|
|
- Σοφός Λύτρας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μαθηματική και υπολογιστική μοντελοποίηση βιολογικών συστημάτων και εφαρμογές Μέρος Ι: Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Βακερουδης Σταυρος Ιστοσελίδα: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 19 Δεκεμβρίου, 2016
2 Κίνητρα Υπολογιστική Βιολογία: Περιστροφή ενός επίπεδου πολυμερούς (α) (β) Σχήμα: (α) Ελεύθερο πολυμερές στο κυτταρόπλασμα, και (β) μία περιστροφή πολυμερούς σε 3 διαστάσεις. Για άλλες πληροφορίες/εφαρμογές: Σ. Β.,M. Yor and D. Holcman (2011). The Mean First Rotation Time of a planar polymer. J. Stat. Phys., Vol. 143, n. 6, p / 20
3 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 3 / 20
4 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 3 / 20
5 Κίνηση Brown Εισαγωγή - τυχαίος περίπατος Εστω τυχαίος περίπατος (αρχόμενος από το 0): n X n = Y i, όπου Y i, i = 1,..., n i.i.d. με P(Y i = 1) = P(Y i = 1) = 1 2. i=1 Σχήμα: 8 πραγματοποιήσεις του παραπάνω τυχαίου περίπατου. 4 / 20
6 Κίνηση Brown Διαισθητική προσέγγιση Εν συνεχεία, σε κάθε t κάνουμε βήμα x. Με n t = t/ t, έχουμε: n t X t = ( x) Y i. i=1 Παίρνουμε: x, t 0 (πρέπει x = σ t) και προκύπτει Στοχαστική Ανέλιξη συνεχούς χρόνου. Σχήμα: 1 πραγματοποίηση της μονοδιάστατης Κίνησης Brown. 5 / 20
7 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 5 / 20
8 Κίνηση Brown Βασικές Ιδιότητες Εστω χώρος Πιθανότητας (Ω, F, (F t ), P), όπου: Ω: ο δειγματικός χώρος (το σύμπαν όλων των δυνατών αποτελεσμάτων), F: το σύνολο των πιθανών ενδεχομένων, όπου ένα ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο του Ω (σ -άλγεβρα), P: μέτρο πιθανότητας, (F t ) t 0 : διύλιση ή διήθηση (ltration) που μοντελοποιεί την εξέλιξη των πληροφοριών που έχουμε ως προς το χρόνο. ΟΡΙΣΜΟΣ Λέμε ότι μία Ανέλιξη είναι F t -προσαρμοσμένη (F t -adapted) αν είναι F t -μετρήσιμη δηλαδή αν γνωρίζουμε πληροφορίες μέχρι τη χρονική στιγμή t, τότε και η τιμή της Ανέλιξης τη χρονική στιγμή t είναι γνωστή. ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε χρόνο διακοπής (stopping time) μίας διύλισης F t έναν τυχαίο χρόνο T τέτοιον ώστε το ενδεχόμενο {T t} F t, t > 0. 6 / 20
9 Κίνηση Brown Ορισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Η Στοχαστική Ανέλιξη (συνεχούς χρόνου) (B t, t 0) ονομάζεται Κίνηση Brown αν ισχύουν τα παρακάτω: (i) B 0 = 0, (ii) t > 0, B t N (0, t), (iii) (ανεξάρτητες προσαυξήσεις) 0 t 1 < t 2 <... < t k, B t2 B t1, B t3 B t2,..., B tk B tk 1 είναι ανεξάρτητές, (iv) (στάσιμες προσαυξήσεις) s, t > 0, B t+s B t (law) = B s B 0, (v) οι τροχιές (B t, t 0) είναι σχεδόν βεβαίως συνεχείς. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οι τροχιές (B t, t 0) είναι σ.β. ΠΟΥΘΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ. 7 / 20
10 Κίνηση Brown Βασικές Ιδιότητες (i) Η (B t, t 0) είναι Μαρκοβιανή Ανέλιξη, δηλαδή: P[B t+s D B u, 0 u t] = P[B t+s D B t ]. (ii) Η (B t, t 0) είναι martingale ως προς A t = σ(b t, 0 u t): (B t) t 0 προσαρμοσμένη στην A t, E[ B t ] <, t, E[B t A s] = B s, s < t. Άλλα martingales ως προς A t (άσκηση): B 2 t t, exp{λb t λ2 t 2 }. ΠΡΟΤΑΣΗ (i) Ομογένεια ως προς το χρόνο: s > 0, (B t+s B s ) t 0 : Κίνηση Brown ανεξάρτητη από σ(b u, u s). (ii) Συμμετρία: ( B t, t 0): Κίνηση Brown. (iii) Scaling: c > 0, (cb t/c 2, t 0): Κίνηση Brown. (iv) Αντιστροφή χρόνου: X 0 = 0, (X t = tb 1/t, t > 0):Κίνηση Brown. (v) Με t [0, 1], B 1 t B 1 : Κίνηση Brown στο [0, 1]. (vi) Αναστροφή χρόνου: δοθέντος σταθερού u, B s (law) = B u B s. 8 / 20
11 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 8 / 20
12 Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Εισαγωγή (C x ) x 0 : Στοχαστική Ανέλιξη. Πώς ορίζεται το t 0 C xdb x ; Γνωρίζουμε ότι: t 0 f (x)dg(x) = lim max(t i t i 1 ) 0 n f (y i )[g(t i ) g(t i 1 )], i=1 όπου 0 = t 0 < t 1 <... < t n = t, y i [t i 1, t i ]. Μία πρώτη σκέψη είναι να κάνουμε κάτι παρόμοιο: ( t 0 C x db x ) (ω) = lim max(t i t i 1 ) 0 n C yi (ω)[b ti (ω) B ti 1 (ω)]. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: t B t (σ.β.) πουθενά παραγωγίσιμη, συνεπώς το όριο δεν υπάρχει για όλα τα (C x ). i=1 9 / 20
13 Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Itô ΟΡΙΣΜΟΣ (Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Itô) t n C x db x = L 2 lim C ti 1 [B ti B ti 1 ]. 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ max(t i t i 1 ) 0 i=1 Εδώ το αποτέλεσμα εξαρτάται από το y i [t i 1, t i ]. Γι αυτό επιλέγουμε y i = t i 1. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τετραγωνική Διακύμανση της Κίνησης Brown (0 = t 0 < t 1 <... < t n = t, i B = B ti B ti 1, i t = t i t i 1 ): n ( i=1 ib) 2 L 2 t. t i 0 Αλλιώς: (db t ) 2 = dt. 10 / 20
14 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 10 / 20
15 Στοχαστική Ανάλυση Φόρμουλα του Itô Κανόνας της αλυσίδας (chain rule): df (g(x)) = f (g(x + dx)) f (g(x)) = [f (g(x))] dx + f (g(t)) f (g(0)) = t 0 df (g(x)) = t 0 [f (g(x))] dx = Φόρμουλα του Itô: (επέκταση κανόνα αλυσίδας) df (B x ) = f (B x+dx ) f (B x ) = f (B x )db x + f (B x ) 2 Συνεπώς [f (g(x))] 2 t 0 (dx) f (g(x))dg(x). (db x ) }{{} dx f (B t ) f (B 0 ) = t Παράδειγμα: t 0 B xdb x =; 0 df (B t ) = t 0 f (B x )db x t 0 f (B x )dx. 11 / 20
16 Στοχαστική Ανάλυση Επέκταση της Itô Φόρμουλα Εστω τώρα f : R 2 R, f C 2 με μερικές παραγώγους f 1, f 2, f 11, f 12, f 22. Τότε, df (x, B x ) = f 1 (x, B x )dx + f 2 (x, B x )db x + f 11(x, B x ) (dx) 2 + f 22(x, B x ) 2 2 Συνεπώς, = f (t, B t ) f (0, B 0 ) = (db x ) 2 +f 12 (x, B x )dx db x +... }{{} dx [ f 1 (x, B x ) + f ] 22(x, B x ) dx + f 2 (x, B x )db x t Παράδειγμα: Γεωμετρική Κίνηση Brown X t = X 0 exp{(c σ2 2 )t + σb t} = f (t, B t ). 0 t [ f 2 (x, B x )db x + f 1 (x, B x ) + f ] 22(x, B x ) dx / 20
17 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 12 / 20
18 Επίπεδη Κίνηση Brown Εισαγωγή (1) Σχήμα: 1 πραγματοποίηση της Επίπεδης Κίνησης Brown. Η διδιάστατη Κίνηση Brown: είναι επανερχόμενη σε οποιαδήποτε περιοχή στο επίπεδο, δεν επισκέπτεται σ.β. ΚΑΝΕΝΑ σημείο στο επίπεδο. 13 / 20
19 Επίπεδη Κίνηση Brown Εισαγωγή (2) Η ιδιότητα σύμμορφα αναλλοίωτου (conformal invariance) της Επίπεδης Κίνησης Brown έχει σημαντικές συνέπειες στη δομή των τροχιών της. Σχήμα: Παραδείγματα σύμμορφων (conformal) απεικονίσεων. Αποτέλεσε/αποτελεί αντικείμενο μελέτης πολλών σημαντικών ερευνητών (Itô, McKean, Lyons, Kallianpur, Robbins, Spitzer, Williams, Durrett, Yor, Messulam, Pitman, Belisle, Le Gall, Bertoin, Werner, Pap, Bentkus, Shi,...). Σημαντικό θέμα μελέτης σήμερα: Schramm-Loewner Evolution (SLE) (Schramm (2000), Lawler, Werner, Smirnov, Beara, Duminil-Copin,...). 14 / 20
20 Επίπεδη Κίνηση Brown Η ανέλιξη των περιελίξεων (windings) Εστω (Z t = X t + iy t, t 0) μία τυπική Επίπεδη Κίνηση Brown, αρχόμενη από το x 0 + i0, x 0 > 0 (θεωρούμε x 0 = 1). (Z t, t 0) δε συναντάει σ.β. ποτέ το σημείο 0 αλλά περιστρέφεται γύρω του απειροστικώς συχνά (McKean). Η συνεχής ανέλιξη των περιελίξεων (windings) είναι καλώς ορισμένη. t dz s θ t = Im( ), t 0 0 Z s Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε: Z t = Z t e iθt. 15 / 20
21 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 15 / 20
22 Επίπεδη Κίνηση Brown Αναπαράσταση skew-product Ετσι, έχουμε: log Z t = log Z t + iθ t. Αναπαράσταση skew-product (Z t = X t + iy t Z t 2 = Xt 2 + Yt 2 ): t dz t s dx s + idy s X s iy s log Z t + iθ t = = 0 Z s 0 X s + iy s X s iy s t X s dx s + Y s dy t s Y s dx s + X s dy s = + i 0 Xs 2 + Ys 2 0 Xs 2 + Ys 2 = (β u + iγ u ) u=ht= t 0, ds Zs 2 όπου (β u + iγ u, u 0) είναι μία άλλη μιγαδική Κίνηση Brown, αρχόμενη από log 1 + i0. Άρα: log Z t = β Ht, θ t = γ Ht. Επιπλέον: H 1 u = inf{t : H t > u} = u 0 ds exp(2β s) := A u (β). 16 / 20
23 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 16 / 20
24 Επίπεδη Κίνηση Brown Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε την κατανομή του inf{t : θ t = c} και του T c θ inf{t : θ t = c}. T θ c Σχήμα: Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο για την Επίπεδη Κίνηση Brown. (a) Tc θ (t 1 δε μετράει καθώς η γωνία είναι αρνητική) και (b) T d,c θ inf{t : θ t / ( d, c)}, (c, d > 0) για μία Επίπεδη Κίνηση Brown, αρχόμενη από x 0 + i0. 17 / 20
25 Επίπεδη Κίνηση Brown Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο και Εκθετικό Συναρτησιακό Ορίζουμε επίσης: Tc γ inf{t : γ t = c}, T c γ inf{t : γ t = c}. ΠΡΟΤΑΣΗ Οι παρακάτω σχέσεις ισχύουν: T θ c = T γ c 0 ds exp(2β s ) = A T γ c, T γ και T c θ c = 0 ds exp(2β s ) = A γ T. c Απόδειξη: Από την αναπαράσταση skew-product (θ t = γ Ht ), έχουμε: T θ c = inf{t : θ t = c} = inf{t : γ Ht = c} Παρομοίως για τη 2η σχέση. s=h = t inf{as : γ s = c} γιατί t = Hs 1 = A s = A (inf{s : γ s = c}) = A T γ c. 18 / 20
26 Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 18 / 20
27 Ταυτότητα του Bougerol ΠΡΟΤΑΣΗ (Bougerol 1983) Για σταθερό u > 0, sinh(β u ) (law) = ˆβ Au(β)= u 0 ds exp(2βs ), όπου ( ˆβ t, t 0) είναι μία Κίνηση Brown, ανεξάρτητη από A u (β). Σκιαγράφηση της Απόδειξης: (Alili, Dufresne και Yor 1997) Εφαρμόζουμε τη Φόρμουλα του Itô και στα 2 μέρη και βλέπουμε ότι ικανοποιούν την ίδια Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση. Σ. Β. (2012), Bougerol's identity in law and extensions. Probability Surveys, 9, pp / 20
28 Ενδεικτική Βιβλιογραφία Z. Brzezniak, T. Zastawniak. Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises. Springer, I. Karatzas, S. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus. Vol Springer Science and Business Media, B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations. An introduction with applications. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 6th edition, D. Revuz, M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion. 3rd edition, Springer, Berlin, Α. Γιαννακόπουλος. Στοχαστική Ανάλυση και εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική. Σημειώσεις, Ι. Σπηλιώτης. Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις (με εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά). Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα, Δ. Χελιώτης. Εισαγωγή στο Στοχαστικό Λογισμό. Ελληνικά Ακαδημαϊκά Ηλεκτρονικά Συγγράμματα και Βοηθήματα, / 20
29 Ταυτότητα του Bougerol ΠΡΟΤΑΣΗ (Bougerol 1983) Για σταθερό u > 0, sinh(β u ) (law) = ˆβ Au(β)= u 0 ds exp(2βs ), όπου ( ˆβ t, t 0) είναι μία Κίνηση Brown, ανεξάρτητη από A u (β). Απόδειξη: (Alili, Dufresne και Yor 1997) i) Για S u = sinh(β u ) έχουμε (Itô Φόρμουλα) : ds u = d sinh(β u ) = S 2 u + 1 dβ u S udu. ii) (γ s, s 0): μονοδιάστατη Κίνηση Brown, ανεξάρτητη από (law) (β s, s 0). Αναστροφή του χρόνου: u: σταθερό, β s = β u β s : ˆβ Au(β) = u (law) u 0 eβs dγ s = e βu 0 e βs dγ s = Q u. Itô Φόρμουλα στην Q u (με δ μονοδιάστατη Κίνηση Brown): dq u = 1 2 Q udu + (Q u dβ u + dγ u ) = 1 2 Q udu + Q 2 u + 1 dδ u. 20 / 20
30 Επίπεδη Κίνηση Brown Θετικές και Αρνητικές Ροπές και ένα Τοπικό Οριακό Θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ Για 0 < c < d, Tc θ ] (i) E [(T d,c θ )p < p < π (ii) E [ (Tc θ ) p] ] E [(T d,c θ ) p E (iii) 2θ t log t (law) t C 1 T θ d,c T θ c. Συνεπώς, για p > 0, (law) = γ T β 1, (Spitzer 1958) [ ] (T c θ ) p <. (Β., Yor 2012) 2(c+d), (Spitzer 1958) όπου C 1 είναι μία τυπική Cauchy τ.μ., δηλαδή με σ.π.π. (π(1 + x 2 )) 1, και T β 1 inf{t : β t = 1}. (iv) (log t) P(Tc θ t > t) (4c)/π. (Β. 2011) Άρα, για q > 0, E[(log Tc θ ) q +] < q < 1, όπου ( ) + δηλώνει το θετικό μέρος. (v) Για d > c, (log t) P(c < θ t < d) t 2 π (d c). 20 / 20
31 Θεώρημα Girsanov Εστω t L t = exp{ η s db s 1 t ηs 2 ds}, t [0, T ] όπου η s : F t -προσαρμοσμένη ανέλιξη και B: Κίνηση Brown. Σημειώνουμε ότι η (L t, 0 t T ) είναι P-martingale. ΘΕΩΡΗΜΑ (Girsanov (Cameron-Martin)) Θεωρούμε το (ισοδύναμο) μέτρο Q η που ορίζεται από: Τότε, η είναι μία Q η -Κίνηση Brown. dq η dp = L t, t [0, T ]. t ˆB t = B t + η s ds, t [0, T ] 0 20 / 20
1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,
Διαβάστε περισσότερα(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i)
Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Το συνεχές μοντέλο συνεχούς χρόνου Σ. Ξανθόπουλος Παν. Αιγαίου Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 1 / Σύνοψη 1 Προκαταρκτικά 2 Διαδικασία Wiener ή Κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Κοκολάκης Γεώργιος
Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση
ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση Αφορμή γι αυτή τη σύντομη εργασία έδωσε μια ημερίδα διδασκαλίας των Μαθηματικών, η οποία οργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Θεωρημα 1 Εστω s S μια οποιαδήποτε κατάσταση μιας αδιαχώριστης Μαρκοβιανής αλυσίδας.
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότεραv r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r
Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που
Διαβάστε περισσότερα{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραΔείκτες Poincaré και Θεώρημα Frommer
Δείκτες Poinaré και Θεώρημα Frommer Ζαφειράκογλου Απόστολος 1 Θεωρητική εισαγωγή Στη διαφορική γεωμετρία, ως απόλυτη καμπυλότητα ορίζουμε το ολοκλήρωμα μια επίπεδης καμπύλης, θεωρώντας απειροστή διαμέριση
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }
Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ. Κίνηση Brown και το Μοντέλο Black-Scholes
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Κίνηση Brown
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018
ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση. Έστω f συνεχής στο διάστημα I και έστω ότι ισχύει f() για κάθε I. Αν η f 2 είναι παραγωγίσιμη στο I, αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2013 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
Διαβάστε περισσότεραX = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Διαβάστε περισσότεραHMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve
Διαβάστε περισσότεραu x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραf x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R
ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R
Διαβάστε περισσότερα(Université Libre des Bruxelles-ULB) - Laboratory of Probabilities and Random Models (LPMA), Πανεπιστήμιο Pierre et Marie Curie
ΣΤΑΥΡΟΣ ΒΑΚΕΡΟΥΔΗΣ Επισκέπτης Λέκτορας Πιθανοτήτων - Στατιστικής Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής (ΜΑΣ) Τ.Κ: 1678 Λευκωσία, Κύπρος Τ.Θ: 20537 Τηλ.: (+357)-22892634 Γραφείο: ΣΘΕΕ01-135
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Μαθηματικά Μοντέλα Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕγγυήσεις Τόκων σε Χρηματοδοτικές Συμβάσεις
Διπλωματική Εργασία Εγγυήσεις Τόκων σε Χρηματοδοτικές Συμβάσεις Μαρία-Ευθυμία Σακελλαρίδη Πειραιάς, 214 Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, ΠΜΣ ''Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου''
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)
ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών
ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών Βιβλιογραφία Ενότητας Benvento []: Κεφάλαιo Widrow [985]:
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΠαράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις
Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ
Διαβάστε περισσότερα= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).
Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΑΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΑΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2017-18 1η ΚΟΡΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)
Διαβάστε περισσότεραP AND P. P : actual probability. P : risk neutral probability. Realtionship: mutual absolute continuity P P. For example:
(B t, S (t) t P AND P,..., S (p) t ): securities P : actual probability P : risk neutral probability Realtionship: mutual absolute continuity P P For example: P : ds t = µ t S t dt + σ t S t dw t P : ds
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΑΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΑΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2016-17 1η ΚΟΡΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Διαφορικές εξισώσεις
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Διαφορικές εξισώσεις Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2018 lika@uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =
Διαβάστε περισσότεραΠαράγωγα Τιμολόγηση. },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F n
Παράγωγα Τιμολόγηση Αναφέρουμε μερικά εισαγωγικά τα οποία θα χρησιμοποιηθούν μέσω των μαθηματικών εργαλείων σαν υπάρχουσα γνώση για την τιμολόγηση των παραγώγων. Flered pace (Φιλτραρισμένοι Χώροι) Ένας
Διαβάστε περισσότεραΔομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότεραΘέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,
Πανελληνίων Θέμα Α Α. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 53 σχολικού βιβλίου. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι. Πράγματι, στο διάστημα, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει, Επειδή, οπότε έχουμε και,
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2017 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)
Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9
Διαβάστε περισσότερα). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότερα40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)
Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)
Διαβάστε περισσότερα1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΟ αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1
Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 1, Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-7811 Φαξ: 57-791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Δευτέρα, Ιουνίου 14 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Ντίνα Λύκα. Εισαγωγή. Εαρινό Εξάμηνο, 2018
Βιομαθηματικά BIO-156 Εισαγωγή Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2018 lika@uoc.gr Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα σύνολο υποθέσεων για κάποιο βιολογικό σύστημα, εκφρασμένες με
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )
Διαβάστε περισσότεραΤηλ./Fax: ,
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Χρηματοοικονομική Π.Μ.Σ. Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Οκτώβριος Νοέμβριος, 2015 Περίληψη Το παρόν κείμενο παρέχει πληροφορίες για την διεξαγωγή του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου - Πιθανοτήτων Υπενθυμίζουμε συνοπτικά κάποιες βασικές έννοιες που θα μας χρειαστούν σε επόμενα κεφάλαια 3 σ-άλγεβρα: Έστω ένα μη κενό σύνολο Μία κλάση υποσυνόλων F του
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Αα) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 5 Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 3. Κοκολάκης Γεώργιος
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων Κεφάλαιο 3 Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.
Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου
Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Μεταβατικές Διατάξεις
Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Μεταβατικές Διατάξεις 1. Μαθήματα του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών στα οποία έχεις επιτύχει μέχρι το Σεπτέμβριο 2017 αναγνωρίζονται
Διαβάστε περισσότεραMAJ. MONTELOPOIHSH II
MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση
Διαβάστε περισσότερα< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ (MAE532) ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΕ532 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o
ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ (MAE532) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΕ532 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη
Διαβάστε περισσότεραlim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί ενότητας
Διαβάστε περισσότερα(Université Libre des Bruxelles-ULB) - Laboratory of Probabilities and Random Models (LPMA), Πανεπιστήμιο Pierre et Marie Curie
ΣΤΑΥΡΟΣ ΒΑΚΕΡΟΥΔΗΣ Μεταδιδακτορικός Υπότροφος Πιθανοτήτων - Στατιστικής Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής (ΜΑΣ) Τ.Κ: 1678 Λευκωσία, Κύπρος Τ.Θ: 20537 και Πανεπιστημιακός Υπότροφος
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος του κινουμένου τριάκμου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Σελίδα από ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: /6/9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότερα