ΕΝΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΥΨΗΛΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΑΧΕΙΑΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ ΕΝΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΥΨΗΛΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΑΧΕΙΑΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ Σ. Μπερσίμης 1,2, M.Β. Κούτρας 1 και Π.Ε. Μαραβελάκης 3 1 Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς {berim, mkoura}@unipi.gr 3 Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου maravel@ aegean.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή μελετάμε το πρόβλημα του ελέγχου παραγωγικών διεργασιών υψηλής ποιότητας. Προτείνεται ένα νέο διάγραμμα ελέγχου το οποίο κάνει χρήση ενός σύνθετου κανόνα, που λαμβάνει υπόψη του τόσο τον αριθμό των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ του i-1 και του i ελαττωματικού προϊόντος όσο και τον αριθμό των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ του i-2 και του i ελαττωματικού προϊόντος. Συγκεκριμένα, εάν ο αριθμός των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ του i-1 και του i ελαττωματικού προϊόντος λάβει τιμή μικρότερη ή ίση μιας σταθεράς k ή εάν ο αριθμός των μη ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ του i-2 και του i ελαττωματικού προϊόντος λάβει τιμή μικρότερη ή ίση μιας σταθεράς r τότε η διεργασία χαρακτηρίζεται ως εκτός ελέγχου. Οι σταθερές k και r προσδιορίζονται έτσι ώστε να επιτυγχάνεται το επιθυμητό εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής. Το χαρακτηριστικό του διαγράμματος αυτού είναι ότι αντιδρά άμεσα και στις περιπτώσεις που η παραγωγική διεργασία παρουσιάζει μεγάλες και απότομες αλλαγές. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται συνήθως για την παρακολούθηση ενός μετρήσιμου χαρακτηριστικού ενός προϊόντος, το οποίο είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με την ποιότητα του. Στην περίπτωση που το χαρακτηριστικό του υπό μελέτη προϊόντος, δεν είναι δυνατόν ή είναι πολύ δύσκολο να μετρηθεί, η συνήθης τακτική απαιτεί την ταξινόμηση κάθε προϊόντος, με βάση το χαρακτηριστικό αυτό, σε δύο διακριτές κατηγορίες προϊόντων, τα ελαττωματικά και τα μη ελαττωματικά, και την παρακολούθηση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων. Το συνηθέστερα χρησιμοποιούμενο διάγραμμα, για την παρακολούθηση του ποσοστού των ελαττωματικών προϊόντων, είναι το p (p-char). Μια εξαιρετική επισκόπηση του 2 Η εργασία αυτή υποστηρίχθηκε από το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών στο πλαίσιο του προγράμματος υποτροφιών για μεταδιδακτορική έρευνα στην Ελλάδα.

2 ερευνητικού πεδίου επάνω στα διαγράμματα ελέγχου για ποιοτικά χαρακτηριστικά δίνεται στον Woodall (1997). Μια περίπτωση με ιδιαίτερο ενδιαφέρον, στην περιοχή του ποιοτικού ελέγχου, είναι οι λεγόμενες «Διεργασίες Υψηλής Ποιότητας». Πρόκειται για παραγωγικές διεργασίες στις οποίες παρατηρείται πολύ μικρό ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων. Εναλλακτικά χρησιμοποιείται και ο όρος «Διεργασίες Υψηλής Απόδοσης». Μια παραγωγική διεργασία λέγεται «Διεργασία Υψηλής Ποιότητας» όταν ο αριθμός των ελαττωματικών δεν ξεπερνά τα 1000 ελαττωματικά ανά παραγόμενα προϊόντα. Δηλαδή, όταν το ποσοστό των ελαττωματικών στη διεργασία αυτή είναι μικρότερο του (1 ). Παραδείγματα τέτοιων διεργασιών έχουμε στη βιομηχανία ηλεκτρονικών εξαρτημάτων, στη βιομηχανία οπλικών συστημάτων και στη βιομηχανία εξαρτημάτων για αεροπλάνα. Η ιδιαιτερότητα των διεργασιών αυτών έγκειται στο γεγονός ότι λόγω του πολύ μικρού ποσοστού ελαττωματικών που εμφανίζουν είναι αδύνατο να ελεγχθούν με ένα διάγραμμα p, δεδομένου ότι ακόμα και στη περίπτωση εμφάνισης μεγάλων μετατοπίσεων το ποσοστό ελαττωματικών της παραγωγής παραμένει μικρό. Το γεγονός αυτό καθιστά τις περισσότερες φορές, απίθανη την εμφάνιση έστω και ενός ελαττωματικού προϊόντος σε ένα δείγμα προϊόντων μεγέθους n. Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε διεξοδικά ένα νέο διάγραμμα ελέγχου για τον έλεγχο διεργασιών υψηλής ποιότητας, και προχωρούμε στον υπολογισμό της ακριβούς κατανομής του μήκους ροής γι αυτό κάνοντας χρήση της μεθόδου της Μαρκοβιανής εμφύτευσης. 2. ΤΟ ΣΥΝΘΕΤΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΜΙΑΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΥΨΗΛΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Μια από τις προτεινόμενες τεχνικές για τον αποτελεσματικό έλεγχο μιας διεργασίας υψηλής ποιότητας, είναι αντί να χρησιμοποιηθεί το ποσοστό των ελαττωματικών σε κάθε δείγμα, να γίνει χρήση του αριθμού των μη ελαττωματικών προϊόντων που παρεμβάλλονται ανάμεσα σε δύο ελαττωματικά (conforming run lengh - CRL). Η λογική είναι ότι, όταν ο αριθμός των μη ελαττωματικών προϊόντων ανάμεσα στην εμφάνιση δύο ελαττωματικών είναι μεγάλος, τότε έχουμε σαφείς ενδείξεις ότι το ποσοστό των ελαττωματικών παραμένει μικρό. Αντίθετα, σε περίπτωση που ο αριθμός των μη ελαττωματικών προϊόντων ανάμεσα στην εμφάνιση δύο ελαττωματικών μικρύνει τότε έχουμε σαφείς ενδείξεις ότι το ποσοστό των ελαττωματικών για κάποιον λόγο μεγαλώνει. Τέτοια διαγράμματα προτάθηκαν από τους Goh (1987), Bourke (1991) και καλούνται γεωμετρικά διαγράμματα ελέγχου, λόγω του γεγονότος ότι στηρίζονται στη γεωμετρική κατανομή (στο μήκος της ροής των μη ελαττωματικών προϊόντων ανάμεσα σε δύο ελαττωματικά). Στα διαγράμματα αυτού του τύπου απεικονίζουμε τον αριθμό Υ i των συνεχόμενων μη ελαττωματικών προϊόντων ανάμεσα στο i-1 και στο i ελαττωματικό προϊόν. Αν ο τελευταίος είναι μικρότερος από ένα κάτω όριο

3 (LCL) ή μεγαλύτερος από ένα άνω όριο (UCL) τότε διακόπτουμε προς έλεγχο την διεργασία θεωρώντας την ως εκτός στατιστικού ελέγχου. Για τη βελτίωση των διαγραμμάτων αυτών (γεωμετρικών) προτάθηκαν διαγράμματα ελέγχου τα οποία βασίζονται στο άθροισμα των μηκών δύο ή περισσοτέρων διαδοχικών ροών μη ελαττωματικών (um of conforming run lengh - SCRL) και κάνουν χρήση της αρνητικής διωνυμικής κατανομή (Goh (1987), Bourke (1991), Bourke (2006) και άλλοι). Συγκεκριμένα, εάν ο αριθμός των μη ελαττωματικών προϊόντων ανάμεσα σε l+1 διαδοχικά ελαττωματικά είναι μικρότερος από ένα κάτω όριο (LCL) ή μεγαλύτερος από ένα άνω όριο (UCL) τότε η διεργασία διακόπτεται αφού θεωρείται ότι είναι εκτός στατιστικού ελέγχου. Η στατιστική συνάρτηση που απεικονίζουμε στο διάγραμμα ελέγχου, στην περίπτωση αυτή, είναι η i T Y, i l, l+ 1,... i j + i l 1 Ο Bourke (2006) πρότεινε ως βέλτιστη λύση για τον έλεγχο διεργασιών υψηλής απόδοσης το διάγραμμα ελέγχου που χρησιμοποιεί το άθροισμα των μηκών των δύο τελευταίων διαδοχικών ροών μη ελαττωματικών (δηλαδή l2). Η χρήση ενός τέτοιου διαγράμματος έχει το πλεονέκτημα ότι ανιχνεύει πολύ γρηγορότερα από τα απλά διαγράμματα, τα οποία στηρίζονται στην γεωμετρική κατανομή, τις μικρές αλλαγές στην διεργασία. Επιπλέον, είναι γρηγορότερο στην ανίχνευση μεγάλων αλλαγών σε σχέση με τα διαγράμματα τα οποία στηρίζονται στην άθροιση περισσοτέρων ροών. Στην εργασία αυτή προτείνουμε μια τροποποίηση του διαγράμματος του Bourke (2006) με κύριο στόχο τη δημιουργία ενός διαγράμματος ικανού να ανιχνεύει γρήγορα τόσο τις πολύ μικρές (ανεπαίσθητες) αλλαγές όσο και τις απότομες και πολύ μεγάλες αλλαγές σε μια παραγωγική διεργασία υψηλής απόδοσης. Η τροποποίηση αφορά τον εμπλουτισμό της τεχνικής του Bourke (2006) με έναν επιπλέον κανόνα. Συγκεκριμένα, η τροποποιημένη τεχνική κάνει χρήση ενός διπλού κανόνα της μορφής: «η διεργασία διακόπτεται εάν Ti Yi 1 + Yi r ή Yi j k με k < r». Για τη μελέτη της τροποποιημένης τεχνικής και τον υπολογισμό της ικανότητας του διαγράμματος που στηρίζεται στην τεχνική αυτή, πρέπει να υπολογιστεί η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Τ, η οποία περιγράφει την χρονική στιγμή που ένας από τους δύο κανόνες (ή και οι δύο) εμφανίζονται για πρώτη φορά. Είναι προφανές ότι Τn, εάν στην n-οστή δοκιμή έχει συμβεί Ti Yi 1 + Yi r ή Yi k με k < r και επιπλέον κανένα από τα παραπάνω δεν είχε συμβεί έως την n-1 δοκιμή. Αξίζει να σημειώσουμε ότι σε αντίθεση με τα διαγράμματα ελέγχου των Goh (1987), Bourke (1991), Bourke (2006), το νέο διάγραμμα ελέγχου δεν ενσωματώνει άνω όριο ελέγχου, παρά μόνον ένα διπλό κάτω όριο ελέγχου. Αυτό κρίνεται σκόπιμο

4 δεδομένου ότι πολύ μεγάλες τιμές των στατιστικών T i, Y i, υποδεικνύουν πολύ μικρό παραγόμενο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων (κάτι αναμενόμενο λόγω της φύσης της διεργασίας). Συνεπώς, ένα άνω όριο δεν θα πρόσφερε στην διαδικασία ελέγχου της παραγωγικής διεργασίας. 3. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Τ Προκειμένου να υπολογίσουμε την κατανομή της μεταβλητής T θα κάνουμε χρήση της τεχνικής της Μαρκοβιανής εμφύτευσης (π.χ. Balakrihnan and Koura (2002)). Σύμφωνα με αυτήν, μπορούμε να αναπαραστήσουμε μια απαριθμήτρια τυχαία μεταβλητή Τ ορισμένη σε μια ακολουθία δίτιμων δοκιμών, με μια Μαρκοβιανή αλυσίδα {, 0,1,2, } ορισμένη στο χώρο καταστάσεων Ω { a, a,..., a } με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει 1 2 Y ( T n) ( Y a ) ( T > n) ( Y a ) n n όπου a η απορροφητική κατάσταση. Δηλαδή, η T περιγράφεται ως ο χρόνος κατά τον οποίο η Μαρκοβιανή αλυσίδα εισέρχεται για πρώτη φορά στην απορροφητική κατάσταση. Έτσι, εάν συμβολίσουμε με π 0 ( Y ( o a1), Y ( o a2),..., Y ( o a )) το διάνυσμα αρχικών πιθανοτήτων και με Λ [ Y ( aj Y 1 ai)] τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης, θα ισχύει Y ( a ) n n πλe 0 όπου e (0,0,0,...,0,1) 1 είναι ένα διάνυσμα-στήλη του R. Κάνοντας χρήση των παραπάνω αποδεικνύεται ότι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής T δίνεται από την έκφραση ( T n) n 1 π ' 0 Λ ( Λ I) (για λεπτομέρειες βλέπε Balakrihnan, Berimi and Koura (2006)). Συμβολίζοντας με τον πίνακα που απομένει αφαιρώντας από τον Λ την τελευταία γραμμή και την τελευταία στήλη (h ) βρίσκουμε την επόμενη εναλλακτική μορφή για τη συνάρτηση πιθανότητας e, n 1 ( T n) π h. (1) Τέλος, με χρήση κατάλληλων μετασχηματισμών μπορούμε να εκφράσουμε την 1 γεννήτρια G(z) στη μορφή G( z) zπ' ( I z h, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση αναδρομικών εκφράσεων για τη συνάρτηση ' 0 0 )

5 πιθανότητας και τις ροπές της T (αφού καταλήγει σε μια μορφή πηλίκου πολυωνύμων). Από τα προηγούμενα είναι φανερό ότι για τον υπολογισμό της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής T δεν χρειάζεται παρά να ορίσουμε μια κατάλληλη Μαρκοβιανή αλυσίδα. Έτσι, ορίζουμε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο καταστάσεων Ω {( i, j, v) : i 0,1,2,..., r + 1, j 0,1,2,..., r + 1, v 1,2,3} { }, ο οποίος έχει το πλήθος καταστάσεις, όπου το δίνεται από τη σχέση d + 2 fd +1 με d r + 2 και f d ( k +1). Με {*} συμβολίζουμε την απορροφητική κατάσταση. Οι δείκτες που διαμορφώνουν τις τριάδες κάθε κατάστασης ερμηνεύονται ως ακολούθως: i: απαριθμεί τον αριθμό των επιτυχιών στην σχηματιζόμενη ακολουθία από την τελευταία αποτυχία και ύστερα, j: απαριθμεί τον αριθμό των επιτυχιών στην σχηματιζόμενη ακολουθία από την προτελευταία αποτυχία και ύστερα, v: απαριθμεί τον αριθμό των αποτυχιών (έως και την 3 η αποτυχία). Y Πίνακας 1. Τιμές των δεικτών σε μια ακολουθία 15 προϊόντων Α/Α Δοκιμής Δοκιμή - S S S F S S S F S S S F S S S (i) (j) (v) Για να γίνουν πιο κατανοητοί οι συμβολισμοί, παραθέτουμε το παράδειγμα του Πίνακα 1. Στον Πίνακα 1 παρουσιάζεται μια ακολουθία από 15 εξερχόμενα προϊόντα μιας παραγωγικής διεργασίας καθώς και οι τιμές που λαμβάνουν οι τρεις δείκτες. Με (S) συμβολίζουμε ένα μη ελαττωματικό προϊόν ενώ με (F) ένα ελαττωματικό. Η ερμηνεία των δεικτών είναι ξεκάθαρη κρατώντας πάντα στο μυαλό ότι ο πρώτος δείκτης χρησιμοποιείται για την παρακολούθηση του 1 ου υπό-κανόνα (του αριθμού των μη ελαττωματικών προϊόντων από την τελευταία εμφάνιση ελαττωματικού) ενώ ο δεύτερος δείκτης για την παρακολούθηση του 2 ου υπό-κανόνα (του αριθμού των μη ελαττωματικών προϊόντων από την προτελευταία εμφάνιση ελαττωματικού)

6 Έχοντας λοιπόν ορίσει κατάλληλα το χώρο καταστάσεων Ω, το επόμενο βήμα είναι να ορίσουμε τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης. Στην περίπτωση που μελετάμε, ο πίνακας μπορεί να εκφρασθεί ως ένας διαμερισμένος πίνακας, διαστάσεων ( 1) ( 1), της μορφής (0) (1) ( k ) ( r 1) ( r) (0) (1) ( k ) ( r 1) ( r) d (0) (1) ( k) ( k+ 1) ( r+ 1) (0) (1) ( k) ( k+ 1) ( r+ 1) d 1,2 2,2 ( k + 1),2 ( r + 1),2 ( k + 1),2 ( r+ 1),2 r,2 ( k + 1),3 1,3 2,3 ( k + 1),3 ( r + 1),3 r,3 ( r+ 1),3 όπου ο πίνακας d είναι της μορφής d (r[ Y ( x, x,1) Y 1 ( x 1, x 1,1)] p) d με x 1,2,..., r + 1, ο πίνακας της μορφής d (r[ Y (0, x,2) Y 1 ( x, x,1)] q) με x k + 1,..., r + 1, και ο πίνακας x, i της μορφής ( Y ( x, y + 1, i) Y ( x 1, y, i p), x, i r[ 1 )] με x 1, 2,3,..., r + 1, y k + 1,..., r + 1, i 2,3. Τέλος ο πίνακας θα έχει την μορφή ( Y (0, x, i) Y ( x, y, i 1 q), x, i r[ 1 )] με y k + 1,..., r + 1, i 2,3, x k + 1,..., r + 1. Είναι φανερό ότι, κατασκευάζοντας τον πίνακα των πιθανοτήτων μετάβασης (ως διαμερισμένο πίνακα) και το διάνυσμα των αρχικών πιθανοτήτων, μπορούμε x,i π

7 να υπολογίσουμε την ακριβή κατανομή της T κάνοντας χρήση της σχέσης (1). Στο Σχήμα 1 δίνεται η γραφική απεικόνιση της κατανομής της T για επιλογή παραμέτρων k2, r7 και p0.01. Σχήμα 1. Κατανομή για k2 και r7 [Tn] για k2, r7, p0.01 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0, [Tn] n Άμεση συνέπεια της γνώσης της ακριβούς κατανομής της T είναι ότι μπορούμε να εκτιμήσουμε με ακρίβεια την αποτελεσματικότητα του προτεινόμενου διαγράμματος ελέγχου, συγκρίνοντας το με τα υφιστάμενα διαγράμματα ελέγχου για διεργασίες υψηλής απόδοσης. 4. ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ Προκειμένου να διερευνηθεί η απόδοση του νέου διαγράμματος ελέγχου παραθέτουμε τον Πίνακα 2. Πίνακας 2. Μέσος χρόνος αναμονής μέχρι την εμφάνιση εκτός ελέγχου σήματος Διάγραμμα Εκτός Ελέγχου ποσοστό Γεωμετρικό ΔΕ Bourke (2006) Σύνθετο ΔΕ - (6,43) Σύνθετο ΔΕ - (7,39) Σύνθετο ΔΕ - (8,33) Σύνθετο ΔΕ - (9,20) Στον πίνακα αυτόν δίνεται ο μέσος χρόνος αναμονής τριών διαγραμμάτων, μέχρι την κήρυξη μιας παραγωγικής διεργασίας ως εκτός ελέγχου, από την στιγμή της αλλαγής στο ποσοστό των ελαττωματικών, δηλαδή από την στιγμή που η διεργασία βγήκε πραγματικά εκτός ελέγχου. Συγκεκριμένα, παρατίθενται οι μέσοι χρόνοι αναμονής, του γεωμετρικού διαγράμματος, του διαγράμματος που προτάθηκε από τον Bourke (2006) και τέλος

8 του νέου διαγράμματος για 4 διαφορετικές επιλογές παραμέτρων (k,r) οι οποίες επιτυγχάνουν το ίδιο εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής. Ως εντός ελέγχου ποσοστό ελαττωματικών θεωρήθηκε το p0.01. Όπως είναι φανερό παρατηρώντας τον Πίνακα 2, το νέο διάγραμμα συμπεριφέρεται πάντα καλύτερα από το διάγραμμα που στηρίζεται στη γεωμετρική κατανομή ενώ είναι πολύ καλύτερο και από το προτεινόμενο του Bourke (2006) για αλλαγές στο ποσοστό των ελαττωματικών μεγαλύτερες του ABSTRACT In he preen aricle we udy he problem of conrolling high yield procee. We propoe a new conrol char uing a compoie rule aking ino accoun he number of conforming uni beween he (i-1) h and he i h nonconforming iem and he number of conforming iem beween he (i-2) h and he i h nonconforming iem. Specifically, if he number of conforming iem beween he (i-1) h and he i h nonconforming iem i le or equal han a conan k or if he number of conforming iem beween he (i-2) h and he i h non-conforming iem i le han or equal o a conan r hen he proce i declared ou-of-conrol. The conan k and r are deermined o a o achieve he deirable in conrol average run lengh. The main characeriic of hi conrol char i ha i reac immediaely and in iuaion where he producion proce exhibi large and udden hif. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Balakrihnan N. and Koura M.V. (2002). Run and Scan wih Applicaion, New York: John Wiley. Balakrihnan, N., Berimi, S. and Koura, M.V. (2006). Fir Occurrence of aern in a Bivariae Sequence of Trinomial Trial wih Applicaion in ualiy Conrol, Submied aper. Bourke,.D. (1991). Deecing a Shif in Fracion Nonconforming Uing Run-Lengh Conrol Char wih 100% Inpecion, Journal of ualiy Technology, 23, Bourke,.D. (2006). The RL2 Char Veru he np char for Deecing Upward Shif in Fracion Deecive, Journal of Applied Saiic, 33, Goh, T. N. (1987). A Charing Technique for Conrol Low of Low Non-Conforming roducion, Inernaional Journal of ualiy and Reliabiliy Managemen, 5, Woodall, W. H. (1997). Conrol Char Baed on Aribue Daa: Bibliography and Review, Journal of ualiy Technology, 29,