οποίο παράγεται από το στοιχείο x + P R/P, τότε J = π(i), όπου π : R R/P, π(x) = x + P, είναι ο ϕυσικός επιµορφισµός, και I = (x) είναι το κύριο ιδεώδες του R το οποίο παράγεται από το στοιχείο x R. Επειδή ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος κύριων ιδεωδών και επειδή κάθε κύριο ιδεώδες του R/P είναι της µορφής (x + P ) = π((x)), όπου x R, έπεται προφανώς ότι ο δακτύλιος R/P έχει πεπερασµένο πλήθος κύριων ιδεωδών. Εποµένως από την Άσκηση 3, έπεται ότι ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι σώµα. Άρα το ιδεώδες P είναι µέγιστο. (1) Αν ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, τότε προφανώς ο R έχει πεπερασµένο πλήθος κύριων ιδεωδών. Ετσι το συµπέρασµα προκύπτει από το µέρος (2). Εναλλακτικά ( χωρίς χρήση του (2) ): Εστω ότι ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, και P ένα πρώτο ιδεώδες του R. Επειδή τότε προφανώς και ο δακτύλιος πηλίκο R/P έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, και επειδή το ιδεώδες P είναι πρώτο, έπεται ότι ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι µια πεπερασµένη ακέραια περιοχή. Τότε όµως από γνωστό Θεώρηµα, ο δακτύλιος R/P είναι σώµα. Τότε όµως, επίσης από γνωστό Θεώρηµα, έπεται ότι το ιδεώδες P είναι µέγιστο. Ασκηση 5. Εστω R ένας, όχι απαραίτητα µεταθετικός, δακτύλιος µε µονάδα, και έστω N ένα (γνήσιο) ιδεώδες του R. Να δείξετε ότι το N είναι µέγιστο ιδεώδες του R αν και µόνο αν ο δακτύλιος πηλίκο R/N είναι απλός δακτύλιος, δηλαδή δεν έχει γνήσια µη τετριµµένα ιδεώδη.

6 6 Λύση. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα, και N ένα ιδεώδες του R. «=» Εστω ότι το N είναι µέγιστο ιδεώδες του R, και έστω K R/N ένα ιδεώδες του δακτυλίου πηλίκο R/N. Από την Άσκηση 10. του Φυλλαδίου 10, έπεται ότι το ιδεώδες K είναι της µορφής K = J/N, όπου J είναι ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε : N J R. Επειδή το N είναι µέγιστο, έπεται ότι : είτε N = J ή J = R. Αυτό σηµαίνει ότι : είτε K = N ή K = R/N, δηλαδή το ιδεώδες K είναι είτε το τετριµµένο ιδεώδες ή ο δακτύλιος R/N. Άρα ο δακτύλιος R/N δεν έχει γνήσια µη τετριµµένα ιδεώδη, και εποµένως ο δακτύλιος R/N είναι απλός. «=» Υποθέτουµε ότι ο δακτύλιος R/N είναι απλός, και έστω J είναι ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε : N J R. Τότε το υποσύνολο J/N = { y + N R/N y J } είναι ένα ιδεώδες του δακτυλίου πηλίκο R/N. Επειδή ο δακτύλιος R/N είναι απλός, έπεται ότι το ιδεώδες J/N είναι είτε το µηδενικό ιδέωδες {0} + N = N ή ο δακτύλιος R/N. Προφανώς αυτό σηµαίνει ότι είτε J = N ή J = R. Εποµένως το ιδεώδες N είναι µέγιστο. Σχόλιο 1. Αν R είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, τότε όπως γνωρίζουµε, ένα ιδεώδες N του R είναι µέγιστο αν και µόνον αν ο δακτύλιος πηλίκο R/N είναι σώµα. Ετσι η έννοια του απλού δακτυλίου σε µη-µεταθετικούς δακτυλίους, η οποία µελετήθηκε στην Ασκηση 5, είναι ανάλογη της έννοιας του σώµατος σε µεταθετικούς δακτυλίους. Σχόλιο 2. Εστω R ένας, όχι απαραίτητα µεταθετικός, δακτύλιος µε µονάδα. Υπενθυµίζουµε ότι ένα γνήσιο ιδεώδες P του R καλείται πρώτο ιδεώδες αν : Αν I και J είναι ιδεώδη του R, τότε : IJ P = I P ή J P όπου IJ είναι το ακόλουθο ιδεώδες του R: IJ = { x 1 y 1 + x 2 y x n y n R x i I & y i J, 1 i n, n 1 } Ο δακτύλιος R καλείται πρώτος δακτύλιος αν το µηδενικό ιδεώδες του R είναι πρώτο. Σηµειώνουµε ότι όπως και στους µεταθετικούς δακτυλίους, κάθε µέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο, αλλά γενικά το αντίστροφο δεν ισχύει. Αν ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός, τότε µπορεί κανείς να δείξει χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία ότι : ένα γνήσιο ιδεώδες P του R είναι πρώτο αν και µόνον αν r, s R: rs P = r P ή s P. ηλαδή έχουµε την συνήθη έννοια του πρώτου ιδεώδους για µεταθετικούς δακτυλίους. Επίσης ένας µεταθετικός δακτύλιος είναι πρώτος δακτύλιος αν και µόνον αν είναι ακέραια περιοχή. Η παραπάνω διάκριση ορισµών πρώτου ιδεώδους σε µεταθετικούς και µη-µεταθετικούς δακτυλίους είναι απαραίτητη, όπως δείχνει το παρακάτω παράδειγµα : Εστω K ένα σώµα και έστω R = M n (K). Τότε, όπως προκύπτει από τις Ασκήσεις 7 και 8 του Φυλλαδίου 10, ο δακτύλιος R δεν έχει γνήσια µη-τετριµµένα ιδεώδη. Ως άµεση συνέπεια ϐλέπουµε ότι το µηδενικό ιδώδες O του R είναι πρώτο (µε την έννοια του πρώτου ιδεώδους σε µη-µεταθετικούς δακτυλίους), δηλαδή ο δακτύλιος R = M n (K) είναι πρώτος. Από την άλλη πλευρά, εύκολα ϐλέπουµε ότι υπάρχουν µη-µηδενικοί πίνακες A και B έτσι ώστε AB = 0 O, και εποµένως το ιδεώδες O του R δεν είναι πρώτο (µε την έννοια του πρώτου ιδεώδους σε µεταθετικούς δακτυλίους). Ασκηση 6. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, και υποθέτουµε ότι κάθε ιδεώδες του R είναι πρώτο ιδέωδες. Να δείξετε ότι ο R είναι σώµα. Λύση. Επειδή ο R είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, για να δείξουµε ότι ο R είναι σώµα, αρκεί να δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο x R είναι αντιστρέψιµο.

7 είχνουµε πρώτα ότι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Πράγµατι : το µηδενικό ιδεώδες {0} προφανώς είναι κύριο, διότι παράγεται από το 0: {0} = (0), και άρα είναι πρώτο από την υπόθεση. Τότε όµως ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Εστω λοιπόν R x 0. Θεωρούµε το κύριο ιδεώδες (x 2 ) = { rx 2 R r R } το οποίο παράγεται από το στοιχείο x 2. Από την υπόθεση, έχουµε ότι το (x 2 ) είναι ένα πρώτο ιδεώδες, και άρα ϑα έχουµε : x x = x 2 (x 2 ) = x (x 2 ) = x = rx 2, για κάποιο r R Τότε, χρησιµοποιώντας ότι x 0 και ότι ο R είναι ακέραια περιοχή, ϑα έχουµε : x = rx 2 = (1 R rx)x = 0 = xr = 1 R = rx = x U(R) Εποµένως δείξαµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιµο, και άρα ο δακτύλιος R είναι σώµα. 7 Ασκηση 7. Να ϐρεθούν όλα τα πρώτα και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου {( ) } a b R = M 0 c 2 (R) a, b, c R Λύση. Απο την Άσκηση 6 του Φυλλαδίου 10, έχουµε ότι τα ιδεώδη του δακτυλίου R είναι τα εξής : (1) Το µηδενικό ιδεώδες O = ( ). (2) Ο δακτύλιος R. (3) Το ιδεώδες I = { ( ) a b R a, b R } 0 0 (4) Το ιδεώδες (5) Το ιδεώδες Για τα µέγιστα ιδεώδη ϑα έχουµε : J = { ( ) 0 b R b, c R } 0 c K = { ( ) 0 b R b R } 0 0 (1) Το µηδενικο ιδεωδες O δεν είναι µέγιστο, διότι π.χ. έχουµε O J R και O J και J R. Εναλλακτικά το µηδενικό ιδεώδες O δεν είναι µέγιστο διότι ο δακτύλιος R = R/O δεν είναι σώµα, για παράδειγµα έχει διαιρέτες του µηδενός και µη-µηδενικά µη-αντιστρέψιµα στοιχεία). (2) Το µη-γνησιο ιδεωδες R δεν είναι µέγιστο εξ ορισµού. (3) Για το ιδεωδες I: Εύκολα ϐλέπουµε ότι η απεικόνιση f : R R, είναι ένας επιµορφισµός δακτυλίων, και Ker(f) = I f ( ( a b 0 c ) ) = c Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων R/I = R Επειδή το R είναι σώµα, έπεται ότι ιδιαίτερα το R είναι απλός δακτύλιος, και εποµένως το ιδεώδες I του R είναι µέγιστο, ϐλέπε την Άσκηση 5..

8 8 (4) Για το ιδεωδες J: Θα εργασθούµε χρησιµοποιώντας τον ορισµό (ϕυσικά µπορεί κανείς να εργασθεί όπως και για το ιδεώδες I, δείχνοντας ότι R/J = R). Προφανώς το ιδεώδες J είναι γνήσιο. Εστω N ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε : J N R. Απο τη λίστα όλων των ιδεωδών του R, ϐλέπουµε ότι είτε N = J ή N = R. Εποµένως το J είναι µέγιστο. (5) Για το ιδεωδες K: Εύκολα ϐλέπουµε ότι η απεικόνιση f : R R R, είναι ένας επιµορφισµός δακτυλίων, και Ker(f) = K f ( ( a b 0 c ) ) = (a, c) Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων R/K = R R Επειδή ο δακτύλιος R R δεν είναι σώµα (δεν είναι καν ακέραια περιοχή), έπεται ότι ιδιαίτερα ο δακτύλιος R R δεν είναι απλός. Αυτό έχει ως συνέπεια ότι το ιδεώδες K δεν είναι µέγιστο. Εναλλακτικά: Παρατηρούµε ότι K I R και K J R και ϕυσικά K I, J και I, J R. Άρα το K δεν είναι µέγιστο. Επειδή ο δακτύλιος R δεν είναι µεταθετικός, για τα πρώτα ιδεώδη του R ϑα έχουµε : (1) Το µηδενικο ιδεωδες O δεν έιναι πρώτο διότι, όπως εύκολα µποριούµε να δούµε : KK = O (διότι )), και προφανώς K O. ( ) ( ) 0 b 0 b = ( (2) Το ιδεωδες R δεν είναι πρώτο εξ ορισµού. (3) Το ιδεωδες K δεν είναι πρώτο διότι : επειδή ( ) ( a b 0 0 I & 0 b 0 c ) J : ( a b 0 0 έπεται ότι IJ K, αλλά προφανώς I K και J K. Εποµένως το ιδεώδες P δεν είναι πρώτο. ) ( 0 b 0 c ) ( = 0 ab ) +bc 0 0 K (4) Τα ιδεωδη I και J είναι πρώτα, όπως µπορούµε να δούµε εύκολα µε χρήση του ορισµού πρώτου ιδεώδους σε µη µεταθετικούς δακτυλίους. Ασκηση 8. Εστω R ένας δακτύλιος του Boole 2, και έστω P ένα γνήσιο ιδεώδες του R. ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το ιδεώδες P είναι πρώτο. (2) x, y R: είτε x P ή y P ή x + y P. (3) Το ιδεώδες P είναι µέγιστο. (4) Ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι ισόµορφος µε το σώµα Z 2. Αποδείξτε ότι τα Λύση. Επειδή ο R είναι ένας δακτύλιος του Boole, ϑα έχουµε ότι : x 2 = x, x R. Οπως προκύπτει από την Λύση της Άσκησης 7 του Φυλλαδίου 9, ϑα έχουµε ότι ο R είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος χαρακτηριστικής 2, δηλαδή : x, y R : 2x = x + x = 0 και xy = yx (1) = (2) Εστω P ένα πρώτο ιδεώδες του R και έστω x, y R. Τότε : xy(x + y) = xyx + xyy = xxy + xyy = x 2 y + xy 2 = xy + xy = 2xy = 0 και εποµένως, χρησιµοποιώντας ότι το P είναι πρώτο ιδεώδες, ϑα έχουµε : xy(x + y) = 0 P = xy P ή x + y P = x P ή y P ή x + y P 2 Υπενθυµίζουµε ότι ένας δακτύλιος µε µονάδα R καλείται δακτύλιος του Boole, αν : x 2 = x, x R.

9 9 (2) = (3) Εστω ότι ισχύει η συνθήκη (2). Θα δείξουµε ότι το ιδεώδες P είναι µέγιστο. Από γνωστό Θεώρηµα, αρκεί να δείξουµε ότι : όπου x R & x / P : P + (x) = R P + (x) = { p + rx R r R } Εστω x R \ P. Θέτοντας y = 1 R στην συνθήκη (2) και λαµβάνοντας υπ όψιν ότι 1 R / P (διότι το ιδεώδες P είναι γνήσιο), έπεται ότι ϑα έχουµε : x + 1 R P = x + 1 R = p P = 1 R = p + ( x) P + (x) Τότε όµως ϑα έχουµε ότι ιδεώδες P + (x) ϑα συµπίπτει µε τον δακτύλιο R επειδή περιέχει την µονάδα του R. Άρα P + (x) = R και εποµένως το ιδεώδες P είναι µέγιστο. (3) = (4) Υποθέτουµε ότι το ιδελωδες P είναι µέγιστο. Τότε ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι σώµα. Οµως επειδή x + P, y + P R/P : (x + P ) 2 = (x + P )(x + P ) = x 2 + P = x + P και επειδή ο δακτύλιος, ώς σώµα, δεν έχει διαιρέτες του µηδενός ϑα έχουµε : (x + P ) ( (x + P ) 1 R + P ) ) = 0 + P = x + P = 0 + P ή x + P = 1 R + P Εποµένως : Η απεικόνιση R/P = { 0 + P, 1 R + P } f : R/P Z 2, f(0 + P ) = [0] 2 & f(1 R + P ) = [1] 2 είναι προφανώς ένας ισοµορφισµός δακτυλίων, και άρα ϑα έχουµε : R/P = Z 2 (4) = (1) Αν έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων R/P = Z 2, τότε επειδή το Z 2 είναι σώµα, ο δακτύλιος R/P ϑα είναι σώµα και ιδιαίτερα ϑα είναι ακέραια περιοχή. Τότε όµως, όπως γνωρίζουµε από την Θεωρία, το ιδεώδες P ϑα είναι πρώτο. Ασκηση 9. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, και P ένα πρώτο ιδεώδες του R. Υποθέτουµε ότι το P δεν περιέχει διαιρέτες του µηδενός. Να δείξετε οτι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Λύση. Εστω r, s R δύο στοιχεία του δακτυλίου, και υποθέτουµε οτι rs = 0. Τότε rs = 0 P. Επειδή το P είναι πρώτο ιδεώδες, ϑα έχουµε ότι r P ή s P. Αν r 0 s, τότε τα στοιχεία r, s είναι διαιρέτες του µηδενός, ένας εκ των οποίων ανήκει στο πρώτο ιδεώδες P. Επειδή το P δεν περιέχει διαιρέτες του µηδενός, έπεται ότι καταλήγουµε σε άτοπο. Εποµένως r = 0 ή s = 0, και άρα ο δακτύλιος R δεν περιέχει διαιρέτες του µηδενός, δηλαδή είναι ακέραια περιοχή. Ασκηση 10. Εστω f : R S ένας οµοµορφισµός µεταξύ µεταθετικών δακτυλίων µε µονάδα. (1) Να δείξετε ότι για κάθε πρώτο ιδεώδες J του S, το ιδεώδες f 1 (J) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R. (2) Να δείξετε ότι αν η f είναι επιµορφισµός, τότε για κάθε µέγιστο ιδεώδες J του S, το ιδεώδες f 1 (J) είναι ένα µέγιστο ιδεώδες του R. (3) Να δείξετε µε ένα παράδειγµα ότι αν η f δεν είναι επιµορφισµός, τότε ο ισχυρισµός στο (2) δεν είναι αληθής.

10 10 Λύση. (1) Εστω J ένα πρώτο ιδεώδες του S. Τότε το υπσούνολο f 1 (J) είναι ένα ιδεώδες του R, διότι προφανώς το υοσύνολο f 1 (J) είναι υποοµάδα της (R, +), και r R & x f 1 (J) = r R & x f 1 (J) : f(x) J και τότε χρησιµοποιώντας ότι το J είναι ιδεώδες του S, ϑα έχουµε : f(rx) = f(r)f(x) J & f(xr) = f(x)f(r) J = rx f 1 & xr f 1 (J) Εποµένως το υποσύνολο f 1 (J) είναι ιδεώδες του R. Τώρα επειδή το J είναι πρώτο ιδεώδες, ϑα έχουµε : r, s R : rs f 1 (J) = f(rs) = f(r)f(s) J = f(r) J ή f(s) J = r f 1 (J) ή s f 1 (J) Άρα το ιδεώδες f 1 (J) είναι πρώτο ιδεώδες του R. (2) Υποθέτουµε ότι ο οµοµορφισµός f είναι επιµορφισµός και έστω J ένα µέγιστο ιδεώδες του S. Για να δείξουµε ότι το ιδεώδες f 1 (J) είναι µέγιστο ιδεώδες του R, αρκεί να δείξουµε ότι : x R & x / f 1 (J) : f 1 (J) + (x) = R Εστω λοιπόν x R \ f 1 (J). Τότε y := f(x) / J. Επειδή το J είναι µέγιστο ιδεώδες του S, ϑα έχουµε : y S & y / J : J + (y) = S και εποµένως J + (f(x)) = S = { t + sf(x) S t J & s S } = S Εστω r R. Τότε f(r) S και άρα : f(r) = t + sf(x), όπου t J και s S Τότε επειδή η f είναι επιµορφισµός, ϑα έχουµε ότι s = f(r ) για κάποιο r R, και τότε : f(r) = t + sf(x) = f(r) = t + f(r )f(x) = t + f(r x) = t = f(r) f(r x) = f(r r x) J Εποµένως r r x f 1 (J) = r r x = q f 1 (J) = r = q + r x f 1 (J) + (x) Εποµένως δείξαµε ότι R f 1 (J)+(x) και άρα f 1 (J)+(x) = R, x R\f 1 (J). Ετσι το ιδεώδες f 1 (J) είναι µέγιστο ιδεώδες του R. (3) Θεωρούµε τον οµοµορφισµό δακτυλίων f : Z Q, f(n) = n = n 1 ο οποίος είναι προφανώς µονοµορφισµός, αλλά όχι επιµορφισµός. Επειδή ο δακτύλιος Q είναι σώµα, έπεται ότι το µηδενικό ιδεώδες O του Q είναι µέγιστο. Επιπλέον f 1 (O) = Ker(f) = O, το µηδενικό ιδεώδες του δακτυλίου Z, διότι η f είναι µονοµορ- ϕισµός. Οµως το ιδεώδες O Z είναι πρώτο (διότι ο δακτύλιος Z είναι ακέραια περιοχή), αλλά δεν είναι µέγιστο (διότι ο δακτύλιος Z δεν είναι σώµα). Ασκηση 11. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Υποθέτουµε ότι 3 : x R, n 2 : x n = x Να δείξετε ότι κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο. 3 το n γενικά µπορεί να εξαρτάται από το x R.

11 11 Λύση. Εστω P ένα πρώτο ιδεώδες του R. Τότε ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι ακέραια περιοχή. Για να δείξουµε ότι το P είναι µέγιστο, σύµφωνα µε γνωστό Θεώρηµα, αρκεί να δείξουµε ότι x R \ P : P + (x) = R, όπου P + (x) = { p + rx R r R } Θεωρούµε στοιχείο x R και έστω x / P. Τότε για το στοιχείο x+p του δακτυλίου R/P, χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι x n = x, για κάποιο n 2 (το οποίο γενικά µπορεί να εξαρτάται από το x), ϑα έχουµε : (x + P ) n = x n + P = x + P = (x + P ) ( x n 1 + P ) = x + P = (x + P )(1 R + P ) Επειδή ο δακτύλιος R/P είναι ακέραια περιοχή, και επειδή x + P 0 + P, διότι x / P, από τον Νόµο ιαγραφής σε ακέραιες περιοχές, έπεται ότι ϑα έχουµε : x n 1 + P = 1 R + P = 1 R x n 1 P = 1 R x n 1 = p P = 1 R = p + x n 1 P + (x) διότι προφανώς x n 1 = x n 2 x (x) = {rx R r R}. Επειδή το ιδεώδες P + (x) περιέχει την µονάδα του δακτυλίου R, έπεται ότι ϑα έχουµε P + (x) = R και εποµένως το ιδέωδες P είναι µέγιστο. Ασκηση 12. Εστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, δηλαδή ο µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα R είναι ακέραια περιοχή, και κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο. Να δείξετε οτι κάθε µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο. Λύση. Εστω P ένα µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες του R. Τότε το P είναι γνήσιο, και επειδή κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο, ϑα έχουµε ότι : P = (a), για κάποιο a R. Εστω I ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε P I R. Επειδή κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο, ϑα έχουµε I = (b) για κάποιο στοιχείο b R. Άρα ϑα έχουµε : (a) (b) R Για να δείξουµε ότι το ιδέωδες (a) είναι µέγιστο, αρκεί να δείξουµε ότι αν (a) (b), τότε (b) = R. Θα έχουµε : a (a) (b) = { rb R r R } = a = rb, για κάποιο r R Επειδή το ιδεώδες (a) είναι πρώτο και rb = a (a), έπεται ότι : είτε r (a) ή b (a) = είτε r = as ή b = ta για κάποια s, t R Οµως αν b = ta, τότε προφανώς b (a), και τότε έπεται άµεσα ότι (b) (a) και άρα (a) = (b) το οποίο είναι άτοπο. Άρα : a = rb & r = sa = a = sab = asb = a(1 R sb) = 0 Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι : a = 0 ή sb = 1 R Αν a = 0, τότε (a) = (0) = O είναι το µηδενικό ιδεώδες το οποίο είναι άτοπο. Άρα sb = 1 R, και εποµένως το στοιχείο b είναι αντιστρέψιµο διότι ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. Τότε όµως το ιδεώδες (b) συµπίπτει µε τον δακτύλιο R, διότι περιέχει το αντιστρέψιµο στοιχείο b. Καταλήγουµε ότι (b) = R και εποµένως το ιδεώδες (a) είναι µέγιστο. Ασκηση 13. (1) Να δείξετε ότι το κύριο ιδεώδες (t) το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t του δακτυλίου πολυωνύµων F[t], όπου F είναι σώµα, είναι µέγιστο. (2) Να δείξετε ότι το κύριο ιδεώδες (t) το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t του δακτυλίου πολυωνύµων Z[t], είναι πρώτο αλλά όχι µέγιστο. (3) Να δείξετε ότι το ιδεώδες (2, t) := { 2P (t) + tq(t) Z[t] P (t), Q(t) Z[t] } του δακτυλίου Z[t] είναι µέγιστο.

12 12 (4) Να δείξετε ότι ο δακτύλιος Z[t] δεν είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, δείχνοντας ότι το ιδεώδες (2, t) του δακτυλίου Z[t] δεν είναι κύριο. Λύση. (1) Η απεικόνιση f : F[t] F, f(p (t)) = P (0) η οποία στέλνει το πολυώνυµο P (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n στον σταθερό του όρο P (0) = a 0, εύκολα ϐλέπουµε ότι είναι επιµορφισµός δακτυλίων, και Ker(f) = { P (t) F[t] f(p (t)) = 0 } = { P (t) F[t] P (0) = 0 } = = { P (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n F[t] a 0 = 0 } = { P (t) = a1 t + a 2 t a n t n F[t] a i F, 1 i n } { (a1 + a 2 t + + a n t n 1 )t F[t] a i F, 1 i n } = (t) Από το πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων : F[t]/(t) = F Επειδή ο δακτύλιος F είναι σώµα, έπεται ότι το ιδεώδες (t) είναι µέγιστο. (2) Βλέπε το τµήµα (5) της Άσκησης 2. (3) Η απεικόνιση f : Z[t] Z, f(p (t)) = [P (0)] 2 η οποία στέλνει το πολυώνυµο P (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n µε ακέραιους συντελεστές στην κλάση modulo 2, [P (0)] 2 = [a 0 ] 2 του σταθερού του όρου P (0) = a 0, εύκολα ϐλέπουµε ότι είναι επιµορφισµός δακτυλίων, και Ker(f) = { P (t) Z[t] f(p (t)) = [0] 2 } = { P (t) Z[t] [P (0)]2 = [0] 2 } = = { P (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n Z[t] [a 0 ] = [0] 2 } = = { P (t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n Z[t] 2 a 0 } = = { a 0 + (a 1 + a 2 t + + a n t n 1 )t Z[t] a 0 = 2k, k Z } = = { 2k + (a 1 + a 2 t + + a n t n 1 )t Z[t] k, a i Z, 1 i n } (2, t) Προφανώς όµως, αν 2P (t) + tq(t) (2, t), τότε ο σταθερός όρος του πολυωνύµου 2P (t) + tq(t) είναι ο άρτιος ακέρταιος 2P (0) και άρα ο οµοµορφισµός f στέλνει το 2P (t) + tq(t) στο [0] 2, δηλαδή 2P (t) + tq(t) Ker(f). Άρα (2, t) Ker(f) και εποµένως : Ker(f) = (2, t) Από το πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων : Z[t]/(2, t) = Z2 Επειδή ο δακτύλιος Z 2 είναι σώµα, έπεται ότι το ιδεώδες (2, t) είναι µέγιστο 4. Εναλλακτικά: δείξτε ότι το ιδεώδες (2, t) είναι µέγιστο µε χρήση του ορισµού. ηλαδή υποθέστε ότι I Z[t] είναι ένα ιδεώδες του Z[t] έτσι ώστε : και δείξτε ότι : είτε I = (2, t) ή I = Z[t]. (2, t) I Z[t] 4 Η παραπάνω ανάλυση δείχνει ότι το ιδεώδες (2, t) αποτελείται από όλα τα πολυώνυµα µε ακέραιους συντελεστές των οποίων ο σταθερός όρος είναι άρτιος αριθµός.

13 13 (4) Εστω ότι το ιδεώδες (2, t) είναι κύριο µε γεννήτορα το πολυώνυµο R(t): (2, t) = (R(t). Επειδή προ- ϕανώς 2 (2, t) και t (2, t), έπεται ότι τα πολυώνυµα 2 και t είναι πολλαπλάσια του πολυωνύµου R(t): 2 = A(t)R(t) & t = B(t)R(t) Επειδή ο δακτύλιος Z είναι ακέραια περιοχή, γνωρίζουµε ότι και ο δακτύλιος πολυωνύµων Z[t] είναι ακέραια περιοχή. Εποµένως ϑα έχουµε 0 = deg 2 = deg(a(t)r(t)) = deg A(t) + deg R(t) και εποµένως deg R(t) = 0, δηλαδή το πολυώνυµο R(t) είναι ένα σταθερό µη-µηδενικό πολυώνυµο, και µάλιστα το R(t) είναι ένα εκ των σταθερών πολυωνύµων 1, 1, 2, 2. Από την άλλη πλευρά παρόµοια ϑα έχουµε 1 = deg t = deg(b(t)r(t)) = deg B(t) + deg R(t) = deg B(t). Ετσι B(t) = k + lt, όπου k, l Z. (αʹ) Αν R(t) = 1 ή αν R(t) = 1, τότε προφανώς το πολυώνυµο R(t) είναι ένα αντιστρέψιµο στοιχείο του δακτυλίου Z[t] και εποµένως το κύριο ιδεώδες το οποίο παράγεται από αυτό ϑα συµπίπτει µε τον δακτύλιο Z[t]: Z[t] = (R(t) = (2, t). Αυτό είναι άτοπο διότι για παράδειγµα από το (3) γνωρίζουµε ότι ο δακτύλιος πηλίκο Z[t]/(2, t) είναι ισόµορφος µε το σώµα Z 2 (αν Z[t] = (2, t), τότε ο δακτύλιος πηλίκο Z[t]/(2, t) είναι ο µηδενικός δακτύλιος). (ϐʹ) Αν R(t) = 2, τότε ϑα έχουµε t = B(t)2 = 2k + 2lt, και άρα k = 0 και 2l = 1, το οποίο είναι άτοπο. Παρόµοια, αν R(t) = -2, τότε ϑα έχουµε t = B(t)( 2) = 2k 2lt, και άρα k = 0 και 2l = 1, το οποίο είναι άτοπο. Εποµένως το ιδεώδες (2, t) δε είναι κύριο και άρα η ακέραια περιοχή Z[t] δεν είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Ασκηση 14. Να προσδιορισθούν τα πρώτα και µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου πολυωνύµων C[t]. Λύση. Γνωρίζουµε ότι σε έναν δακτύλιο πολυωνύµων K[t] υπεράνω ενός σώµατος K, το µηδενικό ιδεώδες είναι πρώτο αλλά όχι µέγιστο, (διότι ο δακτύλιος K[t] είναι ακέραια περιοχή αλλά όχι σώµα), και ένα µη- µηδενικό ιδεώδες είναι µέγιστο αν και µόνον αν είναι πρώτο. ιαφορετικά : επειδή ο δακτύλιος πολυωνύµων K[t] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, από την Άσκηση 12, έπεται ότι ένα µη-µηδενικό ιδεώδες είναι µέγιστο αν και µόνον αν είναι πρώτο. Ετσι αν εξαιρέσουµε το µηδενικό ιδεώδες το οποίο είναι πρώτο, αρκεί να προσδιορίσουµε τας µέγιστα ιδεώδη του C[t]. Εστω I ένα µέγιστο ιδεώδες του C[t]. Προφανώς τότε το I είναι µη-µηδενικό (διότι ο δακτύλιος C[t] δεν είναι ποτέ σώµα), και εξ ορισµού το I είναι γνήσιο. Επειδή ο δακτύλιος πολυωνύµων C[t] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, το ιδεώδες I είναι κύριο και άρα παράγεται από ένα πολυώνυµο P (t). Τότε το πολυώνυµο P (t) είναι µη-µηδενικό και επίσης δεν είναι σταθερό (διότι αν P (t) είναι το σταθερό πολυώνυµο z C, τότε ϑα είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του C[t] και τότε I = (P (t)) = C[t]. Αυτό είναι άτοπο διότι το I είναι γνήσιο). Από την Θεωρία γνωρίζουµε ότι το I είναι µέγιστο αν και µόνον αν το πολυώνυµο P (t) είναι ανάγωγο. Από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της άλγεβρας 5, έπεται ότι τα ανάγωγα πολυώνυµα υπεράνω του C είναι τα πρωτοβάθµια. Εποµένως απο τα παραπάνω προκύπτει ότι το P (t) είναι ένα µη-µηδενικό πρωτοβάθµιο πολυώνυµο, και άρα είναι της µορφής P (t) = zt + w, όπου z, w C, z 0. Επειδή για κάθε µη-µηδενικό µιγαδικό αριθµό ω, ισχύει (R(t)) = (ωr(t)), έπεται ότι I = (P (t)) = ( 1 z P (t)) = (t + w z ). Ετσι το µέγιστο ιδεώδες I είναι της µορφής I = (t r), r C Αντίστροφα για κάθε µιγαδικό αριθµό r, το κύριο ιδεώδες (t r) το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t r είναι µέγιστο όπως µπορούµε να δούµε άµεσα είτε από τον ορισµό (δεν υπάρχει γνήσιο ιδεώδες J = (Q(t)) του δακτυλίου C[t] µε (t r) J C[t] και (t r) J) ή χρησιµοποιώντας ότι ο δακτύλιος πηλίκο C[t]/(t r) είναι σώµα (και µάλιστα ισόµορφο µε το C). 5 Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας πιστοποιεί ότι «κάθε µη-σταθερό πολυώνυµο υπεράνω του σώµατος C αναλύεται σε γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων». Η απόδειξη του ϑεωρήµατος ξεφεύγει από τα πλαίσια του µαθήµατος.

14 14 Συνοψίζουµε τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου πολυωνύµων C[t] είναι τα στοιχεία του συνόλου { (t r) C[t] r C } και άρα είναι σε «1-1» και «επί» αντιστοιχία µε το C µέσω της απεικόνισης r (t r). Για την επίλυση της επόµενης Ασκησης ϑα χρειαστούµε τις ακόλουθες πληροφορίες : Υπενθυµίζουµε ότι το σύνολο εφοδιασµένο µε τις πράξεις C([0, 1]) = { f : [0, 1] R f : συνεχής } f, g C([0, 1]) : f, g C([0, 1]) : (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x)g(x) είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα την σταθερή συνάρτηση 1: [0, 1] R, 1(x) = 1. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το άθροισµα και το γινόµενο συνεχών συναρτήσεων [0, 1] R είναι συνεχής συνάρτηση, και εποµένως το σύνολο C([0, 1]) είναι ένας υποδακτύλιος του δακτυλίου F([0, 1], R) όλων των συναρτήσεων από το διάστηµα [0, 1] στο R. Γενικά ο δακτύλιος C([0, 1]) περιέχει διαιρέτες του µηδενός και επίσης µη-µηδενικά µη-αντιστρέψιµα στοιχεία. Εποµένως ο δακτύλιος C([0, 1]) δεν είναι ούτε σώµα ούτε ακέραια περιοχή. Στην επόµενη Άσκηση ϑα περιγράψουµε όλα τα µέγιστα ιδεώδη του, και ϑα δείξουµε ότι το πλήθος τους είναι µη-αριθµήσιµο. Σηµειωτέον, ο δακτύλιος πηλίκο C([0, 1])/M, όπου M είναι τυχόν µέγιστο ιδεώδες, είναι πάντα ισόµορφος µε το σώµα των πραγµατικών αριθµών. Ασκηση Εστω C([0, 1]) ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων f : [0, 1] R. Για ένα υποσύνολο M C([0, 1]), να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το M είναι µέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου C([0, 1]). (2) Υπάρχει r [0, 1]: M = M r := { f C([0, 1]) f(r) = 0 } Επιπλέον να δείξετε ότι η απεικόνιση είναι 1-1 και επί. [0, 1] { µέγιστα ιδεώδη του C([0, 1]) }, r M r Λύση. (2) = (1) Εστω r [0, 1] και ϑεωρούµε το σύνολο M r = { f C([0, 1]) f(r) = 0 } Ορίζουµε απεικόνιση Φ r : C([0, 1]) R, Η απεικόνιση Φ r είναι ένας επιµορφισµός δακτυλίων, διότι : (1) (2) Φ r (f) = f(r) Φ r (f + g) = (f + g)(r) = f(r) + g(r) = Φ r (f) + Φ r (g) Φ r (f g) = (f g)(r) = f(r)g(r) = Φ r (f)φ r (g) (3) Αν c R, τότε η σταθερή απεικόνιση f c : [0, 1] R, f c (x) = c, είναι προφανώς συνεχής, και άρα f c C([0, 1]). Επιπλέον Φ r (f c ) = f c (r) = c, και εποµένως η απεικόνιση Φ r είναι επί. 6Άσκηση αυξηµένης δυσκολίας, αλλά και αυξηµένου ενδιαφέροντος!

15 15 Ο πυρήνας του επιµορφισµού δακτυλίων Φ r είναι : Ker(Φ r ) = { f C([0, 1]) Φ r (f) = 0 } = { f C([0, 1]) f(r) = 0 } = M r Εποµένως το σύνολο M r είναι ένα ιδεώδες του δακτυλίου C([0, 1]). Ισοµορφισµών ακτυλίων, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων C([0, 1]) / M r = R Επιπλέον από το Πρώτο Θεώρηµα Επειδή ο δακτύλιος R είναι σωµα, έπεται ότι το ιδεώδες M r είναι µέγιστο. (1) = (2) Εστω M ένα µέγιστο ιδεώδες του C([0, 1]). (1) Θα δείξουµε πρώτα ότι υπάρχει r [0, 1] έτσι ώστε M M r, δηλαδή ϑα δείξουµε ότι : r [0, 1] : f M = f M r Ισοδύναµα ϑα δείξουµε ότι : r [0, 1] : f M : f(r) = 0 ( ) Εστω ότι ο ισχυρισµός ( ) δεν ισχύει. Τότε ϑα έχουµε ότι : x [0, 1], f x M : f x (x) 0 ( ) Μεσω µιας σειρας 4 βηµατων θα δουµε οτι ο ισχυρισµος ( ) µας οδηγει σε ατοπο: Βήµα 1: Επειδή, x [0, 1], η συνάρτηση f x ανήκει στο ιδεώδες M, έπεται ότι η f x είναι συνέχης. Επειδή f x (x) 0, λόγω της συνέχειας της f x, έπεται ότι υπάρχει µια ανοιχτό διάστηµα I x το οποίο περιέχει το x: x I x, έτσι ώστε f x (y) 0, y I x : x [0, 1], ανοιχτό διάστηµα I x [0, 1] έτσι ώστε x I x και y I x : f x (y) 0 (1) Προφανώς τότε ϑα έχουµε ότι η ένωση όλων των ανοιχτών διαστηµάτων I x τα οποία περιέχουν τα στοιχεία x του [0, 1] ϑα µας δίνει το διάστηµα [0, 1]: [0, 1] = I x (2) x [0,1] Βήµα 2: Από τη σχέση (2) ϐλέπουµε ότι η συλλογή ανοιχτών διαστηµάτων I = { I x [0, 1] x [0, 1] } την οποία ορίσαµε στη σχέση (1) αποτελεί µια ανοιχτή κάλυψη το κλειστού διαστήµατος [0, 1]. Από το Θεώρηµα των Heine-Borel της Πραγµατικής Ανάλυσης ( κάθε ανοιχτή κάλυψη ενός κλειστού διαστήµατος της πραγµατικής ευθείας, περιέχει µια πεπερασµένη υποκάλυψη ), έπεται ότι υπάρχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων x 1, x 2,, x n [0, 1], έτσι ώστε η ένωση των ανοιχτών διαστηµάτων I x1,, I xn, όπου κάθε ανοιχτό διάστηµα I xj περιέχει το στοιχείο x j, µας δίνει το κλειστό διάστηµα [0, 1]: n x 1, x 2,, x n [0, 1] : I xj I, j = 1, 2,, n, και [0, 1] = I xj (3) Βήµα 3: Θεωρούµε την συνάρτηση j=1 f = f 2 x 1 + f 2 x f 2 x n : [0, 1] R, f(x) = f 2 x 1 (x) + f 2 x 2 (x) + + f 2 x n (x) Σηµειώνουµε ότι f 2 x j (x) = f xj (x)f xj (x) = (f xj (x)) 2, 1 j n.

16 16 Η συνάρτηση f είναι προφανώς συνεχής και εποµένως f C([0, 1]). Επιπρόσθετα επειδή οι συναρτήσεις f x, x [0, 1], ανήκουν εκ κατασκευής ανήκουν στο ιδεώδες M έπεται ότι προφανώς ϑα έχουµε : f = fx fx fx 2 n M Βήµα 4: Θα δείξουµε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του δακτυλίου C([0, 1]) και M = C([0, 1]) Για να το δείξουµε αυτό, δείχνουµε πρώτα ότι η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο διάστηµα [0, 1]: f(z) 0, z [0, 1] Πραγµατικά: έστω ότι υπάρχει z [0, 1] έτσι ώστε f(z) = 0. Τότε : f(z) = 0 = f 2 x 1 (z) + f 2 x 2 (z) + + f 2 x n (z) = 0 = (f xj (z)) 2 = 0, 1 j n και άρα f xj (z) = 0, j = 1, 2,, n (4) Επειδή z [0, 1] και επειδή από τη σχέση (3) έχουµε [0, 1] = n j=1 I x j, έπεται ότι z I xk, για κάποιο k = 1, 2,, n Οµως τότε από τον ορισµό τουµ διαστήµατος I xk, έπεται ότι f xk (z) 0 (5) Εποµένως οι σχέσεις (4), (5) µας οδηγούν σε άτοπο, και άρα πράγµατικά έχουµε : f(z) 0, z [0, 1] (6) Επειδή η f δεν µηδενίζεται σε κανένα σηµείο του [0, 1], έπεται ότι µπορούµε να ορίσουµε µια συνάρτηση g : [0, 1] R, g(x) = 1 f(x) και εύκολα ϐλέπουµε ότι η g είναι συνεχής και άρα ανήκει στον δακτύλιο C([0, 1]). Επειδή (f g)(x) = f(x)g(x) = 1 = g(x)f(x) = (g f)(x), x [0, 1] έπεται ότι η f είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του δακτυλίου C([0, 1]) και g = f 1. Εποµένως το ιδεώδες M περιέχει το αντιστρέψιµο στοιχείο f και άρα το ιδεώδες M συµπίπτει µε τον δακτύλιο C([0, 1]). Αυτό όµως είναι ατοπο διότι το M είναι µέγιστο και άρα εξ ορισµού είναι γνήσιο. Τα ϐήµατα (1) - (4) µας οδηγήσαν σε άτοπο, υποθέτοντας ότι ισχύει η σχέση ( ). Εποµένως η σχέση ( ) δεν ισχύει, και άρα ϑα έχουµε : Οπως είδαµε αυτό σηµαίνει ότι : r [0, 1] : f M : f(r) = 0 ( ) M M r C([0, 1]) (7) Επειδή το M είναι µέγιστο, και επειδή κάθε ιδεώδες της µορφής M r είναι γνήσιο (π.χ. είδαµε στην απόδειξη της κατεύθυνσης (2) = (1), ότι κάθε ιδεώδες του δακτυλίου C(0, 1]) της µορφής M r είναι µέγιστο), ϑα έχουµε από τη σχέση (7) ότι : M = M r

17 17 Μένει να δείξουµε ότι η απεικόνιση είναι 1-1 και επί. [0, 1] { µέγιστα ιδεώδη του C([0, 1]) }, r M r (8) Η παραπάνω απόδειξη δείχνει ότι η απεικόνιση είναι «επί». Για να δείξουµε ότι η απεικόνιση είναι «1-1», υποθέτουµε ότι Θεωρούµε την συνάρτηση r, s [0, 1] και M r = M s f : [0, 1] R, f(x) = x r η οποία είναι προφανώς συνεχής και άρα ανήκει στον δακτύλιο C([0, 1]). Επιπρόσθετα επειδή f(r) = r r = 0, έπεται ότι f M r. Τότε f M s και άρα : f(s) = 0 = s r = 0 = s = r Συµπεραίνουµε ότι η απεικόνιση η οποία πειγρέφεται στη σχέση (8) είναι «1-1» και «επί». Σχόλιο 3. Εστω Hom(C([0, 1]), R) = { f : C([0, 1]) R f : } οµοµορφισµός δακτυλίων Τότε µπορεί κανείς να αποδείξει ότι η απεικόνιση ϕ : [0, 1] Hom(C([0, 1]), R), ϕ(x) = Φ x όπου Φ x : C([0, 1]) R, Φ x (f) = f(x) είναι «1-1» και «επί». Σχόλιο 4. ( Για οσους γνωριζουν στοιχειωδη τοπολογια και συναρτησιακη αναλυση) Το αποτέλεσµα της Ασκησης 15 είναι πολύ σηµαντικό και έχει πολύ ενδιαφέρουσες γενικεύσεις. Θα δούµε εν συντοµία µια από αυτές. (I) Ενας από τους λόγους που εξηγούν γιατί το αποτέλεσµα της Ασκησης 15 είναι σηµαντικό, είναι γιατί µας επιτρέπει να «ανακαλύψουµε» το κλειστό διάστηµα [0, 1] αλγεβρικά ως το σύνολο των µέγιστων ιδεωδών του δακτυλίου των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων οι οποίες ορίζονται επί του [0, 1]. Αυτή η παρατήρηση µπορεί να γίνει περισσότερο ακριβής : Το σύνολο M([0, 1]) των µέγιστων ιδεωδών του δακτυλίου C([0, 1]) µπορεί να εφοδιασθεί µε κατάλληλη τοπολογία και έτσι να γίνει τοπολογικός χώρος. Αποδεικνύεται τότε ότι η απεικόνιση την οποία ορίσαµε στην Ασκηση 15: φ : [0, 1] M([0, 1]), φ(r) = M r είναι οµοιοµορφισµός µεταξύ τοπολογικών χώρων, δηλαδή η φ είναι «1-1» και «επί», συνεχής και η αντίστροφή της φ είναι συνεχής. Εποµένως οι τοπολογικοί χώροι [0, 1] και M([0, 1]) είναι (τοπολογικά) ίδιοι. (II) Προσεκτική παρατήρηση της απόδειξης της κατεύθυνσης (1) = (2) στην επίλυση της Ασκησης 15 δείχνει ότι ένα από τα κρίσιµα σηµεία στην απόδειξη είναι η δυνατότητα εφαρµογής του Θεωρήµατος των Heine-Borel, και αυτό είναι εφικτό διότι εργαζόµαστε στο κλειστό διάστηµα [0, 1], το οποίο ως τοπολογικός χώρος είναι χώρος Hausdorff 7, και συµπαγής 8. 7 Υπενθυµίζουµε ότι ένας τοπολογικός χώρος X καλείται χώρος του Hausdorff, αν για κάθε δύο διακεκριµένα στοιχεία x, y X, υπάρχουν περιοχές U(x) και V (y) των x και y αντίστοιχα, έτσι ώστε : U(x) V (y) =. 8 Υπενθυµίζουµε ότι ένας τοπολογικός χώρος X καλείται συµπαγής, αν κάθε ανοιχτή του κάλυψη έχει µια πεπερασµένη υποκάλυψη, δηλαδή : για κάθε συλλογή ανοιχτών υποσυνόλων {U i} i I του X έτσι ώστε X = i I Ui, υπάρχει πεπερασµένο υποσύνολο J I έτσι ώστε X = j J Uj.

18 18 Γενικότερα, ισχύει το ακόλουθο σηµαντικό Θεώρηµα. Πριν το διατυπώσουµε, χρειαζόµαστε κάποιους ορισµούς : Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος Hausdorff, και έστω C(X, R) = { f : X R f : συνεχής } Μπορούµε να δούµε εύκολα ότι το σύνολο C(X, R) εφοδιασµένο µε τις ακόλουθες πράξεις f, g C(X, R) : f, g C(X, R) : (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα την σταθερή συνάρτηση 1: X R, 1(x) = 1. Για κάθε στοιχείο r X, ϑεωρούµε το σύνολο M r = { f C(X, R) f(r) = 0 } Θεώρηµα [Kolmogorov-Gelfand (1939)] Εστω X ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος Hausdorff, και έστω 9 C(X, R) = { f : X R f : συνεχής } ο δακτύλιος των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων επί του X. (1) Το σύνολο M(X, R) των µέγιστων ιδεωδών του δακτυλίου C(X, R), εφοδιασµένο µε κατάλληλη τοπολογία, είναι ένας τοπολογικός χώρος και η απεικόνιση Φ : X M(X, R), Φ(r) = M r είναι οµοιοµορφισµός. (2) Το σύνολο Hom ( C(X, R), R ) όλων των οµοµορφισµών µεταξύ των δακτυλίων C(X, R) και R, εφοδιασµένο µε κατάλληλη τοπολογία, είναι ένας τοπολογικός χώρος και η απεικόνιση Ψ : X Hom ( C(X, R), R ), Ψ(r) = Φ r, όπου Φ r (f) = f(r) είναι οµοιοµορφισµός. (3) Κάθε συνεχής απεικόνιση φ: X Y µεταξύ συµπαγών τοπολογικών χωρών Hausdorff επάγει έναν οµοµορφισµό δακτυλίων φ : C(Y, R) C(X, R), φ (f) = f φ και κάθε οµοµορφισµός δακτυλίων C(Y, R) C(X, R), προκύπτει µε τον παραπάνω τρόπο από µια συνεχή απεικόνιση φ: X Y. (4) ύο συµπαγείς τοπολογικοί χώροι Hausdorff X και Y είναι οµοιοµορφικοί αν και µόνον αν οι δακτύλιοι C(X, R) και C(Y, R) είναι ισόµορφοι. Το Θεώρηµα των Kolmogorov-Gelfand, ιστορικά, αποτέλεσε ένα απο τα πρώτα αποτελέσµατα τα οποία συσχετίζουν µε γόνιµο τρόπο γενικές ιδιότητες τοπολογικών χώρων µε ανάλογες αλγεβρικές ιδιότητες κατάλληλων δακτυλίων. Προς αυτή την κατεύθυνση υπάρχει πληθώρα αποτελεσµάτων µε µεγάλο ενδιαφέρον, αναφέρουµε για παράδειγµα ανάλογα αποτελέσµατα των Gelfand-Naimark, Banach-Stone, κτλ. Ιδιαίτερα το ακόλουθο Θεώρηµα των Banach-Stone χρησιµοποιεί το γεγονός ότι ο δακτύλιος C(X, R), όπου X είναι ένας συµπαγής τοπολογικός χώρος Hausdorff, είναι και χώρος Banach 10 µε στάθµη f C(X, R) : f = sup { f(x) x X } Θεώρηµα [Banach (1932) - Stone (1935)] Εστω X και Y συµπαγείς τοπολογικοί χώροι Hausdorff, και έστω C(X, R) = { f : X R f : συνεχής } & C(Y, R) = { f : Y R f : συνεχής } 9 σε ότι ακολουθεί το σώµα R µπορεί να αντικατασταθεί µε το σώµα των µιγαδικών αριθµών C. 10 Ακριβέστερα είναι µια (µεταθετική) άλγεβρα Banach. Για την έννοια της άλγεβρας Banach ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο κλασσικό ϐιβλίο «Real and complex analysis» του Walter Rudin.

19 19 οι δακτύλιοι των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων επί των X και Y αντίστοιχα, ϑεωρούµενοι ως χώροι Banach µε στάθµη όπως παραπάνω. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Οι χώροι Banach C(X, R) και C(Y, R) είναι ισοµετρικά ισόµορφοι. (2) Οι τοπολογικοί χώροι X και Y είναι οµοιοµορφικοί. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε την αλληλεπίδραση (Γενικής) Τοπολογίας και Θεωρίας ακτυλίων, ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο κλασσικό ϐιβλίο «Rings of continuous functions» των Leonard Gillman και Meyer Jerison.

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Κεφάλαιο 9 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διεξοδικότερα τις ϐασικές ιδιότητες του δακτυλίου πολυωνύµων, κυ- ϱίως µιας µεταβλητής, µε στοιχεία από έναν µεταθετικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Κεφάλαιο 10 ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης 10.1 Συνοπτική Θεωρία Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωµένη στην υπενθύµιση ϐασικών εννοιών και αποτελεσµάτων από τη ϑεωρία περιοχών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Κεφάλαιο 11 ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διεξοδικά δύο ϐασικές κλάσεις µεταθετικών δακτυλίων : τις περιοχές κυρίων ιδεωδών και τις περιοχές

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα