ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM"

Transcript

1 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM 1. UVOD Posljednjih pedesatak godina u oblasti proizvodnog in`enjerstva desile su se veoma zna~ajne, moglo bi re}i i dramati~ne promjene. Jedan od najva`nijih pravaca ovih promjena uslovljane je razvojem automatizacije i uvo enja informati~kih tehnologija u ovoj oblasti. Novi termini kao {to su robotika, CAD/CAM (Computer Aided Design/Computer Aided Manufacturing, ra~unarom podr`ano projektovanje proizvoda/ra~unarom podr`ana proizvodnja), fleksibilna proizvodnja, FPS (Flexibile Production System, fleksibilni proizvodni sistem), CIM (Computer Integrated Manufacturing, ra~unarom integrisana proizvodnja) i t.d. poznati su ve} vi{e decenija, tako da "stari" termini, kao {to je "mehanizacija" polahko i{~ezava u tehni~koj komunikaciji i rije~niku. Automatizacija je veoma dinami~na tehnologija koja konstantno napreduje, a defini{e se kao tehnologija primjene mehani~kih, elektri~nih i ra~unarom podr`anih sistema s ciljem vo enja i upravljanja proizvodnjom. Automatizacija u proizvodnim sistemima metaloprera- iva~ke industrije uklju~uje: automatske alatne ma{ine, automatske ma{ine za monta`u i sklapanje, industrijske robote, automatske sisteme za manipulaciju i skladi{tenje, automatske sisteme za inspekciju i kontrolu kvaliteta, ra~unarske sisteme upravljanja procesima i ra~unarski sistemi za planiranje, sakupljanje podataka i dono{enje odluka vezanih za proizvodnju. Postoje tri tipa automatizacije: fiksna, programabilana i fleksibilna. Fiksna automatizacija je sistem u kome su proizvodne operacije orjentisane (fiksirane) konfiguraciji proizvodne opreme. Naj~e{}e su to veoma jednostavne operacije. Fiksnu automatizaciju karakteri{e velika investiciona ulaganja za specijalnu proizvodnu opremu, velika proizvodnost i nefleksibilnost promjeni proizvoda. Kao primjer fiksne automatizacije navodi se mehanizovana monta`na linija (prva primjena oko godine) gdje se obradci kre}u pomo}u mehanizovane trake od jedne do druge alatne ma{ine (od operacije, do operacije), ali gdje su alatne ma{ine konvencionalno upravljanje. Drugi primjer je transfer linija (po~etak primjene oko godine). 1

2 1. UVOD Programabilna automatizacija predstavlja sistem sa proizvodnom opremom koja je sposobna za proizvodnju razli~itih dijelova. Proizvodne operacije su ovdje upravljane ra~unarskim programom koji predstavlja niz kodiranih naredbi (instrukcija) koje sistem prepoznaje i interpretira kroz izvr{avanje proizvodnih operacija. Sa novim programom une- {enim u proizvodni sistem, proizvodi se drugi proizvod. Programabilnu automatizaciju karakteri{e velika investiciona ulaganja u univerzalnu proizvonu opremu, manja proizvodnost u odnosu na fiksnu automatizaciju, fleksibilnost u pogledu oblika dijelova (proizvoda) i primjenljivost u malo i srednje serijskoj proizvodnji. Kao primjeri programabilne automatizacije navode se NC (Numerical Control, numeri~ki upravljane) alatne ma{ine (prva primjena godine) i industrijski roboti (prva primjena godine). Fleksibilna automatizacija predstavlja pro{irenje programabilne automatizacije i predstavlja sistem potpuno fleksibilan u pogledu razli~itosti dijelova koji se proizvode, ali sa jo{ jednom, veoma va`nom karakteristikom, a to je potpuno odsustvo gubitka vremena zbog reprogamiranja, pripreme proizvodnje (naprimjer, rezni alati, pomo}ni pribori, pode{avanje alatne ma{ine) i sl. Tako er, ovaj sistem automatizacije mo`e generisati razli- ~ite kombinacije proizvodnje razli~itih dijelova u okviru odgovaraju}ih serija. Fleksibilnu automatizaciju karakteri{u velika investiciona ulaganja u specijalnu proizvodnu opremu, kontinuitet proizvodnje razli~itih proizvoda, srednja proizvodnost i fleksibilnost u pogledu oblika i dimenzija proizvoda. Kao primjer fleksibilne automatizacije navodi se fleksibilni proizvodni sistemi (prva primjena, sistem MOLINS 24, godine). Relativni odnosi naprijed pomenuta tri tipa automatizacije u proizvodnim sistemima metaloprera iva~ke industrije prikazani su na slici 1.1 i to prema razli~itim serijama proizvodnje. Broj razli~itih dijelova Veliki Srednji Programabilna automatizacija Fleksibilna automatizacija Mali Mali Klasi~ne metode Srednji Fiksna automatizacija Veliki Broj dijelova po godini Slika 1.1. Tri tipa proizvodne automatizacije 2

3 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM Ra~unar je od po~etka, danas, i tako }e i ubudu}e imati presudan zna~aj u razvoju tehnologija proizvodne automatizacije. Termin "ra~unarom integrirana proizvodnja" (CIM Computer Integrated Manufacturing) ozna~ava sistem kod koga je ra~unar upotrebljen za projektovanje proizvoda (konstruiranje, prora~uni, dizajn), planiranje proizvodnje, upravljanje proizvodnjom i vo enje svih ekonomsko komercijalnih aktivnosti u proizvodnoj firmi. Kakav je odnos izme u automatizacije i CIM sistema? U proizvodnoj firmi se sve proizvodne aktivnosti de{avaju u proizvodnom pogonu uslovljene su informaciono procesnim aktivnostima kao {to su: projektovanje proizvoda i planiranje proizvodnje (ove aktivnosti su vezane za projektne, tehnolo{ke i ekonomske biroe odjele). Proizvodne aktivnosti uklju~uju sve proizvodne postupke, monta`u, manipulaciju materijalima i kontrolu koji se primjenjuju "na obradak" na proizvod. Dakle, ove aktivnosti dolaze u "direktan dodir sa obratkom". Veza izme u proizvodnih i informaciono procesnih aktivnosti prikazana je na slici 1.2. Pripremak (ulazni materijal) ulazi u proizvodni pogon i iz njega izlazi u obliku finalnog proizvoda. Oko "cijevi" proizvodnih aktivnosti (a) nalazi se "prsten" informaciono procesnih aktivnosti (b) u koje spadaju: biznis aktivnosti (marketing, prodaja, nabava, naplata i t.d.), projektovanje proizvoda, planiranje proizvodnje i upravljanje proizvodnjom. Dakle, navedene ~etiri informaciono procesne aktivnosti tvore "prsten" koji je u ~vrtoj vezi sa proizvodnim aktivnostima i u op{tem slu~aju to je potpuna veza tehnologija automatizacije i CIM sistema. To zna~i da je tehnologija automatizacije vezana za proizvodne aktivnosti (a) (proizvodne operacije postupci obrade, monta`a, manipulacija materijalima i kontrola) sa malim ili nikakvim u~e{}em radnika, a CIM je vi{e vezan za informaciono procesne aktivnosti koje podr`avaju proizvodne aktivnosti. Ovdje se ra~unar koristi za realizaciju ~etiri nabrojane informaciono procesne aktivnosti. Projektovanje proizvoda Biznis aktivnosti (b) INFORMACIONO-PROCESNE AKTIVNOSTI Planiranje proizvodnje PRIPREMAK ulazni materijal (a) PROIZVODNE AKTIVNOSTI IZRADAK finalni proizvod Upravljanje proizvodnjom Slika 1.2. Model proizvodnje: (a) proizvodne aktivnosti i (b) informaciono-procesne aktivnosti 3

4 1. UVOD Kao zaklju~ak, mo`e se kazati da }e upotreba ra~unarskih sistema objediniti automatizaciju i CIM i dovesti do "kompjuterski automatizovane fabrike" fabrike budu}nosti {to je ve} dokazano ranih devedesetih godina dvadesetog vijeka kada je po~ela era inteligentne automatizacije i inteligentnih proizvodnih sistema. Automatizacija u uslovima velikoserijske i masovne proizvodnje ostvaruje se primjenom automata i automatskih linija. Karakteristike takve proizvodnje su: uzak asortiman proizvoda, visoka proizvodnost, visoka ta~nost obrade i obrada istih dijelova u du`em vremenskom periodu bez dodatnog pode{avanja alatnih ma{ina. Automatizacija u uslovima srednjeserijske i maloserijske proizvodnje kao dominantnih vidova u dana{njoj metaloprera iva~koj industriji, uspje{no se realizira primjenom NC alatnih ma{ina. NC alatne ma{ine u ovom kontekstu imaju proizvodnost i ta~nost obrade automata s jedne strane, i fleksibilnost univerzalnih alatnih ma{ina, s druge strane. Zahvaljuju}i numeri~kom upravljanju alatnih ma{ina, nisu dobiveni samo novi automatizovani obradni sistemi sa pove}anom proizvodno{}u, nego i metaloprerada je podignuta na jedan vi{i tehnolo{ki nivo sa novim otvorenim mogu}nostima pobolj{anja, humanizacije rada i sl. Osnovne prednosti NC alatnih ma{ina u odnosu na konvencionalno upravljane su: ve}i stepen iskori{tenja alatne ma{ine, visoka ta~nost i smanjenje tro{kova kontrole, pove}anje produktivnosti na ra~un smanjenja pripremnog, pomo}nog i glavnog (ma{inskog) vremena, u{tede na mehani~kim, hidrauli~nim, pneumatskim i elektri~nim elementima, mehanizmima i ure ajima koji su osnovni nosioci informacija automatizacije kod konvencionalno upravljanih alatnih ma{ina (krivulje, dobo{i, kopirni ure aji, brjegaste plo~e i sl.), velika fleksibilnost pri obradi i t.d. Me utim, treba naglasiti da NC alatne ma{ine imaju i neke nedostatke, a to su: velika investiciona ulaganja, obavezno planiranje svih aktivnosti do u najsitnije detalje i kompleksnost aktivnosti odr`avanja. Jo{ je sedamdesetih i osamdesetih godina pro{log vijeka konstatovano da NC alatne ma{ine po ve}ini aspekata zamjenjuje vi{e konvencionalno upravljanih ma{ina. Na ovaj na~in je smanjena potrebna proizvodna oprema, proizvodni prostor, pove}ana produktivnost, pove}an udio ma{inskog vremena u ukupnom raspolo`ivom vremenu, pove}ana ta~nost izrade, smanjeno vrijeme pripreme proizvodnje i t.d. Razvoj numeri~kog upravljanja u uskoj je vezi sa razvojem mikroelektronike, informatike, mechatronike i ra~unarske tehnike. Neki va`ni doga aji u navedenom razvoju su: 4

5 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM godina Joseph M. Jacquard je prvi put koristio izmjenljivi nosa~ informacija (podataka); bu{enu limenu karticu za automatsko upravljanje razbojem, godina Na MIT-u (Massachusetts Institute of Technology) je Claude E. Shanon do{ao do rezultata da je najbr`e prera~unavanje i prijenos podataka mogu}e izvesti u binarnom obliku kori{tenjem Boole-ove algebre, ~ime su postavljani temelji dana{njim ra~unarima i numeri~kom upravljanju, godina John W. Mauchly i J. Presper Eckart su izradili prvi elektronski digitalni ra~unar "ENIAC" koji je imao oko elektronskih cijevi, godina John T. Persons je dao osnovnu ideju za numeri~ko upravljanje alatnim ma{inama pri ~emu je za nosioca podataka koristio bu{enu karticu. Ova osnovna ideja sastojala se u sljede}em: izra~unate pozicije putanja reznog alata memori{u se na bu{enim karticama, bu{ene kartice se na ma{ini o~itavaju automatski, o~itane vrijednosti za pozicije reznog alata se saop{tavaju i interno obra~unavaju u vidu dodatnih me uvrijednosti i na osnovu gore pomenutih podataka se upravlja kretanjima u pravcu koordinatnih osa pomo}u servomotora, godina Ura ena je prva industrijska numeri~ki upravljana vertikalna glodalica ~iji se logi~ki dio sastojao od skoro 300 elektronskih cijevi, godina Razvijen prvi programski jezik za ma{insko (automatsko) programiranje NC alatnih ma{ina, APT (Automaticaly Programmed Tools), godina U Evropi se pojavljuje prva NC alatna ma{ina na sajmu u Hannoveru, godina Proizvedena prva NC ma{ina sa tranzistorima, godina Proizvedena prva specijalna NC alatna ma{ina i prvi put primjenjeno direktno numeri~ko upravljanje, DNC (Direct Numerical Control), godina Razvijen prvi automatski izmjenjiva~ reznog alata, godina Proizveden prvi NC sistem u IC tehnici (Integrated Circuit), godina Industrijska primjena DNC sistema u SAD-u, godina Po~etak primjene NC alatnih ma{ina u Bosni i Hercegovini, godina Uvodi se prva automatska manipulacija obradaka pomo}u paleta, godina Proizvedene su prve CNC alatne ma{ine (Computer Numerical Control, kompjuterski upravljana alatna ma{ina) i NC alatne ma{ine sa memorijom, godina Pojava programskih paketa CAD/CAM (Computer Aided Design/Computer Aided Manufacturing, Ra~unarom podr`ano projektovanje proizvoda/ra~unarom podr`ana proizvodnja), godina Prvi CIM (Computer Integrated Manufacturing, Kompjuterom integrisana proizvodnja) sistem primjenjen u Japanu, godina Po~inje era inteligentne automatizacije i inteligentnih proizvodnih sistema,

6 1. UVOD Najve}om inovaciojom numeri~kog upravljanja smatra se prelazak na CNC upravljanje gdje se upravlja~ka funkcija ostvaruje pomo}u ra~unara. Dalji razvoj numeri~kog upravljanja bio je u najve}oj mjeri uslovljen razvojem u poluprovodni~koj tehnologiji. Velikoserijska proizvodnja CNC sistema po~inje od godine na bazi mikroprocesora sa ROM memorijom (Read Only Memory). Primjenom ROM memorije je nabavna cijena CNC sistema bila prvi puta ni`a od nabavna cijene NC sistema. Za potrebe numeri~kog upravljanja je godine razvijeno veliko integrisano kolo (LSI, Large Scale Integration) koje zamjenjuje 250 do 300 normalno integrisanih kola. Za memorisanje CNC programske podr{ke, pored ROM memorije, razvijena je memorija sa slobodnim pristupom RAM (Random Access Memory). U pogledu pouzdanosti rada, NC sistemi su do godine imali prosje~no jedan zastoj (kvar) na 10 mjeseci rada, da bi se pouzdanost sredinom osamdesetih godina pro{log vijeka pove}ala na jedan zastoj na 33 mjeseca rada, {to je u dana{njem vremenu pove}ano do nivoa skoro apsolutne pouzdanosti. Naredni va`an momenat vezan za razvoj numeri~kog upravljanja je novi tip alatne ma- {ine obradni centar. To je alatna ma{ina visoke fleksibilnosti i proizvodnosti. Osnovne su joj karakteristike: 6 obrada prizmati~nih obradaka pri jednom stezanju sa ~etiri ili pet strana (5-osna obrada), automatska izmjena reznog alata iz magacina alata, {irok dijapazon postupaka obrade; glodanje, bu{enje, narezivanje navoja, struganje, razvrtanje i t.d., automatsko uklju~ivanje broja obrtaja i posmaka, kru`na obrada na numeri~ki upravljanom obrtnom radnom stolu, automatska izmjena obradaka pomo}u ure aja za izmjenu paleta, veoma jednostavno postavljanje pomo}nog pribora na palete, CNC upravljanje sa memorisanjem programa i postprogramskom tehnikom, automatsko mjerenje i identifikacija geometrije obratka, korekcija programa na alatnoj ma{ini i t.d. Razvoj robota je dana{nju industriju prerade metala doveo do potpuno novog tehnolo{kog nivoa kojeg odlikuju razli~ite fleksibilne proizvodne (tehnolo{ke) strukture; fleksibilni proizvodni modul, fleksibilna proizvodna }elija i fleksibilni proizvodni sistem. Povezivanjem alatnih ma{ina se vr{i pomo}u robota i automatiziranih manipulatora a uz pomo} kompjuterskih sistema i obezbje ene vje{ta~ke inteligencije za automatsko funkcionisanje takvih sistema. * * * Automatizacija rada konvencionalno upravljanih alatnih ma{ina ostvaruje se ugradnjom odgovaraju}ih elemenata, mehanizama i ure aja u njihovu kinematsku strukturu. Takvi elementi i mehanizmi su naprimjer: brjegaste plo~e i dobo{i, kopirni ure aji, odgovara-

7 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM ju}i mehanizmi za kora~nu podjelu, cilindri jednosmjernog i dvosmjernog djelovanja, kulisni mehanizmi i t.d. Na ovaj na~in, na konvencionalno upravljanoj alatnoj ma{ini, mogu}e je upravljati kretanjem izvr{nih mehanizama alatne ma{ine s ciljem kretanja reznog alata i obratka po definisanom putu kojem odgovara izvr{enje konkretne proizvodne operacije. Dakle, "programiranje" rada kod ovih ma{ina vr{i se projektovanjem elemenata i mehanizama koji se ugra uju u kinematsku strukturu ma{ine. Svaki oblik, naprimjer brjegaste plo~e kod automatskog konvencionalno upravljanog struga, predstavlja "memorisani program", ili redosljed akcija i radnji izvr{nih organa ovog struga. Kod numeri~ki upravljanih alatnih ma{ina, izvr{ni organi dobijaju memorisane podatke za svoj rad u obliku signala koje njeni elementi, naprimjer servomotori, "razumiju" i transformi{u u relativno kretanje reznog alata i obratka, ili u izvr{avanje pojedinih funkcija izvr{nih organa ma{ine. Podaci o relativnom kretanju alata i obratka defini{u se u izabranom koordinatnom sistemu koji je orjentisan u radnom prostoru alatne ma- {ine. Niz ta~aka koje defini{u nazna~enu putanju zadaje se pomo}u vrijednosti ordinata u izabranom koordinatnom sistemu. Kako su ordinate brojevi, tj. numeri~ke informacije, ovaj na~in upravljanja alatnom ma{inom nazvan je "broj~ano upravljanje" ili numeri~ko upravljanje (Numerical Control), ili skra}eno NC upravljanje. U op{em slu~aju, kretanje tijela u prostoru je definisano sa {est stepeni slobode; tri translacije i tri rotacije. Zbog toga se numeri~ko upravljanje temelji na opisu relativnog puta reznog alata i obratka u pravouglom koordinatnom sistemu, slika 1.3. To su koordinate, i Z kojima se defini{u translatorna kretanja i koordinate A, B i C kojima se defini{u rotacije oko, i Z ose. Kod sistema numeri~kog upravljanja definisane su pozitivne i negativne vrijednosti (, -, A, -A,...). Translatorna kretanja paralelna sa osom su ozna~ena sa U i P, sa osom V i Q i sa Z osom W i R. Izrada programa, a zatim upravljanje i kontrola njegove realizacije u procesu rada alatne ma{ine omogu}uju, teoretski gledano, razradu veoma slo`enih i po vremenu trajanja dugih programa, tako da se primjenom numeri~kog upravljanja mogu automatizirati veoma slo`eni tehnolo{ki procesi. Uzimaju}i u obzir ~injenicu da se numeri~kim upravljanjem mogu automatizirati sve alatne ma{ine, mo`e se zaklju~iti da su ovim na~inom upravljanja otvorene neslu}ene mogu}nosti dovo enja proizvodnih procesa na mnogo vi{e tehnolo{ke nivoe. Q V Z +C +B +A +C B Z U P +A Z +B R W Slika 1.3. Pravougli koordinatni sistem alatne mašine 7

8 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM 2.1. POJAM SISTEMA ^esto, u {irem smislu ljudske aktivnosti, kori{tenje termina "sistem" izaziva pote{ko}e u razumijevanju, a najvi{e iz razloga `elje da se izka`e jedna generalna definicija ovog pojma i koja bi va`ila, ili bar obuhvatila ve}inu slu~ajeva, a da pri tome bude univerzalna. Najjednostavnije, a ujedno i najop{tije re~eno, sistem predstavlja skup objekata sa me usobnim relacijama povezanih u jednu cjelinu. Sistem se identifikuje objektima, osobinama i relacijama. Objekti su elementi ili komponente sistema sa odre enim osobinama i sa me usobnim relacijama kojima se ostvaruje funkcionisanje sistema, ali tako er, i veza sistema sa okolinom. Kibernetski pristup izu~avanja sistema podrazumijeva posmatranje sistema sa tzv. ulaznim veli~inama, stanjem i izlaznim veli~inama, slika 2.1. Ulazne veli~ine mogu biti kontrolisane i nekontrolisane (deterministi~ke i stohasti~ke). Kontrolisane ulazne veli~ine definisane su vektorom ulaznih veli~ina U i i ove veli~ine uti~u na pona{anje sistema, odnosno na procese koji se u njemu odvijaju. Kontrolisane ulazne veli~ine mogu biti funkcije vremena ili funkcije stanja, i one u {irem smislu obrazuju upravlja~ki dio sistema. Nekontrolisane veli~ine djeluju iz okoline sistema i predstavljaju tzv. poreme}ajne faktore na koje sistem nema nikakav uticaj. Izlazne veli- ~ine definisane su vektorom izlaznih veli~ina i (slika 2.1) koje se nazivaju odziv siste- ULAZ Poreme}ajni faktori Z 1 Z 2... Z n ULAZ Ulazne veli~ine U 1 U 2... U m S q IZLAZ Izlazne veli~ine Slika 2.1. Osnovni oblik sistema 8

9 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM ma. Njihove veli~ine zavise od ulaznih kontrolisanih i nekontrolisanih veli~ina, stanja sistema i relacija izme u objakata sistema. Stanje sistema, kao pojam, javlja se pri poku{aju matemati~kog modeliranja dinami~kih sistema koji se susre}u u teoriji upravljanja, teoriji kola i drugim nau~nim disciplinama upravljanja sistemima. Pod terminom stanje sistema podrazumijeva se skup podataka koji obezbje uju dovoljnu koli~inu informacija o pona{anju sistema u nekom prethodnom (pro{lom) vremenu, da bi se na osnovu toga modeliralo (ili odredilo) njegovo pona{anje u budu}nosti. Dakle, stanje sistema je funkcija vremena. Razmatranjem ulazno izlaznih relacija sistema (relacijom sistema se podrazumijeva veza izme u ulaza i izlaza) dolazi se do potpunijeg definisanja stanja sistema. Valja naglasiti da obi~no jednom ulazu odgovara vi{e izlaza, i obrnuto, ali tako er da u op{tem pristupu, ulaz mijenja stanje sistema. Na slici 2.1 prikazan je osnovni oblik sistema sa gore navedenim S 3 veli~inama ulaza (U 1, U 2,...,U m ), poreme- }aja (Z 1, Z 2,...,Z n ) i izlaza ( 1, 2,..., q ), pri ~emu je m 1, n 1, q 1 i gdje su m, n i q kona~ni brojevi. Stanje sistema opisuje se vektorom stanja sistema u obliku: A 1 (S 11, S 21, S 31 ) A 2 (S 12, S 22, S 32 ) [ S, S,..., ] S = 1 2 Su,... (2.1) S 2 ~ija je geometrijska interpretacija za dva uzastopna vremenska trenutka t 1 i t 2 prikazana na slici 2.2. S 1 Slika 2.2. Promjena stanja sistema Klasifikacija sistema vr{i se prema osobinama, veli~ini i karakteristikama relacija izme u objekata unutar sistema. Prema osobinama, sistemi se dijele na prirodne, tehni~ke i organizacione, prema veli~ini, dijele se na velike i male (misli se na veli~inu tokova informacija). Prema karakteristikama relacija izme u objakata, sistemi se dijele prema sljede}im kriterijima: me usobna relacija (linearni i nelinearni), struktura izgradnje (jednostavni i slo`eni), determiniranost (determinirani i stohasti~ki) i uzajamno djelovanje (otvoreni i zatvoreni) MA[INSKI SISTEM U oblasti alatnih ma{ina, pod pojmom ma{inskog sistema podrazumijeva se ma{ina ili ure aj sa strukturom koja defini{e sistem. Pri tome se pona{anje ovog sistema u obradnom procesu mo`e predvidjeti i na njega uticati. Kod konvencionalno upravljanih alatnih ma{ina, ma{inski sistem sa~injavaju alatna ma{ina sa svojim podsistemima i njihovim me usobnim relacijama. Kod numeri~ki upravljanih alatnih ma{ina, imaju}i na umu princip ovog upravljanja, ma{inski sistem ima druga~iju strukturu. Ve}ina podsiste- 9

10 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM ma kod numeri~ki upravljanih alatnih ma{ina je bitno razli~ita u odnosu na iste kod konvencionalno upravljanih ma{ina. Ove razlike se odnose na konstruktivne karakteristike, upravlja~ke mehanizme i akcije, stepen automatizacije, nivo i koli~inu prijenosa i obrade informacija, nivo komponenata podsistema, pouzdanost rada podsistema i sl. Navodi se samo jedan primjer. Kod konvencionalno upravljanih alatnih ma{ina postoji kinematska veza izme u glavnog i posmi~nog kretanja i to sa jednim pogonskim elektromotorom (naprimjer, kod struga se posmi~no kretanje izra`ava kao pre eni put no`a za jedan obrtaj obratka), dok se kod numeri~ki upravljanih alatnih ma{ina radi o odvojenim podsistemima sa posebnim pogonima. Numeri~ki upravljani ma{inski sistem, slika 2.3, sastoji se od podsistema za energiju E, pozicioniranje P, upravljanje U, mjerenje M, izmjenu alata A, izmjenu obratka O, nose}u strukturu S i dr. Porede}i ma{inske sisteme sa NC upravljanjem i konvencionalnim upravljanjem mogu se uo~iti razlike u strukturnoj izgradnji, razlike u odgovaraju}im podsistemima, ali sa istom ulogom u obradnim procesima. Sa stanovi{ta nivoa i obima upravljanih akcija i informacija, ma{inski sistemi NC alatnih ma{ina spadaju u kompleksne sisteme, gdje primjene kompjuterskih tehnologija naro~ito dolazi do izra`aja. Kada se ma{inski sistem posmatra istovremeno sa procesom koji izvr{ava, a to je u slu~aju alatnih ma{ina, obradni proces, tada se pove}ava njegova kompleksnost ~ime se gradi novi sistem, a to je obradni sistem. STRUKTURA NC ALATNE MA[INE E Podsistem za energiju U i (t) R s Σ i (t) P Podsistem za pozicioniranje U Podsistem za upravljanje M Podsistem za mjerenje i (t) A Podsistem za izmjenu alata i (t) O Podsistem za izmjenu obratka S Podsistem za nose}u strukturu Slika 2.3. Mašinski sistem numerički upravljane alatne mašine 10

11 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM 2.3. OBRADNI SISTEM U op{tem slu~aju, obradni sistem se mo`e definisati kao ma{inski sistem sa obradnim procesom kao osnovnom funkcijom, slika 2.4. Pod obradnim procesom se podrazumijevaju svi procesi kojima se materijal, energija i informacije transformi{u u izradak (proizvod). Ovo se odnosi na razli~ite postupke obrade rezanjem, zapravo zonu rezanja (pri struganju, bu{enju, glodanju, bru{enju i t.d.), a tako er i na me uzavisnosti uticaja izme u alatne ma{ine, reznog alata, pomo}nog pribora i obratka, odnosno na ma{inski sistem. Na taj na~in se mo`e izvesti preciznija definicija obradnog sistema: to je sistem koga sa~injavaju ma{inski sistem i obradni proces (proces rezanja sa pomo}nim procesima) sa odgovaraju}im elementima i relacijama. Obradni sistemi mogu biti izgra eni na bazi konvencionalnih i NC upravljanih alatnih ma{ina. Struktura navedenih sistema se zna~ajno razlikuje. Energija Pripremak (t) OBRADNI SISTEM Energija Izradak Informacije MA[INSKI SISTEM Alatna ma{ina OBRADNI PROCES Proces rezanja Informacije Rezni alat Pomo}ni procesi Pomo}ni pribor Obradak x(t) Slika 2.4. Osnovni model obradnog sistema Ma{inski sistem i obradni proces u okviru obradnog sistema su u me usobnoj vezi preko poreme}ajnih faktora (t) i izlaznih faktora x(t), slika 2.4. Zbog uticaja posljedica procesa obrade i uticaja okru`enja, skup poreme}ajnih faktora je: {, } () t F () t, F () t,w () t, F () t, F () t, Q () t = i g θ tr,... (2.2) 11

12 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM gdje je: F i (t), sile rezanja, F g (t), sile koje nastaju usljed neuravnote`enosti masa pri rotacionim i translatornim kretanjima, W(t), sile stezanja (alata i obratka), F θ (t), sile koje nastaju kao posljedica temperaturnih deformacija u sistemu, F tr (t), sile trenja u sistemu, Q(t), koli~ina toplote generisana u sistemu. Skup izlaznih faktora je: x () t { f () t, A () t, N () t, θ() t,wb () t,... } = i i,... (2.3) gdje je: f i (t), pomaci (pomjeranja) karakteristi~nih ta~aka u sistemu koji nastaju kao posljedica deformacija sistema, A i (t), amplitude oscilovanja karakteristi~nih ta~aka sistema, N(t), nivo buke koja se javlja u sistemu, θ(t), temperature karakteristi~nih ta~aka u sistemu, WB(t), parametar tro{enja reznog alata. Ako se naprimjer prora~unava dinami~ka stabilnost sistema, onda se obradni sistem mo`e modelirati kao sistem sa vi{e stepeni slobode kretanja prouzrokovanih poreme}ajnim silama (sile rezanja, sile trenja, inercijalne sile i sl.). Ovaj sistem je opisan sistemom diferencijalnih jedna~ina: [ m ]{ } + [ B ]{ } + [ C ]{ } = P ( t ) gdje je: [ m ], matrica masa, [ B ], matrica koeficijenata prigu{enja, [ ] C, matrica koeficijenata krutosti,, vektor ubrzanja, { } { }, vektor brzina, { } { P () t }, vektor koordinata (pomjeranja),, vektor poreme}ajnih sila. { },... (2.4) P =0, tada se radi o slobodnim vibracijama, ako je { ()} { } Ako je { () t } P t = Fi sin ωt, tada se radi o prinudnim vibracijama i ako je { P () t } = { P (,t )}, tada se radi o samopobudnim vibracijama. 12

13 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM Obradni sistemi sa numeri~kim upravljanjem NC Obradni sistemi sa NC upravljanjem su koncipirani tako da se sve upravlja~ke akcije obrade vr{e posredstvom i pod kontrolom upravlja~kog sistema, dok kod konvencionalno upravljanih obradnih sistema ~ovjek na direktan ili indirektan na~in upravlja procesom obrade. Numeri~ko upravljanje (NC) je vid programabilne automatizacije kod koje se obradnim sistemom upravlja pomo}u brojeva, slova i drugih simbola. Ovi brojevi, slova i simboli su kodirani u odgovaraju}em formatu ~ine}i na taj na~in set naredbi i instrukcija (ili program) za konkretni proizvodni zadatak. Kada je u pitanju drugi proizvodni zadatak, program se mora promjeniti. Zbog ograni~enog kapaciteta promjene programa, numeri~ko upravljanje je prikladno za malo- i srednjeserijsku proizvodnju. Operativni princip numeri~kog upravljanja sastoji se u neprekidnoj kontroli relativnog polo`aja reznog alata u odnosu na obradak. Ni`e }e se dati osnovne karakteristike izgradnje i funkcionisanja obradnih sistema sa NC upravljanjem. Na slici 2.5 prikazana je principijelna {ema obradnog sistema sa NC upravljanjem gdje je automatizacija obradnog procesa ostvarena automatizacijom pojedinih podsistema. Ma{inski sistem se sastoji od podsistema za pozicioniranje P, podsistema za pomo}na kretanja K i podsistema za generisanje energije E (i njeno dovo enje u zonu rezanja). S aspekta upravljanja, centralno mjesto ovog sistema je upravlja~ka jedinica koja na osnovu neke reference (ili nosioca informacija; bu{ena traka ili magnetna traka) i kruga povratnih veza (na slici 2.5 su to P i K povratne veze) izvodi sve upravlja~ke akcije u obradnom procesu. Nosilac informacija preko odre enog pre- U i (t) i (t) Obradni proces i (t) MA[INSKI SISTEM M g UPRAVLJA^KA JEDINICA Podsistem P Podsistem K Podsistem E P US K US ULAZNI PODACI M k P povratna veza K povratna veza Slika 2.5. Principijelna šema obradnog sistema sa numeričkim upravljanjem 13

14 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM poznatljivog koda nosi geometrijske, tehnolo{ke i druge informacije neophodne za odvijanje obradnog procesa. Struktura upravlja~ke jedinice obradnog sistema sa NC upravljanjem prikazana je na slici 2.6. Upravlja~ka jedinica je sastavljena od upravlja~kog dijela, dekodera, interpolatora, memorije, elemenata za obradu korektivnih vrijednosti i tehnolo{kih podataka, te upravlja~kih podsistema za koordinatne ose, i Z. Ulazni podaci se pomo}u nosioca informacija unose u dekoder gdje se vr{i dekodiranje u~itanih informacija koje se dalje preko upravlja~kog dijela {alju u memoriju. Memorijski dio je u direktnoj vezi sa interpolatorom (u ovom slu~aju to je ra~unar) u kome se izra~unavaju putanje reznog alata izme u referentnih ta~aka. Tako izra~unate vrijednosti se u obliku signala {alju upravlja~kim podsistemima. Istovremeno, preko povratnih veza, koje predstavljaju mjerni sistem, vr{i se odre ivanje polo`aja alata u pravcu, i Z ose i preko sumacijskih ta~aka (koje su s druge strane povezane sa interpolatorom), formiraju se razlike upravlja~kih signala ε x, ε y i ε z, kao relevantni signali za upravljanje. Svi tehnolo{ki podaci sa nosa~a informacija se preko memorije i interfejsa direktno prenose na alatnu ma{inu. U ove podatke spadaju informacije vezane za stezanje i otpu{tanje obratka, izmjenu reznog alata, dovo enje sredstva za hla enje i podmazivanje, kompenzacije, obrtanje radnih stolova kod obradnih centara i sl. Upravlja~ki sistem bez ugra ene memorije predstavlja tzv. klasi~ni sistem sa fiksnom logikom. Fleksibilnost ovog sistema je usko ograni~ena, tako da ~ak ne postoji mogu}- nost bilo kakvih korekcija u toku obrade, tj. izvr{enja programa. Ovi sistemi se zbog navedenog nedostataka samo spominju radi razumijevanja istorijskog razvoja NC upravljanja i ve} odavno se ne proizvode, ali jo{ uvijek ograni~eno koriste. Upravlja~ki sistemi sa ugra enom memorijom i sa fiksnom logikom su eliminisali naprijed navedene nedostatke i bili su u upotrebi u prvoj fazi razvoja NC upravljanja obradnim sistemima. NC HARDWARE UPRAVLJA^KI DIO Dekoder ULAZNI PODACI Prema podsistemima US US Z US ε x ε y ε z s s Z s Interpolator Memorija Korekturne vrijednosti Tehnolo{ki podaci ULAZ KOREKTURE Prema alatnoj ma{ini Interfejs Izlaz tehnolo{kih podataka Slika 2.6. Struktura upravljačke jedinice obradnog sistema sa NC upravljanjem 14

15 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM NC sistemi se sastoje od tri glavne komponente, slika 2.7: program (set naredbi), upravlja~ka jednica i obradni sistem (proizvodna oprema). Me usobna povezanost navedenih elemenata je sljede}a; program se unosi u upravlja~ku jedinicu, a ova dalje upravlja radom obradnog sistema. Program Upravlja~ka jedinica Slika 2.7. Osnovne komponente NC sistema Obradni sistem Da bi se moglo provesti numeri~ko upravljanje, potrebno je uspostaviti sistem standardnih osa pomo}u kojeg }e u svakom trenutku biti definisan i jednozna~no odre en relativni polo`aj reznog alata i obratka. i ose defini{u ravninu radnog stola alatne ma{ine, slika 2.8. Osa Z je normalna na ovu ravninu i predstavlja osu aksijalnog kretanja vertikalnog vretena ma{ine. Kretanja u pravcu koordinatnih osa su orjentisane u pozitivnom i negativnom pravcu. Naprimjer, postupak bu{enja se klasifikuje ili kao dvoosni, ili kao tro-osni, u zavisnosti da li, ili ne postoji upravljanje u pravcu ose Z. NC glodalice i sli~ne ma{ine (naprimjer, horizontalna bu{ilica glodalica) imaju sli~an sistem koordinatnih osa. Me utim, ovdje osim translatornih kretanja u pravcima, i Z ose, postoje i mogu}nosti kontrole jednog ili vi{e rotacionih kretanja oko ovih osa, A, B i C. Za orjentaciju smjera obrtanja koristi se pravilo desne ruke, slika 2.8. Svrha uspostavljanja koordinatnih sistema kod NC alatnih ma{ina je zahtjev kontrole relativnog polo`aja izme u reznog alata i obratka. U zavisnosti od tipa NC alatne ma{ine, tehnolog programer ima dvije glavne mogu}nosti: fiksni koordinatni po~etak ("fiksna nula") i pokretni (pomjerljivi) koordinatni po~etak ("lete}a nula"). U prvom slu~aju, koordinatni po~etak je uvijek lociran u istoj ta~ki na radnom stolu ma{ine. Naj~e{}e 15

16 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM je to donji desni ugao pravouglog stola i svi polo`aji se u tom slu~aju defini{u pozitivnim vrijednostima u pravcu i ose. U drugom, ~e{}e primjenivanom slu~aju, koordinatni po~etak mo`e biti u bilo kojem polo`aju na radnom stolu alatne ma{ine. Zauzimanje konkretnog polo`aju koordinatnog po~etka je isklju~iva odluka tehnologa programera. Me utim. postoje neki principi ili prakti~na pravila. Naprimjer, ako je obradak simetri~nog oblika, tada je svrsishodno i najjednostavnije, koordinatni po~etak definisati na simetrali obratka. ^ak i pri ru~nom programiranju i uno{enju programa preko tastature na konzoli alatne ma{ine, `eljeni polo`aj za koordinatni po~etak se mo`e definisati (fiksirati) jednostavnim pritiskom tipke "Zero". + Z C - -Z +Z A B -Z Radni sto Koordinatni sistem za NC Koordinatni sistem za NC struganje Z +, +, +Z +A, +B, +C Slika 2.8. Koordinatni sistemi kod NC upravljanja NC upravljanje u su{tini predstavlja polo`ajno pozicioniranje reznog alata u odnosu na obradak u toku obrade. Postoje apsolutno i inkrementalno pozicioniranje. Apsolutno pozicioniranje predstavlja polo`aj reznog alata uvijek u odnosu na nultu ta~ku. Ako je trenutni polo`aj burgije definisan ta~kom ( = 4, = 3), slika 2.9, i ako je potrebno bu{iti naredni otvor sa koordinata Naredni polo`aj (4, 3) (6, 7) Δy=4 Δx=2 Trenutni polo`aj Apsolutno pozicioniranje Inkrementalno pozicioniranje (=6, =7) (=2, =4) Slika 2.9. Apsolutno i inkrementalno pozicioniranje 16

17 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM ma = 6 i = 7, tada se apsolutno pozicioniraju}i, naredni polo`aj burgije zadaje ta~kom ( = 6, = 7). U slu~aju inkrementalnog pozicioniranja, naredni polo`aji alata se uvijek defini{u u odnosu na trenutni polo`aj. Tako za posmatrani primjer inkrementalno pozicioniranje narednog polo`aja burgije se zadaje kao ( = 2, = 4), pri ~emu je trenutni polo`aj u ta~ki ( = 4, = 3). Motor Radni sto Zavojno vreteno Upravljanje pozicijama i kretanjima kod NC sistema su sljede}e va`ne karakteristike. Podaci u~itani u upravlja~koj jedinici defini{u polo`aje u odnosu na koordinatne ose alatne ma{ine. Kretanja u pravcu svake pojedina~ne ose ostvaruje se zasebnim ure ajem od kojih se najvi{e koriste dc servomotori, kora~ni motori, kao i hidrauli~ni pogoni. Na slici 2.10 prikazan je princip pogona posmi~nog kretanja radnog stola alatne ma{ine. Naime, translatorno kretanje u pravcu ozna~ene ose za jedan obrtaj zavojnog vretena jednako je koraku zavojnog vretena. Sistem upravljanja pozicijama mo`e biti otvoreni i zatvoreni. Razlka izme u ova dva sistema je povratna sprega. Mjerni sistem pozicije se dakle ostvaruje sa ili bez povratne sprege. Kod otvorenih sistema, slika 2.11.a, uobi~ajeno se koristi kora~ni motor. Kora~ni motor je elektri~na ma{ina kod kojeg se pogon i kontrola vr{i pomo}u elektri~nih impulsa generisanih od strane upravlja~ke jedinice (ili nekog drugog digitalnog ure aja). Svakom impulsu odgovara korespondentna vrijednost zakretanja kora~nog motora {to je i osnov pogona i upravljanja veli~ine posmi~nog kretanja. Kod zatvorenih sistema, slika 2.11.b, senzor za pozicioniranje je ugra en na zavojnom vretenu alatne ma{ine. Svaka stvorena razlika izme u ulaza i izmjerene vrijednosti je osnov kontrole kretanja i pozicioniranja. Ovaj princip se naziva princip povratne sprege. Alat Pogon translatornog posmičnog kretanja radnog Slika stola (sistem motor i zavojno vreteno) a) Impuls Radni sto Kora~ni motor Prijenosnik Zavojno vreteno Ulaz + Komparator DAC Servomotor Radni sto Senzor b) Povratna sprega Prijenosnik Zavojno vreteno Slika Sistemi kontrole kretanja: a) otvoreni, b) zatvoreni 17

18 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM Obradni sistemi sa kompjuterskim upravljanjem CNC Najvi{e iz razloga glavnog nedostatka numeri~ki upravljanih sistema a to je fiksna logika, a zatim i zbog zahtjeva za ve}om fleksibilno{}u upravljanja obradnim procesima, razvijeni su sistemi sa fleksibilnom logikom, tzv. CNC sistemi (Computer Numerical Control). Pod kompjuterski upravljanim sistemima podrazumijevaju se dakle, NC sistemi sa kompjuterskim upravljanjem. Kod ovih sistema, mikrora~unari preuzimaju zadatke fiksne logike. Pri tome, za razli~ite podsisteme koriste se zasebni ra~unari, naprimjer jedan za izra~unavanje putanje reznog alata, drugi za pozicioniranje, tre}i za upravljanje ulazno izlaznim informacijama i t.d. Na slici 2.12 prikazana je principijelna {ema obradnog sistema sa CNC upravljanjem. Ulazni podaci se unose u memorije CMP i PMI (CMP centralna memorija obradnih podataka, PMI memorija komunikacijskih podataka), odakle se po potrebi obra uju u mikrora~unarima. Centralna memorija obuhvata interpolaciju, generisanje geometrije i korekcija, a komunikacijska memorija, dekodiranje, korekciju i upravljanje sistemom. Programi za navedene elemente memorija vr{e obradu podataka, tj. izra~unavaju putanje alata, upravljaju geometrijom, te preko mikrora~unara {alju naredbe u vidu signala za upravljanje pogonskim motorima alatne ma{ine. UPRAVLJA^KI SISTEM SA CNC U i (t) i (t) Obradni proces MA[INSKI SISTEM i (t) CMP Mikrora~unar za interpolaciju Mikrora~unar za geometriju Z... Ref. vrijednost Ref. vrijednost Ref. vrijednost PMI Mikrora~unar za upravljanje sistemom Konzola ULAZNI PODACI Povratna veza Korektor Povratna veza Izlaz tehnolo{kih podataka Povratna veza Interfejs Slika Principijelna šema obradnog sistema sa CNC upravljanjem 18

19 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM Op{ta konfiguracija kompjuterski upravljanog obradnog sistema prikazana je na slici Une{eni podaci, preko nosioca informacija, se memori{u u vidu programa, mikrora~unar ih obra uje i upravlja (u komunikaciji sa interfejsom) sa servosistemima alatne ma{ine u u`em smislu, ili obradnim sistemom u {irem smislu. Unos podataka Memorisanje programa Mikrora~unar Interfejs sa servositemima Slika Opšta konfiguracija kompjuterski upravljanog obradnog sistema CNC sistemi su u potpunosti eliminisali sve nedostatke NC upravljanja, tako da se ve} odavno, ovi drugi vi{e ne proizvode. Podaci koji se odnose na po~etak razvoja CNC sistema govore sljede}e: godine od svih NC sistema svega 8% je bilo sa kompjuterskim upravljanjem, da bi ve} godine NC sistemi bili ve} skoro potpuno zamijenjeni CNC sistemima. Glavne karakteristike CNC sistema su: Pohranjivanje (memorisanje) vi{e programa gdje se pod programom podrazumijeva set naredbi za obradu jedne vrste proizvoda. Dana{nji kapacitet u ovom smislu skoro da nema ograni~enja, Upotreba visokomemorijskih nosioca informacija. Kao istorijski podatak (detalj) se napominje bu{ena traka. Danas se koriste CD diskovi, ali ve} i internetom podr`ani unos podataka, Editovanje (prikaz) programa na alatnoj ma{ini. Ovo omogu}ava kompjuterska memorijska jedinica. Dakle, proces testiranja i korekcije programa mo`e se vr{iti na ma{ini, bez da se posao reprogramiranja prenosi nazad u programerski biro ({to je slu~aj kod NC upravljanja). Osim toga, editovanje programa na ma{ini omogu}ava i optimiranje re`ima obrade, Fiksni ciklusi obrade i podprogrami. CNC sistemi omogu}avaju memorisanje ~e{}e kori{tenih programa, koji se jednostavnim pozivanjem uvode u aktuelni program, Osim linearne i kru`ne interpolacije, zahvaljuju}i kori{tenju ra~unara, mogu}e su helikoidna, paraboli~na i kubna interpolacija koje su u sistem une{ene kao programski algoritmi, Pozicioniranje i pode{avanje. Pode{avanje alatne ma{ine za svaki pojedina~ni proizvodni zadatak (proizvodnja jednog proizvoda) obuhvata, izme u ostalog, i postavljanje i pozicioniranje pomo}nog pribora na radni sto ma{ine. Ovo podrazumijeva da 19

20 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM su koordinatne ose alatne ma{ine pode{ene sa obratkom stegnutim u pomo}nom priboru. Ovo pode{avanje se mo`e izvr{iti uz pomo} CNC sistema. Naj~e{}e se koristi tzv. sistem setiranja pozicija (pode{avanje pozicije). Ovim na~inom, nije potrebno prethodno ostvariti visokota~no pozicioniranje na radnom stolu ma{ine, nego koriste}i ciljne ta~ke, ili vi{e njih, jednostavno definisati referentni polo`aj pomo}nog pribora sa obratkom na radnom stolu ma{ine, Kompenzacija dimenzija reznog alata. Dimenzije reznog alata se moraju precizno definisati i ta~no usaglasiti sa programiranom putanjom u toku obrade koja je definisana programom. U novijim CNC sistemima postoji mogu}nost ru~nog unu{enja aktuelnih dimenzija reznog alata u upravlja~ku jedinicu. U zavisnosti od razlika projektovanih i aktuelnih dimenzija alata, upravlja~ka jedinica izvr{i kompenzaciju koja u kona~nici rezultira automatskim pode{avanjem putanje alata u saglasnosti sa njegovim dimenzijama. Druga, veoma korisna inovacija u CNC sistemima je upotreba senzora za mjerenje du`ina alata (naprimjer, du`ina glodala) koji je postavljen na ma{ini. Ovim na~inom se postavljeni alat dovodi u kontakt (dodir) sa senzorom i tako izmjerena du`ina alata je osnov za automatsku korekciju njegovog kretanja (korekcija programa), Dijagnostika. Savremene CNC upravljane alatne ma{ine imaju mogu}nost on-line dijagnostike svojih podsistema. Kada se otkrije (detektira) neka gre{ka u sistemu, operator na ma{ini dobiva poruku na monitoru upravlja~ke jedinice. I ne samo to. U slu~aju ozbiljnijeg kvara sistem automatski zaustavlja proces obrade i omogu}ava komunikacijsku analizu o razlozima otkaza, Komunikacijski interfejs. Moderni CNC sistemi imaju veoma u~inkovite i komunikacijski lahko upotrebljive komunikacijske interfejse. Prema tome, u najkra}em se mogu navesti osnovne prednosti primjene CNC sistema u odnosu na NC sisteme: ure aj za u~itavanje programa se koristi samo jednom i na taj na~in program se u~ita i memori{e, editovanje (prikaz) programa na monitoru, velika fleksibilnost, mogu}nost prera~unavanja veli~ina u razli~ite njene mjerne sisteme (metri~ki, anglosaksonski i sl.), ostvarenje tzv. potpunog obradnog sistema (Total Manufacturing System), i dr Obradni sistemi sa direktnim upravljanjem DNC Razvojem ra~unarske tehnike otvorile su se nove mogu}nosti upravljanja obradnim sistemima. U segmentu pove}anog obima informacija za upravljanje, razvoj ra~unara je omogu}io upravljanje ne samo jednom alatnom ma{inom, nego vi{e njih. Dakle, stvorene su podloge za razvoj takvog sistema u kome }e ra~unar preuzeti jo{ ve}u ulogu 20

21 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM u procesu obrade i istovremeno upravljati grupom numeri~ki upravljanih ma{ina. Zahvaljuju}i prije svega ulozi ra~unara, upravlja~ke akcije su sa hrdwerskog prevedene na softwerski dio. Sistemi u kojima je ra~unar preuzeo informacije koje klasi~na NC ma{ina nije mogla obuhvatiti i kojima ra~unar direktno upravlja grupom NC ili CNC ma{ina, nazivaju se direktno upravljani obradni sistemi DNC sistemi (Direct Numerical Control). Osnovne prednosti DNC sistema su: pouzdaniji rad jer je upravljanje svedeno uglavnom na softwerski dio, a smanjen je hardwerski dio upravljanja, pove}anje produktivnosti obradnog sistema zbog kvalitetnije obrade informacija, ve}i obim informacija {to daje {ire mogu}nosti upravljanja, kao i fleksibilnost, procesni ra~unari koji upravljaju ovim sistemima su iskori{teni u svom punom kapacitetu. Strukturna izgradnja DNC sistema prikazana je na slici Procesni ra~unar predstavlja centralni dio svakog DNC sistema. Ovom ra~unaru se mogu dodavati pojedine periferne jedinice, PJ. Strukturu DNC sistema ~ine: centralna jedinica, memorija, ulazno izlazna jedinica, elementi za prijenos podataka, procesni elementi, elementi NC upravljanja, alatne ma{ine sa NC ili CNC upravljanjem. Terminal DNC interfejs NC/CNC ma{ine [tampa~ PJ CENTRALNI RA^UNAR UNOS PODATAKA PJ PJ Slika Strukturna izgradnja DNC sistema Op{ta konfiguracija DNC sistema prikazana je na slici Sistem se sastoji iz ~etiri glavne komponente: centralni procesni ra~unar koji upravlja sistemom, 21

22 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM memorija (Bulk Memory) u koju se smje{taju programim za obradu pojedinih dijelova, komunikacijske veze, alatne ma{ine. Centralni ra~unar poziva odgovaraju}i program iz memorije i {alje ga prema odgovaraju}oj alatnoj ma{ini. Ovaj ra~unar tako er dobiva povratne informacije od svake pojedina~ne alatne ma{ine. Dakle, ovdje se s obzirom na tok informacija radi o tzv. dvosmjernom toku informacija u realnom vremenu. To zna~i da svaka alatna ma{ina koja o~ekuje informacije, iste mora dobiti u veoma kratkom vremenu, a istovremeno centralni ra~unar mora biti sposoban da primi informacije od ma{ina i brzo reagirati u povratnom smjeru. Centralni ra~unar je sposoban ovako brzo reagirati i upravljati radom ne samo jedne alatne ma{ine, nego vi{e njih (pa ~ak i nekoliko stotina ma{ina). Komunikacijaske veze CENTRALNI RA^UNAR MEMORIJA (Bulk memory) NC ili CNC alatne ma{ine Slika Opšta konfiguracija DNC sistema U zavisnosti od broja alatnih ma{ina i zahtjeva za obradom informacija za upravljanje, mogu}e je DNC sistem izvesti i sa tzv. satelitskim ra~unarima, slika Ovi ra~unari su manji ra~unari i u slu`bi su rada centralnog ra~unara, a upravljaju sa nekoliko alatnih ma{ina. Odgovaraju}i broj programa se iz centralnog ra~unara prebacuje u satelitske ra~unare i pohranjuje u njihovim memorijama (Memory Buffer), a zatim raspore uje prema odgovaraju}im alatnim ma{inama. Povratne informacije od alatnih ma{ina se tako er pohranjuju u memoriju satelitskih ra~unara, a zatim proslje uju u centralni ra~unar. S obzirom na komunikacijske veze izme u centralnog ra~unara i alatnih ma{ina, postoje dva tipa DNC sistema. Kod prvog tipa, slika 2.17.a, centralni ra~unar je direktno povezan sa klasi~nom upravlja~kom jedinicom NC ma{ine. Ovdje je ~ita~ ulaznih podataka premje{ten do alatne ma{ine, pa centralni ra~unar ima poziciju "iza ~ita~a ulaznih podataka", po ~emu je ovaj tip DNC sistema i dobio naziv BRT sistem (BRT, Behind-the-Tape-Reader). Dakle, ovdje je komunikacija sa centralnim ra~unarom izvede- 22

23 ALATNE MA[INE SA NUMERI^KIM I KOMPJUTERSKIM UPRAVLJANJEM na izme u ~ita~a ulaznih podataka i upravlja~ke jedinice NC ma{ine. Upravlja~ka jedinica svake alatne ma{ine ima dvije buffer memorije za primanje blok-instrukcija od DNC ra~unara i za proslje ivanje tih instrukcija prema alatnoj ma{ini. Dakle, jedna buffer memorija prima instrukcija, a druga ih proslje uje alatnoj ma{ini. Drugi tip DC sistema sastoji se u zamjeni klasi~ne upravlja~ke jedinice NC ma{ine sa specijalnom upravlja~kom jedinicom (SMCU, Special Machine Control Unit), slika 2.17.b. Specijalna upravlja~ka jedinica ima mogu}nost specijalne komunikacije izme u DNC ra~unara i alatne ma{ine, koja se ogleda u vi{e vidova. Naprimjer, to mo`e biti vezano za kru`nu interpolaciju kod definisanja putanje glodala kod operacija glodanja i sl. Prednost prvog tipa, BRT sistema, je ni`a cijena, ali uzimaju}i u obzir ~injenicu da su u dana{nje vrijeme u upotrebi prevashodno CNC alatne ma{ine, gdje upravo drugi tip, SMCU sistem dolazi do izra`aja, to ovaj drugi tip ima prednost nad prvim. Na kraju, mo`e se postaviti pitanje. [ta }e se desiti kada centralni DNC ra~unar otka`e? U tom slu~aju }e proizvodnja stati (zastoj), ali definitivno ovo nije slu~aj koji se ~esto de{ava (zapravo, mo`e se govoriti o iznimkama), jer je pouzdanost rada savremenih ra~unara toliko visoka i znatno vi{a nego {to je pouzdanost klasi~nih NC ma- {ina. Komunikacijaske veze CENTRALNI RA^UNAR MEMORIJA (Bulk memory) SATELITSKI RA^UNAR MEMORIJA (Memory buffer) SATELITSKI RA^UNAR MEMORIJA (Memory buffer) SATELITSKI RA^UNAR MEMORIJA (Memory buffer) NC ili CNC alatne ma{ine Slika Konfiguracija DNC sistema sa satelitskim računarima 23

24 2. OBRADNI SISTEMI SA NC I CNC UPRAVLJANJEM DNC ra~unar Memorija (Bulk memory) DNC ra~unar Memorija (Bulk memory) Dvije buffer memorije Upravlja~ka jedinica Specijalna upravlja~ka jedinica a) b) Slika Dva tipa DNC sistema: a) BRT sistem i b) SMCU sistem Obradni sistemi sa adaptivnim upravljanjem AC Numeri~ko upravljanje (NC, CNC i DNC) alatnim ma{inama je pomo}na vremena koja se odnose na manipulaciju materijalima, pode{avanje ma{ine, promjenu geometrije obrade, izmjenu alata i sl. svelo na minimum. Zbog smanjenja ovih vremena NC ma{ine su superiorne nad konvencionalno upravljanim alatnim ma{inama. Ali, ma{insko ili glavno vrijeme (vrijeme trajanja obrade) je ostalo isto, bez obzira da li se radi o obradnim sistemima sa konvencionalnim ili NC upravljanjem. Odgovor na ovaj zahtjev je bio uvo enje adaptivnog upravljanja AC (Adaptive Control). Dok NC upravljanje predstavlja vo enje procesa obrade na osnovu relativnih polo`aja reznog alata i obratka, adaptivno upravljanje se odnosi na upravljanje brzinama kretanja izvr{nih organa alatne ma{ine (brzina rezanja i brzine posmi~nih kretanje), a na osnovu postavljenih kriterija i na osnovu mjerenja pojedinih veli~ina u toku procesa obrade. Naprimjer, ako se u toku obrade identificira pove}anje sile rezanja (mjeri se sila rezanja) {to mo`e biti indikator pove}anog tro{enja reznog klina alata, tada }e sistemom adaptivnog upravljanja biti proslije ena informacija pogonskom motoru da se smanji broj obrtaja, a time i brzina rezanja. Na ovaj na~in }e se produ`iti postojanost alata i zavr{iti proizvodna operacija bez otkaza alata. Za operacije obrade rezanjem, pojam adaptivnog upravljanja ozna~ava sistem upravljanja kojim se mjere vrijednosti pojedinih karakteristika procesa rezanja (sile, temperatura, vibracije i sl.), a zatim, na osnovu tih vrijednosti upravlja veli~inom brzine rezanja i posmaka. Naj~e{}e mjerene karakteristike procesa rezanja su deformacije glavnog vretena, sile rezanja, obrtni moment, temperatura rezanja, amplitude vibracija, snaga rezanja, 24

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa

Tranzistori s efektom polja. Postupak. Spoj zajedničkog uvoda. Shema pokusa Tranzistori s efektom polja Spoj zajedničkog uvoda U ovoj vježbi ispitujemo pojačanje signala uz pomoć FET-a u spoju zajedničkog uvoda. Shema pokusa Postupak Popis spojeva 1. Spojite pokusni uređaj na

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε Deformae. Duljinska (normalna) deformaa. Kutna (posmina) deformaa. Obujamska deformaa Θ Tenor deformaa tenor drugog reda 9 podatakamjerna jedinia Simetrinost tenora deformaa 6 podataka 4. Duljinska deformaa

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα