Ψηφιακός Έλεγχος. 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Transcript

1 Ψηφιακός Έλεγχος 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων Ψηφιακός Έλεγχος

2 Υλοποίηση Ψηφιακών φίλτρων Το πρακτικό ενδιαφέρον της υλοποίησης ψηφιακών ρυθμιστών είναι μεγάλο καθώς λαμβάνονται υπόψιν θέματα όπως το κόστος του κυκλώματος, ο χώρος μνήμης στο ψηφιακό υπολογιστή, η κβαντοποίηση σημάτων και συντελεστών, η στρογγυλοποίηση (round off) αριθμών, ο βέλτιστος αλγόριθμος, η επιλογή του μικροεπεξεργαστή και άλλα. Η κυκλωματική υλοποίηση του ψηφιακού ελεγκτή είναι γίνεται στην πράξη χρησιμοποιώντας καθυστερητές, πολλαπλασιαστές και αθροιστές. Οι κυριότεροι τύποι υλοποίησης είναι: Απευθείας μορφή (εν σειρά) Απευθείας μορφή (κανονική) Εν σειρά υλοποίηση Παράλληλη υλοποίηση Υλοποίηση σκάλας Ψηφιακός Έλεγχος 2

3 Απευθείας μορφή (εν σειρά) Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζεται ως λόγος δύο πολυωνύμων: ή n j az j n u( z) j= 0 a0 az... anz = D( z) = = n n e( z) j bz... bn z bz j j= n... n =... u z a e z a z e z a z e z bz u z b z u z 0 n = ( )... ( ) ( )... ( ) u k a e k ae k a e k n bu k b u k n 0 n n n Ψηφιακός Έλεγχος 3

4 Απευθείας μορφή (εν σειρά) Η υλοποίηση (μη κανονική) φαίνεται στο σχήμα : e( z) a 0 u( z) z a b z z a 2 b 2 z Χρησιμοποιούνται 2n καθυστερητές και αθροιστής z a n b n z Ψηφιακός Έλεγχος 4

5 Απευθείας μορφή (εν σειρά) Μια εναλλακτική μορφή υλοποίησης με n αθροιστικά σημεία και n καθυστερητές είναι e( z) a 0 z u( z) a b z a2 b2 z a n b n Ψηφιακός Έλεγχος 5

6 Απευθείας μορφή (εν σειρά) Αν θέσουμε μεταβλητές κατάστασης βλέπουμε ότι : e( z) a 0 z a b x 2 z a2 b2 z x x n u( z) ( ) = x k bx x ae k a be k 2 0 ( ) = x k b x x a e k a b e k a n b n Ψηφιακός Έλεγχος 6

7 Σε μορφή πινάκων έχουμε: Απευθείας μορφή (εν σειρά) x k b 0.. x k a a0b x2 k b2 0.. x2 k a2 a0b 2. = ek xn( k ) bn.. 0 xn( k) an a0b n και x x = [ ]. a e( k) u k 2. x n 0 Ψηφιακός Έλεγχος 7

8 Απευθείας μορφή (κανονική) Ένας άλλος τρόπος υλοποίησης είναι ο παρακάτω (2 αθροιστές, 2n καθυστερητές) είναι: e( z) a 0 u( z) z z b a z z z z b n a n Ψηφιακός Έλεγχος 8

9 Απευθείας μορφή (κανονική) Ένας εναλλακτικός τρόπος υλοποίησης χρησιμοποιώντας τους μισούς καθυστερητές είναι e( z ) u( z) z a 0 Ορίζοντας μεταβλητές κατάστασης από κάτω προς τα πάνω έχουμε: b z x n a. x k = x 2 x k = x 2 3 z xn. 2 bx ( k) e( k) x k = b x k b x k n n n... n x b n a n Ψηφιακός Έλεγχος 9

10 Σε μορφή πινάκων έχουμε: Απευθείας μορφή (κανονική) ( ) x k x k 0 x k. 0.. x k.. = ek x ( k ) b... b x ( k) 2 2 n n n ( k) ( k) x x2 u( k) = [ an an bn... a a0b]. a0e k. xn ( k) Ψηφιακός Έλεγχος 0

11 Παράδειγμα Για ένα σύστημα δεύτερης τάξης φαίνονται οι δύο υλοποιήσεις ( απευθείας μορφή εν σειρά και κανονική) : a0 az a2z D( z) = bz bz 2 e( z) a 0 u( z) e( z ) u( z) a 0 z z b a a b z b 2 a 2 a2 b2 z Ψηφιακός Έλεγχος

12 Υλοποίηση σε σειρά Με αυτόν τον τρόπο υλοποίησης εκφράζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς ως γινόμενο παραγόντων πρώτης και δεύτερης τάξης: u z D( z) a0d ( z)... Dl ( z), l n e z = = < Κάθε επιμέρους συνάρτηση μεταφοράς έχει μία απο τις δύο παρακάτω μορφές: στοιχείο πρώτης τάξης Dl ( z) = az l bz l στοιχείο δεύτερης τάξης D ( z) l az l a z = bz b z l 2 l 2 l Ψηφιακός Έλεγχος 2

13 Η κυκλωματική υλοποίηση είναι Υλοποίηση σε σειρά e( z) u( z) a a a a0 z z z 3 z a 2 n b x x2 b 2 b 3 x 3 b n x n Οι εξισώσεις είναι x k = bx k a e k.. ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 x k a b x k b x k b x k a e k x k x k 3 2 x k a b x k a b x k a b x k b x k a e k Ψηφιακός Έλεγχος 3

14 Σε μορφή πινάκων έχουμε Υλοποίηση σε σειρά x k b x k a0 x2 k a b b2 b3.. x2 k a 0. = ek xn( k ) a b a2 b2 a3 b3. b n xn( k) a 0 ( k) ( k) x x2 u( k) = [ a b a2 b2... an bn]. a0e k. xn ( k) Ψηφιακός Έλεγχος 4

15 Παράλληλη υλοποίηση Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζεται ως άθροισμα επιμέρους συναρτήσεων μεταφοράς πρώτης και δεύτερης τάξης: u z D( z) c0 D( z) D2 ( z)... Dl ( z), l n e z = = < < Δημιουργούνται έτσι δύο είδη παραγόντων στοιχείο πρώτης τάξης D l l ( z) = bz c e( z ) u( z) c l z b l στοιχείο δεύτερης τάξης D l ( z) c c z = bz l0 l 2 l bz l2 Ψηφιακός Έλεγχος 5

16 Παράλληλη υλοποίηση Η κυκλωματική c 0 υλοποίηση είναι c x e( z) b z c 2 u( z) z x 2 c 3 b 2 b 3 x 3 z c n b n x n z Ψηφιακός Έλεγχος 6

17 Παράλληλη υλοποίηση Οι εξισώσεις είναι x( k ) = bx ( k) e( k) x2( k ) = b2x2( k) b3x3( k) e( k) x ( k ) = x ( k) Σε μορφή πινάκων είναι. 3 2 ( ) = x k b x k e k n n n x k b x k x2 k 0 b2 b3.. x2 k. = ek xn( k ) b n xn( k) Ψηφιακός Έλεγχος 7

18 Παράλληλη υλοποίηση και ( c c... c ) e( k) 0 ( k) ( k) x x2 u( k) = [ bc b2c2 c3 bc 3 2 b4c4... bncn].. xn ( k) n Ψηφιακός Έλεγχος 8

19 Η συνάρτηση μεταφοράς είναι Υλοποίηση σκάλας n u z a0 az... anz = D( z) = n e z bz... bn z Αν κάνουμε ανάλυση σε απλά κλάσματα έχουμε A0 D z = Bz A Bz 2 Τα Ai, Bi είναι σταθερές που έχουν προέλθει απο τα a, b i i Bz n A n Ψηφιακός Έλεγχος 9

20 Υλοποίηση σκάλας Για να υλοποιήσουμε την παραπάνω σχέση πρέπει να μπορούμε να υλοποιήσουμε τις G ( z) = Bz T z G 2 ( z) = A T z Αυτό φαίνεται στα 2 παρακάτω σχήματα : T( z) T( z) z B A Ψηφιακός Έλεγχος 20

21 Υλοποίηση σκάλας Στη συνέχεια, υλοποιούμε την συνάρτηση D( z) = A Bz T z 0 l l A 0 z B T z Μετά, εκφράζουμε την συνάρτηση ως εξής : ή A T2 z T z = T z = A T z 2 Ψηφιακός Έλεγχος 2

22 Υλοποίηση σκάλας Έτσι, έχουμε A 0 z B A T2 ( z) Συνεχίζοντας, αντικαθιστούμε την συνάρτηση με T και 2 z = έχουμε Bz 2 T3( z) Ψηφιακός Έλεγχος 22

23 Υλοποίηση σκάλας A 0 z B A z B2 T 3 ( z) Ψηφιακός Έλεγχος 23

24 Υλοποίηση σκάλας A 0 z B Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, η υλοποίηση της συνάρτησης μεταφοράς φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : z A B 2 A 2 z B n A n 24

25 Υλοποίηση PID ελεγκτή Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι ( ) K ( ) X z KT z z I D = D( z) = Kp Y z 2 z T z Θέλουμε να υλοποιήσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς ως σύστημα 2 ης τάξης : D z = a a z a z bz bz 2 Εξισώνοντας τις 2 σχέσεις έχουμε a a a b b KT I KD = Kp 2 2 KIT 2K = Kp 2 2 KD = T = = 0 Ψηφιακός Έλεγχος 25 D

26 Η υλοποίηση φαίνεται στο σχήμα : Υλοποίηση PID ελεγκτή xk z z xk z KT I 2 K P y( k) z xk z K D T z Ψηφιακός Έλεγχος 26