«ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ»"

Transcript

1 1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ «ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ» ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΔΑΟΥΤΙΔΗ ΙΩΑΝΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΛΑΛΑΖΗΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 003

2

3 3...στον παππού μου

4 4

5 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΔΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΔΟΜΗΣ ΤΩΝ ΠΥΡΗΝΩΝ Γιάννης Δαουτίδης Περίληψη Στην πτυχιακή αυτή εργασία μελετούμε θεωρητικά τις πυρηνικές δυνάμεις, όπου η εξάρτηση από την πυκνότητα στις ιδιότητες αυτών παίζει καθοριστικό ρόλο για την αναπαραγωγή των πειραματικών δεδομένων. Μετά την ανάπτυξη της Θεωρίας Συναρτη-σοειδών Πυκνότητας στα άτομα, ως αρχική μορφή της παραπάνω ιδέας, γίνεται επέκταση στους πυρήνες, όπου και εφαρμόζεται με επιτυχία. Οι μησχετικιστικές ενεργές (effective) δυνάμεις Skyme και Gogny, αλλά και η Σχετικιστική Θεωρία Μέσου Πεδίου,ως εξαρτόμενα από την πυκνότητα μοντέλα, θα αποτελούν το βασικό υπόβαθρο για ποιοτικές, αλλά και ποσοτικές συζητήσεις. Abstact The dissetation in hand is a study of nuclea popeties fom a theoetical ansatz, whee the density dependence plays an vital ole fo the identification with the expeimental data. Afte the development of Density Functional Theoy in atoms, as initial aspect, an extension to the nuclea aea is successfully applied. Nonelativistic inteactions, such as Skyme, and Relativistic Mean Field Theoy, both as density dependent models, will be the main backgound fo qualitative and quantitative discussions.

6 6

7 7 Περιεχόμενα Εισαγωγή Μέθοδος Hatee-Fock Θεωρία Συναρτησοειδών Πυκνότητας.1 Μοντέλο Thomas-Femi...1. Θεωρήματα Kohenbeg-Kohn Εξισώσεις Kohn-Sham Local Density Appoximation Η θεωρία Kohn-Sham στους πυρήνες Μικροσκοπικές Θεωρίες Μέσου Πεδίου 3.1 Αλληλεπίδραση Skyme Αλληλεπίδραση Gogny Σχετικιστική Θεωρία Μέσου Πεδίου Εισαγωγή Γενικά Στοιχεία της θεωρίας Μαθηματικός φορμαλισμός Σχετικιστικές εξισώσεις μέσου πεδίου Αναπαραγωγή του σχετικιστικού όρου σπιν-τροχιάς Παράμετροι συναρτησοειδών μέσου πεδίου και σχολιασμός αποτελεσμάτων...59 Βιβλιογραφία...67

8 8

9 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρηση ότι ο πυρήνας του ατόμου αποτελείται απο πρωτόνια και νετρόνια (με μια λέξη νουκλεόνια) προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Heisenbeg στη δεκαετία του 30. Οι δυνάμεις που συγκρατούν τα σωματίδια αυτά στον πυρήνα δε μπόρεσαν να αποδωθούν στις ήδη γνωστές (ηλεκτρομαγνητισμός και βαρύτητα) και θα ονομαστούν «ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις». Η αιτία της ονομασίας είναι προφανής αφού η απαίτηση να έχουμε δέσμια κατάσταση οδηγεί σε ελκτικές δυνάμεις πολύ πιο ισχυρές από την άπωση των πρωτονίων λόγω ηλεκτρομαγνητισμού. Στη συμβατική εικόνα της πυρηνικής θεωρίας στις χαμηλές ενέργειες, ο πυρήνας θεωρείται σαν ένα κβαντομηχανικό σύστημα πολλών σωμάτων (φερμιόνια) τα οποία αλληλεπιδρούν με μη-σχετικιστικές δυνάμεις δυο σωμάτων. Η αλληλεπίδραση αυτή βασίζεται στην ανταλλαγή μεσονίων μεταξύ των γυμνών νουκλεονίων * Ξεκινώντας από ένα πιο θεμελιώδες επίπεδο, μπορεί κανείς να εισάγει μια σχετικιστική λαγκρατζιανή που περιγράφει σημειακά νουκλεόνια να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με ανταλλαγή μεσονίων. Η απλοποίηση σε μησχετικιστικό πεδίο μπορεί να προκύψει με την παράλειψη των μεσονικών βαθμών ελευθερίας. Οι παράμετροι της λαγκρατζιανής προκύπτουν από τα πειραματικά δεδομένα που προέρχονται από τις σκεδάσεις των γυμνών νουκλεονίων. Θα * Γυμνά νουκλεόνια (bae nucleons) ονομάζονται τα πρωτόνια και τα νετρόνια που είναι ελεύθερα και δε βρίσκονται σε πυρήνα. Τα δεδομένα αλληλεπίδρασής τους προκύπτουν από πειράματα σκέδασης.

10 10 πρέπει εδώ να αναφερθεί ότι η αλληλεπίδραση αυτή είναι ισχυρά απωστική σε μικρές αποστάσεις (<1fm) και για το λόγο αυτό δε μπορεί να περιγραφεί ούτε με τη θεωρία διαταραχών αλλά ούτε με την προσέγγιση ενός μέσου πεδίου. Μπορεί όμως κανείς να εισάγει μια ενεργό αλληλεπίδραση (π.χ. G- matix), η οποία μπορεί μεν να μην είναι η πραγματική αλλά είναι μια αρκετά καλή προσέγγιση για να μας δώσει τα επιθυμητά αποτελέσματα. Μια υπόθεση παρ ολ αυτά είναι σημαντική για το παραπάνω μοντέλο: τα νουκλεόνια θεωρούνται σημειακά σωματιδια. Αυτό με μια πρώτη ματιά φαίνεται παράλογο, από τη στιγμή που γνωρίζουμε ότι τα πραγματικά νουκλεόνια είναι σύνθετα αντικείμενα αποτελούμενα από τα κουαρκς,και τα γλουόνια. Αλλά καθώς δεν είναι ακόμη ξεκάθαρο σε πιο βαθμό τα κουαρκς, σαν βαθμοί ελευθερίας, είναι σημαντικά για μια πλήρη κατανόηση του πυρηνικού προβλήματος πολλών σωμάτων αλλά ούτε είναι δυνατή η χρησιμοποίηση τους σε μια μικροσκοπική περιγραφή του παραπάνω προβλήματος, είναι θεμιτό και δικαιολογημένο ναν ξεκινήσουμε με μια φαινομενολογική λαγκρατζιανή η οποία να περιέχει μεσόνια και η οποία είναι ικανή να παράγει τα σημαντικά πειραματικά δεδομένα με έναν ικανοποιητικό τρόπο. Οι παράμετροι της λαγκρατζιανής, δηλαδή οι μάζες των μεσονίων και οι σταθερές σύζευξης, θα είναι επίσης φαινομενολογικές ποσότητες. Απομένει βέβαια μελλοντικός στόχος η παραγωγή αυτών των ποσοτήτων από μια πιο μικροσκοπική θεωρία. Δεν είναι όμως ούτε καν ξεκάθαρο το αν αυτή η θεωρία θα είναι μια θεωρία επίσης νουκλεονίων-μεσονίων, ή κάποιο μοντέλο όμοιο με την κβαντική χρωμοδυναμική (QCD), δηλαδη μοντέλο κουαρκς-γλουονίων. Αφού συζητήσαμε τους λόγους για την χρήση των νουκλεονίων ως βαθμών ελευθερίας, μένει να αναζητήσουμε ένα μοντέλο που να περιγράφει το πρόβλημα των πολλών σωμάτων σε χαμηλές ενέργειες και σε μη σχετικιστικό επίπεδο. Βέβαια, ακόμα κι αν δούμε την πυρηνική αλληλεπίδραση από αυτήν τη σκοπιά, δηλαδή ως δράση μεταξύ νουκλεονίων, οι λεπτομέρειες αυτής δεν είναι πλήρως γνωστές. Για το λόγο αυτό εφαρμόζουμε έναν τρόπο μελέτης των πυρηνικών δυνάμεων ο οποίος θα μπορούσε να ονομαστεί «φαινομενολογικός». Σ αυτόν υπολογίζουμε αρχικά τους διαφόρους τρόπους κίνησης των πυρήνων από τις κανονικότητες που παρατηρούμε στις ιδιότητες τους και προσδιορίζουμε τους βαθμούς ελευθερίας που τους συνοδεύουν. Έπειτα, κατασκευάζουμε πυρηνικά μοντέλα που έχουν κινητική ενέργεια και ενέργεια αλληλεπίδρασης εξαρτώμενες από αυτούς τους βαθμούς ελευθερίας. Κάθε τέτοιο πρότυπο εξαρτάται επίσης από παραμέτρους, οι τιμές των οποίων καθορίζονται από τα πειραματικά δεδομένα. Τέτοια πρότυπα είναι το πρότυπο υγρής σταγόνας, το πρότυπο κατά φλοιούς, το πρότυπο αερίου Femi κ.α.

11 11 Το πιο ικανοποιητικό μοντέλο είναι το μοντέλο κατά φλοιούς (Shell model). Σύμφωνα με αυτό θεωρούμε ότι τα νουκλεόνια μέσα στον πυρήνα είναι κατανεμημένα σε φλοιούς, όπως ακριβώς τα πλανητικά ηλεκτρόνια ενός ατόμου *. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τη βασική ιδέα που βρίσκεται πίσω από αυτό το πρότυπο. Αν ξεκινήσουμε από ένα πρόβλημα Α αλληλεπιδρόντων νουκλεονίων μέσω ενός δυναμικού δυο σωμάτων V i,j η μη σχετικιστική χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί H = A A 1 ( 1.1 ) t i + V i i= 1 i, j= 1 όπου ti η κινητική ενέργεια των νουκλεονίων. Υπάρχουν πολλές πειραματικές ενδείξεις για την ύπαρξη μιας μέσης, ανεξάρτητης μονοσωματιδιακής κίνησης των νουκλεονίων, κάτι όμως το οποίο δεν είναι άμεσα προφανές από τη μορφή της παραπάνω χαμιλτονιανης. Μπορεί όμως να φανεί αν κάνουμε ένα διαχωρισμό της Η σε Α μονοσωματιδιακές χαμιλτονιανές, περιγραφόμενες από ένα μονοσωματιδιακό δυναμικό Ui (single paticle potential), και από μια απομείνουσα αλληλεπίδραση (esidual inteaction), ώστε H H o + H es, j =, ( 1.) A όπου H0 = ( ti+ Ui) h0() i i= 1 και H = 1 es Vi, j A A i= 1 i= 1 Η πρόταση αυτή προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι τα νουκλεόνια υπακούουν στην απαγορευτική αρχή του Pauli με αποτέλεσμα να εμποδίζεται η σκέδαση μεταξύ δυο νουκλεονίων σε κατειλημένη θέση. Η δε χρησιμότητά της είναι προφανής: λόγο του ότι το δυναμικό V εξαρτάται, εκτός από τις χωρικές συντεταγμένες, και από άλλους βαθμούς ελευθερίας (spin, i-spin,..) συμπεραίνει κανείς πως για τον πλήρη καθορισμό του χρειάζεται τόσους συνδιασμούς καταστάσεων που θα αδυνατούσε να τους καθορίσει ακόμα και ο πιο υπερσύγχρονος υπολογιστής. Αν κατορθώσουμε να προσδιορίσουμε λοιπόν ένα δυναμικό Ui τέτοιο ώστε να ισχύει η σχέση H es << H 0 τότε οι κυριότερες ιδιότητες του πυρήνα A i= 1 U i * Από το παραπάνω προκύπτει μια ικανοποιητική εξήγηση μιας ιδιότητας των πυρηνιοκών δυνάμεων, του κορεσμού.

12 1 μπορούν να αποδοθούν μέσω της χαμιλτονιανής Η0 ενώ η υπολλειματική αλληλεπίδραση στη συνέχεια να μελετηθεί ως διαταραχή του ανεξάρτητου συστήματος των Α νουκλεονίων. Όσο πιο μικρή είναι αυτη τόσο πιο ρεαλιστική είναι η υπόθεση ενός μέσου ανεξάρτητου πεδίου. Έτσι σαν μια καλή αρχή για την προσεγγιστική περιγραφή ενός πυρήνα μπορούμε να αγνοήσουμε την υπολλειματική αλληλεπίδραση και να προσπαθήσουμε για ένα όσο το δυνατόν καλύτερο προσδιορισμό του μέσου δυναμικού Ui. Όπως θα δούμε πράγματι, η προσέγγιση του μονοσωματιδιακού δυναμικού δίνει πολύ καλά αποτελέσματα. Ο καθορισμός του δυναμικού Ui ξεκινώντας από ένα γνωστό Vi,j μπορεί να επιτευχθεί με μια σύγχρονη μέθοδο, τη μέθοδο Hatee-Fock. Αυτή, όπως θα δούμε παρακάτω αναλυτικά, ορίζει το πεδίο αυτοσυνεπώς, βασιζόμενη στις κινήσεις των νουκλεονίων και στις ανά δύο μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις.

13 13 1 ΜΕΘΟΔΟΣ HARTREE - FOCK Ας θεωρησουμε ένα σύστημα δυο νουκλεονίων. Σύμφωνα με την αρχή του Pauli, τα δύο νουκλεόνια δεν μπορούν να βρίσκονται στην ίδια κατάσταση, με άλλα λόγια οι κυματοσυναρτήσεις τους πρέπει να είναι αντισυμμετρικές, ήτοι 1 Ψ 1,( 1, ) = [ ψ1( 1) ψ( ) ψ( 1) ψ1( )] ( 1.3) Ψ, δηλαδή την αρχή του Pauli. Πράγματι, αυτή η σχέση δίνει ( ) 0 1,1 1, = Για ένα σύνολο Ν φερμιονίων η αντισυμμετρικότητα περιγράφεται με την εισαγωγή στο μαθηματικό μας φορμαλισμό του τελεστού εναλλαγής Pij. Ο τελεστής εναλλαγής ορίζεται ως ο τελεστής εκείνος που όταν δρα στην κατάσταση ενός συστήματος εναλλάσει τις θέσεις και τα σπιν δύο σωματιδίων i και j. Δηλαδή P ij q (1) a q () ( i) ( j) ( N ) β... qµ... qλ... qn = q (1) a q () ( j) ( i) ( N ) β... qµ... qλ... qn ( 1.4) Έτσι η συνολική κυματοσυνάρτηση για τα Ν φερμιόνια θα είναι κατά αντιστοιχία N P Ψ ( 1,,..., N) = Σ( 1) P Πψi( i) ( 1.5) όπου Ρ είναι ο τελεστής ανταλλαγής του συνόλου των Ν σωματιδίων, ο (-1) P δίνει την πάριτυ της εναλλαγής και N ψ ( ) = ψ ( ) ψ ( )... ψ ( ) Π i = 1 i i 1 το γινόμενο των επι μέρους κυματοσυναρτήσεων. Προφανώς για N= αναγώμαστε στη σχέση (1.3). 1 P i= 1 N N Αν θεωρήσουμε δε ότι τα ψi είναι ορθοκανονικοποιημένα, που σημαίνει ότι ψ ψ d = δ i j ij τότε η σταθερά κανονικοποίησης για το ολοκλήρωμα της Ψ θα είναι:

14 14 Ψ * Ψd 1d... d N () 1= N! P [( 1) ] ψ ( )... N( ) = d1... dn 1 1 ψ = P P N Τελικά προκύπτει η μορφή Ψ (... ) 1 N = ψ 1 1 ψ N!... ψ N ( 1 )... ψ1( N) ( )... ψ ( ) ( )... ψ ( ) 1 N N N ( 1.6) Η ορίζουσα αυτή είναι γνωστή σαν ορίζουσα Slate (Slate deteminant). Ο λόγος που θα χρησιμοποιήσουμε την ορίζουσα αντί του απλού γινομένου κυματοσυναρτήσεων βρίσκεται στο γεγονός ότι αυτή στη μορφή της συμπεριλαμβάνει την αντισυμμετρικότητα και την ορθογωνιότητα της Ψ καθώς και την απαγορευτική αρχή του Pauli. Πράγματι, για 1= ή ακόμα και για ψ1=ψ η ορίζουσα Slate μηδενίζεται. Αφού κατασκευάσαμε την ολική κυματοσυναρτηση των Ν νουκλεονίων επιχειρούμε να καθορίσουμε την ενέργεια Ε. Μπορούμε να γράψουμε E ( 1.1) i = Ψ H Ψ E = Ψ Ψ + Ψ Το πρώτο μέλος μπορεί να γραφεί pi Ψ Ψ = m i i P m 1 N ψ1 1 ψ N N ψ1 1 ψ N N i m i, j V i, j Ψ ( 1.7 ) pi... d... d A *( )... *( ) A ( )... ( ) = i pi pi d1ψi* ( i) ψi( i) = Ψ Ψ i m m

15 15 ενώ για το δεύτερο ισχύει Ψ Vij, Ψ=... d1... dna ψ1* ( 1 )... ψn* ( N) Vij, ψ1( 1)... ψn( N) ij, i< j u u = dd i jψi* ( i) ψj* ( j) Vij, ψi( i) ψj( j) ψi( j) ψj( i). i< j Εξαιτίας του γεγονότος ότι η ορίζουσα Slate έχει αντισυμμετρικό χαρακτήρα, κάτι που πρέπει να φανεί και στις παραπάνω σχέσεις, στην u u u u τελευταία εξίσωση χρησιμοποιήσαμε την ποσότητα ψi( i) ψ j( j) ψi( j) ψ j( i) u u ψ ψ. Έτσι η τελική μορφή της ενέργειας έχει αντί του απλού γινομένου i( i) j( j) ως εξής u p u u i E = Ψ H Ψ = ψi* ( i) ψi( d i) i + m i< j i u u u u u u u u ( 1.8 ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ψi* i ψ j* j Vi j ψi i ψ j j ψi j ψ j i dd i j. Η ενέργεια αυτή είναι ένα συναρτησοειδές των κυματοσυναρτήσεων ψ και ψ* οπότε αν εφαρμόσουμε τη θεωρία μεταβολών θα έχουμε τη σχέση δ H εi ψi ψ Ψ Ψ j = 0 ( 1.9 ) όπου ε ι είναι ο πολλαπλασιαστής Lagange. Η έκφραση αυτή οδηγεί στην εξίσωση Hatee-Fock uuu pi i i j i j j j j i i m ψ u ψ ψ u u ψ u ( ) + * V, ( ) d ( ) j u u u u u ψ * ψ ψ = εψ ( ) V, ( ) d ( ) ( ) j j i j i j j j i i i i ( 1.10 )

16 16 Αν κανείς θέσει και i j ψ ψ u V ψ d = V ( ) ( ) j* i, j j j j H i uu *, ( j) V, ψ ( i) = V ( ) j i j j F i j τότε μπορεί να γράψει την παραπάνω εξίσωση σε μια πιο κομψή μορφη: uuu pi i i H i i i F i j i j j i i i m ψ u u ψ u uu ψ u u εψ u ( ) + V ( ) ( ) V (, ) ( ) d = ( ) ( 1.11 ) Το δυναμικό V H καλείται ευθή δυναμικό Hatee ενώ το V F είναι το δυναμικό ανταλλαγής ή δυναμικό Fock. Το τελευταίο είναι, όπως μπορούμε να δούμε, μη τοπικό, δηλαδή εξαρτάται και από την κατάσταση των γειτονικών φερμιονίων. Εξαιτίας της μη γραμμικής ολοκληροδιαφορικής φύσης αυτής της εξίσωσης είναι δύσκολο να λυθεί στη μορφή που εμφανίζεται στην Αντίθετα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο της αυτοσυνέπειας (επαναλήψεις) πάνω στις κυματοσυναρτήσεις. Στη μέθοδο αυτήν παίρνουμε μια αρχική τιμή της ενέργειας και λύνοντας την εξίσωση Hatee-Fock βρίσκουμε την μονοσωματιδιακή κυματοσυνάρτηση ψι. Οι κυματοσυναρτήσεις αυτές στη συνέχεια συγκεντρώνονται και μας δίνουν την ορίζουσα Slate με τη βοήθεια της οποίας υπολογίζεται η ολική ενέργεια Ε. Με την ενέργεια αυτή λύνουμε την νέα εξίσωση HF και νέες κυματοσυναρτήσεις υπολογίζονται. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να παρατηρηθεί μια σύγκληση, δηλαδή όταν δυο διαδοχικές τιμές της ενέργειας δεν θα διαφέρουν σχεδόν καθόλου.

17 17 Η εξίσωση Hatee-Fock είναι μια εξίσωση για ένα σωματίδιο αλλά σε τρεις διαστάσεις. Αν θεωρήσουμε πως υπάρχει σφαιρική συμμετρία και εφαρμόσουμε χωρισμό των μεταβλητών παίρνουμε την ακτινική εξίσωση Hatee- Fock σε μια διάσταση: h d h ll ( + 1) + + U HF Rnl = nlrnl md m ( ) ε ( ) ( 1.1 ) όπου ισχύει nlm( ) R ( ) Y ( ) nl m φ = l Ω Βέβαια ακόμα κι έτσι η λύση των εξισώσεων Hatee-Fock είναι δύσκολη και χρονοφόρα, πόσο μάλλον όταν έχουμε να λύσουμε Ν τέτοιες εξισώσεις. Για τον λόγο αυτό συχνά χρησιμοποιούμε ένα απλό και ήδη γνωστό δυναμικό το οποίο έχει παρόμοιες ιδιότητες με το δυναμικό Hatee-Fock και το οποίο εφαρμόζεται απ ευθείας στην εξίσωση Schoedinge. Τέτοιο δυναμικό μπορεί να είναι είτε ένα σφαιρικό φρέαρ είτε ένας αρμονικός ταλαντωτής ή ακόμα ένα δυναμικό Woods-Saxon το οποίο προσεγγίζει ακόμα καλύτερα το δυναμικό HF. V WS = V 1 ( R) 0 / α 1+ e Η προσέγγιση αυτή ενός γνωστού δυναμικού μπορεί να φανεί σχηματικά στο παρακάτω σχήμα, όπου U είναι το δυναμικό Woods-Saxon. Εικόνα 1 :Προσέγγιση του δυναμικού Woods Saxon και σύγκριση με την πραγματική πυρηνι- κή αλληλεπίδραση

18 18 Tα δυναμικά αυτά είναι στην ουσία πολύ απλά και προσεγγιστικά και από μόνα τους δε μπορούν να δώσουν ικανοποιητικά αποτελέσματα. Γι αυτό, η θεωρία συναντάται και ως φτωχή Hatee-Fock θεωρία (poo man s Hatee-Fock). Για τους μαγικούς αριθμούς, παραδείγματος χάρην, έχουμε: Πυρηνικοί μαγικοί αριθμοί =, 8, 0, 50, 8 μαγικοί αριθμοί αρμονικού ταλαντωτή =, 8, 0, 40, 70 Η διαφορά αυτή των μαγικών αριθμών συνεχίζει να εμφανίζεται, εκτός κι αν εισάγει κανείς και έναν όρο σπιν-τροχιάς, το οποίο σημαίνει ότι η ακτινική εξίσωση Schoedinge εξαρτάται όχι μόνο από το l αλλά και από το j της κατάστασης ενός σωματιδίου. Ο όρος σπιν-τροχιάς υπάρχει και στα άτομα, αλλά είναι πολύ μικρός. Αυτό είναι μια πολύ φυσική συνέπεια, καθώς οι δυνάμεις σπιν-τροχιάς προέρχονται από σχετικιστικά φαινόμενα και η αλληλεπίδραση των νουκλεονίων στους πυρήνες είναι πιο σχετικιστική απ ότι των ηλεκτρονίων στα άτομα. Η πιο εύχρηστη μορφή του δυναμικού σπιν-τροχιάς είναι η παράγωγος του δυναμικού U() και για ένα δυναμικό Woods-Saxon παριστάνεται στο παρακάτω σχήμα: Μπορεί λοιπόν κάποιος να εκφράσει το δυναμικό σπιν-τροχιάς ως 1 Uso..( ) = Vls 0 ( ) du d Όπως πολύ χαρακτηριστικά φαίνεται, ο όρος σπιν τροχιάς, που προστίθεται στο δυναμικό U(), χρησιμοποιείται χωρίς κανένα θεωρητικό υπόβαθρο, παρά μόνο επειδή οδηγεί τους υπολογισμούς μας σε πιο ακριβή αποτελέσματα. Αυτό που αργότερα θα διαπιστώσουμε (κεφάλαιο 3) είναι ότι

19 19 στη μελέτη των πυρηνικών μοντέλων από σχετικιστικής πλευράς ο όρος σπιν τροχιάς εμφανίζεται σαν άμεση συνέπεια της θεωρίας μας με τα ίδια ευεργετικά αποτελέσματα. Τέλος, πρέπει να αναφερθεί ότι η λύση των εξισώσεων Hatee-Fock με τη χρήση γνωστού δυναμικού (Woods-Saxon) έχει πάψει πλέον να χρησιμοποιείται, κι αυτό γιατί η ισχύς των ηλεκτρονικών υπολογιστών σήμερα είναι ικανή να μελετήσει οποιοδήποτε πολύπλοκο δυναμικό. Οι πρώτοι υπολογισμοί της αυτοσυνεπούς εξίσωσης Hatee Fock για πυρήνες κλειστων φλοιών έγιναν στα μέσα του 60. Η μέθοδος αυτή έδειξε να είναι μια πολύ καλή μέθοδος υπολογισμού του μέσου πυρηνικού πεδίου, μιας και είναι σε θέση να περιγράψει όλες τις συμμετρίες που παρατηρούνται στα σωματίδια του πυρήνα. Παρ όλ αυτά όμως για να είναι μια θεωρία ή μέθοδος σωστή, θα πρέπει πέρα από την εξασφάλιση ορισμένων θεωρητικών απαιτήσεων, να αναπαράγει τα σωστά πειραματικά αποτελέσματα. Σε αυτό το σημείο όμως η μέθοδος Hatee-Fock, με τη μορφή που έχει στη σχέση 1.11 βρήκε σημαντικές δυσκολίες. Παρατηρήθηκε ότι είναι ικανή να υπολογίσει με πολύ καλή ακρίβεια την ακτίνα των πυρηνικών ατόμων ή την ενέργεια αυτών, αλλά ο υπολογισμός και των δυο ποσοτήτων μαζί οδηγούσε σε σημαντικά σφάλματα. Επίσης, το γεγονός ότι οι πυρήνες χαρακτηρίζονται από τεράστιες απωστικές δυνάμεις στις μικρές αποστάσεις (σκληρή καρδιά), δεν μπορούσε να εξηγηθεί από την εξίσωση Διάφορα δυναμικά χρησιμοποιήθηκαν κατα καιρούς, χωρίς όμως να υπάρχει καποία βελτίωση των παραπάνω σφαλμάτων. Και αυτό μέχρι την στιγμή που υιοθετήθηκε η ιδέα ότι η αλληλεπίδραση εξαρτάται από την πυκνότητα ρ. Η πυκνότηα ρ στην ουσία δεν εκφράζει τίποτε άλλο από την πιθανότητα ένα σωματίδιο να βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη θέση για μια ορισμένη χρονική στιγμή. Εκφράζεται δε από τη σχέση ορισμού: ρ = ψ ψ (1.13) Σε όλες τις διερευνήσεις που πραγματοποιήθηκαν, έγινε απόπειρα να παραχθεί αλληλεπίδραση η οποία να περιγράφει εκτός των άλλων και την περιορισμένη εμβέλεια (finite-ange) καθώς και την ανεξαρτησία από την ορμή (τοπικότητα). Οι υπολογισμοί παρήγαγαν ποιοτικά τις βασικές ιδιότητες των πυρήνων αλλά αποτύγχαναν στο ποσοτικό τομέα. Η υπέρβαση αυτού του εμποδίου ήρθε όταν εγκαταλείφθηκε η αντιστοιχία με την γυμνή αλληλεπίδραση νουκλεονίου νουκλεονίου και οι ενεργές αλληλεπιδράσεις εφαρμόστηκαν απ ευθείας στους παρατη-ρήσιμους πεπερασμένους i i

20 0 πυρήνες *. Οι αλληλεπιδράσεις Skyme και Gogny, καθώς και το σχετικιστικό μοντέλο μέσου πεδίου αποτέλεσαν τα καθιερωμένα μοντέλα της πυρηνικής θεωρίας μέσου πεδίου. Πριν αναφερθούμε, όμως, στις παραπάνω αλληλεπιδράσεις θα κάνουμε μια εισαγωγή σε μια πιο πρόσφατη και γενικότερη θεωρία η οποία βασίζεται στην εξάρτηση των παρατηρήσιμων μεγεθών από την πυκνότητα και η οποία εμπεριεχει τις αλληλεπιδράσεις Skyme και Gogny. * Ο όρος πεπερασμένοι δηλώνει την αντίθεση με την πυρηνική ύλη και τους βαρείς πυρήνες που την προσεγγίζουν

21 1. ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙΣΩΝ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ.1 Θεωρία Thomas-Femi Είμαστε λοιπόν έτοιμοι να αναπτύξουμε την θεωρία συναρτησοειδών πυκνότητας, που είναι και το κύριο θέμα την εργασίας. Η θεμελίωση αυτής έγινε σε ατομικό επίπεδο, όπου δηλαδή τα αλληλεπιδρόντα σωματίδια είναι τα ηλεκτρόνια, και σε αυτό το επίπεδο θα κάνουμε την εισαγωγή μας στη θεωρία, πρίν περάσουμε στην εφαρμογή της στους πυρήνες. Η DFT είναι μια θεωρία, η οποία μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε την ολοκληρωμένη κυματοσυνάρτηση των Ν φερμιονίων και την αντίστοιχη εξίσωση Schoedinge με την πολύ πιο απλή πυκνότητα ηλεκτρονίων ρ(). Η ιστορία τέτοιων θεωριών είναι μεγάλη και μέχρι το 1964 αυτές χαρακτηριζόταν μόνο σαν μοντέλα. Ουσιαστικά όλα ξεκίνησαν με την εργασία των Thomas και Femi το 197. Αυτό που συνειδητοποίησαν τότε ήταν ότι για την μελέτη της συνεισφοράς των ηλεκτρονίων στα άτομα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η στατιστική θεώρηση αυτής. Οι υποθέσεις που έκανε ο Thomas ήταν ότι «τα ηλεκτρόνια διανέμονται ομοιόμορφα στον έξι-διάστατο χώρο των φάσεων για την κίνηση ενός ηλεκτρονίου» και ότι υπάρχει ένα ενεργό δυναμικό το οποίο «καθορίζεται από το πυρηνικό φορτίο και τη συνεισφορά των ηλεκτρονίων». Η μορφή που θα έχει η εξίσωση Thomas-Femi μπορεί να παραχθεί από αυτές τις υποθέσεις. Χωρίζουμε τον χώρο σε πολλούς μικρούς κύβους, καθένας από τους 3 οποίους έχει πλευρά l και όγκο V = l και περιέχει ορισμένο αριθμό από ηλεκτρόνια. Υποθέτουμε ότι κάθε ηλεκτρόνιο σε κάθε κύβο συμπεριφέρεται σαν ένα ανεξάρτητο φερμιόνιο στην θερμοκρασία του απολύτου μηδενός (Τ=0K). Το ενεργειακό επίπεδο ενός σωματιδίου σε τριδιάστατο φρέαρ απείρου βάθους δίνεται από τη σχέση h ε ( nx, ny, nz) = ( nx + ny + nz ) (.1) 8ml h = 8ml όπου nμ=1,,3,. Για μεγάλους κβαντικούς αριθμούς, δηλαδή για μεγάλο R, ο αριθμός των ενεργειακών σταθμών με ενέργεια μικρότερη της ε μπορεί να R

22 προσεγγιστεί με τον όγκο σφαίρας ακτίνας R στο χώρο ( x, y, z) αριθμός είναι πR π 8ml ε Φ ( ε) = = h 3/ n n n. Αυτός ο (.) Ο αριθμός των ενεργειακών σταθμών μεταξύ ε και ε+δε είναι επομένως ( ) =Φ ( + ) Φ ( ) g ε ε ε δε ε 3/ (( ) ) 3 π 8ml 1/ = ε δε O δε + (.3) 6 h όπου g(ε) είναι η πυκνότητα των καταστάσεων ενέργειας ε. Για να υπολογίσουμε τη συνολική ενέργεια ενός κύβου με ΔΝ ηλεκτρόνια, χρειαζόμαστε την πιθανότητα f(ε) ώστε μια κατάσταση ενέργειας ε να είναι κατειλημμένη. Αυτή προκύπτει από τη σχέση f 1 = 1 + e β ε µ (.4) ( ε ) ( ) που είναι η μαθηματική έκφραση της στατιστικής Femi-Diac. Έτσι μπορούμε να βρούμε της συνολική ενέργεια των ηλεκτρονίων στον κύβο, αθροίζοντας όλες τις συνεισφορές των διαφορετικών ενεργειακών καταστάσειων: 3/ m = 4 = 3/ ( ) ( ) Ε= ε f ε g ε dε 8π m 5 h ε F 3 3/ π l ε dε h l 0 ε 3 5/ F (.5) όπου εf είναι η ενέργεια Femi. Ο όρος χρησιμοποιείται για να δηλώσει ότι κάθε ενεργειακή στάθμη είναι διπλά κατειλημμένη, λόγο της ύπαρξης δυο σπιν (πάνω και κάτω).

23 3 Η ενέργεια Femi σχετίζεται και με τον αριθμό των ηλεκτρονίων ΔΝ του κύβου, μέσω της σχέσης: = ( ) ( ) N = f ε g ε dε 8π m 3 h 3/ Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι Ε= 3 5 Ν ε 3h 3 l ε 3 3/ F /3 5/3 3 Ν l 3 = 10m 8π l F (.6) (.7) Η τελευταία εξίσωση είναι μια σχέση μεταξύ της συνολικής κινητικής 3 ενέργειας και την πυκνότητας ηλεκτρονίων ρ = Ν / l = Ν/ V για κάθε κύβο στο χώρο. Προσθέτοντας τη συνεισφορά όλων των κύβων, βρίσκουμε τη συνολική κινητική ενέργεια 3 TTF ρ 3 π dρ 10 3 ( ) = ( ) ( ) /3 5/3 (.8) όπου το όριο ΔV 0, έχει παρθεί για να μας δώσει ολοκλήρωμα, αντί του απλού αθροίσματος. Αυτό είναι το γνωστό συναρτησοειδές της κινητικής ενέργειας, το οποίο οι Thomas και Femi επιχείρησαν να εφαρμόσουν στα ηλεκτρόνια των ατόμων. Αυτό που κατάφεραν με την παραπάνω προσέγγιση ήταν να εκφράσουν την κινητική ενέργεια σαν συνάρτηση της ηλεκτρονικής πυκνότητας ρ. Αν κανείς κάνει ένα βήμα παραπάνω και λάβει υπ όψην του τόσο την κλασσική ηλεκτροστατική ενέργεια της αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου πυρήνα (ενέργεια Coulomb) όσο και την άπωση μεταξύ των ηλεκτρονίων, παίρνει τη σχέση της ολικής ενέργειας για ένα άτομο σαν συνάρτηση μόνο της ηλεκτρονικής πυκνότητας ρ : 3 3 ρ( ) 1 ρ( ) ρ( ) ETF ρ( ) = ( 3π ) dρ( ) Z d + dd 10 /3 5/ Coulomb (.9)

24 4 Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε ότι για τη βασική κατάσταση ενός ατόμου, η ηλεκτρονική πυκνότητα ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές Ε[ρ] και επίσης υπακούει στον περιορισμό N N[ ρ( )] ρ( d ) (.10) = = όπου Ν είναι ο συνολικός αριθμός των ηλεκτρονίων στο άτομο. Μπορεί όμως κανείς να ενσωματώσει τον περιορισμό αυτό χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagange. Η πυκνότητα ηλεκτρονίων της βασικής κατάστασης, λοιπόν, πρέπει να ικανοποιεί την αρχή των μεταβολών { ETF[ ] TF ( d )} δ ρ µ ρ( ) = 0 (.11) Η εξίσωση Eule-Lagange που προκύπτει από την παραπάνω σχέση, είναι η δ E 5 TF ( ) 3 µ TF = = CFρ ϕ( ) (.1) δρ( ) 3 όπου μ ο πολλαπλασιαστής Lagange που λέγεται χημικό δυναμικό και φ() το ηλεκτροστατικό δυναμικό. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να λυθεί σε συνδιασμό με την.10 και η προκύπτουσα πυκνότητα ηλεκτρονίων να μας δώσει τη συνολική ενέργεια. Αυτό, στην ουσία, είναι και το μοντέλο Thomas-Femi. Για να βελτιωθεί ακόμη περισσότερο το παραπάνω μοντέλο, στο συνολικό συναρτησοειδές της ενέργειας προστέθηκε και ο όρος της κινητικής ενέργειας που προέρχεται από τον γνωστό τύπο του Weizsacke, με έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα. Για την ακρίβεια στο νέο Ε[ρ] συναντάμε τον επι πλέον όρο 1 ρ( ) λ d 8 (.13) ρ( ) Η παράμετρος λ είναι ίση με 1/9, αλλά έχουν χρησιμοποιηθεί και άλλες εμπειρικές τιμές, όπως 1/5, 0,186 αλλά και 1/6. Το χημικό δυναμικό τότε παίρνει τη μορφή 5 3 λ ρ ) ρ( ) µ TF = CFρ( ) + ( ϕ( ) (.14) 3 8 ρ ( ) ρ( ) Η λύση της παραπάνω εξίσωσης δίνει για την πυκνότητα ηλεκτρονίων 1 Ø 8m ø ~ exp - - Ł ł l Œº œß (.15)

25 5 το οποίο μπορεί να παρασταθεί συναρτήσει της απόστασης ώς εξής: Η μαύρη γραμμή εκφράζει την πυκνότητα, όπως αυτή βρέθηκε με τη μέθοδο Hatee-Fock, ενώ οι διακεκομμένες είναι οι αντίστοιχες της μεθόδου Thomas- Femi και για διάφορα λ. Η μορφή λοιπόν αυτής της εξίσωσης θα είναι η.9 ή με μια πιο συμπτιγμένη μορφή E ρ T ρ E ρ E ρ TF ( ) = ( ) + ( ) + ( ) C ext (.16) όπου ο πρώτος όρος είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος των ηλεκτρονίων, ο δεύτερος εκφράζει την μεταξύ τους αλληλεπίδραση Coulomb και ο τρίτος αναφέρεται στο εξωτερικό δυναμικό λόγω πυρήνα. Με λίγα λόγια, αυτό που κατάφεραν με την παραπάνω προσέγγιση ήταν να εκφράσουν την ολική ενέργεια σαν συνάρτηση της ηλεκτρονικής πυκνότητας ρ. Αμέτρητες τροποποιήσεις και βελτιώσεις της παραπάνω θεωρίας έγιναν τα χρόνια που πέρασαν. Δυστυχώς, η πρωταρχική μέθοδος παύει να λειτουργεί όταν κάποιος μεταβαίνει στην περίπτωση των μορίων και των πυρήνων. Αυτό, και σε συνδυασμό με το ότι η ακρίβεια στα άτομα δεν ήταν μεγάλη, συγκριτικά με άλλες μεθόδους, έκανε τη μέθοδο Thomas-Femi να

26 6 θεωρείται μια υπεραπλοποιημένη θεωρία χωρίς πραγματική σημασία στις ποσοτικές προβλέψεις. Παρ όλ αυτά, η κατάσταση άλλαξε με τη δημοσίευση-ορόσημο από τους Hohenbeg και Kohn το Αυτοί εξασφάλισαν ένα θεμελιώδη θεώρημα, δείχνοντας ότι για τη βασική κατάσταση, το μοντέλο Thomas-Femi μπορεί να θεωρηθεί σαν η προσέγγιση μιας γενικότερης θεωρίας, της Θεωρίας Συναρτησοειδών Πυκνότητας.. Θεωρήματα Ηohenbeg - Kohn Το αρχικό σημείο της θεωρίας είναι τα δύο θεωρήματα των Ηohenbeg και Kohn, τα οποία έδωσαν το θεωρητικό υπόβαθρο για την υλοποίησή της. Το πρώτο θεώρημα των Ηohenbeg και Kohn αποδεικνύει ότι η πυκνότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν η βασική συνάρτηση η οποία καθορίζει με μοναδικό τρόπο το σύστημα αντί ενός εξωτερικού δυναμικού *. Μπορεί δε να οριστεί ως εξής: «Κάθε παρατηρήσιμη ποσότητα ενός στατικού κβαντομηχανικού συστήματος καθορίζεται από την πυκνότητα της βασικής κατάστασης μοναδικά». Το θεώρημα αυτό στην ουσία μας λέει ότι γνωρίζοντας την πυκνότητα βασικής κατάστασης n0() είναι δυνατόν να υπολογίσουμε την αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση Ψ 0( 1,,... N ). Αυτό σημαίνει ότι το Ψ0, και συνεπώς όλες οι παρατηρούμενες ποσότητες, είναι συναρτησοειδή της n0(). Αν το Ψ0 μπορεί να υπολογιστεί από το n0() και αντιστρόφως τότε οι δύο συναρτήσεις είναι ισάξιες και περιέχουν ακριβώς τις ίδιες πληροφορίες. Ψ =Ψ (,,... ) [ n ] k 1 N k 0 Με μια πρώτη ματιά αυτό φαίνεται αδύνατο. Πώς μπορεί μια συνάρτηση μιας μεταβλητής να είναι ισάξια με μια συνάρτηση που περιέχει Ν μεταβλητές; Πως μπορεί μια αυθαίρετη μεταβλητή να περιέχει τις ίδιες πληροφορίες όπως Ν τέτοιες μεταβλητές; * Είναι αποδεδειγμένο ότι το εξωτερικό πεδίο κατ αρχήν καθορίζει όλες τις ιδιότητες του συστήματος. Αυτή είναι η φυσική διαδικασία για τα κβαντομηχανικά προβλήματα, λύνοντας στη συνέχεια την εξίσωση Schoedinge για τις ιδιοκαταστάσεις του συστήματος.

27 7 Το σημαντικό σημείο που κάνει κάτι τέτοιο δυνατό είναι το γεγονός ότι η γνώση της n0() συνεπάγεται γνώση αναμφίβολα πολλή περισσότερη από μια οποιαδήποτε άλλη πυκνότητα n(). Κι αυτό γιατί η n0() αναπαριστά τη (χωρική) συνεισφορά της πιθανότητας για τη λύση μιας εξίσωσης Schoedinge Ν σωμάτων. Ασφαλώς δεν είναι ακόμη προφανές πώς η συνθήκη αυτή είναι αρκετή για να καθορίσει το Ψ0( 1,,... N ) μοναδικά από το n0(), αλλά είναι εμφανές το ότι η πυκνότητα n0() δεν είναι μια απλά συγκεκριμένη τιμή της πυκνότητας, μα μια ξεχωριστή ποσότητα. Το να αποδείξουμε μαθηματικά το παραπάνω θεώρημα δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο. Προκαλεί μάλιστα έκπληξη γιατί χρειάστηκαν 38 χρόνια από το πρώτο άρθρο του Schoedinge για την κβαντική μηχανική έως το άρθρο των Hohenbeg και Kohn. Ας θεωρήσουμε λοιπόν την ύπαρξη δύο δυναμικών τα οποία διαφέρουν περισσότερο από μια σταθερά και στα οποία αποδίδεται η ίδια πυκνότητα ρ. Οι εξισώσεις ιδιοτιμών θα είναι ( ee ) ( ee ) T + V + V Y = E Y T + V + V ' Y ' = E' Y' gs gs (.17) Οι κυματοσυναρτήσεις βασικής κατάστασης Ψ και Ψ ' είναι προφανώς διαφορετικές λόγω της διαφορετικότητας των παραπάνω δυναμικών. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα των μεταβολών μπορεί να αποδείξει κανείς ότι αν ' ρ ρ'. Για την ακρίβεια, είναι: Ψ Ψ θα ισχύει ταυτόχρονα και ( ) ( ) H = T + V ee + V οπότε προκύπτουν οι ανισώσεις: H' = T + V ee + V ' wste : H = H' + V-V ' E gs = Y H Y < Y' H Y ' =Y ' H' + V-V ' Y ' ( ) ( ) ( ) (.18) =Ε ' gs + ρ' υ υ' d και ομοίως E ' ' ' ' gs = Y H Y < Y H' Y = Y H + V '-V Y ( ) '( ) ( ) =Ε gs + ρ υ υ d

28 8 Αν σε αυτό το σημείο θεωρήσουμε ότι οι διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις ρ = ρ' ) τότε οι παραπάνω σχέσεις οδηγούν δίνουν ίδιες πυκνότητες ( ( ) ( ) στην παρακάτω αντίφαση Ε +Ε ' <Ε +Ε ' (.19) gs gs gs gs Συνεπώς έχουμε μια προς μια αντιστοιχία του δυναμικού με την κυματοσυνάρτηση καθώς και της τελευταίας με την πυκνότητα V«Y«και σαν συνέπεια αυτού κάθε παρατηρήσιμη ποσότητα R του συστήματος είναι μοναδικό συναρτησοειδές της πυκνότητας [ ] R [ ] R [ ] (.0) Y Y = Το δεύτερο θεώρημα των Ηohenbeg και Kohn μπορεί να διατυπωθεί ως εξής : «Η ακριβής τιμή της πυκνότητας στη βασική κατάσταση ενός συστήματος που βρίσκεται σε ένα εξωτερικό πεδίο μπορεί να βρεθεί ελαχιστοποιώντας το συναρτησοειδές πυκνότητας». Σε συνδιασμό και με το πρώτο θεώρημα, αυτή η πρόταση μας λέει ότι για το συναρτησοειδές της ενέργειας ενός συστήματος μέσα σε ένα γνωστό εξωτερικό δυναμικό υ0 Eu T V $ ee u o [ ] = Y [ ] + + o Y[ ] η ακριβής πυκνότητα της βασικής κατάστασης μπορεί να βρεθεί με ρ,δηλαδή: E υ ελαχιστοποίηση της [ ] o Eo [ ρ], (.1) = min. (.) ρ E υ o Βασικό «συστατικό» αυτού του θεωρήματος είναι το συναρτησοειδές F ρ, το οποίο ορίζεται ώς ακολούθως. Αν ρ() είναι η πυκνότητα της HF [ ] βασικής κατάστασης συσχετιζόμενη με κάποιο εξωτερικό δυναμικό, τότε HF [ ] [ ] ee [ ] F = T + V = Y T + V Y (.3) Το συναρτησοειδές αυτό δεν περιλαμβάνει το εξωτερικό πεδίο και είναι παγκόσμιο (univesal), με την έννοια ότι παραμένει το ίδιο για όλα τα προβλήματα ηλεκτρονικής δομής.

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Ενέργεια σύνδεσης και πυρηνικά πρότυπα

Διάλεξη 3: Ενέργεια σύνδεσης και πυρηνικά πρότυπα Διάλεξη 3: Ενέργεια σύνδεσης και πυρηνικά πρότυπα Ενέργεια σύνδεσης Η συνολική μάζα ενός σταθερού πυρήνα είναι πάντοτε μικρότερη από αυτή των συστατικών του. Ως παράδειγμα μπορούμε να θεωρήσουμε έναν πυρήνα

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2013-14) Τμήμα T3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15

Σύγχρονη Φυσική - 2012: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15 Διάλεξη 14: Μεσόνια και αντισωματίδια Μεσόνια Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως (διάλεξη 13) η έννοια των στοιχειωδών σωματίων άλλαξε πολλές φορές μέχρι σήμερα. Μέχρι το 1934 ο κόσμος των στοιχειωδών σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά

Πυρηνικές Δυνάμεις. Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Πυρηνικές Δυνάμεις Διάλεξη 4η Πετρίδου Χαρά Η Ύλη στο βιβλίο: Cottingham & Greenwood 2 Κεφάλαιο 5: Ιδιότητες των Πυρήνων 5.5: Μαγνητική Διπολική Ροπή του Πυρήνα 5.7: Ηλεκτρική Τετραπολική του Πυρήνα 5.1:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7: Μοριακή Δομή

Διάλεξη 7: Μοριακή Δομή Μεμονωμένα άτομα: Μόνο τα ευγενή αέρια Μόρια: Τα υπόλοιπα άτομα σχηματίζουν μόρια Γιατί; Διότι η ολική ενέργεια ενός ευσταθούς μορίου είναι μικρότερη από την ολική ενέργεια των μεμονωμένων ατόμων που αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6: Ατομική Δομή Συμμετρία Εναλλαγής

Διάλεξη 6: Ατομική Δομή Συμμετρία Εναλλαγής Συμμετρία Εναλλαγής Σε μονοηλεκτρονιακά άτομα ιόντα η κατάσταση του ηλεκτρονίου καθορίζεται από τέσσερις κβαντικούς αριθμούς {n, l, m l, m s } ή {n, l, j, m j }. Σε πολυηλεκτρονιακά άτομα πόσα ηλεκτρόνια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

Δευτερόνιο & ιδιότητες των πυρηνικών δυνάμεων μεταξύ δύο νουκλεονίων Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Δευτερόνιο & ιδιότητες των πυρηνικών δυνάμεων μεταξύ δύο νουκλεονίων Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Δευτερόνιο & ιδιότητες των πυρηνικών δυνάμεων μεταξύ δύο νουκλεονίων Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: ezphysics.nchu.edu.tw Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου Οι πυρήνες αποτελούνται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΑΕΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Όρια καταστατικής εξίσωσης ιδανικού αερίου 2. Αποκλίσεις των Ιδιοτήτων των πραγματικών αερίων από τους Νόμους

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Μέρος πρώτο ΣΚΟΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να εξηγηθούν βασικές έννοιες της φυσικής, που θα βοηθήσουν τον φοιτητή να μάθει: Τι είναι οι ακτίνες Χ Πως παράγονται Ποιες είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Hideki Yukawa and the Nuclear Force Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής πυρηνική δύναμη Η πυρηνική δύναμη (ή αλληλεπίδραση νουκλεονίουνουκλεονίου, ή NN forces,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 10/05/16

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 10/05/16 Διάλεξη 20: Διαγράμματα Feynman Ισχυρές αλληλεπιδράσεις Όπως στην περίπτωση των η/μ αλληλεπιδράσεων έτσι και στην περίπτωση των ισχυρών αλληλεπιδράσεων υπάρχει η αντίστοιχη αναπαράσταση μέσω των διαγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

AΠO ΤΑ ΠΡΩΤΟΝΙΑ & ΤΑ ΝΕΤΡΟΝΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΥΡΗΝΕΣ

AΠO ΤΑ ΠΡΩΤΟΝΙΑ & ΤΑ ΝΕΤΡΟΝΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΥΡΗΝΕΣ AΠO ΤΑ ΠΡΩΤΟΝΙΑ & ΤΑ ΝΕΤΡΟΝΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΥΡΗΝΕΣ Στο βιβλίο «Από τα κουάρκ μέχρι το Σύμπαν» το παραπάνω θέμα είναι το αντικείμενο του 8 ου κεφαλαίου, σελ. 113-126. Σε ό,τι ακολουθεί η ύλη του 8 ου κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Σχάση. X (x, y i ) Y 1, Y 2 1.1

Σχάση. X (x, y i ) Y 1, Y 2 1.1 Σχάση Το 1934 ο Fermi βομβάρδισε Θόριο και Ουράνιο με νετρόνια και βρήκε ότι οι παραγόμενοι πυρήνες ήταν ραδιενεργοί. Οι χρόνοι ημισείας ζωής αυτών των νουκλιδίων δεν μπορούσε να αποδοθούν σε κανένα ραδιενεργό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Πυρηνική Σταθερότητα, σπιν & μαγνητική ροπή

Διάλεξη 2: Πυρηνική Σταθερότητα, σπιν & μαγνητική ροπή Διάλεξη 2: Πυρηνική Σταθερότητα, σπιν & μαγνητική ροπή Πυρηνική Σταθερότητα Ο πυρήνας αποτελείται από πρωτόνια και νετρόνια τα οποία βρίσκονται συγκεντρωμένα σε έναν πάρα πολύ μικρό χώρο. Εύκολα καταλαβαίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i ΦΥΣ - Διαλ.03 Ολική στροφορμή q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r = r R q Ορίζουμε επίσης τις ταχύτητες: v = " r v = και R " Ø Υπολογίζουμε την ολική στροφορμή L = r p = L = R M v

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/04/16

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/04/16 Σύγχρονη Φυσική - 06: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων /0/6 Διάλεξη 9: Αντιδραστήρες σύντηξης Αντιδραστήρες σύντηξης Δεδομένου ότι η πυρηνική σύντηξη αποτελεί μια σχεδόν ανεξάντλητη πηγή

Διαβάστε περισσότερα

Φερμιόνια & Μποζόνια

Φερμιόνια & Μποζόνια Φερμιόνια & Μποζόνια Φερμιόνια Στατιστική Fermi-Dirac spin ημιακέραιο 1 3 5,, 2 2 2 Μποζόνια Στατιστική Bose-Einstein 0,1, 2 spin ακέραιο δύο ταυτόσημα φερμιόνια, 1 & 2 δύο ταυτόσημα μποζόνια, 1 & 2 έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 5 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 5 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 014-15) Τμήμα T3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 5 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Αποδιέγερσεις α και β

Διάλεξη 5: Αποδιέγερσεις α και β Σύγχρονη Φυσική - 206: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 05/04/6 Διάλεξη 5: Αποδιέγερσεις α και β Αποδιέγερση α Όπως ειπώθηκε και προηγουμένως κατά την αποδιέγερση α ένας πυρήνας μεταπίπτει

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική Η κανονική κατανομή στη κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική φυσική Βίγκα Ελένη (ttp://users.aut.gr/vinga) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια o o Μια πολύ απλή περίπτωση για να ξεκινήσουμε είναι: Na θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική

Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική Στατιστική Φυσική: Η μελέτη της θερμοδυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος σωματίων σε σχέση με τις ιδιότητες των επί μέρους σωματίων. Αν και δεν μπορεί να προβλέψει με απόλυτη ακρίβεια την θερμοδυναμική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

Μέγεθος, πυκνότητα και σχήμα των πυρήνων. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Μέγεθος, πυκνότητα και σχήμα των πυρήνων. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Μέγεθος, πυκνότητα και σχήμα των πυρήνων Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Ποιο είναι το μέγεθος των πυρήνων; Τι πυκνότητα έχουν οι πυρήνες; Πως κατανέμεται η πυρηνική ύλη στον πυρήνα; Πώς

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΕ 04 Χρήσιμες ερωτήσεις Ηλεκτρομαγνητισμού, Πυρηνικής Φυσικής και Σχετικότητας για τους υποψήφιους Φυσικούς του επικείμενου διαγωνισμού του Ασέπ από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστηρία ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Εισαγωγή σε εξ' υπαρχής ή/και ημι-υπαρχής κβαντικούς υπολογισμούς Ι Διδάσκων :

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Καθιερωμένο πρότυπο (1978-?)

Διάλεξη 18: Καθιερωμένο πρότυπο (1978-?) Διάλεξη 18: Καθιερωμένο πρότυπο (1978-?) Φορείς αλληλεπίδρασεων Αλληλεπίδραση Ισχύς Εμβέλεια Φορέας Ισχυρή 1 ~fm g-γλουόνιο Η/Μ 10-2 1/r 2 γ-φωτόνιο Ασθενής 10-9 ~fm W ±,Z μποζόνια Βαρυτική 10-38 1/r 2

Διαβάστε περισσότερα

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί 1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί Ο Lewis πρότεινε το μοντέλο του κοινού ηλεκτρονιακού ζεύγους των δεσμών το 1916, σχεδόνμιαδεκαετίαπριναπότηθεωρίατουde Broglie τηςδυαδικότηταςκύματος-σωματιδίου.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Για την ακραία σχετικιστική περίπτωση λευκού νάνου ο συντελεστής της ολικής κινητικής 2 3/2 3/2

Για την ακραία σχετικιστική περίπτωση λευκού νάνου ο συντελεστής της ολικής κινητικής 2 3/2 3/2 ΚΕΦ. 13. ΣΕΛ. έως 6 ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΣ. Ο VIDEO, 191013 0λ έως 9λ : Επανάληψη Υπενθυμίζεται ότι η τιμή του G σε ατομικές μονάδες είναι,4 10 43. Για την ακραία σχετικιστική περίπτωση λευκού νάνου ο συντελεστής

Διαβάστε περισσότερα

Νουκλεόνια και ισχυρή αλληλεπίδραση

Νουκλεόνια και ισχυρή αλληλεπίδραση Νουκλεόνια και ισχυρή αλληλεπίδραση Πρωτόνια και νετρόνια. Το πρότυπο των κουάρκ για τα νουκλεόνια. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Κουάρκ: τα δομικά στοιχεία των αδρονίων ΑΣΚΗΣΗ Διασπάσεις σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση:

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση: ΑΠΑΝΤΗΣΕΕΙΙΣ ΣΤΟ ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΒΒ ΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ 1133 33 001111 ΘΕΜΑ 1 ο 1. β. γ 3. α 4. β 5. α ΘΕΜΑ ο 1. α. Σωστό Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μάζα των πυρήνων. Α. Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Μάζα των πυρήνων. Α. Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Μάζα των πυρήνων Α. Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Μονάδα για τη μέτρηση των πυρηνικών μαζών u : είναι η μονάδα ατομικής μάζας (atomic mass unit) εν συντομία amu. Ορίζεται ότι η μάζα του ατόμου 1 C (μαζί

Διαβάστε περισσότερα

Με διεθνή σύμβαση το 1961, καθιερώθηκε ότι 1 amu (atomic mass unit) είναι το 1/12 της μάζας του ουδέτερου ατόμου του άνθρακα 12 C, επομένως:

Με διεθνή σύμβαση το 1961, καθιερώθηκε ότι 1 amu (atomic mass unit) είναι το 1/12 της μάζας του ουδέτερου ατόμου του άνθρακα 12 C, επομένως: ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΤΟΜΙΚΟΣ ΠΥΡΗΝΑΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ο πυρήνας του ατόμου αποτελείται από πρωτόνια και νετρόνια, τα νουκλεόνια που είναι φερμιόνια με σπιν ½, όπως και τα λεπτόνια. Η μάζα του νετρονίου είναι 0.14% μεγαλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

W el = q k φ (1) W el = z k e 0 N A φn k = z k F φn k (2)

W el = q k φ (1) W el = z k e 0 N A φn k = z k F φn k (2) Το ηλεκτρολυτικό διάλυμα στην ισορροπία Αντώνης Καραντώνης 19 Απριλίου 211 Σταθερές 1. Σταθερά των αερίων, R = 8.314 J mol 1 K 1 2. Στοιχειώδες φορτίο, e = 1.62 1 19 C 3. Αριθμός Avogadro, N A = 6.23 1

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ Θεωρητικη αναλυση μεταλλα Έχουν κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται πως είναι αλληλένδετες μεταξύ τους: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική και θερμική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚ.ΕΤΟΥΣ 2015-2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚ.ΕΤΟΥΣ 2015-2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΚΑΤΑΤΑΚΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚ.ΕΤΟΥΣ 2015-2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1ο Τυπική καμπύλη δόσης επιβίωσης για καρκινικά και υγιή κύτταρα μετά από ακτινοβόληση:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Κινητική Θεωρία των Αεριών. Πίεση 3. Κινητική Ερμηνεία της Πίεσης 4. Καταστατική εξίσωση των Ιδανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Η ασφάλεια στον LHC Ο Μεγάλος Επιταχυντής Συγκρουόµενων εσµών Αδρονίων (Large Hadron Collider, LHC) είναι ικανός να επιτύχει ενέργειες που κανένας άλλος επιταχυντής έως σήµερα δεν έχει προσεγγίσει. Ωστόσο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A Ένα ισότοπο, το οποίο συµβολίζουµε µε Z X, έχει ατοµικό αριθµό Ζ και µαζικό αριθµό Α. Ο πυρήνας του ισοτόπου

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th Intrnational Physis Olympiad, Mrida, Mxio, 1-19 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. 3 ΓΙΑΤΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ ΕΧΟΥΝ ΜΕΓΑΛΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ? Τα αστέρια είναι σφαίρες από ζεστό αέριο. Τα περισσότερα από αυτά λάμπουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα