Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

2

3 Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: , 0 15,, A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του περιοδικού δεκαδικού αριθμού 1,6 με το περιοδικό δεκαδικό αριθμό 0, 45 α γ A4 Έστω 4με α γκαι α,, γ φυσικοί αριθμοί Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης α γ α γ δ A5 Α και α γ δ, α υπολογίσετε τη τιμή α γ δ της παράστασης Α6 Α για το φυσικό αριθμό ισχύει 16 8, α ρεθεί η τιμή της παράστασης: 5 8 Α Α7 Α ισχύει 5184, όπου φυσικός αριθμός, α συγκρίετε τις παραστάσεις α γ α γ Κ και Λ : 5 γ για α α 0, 1 και γ Α8 Α α, και γ, α υπολογίσετε τη τιμή της 5 10 α αγ γ παράστασης Α αγ 015 Α9 Α α, γ, πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε α γ 5 και , α υπολογίσετε γ γα α τη τιμή της παράστασης: α γ γ γα α A10 Να ρείτε το πλήθος τω ψηφίω του αριθμού Α 16 5 ότα αυτός γραφτεί στη δεκαδική ααπαράστασή του Α11 Να ρείτε το σύολο τω τελευταίω ψηφίω εός θετικού ακέραιου αριθμού ο οποίος είαι τετράγωο εός περιττού φυσικού αριθμού 41

4 Παράρτημα Α1 Να ρείτε έα τετραψήφιο φυσικό αριθμό, α γωρίζετε ότι ισχύου τα παρακάτω: Το ψηφίο τω μοάδω του είαι πολλαπλάσιο του Το ψηφίο τω δεκάδω του είαι πολλαπλάσιο του 4 και κατά μία μοάδα μικρότερο από το ψηφίο τω μοάδω Το ψηφίο τω εκατοτάδω του είαι κατά έα μικρότερο από το ψηφίο τω χιλιάδω του Ο αριθμός είαι πολλαπλάσιο του 11 A1 Να ρεθού οι πεταψήφιοι πρώτοι αριθμοί της μορφής 944 Στη συέχεια α ρεθεί το πλήθος τω ψηφίω του γιομέου του κάθε πεταψήφιου πρώτου αριθμού με το εαυτό του Α14 Α ο πραγματικός αριθμός α είαι ο αριθμητής του κλάσματος που μας δίει τη κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού 1,46 και ο πραγματικός αριθμός είαι η μικρότερη προσέγγιση δεκάτου του άρρητου αριθμού 10, α εξετάσετε α οι αριθμοί α και 10 είαι πρώτοι μεταξύ τους Α15 Έας θετικός ακέραιος αριθμός α είαι περιττός και ότα διαιρεθεί με το 5 δίει υπόλοιπο 4 Να εξετάσετε α ο αριθμός είαι πολλαπλάσιο του 5 Α16 Σε μια εκδήλωση παρευρίσκοται 10 παιδιά, τα οποία δε είαι λιγότερα από δύο σε κάθε φύλο Στα αγόρια θα μοιραστού εξίσου 58 ποδοσφαιρικές κάρτες κατά τέτοιο τρόπο ώστε α περισσέψου Α στα κορίτσια μοιραστού εξίσου 4 ραχιόλια, πόσα θα πάρει κάθε κορίτσι και πόσα θα περισσέψου; Α17 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του ακέραιου αριθμού 1, ο αριθμός 4 4 δε είαι πρώτος (ΚΥΜΕ Παγκύπριος Διαγωισμός, 010) Α18 Έστω δύο τριψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί Α και Β Ο Β προκύπτει από το Α με εαλλαγή του πρώτου με το τρίτο ψηφίο και είαι μεγαλύτερος από το Α κατά 594 Επιπλέο, α από το Α αφαιρέσουμε 1, προκύπτει έας αριθμός που ισούται με 16 φορές το άθροισμα τω ψηφίω του Α Ποιος είαι ο αριθμός Β; Α19 Δίεται ο ακέραιος: Α, όπου θετικός ακέραιος Α ο Α είαι διαιρέτης του, α ρείτε τις δυατές τιμές του Α0 Γράφουμε στο πίακα το σύολο Α, που περιέχει όλους τους ακέραιους από το 101 μέχρι και το 01 Διαγράφουμε από το σύολο Α όλους τους ακέραιους που είαι πολλαπλάσια του και στη συέχεια διαγράφουμε όλους τους ακέραιους που είαι πολλαπλάσια του 8 Να ρείτε πόσοι ακέραιοι θα απομείου στο σύολο Α (ΕΜΕ, 01) 4

5 Διαγωιστικά Mαθηματικά Α1 Ο τριψήφιος αριθμός z διαιρείται με το, ο τριψήφιος z διαιρείται με το και ο τριψήφιος z διαιρείται με το 5 Επίσης ο τριψήφιος z έχει παράγοτα το αριθμό 9 Να ρεθεί ο τριψήφιος αριθμός z Α Α οι αριθμοί 51 και 456 διαιρεθού με το αριθμό α, δίου υπόλοιπο το αριθμό 16 Να ρεθού οι δυατές τιμές του αριθμού α Α Έας τριψήφιος αριθμός α είαι πολλαπλάσιο του Σε μια ατελή διαίρεση του τριψήφιου αριθμού α με το αριθμό 7, το πηλίκο είαι μεγαλύτερο κατά 7 του οκταπλάσιου του υπολοίπου Να ρεθού οι δυατές τιμές του αριθμού α Α4 Έχουμε έα αριθμό α 680, όπου θετικός ακέραιος Να ρείτε τη ελάχιστη τιμή του ώστε ο αριθμός α α είαι τέλειο τετράγωο φυσικού αριθμού Α5 Να ρείτε όλα τα δυατά αθροίσματα τω ψηφίω εός τριψήφιου αριθμού αγ, ώστε ο αριθμός αγ γα γα α είαι διαιρετός με το αριθμό 7 Β Αλγερικές Παραστάσεις Β1 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α Β Α ισχύει α γ και 1, α ρείτε τη αριθμητική τιμή της παράστασης: α γ Α α γ Β Α αδ γ, α αποδείξετε ότι: α γ δ δ Β4 Α ισχύει η σχέση ω 0 ω ω για τους πραγματικούς αριθμούς,, ω τέτοιους ώστε ω, α υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: ω ω ω Β5 Α α 1 και α 1, α ρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: α 1 1 Α α 4

6 Παράρτημα Β6 Α ισχύει ότι 5κ4λ 1και α α, α ρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: 6 6 α 4λ5κ 5κ 16λ α α α Β7 Α ισχύει ότι α 6 5 1, α ρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: α α,5α1,5 6 9 α 5 α α Β8 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 1 Α B9 Να μετατρέψετε τη τιμή της παράστασης σε αάγωγο κλάσμα: Α Β10 Ποιος είαι ο πιο μικρός φυσικός αριθμός Ν με τη ιδιότητα ο Ν α είαι τέλειο τετράγωο φυσικού αριθμού; (Διαγωισμός Καγκουρό, 009) B11 Δίεται η αλγερική παράσταση: κ( ) 10 9, όπου πραγματικός αριθμός και θετικός πραγματικός Να υπολογίσετε το θετικό πραγματικό ώστε η παράσταση α είαι τέλειο τετράγωο Β1 Να ρείτε τις τιμές τω α και για τις οποίες η παράσταση Α 8α α 5 5 παίρει τη ελάχιστη τιμή της Β1 Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό ο αριθμός: 81 Κ() δε είαι ακέραιος Β14 Να υπολογίσετε τη τιμή του γιομέου 4, α για τους θετικούς ακέραιους και ισχύει η σχέση: B15 Έστω 1, 1και Α ισχύει η z z σχέση, α αποδείξετε ότι 1 1 z z z 1 1 B16 Α z 1, z 7 και z 4, α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης z 44

7 Διαγωιστικά Mαθηματικά Β17 Θεωρούμε το πολυώυμο 7 P( ) α γ 7, όπου α,, γ σταθεροί όροι Α P( 5) 5, α ρεθεί η αριθμητική τιμή του P (5) Β18 Να υπολογίσετε τις τιμές τω ΑΒ, ώστε η ισότητα Α 10 1 Β α είαι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς 000 Β19 Έστω έα πολυώυμο P( ) τέτοιο ώστε, α το P( ) διαιρεθεί με το 19, α δίει υπόλοιπο 99, εώ, α το P( ) διαιρεθεί με το 99, α δίει υπόλοιπο 19 Να ρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) με το Β0 Δίεται το πολυώυμο: (AJHSME, 1999) ρ P( ) α 1, όπου α, ρ είαι πραγματικοί αριθμοί Α P(4) 1 και P(5) 144, α ρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού P (010) (ΚΥΜΕ Παγκύπριος Διαγωισμός, 010) Γ Εξισώσεις Αισώσεις Προλήματα Γ1 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: ,5 1,5 : 1,5 1,5 και Α 5 Β 5 4 Στη συέχεια α ρείτε για ποιες τιμές του αληθεύει η αίσωση Α Β Γ Δίοται οι παραστάσεις: Α : και Β , , 5 Να προσδιορίσετε τη τιμή του, α ΑΒ 0 Γ Δίοται τα πολυώυμα: P( ) 7 6 και Q ( ) α Να γράψετε τα πολυώυμα ως γιόμεα πολυωύμω πρώτου αθμού P ( ) 1 Q ( ) Να λύσετε τη εξίσωση Γ4 Να ρεθού οι ακέραιοι που επαληθεύου και τις δύο αισώσεις: και 1 45