Η θεωρία της Α Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η θεωρία της Α Λυκείου"

Transcript

1 Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι στοιχεί ή μέλη του συόλου πράδειγμ: με Ν συμολίζουμε το σύολο τω φυσικώ ριθμώ, με Ζ το σύολο τω κερίω ριθμώ, με Q το σύολο τω ρητώ ριθμώ κι με R το σύολο τω πργμτικώ ριθμώ. Τ σύμολ κι Γι δηλώσουμε ότι το x είι στοιχείο του συόλου Α, γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x ήκει στο Α», εώ γι δηλώσουμε ότι το x δε είι στοιχείο του συόλου Α γράφουμε x Α κι διάζουμε «το x δε ήκει στο Α». Πράστση συόλου Γι πρστήσουμε έ σύολο χρησιμοποιούμε συήθως έ πό τους πρκάτω τρόπους: ) Ότ δίοτι όλ τ στοιχεί του κι είι λίγ σε πλήθος, τότε γράφουμε τ στοιχεί υτά μετξύ δύο γκίστρω, χωρίζοτς τ με το κόμμ κι λέγετι «πράστση του συόλου με γρφή τω στοιχείω του». ) Α πό έ σύολο Ω επιλέγουμε εκεί τ στοιχεί του, που έχου μι ορισμέη ιδιότητ Ι, τότε φτιάχουμε έ έο σύολο που συμολίζετι με:{x Ω x έχει τη ιδιότητ Ι} κι διάζετι «Το σύολο τω x D, όπου x έχει τη ιδιότητ Ι». Ο πρπάω τρόπος πράστσης εός συόλου λέγετι «πράστση του συόλου με περιγρφή τω στοιχείω του». Ίσ σύολ Δύο σύολ Α κι Β λέγοτι ίσ, ότ έχου τ ίδι κριώς στοιχεί. Με άλλ λόγι: «Δύο σύολ Α κι Β λέγοτι ίσ, ότ κάθε στοιχείο του Α είι κι στοιχείο του Β κι τιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είι κι στοιχείο του Α». Στη περίπτωση υτή γράφουμε Α = Β. Υποσύολ συόλου

2 Έ σύολο Α λέγετι υποσύολο εός συόλου Β, ότ κάθε στοιχείο του Α είι κι στοιχείο του Β. Στη περίπτωση υτή γράφουμε Α Β. Άμεσες συέπειες του ορισμού είι οι: i) Α Α, γι κάθε σύολο Α. ii) Α Α Β κι Β Γ, τότε Α Γ. iii) Α Α Β κι Β Α, τότε Α = Β. Το κεό σύολο Κεό σύολο είι το σύολο που δε έχει στοιχεί κι συμολίζετι με ή { }. Διγράμμτ Venn Μι εποπτική προυσίση τω συόλω κι τω μετξύ τους σχέσεω γίετι με τ διγράμμτ Venn. Το σικό σύολο συμολίζετι με το εσωτερικό εός ορθογωίου, εώ κάθε υποσύολο εός σικού συόλου πριστάετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό του ορθογωίου. Α Α Β, τότε το Α πριστάετι με το εσωτερικό μις κλειστής κμπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό της κλειστής κμπύλης που πριστάει το Β. Πράξεις με σύολ Έωση δύο υποσυόλω Α, Β εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που

3 ήκου τουλάχιστο σε έ πό τ σύολ Α κι Β κι συμολίζετι με Α Β. Δηλδή είι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Τομή δύο υποσυόλω Α, Β εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που ήκου κι στ δύο σύολ Α, Β κι συμολίζετι με Α Β Δηλδή είι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Στη περίπτωση που δύο σύολ Α κι Β δε έχου κοιά στοιχεί, δηλδή ότ Α Β =, τ δύο σύολ λέγοτι ξέ μετξύ τους. Συμπλήρωμ εός υποσυόλου Α εός σικού συόλου Ω λέγετι το σύολο τω στοιχείω του Ω που δε ήκου στο Α κι συμολίζετι με Α. Δηλδή είι: Α = {x Ω x Α} ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πείρμ τύχης (random experiment) οομάζετι το πείρμ του οποίου δε μπορούμε εκ τω προτέρω προλέψουμε το ποτέλεσμ, μολοότι επλμάετι (φιομεικά τουλάχιστο) κάτω πό τις ίδιες συθήκες. Δειγμτικός ΧώροςΤο σύολο τω δυτώ ποτελεσμάτω λέγετι δειγμτικός χώρος (sample space) κι συμολίζετι συήθως με το γράμμ Ω. Α δηλδήω 1,ω,...,ω κ είι τ δυτά ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης, τότε ο δειγμτικός χώρος του πειράμτος θ είι το σύολο:ω={ω 1,ω,...,ω κ }.

4 Εδεχόμε Το σύολο που έχει ως στοιχεί έ ή περισσότερ ποτελέσμτ εός πειράμτος τύχης λέγετιεδεχόμεο (event) ή γεγοός. Ο ίδιος ο δειγμτικός χώρος Ω εός πειράμτος θεωρείτι ότι είι εδεχόμεο, το οποίο μάλιστ πργμτοποιείτι πάτοτε, φού όποιο κι είι το ποτέλεσμ του πειράμτος θ ήκει στοω. Γι υτό το Ω λέγετι έιο εδεχόμεο. Δεχόμστε κόμ ως εδεχόμεο κι το κεό σύολο που δε πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος τύχης. Γι υτό λέμε ότι το είι το δύτο εδεχόμεο. Το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου Α θ το συμολίζουμε με N(Α) Πράξεις με Εδεχόμε Α κι Β είι δύο εδεχόμε, έχουμε: Το εδεχόμεο A B, που διάζετι Α τομή Β ή Α κι Β κι πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιούτι συγχρόως τ Α κι Β. Το εδεχόμεο Α Β, που διάζετι Α έωση Β ή Α ή Β κι πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιείτι έ τουλάχιστο πό τ Α, Β. Το εδεχόμεο A', που διάζετι όχι Α ή συμπληρωμτικό του Α κι πργμτοποιείτι, ότ δε πργμτοποιείτι το Α. Το A' λέγετι κι τίθετο του Α. Το εδεχόμεο A - B, που διάζετι διφορά του Β πό το Α κι πργμτοποιείτι, ότ

5 πργμτοποιείτι το Α λλά όχι το Β. Είι εύκολο δούμε ότι A-B = A B'. Διάφορες σχέσεις γι εδεχόμε Α κι Β διτυπωμέες στη κοιή γλώσσ, κι διτυπωμέες στη γλώσσ τω συόλω. Το εδεχόμεο Α πργμτοποιείτι Συμολικά ω Α Το εδεχόμεο Α δε πργμτοποιείτι Συμολικά ω Α' (ή ω Α) Έ τουλάχιστο πό τ Α κι Β πργμτοποιείτι Συμολικά ω A B Πργμτοποιούτι μφότερ τ Α κι Β Συμολικά ω A B Δε πργμτοποιείτι κέ πό τ Α κι Β Συμολικά ω (Α Β)' Πργμτοποιείτι μόο το Α Συμολικά ω A - B (ή ω A B ') Η πργμτοποίηση του Α συεπάγετι τη πργμτοποίηση του Β Συμολικά Α B Ασυμίστ Εδεχόμε Δύο εδεχόμε Α κι Β λέγοτι συμίστ, ότ A B=. Δύο συμίστ εδεχόμε λέγοτι επίσης ξέ μετξύ τους ή μοιίως ποκλειόμε.

6 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κλσικός Ορισμός Πιθότητς σε έ πείρμ με ισοπίθ στοιχειώδη ποτελέσμτ ορίζουμε ως πιθότητ του εδεχομέου Α το ριθμό: Από το προηγούμεο ορισμό προκύπτει άμεσ ότι: 3. Γι κάθε εδεχόμεο Α ισχύει 0 P(A) 1, φού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου είι ίσο ή μικρότερο πό το πλήθος τω στοιχείω του δειγμτικού χώρου. Κόες Λογισμού τω Πιθοτήτω 1. Γι οποιδήποτε συμίστ μετξύ τους εδεχόμε Α κι Β ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α N(A)=κ κι N(Β)=λ, τότε το Α Β έχει κ+λ στοιχεί, γιτί λλιώς τ Α κι Β δε θ ήτ συμίστ. Δηλδή, έχουμε N(A Β)=κ+λ= N(A)+N(Β). Ν(A Β) Ν(Α) Ν(Β) Ν(Α) Ν(Β) Επομέως: Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως πλός προσθετικός όμος (simply additive law) κι ισχύει κι γι περισσότερ πό δύο εδεχόμε. Έτσι, τ εδεχόμε Α, Β κι Γ είι ά δύο συμίστ θ έχουμε P(A B Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ).. Γι δύο συμπληρωμτικά εδεχόμε Α κι Α' ισχύει: P(A')=1 - P(A) ΑΠΟΔΕΙΞΗ

7 Επειδή A A'=, δηλδή τ Α κι A' είι συμίστ, έχουμε διδοχικά, σύμφω με το πλό προσθετικό όμο:p(a A')=P(A)+P(A') άρ P(Ω)=P(A)+P(A') άρ 1=P(A)+P(A'). Οπότε P(A')=1-P(A). 3. Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει: P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Γι δυο εδεχόμε Α κι Β έχουμε N(A B)=N(A)+N(B)-N(A B), (1) φού στο άθροισμ N(A)+N(B) το πλήθος τω στοιχείω του A B υπολογίζετι δυο φορές. Α διιρέσουμε τ μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε: κι επομέωςp(a B)=P(A)+P(B)-P(A B) Η ιδιότητ υτή είι γωστή ως προσθετικός όμος (additive law). 4. Α A B, τότε P(A) P(B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή A B έχουμε διδοχικά:

8 N(A) N(B) N(A) N(Ω) N(Β) N(Ω) Ρ(Α) Ρ(Β) 5. Γι δύο εδεχόμε Α κι Β εός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει:p(a-b)=p(a)- P(A B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ εδεχόμε A-B κι A B είι συμίστ κι (A-B) (A B)=A, έχουμε:p(a)=p(a- B)+P(A B) Άρ P(A-B)=P(A)-P(A B) ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τουςάρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με τ σημεί εός άξο, του άξο τω πργμτικώ ριθμώ. Θυμίζουμε ότι: Κάθε ρητός ριθμός έχει (ή μπορεί πάρει) κλσμτική μορφή, δηλδή τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0. Κάθε ρητός ριθμός μπορεί γρφεί ως δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός κι, τιστρόφως, κάθε δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός μπορεί πάρει κλσμτική μορφή. Μπορούμε δηλδή πούμε ότι οι ρητοί ριθμοί ποτελούτι πό τους δεκδικούς κι τους περιοδικούς δεκδικούς ριθμούς. Οι ριθμοί που δε μπορού γρφού με τη μορφή, όπου, κέριοι, με 0 κι δηλ. ούτε ως δεκδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκδικοί λέγοτι άρρητοι ριθμοί. Πράξεις Στους πργμτικούς ριθμούς ορίστηκ οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι, με τη οήθειά τους, η φίρεση κι η διίρεση. Γι τη πρόσθεση κι το πολλπλσισμό ισχύου οι ιδιότητες που φέροτι στο επόμεο πίκ, οι οποίες κι ποτελού τη άση του λγερικού λογισμού. Ιδιότητ Πρόσθεση Πολλπλσισμός Ατιμετθετική + = + =

9 Προσετιριστική + ( + γ) = ( + ) + γ (γ) = ()γ Ουδέτερο Στοιχείο + 0 = 1 = Ατίθετος/Ατίστροφος Αριθμού + (-) = 0 = 1, 0 Επιμεριστική ( + γ) = + γ Η φίρεση κι η διίρεση ορίζοτι με τη οήθει της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού τιστοίχως ως εξής: - = + (-) Γι τις τέσσερις πράξεις κι τη ισότητ ισχύου κι οι κόλουθες ιδιότητες που είι γωστές πό το Γυμάσιο: 1. ( = κι γ = δ ) + γ = + δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις προσθέσουμε κτά μέλη.. ( = κι γ = δ) γ = δ δηλδή, δυο ισότητες μπορούμε τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη. 3. = + γ = + γ δηλδή, μπορούμε κι στ δυο μέλη μις ισότητς προσθέσουμε ή φιρέσουμε το ίδιο ριθμό. 4. Α γ 0, τότε: = γ = γ δηλδή, μπορούμε κι τ δυο μέλη μις ισότητς τ πολλπλσιάσουμε ή τ διιρέσουμε με το ίδιο μη μηδεικό ριθμό. 5. = 0 = 0 ή = 0 δηλδή, το γιόμεο δύο πργμτικώ ριθμώ είι ίσο με το μηδέ, κι μόο ές τουλάχιστο πό τους ριθμούς είι ίσος με το μηδέ. Άμεση συέπει της ιδιότητς υτής είι η κόλουθη: 0 0 κι 0 Δυάμεις Α ο είι πργμτικός ριθμός κι ο φυσικός, τότε ορίζουμε :

10 =, γι >1 κι 1 =, γι = 1. πράγοτες Α επιπλέο είι 0, τότε ορίζουμε : 0 1 = 1 κι Αξιοσημείωτες τυτότητες ( + ) = + + ( - ) = = ( + ) ( - ) ( + ) 3 = ( - ) 3 = =( + ) ( - + ) 3-3 =( - ) ( + + ) ( + + γ ) = + + γ + - γ + γ Μέθοδοι πόδειξης Α) Ευθεί Απόδειξη 1 o ) Έστω ότι γι τρεις πργμτικούς ριθμούς, κι γ ισχύει η συθήκη + + γ = 0 κι θέλουμε ποδείξουμε ότι γ 3 = 3γ, δηλδή έστω ότι θέλουμε ποδείξουμε τη συεπγωγή:«α + + γ = 0, τότε γ 3 = 3γ». Επειδή + + γ = 0, είι = -( + γ), οπότε θ έχουμε: γ 3 = [-( + γ)] γ 3 = -( + γ ) γ 3 = γ - 3γ - γ γ 3 = - 3 o ) Γι ποδείξουμε ότι ές ισχυρισμός είι ληθής, μερικές φορές με διδοχικούς μετσχημτισμούς κτλήγουμε σε έ λογικά ισοδύμο ισχυρισμό που είι ληθής. Έτσι συμπερίουμε ότι κι ο ρχικός ισχυρισμός είι ληθής. 3 ο ) Γι ποδείξουμε ότι ές ισχυρισμός δε είι πάτ ληθής, ρκεί ρούμε έ πράδειγμ γι το οποίο ο συγκεκριμέος ισχυρισμός δε ισχύει ή, όπως λέμε, ρκεί ρούμε έτιπράδειγμ. Έτσι ο ισχυρισμός «γι κάθε >0 ισχύει 1 1 >» δε είι ληθής, φού γι έχουμε, δηλδή <. 4 Β) Μέθοδος της Απγωγής σε Άτοπο Έστω ότι θέλουμε ποδείξουμε το ισχυρισμό: «Α το τετράγωο εός κερίου ριθμού είι άρτιος, τότε κι ο ριθμός υτός είι άρτιος», δηλδή «Α ο είι άρτιος ριθμός, τότε κι ο είι άρτιος ριθμός» Γι τη πόδειξη του ισχυρισμού υτού σκεπτόμστε ως εξής: Έστω ότι ο δε είι άρτιος. Τότε ο θ είι περιττός, δηλδή θ έχει τη μορφή = κ + 1, όπου κ κέριος, οπότε θ έχουμε: = ( κ + 1) = 4κ + 4κ + 1 =(κ + κ) + 1 = λ + 1 (όπου λ = κ + κ). Δηλδή = λ + 1, λ Ζ, που σημίει ότι ο είι περιττός. Αυτό όμως έρχετι σε τίθεση με τη υπόθεση ότι ο είι άρτιος. Επομέως, η πρδοχή ότι δε είι άρτιος είι λθσμέη. Άρ ο είι άρτιος. Στη πρπάω πόδειξη υποθέσμε ότι δε ισχύει υτό που θέλμε ποδείξουμε κι χρησιμοποιώτς ληθείς προτάσεις φθάσμε σε έ συμπέρσμ που έρχετι σε τίθεση με υτό που γωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκμε όπως λέμε σε άτοπο. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

11 Έοι της διάτξης ΟΡΙΣΜΟΣ Ές ριθμός λέμε ότι είι μεγλύτερος πό έ ριθμό, κι γράφουμε >, ότ η διφορά - είι θετικός ριθμός. Στη περίπτωση υτή λέμε επίσης ότι ο είι μικρότερος του κι γράφουμε < Από το πρπάω ορισμό προκύπτει μέσως ότι: Κάθε θετικός ριθμός είι μεγλύτερος πό το μηδέ. Κάθε ρητικός ριθμός είι μικρότερος πό το μηδέ. Έτσι ο ρχικός ορισμός γράφετι ισοδύμ: > - > 0 Γεωμετρικά η ισότητ > σημίει ότι, πάω στο άξο τω πργμτικώ ο ριθμός είι δεξιότερ πό το. Α γι τους ριθμούς κι ισχύει > ή =, τότε γράφουμε κι διάζουμε: «μεγλύτερος ή ίσος του». Ιδιότητες τω ισοτήτω 1. (>0 κι >0) + > 0 κι ( < 0 κι < 0) + < 0., ομόσημοι > 0 0 > 0 κι, ετερόσημοι < , γι κάθε R (Η ισότητ ισχύει μόο ότ = 0) Άρ 0 = 0 κι = 0 κι 0 0 ή 0 4. ( > κι > γ) > γ 5. > + γ > + γ

12 6. Α γ > 0, τότε: > γ > γ 7. Α γ < 0, τότε: > γ < γ 8. ( > κι γ > δ ) + γ > + δ 9. Γι θετικούς ριθμούς,, γ, δ ισχύει η συεπγωγή: ( > κι γ > δ ) γ > δ 10. Γεικότερ ( 1 > 1 κι > κι κι > ) > Α, επιπλέο, τ μέλη τω ισοτήτω είι θετικοί ριθμοί, τότε: ( 1 > 1 κι > κι κι > ) 1... > 1... (*) 1. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: > > ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω >. Τότε, πό τη (*), γι 1 = =... = = > 0 κι 1 = =... = = > 0,προκύπτει ότι: >. Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι > κι. Τότε: ήτ =, πό το ορισμό της ισότητς θ είχμε = (άτοπο), εώ ήτ <, θ είχμε < (άτοπο). Άρ, >. 13. Γι θετικούς ριθμούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυμί: = = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω =. Τότε, πό το ορισμό της ισότητς προκύπτει, όπως είπμε κι προηγουμέως, ότι = Γι τη πόδειξη του τιστρόφου θ χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπό ότι = κι. Τότε: ήτ >, λόγω της (4), θ είχμε > (άτοπο), εώ ήτ <, λόγω της (4), θ είχμε < (άτοπο). Άρ, =.

13 Διστήμτ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ x [, ] x [, ) < x (, ] < x (, ) x [, + ) x > (, + ) x (-, ] x < (-, ) ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η πόλυτη τιμή εός πργμτικού ριθμού συμολίζετι με κι ορίζετι πό το τύπο: Δηλδή: Η πόλυτη τιμή θετικού ριθμού είι ο ίδιος ο ριθμός. Η πόλυτη τιμή ρητικού ριθμού είι ο τίθετός του. 0 = 0 Ιδιότητες τω πόλυτω τιμώ 1. = - 0. κι - 3. Α θ>0, τότε: x = θ x = θ ή x = -θ

14 4. x = x = ή x = - 5. = 6. = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς = είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά: = = ( ) = ( ) =,που ισχύει ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή κι τ δύο μέλη της ισότητς + < + είι μη ρητικοί ριθμοί, έχουμε διδοχικά: ( + ) ( + ) , που ισχύει. Είι φερό ότι η ισότητ = ισχύει κι μόο 0, δηλδή κι μόο οι ριθμοί κι είι ομόσημοι ή ές τουλάχιστο πό υτούς είι ίσος με μηδέ. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητ = ισχύει κι γι περισσότερους πράγοτες. Συγκεκριμέ: 1... = 1... Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = =... = =, έχουμε: = Η ισότητ + + ισχύει κι γι περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριμέ: Απόστση δυο ριθμώ Aς θεωρήσουμε δυο ριθμούς κι που πριστάοτι πάω στο άξο με τ σημεί Α κι Β τιστοίχως. Το μήκος του τμήμτος ΑΒ λέγετι πόστση τω ριθμώ κι, συμολίζετι με d(,) κι είι ίση με -. Είι δηλδή: d (, ) = - Προφώς ισχύει d (, ) = d (, ). Στη περίπτωση μάλιστ που είι <, τότε η πόστση τω κι είι ίση με - κι λέγετι μήκος του διστήμτος [, ]. Μέσο τμήμτος Ας θεωρήσουμε τώρ έ διάστημ [, ] κι ς οομάσουμε Α κι Β τ σημεί που

15 πριστάου στο άξο τ άκρ κι τιστοίχως. Α Μ (x 0 ) είι το μέσο του τμήμτος AB, τότε έχουμε (MA) = (MB) d(x 0, ) = d(x 0, ) x 0 - = x 0 - x 0 - = - x 0, (φού < x 0 <) x 0 = + x 0 Ο ριθμός που τιστοιχεί στο μέσο Μ του τμήμτος ΑΒ λέγετι κέτρο του διστήμτος [, ] ο ριθμός ρ λέγετι κτί του [, ]. Ως μήκος, κέτρο κι κτί τω διστημάτω (, ), [, ) κι (, ] ορίζουμε το μήκος, το κέτρο κι τη κτί του διστήμτος [, ]. Γεικά: Γι x 0 R κι ρ>0, ισχύει: x - x 0 <ρ x (x 0 - ρ, x 0 + ρ) x 0 - ρ<x<x 0 + ρ Δηλδή, οι ριθμοί x που ικοποιού τη σχέση x -x 0 <ρ είι τ σημεί του διστήμτος (x 0 - ρ, x 0 + ρ) που έχει κέτρο το x 0 κι κτί ρ. Στη ειδική περίπτωση που είι x 0 = 0, έχουμε: x <ρ x (-ρ, ρ) -ρ<x<ρ. Γι πράδειγμ x < x (-, ) -<x<. Έστω, τώρ, ότι θέλουμε ρούμε τους πργμτικούς ριθμούς x γι τους οποίους ισχύει x - 3 >.

16 Από το ορισμό της πόστσης έχουμε: x - 3 > d (x,3)> x < 3 - ή x > 3 + x (-, 3 - ) (3 +, + ). Γεικά:Γι x 0 R κι ρ>0,ισχύει: x - x 0 <ρ x (-, x 0 - ρ) (x 0 + ρ, + ) x<x 0 - ρ ή x>x 0 + ρ Δηλδή οι ριθμοί x που ικοποιού τη σχέση x - x 0 >ρ τιστοιχού σε σημεί Μ(x) του άξο x x που πέχου πό το σημείο Κ(x 0 ) πόστση μεγλύτερη του ρ. Στη ειδική περίπτωση που είι x 0 = 0, έχουμε: x >ρ x<-ρ ή x>ρ Γι πράδειγμ: x > x<- ή x>. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τετργωική ρίζ μη ρητικού ριθμού ΟΡΙΣΜΟΣ H τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με κι είι ο μη ρητικός ριθμός που, ότ υψωθεί στο τετράγωο, δίει το. Άρ >0, η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες -οστή ρίζ μη ρητικού ριθμού ΟΡΙΣΜΟΣ

17 Η -οστή ρίζ εός μη ρητικού ριθμού συμολίζετι με ρητικός ριθμός(1) που, ότ υψωθεί στη, δίει το. κι είι ο μη Ορίζουμε Άρ 0, τότε η πριστάει τη μη ρητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες τω ριζώ 1. Α 0, τότε: κι. Α 0 κι άρτιος, τότε: Α, 0, τότε: 3. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: ισχύει. 4. κι με 0 5. μ μ μ μ μ μ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: 6. ρ μρ μ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: 7. γι μη ρητικούς ριθμούς 1,,..., κ ισχύει: 8. Στη ειδική μάλιστ περίπτωση που είι 1 = =... = κ = >0, ισχύει: μ μ μ μ που που ισχύει 9. γι, 0 έχουμε Δυάμεις με ρητό εκθέτη ΟΡΙΣΜΟΣ Α >0, μ κέριος κι θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Με τη οήθει τω ιδιοτήτω τω ριζώ ποδεικύετι ότι οι ιδιότητες τω δυάμεω με κέριο εκθέτη ισχύου κι γι δυάμεις με ρητό εκθέτη. Η Εξίσωση x + = 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α) x + = 0 x + - = - x = - Δικρίουμε τώρ τις περιπτώσεις:

18 Α 0 τότε: x = - Άρ, 0 η εξίσωση έχει κριώς μί λύση, τη. Α = 0, τότε η εξίσωση x = - γίετι 0x = -, η οποί: i. είι 0 δε έχει λύση κι γι υτό λέμε ότι είι δύτη, εώ ii. είι = 0 έχει τη μορφή 0x = 0 κι ληθεύει γι κάθε πργμτικό ριθμό x δηλδή είι τυτότητ. Η λύση της εξίσωσης x + = 0 κι γεικά κάθε εξίσωσης λέγετι κι ρίζ υτής. Β) Α οι συτελεστές κι της εξίσωσης x + = 0 εκφράζοτι με τη οήθει γρμμάτω τότε τ γράμμτ υτά λέγοτι πράμετροι, η εξίσωση λέγετι πρμετρική κι η εργσί που κάουμε γι τη εύρεση του πλήθους τω ριζώ της λέγετι διερεύηση. 3.1 Εξισώσεις που άγοτι σε εξισώσεις 1ου θμού Με πργοτοποίηση μορφής ( 1 χ+ 1 ) ( χ+ ) ( 3 χ+ 3 ) ( χ+ ) =0 οπότε ( 1 χ+ 1 ) =0 ή ( χ+ ) =0 ή ( 3 χ+ 3 ) =0 ή ή ( χ+ ) =0 Κλσμτικές Με πόλυτες τιμές της μορφής f(x) = g(x) Οπότε λύουμε τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) κι της μορφής f(x) = g(x) Οπότε με g(x) 0 συληθεύουμε με τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) Η ΕΞΙΣΩΣΗ x = Η εξίσωση x =, με >0 κι περιττό φυσικό ριθμό, έχει κριώς μι λύση τη Η εξίσωση x =, με <0 κι περιττό φυσικό ριθμό, έχει κριώς μι λύση τη - Η εξίσωση x =, με >0 κι άρτιο φυσικό ριθμό, έχει κριώς δύο λύσεις τις κι - Η εξίσωση x =, με <0 κι άρτιο φυσικό ριθμό, είι δύτη Α ο περιττός τότε η εξίσωση x = έχει μοδική λύση, τη x = Α ο άρτιος τότε η εξίσωση x = έχει δύο λύσεις, τις x 1 = κι x = -. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 (1) Έχουμε: διιρούμε με που είι 0 χ χ γ 0 χ γ χ 0 χ 4γ 4 χ γ χ χ γ χ χ χ χ 4 4 Α θέσουμε Δ = Δ - 4γ, τότε η τελευτί εξίσωση γίετι: χ () 4 Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: γ Α Δ> 0, τότε έχουμε:

19 δηλδή Επομέως η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύμή της (1), έχει δύο λύσεις άισες τις: Γι συτομί οι λύσεις υτές γράφοτι. Α Δ = 0, τότε η εξίσωση () γράφετι: χ 0 χ χ 0 χ 0 ή χ 0 χ ή χ Στη περίπτωση υτή λέμε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζ τη χ Α Δ<0, τότε η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύμή της (1), δε έχει πργμτικές ρίζες, δηλδή είι δύτη στο R. Η λγερική πράστση Δ = - 4γ, πό τη τιμή της οποίς εξρτάτι το πλήθος τω ριζώ της εξίσωσης x + x + γ = 0, 0, οομάζετι δικρίουσ υτής. Τ πρπάω συμπεράσμτ συοψίζοτι στο κόλουθο πίκ: Δ = - 4γ Η εξίσωση x + x + γ = 0, 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άισες τις Δ = 0 Έχει μι διπλή ρίζ τη Δ < 0 Είι δύτη στο R. τύποι Vieta Α με S συμολίσουμε το άθροισμ x 1 + x κι με P το γιόμεο x 1 x, τότε έχουμε τους τύπους: Η εξίσωση x + x + γ = 0, με τη οήθει τω τύπω του Vieta, μετσχημτίζετι ως εξής: διιρούμε με που είι 0 γ χ χ γ 0 χ χ 0 χ (χ1 χ )χ χ1χ 0 χ Sχ P 0

20 Η τελευτί μορφή της εξίσωσης x + x + γ = 0 μς δίει τη δυτότητ τη κτσκευάσουμε, ότ γωρίζουμε το άθροισμ κι το γιόμεο τω ριζώ της. Εξισώσεις που άγοτι σε εξισώσεις ου θμού Μορφής (f(χ)) + f (χ) +γ=0 με 0 που γίετι f (χ) + f (χ) +γ=0 δευτέρου θμού με άγωστο κτρχή το f (χ) Κλσμτικές Μορφής (f(x)) + (f(x)) + γ = 0 δευτέρου θμού με άγωστο κτρχή το f(x) Διτετράγωες μορφής (f(x)) + (f(x)) + γ = 0 δευτέρου θμού με άγωστο κτρχή το (f(x)) Οι ισώσεις: x + >0 κι x + <0 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ x + > 0 x + - >- x >- Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: χ Α >0, τότε: χ χ χ Α <0, τότε: χ χ Προσοχή λλάζει η φορά Α = 0, τότε η ίσωση γίετι 0x>-, η οποί ληθεύει γι κάθε x R, είι >0, είι δύτη, είι <0. Αισώσεις με πόλυτες τιμές με τη οήθει της ιδιότητς x < ρ -ρ < x < ρ ή της x - x ο <ρ x ο - ρ<x<x ο + ρ με τη οήθει της ιδιότητς x > ρ x < -ρ ή x > ρ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Μορφές τριωύμου Η πράστση x + x + γ, 0 λέγετι τριώυμο ου θμού ή, πιο πλά, τριώυμο. Η δικρίουσ Δ της τίστοιχης εξίσωσης x + x + γ = 0 λέγετι κι δικρίουσ του τριωύμου. Οι ρίζες της

21 εξίσωσης x + x + γ = 0, δηλδή οι οομάζοτι κι ρίζες του τριωύμου. Το τριώυμο x + x + γ, 0 μετσχημτίζετι ως εξής: 4 4γ χ 4 γ 4 χ χ ) γ χ (χ γ χ χ Επομέως: 4 Δ χ γ χ χ (1) Δικρίουμε τώρ τις εξής περιπτώσεις: Δ>0. Τότε ισχύει, οπότε έχουμε: Δ χ Δ χ Δ χ Δ χ Δ χ 4 Δ χ γ χ χ Επομέως: x + x + γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωύμου. Άρ, ότ Δ>0, τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επί δύο πρωτοάθμιους πράγοτες. Δ = 0. Τότε πό τη ισότητ (1) έχουμε: χ γ χ χ Άρ, ότ Δ = 0, τότε το τριώυμο μεττρέπετι σε γιόμεο του επί έ τέλειο τετράγωο. Δ<0. Τότε ισχύει Δ = -Δ, οπότε έχουμε: 4 Δ χ γ χ χ Επειδή γι κάθε x R, η πράστση μέσ στη γκύλη είι θετική, το τριώυμο δε λύετι σε γιόμεο πρωτοάθμιω πργότω. Πρόσημο τω τιμώ του τριωύμου Γι μελετήσουμε το πρόσημο τω τιμώ του τριωύμου x + x + γ, 0, θ χρησιμοποιήσουμε τις μορφές του άλογ με τη δικρίουσ. Α Δ>0, τότε, όπως είδμε προηγουμέως, ισχύει: x + x + γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωύμου Υποθέτουμε ότι x 1 <x κι τοποθετούμε τις ρίζες σε έ άξο. Πρτηρούμε ότι: Α x < x 1 < x (Σχήμ), τότε x - x 1 < 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ομόσημο του. Α x 1 < x < x (Σχήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) < 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ετερόσημο του

22 Α x 1 < x < x (Σχήμ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x > 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Επομέως, λόγω της (1), το τριώυμο είι ομόσημο του Α Δ = 0, τότε ισχύει: χ χ γ χ Επομέως, το τριώυμο είι ομόσημο του γι κάθε πργμτικό χ, εώ μηδείζετι γι χ Δ Α Δ<0, τότε ισχύει: χ χ γ χ 4 Όμως η πράστση μέσ στη γκύλη είι θετική γι κάθε πργμτικό ριθμό x. Επομέως το τριώυμο είι ομόσημο του σε όλο το R. Τ πρπάω συοψίζοτι στο πίκ: Το τριώυμο x + x + γ, 0 γίετι: Ετερόσημο του, μόο ότ είι Δ>0 κι γι τις τιμές του x, που ρίσκοτι μετξύ τω ριζώ. Μηδέ, ότ η τιμή του x είι κάποι πό τις ρίζες του τριωύμου. Ομόσημο του σε κάθε άλλη περίπτωση. Αρ γι είι έ τριώυμο θετικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει Δ<0 κι >0 γι είι έ τριώυμο ρητικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει Δ<0 κι <0 Αισώσεις της μορφής χ + χ + γ > 0 ή χ + χ + γ < 0 Βρίσκουμε το πρόσημο του τριωύμου χ + χ + γ κι κρτάμε το διάστημ στο οποίο γίετι >0 ή <0 τίστοιχ Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες Γεικά κολουθί πργμτικώ ριθμώ είι μι τιστοίχιση τω φυσικώ ριθμώ 1,,3,,, στους πργμτικούς ριθμούς. Ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο 1 κλείτι πρώτος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με 1, ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ο κλείτιδεύτερος όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με κ.λ.π. Γεικά ο ριθμός στο οποίο τιστοιχεί ές φυσικός ριθμός κλείτι -οστός ή γεικός όρος της κολουθίς κι το συμολίζουμε συήθως με. Δηλδή, 1 1,, 3 3,,, Τη κολουθί υτή τη συμολίζουμε ( ). Ακολουθίες που ορίζοτι δρομικά γι ορίζετι μι κολουθί δρομικά, πιτείτι γωρίζουμε: i. Το δρομικό της τύπο πχ + = +1 + κι ii. Όσους ρχικούς όρους μς χρειάζοτι, ώστε ο δρομικός τύπος ρχίσει δίει όρους. 5. Αριθμητική πρόοδος Μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε ριθμού. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με ω κι το λέμε διφορά της προόδου. Επομέως, η κολουθί () είι ριθμητική πρόοδος με διφορά ω, κι μόο ισχύει:

23 O ος όρος μις ριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είι = 1 +(-1)ω Απόδειξη Από το ορισμό της ριθμητικής προόδου έχουμε: Προσθέτοτς κτά μέλη της υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της διγρφής ρίσκουμε = 1 +(-1)ω Αριθμητικός μέσος Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις ριθμητικής προόδου με διφορά ω, τότε ισχύει: Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ ισχύει τότε έχουμε που σημίει ότι οι,, γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. Ο λέγετι ριθμητικός μέσος τω κι γ Αποδείξμε λοιπό ότι: Τρεις ριθμοί,,γ είι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου κι μόο ισχύει Άθροισμ διδοχικώ όρω ριθμητικής προόδου Το άθροισμ τω πρώτω όρω ριθμητικής προόδου () με διφορά ω είι 5.3 Γεωμετρική πρόοδος Μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό ριθμό. Το ριθμό υτό το συμολίζουμε με λ κι το λέμε λόγο της προόδου. Σε μι γεωμετρική πρόοδο ( ) υποθέτουμε πάτ ότι 1 # 0, οπότε, φού είι κι λ 0, ισχύει 0 γι κάθε v N *. Επομέως, η κολουθί ( ) είι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, κι μόο ισχύει: Ο ος όρος μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 κι λόγο λ είι = 1 λ -1 Απόδειξη Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε:

24 Πολλπλσιάζοτς κτά μέλη τις υτές ισότητες κι εφρμόζοτς τη ιδιότητ της της διγρφής, ρίσκουμε = 1 λ -1 Γεωμετρικός μέσος Α πάρουμε τρεις διδοχικούς όρους,, γ μις γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει Αλλά κι τιστρόφως, γι τρεις ριθμούς,, γ 0 ισχύει = γ, τότε που σημίει ότι οι,, γ είι διδοχικοί όροι μις γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός ριθμός λέγετι γεωμετρικός μέσος τω κι γ. Αποδείξμε λοιπό ότι: Τρεις μη μηδεικοί ριθμοί,, γ είι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, κι μόο ισχύει = γ Άθροισμ διδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου Το άθροισμ τω πρώτω όρω μις γεωμετρικής προόδου () με λόγο λ 1 είι ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (1) Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της (1) με το λόγο λ κι έχουμε () Αφιρούμε πό τ μέλη της () τ μέλη της (1) κι έχουμε: Επομέως, φού λ 1, έχουμε: Πρτήρηση: Στη περίπτωση που ο λόγος της προόδου είι λ-1, τότε το άθροισμ τω όρω της είι S v = 1 φού όλοι οι όροι της προόδου είι ίσοι με 1.

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. Παράγραφος 1.1. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης;

ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. Παράγραφος 1.1. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης; ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Πράγρφος 1.1 Ποιο πείρμ λέγετι ιτιοκρτικό κι ποιο πείρμ τύχης; Τι οομάζουμε χώρο εός πειράμτος τύχης; Τι λέμε εδεχόμεο εός πειράμτος τύχης; Ποιο εδεχόμεο λέγετι πλό κι ποιο σύθετο;

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης Σελίδ πό 3 Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρία της Α Λυκείου Η θεωρί της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 01-013 1 Η θεωρί της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ 1. Τι λέγετι σύνολο; Τι ονομάζουμε στοιεί ή μέλη του συνόλου ; Ποι είνι τ σικά σύνολ ριθμών ; Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Π ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας.

Π ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας. Π ρ ό λ ο γ ο ς Το ιλίο υτό γράφτηκε με στόχο τη πληρέστερη προετοιμσί τω μθητώ μς. Περιέχει συοπτική θεωρί,πρωτότυπες σκήσεις λλά κι θέμτ εξετάσεω τω τελευτίω ετώ του σχολείου μς. Ελπίζουμε ποτελέσει

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Τι οομάζετι πληθυσμός μις σττιστικής έρευς; Οομάζετι το σύολο τω τικειμέω (έμψυχω ή άψυχω γι τ οποί συλλέγοτι στοιχεί.. Τι οομάζετι άτομο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου,

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου, ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ποιο είι το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις.

1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις. o ΓΕΛ Λιδειάς Μθημτικά Προστολισμού Ορισμοί Θεωρήμτ- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηείες- Σχόλι Ατιπρδείγμτ - Πρτηρήσεις* ΟΡΙΣΜΟΣ ος πργμτική συάρτησησελ5 Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Η Έοι του Ορίου Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R 64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου

Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Μθημτιά Α Λυείου Μθημτιά γι τη Α τάξη του Λυείου Α Νιοστή ρίζ πργμτιού ριθμού. Κρδμίτσης Σπύρος ΟΡΙΣΜΟΣ Η ιοστή ρίζ θετιός έριος εός μη ρητιού ριθμού συμολίζετι με ι είι ο μη ρητιός ριθμός που ότ υψωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικός Ορισμός Πιθανοτήτας. Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων

Κλασικός Ορισμός Πιθανοτήτας. Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων P(A) Κλσικός Ορισός Πιθοτήτς Πλήθος Ευοϊκώ Περιπτώσεω Πλήθος Δυτώ Περιπτώσεω P(Ω) = Ρ() = 0 Γι κάθε εδεχόεο Α ισχύει: 0 Ρ(Α) Ν(Α) Ν(Ω) Κόες Λογισού τω Πιθοτήτω Γι συίστ / ξέ εδεχόε:. Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ >

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ

ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Το σύολο C τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:

Κεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες: Κεφάλιο ο Ερωτήσεις Κτόησης Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) είι σωστές ή με (Λ) είι λθσμέες: ) Γι κάθε ριθμό ισχύει + + + 4 β) Γι κάθε ριθμό ισχύει 4 γ) Οι ριθμοί (-) 6 κι - 6 είι τίθετοι δ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Όλη η θεωρί γι τις πελλήιες Εξετάσεις Κ Κρτάλη 28 με Δημητριάδος Τηλ 242 32 598 Περιεχόμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2

Διαβάστε περισσότερα

α+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0

α+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0 Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Τι οοµάζουµε µιγδικό ριθµό Μιγδικός ριθµός είι κάθε ριθµός που έχει τη µορφή + i, όπου, R κι i Τι λέγετι πργµτικό κι τι φτστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως:

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως: ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Γωρίζουµε ότι η δευτεροάθµι εξίσωση µε ρητική δικρίουσ δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ Ειδικότερ η εξίσωση = δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ, φού

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 4 έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» TAΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΝΑΜΕΙΣ - ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Μέρος πρώτο) ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΝΑΜΕΙΣ Α είι ές πργτικός ριθός κι ές φυσικός εγλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου Επληπτικά θέµτ Θεωρίς Γ Λυκείου Α i κι γ δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί τότε: 3 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: i γ δi γ δ i γ δ i i γδi Οι πρπάω ιδιότητες κι

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλει: Οµάδ Μθηµτικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρ, 7 Μ ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, β]. Α G είι μι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής Επάληψη Τελευτίς Στιγμής kanellopoulos@otmailcom 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Ορισμοί εοιώ & Θεωρήμτ χωρίς πόδειξη Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ( ) [( ) ] ( ) υ

[ ] ( ) [( ) ] ( ) υ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ) Α Θέτω στη συάρτηση ι οπότε έχω () ( ) Η εξίσωση γίετι η Α η Α δε ισχύει η Α ι ( ) ( ) ( ) τότε ( ) [ ] ( ) Διρίω τις περιπτώσεις άρ δε ισχύει τότε ( ) άρ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. . Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. . Άρα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γι μη μετκιηθεί το σώμ χρειάζετι εφρμοστεί δύμη B F F F F F Σ F F F F F Β Έχουμε διδοχικά: γ δ δ γ BA Άρ το τετράπευρο ΑΒΓΔ είι πρηόγρμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ KAI ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (011-01) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος»

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι

Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. 5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ http://cutemathswordpresscom/ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα