Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014"

Transcript

1 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, Φεβρουάριος 2014

2 ii

3 Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει συνοπτικά µία σειρά εννοιών που χρησιµοποιούνται στον Απειροστικό Λογισµό και αφορούν έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τη Λογική, όπως τρόποι απόδειξης, ποσοδείκτες και αρνήσεις, σύνολα κ.α. Προτάσεις και Ποσοδείκτες Σε πλήθος Μαθηµατικών Προτάσεων χρησιµοποιούµε τον καθολικό ποσοδείκτη για κάθε, συµβ., και τον υπαρξιακό ποσοδείκτη υπάρχει, συµβ.. Αν P, Q είναι προτάσεις που περιέχουν τη µεταβλητή x, τότε αρνούµαστε σύµφωνα µε τους πίνακες (µε P ϑα συµβολίζουµε την άρνηση της πρότασης P): Πρόταση Άρνηση xp x P xp x P Πρόταση Άρνηση P ή Q P και Q P και Q P ή Q αν P τότε Q P και Q P ανν Q (P και Q) ή (Q και P) Παράδειγµα 1. (i) (άρνηση της σύγκλισης ακολουθίας στο R) Θα λέµε ότι η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (x n ) συγκλίνει στο x 0 αν για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n > n 0 να είναι x n x 0 < ε. Ωστε η ακολουθία (x n ) δεν συγκλίνει στο x 0 αν υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε iii

4 iv ϕυσικό n να υπάρχει ϕυσικός m > n µε x m x 0 ε. Αυτό σηµαίνει ότι άπειροι όροι της ακολουθίας ϐρίσκονται εκτός κάποιας περιοχής του x 0. (ii) (άρνηση της σύγκλισης ακολουθίας στο + ) Θα λέµε ότι η ακολουθία πραγ- µατικών αριθµών (x n ) τείνει στο + αν για κάθε M > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n > n 0 να είναι x n > M. Ωστε η ακολουθία (x n ) δεν τείνει στο + ανν υπάρχει M > 0 ώστε για κάθε ϕυσικόnνα υπάρχει ϕυσικός m > n µε x m M. Αυτό σηµαίνει ότι άπειροι όροι της ακολουθίας ϐρίσκονται σε κάποιο διάστηµα (,M). (iii) (άρνηση της συνέχειας συνάρτησης στο x 0 ) Θα λέµε ότι η συνάρτηση f : A R R είναι συνεχής στο x 0 αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x A µε x x 0 < δ να είναι f(x) f(x 0 ) < ε. Ωστε η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x 0 αν υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε δ > 0 υπάρχει x δ A µε x δ x 0 < δ και f(x δ ) f(x 0 ) ε. Αποδεικτικές µεθόδοι - Αντίστροφη Ροή Οι Μαθηµατικές Προτάσεις που καλούστε να αποδείξουµε είναι της µορφής Υ Σ, όπου µε Υ, Σ συµβολίζουµε τις υποθέσεις και τα συµπεράσµατα, αντίστοιχα. Μέθοδοι απόδειξης είναι η ευθεία απόδειξη, η πλάγια απόδειξη (απόδειξη µε αντιθετοαντιστρο- ϕή) και η απαγωγή σε άτοπο. Αναφορικά µε την ευθεία απόδειξη της Υ Σ, συχνά χρησιµοποιούµε κάποιους κανόνες που µπορούµε να αποκαλέσουµε µέθοδο της Αντιστροφης Ροής: ξεκινούµε από το συµπέρασµα Σ, αναδιατυπώνοντας την προς απόδειξη ιδιότητα, εισάγοντας τους σχετικούς ποσοδείκτες υπάρχει και για κάθε. Στη συνέχεια προχωρούµε σύµφωνα µε τους κανόνες που ορίζει ο πίνακας 1 (η P είναι πρόταση που αφορά τη µεταβλητή x): Θα δείξουµε ότι Γράφουµε οπότε xp(x) Εστω x και ϑ.δ.ο. P(x) ξεδιπλώνουµε την P xp(x) Βρίσκουµε x ώστε P(x) οδηγούµαστε στα δεδοµένα Μόνο κάτω από την πίεση ενός υπαρξιακού ποσοδείκτη αναγόµαστε στις υποθέσεις, προκειµένου να αναζητήσουµε την ποσότητα που χρειαζόµαστε. Συχνά οι έννοιες που

5 εµφανίζονται στις υποθέσεις εµπλέκουν µε την σειρά τους ποσοδείκτες, που χρησιµοποιούνται σύµφωνα µε τον πίνακα 2: v Γνωρίζουµε ότι xp(x) xp(x) οπότε χρησιµοποιούµε κατάλληλο x, χρήσιµο στην απόδειξη χρησιµοποιούµε αυτό το x Ας υποθέσουµε, για παράδειγµα, ότι ϑέλουµε να αποδείξουµε το ευθύ της γνωστής πρότασης του ιανυσµατικού Απειροστικού Λογισµού, σύµφωνα µε την οποία: η ακολουθία ( (x n,y n ) ) του R 2 συγκλίνει στο (x 0,y 0 ) ανν συγκλίνει κατά συντεταγµένες: οι (x n ) και (y n ) συγκλίνουν στα x 0, y 0, αντίστοιχα, είναι δηλαδή: lim (x n,y n ) = (x 0,y 0 ) lim x n = x 0 και lim y n = y 0. n n n (ϑα χρησιµοποιήσουµε την Ευκλείδεια απόσταση: ρ 2 ((x,y),(x,y )) = (x x ) 2 +(y y ) 2 του R 2 ). Ξεκινούµε κατά κανόνα από αυτό που ϑέλουµε να αποδείξουµε, δηλαδή το lim n x n = x 0 και αναδιατυπώνουµε, ϑέλωντας να δείξουµε ότι για κάθεε > 0 υπάρχει ϕυσικόςn 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x 0 < ε. Χρησιµοποιώντας τον πίνακα 1, ο ποσοδείκτης για κάθε µεταφράζεται ως έστω ε > 0. Πλέον, ϑα δείξουµε ότι (για αυτό το ε > 0) υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x 0 < ε. Σύµφωνα πάλι µε τον πίνακα 1, ο ποσοδείκτης υπάρχει µας αναγκάζει να στραφούµε στα δεδοµένα, ώστε να εντοπίσουµε τον ϕυσικό n 0 που αναζητούµε. Τονίζουµε ότι το σηµαντικό πλέον στην απόδειξη είναι η εύρεση του n 0 και κάθε τι άλλο, όπως η απόδειξη της ανισότητας x n x 0 < ε είναι δευτερεύον. Πλέον ϐρισκόµαστε στα δεδοµένα, δηλαδή στην πρόταση lim n (x n,y n ) = (x 0,y 0 ). Σύµφωνα λοιπόν µε τον ορισµό της σύγκλισης, γνωρίζουµε ότι για κάθε ϑετική ποσότητα (ας την ονοµάσουµε ε > 0, µόνο που δεν είναι το ε > 0 παραπάνω!) υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Σύµφωνα λοιπόν µε τον πίνακα 2, οφείλουµε να χρησιµοποιήσουµε κάποια κατάλληλη ϑετική ποσότητα, χρήσιµη για αυτό που ϑέλουµε να αποδείξουµε. Χρησιµοποιούµε το ε > 0 που καλέσαµε στην αρχή της απόδειξης. Τότε εντοπίζουµε (για αυτό το ε > 0) ϕυσικό n 0 για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Πλέον χρειάζεται να αναλάβει δράση η Μαθηµατική µας δεινότητα, κάνοντας την εξής κρίσιµη παρατήρηση: ισχυριζόµαστε

6 vi ότι ο ϕυσικός n 0 που ϐρήκαµε στο σηµείο αυτό είναι εκείνος ο ϕυσικός που αναζητούσαµε. Πράγµατι, για να αποδείξουµε τον ισχυρισµό µας ϑεωρούµε n n 0 τυχόν και παρατηρούµε ότι: x n x 0 ( x n x y n y 0 2 = ρ 2 (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Η απόδειξη λοιπόν, η οποία σιωπηλά ακολουθεί τα παραπάνω, είναι η εξής: Απόδειξη. (για το ευθύ) Εστω ε > 0, οπότε αφού lim n (x n,y n ) = (x 0,y 0 ), ϐρίσκουµε ϕυσικό n 0 ώστε για κάθε ϕυσικό n n 0 να είναι ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Τότε για κάθε ϕυσικό n n 0 είναι x n x 0 ρ 2 ( (xn,y n ),(x 0,y 0 ) ) < ε. Θα προχωρήσουµε και στη γνωστή µας πρόταση από τις ακολουθίες πραγµατικών αριθµών, σύµφωνα µε την οποία: το όριο µιας συγκλίνουσας ακολουθίας πραγµατικών αριθµών είναι µοναδικό. Πρώτα από όλα, καταγράφουµε την πρόταση σε µαθηµατικούς όρους: Εστω (x n ) R και x, y R ώστε x n x και x n y. Τότε x = y. Ο τρόπος που ϑα αποδείξουµε το Ϲητούµενο είναι η απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουµε λοιπόν ότι x y και επειδή η έκφραση αυτή δεν ϕέρει ποσοδείκτες, µπορούµε να οδηγηθούµε στις υποθέσεις µας. Από την υπόθεση γνωρίζουµε ότι x n x, δηλαδή για κάθε ϑετική ποσότητα ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε n n 0 να είναι x n x < ε. Εφόσον γνωρίζουµε ότι κάτι συµβαίνει για κάθε ε > 0, οφείλουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο πίνακα να χρησιµοποιήσουµε κατάλληλο ε. Εδώ είναι ίσως και το δυσκολότερο κοµµάτι της άσκησης, µιας που ϑα πρέπει να κατασκευάσουµε µια κατάλληλη ϑετική ποσότητα, που ϑα µας οδηγήσει σε άτοπο. Σκόπιµο είναι στο σηµείο αυτό να ϕτιάξουµε ένα σχήµα. Επιλέγοντας για ε την µισή της απόστασης x y του x από το y, τότε υπάρχει κάποιος ϕυσικός n 1 ώστε για κάθε n n 1 οι όροι x n, n n 1 να συγκεντρώνονται στην ε αυτή περιοχη του x, που είναι η (x ε,x + ε). Κατά ανάλογο τρόπο και χρησιµοποιώντας το ίδιο ε > 0 ϐρίσκουµε ένα ϕυσικό n 2 ώστε οι όροι x n, n n 2 να συγκεντρώνονται στην ε αυτή περιοχή του y, που είναι η (y ε,y + ε). Τότε ο όρος x n0 µε n 0 = max{n 1,n 2 } ϐρίσκεται στην περιοχή(x ε,x+ε), αλλά και στην(y ε,y+ε). Επειδή όµως οι περιοχές αυτές δεν τέµνονται, οδηγούµαστε σε άτοπο. Η απόδειξη λοιπόν, η οποία σιωπηλά ακολουθεί τα παραπάνω και ϑα µπορούσαµε να συναντήσουµε σε ενα ϐιβλίο Ανάλυσης, είναι η εξής:

7 Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι x y. Επειδή x n x, υπάρχει ϕυσικός n 1 ώστε για n n 1 να είναι x n x < x y /2 και επειδή x n y, υπάρχει ϕυσικός n 2 ώστε για n n 2 να είναι x n y < x y /2. Τότε είναι x n0 x < x y /2 και x n0 y < x y /2 και καταλήγουµε σε αντίφαση, διότι: x y x x n0 + x n0 y < x y 2 + x y 2 = x y. vii Σύνολα Ολα τα σύνολα περιέχουν στοιχεία (εκτός του κενού συνόλου, συµβ. ). Για να δηλώσουµε ότι ένα στοιχείο x ανήκει σε ένα σύνολο A ϑα γράφουµε x A. συµβολισµός διαβάζουµε Ορισµός A B A περιέχεται B x : αν x A τότε x B A = B A ίσο µε B A B και B A ισοδ. x : x A x B συµβολισµός διαβάζουµε Ορισµός X \A συµπλήρωµα x : x X \A x / A A B γινόµενο (x,y) : (x,y) A B x A και y B A B ένωση x : x A B x A ή x B i ένωση (στο I) x : x A A i i I : x A i A B τοµή x : x A B x A και x B i τοµή (στο I) x : x A A i i I : x A i Σηµειώνουµε τα παρακάτω υποσύνολα των πραγµατικών, τα οποία χρησιµοποιούµε συχνά στον Απειροστικό Λογισµό:

8 viii : το κενό σύνολο, δεν έχει κανένα στοιχείο N : οι ϕυσικοί αριθµοί = {1,2,3,...} Z : οι ακέραιοι αριθµοί = {..., 2, 1,0,1,2,...} Q : οι ϱητοί αριθµοί R\Q : οι άρρητοι αριθµοί R : οι πραγµατικοί αριθµοί Πληθικότητα: Θα χρειαστεί συχνά να µετρήσουµε τα στοιχεία ενός συνόλου. Η έννοια του πεπερασµένου συνόλου µας είναι οικεία, όµως από την άλλη υπάρχουν πολλές κλάσεις απειρίας. Ειδικότερα, το σύνολο A ϑα καλείται: απειροσύνολο, ή απλά άπειρο, αν δεν είναι πεπερασµένο, αριθµήσιµο (countable) αν υπάρχει f : N A που είναι 1 1 και επί (δηλαδή µπορούµε να γράψουµε A = {x n : n N} για κάποια στοιχεία x n, n N στο A όπου x n x m για n m), π.χ. Q (ϱητοί), N (ϕυσικοί), Z (ακέραιοι) κ.τ.λ. υπεραριθµήσιµο (uncountable) αν είναι άπειρο και δεν είναι αριθµήσιµο (δηλαδή τα στοιχεία του A δεν µπορούν να ονοµαστούν µέσω του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών), π.χ. R\ Q (άρρητοι), R (πραγµατικοί), το διάστηµα [0, 1] κ.τ.λ. Επίσης, τα σύνολα A, B ϑα καλούνται ισοπληθικά ανν υπάρχει 1 1 και επί απεικόνιση f : A B. Τέλος, χρήσιµα είναι τα παρακάτω: (1) Πεπερασµένη ένωση πεπερασµένων συνόλων είναι πεπερασµένο σύνολο. (2) Πεπερασµένη ένωση αριθµήσιµων συνόλων είναι αριθµήσιµο σύνολο. (3) Αριθµήσιµη ένωση αριθµήσιµων συνόλων είναι αριθµήσιµο σύνολο. [συνολοθεωρητική διαφορά] συµβολίζουµε µε B \ A το σύνολο B (X \ A) και ισχύουν: X \(X \A) = A και A B X \B X \A. ( ) ( [τύποι De Morgan] (X \A i ) = X \ A i και (X \A i ) = X \ A i ). [επιµεριστικές ιδιότητες] A (B C) = (A B) (A B), A (B C) = (A B) (A B),

9 ( ( ) A i ) B i = (A i B i ), ( ( ) A i ) B i = (A i B i ). ix Συναρτήσεις Εστω X, Y µη κενά σύνολα. Ο συµβολισµός f : X Y δηλώνει ότι η απεικόνιση f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο X και πεδίο τιµών f(x) που περιέχεται στο Y. Η f : X Y ϑα καλείται 1 1 αν για κάθε x, y X µε x y είναι f(x) f(y), ισοδύναµα για κάθε x, y X αν f(x) = f(y), τότε x = y. Η f ϑα καλείται επί του Y αν είναι f(x) = Y, ισοδύναµα για κάθε y Y υπάρχει x X ώστε f(x) = y. Ισχύουν τα ακόλουθα: f(a B) = f(a) f(b) για κάθε A, B X, ( ) f A i = f(a i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i X, i I, f(a B) f(a) f(b) για κάθε A, B X και ισότητα αν f είναι 1 1, ( ) f A i f(a i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i X, i I µε I, f(a)\f(b) f(a\b) για κάθε A, B X και ισότητα αν f είναι 1 1, Επίσης, ϑα λέµε ότι η f είναι ίση µε τη g, συµβ. f oρσ = g, αν είναι f(x) = g(x) για κάθε x X. Αντίστοιχα ορίζονται τα < και µεταξύ συναρτήσεων µε πραγµατικές τιµές. Αντίστροφη συνάρτηση: Ας ϑεωρήσουµε τα µη κενά σύνολα X, Y και την απεικόνιση f : X Y. Τότε για κάθε y f(x) υπάρχει x X ώστε f(x) = y. Φυσικά αυτό τοxδεν είναι απαραίτητα µοναδικό. Αν όµως υποθέσουµε ότι ηf είναι επιπλέον 1 1, τότε το παραπάνω x είναι µοναδικό. Εχει λοιπόν νόηµα να ορίσουµε τη συνάρτηση g : f(x) X : f(x) x. Την απεικόνιση g ϑα την ονοµάζουµε αντίστροφη συνάρτηση της f και ϑα τη συµβολίζουµε µε f 1, µε κανόνα: f 1 : f(x) X : y = f(x) x. Ειδικά αν η f είναι επί του Y, τότε η f 1 ορίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα: f 1 : Y X : f 1 (y) = x oρσ f(x) = y.

10 x Θα καλούµε την f αντιστρέψιµη αν υπάρχει η αντίστροφή της, ισοδύναµα αν η f είναι 1 1 στο πεδίο ορισµού της. Παρατηρήστε ότι η αντίστροφη συνάρτηση, αν υπάρχει, είναι µοναδική. Αντίστροφη εικόνα: Εστω X, Y σύνολα και f : X Y συνάρτηση. Για A Y ορίζουµε την αντίστροφη εικόνα (inverse image) του συνόλου A µέσω της f, συµβ. f 1 (A), ως το σύνολο των σηµείων του X που απεικονίζονται µέσω της f εντός του A: f 1 (A) oρσ = { x X : f(x) A }. 1 ( ) f 1 A i = f 1 (A i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i Y, i I, ( ) f 1 A i = f 1 (A i ) για κάθε οικογένεια συνόλων A i Y, i I, f 1 (X \A) = Y \f 1 (A) για κάθε A X, f 1 (Y) = X, f 1 ( ) =. f ( f 1 (B) A ) = B f(a) για κάθε A X και B Y. Ειδικότερα είναι f ( f 1 (B) ) = B f(x) B για κάθε B Y [και ισότητα αν f επι ] A f 1( f(a) ) για κάθε A X [και ισότητα αν f 1 1 ] Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών (1) ε - αρχή µηδενισµού: για x 0 ισχύει το ακόλουθο: x = 0 ε > 0 : x < ε ε > 0 : x ε. (2) ε - αρχή ανίσοσης: για x, y R είναι: x y ε > 0 : x < y +ε ε > 0 : x y +ε. (3) Αρχιµήδεια ιδιότητα: για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n ώστε 1/n < ε (µάλιστα είναι άπεροι αυτοί οι ϕυσικοί). 1 [Προσοχή]: δεν ϑα πρέπει να συγχέει κανείς την παράσταση f 1 (A) µε την εικόνα του A µέσω της αντίστροφης συνάρτησης f 1 {, δηλαδή το σύνολο f 1 (y) : y A }, αφού δεν γνωρίζουµε καν αν η συνάρτηση f είναι 1 1, ώστε να πούµε ότι αντιστρέφεται (αν όµως η f αντιστρέφεται, τότε τα παραπάνω σύνολα ταυτίζονται, γιατί;).

11 xi (4) Πυκνότητα των ϱητών στο R: για κάθε α, β R µε α < β υπάρχει ϱητός q Q ώστε α < q < β (µάλιστα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι ϱητοί). Ισοδύναµα, για κάθε πραγµατικό αριθµό α υπάρχει ακολουθία ϱητών (q n ) που συγκλίνει στο α. (5) Πυκνότητα των αρρήτων στο R: για κάθε α, β R µε α < β υπάρχει άρρητος r R\Q ώστε α < r < β (µάλιστα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι άρρητοι). Ισοδύναµα, για κάθε πραγµατικό αριθµό α υπάρχει ακολουθία αρρήτων (r n ) που συγκλίνει στο α. (6) Supremum και Infimum ϕραγµένου υποσυνόλου του R: έστω µη κενό υποσύνολο A του R. Ενα α R ϑα καλείται άνω ϕράγµα του A αν για κάθε x A είναι x α. Το A ϑα καλείται άνω ϕραγµένο αν έχει άνω ϕράγµα. Για A µη κενό, ένα α R ϑα καλείται ελάχιστο άνω ϕράγµα ή supremum του A αν α είναι άνω ϕράγµα του A και επιπλέον µία τουλάχιστον από τις παρακάτω (ισοδύναµες µεταξύ τους) προτάσεις ισχύει: (i) για κάθε α 1 άνω ϕράγµα του A είναι α α 1, (ii) για κάθε ε > 0 υπάρχει α A ώστε α ε < α, (iii) υπάρχει ακολουθία (α n ) του A που συγκλίνει στο α. Αν το A είναι άνω ϕραγµένο, τότε έχει supremum, αποδεικνύεται ότι είναι µοναδικό και συµβολίζεται supa. Εστω µη κενό υποσύνολο A του R. Ενα α R ϑα καλείται κάτω ϕράγµα του A αν για κάθε x A είναι x α. Το A ϑα καλείται κάτω ϕραγµένο αν έχει κάτω ϕράγµα. Για A µη κενό, ένα α R ϑα καλείται µέγιστο κάτω ϕράγµα ή infimum του A αν α είναι κάτω ϕράγµα του A και επιπλέον µία τουλάχιστον από τις παρακάτω (ισοδύναµες µεταξύ τους) προτάσεις ισχύει: (i) για κάθε α 1 κάτω ϕράγµα του A είναι α 1 α, (ii) για κάθε ε > 0 υπάρχει α A ώστε α < α+ε, (iii) υπάρχει ακολουθία (α n ) του A που συγκλίνει στο α. Αν το A είναι κάτω ϕραγµένο, τότε έχει infimum, αποδεικνύεται ότι είναι µοναδικό και συµβολίζεται infa. Το το supremum και το infimum ενός µη κενού και ϕραγµένου συνόλου A δεν είναι υποχρεωτικά στοιχεία του A. (7) Ανισότητες και όρια: Εστω οι ακολουθίες (α n ), (β n ) του R που συγκλίνουν

12 xii στα α και β αντίστοιχα. Υποθέτουµε ακόµη ότι α n β n για κάθε n N. Τότε είναι α β. Προσοχή: αν υποθέσουµε ότια n < β n για κάθεn N, τότεα β και δεν διατηρείται αναγκαστικά η γνήσια ανισότητα σε οριακές διαδικασίες (γιατί;). (8) Κριτήριο παρεµβολής για ακολουθίες: Εστω οι ακολουθίες (x n ), (α n ) και (β n ). Υποθέτουµε ότι οι ακολουθίες (α n ) και (β n ) συγκλίνουν στο x 0 και ότι α n x n β n για κάθε ϕυσικό n. Τότε η ακολουθία (x n ) συγκλίνει και επιπλέον, το όριό της είναι το x 0. (9) Θεώρηµα Σύγκλισης Μονότονων Ακολουθιών: Εστω (x n ) αύξουσα και άνω ϕραγµένη (αντ. ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη) ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Τότε η (x n ) συγκλίνει στο sup { x n : n N } (αντ. στο inf { x n : n N } ). (10) Θεώρηµα Bolzano Weierstrass: Κάθε ϕραγµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών (αντ. διανυσµάτων) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία στο R (αντ. στο R n ). (11) Πληρότητα του R: µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών καλείται ϐασική ή Cauchy αν για κάθε ε > 0 υπάρχει ϕυσικός n 0 ώστε για κάθε m > n > n 0 να είναι x m x n < ε. Ισχύει: µία ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι συγκλίνουσα αν και µόνο αν είναι Cauchy. (12) Σειρές πραγµατικών αριθµών: Εστω (α n ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (s n ) µε s n = α α n, n N καλείται ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς α n. Θα λέµε ότι η σειρά της (α n ) συγκλίνει στοα, γράφουµε n=1 α n = α <, αν η ακολουθία(s n ) των µερικών n=1 αθροισµάτων συγκλίνει στο α. Ισχύει: αν η σειρά α κ συγκλίνει (στο α), τότε η ακολουθία (α n ) συγκλίνει στο 0. κ=1 Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών και η επαγωγή (1) Αρχή της καλής διάταξης: Κάθε µη κενό υποσύνολο του N έχει ελάχιστο στοιχείο (minimum), ισοδύναµα δεν υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών. (2) Αρχή της Επαγωγής: Τα επόµενα είναι ισοδύναµα: (i) η πρόταση Π(n) ισχύει για κάθε n N, (ii) η πρόταση Π(1) ισχύει και υποθέτοντας ότι ισχύει η Π(n), τότε αποδεικνύεται

13 xiii ότι ισχύει η Π(n+1), (iii) η πρόταση Π(1) ισχύει και υποθέτοντας ότι ισχύουν οι Π(1),... Π(n), τότε αποδεικνύεται ότι ισχύει η Π(n+1). Κατασκευή ακολουθιών µε χρήση της Αρχής της Επαγωγής: µία διαδικασία που συναντούµε συχνά είναι η κατασκευή (υπ)ακολουθιών που ϕέρουν επιθυµητές ιδιότητες. Στην περίπτωση αυτή καταφεύγουµε στην Αρχή της Επαγωγής: επιλέγουµε τον πρώτο όρο κατάλληλα, και υποθέτωντας ότι έχουµε κατασκευάσει κατάλληλα n το πλήθος όρους, κατασκευάζουµε τον επόµενο όρο της ακολουθίας. ίνουµε δύο σχετικά παραδείγµατα από τον Απειροστικό Λογισµό. Ορισµός 2. Η (x n ) ϑα καλείται: άνω ϕραγµένη αν υπάρχει M R ώστε x n < M για κάθε n N, γνησίως αύξουσα αν για κάθε n, m µε n < m είναι x n < x m, ισοδύναµα για κάθε n N είναι x n < x n+1. Παράδειγµα 3. Εστωα R και(x n ) ακολουθία τουr\{α}. Ανα = inf{x n : n N}, τότε υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα υπακολουθία (x κn ) της (x n ) που συγκλίνει στο α. Κάνοντας χρήση της Αρχής της Επαγωγής, ϑα κατασκευάσουµε ϕθίνουσα υπακολου- ϑία (x κn ) της (x n ) ώστε για κάθε n N να είναι: α < x κn < α+ 1 n. Υπάρχει ϕυσικός κ 1 ώστε α < x κ1 < α + 1 (γιατί;). Εστω ότι έχουµε ϐρει ϕυσικούς κ 1 <... < κ n ώστε α < x κi < α + 1 i για κάθε i = 1,...,n. Θέτουµε s = min{x 1,...,x κn,α+ 1 1 n+1 } οπότε s α+ n+1 > α και άρα υπάρχει x κ n+1 ώστε α < x κn+1 < s (γιατί;). ιαπιστώνουµε λοιπόν ότι α < x κn+1 < α+ 1 n+1 και επιπλέον ότι κ n+1 > κ n : διαφορετικά x κn+1 {x 1,...,x κn } και άρα x κn+1 < s x κn+1, αντίφαση. Επιπλέον είναι x κn+1 < s x κn και άρα η (x κn ) είναι γνησίως ϕθίνουσα. Παράδειγµα 4. Εστω(x n ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών που δεν είναι άνω ϕραγ- µένη. Τότε υπάρχει υπακολουθία (x κn ) της (x n ) που τείνει στο +. Κάνοντας χρήση της Αρχής της Επαγωγής ϑα κατασκευάσουµε υπακολουθία (x κn ) της (x n ) ώστε για κάθε n N να είναι x κn > n. Αφού η (x n ) δεν είναι άνω ϕραγµένη, υπάρχει ϕυσικός κ 1 ώστε x κ1 > 1. Εστω ότι έχουµε ϐρεί ϕυσικούς κ 1 <... < κ n ώστε x κi > i για κάθε i = 1,...,n. Θέτουµε s = max{x 1,...,x κn,n+1}, που δεν

14 xiv είναι άνω ϕράγµα της (x n ), άρα υπάρχει ϕυσικόςκ n+1 ώστεx κn+1 > s. ιαπιστώνου- µε λοιπόν ότι x κn+1 > n+1 και ότι x κn+1 > x i για κάθε i = 1,...,κ n, που σηµαίνει ότι κ n+1 > κ n.

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Νικόλαος Κατσίπης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2007 έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

3 õ a õ#, 6 õ b õ, 9 õ g õú.

3 õ a õ#, 6 õ b õ, 9 õ g õú. . Η έννοια του χώρου Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας είναι µια φυσική θεωρία, µε την ακόλουθη διπλή έννοια. Αποτελεί, πρώτ απ όλα µιαν εικόνα για τον τρόπο µε τον οποίο κινούνται και αλληλεπιδρούν τα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις

Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις Σ.Κ. ΠΗΧΩΡΙ ΗΣ Απειροστικος Λογισµος Προχειρες Σηµειωσεις Κρήτη 986 Αθήνα996 Σάµος 2006 Απειροστικός Λογισµός Πρόχειρες Σηµειώσεις. Σ. Πηχωρίδης Στοιχειοθεσία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις στο µάθηµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ιδάσκων : Χαράλαµπος Κορνάρος ηµιουργία του ηλεκτρονικού αρχείου Χρήστος Πηλιχός Φοιτητής του Τµήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, 4 Σ, Λ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΗ ΠΑΠΑ ΟΓΙΑΝΝΑΚΗ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΗ ΠΑΠΑ ΟΓΙΑΝΝΑΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΗ ΠΑΠΑ ΟΓΙΑΝΝΑΚΗ Η ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟ ΕΙΞΕΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου.

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου. ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Μηχανές Επεξεργασίας Πληροφοριών Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Είναι µηχανές που δέχονται ένα σύνολο από σήµατα εισόδου και παράγουν ένα αντίστοιχο σύνολο σηµάτων εξόδου Σήµατα Εισόδου Μηχανή Επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press. Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα