Κεφάλαιο ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

Transcript

1 Κεφάλαιο ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Η χωρική παρεμβολή αποτελεί μια διαδικασία εκτίμησης της τιμής ενός χαρακτηριστικού σε σημεία που δεν ανήκουν στο δείγμα, με βάση τις μετρήσεις στα σημεία του δείγματος. Οι διάφορες τοποθεσίες μπορούν να προσδιοριστούν ως σημεία στο χώρο και το χρόνο, συνεπώς η παρεμβολή δεν είναι αναγκαίο να προσδιοριστεί σε μια ή δύο διαστάσεις, αν και η πιο κοινή εφαρμογή είναι η προσομοίωση πεδίου δύο διαστάσεων. Παρόλα αυτά, υπάρχουν συνεχώς αυξανόμενα δεδομένα και προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν πολυδιάστατες (και επίσης πολυπαραμετρικές) μεθόδους παρεμβολής. Είναι γεγονός ότι οι τρεις διαστάσεις είναι ένα κοινό χαρακτηριστικό όλων των γεωσφαιρών (ατμόσφαιρα, υδρόσφαιρα κ.λπ.), καθώς οι ιδιότητές τους που απεικονίζονται από μονοδιάστατα, ανυσματικά ή τασικά φυσικά πεδία μετρώνται σε διαστάσεις (x, y, z) και συχνά επαναλαμβάνονται στο χρόνο (π.χ. με τη διάσταση του χρόνου). Επιπλέον, καινούργιες προσεγγίσεις έχουν δείξει ότι η ενσωμάτωση μιας πρόσθετης μεταβλητής που επηρεάζει το υπό προσομοίωση φαινόμενο, συχνά βελτιώνει τα αποτελέσματα της παρεμβολής, έτσι ώστε οι πολυπαραμετρικές μέθοδοι να καθίστανται αρκετά δημοφιλείς σε αντίστοιχες έρευνες. Ο προσδιορισμός του προβλήματος της παρεμβολής περιλαμβάνει την ανεύρεση μιας τέτοιας μαθηματικής συνάρτησης, που επιβεβαιώνεται για τα σημεία που υπάρχουν δεδομένα και παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια για την εκτίμηση των τιμών των σημείων όπου τα πρωτογενή δεδομένα είναι ελλιπή. Ο συνδυασμός μεταξύ της ακρίβειας της παρεμβολής στα σημεία με υπάρχοντα δεδομένα και της ακρίβειας εκτίμησης τιμών στα σημεία χωρίς δεδομένα, οδήγησε στη χρήση μεθόδων, που σε γενικές γραμμές έχουν μια μαθηματική λογική. Η μικρότερη ακρίβεια στα δοθέντα σημεία (δηλαδή σε σημεία στα οποία υπάρχουν μετρήσεις) παρέχει μεγαλύτερη ακρίβεια και αξιοπιστία στις περιοχές με έλλειψη στοιχείων. Η λογική αυτή προκύπτει από την πεποίθηση ότι πολλά στοιχεία περιέχουν τιμές με συγκεκριμένα επίπεδα θορύβου (αβεβαιότητα, σφάλματα) που πρέπει να εξομαλυνθούν (απαλοιφή ή ελαχιστοποίηση). Η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου παρεμβολής για εφαρμογές πεδίου θέτει μια σειρά προβλημάτων. Τα υπό προσομοίωση φαινόμενα είναι συνήθως αρκετά πολύπλοκα, τα δεδομένα είναι χωρικά ετερογενή και συχνά η δειγματοληψία δεν είναι ιδανική και περιέχει «θόρυβο». Επιπρόσθετα, τα δεδομένα μπορεί να είναι αρκετά ογκώδη (π.χ. δεκάδες εκατομμύρια σημεία laser σαρωτή) που προέρχονται από διάφορες πηγές και με διαφορετική κάθε φορά ακρίβεια. Συνεπώς η ακρίβεια μιας μεθόδου παρεμβολής που θα είναι κατάλληλη για προσομοίωση του τοπογραφικού ανάγλυφου, θα πρέπει να διέπεται από συγκεκριμένες ιδιότητες: ικανοποιητική ακρίβεια και αξιοπιστία των υπό εξέταση φαινόμενων, σύνθεση πολλαπλών διαστάσεων, εφαρμοσιμότητα σε δεδομένα από διαφορετικές πηγές (π.χ. καμπύλες, τηλεανίχνευση, γεωδαιτικές μεθόδους κ.λπ.), εφαρμοσιμότητα σε ογκώδεις βάσεις δεδομένων, υπολογιστική ικανότητα, σχετική ευκολία στη χρήση. Επί του παρόντος, είναι δύσκολο να βρεθεί μια ικανοποιητική πολυχρηστική μέθοδος που να πληροί όλες τις παραπάνω απαιτήσεις για ένα μεγάλο εύρος γεωαναφερμένων πληροφοριών. Κατά συνέπεια, η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου για μια συγκεκριμένη εφαρμογή είναι ιδιαίτερα κρίσιμη, καθώς διαφορετικές μέθοδοι θα παράγουν διαφορετικές χωρικές απεικονίσεις και ενδεχομένως ασαφή γνώση και προσομοίωση του υπό εξέταση φαινομένου. Η χρήση ακατάλληλων μεθόδων ή λανθασμένων παραμέτρων, μπορεί να δώσει ένα στρεβλωμένο μοντέλο χωρικής κατανομής και τελικά να οδηγήσει τον ερευνητή σε λανθασμένες αποφάσεις που θα στηρίζονται στις ανακριβείς χωρικές πληροφορίες. Ορισμένα εργαλεία εκτίμησης, όπως π.χ. η μέθοδος Cross-Validation, μπορούν να βοηθήσουν στην κατάλληλη επιλογή μεθόδου και στην εύρεση των βέλτιστων δυνατών παραμέτρων, αλλά το πεδίο εφαρμογής τους 195

2 είναι συχνά περιορισμένο και περιλαμβάνει περιπτώσεις, όπου η δειγματοληψία του υπό μελέτη φαινομένου είναι αρκετά ικανοποιητική. Εν κατακλείδι, η επιτυχημένη εφαρμογή της κατάλληλης μεθόδου παρεμβολής, επαφίεται στην επαρκή γνώση και σύγκριση των διαθέσιμων μεθόδων, του προσομοιωμένου φαινομένου και της διαδικασίας δοκιμής-λάθους (trial-and-error), η οποία περιλαμβάνει προχωρημένη απεικόνιση και ψηφιακή ανάλυση τοπογραφικού ανάγλυφου terrain analysis, που βοηθά στον εντοπισμό λαθών στην παρεμβολή και γεωμετρικών στρεβλώσεων Μέθοδοι παρεμβολής Οι μέθοδοι παρεμβολής (Interpolation methods) που βρίσκονται στα διαθέσιμα λογισμικά είναι ποικίλες. Τα εξειδικευμένα λογισμικά, συνήθως παρέχουν πληθώρα μεθόδων και επιλογών παραμέτρων, για τη βελτιστοποίηση του εξαγόμενου αποτελέσματος της παρεμβολής. Σε ακόμη πιο ολοκληρωμένα-ισχυρά λογισμικά περιλαμβάνονται και Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών (GIS), στα οποία η παρεμβολή αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου πεδίου επιλογών και εργαλείων χωρικής ανάλυσης. Οι σημαντικότερες από αυτές τις μεθόδους ανήκουν σε τρείς κατηγορίες μεθόδων παρεμβολής: η μέθοδος των τοπικών εκτιμήσεων (local neighbourhood), οι γεωστατικές μέθοδοι-kriging και οι μέθοδοι γενικευμένων προσεγγίσεων Παρεμβολή τοπικής γειτνίασης Οι μέθοδοι τοπικής εκτίμησης (local estimation) βασίζονται στην υπόθεση, ότι κάθε διακριτό σημείο επηρεάζει τις τιμές των γειτονικών του σημείων, μέχρι μια ορισμένη απόσταση μεταξύ τους. Οι τιμές των σημείων με απουσία δειγματοληπτικών δεδομένων υπολογίζονται από συναρτήσεις με διαφορετικές παραμέτρους και η διασύνδεση μεταξύ αυτών των συναρτήσεων προσδιορίζεται μόνο με κάποιες προσεγγίσεις. Η μέθοδος εκτίμησης που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της συνάρτησης παρεμβολής, διαφέρει μεταξύ των ποικίλων διαθέσιμων μεθόδων και των συγκεκριμένων εφαρμογών που έχουν κάθε φορά. Οι συνηθέστερες μέθοδοι παρεμβολής τοπικής γειτνίασης (Local neighborhood interpolation) είναι: η σταθμισμένη παρεμβολή αντίστροφης απόστασης (inverse distance weighted interpolation-idw), η παρεμβολή φυσικής γειτνίασης (natural neighborhood interpolation), η παρεμβολή ακανόνιστου τριγωνικού δικτύου (triangulated irregular network interpolation-tin). Οι παραπάνω μέθοδοι είναι αρκετά γρήγορες, αλλά έχουν το μειονέκτημα ότι όταν χρησιμοποιούνται για δεδομένα με ετερογενή χωρική πυκνότητα, έχουν συχνά μειωμένη ακρίβεια και ανεπιθύμητα τεχνητά δεδομένα παρεμβολής. Για παράδειγμα, η μέθοδος IDW δημιουργεί φαινόμενα «bull s-eye» (τοπικές ακραίες τιμές δεδομένων), ενώ η μέθοδος TIN είναι αρκετά ευαίσθητη στον τριγωνισμό (triangulation) Γεωστατιστικές μέθοδοι χωρικής συσχέτισης Οι αρχές που συνδέουν τη γεωστατιστική με τη χωρική παρεμβολή αναπτύχθηκαν αρχικά από τον Matheron (1971, 1981) ως «θεωρία των περιφερειοποιημένων μεταβλητών (regionalized variables)» και από τον Krige τη δεκαετία του 50, ως μια βέλτιστη μέθοδος παρεμβολής για την εκτίμηση των αποθεμάτων ενός λατομείου, από τον οποίο προέκυψε και το όνομα αυτής της κατηγορίας. Οι μέθοδοι Kriging βασίζονται σε μια εννοιολογική προσέγγιση διαφόρων συναρτήσεων, όπου το τελικό αποτέλεσμα είναι η μετουσίωση μιας συνάρτησης συγκεκριμένης χωρικής συνδιασποράς. Σημαντικό βήμα στη διαδικασία των μεθόδων αυτών είναι η εκτίμηση του βαθμού μεταβολής της χωρικής διασποράς των σημείων. Αυτό εκφράζεται μέσω του βαριογράμματος, το οποίο δείχνει την μεταβολή της μέσης διαφοράς των τιμών των σημείων, συναρτήσει της απόστασης. Το πειραματικό βαριόγραμμα, μπορεί να προσδιοριστεί από ένα μοντέλο (π.χ. σφαιρικό, εκθετικό, κανονικό ή μοντέλο Gauss, μοντέλο Bessel κ.λπ.) στο οποίο οι παράμετροι των εξισώσεων βελτιστοποιούνται για την καλύτερη προσέγγιση του βαριογράμματος. Κατά την ανάπτυξη των μεθόδων Kriging είναι αναγκαίο να 196

3 γίνουν ορισμένες υποθέσεις σχετικά με τη φύση της παρατηρούμενης διασποράς στην επιφάνεια (την ύπαρξη τάσης στα δεδομένα), καθώς θα πρέπει η επιφάνεια που έχει υποστεί χωρική παρεμβολή να κατασκευαστεί με στατιστικές συνθήκες που θα χαρακτηρίζονται από «έλλειψη χωρικής εξάρτησης» και ελάχιστη διασπορά. Οι διάφορες παραλλαγές της μεθόδου που έχουν αναπτυχθεί, ενισχύουν την ευελιξία που παρουσιάζει και το εύρος της εφαρμοσιμότητάς της. Για παράδειγμα, η μέθοδος co-kriging περιλαμβάνει πληροφορίες για τις συσχετίσεις δύο ή περισσοτέρων μεγεθών, προκειμένου να βελτιστοποιηθεί η χωρική παρεμβολή, ενώ η «διαζευκτική μέθοδος Kriging» (disjunctive Kriging) χρησιμοποιείται για εφαρμογές στις οποίες ενδιαφέρει η υπέρβαση ή μη, ενός συγκεκριμένου κατωφλίου, από την τιμή μιας μετρούμενης πιθανότητας. Οι προσεγγίσεις που αφορούν την εφαρμογή της μεθόδου σε χωροχρονικές διαστάσεις, αντανακλούν διαφορετική συμπεριφορά του προσομοιωνόμενου φαινομένου στη διάσταση του χρόνου. Ο χρόνος αντιμετωπίζεται είτε ως μια πρόσθετη διάσταση με γεωμετρική ή ζωνώδη ανισοτροπία, είτε ως ένας συνδυασμός μεταξύ των συναρτήσεων συσχέτισης χώρου και χρόνου με τη χωροχρονική υπόθεση στασιμότητας. Τα κύρια πλεονεκτήματα της μεθόδου Kriging είναι: η στατιστική ποιότητα των προβλέψεών της (π.χ. έλλειψη εξαρτήσεων) και η ικανότητά της να προβλέπει τη χωρική κατανομή της αβεβαιότητας. Χρησιμοποιείται κυρίως σε εφαρμογές της βιομηχανίας πετρελαίου, στη γεωχημεία, στην εδαφολογία, σε περιβαλλοντικές εφαρμογές και γενικότερα σε πεδία των οποίων οι στατιστικές ιδιότητες έχουν μεγάλη σημασία. Αντιθέτως, είναι λιγότερο επιτυχής σε περιπτώσεις όπου η τοπική γεωμετρία και η ομαλότητα της επιφανείας αποτελούν κομβικά σημεία, με αποτέλεσμα άλλες μέθοδοι να θεωρούνται ανταγωνιστικότερες ή ακόμα και αποτελεσματικότερες. Ένα άλλο πρόβλημα με αυτή τη μέθοδο είναι οι υψηλές υπολογιστικές απαιτήσεις για μεγάλες βάσεις δεδομένων, που συχνά οδηγεί σε δύσκολα εκτιμώμενα βαριογράμματα, και απαιτεί αρκετή εμπειρία από το χρήστη για να πραγματοποιήσει κρίσιμες και σημαντικές υποθέσεις για τη στατιστική φύση της διακύμανσης. Έτσι τα αποτελέσματα αυτής της τεχνικής δεν είναι ποτέ απόλυτα Μέθοδοι γενικευμένων προσεγγίσεων Οι γενικευμένοι μέθοδοι εκτίμησης, σε αντίθεση με τις τοπικές μεθόδους, χρησιμοποιούν όλα τα υπάρχοντα στοιχεία από ολόκληρη την περιοχή μελέτης επιτυγχάνοντας εκτιμήσεις για το σύνολο της περιοχής ενδιαφέροντος. Οι γενικευμένοι εκτιμητές χρησιμοποιούνται συνήθως εμμέσως για χωρικές παρεμβολές, κι αυτό γιατί αποτελούν κυρίως εργαλεία εξέτασης και πιθανόν απομάκρυνσης των γενικευμένων για ολόκληρη την περιοχή χωρικών διαφοροποιήσεων που δημιουργούνται από διάφορες περιφερειακές τάσεις ή από διαφορετικές κατηγορίες φαινομένων, τα οποία χαρακτηρίζουν περιοχές με διαφορετικές μέσες τιμές. Η συμπεριφορά τους ελέγχεται από τις παρακάτω παραμέτρους: την τάση, την εξομάλυνση, την ελάχιστη και μέγιστη απόσταση μεταξύ των σημείων, την ανισοτροπία. Οι παραπάνω παράμετροι μπορούν να επιλεχθούν εμπειρικά, βασιζόμενοι στη γνώση της προσομοίωσης του φαινομένου και της συνάρτησης, ή αυτόματα, μέσω της ελαχιστοποίησης του σφάλματος πρόβλεψης που μπορεί να εκτιμηθεί από τη διεργασία διασταυρούμενης πιστοποίησης (Cross-Validation). Η υψηλή τάση επηρεάζει το κάθε σημείο σε μια σχετικά μικρή απόσταση, ενώ η πολύ χαμηλή τάση δημιουργεί ευρύτερο πεδίο επιρροής. Επίσης η μέθοδος είναι ανεξάρτητη κλίμακας, καθώς το ρόλο αυτό τον παίζει η τάση, που αποτελεί και παράμετρο αναθεώρησης της κλίμακας. Η παράμετρος της εξομάλυνσης προσδίδει στη μέθοδο παρόμοια συμπεριφορά με μια συνάρτηση προσέγγισης, π.χ. η εξαγόμενη επιφάνεια δεν περνά δια μέσου των σημείων που περιέχουν δεδομένα αλλά προσεγγίζει τις εισερχόμενες τιμές. Η παράμετρος αυτή είναι χρήσιμη κατά την προσομοίωση δεδομένων με σημαντικό θόρυβο, όπου η υψηλή εξομάλυνση μπορεί να φιλτράρει το θόρυβο. Η μεγίστη και ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων, ελέγχει τον αριθμό των σημείων τα οποία πρακτικά χρησιμοποιούνται για τη χωρική παρεμβολή, μετά την ανάγνωση των δεδομένων. Η ελάχιστη απόσταση 197

4 επιτρέπει στο χρήστη να εξαλείψει τα σημεία που είναι κοντά το ένα στο άλλο, με κίνδυνο να θεωρηθούν ως ταυτόσημα στη δοθείσα ψηφιακή ανάλυση. Η μέγιστη απόσταση χρησιμοποιείται μόνο για ανυσματικές γραμμές με συνεχή αύξηση τιμών (π.χ. ισοϋψείς) και επιτρέπει στο χρήστη να προσθέσει αυτόματα σημεία πάνω στη συνεχή γραμμή, αν αυτά είναι σχετικά απομακρυσμένα (σε απόσταση μεταξύ τους πέραν της μέγιστης). Οι παράμετροι απόστασης επηρεάζουν επίσης και τις επιπτώσεις της τάσης, καθώς η τελευταία αποτελεί παράγοντα διαμόρφωσης της κλίμακας. Συνεπώς, η τάση μπορεί να υπολογιστεί με ή χωρίς χωρική κανονικοποίηση. Η πυκνότητα των δεδομένων δεν επηρεάζει την παράμετρο της κανονικοποιημένης τάσης. Η ανισοτροπία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη χωρική παρεμβολή ανισοτροπικών δεδομένων. Η ανισοτροπία προσδιορίζεται από την οριοθέτηση των κατακόρυφων αξόνων που τη χαρακτηρίζουν και από την αναλογία κλίμακας των κατακόρυφων αξόνων. Οι παράμετροι αυτές διαβαθμίζουν τις αποστάσεις (π.χ. την τιμή της τάσης) σε δύο κατακόρυφες διευθύνσεις, που θα πρέπει να ταιριάζουν στο χωρικό πρότυπο του ανισοτροπικού φαινομένου Παραδείγματα χωρικής παρεμβολής για τον υπολογισμό του ύψους βροχής Ανάλογα με το φυσικό μέγεθος που χρειάζεται να προσομοιωθεί ο ερευνητής καλείται να επιλέξει και την πιο κατάλληλη μέθοδο χωρικής παρεμβολής. Στο ακόλουθο παράδειγμα προσομοιώνεται το ύψος βροχής για ολόκληρη τη λεκάνη του Σελινούντα ποταμού με βάση τα σημειακά δεδομένα των βροχομετρικών σταθμών (Εικ. 10.1). Εικόνα 10.1 Παρεμβολή με τη μέθοδο α. Inverse Distance Weighting (μέθοδος τοπικής εκτίμησης), β. Radial Basis Function (μέθοδος τοπικής εκτίμησης), γ. Global Polynomial Interpolation (μέθοδος τοπικής εκτίμησης), δ. Local Polynomial Interpolation (μέθοδος τοπικής εκτίμησης), ε. Trend surface Analysis (μέθοδος γενικευμένης προσέγγισης) και ζ. Kriging (γεωστατιστική). Με μαύρες κουκίδες οι θέσεις των σταθμών. 198

5 Βιβλιογραφία Matheron, G. (1971) The theory of regionalized variables and its applications. Cahier No. 5, Centre de Morphologie Mathematique de Fontainebleau, Paris. Matheron, G. (1981) Splines and Kriging: their formal equivalence. Syracuse University Geological Contributions