x = A ηµ(ω t+φ ο ), υ = A ω συν(ω t+φ ο ) και α = A ω² ηµ(ω t+φ ο )

Transcript

1 Η ΦΑΣΗ και η ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο προηγούµενο σχόλιο υποστήριξα τη θέση ότι, παρόλο που η Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση (ΓΑΤ) ενός κινητού µπορεί να περιγραφεί µαθηµατικά µε διάφορες εναλλακτικές οµάδες τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, είναι χρήσιµο για πρακτικούς λόγους να προτιµάµε µια µόνο οµάδα και µάλιστα µε κοινή φάση, π.χ. την οµάδα που προτείνεται στο σχολικό βιβλίο: x = A ηµ(ω t+φ ο ), υ = A ω συν(ω t+φ ο ) και α = A ω² ηµ(ω t+φ ο ) Στην περίπτωση αυτή σε πρώτη µατιά φαίνεται ότι έχει νόηµα να µιλάµε για τη φάση ή για την αρχική φάση της ταλάντωσης αφού είναι κοινή σε όλες τις εξισώσεις. Είναι όµως µόνο αυτό; Έτυχε απλά και διαλέξαµε ένα σύνολο τριγωνοµετρικών εξισώσεων µε κοινό όρισµα, δίνοντας έτσι υπερβολική προσοχή στη φάση; Τι γίνεται µε τη φάση; Μήπως είναι µια υπερτιµηµένη ποσότητα που µας είναι απλώς χρήσιµη επειδή έχουµε να κάνουµε µε τριγωνοµετρικούς αριθµούς; Είναι δηλαδή ένα µαθηµατικό εξάρτηµα συνδεδεµένο µε τον εκάστοτε τριγωνοµετρικό αριθµό; Περιέχει κάποια πληροφορία µε φυσικό νόηµα που να δικαιολογεί το χαρακτηρισµό «φάση της ΓΑΤ», ή «φάση του κινητού που εκτελεί ΓΑΤ»; Είναι µία η φάση της ταλάντωσης ή καθένα από τα µεγέθη (αποµάκρυνση, ταχύτητα, κλπ.) έχει τη δική του φάση; Ο συνάδελφος Βαγγέλης Κουντούρης έγραψε πιο πριν: «Η φάση είναι πολύ µεγάλο και δύσκολο θέµα. Να καταθέσω, κατ αρχήν, µία µόνο πρόταση: η φάση είναι το µέτρο του χρόνου λειτουργίας µιας πηγής». Η άποψη ότι η φάση περιέχει κάποιο φυσικό νόηµα για την ΓΑΤ βρίσκει γενικότερα αποδοχή και δεν είναι µόνο δική µου θέση. Θα προσπαθήσω λοιπόν στη συνέχεια να δώσω ένα πλαίσιο µέσα στο οποίο να φαίνεται η ανάγκη εισαγωγής, η χρησιµότητα και ο ρόλος της φάσης στην περιγραφή της αρµονικής ταλάντωσης ενός σώµατος. 2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΦΑΣΗΣ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ Οι εξισώσεις για την µαθηµατική περιγραφή της θέσης x ενός σώµατος που εκτελεί (αµείωτη) ΓΑΤ, οι οποίες προκύπτουν ως λύσεις της αντίστοιχης διαφορικής εξίσωσης της κίνησης του σώµατος, είναι αρµονικές εξισώσεις του χρόνου, που µπορεί να περιέχουν τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ηµίτονο, συνηµίτονο ή συνδυασµούς τους. Ο χρόνος δηλαδή υπάρχει µέσα στο όρισµα των συναρτήσεων αυτών Έχουµε λοιπόν ένα χρονικά περιοδικό φαινόµενο που περιγράφεται µε τη βοήθεια µιας περιοδικής µαθηµατικής συνάρτησης, και είναι προφανές κατ αρχήν ότι πρέπει να Σελίδα 1 από 7

2 υπάρχει µια κατάλληλη αντιστοιχία µεταξύ του χρόνου κίνησης και της γωνίας ορίσµατος, µια κατάλληλη αύξουσα συνάρτηση, η συνάρτηση της φάσης, τέτοια ώστε να ικανοποιούνται οι εξής προϋποθέσεις: (i) Η αύξηση φ της γωνίας να είναι ανάλογη µε τον αντίστοιχο χρόνο t: φ ~ t ή αλλιώς: φ/ t = σταθ. και (ii) Σε χρόνο µιας περιόδου Τ ή αντίστοιχη αύξηση της γωνίας να είναι 360 ή 2π ακτίνια, δηλαδή να ισχύει: φ = t Προφανώς η ποσότητα 2π = ω εκφράζει τον ρυθµό αύξησης της φάσης, ο οποίος Τ µάλιστα δεν είναι τυχαίος αλλά σταθερός και τέτοιος ώστε η φάση να αυξάνεται κατά 2π ακτίνια σε κάθε πλήρη ταλάντωση. Η κυκλική (ή γωνιακή) συχνότητα είναι λοιπόν ένα µονόµετρο µέγεθος που δεν έχει σχέση µε την γωνιακή ταχύτητα στη στροφική κίνηση και δεν πρέπει να συγχέεται µ αυτήν. Στον ορισµό της γωνιακής ταχύτητας (ω=dφ/dt) η ποσότητα dφ εκφράζει τη γωνιακή µετατόπιση του στρεφόµενου κινητού, κάτι που φυσικά δεν υπάρχει σε µια ΓΑΤ. Υπάρχει όµως και µια άλλη σηµαντική διαφοροποίηση ανάµεσα στις δύο φαινοµενικά όµοιες σχέσεις: Αν ένα υλικό σηµείο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση (ω=σταθ.), ισχύει ω=dφ/dt ή ισοδύναµα ω= φ/ t από όπου προκύπτει φ=ω t. ηλαδή σε ίσους χρόνους αντιστοιχούν ίσες γωνιακές µετατοπίσεις και ίσα διαστήµατα (µήκη τροχιάς). 2π Τ Αν υποθέσουµε ότι η κίνηση άρχισε τη στιγµή t o =0 (χρονόµετρο) τότε η σχέση γίνεται: φ φ ο =ω (t t o ) φ φ ο =ω t, όπου φ ο είναι η αρχική γωνιακή θέση και φ η τελική. Στην πράξη όµως δεν βλάπτει να θεωρήσουµε ως αρχή το σηµείο εκκίνησης, όποιο και αν είναι αυτό, οπότε η σχέση γίνεται: φ=ω t. Στην τελευταία αυτή σχέση, που συχνά συναντάµε, τα σύµβολα φ και t (έστω και λίγο χαλαρά) εκφράζουν όχι πια (γωνιακή) θέση και στιγµή, αλλά (γωνιακή) µετατόπιση και διάρκεια αντίστοιχα. Στην περίπτωση της φάσης, πάλι έχουµε φ=ω t αλλά ίσες µεταβολές φάσης δεν αντιστοιχούν τώρα σε ίσα διαστήµατα! Η αρχική φάση φ ο σχετίζεται µε το «πώς» άρχισε να εκτελείται η κίνηση (αρχική θέση και κατεύθυνση) και δεν µπορεί να παραλειφθεί. Θεωρώντας πάλι ότι η κίνηση άρχισε τη στιγµή t o =0 (χρονόµετρο) η φάση γίνεται: φ φ ο =ω t φ = φ ο + ω t. Η φάση φ δηλαδή είναι το αντίστοιχο της θέσης ή της στιγµής και ΟΧΙ το αντίστοιχο της µετατόπισης ή της διάρκειας, σε αντίθεση µε τη γωνία φ στη στροφική κίνηση, που τη χρησιµοποιούµε είτε για τον καθορισµό της γωνιακής θέσης, είτε (κυρίως) για να προσδιορίσουµε τη γωνιακή µετατόπιση (αν και πιο κατάλληλο σύµβολο θα ήταν το φ). Σελίδα 2 από 7

3 Το ίδιο εξάλλου το κάνουµε και αλλού: γράφουµε x εννοώντας άλλοτε θέση και άλλοτε διάστηµα, ή γράφουµε t εννοώντας άλλοτε χρονική στιγµή και άλλοτε διάρκεια. Και βέβαια µάλλον καλά κάνουµε γιατί είναι εκνευριστικό και για τα παιδιά να γράφουµε συνέχεια x και t, αλλά η χαλαρότητα αυτή µπορεί στην περίπτωση της ταλάντωσης και της φάσης να προκαλέσει παρανοήσεις. Αν για παράδειγµα ζητάµε σε οµαλή κυκλική κίνηση το µήκος s του διανυθέντος τόξου σε χρόνο t (από τη στιγµή t 1 έως την t 2 ), η λύση τυπικά είναι: s = s 2 s 1 = R (φ 2 φ 1 ) = R (φ ο +ω t 2 φ ο ω t 1 ) = R ω (t 2 t 1 ) = R ω t ή πιο απλά: s = R φ = R ω t ή πιο «χαλαρά»: s = R φ = R ω t (όπου στην τελευταία ξαφνικά τα s και t εκφράζουν διάστηµα και χρόνο!). Σκεφτείτε λοιπόν το µαθητή να κάνει «χαλαρά» το ίδιο σε µία ταλάντωση: Κάποια στιγµή το κινητό βρίσκεται στη θέση x 1. Να προσδιορίσετε σε ποια θέση x 2 θα βρίσκεται µετά από χρόνο t (ή ακόµα χειρότερα, πόσο διάστηµα s θα έχει διατρέξει µετά από χρόνο t). Αµέσωωως : x = A ηµ(ω t) ή αλλιώς: s = A ηµ(ω t)!!! Πανεύκολο!!! Μπορεί να είναι κάπως ακραία µια τέτοια περίπτωση, αλλά είναι ενδεικτική για το είδος της παρανόησης που µπορεί να προκληθεί στο µαθητή. Η προσπάθεια αποφυγής αυτής ακριβώς της παρανόησης είναι πιστεύω και ο λόγος που ωθεί µερικούς συναδέλφους να χρησιµοποιούν για τη φάση τον όρο στιγµιαία φάση. Φοβάµαι πάντως ότι ο όρος αυτός, παρόλο που πράγµατι αποβλέπει στη νοητική σύνδεση της φάσης µε τη χρονική στιγµή, εν τούτοις ο χαρακτηρισµός «στιγµιαία» µπορεί να προκαλέσει άλλου είδους παρανοήσεις, διότι τυπικά συνηθίζουµε να τον χρησιµοποιούµε για περιγράψουµε κάποιο χρονικό ρυθµό (χρονική παράγωγο) ενός µεγέθους (σε αντιδιαστολή µε τη µέση τιµή του ίδιου ρυθµού). Ή σε άλλες περιπτώσεις (πιο χαλαρά και ατυχώς κατά τη γνώµη µου) χρησιµοποιούµε τον όρο στιγµιαία για να περιγράψουµε κάτι µε πολύ µικρή διάρκεια (σας θυµίζω τον όρο στιγµιαία ώθηση που είχε χρησιµοποιηθεί στις πανελλαδικές το 1993, αλλά και τον όρο στιγµιαίο αδίκηµα!) Για τον ίδιο επίσης λόγο είναι κάπως παραπλανητικό να ονοµάζουµε φ (αντί φ ή φ ή έστω φ 1,2 ) τη διαφορά φάσης δύο ταλαντώσεων, «ταυτίζοντάς» την µε την αρχική φάση της µιας από τις δύο ταλαντώσεις. Το ηµφ της αρχικής φάσης έχει νόηµα και καθορίζει την αρχική αποµάκρυνση της αντίστοιχης ΓΑΤ, αλλά το ηµφ της διαφοράς φάσης τους είναι λάθος και δεν δίνει τίποτε. Σελίδα 3 από 7

4 Είναι πολύ σηµαντικό λοιπόν να συνειδητοποιεί και να ξεκαθαρίζει κάθε µαθητής στο µυαλό του ότι η φάση φ είναι άµεσα συνδεδεµένη µε τη στιγµή t και τη θέση x και όχι µε τη διάρκεια και το διάστηµα: χρονική στιγµή t φάση φ ηµίτονο(φάσης φ) θέση x Αυτό είναι ίσως και ένας από τους λόγους που η φάση της αποµάκρυνσης x έχει επικρατήσει να θεωρείται ως η «φάση της ταλάντωσης», όπως θα σχολιαστεί και πιο κάτω. Στην αρχική φάση φ ο θα επανέλθουµε πάλι πιο αναλυτικά αργότερα. 3. ΦΑΣΗ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ Η χρονική πληροφορία λοιπόν, µέσω της οποίας περιµένουµε να περιγράφεται η θέση του σώµατος, µεταφράζεται µε τη βοήθεια της φάσης σε µια γλώσσα που να γίνεται «αντιληπτή» από την τριγωνοµετρική συνάρτηση. Η φάση είναι µια γωνία διερµηνέας ανάµεσα στο φαινόµενο και στο µαθηµατικό εργαλείο για την περιγραφή του. Οι συναρτήσεις ηµίτονο και συνηµίτονο δίνουν όµως για την ίδια γωνία όρισµα διαφορετικό αποτέλεσµα (π.χ. ηµ30º=0,50 ενώ συν30º=0,87). Γνωρίζουµε ότι όταν δύο γωνίες διαφέρουν κατά π/2 το ηµίτονο της µίας ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης, όπως φαίνεται καθαρά και στις πιο κάτω γραφικές παραστάσεις. +1 συνφ ηµφ π/2 0 π/2 π 3π/2 2π φ -1 Αν τώρα οι εν λόγω γωνίες είναι χρονικές συναρτήσεις, το συνηµίτονο φαίνεται να προηγείται χρονικά του ηµιτόνου κατά t=τ/4 να παίρνει δηλαδή τις ίδιες τιµές µε αυτό Τ/4 πιο νωρίς, όπως φαίνεται και στις επόµενες γραφικές παραστάσεις (ή αν προτιµάµε, το ηµίτονο φαίνεται να καθυστερεί χρονικά του συνηµιτόνου κατά Τ/4). Σελίδα 4 από 7

5 +1 συνφ ηµφ t=t/4 0 Τ/4 Τ/2 3Τ/4 Τ t -1 ανειζόµενοι τους όρους «προηγείται» ή «καθυστερεί» και για τις φάσεις των δύο συναρτήσεων, συνηθίζουµε να λέµε ότι: Το συνηµίτονο προηγείται σε φάση κατά π/2 από το ηµίτονο, ή αντίστοιχα Το ηµίτονο καθυστερεί σε φάση κατά π/2 από το συνηµίτονο. Είναι φανερό εποµένως ότι για να περιγράφεται ισοδύναµα η κίνηση ανεξάρτητα από την επιλογή ηµιτόνου ή συνηµιτόνου, θα πρέπει να χρησιµοποιούµε διαφορετική συνάρτηση φάσης σε κάθε περίπτωση: Τη φάση φ(t) του ηµιτόνου και τη φάση φ (t) του συνηµιτόνου. Η σχέση ανάµεσα στις δύο αυτές φάσεις είναι προφανώς: φ (t) = φ(t) + π/2 4. ΦΑΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ Είναι επίσης φανερό ότι αν ένα αρµονικά µεταβαλλόµενο µέγεθος Μ περιγράφεται από τη σχέση Μ=Μ max ηµ(φ) τότε µπορεί να περιγράφεται ισοδύναµα και από την Μ=Μ max συν(φ ), όπου η φάση φ(t) του ηµιτόνου και η φάση φ (t) του συνηµιτόνου συνδέονται όπως είδαµε πιο πάνω µε τη σχέση: φ (t) = φ(t) + π/2 Για την απλοποίηση τώρα, κατά το δυνατόν, της επικοινωνίας µεταξύ µας, έχει επικρατήσει στην ελληνική βιβλιογραφία, τουλάχιστον σε Λυκειακό επίπεδο, να: ονοµάζουµε φάση ενός µεγέθους τη φάση εκείνη που προκύπτει όταν χρησιµοποιούµε το ηµίτονο για την περιγραφή του µεγέθους. Στο προηγούµενο παράδειγµα, ως φάση του µεγέθους M λογίζεται η φ(t) και όχι η φ (t). Σελίδα 5 από 7

6 Αν για παράδειγµα µια ταλάντωση περιγράφεται από τις εξισώσεις: x = A ηµ(ω t), υ = υ max συν(ω t) = υ max ηµ(ω t+π/2) και α = α max ηµ(ω t) = α max ηµ(ω t+π) τότε: η φάση της αποµάκρυνσης x είναι φ 1 = ω t, η φάση της ταχύτητας υ είναι φ 2 = ω t + π/2 και η φάση της επιτάχυνσης α είναι φ 3 = ω t + π. 5. ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ (ΓΑΤ), ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ ΤΗΣ ΓΑΤ Μέχρι στιγµής έχουµε καταλήξει στο συµπέρασµα ότι καθένα από τα φυσικά µεγέθη που σχετίζονται µε τη ΓΑΤ έχει τη δική του φάση (φάση της αποµάκρυνσης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης, κλπ.) η οποία εµφανίζεται ως όρισµα του αντίστοιχου ηµιτόνου που υπάρχει στην ηµιτονοειδή περιγραφή του µεγέθους. Έχει επικρατήσει, και όχι µόνο στην ελληνική βιβλιογραφία, το εξής: Η φάση της αποµάκρυνσης x να θεωρείται ως η φάση της ίδιας της ΓΑΤ. Πιστεύω ότι η αιτία αυτής της προτίµησης είναι να τονιστεί η σηµασία της θέσης στην ΓΑΤ. Στην παράγραφο (2) πιο πριν αναλύσαµε την ανάγκη να αντιληφθούν οι µαθητές ότι η φάση σχετίζεται µε τη στιγµή και όχι µε τη διάρκεια και βέβαια ο πιο κατάλληλος τρόπος είναι να το κατανοήσουν µέσα από την αλληλοεξάρτηση φάσης και θέσης (αποµάκρυνσης), όπως φάνηκε και από τα παραδείγµατα. Πιστεύω όµως ότι υπάρχουν και δύο ακόµα λόγοι που συνηγορούν σ αυτή την προτίµηση: Α) Η θέση παίζει πρωταγωνιστικό ρόλο σε µια ταλάντωση. Σκεφτείτε για παράδειγµα µια «πραγµατική» ΑΑΤ, π.χ. αυτή που γίνεται µε τη βοήθεια ενός ελατηρίου. Η δύναµη επαναφοράς είναι «χωροεξαρτώµενη» όπως είχε γράψει αν θυµάµαι καλά στη συζήτηση για την ΑΑΤ ο συνάδελφος Θοδωρής Παπασγουρίδης. ηλαδή µε απλά λόγια, η αποµάκρυνση του σώµατος προκαλεί αρνητική «ανάδραση» στη δύναµη επαναφοράς, «συµβάλλει» στην προσπάθεια του ελατηρίου να αναγκάσει το σώµα να επιστρέψει πίσω. Το σώµα «τιµωρείται» όλο και πιο «αυστηρά» στην προσπάθειά του να «ξεφύγει από το µαντρί». Οµολογώ ότι «ξέφυγα» κι εγώ από τη σοβαρότητα, αλλά προσπαθώ να τονίσω ότι: Σελίδα 6 από 7

7 Η θέση (αποµάκρυνση) αποτελεί ένα σηµαντικό στοιχείο της ΓΑΤ και συµµετέχει στην περεταίρω εξέλιξη της κίνησης κάτι που αντικατοπτρίζεται και στη διαφορική εξίσωση µε τον όρο kx. Β) Στη µελέτη ενός φαινοµένου, είναι επιθυµητό συχνά να κάνουµε παραµετροποιήσεις που µας βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση του φαινοµένου αλλά και στη γενίκευση κάποιων χαρακτηριστικών ώστε να αναφέρονται σε ολόκληρη την κατηγορία όµοιων φαινοµένων. Π.χ. τη διάρκεια εκφόρτισης ενός πυκνωτή σε ένα κύκλωµα R-C προτιµάµε να τη µετράµε σε σταθερές χρόνου και όχι σε δευτερόλεπτα (5 ή 6 σταθερές χρόνου), Τη µάζα ενός αερίου τη µετράµε σε moles αντί σε κιλά, Το χρόνο διάσπασης ενός ραδιενεργού στοιχείου σε χρόνους ηµιζωής και όχι σε ηµέρες ή µήνες, κλπ. Στα περιοδικά φαινόµενα µια πρώτη παραµετροποίηση είναι να µετράµε το χρόνο σε περιόδους και όχι σε δευτερόλεπτα. Σε µια οµαλή στροφική κίνηση, ο τροχός σε 5⅛ περιόδους θα έχει διαγράψει 5⅛ περιστροφές και ένα σηµείο της περιφέρειας θα έχει διατρέξει διάστηµα 5⅛ 2πR. Σε µια ταλάντωση όµως; Εδώ µπαίνει ο σωτήριος ρόλος της φάσης και της αρχικής φάσης. Αν το σώµα ξεκίνησε από τη Θ.Ι. τότε σε 5⅛ περιόδους η φάση θα έχει γίνει 10π+π/4 ακτίνια και το σώµα θα έχει κάνει 5 ολόκληρες αιωρήσεις και θα βρίσκεται τώρα στη θέση. Αν πάλι δεν ξεκίνησε από τη θέση ισορροπίας, τότε στον ίδιο χρόνο η φάση του θα έχει γίνει 10π+π/4+φ ο ακτίνια και εποµένως κλπ. Είναι δηλαδή πολύ σηµαντική η κατανόηση του συσχετισµού της αποµάκρυνσης µε την αντίστοιχη φάση. Μέσα από τα παραπάνω νοµίζω γίνεται κατανοητός και ο ρόλος της αρχικής φάσης ως µιας γωνίας µέσω της οποίας να καθορίζεται ο τρόπος µε τον οποίο ξεκίνησε η ΓΑΤ. ( ηλαδή από ποια αρχική αποµάκρυνση και προς ποια κατεύθυνση). Επειδή όλοι οι πιθανοί τρόποι έναρξης της ΓΑΤ είναι πρακτικά όλες οι θέσεις από τις οποίες θα περάσει το κινητό κατά τη διάρκεια µιας πλήρους αιώρησης, άρα µια περιοχή εύρους 2π για τη φ ο καλύπτει κάθε πιθανό τρόπο έναρξης της ΓΑΤ. Έτσι επιλέξαµε συµβατικά: 0 φ ο < 2π ιονύσης Μητρόπουλος Σελίδα 7 από 7