Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
|
|
- Φορτουνάτος Διαμαντόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť pre to isté x hodnotu funkcie kosínus? Ž: Žiadny problém. Použijem kalkulačku. Najskôr určím hodnotu x a potom kosínus. U: Má to istý háčik. Väčšina hodnôt určených na kalkulačke je daná iba približne. Platilo by to aj pre našu úlohu. Matematika však pozná vzťah, ktorý umožňuje prechod od hodnôt funkcie sínus k hodnotám funkcie kosínus. Tento vzťah sa dá objaviť na základe jednotkovej kružnice. Stačí, ak si pripomenieme definície funkcií sínus a kosínus. Ž: Reálnemu číslu x priradíme známym spôsobom na jednotkovej kružnici bod M. Súradnice x M a y M tohto bodu určujú hodnoty funkcií sínus a kosínus. Pre naše reálne číslo x preto platí sin x = y M, cos x = x M. y y M M 0 x M x M J x U: Na obrázku máme takúto situáciu znázornenú pre reálne číslo x, ktorému zodpovedá bod na jednotkovej kružnici v I. kvadrante. Vznikol tak pravouhlý trojuholník OM M. Aké dĺžky majú jeho strany? Ž: Dĺžka strany OM je vlastne kosínus reálneho čísla x a strana M M určuje hodnotu funkcie sínus reálneho čísla x. Aká je dlhá prepona, to netuším. U: Kružnica je jednotková. Prepona OM je jej polomerom, preto má dĺžku rovnú číslu. Dĺžky všetkých strán pravouhlého trojuholníka sú uvedené v nasledujúcom rámčeku. OM = cos x M M = sin x OM = Ž: Poznáme teda dĺžky všetkých strán pravouhlého trojuholníka. Pre strany trojuholníka by sme mohli zapísať Pytagorovu vetu.
2 Ma-Go-2-T List 2 U: Máš pravdu. Pomocou nej dostaneme sľúbený vzťah medzi hodnotami funkcií sínus a kosínus. Urob to. Ž: Pre strany trojuholníka platí podľa Pytagorovej vety vzťah Dosadím vyjadrenia strán a mám OM 2 + M M 2 = OM 2. (cos x) 2 + (sin x) 2 =. U: Je to veľmi dôležitý vzťah. Vyjadruje, že súčet druhých mocnín hodnôt funkcií sínus a kosínus je rovný číslu jedna. Ž: V prvom kvadrante sú sínus a kosínus kladné. Vyjadrovali aj dĺžky úsečiek. Ako to však bude vyzerať, ak bod M zodpovedajúci reálnemu číslu x bude v inom kvadrante? Hodnoty funkcií môžu byť vtedy záporné. Bude vzťah platiť aj v takomto prípade? U: Správna pripomienka. Vyskúšajme pre III. kvadrant. Aj teraz súradnice bodu M určujú hodnoty funkcií sínus a kosínus. Aké sú z hľadiska znamienka? y x M cos x 0 J x M sin x Ž: Obe súradnice, teda aj hodnoty funkcií sú záporné. Nevyjadrujú dĺžky strán. U: Rozdiel medzi I. a III. kvadrantom je len v znamienku mínus. Preto dĺžky strán môžeme vyjadriť napríklad pomocou absolútnej hodnoty: alebo pomocou opačného výrazu: OM = cos x, OM = cos x. Ž: Po dosadení do Pytagorovej vety zostane absolútna hodnota?
3 Ma-Go-2-T List 3 U: Vtedy dostaneme ( cos x ) 2 + ( sin x ) 2 =. Druhá mocnina akéhokoľvek reálneho čísla je vždy nezáporné reálne číslo. Bez ohľadu na to, či sú výrazy cos x a sin x kladné, záporné alebo nulové. Absolútna hodnota je preto po umocnení zbytočná. Je len duplicitou, ktorá vedie k nezápornosti výsledku. Platí Pre funkciu sínus to platí analogicky. ( cos x ) 2 = (cos x) 2 = cos 2 x. Ž: Začínam chápať súvislosti. Ani znamienko mínus vo vyjadrení dĺžky nemá pri použití Pytagorovej vety význam. Po umocnení sa zmení na kladnú hodnotu: ( cos x) 2 = (cos x) 2. U: Absolútna hodnota alebo opačný výraz sú nutné iba na vyjadrenie dĺžok strán. Vyjadrenie vzťahu medzi hodnotami funkcií sínus a kosínus je však vždy rovnaké. Nezávisí od toho, do ktorého kvadrantu patrí bod prislúchajúci reálnemu číslu x. U: Pokračujme teraz v hľadaní vzťahov medzi ďalšími goniometrickými funkciami. Vieme vypočítať hodnotu funkcie tangens, ak poznáme hodnotu funkcie sínus? Ž: Na tento výpočet postačí definícia. Tangens je podiel hodnôt funkcií sínus a kosínus. No a kosínus vypočítame využitím vzťahu, ktorý sme pred chvíľou odvodili. U: Povedal si to správne. Z definícií funkcií tangens a kotangens máme ďalšie dva dôležité vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií. Platia však iba pre také reálne čísla x, pre ktoré výrazy v menovateli sú nenulové. Teda tgx = sin x cos x ; cos x cotgx = sin x. Ž: Začínam tušiť vzťah medzi hodnotami funkcií tangens a kotangens. Jedna funkcia je prevrátenou hodnotou druhej. U: Vzťah vyplýva z definícií týchto funkcií. Zvykne sa uvádzať v tvare, kedy na ľavej strane je súčin hodnôt funkcií tangens a kotangens. Vypočítaj tento súčin. Ž: Za tangens dosadím podiel funkcií sínus a kosínus, za kotangens naopak. Všetky výrazy vykrátim. Výsledok bude číslo. tgx cotgx = sin x cos x cos x sin x = U: Určme aj podmienky.
4 Ma-Go-2-T List 4 Ž: Výrazy cos x a sin x v menovateli musia byť rôzne od nuly. Kosínus je rovný nule pre nepárne násobky čísla π a sínus nadobúda nulové hodnoty pre celočíselné násobky čísla π. 2 U: Sú to čísla, ktoré nepatria do definičných oborov funkcií tangens a kotangens. Dajú sa vyjadriť jedným tvarom? 5 2π π 0 π 2 π 3 2 π π 2 2π Ž: Čísla sa opakujú s periódou π 2. Preto sa dajú vyjadriť ako celočíselné násobky čísla π 2. U: Vzťah π 2 tgx cotgx = platí pre všetky reálne čísla, okrem celočíselných násobkov čísla π 2. Ž: Jednoducho povedané, ak tangens bude rovný číslu y, kotangens bude jeho prevrátenou hodnotou. Bude mať hodnotu y. U: V nasledujúcej tabuľke sú zopakované ešte raz základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií. Dva vzťahy sú dané definíciou funkcií tangens a kotangens. Zvyšné vzťahy sú dôsledkom definícií goniometrických funkcií. 3 2 π tgx = sin x cos x ; x R { (2k + ) π 2 ; k Z } cotgx = cos x ; x R {kπ; k Z} sin x (cos x) 2 + (sin x) 2 = ; x R tgx cotgx = ; x R {k π } 2 ; k Z 5 2 π U: Predstav si, že ti zadám hodnotu funkcie sin x a ty máš vypočítať hodnotu cos x. Môžeš však použiť iba základný vzťah medzi hodnotami funkcií sínus a kosínus Ako by si postupoval? (cos x) 2 + (sin x) 2 =. Ž: A to je problém? Zadanú hodnotu by som dosadil za sin x a odčítal ju od výrazov na oboch stranách rovnice. Získal by som rovnicu (cos x) 2 = (sin x) 2, kde neznámou je cos x. Nakoniec by som rovnicu odmocnil a dostal by som cos x = (sin x) 2.
5 Ma-Go-2-T List 5 U: Odkiaľ vieš, že hodnota funkcie kosínus je kladná? Ž: Prečo kladná? U: Veď sa pozri na vyjadrenie, ktoré si získal. Na pravej strane máš druhú odmocninu z výrazu (sin x) 2. Druhá odmocnina z reálneho čísla, ak existuje, je vždy nezáporné číslo. Ž: Už mi dochádza, čo chcete povedať. Vo výraze na ľavej strane som zabudol na absolútnu hodnotu. U: Áno. Vyjadrenie hodnoty funkcie kosínus má byť správne v tvare cos x = (sin x) 2. Hodnoty funkcie kosínus môžu byť predsa aj záporné. Ž: Ako určím, či je kosínus kladný alebo záporný? U: Keďže je zadaná hodnota sin x, a nie reálne číslo x, musí byť zadaný aj interval, do ktorého argument x patrí. Ž: Ako to myslíte? U: V zadaní úlohy je uvedené, že x patrí napríklad do otvoreného intervalu Ž: Aha! Pre takéto čísla je hodnota funkcie kosínus záporná. ( π; π ). 2 U: Môžeš teda odstrániť absolútnu hodnotu a hodnotu funkcie kosínus vyjadriť v tvare cos x = (sin x) 2. Ž: Ale to isté platí aj pre reálne čísla x, ktorým sú priradené body na jednotkovej kružnici v druhom kvadrante. Keby som zobral prvý a štvrtý kvadrant, bola by hodnota funkcie kosínus kladná. Preto by platilo cos x = (sin x) 2. U: Myslím, že si porozumel. Okrem hodnoty sin x, musí byť v úlohách zadaný aj interval, do ktorého x patrí. Ž: Podľa intervalu rozhodnem o znamienku pre cos x. U: Situácia môže byť aj opačná. Zadaná je hodnota cos x a máme vypočítať hodnotu sin x. Samozrejme zadáme aj interval pre argument x. Ž: Bude to analogické. Teraz bude platiť sin x = (cos x) 2. O znamienku pre hodnotu funkcie sínus však rozhodne interval. Myslím, že to nemusíme rozoberať. U: Tak to som rád, že si problematiku pochopil. Uvidíme, ako ti to pôjde pri riešení úloh.
6 Ma-Go-2-T List 6 Ž: Mám ešte jednu otázku. Na začiatku som si všimol, že ste zapísali rovnosť (cos x) 2 = cos 2 x. Platí to? U: Áno. Výraz na ľavej a pravej strane vyjadruje, že umocňujeme hodnotu funkcie kosínus. Pozor aby si však tento zápis nezamenil za výraz cos x 2. Ž: Tak, to sa mi nestane. V poslednom výraze je predsa zapísaná druhá mocnina premennej x, a nie hodnoty funkcie kosínus.
7 Ma-Go-2- List 7 Príklad : Bez použitia kalkulačky vypočítajte hodnoty sin x, tgx a cotgx, ak cos x = 2 ( ) 3 3π a x 2 ; 2π. U: Na výpočet hodnoty funkcie sínus použijeme základný vzťah (cos x) 2 + (sin x) 2 =. Dosaď do tohto vzťahu zadanú hodnotu funkcie kosínus. Ž: Dostaneme ( ) (sin x) 2 =. 3 Zlomok umocníme tak, že umocníme čitateľa aj menovateľa (sin x)2 =. U: V tejto rovnici je neznámou výraz sin x, preto si ho vyjadríme. Od oboch strán rovnice odpočítame zlomok : (sin x) 2 = Aký zlomok dostaneme na pravej strane? Ž: Číslo sa dá zapísať v tvare zlomku Rozdiel zlomkov a 44 na pravej strane dá 69 zlomok 25 69, takže (sin x) 2 = U: Posledná rovnica určuje druhú mocninu výrazu sin x. My máme vypočítať sin x. Akú úpravu použijeme? Ž: Odmocníme výrazy na oboch stranách rovnice a dostaneme výsledok sin x = 5 3. U: Pozor! Druhá odmocnina z druhej mocniny výrazu je absolútna hodnota tohto výrazu, t. j. u2 = u. Ž: Aha! Vždy na to zabudnem. V našom prípade preto platí (sin x)2 = sin x. U: Rovnicu odmocnením upravíme na tvar (sin x) 2 = sin x = 5 3.
8 Ma-Go-2- List 8 Ž: Odkiaľ určíme, či hodnota funkcie sínus bude kladná alebo záporná? ( ) 3π U: Zabudol si na druhú informáciu v zadaní. Vieme, že x 2 ; 2π. Akú hodnotu v porovnaní s nulou nadobúda funkcia sínus v tomto intervale? Ž: Sínus nadobúda záporné hodnoty. U: Preto riešením pre hodnotu funkcie sínus bude záporné číslo 5, t. j. 3 sin x = 5 3. Určiť hodnoty funkcií tangens a kotangens už nebude pre teba problém. Využi definície týchto funkcií. Ž: Tangens je určený podielom funkcií sínus a kosínus Za sínus stačí dosadiť zlomok 5 3 tgx = sin x cos x. a za funkciu kosínus dosadím zlomok 2 3. Takže 5 tgx = sin x cos x = 3 = U: Pre výpočet hodnoty funkcie kotangens sa ponúka niekoľko možností. Ž: Veď to vypočítam analogicky podľa definície funkcie kotangens. Iba vymením funkcie sínus a kosínus v zlomku. Teda aj číselné hodnoty a dostávam cotgx = cos x sin x = = 2 5. U: Inou možnosťou výpočtu je použitie vzťahu tgx cotgx =. Hodnotu funkcie kotangens vypočítame ako prevrátenú hodnotu k hodnote funkcie tangens, t. j. cotgx = tgx = 5 2 = 2 5. Ak máš hodnotu funkcie tangens, kotangens je jeho prevrátenou hodnotou. Vymeníš číselné hodnoty v čitateli a menovateli zlomku.
9 Ma-Go-2-2 List 9 Príklad 2: Bez použitia kalkulačky vypočítajte hodnoty sin x, cos x a cotgx, ak tgx = 5 ( 8 π ) a x 2 ; π. U: Ktorú hodnotu by si vypočítal pomerne jednoducho? Ž: S funkciou tangens súvisí funkcia kotangens. Platí tgx cotgx =. U: Teda Dosaď zadanú hodnotu pre tgx. cotgx = tgx. Ž: Po dosadení dostanem zložený zlomok, ktorý upravím na jednoduchý tvar: cotgx = tgx = 5 8 = 8 5. Vlastne vo výslednom zlomku pre kotangens budú číselné hodnoty prehodené v porovnaní s funkciou tangens. U: Zostáva určiť hodnoty funkcií sínus a kosínus. Ony určujú tangens. Tangens je definovaný ako podiel funkcií sínus a kosínus: tgx = sin x cos x. Podľa zadania je táto hodnota rovná číslu 5, t. j. 8 tgx = sin x cos x = 5 8. Ž: Potom je to ľahké. Stačí porovnať zlomky. Sínus je rovný číslu 5 a kosínus je rovný číslu 8. U: Nebude to také ľahké. Navyše nemáš dobrý výsledok. Hodnoty funkcií sínus a kosínus môžu byť iba v rozpätí čísel od do vrátane. Rovnica sin x cos x = 5 je prvou rovnicou 8 pre neznáme hodnoty funkcií sínus a kosínus. Druhú rovnicu dáva základný vzťah medzi týmito funkciami: (cos x) 2 + (sin x) 2 =. Ž: Budeme riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych?
10 Ma-Go-2-2 List 0 U: Áno. Prvá rovnica v sústave má tvar a druhou rovnicou je rovnica sin x cos x = 2 8 (cos x) 2 + (sin x) 2 =. Ž: Neznámymi v sústave rovníc sú výrazy sin x a cos x? U: Je vhodné, ak si ich v ďalšom riešení označíme jednoduchšími symbolmi, napríklad a = sin x, b = cos x. Sústavu rovníc prepíšeme pomocou neznámych a a b na tvar a b = 2 8 b 2 + a 2 =. Ž: Nevyzerá to dobre. V sústave nie je žiadna lineárna rovnica. U: Ak si z prvej rovnice sústavy vyjadríš neznámu a, tak sa k nejakej jednoduchšej rovnici dopracujeme. Získaný výraz dosaď do druhej rovnice. Ž: Z prvej rovnice a b = 5 vynásobením výrazov na oboch stranách rovnice neznámou b 8 dostanem a = 5 8 b. Tento výraz dosadím za neznámu a do druhej rovnice b 2 + ( 5 8 b)2 =. U: Vidíš, že si to zvládol. Ďalej budem pokračovať ja. Zlomok vo výraze na ľavej strane umocníme. Súčet výrazov na ľavej strane rovnice upravíme na spoločného menovateľa, čo je číslo 64. b b2 = b b2 =
11 Ma-Go-2-2 List Ž: Sčítať zlomky je už ľahké. Dostanem b2 =. Viem osamostatniť druhú mocninu neznámej b na ľavej strane. Výrazy na oboch stranách rovnice vynásobím číslom 64 a zároveň predelím číslom 289: Aby sme vypočítali b, odmocníme. b 2 = U: Nezabudni, že b 2 = b. Preto našu rovnicu upravíme na tvar 64 b = 289. Ž: Výsledkom druhej odmocniny je číslo 8 7. U: Neznáma b označuje hodnotu funkcie kosínus. Teda cos x = b = 8 7. Ž: Odkiaľ určíme, či hodnota kosínus je kladná, alebo záporná? ( π ) U: V zadaní je uvedené, že x 2 ; π. Pre takéto x je hodnota funkcie kosínus záporná. Preto cos x = 8 7. Ž: Neznáma a označovala hodnotu funkcie sínus. Zároveň z riešenia úlohy vieme, že Dosadím za neznámu b a mám a = 2 8 b. sinx = a = 2 8 b = 2 8 ( 8 ) =
12 Ma-Go-2-3 List 2 Príklad 3: Zjednodušte výraz a určte, pre ktoré reálne čísla x je definovaný: sin x (sin x) 3 cos x (cos x) 3. Ž: V čitateli zlomku by som vybral pred zátvorku výraz sin x. V menovateli sa to dá urobiť analogicky s výrazom cos x, tak, ako ho vidíte v rámčeku. sin x (sin x) 3 cos x (cos x) = sin x ( ) (sin x) 2 3 cos x ( (cos x) 2 ) U: Výrazy v zátvorkách posledného zlomku sa dajú nahradiť jednoduchšími výrazmi. Vieme, že (cos x) 2 +(sin x) 2 =. Ak odčítame od výrazov na oboch stranách rovnice výraz (sin x) 2, dostaneme (cos x) 2 = (sin x) 2. Preto namiesto výrazu v zátvorke čitateľa zlomku napíšeme výraz (cos x) 2. Ž: Pre výraz v menovateli je to analogické. Výraz (cos x) 2 nahradíme výrazom (sin x) 2. U: Správne. Tieto výrazy sú cyklické. Ž: Čo to znamená? U: Hodnoty funkcií sínus a kosínus sa dajú navzájom vymeniť bez zmeny výsledku. Po úpravách dostaneme zlomok sin x (cos x) 2 cos x (sin x) 2. Ž: V tomto zlomku sa dajú krátiť výrazy sin x v čitateli a (sin x) 2 v menovateli zlomku. Zostane výraz sin x v menovateli zlomku. Podobne vykrátime aj výrazy s kosínusom. Zostane výraz cos x v čitateli zlomku. Po krátení dostávam cos x sin x. U: Tento výsledok sa ešte dá zjednodušiť. Podiel funkcií kosínus a sínus definuje funkciu kotangens. Výsledkom úlohy je preto výraz cotgx. sin x (sin x) 3 cos x (cos x) = cos x 3 sin x = cotgx U: Zostáva určiť podmienky pre premennú x v pôvodnom výraze. Ž: Výraz cos x (cos x) 3 v menovateli zadaného zlomku nesmie byť rovný nule. U: Máš pravdu. Ale tento výraz sme postupne nahradili inými výrazmi. Pre určenie a riešenie podmienok sú výhodnejšie. Sleduj rámček, ktorý rekapituluje všetky naše úpravy. Hlavne výrazy v menovateli prvých troch zlomkov. Ide stále o ten istý výraz vyjadrený v inom tvare.
13 Ma-Go-2-3 List 3 sin x (sin x) 3 cos x (cos x) = sin x ( ) (sin x) 2 3 cos x ( (cos x) 2 ) = = sin x (cos x)2 cos x (sin x) = cos x 2 sin x = cotgx Ž: Máte pravdu. Nahradili sme ho súčinom cos x (sin x) 2. Teda hodnoty funkcie sínus a kosínus musia byť rôzne od nuly. sin x 0, cos x 0. Sínus nadobúda hodnotu nula pre celočíselné násobky čísla π a kosínus pre nepárne násobky čísla π 2. U: Sleduj na číselnej osi. Celočíselné násobky čísla π sú znázornené červenou farbou a nepárne násobky čísla π modrou farbou. Všetky tieto čísla nepatria do definičného oboru výrazu. 2 Dajú sa vyjadriť jedným tvarom? 5 2 π 2π 3 2 π π π 2 π π 0 π 2π Ž: Opakujú sa vždy o číslo π. Sú to celočíselné násobky tohto čísla. 2 U: Definičným oborom zadaného výrazu je množina všetkých reálnych čísel, okrem celočíselných násobkov čísla π 2. { } kπ D = R 2 ; k Z. 5 2 π
14 Ma-Go-2-4 List 4 Príklad 4: Zjednodušte výraz a určte, pre ktoré reálne čísla x je definovaný: cos x sin x + cos x + sin x. U: Zlomky upravíme na spoločného menovateľa. Bude to súčin výrazov sin x a +sin x v menovateľoch zadaných zlomkov. Ž: Prvý zlomok rozšírime výrazom + sin x a druhý zlomok rozšírime výrazom sin x. Tak, ako to vidíme v rámčeku. cos x sin x + cos x + sin x = cos x( + sin x) cos x( sin x) + ( sin x)( + sin x) ( sin x)( + sin x) U: Súčet zlomkov s rovnakým menovateľom bude zlomok s tým istým menovateľom, pričom čitateľ výsledného zlomku bude súčtom výrazov v čitateľoch daných zlomkov. Dostali sme teda zlomok cos x( + sin x) + cos x( sin x). ( sin x)( + sin x) Pokračuj v úpravách. Ž: Výrazy v čitateli roznásobím. V menovateli použijem vzorec Po týchto úpravách dostanem (a b)(a + b) = a 2 b 2. cos x + cos x sin x + cos x cos x sin x sin 2. x V čitateli výrazy cos x sin x a cos x sin xdajú nulu. Zvyšné dva výrazy možno sčítať. V čitateli zostane výraz 2 cos x, takže máme Bude to výsledok? 2 cos x sin 2 x. U: Tento výraz sa ešte dá upraviť. Výraz sin 2 x v menovateli sa dá nahradiť výrazom cos 2 x. Ž: Prečo?
15 Ma-Go-2-4 List 5 U: Platí základný vzťah medzi hodnotami funkcií sínus a kosínus cos 2 x + sin 2 x =. Ak odčítame od výrazov na oboch stranách rovnice výraz sin 2 x, dostaneme Dosaď a pokračuj v úpravách. cos 2 x = sin 2 x. Ž: Po dosadení sa kosínus v čitateli vykráti s jedným kosínusom z menovateľa. 2 cos x sin 2 x = 2 cos x cos 2 x = 2 cos x. 2 U: Výraz je výsledkom prvej časti úlohy. Zostáva určiť definičný obor výrazu. Ktoré cos x reálne čísla možno dosadiť za premennú x, aby existovali hodnoty všetkých výrazov, ktoré sme získali pri úpravách zadaného výrazu? Od čoho to závisí? Ž: V menovateľoch zlomkov nesmú byť nuly. To mám napísať všetky podmienky? U: Pokiaľ sú rôzne, tak áno. Podmienky sin x 0 a + sin x 0 sú obsiahnuté v podmienke pre spoločný menovateľ ( sin x)( + sin x) zlomku, ktorý sme získali úpravou. Súčin týchto výrazov sme však nahradili výrazom sin 2 x a ten výrazom cos 2 x. Preto podmienky pre tieto výrazy vyjadrujú to isté, ako dve podmienky zo zadania. Je jednoduchšie vyriešiť podmienku pre posledný výraz. Je totiž jediná, a navyše sa v rôznych úlohách často vyskytuje. cos x 0 Vyrieš túto podmienku. Ž: Hodnota funkcie kosínus je rovná nule pre nepárne násobky čísla π. Tieto reálne čísla teda 2 nepatria do definičného oboru výrazu: D = R {(2k + ) π } 2 ; k Z U: Chcem ťa pochváliť za symbolický zápis nepárnych celých čísel. Čísla v tvare 2k sú párne, lebo sú deliteľné číslom 2. Preto čísla 2k + sú nepárne. Sú o jednotku väčšie ako párne čísla.
16 Ma-Go-2-5 List 6 Príklad 5: Zjednodušte výraz a určte, pre ktoré reálne čísla x je definovaný: tg 2 x + + cotg 2 x +. U: Zapíš hodnoty funkcií tangens a kotangens pomocou hodnôt funkcií sínus a kosínus. Ž: Funkcia tangens je definovaná ako podiel funkcií sínus a kosínus. Funkcia kotangens ako podiel funkcie kosínus a funkcie sínus. Dosadím to teda do zadania tak, ako to vidíme v rámčeku. tg 2 x + + cotg 2 x + = ( ) 2 + sin x + cos x ( cos x sin x ) 2 + U: Zlomky umocňujeme tak, že umocníme výraz v čitateli a výraz v menovateli. Ak to urobíme, tak máme sin 2 + x cos 2 x + cos 2. x sin 2 x + Uprav menovatele zložených zlomkov na spoločného menovateľa. Ž: V menovateli prvého zloženého zlomku napíšem číslo v tvare zlomku cos2 x cos 2 x. V menovateli druhého zloženého zlomku napíšem číslo v tvare sin2 x sin 2 x. sin 2 + x cos 2 x + cos2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x + sin2 x sin 2 x Ž: Zlomky v menovateľoch zložených zlomkov sčítam a mám súčet zlomkov sin 2 + x + cos 2 x cos 2 x + sin 2. x cos 2 x sin 2 x U: Zložené zlomky upravíme na tvar jednoduchých zlomkov. Číslo v čitateli si predstav ako zlomok. Zložený zlomok, ako vieme, nahradíme jednoduchým zlomkom, v čitateli ktorého bude súčin vonkajších výrazov zloženého zlomku. V menovateli jednoduchého zlomku bude súčin vnútorných výrazov zloženého zlomku. cos 2 sin 2 x + cos 2 x + sin 2 x cos 2 x + sin 2 x Ž: Oba zlomky majú rovnakého menovateľa, výraz sin 2 x + cos 2 x. Preto sčítam výrazy v čitateli týchto zlomkov.
17 Ma-Go-2-5 List 7 sin 2 x + cos 2 x cos 2 x + sin 2 x Ž: V čitateli aj menovateli sú rovnaké výrazy. Vykrátim ich. Výsledkom bude číslo. U: Posledné úpravy sme mohli urobiť aj ináč. Sleduj ešte raz posledné zložené zlomky, ktoré sme upravovali na tvar jednoduchých zlomkov: sin 2 x + cos 2 x cos 2 x + cos 2 x + sin 2. x sin 2 x Všímaj si výraz sin 2 x+cos 2 x v čitateli zlomkov nachádzajúcich sa v menovateli zložených zlomkov. Nedá sa tento výraz nahradiť iným výrazom? Ž: Jasné. Hodnota tohto výrazu je stále rovná jednej, lebo platí sin 2 x + cos 2 x =. U: Preto sme mohli časti zložených zlomkov zjednodušiť. cos 2 x + sin 2 x Ž: Vidím, že ak zjednodušíme zložené zlomky, využijeme tento vzťah ešte raz: cos 2 x + sin 2 x = cos2 x + sin2 x = sin 2 x + cos 2 x =. Dostali sme ten istý výsledok. U: Určme podmienky. V menovateli zlomkov sa vyskytol výraz sin 2 x + cos 2 x. Ten, ako vieme, je rovný číslu pre všetky reálne čísla x. Nadobúda teda nenulové hodnoty. Ktoré ďalšie výrazy sa nachádzajú v menovateli zlomkov? Ž: Druhé mocniny hodnôt funkcií sínus a kosínus. V zadaní sú v menovateli výrazy tg 2 x + a cotg 2 x +. U: Máš predstavu, či posledné dva z nich môžu nadobúdať nulovú hodnotu? Ž: Netuším.
18 Ma-Go-2-5 List 8 U: V oboch výrazoch je súčet druhej mocniny goniometrickej funkcie a čísla. Druhá mocnina akéhokoľvek reálneho čísla u je však číslo nezáporné: u 2 0 Platí to aj pre druhé mocniny hodnôt funkcií tangens a kotangens. Ak k tomu prirátame číslo, budú hodnoty výrazov minimálne, teda tg 2 x +, cotg 2 x +. Tieto výrazy nenadobúdajú nulovú hodnotu. Ž: Takže zostávajú už iba druhé mocniny výrazov sin x a cos x, ktoré sú v menovateli zlomkov. Musí platiť sin x 0, cos x 0. U: Vyriešiť tieto podmienky by pre teba nemal byť problém. Ž: Z prvej podmienky sin x 0 vyplýva, že x musí byť rôzne od celočíselných násobkov čísla π, t. j. x kπ. Z druhej podmienky cos x 0 vyplýva, že x musí byť rôzne od nepárnych násobkov čísla π 2, t. j. x (2k + ) π 2. U: To znamená, že x je rôzne od celočíselných násobkov čísla π 2 a D = R {k π 2 ; k Z }.
19 Ma-Go-2-6 List 9 Príklad 6: V množine reálnych čísel vyriešte rovnicu 2 sin 2 x + 3 cos x = 0. U: Rovnicu upravíme na taký tvar, aby výraz na ľavej strane obsahoval iba hodnoty funkcie kosínus. Druhú mocninu funkcie sínus vyjadríme zo vzťahu: sin 2 x + cos 2 x =. Ž: Odčítam od oboch strán rovnice výraz cos 2 x. Dostávam sin 2 x = cos 2 x. U: Preto v rovnici zo zadania príkladu nahradíme druhú mocninu hodnoty funkcie sínus výrazom cos 2 x a dostávame Pokračuj v úprave. 2( cos 2 x) + 3 cos x = 0. Ž: Roznásobil by som výrazy na ľavej strane rovnice. Získam rovnicu Čo ďalej? 2 2 cos 2 x + 3 cos x = 0. U: Na pravej strane rovnice je nula. Pozri sa na výraz na ľavej strane. Obsahuje tri členy. Výraz cos x, jeho druhú mocninu a absolútny člen. Aký typ rovnice má tieto charakteristiky? Ž: Kvadratická rovnica? U: Áno, je to kvadratická rovnica. Jasnejšie to bude vidieť, ak zavedieme substitúciu. Výraz cos x nahradíme neznámou u. Druhá mocnina funkcie kosínus bude druhou mocninou substitučnej neznámej u. cos x = u, cos 2 x = u 2 Ž: Po dosadení do poslednej rovnice dostávam rovnicu 2 2u 2 + 3u = 0. Obe strany rovnice vynásobím číslom a usporiadam od kvadratického člena po absolútny člen 2 + 2u 2 3u = 0, U: Ako určíš korene poslednej rovnice? 2u 2 3u 2 = 0.
20 Ma-Go-2-6 List 20 Ž: Použijem vzorec: Určím si koeficienty Dosadím do vzorca a mám u,2 = b ± b 2 4ac. 2a a = 2, b = 3, c = 2. u,2 = b ± b 2 4ac = ( 3) ± ( 3) ( 2) 2a 2 2 U: Slušný výkon. Dostaneme dva korene = 3 ± = 3 ± 5 4. u = = 2, u 2 = = 2. Pre každú hodnotu substitučnej neznámej u vyriešime goniometrickú rovnicu, lebo cos x = u. Dosaď za u číslo 2. Ž: Ale rovnica cos x = 2 nemá riešenie. Kosínus nadobúda hodnoty iba od do. Kosínus nemôže byť nikdy rovný číslu 2. U: Zostáva nám vyriešiť rovnicu cos x =. Využijeme jednotkovú kružnicu. Funkcia kosínus reálnemu číslu x priradí x-ovú súradnicu bodu na jednotkovej kružnici. Preto 2 určíme všetky body jednotkovej kružnice, ktoré majú x-ovú súradnicu rovnú číslu. Do ktorých 2 kvadrantov patria? Ž: Kosínus je záporný v II. a v III. kvadrante. y x 2 x 0 J 2 x U: Prezradím ti, že funkcia kosínus nadobúda hodnotu 2 pre x rovné číslu π. Využiješ ju pre 3 určenie hodnoty zodpovedajúcej bodom v II. a v III. kvadrante. Ž: V jednom prípade hodnotu π 3 pripočítam: odpočítam od čísla π, a v druhom prípade ju k číslu π x = π π 3 = 2π 3, x 2 = π + π 3 = 4π 3.
21 Ma-Go-2-6 List 2 U: Určil si základné hodnoty riešenia v intervale 0; 2π). Funkcia kosínus je periodická s najmenšou periódou 2π. Preto všetky riešenia rovnice dostaneme pripočítaním celočíselných násobkov čísla 2π k základným hodnotám riešenia. Takže { } 2π K = 3 + 2kπ; 4π 3 + 2kπ; k Z.
22 Ma-Go-2-7 List 22 Príklad 7: V množine reálnych čísel vyriešte rovnicu tgx + cotgx 2 = 0. U: Funkciu kotangens nahradíme funkciou tangens. Použijeme základný vzťah medzi hodnotami týchto funkcií: tgx cotgx =. Ž: Z toho mám Po dosadení do zadanej rovnice dostávame: cotgx = tgx. tgx + tgx 2 = 0. U: Odstránime zlomky. Obe strany rovnice vynásobíme výrazom tgx. Potom Akého typu je posledná rovnica? tg 2 x + 2tgx = 0. Ž: Je to kvadratická rovnica. Členy v rovnici by som usporiadal od kvadratického po absolútny člen. tg 2 x 2tgx + = 0. Zavedieme substitúciu? U: Nie je to nutné. Pozri sa ešte raz na výraz na ľavej strane rovnice. Pripomína jeden z často používaných vzorcov. Ž: Myslíte vzorec (a b) 2 = a 2 2ab + b 2? U: Áno. Výraz na ľavej strane rovnice sa v našom prípade dá upraviť na tvar Rovnicu potom upravíme Kedy sa druhá mocnina rovná nule? tg 2 x 2tgx + = (tgx ) 2. (tgx ) 2 = 0. Ž: Druhá mocnina je rovná nule, ak základ mocniny je nula. Preto v našom prípade platí tgx = 0. U: Vyriešime jednoduchú goniometrickú rovnicu tgx =. Koľko základných riešení má v intervale (0; π)? Ž: Prečo iba v tomto intervale, keď máme riešiť rovnicu v množine reálnych čísel? U: Funkcia tangens je periodická s najmenšou periódou π. Preto hľadáme základné hodnoty riešenia iba v intervale dĺžky π. Všetky riešenia potom vyjadríme ako súčet základného riešenia a celočíselných násobkov čísla π.
23 Ma-Go-2-7 List 23 Ž: Už si spomínam. Funkcia tangens nadobúda hodnotu pre x = π 4. U: Všetky riešenia rovnice tgx = budú preto vyjadrené v tvare Sú tieto čísla aj riešením zadanej rovnice? π + kπ; k Z. 4 Ž: Áno, veď všetky úpravy rovníc boli ekvivalentné. U: Na niečo podstatné si však zabudol. Definičným oborom funkcií tangens a kotangens, ktorých hodnoty sú vo výraze na ľavej strane pôvodnej rovnice, nie je množina všetkých reálnych čísel. Ž: Jasné! Tangens nie je definovaný pre nepárne násobky čísla π a kotangens pre celočíselné 2 násobky čísla π. Korene rovnice však týmto podmienkam vyhovujú. U: Množinou koreňov zadanej rovnice je teda { π } K = 4 + kπ; k Z.
24 Ma-Go-2-8 List 24 Príklad 8: V množine reálnych čísel vyriešte rovnicu cos 2 x tg2 x =. Ž: Neviem, ako začať. V zadaní rovnice sú dve rôzne goniometrické funkcie. U: Existuje však medzi nimi súvis. Funkcia tangens sa dá vyjadriť ako podiel funkcií sínus a kosínus: tgx = sin x cos x. Využi to pri úprave výrazu na ľavej strane rovnice. Ž: Dobre, dosadím do rovnice a zlomok umocním. Umocním zvlášť čitateľa a menovateľa zlomku: ( ) 2 sin x cos 2 x = cos x (sin x)2 cos 2 x (cos x) = 2 U: Zlomky na ľavej strane rovnice odčítame. Majú spoločného menovateľa. Preto čitateľ bude rozdielom výrazov v čitateľoch daných zlomkov, teda (sin x) 2 cos 2 x =. Ako sa dá vyjadriť výraz (sin x) 2 v čitateli zlomku? Ž: Viem, že sin 2 x + cos 2 x =. Preto výraz (sin x) 2 je vlastne cos 2 x. U: Dostávame takto rovnicu cos 2 x cos 2 x =. Ž: Ale zlomok na ľavej strane rovnice je rovný jednej. Z rovnice cos2 x = dostaneme výrok cos 2 x =. Taký výrok platí vždy. U: Áno platí vždy, pokiaľ sú definované výrazy na ľavej a pravej strane rovnice. Zadaná rovnica však obsahuje na ľavej strane zlomok cos 2 x. Ž: Aha! V menovateli zlomku nesmie byť nula. Preto hodnota funkcie kosínus musí byť rôzna od nuly. cos x 0. Čo bude riešením podmienky? U: Hodnota argumentu x nesmie byť nepárnym násobkom čísla π, t. j. 2 x (2k + ) π 2 ; k Z Ž: Taká istá podmienka platí aj pre funkciu tangens. Vyjadrili sme ju ako podiel funkcií sínus a kosínus. Preto kosínus musí byť rôzny od nuly.
25 Ma-Go-2-8 List 25 U: Iné podmienky v procese úprav zadanej rovnice nevznikli. Preto riešením zadanej rovnice je množina všetkých reálnych čísel, okrem nepárnych násobkov čísla π 2. K = R {(2k + ) π } 2 ; k Z
26 Ma-Go-2-9 List 26 Príklad 9: Načrtnite graf funkcie f : y = tgx cotgx. Ž: Budeme násobiť hodnoty funkcie tangens a kotanges pre niekoľko hodnôt argumentu x? U: Výhodnejšie je upraviť výraz na pravej strane v predpise funkcie. Ako vieme, súčin hodnôt funkcií tangens a kotangens je jedna, t. j. tgx cotgx =. Ž: Ale to je potom jednoduchá úloha. Po dosadení do predpisu funkcie dostanem konštantnú funkciu f : y =. Jej grafom bude priamka rovnobežná s x-ovou osou. Priamka bude pretínať y-ovú os v bode. U: Nebude to celá priamka. Nezabúdaj, že funkcie tangens a kotangens sú definované ako zlomky. Ich definičnými obormi nie je množina všetkých reálnych čísel. Ž: Na to vždy zabudnem. Keď v zadaní nevidím zlomky, tak sa v riešení vždy ponáhľam. U: Tie zlomky sú v pojmoch tangens a kotangens. Ako vyzerajú? Ž: Funkcia tangens je definovaná ako podiel funkcií sínus a kosínus tgx = sin x cos x. Preto hodnoty funkcie kosínus musia byť nenulové, čiže cos x 0. Kosínus nadobúda nulovú hodnotu pre nepárne násobky čísla π 2. U: Preto tieto čísla nepatria do definičného oboru funkcie f. Nepatria tam aj ďalšie čísla, ktoré súvisia s funkciou kotangens. Ž: Funkcia kotangens je podielom hodnôt funkcií kosínus a sínus. Preto hodnoty funkcie sínus musia byť nenulové. Zapíšem to v tvare cotgx = cos x sin x, sin x 0. Sínus nadobúda nulovú hodnotu pre celočíselné násobky čísla π. U: Od funkcie tangens sme z definičného oboru funkcie f vylúčili čísla v tvare (2k + ) π 2. Od funkcie kotangens čísla v tvare kπ. Obe tieto skupiny čísel možno zapísať jedným tvarom k π 2. Preto D(f) = R {k π } 2 ; k Z.
27 Ma-Go-2-9 List 27 Ž: Ako sa to prejaví na grafe? U: Líniou grafu bude priamka, ako si to už povedal. Vyznačíme na nej prázdne krúžky vo všetkých bodoch, ktorých x-ová súradnica je celočíselným násobkom čísla π 2. y y = tgx cotgx π π 2 π π 0 π 2π x
28 Ma-Go-2-0 List 28 Príklad 0: V množine reálnych čísel vyriešte rovnicu 3 cos 2 x + sin x cos x + 2 sin 2 x = 2. U: V rovnici sa vyskytujú aj druhé mocniny goniometrických funkcií sínus a kosínus. Spája ich základný vzťah sin 2 x + cos 2 x =. Vyjadri odtiaľ sin 2 x a dosaď do zadanej rovnice. Ž: Výraz sin 2 x v rovnici nahradím výrazom cos 2 x. U: Potom výrazy roznásobíme a máme Pokračuj v ďalších úpravách. 3 cos 2 x + sin x cos x + 2 sin 2 x = 2 3 cos 2 x + sin x cos x + 2 ( cos 2 x ) = 2 3 cos 2 x + sin x cos x cos 2 x = 2. Ž: Od výrazov na oboch stranách rovnice odčítam číslo 2 3 cos 2 x + sin x cos x 2 cos 2 x = 0. Rozdiel výrazov 3 cos 2 x a 2 cos 2 x na ľavej strane rovnice je rovný cos 2 x, preto dostávam cos 2 x + sin x cos x = 0. Na ľavej strane rovnice stále mám dve funkcie. U: Výraz je však jednoduchší a navyše sa porovnáva s nulou. Upravíme ho na súčin dvoch výrazov. Pred zátvorku vyberieme výraz cos x. Kedy sa súčin dvoch výrazov rovná nule? cos x(cos x + sin x) = 0. Ž: Súčin dvoch výrazov je rovný nule, ak sa jeden alebo druhý z výrazov rovná nule. U: Teda buď sa rovná nule kosínus, alebo súčet hodnôt funkcií sínus a kosínus. cos x = 0 alebo cos x + sin x = 0. U: Prvú rovnicu určite zvládneš sám. Ž: Kosínus je rovný nule, ak je neznáma x nepárnym násobkom čísla π 2, preto Ako vyriešime druhú rovnicu? K = {(2k + ) π 2 ; k Z }.
29 Ma-Go-2-0 List 29 U: Rovnicu cos x + sin x = 0 upravíme na rovnicu, v ktorej neznámou funkciou bude funkcia tangens. Najskôr odčítame hodnotu funkcie kosínus sin x = cos x. Teraz rovnicu vydelíme výrazom cos x a máme sin x cos x =. Podiel funkcií sínus a kosínus na ľavej strane je podľa definície hodnotou funkcie tangens. tgx =. Ž: Mohli sme deliť výrazom cos x? U: Áno. Funkcie sínus a kosínus nenadobúdajú naraz hodnotu nula. Také reálne čísla x, pre ktoré cos x sa rovná nule, nie sú riešením rovnice sin x = cos x. Preto delenie výrazom cos x bolo ekvivalentnou úpravou rovnice. Koľko základných riešení má rovnica tgx =? Ž: Má jedno základné riešenie, ktoré odpovedá bodu na grafe v otvorenom intervale ( π 2 ; 0 ). y y = tgx π 2 π 4 0 π 2 x U: Táto hodnota neznámej x je π. Funkcia tangens je periodická s najmenšou periódou 4 π. Preto všetky riešenia získame pripočítaním celočíselných násobkov čísla π k základnej hodnote riešenia. Preto { } π K 2 = 4 + kπ; k Z. Ž: Riešenie zadanej rovnice bude zjednotením množín koreňov K a K 2? U: Máš pravdu K = K K2 = {2k + ) π 2 ; π 4 + kπ; k Z }.
30 Ma-Go-2-0 List 30 Ž: Zmenilo by sa riešenie rovnice, keby som zo vzťahu sin 2 x + cos 2 x = na začiatku riešenia rovnice vyjadril cos 2 x? U: Vyskúšaj to. Ž: Namiesto cos 2 x dosadím do rovnice výraz sin 2 x. 3 cos 2 x + sin x cos x + 2 sin 2 x = 2 3 ( sin 2 x ) + sin x cos x + 2 sin 2x = 2 Ž: Roznásobím 3 3 sin 2 x + sin x cos x + 2 sin 2x = 2. Odčítam číslo 2 3 sin 2 x + sin x cos x + 2 sin 2x = 0. U: Súčet výrazov 3 sin 2 x a 2 sin 2 x nahradíme výrazom sin 2 x, preto máme rovnicu sin 2 x + sin x cos x = 0. Ž: Ale sin 2 x je cos 2 x, takže rovnica má tvar cos 2 x + sin x cos x = 0. Je to tvar rovnice, ku ktorej sme došli aj pri prvom spôsobe riešenia.
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií tangens a kotangens
Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραVýrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;
Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch rotačného valca
Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραObjem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa
Ma-Te-06-T List 1 Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko U: Počul si už niekedy o zrezanom rotačnom kuželi? Ž: O rotačnom kuželi som už počul, ale pojem zrezaný
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií sínus a kosínus
Ma-Go-5-T List Graf funkcií sínus a kosínus RNDr. Marián Macko U: Pozoroval si nieked, ako sa správa vodná hladina na jazere, ak tam hodíš kameň? Ž: Vlní sa. U: Svojím tvarom v jednej vbranej línií pripomína
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραRovnosť funkcií. Periodická funkcia.
VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραTematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMa-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko
Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραMocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραJKTc01-T List 1. Číselné množiny. Mgr. Jana Králiková
JKTc01-T List 1 Číselné množiny Mgr. Jana Králiková U: Čo si predstavuješ pod pojmom množina? Ž: Skupinu nejakých vecí. U: Presnejšie by sa dalo povedať, že množina je skupina (súbor, súhrn) navzájom rôznych
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραVzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραTesty a úlohy z matematiky
Testy a úlohy z matematiky Spracovala a zostavila: c Mgr. Hedviga Soósová 008 Vydavateľ: Copyright c VARIA PRINT, s. r. o. 008. Prvé vydanie. Kontakt: VARIA PRINT, s. r. o. Mgr. Marta Varsányiová Ul. františkánov
Διαβάστε περισσότεραVaFu02-T List 1. Graf funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu0-T List Graf funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Vieme, že funkcia vjadruje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Akým spôsobom b mohla bť funkcia zadaná? Ž: Stretol som sa najmä srovnicami, napríklad
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραtretej odmocniny ( x ), mocniny čísla 10, n-tá mocnina ľubovoľného čísla (a n ) pre konkrétne hodnoty n, n je prirodzené číslo.
Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Školský vzdelávací program matematika 9. ročník 1. Obsah vzdelávania učebného predmetu v 9. ročníku (rozšírený počet hodín ) Tematický celok Témy Druhá a tretia
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραCHÉMIA Ing. Iveta Bruončová
Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov
Διαβάστε περισσότεραTéma Pojmy Spôsobilosti
OBSAH VZDELÁVANIA 1.ročník (Prima) 4 hod. týždenne + 0,5 RH / 148,5 hod. ročne Tematický celok počet hodín Obsahový štandard Výkonový štandard Prostriedky hodnotenia Téma Pojmy Spôsobilosti Opakovanie
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότερα