ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙΙ

Transcript

1 Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 0

2 .

3 Περιεχόµενα Εισαγωγή. Οι ϑεµελιώδεις προτάσεις της Κβαντοµηχανικής Συµβολισµός του Dirac Γενικές παρατηρήσεις Ασκήσεις εδαφίου Η εξίσωση του Schrödinger Φυσική ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης Εξίσωση συνέχειας. Πυκνότητα ϱεύµατος πιθανότητας Συνθήκες που ικανοποιεί η κυµατοσυνάρτηση Χρονική εξέλιξη της κυµατοσυνάρτησης Η εξίσωση του Schrödinger δύο σωµατιδίων Κεντρικά δυναµικά Το άτοµο του υδρογόνου Στροφορµή - πρόσθεση στροφορµών 9. Τροχιακή στροφορµή Αλγεβρική µέθοδος Τελεστές κλίµακος Θεώρηµα αναπτύγµατος Σπιν Πρόσθεση δύο στροφορµών µε σπιν Πρόσθεση δύο στροφορµών Ασκήσεις Κεφαλαίου Προσεγγιστικές µέθοδοι της Κβαντοµηχανικης Θεωρία διαταραχών στασίµων καταστάσεων Θεωρία διαταραχών ης τάξης µη εκφυλισµένων ενεργειακών ιδιοτιµών Θεωρία διαταραχών ης τάξης µη εκφυλισµένων ενεργειακών ιδιοτιµών Θεωρία διαταραχών εκφυλισµένων ενεργειακών ιδιοτιµών Φαινόµενο Starkγια τα υδρογονοειδή άτοµα Ασκήσεις εδαφίου Θεωρία διαταραχών εξαρτηµένων από το χρόνο Εφαρµογή - χρυσός κανόνας του Fermi Η µέθοδος µεταβολών Προσεγγιστικός προσδιορισµός των ενεργειακών σταθµών και κυµατοσυναρτήσεων. Μέθοδος µεταβολών του Ritz Εφαρµογή της µεθόδου των µεταβολών για τον υπολογισµό της ϐασικής κατάστασης του ατόµου του ηλίου Ασκήσεις εδαφίου Η προσέγγιση Jeffreys-Wentzel-Krammers-Brilluin Ασκήσεις εδαφίου i

4 ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης ιάφοροι ορισµοί Η ασυµπτωτική συνθήκη και το πλάτος σκέδασης Το πλάτος σκέδασης σε υψηλές ενέργειες. Προσέγγιση Born Συναρτήσεις Green. Ολοκληρωτική παράσταση Ειδικές µορφές της συνάρτησης Green Ασυµπτωτική µορφή της λύσης της ολοκληρωτικής εξίσωσης Προσέγγιση Born της κυµατοσυνάτησης Προσέγγιση Born του πλάτους σκέδασης Προσέγγιση Born για κεντρικά δυναµικά Κριτήριο ισχύος της προσέγγισης Born Εφαρµογή της προσέγγισης Born. υναµικό Yukawa Εφαρµογή της προσέγγισης Born. υναµικό Coulomb Ασκήσεις εδαφίου Ανάλυση σε µερικά κύµατα - Μετατοπίσεις ϕάσης Ασυµπτωτική συµπεριφορά των ακτινικών κυµατοσυναρτήσεων Ανάλυση του επίπεδου κύµατος σε σειρά πολυωνύµων Legendre Προσδιορισµός των ενεργών διατοµών Ιδιότητες του αναπτύγµατος σε µερικά κύµατα Σκέδαση από δυναµικό σκληρής σφαίρας Σκέδαση από τετραγωνικό ϕρέαρ δυναµικού τριών διαστάσεων Καταστάσεις δέσµιες και συντονισµού Σκέδαση µε παρουσία δέσµιων καταστάσεων Καταστάσεις συντονισµού. Τύπος Breit-Wigner Σκέδαση σε δυναµικό Coulomb Σκέδαση σε πυρηνικό δυναµικό και δυναµικό Coulomb Σκέδαση ταυτοτικών σωµατιδίων Σκέδαση ταυτοτικών σωµατιδίων µε σπιν µηδέν Σκέδαση ταυτοτικών σωµατιδίων µε σπιν

5 Κεφάλαιο Εισαγωγή Επειδή οι ϐασικές γνώσεις της Κβαντοµηχανικής έχουν ήδη αποκτηθεί στα δύο προηγούµενα σχετικά µαθήµατα, ϑα αναφέρουµε τα αξιώµατά της και σχεδόν επιγραµµατικά µερικά χαρακτηριστικά συµπεράσµατα που ϑα µας ϐοηθήσουν ως αναφορές στο κύριο µέρος των σηµειώσεων που είναι η στροφορµή και η πρόσθεση των στροφορµών, οι προσεγγιστικές µέθοδοι και το κβαντοµηχανικό πρόβληµα της σκέδασης.. Οι ϑεµελιώδεις προτάσεις της Κβαντοµηχανικής. Σε κάθε κατάσταση ενός ϕυσικού συστήµατος αντιστοιχεί µια κυµατοσυνάρτηση, δηλαδή ένα διάνυσµα του χώρου Hilbert. Η κυµατοσυνάρτηση περιέχει όλες τις πειραµατικά ελέγξιµες πληροφορίες για την κατάσταση του ϕυσικού συστήµατος.. Σε κάθε ϕυσικό µέγεθος A αντιστοιχεί ένας ερµιτιανός τελεστής Â, οι ιδιοσυναρτήσεις του οποίου αποτελούν ένα πλήρες σύνολο ιδιοσυναρτήσεων: Âψ n = a n ψ n, a n R Οι µόνες δυνατές τιµές που προκύπτουν κατά τη µέτρηση του µεγέθους A είναι οι ιδιοτιµές του τελεστή Â. Σηµείωση. Αν το ϕυσικό µέγεθος εξαρτάται από τις δυναµικές µεταβλητές της ϑέσης και της ορµής, η κατασκευή του τελεστή Â µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας την αναπαράσταση στο χώρο των ϑέσεων, δηλαδή µε τις αντικαταστάσεις: r ˆr = r και p ˆp = i r Μπορεί όµως να γίνει και µε τη χρησιµοποίηση της αναπαράστασης στο χώρο των ορµών: p ˆp = p και r ˆp = i p 3. Η µέση τιµή των αποτελεσµάτων των µετρήσεων του µεγέθους A όταν η κατάσταση του συστήµατος περιγράφεται από την κανονικοποιηµένη κυµατοσυνάρτηση Ψ είναι: Â = (Ψ, ÂΨ) = Ψ ÂΨdr Στην κατάσταση Ψ = n c nψ n η πιθανότητα να εµφανιστεί (µετρηθεί) η ιδιοτιµή a n που αντιστοιχεί στην ιδιοσυνάρτηση ψ n του Â είναι: Π(a n ) = c n = (ψ n, Ψ)

6 Εισαγωγή 4. Η κατάσταση του ϕυσικού συστήµατος µετά από µια µέτρηση δίνεται από την ιδιοσυνάρτηση της ιδιοτιµής που µετρήθηκε. 5. Η χρονική εξέλιξη της κατάστασης ενός κβαντοµηχανικού συστήµατος διέπεται από την εξίσωση του Schrödinger i t Ψ = ĤΨ όπου Ĥ ο τελεστής της Χαµιλτονιανής του συστήµατος... Συµβολισµός του Dirac Ενας κατάλληλος τρόπος περιγραφής ενός συνηθισµένου διανύσµατος a (για παράδειγµα σε δύο διαστάσεις) είναι η χρησιµοποίηση καρτεσιανών συντεταγµένων x, y και ο καθορισµός των συνιστωσών του διανύσµατος ως προς αυτούς τους άξονες: a x = x 0 a, a y = y 0 a Το διάνυσµα a µπορεί να περιγραφεί εξ ίσου καλά και µε τη χρησιµοποίηση ενός άλλου συστήµατος αξόνων x, y, οπότε έχουµε: a x = x 0 a, a y =y 0 a Οι ϐάσεις {x 0, y 0 } και {x 0, y 0} εκφράζουν το ίδιο διάνυσµα a: a = (a x, a y ) = (a x, a y ). Στην Κβαντοµηχανική η κατάσταση ενός συστήµατος περιγράφεται από µια κυµατοσυνάρτηση. Η ϕυσική κατάσταση (ή η κυµατοσυνάρτηση) αναπαρίσταται µε ένα διάνυσµα του χώρου Hilbert. Οι διαστάσεις του χώρου Hilbert εξαρτώνται από τη ϕύση του συστήµατος. Στην περίπτωση πεπερασµένων διαστάσεων ο χώρος είναι Ευκλείδειος µε εσωτερικό γινόµενο που είναι ένας µιγαδικός αριθµός. Πολύ συχνά είναι χρήσιµος ο συµβολισµός του Dirac. Στο συµβολισµό αυτό τα διανύσµατα του χώρου Hilbert λέγονται ket και συµβολίζονται µε α ή y n ή n και έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: α + β = γ, c α = α c (c C) Τα ket α και c α µε c 0 παριστάνουν την ίδια κατάσταση, δηλαδή ενδιαφερό- µαστε µόνο για τη διεύθυνση. Ενας τελεστής Â δρα σε ένα ket από αριστερά και δίνει ένα άλλο ket: Â( α ) = Â α = φ Αν συµβαίνει φ = α α ο αριθµός α λέγεται ιδιοτιµή του τελεστή Â και το α ιδιο-ket του Â που ανήκει στην ιδιοτιµή α. Σε σχέση µε το χώρο των ket ϑεωρούµε ένα δυαδικό χώρο (dual space), το χώρο των bra, τα διανύσµατα του οποίου συµβολίζονται µε a. ηλαδή ϑεωρούµε την αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία: α α ή α = ( α ) (.) Θα µπορούσαµε να πούµε περιγραφικά ότι ο χώρος των bra είναι σαν το είδωλο σε έναν καθρέφτη του χώρου των ket. Τα bra έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: Το bra του c α είναι c α και όχι c α. Γενικά ισχύει: c α + c β c α + c β Ενας τελεστής δρα σε ένα bra από τα δεξιά και δίνει ένα άλλο bra: α Â = φ

7 . Οι ϑεµελιώδεις προτάσεις της Κβαντοµηχανικής 3 Τα Â α και α Â δεν είναι εν γένει δυαδικά. ηλαδή, εν γένει ισχύει: Â α / α Â. Αν υπάρχει ένας τελεστής Â για τον οποίο ισχύει: α Â Â α (.) Ο Â λέγεται ερµιτιανός συζυγής του Â. Αν Â = Â, ο Â είναι ερµιτιανός. Ενα bra και ένα ket µπορούν να πολλαπλασιαστούν µε δύο τρόπους, εσωτερικά και εξωτερικά. Το εσωτερικό γινόµενο είναι ένας µιγαδικός αριθµός: ( β ) }{{} bra }{{} [c] ( α ) = β α }{{} ket Για το εσωτερικό γινόµενο ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου: β α = α β γ c α + c β = c γ α + c γ β c α + c β γ = c α γ + c β γ Αν συµβαίνει β α = 0 τα ket α και β λέγονται ορθογώνια. Αν α α =, το α λέγεται κανονικοποιηµένο. Σε ένα χώρο συναρτήσεων το bra µπορεί να παρασταθεί ως µια προετοιµασία ενός ολοκληρώµατος: ψ = ψ (x) [ ]dx µε τις τελείες να περιµένουν να αντικατασταθούν µε οτιδήποτε µπορεί να συνδυαστεί µε το bra. α Αν το ket αντιστοιχεί σε διάνυσµα στήλη: α = α, το αντίστοιχο bra είναι το διάνυσµα γραµµή: α = (a, a, ). Ετσι: α α = (α, α, ) α α.. = α + α Αν α είναι ένα τυχαίο ket του χώρου Hilbert αυτό γράφεται µε τη µορφή: α = i c α,i β i, c α,i = β i α όπου β i είναι τα ιδιο-ket ενός τελεστή σύνολο. ˆB που ϑεωρούµε ότι αποτελούν ένα πλήρες Το εξωτερικό γινόµενο, ( β )( a ) = β a, είναι ένας τελεστής, αφού όταν επιδρά σε ένα ket (ή bra) δίνει ένα ket (ή bra): ( β a ) γ = β ( a γ ) = ( a γ ) β }{{}}{{} και γ ( β a ) = ( γ β ) a ket αριθµός

8 4 Εισαγωγή Η δυνατότητα χρησιµοποίησης των bra και ket ως ξεχωριστές οντότητες µας επιτρέπει να εκφράζουµε ορισµένες χρήσιµες σχέσεις σε γενική και συµπαγή µορφή. Ενα τέτοιο παράδειγµα είναι ο τελεστής: ˆP α = α α, α α = (.3) που έχει την ιδιότητα, όταν επιδρά σε οποιαδήποτε κατάσταση (ket) β να την προβάλει στην κατάσταση α : ˆP α β = α α β = α β α Ο τελεστής ˆP α λέγεται προβολικός τελεστής (projection operator) του υποχώρου µιας διάστασης που σαρώνεται από το α. Αν το σύνολο { n } είναι µια ορθοκανονική ϐάση ( n m = δ nm ), οπότε για οποιοδήποτε διάνυσµα του χώρου ισχύει: α = c α,n n = ( ) n α n = n n α n n n συµπεραίνουµε ότι Î = n n n (.4) όπου Î είναι ο ταυτοτικός τελεστής. Η σχέση αυτή είναι γνωστή και ως σχέση πληρότητας. Η σχέση (.4) χρησιµοποιείται συχνά στην απλοποίηση ή ανάλυση διαφόρων εκφράσεων. Για παράδειγµα, εισάγοντας το δεξιό µέλος της (.4) µεταξύ των α και α στο εσωτερικό γινόµενο α α, έχουµε: ) α α = α Î α = α ( n n n α = n ( α n )( n α ) = n n α = n c α,n Η σχέση αυτή δείχνει ότι αν το α είναι κανονικοποιηµένο τότε οι συντελεστές c α,n του αναπτύγµατος ικανοποιούν τη σχέση: c α,n = n α = n n Ο προβολικός τελεστής έχει τις παρακάτω αξιοσηµείωτες ιδιότητες (ϐλέπε άσκηση.- 3): Είναι ερµιτιανός τελεστής: ˆPn = ˆPn. Είναι αυτοδύναµος (idempotent): ˆP n = ˆP n. Αν ˆP n ψ = λ ψ τότε λ = 0,... Γενικές παρατηρήσεις Στην Κβαντοµηχανική κάθε δυναµική µεταβλητή µπορεί να παρασταθεί µε έναν ερµιτιανό τελεστή. Σε κάθε τέτοιο τελεστή προσεταιρίζεται µια γραµµική εξίσωση που έχει λύσεις µόνο για ορισµένες ιδιοτιµές του τελεστή. Οι αντίστοιχες λύσεις της γραµµικής εξίσωσης λέγονται ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή. Οι ιδιοτιµές του ερµιτιανού τελεστή είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζουν τις πιθανές τιµές της ϕυσικής µεταβλητής και χαρακτηρίζονται από

9 . Οι ϑεµελιώδεις προτάσεις της Κβαντοµηχανικής 5 ορισµένους κβαντικούς αριθµούς. Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις ορίζουν τις πιθανές καταστάσεις του ϕυσικού συστήµατος και ικανοποιούν τις συνθήκες της ορθοκανονικότητας και της πληρότητας. Στη γενική περίπτωση που το ϕυσικό σύστηµα χαρακτηρίζεται από έναν αριθµό δυνα- µικών µεταβλητών, η κατάστασή του περιγράφεται από µια κυµατοσυνάρτηση (διάνυσµα της κατάστασης) ψ α (x). Το α είναι ο δείκτης της κατάστασης, δηλαδή ένα σύνολο ιδιοτι- µών της ϕυσικής ποσότητας ή ένα σύνολο αντίστοιχων κβαντικών αριθµών που καθορίζει την κατάσταση του συστήµατος. Το x είναι ο δείκτης της αναπαράστασης, δηλαδή το σύνολο των µεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται η κυµατοσυνάρτηση, που µπορεί να είναι οι συντεταγµένες της ϑέσης, της ορµής, οι δυνατοί προσανατολισµοί του σπιν σε µαγνητικό πεδίο κλπ. Το τετράγωνο του µέτρου της κυµατοσυνάρτησης καθορίζει την πιθανότητα να ϐρεθεί το σύστηµα στο συγκεκριµένο σηµείο x για ένα δοσµένο α. Αν q και φ q (x) είναι οι ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις του ερµιτιανού τελεστή ˆQ, ˆQφ q (x) = qφ q (x) και οι φ q (x) αποτελούν ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστηµα: φ q (x)φ q(x)dx = φ q φ q = q q = δ q q η κυµατοσυνάρτηση ψ α (x) µπορεί να αναπτυχθεί ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή ˆQ: ψ α (x) = q c a,q φ q (x), c a,q = (φ q (x), ψ α (x)) (.5) Το µέτρο στο τετράγωνο των συντελεστών c a,q χαρακτηρίζει την πιθανότητα το ϕυσικό µέγεθος να έχει την τιµή q όταν το σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση α. Εποµένως µπορούµε να ϑεωρήσουµε το σύνολο των συντελεστών c a,q του αναπτύγµατος (.5) ως την κυµατοσυνάρτηση της κατάστασης α στην q αναπαράσταση. Τα παραπάνω γίνονται περισσότερο διαφανή µε το συµβολισµό του Dirac και γράφοντας τις κυµατοσυναρτήσεις ψ α (x) και φ q (x) καθώς και τους συντελεστές c a,q µε τη µορφή: ψ α (x) x α, φ q (x) x q, c a,q q α (.6) Με τη ϐοήθεια αυτών, η σχέση (.5), που περιγράφει το µετασχηµατισµό της κατάστασης α από τη q αναπαϱάσταση (συνάρτηση c α,q ) στη x αναπαράσταση (συνάρτηση ψ α (x)), µπορεί να γραφεί µε τη µορφή: x α = q x q q α (.7) Από τη σχέση αυτή συµπεραίνουµε ότι η ιδιοσυνάρτηση x q φ q (x) του τελεστή ˆQ στη x αναπαράσταση µετασχηµατίζει µια κατάσταση από τη q αναπαράσταση στη x αναπαράσταση. Γράφοντας το µετασχηµατισµό αυτό µε τη µορφή x q δίνεται έµφαση στη συµµετρία µεταξύ του δείκτη x της αναπαράστασης και του δείκτη q της κατάστασης. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός q x συµπίπτει µε το x q. Εύκολα ϐρίσκεται η έκφραση του πίνακα ενός τελεστή από τη µια αναπαράσταση στην άλλη: x Ô x = x ÎÔÎ x = x q q Ô q q x q q Η αλλαγή από τη µια αναπαράσταση στην άλλη, δηλαδή η αλλαγή από ορισµένες ανεξάρτητες µεταβλητές σε άλλες, λέγεται κανονικός µετασχηµατισµός και περιγράφεται

10 6 Εισαγωγή µε ένα µοναδιαίο τελεστή (unitary operator) ή µετασχηµατισµό. Οι ϕυσικές ιδιότητες του συστήµατος µένουν αµετάβλητες υπό την επίδραση ενός µοναδιαίου τελεστή. Στην Κβαντοµηχανική, εκτός από τους µοναδιαίους τελεστές που αντιστοιχούν στην αλλαγή από ένα σύνολο ανεξάρτητων µεταβλητών σε ένα άλλο, χρησιµοποιούνται µοναδιαίοι τελεστές που περιγράφουν τη µεταβολή της κατάστασης του συστήµατος µε το χρόνο. Σε αντίθεση µε τους κανονικούς µετασχηµατισµούς οι µοναδιαίοι µετασχηµατισµοί σε αυτήν την περίπτωση εξαρτώνται από το χρόνο. Οι µετασχηµατισµοί αυτοί που λέγονται πάλι αναπαραστάσεις και περιγράφουν τη χρονική συµπεριφορά του ϕυσικού συστήµατος δεν πρέπει να συγχέονται µε τις αναπαραστάσεις που καθορίζονται από ένα σύνολο ανεξαρτήτων µεταβλητών...3 Ασκήσεις εδαφίου.. Να δειχθεί ότι, αν οι ιδιοσυναρτήσεις του ερµιτιανού τελεστή Â (Âψ n = a n ψ n ) αποτελούν ένα πλήρες σύνολο ιδιοσυναρτήσεων και η κυµατοσυνάρτηση Ψ µπορεί να παρασταθεί ως προς αυτό το σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων (Ψ = n c nψ n ), τότε ισχύει η σχέση: c n = (ψ n, Ψ).. Αν x 0 είναι µια ιδιοτιµή του τελεστή της ϑέσης ˆx και p 0 είναι µια ιδιοτιµή του τελεστή της ορµής ˆp x, να δεχθεί ότι οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις στη x αναπαράσταση είναι: ψ x0 = δ(x x 0 ) και φ p0 = (π) / eip 0x/ Ποιές είναι οι εκφράσεις αυτών των ιδιοσυναρτήσεων στην p αναπαράσταση; 3. Να δειχθεί ότι για τον προβολικό τελεστή ˆP n = n n ισχύουν τα παρακάτω: α) Είναι ερµιτιανός τελεστής. β) ˆP n = ˆP n. γ) Οι ιδιοτιµές του είναι 0 και. 4. Τα ket,, 3 είναι µια ορθοκανονική ϐάση που σαρώνει το χώρο των τριών διαστάσεων. Αν α = i i 3 και β = i + 3 : α) Να ϐρεθούν τα bra: α και β ως προς τη δυαδική ϐάση,, 3. β) Να υπολογιστούν τα α β και β α και να διαπιστωθεί ότι α β = β α γ) Να ϐρεθούν τα στοιχεία πίνακα του τελεστή Â = α β και να ελεγχθεί αν ο πίνακας A είναι ερµιτιανός. 5. ίνεται ο τελεστής (πίνακας πυκνότητας) ˆρ = i p i ψ i ψ i, όπου p i 0, i p i = και ψ i ψ j = δ ij. α) Ποιο είναι το αποτέλεσµα αυτού του τελεστή όταν επιδράσει στην κατάσταση Ψ ; ϐ) Να δειχθεί ότι αν ορίσουµε τη µέση τιµή του τελεστή Â µε τη σχέση:  = i p i ψ i  ψ i, τότε αυτή µπορεί να γραφεί και µε τη µορφή Â = i p i ψ i  ψ i = Trace(ˆρÂ) = Trace(ˆρ) όπου Trace(ˆρÂ) είναι το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του πίνακα (ˆρÂ) ως προς ένα οποιοδήποτε πλήρες σύνολο καταστάσεων. Υπόδειξη. Θεωρήστε το πλήρες σύνολο διανυσµάτων k για το οποίο ισχύει Î = n k k. Πολλαπλασιάστε τον τελεστή Â του µεσαίου όρου από δεξιά και από αριστερά µε τον ταυτοτικό τελεστή Î.

11 . Η εξίσωση του Schrödinger 7 6. Οι τελεστές Â και ˆB αντιστοιχούν στα παρατηρήσιµα ϕυσικά µεγέθη A και B. Οι ιδιοτιµές και οι ιδιοσυναρτήσεις των Â και ˆB είναι αντίστοιχα α, α, ψ, ψ και β, β, ϕ, ϕ. Οι ιδιοκαταστάσεις των Â και ˆB συνδέονται µεταξύ τους µε τις σχέσεις: ψ = 5 (3 ϕ + 4 ϕ ), ψ = 5 (4 ϕ 3 ϕ ) α) Αν κατά τη µέτρηση του µεγέθους A πάρουµε ως αποτέλεσµα την τιµή α, ποια είναι η κατάσταση του συστήµατος αµέσως µετά τη µέτρηση; ϐ) Αν στη συνέχεια γίνει µια µέτρηση του µεγέθους B ποιες είναι οι δυνατές τιµές που ϑα πάρουµε και µε ποια πιθανότητα; γ) Αµέσως µετά τη µέτρηση του B µετράµε το µέγεθος A ξανά. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουµε ως αποτέλεσµα την τιµή α ;. Η εξίσωση του Schrödinger Η ϐασική εξίσωση της Κβαντοµηχανικής είναι η εξίσωση του Schrödinger που είναι δια- ϕορική εξίσωση ( Ε) µε µερικές παραγώγους, ης τάξης ως προς το χρόνο και ης τάξης ως προς τον χώρο. Ενα άλλο χαρακτηριστικό της εξίσωσης αυτής είναι ότι περιέχει τη ϕανταστική µονάδα i και εποµένως οι λύσεις της είναι µιγαδικές συναρτήσεις. Για τη γνώση του µικρόκοσµου (άτοµα, πυρήνες κ.λ.π.) είναι απαραίτητο να λυθεί αυτή η εξίσωση. Η λύση της εξίσωσης του Schrödinger είναι συχνά ένα πολύ δύσκολο πρόβληµα. Οµως, υπάρχει µια κατηγορία προβληµάτων, που δίνουν πολύτιµες πληροφορίες για την κατάσταση των ατοµικών σωµατιδίων, για τα οποία η εύρεση της λύσης απαιτεί µικρότε- ϱη προσπάθεια. Στα προβλήµατα αυτά, που λέγονται στάσιµα (stationary) προβλήµατα, η ενέργεια είναι σταθερή και οι ϕυσικές ιδιότητες δεν µεταβάλλονται µε το χρόνο. Αυτά τα προβλήµατα ανάγονται στη λύση µιας συνήθους Ε ης τάξης, την ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση του Schrödinger. Η εξαρτηµένη από το χρόνο εξίσωση του Schrödinger που συσχετίζει το ϱυθµό µεταβολής ενός κβαντικού συστήµατος µε την ολική του ενέργεια (ή ακριβέστερα, µε τον τελεστή του Hamilton) είναι της µορφής: όπου: Ψ(r, t) i t = ĤΨ(r, t) (.8) Ĥ = m + V (r, t) (.9) Αν το δυναµικό V (r, t) δεν εξαρτάται από το χρόνο, δηλαδή V (r, t) = V (r), η εξίσωση (.8) έχει ένα σύνολο λύσεων που µπορούν να αναλυθούν και να δώσουν πληροφορίες για το σύστηµα που εξετάζεται. Οι λύσεις αυτές έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά µε τα στάσιµα κύµατα ενός µουσικού οργάνου. ηλαδή, δεν αντιστοιχούν σε οδεύοντα κύµατα αλλά σε δονήσεις κατά τις οποίες το πλάτος ενός δοσµένου χωρικά σχήµατος αυξοµειώνεται µε το χρόνο. Οταν V (r, t) = V (r), οι λύσεις της (.8) µπορούν να ϐρεθούν χρησιµοποιώντας τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών κατά την οποία Ϲητάµε λύσεις της µορφής: Ψ(r, t) = T (t)u(r) (.0) Η αντικατάσταση της (.0) στην εξίσωση (.8) µας οδηγεί σε λύσεις της µορφής: Ψ E (r, t) = e iet/ u E (r) (.)

12 8 Εισαγωγή όπου η u E (r) είναι ιδιοσυνάρτηση της εξίσωσης ιδιοτιµών: Ĥu E (r) = Eu E (r) (.) Η παράµετρος E είναι η σταθερά διαχωρισµού και έχει διαστάσεις ενέργειας, όπως προκύπτει από τη µορφή της (.). Αυτή είναι ιδιοτιµή του τελεστή του Hamilton και αντιπροσωπεύει την ολική ενέργεια του συστήµατος. Οι λύσεις της εξίσωσης (.) που προκύπτουν από συγκεκριµένες τιµές της ενέργειας λέγονται κυµατοσυναρτήσεις κα- ϑορισµένης τιµής ενέργειας. Η εξίσωση (.) λέγεται ανεξάρτητη από το χρόνο (ή στάσιµη) εξίσωση του Schrödinger. Λόγω της µορφής της εξίσωσης (.8) και της µορφής της λύσης (.), οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι τα στάσιµα κύµατα ταλαντώνονται αρµονικά µε το χρόνο µε συχνότητα που σχετίζεται µε την ολική ενέργεια του συστήµατος: ν = ω π = E π.. Φυσική ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης Επειδή η κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, t) είναι µια µιγαδική συνάρτηση δεν είναι δυνατό να δοθεί σε αυτήν άµεση ϕυσική ερµηνεία αφού τα ϕυσικά µεγέθη που µετρώνται είναι πραγµατικοί αριθµοί. Ετσι αν ϑέλουµε να δοθεί ϕυσική ερµηνεία, αυτή ϑα πρέπει να δοθεί σε παράγωγο µέγεθός της. Μια υπόδειξη για την πιθανή ερµηνεία που µπορεί να δοθεί στο παράγωγο µέγεθος της Ψ(r, t) δίνεται από την κλασική κυµατική ϑεωρία. Είναι γνωστό ότι η πυκνότητα της ενέργειας ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι ανάλογη του µέτρου της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, E και του µαγνητικού πεδίου, H. Το ολοκλήρωµα της πυκνότητας της ενέργειας σε όλο το χώρο δίνει την ολική ενέργεια του κύµατος που είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Στα υλοκύµατα η κυµαινόµενη ποσότητα είναι η κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, t) που είναι µιγαδική συνάρτηση. Το µέτρο της όµως, ή καλύτερα το τετράγωνο του µέτρου της, Ψ(r, t), είναι πραγµατική συνάρτηση και εποµένως ϑα µπορούσε να δοθεί ϕυσική ερ- µηνεία σε αυτό. Είναι λογικό να υποθέσουµε ότι, όπου το Ψ(r, t) παίρνει µεγάλη τιµή εκεί είναι πιθανότερο να ϐρίσκεται το σωµατίδιο παρά όπου αυτό παίρνει µικρές τιµές. Ετσι, η ϕυσική ερµηνεία που δίνεται στο Ψ(r, t) είναι αυτή της πυκνότητας πιθανότητας. ηλαδή, αν σε ένα σωµατίδιο αντιστοιχεί η κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, t) τότε κατά µια µέτρηση της ϑέσης του σωµατιδίου, η πιθανότητα να ϐρίσκεται αυτό τη χρονική στιγµή t στον όγκο dr = dxdydz στο σηµείο r είναι ανάλογη του Ψ(r, t) dr: dπ = c Ψ(r, t) dr Η σταθερά αναλογίας c µπορεί να προκύψει από την απαίτηση η πιθανότητα να ϐρεθεί το σωµατίδιο σε όλο το χώρο είναι µονάδα: Π = c Ψ(r, t) dr = c = Ψ(r, t) dr οπότε η πυκνότητα πιθανότητας είναι: ρ(r, t) = Ψ (r, t)ψ(r, t) Ψ(r, t) dr (.3)

13 . Η εξίσωση του Schrödinger 9 Αν οι κυµατοσυναρτήσεις είναι κανονικοποιηµένες, η ρ(r, t) γράφεται: ρ(r, t) = Ψ (r, t)ψ(r, t) (.4) Για να είναι δυνατό να ερµηνευτεί η ρ(r, t) = Ψ Ψ ως πυκνότητα πιθανότητας, ϑα πρέπει: ρ(r, t)dr = (.5) για κάθε χρονική στιγµή. Αυτό σηµαίνει ότι οι κυµατοσυναρτήσεις Ψ(r, t) πρέπει να είναι τέτοιες ώστε:. Το ολοκλήρωµα της (.5) να είναι ανεξάρτητο του χρόνου.. Το ολοκλήρωµα της (.5) να συγκλίνει. Εποµένως, κατά την επίλυση ενός κβαντοµηχανικού προβλήµατος πρέπει να εξασφαλίζεται ότι η κυµατοσυνάρτηση έχει τέτοια συµπεριφορά ώστε το ολοκλήρωµα της (.5) να υπάρχει, ή διαφορετικά η Ψ(r, t) πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη. Σηµείωση. Στα πειράµατα σκέδασης γίνονται αποδεκτές και κυµατοσυναρτήσεις που δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµες, όπως για παράδειγµα τα επίπεδα κύµατα: Ψ p (r, t) = α(p)e i (p r Et). Σε αυτήν την περίπτωση ορίζεται η σχετική πυκνότητα πιθανότητας: ρ(r, t) = cψ (r, t)ψ(r, t) όπου c σταθερά, η εκλογή της οποίας παραµένει αυθαίρετη. Σηµείωση. Μπορεί να δειχθεί ότι πράγµατι το ολοκλήρωµα της ρ(r, t) σε όλο το χώρο είναι ανεξάρτητο του χρόνου, εφόσον ϐέβαια ισχύουν κατάλληλες συνθήκες ώστε ο τελεστής του Hamilton να είναι ερµιτιανός... Εξίσωση συνέχειας. Πυκνότητα ϱεύµατος πιθανότητας Σε διάφορους κλάδους της ϕυσικής, όπως για παράδειγµα στην Υδροδυναµική και στην Ηλεκτροδυναµική, ισχύει µια ϐασική εξίσωση που λέγεται εξίσωση συνέχειας. Στην υδροδυναµική η εξίσωση αυτή εκφράζει τη διατήρηση της µάζας του κινούµενου ϱευστού, ενώ στην Ηλεκτροδυναµική εκφράζει τη διατήρηση του ηλεκτρικού ϕορτίου. Μια τέτοια εξίσωση συνέχειας µπορεί να γραφεί για κάθε (ϐαθµωτό) ϕυσικό µέγεθος που διατηρείται. Στην Κβαντοµηχανική ένα ϐαθµωτό µέγεθος είναι η πιθανότητα ρ(r, t)dr. V Περιµένουµε εποµένως να ισχύει µια εξίσωση συνέχειας και στην Κβαντοµηχανική. Η εξίσωση αυτή, αν ορίσουµε ως ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας j(r, t) την ποσότητα: j(r, t) = i [ ( )] i m (Ψ Ψ Ψ Ψ ) = Re Ψ m Ψ = Re[Ψ ˆvΨ] (.6) είναι της µορφής: ρ(r, t) + j(r, t) = 0 (.7) t Η σχέση αυτή που είναι συνέπεια της εξίσωσης του Schrödinger εκφράζει τον εξής νόµο διατήρησης: Αν η πιθανότητα να ϐρεθεί ένα σωµατίδιο στον όγκο V, ελαττώνεται µε την πάροδο του χρόνου, τότε η πιθανότητα να ϐρεθεί αυτό εκτός του όγκου V αυξάνει κατά το ποσό αυτό.

14 0 Εισαγωγή Από τον ορισµό του ϱεύµατος πυκνότητας πιθανότητας, σχέση (.6), συµπεραίνουµε ότι (όπως και στην υδροδυναµική) αυτό είναι πάλι της µορφής (πυκνότητα) (ταχύτητα). Εποµένως το ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας δεν υπόκειται σε άµεση µέτρηση, όπως συµβαίνει µε την πυκνότητα πιθανότητας, επειδή αυτό προϋποθέτει ταυτόχρονη µέτρηση της ϑέσης και της ορµής, που έρχεται σε αντίθεση µε τις σχέσεις της αβεβαιότητας...3 Συνθήκες που ικανοποιεί η κυµατοσυνάρτηση Η µορφή των λύσεων µιας διαφορικής εξίσωσης εξαρτάται άµεσα από τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν αυτές. Η Ψ(r, t) που είναι λύση της εξίσωσης του Schrödinger πρέπει να ικανοποιεί ορισµένες συνθήκες που επιβάλλονται σε αυτήν ώστε να εξασφαλίζεται τα ρ(r, t) = Ψ(r, t) και j(r, t) = i m (Ψ Ψ Ψ Ψ ) να έχουν συµπεριφορά που υπαγορεύεται από τη ϕυσική σηµασία ως πυκνότητας πιθανότητας και ϱεύµατος πυκνότητας πιθανότητας, αντίστοιχα. Ετσι, πρέπει να ισχύουν τα παρακάτω:. Η Ψ(r, t) πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη: Ψ(r, t) dr = πεπερασµένο (.8) V Η συνθήκη αυτή εφαρµόζεται σε προβλήµατα δεσµίων καταστάσεων. ηλαδή, όταν η κίνηση του σωµατιδίου, λόγω των δυνάµεων που εξασκούνται σε αυτό, περιορίζεται σε ένα ορισµένο τµήµα του χώρου. Συνέπεια της συνθήκης αυτής είναι ο καθορισµός της οριακής συνθήκης σε µεγάλες αποστάσεις. Για να ικανοποιείται η συνθήκη αυτή πρέπει η Ψ(r, t) να τείνει στο µηδέν για µεγάλες αποστάσεις πιο γρήγορα από το r 3/. Από τη συνθήκη (.8) συνεπάγεται ότι η Ψ(r, t) µπορεί να απειρίζεται για r = 0 όχι όµως πιο γρήγορα από το r 3/. Στα προβλήµατα της σκέδασης χρησιµοποιούνται και µη τετραγωνικά ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. Σε αυτήν την περίπτωση η οριακή συνθήκη για µεγάλες αποστάσεις είναι: η κυµατοσυνάρτηση πρέπει να είναι πεπερασµένη για µεγάλες αποστάσεις. ιαφορετικά, η Ψ(r, t) πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη σε κάθε πεπερασµένο όγκο.. Η Ψ(r, t) και οι πρώτες µερικές παράγωγοί της πρέπει να είναι συνεχείς συναρτήσεις. Η συνθήκη αυτή για τις µερικές παραγώγους ισχύει όταν το δυναµικό είναι πεπερασµένο (συνεχές ή µη). Οταν υπάρχει ϐαθµίδα δυναµικού άπειρου ύψους σε µια επιφάνεια, τότε η κυµατοσυνάρτηση είναι µηδέν επάνω σε αυτή, ενώ η συνιστώσα της Ψ κατά µήκος της καθέτου προς την επιφάνεια είναι ακαθόριστη. Οι παραπάνω γενικές συνθήκες επί της Ψ(r, t) συνεπάγονται αντίστοιχες συνθήκες για τις κυµατοσυναρτήσεις u E (r) (και u E (r)) της ανεξάρτητης από το χρόνο εξίσωσης του Schrödinger στην περίπτωση που V (r, t) = V (r)...4 Χρονική εξέλιξη της κυµατοσυνάρτησης Πριν κάνουµε κάποια παρατήρηση ενός κβαντοµηχανικού συστήµατος, η κατάσταση του περιγράφεται από µια κυµατοσυνάρτηση που είναι λύση της εξαρτηµένης από το χρόνο εξίσωσης του Schrödinger. Γενικά είναι κάπως απίθανο αυτή να ανήκει σε κάποια συγκεκριµένη ιδιοκατάσταση, αλλά σε κάποια χρονική στιγµή (έστω t = 0) είναι µια επαλληλία (γραµµικός συνδυασµός) των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή του Hamilton. ηλαδή: Ψ(r, 0) = n α En u En (r), α En = u En (r) Ψ(r, 0) (.9)

15 .3 Η εξίσωση του Schrödinger δύο σωµατιδίων Το σύµβολο της σειράς στην (.9) παριστάνει το άθροισµα ως προς όλες τις δέσµιες καταστάσεις και το ολοκλήρωµα ως προς όλες τις καταστάσεις σκέδασης. Κάθε ιδιοκατάσταση u En (r) εξελίσσεται µε την πάροδο του χρόνου ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες. Η εξέλιξη αυτή περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση: Ψ En (r, t) = e ient/ u En (r) Τη χρονική στιγµή t 0 η πλήρης κυµατοσυνάρτηση είναι: Ψ(r, t) = n α En e ie nt/ u En (r) (.0).3 Η εξίσωση του Schrödinger δύο σωµατιδίων Ας ϑεωρήσουµε δύο σωµατίδια στο χώρο µε µάζες m και m και διανύσµατα ϑέσης r και r, αντίστοιχα. Η ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση του Schrödinger του συστήµατος είναι: m u (r, r ) m u (r, r ) + V (r, r )u (r, r ) = E u (r, r ) (.) ( όπου E είναι η ολική ενέργεια του συστήµατος των δύο σωµατιδίων και i = x i, y i, Η παραπάνω εξίσωση για τα δύο σωµατίδια εξαρτάται από έξι συντεταγµένες ϑέσης. Στην περίπτωση που το δυναµικό V (r, r ) προκύπτει µόνο από m r r την αλληλεπίδραση των δύο σωµατιδίων, αυτό ϑα R z m εξαρτάται από το διάνυσµα της σχετικής απόστασης r r = r r. ηλαδή, V (r, r ) = V (r r ). Σε αυτήν την περίπτωση το πρόβληµα απλουστεύεται σηµαντικά αν κάνουµε µετασχηµατισµό στις συντεταγµένες x y του κέντρου µάζας και της σχετικής ϑέσης των δύο σωµατιδίων: Σχήµα.: z i ) R = (X, Y, Z) = m r + m r, r = (x, y, z) = r r (.) M όπου M = m + m. Αν ορίσουµε την ανηγµένη µάζα: µ = m m σύστηµα (.) ως προς r και r, ϐρίσκουµε: m +m και λύσουµε το r = R + µ m r, r = R µ m r (.3) Με τη ϐοήθεια των σχέσεων (.) και (.3) µπορούµε να εκφράσουµε το άθροισµα των τελεστών του Laplace ως προς τις συντεταγµένες των δύο σωµατιδίων σε άθροισµα των τελεστών του Laplace ως προς τις συντεταγµένες του κέντρου µάζας και της σχετικής ϑέσης. Μπορεί να δειχθεί ότι ισχύει η σχέση: m + m = M R + µ r (.4)

16 Εισαγωγή όπου: R = ( ) ( X, Y,, r = Z x, y, ) z Με τη ϐοήθεια της (.4) η εξίσωση (.) των δύο σωµατιδίων γράφεται: όπου: Ĥ R u (r, r ) + Ĥru (r, r ) = E u (r, r ) (.5) Ĥ R = M R, Ĥ r = µ r + V (r r ) ηλαδή, όταν το δυναµικό εξαρτάται µόνο από τη σχετική ϑέση των δύο σωµατιδίων, τότε ο τελεστής του Hamilton του συστήµατος είναι άθροισµα δύο όρων. Ο ένας µπορεί να ϑεωρηθεί ως ο τελεστής του Hamilton ενός σωµατιδίου µάζας M µε συντεταγµένες τις συντεταγµένες του κέντρου µάζας και ο άλλος ως ο τελεστής του Hamilton ενός σωµατιδίου µάζας µ µε συντεταγµένες τις συντεταγµένες του διανύσµατος της σχετικής ϑέσης. Σε αυτού του είδους τα προβλήµατα µπορούµε να προχωρήσουµε χρησιµοποιώντας τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών, όπως έγινε στο εδάφιο., Ϲητώντας λύση της µορφής: u (r, r ) = u (R, r) = U(R)u(r) Η αντικατάσταση της u από την παραπάνω σχέση στη διαφορική εξίσωση (.5) µας οδηγεί στις εξισώσεις ιδιοτιµών: Ĥ R U(R) = E R U(R), Ĥ r u(r) = Eu(r), E R + E = E Η πρώτη από αυτές είναι η εξίσωση του Schrödinger ελεύθερου σωµατιδίου µάζας M και ενέργειας E R και η δεύτερη είναι η εξίσωση της κίνησης της σχετικής ϑέσης, που είναι ίδια µε την εξίσωση του Schrödinger ενός σωµατιδίου µάζας µ που κινείται στο δυναµικό V (r) και έχει ενέργεια E = E E R. Επειδή η λύση της πρώτης εξίσωσης είναι: U(R) = σταθ.e i P R, P = ME R όπου P είναι η ορµή του κέντρου µάζας, η κβαντοµηχανική µελέτη του προβλήµατος που εξετάζουµε ανάγεται στην εύρεση των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων της εξίσωσης του Schrödinger της σχετικής κίνησης: Ĥ r u(r) = Eu(r), Ĥ r = µ r + V (r) (.6).4 Κεντρικά δυναµικά Σε πολλά ϕυσικά συστήµατα, που περιέχουν αλληλεπιδράσεις δύο σωµατιδίων υπάρχει µια επιπλέον απλούστευση που µπορεί να γίνει. Αν τα σωµατίδια δεν έχουν ιδιότητες που σχετίζονται µε κάποια κατεύθυνση του εξωτερικού χώρου, όπως συµβαίνει για παράδειγµα αν αυτά έχουν σπιν, τότε η αλληλεπίδραση των δύο σωµατιδίων εξαρτάται µόνο από τη σχετική απόσταση και δεν εξαρτάται από τη διεύθυνση. ηλαδή η αλληλεπίδραση είναι κεντρική και ισχύει V (r) = V (r). Στην περίπτωση των κεντρικών δυναµικών οι λύσεις της εξίσωσης (.6) µπορούν να γραφούν µε τη µορφή: u klm (r) = R kl (r)y m l (ϑ, ϕ) (.7)

17 .4 Κεντρικά δυναµικά 3 όπου R kl (r) οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης του: Schrödinger: d R kl + [ dr kl dr r dr + k µ ] l(l + ) V (r) R r kl = 0, k = µ E (.8) και Yl m (ϑ, ϕ) οι σφαιρικές αρµονικές που είναι ιδιοσυναρτήσεις του τετραγώνου του τελεστή της στροφορµής (ˆl ): ˆl Y m l (ϑ, ϕ) = l(l + )Y m (ϑ, ϕ), l l = 0,,... m = 0, ±, ±,..., ±l (.9) Σηµειώνεται ότι ο ˆl δεν εξαρτάται από το δυναµικό και ότι οι σφαιρικές αρµονικές είναι ιδιοσυναρτήσεις και του τελεστή ˆl z (z συνιστώσα του τελεστή της στροφορµής): ˆlz Yl m (ϑ, ϕ) = myl m (ϑ, ϕ) Οι εκφράσεις των τελεστών ˆl και ˆl z και των σφαιρικών αρµονικών δίνονται στο εδάφιο.. Στις εξισώσεις (.8) και (.9) καταλήγουµε αν εφαρµόσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών στην εξίσωση του Schrödinger (.6) Ϲητώντας λύσεις της µορφής (.7). Σηµείωση. Οταν ϑέλουµε να λύσουµε αριθµητικά (ή και αναλυτικά) την ακτινική εξίσωση (.8), προτιµάµε να λύσουµε την εξίσωση που προκύπτει από αυτήν µε τη ϐοήθεια του µετασχηµατισµού: R kl (r) = φ kl(r) (.30) r και που έχει τη µορφή: d φ kl dr + [ k µ ] l(l + ) V (r) φ r kl = 0, k = µe (.3) Ασκηση.4-. Να δειχθεί ότι µε το µετασχηµατισµό R kl (r) = φ kl (r)/r η ακτινική εξίσωση (.8) µετασχηµατίζεται στη µονοδιάστατη ακτινική εξίσωση (.3). Επειδή η.ε. (.3) έχει τη µορφή της εξίσωσης του Schrödinger ενός µονοδιάστατου προβλήµατος, µε δυναµικό: V eff (r) = l(l + ) + V (r) µ r λέγεται συχνά µονοδιάστατη ακτινική εξίσωση. Υπάρχει όµως µια ϐασική διαφορά µεταξύ της εξίσωσης (.3) και της µονοδιάστατης εξίσωσης του Schrödinger. Η ακτινική συντεταγµένη r δεν µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές. Ετσι, το σηµείο r = 0 είναι ένα οριακό σηµείο της εξίσωσης. Ενα άλλο οριακό σηµείο είναι το σηµείο r =. Σηµείωση. Για τον προσδιορισµό της ακτινικής κυµατοσυνάρτησης φ(r) (ή της R(r) = φ(r)/r), όταν δοθεί το δυναµικό V (r), πρέπει να λύσουµε τη µονοδιάστατη ακτινική εξίσωση (.3) µε κατάλληλες οριακές συνθήκες στα σηµεία r = 0 και r =. Η οριακή συνθήκη που επιβάλλεται στη φ(r) για r = 0 ϐρίσκεται από την απαίτηση ο τελεστής του Hamilton να είναι ερµιτιανός. Αποδεικνύεται ότι πρέπει να ισχύει η συνθήκη: [ ] lim φ dφ r 0 dr dφ dr φ = 0

18 4 Εισαγωγή όπου φ και φ δύο ιδιοσυναρτήσεις της (.3). Στην πράξη η συνθήκη αυτή αντικαθίσταται συνήθως µε την απλούστερη: φ kl (r) r=0 = 0 (.3) που προκύπτει από την απαίτηση η R(r) = φ(r)/r να είναι παντού πεπερασµένη. Ασκηση.4-. Να δειχθεί ότι αν για r 0 το δυναµικό είναι της µορφής V (r) = cr k, k > τότε η ασυµπτωτική συµπεριφορά της λύσης της εξίσωσης (.3) είναι: φ(r) = c r l+, l 0, r 0 (.33) Η συνθήκη της φ(r) στο άπειρο, σε προβλήµατα δεσµίων καταστάσεων είναι: η φ(r) (αλλά και η R(r)) να τείνει γρήγορα στο µηδέν για µεγάλα r ώστε να συγκλίνει το ολοκλήρωµα κανονικοποίησης: 0 R(r) r dr = 0 φ(r) dr = Στην περίπτωση µη δεσµίων καταστάσεων η συνθήκη κανονικοποίησης των ιδιοσυναρτήσεων είναι: 0 R E(r)R E (r)r dr = 0 φ E(r)φ E (r)dr = δ(e E ) Οι ιδιοτιµές της ενέργειας και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις της (.3) καθορίζονται από τη µορφή του δυναµικού V (r). Ετσι για παράδειγµα: α) Αν V (r) > 0 και lim r V (r) = 0 το ϕάσµα ιδιοτιµών της ενέργειας είναι συνεχές και E > 0 για όλες τις καταστάσεις. ϐ) Αν V (r) < 0 και lim r V (r) = 0 το ϕάσµα ιδιοτιµών της ενέργειας είναι εν γένει µικτό. Οι αρνητικές τιµές της ενέργειας είναι κβαντισµένες και αντιστοιχούν στις δέσµιες καταστάσεις του συστήµατος (εφόσον υπάρχουν τέτοιες καταστάσεις). Οι ϑετικές τιµές τις ενέργειας είναι µη κβαντισµένες και αντιστοιχούν στις µη δέσµιες καταστάσεις του συστήµατος (το σωµατίδιο µπορεί να διαφύγει στο άπειρο). Ασκηση.4-3. Σε σωµατίδιο µάζας m επιδρά το κεντρικό δυναµικό: { V0 (V V (r) = 0 > 0), 0 L 0, L < r < Να δειχθεί ότι: α) Οι δυνατές τιµές της ενέργειας των δεσµίων καταστάσεων προκύπτουν από την εξίσωση ιδιοτιµών: κ cot κl = k, κ = ( m ) /, ( m ) / (V 0 + E) k = E β) εν υπάρχει δέσµια κατάσταση αν ισχύει η σχέση: V 0 L < π 8m. Υπόδειξη. Θεωρήστε την περίπτωση των s καταστάσεων (l = 0). Ασκηση.4-4. Να δειχθεί ότι η λύση της µονοδιάστατης ακτινικής εξίσωσης (.3), στην περιοχή που το δυναµικό είναι µηδέν, είναι της µορφής: φ kl (r) = kr(a l j l (kr) + B l n l (kr)) (.34)

19 .4 Κεντρικά δυναµικά 5 όπου j l (z) και n l (z) οι σφαιρικές συναρτήσεις Bessel και Neumann, αντίστοιχα. Σηµείωση 3. Η κυµατοσυνάρτηση: u klm (r) = R kl (r)y m l (ϑ, ϕ) = φ kl(r) r Y m l (ϑ, ϕ) είναι µια κοινή ιδιοσυνάρτηση των τελεστών Ĥ, ˆl και ˆl z και περιγράφει µια κατάσταση καθορισµένων τιµών ενέργειας, E = k µ, στροφορµής, l = l(l + ) και προβολής της στροφορµής στον άξονα Oz, l z = m. Το ενεργειακό ϕάσµα παρουσιάζει (εν γένει) εκφυλισµό (άπειρης τάξης στην περίπτωση συνεχούς ϕάσµατος ιδιοτιµών της ενέργειας) και κάθε κατάσταση µε σταθερό k και τυχαία lm είναι ιδιοσυνάρτηση του Ĥ που ανήκει στην ιδιοτιµή E. Επίσης, κάθε γραµµικός συνδυασµός (επαλληλία) των ιδιοσυναρτήσεων που ανήκουν στις εκφυλισµένες ιδιοτιµές της ενέργειας είναι ιδιοσυνάρτηση του Ĥ που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή της ενέργειας. ηλαδή, ο γραµµικός συνδυασµός: u k (r, ϑ, ϕ) = lm C lm R kl (r)y m l (ϑ, ϕ), m l (.35) είναι η γενική λύση της εξίσωσης του Schrödinger, Ĥu k (r) = Eu k (r), που ανήκει στην ιδιοτιµή της ενέργειας E. Η αναπαράσταση της u k (r) µε τη µορφή της (.35) είναι γνωστή ως ανάπτυγµα σε σφαιρικά κύµατα. Το σφαιρικό κύµα R kl (r)yl m (ϑ, ϕ) είναι κοινή ιδιοσυνάρτηση των τελεστών Ĥ, ˆl, και ˆl z..4. Το άτοµο του υδρογόνου Από όλα τα κεντρικά δυναµικά, αυτό που έχει µελετηθεί περισσότερο και είναι το πλέον ενδιαφέρον είναι αυτό του δυναµικού Coulomb. Θα αναφέρουµε την περίπτωση του ατόµου του υδρογόνου που είναι το πιο απλό άτοµο. Το άτοµο του υδρογόνου αποτελείται από τον πυρήνα (που είναι ένα πρωτόνιο) και από ένα ηλεκτρόνιο. Σε πρώτη προσέγγιση ο πυρήνας µπορεί να ϑεωρηθεί ως σηµειακό ϕορτίο και η εξίσωση του Schödinger, αν γίνει ο χωρισµός της κίνησης του κέντρου µάζας, γίνεται η εξίσωση ενός σωµατιδίου µάζας: µ = Mm e M + m e όπου M και m e οι µάζες του πυρήνα και του ηλεκτρονίου, αντίστοιχα. Θεωρώντας την πιο γενική περίπτωση των υδρογονοειδών ατόµων µε ϕορτίο ίσο µε +Ze το ελκτικό δυναµικό Coulomb είναι: V (r) = Ze r Η µονοδιάστατη ακτινική εξίσωση του Schödinger γράφεται: d φ(r) dr + [ µ E + µ Ze r l(l + ) r ] φ(r) = 0 (.36) Περιοριζόµαστε στις τιµές της ενέργειας για τις οποίες ισχύει E = E < 0 και κάνουµε τις αντικαταστάσεις: 8µ E ρ = ar, a =, A = Ze µ (.37) E

20 6 Εισαγωγή οπότε, η προηγούµενη εξίσωση γράφεται: [ d φ(ρ) + dρ 4 + A ρ ] l(l + ) φ(ρ) = 0 ρ (.38) Αν Ϲητήσουµε λύσεις της µορφής: φ(ρ) = ρ l+ e ρ/ f(ρ) (.39) όπου f(ρ) µια αναλυτική συνάρτηση στο σηµείο ρ = 0, η εξίσωση (.38) γράφεται: ρ d f(ρ) dρ + [(l + ) ρ] df(ρ) dρ + (A l )f(ρ) = 0 (.40) Ασκηση.4.-. Να δειχθεί ότι αν Ϲητήσουµε λύσεις της εξίσωσης (.38) της µορφής της σχέσης (.39), η συνάρτηση f(ρ) είναι λύση της Ε (.40). Πως δικαιολογείται η µορφή της (.39); Η εξίσωση (.40) είναι η προσαρτηµένη Ε του Laguerre και από τις δύο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της µόνο η µια είναι αναλυτική στο σηµείο ρ = 0. Για να έχει η λύση αυτή τη σωστή ασυµπτωτική συµπεριφορά στο άπειρο πρέπει ο παράγοντας (A l ) να είναι ένας ακέραιος αριθµός που το συµβολίζουµε µε n r. ηλαδή: Αν ϑέσουµε: A l = n r A = n r + l +, n r = 0,,, n = n r + l + A = n, n l + και αντικαταστήσουµε το A από τη σχέση (.37) ϐρίσκουµε τις δυνατές τιµές της ενέργειας του υδρογονοειδούς ατόµου: E = E n = µe4 Z n = e Z, n =,, 3 (.4) a 0 n όπου a 0 = µe είναι η ακτίνα του Bohr. Η κανονικοποιηµένη ακτινική κυµατοσυνάρτηση που προκύπτει από τη λύση της προσαρτηµένης εξίσωσης του Laguerre και έχει τη σωστή ασυµπτωτική συµπεριφορά στα σηµεία ρ = 0 και ρ = είναι: R nl (r) = ( Z na 0 ) 3 (n l )! n(n + l)! ( Zr na 0 ) l ( ) [ Z L l+ n l r exp Zr ] na 0 na 0 (.4) όπου n =,, 3,, l = 0,,,, n, a 0 η ακτίνα του Bohr και L ν n(ξ) τα προσαρτη- µένα πολυώνυµα Laquerre. Τα προσαρτηµένα πολυώνυµα Laquerre ορίζονται από τη σχέση L ν n(ξ) = n! ξ ν e ξ dn dξ n ( e ξ ξ n+ν) και είναι ορθογώνιες συναρτήσεις στο διάστηµα ξ [0, ) µε συνάρτηση ϐάρους ρ(ξ) = ξ ν e ξ. Η σχέση ορθοκανονικότητας αυτών των πολυωνύµων είναι: 0 ξ ν e ξ L ν n(ξ)l ν m(ξ)dξ = (n + ν)! n! δ nm

21 .4 Κεντρικά δυναµικά 7 Επειδή n = n r + l + (n r = 0,,,, l = 0,,, ) για ένα συγκεκριµένο n υπάρχουν διάφοροι συνδυασµοί (καταστάσεις) των n r και l. Επίσης σε κάθε l υπάρχουν m + διαφορετικές καταστάσεις. Ετσι οι ιδιοτιµές τις ενέργειας είναι εκφυλισµένες. Γενικά ο ϐαθµός εκφυλισµού είναι: n g n = (l + ) = n l=0 Ασκηση.4.-. Να δειχθεί η σχέση του Krammer για ένα υδρογονειδές άτοµο: k + r k n nl = (k + ) a r k nl k ] [(l + ) k a r k nl (.43) 4 όπου a = a 0 /Z και a 0 = /µe = η ακτίνα του Bohr. Η σχέση αυτή συνδέει τη µέση τιµή τριών διαδοχικών δυνάµεων του r ως προς τις κυµατοσυναρτήσεις του υδρογονοειδούς ατόµου. Υπόδειξη. α) Αν R nl (r) και φ nl (r) = rr nl (r) είναι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης και της µονοδιάστατης ακτινικής εξίσωσης, αντίστοιχα, για τη µέση τιµή του r k έχουµε: r k nl = R nl (r) r k R nl (r) = φ nl (r) r k φ nl (r) = 0 r k φ nl (r)dr (.44αʹ) β) Γράψτε τη µονοδιάστατη ακτινική εξίσωση ενός υδρογονοειδούς ατόµου (σχέση (.36)) µε τη µορφή: [ l(l + ) φ nl (r) = r a r + ] a n φ nl (r) (.44βʹ) γ) Πολλαπλασιάστε εσωτερικά και τα δύο µέλη της.ε. (.44βʹ) µε r k φ nl (r) για να οδηγηθείτε στη σχέση: φ nl r k φ nl = l(l + ) rk nl a rk nl + a n rk nl (.44γʹ) δ) είξτε ότι: φ nl r k φ nl = k φ nl r k φ nl φ nl rk φ nl, φ nl r k φ nl = k rk nl, φ nl rk φ nl = k+ φ nl rk+ φ nl. ε) Στο τελευταίο εσωτερικό γινόµενο αντικαταστήστε το φ nl από τη.ε. (.44βʹ). Ασκηση Θεώρηµα των Feynman - Helman. Να δειχθεί ότι αν ο ερµιτιανός τελεστής Ĥ εξαρτάται από µια πραγµατική παράµετρο λ και η ψ(λ) είναι κανονικοποιη- µένη ιδιοσυνάρτηση που ανήκει στην ιδιοτιµή E(λ) τότε ισχύει η σχέση: E(λ) λ = ψ(λ) Ĥ(λ) ψ(λ) λ Ικανοποιούν τις αναδροµικές σχέσεις (n + )L ν n+ = (n + ν + x)l ν n (n + ν)l ν n, n =,, 3,... x(l ν n) = nl ν n (n + ν)l ν n, n = 0,,,... και είναι λύσεις της.ε. x(l ν n) + (ν + x)(l ν n) + nl ν n = 0 0 x < Πρέπει να προσέχουµε όταν χρησιµοποιούµε τα πολυώνυµα Laquerre επειδή πολλοί συγγραφείς τα ορίζουν µε κάπως διαφορετικές συµβάσεις.

22 8 Εισαγωγή Να γίνει εφαρµογή του ϑεωρήµατος στις περιπτώσεις: α) Στον αρµονικό ταλαντωτή σε µια διάσταση και να δειχθεί ότι x n = (n + ) mω β) Στο υδρογονοειδές άτοµο και να δειχθεί ότι: r nl = Z a 0 n, r nl = Z a 0n 3 (l + ) Υπόδειξη. Στην περίπτωση του αρµονικού ταλαντωτή ϑεωρήστε ως παράµετρο το ω. Στην πε- ϱίπτωση του υδρογονοειδούς ατόµου µπορείτε να ϑεωρήσετε ως παράµετρο το Z ή το e, ενώ στη δεύτερη µέση τιµή το l. Προσοχή η ακτίνα του Bohr εξαρτάται από το e. Ασκηση Να ϐρεθεί η µέση τιµή του r k ( r k nl = r k+ R 0 nl (r)dr ) ενός υδρογονοειδούς ατόµου για k =,, 3. Συγκεκριµένα να δειχθεί ότι: r nl = a 0 Z [3n l(l + )], r nl = a 0n Z [5n + 3l(l + )], r nl = Z a 0 n, r nl = Z a 0n 3 (l + ), r 3 nl = Z 3 a 3 0n 3 l(l + )(l + )

23 Κεφάλαιο Στροφορµή - πρόσθεση στροφορµών. Τροχιακή στροφορµή Στην κλασική Φυσική ένα ϐασικό ϕυσικό µέγεθος είναι η στροφορµή, l = r p. Στην Κβαντοµηχανική αντιστοιχούµε τον τελεστή της τροχιακής στροφορµής: ˆl = ˆr ˆp = ˆr ( i ) = ˆlx x 0 + ˆl y y 0 + ˆl z z 0 όπου: ( ˆlx = yˆp z z ˆp y = i y z z ) y ( ˆly = z ˆp x xˆp z = i z x x ) z ( ˆlz = xˆp y yˆp x = i x y y ) x ( = i = i ) + cot θ cos φ φ sin φ θ ( cos φ + cot θ sin φ θ φ = i φ ) (.) Στην περίπτωση κεντρικών δυναµικών, για σωµατίδια χωρίς σπιν, η τροχιακή στρο- ϕορµή διατηρείται και εποµένως ο αντίστοιχος τελεστής και οι συνιστώσες του αντιµετατί- ϑενται µε τον τελεστή του Hamilton. ηλαδή, οι νόµοι της ϕύσης δεν εξατρώνται από τον προσανατολισµό στο χώρο. Ο χώρος είναι ισοτροπικός. Το τετράγωνο του τελεστή της στροφορµής είναι: και ˆl = ˆl x + ˆl y + ˆl z = [ sin θ θ ( sin θ θ ) + sin θ ] φ Επειδή για τον τελεστή της στροφορµής ισχύουν οι σχέσεις αντιµετάθεσης: (.) [ˆl x, ˆl y ] = i ˆl z, [ˆl y, ˆl z ] = i ˆl x, [ˆl z, ˆl x ] = i ˆl y (.3) [ ˆl, ˆl x ] = [ˆl, ˆl y ] = [ˆl, ˆl z ] = 0 (.4) είναι δυνατό να ορίσουµε ένα κοινό πλήρες σύνολο ορθοκανονικών ιδιοσυναρτήσεων του ˆl και µιας συνιστώσας, έστω της ˆl z. Το κοινό σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων αυτών είναι οι σφαιρικές αρµονικές, Yl m (θ, φ), για τις οποίες έχουµε: ˆl Yl m (θ, φ) = l(l + )Yl m (θ, φ), l = 0,,,... ˆlz Yl m (θ, φ) = myl m (θ, φ), m = ακέραιος, l m l (.5) 9

24 0 Στροφορµή - πρόσθεση στροφορµών όπου l(l + ) και m οι ιδιοτιµές των τελεστών ˆl και ˆl z, αντίστοιχα. Οι σφαιρικές αρµονικές ορίζονται µε τη ϐοήθεια των προσαρτηµένων συναρτήσεων Legendre Pl m (cos θ) και είναι της µορφής: Yl m l + (l m)! (θ, φ) = 4π (l + m)! ( )m e imφ Pl m (cos θ) (.6) όπου: Pl m (cos θ) = ( )l+m (l + m)! d l m l l! (l m)! sin m θ d(cos θ) l m sinl θ, l m l Οι σφαιρικές αρµονικές, όπως ορίζονται από τη σχέση (.6) είναι ορθοκανονικές συναρτήσεις, δηλαδή: Y lm Y l m = π 0 π 0 Y lm(θ, φ)y l m (θ, φ)dω = δ ll δ mm, Οι πρώτες σφαιρικές αρµονικές (για l = 0,, ) είναι της µορφής: Y0 0 = 4π 3 3 Y 0 = 4π cos θ = z 3 4π r = 4π P (cos θ) 3 3 Y ± = 8π sin θ x ± iy e±iφ = 8π r 5 5 Y 0 = 6π (3 z x y cos θ ) = = 6π r 5 5 Y ± = 8π cos θ sin θ (x ± iy)z e±iφ = 8π r 5 Y ± = 3π sin θ e ±iφ = Ισχύουν επίσης οι σχέσεις: (Yl m (θ, φ)) = ( ) m Y m l (θ, φ), Yl 0 (θ, φ) = καθώς και το ϑεώρηµα πρόσθεσης (addition theorem): P l (cos ω rr ) = dω = sin θ dθ dφ 5 6π P (cos θ) 5 (x ± iy) 3π r (.7) 4π l + l + l + 4π P l(cos θ), Yl m (0, φ) = 4π l m= l δ m0 (.8) Y lm(ω)y lm (Ω ) (.9) όπου Ω = (θ, φ) και Ω = (θ, φ ) οι κατευθύνσεις των διανυσµάτων r και r και ω rr µεταξύ τους γωνία. Ισχύει: cos ω rr = cos θ cos θ + sin θ sin θ cos(φ φ ). Η σχέση (.9) για Ω = Ω, δηλαδή ω rr = 0, οπότε P l () =, γράφεται: η l m= l Y m l (θ, φ) = l + 4π (.0)

25 . Αλγεβρική µέθοδος Τελεστές κλίµακος Η σχέση αυτή µπορεί να ερµηνευτεί και ως εξής: όταν όλες οι m καταστάσεις που αντιστοιχούν σε ένα δοσµένο l είναι κατειληµένες, τότε το σύστηµα έχει σφαιρική συµµετρία. Από τη σχέση (.8) παρατηρούµε ότι οι σφαιρικές αρµονικές µε m = 0 δεν εξαρτώνται από τη γωνία φ και εποµένως έχουν κυλινδρική συµµετρία. Ασκηση.-. ίνεται ότι η συνάρτηση Y λµ είναι ιδιοσυνάρτηση των τελεστών ˆl και ˆl z, οπότε ισχύουν οι σχέσεις: ˆl Y λµ = λ Y λµ και ˆl z Y λµ = µy λµ. Να δειχθεί ότι: α) Οι µέσες τιµές των ˆl x και ˆl y ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις Y λµ είναι µηδέν. ϐ) µ λ. Παρατήρηση. Οι ιδιοτιµές (και εποµένως οι παρατηρήσιµες τιµές) του ˆl µπορούν να είναι µόνο 0,, 6,,.... Οι καταστάσεις καθορισµένης τιµής στροφορµής είναι l + ϕορές εκφυλισµένες. Αυτό οφείλεται στη σφαιρική συµµετρία κατά την οποία δεν υπάρχει προτιµητέα διεύθυνση στο χώρο. Ο εκφυλισµός αίρεται αν για παράδειγµα το άτοµο τεθεί µέσα σε µαγνητικό πεδίο. Σηµείωση. Οι καταστάσεις της στροφορµής που αντιστοιχούν στους κβαντικούς αριθ- µούς l = 0,,, 3, 4... συµβολίζονται µε τα γράµµατα s, p, d, f, g,..., αντίστοιχα. Αν υπάρχουν πολλά σωµατίδια µέσα στο πεδίο του κεντρικού δυναµικού τότε οι ιδιοκαταστάσεις της στροφορµής κάθε σωµατιδίου συµβολίζονται µε µικρά γράµµατα και οι ιδιοκαταστάσεις της ολική γωνιακής στροφορµής (δηλαδή της στροφορµής του συστήµατος) συµβολίζονται µε κεφαλαία γράµµατα (S, P, D, F, G,...). Σηµείωση. Ο τελεστής της πάριτυ (οµοτιµίας) ˆP έχει την ιδιότητα να αντιστρέφει τις διευθύνσεις των αξόνων ενός συστήµατος συντεταγµένων. ηλαδή, ο τελεστής ˆP για τον οποίο ισχύει: ˆP (x, y, z) = ( x, y, z) ή ˆP (r, θ, φ) = (r, π θ, π + φ) (.) µετασχηµατίζει ένα δεξιόστροφο σύστηµα αξόνων σε ένα αριστερόστροφο σύστηµα. Επειδή: ˆP ψ(x, y, z) = ˆP ψ( x, y, z) = ψ(x, y, z) οι ιδιοτιµές του τελεστή ˆP ( ˆP ψ(x, y, z) = λψ(x, y, z)) είναι + και. Στην ιδιοτιµή + ανήκουν οι άρτιες συναρτήσεις (ψ(x, y, z) = ψ( x, y, z)) ενώ στην ιδιοτιµή ανήκουν οι περιττές συναρτήσεις (ψ(x, y, z) = ψ( x, y, z)). Σε µια κατάσταση µε καθορισµένη στροφορµή (µε καθορισµένο κβαντικό αριθµό l) η κυµατοσυνάρτηση u(r) γράφεται u(r) = R nl (r)yl m (ϑ, ϕ) και η επίδραση του τελεστή της πάριτυ δίνει: ˆP u(r) = R nl (r) ˆP Yl m (ϑ, ϕ) = R nl (r)yl m (π ϑ, π + ϕ) = ( ) l R nl (r)y m l (ϑ, ϕ) = ( ) l u(r) (.) ηλαδή, σε µια κατάσταση µε καθορισµένη στροφορµή η πάριτυ (συµµετρία) της κυµατοσυνάρτησης καθορίζεται από τον κβαντικό αριθµό της στροφορµής l και είναι ( ) l.. Αλγεβρική µέθοδος Τελεστές κλίµακος Στις σχέσεις (.5) µπορούµε να καταλήξουµε µε διαφορετικούς τρόπους. Ενας τρόπος είναι από τη.ε.: [ ( sin θ ) + ] sin θ θ θ sin Y (θ, φ) = λy (θ, φ) θ φ

26 Στροφορµή - πρόσθεση στροφορµών εφαρµόζοντας τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών. Ενας άλλος τρόπος είναι να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις αντιµετάθεσης (.3) και (.4) µεταξύ των συνιστωσών της στροφορ- µής και του ˆl. Η µέθοδος αυτή είναι πολύ χρήσιµη επειδή µπορεί να χρησιµοποιηθεί και σε εκείνες τις περιπτώσεις που δεν υπάρχει κλασικό ανάλογο, όπως στην περίπτωση του σπιν. Αν ονοµάσουµε lm το κοινό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων των ˆl και ˆl z, τότε µπορούµε να γράψουµε τις εξισώσεις ιδιοτιµών: ˆl lm = l(l + ) lm ˆlz lm = m lm Ο παράγοντας µπήκε για διαστατικούς λόγους. Επειδή οι τελεστές ˆl και ˆl z είναι ερµιτιανοί πρέπει να ισχύει: l m lm = δ ll δ mm και οι αριθµοί l και m να είναι πραγµατικοί. Επίσης, επειδή lm ˆl lm 0 πρέπει να ισχύει l(l + ) 0 και άρα l 0. Είναι χρήσιµο να εισαγάγουµε τους τελεστές: ˆl± = ˆl x ± iˆl y (.3) Οι τελεστές ˆl + και ˆl λέγονται τελεστές αναβίβασης (raising) και υποβιβασµού (lowering), αντίστοιχα. Ο λόγος της ονοµασίας τους ϑα ϕανεί παρακάτω. Για τους τελεστές ˆl + και ˆl ισχύουν τα παρακάτω: Ο ˆl + είναι ερµιτιανός συζυγής του ˆl και αντίστροφα (ϐλέπε άσκηση.6-), δηλαδή ˆl + ψ ψ = ψ ˆl ψ. Ισχύουν οι σχέσεις αντιµετάθεσης (ϐλέπε άσκηση.6-): [ˆl +, ˆl ] = ˆl z, [ˆl z, ˆl ± ] = ± ˆl ±, [ˆl, ˆl ± ] = 0 (.4) Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις (ϐλέπε άσκηση.6-3): ˆl+ˆl = ˆl ˆl z + ˆl z ˆl = ˆl +ˆl + ˆl z ˆl z (.5) ˆl ˆl+ = ˆl ˆl z ˆl z ˆl = ˆl ˆl+ + ˆl z + ˆl z (.6) Επειδή ˆl ˆl± = ˆl ±ˆl (από τη σχέση (.4γ)), έχουµε: ) ˆl (ˆl± lm = ˆl (ˆl ) ) ± lm = l(l + ) (ˆl± lm ηλαδή, η κατάσταση ˆl ± lm είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή ˆl που χαρακτηρίζεται από το l, όπως και η ιδιοσυνάρτηση lm. Επίσης, επειδή ˆl zˆl± = ˆl ±ˆlz ± ˆl ± (από τη σχέση (.4ϐ)), έχουµε: ) ) ˆlz (ˆl+ lm = (ˆl +ˆlz + ˆl + ) lm = (m + ) (ˆl+ lm και ) ) ˆlz (ˆl lm = (ˆl ˆlz ˆl ) lm = (m ) (ˆl lm

27 . Αλγεβρική µέθοδος Τελεστές κλίµακος 3 Οι εξισώσεις αυτές δηλώνουν ότι η κατάσταση ˆl + lm είναι ιδιοκατάσταση του ˆl z που αντιστοιχεί σε τιµή του m που αυξήθηκε κατά, ενώ η κατάσταση ˆl lm είναι ιδιοκατάσταση του ˆl z που αντιστοιχεί σε τιµή του m που ελαττώθηκε κατά. Ετσι µπορούµε να γράψουµε, αφού ο ˆl + είναι ερµιτιανός συζυγής του ˆl : ˆl+ lm = C + (l, m) l, m + lm ˆl = l, m + C +(l, m) ˆl lm = C (l, m) l, m lm ˆl + = l, m C (l, m) Αν πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις και χρησιµοποιήσουµε τη σχέση (.6), έχουµε: C + (l, m) l, m + l, m + = lm ˆl ˆl+ lm = lm ˆl ˆl z ˆl z lm = [l(l + ) m m] = [(l m)(l + m + )] ιαλέγοντας το C + (l, m) ϑετικό αριθµό και επειδή l, m + l, m + =, έχουµε: C + (l, m) = (l m)(l + m + ) `Οµοια ϐρίσκεται ότι C (l, m) = (l + m)(l m + ) Ασκηση.-. Ξεκινώντας από την προφανή σχέση, ˆl ± (lm) ˆl ± (lm) 0, να δειχθεί ότι: a) ˆl + (lm) ˆl + (lm) = lm ˆl ˆl+ lm = [(l(l + ) m(m )] 0 b) ˆl (lm) ˆl (lm) = lm ˆl +ˆl lm = [(l(l + ) m(m + )] 0 Υπόδειξη. Χρησιµοποιείστε τις σχέσεις (.5) και (.6) Από τις δύο σχέσεις της προηγούµενης άσκησης συµπεραίνουµε ότι: l(l + ) m(m + ) και l(l + ) m(m ) και επειδή l 0 καταλήγουµε σε ένα κατώτερο και σε ένα ανώτερο ϕράγµα των δυνατών τιµών του m. Πρέπει να ισχύει η σχέση: l m l Ας υποθέσουµε τώρα ότι m min είναι η ελάχιστη τιµή του m, τότε: ˆl lm min = 0 Παρατηρώντας το συντελεστή C (l, m), ϐλέπουµε ότι αυτός γίνεται µηδέν όταν m min = l. Αν m max είναι η µέγιστη τιµή του m, τότε: ˆl+ lm max = 0 και εποµένως m max = l. Επειδή η µέγιστη τιµή του m πρέπει να προκύψει από την ελάχιστη τιµή του, µε διαδοχικές προσθέσεις του, συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν l + τιµές του m για κάθε l. ηλαδή οι τιµές του m είναι: m = l, l +, l +,, l, l. Τέλος επειδή το l + είναι ακέραιος αριθµός, το l µπορεί να παίρνει ακέραιες (όπως στην περίπτωση της τροχιακής στροφορµής) ή ηµιακέραιες τιµές (όπως στην περίπτωση του σπιν.