Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014"

Transcript

1 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, Φεβρουάριος 2014

2 ii

3 Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει συνοπτικά µία σειρά εννοιών που χρησιµοποιούνται στον Απειροστικό Λογισµό και αφορούν έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τη Λογική, όπως τρόποι απόδειξης, ποσοδείκτες και αρνήσεις, σύνολα κ.α. Προτάσεις και Ποσοδείκτες Σε πλήθος Μαθηµατικών Προτάσεων χρησιµοποιούµε τον καθολικό ποσοδείκτη για κάθε, συµβ., και τον υπαρξιακό ποσοδείκτη υπάρχει, συµβ.. Αν P, Q είναι προτάσεις που περιέχουν τη µεταβλητή x, τότε αρνούµαστε σύµφωνα µε τους πίνακες (µε P ϑα συµβολίζουµε την άρνηση της πρότασης P): Πρόταση Άρνηση xp x P xp x P Πρόταση Άρνηση P ή Q P και Q P και Q P ή Q αν P τότε Q P και Q P ανν Q (P και Q) ή (Q και P) Παράδειγµα 1. (i) (άρνηση της σύγκλισης ακολουθίας στο R) Θα λέµε ότι η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (x n ) συγκλίνει στο x 0 αν για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n > n 0 να είναι x n x 0 < ε. Ωστε η ακολουθία (x n ) δεν συγκλίνει στο x 0 αν υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε iii

4 iv ϕυσικό n να υπάρχει ϕυσικός m > n µε x m x 0 ε. Αυτό σηµαίνει ότι άπειροι όροι της ακολουθίας ϐρίσκονται εκτός κάποιας περιοχής του x 0. (ii) (άρνηση της σύγκλισης ακολουθίας στο + ) Θα λέµε ότι η ακολουθία πραγ- µατικών αριθµών (x n ) τείνει στο + αν για κάθε M > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n > n 0 να είναι x n > M. Ωστε η ακολουθία (x n ) δεν τείνει στο + ανν υπάρχει M > 0 ώστε για κάθε ϕυσικόnνα υπάρχει ϕυσικός m > n µε x m M. Αυτό σηµαίνει ότι άπειροι όροι της ακολουθίας ϐρίσκονται σε κάποιο διάστηµα (,M). (iii) (άρνηση της συνέχειας συνάρτησης στο x 0 ) Θα λέµε ότι η συνάρτηση f : A R R είναι συνεχής στο x 0 αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x A µε x x 0 < δ να είναι f(x) f(x 0 ) < ε. Ωστε η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x 0 αν υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε δ > 0 υπάρχει x δ A µε x δ x 0 < δ και f(x δ ) f(x 0 ) ε. Αποδεικτικές µεθόδοι - Αντίστροφη Ροή Οι Μαθηµατικές Προτάσεις που καλούστε να αποδείξουµε είναι της µορφής Υ Σ, όπου µε Υ, Σ συµβολίζουµε τις υποθέσεις και τα συµπεράσµατα, αντίστοιχα. Μέθοδοι απόδειξης είναι η ευθεία απόδειξη, η πλάγια απόδειξη (απόδειξη µε αντιθετοαντιστρο- ϕή) και η απαγωγή σε άτοπο. Αναφορικά µε την ευθεία απόδειξη της Υ Σ, συχνά χρησιµοποιούµε κάποιους κανόνες που µπορούµε να αποκαλέσουµε µέθοδο της Αντιστροφης Ροής: ξεκινούµε από το συµπέρασµα Σ, αναδιατυπώνοντας την προς απόδειξη ιδιότητα, εισάγοντας τους σχετικούς ποσοδείκτες υπάρχει και για κάθε. Στη συνέχεια προχωρούµε σύµφωνα µε τους κανόνες που ορίζει ο πίνακας 1 (η P είναι πρόταση που αφορά τη µεταβλητή x): Θα δείξουµε ότι Γράφουµε οπότε xp(x) Εστω x και ϑ.δ.ο. P(x) ξεδιπλώνουµε την P xp(x) Βρίσκουµε x ώστε P(x) οδηγούµαστε στα δεδοµένα Μόνο κάτω από την πίεση ενός υπαρξιακού ποσοδείκτη αναγόµαστε στις υποθέσεις, προκειµένου να αναζητήσουµε την ποσότητα που χρειαζόµαστε. Συχνά οι έννοιες που

5 εµφανίζονται στις υποθέσεις εµπλέκουν µε την σειρά τους ποσοδείκτες, που χρησιµοποιούνται σύµφωνα µε τον πίνακα 2: v Γνωρίζουµε ότι xp(x) xp(x) οπότε χρησιµοποιούµε κατάλληλο x, χρήσιµο στην απόδειξη χρησιµοποιούµε αυτό το x Ας υποθέσουµε, για παράδειγµα, ότι ϑέλουµε να αποδείξουµε το ευθύ της γνωστής πρότασης του ιανυσµατικού Απειροστικού Λογισµού, σύµφωνα µε την οποία: η ακολουθία ( (x n,y n ) ) του R 2 συγκλίνει στο (x 0,y 0 ) ανν συγκλίνει κατά συντεταγµένες: οι (x n ) και (y n ) συγκλίνουν στα x 0, y 0, αντίστοιχα, είναι δηλαδή: lim (x n,y n ) = (x 0,y 0 ) lim x n = x 0 και lim y n = y 0. n n n (ϑα χρησιµοποιήσουµε την Ευκλείδεια απόσταση: ρ 2 ((x,y),(x,y )) = (x x ) 2 +(y y ) 2 του R 2 ). Ξεκινούµε κατά κανόνα από αυτό που ϑέλουµε να αποδείξουµε, δηλαδή το lim n x n = x 0 και αναδιατυπώνουµε, ϑέλωντας να δείξουµε ότι για κάθεε > 0 υπάρχει ϕυσικόςn 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x 0 < ε. Χρησιµοποιώντας τον πίνακα 1, ο ποσοδείκτης για κάθε µεταφράζεται ως έστω ε > 0. Πλέον, ϑα δείξουµε ότι (για αυτό το ε > 0) υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x 0 < ε. Σύµφωνα πάλι µε τον πίνακα 1, ο ποσοδείκτης υπάρχει µας αναγκάζει να στραφούµε στα δεδοµένα, ώστε να εντοπίσουµε τον ϕυσικό n 0 που αναζητούµε. Τονίζουµε ότι το σηµαντικό πλέον στην απόδειξη είναι η εύρεση του n 0 και κάθε τι άλλο, όπως η απόδειξη της ανισότητας x n x 0 < ε είναι δευτερεύον. Πλέον ϐρισκόµαστε στα δεδοµένα, δηλαδή στην πρόταση lim n (x n,y n ) = (x 0,y 0 ). Σύµφωνα λοιπόν µε τον ορισµό της σύγκλισης, γνωρίζουµε ότι για κάθε ϑετική ποσότητα (ας την ονοµάσουµε ε > 0, µόνο που δεν είναι το ε > 0 παραπάνω!) υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Σύµφωνα λοιπόν µε τον πίνακα 2, οφείλουµε να χρησιµοποιήσουµε κάποια κατάλληλη ϑετική ποσότητα, χρήσιµη για αυτό που ϑέλουµε να αποδείξουµε. Χρησιµοποιούµε το ε > 0 που καλέσαµε στην αρχή της απόδειξης. Τότε εντοπίζουµε (για αυτό το ε > 0) ϕυσικό n 0 για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Πλέον χρειάζεται να αναλάβει δράση η Μαθηµατική µας δεινότητα, κάνοντας την εξής κρίσιµη παρατήρηση: ισχυριζόµαστε

6 vi ότι ο ϕυσικός n 0 που ϐρήκαµε στο σηµείο αυτό είναι εκείνος ο ϕυσικός που αναζητούσαµε. Πράγµατι, για να αποδείξουµε τον ισχυρισµό µας ϑεωρούµε n n 0 τυχόν και παρατηρούµε ότι: x n x 0 ( x n x y n y 0 2 = ρ 2 (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Η απόδειξη λοιπόν, η οποία σιωπηλά ακολουθεί τα παραπάνω, είναι η εξής: Απόδειξη. (για το ευθύ) Εστω ε > 0, οπότε αφού lim n (x n,y n ) = (x 0,y 0 ), ϐρίσκουµε ϕυσικό n 0 ώστε για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Τότε για κάθε ϕυσικό n n 0 είναι x n x 0 ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Θα προχωρήσουµε και στη γνωστή µας πρόταση από τις ακολουθίες πραγµατικών αριθµών, σύµφωνα µε την οποία: το όριο µιας συγκλίνουσας ακολουθίας πραγµατικών αριθµών είναι µοναδικό. Πρώτα από όλα, καταγράφουµε την πρόταση σε µαθηµατικούς όρους: Εστω (x n ) R και x, y R ώστε x n x και x n y. Τότε x = y. Ο τρόπος που ϑα αποδείξουµε το Ϲητούµενο είναι η απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουµε λοιπόν ότι x y και επειδή η έκφραση αυτή δεν ϕέρει ποσοδείκτες, µπορούµε να οδηγηθούµε στις υποθέσεις µας. Από την υπόθεση γνωρίζουµε ότι x n x, δηλαδή για κάθε ϑετική ποσότητα ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x < ε. Εφόσον γνωρίζουµε ότι κάτι συµβαίνει για κάθε ε > 0, οφείλουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο πίνακα να χρησιµοποιήσουµε κατάλληλο ε. Εδώ είναι ίσως και το δυσκολότερο κοµµάτι της άσκησης, µιας που ϑα πρέπει να κατασκευάσουµε µια κατάλληλη ϑετική ποσότητα, που ϑα µας οδηγήσει σε άτοπο. Σκόπιµο είναι στο σηµείο αυτό να ϕτιάξουµε ένα σχήµα. Επιλέγοντας για ε την µισή της απόστασης x y του x από το y, τότε υπάρχει κάποιος ϕυσικός n 1 ώστε για κάθε n n 1 οι όροι x n, n n 1 να συγκεντρώνονται στην ε αυτή περιοχη του x, που είναι η (x ε,x + ε). Κατά ανάλογο τρόπο και χρησιµοποιώντας το ίδιο ε > 0 ϐρίσκουµε ένα ϕυσικό n 2 ώστε οι όροι x n, n n 2 να συγκεντρώνονται στην ε αυτή περιοχή του y, που είναι η (y ε,y + ε). Τότε ο όρος x n0 µε n 0 = max{n 1,n 2 } ϐρίσκεται στην περιοχή(x ε,x+ε), αλλά και στην(y ε,y+ε). Επειδή όµως οι περιοχές αυτές δεν τέµνονται, οδηγούµαστε σε άτοπο. Η απόδειξη λοιπόν, η οποία σιωπηλά ακολουθεί τα παραπάνω και ϑα µπορούσαµε να συναντήσουµε σε ενα ϐιβλίο Ανάλυσης, είναι η εξής:

7 Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι x y. Επειδή x n x, υπάρχει ϕυσικός n 1 ώστε για n n 1 να είναι x n x < x y /2 και επειδή x n y, υπάρχει ϕυσικός n 2 ώστε για n n 2 να είναι x n y < x y /2. Τότε είναι x n0 x < x y /2 και x n0 y < x y /2 και καταλήγουµε σε αντίφαση, διότι: x y x x n0 + x n0 y < x y 2 + x y 2 = x y. vii Σύνολα Ολα τα σύνολα περιέχουν στοιχεία (εκτός του κενού συνόλου, συµβ. ). Για να δηλώσουµε ότι ένα στοιχείο x ανήκει σε ένα σύνολο A ϑα γράφουµε x A. συµβολισµός διαβάζουµε Ορισµός A B A περιέχεται B x : αν x A τότε x B A = B A ίσο µε B A B και B A ισοδ. x : x A x B συµβολισµός διαβάζουµε Ορισµός X \A συµπλήρωµα x : x X \A x / A A B γινόµενο (x,y) : (x,y) A B x A και y B A B ένωση x : x A B x A ή x B i ένωση (στο I) x : x A A i i I : x A i A B τοµή x : x A B x A και x B i τοµή (στο I) x : x A A i i I : x A i Σηµειώνουµε τα παρακάτω υποσύνολα των πραγµατικών, τα οποία χρησιµοποιούµε συχνά στον Απειροστικό Λογισµό:

8 viii : το κενό σύνολο, δεν έχει κανένα στοιχείο N : οι ϕυσικοί αριθµοί = {1,2,3,...} Z : οι ακέραιοι αριθµοί = {..., 2, 1,0,1,2,...} Q : οι ϱητοί αριθµοί R\Q : οι άρρητοι αριθµοί R : οι πραγµατικοί αριθµοί Πληθικότητα: Θα χρειαστεί συχνά να µετρήσουµε τα στοιχεία ενός συνόλου. Η έννοια του πεπερασµένου συνόλου µας είναι οικεία, όµως από την άλλη υπάρχουν πολλές κλάσεις απειρίας. Ειδικότερα, το σύνολο A ϑα καλείται: απειροσύνολο, ή απλά άπειρο, αν δεν είναι πεπερασµένο, αριθµήσιµο (countable) αν υπάρχει f : N A που είναι 1 1 και επί (δηλαδή µπορούµε να γράψουµε A = {x n : n N} για κάποια στοιχεία x n, n N στο A όπου x n x m για n m), π.χ. Q (ϱητοί), N (ϕυσικοί), Z (ακέραιοι) κ.τ.λ. υπεραριθµήσιµο (uncountable) αν είναι άπειρο και δεν είναι αριθµήσιµο (δηλαδή τα στοιχεία του A δεν µπορούν να ονοµαστούν µέσω του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών), π.χ. R\ Q (άρρητοι), R (πραγµατικοί), το διάστηµα [0, 1] κ.τ.λ. Επίσης, τα σύνολα A, B ϑα καλούνται ισοπληθικά ανν υπάρχει 1 1 και επί απεικόνιση f : A B. Τέλος, χρήσιµα είναι τα παρακάτω: (1) Πεπερασµένη ένωση πεπερασµένων συνόλων είναι πεπερασµένο σύνολο. (2) Πεπερασµένη ένωση αριθµήσιµων συνόλων είναι αριθµήσιµο σύνολο. (3) Αριθµήσιµη ένωση αριθµήσιµων συνόλων είναι αριθµήσιµο σύνολο. [συνολοθεωρητική διαφορά] συµβολίζουµε µε B \ A το σύνολο B (X \ A) και ισχύουν: X \(X \A) = A και A B X \B X \A. ( ) ( [τύποι De Morgan] (X \A i ) = X \ A i και (X \A i ) = X \ A i ). [επιµεριστικές ιδιότητες] A (B C) = (A B) (A B), A (B C) = (A B) (A B),

9 ( ( ) A i ) B i = (A i B i ), ( ( ) A i ) B i = (A i B i ). ix Συναρτήσεις Εστω X, Y µη κενά σύνολα. Ο συµβολισµός f : X Y δηλώνει ότι η απεικόνιση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο X και πεδίο τιµών f(x) που περιέχεται στο Y. Η f : X Y ϑα καλείται 1 1 αν για κάθε x, y X µε x y είναι f(x) f(y), ισοδύναµα για κάθε x, y X αν f(x) = f(y), τότε x = y. Η f ϑα καλείται επί του Y αν είναι f(x) = Y, ισοδύναµα για κάθε y Y υπάρχει x X ώστε f(x) = y. Ισχύουν τα ακόλουθα: f(a B) = f(a) f(b) για κάθε A, B X, ( ) f A i = f(a i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i X, i I, f(a B) f(a) f(b) για κάθε A, B X και ισότητα αν f είναι 1 1, ( ) f A i f(a i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i X, i I µε I, f(a)\f(b) f(a\b) για κάθε A, B X και ισότητα αν f είναι 1 1, Επίσης, ϑα λέµε ότι η f είναι ίση µε τη g, συµβ. f oρσ = g, αν είναι f(x) = g(x) για κάθε x X. Αντίστοιχα ορίζονται τα < και µεταξύ συναρτήσεων µε πραγµατικές τιµές. Αντίστροφη συνάρτηση: Ας ϑεωρήσουµε τα µη κενά σύνολα X, Y και την απεικόνιση f : X Y. Τότε για κάθε y f(x) υπάρχει x X ώστε f(x) = y. Φυσικά αυτό τοxδεν είναι απαραίτητα µοναδικό. Αν όµως υποθέσουµε ότι ηf είναι επιπλέον 1 1, τότε το παραπάνω x είναι µοναδικό. Εχει λοιπόν νόηµα να ορίσουµε τη συνάρτηση g : f(x) X : f(x) x. Την απεικόνιση g ϑα την ονοµάζουµε αντίστροφη συνάρτηση της f και ϑα τη συµβολίζουµε µε f 1, µε κανόνα: f 1 : f(x) X : y = f(x) x. Ειδικά αν η f είναι επί του Y, τότε η f 1 ορίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα: f 1 : Y X : f 1 (y) = x oρσ f(x) = y.

10 x Θα καλούµε την f αντιστρέψιµη αν υπάρχει η αντίστροφή της, ισοδύναµα αν η f είναι 1 1 στο πεδίο ορισµού της. Παρατηρήστε ότι η αντίστροφη συνάρτηση, αν υπάρχει, είναι µοναδική. Αντίστροφη εικόνα: Εστω X, Y σύνολα και f : X Y συνάρτηση. Για A Y ορίζουµε την αντίστροφη εικόνα (inverse image) του συνόλου A µέσω της f, συµβ. f 1 (A), ως το σύνολο των σηµείων του X που απεικονίζονται µέσω της f εντός του A: f 1 (A) oρσ = { x X : f(x) A }. 1 ( ) f 1 A i = f 1 (A i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i Y, i I, ( ) f 1 A i = f 1 (A i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i Y, i I, f 1 (X \A) = Y \f 1 (A) για κάθε A X, f 1 (Y) = X, f 1 ( ) =. f ( f 1 (B) A ) = B f(a) για κάθε A X και B Y. Ειδικότερα είναι f ( f 1 (B) ) = B f(x) B για κάθε B Y [και ισότητα αν f επι ] A f 1( f(a) ) για κάθε A X [και ισότητα αν f 1 1 ] Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών (1) ε - αρχή µηδενισµού: για x 0 ισχύει το ακόλουθο: x = 0 ε > 0 : x < ε ε > 0 : x ε. (2) ε - αρχή ανίσοσης: για x, y R είναι: x y ε > 0 : x < y +ε ε > 0 : x y +ε. (3) Αρχιµήδεια ιδιότητα: για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n ώστε 1/n < ε (µάλιστα είναι άπεροι αυτοί οι ϕυσικοί). 1 [Προσοχή]: δεν ϑα πρέπει να συγχέει κανείς την παράσταση f 1 (A) µε την εικόνα του A µέσω της αντίστροφης συνάρτησης f 1 {, δηλαδή το σύνολο f 1 (y) : y A }, αφού δεν γνωρίζουµε καν αν η συνάρτηση f είναι 1 1, ώστε να πούµε ότι αντιστρέφεται (αν όµως η f αντιστρέφεται, τότε τα παραπάνω σύνολα ταυτίζονται, γιατί;).

11 xi (4) Πυκνότητα των ϱητών στο R: για κάθε α, β R µε α < β υπάρχει ϱητός q Q ώστε α < q < β (µάλιστα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι ϱητοί). Ισοδύναµα, για κάθε πραγµατικό αριθµό α υπάρχει ακολουθία ϱητών (q n ) που συγκλίνει στο α. (5) Πυκνότητα των αρρήτων στο R: για κάθε α, β R µε α < β υπάρχει άρρητος r R\Q ώστε α < r < β (µάλιστα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι άρρητοι). Ισοδύναµα, για κάθε πραγµατικό αριθµό α υπάρχει ακολουθία αρρήτων (r n ) που συγκλίνει στο α. (6) Supremum και Infimum ϕραγµένου υποσυνόλου του R: έστω µη κενό υποσύνολο A του R. Ενα α R ϑα καλείται άνω ϕράγµα του A αν για κάθε x A είναι x α. Το A ϑα καλείται άνω ϕραγµένο αν έχει άνω ϕράγµα. Για A µη κενό, ένα α R ϑα καλείται ελάχιστο άνω ϕράγµα ή supremum του A αν α είναι άνω ϕράγµα του A και επιπλέον µία τουλάχιστον από τις παρακάτω (ισοδύναµες µεταξύ τους) προτάσεις ισχύει: (i) για κάθε α 1 άνω ϕράγµα του A είναι α α 1, (ii) για κάθε ε > 0 υπάρχει α A ώστε α ε < α, (iii) υπάρχει ακολουθία (α n ) του A που συγκλίνει στο α. Αν το A είναι άνω ϕραγµένο, τότε έχει supremum, αποδεικνύεται ότι είναι µοναδικό και συµβολίζεται supa. Εστω µη κενό υποσύνολο A του R. Ενα α R ϑα καλείται κάτω ϕράγµα του A αν για κάθε x A είναι x α. Το A ϑα καλείται κάτω ϕραγµένο αν έχει κάτω ϕράγµα. Για A µη κενό, ένα α R ϑα καλείται µέγιστο κάτω ϕράγµα ή infimum του A αν α είναι κάτω ϕράγµα του A και επιπλέον µία τουλάχιστον από τις παρακάτω (ισοδύναµες µεταξύ τους) προτάσεις ισχύει: (i) για κάθε α 1 κάτω ϕράγµα του A είναι α 1 α, (ii) για κάθε ε > 0 υπάρχει α A ώστε α < α+ε, (iii) υπάρχει ακολουθία (α n ) του A που συγκλίνει στο α. Αν το A είναι κάτω ϕραγµένο, τότε έχει infimum, αποδεικνύεται ότι είναι µοναδικό και συµβολίζεται infa. Το το supremum και το infimum ενός µη κενού και ϕραγµένου συνόλου A δεν είναι υποχρεωτικά στοιχεία του A. (7) Ανισότητες και όρια: Εστω οι ακολουθίες (α n ), (β n ) του R που συγκλίνουν

12 xii στα α και β αντίστοιχα. Υποθέτουµε ακόµη ότι α n β n για κάθε n N. Τότε είναι α β. Προσοχή: αν υποθέσουµε ότια n < β n για κάθεn N, τότεα β και δεν διατηρείται αναγκαστικά η γνήσια ανισότητα σε οριακές διαδικασίες (γιατί;). (8) Κριτήριο παρεµβολής για ακολουθίες: Εστω οι ακολουθίες (x n ), (α n ) και (β n ). Υποθέτουµε ότι οι ακολουθίες (α n ) και (β n ) συγκλίνουν στο x 0 και ότι α n x n β n για κάθε ϕυσικό n. Τότε η ακολουθία (x n ) συγκλίνει και επιπλέον, το όριό της είναι το x 0. (9) Θεώρηµα Σύγκλισης Μονότονων Ακολουθιών: Εστω (x n ) αύξουσα και άνω ϕραγµένη (αντ. ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη) ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Τότε η (x n ) συγκλίνει στο sup { x n : n N } (αντ. στο inf { x n : n N } ). (10) Θεώρηµα Bolzano Weierstrass: Κάθε ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών (αντ. διανυσµάτων) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία στο R (αντ. στο R n ). (11) Πληρότητα του R: µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών καλείται ϐασική ή Cauchy αν για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε m > n > n 0 να είναι x m x n < ε. Ισχύει: µία ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι συγκλίνουσα αν και µόνο αν είναι Cauchy. (12) Σειρές πραγµατικών αριθµών: Εστω (α n ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (s n ) µε s n = α α n, n N καλείται ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς α n. Θα λέµε ότι η σειρά της (α n ) συγκλίνει στοα, γράφουµε n=1 α n = α <, αν η ακολουθία(s n ) των µερικών n=1 αθροισµάτων συγκλίνει στο α. Ισχύει: αν η σειρά α κ συγκλίνει (στο α), τότε η ακολουθία (α n ) συγκλίνει στο 0. κ=1 Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών και η επαγωγή (1) Αρχή της καλής διάταξης: Κάθε µη κενό υποσύνολο του N έχει ελάχιστο στοιχείο (minimum), ισοδύναµα δεν υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών. (2) Αρχή της Επαγωγής: Τα επόµενα είναι ισοδύναµα: (i) η πρόταση Π(n) ισχύει για κάθε n N, (ii) η πρόταση Π(1) ισχύει και υποθέτοντας ότι ισχύει η Π(n), τότε αποδεικνύεται

13 xiii ότι ισχύει η Π(n+1), (iii) η πρόταση Π(1) ισχύει και υποθέτοντας ότι ισχύουν οι Π(1),... Π(n), τότε αποδεικνύεται ότι ισχύει η Π(n+1). Κατασκευή ακολουθιών µε χρήση της Αρχής της Επαγωγής: µία διαδικασία που συναντούµε συχνά είναι η κατασκευή (υπ)ακολουθιών που ϕέρουν επιθυµητές ιδιότητες. Στην περίπτωση αυτή καταφεύγουµε στην Αρχή της Επαγωγής: επιλέγουµε τον πρώτο όρο κατάλληλα, και υποθέτωντας ότι έχουµε κατασκευάσει κατάλληλα n το πλήθος όρους, κατασκευάζουµε τον επόµενο όρο της ακολουθίας. ίνουµε δύο σχετικά παραδείγµατα από τον Απειροστικό Λογισµό. Ορισµός 2. Η (x n ) ϑα καλείται: άνω ϕραγµένη αν υπάρχει M R ώστε x n < M για κάθε n N, γνησίως αύξουσα αν για κάθε n, m µε n < m είναι x n < x m, ισοδύναµα για κάθε n N είναι x n < x n+1. Παράδειγµα 3. Εστωα R και(x n ) ακολουθία τουr\{α}. Ανα = inf{x n : n N}, τότε υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα υπακολουθία (x κn ) της (x n ) που συγκλίνει στο α. Κάνοντας χρήση της Αρχής της Επαγωγής, ϑα κατασκευάσουµε ϕθίνουσα υπακολου- ϑία (x κn ) της (x n ) ώστε για κάθε n N να είναι: α < x κn < α+ 1 n. Υπάρχει ϕυσικός κ 1 ώστε α < x κ1 < α + 1 (γιατί;). Εστω ότι έχουµε ϐρει ϕυσικούς κ 1 <... < κ n ώστε α < x κi < α + 1 i για κάθε i = 1,...,n. Θέτουµε s = min{x 1,...,x κn,α+ 1 1 n+1 } οπότε s α+ n+1 > α και άρα υπάρχει x κ n+1 ώστε α < x κn+1 < s (γιατί;). ιαπιστώνουµε λοιπόν ότι α < x κn+1 < α+ 1 n+1 και επιπλέον ότι κ n+1 > κ n : διαφορετικά x κn+1 {x 1,...,x κn } και άρα x κn+1 < s x κn+1, αντίφαση. Επιπλέον είναι x κn+1 < s x κn και άρα η (x κn ) είναι γνησίως ϕθίνουσα. Παράδειγµα 4. Εστω(x n ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών που δεν είναι άνω ϕραγ- µένη. Τότε υπάρχει υπακολουθία (x κn ) της (x n ) που τείνει στο +. Κάνοντας χρήση της Αρχής της Επαγωγής ϑα κατασκευάσουµε υπακολουθία (x κn ) της (x n ) ώστε για κάθε n N να είναι x κn > n. Αφού η (x n ) δεν είναι άνω ϕραγµένη, υπάρχει ϕυσικός κ 1 ώστε x κ1 > 1. Εστω ότι έχουµε ϐρεί ϕυσικούς κ 1 <... < κ n ώστε x κi > i για κάθε i = 1,...,n. Θέτουµε s = max{x 1,...,x κn,n+1}, που δεν

14 xiv είναι άνω ϕράγµα της (x n ), άρα υπάρχει ϕυσικόςκ n+1 ώστεx κn+1 > s. ιαπιστώνου- µε λοιπόν ότι x κn+1 > n+1 και ότι x κn+1 > x i για κάθε i = 1,...,κ n, που σηµαίνει ότι κ n+1 > κ n.

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010 Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης

Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 ( . Αποδείξτε ότι: Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. +) 7 +) +), 5 +7 5 5, +log ) 7 log 4, +, ++ + + ) +4+4 + +4, + si +, +) +), + [ ], + + 0, + +, ) +,,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Σηµειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Φυσικοί, ακέραιοι και ϱητοί αριθµοί.......................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη

Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α4. δ. Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Λάθος. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1. g x. και. f x g x έχουμε: Για την συνάρτηση

Α4. δ. Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Λάθος. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1. g x. και. f x g x έχουμε: Για την συνάρτηση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΎΛΗ: Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνάρτησης ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Οκτωβρίου 07 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 5 (Μονάδες 5) Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.

Γνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ. Γνωριµία ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 26): ευτέρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα