Έλεγχος ενός βαθµού ελευθερίας ροµποτικού συστήµατος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έλεγχος ενός βαθµού ελευθερίας ροµποτικού συστήµατος"

Transcript

1 Έλεγχος ενός βαθµού ελευθερίας ροµποτικού συστήµατος Το βασικό σχήµα ελέγχου ενός βαθµού ελευθερίας (µιάς άρθρωσης, ενός τροχού, κλπ) ροµποτικού συστήµατος φαίνεται στο Σχήµα 1. Επιθυµητή θέση Ελεγκτής κίνησης ενός βαθµού ελευθερίας Κ ι e()d Σ + - e - Κ p Σ + D/A Ενισχυτής ισχύος Κινητήρας Μειωτήρας Κ D de()/d Πραγµατική θέση Αισθητήριο γωνιακής θέσης (encoder) Σχήµα 1 Πρόκειται στην ουσία για ένα τυπικό σύστηµα κλειστού βρόχου ελέγχου ταχύτητας ή θέσης. Εφαρµόζεται για την περίπτωση χρήσης κινητήρα συνεχούς ρεύµατος αν χρησιµοποιηθεί βηµατικός κινητήρας δεν απαιτείται σύστηµα κλειστού βρόχου. Ο ελεγκτής κίνησης µπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε Η/Υ : Αν χρησιµοποιηθεί PC, τότε απαιτείται να χρησιµοποιηθεί επίσης «κάρτα διασύνδεσης» η οποία αναλαµβάνει την διεπαφή (inerace) τόσο µε τον αισθητήρα γωνιακής θέσης όσο και µε τον ενισχυτή ισχύος. Οι διαθέσιµοι στην αγορά ελεγκτές κίνησης σε µορφή κάρτας για PC, είναι σε θέση να ελέγξουν συνήθως αρκετούς βαθµούς ελευθερίας. Αρκεί δηλαδή µια τέτοια για να ελεγχθεί ένα ροµπότ 1. Οι σύγχρονοι ισχυροί µικροελεγκτές είναι επίσης κατάλληλοι. Πλεονεκτούν ως προς το χαµηλό κόστος και ως προς το γεγονός ότι 1 Ένας σχετικός δικτυακός τόπος : hp:// 1

2 είναι άµεσα διασυνδέσιµοι τόσο µε τον αισθητήρα όσο και µε τον ενισχυτή ισχύος. Μέθοδος ελέγχου Η επιθυµητή γωνιακή θέση, αφαιρείται από την πραγµατική και προκύπτει το σφάλµα e. Το σφάλµα «υπόκειται» σε τριών ειδών «επεξεργασίες» προκειµένου να παραχθούν τρεις διαφορετικές «δράσεις ελέγχου» που αφού αθροισθούν αποτελούν την εντολή ελέγχου. Η τελευταία οδηγείται µέσω του µετατροπέα «ψηφιακού σε αναλογικό» - A/D - διαβιβάζεται στον ενισχυτή ισχύος και τελικά στον κινητήρα. Αναλογική δράση ελέγχου Proporional conrol Πρόκειται για ένα απλό πολλαπλασιασµό του σφάλµατος επί µια σταθερά K p την σταθερά ή κέρδος του αναλογικού ελέγχου. Είναι η απλούστερη, σχεδόν ενστικτώδης δράση ελέγχου : Όσο υπάρχει σφάλµα, υπάρχει και εντολή προς τον κινητήρα προκειµένου να εξουδετερωθεί το σφάλµα και η άρθρωση να ισορροπήσει στην επιθυµητή θέση. Αν ο κινητήρας αντιµετωπίζει βαρυτικές δυνάµεις άρθρωση ανυψώνει φορτίο ή τροχήλατο ροµπότ κινείται σε ανηφόρα- ή στατική τριβή, στις πλείστες δηλαδή των περιπτώσεων, τότε µετά από µια εντολή κίνησης σε συγκεκριµένη γωνία, η πραγµατική τιµή δεν µπορεί να φτάσει ακριβώς την επιθυµητή. Στην κατάσταση ισορροπίας θα υπάρχει ένα κάποιο σφάλµα (σφάλµα µόνιµης κατάστασης, e ss ), το οποίο πολλαπλασιαζόµενο επί την σταθερά Κ p, θα παρέχει την απαραίτητη εντολή στον ενισχυτή ισχύος για να εξουδετερώσει ακριβώς αυτά τα «βαρυτικά φορτία». Επίδραση του κέρδους Κ p στην «συµπεριφορά» του συστήµατος Όσο µικρότερο είναι το κέρδος Κ p, τόσο µικρότερες εντολές παράγονται για συγκεκριµένες τιµές του σφάλµατος. Συνεπώς το σύστηµα : αφ ενός θα αργεί να «αποκριθεί» σε ζήτηση συγκεκριµένης γωνίας στροφής, θα είναι δηλαδή «νωθρό» αφ ετέρου, αν αντιµετωπίζει βαρυτικά φορτία, θα ισορροπεί µε µεγάλο σφάλµα µόνιµης κατάστασης Τα εντελώς αντίθετα θα συµβούν για µεγάλες τιµές του κέρδους. Εδώ το σύστηµα κινδυνεύει να αντιδράσει βίαια, άρα να οδηγηθεί σε «αστάθεια» για µεγάλες τιµές του κέρδους. Το σφάλµα µόνιµης κατάστασης θα είναι βεβαίως µικρότερο, αλλά ποτέ µηδέν αν το σύστηµα αντιµετωπίζει βαρυτικά φορτία. Τα παραπάνω φαίνονται παραστατικά στο Σχήµα.

3 ` θ επιθυµητή τιµή πραγµατική τιµή e ss Κ p ` Σχήµα Ολοκληρωτική δράση ελέγχου Inegral Conrol Αν το σφάλµα µόνιµης κατάστασης πρέπει να είναι µηδέν και κάτι τέτοιο δεν είναι επιτεύξιµο µε αναλογική δράση ελέγχου, τότε πρέπει να προστεθεί και «ολοκληρωτική δράση ελέγχου». Όπως φαίνεται στο Σχήµα 1, το σφάλµα, σαν συνάρτηση του χρόνου, ολοκληρώνεται στο χρόνο και το παραγόµενο ολοκλήρωµα πολλαπλασιάζεται επί µια σταθερά K i. Η τιµή που προκύπτει προστίθεται στον «αναλογικό όρο» του ελέγχου και συνδιαµορφώνει την εντολή ελέγχου. Ο ρόλος του «ολοκληρωτικού όρου» στον έλεγχο του συστήµατος Στο Σχήµα, φαίνεται πως εξελίσσεται τυπικά το σφάλµα ελέγχου µετά από µια εντολή κίνησης. Μπορεί κανείς να παρατηρήσει, ότι όσο το σφάλµα δεν είναι µηδέν, που ας µην ξεχνούµε είναι η ζητούµενη κατάσταση, το ολοκλήρωµα δεν αποκτά σταθερή τιµή. Ο µόνος τρόπος για να σταθεροποιηθεί - να αποκτήσει σταθερή τιµή - το ολοκλήρωµα, είναι να γίνει το σφάλµα µηδέν.

4 Επανερχόµαστε στην δράση του ολοκληρωτικού όρου στον έλεγχο του συστήµατος: Ας υποθέσοµε ότι λειτουργεί τόσο ο αναλογικός όσο και ο ολοκληρωτικός όρος, το σύστηµα ελέγχου παίρνει εντολή να κινήσει τον κινητήρα κατά συγκεκριµένη γωνία και πράγµατι ο τελευταίος εκτελεί την κίνηση και σταµατά, βρίσκει δηλαδή µια νέα θέση ισορροπίας. Αφού το σύστηµα βρίσκεται σε ισορροπία, η εντολή ελέγχου προς τον ενισχυτή ισχύος έχει σταθεροποιηθεί, συνεπώς και το ολοκλήρωµα που συµµετέχει στην διαµόρφωση της εντολής έχει βρει µια σταθερή τιµή. Οπότε, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, το σφάλµα (µόνιµης κατάστασης) είναι µηδέν! Η δράση δηλαδή του ολοκληρωτικού όρου εξαφάνισε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης, ανάγκασε δηλαδή τον κινητήρα να κινηθεί και να ισορροπήσει ακριβώς στην ζητούµενη θέση. e e 1 e e n-1 e n n-1 n Σχήµα Επίδραση του κέρδους Κ i στην «συµπεριφορά» του συστήµατος Ο ολοκληρωτικός όρος γενικά έχει την τάση να δηµιουργεί ταλαντώσεις, να χειροτερεύει δηλαδή την ευστάθεια του συστήµατος. Η σταθερά συνεπώς Κ i ρυθµίζει κατά κάποιο τρόπο την τάση αυτή : Μεγάλες τιµές της έχουν σαν αποτέλεσµα ο ολοκληρωτικός όρος να επιδρά και να καταστέλλει γρήγορα το σφάλµα, εις βάρος όµως της ευστάθειας. Το αντίθετο συµβαίνει για µικρές τιµές. Αριθµητικός υπολογισµός του ολοκληρώµατος Για την υλοποίηση του ελέγχου όπως έχει αναφερθεί χρησιµοποιείται κάποιου είδους Η/Υ. Η εντολή προς το σύστηµα υπολογίζεται, ανανεώνεται κάθε mseconds. Ο χρόνος αυτός ονοµάζεται χρόνος δειγµατοληψίας και 4

5 ελέγχου. Το (ορισµένο) ολοκλήρωµα του σφάλµατος από χρόνο n-1 µέχρι χρόνο n είναι περίπου ίσο µε το εµβαδόν του σχετικού τραπεζίου (Σχήµα ) : (e n-1 + e n ) / To ολοκλήρωµα από την έναρξη του ελέγχου µέχρι τον χρόνο υ n (ν-οστή περίοδος ελέγχου), δίδεται από τον αναδροµικό τύπο : Ι n = Ι n-1 + (e n-1 + e n ) / ιαφορική δράση ελέγχου Όπως θα µπορούσε κανείς να φαντασθεί και από το όνοµα, πρόκειται για ένα όρο της εντολής ελέγχου που σχετίζεται µε τις (τοπικές) διαφορές του σφάλµατος, µε την παράγωγό του δηλαδή την συγκεκριµένη χρονική στιγµή του ελέγχου. Ο εν λόγω όρος δηµιουργεί εντολή ανάλογη της «τάσης του σφάλµατος να µεταβληθεί», προσπαθεί δηλαδή να προλάβει απότοµες µεταβολές στο σφάλµα. Τελικά δηλαδή προσπαθεί να προλάβει αστάθειες. Ο όρος συµβάλλει θετικά στην ευστάθεια του συστήµατος. Αριθµητικός υπολογισµός της παραγώγου Μια 1 ης τάξης προσέγγιση της παραγώγου της συνάρτησης σφάλµατος την χρονική στιγµή n (Σχήµα ) δίδεται από τον τύπο : D n = (e n - e n-1 ) / Για τα συνήθη ροµποτικά συστήµατα 1 ms είναι αρκετό. 5

6 Έλεγχος µιας άρθρωσης Χρονική συνάρτηση (προφίλ) επιθυµητής ταχύτητας θέσης για «οµαλή» κίνηση άρθρωσης από σηµείου εις σηµείο. Το πρόβληµα Να σχεδιασθεί προφίλ ταχύτητας και θέσης για όσο γίνεται οµαλότερη κίνηση άρθρωσης από σηµείου εις σηµείο. Ένας απλός τρόπος προκειµένου να επιτύχει κανείς οµαλή κίνηση, είναι να σχεδιάσει ένα τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας. Να ζητήσει δηλαδή από την άρθρωση να ξεκινήσει µε σταθερή επιτάχυνση, να επιταχύνει µέχρι να επιτευχθεί η µέγιστη ταχύτητα, να συνεχίσει οµαλή κίνηση µε ταχύτητα Vmax και την κατάλληλη στιγµή να αρχίσει επιβραδυνόµενη κίνηση µέχρι ακινητοποιήσεως (Σχήµα 4). Το εν λόγω προφίλ κίνησης είναι συνήθως (χωρίς να είναι απαραίτητο) συµµετρικό, δηλαδή ο χρόνος της επιταχυνόµενης κίνησης ισούται µε τον χρόνο της επιβραδυνόµενης. v Vmax θ a v a Σχήµα 4. Τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας για οµαλή κίνηση άρθρωσης από σηµείου εις σηµείο. Από το τραπεζοειδές προφίλ επιθυµητής επιθυµητής θέσης (Σχήµα 5). ταχύτητας, προκύπτει το προφίλ της 6

7 s s a s v s a a v a Σχήµα 5 Αν είναι : a : η επιτάχυνση Vmax : H ταχύτητα της οµαλής κίνησης Τ : O συνολικός χρόνος κίνησης a : Ο χρόνος της επιταχυνόµενης και επιβραδυνόµενης κίνησης συµµετρικό προφίλ κίνησης v : Ο χρόνος της οµαλής κίνησης S : Το συνολικό διάστηµα s a : Το διάστηµα που διανύθηκε κατά την επιταχυνόµενη ή επιβραδυνόµενη κίνηση s v : To Το διάστηµα που διανύθηκε κατά την οµαλή κίνηση Iσχύουν οι σχέσεις : V max = a a (1) Οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση s a = ½ a a =½ V max /a () Οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση S = s a + s v () Συνολικό διάστηµα κίνησης T = a + v (4) Συνολικός χρόνος κίνησης s v = V max v = (a a ) v (5) Οµαλή ευθύγραµµη κίνηση Συνήθως δίδονται τα παρακάτω : Συνολικό διάστηµα κίνησης : S 7

8 Μέγιστη επιθυµητή ταχύτητα : Vmax Επιτάχυνση : a Οπότε, η διαδικασία για να υπολογίσοµε τα υπόλοιπα µεγέθη της κίνησης είναι : Από την (1) υπολογίζεται το a Από την () υπολογίζεται το s a Από την () υπολογίζεται το s v Από την (5) υπολογίζεται το v Κάποιες φορές δίδονται τα παρακάτω : Συνολικό διάστηµα κίνησης : S Χρόνοι επιταχυνόµενης και οµαλής κίνησης : a και v τότε, η διαδικασία για να υπολογίσοµε τα υπόλοιπα µεγέθη της κίνησης είναι : Από την (1) και (5) προκύπτει : S = s a + s v = (½ a a ) + (a a ) v => a = S/( a + a v ) Από την (1) υπολογίζεται το V max Τα υπόλοιπα µεγέθη όπως και στην προηγούµενη περίπτωση. Αν δίδονται τα : Συνολικό διάστηµα κίνησης : S Συνολικός χρόνος κίνησης : Τ Επιτάχυνση a Ισχύει : S = s a + s v = (½ a a ) + (a a ) v Τ = a + v που αποτελεί σύστηµα εξισώσεων µε αγνώστους a και v, που µετά τον υπολογισµό τους η διαδικασία ανάγεται στην προηγούµενη. Το ζητούµενο προφίλ θἐσης δίδεται από τις σχέσεις : 8

9 ½ a για < a (1.α) (οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση) s() = s a + V max ( - a ) για a <= < ( a + v ) (1.β) (οµαλή κίνηση µε αρχικό διάστηµα s a ) (s a +s v ) +V max (- a - v ) - ½ a (- a - v ) για ( a + v ) <= <= T (1.γ) (οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε αρχικό διάστηµα και αρχική ταχύτητα) Οι παραπάνω σχέσεις είναι γραµµένες για ευθύγραµµη κίνηση, ισχύουν όµως και για περιστροφική, αρκεί το διάστηµα s να αντικατασταθεί µε γωνία φ, η γραµµική ταχύτητα µε γωνιακή ταχύτητα και η γραµµική επιτάχυνση µε γωνιακή επιτάχυνση. Πολλές φορές, την φάση της επιταχυνόµενης κίνησης ακολουθεί αµέσως η φάση της επιβραδυνόµενης : Είτε επειδή έτσι το ζητούµε για να ελαχιστοποιήσοµε τους χρόνους µετάβασης είτε γιατί µε δεδοµένα τα S, Vmax και a, η άρθρωση ενδέχεται να µην προλάβει να αναπτύξει την επιθυµητή ταχύτητα (είτε επειδή το διάστηµα κίνησης είναι πολύ µικρό είτε επειδή η επιτάχυνση είναι πολύ µικρή). Για την τελευταία περίπτωση, αυτό θα συµβεί, σύµφωνα µε τις παραπάνω σχέσεις, αν ισχύει : s a >= S => (½ V max /a) >= S => S <= V max /a Τότε όµως, για λόγους συµµετρίας, το διάστηµα της επιταχυνόµενης κίνησης θα είναι ίσο µε αυτό της επιβραδυνόµενης τριγωνικό προφίλ ταχύτητας (Σχήµα 6). v Vmax Οπότε : a Σχήµα 6 a 9

10 s a = S/ = ½ a ( a ) από την οποία µπορεί να προκύψει ο χρόνος a Tο ζητούµενο προφίλ θέσης δίδεται τότε από τις σχέσεις : s() = ½ a για < a (.α) (οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση) (S/) + (a a ) (- a ) - ½ a (- a ) για a <= <= a (.β) (οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε αρχικό διάστηµα και αρχική ταχύτητα) Το γενικότερο πρόβληµα του σχεδιασµού της µετάβασης από µια θέση σε µια άλλη (rajecory planning). Στην γενικότερη των περιπτώσεων, το πρόβληµα του σχεδιασµού του προφίλ θέσης στο χρόνο, τίθεται ως εξής : Να σχεδιασθεί το κατάλληλο προφίλ s() (rajecory) για την µετάβαση από την θέση s 1 όπου ο σερβοµηχανισµός έχει ταχύτητα v 1, στην θέση s όπου ο σερβοµηχανισµός πρέπει να έχει ταχύτητα v, εντός χρόνου. Αν για το s() επιλεγεί πολυωνυµική συνάρτηση τρίτου βαθµού, ένα κυβικό πολυώνυµο δηλαδή, οι συντελεστές της µπορούν να υπολογισθούν µε την βοήθεια των παραπάνω οριακών συνθηκών. Έστω : s + 1 ( ) = a + a + a a 1 Τότε, η ταχύτητα προκύπτει από την πρώτη παράγωγο της παραπάνω συνάρτησης ως προς τον χρόνο : V() = s ( ) = v( ) = a + a + a 1 1

11 Εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες θέσης και ταχύτητας, έχοµε : s s 1 = a + a + a1 + a = a + a + a1 + a s= v = a s = v = a + a + + a + a 1 a 1 Αν επιλύσοµε το παραπάνω σύστηµα των 4 εξισώσεων, θεωρώντας αγνώστους τους συντελεστές α, α, α 1 και α, βρίσκοµε : a o = s a= v 1 a= a ( s = ( s s ) (v s Αν χρησιµοποιήσει κανείς πολυώνυµο 5 ου βαθµού, τότε µπορεί να προσθέσει κανείς δύο ακόµη οριακές συνθήκες, να θέσει ας πούµε και απαιτήσεις επιτάχυνσης στην αρχή και το τέλος της κίνησης. ) + ( v + v + v ) ) Παράδειγµα y O θ x Είναι επιθυµητό, η άρθρωση µε κέντρο περιστροφής το Ο (σχήµα) να περιστραφεί από την θέση µέχρι την θέση π ακτίνια (rad) σε 1 δευτερόλεπτο, ξεκινώντας από µηδενική και καταλήγοντας σε µηδενική ταχύτητα. Υπολογίσετε το προφίλ θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης για δύο περιπτώσεις : Με χρήση τραπεζοειδούς προφίλ και χρόνο επιτάχυνσης. sec Με χρήση κυβικού προφίλ 11

12 Απαντήσεις 1. Χρήση τραπεζοειδούς προφίλ Ο χρόνος κίνησης µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα είναι : = T = 1 *.=.6sec v a Η συνολική γωνία περιστροφής είναι ίση µε το άθροισµα των γωνιών στροφής κατά τις τρεις φάσεις της κίνησης. Από την παρατήρηση αυτή µπορούµε να υπολογίσοµε την απαιτούµενη επιτάχυνση, ως εξής : Θ = θ + θ + θ = a + ω + a = a + ( a ) + a α v α a v a a a v a Θ = a( + ) => a = a a v + a a v Οπότε, για την περίπτωσή µας είναι : Θ a = + a a v =. π = (6.5π ) rad +.*.6 /sec Ισχύουν ακόµη : 1 θ α = α a = (.15π )rad και θ v = π *.15= (.75π ) rad ω = α = (6.5π )(.) = (1.5π ) rad /sec max a Το ζητούµενο προφίλ θέσης, είναι συνεπώς : (.15π) (rad) για <. sec θ() = (.15π) + (1.5π)(.) (rad) για. <= <.8 sec (.875π) + (1.5π)( -.8) (.15π) ( -.8) για.8 <= <= 1 sec Το προφίλ ταχύτητας : (6.5π) (rad/sec) για <. sec ω() = 1.5π (rad/sec) για. <= <.8 sec 1.5π (6.5π) ( -.8) (rad/sec) για.8 <= <= 1 sec 1

13 Και το προφίλ επιτάχυνσης : 6.5 (rad/sec ) για <. sec α() = (rad/sec ) για. <= <.8 sec -6.5 (rad/sec ) για.8 <= <= 1 sec. Χρήση κυβικού προφίλ θέσης Η συνολική περιστροφή είναι Θ = π rad και πρέπει να πραγµατοποιηθεί σε χρόνο = 1 sec. Για τις οριακές συνθήκες της κίνησης ισχύουν : θ = rad, θ =π rad, ω = rad/sec, ω = rad/sec οπότε εφαρµόζοντας τις σχέσεις για το κυβικό προφίλ, βρίσκοµε : α =, α 1 =, α =π, α =-π Συνεπώς, το προφίλ για την θέση (γωνία) είναι : θ ( ) = ( π ) + (π ) Η γωνιακή ταχύτητα, προκύπτει µε παραγώγιση της παραπάνω σχέσης : ω ( ) = θ & ( ) = ( 6π ) + (6π ) Με δεύτερη παραγώγιση παίρνοµε και την επιτάχυνση : a ( ) = ω &( ) = ( 1π ) + (6π ) Ακολουθούν οι γραφικές παραστάσεις θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης για τις δύο περιπτώσεις. 1

14 Σύγκριση προφίλ θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης για κίνηση από έως π rad, σε χρόνο 1 sec, µε χρήση τραπεζοειδούς προφίλ ταχύτητας (αριστερά) ή κυβικού προφίλ θέσης (δεξιά). 14

15 Έλεγχος βραχίονα Η απλή περίπτωση του βραχίονα δύο βαθµών ελευθερίας y A (X A, Y A ) L θ Α P (X P, Y P ) L 1 B (X B, Y B ) θ 1Α θ Β θ 1Β O x Έστω αρθρωτός βραχίονας δύο βαθµών ελευθερίας όπως στο σχήµα, µε µήκη συνδέσµων L 1 και L. Αν φαντασθούµε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων προσαρµοσµένο στον άξονα περιστροφής της πρώτης άρθρωσης, τότε οι γωνίες στροφής θ 1 και θ των αρθρώσεων, προσδιορίζουν µονοσήµαντα την θέση του άκρου του βραχίονα (στο οποίο υποτίθεται έχει προσαρµοσθεί το τελικό εργαλείο) στο επίπεδο. Οι τιµές των εν λόγω γωνιών είναι γνωστές στον ελεγκτή του βραχίονα : οι σχετικοί αισθητήρες παρέχουν συνεχώς τις τιµές τους. Ένα σηµείο συνεπώς στο επίπεδο, έστω το Α, µπορεί να χαρακτηρισθεί είτε από το ζεύγος (θ 1, θ ) προσδιορισµός στον χώρο των αρθρώσεων, είτε βεβαίως από το ζεύγος των καρτεσιανών του συντεταγµένων (Χ Α, Υ Α ). Ευθύς κινηµατικός µετασχηµατισµός (Direc kinemaics) εδοµένων των γωνιών στροφής, να προσδιορισθούν οι συντεταγµένες του άκρου του βραχίονα στον καρτεσιανό χώρο ή πιο κοµψά : (θ 1, θ ) -> (Χ Α, Υ Α ) Με απλή γεωµετρία (Σχήµα ) προκύπτουν οι σχέσεις : Χ Α = L 1 cos θ 1 + L cos (θ 1 + θ ) (.α) Υ Α = L 1 sin θ 1 + L sin (θ 1 + θ ) (.β) 15

16 Αντίστροφος κινηµατικός µετασχηµατισµός (Inverse kinemaics) εδοµένων των συντεταγµένων του άκρου του βραχίονα στον καρτεσιανό χώρο να προσδιορισθούν οι απαραίτητες γωνίες στροφής των επί µέρους αξόνων ή πιο κοµψά : (Χ Α, Υ Α ) -> (θ 1, θ ) Για την υπό διαπραγµάτευση περίπτωση, αρκεί να επιλύσει κανείς το σύστηµα των εξισώσεων του ευθύ κινηµατικού µετασχηµατισµού, µε αγνώστους τις γωνίες θ 1 και θ, οπότε προκύπτει : cos θ = (X A + Y A - L 1 - L ) / ( L 1 L ) (4.α,β) an θ 1 =[Y A (L 1 +L cos θ )-X A L sin θ ]/[X A (L 1 +L cos θ )+Y A L sin θ ] Μπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι γενικά το παραπάνω σύστηµα έχει δύο λύσεις, οι οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι η γωνία θ και η (-θ ) έχουν ίδιο συνηµίτονο. Υπάρχει φυσικά η περίπτωση το σύστηµα να µην έχει λύση. Κίνηση από «σηµείου εις σηµείο» (Poin o poin moion). Αν είναι επιθυµητή κίνηση του βραχίονα από το σηµείο Α στο σηµείο Β χωρίς περιορισµούς «µονοπατιού», τότε αρκεί οι σερβοµηχανισµοί των δύο αρθρώσεων να πάρουν εντολή να κινηθούν από τις αρχικές στις τελικές τους θέσεις µε ένα από τους τρόπους που αναλύσαµε για την κίνηση µιας άρθρωσης να ακολουθήσουν δηλαδή τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας ή κυβικό προφίλ θέσης. Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζοµε ότι η κίνηση του βραχίονα θα είναι «οµαλή», χωρίς απότοµες κινήσεις δηλαδή. Όµως, η καµπύλη που θα διαγράψει το άκρο του βραχίονα, το µονοπάτι κίνησης δηλαδή, αν και µονοσήµαντα ορισµένο και υπολογίσιµο, δεν είναι «φανερό». 16

17 Παράδειγµα Β (- Υ θ 1Α θ Β θ 1Β Α Χ Επίπεδος αρθρωτός βραχίονας δύο βαθµών ελευθερίας είναι επιθυµητό να κινηθεί από την θέση Α (5 cm, cm) στην θέση Β (-1 cm, cm) χωρίς απαίτηση κίνησης επί συγκεκριµένου µονοπατιού. Προσδιορίσετε τα απαραίτητα προφίλ κίνησης των αρθρώσεων για χρόνο κίνησης 1 sec. Τις συναρτήσεις δηλαδή θ1() και θ(). Μήκη συνδέσµων : L1 = L = 4cm. θ Α Λύση Προσδιορίζοµε µε την βοήθεια του ΑΚΜ τις γωνίες των αρθρώσεων για τις θέσεις Α και Β του άκρου. (Από τις δύο λύσεις, κρατούµε εκείνη για την οποία η γωνία θ είναι θετική, δηλαδή αντίθετη µε την φορά των δεικτών του ωρολογίου) : θ 1Α = -51. ο θ 1Β = +4.8 ο θ Α = 1.6 ο θ Β = ο Για οµαλή κίνηση των αρθρώσεων, µπορούµε να χρησιµοποιήσοµε κυβικό προφίλ για τις συναρτήσεις θ1() και θ(). θ 1 1 ( ) = a1 + a1 + a11 + a1 και θ 1 ( ) = a + a + a1 + a Για το κυβικό προφίλ, ισχύουν οι σχέσεις : a o =θ a1= ω Για την άρθρωση θ1 : a o = Α a θ1 = = ω1α= a a a a ( θ = ( θ = ( θ = θ ) (ω θ θ ) + ( ω 17 ) (ω + ω + ω ) ) + ω ) (4.8 ( 51.) (*+ )*1 = 8. 1 (( ) + (+ ) *1 = = = ( θ = θ ) + ( ω + ω )

18 Οπότε : θ1 () = Με αντίστοιχο τόπο προσδιορίζεται και η συνάρτηση θ(). θ () = Στα σχήµατα που ακολουθούν φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων για τον χρόνο του 1 sec που διαρκεί η κίνηση, καθώς και τροχιά του άκρου του βραχίονα. Κίνηση µε έλεγχο µονοπατιού (Coninuous Pah conrol). Αν είναι επιθυµητή κίνηση επί συγκεκριµένης καµπύλης (του επιπέδου εν προκειµένω), τότε βεβαίως απαιτείται πιο «στενός» συντονισµός της κίνησης των αρθρώσεων. Αναφερόµενοι στο σχήµα, έστω ότι είναι επιθυµητή η κίνηση επί της ευθείας που ενώνει το Α µε το Β. Τότε µπορεί κανείς να σκεφθεί ως εξής : Ας επιλέξω πολλά ενδιάµεσα σηµεία, αφού µπορώ να βρώ την εξίσωση της ευθείας, στην συνέχεια µε χρήση του αντίστροφου κινηµατικού µετασχηµατισµού θα προσδιορίζω για κάθε τέτοιο σηµείο το ζεύγος των αντιστοίχων γωνιών και τέλος θα διατάζω τον βραχίονα να κάνει κίνηση «από σηµείου εις σηµείο» από όλα αυτά τα ζεύγη. Η βασική σκέψη είναι σωστή, αλλά η κίνηση ενδεχοµένως να µην είναι «οµαλή». Στην συνέχεια, δίδεται µια µέθοδο ελέγχου που δίδει «οµαλή» κίνηση. Αναφερόµενοι στο σχήµα, έστω σηµείο P επί του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ, που απέχει από το Α απόσταση s. Ισχύουν οι σχέσεις : 18

19 s/ab = (X P X A ) / (X B X A ) => X P = s (X B X A )/AB + X A s/ab = (Y P Y A ) / (Y B Y A ) => Y P = s (Y B Y A )/AB + Y A (5.α) (5.β) που δίδουν τις καρτεσιανές συντεταγµένες του σηµείου Ρ, σαν συνάρτηση της απόστασης s από το σηµείο εκκίνησης A. Οι εξισώσεις 5.α και 5.β ονοµάζονται παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα Α και Β µε παράµετρο το s. Αντίστοιχες εξισώσεις µπορούν να γραφούν για οποιαδήποτε «αναλυτική» καµπύλη στο επίπεδο ή στο χώρο. Για οµαλή κίνηση του βραχίονα κατά µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος, αρκεί να επιλέξοµε µια συνάρτηση s() που δίδει οµαλή κίνηση. Μπορούµε π.χ. να χρησιµοποιήσοµε µια συνάρτηση τέτοια που να δίδει τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας ή ένα κυβικό πολυώνυµο για την s(). Ο αλγόριθµος ελέγχου είναι : Κάθε περίοδο ελέγχου τυπικά κάθε 1 ms : Προσδιορίσεις το s(). Χρησιµοποίησε τις παραµετρικές εξισώσεις του µονοπατιού (εξισώσεις 5 στην περίπτωσή µας) για να προσδιορίσεις τα X P (), Y P () Χρησιµοποίησε τις εξισώσεις του Αντίστροφου Κινηµατικού Μετασχηµατισµού (ΑΚΜ) για να προσδιορίσεις τα θ 1 (), θ () ώσε τις τιµές στους σερβοµηχανισµούς των αρθρώσεων για εκτέλεση. Παράδειγµα Ο βραχίονας του προηγουµένου παραδείγµατος είναι επιθυµητό να κινηθεί από το Α στο Β επί του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ σε χρόνο 1 sec. Προσδιορίσετε τα προφίλ κίνησης των αρθρώσεων για οµαλή κίνηση του βραχίονα. Η συνολική διαδροµή ΑΒ είναι : Λύση AB= ( X B X A ) + ( Y B Y A ) = 6. 5cm Και ο συνολικός χρόνος κίνησης = 1s. 19

20 Οι παραµετρικές εξισώσεις του ευθυγράµµου τµήµατος µε παράµετρο τη διανυθείσα απόσταση s από το σηµείο εκκίνησης δηλαδή το Α, είναι : X= s( X B X A)/ AB+ X A=> X=.949s+ 5 Y= s( YB YA)/ AB+ YA=> Y=. 16s Για οµαλή κίνηση από το Α στο Β επιλέγοµε κυβικό προφίλ θέσης s(). Οριακές συνθήκες : Αρχική θέση s = cm Τελική θέση s = 6.5 cm Αρχική ταχύτητα v = cm/s Τελική ταχύτητα v = cm/s Οπότε το κυβικό προφίλ θέσης του άκρου που προκύπτει είναι : s = + ( ) Στα σχήµατα που ακολουθούν φαίνονται τα προφίλ κίνησης των αρθρώσεων(όπως προκύπτουν από τον αλγόριθµο που παρουσιάσθηκε στα προηγούµενα), καθώς και τροχιά του άκρου του βραχίονα.

Σχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5

Σχεδίαση τροχιάς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 2.5 Σχεδίαση τροχιάς Η πιο απλή κίνηση ενός βραχίονα είναι από σηµείο σε σηµείο. Με την µέθοδο αυτή το ροµπότ κινείται από µία αρχική θέση σε µία τελική θέση χωρίς να µας ενδιαφέρει η ενδιάµεση διαδροµή που

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ρομποτική

Εισαγωγή στην Ρομποτική Τμήμα Μηχανολογίας Τ.Ε.Ι. Κρήτης Εισαγωγή στην Ρομποτική 1 Γενική περιγραφή ρομποτικού βραχίονα σύνδεσμοι αρθρώσεις αρπάγη Περιστροφική Πρισματική Βάση ρομποτικού βραχίονα 3 Βασικές ρομποτικές αρθρώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ /9/015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα κινείται σε ευθύγραμμη οριζόντια τροχιά με την ταχύτητά του σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση

Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση α) Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση λίγο πριν και αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος, Η ομογενής και ισοπαχής ράβδος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση.

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή δράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜ 1 Ο : )Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. 1. Για ένα ζεύγος δυνάμεων Η ροπή του, εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου] ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Tο γιο-γιο του σχήματος έχει ακτίνα R και αρχικά είναι ακίνητο. Την t=0 αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο

Διαβάστε περισσότερα

ιονύσης Μητρόπουλος Ζ Ο

ιονύσης Μητρόπουλος Ζ Ο Πρισµατικό σώµα και κύλινδρος (ΙΙ) Κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο (Σ 2 ) (Σ 1 ) A F εξ Ζ Ο Πρισµατικό σώµα (Σ 2 ) µάζας m = 4kg και κύλινδρος (Σ 1 ) ίσης µάζας m και ακτίνας R = 0,2m βρίσκονται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ. = t. (1) 2 επειδή Δx 1 = Δx 2 = Δ xoλ / 2 Επειδή Δx 1 = u 1 t 1, από την 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ 1) Δίνεται η διπλανή γραφική παράσταση της ταχύτητας με το χρόνο. Να γίνει το διάγραμμα (θέσης χρόνου ), αν όταν o= είναι o =. Υπόδειξη Βρείτε τα εμβαδά μεταξύ της γραφικής παράστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/01/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 Εκφώνηση άσκησης 6. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι: ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια η σημασία των παρακάτω μεγεθών; Αναφερόμαστε στην κυκλική κίνηση. Α. Επιτρόχια επιτάχυνση: Β. Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γ. Συχνότητα: Δ. Περίοδος: 2. Ένας τροχός περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. 2 cm. = Q. Q 2 = q. I 1 = ω 1 Q =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. 2 cm. = Q. Q 2 = q. I 1 = ω 1 Q = ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΗΡΙΩΝ ΕΞΕΑΣΕΩΝ Γ ΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 6 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΙΚΗΣ - ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. δ Α. γ Α3. β Α4. α Α5. α) Λ β) Λ γ)

Διαβάστε περισσότερα

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου.

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Μια ράβδος ΑΒ περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από ένα σημείο πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α - Α4 να γράψετε να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ. 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t.

Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ. 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t. Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t Ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα και στο σχήμα φαίνεται η μετατόπισή του σε συνάρτηση με τον χρόνο Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β Λ ΠΡΟΕΤ. Γ Λ

ΦΥΣΙΚΗ Β Λ ΠΡΟΕΤ. Γ Λ ΦΥΣΙΚΗ Β Λ ΠΡΟΕΤ. Γ Λ 04-01 - 018 Άρχων Μάρκος ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α1.

Διαβάστε περισσότερα

= = = = 2. max,1 = 2. max,2

= = = = 2. max,1 = 2. max,2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. α Α. β Α3. β Α. γ Α5. α) Σ β) Λ γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» 2 ο κεφάλαιο: «ΚΥΜΑΤΑ» 1.1 Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο γραµµικές αρµονικές ταλαντώσεις γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και µε την ίδια διεύθυνση, που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων. Φαινομενολογικός ορισμός ταλαντώσεων Μεταβολές σε φυσικά φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από μια κανονική επανάληψη κατά ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Σάββατο 18 Νοεμβρίου 2017

1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Σάββατο 18 Νοεμβρίου 2017 1 ο Διαγώνισμα Α Λυκείου Σάββατο 18 Νοεμβρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης 3 ώρες Ονοματεπώνυμο. ΘΕΜΑ Α: Στις ερωτήσεις Α1 ως και Α4 επιλέξτε την σωστή απάντηση: Α1. Αν υ η ταχύτητα ενός κινητού και α η επιτάχυνσή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

i) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β

i) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β Φύλλο Εργασίας: ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Λίγη γεωµετρία πριν ξεκινήσουµε: Σε κύκλο ακτίνας, η επίκεντρη γωνία Δθ µετρηµένη σε ακτίνια (rad) και το µήκος του τόξου Δs στο οποίο βαίνει, συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα ωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.1: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 1ο σετ - Μέρος Β ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.1: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 1ο σετ - Μέρος Β ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.1: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 1ο σετ - Μέρος Β Ερώτηση 1. ΘΕΜΑ Β Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2017-2018 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03/12/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Καραβοκυρός Χρήστος ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

A) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, καθώς και ο αριθµός των στροφών

A) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, καθώς και ο αριθµός των στροφών Άσκηση ολίσθηση-κύλιση µε ολίσθηση-κύλιση χωρίς ολίσθηση Ο τροχός του σχήµατος έχει ακτίνα R0,m και αφήνεται τη χρονική στιγµή t0 µε αρχική γωνιακή ταχύτητα ω ο 300 rad/sec σε επαφή µε τα δύο κάθετα τοιχώµατα,

Διαβάστε περισσότερα

Β3. ΣΣωσσττήή ααππάάννττηησσηη εεί ίίννααι ιι ηη ββ.. Το πλάτος του (Σ) µετά τη συµβολή των κυµάτων ισούται µε: r 1 - r u t 1 - u t Α Σ = Α συνπ = Α σ

Β3. ΣΣωσσττήή ααππάάννττηησσηη εεί ίίννααι ιι ηη ββ.. Το πλάτος του (Σ) µετά τη συµβολή των κυµάτων ισούται µε: r 1 - r u t 1 - u t Α Σ = Α συνπ = Α σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥΓ ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή 13 Νοεµβρίου 016 Θέµα Α Α1. δ Α. γ Α3. γ Α4. δ Α5. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ Θέµα Β Β1. Σωστή είναι η απάντηση (β). Εφόσον παρατηρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΕΙΔΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1 Οι δυνάμεις μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες: Σε δυνάμεις επαφής, που ασκούνται μόνο ανάμεσα σε σώματα που βρίσκονται σε επαφή, και σε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. A Λυκείου Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση 13-11-2016 Θέμα 1 ο : 1) Η έκφραση 2m/s 2 όταν αναφέρεται σε κινητό που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σημαίνει ότι: α) η θέση του κινητού αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 1. Κινητό που εκτελεί ΕΟΚ περνά από τη θέση x 1 =12m τη χρονική στιγμή t 1 =9s και από τη θέση x 2 =2m τη χρονική στιγμή t 2 =14s. Να βρείτε: α) την κατεύθυνση προς

Διαβάστε περισσότερα

12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 12ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Οµάδα Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α ΤΕΤΡ/ΝΟΥ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 17/12/2010 Ζήτηµα 1ο Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 1) Μια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα: Α 2 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ονοµατεπώνυµο:.. Πειραιάς 4 /12 / 2006 Οδηγίες: Στις τρεις πρώτες ερωτήσεις, να επιλέξτε την σωστή πρόταση. Προσοχή!! Υπάρχει και η πίσω σελίδα. Μην ξεχάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ 1.Οι περισσότερες ασκήσεις είναι απλή εφαρμογή των τύπων Συνήθως από ένα μέγεθος όπως η συχνότητα f ή η γωνιακή ταχύτητα ω μπορούμε να υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

6o ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Θέµατα γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Ιουνίου της Α Λυκείου στο µάθηµα της Φυσικής.

6o ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Θέµατα γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Ιουνίου της Α Λυκείου στο µάθηµα της Φυσικής. 6o ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 997-98 Θέµατα γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Ιουνίου της Α Λυκείου στο µάθηµα της Φυσικής. ΘΕΩΡΙΑ ΖΗΤΗΜΑ ον.. Αντιστοιχίστε κάθε φυσικό µέγεθος µε έναν τύπο. Φυσικά

Διαβάστε περισσότερα

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα Γωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΒΑΡΗΣ ΡΑΒΔΟΥΣ

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΒΑΡΗΣ ΡΑΒΔΟΥΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΒΑΡΗΣ ΡΑΒΔΟΥΣ Κυκλικός δίσκος ακτίνας R και μάζας m, περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 0 (η τριβή στον άξονα περιστροφής θεωρείται αμελητέα).

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 1. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου σε συνάρτηση με

Διαβάστε περισσότερα

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0.

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0. ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΓΓ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ ΚΚυυρρι ιιαακκήή 1133 ΙΙααννοουυααρρί ίίοουυ 001133 Θέμα 1 ο (Μονάδες 5) 1. Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Τροχιάς Ρομποτικών Χειριστών

Σχεδιασμός Τροχιάς Ρομποτικών Χειριστών Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 00809, 7ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική Ι Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

4. ύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται ευθύγραµµα και οµαλά σε ένα τµήµα της Εγνατίας οδού σε παράλληλες

4. ύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται ευθύγραµµα και οµαλά σε ένα τµήµα της Εγνατίας οδού σε παράλληλες 1. Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά µήκος ενός ευθύγραµµου οριζόντιου δρόµου, ο οποίος θεωρούµε ότι ταυτίζεται µε τον οριζόντιο άξονα x'x. Το αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση x o = +4m και κινούµενο ευθύγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

7. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς συστήματος είναι.

7. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς συστήματος είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 6α. Σφαίρα μάζας ισορροπεί δεμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΚΥΜΑΤΑ ( )

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΚΥΜΑΤΑ ( ) ΚΥΜΑΤΑ ( 2.1-2.2) Για τη δημιουργία ενός κύματος χρειάζονται η πηγή της διαταραχής ή πηγή του κύματος, δηλαδή η αιτία που θα προκαλέσει τη διαταραχή και ένα υλικό (μέσο) στο οποίο κάθε μόριο αλληλεπιδρά

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ ΘΕΜΑ 1ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ.

2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ. 2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ. 2.2.21. σε γραµµικό ελαστικό µέσο. ύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρµονικά κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα υ=2m/s κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!

. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F! Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ.

Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ. Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ. 69377886 ( mparakgeo@gmail.com ) Κώστας Τζάλλας τηλ. 69733004 ( tzallask@gmail.com ) Παραγγελίες : τηλ. 5407604 Email : mparakgeo@gmail.com Messenger : Giorgos Mparaklianos Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Για τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Για τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση 1 A' ΛΥΚΕΙΥ ΖΗΤΗΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση 1. Το µέτρο της µετατόπισης

Διαβάστε περισσότερα

3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική

3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική 3.6 Ευθεία και Αντίστροφη υναµική Στη δυναµική µας απασχολούν δύο ειδών προβλήµατα, το ευθύ δυναµικό πρόβληµα και το αντίστροφο δυναµικό πρόβληµα. Το αντίστροφο πρόβληµα αφορά στον προσδιορισµό των ροπών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ E MAIL: pasv@uniwa.gr Εφαρμογές ρομποτικής στην Ιατρική Κλασσική χειρουργική Ορθοπεδικές επεμβάσεις Νευροχειρουργική Ακτινοθεραπεία Αποκατάσταση φυσιοθεραπεία 2 Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

Έργο-Ενέργεια Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ Μεταβλητή δύναµη και κίνηση

Έργο-Ενέργεια Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ Μεταβλητή δύναµη και κίνηση 2.2. Ασκήσεις Έργου-Ενέργειας. 2.2.1. Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. ΘΜΚΕ. Ένα σώµα µάζας m=2kg ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε µια στιγµή δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύνα- µης, το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την

Διαβάστε περισσότερα

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες)

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες) . ύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε ευθύ δρόµο µε την ίδια σταθερή ταχύτητα προς την ίδια κατεύθυνση. Την στιγµή t = (ο χρόνος µετρείται σε δευτερόλεπτα) το αυτοκίνητο Β προπορεύεται κατά s =3 (η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 20 εκέµβρη 2015 Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 20 εκέµβρη 2015 Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α Α.1. 1ο ιαγώνισµα Α Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 2 εκέµβρη 215 Κινηµατική Υλικού Σηµείου Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Οταν η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλή, το κινητό διανύει (γ) ίσες µετατοπίσεις σε ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο απαντητικό φύλλο τον αριθµό της πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα