ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Transcript

1 Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΟΚΙΜΩΝ 5

2

3 Στοιχεία Μαθηµατικής Ανάλυσης Συναρτήσεων Μίας Μεταβλητής Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών Δοκίµων Σχολή Ναυτικών οκίµων 5

4 Κ. Ι. Παπαχρήστου, 5

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν εγχειρίδιο δεν αποτελεί πλήρες σύγγραµµα µαθηµατικής ανάλυσης! Είναι απλά µια µικρή εισαγωγή στις πραγµατικές συναρτήσεις µίας µεταβλητής, την παραγώγιση και την ολοκλήρωσή τους, καθώς και µια σύντοµη µατιά στις σειρές και τις διαφορικές εξισώσεις. Πολλές θεµελιώδεις έννοιες (όπως, π.χ., η συνέχεια µιας συνάρτησης) αναφέρονται το πολύ ακροθιγώς, ενώ και το όλο ύφος του κειµένου είναι «ανεπίσηµο», µακριά από τη συνήθη αυστηρότητα των Μαθηµατικών. Σκοπός του βιβλίου είναι να χρησιµεύσει σαν βοήθηµα σε ένα σύντοµο (ίσως και κάτω από πίεση χρόνου) εισαγωγικό µάθηµα µαθηµατικής ανάλυσης για σπουδαστές θετικών επιστη- µών που ενδιαφέρονται άµεσα για εφαρµογές, παρακάµπτοντας, σε πρώτο χρόνο, την απολυτότητα της µαθηµατικής ακρίβειας. Ένα ιδιαίτερο κοινό στο οποίο απευθύνεται το βιβλίο είναι οι πρωτοετείς σπουδαστές της Σχολής Ναυτικών οκίµων. Αν και θα λάβουν εξαιρετικές γνώσεις Μαθη- µατικών στα δύο πρώτα έτη σπουδών, είναι κατά κανόνα αναγκαίο ένα γρήγορο «φρεσκάρισµα» αλλά και µια διεύρυνση γνώσεων µαθηµατικής ανάλυσης στην αρχή του ακαδηµαϊκού έτους, έτσι ώστε να είναι σε θέση να παρακολουθήσουν µαθήµατα (όπως, π.χ., αυτό της Φυσικής) που κάνουν εκτεταµένη χρήση µαθηµατικών εννοιών όπως η παράγωγος, το ολοκλήρωµα, το διαφορικό, κλπ. Παρά τον κατά βάση πρακτικό χαρακτήρα του βιβλίου, δεν απουσιάζουν κάποιες συζητήσεις µεγαλύτερου µαθηµατικού βάθους. Ιδιαίτερη έµφαση δίνεται στην έννοια του διαφορικού µιας συνάρτησης και επισηµαίνεται ότι παρά τις οµοιότητές τους από πλευράς συµβολισµού και ιδιοτήτων δεν θα πρέπει να συγχέεται µε το καλού- µενο «διαφορικό» ενός ολοκληρώµατος. ίνεται επίσης έµφαση στην αντίληψη του αορίστου ολοκληρώµατος ως συνόλου και όχι ως συνάρτησης, πράγµα που αποτυγχάνουν να τονίσουν επαρκώς πολλά εισαγωγικά συγγράµµατα µαθηµατικής ανάλυσης. Η κατανόηση αυτών των ζητηµάτων είναι σηµαντικό προαπαιτούµενο για τη µελέτη των διαφορικών εξισώσεων. Αυτονόητα, οποιεσδήποτε παρατηρήσεις και προτάσεις για βελτιώσεις είναι καλοδεχούµενες και θα ληφθούν υπόψη σε µια µελλοντική, νέα έκδοση του βιβλίου! Κ. Ι. Παπαχρήστου Νοέµβριος 5 i

6 ii

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Πραγµατικοί Αριθµοί. Συναρτήσεις.3 Πεδία Ορισµού Συναρτήσεων 3.4 Πεπλεγµένες και Πλειότιµες Συναρτήσεις 4.5 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση 5.6 Γραµµική Συνάρτηση 7.7 Τετραγωνική Συνάρτηση 9.8 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις 9.9 Περιοδικές Συναρτήσεις. Αντίστροφη Συνάρτηση 5. Μονοτονία Συνάρτησης 6. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ 7. Ορισµός 7. Κανόνες Παραγώγισης 9.3 Παράγωγοι Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων.4 Πίνακας Παραγώγων Στοιχειωδών Συναρτήσεων.5 Παράγωγοι Σύνθετων Συναρτήσεων.6 Παράγωγοι Συναρτήσεων της Μορφής y=[f()] φ() 4.7 ιαφορικό µιας Συνάρτησης 5.8 ιαφορικοί Τελεστές 7.9 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης µε Χρήση του ιαφορικού 8. Γεωµετρική Σηµασία της Παραγώγου και του ιαφορικού 8. Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης 9. Παράγωγοι Πεπλεγµένων Συναρτήσεων 3 3. ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 3 3. Εφαπτόµενες και Κάθετες Γραµµές σε Καµπύλες 3 3. Γωνία Τοµής ύο Καµπύλων Μέγιστες και Ελάχιστες Τιµές Συνάρτησης Απροσδιόριστες Μορφές και Κανόνας του L Hospitl ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παράγουσες µιας Συνάρτησης Το Αόριστο Ολοκλήρωµα Βασικοί Κανόνες Ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση µε Αντικατάσταση (Αλλαγή Μεταβλητής) Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες (Παραγοντική Ολοκλήρωση) Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων 48 iii

8 5. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5 5. Ορισµός και Ιδιότητες 5 5. Ολοκλήρωση µε Αντικατάσταση Ολοκληρώµατα Άρτιων, Περιττών και Περιοδικών Συναρτήσεων Ολοκληρώµατα µε Μεταβλητά Όρια Γενικευµένα Ολοκληρώµατα: Άπειρα Όρια Γενικευµένα Ολοκληρώµατα: Απειριζόµενη Συνάρτηση Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα ως Εµβαδόν στο Επίπεδο 6 6. ΣΕΙΡΕΣ Σειρά Σταθερών Όρων Σειρές µε Θετικούς Όρους Απόλυτα Συγκλίνουσες Σειρές Συναρτησιακές Σειρές Ανάπτυξη Συνάρτησης σε υναµοσειρά 7 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ύο Βασικές Προτάσεις ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Μερικές Ειδικές Περιπτώσεις Παραδείγµατα 8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 9 ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 93 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ 94 iv

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Πραγµατικοί Αριθµοί ιάφορα σύνολα αριθµών µάς είναι γνωστά από τα Μαθηµατικά: Το σύνολο των φυσικών αριθµών, N={,,3, }, το σύνολο των ακεραίων, Z={, ±, ±, ±3, }, και το σύνολο των ρητών, Q={ p/q, όπου p, q ακέραιοι και q }. Αριθµοί όπως οι, 3, l 3, κλπ, που δεν µπορούν να τεθούν στη µορφή πηλίκου ακεραίων p/q, καλούνται άρρητοι. Όλοι µαζί οι αριθµοί, ρητοί και άρρητοι, αποτελούν το σύνολο των πραγµατικών αριθµών, R. Στο σύνολο R των πραγµατικών µπορούν να οριστούν διάφορα είδη διαστηµάτων: Ανοιχτό διάστηµα: (, b) = { / R, < < b } Κλειστό διάστηµα: [, b] = { / R, < < b } Ηµίκλειστα διαστήµατα: [, b) = { / R, < < b } (, b] = { / R, < < b } Άπειρα διαστήµατα: (, c), (c, +), (, c], [c, +), (, +). Συναρτήσεις Έστω D R ένα υποσύνολο του R. Θεωρούµε έναν κανόνα f : D R, τέτοιον ώστε σε κάθε στοιχείο D να αντιστοιχεί ένα µοναδικό στοιχείο y R. (Είναι, όµως, επιτρεπτό δύο ή περισσότερα στοιχεία τού D να αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο τού R.) Γράφουµε: f ( D) ( y R) ή y = f () Ο κανόνας f αποτελεί µια πραγµατική συνάρτηση. Λέµε ότι η εξαρτηµένη µεταβλητή y είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης µεταβλητής. Το σύνολο D καλείται πεδίο ορισµού τής f, ενώ το σύνολο { y= f () / D} f (D) καλείται πεδίο τιµών. οθείσης µιας συνάρτησης y= f (), µπορούµε να χαράξουµε την αντίστοιχη γραφική παράσταση: y y = f ( ) y y = f ( ) O

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μια συνάρτηση y= f () λέγεται συνεχής στο σηµείο = αν η τιµή της στο σηµείο αυτό, y = f ( ), ορίζεται και είναι ίση µε το όριο της f () καθώς : lim f ( ) = f ( ) Πρακτικά, µπορούµε να πούµε ότι η γραφική παράσταση της f () είναι µια συνεχής καµπύλη στο σηµείο = (δεν «σπάει» σε δύο ξεχωριστές καµπύλες στο σηµείο αυτό). Αν θέσουµε = και f () f ( )= y y = y, τότε, από τον ορισµό της συνεχούς συνάρτησης έπεται ότι y όταν. Η παρακάτω λίστα περιλαµβάνει τις πλέον στοιχειώδεις συναρτήσεις που συνήθως συναντούµε: Σταθερή συνάρτηση: y = f () = c (c R) υναµοσυνάρτηση: y = f () = ( R) Εκθετική συνάρτηση: Λογαριθµική συνάρτηση: Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: y = f () = e y = f () = l y = f () = si, cos, t, cot Αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: y = f () = rc si, rc cos, rc t, rc cot Με τη βοήθεια των στοιχειωδών συναρτήσεων, µπορούµε να κατασκευάσουµε σύνθετες συναρτήσεις. Θεωρούµε τις συναρτήσεις y=g(u) και u=h(). Γράφουµε: y = g [h()] (g h) () Ορίζουµε, λοιπόν, τη σύνθετη συνάρτηση f = g h, έτσι ώστε y = f () = g [h()] (g h) () Για να απλουστεύσουµε τους συµβολισµούς µας γράφουµε, απλά, y=y() αντί y=f (). Όµοια, y=y(u) και u=u(). Τότε, y = y () <=> [ y = y(u), u = u() ] Παραδείγµατα:. Η σύνθετη συνάρτηση y = y( ) = e αναλύεται σε απλές, ως εξής: y = y( u) = e u, u = u( ) = = / ενώ η + y = y( ) = e αναλύεται: y y u e u u w w w w w / = ( ) = u, = ( ) = =, = ( ) = +.

11 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η συνάρτηση y y = ( ) = l ( + si ) αναλύεται ως εξής: y y( u) l u, u u( w) w, w w( ) si = = = = + = =. 3. Η συνάρτηση 3 6 y = y( ) = cos + αναλύεται: 3 / 6 y = y( u) = u, u = u( w) = cos w, w = w( z) = z = z, z = z( ) = +..3 Πεδία Ορισµού Συναρτήσεων Έστω συνάρτηση y=f (). Εξ ορισµού, το πεδίο ορισµού της, D, είναι το µέγιστο υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει ότι y R, D. Πρακτικά, αυτό σηµαίνει ότι οι τιµές y της f () είναι πραγµατικές και πεπερασµένες για όλα τα D. Ας δούµε τα πεδία ορισµού µερικών στοιχειωδών συναρτήσεων: y = f = D = R = + ( ) (, ) y = f ( ) = D = R {} = (,) (, +) y = f ( ) = D = [, +) y = f ( ) = e D = R = (, +) y = f ( ) = l D = (, +) y = f ( ) = si, cos D = R = (, +) y = f ( ) = t D = R { kπ + π /, k =, ±, ±, } y = f ( ) = cot D = R { kπ, k =, ±, ±, } y = f ( ) = rcsi, rccos D = [,] y = f ( ) = rc t, rccot D = R = (, +) Ας δούµε και µερικά παραδείγµατα σύνθετων συναρτήσεων: y = y =, u = D = (, + ) u y = y =, u = l D = (, + ) {} = (,) (, + ) l u y = y =, u = w, w = l D = (, + ) l u 3

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άσκηση. Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: l( + ) rc t () y = () y = (3) y = (4) y = rc cos l( + 5) 3 3 (5) y = [ Υποδ : b = ( b)( + b + b )] 3 8 (6) y = l (l ) (7) y = t (8) y = t 3.4 Πεπλεγµένες και Πλειότιµες Συναρτήσεις Οι πεπλεγµένες συναρτήσεις είναι εκφράσεις της µορφής F (, y) = () (δηλαδή, σχέσεις που συνδέουν τις µεταβλητές και y) που όµως δεν µας επιτρέπουν να εκφράσουµε απευθείας το y σαν συνάρτηση του. Στην ειδική περίπτωση που F(, y) = f () y, η σχέση () οδηγεί σε µια συνήθη συνάρτηση y= f (). Παραδείγµατα: F (, y) y 3 3y + 3 = F (, y) y + e y = Οι συναρτήσεις που ορίσαµε µέχρι τώρα ήταν µονότιµες, µε την έννοια ότι, σε κάθε τιµή τού D αντιστοιχεί µια µοναδική τιµή τού y=f (). Μια συνάρτηση που δεν υ- πακούει σε αυτό τον περιορισµό καλείται πλειότιµη. Γενικά, οι πεπλεγµένες συναρτήσεις είναι πλειότιµες. Παράδειγµα: + y = <=> F (, y) + y = (µοναδιαίος κύκλος). Γράφουµε: y = ± ( ) / D= [-, ]. Παρατηρούµε ότι, σε κάθε τιµή τού D αντιστοιχούν δύο τιµές τού y : y y = + O + y = 4

13 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.5 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση Θεωρούµε την ακολουθία Ορίζουµε: = +, =,,3, e = lim = lim +.7 Ορισµός: Έστω πραγµατικός αριθµός >, και έστω ότι για κάποιο b R. Ο αριθµός = e b b = l καλείται λογάριθµος του. Προσέξτε ότι δεν ορίζεται ο l για! Ισχύει ότι l = l c <=> = c Παραδείγµατα: ) l =? Έστω l =. Τότε, = e => e = e => = => l = ) l e =? Έστω l e =. Τότε, e = e => e = e => = => l e = 3) l (/e) =? Έστω l (/e) =. Τότε, /e = e => e = e - => = => l (/e) = 4) Όµοια, µπορούµε να δείξουµε ότι l e = /, l (/ e) = / 5) lim l =? + Έστω, γενικά, ότι l = y <=> = e y. Παρατηρούµε ότι + καθώς y. Έτσι, αντίστροφα, y= l όταν +. ηλαδή, lim l = + 5

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ιδιότητες των λογαρίθµων:. l ( e ) =, R l., e = R + 3. l ( b) = l + l b ( >, b > ) 4. b l = l l b = l b ( >, b > ) 5. l = l ( > ) 6. k l ( ) = k l ( >, k R) Απόδειξη:. Έστω l ( e ) = e = e =.. Έστω l e = = = l l. 3. Έστω l =, l b = y, l ( b) = z. Θα δείξουµε ότι +y = z : z y l ( b) = z b = e, l = = e, l b = y b = e. z y z y z b = e e e = e e + = e + y = z, ο. ε. δ. 4. Έστω l =, l b = y, l (/b) = z. Θα δείξουµε ότι y = z : z y l ( / b) = z / b = e, l = = e, l b = y b = e. z y z y z / b = e e / e = e e = e y = z, ο. ε. δ. l ( / b) = l l b = (l b l ) = l ( b / ). 5. l (/) = l l = l = l. 6. Έστω l ( k ) =, l = y. Θα δείξουµε ότι = k y : k k y l ( ) = = e, l = y = e. k y k k y = e ( e ) = e e = e k y =, ο. ε. δ. Άσκηση. είξτε ότι b l = l + l b l c c Άσκηση.3 Να βρεθούν οι τιµές των παρακάτω εκφράσεων: e e () l si () l (3) l e 3 e π 6

15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση y = f ( ) = e ep καλείται εκθετική συνάρτηση. Αυτή ορίζεται για κάθε R. Άρα, το πεδίο ορισµού της είναι D= R. Η συνάρτηση y = f ( ) = l καλείται λογαριθµική συνάρτηση. Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της; Παρατηρούµε ότι y y = l = e >, y R. Άρα, D= R + = (, +). Όπως δείξαµε νωρίτερα, lim l =. + Γραφικές παραστάσεις: y y y = e y = l.6 Γραµµική Συνάρτηση Η συνάρτηση y = f () = + b ( ) () καλείται γραµµική συνάρτηση γιατί παρίσταται γραφικά µε µια ευθεία γραµµή: y A y = + b OA = b θ < π θ O b 7

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παρατηρούµε ότι f ()=b. Η γεωµετρική σηµασία τού βρίσκεται ως εξής: y y y θ y θ O Έστω ότι y = +b, y = +b. Αφαιρώντας κατά µέλη και καλώντας =, y=y y, βρίσκουµε ότι y y = = σταθ. () Η σχέση () αποτελεί την αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι µια συνάρτηση y=f () γραµµική. Από το σχήµα, τώρα, βλέπουµε ότι y/ =tθ. Έτσι, Το καλείται κλίση της ευθείας (). = t θ (3) Πρόβληµα: Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο (, y ) και έχει γωνία κλίσης θ ως προς τον άξονα. Λύση: Από τις σχέσεις () και (3) έχουµε ότι y=, όπου = t θ και =, y = y y. Έτσι, y y = ( ) (4) Εναλλακτικά, ζητάµε µια εξίσωση της µορφής () για κατάλληλες τιµές των και b. Το ισούται µε t θ. Θέτοντας = και y= y στην (), έχουµε: y = + b => b= y. Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή του b στην (), βρίσκουµε πάλι την (4). Πρόβληµα: Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία (, y ) και (, y ). Λύση: Αφού η ευθεία διέρχεται από το σηµείο (, y ), θα περιγράφεται από µια εξίσωση της µορφής (4) µε (, y ) στη θέση των (, y ): y y = ( ). Από την άλλη, η κλίση ισούται µε = y/ = (y y )/( ). Έτσι έχουµε: y y y y = ( = ) (5) 8

17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.7 Τετραγωνική Συνάρτηση Η συνάρτηση y = f () = + b + c ( ) καλείται τετραγωνική συνάρτηση και παρίσταται γραφικά µε µια παραβολή: y O Οι ρίζες µιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι οι πραγµατικοί ή µιγαδικοί αριθµοί ρ, ρ για τους οποίους ισχύει ότι f (ρ )= f (ρ )=. ίνονται από τη σχέση ρ b ±, =, = b 4 Οι ρίζες είναι πραγµατικές και διάφορες αν >, πραγµατικές και ίσες αν =, και µιγαδικές συζυγείς αν <. c.8 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση y= f () µε πεδίο ορισµού D. Υποθέτουµε ότι, για κάθε D, ισχύει ότι και το ( ) D. Λέµε ότι η f () είναι άρτια αν η f () είναι περιττή αν f ( ) = f (), D f ( ) = f (), D (Βέβαια, µια τυχαία συνάρτηση δεν απαιτείται να είναι είτε άρτια, είτε περιττή! Για παράδειγµα, η συνάρτηση f ()= 3 + δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή.) Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων (υπό την προϋπόθεση, βέβαια, ότι η τιµή = ανήκει στο D). Πράγµατι: θέτοντας = στη σχέση f ( )+ f ()=, βρίσκουµε ότι f ()=. 9

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ y y O O Άρτια συνάρτηση Περιττή συνάρτηση Παραδείγµατα: Άρτιες Περιττές f c 4 6 ( ) =,,,, f ( ) = f ( ) = cos f ( ) = e + e f ( ) =,,,, f ( ) = si f ( ) = t, cot f ( ) = e e Άσκηση.4 είξτε τα παρακάτω: Το γινόµενο ή το πηλίκο δύο άρτιων ή δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Το γινόµενο ή το πηλίκο µιας άρτιας και µιας περιττής συνάρτησης είναι περιττή συνάρτηση. Το άθροισµα ή η διαφορά δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Το άθροισµα ή η διαφορά δύο περιττών συναρτήσεων είναι περιττή συνάρτηση. Το άθροισµα µιας άρτιας και µιας περιττής συνάρτησης δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή συνάρτηση. Πρόταση: Κάθε συνάρτηση f () µπορεί να γραφεί σαν το άθροισµα µιας άρτιας συνάρτησης Α () και µιας περιττής συνάρτησης Π (). Απόδειξη: Γράφουµε: f ( ) = [ f ( ) + f ( )] + [ f ( ) f ( )] Α( ) + Π ( ) Α( ) = [ f ( ) + f ( )], Π ( ) = [ f ( ) f ( )] εν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι Α ( ) = Α () και Π ( ) = Π (). Παράδειγµα: Για f ()= e, γράφουµε: e = ( e + e ) + ( e e ) Α( ) + Π ( )

19 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση.5 Για κάθε µια από τις παρακάτω συναρτήσεις, εξετάστε αν είναι άρτια, περιττή, ή τίποτα από τα δύο: () f ( ) = 3 + () f ( ) = 3 (3) f ( ) = + (4) f ( ) = + + (5) f ( ) = + (6) f ( ) = l + t cot 3 3 (7) f ( ) = si (8) f ( ) = cos (9) f ( ) = () f ( ) = Περιοδικές Συναρτήσεις Μια συνάρτηση y=f () καλείται περιοδική µε περίοδο αν Αν ισχύει η (), τότε ισχύει γενικότερα και ότι f (+) = f () () f (+k) = f (), k = ±, ±, ±3, (δείξτε το!). ηλαδή, αν το είναι περίοδος της f (), τότε και το k (όπου k ακέραιος) επίσης είναι περίοδος της f (). Συνήθως, µε τον όρο «περίοδος» εννοούµε τη µικρότερη θετική περίοδο µιας περιοδικής συνάρτησης. y y = f ( ) Παραδείγµατα: Στα παρακάτω παραδείγµατα, θα κάνουµε χρήση των τριγωνοµετρικών εξισώσεων που εκτίθενται στο Παράρτηµα II:. y=f ()=si. Ελέγχουµε αν η f είναι περιοδική µε περίοδο : f (+) = f () => si (+)= si => += +kπ ή += (k+) π έτσι ώστε =kπ ή =(k+) π (k =, ±, ±, ±3, ). Η δεύτερη λύση απορρίπτεται, αφού το πρέπει να είναι σταθερό, ανεξάρτητο του. Η λύση =kπ παίρνει την ελάχιστη θετική τιµή της για k=. Άρα, η y=f ()=si είναι περιοδική µε (ελάχιστη) περίοδο = π

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. y=f ()=cos. είξτε ότι και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική µε περίοδο = π 3. y=f ()=si ή cos. είξτε ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι περιοδικές µε περίοδο = π 4. y=f ()=si (/) ή cos (/). είξτε ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι περιοδικές µε περίοδο = 4π 5. y=f ()=si λ ή cos λ (λ R + ). είξτε ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι περιοδικές µε περίοδο = π /λ 6. y=f ()=t ή cot. είξτε ότι οι συναρτήσεις είναι περιοδικές µε περίοδο = π 7. y=f ()=t λ ή cot λ (λ R + ). είξτε ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι περιοδικές µε περίοδο = π /λ 8. Κάθε σταθερή συνάρτηση y=f ()= c είναι περιοδική µε αυθαίρετη περίοδο. Πράγ- µατι: f (+)= c= f (), για κάθε. Άσκηση.6 είξτε τα παρακάτω: Αν η f () είναι περιοδική µε περίοδο, τότε και οι λ f () και f ()+c (όπου λ, c σταθερές) είναι επίσης περιοδικές µε περίοδο. Έστω ότι οι f () και f () είναι περιοδικές µε περίοδο. Τότε, και οι συναρτήσεις f ()± f () είναι περιοδικές µε περίοδο. Έστω ότι οι f () και f () είναι περιοδικές µε περίοδο. Τότε, και οι συναρτήσεις f () f () και f () / f () είναι περιοδικές µε περίοδο (αν και, σ αυτή την περίπτωση, το µπορεί να µην είναι η ελάχιστη περίοδος του γινοµένου ή του πηλίκου). Έστω τώρα ότι οι f () και f () είναι περιοδικές, µε αντίστοιχες ελάχιστες περιόδους και. Θέλουµε να ελέγξουµε αν το άθροισµα f ()+ f () είναι περιοδική συνάρτηση. Αυτό θα συµβεί αν οι f () και f () έχουν κάποια κοινή περίοδο, όχι απαραίτητα ελάχιστη για την f () ή την f (). Τα σύνολα των θετικών περιόδων των δύο συναρτήσεων είναι: S = { k / k =,,3, } = {,,3, }, S = { k / k =,,3, } = {,,3, }

21 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ας υποθέσουµε ότι S S (δηλαδή, η τοµή των S και S δεν είναι το κενό σύνολο). Τότε, η συνάρτηση f ()+ f () είναι περιοδική, µε περίοδο το ελάχιστο εκ των στοιχείων του συνόλου S S. Τι µπορούµε να πούµε για τις συναρτήσεις f () f () και f () / f (); Και πάλι, το ελάχιστο εκ των στοιχείων του συνόλου S S είναι περίοδος για τις συναρτήσεις αυτές, είναι όµως δυνατό να µην είναι η ελάχιστη περίοδός τους. Ας δούµε ένα παράδειγµα: Θα ελέγξουµε την περιοδικότητα της συνάρτησης f ()=t. Μπορούµε να δουλέψουµε µε δύο τρόπους: (α) f (+) = f () => t (+)= t => += +kπ => =kπ (k=,,3,...). Η ελάχιστη τιµή της περιόδου είναι = π. (β) Γράφουµε τη δοσµένη συνάρτηση στη µορφή πηλίκου: f ()=si /cos. Οι συναρτήσεις στον αριθµητή και τον παρονοµαστή είναι περιοδικές, µε κοινή (ελάχιστη) περίοδο π. Αυτή θα είναι επίσης περίοδος και για την f (), θα είναι όµως η ελάχιστη περίοδός της ; Έστω η ζητούµενη ελάχιστη περίοδος της f (). Τότε, si ( + ) si f ( + ) = f ( ) = cos ( + ) cos. Αυτό ικανοποιείται µε δύο τρόπους: si (+) = si και cos (+) = cos => + = +kπ, ή si (+) = si και cos (+) = cos => + = +(k+)π. Έτσι, =kπ ή =(k+)π. Τα δύο αυτά αποτελέσµατα συνδυάζονται αν γράψουµε =λπ (λ=,,3,...). Η ελάχιστη περίοδος λαµβάνεται για λ=, έτσι ώστε = π. Παρατηρούµε ότι η περίοδος του πηλίκου si /cos (ίση µε π) είναι µικρότερη από την περίοδο π των si και cos! Παραδείγµατα:. Να εξεταστεί η περιοδικότητα των συναρτήσεων f ( ) = si και f ( ) = si. είξτε ότι, και στις δύο περιπτώσεις, η σχέση f (+)= f () οδηγεί σε εκφράσεις για το που δεν είναι σταθερές ποσότητες αλλά συναρτήσεις του. Άρα, καµία από τις συναρτήσεις αυτές δεν είναι περιοδική.. Να εξεταστεί ως προς την περιοδικότητά της η συνάρτηση f () = 3si+cos3. Λύση: Έστω f ()=3si και f ()=cos3. Τότε, f ()= f ()+ f (). Η f () θα είναι περιοδική αν οι f () και f () έχουν κάποια κοινή περίοδο, δηλαδή, αν S S, όπου S και S είναι τα σύνολα των περιόδων των δύο συναρτήσεων. Η 3

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ περίοδος της f () θα είναι τότε το ελάχιστο εκ των στοιχείων του συνόλου S S. Τώρα, θυµίζουµε ότι οι συναρτήσεις si λ και cos λ είναι περιοδικές µε ελάχιστη περίοδο π/λ. Έτσι, το σύνολο των περιόδων σε κάθε περίπτωση είναι kπ/λ (k=,,3,...). Αναλυτικά, θέτοντας λ= και λ=3, S = { kπ / k =,,3, } = { π, π,3 π, }, S kπ π 4π = { / k =,,3, } = {,, π, } Παρατηρούµε ότι το ελάχιστο στοιχείο της τοµής S S είναι το π. Άρα, η δοσµένη συνάρτηση f () είναι περιοδική µε περίοδο =π. 3. Να εξεταστεί η περιοδικότητα της συνάρτησης f () = si. Λύση: f (+)= f () => si (+)= si. Αυτό ικανοποιείται µε δύο τρόπους: si (+) = si => + = +kπ ή + = (k+)π (αποκλείεται), si (+) = si => + = +(k+)π ή + = kπ (αποκλείεται). (Οι δύο λύσεις που αποκλείστηκαν δίνουν εκφράσεις για το που εξαρτώνται από το.) Έτσι έχουµε ότι =kπ ή =(k+)π. Τα δύο αυτά αποτελέσµατα συνδυάζονται αν γράψουµε =λπ (λ=,,3,...). Η ελάχιστη περίοδος λαµβάνεται για λ=, έτσι ώστε = π. Η δοσµένη συνάρτηση, λοιπόν, είναι περιοδική µε περίοδο = π. 4. Θεωρούµε τις συναρτήσεις, cos ωt, si ωt, cos ωt, si ωt,..., cos ωt, si ωt,... (όπου ω=σταθ.). Η σταθερή συνάρτηση είναι περιοδική µε αυθαίρετη περίοδο. Οι υπόλοιπες συναρτήσεις έχουν κοινή περίοδο Τ=π /ω, αυτή όµως είναι ελάχιστη περίοδος µόνο για τις cos ωt και si ωt (γενικά, οι cos ωt και si ωt έχουν ελάχιστη περίοδο ίση µε π /ω=τ/). Θεωρούµε τώρα µια συνάρτηση f (t) που εκφράζεται στη µορφή σειράς της οποίας οι όροι εµπεριέχουν τις παραπάνω συναρτήσεις πολλαπλασιασµένες µε αυθαίρετους (σταθερούς) συντελεστές: f (t) = + ( cos ωt + b si ωt) + ( cos ωt + b si ωt) + + ή + ( cos ωt + b si ωt) + f ( t) = ( cos ω t + b si ω t) = Σύµφωνα µε αυτά που γνωρίζουµε, η f (t) είναι περιοδική µε περίοδο Τ=π /ω. ηλαδή, f (t+τ ) = f (t). (Σηµείωση: Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ µπορεί να εκφραστεί στη µορφή σειράς όπως η παραπάνω, µε ω=π/τ και κατάλληλους συντελεστές, b. Η σειρά αυτή καλείται σειρά Fourier.) 4

23 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση.7 είξτε ότι η συνάρτηση που παρίσταται µε σειρά Fourier: π t π t f ( t) = cos + b si T T = είναι περιοδική, µε περίοδο Τ. Άσκηση.8 συναρτήσεις: Να εξεταστούν ως προς την περιοδικότητά τους οι παρακάτω () f ( ) = si + cos () f ( ) = cos( / ) 5si ( / 3) (3) f ( ) = 5si 3cos (4) f ( ) = t λ. Αντίστροφη Συνάρτηση Έστω y=f () µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού D. Το πεδίο τιµών της είναι το σύνολο Β={ f () / D} f (D). Η συνάρτηση προσδιορίζει µια απεικόνιση του συνόλου D πάνω στο σύνολο Β, έτσι ώστε σε κάθε σηµείο D να αντιστοιχεί ένα µοναδικό σηµείο y Β. Αν, επιπλέον, σε κάθε σηµείο y Β αντιστοιχεί ένα µοναδικό σηµείο D, η απεικόνιση καλείται αµφιµονοσήµαντη ή «ένα-προς-ένα» (-). Σε µια τέτοια περίπτωση, = <=> f ( ) = f ( ) ή <=> f ( ) f ( ) Μια συνάρτηση y=f () που είναι - καλείται αντιστρέψιµη γιατί µας επιτρέπει να ορίσουµε την αντίστροφη συνάρτηση = f ( y) µε πεδίο ορισµού το Β και πεδίο τι- µών το D, έτσι ώστε f [ f ()] =, f [ f ( y)] = y Παρατηρούµε ότι ( f f ) () =, ( f f ) ( y) = y Λέµε ότι η σύνθεση των f και f ισούται µε την ταυτοτική συνάρτηση. Παραδείγµατα:. Η συνάρτηση y= f ()= 3 είναι -, µε D=B=R. Η αντίστροφη συνάρτηση είναι η = f ( y) = 3 y.. Η συνάρτηση y= f ()= e είναι -, µε D=R και B=R +. Η αντίστροφη συνάρτηση είναι η = f ( y) = l y. 5

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η συνάρτηση y= f ()= µε D=R και Β= [, +) δεν είναι -, αφού σε κάθε τιµή y > αντιστοιχούν δύο τιµές = ± y. Άρα, η συνάρτηση αυτή δεν είναι αντιστρέψι- µη (η αντίστροφη συνάρτηση είναι πλειότιµη) (βλ. Παρ..4). 4. Η συνάρτηση y= f ()=si µε D=R και Β= [, ] δεν είναι -, αφού σε κάθε τιµή y [, ] αντιστοιχούν άπειρες τιµές τού = rc si y. Άρα, η συνάρτηση αυτή δεν είναι αντιστρέψιµη.. Μονοτονία Συνάρτησης Έστω συνάρτηση y= f () µε πεδίο ορισµού D. Θεωρούµε ένα διάστηµα [, b] D. Η f λέγεται αύξουσα στο [, b] αν, για οποιαδήποτε, [, b] τέτοια ώστε <, ισχύει ότι f ( ) < f ( ), ενώ λέγεται φθίνουσα στο διάστηµα αυτό αν, για οποιαδήποτε, [, b] τέτοια ώστε <, ισχύει ότι f ( ) > f ( ). Μια συνάρτηση που είναι αύξουσα ή φθίνουσα σε κάποιο διάστηµα λέγεται µονότονη στο διάστηµα αυτό. Άσκηση.9 είξτε ότι, µια συνάρτηση f που είναι µονότονη σε ολόκληρο το πεδίο ορισµού της είναι αντιστρέψιµη, και η αντίστροφη συνάρτηση f επίσης είναι µονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα, σε αντιστοιχία µε την f ). Παραδείγµατα:. Η γραµµική συνάρτηση y= +b είναι αύξουσα για > και φθίνουσα για <.. Η συνάρτηση y = e είναι αύξουσα σε ολόκληρο τον άξονα (ελέγξτε το αυτό χωριστά για < και για >). 3. Η συνάρτηση y = e είναι φθίνουσα σε ολόκληρο τον άξονα. 4. Η συνάρτηση y = είναι φθίνουσα στο (, ] και αύξουσα στο [, +). 6

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ. Ορισµός Κατά µία έννοια, η παράγωγος είναι ένας «δείκτης ευαισθησίας» µιας συνάρτησης y= f () στις µικρές µεταβολές τού. Όσο µεγαλύτερες είναι οι αντίστοιχες µεταβολές τού y, τόσο µεγαλύτερη είναι και η ευαισθησία της συνάρτησης. Η ευαισθησία αυτή µεταβάλλεται, γενικά, µε το. Η παρατήρηση αυτή µας οδηγεί στον ορισµό µιας νέας συνάρτησης y = f (), της παραγώγου τής f (). Έστω y= f () µια συνεχής συνάρτηση. Θεωρούµε µια αυθαίρετη µεταβολή τού : +. Αυτή επάγει µια αντίστοιχη µεταβολή τού y: y y+ y, όπου y = f (+ ) f () έτσι ώστε y+ y = f ()+ y = f (+ ). Ένα µέτρο της ευαισθησίας τής f () στο σηµείο είναι το πηλίκο y/, µε την προϋπόθεση ότι το είναι πολύ µικρό. Αναλυτικά, y f ( + ) f ( ) = Η έκφραση αυτή είναι, γενικά, συνάρτηση δύο ανεξάρτητων µεταβλητών, του και του. Αν όµως πάρουµε το όριο του y/ για, το αποτέλεσµα θα εξαρτάται µόνο από το, θα είναι δηλαδή µια συνάρτηση του. Η συνάρτηση αυτή καλείται παράγωγος της f () και συµβολίζεται f () : y f ( + ) f ( ) f ( ) = lim = lim Συχνά θα γράφουµε y = f (). Η τιµή τής f () σε ένα σηµείο = συµβολίζεται f ( ) : f f = ( ) ( ) Παραδείγµατα:. y= f ()= c (σταθερή συνάρτηση). Έχουµε: Άρα, y y y = f ( + ) f ( ) = c c = = lim = y = (c) =

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. y= f ()= +b (γραµµική συνάρτηση). Έχουµε: Άρα, y = f ( + ) f ( ) = [ ( + ) + b] ( + b) = y y = lim = y = ( +b) = 3. y= f ()=. Έχουµε: Άρα, y = f ( + ) f ( ) = ( + ) = + ( ) y y = + lim = y = ( ) = 4. y= f ()= 3. Έχουµε: y = f ( + ) f ( ) = ( + ) = ( ) + ( ) y y = ( ) lim = 3 Άρα, y = ( 3 ) = 3 5. y= f ()= ( R). Όπως µπορεί να δειχθεί, y = ( ) = Σαν παραδείγµατα, = ( ) = = 3 = ( ) = = 3 / / ( ) = ( ) = = / 3/ = ( ) = = 3 Η παράγωγος µιας συνάρτησης επιδέχεται γεωµετρική ερµηνεία, την οποία θα συζητήσουµε στην Παρ... 8

27 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ. Κανόνες Παραγώγισης. Παράγωγος αθροίσµατος συναρτήσεων: f ( ) ± f ( ) ± = f ( ) ± f ( ) ± ( ) Η παράγωγος αθροίσµατος (ή διαφοράς) συναρτήσεων ισούται µε το άθροισµα (ή τη διαφορά) των παραγώγων των συναρτήσεων.. Παράγωγος γινοµένου συναρτήσεων (κανόνας του Leibiz): f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) ( ) κλπ. Ειδικά, αν c είναι µια σταθερά, και µε δεδοµένο ότι (c) =, 3. Παράγωγος πηλίκου συναρτήσεων: [ c f ()] = c f () f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) g( ) = [ g( )] Άσκηση. Υπολογίστε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: si 3 3 l () y = () y (3) y e = = Ισχύει η εξής σηµαντική πρόταση: Αν η παράγωγος f () µιας συνάρτησης f () ορίζεται στο σηµείο =, η συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. (Σκεφτείτε το ως εξής: Αν υπάρχει ασυνέχεια στο σηµείο, το y δεν τείνει στο µηδέν καθώς, και το όριο του y/ δεν αποκτά πεπερασµένη τιµή.) Προσέξτε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά: υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε κάποιο σηµείο όπου η παράγωγός τους δεν ορίζεται. Για παράδειγµα, η κατεύθυνση της γραφικής παράστασης της f () µπορεί να αλλάζει απότοµα στο σηµείο =, ό- πως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα (βλ. και Παρ..): 9

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ y.3 Παράγωγοι Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. Για την συνάρτηση y= f ()= si έχουµε: si( + ) si f ( ) = lim Όµως, ( + ) ( + ) + + si( + ) si = si cos = si cos Έτσι, + + si cos si cos f ( ) = lim = lim si + + = lim lim cos cos = όπου λάβαµε υπόψη ότι, γενικά, Άρα, si u lim = u u (si ) = cos. Έστω y= f ()= cos : cos( + ) cos f ( ) = lim Έχουµε: ( + ) + ( + ) + cos( + ) cos = si si = si si

29 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ Έτσι, Άρα, + + si si si si f ( ) = lim = lim si + + = lim lim si si = (cos ) = si 3. Για την συνάρτηση y= f ()= t έχουµε: Όµοια, si (si ) cos si (cos ) cos + si f ( ) = = = cos cos cos (t ) = cos (cot ) = si.4 Πίνακας Παραγώγων Στοιχειωδών Συναρτήσεων ( c) = ( c = σταθ.) (si ) = cos (rcsi ) = α α ( ) = α ( α R) (cos ) = si (rccos ) = ( e ) e (t ) (rct ) cos (l ) = (cot ) = (rc cot ) = si +

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.5 Παράγωγοι Σύνθετων Συναρτήσεων Έστω y=f (u) και u=φ() δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Ορίζουµε τη σύνθετη συνάρτηση: y = ( f ϕ)( ) f [ ϕ ( )] Η παράγωγος της συνάρτησης αυτής ως προς ισούται µε y = ( f ϕ) ( ) = f ( u) ϕ ( ) Απόδειξη: Έχουµε ότι όταν. Τώρα, y y u =. Επειδή η φ είναι συνεχής (γιατί;), u u y y u y u y = lim = lim lim lim f ( u) ϕ ( ) u = u u = Θα υιοθετήσουµε τους πιο απλούς συµβολισµούς y=y(u) και u=u(), έτσι ώστε, µε τη σύνθεση αυτών των συναρτήσεων, y=y(). Θα γράφουµε, τότε, y () = y (u) u () Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, y=y(u), u=u(w) και w=w(), έτσι ώστε y=y() και κλπ. y () = y (u) u (w) w () Παραδείγµατα:. y()= e. Γράφουµε: y(u)= e u, u()=. Τότε, y ( ) = y ( u) u ( ) = ( e ) ( ) = e ( e ) = e u u. y()= e. Γράφουµε: y(u)= e u, u()=. Τότε, y ( ) = y ( u) u ( ) = ( e ) ( ) = e ( e ) = e 3. Γενικά, ( e ) = e ( R) u u

31 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ + 4. y( ) = e. Γράφουµε: u / y( u) = e, u( w) = w = w, w( ) = +. Τότε, u w u / u / e e y ( ) = y ( u) u ( w) w ( ) = ( e ) ( w ) ( + ) = e w ( + ) = = w w + ( e ) = + e + 5. Γενικά, ( ) e = f ( ) e f ( ) f ( ) 6. Όπως µπορούµε εύκολα να δείξουµε, (si ) = cos, (cos ) = si ( R) Γενικότερα, [si f ( )] = f ( )cos f ( ), [cos f ( )] = f ( )si f ( ) [t f ( )] = f ( ) / cos f ( ), [cot f ( )] = f ( ) / si f ( ) 7. y()= l (si ). Γράφουµε: y(u)= l u, u()= si. Τότε, cos y ( ) = y ( u) u ( ) = (l u) (si ) = cos = u si Όµοια, [l(si )] = cot [l(cos )] = t Γενικότερα, [l f ( )] = f ( ) f ( ) 8. Ισχύει, γενικά, ότι Σαν παραδείγµατα, ( ) [ f ( )] = [ f ( )] f ( ) ( R) (si ) [(si ) ] = si (si ) = si cos = si / / ( l ) [(l ) ] = (l ) (l ) = l 3

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6 Παράγωγοι Συναρτήσεων της Μορφής y = [ f ()] φ() Έστω συνάρτηση της µορφής y = [ f ()] φ(), όπου f ()> για όλες τις τιµές τού σε κάποιο υποσύνολο του πεδίου ορισµού τής f. Ζητούµε την παράγωγο y ως προς. Τέχνασµα: Θα γράφουµε: Τότε, l f ( ) f ( ) = e έτσι ώστε l f ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) l f ( ) g( ) y = e = e e. y = [ e ] = g ( ) e = g ( ) e = [ ϕ( )l f ( )] [ f ( )] g( ) g( ) ϕ ( ) l f ( ) ϕ ( ) = [ ϕ( )l f ( )] y Παραδείγµατα:. y= (>). Γράφουµε: ηλαδή, l l l = e y = = ( e ) = e y = ( e ) = ( l ) e = (l ) l l ( ) = (l ) ( > ). y= (>). Γράφουµε: ηλαδή, l l l = e y = = ( e ) = e y = ( e ) = ( l ) e = ( + l ) l l ( ) = ( + l ) ( > ) Άσκηση. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: 3 ( ) si(3 + ) () y = e () y = cos + (3) y = t (si ) 4 + (4) y = l[ l ( + )] (5) y = l + (6) y = ( + ) ( > ) cos (7) y = ( > ) (8) y = (si ) ( < < π ) (9) y = l ( ) 4

33 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ.7 ιαφορικό µιας Συνάρτησης Έστω συνάρτηση y = f (). Έστω µια αυθαίρετη µεταβολή τού : +. Η αντίστοιχη µεταβολή τού y είναι: y = f ( + ) f ( ) Προσέξτε ότι το y είναι συνάρτηση δύο ανεξάρτητων µεταβλητών: του και του. Η παράγωγος της f στο σηµείο είναι, εξ ορισµού, f ( + ) f ( ) y f ( ) = lim = lim Αυτό µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι υπάρχει συνάρτηση ε (, ), τέτοια ώστε Άρα, y f ( ) ε (, ) = + όπου lim ε (, ) = y = f ( ) + ε (, ) () Το γινόµενο f () είναι γραµµικό (πρώτου βαθµού) ως προς, ενώ το γινόµενο ε (, ) θα πρέπει να περιέχει όρους δευτέρου βαθµού και άνω ως προς (δηλαδή, δεν µπορεί να περιέχει σταθερό και πρωτοβάθµιο όρο). Γράφουµε, συµβολικά, Έτσι, η () γράφεται: ε (, ) O( ) όπου ( ) ( ( )!) y = f ( ) + O( ) () Παρατηρούµε ότι το y είναι άθροισµα ενός γραµµικού και ενός µη-γραµµικού όρου ως προς. Επιπλέον, η παράγωγος της f στο σηµείο είναι ο συντελεστής τού στον γραµµικό όρο. Παράδειγµα: Έστω y = f () = 3. Τότε, y = f (+ ) f () = (+ ) 3 3 = 3 + (3 + 3 ) απ όπου έχουµε ότι f () = 3 και O( ) = Ο γραµµικός όρος στην (), ο οποίος είναι συνάρτηση των µεταβλητών και, καλείται διαφορικό της συνάρτησης y = f () και συµβολίζεται ως εξής: dy = d f ( ) = f () (3) 5

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η () τότε γράφεται: y = dy + O( ) (4) Όταν το είναι απειροστό ( <<), µπορούµε να κάνουµε την προσέγγιση O( ). Έτσι, y dy = f () για απειροστό Προσέξτε όµως ότι, για πεπερασµένο (όχι απειροστό), η διαφορά y και το διαφορικό dy είναι, γενικά, δύο ξεχωριστές ποσότητες! Εξαίρεση στην παραπάνω παρατήρηση αποτελεί η περίπτωση των γραµµικών συναρτήσεων: Έστω y = f () = +b. Τότε, και y = f (+ ) f () = [(+ )+b] (+b) = dy = f () = (+b) = = y ηλαδή, στις γραµµικές συναρτήσεις (και µόνο σε αυτές) δεν υπάρχει διάκριση ανά- µεσα στο διαφορικό και τη µεταβολή τους: dy = y. Τούτο βέβαια σηµαίνει ότι, για τις συναρτήσεις αυτές, O( ) =. Ας δούµε µερικά παραδείγµατα εφαρµογής του ορισµού (3): Για Προσέξτε ότι, για f ( ) = = = f ( ) d( ) ( ) Για f ( ) = e d( e ) = ( e ) = e Για f ( ) = l d(l ) = (l ) = =, έχουµε: d = ( ) = = d (σε συµφωνία και µε την παρατήρηση που κάναµε νωρίτερα για τις γραµµικές συναρτήσεις). Η (3), έτσι, µπορεί να γραφεί πιο συµµετρικά ως εξής: dy = d f ( ) = f () d ιαιρώντας µε d, βρίσκουµε µια σηµαντική έκφραση για την παράγωγο: f () dy = = d d f ( ) d Με λόγια, η παράγωγος µιας συνάρτησης ισούται µε τον λόγο του διαφορικού της συνάρτησης προς το διαφορικό (ή ισοδύναµα, την µεταβολή) της ανεξάρτητης µεταβλητής της. 6

35 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ Άσκηση.3 Αποδείξτε τις παρακάτω ιδιότητες του διαφορικού:. d [ f ( ) ± g( )] = df ( ) ± dg( ). d [ f ( ) g( )] = f ( ) dg( ) + g( ) df ( ) 3. d [ c f ( )] = c df ( ) (c=σταθ.) 4. d f ( ) g( ) df ( ) f ( ) dg( ) g ( ) = [ g ( )].8 ιαφορικοί Τελεστές Εισάγουµε τώρα τον εξής χρήσιµο συµβολισµό: d f ( ) d d f ( ) d Προσέξτε ότι ο συµβολισµός αυτός προσπαθεί να «µιµηθεί» τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού των αριθµών: α β α = β γ γ d µε τη διαφορά ότι η έκφραση d σαφέστατα δεν είναι αριθµός! Το σύµβολο d d ονοµάζεται διαφορικός τελεστής και, όταν τοποθετείται µπροστά από µια συνάρτηση f (), δίνει εντολή να πάρουµε την παράγωγο της f (). Έτσι, γράφουµε: f () d f ( ) = = d d f ( ) d Η παραπάνω σχέση περιέχει τρεις διαφορετικούς συµβολισµούς της παραγώγου µιας συνάρτησης! Προσέξτε τις παρακάτω ιδιότητες:.. d ( ) ( ) [ f ( ) ± g( )] = df ± dg d d d d ( ) ( ) [ f ( ) g( )] = df g( ) + f ( ) dg d d d 7

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.9 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης µε Χρήση του ιαφορικού Θεωρούµε δύο συναρτήσεις f και g, τέτοιες ώστε y=f (u) και u=g(). Η σύνθετη συνάρτηση ( f g) ορίζεται, όπως γνωρίζουµε, ως εξής: y = ( f g) () f [ g() ] Πιο απλά, γράφουµε, παραλείποντας τα σύµβολα των συναρτήσεων: y= y(u), u= u() και y= y()= y [u()]. Θέλουµε τώρα µια έκφραση για την παράγωγο του y ως προς. Η παράγωγος αυτή ισούται µε το πηλίκο dy/d. Γράφουµε: y () = dy dy du d = du d = y (u) u () που είναι ο γνωστός κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης. Προσέξτε πόσο απλουστεύεται η απόδειξη αυτού του κανόνα αν εκφράσουµε τις παραγώγους σαν πηλίκα διαφορικών!. Γεωµετρική Σηµασία της Παραγώγου και του ιαφορικού y y = f ( ) M M B θ A O + Στο σχήµα βλέπουµε τµήµα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y= f (). Θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο Μ (, y) της καµπύλης, και φέρουµε την εφαπτοµένη στην καµπύλη στο σηµείο αυτό. Η ευθεία αυτή σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα. Όπως βλέπουµε, στη µεταβολή =MA του αντιστοιχεί η µεταβολή y=am του y. Το τµήµα ΑΒ, τότε, αντιπροσωπεύει το διαφορικό dy της f για τις δοσµένες τιµές των και, ενώ η παράγωγος της f στο σηµείο ισούται µε t θ. Πράγµατι: y AM AM AΒ f ( ) = lim = lim = lim = = tθ MA ΜΑ Β Μ ΜΑ ΜΑ όπου κάναµε χρήση της παρατήρησης ότι ΒΜ όταν ΜΑ. Άρα, η τιµή f ( ) της παραγώγου της συνάρτησης y = f () στο σηµείο = ισούται µε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας στην καµπύλη της συνάρτησης στο σηµείο M (, y ), όπου y = f ( ) (βλ. Παρ..6). Επίσης, 8

37 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΙΚΟ dy = f () = (t θ) = AB MA MA = AB. Τέλος, από τη σχέση (4) της Παρ..7, έχουµε ότι O( ) = y dy = ΑΜ ΑΒ = ΒΜ. Αν η f ήταν γραµµική, θα είχαµε Β Μ, οπότε O( ) = και y= dy=αβ.. Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης H δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης y= f () ορίζεται: d df ( ) d d d d f () [ f ()] = = f ( ) = f ( ) = f ( ) d d d d d d ή d f ( ) d y y = f () = = d d όπου d (d). Με ανάλογο τρόπο ορίζουµε την τρίτη παράγωγο: d d f ( ) d y y = f () [ f ()] = f ( ) = = d d d Γενικά, η παράγωγος -τάξης γράφεται: ( ) ( ) d d f ( ) d y y = f ( ) = f ( ) = = d d d Παραδείγµατα:. 3 ( ) =, ( ) = ( ), ( ) = ( )( ), ( R). (si ) = cos, (si ) = si, (si ) = cos, (si ) = si, κλπ. 3. (e ) = (e ) = (e ) = = e Παρατηρήστε, ιδιαίτερα, ότι η απλή εκθετική συνάρτηση y=e είναι η µόνη συνάρτηση που ισούται µε την παράγωγό της, και γενικότερα, µε τις παραγώγους της όλων των τάξεων! 9

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άσκηση.4 είξτε ότι, για τις συναρτήσεις u() και v() ισχύουν τα παρακάτω:. ( u + v ) = u + v, ( u + v ) = u + v, κλπ.. ( u v ) = u v + u v + uv ( u v ) = u v + 3u v + 3u v + uv. Παράγωγοι Πεπλεγµένων Συναρτήσεων Έστω F (, y)= µια πεπλεγµένη συνάρτηση (βλ. Παρ..4). Θεωρητικά, µέσω αυτής της σχέσης, το y είναι συνάρτηση του : y=y(). εν υπάρχει, εν τούτοις, ένας απλός µαθηµατικός τύπος µε τον οποίο να µπορούµε απευθείας να εκφράσουµε το y ως προς. Πώς, τότε, θα υπολογίσουµε την παράγωγο y (); Για το σκοπό αυτό, εργαζόµαστε ως εξής: Παραγωγίζουµε τη σχέση F (, y)= ως προς, λαµβάνοντας υπόψη ότι το y είναι, µέσω αυτής της σχέσης, συνάρτηση του. Παραδείγµατα:. Έστω F (, y) +y = (µοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο y). Παραγωγίζοντας, d d( y ) dy ( + y ) = + = + y y = y =. d dy d y. Έστω F (, y) y 3 3y+ 3 =. Παραγωγίζοντας ως προς, βρίσκουµε: 3y y 3y 3 y + 3 = y = y y. 3. Έστω F (, y) e y = (>), που ισοδυναµεί µε e y = ή y=l. Παραγωγίζοντας ως προς, βρίσκουµε τη γνωστή έκφραση για την παράγωγο λογαρίθµου: y y y e = y = e =. 3

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 3. Εφαπτόµενες και Κάθετες Γραµµές σε Καµπύλες Έστω συνάρτηση y= f (), και έστω Μ (, y ) [όπου y = f ( )] ένα σηµείο της κα- µπύλης που παριστά την συνάρτηση αυτή στο επίπεδο y. Καλούµε y=t () την γραµ- µική συνάρτηση που περιγράφει την εφαπτόµενη ευθεία στην καµπύλη f () στο ση- µείο Μ. Όµοια, καλούµε y=n () την κάθετη ευθεία στην καµπύλη f () στο σηµείο Μ. Με αυτό εννοούµε, ουσιαστικά, την ευθεία που είναι κάθετη στην εφαπτόµενη γραµ- µή στο σηµείο Μ. Άρα, οι γραµµές T () και N () είναι κάθετες µεταξύ τους: y y y = N( ) M y = T( ) θ y = f ( ) O Ζητούµε τις εξισώσεις που περιγράφουν τις ευθείες T () και N (). α. Εφαπτόµενη γραµµή y =T () Όπως είδαµε στην Παρ..6, η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο (, y ) και έχει κλίση = t θ, περιγράφεται από την εξίσωση: y y = ( ). Σύµφωνα, όµως, µε την Παρ.., η κλίση της εφαπτόµενης ευθείας στην καµπύλη y= f () στο σηµείο (, y ) ισούται µε = f ( ). Έτσι, η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας είναι y y = ( ) f ( ) β. Κάθετη γραµµή y =N () Η ευθεία αυτή διέρχεται από το σηµείο (, y ) και σχηµατίζει γωνία (θ+π/) µε τον άξονα, άρα έχει κλίση = t(θ+π/)= cot θ = / t θ = /, όπου = t θ = f ( ) η κλίση της εφαπτόµενης γραµµής. Η κάθετη γραµµή, λοιπόν, περιγράφεται από την εξίσωση y y = ( ) = (/) ( ), ή y y = ( ) / f ( )

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. Γωνία Τοµής ύο Καµπύλων Θεωρούµε δύο καµπύλες C και C που περιγράφονται, αντίστοιχα, από τις συναρτήσεις y= f () και y= f (). Οι καµπύλες τέµνονται στο σηµείο Μ (, y ), όπου f ( )= f ( )= y. Έστω y=t () και y=t () οι εφαπτόµενες ευθείες στις C και C, στο σηµείο τοµής Μ. Ζητούµε τη γωνία φ ανάµεσα στις δύο αυτές εφαπτόµενες. y M ϕ T ( ) O y = f y = f ( ) ( ) T ( ) Καλούµε θ και θ τις γωνίες που σχηµατίζουν οι δύο εφαπτόµενες µε τον άξονα (υποθέτουµε ότι θ >θ ). Η γωνία τοµής των εφαπτοµένων, τότε, είναι φ= θ θ. Οι κλίσεις, τώρα, των δύο ευθειών δίνονται από τις σχέσεις: = t θ = f ( ), = t θ = f ( ). Έτσι, tθ tθ tϕ = t( θ θ ) = + tθ tθ f ( ) f ( ) tϕ = = + + f ( ) f ( ) Ειδικές περιπτώσεις:. Αν =, τότε t φ= και φ=. ηλαδή, οι δύο εφαπτόµενες ευθείες ταυτίζονται.. Αν = / <=> + =, τότε t φ= και φ= π/. ηλαδή, οι δύο εφαπτόµενες ευθείες τέµνονται κάθετα η µία προς την άλλη. Σχόλιο: Έστω, γενικά, ότι µας δίνονται δύο ευθείες στο επίπεδο y (όχι απαραίτητα εφαπτόµενες σε κάποιες αντίστοιχες καµπύλες), µε κλίσεις = t θ και = t θ. Η γωνία φ= θ θ, τότε, ανάµεσα στις δύο αυτές ευθείες θα βρίσκεται από τη σχέση: tϕ = + Ειδικά, αν =, οι δύο ευθείες είναι παράλληλες µεταξύ τους, ενώ αν = / ή + =, οι ευθείες είναι κάθετες µεταξύ τους. 3

41 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Παραδείγµατα:. Έστω y= f ()= e. Ζητούµε τις εξισώσεις της εφαπτόµενης και της κάθετης ευθείας στο σηµείο (, y ) (,). Έχουµε: f ( )= f ()=. Άρα, για την εφαπτόµενη ευθεία, y y = ( ) f ( ) => y = ( ) f () => y = + ενώ, για την κάθετη ευθεία, y y = ( ) / f ( ) => y = ( )/ => y = / +. Παρατηρούµε ότι οι κλίσεις των δύο ευθειών είναι, αντίστοιχα, = f ()= και = / = /, έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη καθετότητας + =.. Έστω οι ευθείες y= f ()= και y= f ()=. Ζητούµε, καταρχήν, το σηµείο τοµής τους, (, y ). Στο σηµείο αυτό, f ( )= f ( )= y. Όπως είναι εύκολο να δείξουµε, = y = <=> (, y ) (,). Τώρα, οι κλίσεις των ευθειών είναι = και =. Παρατηρούµε ότι + =, πράγµα που σηµαίνει ότι οι δύο ευθείες τέ- µνονται κάθετα στο σηµείο (,). 3.3 Μέγιστες και Ελάχιστες Τιµές Συνάρτησης Έστω συνάρτηση y=f (). Η f () λέγεται αύξουσα στο σηµείο = αν, για h> και αρκετά µικρό, ενώ λέγεται φθίνουσα στο = αν Αποδεικνύεται το εξής: f ( h) < f ( ) < f ( +h) f ( h) > f ( ) > f ( +h) Αν f ( ) >, η f () είναι αύξουσα στο =. Αν f ( ) <, η f () είναι φθίνουσα στο =. Αν f ( ) =, η f () είναι στάσιµη (σταθερή) στο =. Ένα σηµείο (, y ) στο οποίο f ( )=, καλείται κρίσιµο σηµείο τής y=f (). Η y=f () έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο = αν, για h> και αρκετά µικρό, f ( ) > f ( h) και f ( ) > f ( +h) ενώ έχει τοπικό ελάχιστο στο = αν f ( ) < f ( h) και f ( ) < f ( +h) 33

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 y τοπικο µε γιστο τοπικο ελα χιστο Γενικά, µια (τοπικά) µέγιστη ή ελάχιστη τιµή τής f () καλείται ακραία τιµή (ή οριακή τιµή). Υπάρχουν δύο εναλλακτικές µέθοδοι για τον προσδιορισµό των µεγίστων και ελαχίστων µιας συνάρτησης: α. Κριτήριο πρώτης παραγώγου. Επιλύουµε την εξίσωση f ()= για να βρούµε τα κρίσιµα σηµεία τής y=f ().. Έστω = ένα κρίσιµο σηµείο, και έστω h> και αρκετά µικρό. Τότε, το f ( ) είναι µέγιστο αν f ( h) > και f ( +h) <, το f ( ) είναι ελάχιστο αν f ( h) < και f ( +h) >, το f ( ) δεν είναι ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο αν f ( h) f ( +h) >. β. Κριτήριο δεύτερης παραγώγου. Επιλύουµε την εξίσωση f ()= για να βρούµε τα κρίσιµα σηµεία τής y=f ().. Έστω = ένα κρίσιµο σηµείο. Τότε, αν f ( ) <, το f ( ) είναι µέγιστο, αν f ( ) >, το f ( ) είναι ελάχιστο, αν f ( ) = ή, το κριτήριο αποτυγχάνει (χρησιµοποιούµε το κριτήριο της πρώτης παραγώγου). Παρατήρηση: Η συνθήκη f ( )= δεν είναι ούτε αναγκαία ούτε ικανή για να έχει η y=f () ακρότατο σηµείο για =! Ας προσέξουµε τα παρακάτω παραδείγµατα: 34

43 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ y y ( α ) ( β ) Στην περίπτωση (α), η συνάρτηση έχει ελάχιστο στο σηµείο =, αλλά η παράγωγός της δεν µηδενίζεται στο σηµείο αυτό (για την ακρίβεια, f ()= ). Στην περίπτωση (β), ισχύει µεν ότι f ()=, αλλά το σηµείο = δεν είναι ακρότατο σηµείο της συνάρτησης (δεν είναι ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο). Άσκηση 3. Μελετήστε τις συναρτήσεις y=si και y=cos. Βρείτε (α) τα κρίσι- µα σηµεία, (β) τα διαστήµατα όπου η κάθε συνάρτηση είναι αύξουσα ή φθίνουσα, και (γ) τις µέγιστες και ελάχιστες τιµές τού y σε κάθε περίπτωση. 3.4 Απροσδιόριστες Μορφές και Κανόνας του L Hospitl Συχνά, στην προσπάθειά µας να υπολογίσουµε το όριο µιας συνάρτησης καταλήγου- µε σε εκφράσεις που, κατά τα Μαθηµατικά, δεν ορίζονται. Οι συνηθέστεροι τύποι τέτοιων απροσδιόριστων µορφών είναι οι εξής:,,,,,, Προβλήµατα τέτοιας µορφής αντιµετωπίζονται αποτελεσµατικά µε βάση το θεώρηµα του L Hospitl : Έστω f () και g() δύο συναρτήσεις τέτοιες ώστε lim f ( ) = lim g( ) = ή lim f ( ) = ± lim g( ) = (όπου το µπορεί να είναι πεπερασµένο ή άπειρο). Τότε, f ( ) f ( ) lim = lim. g( ) g ( ) Αν lim f ( ) = lim g ( ) = η, τότε f ( ) f ( ) lim = lim, κλπ. g( ) g ( ) Με το θεώρηµα αντιµετωπίζουµε απευθείας τις περιπτώσεις / και /. 35

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η περίπτωση ανάγεται στις προηγούµενες, ως εξής: Έστω ότι f () και g(). Γράφουµε: f ( ) f ( ) g( ) = ή / g( ) g( ) f ( ) g( ) =. / f ( ) Για την περίπτωση (όπου f () + και g() +), γράφουµε: (/ g) (/ f ) f ( ) g( ) = = / f ( ) / g( ) /( f g). Οι περιπτώσεις, + και (+) αντιµετωπίζονται µε τον µετασχηµατισµό: [ ( )] g( ) l f ( ) g( ) g( ) l f ( ) f = e = e και την ιδιότητα: h ( ) lim e = ep lim h( ). Παραδείγµατα:.. si cos lim ( / ) = lim =. cos si cos lim ( / ) = lim ( / ) = lim = si cos si. l 3. Για >, lim ( / ) = lim = (λέµε ότι «το τείνει στο άπειρο πιο + + γρήγορα από το l»). 4. Για >, l lim ( l ) ( ) = lim ( / ) lim / = =. 5. l + lim ( ) = lim ( / ) + l + ( ) l l / = lim ( / ) = lim =. + + l + (/ ) + (/ ) 6. Έστω A = lim ( ). Γράφουµε: l A = lim e = ep lim ( l ) Σύµφωνα µε το Παράδειγµα 4, lim ( l ) =. Άρα, A=. Γράφουµε: «=», µε την έννοια ότι lim =

45 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Άσκηση 3. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: () () (3) (4) cos lim si lim cot + lim(cos ) lim (cot ) + / / l 37

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4. Παράγουσες µιας Συνάρτησης Ορισµός: Έστω δοσµένη συνάρτηση f (). Κάθε συνάρτηση F() της οποίας η παράγωγος ισούται µε την f (): F () = f (), αποτελεί µια παράγουσα της f (). Αν η F() είναι παράγουσα της f (), τότε και κάθε συνάρτηση της µορφής G()=F()+C, όπου C αυθαίρετη σταθερά, επίσης είναι παράγουσα της f () (δείξτε το!). Έτσι, δοσµένης µιας συνάρτησης f () και µιας παράγουσάς της, F(), µπορούµε να βρούµε ένα άπειρο σύνολο παραγουσών τής f (): {F()+C / C R}. Το άπειρο σύνολο I={F()+C / C R}, όπου F() οποιαδήποτε παράγουσα της f (), εµπεριέχει όλες τις δυνατές παράγουσες της f () (δηλαδή, δεν υπάρχουν παράγουσες της f () που να µην εµπεριέχονται στο σύνολο I ). Αυτό προκύπτει από το παρακάτω θεώρηµα: Θεώρηµα: ύο παράγουσες µιας συνάρτησης f () διαφέρουν το πολύ κατά µία σταθερά. Απόδειξη: Έστω F() και G() δύο παράγουσες της f (): F () = G () = f () F () G () [F() G()] = F() G() = C. Σύµφωνα µε το θεώρηµα, µια τυχαία παράγουσα G() διαφέρει από την παράγουσα F() του συνόλου I κατά µία σταθερά και µόνο. Αυτό σηµαίνει ότι η G() ανήκει και η ίδια στο σύνολο I. Συµπέρασµα: Για να βρούµε το (άπειρο) σύνολο όλων των παραγουσών της f (), αρκεί να βρούµε οποιαδήποτε παράγουσα F() και να κατασκευάσουµε το σύνολο I = {F()+C / C R}, για κάθε δυνατή τιµή της σταθεράς C. Συµβολισµός: Παραλείποντας τις αγκύλες (οι οποίες, όµως, πάντα θα υπονοούνται!), θα γράφουµε το σύνολο I των παραγουσών τής f (), ως εξής: Παραδείγµατα: I = F() + C (όλα τα C R).. Για τη συνάρτηση f ()=, το σύνολο των παραγουσών είναι: I= 3 /3 + C.. Για τη συνάρτηση f ()=e, το σύνολο είναι: I= e / + C. 3. Για τη συνάρτηση f ()= / (>), το σύνολο είναι: I= l + C.

47 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4. Το Αόριστο Ολοκλήρωµα Ορισµός: Το άπειρο σύνολο I όλων των παραγουσών µιας συνάρτησης f () καλείται αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης αυτής, και συµβολίζεται: I = f ( ) d. Η µεταβλητή καλείται µεταβλητή ολοκλήρωσης. Αν F() είναι οποιαδήποτε παράγουσα της f (): F () = f (), τότε το αόριστο ολοκλήρωµα Ι δίνεται από την έκφραση: I = f ( ) d = F( ) + C για όλες οι πραγµατικές τιµές της σταθεράς C. Τονίζουµε και πάλι ότι το Ι παριστά σύνολο συναρτήσεων, όχι µεµονωµένη συνάρτηση! Αν θέλαµε να είµαστε ακριβέστεροι, θα γράφαµε: I = f ( ) d = { F( ) + C / C R}. Έτσι, όσο κι αν φαίνεται παράξενο, η παρακάτω σχέση είναι αληθής: f ( ) d = f ( ) d + C, C R! Φυσικά, πρόκειται για ισότητα συνόλων, όχι ισότητα συναρτήσεων! οθέντος ότι F () = f (), παρατηρούµε ότι µπορούµε να γράψουµε: για κάθε συνάρτηση F(). F ( ) d = F ( ) + C () Η ποσότητα d που εµφανίζεται µέσα στο ολοκλήρωµα ονοµάζεται, καταχρηστικά, «διαφορικό» του ολοκληρώµατος. εν θα πρέπει να συγχέεται, όµως, µε το διαφορικό ή τη διαφορά, όπως αυτά τα συναντήσαµε στο Κεφάλαιο, ούτε και να εκλαµβάνεται σαν µια απειροστή ποσότητα! Για να καταλάβουµε το πνεύµα του συµβολισµού, ας αλλάξουµε προσωρινά τον συµβολισµό µας σε δ, και ας γράψουµε τη σχέση () ως εξής: F ( ) δ = F ( ) + C () Για F ()=, αυτό δίνει: δ=+c. Θέτοντας u στη θέση τού, δu=u+c. Τώρα, ας υποθέσουµε ότι το u είναι συνάρτηση του : u=f (). Τότε, δf ()= f ()+C. Από την άλλη, λόγω της (), f ()δ= f ()+C. Παρατηρούµε ότι δf ()= f ()δ, πράγµα που µας επιτρέπει να γράψουµε, συµβολικά, δf () = f ()δ. Αυτό, βέβαια, µοιάζει µε τον ορισµό του διαφορικού: d f () = f ()d! Και, δεν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι τα σύµβολα δ και d µοιράζονται κοινές ιδιότητες όταν τοποθετούνται µπροστά από συναρτήσεις. Έτσι, καλούµε το δ «διαφορικό» της ολοκλήρωσης, και γράφουµε τη σχέση () στη µορφή (). Επίσης, γράφουµε: d F ( ) = F ( ) d = F ( ) + C. 39

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Πίνακας Βασικών Ολοκληρωµάτων d = + C + d = + C ( ) + d l C = + e d = e + C cos d = si + C si d = cos + C d cos = t + C d si = cot + C d rcsi = + C d rct C + = + d = l + C + d ± ( ) = l + ± + C 4

49 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.3 Βασικοί Κανόνες Ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωµα αθροίσµατος ή διαφοράς συναρτήσεων: [ f ( ) ± g( ) ± ] d = f ( ) d ± g( ) d ± Σηµείωση: Πώς ερµηνεύεται το «άθροισµα συνόλων» στο δεξί µέλος; Έστω F() και G() τυχαίες παράγουσες των f () και g(), αντίστοιχα. Τότε, εξ ορισµού, f ( ) d + g ( ) d { F ( ) + G ( ) + C / C R } F ( ) + G ( ) + C.. Ένας σταθερός πολλαπλασιαστικός παράγοντας βγαίνει έξω από το ολοκλήρωµα: c f ( ) d = c f ( ) d (c=σταθ.) Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω ιδιότητες, έχουµε: [ c f ( ) ± c g( ) ± ] d = c f ( ) d ± c g( ) d ± 3. Όπως έχουµε ήδη πει, d f ( ) = f ( ) d = f ( ) + C 4. Αµεταβλητότητα τύπων ολοκλήρωσης κάτω από αλλαγή µεταβλητής: Έστω ότι ισχύει: f ()d=f()+c [όπου F() παράγουσα της f ()], και έστω ότι η µεταβλητή u είναι συνάρτηση της µεταβλητής : u=u(). Τότε, f (u)du=f(u)+c, όπου η F(u) είναι παράγουσα της f (u). Αναλυτικά, ( ) ( ) f ( u) du = f u( ) u ( ) d = F u( ) + C Η ιδιότητα αυτή είναι σηµαντική για τη µέθοδο της ολοκλήρωσης µε αντικατάσταση, την οποία θα δούµε παρακάτω. Άσκηση 4. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: 3 () + d () d 4

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκλήρωση µε Αντικατάσταση (Αλλαγή Μεταβλητής) Έστω ότι µας δίνεται το ολοκλήρωµα I= f ()d, όπου η f () δεν είναι στοιχειώδης συνάρτηση. Συχνά (αλλά όχι πάντα!) είναι δυνατό να βρούµε µια νέα µεταβλητή u, συνάρτηση του : u=u(), έτσι ώστε το ολοκλήρωµα Ι να πάρει τη µορφή: Ι= g(u)du, όπου η g(u) είναι τώρα στοιχειώδης (ή έστω, απλούστερη) συνάρτηση. Αν τότε g(u)du = F(u) + C, I = F [u()] + C. Προσέξτε ότι Ι = g(u) du = g[u()] u () d = f ()d που σηµαίνει ότι ο στόχος είναι να θέσουµε την δοσµένη, αρχική συνάρτηση f () στη µορφή: f () = g[u()] u () και να «απορροφήσουµε» το u () µέσα στο διαφορικό d, δηµιουργώντας ένα νέο διαφορικό du. Σαν παράδειγµα, έστω ότι η f () έχει τη µορφή: f ()=u ()/u(), έτσι ώστε g(u)=/u. Έχουµε (υποθέτοντας ότι η u()> στο πεδίο ορισµού της): u ( ) du I = d = = l ( u( ) ) + C u( ) u. Μερικοί χρήσιµοι µετασχηµατισµοί του διαφορικού: d = d ( + c) d = d ( ) ( ) + d = d ( ) ( ) + d d = = d (l ) e d = d ( e ) ( ) cos d = d (si ), si d = d (cos ) ( ) Άσκηση 4. Αποδείξτε τις παραπάνω σχέσεις. 4

51 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παραδείγµατα:. I = e d. ( d ) Γράφουµε: d =, και θέτουµε u=. Έτσι, u u u I = e d( ) = e du = ( e + C ) = e + C = e + C (όπου C = C /). d. 3. I = Γράφουµε: d = d( ) = d( ) = d( + ), και θέτουµε u= 3 +: d( + ) du 3 I = = = (l u + C ) = l u + C = l( + ) + C u (C=C /6). l I = d. Γράφουµε: d = d(l ), και θέτουµε u=l : u I = l d( l ) = u du = + C = (l ) + C. l( + ) d. 4. I = + Γράφοντας: d = d( ) = d( + ), και θέτοντας u= +, έχουµε: l u I = du, που είναι της µορφής του Παραδ. 3 (µε u στη θέση τού ). u Κάνοντας τη νέα αντικατάσταση w=l u, δείξτε ότι, τελικά, I = [l( + )] + C I = t d ( < < π / ). Γράφουµε: si d(cos ) du I = d = (θετουµε u cos ) ( l u C ) cos = = = + cos u (όπου C = C ). Όµοια, βρίσκουµε: t d = l (cos ) + C cot d = l (si ) + C 43