Καμπύλες και επιφάνειες
|
|
- Άτροπος Ρέντης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Καμπύλες και επιφάνειες
2 Μοντελοποίηση αντικειμένων με πολυγωνικό πλέγμα Εναλλακτικά: μοντελοποίηση με καμπύλες και επιφάνειες.
3 Αναλυτική μορφή καμπυλών και επιφανειών (explicit representation) 2 διαστάσεις: έκφραση της εξαρτημένης μεταβλητής ως προς την ανεξάρτητη y=f(x), x=g(y) Μια τέτοια έκφραση μπορεί να μην υπάρχει για συγκεκριμένη καμπύλη Ευθεία y=mx+h, δεν καλύπτει ευθείες κάθετες στον x Κύκλος: 2 y = ± r x 2,0 x r
4 Αναλυτική μορφή καμπυλών και επιφανειών (explicit representation) 3 διαστάσεις: Καμπύλες: y=f(x), z=g(x) Επιφάνειες: z=f(x,y) Περιορισμένες δυνατότητες Ευθεία y=ax+b, z=cx+d Δεν περιλαμβάνονται οι ευθείες σε επίπεδο με σταθερό x(κάθετο στον άξονα x). Η σφαίρα δεν μπορεί να παρασταθεί με μοναδική εξίσωση z=f(x,y)
5 Πεπλεγμένη μορφή καμπυλών και επιφανειών (implicit representation) Καμπύλη σε 2 διαστάσεις: f(x,y)=0 ax+by+c=0, x 2 +y 2 -r=0 Συναρτήσεις αυτής της μορφής είναι συναρτήσεις ελέγχου ιδιότητας μέλους (membership functions) Επιφάνειες σε 3 διαστάσεις: f(x,y,z)=0 ax+by+cz+d=0
6 Πεπλεγμένη μορφή καμπυλών και επιφανειών (implicit representation) Καμπύλες σε 3 διαστάσεις: τομή δύο επιφανειών (δεν υπάρχει πάντα) f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0 Η πεπλεγμένη μορφή δεν είναι εύχρηστη Δυσκολία στο να δημιουργήσουμε σημεία της καμπύλης/επιφάνειας.
7 Πεπλεγμένη μορφή καμπυλών και επιφανειών (implicit representation) Αλγεβρικές επιφάνειες: ησυνάρτησηf(x,y,z) πολυώνυμο των 3 μεταβλητών Επιφάνειες 2ου βαθμού (quadric surfaces): κάθε όρος μέχρι 2ου βαθμού π.χ. zy, x 2 Παριστούν κοινές επιφάνειες (σφαίρες, κώνους,..) 2 το πολύ τομές με ευθείες
8 Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation) Καμπύλες στις 3 διαστάσεις x=x(u), y=y(u), z=z(u) Ομοιομορφία με την αναπαράσταση στις 2 διαστάσεις p(u)=[x(u), y(u), z(u)] T Ταχύτητα διάσχισης της καμπύλης, καθώς μεταβάλλεται το u, διάνυσμα εφαπτόμενο στην καμπύλη. dp( u) dx( u) dy( u) dz( u) T = du du du du
9 Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation)
10 Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation) Επιφάνειες στις 3 διαστάσεις x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) p(u,v)=[x(u,v), y(u,v), z(u,v)] T Διανύσματα στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας: p( uv, ) xuv (, ) yuv (, ) zuv (, ) T = v v v v p( uv, ) xuv (, ) yuv (, ) zuv (, ) T = u u u u
11 Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation)
12 Πολυωνυμικές παραμετρικές καμπύλες Οι παραμετρικές μορφές δεν είναι μοναδικές. Θα χρησιμοποιήσουμε μορφές με πολυώνυμα ως προς το u (καμπύλες) και τα u,v (επιφάνειες). Πολυωνυμική παραμετρική καμπύλη βαθμού n 3(n+1) βαθμούς ελευθερίας p( u) c = n k = 0 u k xk yk zk k c = c c c k T
13 Πολυωνυμικές παραμετρικές καμπύλες Τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις με n+1 βαθμούς ελευθερίας (μεταβλητές) ηκαθεμία: n pu ( ) = k = 0 k uck Θεωρούμε 0<=u<=1 για τμήμα καμπύλης
14 Πολυωνυμικές παραμετρικές επιφάνειες 3(n+1)(m+1) βαθμούς ελευθερίας p( uv, ) = c n m i= 0 j= 0 i j uv = c c c ij xij yij zij c T 0<=u,v<=1: περιοχή της επιφάνειας ij
15 Πολυωνυμικές παραμετρικές επιφάνειες Κάθε περιοχή μπορεί να θεωρηθεί σαν σύνολο καμπυλών που δημιουργούνται κρατώντας τη μια παράμετρο σταθερή και μεταβάλλοντας την άλλη
16 Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Διαδραστική μορφοποίηση καμπυλών και επιφανειώνγιαναπετύχωτοεπιθυμητό σχήμα Ανάλογο: κατασκευή μοντέλου από ευλύγιστες σανίδες
17 Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Κατασκευή της συνολικής καμπύλης με συνένωση μικρών τμημάτων Τοπικός έλεγχος του σχήματος, απαραίτητος για την αλληλεπιδραστική μοντελοποίηση
18 Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Χρήση σημείων ελέγχου (control, data points) για τον προσδιορισμό του σχήματος της καμπύλης Μεταβολή των σημείων ελέγχου για μεταβολή του σχήματος της καμπύλης. Ανάλογο: χρήση καρφιών για την μορφοποίηση των σανίδων
19 Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Πιθανή επιλογή: η καμπύλη να περνάει από κάποια σημεία ελέγχου και κοντά από κάποια άλλα.
20 Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Μας ενδιαφέρουν συνήθως ομαλές, συνεχείς καμπύλες Στις πολυωνυμικές καμπύλες & επιφάνειες υπάρχουν όλες οι παράγωγοι και μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά. Οι καμπύλες & επιφάνειες είναι συνεχείς Τα μόνα σημεία όπου μπορεί να υπάρξει ασυνέχεια είναι στις ενώσεις 2 καμπυλών ή επιφανειών.
21 Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες
22 Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Ευστάθεια Μικρές αλλαγές στις μεταβλητές εισόδου (σημεία ελέγχου, παραμέτρους καμπύλης) πρέπει να προκαλούν μικρές αλλαγές στις μεταβλητές εξόδου (σχήμα καμπύλης) Οι πολυωνυμικές καμπύλες έχουν αυτό το γνώρισμα. Τοπικός έλεγχος σχήματος Ταχύτητα απεικόνισης
23 Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Επιλογή πολυωνυμικών καμπυλών Επιλογή βαθμού Πολυωνυμικές καμπύλες υψηλού βαθμού Πολλές ελεύθερες παράμετροι - μεγαλύτερη ευελιξία στον προσδιορισμό του σχήματος Υψηλό κόστος για τον υπολογισμό των σημείων της καμπύλης. Οι καμπύλες μπορεί να μην είναι πολύ ομαλές
24 Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Πολυωνυμικές καμπύλες μικρού βαθμού Λιγότερες ελεύθερες παράμετροι - μικρότερη ευελιξία στον προσδιορισμό του σχήματος Πιο ομαλές καμπύλες Αν δουλέψουμε σε μικρά τμήματα μπορώ να έχω ικανοποιητικό έλεγχο του σχήματος και με λίγες παραμέτρους Χρήση κυβικών πολυωνυμικών καμπυλών.
25 Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) k T p( u) = c + cu+ c u + c u = c u = u c [ ] c= c c c c u T = 1 u u u T ck = ckx cky c kz Οπίνακαςc (12x1) περιέχει όλες τις παραμέτρους που θα πρέπει να προσδιορίσουμε T 3 k = 0 k
26 Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Τo c θεωρείται διανύσμα στήλης 4x1 με κάθε στοιχείο τους ένα διάνυσμα στήλης 3x1 Ο χρήστης καθορίζει τα σημεία ελέγχου και από αυτά προσδιορίζονται οι παράμετροι c της καμπύλης. Χρειάζομαι 12 ανεξάρτητες εξισώσεις Τρία ανεξάρτητα σύνολα τεσσάρων εξισώσεων (ένα για κάθε συντεταγμένη)
27 Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Διάφορα είδη καμπυλών ανάλογα με το πώς δίνουμε τις προδιαγραφές (σημεία ελέγχου) για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου u. Η καμπύλη να περνάει από τα σημεία ελέγχου για συγκεκριμένες τιμές του u Η καμπύλη να έχει συγκεκριμένες τιμές παραγώγων σε συγκεκριμένες τιμές του u Συνθήκες συνέχειας στα σημεία ένωσης δύο τμημάτων Η καμπύλη να περνάει κοντά από κάποια σημεία ελέγχου.
28 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Κυβικές καμπύλες που περνάνε από δοσμένα σημεία Χρησιμοποιούνται σπάνια στην πράξη Χρήσιμα για τον καθορισμό της μεθοδολογίας. Τέσσερα σημεία ελέγχου p 0, p 1, p 2, p 3 p k x y z k = k k
29 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Ψάχνουμε τις τιμές των παραμέτρων στο c ώστε η καμπύλη p(u)=u T c να περνάει από τα p ι σε ισαπέχουσες τιμές του u: 0, 1/3, 2/3, 1
30 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής p = p(0) = c p = p( ) = c + c + c + c p = p( ) = c + c + c + c p = p(1) = c + c + c + c
31 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής p = Ac [ ] p= p p p p A = T
32 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Δεν έχουμε τις τυπικές πράξεις πινάκων! Τα p, c θεωρούνται διανύσματα στήλης 4x1 με κάθε στοιχείο τους ένα διάνυσμα στήλης 3x1 Πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου του A με ένα στοιχείο των p, c : γινόμενο διανύσματος στήλης με βαθμωτό μέγεθος
33 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Ο Α αντιστρέψιμος, ο αντίστροφος του είναι ο interpolating geometry matrix M I = A = c=m I p εύρεση των συντελεστών της καμπύλης.
34 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Αν έχουμε m σημεία ελέγχου απ όπου θέλουμε να περνάει η καμπύλη: Χρήση καμπύλης βαθμού m-1 και προσδιορισμός των παραμέτρων Χρήση κυβικών καμπυλών σε τετράδες σημείων, μερικά επικαλυπτόμενων (p o, p 1, p 2, p 3 ), (p 3, p 4, p 5, p 6 ), Ο ίδιος πίνακας M I για όλες τις καμπύλες Δεν έχω συνέχεια παραγώγων στα συνδετικά σημεία.
35 Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής
36 Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) Δίνουν τη σχέση των σημείων της καμπύλης με τα control points T T T p( u) = u c= u M p= b( u) p b( u) M u b0 ( u) b( u) T 1 = I = b2 ( u) I b3 ( u)
37 Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) p( u) = b ( u) p + b( u) p + b ( u) p + b ( u) p
38 Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) Μπορούμε να δούμε την επίδραση των σημείων ελέγχου στα σημεία της καμπύλης Απλή περίπτωση: γραμμική παρεμβολή μεταξύ δύο σημείων p( u) = b ( u) p + b( u) p b ( u) = (1 u) b( u) 1 = u
39 Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) Ισοδύναμη θεώρηση: τα σημεία ελέγχου βαρύνουν τα πολυώνυμα ανάμειξης. Στην περίπτωση της παρεμβολής, τα πολυώνυμα ανάμειξης 3ου βαθμού έχουν τις 3 ρίζεςτουςστοδιάστημα[0,1] Πρέπει να μεταβάλλονται σε σημαντικό βαθμό, όχι ιδιαίτερα ομαλά Αποτέλεσμα του ότι έχουμε θέσει αυστηρές συνθήκες Σε συνδυασμό με τη μη συνέχεια παραγώγων στα άκρα, κα8ιστούν τα πολυώνυμα παρεμβολής μη ελκυστικά.
40 Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής p( uv, ) = = i= 0 j= 0 C= c ij T p( uv, ) = u Cv v 1 v v 3 v i j uv C : πίνακας 4x4 με στοιχεία διανύσματα στήλης 3x1 c ij
41 Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Για κάθε ζεύγος u,v έχω 3 εξισώσεις. Ένα δικυβικό τμήμα επιφανείας (surface patch) προσδιορίζεται πλήρως από τα 16 3x1 διανύσματα c ij ή ισοδύναμα από τα 48 στοιχεία του C Αν έχω 16 σημεία ελέγχου p ij,, i j = και θέλουμε η επιφάνεια να περνάει από αυτά στις τιμές 0, 1/3, 2/3, 1 των u,v τότε έχω 16 σετ τριών εξισώσεων (48 εξισώσεις)
42 Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Παράδειγμα για u=v=0 1 0 p = [ ] C = c
43 Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Εναλλακτική θεώρηση: θεωρώντας την μία παράμετρο σταθερή (π.χ. v=0) παίρνουμε μια καμπύλη με παράμετρο την u που περνά από 4 σημεία. Για v=0 παίρνω την καμπύλη που περνάει από τα p 00, p 10, p 20, p 30 p00 1 T 10 T 0 ( u,0) p p = u M I = u C p 20 0 p 30 0
44 Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Κάνω το ίδιο για τις άλλες τιμές του v και συμπυκνώνω σε μία έκφραση p( uv, ) = T P : πίνακας 4x4 με στοιχεία διανύσματα στήλης 3x1 (τα σημεία ελέγχου) Μπορώ να το παραστήσω με τη μορφή συναρτήσεων ανάμειξης. 3 3 i= 0 j= 0 I T I u M PM v p( uv, ) b( ub ) ( v) p = i j ij
45 Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Οι συναρτήσεις ανάμειξης είναι ίδιες με αυτές που εμφανίζονται στις καμπύλες. Κάθε b i (u) b j (v) είναι μια επιφάνεια ανάμειξης. Η επιφάνεια συντίθεται με την ανάμειξη των επιφανειών ανάμειξης με βάρη τα σημεία ελέγχου. Οι επιφάνειες ανάμειξης δεν είναι ιδιαίτερα ομαλές αφού έχουν τα μηδενικά τους στο μοναδιαίο τετράγωνο. Διαχωρίσιμες επιφάνειες p(u,v)=f(u)g(v)
46 Καμπύλες Hermite Απαιτούμε από την καμπύλη να περνάει μόνο από δύο σημεία ελέγχου p 0, p 3 (αρχή και τέλος) p0 = p(0) = c0 p = p(1) = c + c + c + c Απαιτούμε από την καμπύλη να έχει συγκεκριμένη κλίση (παράγωγο) στα p 0, p 3
47 Καμπύλες Hermite Δίνω 2 σημεία και δύο τιμές κλίσης
48 Καμπύλες Hermite dx du dy p'( u) = = c + 2uc + 3u c du dz du p' = p'(0) = c p' = p'(1) = c + 2c + 3c τριάδες εξισώσεων για τον προσδιορισμό των παραμέτρων c
49 Καμπύλες Hermite p p q= = c p ' p ' c= M q M H H =
50 Καμπύλες Hermite T T p( u) = u M q= b( u) q H Τα τέσσερα πολυώνυμα ανάμειξης δεν έχουν καμιά ρίζα στο εσωτερικό του (0,1) και άρα είναι πολύ πιο ομαλά από τα αντίστοιχα στην περίπτωση της παρεμβολής
51
52 Καμπύλες Hermite Στα σημεία σύνδεσης δύο τμημάτων μπορώ να απαιτήσω ίδιες τιμές των συναρτήσεων και των παραγώγων
53 Επιφάνειες Hermite 3 3 p( uv, ) b( ub ) ( v) q = i= 0 j= 0 i j ij Τέσσερα από τα q ij είναι οι κορυφές της επιφάνειας, τα υπόλοιπα δίνουν τιμές παραγώγων στις κορυφές αυτές Στις διαδραστικές εφαρμογές είναι διαισθητικά πιο εύκολο να δίνουμε σημεία παρά να ορίζουμε τις παραγώγους.
54 Συνέχεια Δύο καμπύλα τμήματα που προσδιορίζονται από τα πολυώνυμα p(u) q(u) Εφαρμόζουμε διάφορες συνθήκες συνέχειας εξισώνοντας τιμές των πολυωνύμων ή των παραγώγων στο u=1 για το p(u) και το u=0 για το q(u)
55 Συνέχεια Συνέχεια των τιμών της συνάρτησης, C 0 παραμετρική συνέχεια px(1) qx(0) p(1) = py(1) (0) qy(0) = q = pz(1) qz(0) Συνέχεια των παραγώγων, C 1 παραμετρική συνέχεια p'(1) x q'(0) x p'(1) = p' y(1) '(0) q' y(0) = q = p'(1) z q'(0) z Κάθε σχέση είναι 3 συνθήκες
56 Συνέχεια Χαλαρότερη συνθήκη: οι παράγωγοι (εφαπτόμενα διανύσματα) να είναι ανάλογες p (1)=aq (0) για κάποιο θετικό a Ίδια διεύθυνση, διαφορετικό μέτρο. G 1 γεωμετρική συνέχεια. Απαιτούμε εκπλήρωση 2 συνθηκών Η 3η μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ικανοποιηθεί κάποιο άλλο κριτήριο. Επέκταση C n G n
57 Συνέχεια Η διαφορά στο μέγεθος των εφαπτομενικών διανυσμάτων παίζει ρόλο. Σε αρκετές περιπτώσεις (καμπύλες κίνησης σε animation) η G 1 συνέχεια δεν είναι αρκετή.
58 Καμπύλες Bezier Απαιτούμε και πάλι από την καμπύλη να περνάει από δύο σημεία ελέγχου p 0, p 3 (αρχή και τέλος) p0 = p(0) = c0 p = p(1) = c + c + c + c Απαιτούμε από την καμπύλη να έχει συγκεκριμένη κλίση (διανυσματική παράγωγο) στα p 0, p 3
59 Καμπύλες Bezier Διαφορά από καμπύλες Hermite: Η παράγωγος στα p 0, p 3 δίνεται με βάση δύο άλλα σημεία ελέγχου p 1, p 2 p1 p0 p '(0) = 1/3 p3 p2 p '(1) = 1/3 3( p p ) = c 1 0 3( p p ) = c + 2c + 3c
60 Καμπύλες Bezier
61 Καμπύλες Bezier c= M p B T p( u) = u M p B Bezier geometry matrix M B =
62 Καμπύλες Bezier Για m σημεία ελέγχου χρήση καμπυλών Bezier σε τετράδες σημείων, μερικά επικαλυπτόμενων (p o, p 1, p 2, p 3 ), (p 3, p 4, p 5, p 6 ), Έχω C 0 συνέχεια αλλά όχι C 1 συνέχεια Δεν έχω συνέχεια παραγώγων στα συνδετικά σημεία.
63 Καμπύλες Bezier Παράσταση με blending functions T T p( u) = u M p= b( u) p B 3 (1 u) 2 T 3 u(1 u) b( u) = MBu= 2 3 u (1 u) 3 u
64 Καμπύλες Bezier Τα blending functions είναι Bernstein polynomials
65 Καμπύλες Bezier Οιρίζεςτουςείναισταu=0, u=1 Είναι ομαλά 0<b i (u)<=1 για 0<u<1 3 i= 0 b( u) = 1 i Ηκαμπύλημαςείναιέναconvex sum 3 p( u) = bi( u) p i= 0 i
66 Καμπύλες Bezier Η καμπύλη βρίσκεται μέσα στο convex hull των σημείων ελέγχου Παρόλο που δεν περνάει από τα p 1, p 2 βρίσκεται κοντά σε αυτά.
67 Καμπύλες Bezier Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με το ότι δίνω σημεία ελέγχου κάνουν τις καμπύλες Bezier κατάλληλες για διαδραστική σχεδίαση.
68 Επιφάνειες Bezier p( uv, ) = T B T B u M PM v P : πίνακας 4x4 με στοιχεία διανύσματα στήλης 3x1 (τα σημεία ελέγχου) Η επιφάνεια περιέχεται πλήρως στο convex hull των σημείων ελέγχου και περνάει από τα p 00, p 03, p 30, p 33 Τα υπόλοιπα σημεία ελέγχου χρησιμοποιούνται για να προσδιοριστούν οι παράγωγοι στα 4 άκρα της καμπύλης.
69 Επιφάνειες Bezier
70 Επιφάνειες Bezier p(0,0) = p 00 p(0,0) p10 p00 = u 1/3 p(0,0) p01 p00 = v 1/3 2 p(0,0) = 9( p00 p01 + p10 p11) vu
71 Cubic B-splines Οι καμπύλες και επιφάνειες Bezier έχουν C 0 συνέχεια στα σημεία (η τιςκαμπύλες) των ενώσεων. Για μεγαλύτερου βαθμού συνέχεια στα σημεία αυτά δεν απαιτούμε από τις καμπύλες/επιφάνειες να περάσουν από τα σημεία ελέγχου αλλά απλά να τα προσεγγίσουν. Εκμεταλλευόμαστε τις χαλαρές απαιτήσεις στασημείαελέγχουγιαναπετύχουμε
72 Cubic B-spline καμπύλες Θα μελετήσουμε συγκεκριμένο τύπο κυβικής B-spline καμπύλης. Τετράδα σημείων ελέγχου, [p i-2, p i-1, p i, p i+1 ] μέσα σε ένα μεγαλύτερο σύνολο σημείων Καθώς η παράμετρος u μεταβάλλεται μεταξύ 0 και 1 η καμπύλη διατρέχει το διάστημα μεταξύ p i-1, p i, χωρίς να περνάει από αυτά.
73 Cubic B-spline καμπύλες Όμοια για το [p i-3, p i-2, p i-1, p i ] όπου η καμπύλη κινείται μεταξύ των p i-2, p i-1 Οι τετράδες σημείων ελέγχου έχουν επικάλυψη 3 σημεία και η καμπύλη κινείται μεταξύ των δύο μεσαίων. Έστω p(u) η καμπύλη μεταξύ των p i-1, p i και q(u) μεταξύ των p i-2, p i-1
74 Cubic B-spline καμπύλες Συνθήκες μεταξύ των p(0) και q(1) αλλά και μεταξύ του p(1) και της αρχής της στα δεξιά καμπύλης ( ) T i i i i u + = = p u Mp p p p p p ( ) T i i i i u = = q u Mq p p q p p
75 Cubic B-spline καμπύλες Χρήση διαφόρων ειδών συνθηκών. Οι συνθήκες πρέπει να χρησιμοποιούν σημεία ελέγχου που είναι κοινά στα δύο εφαπτόμενα τμήματα 1 p(0) = q(1) = ( pi pi 1+ pi) 6 1 p'(0) = q'(1) = ( pi pi 2) 2
76 Cubic B-spline καμπύλες p(u)=u T c 1 c0 = ( pi pi 1+ pi ) 6 1 c1 = ( pi pi 2 ) 2 Αντίστοιχες συνθήκες για το p(1) 1 p(1) = c0 + c1+ c2 + c3 = ( pi 1+ 4 pi + pi+ 1) 6 1 p'(1) = c1 + 2c2 + 3 c3 = ( pi+ 1 pi 1) 2
77 Cubic B-spline καμπύλες Β-spline geometry matrix M S =
78 Cubic B-spline καμπύλες Πολυώνυμα ανάμειξης 3 (1 u) 2 3 T 4 6u + 3u b( u) = MSu= (1/6) u+ 3 u 3 u 3 u 2 3
79 Cubic B-spline καμπύλες Η καμπύλη περιέχεται στο convex hull των τεσσάρων σημείων ελέγχου, αλλά δεν καλύπτει όλη του την έκταση
80 Cubic B-spline καμπύλες Επιβάλλαμε C 1 συνέχεια στα άκρα αλλά στην πραγματικότητα η καμπύλη είναι C 2 συνεχής Τρεις φορές η δουλειά που απαιτείται για τις καμπύλες Bezier ή τις καμπύλες παρεμβολής. Στα splines ηεπικάλυψηείναι3 σημεία ελέγχου ενώ στις άλλες καμπύλες μόνο ένα. Για κάθε καινούργιο σημείο ελέγχου έχω να υπολογίσω τις παραμέτρους μιας νέας καμπύλης Στα άλλα είδη καμπύλών νέα καμπύλη για κάθε 3 νέα σημεία ελέγχου.
81 Cubic B-spline καμπύλες Κάθε σημείο ελέγχου επιδρά σε 4 γειτονικά τμήματα της καμπύλης (τοπικότητα) T T p( u) = u M p= b( u) p B Θεωρώότιηπαράμετροςu είναι συνεχής στα διαδοχικά διαστήματα u< i 2 b ( u+ 2) i 2 u< i 1 b1 ( u+ 1) i 1 u< i Bi ( u) = { b ( u) i u< i+ 1 b ( u 1) i+ 1 u< i+ 2 0 u i+ 2
82 Cubic B-spline καμπύλες Συνάρτηση βάσης Σχηματίζεται από σύνθεση τεσσάρων μετατοπισμένων πολυωνύμων ανάμειξης
83 Cubic B-spline καμπύλες Η συνολική καμπύλη που ορίζεται από τα σημεία ελέγχου p 0, p 1,... p i,... p m δίνεται από το γραμμικό συνδυασμό μετατοπισμένων συναρτήσεων βάσης, κάθε μία κεντραρισμένη στο u=i και μη μηδενική σε διάστημα μήκους 4 m 1 p( u) = Bi( u) p i= 1 i
84 Cubic B-spline καμπύλες
85 Cubic B-spline επιφάνειες Η B-spline επιφάνεια που προσδιορίζεται από 16 σημεία ελέγχου εκτείνεται μόνο στο κεντρικό τμήμα του πλέγματος που ορίζεται απότασημείααυτά. Σημαντικά πιο ομαλές από τις επιφάνειες Bezier, 9 φορές περισσότερη δουλειά.
86 Β-splines γενικής μορφής m+1 σημεία ελέγχου p 0, p 1,... p i,... p m Θέλω να ορίσω μια καμπύλη στο διάστημα u min u max που να περνάει κοντά από τα σημεία ελέγχου Έχω έναν πίνακα κόμβων (knot array), n+1 τιμές του u umin = u0 u1... un = umax Σε κάθε διάστημα u K u k+1 πολυώνυμο βαθμού d d j p( u) = cjku, uk u u k + j= 0 1
87 Β-splines γενικής μορφής Για spline βαθμού d πρέπει να ορίσω n(d+1) συντελεστές c jk για το σύνολο της καμπύλης. Συνθήκες συνέχειας και σχέση με τα σημεία ελέγχου. d=3 κυβικά πολυώνυμα 4n συνθήκες. n-1 εσωτερικοί κόμβοι, για C 2 (άρα και C 0 C 1 ) συνέχεια 3(n-1) συνθήκες. Αν θέλω να περνάει από n+1 σημεία ανάλογος αριθμός συνθηκών. Global spline
88 Β-splines γενικής μορφής Στα Β-splines βαθμού d η καμπύλη συντίθεται από συναρτήσεις βάσης που είναι πολυώνυμα τάξης d μεταξύ των κόμβων, μη μηδενικές μεταξύ λίγων κόμβων και κάθε μία επηρεάζεται από ένα σημείο ελέγχου m p( u) = B ( u) p 1 d i= 0 m id i
89 Β-splines γενικής μορφής Σημαντικός τύπος Β-splines: αναδρομικός υπολογισμός των συναρτήσεων βάσης για κάθε θέση k: B k0, B k1, B kd (αναδρομή CoxdeBoor) B k 0 1 uk u uk = { 0 otherwise + 1 u u u u B ( u) = B ( u) + B ( u) k k+ d kd k, d 1 k + 1, d 1 uk+ d uk uk+ d+ 1 uk+ 1
90 Β-splines γενικής μορφής Κάθε B kd βαθμού d μη μηδενικό σε d+1 διαστήματα, μεταξύ των κόμβων u k και u k+d+1. Κάθε σημείο ελέγχου σχετίζεται με d+2 κόμβους και επηρεάζει d+1 διαστήματα C d-1 συνέχεια στους κόμβους Διαφορετικό σετ συναρτήσεων βάσης B kd για διαφορετικό βαθμό και πίνακα κόμβων.
91 Β-splines γενικής μορφής Για καμπύλες από u 0 μέχρι u n+1 χρειάζομαι d-1 επιπλέον κόμβους Οι τιμές τους καθορίζονται από συνθήκες για την αρχή ή το τέλος της καμπύλης. Αν οι κόμβοι ισαπέχουν τότε έχω uniform spline. Πίνακας κόμβων: {0,1,2,...n} Οι συναρτήσεις βάσης είναι μετατοπισμένες εκδόσεις της ίδιας συνάρτησης.
92 Β-splines γενικής μορφής Nonuniform Β-splines: οι κόμβοι δεν ισαπέχουν Μπορώ να έχω κόμβους με την ίδια τιμή u k =u k+1 Στην αναδρομή Cox-deBoor 0/0 ορίζεται ως 1 Κόμβοι με πολλαπλότητα ωθούν την καμπύλη κοντά στο αντίστοιχο σημείο ελέγχου. Αν σε καμπύλη βαθμού d υπάρχει κόμβος με πολλαπλότητα d+1 ή καμπύλη περνάει από το αντίστοιχο σημείο.
93 Β-splines γενικής μορφής Τεχνική για να περνάει από τα ακραία σημεία ελέγχου: επανάληψηκόμβωνστηναρχήκαι στο τέλος και ισαπέχοντες κόμβοι στο εσωτερικό (οpen splines) {0, 0, 0,0,1,2,...n-1,n,n,n,n} δημιουργεί κυβικό spline που περνάει από τα άκρα. {0, 0, 0,0,1,1,1,1} κυβική καμπύλη Bezier
94 Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) p( u) = m i= 0 m i= 0 B ( u) wp id i i B id ( u) w i Κάθε συνιστώσα είναι ρητή συνάρτηση του u Διατηρούν όλες τις ιδιότητες των non-rational (π.χ. συνέχεια)
95 Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Μπορώ να θεωρήσω τα σημεία ελέγχου σε ομογενείς συντεταγμένες pi xi xi y i = y i, i w q = i z i z i 1 Χρησιμοποιώ τα w i για να δώσω βάρος στα σημεία ελέγχου
96 Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Συνιστώσες x,y,z της καμπύλης xu ( ) m q( u) = y( u) = Bid ( u) wipi i= 0 zu ( ) Συνιστώσα w της καμπύλης m wu ( ) = Bid ( uw ) i= 0 i
97 Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Προοπτική διαίρεση για να πάω σε κανονικές συντεταγμένες 1 p( u) = q( u) = wu ( ) m i= 0 m i= 0 B ( u) wp id i i B id ( u) w i
98 Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Τα non-rational είναι αμετάβλητα σε affine μετασχηματισμούς Γιαναβρωτηνμετασχηματισμένηκαμπύληαρκεί να βρω τον μετασχηματισμό των σημείων ελέγχου. Όχι όμως και σε προοπτική προβολή! Τα NURBS είναι αμετάβλητα και σε προοπτική προβολή. Τα NURBS μπορούν να παραστήσουν ακριβώς καμπύλες & επιφάνειες 2ου βαθμού (κύκλους, ελλείψεις, παραβολές,...)
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 2 η Σειρά Ασκήσεων 1. Αντί των κλασικών κυβικών πολυωνυμικών παραμετρικών καμπυλών
Διαβάστε περισσότεραΑπεικόνιση καμπυλών και επιφανειών
Απεικόνιση καμπυλών και επιφανειών Αφού μοντελοποιήσουμε τα αντικείμενα αλληλεπιδραστικά με καμπύλες και επιφάνειες πρέπει να τα απεικονίσουμε Αν χρησιμοποιούμε ray tracing πρέπει να υπολογίσουμε τομές
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Spline Αναπαραστάσεις
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Spline Αναπαραστάσεις Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τις εύκαμπτες (spline)
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ CAD/CAM/CNC 1. ΤΕΙ Κρήτης
ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΠΛΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (HERMITE, BEZIER, B-SPLINES, NURBS, COONS) CAD/CAM/CNC
Διαβάστε περισσότερα4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ
4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται
Διαβάστε περισσότεραα) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕΣΩ SPLINES
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (3 ο Εξάμηνο Σχομής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕΣΩ
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a
Διαβάστε περισσότεραf f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange
Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραII.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2)
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"
ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότεραn. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:
Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ
ΜΕΛΕΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ - COMPUTER AIDED DESIGN (CAD) 1.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ - CAD 1.1 1.2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΣΧΕ ΙΟΜΕΛΕΤΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ Η/ΥΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραX v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)
Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραΘέση και Προσανατολισμός
Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου
Διαβάστε περισσότεραΒ Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.
14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραV (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}
1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,
Διαβάστε περισσότερα1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1
1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου
Διαβάστε περισσότερα2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων
2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz Σύντομες Λύσεις Άσκηση. Δείξτε ότι η απεικόνιση u, v = u v + 5u v, όπου u = (u, u ), v = (v, v ),
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραD = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].
4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότεραx 2 + y 2 x y
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΗ συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x
Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότερα{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Οκτ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-13 Οκτ 2014 1 / 10 Ενα θεμελιώδες πρόβλημα της Αναλυτικής Γεωμετρίας
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.
Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας
Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΑπεικόνιση δεδομένων (data visualization)
Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Χρήση γραφικών για την αναπαράσταση δεδομένων από διάφορες πηγές Ιατρικές εφαρμογές (π.χ. αξονική τομογραφία) Μαθηματικά μοντέλα και συναρτήσεις Προσομοίωση διεργασιών
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 7) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 7) Δεκέμβριος 2014 1
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
Διαβάστε περισσότεραx y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k
Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών
Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)
Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2012:
ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ Θέματα Εξετάσεων Σεπτεμβρίου : ΘΕΜΑ (μονάδες ) Καμπύλη Bezier δημιουργείται από σημεία ελέγχου, που κατά σειρά είναι τα: (,), (?,?),
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραB6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ
B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα