ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡ ΕΥΤΙΚΟΥ ΙΚΤΥΟΥ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΜΕ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡ ΕΥΤΙΚΟΥ ΙΚΤΥΟΥ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΜΕ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ"

Transcript

1 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡ ΕΥΤΙΚΟΥ ΙΚΤΥΟΥ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΜΕ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΓΟΓΟΛΟΥ ΕΥΘΑΛΙΑ ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός Θεσσαλονίκη, Νοέµβριος 2008

2 Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι ο βέλτιστος σχεδιασµός του εσωτερικού αρδευτικού δικτύου µε καταιονισµό µε αντλιοστάσιο, σε µια δεδοµένη περιοχή, µε τη βοήθεια των γενετικών αλγόριθµων. Στόχος της βελτιστοποίησης είναι ο ταυτόχρονος προσδιορισµός των διαµέτρων κάθε αγωγού και του µανοµετρικού ύψους του αντλιοστασίου, µε σκοπό την ελαχιστοποίηση του κόστους, το οποίο περιλαµβάνει το ετήσιο κόστος απόσβεσης των σωληνώσεων του δικτύου καθώς και το ετήσιο κόστος ενέργειας (εκµετάλλευσης του αντλιοστασίου). Το παραπάνω πρόβληµα βελτιστοποίησης υπόκειται σε ορισµένους περιορισµούς, έτσι ώστε να εξασφαλίζονται οι προϋποθέσεις καλής υδραυλικής λειτουργίας του δικτύου. Από τους κυριότερους περιορισµούς του µοντέλου βελτιστοποίησης δικτύων είναι η εξασφάλιση της απαιτούµενης πίεσης σε όλα τα σηµεία του δικτύου και της ταχύτητας εντός των επιτρεποµένων ορίων σε όλους τους αγωγούς. Ο πρώτος περιορισµός (πιεζοµετρικά φορτία) εντάσσεται άµεσα στην υδραυλική επίλυση του δικτύου και συνεπώς τηρείται πλήρως ενώ ο δεύτερος (ταχύτητες) ενσωµατώνεται έµµεσα ως ποινή στην αντικειµενική συνάρτηση. Έτσι, η αντικειµενική συνάρτηση προς βελτιστοποίηση περιλαµβάνει τόσο το συνολικό κόστος, όσο και την ποινή υπέρβασης των επιτρεπόµενων ορίων ταχύτητας. Για τη βελτιστοποίηση του εξεταζόµενου δικτύου διαµορφώθηκε κώδικας σε QBASIC µε βάση τη µέθοδο των γενετικών αλγορίθµων, η οποία στηρίζεται στις αρχές της εξέλιξης των ειδών και της κληρονοµικότητας και εντάσσεται στο πλαίσιο των εξελικτικών µεθόδων. Οι γενετικοί αλγόριθµοι έχουν αξιοσηµείωτες εφαρµογές στη βελτιστοποίηση δικτύων. Στο εξεταζόµενο πρόβληµα κάθε χρωµόσωµα, που είναι µια λύση του προβλήµατος, είναι συνδυασµός 35 αριθµών, που αντιστοιχούν στους αγωγούς του δικτύου. Κάθε αριθµός µπορεί να πάρει µια τιµή από 0 ως 9, που αντιστοιχεί σε µία από τις 10 διαθέσιµες διαµέτρους του εµπορίου. Η µέθοδος κωδικοποίησης που χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα διατριβή είναι η δεκαδική, αντίθετα από τους κλασικούς γενετικούς αλγόριθµους, στους οποίους i

3 χρησιµοποιείται δυαδική µέθοδος κωδικοποίησης. Με την δεκαδική κωδικοποίηση επιτυγχάνουµε µικρό µήκος χρωµοσώµατος και ταχύτητα στην εκτέλεση του προγράµµατος. Στη συνέχεια εξετάζονται τα αποτελέσµατα του γενετικού αλγορίθµου για ελάχιστη επιτρεπόµενη ταχύτητα ίση µε 2,2 και ίση µε 2,0. Ανάµεσα στα πλεονεκτήµατα του κώδικα είναι ότι δίνει απευθείας τις διαµέτρους που ελαχιστοποιούν το κόστος, χωρίς περαιτέρω επεξεργασία από το µελετητή, χρησιµοποιεί τις διαθέσιµες διαµέτρους του εµπορίου και επιτρέπει την ευελιξία στη διαχείριση των υδραυλικών περιορισµών. Τέλος, η εφαρµογή του κώδικα µπορεί µε µικρές τροποποιήσεις να επεκταθεί και σε πιο σύνθετα δίκτυα. ii

4 Abstract The aim of this thesis is to plan an irrigation water distribution network within a given area, in an optimal way, using genetic algorithms as the optimization tool. The purpose of the optimization is to find the set of pipe diameters that minimizes the sum of two cost items, namely the annual amortization cost of the pipe network plus the annual cost of energy (pump use). In order to find the optimal solution, a code has been constructed, using the QBASIC programming language. The code is based on genetic algorithms, an evolutionary method inspired by the principles of heredity and evolution of species. Every chromosome, which represents a solution to the problem, consists of the 35 numbers, each corresponding to a network pipe and representing one of the 10 pipe diameters that are commercially available. The evaluation function of each chromosome includes the aforementioned cost items, plus a penalty for exceeding velocity limits. It should be mentioned that the code produces solutions that observe the constraints regarding minimum required pressure values at the network nodes. Despite the fact that typical genetic algorithms are binary coded, the algorithm used in this thesis is real coded. Among the real coding advantages is the capacity for local tuning of the solution, smaller length of the chromosome and greater velocity in the execution of the code. Finally the results of the code are presented, when maximum permissible velocity equals to 2,2 and 2,0. The main advantages of the code are the following: a) it produces directly the diameters that minimize the cost, b) it uses commercially available pipe diameters and c) it results in telescopic sequence of the diameters. Moreover, its use can be easily extended to larger networks. iii

5 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 1.1 Γενικά Βελτιστοποίηση Σκοπός και δοµή της εργασίας Γενετικοί αλγόριθµοι 2.1 Εισαγωγή Ανάπτυξη της µεθόδου Η κωδικοποίηση υαδική κωδικοποίηση Κωδικοποίηση Gray Αναπαράσταση ακεραίων εκαδική αναπαράσταση Αλφαβητική αναπαράσταση Γενετικές διαδικασίες Πλεονεκτήµατα των γενετικών αλγορίθµων Οι Γενετικοί Αλγόριθµοι ως µέθοδός βελτιστοποίησης µαθηµατικών µοντέλων Τα συλλογικά αρδευτικά δίκτυα µε κλειστούς αγωγούς Η αρδευτική µονάδα και το ατοµικό δίκτυο άρδευσης Τα συλλογικά δίκτυα άρδευσης Τα αρδευτικά δίκτυα στην Ελλάδα Η βελτιστοποίηση των αρδευτικών δικτύων Η συνεχής µέθοδος βελτιστοποίησης µε µη γραµµικό προγραµµατισµό Η ασυνεχής µέθοδος βελτιστοποίησης µε γραµµικό προγραµµατισµό Η ασυνεχής µέθοδος βελτιστοποίησης µε δυναµικό προγραµµατισµό Η ασυνεχής µέθοδος του Labye Υπολογισµός των παροχών 4.1 Η µέθοδος Clement Υπολογισµός παροχής αγωγών συλλογικού δικτύου µε τον 1ο τύπο του Clement Η διωνυµική κατανοµή Παραδοχές υπολογισµού των αρδευτικών δικτύων Οι επιτρεπόµενες ταχύτητες.. 39 iv

6 4.2.2 Οι επιτρεπόµενες πιέσεις Οι γραµµικές υδραυλικές απώλειες Το κόστος των αγωγών Ετήσιο κόστος απόσβεσης σωληνώσεων Κόστος άντλησης (ενέργειας) Περιγραφή του προβλήµατος 5.1 Η χάραξη του δικτύου Υπολογισµός των παροχών µε τον 1 ο τύπο του Clement Συνολικό κόστος άντλησης Ανάλυση προγράµµατος-εφαρµογή 6.1 Ο κώδικας βελτιστοποίησης Προετοιµασία του προγράµµατος Αντικειµενική συνάρτηση Ανάλυση λειτουργίας του προγράµµατος Μήκος χρωµοσώµατος Κύριο πρόγραµµα ηµιουργία αρχικού πληθυσµού Υδραυλικοί υπολογισµοί - Αποτίµηση αντικειµενικής συνάρτησης Γενετικοί τελεστές Εξαγωγή αποτελεσµάτων σε αρχείο Αποτελέσµατα- Συµπεράσµατα 7.1 Γενικά Αποτελέσµατα - Σχολιασµός Συµπεράσµατα.. 89 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 92 v

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Γενικά Τα δίκτυα υποδοµής γενικότερα αποτελούν ένα από τα κύρια αντικείµενα επαγγελµατικής ενασχόλησης των Πολιτικών Μηχανικών σε όλο τον κόσµο. Με τον όρο δίκτυα υποδοµής καλύπτεται η µελέτη και κατασκευή δικτύων ύδρευσης αστικών οικισµών, δικτύων αποχέτευσης και µόνιµων δικτύων άρδευσης. Τα αρδευτικά δίκτυα είναι ένα σύνολο εγκαταστάσεων, συσκευών και οργάνων που έχουν ως τελικό στόχο τη χορήγηση νερού στις καλλιέργειες. Σε ορισµένα από τα δίκτυα άρδευσης η ροή απαιτείται να είναι υπό πίεση, για την λειτουργία των υδροληψιών, µε βασική προϋπόθεση για την εύρυθµη λειτουργία τους την εξασφάλιση επαρκούς παροχής για την κάλυψη της κατανάλωσης καθώς και κατάλληλης πίεσης. Η πλήρης µελέτη των αρδευτικών δικτύων υπό πίεση περιλαµβάνει πολλές εργασίες, που απασχολούν και άλλες ειδικότητες εκτός από πολιτικούς µηχανικούς. Καταρχήν, η απόφαση για την κατασκευή ή επέκταση ενός δικτύου εντάσσεται στο γενικότερο χωροταξικό και ειδικότερο αναπτυξιακό προγραµµατισµό του κράτους, που χρηµατοδοτεί και τα αντίστοιχα έργα. Ο σχεδιασµός προσδιορίζει τα όρια επέκτασης και τις βασικές χρήσεις των δικτύων. Ακολουθεί η σύνταξη κατάλληλων τοπογραφικών υποβάθρων για την εκπόνηση των σχετικών µελετών. Υδρογεωλογικές µελέτες καθορίζουν την διαθέσιµη ποσότητα ύδατος, ενώ χηµικές αναλύσεις του νερού προσδιορίζουν την ποιότητά του. Με βάση όλα αυτά τα στοιχεία ο µηχανικός καθορίζει τις βασικές υπολογιστικές παραµέτρους του δικτύου που µελετάται, ενώ η εποπτεία της περιοχής κατασκευής του έργου απαιτείται για τον εντοπισµό των ειδικών προβληµάτων, από άποψη τοπογραφίας, εδάφους, κατασκευών κλπ. Στη συνέχεια ο µηχανικός καλείται να επιλύσει το δίκτυο, να καθορίσει δηλαδή µε βάση τους νόµους της Υδραυλικής, τις γενικές και ειδικές απαιτήσεις και το κόστος κάθε επί µέρους προγραµµατιζόµενης ενέργειας, την από κάθε άποψη βέλτιστη λύση 1

8 του δικτύου. Η επίλυση περιλαµβάνει τον καθορισµό της οριζοντιογραφίας του δικτύου, των διαµέτρων των αγωγών, τον καθορισµό των απαιτούµενων ειδικών συσκευών, δηλαδή αντλιοστασίων, δεξαµενών κλπ., των υδραυλικών χαρακτηριστικών της ροής κάτω από δεδοµένες φορτίσεις και της αξιοπιστίας του έργου για όλη τη διάρκεια της οικονοµικής ζωής του. 1.2 Βελτιστοποίηση Με τον όρο "βελτιστοποίηση", νοείται η διαδικασία η οποία µε διάφορες µεθόδους εντοπίζει την καλύτερη λύση σε ένα µαθηµατικό πρόβληµα, όταν υπάρχει η δυνατότητα εναλλακτικών προτάσεων οι οποίες συνδέονται µε κάποιο κόστος. Αυτό βεβαίως προϋποθέτει ότι είναι δυνατόν να µετρηθούν, δηλαδή να εκφραστούν µε αριθµούς τα µεγέθη τα οποία υπεισέρχονται στο υπό µελέτη πρόβληµα. Μετά την ανάπτυξη της άλγεβρας και τον διαφορικού λογισµού, αναπτύχθηκαν διάφορες µαθηµατικές θεωρίες βελτιστοποίησης. Αυτές ήταν αρχικά µέθοδοι εύρεσης του µεγίστου ή ελάχιστου µιας συνάρτησης και δεν ήταν συνδεδεµένες πάντοτε µε ένα πρόβληµα της καθηµερινής ζωής. Η αναζήτηση ενός βέλτιστου συνδέεται γενικά µε τη λήψη µιας απόφασης, όταν υπάρχουν περισσότεροι από έναν δυνατοί τρόποι ενέργειας. Έτσι η απόφαση για τη σχεδίαση, κατασκευή ή εκµετάλλευση ενός φυσικού, οικονοµικού ή κοινωνικού συστήµατος προϋποθέτει : i. την πλήρη και κατά το δυνατό ακριβή αντίληψη του τρόπου λειτουργίας του συστήµατος και τη δυνατότητα ποσοτικής έκφρασης της αλληλεπίδρασης των διαφόρων µεταβλητών και λοιπών παραγόντων και ii. την επιλογή συνδυασµών των παραπάνω µεταβλητών, ώστε να επιτυγχάνεται η ευνοϊκότερη δυνατή λύση. Η πρώτη προϋπόθεση συνεπάγεται µια ενδελεχή ανάλυση του συστήµατος και µελέτη όλων των στοιχείων τα οποία είναι δυνατό να επηρεάσουν ευµενώς ή δυσµενώς τη λειτουργία του. Ο κάθε ερευνητής πρέπει να γνωρίζει πλήρως το σύστηµα, του οποίου αναζητεί τη βέλτιστη λειτουργία, πριν από την εφαρµογή οποιασδήποτε µεθόδου βελτιστοποίησης. Πρέπει επίσης να είναι δυνατή η περιγραφή του συστήµατος µε ποσοτικά στοιχεία, δηλαδή µε αναλυτικές εξισώσεις γραφήµατα, πίνακες, κ.λπ. Ακόµη η βέλτιστη λειτουργία του υπόψη συστήµατος πρέπει να εκφρασθεί µε ένα µέτρο σύγκρισης ενός δείκτη, ώστε να είναι δυνατή η εύρεση της µεγίστης ή ελάχιστης τιµής του. Σε ένα σύστηµα µιας τεχνολογικής επιστήµης, το µέτρο σύγκρισης θα είναι το συνολικό κόστος, το προσδοκώµενο κέρδος ή η ποσοτική απόδοση του συστήµατος. Επί πλέον η ανάλυση της 2

9 λειτουργίας πρέπει να καταλήξει σε κάποιες µεταβλητές των οποίων θα επιχειρηθεί να προσδιοριστεί η ευνοϊκότερη τιµή. Οι µεταβλητές αυτές ονοµάζονται γενικά µεταβλητές απόφασης, διότι οι τιµές τους, οι οποίες θα καθοριστούν, αποτελούν την απόφαση για την λειτουργία του υπό µελέτη συστήµατος. Η δεύτερη προϋπόθεση συνιστά το αντικείµενο των διαφόρων µεθόδων βελτιστοποίησης οι οποίες έχουν αναπτυχθεί και εξακολουθούν να αναπτύσσονται. Με αυτές βρίσκεται το βέλτιστο µεταξύ διαφόρων δυνατών τρόπων λειτουργίας ενός συστήµατος. Επιδιώκεται δηλαδή η απόφαση που θα ληφθεί, να απορρέει από την εφαρµογή µιας µαθηµατικής µεθόδου, ώστε να είναι απαλλαγµένη από προχειρότητα και πειραµατισµούς. Επί πλέον οι µέθοδοι βελτιστοποίησης παρέχουν πολλές φορές πληροφορίες για το πόσο ευαίσθητη είναι η ευρεθείσα βέλτιστη λύση σε µικρές µεταβολές των συνθηκών του προβλήµατος, δηλαδή πόσο θα επηρεαστεί η τελική απόφαση, εάν ληφθούν υπόψη πιθανές µεταβολές και τροποποιήσεις συντελεστών και παραµέτρων. Με τον όρο βελτιστοποίηση δικτύου, νοείται η εύρεση του βέλτιστου οικονοµοτεχνικά συνδυασµού των διαµέτρων των αγωγών και των ειδικών συσκευών (π.χ. αντλιών) του δικτύου, που ικανοποιούν τις προδιαγραφές λειτουργίας, οι οποίες έχουν τεθεί εκ των προτέρων. Κατά το στάδιο τον σχεδιασµού, θεωρείται ότι το δίκτυο δεν υφίσταται και επιδιώκεται η βελτιστοποίηση του από µηδενική βάση. Η περίπτωση επέκτασης ενός δικτύου υπόκειται στους ίδιους θεωρητικούς νόµους και περιορισµούς, όπως η σχεδίαση εντελώς νέου δικτύου, και εποµένως δεν αποτελεί διαφορετικό πρόβληµα, αλλά µερική περίπτωση του γενικού προβλήµατος. Εξαρτάται από τις δυνατότητες των µεθόδων και αλγορίθµων, που χρησιµοποιούνται για το σχεδιασµό των δικτύων, η ικανότητα να αντιµετωπίσουν και αυτή τη µερική περίπτωση. Η βελτιστοποίηση ενός δικτύου γίνεται κάτω από συνθήκες µόνιµης ροής, και µάλιστα µε τη θεωρούµενη δυσµενέστερη φόρτιση. Με τον όρο φόρτιση του δικτύου νοείται ο συνδυασµός δεδοµένων καταναλώσεων και εισροών παροχής στο δίκτυο, που αντιστοιχεί σε συγκεκριµένο σενάριο λειτουργίας. Συνήθως για το σχεδιασµό ενός δικτύου υποτίθεται µια θεωρούµενη δυσµενέστερη φόρτιση και µε βάση αυτή γίνονται όλοι οι περαιτέρω υπολογισµοί. Με το πνεύµα αυτό το, δίκτυο, που προκύπτει από την βελτιστοποίηση σχεδιασµού, αποτελεί θεωρητικά και µόνο το βέλτιστο δίκτυο, δεδοµένου ότι είναι βέλτιστο, µόνο εφόσον πραγµατοποιηθούν οι συνθήκες φόρτισης και λειτουργίας, για τις οποίες έχει 3

10 σχεδιαστεί. Παρόλα αυτά έχει επικρατήσει ο όρος βελτιστοποίηση ή βέλτιστος σχεδιασµός του δικτύου να αναφέρεται ακριβώς στη θεωρούµενη δυσµενέστερη κατάσταση λειτουργίας και ένα δίκτυο να θεωρείται βέλτιστο, εφόσον παρουσιάζει το µικρότερο κόστος σε αυτή την κατάσταση λειτουργίας. Κατά αντιδιαστολή προς τη βελτιστοποίηση σχεδιασµού του δικτύου υπάρχει η βελτιστοποίηση λειτουργίας του δικτύου, που αναφέρεται στον βέλτιστο τρόπο διαχείρισης και λειτουργίας ενός υφισταµένου δικτύου και ιδιαίτερα των ειδικών συσκευών (π.χ. αντλιών). Το πρόβληµα του προσδιορισµού του βέλτιστου συνδυασµού των διαµέτρων, για την ελαχιστοποίηση του κόστους ενός αρδευτικού δικτύου, απασχόλησε για πολλά χρόνια τους Μηχανικούς µελετητές υδραυλικών έργων. Η γνώση της υπολογιστικής διαδικασίας για την ελαχιστοποίηση του κόστους αποτελεί καθοριστικό παράγοντα στο σχεδιασµό των αρδευτικών δικτύων και στη διαχείριση των υδατικών πόρων µιας περιοχής. Το κοινό χαρακτηριστικό όλων των τεχνικών µεθόδων, που αναπτύχτηκαν κατά καιρούς για το σκοπό αυτό, είναι ότι εισάγεται µια αντικειµενική συνάρτηση (objective function), η οποία περιλαµβάνει το ολικό κόστος των αγωγών τον δικτύου και πρέπει να βελτιστοποιηθεί µέσα στο πλαίσιο που ορίζουν οι περιορισµοί (constraints). Ως µεταβλητές αποφάσεων χρησιµοποιούνται συνήθως: οι διάµετροι των αγωγών οι απώλειες φορτίου τα µήκη των αγωγών Ως περιορισµοί δοµής χρησιµοποιούνται τα µήκη των αγωγών το διαθέσιµο φορτίο για απώλειες. 1.3 Σκοπός και δοµή της εργασίας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η επίλυση ενός δικτύου άρδευσης υπό πίεση, σε µια δεδοµένη περιοχή που απεικονίζεται στο τοπογραφικό διάγραµµα 1:5000, καθώς και η οικονοµική διαστασιολόγηση του δικτύου µε τη βοήθεια των γενετικών αλγόριθµων. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά οι γενετικοί αλγόριθµοι ως µέθοδος βελτιστοποίησης µαθηµατικών µοντέλων. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται γενικά πληροφοριακά στοιχεία για τα αρδευτικά δίκτυα. Ορίζεται η αρδευτική µονάδα και το ατοµικό δίκτυο άρδευσης, περιγράφονται τα συλλογικά δίκτυα και οι συσκευές προστασίας αυτών και καθορίζονται οι γενικές 4

11 αρχές σχεδιασµού και βελτιστοποίησης των δικτύων καταιονισµού για τα ισχύοντα στην Ελλάδα. Ακόµα παρουσιάζονται οι κυρίως χρησιµοποιούµενες µέθοδοι βελτιστοποίησης των αρδευτικών δικτύων. Στο πέµπτο κεφάλαιο γίνεται η παρουσίαση του τρόπου υπολογισµού των παροχών στα αρδευτικά δίκτυα καταιονισµού. Η παροχή των υδροστοµίων είναι συνάρτηση της θεωρητικής ειδικής παροχής αρδεύσεως, του βαθµού ελευθερίας αρδεύσεως και της απόδοσης χρησιµοποιήσεως του δικτύου. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η περιγραφή του προβλήµατος καθώς και ο υπολογισµός των παροχών µε χρησιµοποίηση της µεθόδου Clement. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η βελτιστοποίηση του προβλήµατος µε την κατάστρωση ενός κώδικα, ο οποίος υπολογίζει τις διαµέτρους των αγωγών, έτσι ώστε να εξασφαλίζονται τα απαιτούµενα ύψη πίεσης σε κάθε σηµείο του δικτύου και να πληρούνται οι προϋποθέσεις των ταχυτήτων. Η αντικειµενική συνάρτηση, της οποίας ζητείται η ελαχιστοποίηση, αποτελείται από το συνολικό κόστος, το οποίο περιλαµβάνει το ετήσιο κόστος απόσβεσης των σωληνώσεων του δικτύου και το ετήσιο κόστος ενέργειας (εκµετάλλευσης του αντλιοστασίου) και από την ποινή των ταχυτήτων. Τέλος, στο έβδοµο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα του γενετικού αλγορίθµου, καθώς και τα συµπεράσµατα. 5

12 Κεφάλαιο 2 Γενετικοί αλγόριθµοι 2.1 Εισαγωγή Οι Γενετικοί Αλγόριθµοι είναι µια διαδικασία προσοµοίωσης της φύσης, σε ότι αφορά την εξέλιξη των ειδών. Η βασική αρχή στην οποία στηρίζονται είναι η θεωρία φυσικής επιλογής" ( Survίval of the Fittest), την οποία διατύπωσε ο αρβίνος το 1859 στο έργο του "Η καταγωγή των ειδών" (Origin of Species). Σύµφωνα µε τη θεωρία αυτή, από ένα πληθυσµό έµβιων όντων επιζούν και αναπαράγονται στις επόµενες γενιές αυτά τα οποία εν δυνάµει, βάσει τον νόµου των πιθανοτήτων, µπορούν να αντεπεξέλθουν στις δυσκολίες και τις αντιξοότητες του περιβάλλοντος και του βίου τους. Η πολυπλοκότητα των σχέσεων όλων των οργανισµών, τόσο µεταξύ τους όσο και µε τις εναλλασσόµενες συνθήκες ζωής οι οποίες χαρακτηρίζονται από έντονη µεταβλητότητα, προκαλεί µια ατελείωτη ποικιλία στη δοµή, στη σύσταση και στις συνήθειες αυτών των οργανισµών. Κάθε τυχαία µεταβολή (µετάλλαξη) πού θα είναι ωφέλιµη στην οντότητα στην οποία θα παρουσιαστεί και θα έχει θετικό αποτέλεσµα στον αγώνα για επιβίωση, θα αποτελέσει πλεονέκτηµα που θα τείνει να µεταβιβαστεί στους απόγονούς της βάσει της κληρονοµικότητας. Η επόµενη γενιά θα περιλαµβάνει περισσότερα άτοµα µε το συγκεκριµένο πλεονέκτηµα, αφού τα άτοµα που επιβιώνουν δίνουν απογόνους, σε αντίθεση µε όσα χάνονται στον αγώνα για τη ζωή. Έτσι η φυσική επιλογή δρα σαν κινητήρια δύναµη για την εξέλιξη και βελτίωση των ειδών. Στα ίδια συµπεράσµατα κατέληξε και ο A.R.Wallace, ο οποίος εργάστηκε την ίδια χρονική περίοδο αλλά ανεξάρτητα από τον αρβίνο. Η δηµοσίευση της θεωρίας του αρβίνου προηγήθηκε χρονικά από εκείνη του Wallace και επειδή ήταν πιο τεκµηριωµένη, επικράτησε ο όρος «αρβινισµός».[ Ζορµπά Α., 2000] Οι Γενετικοί αλγόριθµοι αναπτύχθηκαν από τον John Holland (1975) και τους συνεργάτες του στο πανεπιστήµιο Michigan. Σκοπός της έρευνάς τους ήταν: Η εξήγηση της προσαρµοστικότητας πού επιδεικνύουν τα φυσικά συστήµατα στο συνεχώς µεταβαλλόµενο περιβάλλον τους. 6

13 Ο σχεδιασµός προγραµµάτων λογισµικού για τεχνητά συστήµατα τα οποία διατηρούν µηχανισµούς αντίστοιχους µε εκείνους των φυσικών συστηµάτων. Στην µονογραφία του J.Holland "Adaptation in natural and artificial systems" οι γενετικοί αλγόριθµοι εντάσσονται στο πλαίσιο των εξελικτικών προγραµµάτων. Το 1989 ο D.Goldberg µε το βιβλίο του "Genetic Algorithms in Search, Optimization and Μichine Learning" διεύρυνε ακόµη περισσότερο το πεδίο εφαρµογής τους. Η αξία της µεθόδου έγκειται στην απλότητα των υπολογισµών και στην ικανότητά της να εφαρµόζεται αποτελεσµατικά, σε ένα ευρύ επιστηµονικό πεδίο, χωρίς να απαιτούνται κατά βάση αυστηρές παραδοχές στο χώρο έρευνας, όπως είναι η ύπαρξη παραγώγων, συνέχειας, µοναδικότητας κ.ά.. Επειδή είναι ένα σχετικά πρόσφατο εργαλείο στην αντιµετώπιση προβληµάτων που απαιτούν αξιολόγηση και αποτίµηση, η µέθοδος των Γενετικών Αλγορίθµων βρίσκεται σε συνεχή εξέλιξη, όσον αφορά τις µαθηµατικές τεχνικές που εφαρµόζονται για την απόδοση των γενετικών διαδικασιών. Μία από τις ευρύτερα διαδεδοµένες εφαρµογές τους είναι η βελτιστοποίηση µαθηµατικών µοντέλων, τα οποία µπορεί να περιγράφουν ένα οποιοδήποτε πρόβληµα, είτε αυτό είναι καθαρά φυσικό, είτε είναι γενικότερης µαθηµατικής λογικής είτε αναφέρεται σε άλλα επιστηµονικά πεδία, όπως στη Βιολογία από την οποία εξάλλου ξεκίνησαν, στην Ιατρική και τη Γενετική, στη Θεωρία των Παιγνίων, στην Κοινωνιολογία και τη ιοίκηση των Επιχειρήσεων κ. ά. Από τότε που ο Goldberg εφάρµοσε τούς Γενετικούς Αλγορίθµους για να αντιµετωπίσει το πρόβληµα της βελτιστοποίησης των υδραυλικών δικτύων (1987), αρκετές εργασίες έχουν δηµοσιευτεί στα διεθνή επιστηµονικά περιοδικά. Συγχρόνως όµως, η ίδια η µέθοδος υφίσταται συνεχείς «βελτιώσεις» αποτελώντας αντικείµενο περαιτέρω ερευνών ως προς τις γενετικές διαδικασίες και τη µεθοδολογία εφαρµογής τους ή τη χρήση χρωµοσωµάτων όχι δυαδικού αλλά δεκαδικού χαρακτήρα. Ακόµα, πολύ πρόσφατες είναι εργασίες µε έµφαση στη διαδικασία της διασταύρωσης καθώς επίσης και εργασίες που συνδυάζουν, σε θεωρητικό επίπεδο, τούς Γενετικούς Αλγορίθµους µε άλλες µεθόδους βελτιστοποίησης προκειµένου να αυξήσουν την ταχύτητα σύγκλισης προς τη ζητούµενη µέγιστη ή ελάχιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης 2.2 Ανάπτυξη της µεθόδου Η µέθοδος των Γενετικών Αλγορίθµων δανείζεται την ορολογία της από τη Βιολογία και τη Γενετική. Οι οντότητες οι οποίες αναπαράγονται στις επόµενες γενιές καλούνται χρωµοσώµατα, και είναι συµβολοσειρές, δηλαδή αλυσίδες στοιχείων (συµβόλων) τα οποία καλούνται γονίδια. Αν και στη φύση ένας ζωντανός οργανισµός 7

14 αποτελείται από κύτταρα που η δοµή τον πυρήνα τους συντίθεται από έναν αριθµό χρωµοσωµάτων, στους γενετικούς αλγορίθµους γίνεται η απλουστευτική παραδοχή ότι τα χρωµοσώµατα αποτελούν µεµονωµένα «άτοµα» του πληθυσµού. Το σύνολο των χρωµοσωµάτων συνιστά έναν πληθυσµό, σταθερού συνήθως µεγέθους, ο οποίος υφίσταται γενετικές διαδικασίες στη βάση των οποίων αναπαράγεται στις επόµενες γενιές. Ένα από τα σηµαντικότερα στοιχεία της µεθόδου των Γενετικών Αλγορίθµων είναι το γεγονός ότι οι πληθυσµοί παράγονται τυχαία και υφίστανται τις γενετικές διαδικασίες είτε τυχαία είτε µε βάση τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Αυτό σηµαίνει ότι, από ένα πληθυσµό 100 χρωµοσωµάτων για παράδειγµα, θα αναπαραχθούν στην επόµενη γενιά όχι µόνο τα υγιέστερα αλλά, και ορισµένα ασθενή, αφού η φυσική επιλογή ενεργεί µε βάση τις πιθανότητες επιβίωσης, ανάλογα αφενός µε την ευρωστία των ατόµων και αφετέρου µε τις ειδικές συνθήκες του περιβάλλοντος. Οι συνθήκες αυτές ενδέχεται να ευνοήσουν άτοµα λιγότερο εύρωστα τα οποία τυχαία θα διασταυρωθούν είτε µεταξύ τους ή και µε πιο υγιή, και κάποια από αυτά θα βελτιωθούν ενώ άλλα θα πεθάνουν. Βασική απαίτηση της µεθόδου είναι λοιπόν η εκτίµηση της ευρωστίας των χρωµοσωµάτων και η αποτίµησή της, στην οποία θα βασιστεί η εφαρµογή τον νόµου των πιθανοτήτων. 2.3 Η κωδικοποίηση Οι κλασικοί Γενετικοί Αλγόριθµοι είναι δυαδικοί, αν και σε πολλές εφαρµογές χρησιµοποιούνται δεκαδικοί. Είναι δηλαδή συµβολοσειρές αποτελούµενες από δύο στοιχεία, το 0 και το 1. Για παράδειγµα, η συµβολοσειρά είναι ένα χρωµόσωµα αποτελούµενο από 15 γονίδια. Ο αριθµός των συµβόλων της αλυσίδας ονοµάζεται «µήκος» της συµβολοσειράς. Οι µέθοδοι κωδικοποίησης παρουσιάζονται στη συνέχεια. Στην περίπτωση βελτιστοποίησης µαθηµατικών µοντέλων οι συµβολοσειρές που αποτελούν τα χρωµοσώµατα, εκφράζουν στο δεκαδικό σύστηµα την τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής (ή των ανεξάρτητων µεταβλητών) που υπεισέρχονται στο µοντέλο. Με την προϋπόθεση ότι υπακούουν στους περιορισµούς τον προβλήµατος, τα χρωµοσώµατα αποτελούν στην ουσία ενδεχόµενες λύσεις, οι οποίες υφίστανται αξιολόγηση ανάλογη µε την τιµή που δίνουν στην αντικειµενική συνάρτηση του µαθηµατικού µοντέλου βελτιστοποίησης υαδική κωδικοποίηση Η πρώτη µορφή κωδικοποίησης που εφαρµόστηκε στους Γενετικούς Αλγορίθµους ήταν η δυαδική κωδικοποίηση. Μάλιστα είναι η µόνη µορφή κωδικοποίησης για την 8

15 οποία έχουν αποδειχθεί κριτήρια σύγκλισης των Γενετικών Αλγορίθµων και από όλες που θα εξεταστούν είναι και η απλούστερη. Όταν χρησιµοποιείται δυαδική κωδικοποίηση υπάρχουν δύο δυνατοί τρόποι χρήσης της: 1. Όλο το χρωµόσωµα είναι ένας ακέραιος αριθµός και τα γονίδιά του είναι δυαδικά στοιχεία (0 ή 1). Σε αυτήν την περίπτωση µπορούµε να συναντήσουµε αλγόριθµους όπου το µήκους του χρωµοσώµατος είναι σταθερό καθώς και αλγόριθµους όπου το µήκος του χρωµοσώµατος δεν είναι σταθερό. Σε αυτήν την περίπτωση οι γενετικοί τελεστές είναι περισσότερο εύκολο να υλοποιηθούν και γενικά αποδεικνύεται µια θεωρητική σύγκλιση του αλγορίθµου. 2. Το χρωµόσωµα αποτελείται από µια σειρά από δυαδικούς αριθµούς. Συνήθως το πλήθος των δυαδικών αριθµών σε κάθε χρωµόσωµα είναι σταθερό αν και µπορεί να αυξοµειώνεται το µήκος κάθε επιµέρους δυαδικού αριθµού. Κάθε αριθµός στον ηλεκτρονικό υπολογιστή αναπαρίσταται µε την χρήση δυαδικής κωδικοποίησης, δηλαδή µε ένα άθροισµα δυνάµεων του 2: = b i i= o X 2 Στην εξίσωση αυτή, οι αριθµοί b i µπορούν να είναι είτε 0 είτε 1 και το Ν είναι η µέγιστη δύναµη που µπορεί, να χρησιµοποιηθεί. Σε έναν 32bit επεξεργαστή το Ν είναι ίσο µε 31 και σε έναν 64bit επεξεργαστή είναι ίσο µε 63. Για παράδειγµα ο αριθµός 10 ισοδυναµεί µε τον αριθµό 2 3 *1+2 2 *0+2 1 *1+2 ο *0 = = 10 και γράφεται στον δυαδικό σύστηµα σαν 1010 (2). Ο δείκτης είναι απαραίτητος για να καθορίσουµε πως αναφερόµαστε στο δυαδικό σύστηµα και όχι στο δεκαδικό. Ένα µεγάλο πρόβληµα που υπάρχει µε την δυαδική αναπαράσταση αριθµών είναι πως µια µικρή αλλαγή σε ένα χρωµόσωµα µπορεί να προκαλέσει µεγάλες αλλαγές στην επίδοση του χρωµοσώµατος. Ως παράδειγµα µπορούµε να πάρουµε τον δυαδικό αριθµό 15 = και τον αριθµό 16 = Αν και οι αριθµοί έχουν διαφορά µόλις 1 µονάδα πρέπει να αλλάξουν 5 bits προκειµένου να µεταβούµε από τον έναν αριθµό στον άλλο. Τέτοια προβλήµατα επιλύονται µε διαφορετική αναπαράσταση, όπως είναι η αναπαράσταση grαy που παρουσιάζεται στην επόµενη ενότητα Κωδικοποίηση Gray Η κωδικοποίηση Gray χρησιµοποιείται πάρα πολύ τόσο στους Γενετικούς Αλγόριθµους όσο και σε άλλες περιοχές της πληροφορικής, όπως στην ασφάλεια πληροφοριών λόγω της ιδιότητας της δύο γειτονικοί ακέραιοι να απέχουν ένα µόλις i 9

16 bit. Στον πίνακα 1 παρουσιάζεται η κωδικοποίηση των 16 πρώτων ακεραίων αριθµών µε την χρήση κωδικοποίησης Gray. Γενικά υπάρχουν πολλές κωδικοποιήσεις Gray και αυτό που ουσιαστικά διαφοροποιεί την κωδικοποίηση είναι ο αριθµός από τον οποίο θα ξεκινήσουµε κάθε φορά, αρκεί όµως η βασική ιδιότητα της κωδικοποίησης να διατηρείται µεταξύ δύο συνεχόµενων ακεραίων. Αν και όπως είπαµε ένα µεγάλο πλεονέκτηµα της κωδικοποίησης GRAY είναι ότι δεν προκαλεί µεγάλες αλλαγές στο αποτέλεσµα για µικρές αλλαγές σε ένα χρωµόσωµα, όταν συµβούν µεγάλες αλλαγές (σπάνιο, αλλά γίνεται) σε ένα χρωµόσωµα τότε το αποτέλεσµα µπορεί να αλλάξει σε πολύ µεγαλύτερο βαθµό από ότι σε µια απλή δυαδική κωδικοποίηση. Πίνακας 2.1: Η κωδικοποίηση Gray για τους πρώτους 16 ακέραιους αριθµούς ΑΡΙΘΜΟΣ ΥΑ ΙΚΟΣ GRAY

17 2.3.3 Αναπαράσταση ακεραίων Οι ακέραιοι αριθµοί αναπαρίσταται σχετικά εύκολα µε την χρήση των χρωµοσωµάτων ενός γενετικού αλγορίθµου, ωστόσο και στην περίπτωση τους υπάρχουν κάποια θέµατα που αξίζουν προσοχής. Στα επόµενα θα συµβολίσουµε µε x τον αριθµό που θέλουµε να αναπαραστήσουµε και µε Ν+1 τα διαθέσιµα δυαδικά ψηφία ενός χρωµοσώµατος : 1. Αν ο αριθµός x είναι στο διάστηµα Ν -1, τότε µπορεί να αναπαρασταθεί σχετικά εύκολα χρησιµοποιώντας ένα άµεσο σχήµα e = [b 0, b 1,..., b N ], b i Є {0,1} έτσι ώστε = b i i= o x 2 i 2. Αν x Є {Μ,..., Μ + 2 Ν -1}, τότε η κωδικοποίηση γίνεται µε τον ίδιο τρόπο όπως και πριν. Ωστόσο Θα πρέπει να προσεχθεί κατά την αποτίµηση του χρωµοσώµατος πως αυτό δεν είναι στο διάστηµα {0,..., 2 Ν 1} αλλά σε ένα ολισθηµένο διάστηµα κατά Μ. 3. Αν x Є {0, 1,.., L - 1} αλλά το L δεν είναι κάποια δύναµη του 2, τότε υπάρχει πρόβληµα, καθώς κάποιοι συνδυασµοί στο χρωµόσωµα µπορούν να οδηγήσουν σε άκυρες τιµές. Για παράδειγµα, για να κωδικοποιήσουµε αριθµούς στο διάστηµα {0,10}, θα χρειαστούµε 4bits, καθώς το 2 4 = 16 και 2 3 = 8 και εποµένως 3 µόνον ψηφία δεν αρκούν. Ωστόσο κατά την διάρκεια εφαρµογής των γενετικών τελεστών µπορεί να προκύψει ο αριθµός 1011 που στο δεκαδικό σύστηµα είναι ο αριθµός 11. Αυτός ο αριθµός είναι εκτός ορίων και έτσι δεν µπορεί να αναπαρασταθεί από το σύστηµά µας. Σε τέτοιες περιπτώσεις υπάρχουν τρεις δυνατές λύσεις στο πρόβληµά : a. Να πάρουµε Ν = log 2 (L) + 1 και να αναπαραστήσουµε κάθε αριθµό από 0 έως L-2 µε µια ακριβώς απεικόνιση και τον τελευταίο αριθµό L-1 µε τις υπόλοιπες 2 Ν - L διαθέσιµες απεικονίσεις. Αυτή η µέθοδος ονοµάζεται στην βιβλιογραφία «αποκοπή» (clipping). Το πρόβληµα που έχει αυτή η µέθοδος είναι πως υπάρχει µια πόλωση στην αναπαράσταση, καθώς ένας και µόνον αριθµός καταλαµβάνει περισσότερες αναπαραστάσεις από τους άλλους. Για παράδειγµα, στην κωδικοποίηση των αριθµων 0-10, ο αριθµός 10 θα είχε 6 αναπαραστάσεις από τις 16 (ποσοστό 37.5% )και οι υπόλοιποι αριθµοί από 1 αναπαράσταση (ποσοστό 6.25%) µε αποτέλεσµα να προτιµάται κατά την αρχικοποίηση ή και κατά την εκτέλεση των 11

18 γενετικών τελεστών. b. Να πάρουµε Ν = log 2 (L) + 1 και να απεικονίσουµε το ακέραιο µέρος των αριθµών y(x), όπου y(x) = x L 1 ( 2 1) Αυτή η διαδικασία είναι προφανώς περισσότερο δίκαιη από την προηγούµενη, αλλά είναι πιθανόν κάποιοι αριθµοί να αναπαρίστανται από περισσότερο από 1 χρωµοσώµατα. c. Η τρίτη διαδικασία δεν απαιτεί καµία µετατροπή, παρά µόνον έλεγχο για το αν µια αναπαράσταση είναι έγκυρη ή όχι. Ο έλεγχος θα πρέπει να γίνεται τόσο στην διαδικασία της αρχικοποίησης όσο και στην διαδικασία της εφαρµογής των γενετικών τελεστών. Αν σε κάποια από αυτές τις φάσεις προκύψει χρωµόσωµα εκτός ορίων, τότε είτε το απορρίπτουµε, είτε του αναθέτουµε µια κακή τιµή καταλληλότητας ώστε να µην χρησιµοποιηθεί στην αναπαραγωγή είτε να το απεικονίσουµε µε κάποιου είδους αποκοπή (πχ. ακέραιο υπόλοιπο) στο δικό µας σύνολο δεδοµένων. Αυτός ο τρόπος είναι αυτός που χρησιµοποιείται πιο συχνά εκαδική αναπαράσταση Η αναπαράσταση δεκαδικών αριθµών δεν είναι το ίδιο απλή µε την αναπαράσταση ακέραιων αριθµών, καθώς δεν υπάρχει άµεση αντιστοίχηση ανάµεσα σε δεκαδικούς αριθµούς και ακεραίους αριθµούς. Υπάρχουν γενικά δύο τρόποι να αναπαραστήσουµε δεκαδικούς αριθµούς µε την χρήση χρωµοσωµάτων: η δυαδική αναπαράσταση και η άµεση αναπαράσταση που εξετάζονται στην συνέχεια. Α. υαδική κωδικοποίηση Αν θέλουµε να κωδικοποιήσουµε έναν δεκαδικό αριθµό x Є [x min, x mαx ] και διαθέτουµε Ν δυαδικά ψηφία σε κάθε χρωµόσωµα, τότε δεν µπορούµε να κωδικοποιήσουµε δεκαδικούς αριθµούς που απέχουν απόσταση µικρότερη από 2 1 x min - x max Για παράδειγµα έστω ότι θέλουµε να αναπαραστήσουµε αριθµούς στο διάστηµα [-5,5] και έστω πως διαθέτουµε 10bits. Ο πρώτος αριθµός που µπορούµε να αναπαραστήσουµε µε τον συνδυασµό b 0 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]. Ο επόµενος αριθµός που µπορεί να αναπαρασταθεί είναι ο αριθµός 5+10/1024=

19 µε τον συνδυασµό b 1 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1] και ο τρίτος αριθµός είναι ο αριθµός 5+20/1024 = µε τον συνδυασµό b 2 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0]. 'Όπως βλέπουµε υπάρχει ένα σηµαντικό κενό ανάµεσα στους αριθµούς, παρόλο που χρησιµοποιήσαµε ένα µεγάλο αριθµό από bits για την κωδικοποίηση. Φυσικά µπορούµε να αυξήσουµε τον αριθµό των δυαδικών στοιχείων, όµως αυτό θα οδηγούσε σε µείωση της ταχύτητας των υπολογισµών. Επιπλέον αυτός ο τρόπος αναπαράστασης δεν είναι κατάλληλος για περιπτώσεις όπως η αριθµητική βελτιστοποίηση συναρτήσεων, όπου και πολύ µικρές διαφορές παίζουν εξαιρετικά σηµαντικό ρόλο. B.Άµεση ή δεκαδική κωδικοποίηση Είναι ο πιο κοινά χρησιµοποιούµενος τρόπος, και είναι η µορφή κωδικοποίησης η οποία χρησιµοποιείται στην παρούσα εργασία. Αντί να χρησιµοποιούνται ακέραιοι ως χρωµοσώµατα ή διανύσµατα ακεραίων χρησιµοποιούνται άµεσα οι δεκαδικοί αριθµοί που απαιτεί το πρόβληµα. Με αυτόν τον τρόπο αποφεύγονται τα όποια προβλήµατα ακρίβειας προκαλεί η δυαδική αναπαράσταση. Προφανώς, η ακρίβεια στους υπολογισµούς περιορίζεται από την ακρίβεια των δεκαδικών αριθµών, ωστόσο αυτό το πρόβληµα θα παρουσιαζόταν ακόµα και αν χρησιµοποιούνταν ακέραια αναπαράσταση. Επιπλέον οι δεκαδικοί αριθµοί έχουν πιο αργές πράξεις, όµως στα σύγχρονα υπολογιστικά συστήµατα µε τις βελτιωµένες τεχνικές υποδοµές για τον υπολογισµό δεκαδικών παραστάσεων αυτά το πρόβληµα δεν είναι τόσο έντονο. Τα δύο ουσιαστικά προβλήµατα αυτής της τεχνικής είναι ότι: 1. εν υπάρχει θεωρητική απόδειξη για την σύγκλιση του Γενετικού Αλγορίθµου, όπως γίνεται στην περίπτωση που έχουµε δυαδική αναπαράσταση. 2. Θα πρέπει να επινοηθούν διαφορετικοί και περισσότερο αποτελεσµατικοί γενετικοί τελεστές, οι οποίοι πολλές φορές θα εξαρτώνται από το πρόβληµα προς επίλυση Αλφαβητική αναπαράσταση Στην περίπτωση που έχουµε να αναπαραστήσουµε αλφαριθµητικές µεταβλητές µε την χρήση χρωµοσωµάτων, τότε αν αυτές οι µεταβλητές είναι πεπερασµένες σε αριθµό αναπαρίστανται µε συνδυασµούς ακεραίων. Για παράδειγµα αν το πρόβληµα µας απαιτείται να βρεθεί µια λύση στο σύνολο {a, δ, c, d}, τότε µπορούµε να κωδικοποιήσουµε το a µε τον αριθµό 1 (ή 01 στο δυαδικό σύστηµα), το σύµβολο b µπορεί να κωδικοποιηθεί µε τον αριθµό 2, το c µε τον αριθµό 3 και το d µε τον αριθµό 4. Φυσικά µετά το πέρας της εκτέλεσης του Γενετικού Αλγορίθµου θα πρέπει να µετατραπεί η αναπαράσταση που θα προκύψει σε αυτήν του προβλήµατός µας. Στην 13

20 περίπτωση που το σύνολο αναπαράστασης του προβλήµατος δεν είναι πεπερασµένο και για παράδειγµα επιτρέπονται λύσεις µε συνδυασµούς πολλών ή λίγων γραµµάτων, τότε θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε αλφαριθµητικά ως χρωµοσώµατα και να µην χρησιµοποιηθεί η ακέραια αναπαράσταση. Σε αυτήν την περίπτωση φυσικά, θα πρέπει να δηµιουργήσουµε εξαρχής καινούργιους γενετικούς τελεστές και η απόδειξη σύγκλισης που υπάρχει για την περίπτωση των ακέραιων χρωµοσωµάτων δεν θα ισχύει πλέον. 2.4 Γενετικές διαδικασίες Οι κυριότερες γενετικές διαδικασίες βελτιστοποίησης ενός πληθυσµού είναι τρεις: Α. Αναπαραγωγή µε επιλογή Β. ιασταύρωση Γ. Μετάλλαξη Α. Αναπαραγωγή µε επιλογή Η αναπαραγωγή δεν είναι τυχαία αλλά βασίζεται καθαρά στην αρχή της φυσικής επιλογής. Πράγµατι, ένα είδος καταλαµβάνει σε µια περιοχή µια συγκεκριµένη έκταση ανάλογα µε τα άλλα ανταγωνιστικά είδη που είναι εγκατεστηµένα στην ίδια περιοχή. Αποτελείται από έναν αριθµό ατόµων τα οποία, πολλαπλασιαζόµενα, δρουν µεταξύ τους επίσης ανταγωνιστικά προσπαθώντας να καταλάβουν όσο το δυνατό µεγαλύτερο χώρο στην επικράτειά τους. Όταν οι απαιτούµενοι για την ύπαρξή τους πόροι δεν θα είναι πλέον επαρκείς ο ρυθµός ανάπτυξής τους θα µειωθεί, επιφέροντας κατά κάποιο τρόπο ισορροπία στον αριθµό του αναπαραγόµενου πληθυσµού, µε αποτέλεσµα την ανάπτυξη έντονού ανταγωνισµού µεταξύ των ατόµων για την εξασφάλιση της ζωής. Η φυσική επιλογή θα ενεργήσει έτσι ώστε τα πιο εύρωστα άτοµα να επιβιώσουν και να µεταβιβάσουν το πλεονέκτηµα της ευρωστίας τούς στους απογόνους τους. Αν θεωρηθεί ότι ο πληθυσµός παραµείνει ίδιος στην επόµενη γενιά, θα είναι ωστόσο στο σύνολό του «βελτιωµένος», αφού θα περιλαµβάνει περισσότερα άτοµα εφοδιασµένα µε το πλεονέκτηµα της ευρωστίας. Η διαδικασία αυτή, όπως περιγράφηκε, εφαρµόζεται και στους Γενετικούς Αλγόριθµους. Ο αρχικός πληθυσµός αποτελείται πάντοτε από τυχαία άτοµα (χρωµοσώµατα). Τα χρωµοσώµατα οφείλουν να αντιµετωπίσουν τις αντιξοότητες του περιβάλλοντος (όπως για παράδειγµα είναι οι διάφοροι περιορισµοί ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης), αλλά συγχρόνως δρουν και ανταγωνιστικά µεταξύ τους στη βάση κάποιας συνάρτησης αποτίµησης. 14

21 Ο πληθυσµός που θα αναπαραχθεί στην επόµενη γενιά θα αποτελείται από χρωµοσώµατα ίδια µε τα αρχικά, σε διαφορετικούς όµως αριθµούς, οι οποίοι θα προκύψουν από την εφαρµογή τον νόµου των πιθανοτήτων. Όσο υψηλότερη θέση κατέχει ένα χρωµόσωµα στην κλίµακα µε την οποία αξιολογείται και όσο καλύτερα είναι προσαρµοσµένο στο περιβάλλον του, τόσο περισσότερα αντίγραφά του θα επιβιώσουν για να αναπαραχθούν στην επόµενη γενιά. Η θεωρία των πιθανοτήτων εφαρµόζεται στην αναπαραγωγή ενός πληθυσµού µε τη χρήση διαφόρων µεθόδων προσοµοίωσης της φυσικής επιλογής. Η συνηθέστερη και για ορισµένους ερευνητές η αυθεντική), είναι εκείνη την οποία χρησιµοποίησε ο Ηοlland και η οποία βασίζεται στην αναλογία της αξίας αποτίµησης. Η τεχνική που χρησιµοποιείται συνήθως για να παραστήσει αυτή τη µέθοδο επιλογής είναι εκείνη της ρουλέτας µε τα άνισα διαστήµατα (Goldberg, 1989). Πρόκειται για µια νοητή ρουλέτα της οποίας τα διαστήµατα δεν είναι 37, αλλά όσα τα χρωµοσώµατα του πληθυσµού. Επιπλέον, το εύρος των διαστηµάτων της ποικίλλει ανάλογα µε την εκάστοτε αξία των χρωµοσωµάτων τον πληθυσµού, όπως διαµορφώνεται σε κάθε γενιά. Με κάθε «γύρισµα» της ρουλέτας επιλέγεται ένα διάστηµα πού αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριµένο χρωµόσωµα. Είναι προφανές ότι οι πιθανότητες επιλογής είναι ανάλογες του εύρους του διαστήµατος, και κατά συνέπεια της αξίας του χρωµοσώµατος. Αφού κάθε χρωµόσωµα έχει µια αξία, ο πληθυσµός παρουσιάζει µια συνολική αξία πού προκύπτει αθροιστικά από τις αξίες των ατόµων του. Έτσι κάθε χρωµόσωµα στατιστικά θα αναπαραχθεί τόσες φορές όσες αντιστοιχούν στον λόγο της αξίας του προς τη συνολική αξία του πληθυσµού. Άρα, όσο µεγαλύτερη αξία έχει ένα χρωµόσωµα σε σχέση µε τη συνολική αξία, τόσους περισσότερους απογόνους θα αφήσει. Β. ιασταύρωση Η διασταύρωση συµβαίνει στα είδη που αναπαράγονται φυλετικά. Ένας πληθυσµός θα αργούσε υπερβολικά να εξελιχθεί, αν η εξέλιξή του βασιζόταν µόνο στις τυχαίες µεταβολές των ατόµων, δηλαδή τις µεταλλάξεις των γονιδίων τους. Κατά τη διασταύρωση αποσπώνται κοµµάτια από ένα χρωµόσωµα «γονέα» και αλλάζουν θέση µε τα αντίστοιχα κοµµάτια του άλλου «γονέα». Η διαδικασία ανταλλαγής τµηµάτων χρωµοσωµάτων ονοµάζεται στη Γενετική επιχισµός και στην πραγµατικότητα είναι µια διαδικασία ανά-συνδυασµού των γονιδίων. Ο επιχισµός των γονιδίων µεταξύ δυο χρωµοσωµάτων που αποτελούν ζεύγος περιγράφεται στους δυαδικούς Γενετικούς Αλγορίθµους ως εξής: 15

22 Έστω ότι τα δύο χρωµοσώµατα «γονείς» είναι οι συµβολοσειρές: και ο επιχισµός συµβαίνει στη θέση 4, δηλαδή το τµήµα των τεσσάρων πρώτων γονιδίων θα ανταλλαγεί Τα χρωµοσώµατα «παιδιά» που θα προκύψουν είναι: και Η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω ονοµάζεται διασταύρωση ενός σηµείου, συχνά ωστόσο εφαρµόζεται και η διασταύρωση πολλών σηµείων. Ως παράδειγµα δίνεται η περίπτωση των δύο σηµείων : Έστω ότι τα δύο χρωµοσώµατα γονείς είναι τα: και µε θέσεις διασταύρωσης 3 και 7. Τα «παιδιά» που θα προκύψουν θα είναι: και Η διαδικασία της διασταύρωσης αποσκοπεί στη δηµιουργία «παιδιών» από τα οποία ορισµένα έχουν «αξία» µεγαλύτερη από τους «γονείς» τους και συµβαίνει στο µεγαλύτερο τµήµα ενός πληθυσµού πού αναπτύσσεται αµφιγονικά. Η πιθανότητα να συµβεί αφορά στο σύνολο των χρωµοσωµάτων και είναι η ίδια για κάθε άτοµο. Αν η πιθανότητα αυτή είναι ρ%, αυτό σηµαίνει ότι κάθε χρωµόσωµα έχει πιθανότητα ρ% να διασταυρωθεί µε κάποιο άλλο. Ωστόσο είναι τυχαίο το ποια χρωµοσώµατα θα σχηµατίσουν ζεύγη για να διασταυρωθούν µεταξύ τους, όπως επίσης είναι τυχαία και η θέση της διασταύρωσης. Η διασταύρωση στους γενετικούς αλγόριθµους µε δεκαδική κωδικοποίηση, είναι παρόµοια µε την διασταύρωση στους γενετικούς αλγόριθµους µε δυαδική κωδικοποίηση. Αποσπώνται δηλαδή κοµµάτια από ένα χρωµόσωµα «γονέα» και αλλάζουν θέση µε τα αντίστοιχα κοµµάτια του άλλου «γονέα». Στην περίπτωση που τα δύο χρωµοσώµατα «γονείς» είναι οι συµβολοσειρές:

23 και ο επιχισµός συµβαίνει στη θέση 4, δηλαδή το τµήµα των τεσσάρων πρώτων,τα χρωµοσώµατα «παιδιά» που θα προκύψουν είναι: και Γ. Μετάλλαξη Τρίτη σηµαντική γενετική διαδικασία είναι η µετάλλαξη, η οποία στη φύση έχει παίξει σηµαντικό ρόλο στην εξέλιξη των ειδών. Η µετάλλαξη στη φύση συµβαίνει τυχαία και µπορεί να είναι πλεονεκτική ή µη-πλεονεκτική για το άτοµο στον αγώνα του για επιβίωση, σε αντίθεση µε τη φυσική επιλογή η οποία είναι µη-τυχαία και στηρίζεται στο νόµο των πιθανοτήτων. Η συσσώρευση πολλών τέτοιων µεταλλάξεων προς την κατεύθυνση της βελτίωσης οδηγεί στην εξέλιξη. Ο γνωστός νεοδαρβινιστής βιολόγος Richard Dawkins ονοµάζει αυτήν τη διαδικασία συσωρευτική επιλογή (Dawkins, «Ο Τυφλός Ωρολογοποιός» 1986). Η µετάλλαξη µπορεί να συµβεί σε οποιοδήποτε γονίδιο οποιουδήποτε χρωµοσώµατος. Η πιθανότητα να συµβεί είναι µικρότερη από Αν έπαιξε τόσο σηµαντικό ρόλο στην εξέλιξη των ειδών ήταν γιατί υπήρχε τεράστιος διαθέσιµος χρόνος για να συµβεί. Στους Γενετικούς Αλγόριθµους βέβαια, που αποτελούν µια προσοµοίωση της εξελικτικής διαδικασίας της φύσης, µια τόσο µικρή πιθανότητα δεν θα είχε νόηµα γιατί η συµβολή της στην εξέλιξη ενός πληθυσµού σε περιβάλλον λειτουργίας ενός προγράµµατος ηλεκτρονικού υπολογιστή θα ήταν σχεδόν µηδαµινή. Η πιθανότητα µετάλλαξης εξαρτάται από το µήκος του χρωµοσώµατος. Είναι αξιοσηµείωτο το γεγονός ότι όταν είναι µηδενική η πιθανότητα µετάλλαξης, µετά από έναν αριθµό γενιών ο πληθυσµός σταµατά να εξελίσσεται. Ενδέχεται τότε να επικρατήσει ένα µοναδικό χρωµόσωµα µε σταθερή «αξία» για όλο τον πληθυσµό. Το φαινόµενο αυτό µπορεί εύκολα να παρατηρηθεί στην περίπτωση εφαρµογής Γενετικών Αλγορίθµων για την επίλυση µοντέλων γραµµικού προγραµµατισµού, όπου η τελική τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης σταθεροποιείται σε µια τιµή που δεν είναι υποχρεωτικά η βέλτιστη. Στους δυαδικούς Γενετικούς Αλγόριθµους η µετάλλαξη ενός γονιδίου σηµαίνει µετατροπή του 0 σε 1 και αντιστρόφως. Αν για παράδειγµα το χρωµόσωµα έχει τη µορφή:

24 η τιµή του στο δυαδικό σύστηµα θα είναι ίση µε Μια µετάλλαξη που θα συνέβαινε στο δεύτερο γονίδιο της γονιδιακής αλυσίδας θα έδινε τη µεταλλαγµένη µορφή: µε τιµή Αν η αξία του συγκεκριµένου χρωµοσώµατος εξαρτάται από τη µεγάλη του τιµή, τότε η µετάλλαξη θα δράσει πλεονεκτικά και το µεταλλαγµένο χρωµόσωµα έχει αυξηµένες πιθανότητες να επιλεγεί στην επόµενη γενιά. Αντίθετα, αν η αξία είναι ανάλογη µε τη χαµηλή τιµή, όπως για παράδειγµα συµβαίνει στην περίπτωση ελαχιστοποίησης µιας συνάρτησης, τότε αυτή η µετάλλαξη για το συγκεκριµένο χρωµόσωµα δεν αποφέρει πλεονέκτηµα και οι πιθανότητες να επιβιώσει το νέο άτοµο στην επόµενη γενιά µειώνονται δραστικά. Ωστόσο, η µετάλλαξη διαφέρει στους γενετικούς αλγόριθµους µε δεκαδική κωδικοποίηση. Ενώ στους γενετικούς αλγόριθµους µε δυαδική κωδικοποίηση η µετάλλαξη ενός γονιδίου σηµαίνει µετατροπή του 0 σε 1 και αντιστρόφως, στους αλγόριθµους µε δεκαδική κωδικοποίηση, η µετάλλαξη µπορεί να σηµαίνει τυχαία αλλαγή ενός γονιδίου, έτσι ώστε να πάρει µια τιµή η οποία κυµαίνεται ανάµεσα στα όρια των πιθανών τιµών που µπορεί να λάβει κάθε γονίδιο. Αν το χρωµόσωµα έχει τη µορφή {c 1, c 2, c i,..,c n } και c i Є [a i,b i ] το γονίδιο που θα µεταλλαχθεί, τότε το µεταλλαγµένο γονίδιο c i είναι ένας τυχαίος αριθµός ώστε c i Є [a i,b i ]. Μια άλλη µορφή της µετάλλαξης είναι η µετατροπή του γονιδίου µε τέτοιο τρόπο ώστε: c i = c i + c, αν τ=0 c i = c i - c, αν τ=1, όπου τ ένας τυχαίος αριθµός 0 ή 1 και c, η διαφορά ανάµεσα σε δυο διαδοχικά γονίδια. 2.5 Πλεονεκτήµατα των γενετικών αλγορίθµων Οι Γενετικοί Αλγόριθµοι έχουν πολλές εφαρµογές ιδιαίτερα σε προβλήµατα που περιγράφουν πολύπλοκα συστήµατα, είτε βιολογικά, είτε φυσικά, είτε τέλος τεχνητά. Η ευρωστία που τους χαρακτηρίζει οφείλεται στα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν σε σχέση µε άλλες µεθόδους βελτιστοποίησης. Τα βασικότερα είναι τα εξής : Η εφαρµογή τους στηρίζεται σε σύνολα κωδικοποιηµένων παραµέτρων και όχι στις ίδιες τις παραµέτρους, γεγονός που ευνοεί την επιτυχία τους, ακόµα και σε περιπτώσεις «δύστροπων» συναρτήσεων όπου οι παραδοσιακές µέθοδοι δεν τα «καταφέρνουν». 18

25 Η έρευνα των λύσεων γίνεται ταυτόχρονα σε πολλά σηµεία του χώρου δυνατής πολιτικής και όχι σταδιακά από σηµείο σε σηµείο. εν είναι έτσι εύκολο να χαθούν περιπτώσεις ακρότατων, όπως συµβαίνει συχνά µε άλλες µεθόδους. Χρησιµοποιούν µόνο πληροφορίες αποτίµησης (την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης) και όχι άλλες βοηθητικές µαθηµατικές έννοιες όπως είναι η παράγωγος µιας συνάρτησης, η συνέχεια κ.λ.π. Εποµένως απαιτούν µικρό θεωρητικό υπόβαθρο από τη µαθηµατική ανάλυση και απαλλάσσουν τον ερευνητή από πολύπλοκους αναλυτικούς και αριθµητικούς υπολογισµούς. Τέλος, χρησιµοποιούν στοχαστικούς κανόνες µετάβασης (θεωρία πιθανοτήτων, τυχαία εφαρµογή των γενετικών διαδικασιών) και όχι ντετερµινιστικούς. Όσο και αν φαίνεται παράδοξο το γεγονός ότι η «τύχη» µπορεί να οδηγήσει στη βέλτιστη λύση ενός προβλήµατος, δεν πρέπει να παραβλέπει κανείς το εξής: ότι η «τύχη» µόνη της χωρίς την επιλογή στη βάση µιας αξιολόγησης δεν θα αρκούσε για να οδηγήσει στην εξέλιξη, και επίσης ότι η φύση και ο πραγµατικός κόσµος είναι γεµάτοι από ανάλογα φαινόµενα. 2.6 Οι Γενετικοί Αλγόριθµοι ως µέθοδός βελτιστοποίησης µαθηµατικών µοντέλων Όπως είναι γνωστό ένα µοντέλο µαθηµατικού προγραµµατισµού περιλαµβάνει την αντικειµενική συνάρτηση της οποίας ζητείται η βέλτιστη τιµή, και τους περιορισµούς στους οποίους υποβάλλονται οι ανεξάρτητες µεταβλητές της συνάρτησης, οι µεταβλητές απόφασης. Κάθε σύνολο τιµών των ανεξαρτήτων µεταβλητών αποτελεί µια λύση οποία ανήκει στο χώρο δυνατής πολιτικής εφόσον πληροί τους περιορισµούς που τίθενται από το φυσικό πρόβληµα. Για να εφαρµοσθούν οι Γενετικοί Αλγόριθµοι θα πρέπει το µαθηµατικό µοντέλο να προσοµοιωθεί µε ένα σύστηµα ανάλογο µε τα φυσικά συστήµατα τα οποία υφίστανται γενετικές διαδικασίες και εξελίσσονται µε την πάροδο των γενιών. Επειδή ο χώρος δυνατής πολιτικής είναι εξαιρετικά µεγάλος, ένα µικρό τµήµα του αποτελεί τον αρχικό πληθυσµό, στο οποίο αφού εφαρµοστούν οι γενετικές διαδικασίες, βελτιώνεται µετά από πολλές γενιές. Ως βελτίωση θεωρείται η όσο το δυνατό καλύτερη προσέγγιση των ατόµων του πληθυσµού, εν προκειµένω των λύσεων του µαθηµατικού µοντέλου, προς τη βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάντησης. Με 19

26 άλλα λόγια η βελτιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο για την επιβίωση των χρωµοσωµάτων, και η προσέγγιση της βέλτιστης τιµής αποτελεί ένα ζήτηµα ζωής και θανάτου γι' αυτά. Κάθε χρωµόσωµα δεν είναι λοιπόν παρά ένας συνδυασµός τιµών των µεταβλητών απόφασης. Η αξία του αντιστοιχεί στην τιµή που δίνει στην αντικειµενική συνάρτηση. Όσο πιο κοντά στη βέλτιστη (µέγιστη ή ελάχιστη) είναι αυτή η τιµή, τόσο πιο εύρωστο είναι το αντίστοιχο χρωµόσωµα και τόσο µεγαλύτερες πιθανότητες έχει να επιβιώσει στις επόµενες γενιές. Στη γενική περίπτωση ενός µοντέλου µαθηµατικού προγραµµατισµού οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι περισσότερες από µία και υπόκεινται σε ορισµένους περιορισµούς. Στην περίπτωση αυτή κάθε ένα από τα τυχαία αρχικά χρωµοσώµατα καθορίζει το σύνολο των ανεξάρτητων µεταβλητών. Αν για παράδειγµα είναι 5 οι µεταβλητές του προβλήµατος, και η κάθε µία θεωρείται ότι µπορεί να περιγραφεί στο δυαδικό σύστηµα µε 6 ψηφία τότε θα απαιτηθεί ο σχηµατισµός πληθυσµού τυχαίων χρωµοσωµάτων από αλυσίδες 5*6=30 γονιδίων, και στη συνέχεια θα εφαρµοστούν οι γενετικές διαδικασίες όπως έχουν περιγραφεί. Κάθε χρωµόσωµα θα αποτελεί µία λύση για το µαθηµατικό µοντέλο, η οποία για να ανήκει στο χώρο της δυνατής πολιτικής θα πρέπει να υπακούει στους περιορισµούς, τους οποίους θέτει το φυσικό πρόβληµα. Στα προβλήµατα βελτιστοποίησης τα χρωµοσώµατα που δεν υπακούουν στους περιορισµούς είτε απορρίπτονται από την αρχή είτε αποκλείονται από την επόµενη γενιά µε µηδενισµό της αντικειµενικής συνάρτησης είτε παίρνουν µία ποινή στη βαθµολογία τους, η οποία καθορίζεται σε σχέση µε: την απόκλιση που παρουσιάζει ο αντίστοιχος περιορισµός που δεν ικανοποιείται, τον αριθµό των µη-ικανοποιούµενων περιορισµών. Η τελική απόφαση εξαρτάται από το συγκεκριµένο µαθηµατικό µοντέλο. Εποµένως τα χρωµοσώµατα θα αναπαράγονται η θα απορρίπτονται µε ένα κριτήριο βιωσιµότητας, αυτό της ικανοποίησης των περιορισµών. Μία σηµαντική παρατήρηση στους δυαδικούς Γενετικούς Αλγορίθµους είναι το γεγονός ότι τα χρωµοσώµατα, όταν αποκωδικοποιηθούν στο δεκαδικό σύστηµα, µπορεί να παίρνουν καταρχήν ακέραια τιµή. Αυτή η ιδιότητα ευνοεί τη χρήση της µεθόδου για τη βελτιστοποίηση προβληµάτων που απαιτούν εφαρµογή του ακέραιου δυναµικού προγραµµατισµού. Αν οι µεταβλητές του µοντέλου είναι δεκαδικοί αριθµοί, όπως είναι η γενική περίπτωση, τότε απαιτείται µία αρχική παραδοχή για την απαιτούµενη ακρίβεια ώστε να εκτιµηθεί σωστά το ανώτερο όριο της τιµής τους και εποµένως του µήκους της αλυσίδας των γονιδίων. Υπάρχει βέβαια και η δυνατότητα να αποκωδικοποιηθούν σε κλασµατικούς αριθµούς αλλά αυτό εξαρτάται από το εκάστοτε πρόγραµµα. 20

27 Η διαδικασία βελτιστοποίησης παρουσιάζεται σχηµατικά στο σχήµα 2.1. ΑΡΧΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΑΡΧΙΚΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΓΕΝΙΑ n ΓΕΝΙΑ n+1 ΜΕΤΑΛΛΑΞΗ ΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΕ ΕΠΙΛΟΓΗ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗΣ STOP? ΟΧΙ ΝΑΙ ΤΕΛΟΣ Σχήµα 2.1: Η διαδικασία βελτιστοποίησης ενός γενετικού αλγορίθµου 21

28 Κεφάλαιο 3 Τα συλλογικά αρδευτικά δίκτυα µε κλειστούς αγωγούς 3.1 Γενικά Τα αρδευτικά έργα είναι ένα σύνολο εγκαταστάσεων, συσκευών και οργάνων που έχουν ως τελικό στόχο τη χορήγηση νερού στις καλλιέργειες. Το σύστηµα αγωγών µε τους οποίους µεταφέρεται το νερό από κάποια πηγή έως τα αγροτεµάχια αποτελεί το αρδευτικό δίκτυο. Τα τµήµατα από τα οποία αποτελείται ένα αρδευτικό έργο υπό πίεση είναι τα ακόλουθα. i. Το έργο υδροληψίας από την πηγή Ως πηγή νερού µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένα φυσικό ή τεχνητό ρέµα, λίµνη ή τεχνητός ταµιευτήρας νερού, ένα αβαθές πηγάδι ή µια βαθιά γεώτρηση. Το τεχνικό έργο της υδροληψίας είναι ανάλογο µε την πηγή του νερού και συνήθως είναι εφοδιασµένο µε µια διάταξη µηχανικού καθαρισµού του νερού από πιθανά φερτά υλικά που αιωρούνται. ii. Το αντλιοστάσιο Με αυτό εξασφαλίζεται κάθε φορά η απαιτούµενη παροχή και πίεση λειτουργίας του δικτύου. Μερικές φορές η πίεση αυτή εξασφαλίζεται µε τη βαρύτητα λόγω της σχετικής τοπογραφικής θέσης της πηγής νερού ως προς την αρδευόµενη έκταση και κατά συνέπεια δε χρειάζεται κατασκευή αντλιοστασίου. iii. Η διάταξη ρύθµισης παροχής Η διάταξη αυτή παρεµβάλλεται ανάµεσα στο αντλιοστάσιο και το δίκτυο για να εξισορροπεί τη µεταβλητή ζήτηση του δικτύου µε τη συνεχή παροχή του αντλιοστασίου. iv. Το δίκτυο αγωγών Το δίκτυο αγωγών είναι συνήθως υπόγειο και υπό πίεση και µε αυτό µεταφέρεται το νερό από την πηγή στην υπό άρδευση έκταση. 22

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικά θέματα εξετάσεων. ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι ερωτήσεις που παρατίθενται ΔΕΝ καλύπτουν την πλήρη ύλη του μαθήματος και παρέχονται απλά ενδεικτικά

Τυπικά θέματα εξετάσεων. ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι ερωτήσεις που παρατίθενται ΔΕΝ καλύπτουν την πλήρη ύλη του μαθήματος και παρέχονται απλά ενδεικτικά ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Τηλεπικοινωνιών & Πληροφορικής Μάθημα : 204a Υπολογιστική Ευφυία Μηχανική Μάθηση Καθηγητής : Σπύρος Καζαρλής Ενότηα : Εξελικτική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΑΡ ΕΥΤΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΑΡ ΕΥΤΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΑΡ ΕΥΤΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Είναι υδραυλικά συστήµατα που µεταφέρουν νερό από το σηµείο υδροληψίας Φυσική ή τεχνητή λίµνη Εκτροπή ποταµού Γεώτρηση ή οµάδα γεωτρήσεων στην αρδευτική περίµετρο και το διανέµουν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ31, Απαντήσεις Quiz Γενετικών Αλγορίθµων 1 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑ 1.1 Ο φαινότυπος ενός ατόµου α.αναπαριστά ένα άτοµο στο χώρο λύσεων του προβλήµατος β.κωδικοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης.

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Ένα από τα γνωστότερα παραδείγματα των ΕΑ είναι ο Γενετικός

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων.

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η τεχνική αυτή έκθεση περιλαµβάνει αναλυτική περιγραφή των εναλλακτικών µεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης που εξετάσθηκαν µε στόχο να επιλεγεί η µέθοδος εκείνη η οποία είναι η πιο κατάλληλη για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Προχωρημένες Μέθοδοι Προβλήματα με την «κλασική» βελτιστοποίηση Η αντικειμενική συνάρτηση σπανίως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Έλεγχος λειτουργίας δικτύων διανομής με χρήση μοντέλων υδραυλικής ανάλυσης Βασικό ζητούμενο της υδραυλικής ανάλυσης είναι ο έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τ Μ Η Μ Α Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τ Μ Η Μ Α Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τ Μ Η Μ Α Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ ΕΠΛ 035 - ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2017-2018 Υπεύθυνος εργαστηρίου: Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΤΟΜΕΑΣ ΥΔ. ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΤΟΜΕΑΣ ΥΔ. ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΤΟΜΕΑΣ ΥΔ. ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 Σύνταξη ασκήσεων: Α. Ευστρατιάδης, Π. Κοσσιέρης, Χ. Μακρόπουλος, Δ. Κουτσογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Αθήνα Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Α ληροφόρητη αναζήτηση

Ε ανάληψη. Α ληροφόρητη αναζήτηση ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Το ική Αναζήτηση Local Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Α ληροφόρητη αναζήτηση σε πλάτος, οµοιόµορφου κόστους, σε βάθος,

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής

Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 2005-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Δ.Π.Μ.Σ.: «ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» ΤΟΜΕΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Μάθημα: Διαχείριση Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον Ενότητα 2 : Υπολογισμός παροχών σε δίκτυα με ελεύθερη ζήτηση Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

3. Δίκτυο διανομής επιλύεται για δύο τιμές στάθμης ύδατος της δεξαμενής, Η 1 και

3. Δίκτυο διανομής επιλύεται για δύο τιμές στάθμης ύδατος της δεξαμενής, Η 1 και ΕΜΠ Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά Υδραυλικά Έργα Επαναληπτική εξέταση 10/2011 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Μονάδες 3, Διάρκεια 20') ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις, σημειώνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Περιγραφή προβλήματος με αρχική κατάσταση, τελική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Νοηµοσύνη

Υπολογιστική Νοηµοσύνη Υπολογιστική Νοηµοσύνη Σηµερινό Μάθηµα Η θεωρία της Εξέλιξης των Ειδών οµή Γενετικού Αλγόριθµου Κύρια χαρακτηριστικά ενός Γενετικού Αλγορίθµου (ΓΑ) Γενετική ιαδικασία 1 Η θεωρία της Εξέλιξης των Ειδών

Διαβάστε περισσότερα

Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης

Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης Υφαλμύρινση Παράκτιων Υδροφορέων - προσδιορισμός και αντιμετώπιση του φαινομένου με συνδυασμό μοντέλων προσομοίωσης και μεθόδων βελτιστοποίησης Καθ. Καρατζάς Γεώργιος Υπ. Διδ. Δόκου Ζωή Σχολή Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον Ενότητα 4 : Υπολογισμός οικονομικής διαμέτρου σωληνωτών αγωγών Ευαγγελίδης Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δικτύων διανομής

Ανάλυση δικτύων διανομής Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ανάλυση δικτύων διανομής Χρήστος Μακρόπουλος, Ανδρέας Ευστρατιάδης & Παναγιώτης Κοσσιέρης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων

Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση:Προχωρημένες Μέθοδοι Χρήστος Μακρόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 26 Ιανουαρίου 2004 ιάρκεια: 2 ώρες (9:00-:00) Στην παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Υφαλμύρισης Καρστικών Υδροφορέων

Προβλήματα Υφαλμύρισης Καρστικών Υδροφορέων Προβλήματα Υφαλμύρισης Καρστικών Υδροφορέων Καθ. Καρατζάς Γεώργιος Πρόεδρος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Χανιά Υπόγεια ύδατα Βασική παράμετρος ρ υδρολογικού κύκλου Ζωτικής σημασίας

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΑΥΛΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

Υ ΡΑΥΛΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Υ ΡΑΥΛΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΙΚΤΥΑ ίκτυο αγωγών είναι ένα σύνολο αγωγών που συνδέονται µεταξύ τους σε σηµεία που λέγονται κόµβοι Σχηµατίζουν είτε ανοικτούς κλάδους µε τη µορφή ενός δένδρου είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Αξιολόγηση των µακροοικονοµικών επιπτώσεων του ΚΠΣ III

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Αξιολόγηση των µακροοικονοµικών επιπτώσεων του ΚΠΣ III ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 152 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Αξιολόγηση των µακροοικονοµικών επιπτώσεων του ΚΠΣ III Η εκ των προτέρων αξιολόγηση των µακροοικονοµικών επιπτώσεων του 3 ου ΚΠΣ µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε τρόπους οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 5η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 5η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 5η διάλεξη (2017-18) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Γενετικοί Αλγόριθµοι. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 7. Γενετικοί Αλγόριθµοι. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 7 Γενετικοί Αλγόριθµοι Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Εισαγωγή Σε αρκετές περιπτώσεις το µέγεθος ενός προβλήµατος καθιστά απαγορευτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Παρασκευή 9 Ιανουαρίου 2007 5:00-8:00 εδοµένου ότι η

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 1: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Μονάδες 3, Διάρκεια 20')

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Μονάδες 3, Διάρκεια 20') ΕΜΠ Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά Υδραυλικά Έργα Κανονική εξέταση 06/2011 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Μονάδες 3, Διάρκεια 20') ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις, σημειώνοντας στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων

Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Θεµελίωση Γενετικών Αλγορίθµων Σηµερινό Μάθηµα Προβληµατισµοί Σχήµατα Τάξη Οριστικό Μήκος ΘεώρηµατωνΣχηµάτων Υπόθεση δοµικών Στοιχείων Πλάνη 1 Προβληµατισµοί Τι προβλέψεις µπορούν να γίνουν για τη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ι Α Σ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας. Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών Διεργασιών

Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ι Α Σ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας. Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών Διεργασιών Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ι Α Σ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιομηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών Διεργασιών Αντίστροφος Σχεδιασμός και Βελτιστοποίηση Δικτύων Σωληνώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύµιση εννοιών από την υδραυλική δικτύων υπό πίεση

Υπενθύµιση εννοιών από την υδραυλική δικτύων υπό πίεση Υπενθύµιση εννοιών από την υδραυλική δικτύων υπό πίεση Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 2005-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα

Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα Ελένη Ζαχαροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΑΡΔΕΥΤΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΑΡΔΕΥΤΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΑΡΔΕΥΤΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Π. Σιδηρόπουλος Δρ. Πολιτικός Μηχανικός Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. E-mail: psidirop@teilar.gr ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΑ ΕΡΓΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων Εισαγωγή Η χρήση των μεταβλητών με δείκτες στην άλγεβρα είναι ένας ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ Ηλίας Κ. Ξυδιάς 1, Ανδρέας Χ. Νεάρχου 2 1 Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων & Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Σύρος

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου

J-GANNO. Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β, Φεβ.1998) Χάρης Γεωργίου J-GANNO ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΑΚΕΤΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΕΧΝΗΤΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ JAVA Σύντοµη αναφορά στους κύριους στόχους σχεδίασης και τα βασικά χαρακτηριστικά του πακέτου (προέκδοση 0.9Β,

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Άσκηση E9: Εκτίµηση παροχών εξόδου κόµβων, υπολογισµός ελάχιστης κατώτατης

Διαβάστε περισσότερα

ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς

ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς Για πηγές διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο, των οποίων οι έξοδοι είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζεται µια άλλη ποσότητα που µοιάζει µε την εντροπία και καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας Σχεδιασμός αντικειμένων, διεργασιών, δραστηριοτήτων (π.χ. τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη κτλ) ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (conceptual design) ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 10 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ 1. Πως ορίζεται ο τμηματικός προγραμματισμός; Τμηματικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια σημεία. Η έννοια του μοντέλου. Έρευνα στην εφαρμοσμένη Στατιστική. ΈρευναστηΜαθηματικήΣτατιστική. Αντικείμενο της Μαθηματικής Στατιστικής

Κύρια σημεία. Η έννοια του μοντέλου. Έρευνα στην εφαρμοσμένη Στατιστική. ΈρευναστηΜαθηματικήΣτατιστική. Αντικείμενο της Μαθηματικής Στατιστικής Κύρια σημεία Ερευνητική Μεθοδολογία και Μαθηματική Στατιστική Απόστολος Μπουρνέτας Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Αναζήτηση ερευνητικού θέματος Εισαγωγή στην έρευνα Ολοκλήρωση ερευνητικής εργασίας Ο ρόλος των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΚΕΜΕΡΙΔΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ: θεωρητικό Πλαίσιο

ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ: θεωρητικό Πλαίσιο ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ: θεωρητικό Πλαίσιο EVOLOTIONARY ALGORITHMS 1 ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η Λογική (1/2) Ο Εξελικτικός Υπολογισµός (evolutionary computation) χρησιµοποιεί τα υπολογιστικά µοντέλα εξελικτικών

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Αν θεωρήσουμε την ^5h εξίσωση ως προς x και εκτελέσουμε τις πράξεις προκύπτει:

Αν θεωρήσουμε την ^5h εξίσωση ως προς x και εκτελέσουμε τις πράξεις προκύπτει: Οι προσεγγίσεις στον νόμο αραιώσεως του Ostld Η μελέτη των προσεγγίσεων προϋποθέτει τη μελέτη χωρίς προσεγγίσεις. Από μαθηματικής σκοπιάς είτε έχουμε διάλυμα ασθενούς οξέος είτε διάλυμα ασθενούς βάσης

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικά Έργα Ι [ΠΟΜ 443]

Υδραυλικά Έργα Ι [ΠΟΜ 443] [ΠΟΜ 443] Δίκτυα Μεταφοράς Νερού Εξωτερικό Υδραγωγείο Ανδρέας Χριστοφή / ειδικός επιστήμονας Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Γεωπληροφορικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Email: andreas.christofe@cut.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 25 Αυγούστου 26 :-4: Κατασκευάστε έναν αισθητήρα (perceptron)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3: ΠΟΛΥΚΡΙΤΙΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ ΠΛΑΣΤΗΡΑ

ΕΡΓΑΣΙΑ 3: ΠΟΛΥΚΡΙΤΙΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ ΠΛΑΣΤΗΡΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΠΜΣ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ 3: ΠΟΛΥΚΡΙΤΙΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ ΠΛΑΣΤΗΡΑ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΚΟΤΣΙΦΑΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων

Υ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων Υ ΡΟΓΑΙΑ Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων Υ ΡΟΓΑΙΑ: Υδρονοµέας Hydria Ζυγός Μοντέλο υδρολογικού ισοζυγίου λεκάνης Ρύπος Εκτίµηση ρυπαντικών φορτίων Ηριδανός

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

4 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΚΕΜΕΡΙΔΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γενετικοί Αλγόριθμοι. Εισαγωγή

Γενετικοί Αλγόριθμοι. Εισαγωγή Τεχνητή Νοημοσύνη 08 Γενετικοί Αλγόριθμοι (Genetic Algorithms) Εισαγωγή Σε αρκετές περιπτώσεις το μέγεθος ενός προβλήματος καθιστά απαγορευτική τη χρήση κλασικών μεθόδων αναζήτησης για την επίλυσή του.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΙΑΤΡΗΣΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΙΑΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΙΑΤΡΗΣΗΣ Η εκτίµηση και η ανάλυση του κόστους µιας γεώτρησης είναι το τελικό στάδιο στο σχεδιασµό. Σε πολλές περιπτώσεις η εκτίµηση κόστους είναι το διαχειριστικό

Διαβάστε περισσότερα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων. Βιβλιογραφία Ενότητας

ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων. Βιβλιογραφία Ενότητας ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Βελτιστοποίηση κώδικα σε επεξεργαστές ΨΕΣ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία Ενότητας Kehtarnavaz [2005]: Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Σεπτεµβρίου 2005 5:00-8:00 Σχεδιάστε έναν αισθητήρα ercetro

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επιχειρηματικής Ευφυίας

Συστήματα Επιχειρηματικής Ευφυίας Συστήματα Επιχειρηματικής Ευφυίας Γενετικοί αλγόριθμοι (GA) : Από τον Δαρβίνο (1859) στον J. Holland (1975). (Ένα ταξίδι στον υπέροχο κόσμο της επιλογής, της διασταύρωσης και της μετάλλαξης). Charles Darwin

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Συνδυαστικά Λογικά Κυκλώματα Ένα συνδυαστικό λογικό κύκλωμα συντίθεται από λογικές πύλες, δέχεται εισόδους και παράγει μία ή περισσότερες εξόδους. Στα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα οι έξοδοι σε κάθε χρονική

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Ο ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ο ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Οι κλασικές προσεγγίσεις αντιμετωπίζουν τη διαδικασία της επιλογής του τόπου εγκατάστασης των επιχειρήσεων ως αποτέλεσμα επίδρασης ορισμένων μεμονωμένων παραγόντων,

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα