( ) ( ) ( ) Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. ( x, y,z) καρτεσιανό. !!z = h x, y,z. !! y = q. x = f. !! z = h

Transcript

1 Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς ΦΥΣ Διαλ.27 1 q Μέχρι τώρα έχουµε χρησιµοποιήσει συστήµατα αναφοράς όπως ( x, y,z) καρτεσιανό q όπου ο 2 ος νόµος του Newton F = m a x = f x, y,z έχει την µορφή: y = q x, y,z z = h x, y,z q Πολύ συχνά χρησιµοποιούνται συντεταγµένες οι οποίες κινούνται ως προς τις στατικές καρτεσιανές συντεταγµένες q Αν οι εξισώσεις κίνησης του Newton έχουν και πάλι την µορφή Ø το νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι «αδρανειακό» x = f y = q z = h Ø Γιατί έτσι, ο 1 ος νόµος του Newton σύµφωνα µε τον οποίο ένα σώµα σε ηρεµία θα παραµείνει σε ηρεµία όταν δεν εφαρµόζονται δυνάµεις πάνω του εξακολουθεί να ισχύει Ø Για παράδειγµα ένα σύστηµα συντεταγµένων µε µορφή: x = x υt είναι αδρανειακό γιατί: ""x = ""x q Σε διαφορετική περίπτωση το σύστηµα συντεταγµένων είναι «µη αδρανειακό»

2 Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς ΦΥΣ Διαλ.27 2 q Οι νόµοι της φυσικής είναι ανεξάρτητοι από το σύστηµα συντεταγµένων Ø Αλλάζει µόνο η µορφή των εξισώσεων κίνησης Ø Για παράδειγµα: επιταχυνόµενο σύστηµα συντεταγµένων: x = x + f t ² Αν η συνάρτηση f(t) γραµµική µε t έχουµε και πάλι αδρανειακό σύστηµα ² Μια πολύπλοκη µορφή της f(t) περιγράφει επιταχυνόµενο σύστηµα αναφοράς Ø Έστω σύστηµα συντεταγµένων που κινείται µε σταθερή επιτάχυνση: y = y at 2 y = y + a Ø Εισαγωγή φανταστικής δύναµης λόγω επιτάχυνσης του συστήµατος αναφοράς Ø Η φανταστική δύναµη υπάρχει επειδή γράψαµε την εξίσωση κίνησης σε µη αδρανειακό σύστηµα Ø Έστω στο παραπάνω παράδειγµα, ότι βρισκόµαστε στην επιφάνεια της γης Ø Όλα τα σώµατα υπόκεινται στην σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας: Ø Επιλέγω ένα σύστηµα αναφοράς που κινείται µε επιτάχυνση: ² Στο σύστηµα αυτό εποµένως: y = 0 a = g Ø Εποµένως, η βαρυτική δύναµη στην επιφάνεια της γης µπορεί να αφαιρεθεί κάνοντας αλλαγή του συστήµατος αναφοράς Αρχή της ισοδυναµίας y = g

3 ΦΥΣ Διαλ.27 3 Περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Σηµεία για ξεκαθάρισµα: Ø Η κίνηση συµµβαίνει σε κάποιο περιστρεφόµενο σώµα και παρατηρείται ² Είτε ως προς σύστηµα αναφοράς «καρφωµένο» στο περιστρεφόµενο σώµα ² Είτε ως προς εξωτερικό σύστηµα αναφοράς «αδρανειακό»/χωρικό Ø Το πρόβληµα της περιγραφής της κίνησης χωρίζεται σε 3 µέρη ² Πως µετασχηµατίζουµε τις συνιστώσες ενός διανύσµατος µεταξύ των δυο συστηµάτων αναφοράς? (για καθορισµένη περιστροφή) ü Η απάντηση εξαρτάται από τον σχετικό προσανατολισµό των αξόνων στα δυο συστήµατα αναφοράς και όχι από το διάνυσµα ² Πως µετασχηµατίζουµε τις συντεταγµένες ενός σηµείου το οποίο είναι ακίνητο στο ένα σύστηµα αναφοράς στις συντεταγµένες του άλλου συστήµατος όταν ένα από τα δυο συστήµατα περιστρέφεται ως προς το άλλο ² Πως µετασχηµατίζουµε τις χρονικές παραγώγους διανυσµάτων από το ένα σύστηµα συντεταγµένων στο άλλο. ü Ο ρυθµός µεταβολής στο περιστρεφόµενο σύστηµα προέρχεται από: (α) ρυθµό µεταβολής των συνιστωσών του διανύσµατος όπως γίνεται αντιληπτός στο ένα σύστηµα και µετασχηµατίζεται στο άλλο σύστηµα (β) µεταβολή του µετασχηµατισµού µεταξύ των δυο συστηµάτων

4 ΦΥΣ Διαλ.27 4 Περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Σηµεία για προσοχή: Ø Το µέτρο ενός διανύσµατος παραµένει σταθερό ανεξάρτητα του συστήµατος που επιλέγουµε για να το περιγράψουµε r 2 2 = r k = Ø Το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι αµετάβλητο από αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων: a b = a k b k = a k b k Ø Για να δούµε τον ακριβή µετασχηµατισµό συντεταγµένων ü Επιλέξτε δυο συστήµατα µε ίδια αρχή που διαφέρουν κατά µια περιστροφή ü Θεωρήστε το εσωτερικό γινόµενο και το Αναλυτικά: r e το οποίο γράφεται: r 1 = r 1 e1 e 1 + r 2 e2 e 1 + r 3 e3 e 1 r 2 = r 1 e1 e 2 + r 2 e2 e 2 + r 3 e3 e 2 r 3 = r 1 e1 e 3 + r 2 e2 e 3 + r 3 e3 e 3 k k k k r k 2 e e r k ek e = r k ek e (προβολή του άξονα στον άξονα ) k r 1 r 2 = r 3,k e 1 e 1 e2 e 1 e3 e 1 e 1 e 2 e2 e 2 e3 e 2 e 1 e 3 e2 e 3 e3 e 3 Ø O παραπάνω µετασχηµατισµός αποτελεί και τον ορισµό ενός διανύσµατος ü Αποφεύγεται η θεώρηση µέτρου και διεύθυνσης που απαιτούν καθορισµό συστήµατος συντεταγµένων r 1 r 2 r 3

5 Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς ΦΥΣ Διαλ.27 5 q Έστω ότι η θέση ενός σώµατος ως προς στατικό καρτεσιανό σύστηµα: r =1,2,3 q ενώ η θέση ενός σώµατος σχετικά µε περιστρεφόµενο σύστηµα είναι: r =1,2,3 q Το διάνυσµα θέσης εποµένως στα δυο συστήµατα αναφοράς θα είναι: r = r e µε e τα διανύσµατα των στατικών αξόνων συντεταγµένων ŷ yˆ Ø Ανάλογα: r = zˆ ˆx ẑ xˆ r e Ø Για κάποιο περιστρεφόµενο σώµα: διάνυσµα µε συνιστώσες διανύσµατα e = e 1 e 2 e 3 r r e µε τα διανύσµατα των περιστρεφόµενων αξόνων χωρικές συντεταγµένες = στατικές συντεταγµένες σώµατος = περιστρεφόµενες Ø Τι σηµαίνει όµως ότι τα 2 συστήµατα συντεταγµένων σχετίζονται µεταξύ τους µέσω περιστροφής? e Οι στατικοί άξονες,, σχετίζονται µε τους περιστρεφόµενους άξονες,, µέσω µιας γραµµικής σχέσης: e = U e e r 1 r = r 2 r 3 r = 3 3 πίνακας µετασχηµατισµού πίνακας περιστροφής r 1 r 2 r 3

6 Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς q Μπορούµε να γράψουµε: e = U e ΦΥΣ Διαλ.27 6 q Ο πίνακας περιστροφής U εν γένει εξαρτάται από τον χρόνο t, άρα έχουµε U (t) q Η σύνδεση µε τις συνιστώσες θέσης ενός σώµατος µέσω του µετασχηµατισµού: r = r e = U r e = U r Ø και θέλουµε να το συγκρίνουµε µε: r e = r e εφόσον r είναι αµετάβλητο q Η σχέση µεταξύ των «χωρικών» και «περιστροφικών» συντεταγµένων: r = r U Ø και θα µπορούσαµε να το γράψουµε µε την µορφή: r = U Τ r e e = δ e e e e = δ q O πίνακας U έχει την ιδιότητα ότι τα και είναι ορθοκανονική βάση: δηλαδή τα µετασχηµατισµένα διανύσµατα παραµένουν ορθοκανονικά Ορισµός περιστροφής e e = δ e = U q Από την σχέση και την e θα έχουµε: k U k ek l U le l = δ U k U l ek e l k,l = δ k,l U U k lδ kl = δ

7 Πίνακας περιστροφής q Από την συνθήκη ορθοκανονικότητας έχουµε: q Ουσιαστικά είναι ο τύπος πολ/σµου πινάκων: U k U l δ kl = U k U k q Εποµένως µπορούµε να γράψουµε την (1) σαν: U U Τ = 1 Δηλαδή, ο πίνακας περιστροφής είναι ορθοκανονικός k,l A B k ΦΥΣ Διαλ.27 7 k k = A B U Τ = U 1 q Το σύνολο όλων των πινάκων περιστροφής για τους οποίους ισχύει U Τ = U 1 αποτελούν την οθογώνια οµάδα Ο(3) Ø Επειδή U Τ = U 1 det U Τ = det U 1 Ø αλλά det U = det U T και det U 1 = 1 det U det U = ±1 (1) Ορισµός ορθοκανονικού πίνακα ² Το σύνολο των ορθογώνιων πινάκων µε det U = +1 αποτελούν την οµάδα SO(3) στην QM θα δείτε τους πίνακες Paul (πίνακες spn) που ανήκουν στην SO(3) q Ο πίνακας U εξαρτάται εν γένει από τον χρόνο και έχουµε δει ότι: r = r e = r e

8 ΦΥΣ Διαλ.27 8 Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα q Θεωρήστε ότι έχετε ένα σώµα το οποίο περιστρέφεται ως προς άξονα: q Θεωρήστε ότι ένα σηµείο P πάνω στο σώµα µε διάνυσµα θέσης r t O r t Ø Η σχέση P q Eξετάζουµε την κίνηση του P ως προς ακίνητο παρατηρητή Ø Πόσο µετακινείται το P σε χρόνο dt? Ø Έστω r ( t + dt) r ( t) + d r όπου d r η απειροστή µετατόπιση ˆn d r d r = rsnθdϕ και d r d ϕ d r r δφ Ø Χρησιµοποιώντας το διάνυσµα ˆn r ( t + dt) r ( t) ˆn r = r snθ θ d r = d ϕ r Ø Εποµένως: d r = dϕ ˆn r Ø Θεωρώντας: d ϕ dϕ ˆn d r = d ϕ r Ø Η ταχύτητα του σηµείου P για συνεχή περιστροφή θα είναι: Ø Ορίζουµε γωνιακή ταχύτητα ω: ισχύει µόνο για απειροστές περιστροφές ω d ϕ dt u P = d r dt = d ϕ dt r οπότε: u P = ω r Ø Τα διανύσµατα ω και dφ δεν είναι ακριβώς διανύσµατα αλλά ψευδο-διανύσµατα u ψευδοδιανύσµατα περιστρέφονται σαν διανύσµατα αλλά είναι αµετάβλητα ως προς χωρικούς αντικατοπτρισµούς Χ Χ,Υ Υ,Ζ Ζ

9 Πίνακας περιστροφής ΦΥΣ Διαλ.27 9 q Ο πίνακας U εξαρτάται εν γένει από τον χρόνο και έχουµε δει ότι: r = r = r e e q Η ταχύτητα εποµένως του σηµείου µε διάνυσµα θέσης r r " = r " e τα e είναι σταθερά και δεν µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø Αλλά αν προσπαθήσω να γράψω την ταχύτητα του r στο περιστρεφόµενο σύστηµα τα e δεν είναι σταθερά και µεταβάλλονται µε τον χρόνο Ø H χρονική παράγωγος του r θα αποτελείται από δυο τµήµατα: r " = "r e + r "e Ø Ποια η χρονική παράγωγος των " e? e " = d U e dt = U " e "e = "U U 1 k ek k "e = ( "U U Τ ) e Ø Εποµένως καταλήγουµε ότι: "r = "r e + r ( "U U Τ ) e "r = "r + ( "U U Τ ) r e Διόρθωση για το γεγονός ότι οι άξονες συντεταγµένων δεν είναι σταθεροί χρονικά

10 Πίνακας περιστροφής q Είδαµε ότι στο περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων: " r = q Ορίζουµε τον πίνακα: A = U U Τ Ø Α αντισυµµετρικός γιατί: U U Τ = 1 d dt A = U U Τ A Τ = ΦΥΣ Διαλ ο οποίος είναι αντισυµµετρικός "r + ( "U U Τ ) r ( U U Τ ) = 0 U U Τ + U U Τ = 0 ( U U Τ ) Τ A Τ = ( U Τ ) Τ U Τ A Τ = U U Τ Ø Εποµένως: U U Τ + U U Τ = 0 A + A Τ = 0 A = A Τ e Α αντισυµµετρικός q Α είναι ένας 3 3 αντισυµµετρικός πίνακας 0 Ø Καθορίζεται πλήρως µε τον ορισµό των A = 0 στοιχείων πάνω από την κύρια διαγώνιο 0 Εποµένως τα στοιχεία α 12, α 13 και α 23 0 ω 3 ω 2 0 ω αντισυµµετρικός 3 ω 2 A = 0 ω A = 1 ω 3 0 ω 1 0 ω 2 ω 1 0 q Χρησιµοποιώντας φορµαλισµό δεικτών: A k = ε k ω k µε ε k το σύµβολο Lev-Cvta 1 (,,k) = (1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) k ε ι k = -1 (,,k) = (1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) 0

11 ΦΥΣ Διαλ Ταχύτητα σε περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Είδαµε ότι µπορούµε να γράψουµε: Α = q Τα ω είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος: k ε k ω k ω = ω e q Με βάση τα παραπάνω, µπορούµε να γράψουµε τις ποσότητες: " e = "U U Τ e και e " = Α e = ε k ω k e k r " = "r + "U U Τ r e γωνιακή ταχύτητα " e = ω e Ø Από το εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων: e k e = ε k e = ε k e q To διάνυσµα της ταχύτητας θα γραφεί: "r = "r + Α r e "r = "r + r ω q Η παραπάνω απόδειξη ισχύει εν γένει, για οποιοδήποτε διάνυσµα w και την παράγωγό του ως προς χρόνο σε περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς: w = w e = w e w " = "w + w ω e [ ] e Άθροισµα δυο όρων, ο ένας εκ των οποίων είναι κάθετος στα διανύσµατα και ίσος µε e w ω e

12 ΦΥΣ Διαλ Επιτάχυνση σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς q Θεωρήστε ένα σώµα µε θέση που δίνεται από το διάνυσµα: r = e q Η ταχύτητά του θα είναι: " r = "r + r ω q Η επιτάχυνση του σώµατος (στο περιστρεφόµενο σύστηµα) προκύπτει από την παράγωγο της (1): a = d "r dt e Ø Είδαµε όµως: " "w = dw dt = "w + w ω και θεωρήστε ότι: w = r + r ω d " Ø Εποµένως θα έχουµε: a = [ ( "r + r ω ) + r + r ω dt a = [r "" + r " ω +r " ω + r " ω +r ω ω ] e a = r "" + 2 "r ω + r ω ω + r "ω e (1) r e " ω " e διάνυσµα επιτάχυνσης σε περιστρεφόµενο σύστηµα q Η έκφραση αυτή της επιτάχυνσης οδηγεί στην εισαγωγή «φαινοµενικών» δυνάµεων

13 ΦΥΣ Διαλ ος Νόμος του Newton σε περιστρεφόμενο σύστημα q Θεωρούµε δυο νέα διανύσµατα ορισµένα στο περιστρεφόµενο σύστηµα (αγνοώντας τις διορθώσεις από την περιστροφή των αξόνων) v σωµ. = "r e και a σωµ. = "" r e q Με τα παραπάνω διανύσµατα, το διάνυσµα της επιτάχυνσης στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς µπορεί να γραφεί: a = r "" + 2 "r ω + r ω ω + r "ω e a = a σωµ. + 2 ω v σωµ. + ω ω r + " ω r (προσοχή: δεν είναι ταχύτητα ή επιτάχυνση) F = m a επιτάχυνση σε περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων q Εποµένως για περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς, οι εξισώσεις κίνησης είναι: Ø Σύµφωνα µε τον 2 ο νόµο του Newton: Ø Σύµφωνα µε την έκφραση της πραγµατικής επιτάχυνσης α συναρτήσει της α σωµ. εµφανίζονται 3 νέοι όροι: a 1 = ω ( ω r ) φυγόκεντρος επιτάχυνση a 2 = 2 ω v σωµ. Corols επιτάχυνση a 3 = συνεπίπεδη της κίνησης και ω " κάθετη στη φυγόκεντρο. r Euler επιτάχυνση Εµφανίζεται λόγω µεταβολής της ω

14 ΦΥΣ Διαλ Μη αδρανειακές δυνάμεις με φορμαλισμό Lagrange q Θα θέλαµε να βρούµε τις µη αδρανειακές δυνάµεις χρησιµοποιώντας τον φορµαλισµό Lagrange q H Lagrangan ενός σώµατος που κινείται σε ένα δυναµικό, γράφεται: L = 1 2 m "r 2 V ( r) q Στο στατικό σύστηµα συντεταγµένων θα γραφεί: L = 1 2 m r " 2 V ( r) L = 1 2 m r r V r q Οι εξισώσεις κίνησης χρησιµοποιώντας τις στατικές συντεταγµένες βρίσκονται από τις εξισώσεις Euler-Lagrange και την µορφή της Lagrangan από την (2) q Ποια θα ήταν η µορφή των εξισώσεων κίνησης χρησιµοποιώντας τις συντεταγµένες του περιστρεφόµενου συστήµατος q Θυµηθήτε από πριν ότι: r = U 1 r = U T r r = U r q Ενώ η παράγωγος του r ως προς t θα είναι: r = U r +U r (1) (2) q Με βάση τις εξισώσεις (3) και (4) µπορούµε να αντικαταστήσουµε στην (2) και τις εξισώσεις E-L και να χρησιµοποιήσουµε τα r σαν τις δυναµικές µεταβλητές (3) (4)

15 ΦΥΣ Διαλ Μη αδρανειακές δυνάμεις με φορμαλισμό Lagrange q Παραλείποντας τους δείκτες θα µπορούσαµε να γράψουµε: r = Ur + Ur q Εποµένως η Lagrangan θα γραφεί: L 1 2 m Ur + Ur V L 1 2 m U Ur 2 + U Urr + UUr 2 q Η εξίσωση Euler-Lagrange: t L r = L U Ur + UUr + U Ur + UU r = V Ar r Euler ω "r Corols φυγόκεντρος ( Ur + Ur ) V (παραλείποντας όρους x2) r t( U Ur + UUr ) = U Ur + U Ur V επιτάχυνση σώµατος q Άσκηση: Προσπαθήστε να λύσετε το παραπάνω µε τους σωστούς δείκτες Σε κάποιους από τους όρους θα πρέπει να θυµηθείτε την συνθήκη ορθοκανονικότητας (π.χ. o όρος που δίνει ) UU r r

16 Εφαρμογές ΦΥΣ Διαλ q To κλασικό παράδειγµα ενός περιστρεφόµενου συστήµατος είναι η Γη: Ø Η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = 2π s rad sec q Μια µάζα η οποία κρέµεται στην άκρη ενός εκκρεµούς βρισκόµενο σε γεωγραφικό πλάτος λ : ω y z q Οι περιστρεφόµενες συντεταγµένες συντεταγµένες είναι: λ q Η γωνιακή ταχύτητα x z : κατακόρυφος άξονας y : προς τον βόρρειο πόλο x : «ανατολικά» ω ω = ω 0,cosλ,snλ άξονες συντεταγµένων σώµατος στο σύστηµα συντεταγµένων του σώµατος θα είναι: q Θεωρούµε ότι η µάζα του εκκρεµούς έχει διάνυσµα θέσης (σε συντεταγµένες σώµατος): r = ( 0,0, R γη )

17 Εφαρμογές Κίνηση στην επιφάνεια της Γης ΦΥΣ Διαλ q Ας θεωρήσουµε αρχικά ότι η µάζα δεν κινείται (οπότε η δύναµη Corols είναι 0) ω = ω ( 0,cosλ,snλ ) q Χρειάζεται εποµένως να υπολογίσουµε την φυγόκεντρο δύναµη ω y z Ø Η δύναµη της βαρύτητας είναι: λ r = 0,0, R γη x Ø Η φυγόκεντρος δύναµη είναι: F ϕυγοκ. = m ω ( ω Rcosλ ˆx ) F βαρ. = mgẑ F ϕυγοκ. = m ω F ϕυγοκ. = mω 2 R cos 2 λẑ + snλ cosλŷ q H φυγόκεντρος δύναµη αποτελείται από δυο όρους: Ø H µάζα θα αποκλίνει προς την y-διεύθυνση («νότια»): ² Το αποτέλεσµα «χάνεται» στους πόλους και ισηµερινό Ø Η βαρυτική δύναµη «ελαττώνεται» κατά ένα ποσοστό: ² Το αποτέλεσµα «χάνεται» στους πόλους (cosλ = 0) και γίνεται µέγιστο στον ισηµερινό ω 2 R g 45 o ω 2 R g 45 o 0.3% 0.3% ω r

18 Εφαρμογές Παράδειγμα δύναμης Corols ΦΥΣ Διαλ q Ας θεωρήσουµε ότι αφήνουµε µια µάζα να πέσει από την κορυφή ενός κτιρίου q Πως επιρεάζει η δύναµη Corols την κίνηση του σώµατος? Ø Το αποτέλεσµα της δύναµης αυτής θα είναι πολύ µικρό Ø Σε χαµηλότερη τάξη µεγέθους, η ταχύτητα θα είναι: υ o = gtẑ (το σώµα αφέθηκε την στιγµή t=0, να πέσει από το σηµείο x=y=0, z=z): Ø H δύναµη Corols θα είναι: F Corols = 2ω 0,cosλ,snλ F Corols = 2 ω v = 2 ω v 0 +" ( gtẑ) F Corols = 2ω cosλ ( gt) ˆx Ø H δύναµη αυτή θα είναι (1 η τάξη αναπτύγµατος της επιτάχυνσης του σώµατος): F Corols = m "v 1 = 2mωgt cosλ ˆx ² Όπου: v = v 0 + v v1 = ωgt 2 cosλ ˆx 1 +" Ø H απόκλιση της θέσης του σώµατος είναι: d r = v 1 dt = ωgt 3 cosλ ˆx 3 Ø Το σώµα αυτό θα αποκλίνει «ανατολικά» Ø Στο νότιο ηµισφαίριο, λ<0, το σώµα θα αποκλίνει «δυτικά» Ø Για ένα 10-όροφο κτίριο η απόκλιση είναι ~5mm

19 Περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων q Ξεκινήσαµε να µελετάµε περιστρεφόµενα συστήµατα συντεταγµένων: q Είδαµε ότι για ένα σώµα το οποίο έχει διάνυσµα θέσης r Ø το r γράφεται είτε συναρτήσει στατικών συντεταγµένων: Ø είτε συναρτήσει περιστρεφόµενων συντεταγµένων: e ΦΥΣ Διαλ r = r e r = r e τα δεν είναι σταθερά αλλά µεταβάλλονται µε τον χρόνο ενώ τα είναι σταθερά e Ø Τα και e περιγράφουν τους άξονες συντεταγµένων των δυο συστηµάτων q Τα δυο συστήµατα αναφοράς σχετίζονται µέσω του πίνακα περιστροφής U: e = U e q O πίνακας U είναι ένας ορθογώνιος πίνακας: U Τ = U 1 και det U = ±1 q Τι θα δούµε σήµερα: Ø πως µετασχηµατίζεται η ταχύτητα στο περιστρεφόµενο σύστηµα Ø πως µετασχηµατίζεται η επιτάχυνση στο περιστρεφόµενο σύστηµα Ø η µορφή του 2 ου νόµου του Newton στο περιστρεφόµενο σύστηµα e