«ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ»"

Transcript

1 1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ «ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ» ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΔΑΟΥΤΙΔΗ ΙΩΑΝΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΛΑΛΑΖΗΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 003

2

3 3...στον παππού μου

4 4

5 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ Γιάννης Δαουτίδης Περίληψη Στην πτυχιακή αυτή εργασία μελετούμε θεωρητικά τις πυρηνικές δυνάμεις, όπου η εξάρτηση από την πυκνότητα στις ιδιότητες αυτών παίζει καθοριστικό ρόλο για την αναπαραγωγή των πειραματικών δεδομένων. Μετά την ανάπτυξη της Θεωρίας Συναρτη-σοειδών Πυκνότητας στα άτομα, ως αρχική μορφή της παραπάνω ιδέας, γίνεται επέκταση στους πυρήνες, όπου και εφαρμόζεται με επιτυχία. Οι μησχετικιστικές ενεργές (effective) δυνάμεις Skyme και Gogny, αλλά και η Σχετικιστική Θεωρία Μέσου Πεδίου,ως εξαρτόμενα από την πυκνότητα μοντέλα, θα αποτελούν το βασικό υπόβαθρο για ποιοτικές, αλλά και ποσοτικές συζητήσεις. Abstact The dissetation in hand is a study of nuclea popeties fom a theoetical ansatz, whee the density dependence plays an vital ole fo the identification with the expeimental data. Afte the development of Density Functional Theoy in atoms, as initial aspect, an extension to the nuclea aea is successfully applied. Nonelativistic inteactions, such as Skyme, and Relativistic Mean Field Theoy, both as density dependent models, will be the main backgound fo qualitative and quantitative discussions.

6 6

7 7 Περιεχόμενα Εισαγωγή Μέθοδος Hatee-Fock Θεωρία Συναρτησοειδών Πυκνότητας.1 Μοντέλο Thomas-Femi...1. Θεωρήματα Kohenbeg-Kohn Εξισώσεις Kohn-Sham Local Density Appoximation Η θεωρία Kohn-Sham στους πυρήνες Μικροσκοπικές Θεωρίες Μέσου Πεδίου 3.1 Αλληλεπίδραση Skyme Αλληλεπίδραση Gogny Σχετικιστική Θεωρία Μέσου Πεδίου Εισαγωγή Γενικά Στοιχεία της θεωρίας Μαθηματικός φορμαλισμός Σχετικιστικές εξισώσεις μέσου πεδίου Αναπαραγωγή του σχετικιστικού όρου σπιν-τροχιάς Παράμετροι συναρτησοειδών μέσου πεδίου και σχολιασμός αποτελεσμάτων...59 Βιβλιογραφία...67

8 8

9 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρηση ότι ο πυρήνας του ατόμου αποτελείται απο πρωτόνια και νετρόνια (με μια λέξη νουκλεόνια) προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Heisenbeg στη δεκαετία του 30. Οι δυνάμεις που συγκρατούν τα σωματίδια αυτά στον πυρήνα δε μπόρεσαν να αποδωθούν στις ήδη γνωστές (ηλεκτρομαγνητισμός και βαρύτητα) και θα ονομαστούν «ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις». Η αιτία της ονομασίας είναι προφανής αφού η απαίτηση να έχουμε δέσμια κατάσταση οδηγεί σε ελκτικές δυνάμεις πολύ πιο ισχυρές από την άπωση των πρωτονίων λόγω ηλεκτρομαγνητισμού. Στη συμβατική εικόνα της πυρηνικής θεωρίας στις χαμηλές ενέργειες, ο πυρήνας θεωρείται σαν ένα κβαντομηχανικό σύστημα πολλών σωμάτων (φερμιόνια) τα οποία αλληλεπιδρούν με μη-σχετικιστικές δυνάμεις δυο σωμάτων. Η αλληλεπίδραση αυτή βασίζεται στην ανταλλαγή μεσονίων μεταξύ των γυμνών νουκλεονίων * Ξεκινώντας από ένα πιο θεμελιώδες επίπεδο, μπορεί κανείς να εισάγει μια σχετικιστική λαγκρατζιανή που περιγράφει σημειακά νουκλεόνια να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με ανταλλαγή μεσονίων. Η απλοποίηση σε μησχετικιστικό πεδίο μπορεί να προκύψει με την παράλειψη των μεσονικών βαθμών ελευθερίας. Οι παράμετροι της λαγκρατζιανής προκύπτουν από τα πειραματικά δεδομένα που προέρχονται από τις σκεδάσεις των γυμνών νουκλεονίων. Θα * Γυμνά νουκλεόνια (bae nucleons) ονομάζονται τα πρωτόνια και τα νετρόνια που είναι ελεύθερα και δε βρίσκονται σε πυρήνα. Τα δεδομένα αλληλεπίδρασής τους προκύπτουν από πειράματα σκέδασης.

10 10 πρέπει εδώ να αναφερθεί ότι η αλληλεπίδραση αυτή είναι ισχυρά απωστική σε μικρές αποστάσεις (<1fm) και για το λόγο αυτό δε μπορεί να περιγραφεί ούτε με τη θεωρία διαταραχών αλλά ούτε με την προσέγγιση ενός μέσου πεδίου. Μπορεί όμως κανείς να εισάγει μια ενεργό αλληλεπίδραση (π.χ. G- matix), η οποία μπορεί μεν να μην είναι η πραγματική αλλά είναι μια αρκετά καλή προσέγγιση για να μας δώσει τα επιθυμητά αποτελέσματα. Μια υπόθεση παρ ολ αυτά είναι σημαντική για το παραπάνω μοντέλο: τα νουκλεόνια θεωρούνται σημειακά σωματιδια. Αυτό με μια πρώτη ματιά φαίνεται παράλογο, από τη στιγμή που γνωρίζουμε ότι τα πραγματικά νουκλεόνια είναι σύνθετα αντικείμενα αποτελούμενα από τα κουαρκς,και τα γλουόνια. Αλλά καθώς δεν είναι ακόμη ξεκάθαρο σε πιο βαθμό τα κουαρκς, σαν βαθμοί ελευθερίας, είναι σημαντικά για μια πλήρη κατανόηση του πυρηνικού προβλήματος πολλών σωμάτων αλλά ούτε είναι δυνατή η χρησιμοποίηση τους σε μια μικροσκοπική περιγραφή του παραπάνω προβλήματος, είναι θεμιτό και δικαιολογημένο ναν ξεκινήσουμε με μια φαινομενολογική λαγκρατζιανή η οποία να περιέχει μεσόνια και η οποία είναι ικανή να παράγει τα σημαντικά πειραματικά δεδομένα με έναν ικανοποιητικό τρόπο. Οι παράμετροι της λαγκρατζιανής, δηλαδή οι μάζες των μεσονίων και οι σταθερές σύζευξης, θα είναι επίσης φαινομενολογικές ποσότητες. Απομένει βέβαια μελλοντικός στόχος η παραγωγή αυτών των ποσοτήτων από μια πιο μικροσκοπική θεωρία. Δεν είναι όμως ούτε καν ξεκάθαρο το αν αυτή η θεωρία θα είναι μια θεωρία επίσης νουκλεονίων-μεσονίων, ή κάποιο μοντέλο όμοιο με την κβαντική χρωμοδυναμική (QCD), δηλαδη μοντέλο κουαρκς-γλουονίων. Αφού συζητήσαμε τους λόγους για την χρήση των νουκλεονίων ως βαθμών ελευθερίας, μένει να αναζητήσουμε ένα μοντέλο που να περιγράφει το πρόβλημα των πολλών σωμάτων σε χαμηλές ενέργειες και σε μη σχετικιστικό επίπεδο. Βέβαια, ακόμα κι αν δούμε την πυρηνική αλληλεπίδραση από αυτήν τη σκοπιά, δηλαδή ως δράση μεταξύ νουκλεονίων, οι λεπτομέρειες αυτής δεν είναι πλήρως γνωστές. Για το λόγο αυτό εφαρμόζουμε έναν τρόπο μελέτης των πυρηνικών δυνάμεων ο οποίος θα μπορούσε να ονομαστεί «φαινομενολογικός». Σ αυτόν υπολογίζουμε αρχικά τους διαφόρους τρόπους κίνησης των πυρήνων από τις κανονικότητες που παρατηρούμε στις ιδιότητες τους και προσδιορίζουμε τους βαθμούς ελευθερίας που τους συνοδεύουν. Έπειτα, κατασκευάζουμε πυρηνικά μοντέλα που έχουν κινητική ενέργεια και ενέργεια αλληλεπίδρασης εξαρτώμενες από αυτούς τους βαθμούς ελευθερίας. Κάθε τέτοιο πρότυπο εξαρτάται επίσης από παραμέτρους, οι τιμές των οποίων καθορίζονται από τα πειραματικά δεδομένα. Τέτοια πρότυπα είναι το πρότυπο υγρής σταγόνας, το πρότυπο κατά φλοιούς, το πρότυπο αερίου Femi κ.α.

11 11 Το πιο ικανοποιητικό μοντέλο είναι το μοντέλο κατά φλοιούς (Shell model). Σύμφωνα με αυτό θεωρούμε ότι τα νουκλεόνια μέσα στον πυρήνα είναι κατανεμημένα σε φλοιούς, όπως ακριβώς τα πλανητικά ηλεκτρόνια ενός ατόμου *. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τη βασική ιδέα που βρίσκεται πίσω από αυτό το πρότυπο. Αν ξεκινήσουμε από ένα πρόβλημα Α αλληλεπιδρόντων νουκλεονίων μέσω ενός δυναμικού δυο σωμάτων V i,j η μη σχετικιστική χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί H = A A 1 ( 1.1 ) t i + V i i= 1 i, j= 1 όπου ti η κινητική ενέργεια των νουκλεονίων. Υπάρχουν πολλές πειραματικές ενδείξεις για την ύπαρξη μιας μέσης, ανεξάρτητης μονοσωματιδιακής κίνησης των νουκλεονίων, κάτι όμως το οποίο δεν είναι άμεσα προφανές από τη μορφή της παραπάνω χαμιλτονιανης. Μπορεί όμως να φανεί αν κάνουμε ένα διαχωρισμό της Η σε Α μονοσωματιδιακές χαμιλτονιανές, περιγραφόμενες από ένα μονοσωματιδιακό δυναμικό Ui (single paticle potential), και από μια απομείνουσα αλληλεπίδραση (esidual inteaction), ώστε H H o + H es, j =, ( 1.) A όπου H0 = ( ti+ Ui) h0() i i= 1 και H = 1 es Vi, j A A i= 1 i= 1 Η πρόταση αυτή προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι τα νουκλεόνια υπακούουν στην απαγορευτική αρχή του Pauli με αποτέλεσμα να εμποδίζεται η σκέδαση μεταξύ δυο νουκλεονίων σε κατειλημένη θέση. Η δε χρησιμότητά της είναι προφανής: λόγο του ότι το δυναμικό V εξαρτάται, εκτός από τις χωρικές συντεταγμένες, και από άλλους βαθμούς ελευθερίας (spin, i-spin,..) συμπεραίνει κανείς πως για τον πλήρη καθορισμό του χρειάζεται τόσους συνδιασμούς καταστάσεων που θα αδυνατούσε να τους καθορίσει ακόμα και ο πιο υπερσύγχρονος υπολογιστής. Αν κατορθώσουμε να προσδιορίσουμε λοιπόν ένα δυναμικό Ui τέτοιο ώστε να ισχύει η σχέση H es << H 0 τότε οι κυριότερες ιδιότητες του πυρήνα A i= 1 U i * Από το παραπάνω προκύπτει μια ικανοποιητική εξήγηση μιας ιδιότητας των πυρηνιοκών δυνάμεων, του κορεσμού.

12 1 μπορούν να αποδοθούν μέσω της χαμιλτονιανής Η0 ενώ η υπολλειματική αλληλεπίδραση στη συνέχεια να μελετηθεί ως διαταραχή του ανεξάρτητου συστήματος των Α νουκλεονίων. Όσο πιο μικρή είναι αυτη τόσο πιο ρεαλιστική είναι η υπόθεση ενός μέσου ανεξάρτητου πεδίου. Έτσι σαν μια καλή αρχή για την προσεγγιστική περιγραφή ενός πυρήνα μπορούμε να αγνοήσουμε την υπολλειματική αλληλεπίδραση και να προσπαθήσουμε για ένα όσο το δυνατόν καλύτερο προσδιορισμό του μέσου δυναμικού Ui. Όπως θα δούμε πράγματι, η προσέγγιση του μονοσωματιδιακού δυναμικού δίνει πολύ καλά αποτελέσματα. Ο καθορισμός του δυναμικού Ui ξεκινώντας από ένα γνωστό Vi,j μπορεί να επιτευχθεί με μια σύγχρονη μέθοδο, τη μέθοδο Hatee-Fock. Αυτή, όπως θα δούμε παρακάτω αναλυτικά, ορίζει το πεδίο αυτοσυνεπώς, βασιζόμενη στις κινήσεις των νουκλεονίων και στις ανά δύο μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις.

13 13 1 ΜΕΘΟΔΟΣ HARTREE - FOCK Ας θεωρησουμε ένα σύστημα δυο νουκλεονίων. Σύμφωνα με την αρχή του Pauli, τα δύο νουκλεόνια δεν μπορούν να βρίσκονται στην ίδια κατάσταση, με άλλα λόγια οι κυματοσυναρτήσεις τους πρέπει να είναι αντισυμμετρικές, ήτοι 1 Ψ 1,( 1, ) = [ ψ1( 1) ψ( ) ψ( 1) ψ1( )] ( 1.3) Ψ, δηλαδή την αρχή του Pauli. Πράγματι, αυτή η σχέση δίνει ( ) 0 1,1 1, = Για ένα σύνολο Ν φερμιονίων η αντισυμμετρικότητα περιγράφεται με την εισαγωγή στο μαθηματικό μας φορμαλισμό του τελεστού εναλλαγής Pij. Ο τελεστής εναλλαγής ορίζεται ως ο τελεστής εκείνος που όταν δρα στην κατάσταση ενός συστήματος εναλλάσει τις θέσεις και τα σπιν δύο σωματιδίων i και j. Δηλαδή P ij q (1) a q () ( i) ( j) ( N ) β... qµ... qλ... qn = q (1) a q () ( j) ( i) ( N ) β... qµ... qλ... qn ( 1.4) Έτσι η συνολική κυματοσυνάρτηση για τα Ν φερμιόνια θα είναι κατά αντιστοιχία N P Ψ ( 1,,..., N) = Σ( 1) P Πψi( i) ( 1.5) όπου Ρ είναι ο τελεστής ανταλλαγής του συνόλου των Ν σωματιδίων, ο (-1) P δίνει την πάριτυ της εναλλαγής και N ψ ( ) = ψ ( ) ψ ( )... ψ ( ) Π i = 1 i i 1 το γινόμενο των επι μέρους κυματοσυναρτήσεων. Προφανώς για N= αναγώμαστε στη σχέση (1.3). 1 P i= 1 N N Αν θεωρήσουμε δε ότι τα ψi είναι ορθοκανονικοποιημένα, που σημαίνει ότι ψ ψ d = δ i j ij τότε η σταθερά κανονικοποίησης για το ολοκλήρωμα της Ψ θα είναι:

14 14 Ψ * Ψd 1d... d N () 1= N! P [( 1) ] ψ ( )... N( ) = d1... dn 1 1 ψ = P P N Τελικά προκύπτει η μορφή Ψ (... ) 1 N = ψ 1 1 ψ N!... ψ N ( 1 )... ψ1( N) ( )... ψ ( ) ( )... ψ ( ) 1 N N N ( 1.6) Η ορίζουσα αυτή είναι γνωστή σαν ορίζουσα Slate (Slate deteminant). Ο λόγος που θα χρησιμοποιήσουμε την ορίζουσα αντί του απλού γινομένου κυματοσυναρτήσεων βρίσκεται στο γεγονός ότι αυτή στη μορφή της συμπεριλαμβάνει την αντισυμμετρικότητα και την ορθογωνιότητα της Ψ καθώς και την απαγορευτική αρχή του Pauli. Πράγματι, για 1= ή ακόμα και για ψ1=ψ η ορίζουσα Slate μηδενίζεται. Αφού κατασκευάσαμε την ολική κυματοσυναρτηση των Ν νουκλεονίων επιχειρούμε να καθορίσουμε την ενέργεια Ε. Μπορούμε να γράψουμε E ( 1.1) i = Ψ H Ψ E = Ψ Ψ + Ψ Το πρώτο μέλος μπορεί να γραφεί pi Ψ Ψ = m i i P m 1 N ψ1 1 ψ N N ψ1 1 ψ N N i m i, j V i, j Ψ ( 1.7 ) pi... d... d A *( )... *( ) A ( )... ( ) = i pi pi d1ψi* ( i) ψi( i) = Ψ Ψ i m m

15 15 ενώ για το δεύτερο ισχύει Ψ Vij, Ψ=... d1... dna ψ1* ( 1 )... ψn* ( N) Vij, ψ1( 1)... ψn( N) ij, i< j u u = dd i jψi* ( i) ψj* ( j) Vij, ψi( i) ψj( j) ψi( j) ψj( i). i< j Εξαιτίας του γεγονότος ότι η ορίζουσα Slate έχει αντισυμμετρικό χαρακτήρα, κάτι που πρέπει να φανεί και στις παραπάνω σχέσεις, στην u u u u τελευταία εξίσωση χρησιμοποιήσαμε την ποσότητα ψi( i) ψ j( j) ψi( j) ψ j( i) u u ψ ψ. Έτσι η τελική μορφή της ενέργειας έχει αντί του απλού γινομένου i( i) j( j) ως εξής u p u u i E = Ψ H Ψ = ψi* ( i) ψi( d i) i + m i< j i u u u u u u u u ( 1.8 ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ψi* i ψ j* j Vi j ψi i ψ j j ψi j ψ j i dd i j. Η ενέργεια αυτή είναι ένα συναρτησοειδές των κυματοσυναρτήσεων ψ και ψ* οπότε αν εφαρμόσουμε τη θεωρία μεταβολών θα έχουμε τη σχέση δ H εi ψi ψ Ψ Ψ j = 0 ( 1.9 ) όπου ε ι είναι ο πολλαπλασιαστής Lagange. Η έκφραση αυτή οδηγεί στην εξίσωση Hatee-Fock uuu pi i i j i j j j j i i m ψ u ψ ψ u u ψ u ( ) + * V, ( ) d ( ) j u u u u u ψ * ψ ψ = εψ ( ) V, ( ) d ( ) ( ) j j i j i j j j i i i i ( 1.10 )

16 16 Αν κανείς θέσει και i j ψ ψ u V ψ d = V ( ) ( ) j* i, j j j j H i uu *, ( j) V, ψ ( i) = V ( ) j i j j F i j τότε μπορεί να γράψει την παραπάνω εξίσωση σε μια πιο κομψή μορφη: uuu pi i i H i i i F i j i j j i i i m ψ u u ψ u uu ψ u u εψ u ( ) + V ( ) ( ) V (, ) ( ) d = ( ) ( 1.11 ) Το δυναμικό V H καλείται ευθή δυναμικό Hatee ενώ το V F είναι το δυναμικό ανταλλαγής ή δυναμικό Fock. Το τελευταίο είναι, όπως μπορούμε να δούμε, μη τοπικό, δηλαδή εξαρτάται και από την κατάσταση των γειτονικών φερμιονίων. Εξαιτίας της μη γραμμικής ολοκληροδιαφορικής φύσης αυτής της εξίσωσης είναι δύσκολο να λυθεί στη μορφή που εμφανίζεται στην Αντίθετα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο της αυτοσυνέπειας (επαναλήψεις) πάνω στις κυματοσυναρτήσεις. Στη μέθοδο αυτήν παίρνουμε μια αρχική τιμή της ενέργειας και λύνοντας την εξίσωση Hatee-Fock βρίσκουμε την μονοσωματιδιακή κυματοσυνάρτηση ψι. Οι κυματοσυναρτήσεις αυτές στη συνέχεια συγκεντρώνονται και μας δίνουν την ορίζουσα Slate με τη βοήθεια της οποίας υπολογίζεται η ολική ενέργεια Ε. Με την ενέργεια αυτή λύνουμε την νέα εξίσωση HF και νέες κυματοσυναρτήσεις υπολογίζονται. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να παρατηρηθεί μια σύγκληση, δηλαδή όταν δυο διαδοχικές τιμές της ενέργειας δεν θα διαφέρουν σχεδόν καθόλου.

17 17 Η εξίσωση Hatee-Fock είναι μια εξίσωση για ένα σωματίδιο αλλά σε τρεις διαστάσεις. Αν θεωρήσουμε πως υπάρχει σφαιρική συμμετρία και εφαρμόσουμε χωρισμό των μεταβλητών παίρνουμε την ακτινική εξίσωση Hatee- Fock σε μια διάσταση: h d h ll ( + 1) + + U HF Rnl = nlrnl md m ( ) ε ( ) ( 1.1 ) όπου ισχύει nlm( ) R ( ) Y ( ) nl m φ = l Ω Βέβαια ακόμα κι έτσι η λύση των εξισώσεων Hatee-Fock είναι δύσκολη και χρονοφόρα, πόσο μάλλον όταν έχουμε να λύσουμε Ν τέτοιες εξισώσεις. Για τον λόγο αυτό συχνά χρησιμοποιούμε ένα απλό και ήδη γνωστό δυναμικό το οποίο έχει παρόμοιες ιδιότητες με το δυναμικό Hatee-Fock και το οποίο εφαρμόζεται απ ευθείας στην εξίσωση Schoedinge. Τέτοιο δυναμικό μπορεί να είναι είτε ένα σφαιρικό φρέαρ είτε ένας αρμονικός ταλαντωτής ή ακόμα ένα δυναμικό Woods-Saxon το οποίο προσεγγίζει ακόμα καλύτερα το δυναμικό HF. V WS = V 1 ( R) 0 / α 1+ e Η προσέγγιση αυτή ενός γνωστού δυναμικού μπορεί να φανεί σχηματικά στο παρακάτω σχήμα, όπου U είναι το δυναμικό Woods-Saxon. Εικόνα 1 :Προσέγγιση του δυναμικού Woods Saxon και σύγκριση με την πραγματική πυρηνι- κή αλληλεπίδραση

18 18 Tα δυναμικά αυτά είναι στην ουσία πολύ απλά και προσεγγιστικά και από μόνα τους δε μπορούν να δώσουν ικανοποιητικά αποτελέσματα. Γι αυτό, η θεωρία συναντάται και ως φτωχή Hatee-Fock θεωρία (poo man s Hatee-Fock). Για τους μαγικούς αριθμούς, παραδείγματος χάρην, έχουμε: Πυρηνικοί μαγικοί αριθμοί =, 8, 0, 50, 8 μαγικοί αριθμοί αρμονικού ταλαντωτή =, 8, 0, 40, 70 Η διαφορά αυτή των μαγικών αριθμών συνεχίζει να εμφανίζεται, εκτός κι αν εισάγει κανείς και έναν όρο σπιν-τροχιάς, το οποίο σημαίνει ότι η ακτινική εξίσωση Schoedinge εξαρτάται όχι μόνο από το l αλλά και από το j της κατάστασης ενός σωματιδίου. Ο όρος σπιν-τροχιάς υπάρχει και στα άτομα, αλλά είναι πολύ μικρός. Αυτό είναι μια πολύ φυσική συνέπεια, καθώς οι δυνάμεις σπιν-τροχιάς προέρχονται από σχετικιστικά φαινόμενα και η αλληλεπίδραση των νουκλεονίων στους πυρήνες είναι πιο σχετικιστική απ ότι των ηλεκτρονίων στα άτομα. Η πιο εύχρηστη μορφή του δυναμικού σπιν-τροχιάς είναι η παράγωγος του δυναμικού U() και για ένα δυναμικό Woods-Saxon παριστάνεται στο παρακάτω σχήμα: Μπορεί λοιπόν κάποιος να εκφράσει το δυναμικό σπιν-τροχιάς ως 1 Uso..( ) = Vls 0 ( ) du d Όπως πολύ χαρακτηριστικά φαίνεται, ο όρος σπιν τροχιάς, που προστίθεται στο δυναμικό U(), χρησιμοποιείται χωρίς κανένα θεωρητικό υπόβαθρο, παρά μόνο επειδή οδηγεί τους υπολογισμούς μας σε πιο ακριβή αποτελέσματα. Αυτό που αργότερα θα διαπιστώσουμε (κεφάλαιο 3) είναι ότι

19 19 στη μελέτη των πυρηνικών μοντέλων από σχετικιστικής πλευράς ο όρος σπιν τροχιάς εμφανίζεται σαν άμεση συνέπεια της θεωρίας μας με τα ίδια ευεργετικά αποτελέσματα. Τέλος, πρέπει να αναφερθεί ότι η λύση των εξισώσεων Hatee-Fock με τη χρήση γνωστού δυναμικού (Woods-Saxon) έχει πάψει πλέον να χρησιμοποιείται, κι αυτό γιατί η ισχύς των ηλεκτρονικών υπολογιστών σήμερα είναι ικανή να μελετήσει οποιοδήποτε πολύπλοκο δυναμικό. Οι πρώτοι υπολογισμοί της αυτοσυνεπούς εξίσωσης Hatee Fock για πυρήνες κλειστων φλοιών έγιναν στα μέσα του 60. Η μέθοδος αυτή έδειξε να είναι μια πολύ καλή μέθοδος υπολογισμού του μέσου πυρηνικού πεδίου, μιας και είναι σε θέση να περιγράψει όλες τις συμμετρίες που παρατηρούνται στα σωματίδια του πυρήνα. Παρ όλ αυτά όμως για να είναι μια θεωρία ή μέθοδος σωστή, θα πρέπει πέρα από την εξασφάλιση ορισμένων θεωρητικών απαιτήσεων, να αναπαράγει τα σωστά πειραματικά αποτελέσματα. Σε αυτό το σημείο όμως η μέθοδος Hatee-Fock, με τη μορφή που έχει στη σχέση 1.11 βρήκε σημαντικές δυσκολίες. Παρατηρήθηκε ότι είναι ικανή να υπολογίσει με πολύ καλή ακρίβεια την ακτίνα των πυρηνικών ατόμων ή την ενέργεια αυτών, αλλά ο υπολογισμός και των δυο ποσοτήτων μαζί οδηγούσε σε σημαντικά σφάλματα. Επίσης, το γεγονός ότι οι πυρήνες χαρακτηρίζονται από τεράστιες απωστικές δυνάμεις στις μικρές αποστάσεις (σκληρή καρδιά), δεν μπορούσε να εξηγηθεί από την εξίσωση Διάφορα δυναμικά χρησιμοποιήθηκαν κατα καιρούς, χωρίς όμως να υπάρχει καποία βελτίωση των παραπάνω σφαλμάτων. Και αυτό μέχρι την στιγμή που υιοθετήθηκε η ιδέα ότι η αλληλεπίδραση εξαρτάται από την πυκνότητα ρ. Η πυκνότηα ρ στην ουσία δεν εκφράζει τίποτε άλλο από την πιθανότητα ένα σωματίδιο να βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη θέση για μια ορισμένη χρονική στιγμή. Εκφράζεται δε από τη σχέση ορισμού: ρ = ψ ψ (1.13) Σε όλες τις διερευνήσεις που πραγματοποιήθηκαν, έγινε απόπειρα να παραχθεί αλληλεπίδραση η οποία να περιγράφει εκτός των άλλων και την περιορισμένη εμβέλεια (finite-ange) καθώς και την ανεξαρτησία από την ορμή (τοπικότητα). Οι υπολογισμοί παρήγαγαν ποιοτικά τις βασικές ιδιότητες των πυρήνων αλλά αποτύγχαναν στο ποσοτικό τομέα. Η υπέρβαση αυτού του εμποδίου ήρθε όταν εγκαταλείφθηκε η αντιστοιχία με την γυμνή αλληλεπίδραση νουκλεονίου νουκλεονίου και οι ενεργές αλληλεπιδράσεις εφαρμόστηκαν απ ευθείας στους παρατη-ρήσιμους πεπερασμένους i i

20 0 πυρήνες *. Οι αλληλεπιδράσεις Skyme και Gogny, καθώς και το σχετικιστικό μοντέλο μέσου πεδίου αποτέλεσαν τα καθιερωμένα μοντέλα της πυρηνικής θεωρίας μέσου πεδίου. Πριν αναφερθούμε, όμως, στις παραπάνω αλληλεπιδράσεις θα κάνουμε μια εισαγωγή σε μια πιο πρόσφατη και γενικότερη θεωρία η οποία βασίζεται στην εξάρτηση των παρατηρήσιμων μεγεθών από την πυκνότητα και η οποία εμπεριεχει τις αλληλεπιδράσεις Skyme και Gogny. * Ο όρος πεπερασμένοι δηλώνει την αντίθεση με την πυρηνική ύλη και τους βαρείς πυρήνες που την προσεγγίζουν

21 1. ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΣΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ.1 Θεωρία Thomas-Femi Είμαστε λοιπόν έτοιμοι να αναπτύξουμε την θεωρία συναρτησοειδών πυκνότητας, που είναι και το κύριο θέμα την εργασίας. Η θεμελίωση αυτής έγινε σε ατομικό επίπεδο, όπου δηλαδή τα αλληλεπιδρόντα σωματίδια είναι τα ηλεκτρόνια, και σε αυτό το επίπεδο θα κάνουμε την εισαγωγή μας στη θεωρία, πρίν περάσουμε στην εφαρμογή της στους πυρήνες. Η DFT είναι μια θεωρία, η οποία μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε την ολοκληρωμένη κυματοσυνάρτηση των Ν φερμιονίων και την αντίστοιχη εξίσωση Schoedinge με την πολύ πιο απλή πυκνότητα ηλεκτρονίων ρ(). Η ιστορία τέτοιων θεωριών είναι μεγάλη και μέχρι το 1964 αυτές χαρακτηριζόταν μόνο σαν μοντέλα. Ουσιαστικά όλα ξεκίνησαν με την εργασία των Thomas και Femi το 197. Αυτό που συνειδητοποίησαν τότε ήταν ότι για την μελέτη της συνεισφοράς των ηλεκτρονίων στα άτομα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η στατιστική θεώρηση αυτής. Οι υποθέσεις που έκανε ο Thomas ήταν ότι «τα ηλεκτρόνια διανέμονται ομοιόμορφα στον έξι-διάστατο χώρο των φάσεων για την κίνηση ενός ηλεκτρονίου» και ότι υπάρχει ένα ενεργό δυναμικό το οποίο «καθορίζεται από το πυρηνικό φορτίο και τη συνεισφορά των ηλεκτρονίων». Η μορφή που θα έχει η εξίσωση Thomas-Femi μπορεί να παραχθεί από αυτές τις υποθέσεις. Χωρίζουμε τον χώρο σε πολλούς μικρούς κύβους, καθένας από τους 3 οποίους έχει πλευρά l και όγκο V = l και περιέχει ορισμένο αριθμό από ηλεκτρόνια. Υποθέτουμε ότι κάθε ηλεκτρόνιο σε κάθε κύβο συμπεριφέρεται σαν ένα ανεξάρτητο φερμιόνιο στην θερμοκρασία του απολύτου μηδενός (Τ=0K). Το ενεργειακό επίπεδο ενός σωματιδίου σε τριδιάστατο φρέαρ απείρου βάθους δίνεται από τη σχέση h ε ( nx, ny, nz) = ( nx + ny + nz ) (.1) 8ml h = 8ml όπου nμ=1,,3,. Για μεγάλους κβαντικούς αριθμούς, δηλαδή για μεγάλο R, ο αριθμός των ενεργειακών σταθμών με ενέργεια μικρότερη της ε μπορεί να R

22 προσεγγιστεί με τον όγκο σφαίρας ακτίνας R στο χώρο ( x, y, z) αριθμός είναι πR π 8ml ε Φ ( ε) = = h 3/ n n n. Αυτός ο (.) Ο αριθμός των ενεργειακών σταθμών μεταξύ ε και ε+δε είναι επομένως ( ) =Φ ( + ) Φ ( ) g ε ε ε δε ε 3/ (( ) ) 3 π 8ml 1/ = ε δε O δε + (.3) 6 h όπου g(ε) είναι η πυκνότητα των καταστάσεων ενέργειας ε. Για να υπολογίσουμε τη συνολική ενέργεια ενός κύβου με ΔΝ ηλεκτρόνια, χρειαζόμαστε την πιθανότητα f(ε) ώστε μια κατάσταση ενέργειας ε να είναι κατειλημμένη. Αυτή προκύπτει από τη σχέση f 1 = 1 + e β ε µ (.4) ( ε ) ( ) που είναι η μαθηματική έκφραση της στατιστικής Femi-Diac. Έτσι μπορούμε να βρούμε της συνολική ενέργεια των ηλεκτρονίων στον κύβο, αθροίζοντας όλες τις συνεισφορές των διαφορετικών ενεργειακών καταστάσειων: 3/ m = 4 = 3/ ( ) ( ) Ε= ε f ε g ε dε 8π m 5 h ε F 3 3/ π l ε dε h l 0 ε 3 5/ F (.5) όπου εf είναι η ενέργεια Femi. Ο όρος χρησιμοποιείται για να δηλώσει ότι κάθε ενεργειακή στάθμη είναι διπλά κατειλημμένη, λόγο της ύπαρξης δυο σπιν (πάνω και κάτω).

23 3 Η ενέργεια Femi σχετίζεται και με τον αριθμό των ηλεκτρονίων ΔΝ του κύβου, μέσω της σχέσης: = ( ) ( ) N = f ε g ε dε 8π m 3 h 3/ Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι Ε= 3 5 Ν ε 3h 3 l ε 3 3/ F /3 5/3 3 Ν l 3 = 10m 8π l F (.6) (.7) Η τελευταία εξίσωση είναι μια σχέση μεταξύ της συνολικής κινητικής 3 ενέργειας και την πυκνότητας ηλεκτρονίων ρ = Ν / l = Ν/ V για κάθε κύβο στο χώρο. Προσθέτοντας τη συνεισφορά όλων των κύβων, βρίσκουμε τη συνολική κινητική ενέργεια 3 TTF ρ 3 π dρ 10 3 ( ) = ( ) ( ) /3 5/3 (.8) όπου το όριο ΔV 0, έχει παρθεί για να μας δώσει ολοκλήρωμα, αντί του απλού αθροίσματος. Αυτό είναι το γνωστό συναρτησοειδές της κινητικής ενέργειας, το οποίο οι Thomas και Femi επιχείρησαν να εφαρμόσουν στα ηλεκτρόνια των ατόμων. Αυτό που κατάφεραν με την παραπάνω προσέγγιση ήταν να εκφράσουν την κινητική ενέργεια σαν συνάρτηση της ηλεκτρονικής πυκνότητας ρ. Αν κανείς κάνει ένα βήμα παραπάνω και λάβει υπ όψην του τόσο την κλασσική ηλεκτροστατική ενέργεια της αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου πυρήνα (ενέργεια Coulomb) όσο και την άπωση μεταξύ των ηλεκτρονίων, παίρνει τη σχέση της ολικής ενέργειας για ένα άτομο σαν συνάρτηση μόνο της ηλεκτρονικής πυκνότητας ρ : 3 3 ρ( ) 1 ρ( ) ρ( ) ETF ρ( ) = ( 3π ) dρ( ) Z d + dd 10 /3 5/ Coulomb (.9)

24 4 Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε ότι για τη βασική κατάσταση ενός ατόμου, η ηλεκτρονική πυκνότητα ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές Ε[ρ] και επίσης υπακούει στον περιορισμό N N[ ρ( )] ρ( d ) (.10) = = όπου Ν είναι ο συνολικός αριθμός των ηλεκτρονίων στο άτομο. Μπορεί όμως κανείς να ενσωματώσει τον περιορισμό αυτό χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagange. Η πυκνότητα ηλεκτρονίων της βασικής κατάστασης, λοιπόν, πρέπει να ικανοποιεί την αρχή των μεταβολών { ETF[ ] TF ( d )} δ ρ µ ρ( ) = 0 (.11) Η εξίσωση Eule-Lagange που προκύπτει από την παραπάνω σχέση, είναι η δ E 5 TF ( ) 3 µ TF = = CFρ ϕ( ) (.1) δρ( ) 3 όπου μ ο πολλαπλασιαστής Lagange που λέγεται χημικό δυναμικό και φ() το ηλεκτροστατικό δυναμικό. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να λυθεί σε συνδιασμό με την.10 και η προκύπτουσα πυκνότητα ηλεκτρονίων να μας δώσει τη συνολική ενέργεια. Αυτό, στην ουσία, είναι και το μοντέλο Thomas-Femi. Για να βελτιωθεί ακόμη περισσότερο το παραπάνω μοντέλο, στο συνολικό συναρτησοειδές της ενέργειας προστέθηκε και ο όρος της κινητικής ενέργειας που προέρχεται από τον γνωστό τύπο του Weizsacke, με έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα. Για την ακρίβεια στο νέο Ε[ρ] συναντάμε τον επι πλέον όρο 1 ρ( ) λ d 8 (.13) ρ( ) Η παράμετρος λ είναι ίση με 1/9, αλλά έχουν χρησιμοποιηθεί και άλλες εμπειρικές τιμές, όπως 1/5, 0,186 αλλά και 1/6. Το χημικό δυναμικό τότε παίρνει τη μορφή 5 3 λ ρ ) ρ( ) µ TF = CFρ( ) + ( ϕ( ) (.14) 3 8 ρ ( ) ρ( ) Η λύση της παραπάνω εξίσωσης δίνει για την πυκνότητα ηλεκτρονίων 1 Ø 8m ø ~ exp - - Ł ł l Œº œß (.15)

25 5 το οποίο μπορεί να παρασταθεί συναρτήσει της απόστασης ώς εξής: Η μαύρη γραμμή εκφράζει την πυκνότητα, όπως αυτή βρέθηκε με τη μέθοδο Hatee-Fock, ενώ οι διακεκομμένες είναι οι αντίστοιχες της μεθόδου Thomas- Femi και για διάφορα λ. Η μορφή λοιπόν αυτής της εξίσωσης θα είναι η.9 ή με μια πιο συμπτιγμένη μορφή E ρ T ρ E ρ E ρ TF ( ) = ( ) + ( ) + ( ) C ext (.16) όπου ο πρώτος όρος είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των ηλεκτρονίων, ο δεύτερος εκφράζει την μεταξύ τους αλληλεπίδραση Coulomb και ο τρίτος αναφέρεται στο εξωτερικό δυναμικό λόγω πυρήνα. Με λίγα λόγια, αυτό που κατάφεραν με την παραπάνω προσέγγιση ήταν να εκφράσουν την ολική ενέργεια σαν συνάρτηση της ηλεκτρονικής πυκνότητας ρ. Αμέτρητες τροποποιήσεις και βελτιώσεις της παραπάνω θεωρίας έγιναν τα χρόνια που πέρασαν. Δυστυχώς, η πρωταρχική μέθοδος παύει να λειτουργεί όταν κάποιος μεταβαίνει στην περίπτωση των μορίων και των πυρήνων. Αυτό, και σε συνδυασμό με το ότι η ακρίβεια στα άτομα δεν ήταν μεγάλη, συγκριτικά με άλλες μεθόδους, έκανε τη μέθοδο Thomas-Femi να

26 6 θεωρείται μια υπεραπλοποιημένη θεωρία χωρίς πραγματική σημασία στις ποσοτικές προβλέψεις. Παρ όλ αυτά, η κατάσταση άλλαξε με τη δημοσίευση-ορόσημο από τους Hohenbeg και Kohn το Αυτοί εξασφάλισαν ένα θεμελιώδη θεώρημα, δείχνοντας ότι για τη βασική κατάσταση, το μοντέλο Thomas-Femi μπορεί να θεωρηθεί σαν η προσέγγιση μιας γενικότερης θεωρίας, της Θεωρίας Συναρτησοειδών Πυκνότητας.. Θεωρήματα Ηohenbeg - Kohn Το αρχικό σημείο της θεωρίας είναι τα δύο θεωρήματα των Ηohenbeg και Kohn, τα οποία έδωσαν το θεωρητικό υπόβαθρο για την υλοποίησή της. Το πρώτο θεώρημα των Ηohenbeg και Kohn αποδεικνύει ότι η πυκνότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν η βασική συνάρτηση η οποία καθορίζει με μοναδικό τρόπο το σύστημα αντί ενός εξωτερικού δυναμικού *. Μπορεί δε να οριστεί ως εξής: «Κάθε παρατηρήσιμη ποσότητα ενός στατικού κβαντομηχανικού συστήματος καθορίζεται από την πυκνότητα της βασικής κατάστασης μοναδικά». Το θεώρημα αυτό στην ουσία μας λέει ότι γνωρίζοντας την πυκνότητα βασικής κατάστασης n0() είναι δυνατόν να υπολογίσουμε την αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση Ψ 0( 1,,... N ). Αυτό σημαίνει ότι το Ψ0, και συνεπώς όλες οι παρατηρούμενες ποσότητες, είναι συναρτησοειδή της n0(). Αν το Ψ0 μπορεί να υπολογιστεί από το n0() και αντιστρόφως τότε οι δύο συναρτήσεις είναι ισάξιες και περιέχουν ακριβώς τις ίδιες πληροφορίες. Ψ =Ψ (,,... ) [ n ] k 1 N k 0 Με μια πρώτη ματιά αυτό φαίνεται αδύνατο. Πώς μπορεί μια συνάρτηση μιας μεταβλητής να είναι ισάξια με μια συνάρτηση που περιέχει Ν μεταβλητές; Πως μπορεί μια αυθαίρετη μεταβλητή να περιέχει τις ίδιες πληροφορίες όπως Ν τέτοιες μεταβλητές; * Είναι αποδεδειγμένο ότι το εξωτερικό πεδίο κατ αρχήν καθορίζει όλες τις ιδιότητες του συστήματος. Αυτή είναι η φυσική διαδικασία για τα κβαντομηχανικά προβλήματα, λύνοντας στη συνέχεια την εξίσωση Schoedinge για τις ιδιοκαταστάσεις του συστήματος.

27 7 Το σημαντικό σημείο που κάνει κάτι τέτοιο δυνατό είναι το γεγονός ότι η γνώση της n0() συνεπάγεται γνώση αναμφίβολα πολλή περισσότερη από μια οποιαδήποτε άλλη πυκνότητα n(). Κι αυτό γιατί η n0() αναπαριστά τη (χωρική) συνεισφορά της πιθανότητας για τη λύση μιας εξίσωσης Schoedinge Ν σωμάτων. Ασφαλώς δεν είναι ακόμη προφανές πώς η συνθήκη αυτή είναι αρκετή για να καθορίσει το Ψ0( 1,,... N ) μοναδικά από το n0(), αλλά είναι εμφανές το ότι η πυκνότητα n0() δεν είναι μια απλά συγκεκριμένη τιμή της πυκνότητας, μα μια ξεχωριστή ποσότητα. Το να αποδείξουμε μαθηματικά το παραπάνω θεώρημα δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο. Προκαλεί μάλιστα έκπληξη γιατί χρειάστηκαν 38 χρόνια από το πρώτο άρθρο του Schoedinge για την κβαντική μηχανική έως το άρθρο των Hohenbeg και Kohn. Ας θεωρήσουμε λοιπόν την ύπαρξη δύο δυναμικών τα οποία διαφέρουν περισσότερο από μια σταθερά και στα οποία αποδίδεται η ίδια πυκνότητα ρ. Οι εξισώσεις ιδιοτιμών θα είναι ( ee ) ( ee ) T + V + V Y = E Y T + V + V ' Y ' = E' Y' gs gs (.17) Οι κυματοσυναρτήσεις βασικής κατάστασης Ψ και Ψ ' είναι προφανώς διαφορετικές λόγω της διαφορετικότητας των παραπάνω δυναμικών. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα των μεταβολών μπορεί να αποδείξει κανείς ότι αν ' ρ ρ'. Για την ακρίβεια, είναι: Ψ Ψ θα ισχύει ταυτόχρονα και ( ) ( ) H = T + V ee + V οπότε προκύπτουν οι ανισώσεις: H' = T + V ee + V ' wste : H = H' + V-V ' E gs = Y H Y < Y' H Y ' =Y ' H' + V-V ' Y ' ( ) ( ) ( ) (.18) =Ε ' gs + ρ' υ υ' d και ομοίως E ' ' ' ' gs = Y H Y < Y H' Y = Y H + V '-V Y ( ) '( ) ( ) =Ε gs + ρ υ υ d

28 8 Αν σε αυτό το σημείο θεωρήσουμε ότι οι διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις ρ = ρ' ) τότε οι παραπάνω σχέσεις οδηγούν δίνουν ίδιες πυκνότητες ( ( ) ( ) στην παρακάτω αντίφαση Ε +Ε ' <Ε +Ε ' (.19) gs gs gs gs Συνεπώς έχουμε μια προς μια αντιστοιχία του δυναμικού με την κυματοσυνάρτηση καθώς και της τελευταίας με την πυκνότητα V«Y«και σαν συνέπεια αυτού κάθε παρατηρήσιμη ποσότητα R του συστήματος είναι μοναδικό συναρτησοειδές της πυκνότητας [ ] R [ ] R [ ] (.0) Y Y = Το δεύτερο θεώρημα των Ηohenbeg και Kohn μπορεί να διατυπωθεί ως εξής : «Η ακριβής τιμή της πυκνότητας στη βασική κατάσταση ενός συστήματος που βρίσκεται σε ένα εξωτερικό πεδίο μπορεί να βρεθεί ελαχιστοποιώντας το συναρτησοειδές πυκνότητας». Σε συνδιασμό και με το πρώτο θεώρημα, αυτή η πρόταση μας λέει ότι για το συναρτησοειδές της ενέργειας ενός συστήματος μέσα σε ένα γνωστό εξωτερικό δυναμικό υ0 Eu T V $ ee u o [ ] = Y [ ] + + o Y[ ] η ακριβής πυκνότητα της βασικής κατάστασης μπορεί να βρεθεί με ρ,δηλαδή: E υ ελαχιστοποίηση της [ ] o Eo [ ρ], (.1) = min. (.) ρ E υ o Βασικό «συστατικό» αυτού του θεωρήματος είναι το συναρτησοειδές F ρ, το οποίο ορίζεται ώς ακολούθως. Αν ρ() είναι η πυκνότητα της HF [ ] βασικής κατάστασης συσχετιζόμενη με κάποιο εξωτερικό δυναμικό, τότε HF [ ] [ ] ee [ ] F = T + V = Y T + V Y (.3) Το συναρτησοειδές αυτό δεν περιλαμβάνει το εξωτερικό πεδίο και είναι παγκόσμιο (univesal), με την έννοια ότι παραμένει το ίδιο για όλα τα προβλήματα ηλεκτρονικής δομής.

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15 Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Πυρηνικές Δυνάμεις Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Η Ύλη στο βιβλίο: Cottingham & Greenwood 2 Κεφάλαιο 5: Ιδιότητες των Πυρήνων 5.5: Μαγνητική Διπολική Ροπή του Πυρήνα 5.7: Ηλεκτρική Τετραπολική του Πυρήνα 5.1:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Hideki Yukawa and the Nuclear Force Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής πυρηνική δύναμη Η πυρηνική δύναμη (ή αλληλεπίδραση νουκλεονίουνουκλεονίου, ή NN forces,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική Η κανονική κατανομή στη κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική φυσική Βίγκα Ελένη (ttp://users.aut.gr/vinga) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια o o Μια πολύ απλή περίπτωση για να ξεκινήσουμε είναι: Na θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί 1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί Ο Lewis πρότεινε το μοντέλο του κοινού ηλεκτρονιακού ζεύγους των δεσμών το 1916, σχεδόνμιαδεκαετίαπριναπότηθεωρίατουde Broglie τηςδυαδικότηταςκύματος-σωματιδίου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04 Χρήσιμες ερωτήσεις Ηλεκτρομαγνητισμού, Πυρηνικής Φυσικής και Σχετικότητας για τους υποψήφιους Φυσικούς του επικείμενου διαγωνισμού του Ασέπ από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστηρία ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ.

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Με διεθνή σύμβαση το 1961, καθιερώθηκε ότι 1 amu (atomic mass unit) είναι το 1/12 της μάζας του ουδέτερου ατόμου του άνθρακα 12 C, επομένως:

Με διεθνή σύμβαση το 1961, καθιερώθηκε ότι 1 amu (atomic mass unit) είναι το 1/12 της μάζας του ουδέτερου ατόμου του άνθρακα 12 C, επομένως: ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΤΟΜΙΚΟΣ ΠΥΡΗΝΑΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ο πυρήνας του ατόμου αποτελείται από πρωτόνια και νετρόνια, τα νουκλεόνια που είναι φερμιόνια με σπιν ½, όπως και τα λεπτόνια. Η μάζα του νετρονίου είναι 0.14% μεγαλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση:

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση: ΑΠΑΝΤΗΣΕΕΙΙΣ ΣΤΟ ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΒΒ ΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ 1133 33 001111 ΘΕΜΑ 1 ο 1. β. γ 3. α 4. β 5. α ΘΕΜΑ ο 1. α. Σωστό Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th Intrnational Physis Olympiad, Mrida, Mxio, 1-19 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. 3 ΓΙΑΤΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ ΕΧΟΥΝ ΜΕΓΑΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ? Τα αστέρια είναι σφαίρες από ζεστό αέριο. Τα περισσότερα από αυτά λάμπουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚ.ΕΤΟΥΣ 2015-2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚ.ΕΤΟΥΣ 2015-2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚ.ΕΤΟΥΣ 2015-2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1ο Τυπική καμπύλη δόσης επιβίωσης για καρκινικά και υγιή κύτταρα μετά από ακτινοβόληση:

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ Θεωρητικη αναλυση μεταλλα Έχουν κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται πως είναι αλληλένδετες μεταξύ τους: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική και θερμική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th International Physics Olympiad, erida, exico, -9 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ-ΣΕΛΗΝΗΣ Οι επιστήμονες μπορούν να προσδιορίσουν την απόσταση Γης-Σελήνης, με μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1η ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1η ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ 2012 - \ ΕΝΟΤΗΤΑ 1η ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 «Ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις - Ηλεκτρικό φορτίο» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο «Απλά ηλεκτρικά κυκλώματα» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο «Ηλεκτρική ενέργεια» ΒΡΕΝΤΖΟΥ ΤΙΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακά Τροχιακά ιατοµικών Μορίων

Μοριακά Τροχιακά ιατοµικών Μορίων Μοριακά Τροχιακά ιατοµικών Μορίων Για την περιγραφή της ηλεκτρονικής δοµής των µορίων θα χρησιµοποιήσουµε µοριακά τροχιακά που θα είναι γραµµικοί συνδυασµοί ατοµικών τροχιακών. Τα µοριακά τροχιακά θα αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Η ασφάλεια στον LHC Ο Μεγάλος Επιταχυντής Συγκρουόµενων εσµών Αδρονίων (Large Hadron Collider, LHC) είναι ικανός να επιτύχει ενέργειες που κανένας άλλος επιταχυντής έως σήµερα δεν έχει προσεγγίσει. Ωστόσο,

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια Κ. Ν. Παπανικόλας, Ε. Στυλιάρης, Πανεπιστήμιο Αθηνών Εαρινό Εξάμηνο 2010-2011 Περιεχόμενα Ενέργεια κατά την α-διάσπαση Θεωρία της α-διάσπασης Χρόνοι

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Στόχος : Να εξηγήσουμε την επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου στις Ε- Ειδικώτερα: Το δυναμικό του κρυστάλλου 1. εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A Ένα ισότοπο, το οποίο συµβολίζουµε µε Z X, έχει ατοµικό αριθµό Ζ και µαζικό αριθµό Α. Ο πυρήνας του ισοτόπου

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου 1. Ερώτηση: Τι είναι η κβαντομηχανική; H κβαντομηχανική, είναι η σύγχρονη αντίληψη μιας νέας μηχανικής που μπορεί να εφαρμοστεί στο μικρόκοσμο του ατόμου. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακά φάσματα και δομή σύνθετων συστημάτων

Ενεργειακά φάσματα και δομή σύνθετων συστημάτων Κεφάλαιο 14 Ενεργειακά φάσματα και δομή σύνθετων συστημάτων 14.1 Το υπό επίλυση πρόβλημα Ένα από τα σημαντικότερα κίνητρα για την ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας ήταν η ανάγκη κατανόησης της δομής των ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός. TINA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 «Ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις -Ηλεκτρικό φορτίο» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο «Απλά ηλεκτρικά κυκλώματα» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο «Ηλεκτρική ενέργεια»

Ηλεκτρισμός. TINA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 «Ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις -Ηλεκτρικό φορτίο» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο «Απλά ηλεκτρικά κυκλώματα» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο «Ηλεκτρική ενέργεια» Ηλεκτρισμός TINA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 «Ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις -Ηλεκτρικό φορτίο» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο «Απλά ηλεκτρικά κυκλώματα» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο «Ηλεκτρική ενέργεια» 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ - ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός: Το φορτίο στο εσωτερικό του ατόμου

Ηλεκτρισμός: Το φορτίο στο εσωτερικό του ατόμου Ηλεκτρισμός: Το φορτίο στο εσωτερικό του ατόμου TINA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 «Ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις -Ηλεκτρικό φορτίο» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο «Απλά ηλεκτρικά κυκλώματα» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο «Ηλεκτρική ενέργεια» 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΘΕΜΑ A ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 0 Μαΐου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ Στις ερωτήσεις Α -Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβολή ορισμένων περιοδικών ιδιοτήτων

Μεταβολή ορισμένων περιοδικών ιδιοτήτων Μεταβολή ορισμένων περιοδικών ιδιοτήτων 1. Ερώτηση: Ποια θεωρούνται θεμελιώδη χαρακτηριστικά του ατόμου και γιατί; Θεμελιώδη χαρακτηριστικά του ατόμου είναι: η ατομική ακτίνα, η ενέργεια ιοντισμού και

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

4πε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ. Πηγάδι δυναμικού του πυρήνα-πρότυπο Φλοιών

4πε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ. Πηγάδι δυναμικού του πυρήνα-πρότυπο Φλοιών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ Πηγάδι δυναμικού του πυρήνα-πρότυπο Φλοιών Οι προβλέψεις των μαζών των πυρήνων από τον ημι-εμπειρικό τύπο μάζας της ενέργειας σύνδεσης αποκλίνουν από τις πειραματικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΠΥΡΗΝΙΚΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΥΡΗΝΙΚΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα επαναλαμβανόμενο περιοδικά φαινόμενο, έχει μία συχνότητα επανάληψης μέσα στο χρόνο και μία περίοδο. Επειδή κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Μοντέλο ατόμου m p m n =1,7x10-27 Kg m e =9,1x10-31 Kg Πυρήνας: πρωτόνια (p + ) και νετρόνια (n) Γύρω από τον πυρήνα νέφος ηλεκτρονίων (e -

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Φώτης Νταής Καθηγητής Πανεπιστηµίου Κρήτης, Τµήµα Χηµείας Φασµατοσκοπία NMR Ο Πυρηνικός µαγνητικός Συντονισµός (NMR) είναι ένα φαινόµενο που συµβαίνει όταν πυρήνες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ Γραφείο 211 Επίκουρος Καθηγητής: Δ. Τσιπλακίδης Τηλ.: 2310 997766 e mail: dtsiplak@chem.auth.gr url:

Διαβάστε περισσότερα