ΘΕΜΑ:ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΖΕΥΚΤΟ ΣΤΕΓΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ:ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΖΕΥΚΤΟ ΣΤΕΓΗΣ"

Transcript

1 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ:ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΖΕΥΚΤΟ ΣΤΕΓΗΣ ΚΑΒΑΛΑ 0 ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

2 Αφιερωμένη στην πολυαγαπημένη μου αδερφή Έφη, που με βοήθησε και με στήριξε, που μας αγάπησε πολύ και έκανε όνειρα για μας πριν φύγει από τη ζωή και η απουσία της στιγμάτισε τη ζωή μου.

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα πτυχιακή μελέτη εκπονήθηκε από το φοιτητή Χαράλαμπο Λαβίδα του τμήματος μηχανολογίας στο Τ.Ε.Ι της Καβάλας. Η εργασία έγινε κατά το ακαδημαϊκό έτος 0-0 κάτω από την επίβλεψη του καθηγητή του τμήματος Γεώργιου Τσακατάρα. Στον κύριο Τσακατάρα οφείλω τις θερμές ευχαριστίες για την καθοδήγηση και την υποστήριξη του καθ όλη τη διάρκεια διεκπεραίωσης της παρούσας πτυχιακής. Ευχαριστώ επίσης το παππού και τη γιαγιά μου που με στήριξαν όλο αυτό τον καιρό που σπούδασα στο τμήμα της μηχανολογίας. Τέλος,ευχαριστώ από καρδιάς τη μητέρα μου και τα αδέρφια μου, για τη συνεχή συμπαράσταση, την αγάπη και την κατανόηση που έδειξαν όλο αυτό τον καιρό.

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η εργασία αυτή αποτελείται από ένα θεωρητικό μέρος πάνω στα δικτυώματα και μία διερεύνηση τάσεων σε ένα ζευκτό στέγης.η διερεύνηση γίνεται σε ένα δικτύωμα στέγης το οποίο αποτελείται από ράμβους και στηρίζεται σε μια άρθρωση και μία κύλιση. Το ζευκτό αυτό δέχεται ένα φορτίο στον έναν από τους 8 κόμβους του με διάφορες κλίσεις.σε αυτές τις τιμές θα εξεταστούν οι δυνάμεις που δέχεται η κάθε ράβδος σε εφελκύστηκες καιθλιπτικές. PROLOGUE This work consists of a theoretical part on the grid and an exploration of trends in a roof truss. I investigations done in a roof truss which consists of rods and relies on a hinge, and a scroll. The truss shall accept a load on one of the 8 nodes with various gradients. For these prices will examine the forces that accepts each rod in tensile and compressive.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Δικτύωματα...6..Ορισμός Δικτυώματος Απλά δικτυώματα 8..Ισοστατικότητα - Στερεότητα Επίλυση δικτυωτού φορέα...5.mέθοδος των κόμβων Μέθοδος των τομών Ritter MέθοδοςBow - Cremona Μέθοδος μητρώων...0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διερεύνηση τάσεων σε ζευκτό στέγης.....πάρουσιαση του ζευκτού μας.....υπολογισμός τάσεων.....υπολογισμός τάσεων σε σχέση της γωνίας θ, φορτίου w και μήκος L Διαγράμματα τάσεων χρωματική απεικόνιση τάσεων στο δικτύωμα συμπεράσματα...70 Βιβλιογραφία.7 4

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ.. ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Το δικτύωμα είναι ένας από τους κυριώτερους τύπους μηχανοτεχνικώνδομημάτων. Αποτελεί πρακτική και οικονομική λύση σε πολλές μηχανοτεχνικές ανάγκες, ειδικά στο σχεδιασμό γεφυρών και κτιρίων. Κάθε δικτύωμα αποτελείται από ευθύγραμμα μέλη τα οποία συνδέονται σε κόμβους. Τα μέλη του δικτυώματος συνδέονται μόνο στα άκρα τους. 'Ετσι, κανένα μέλος δεν συνεχίζεται μέσα από τον κόμβο. Οι περισσότερες πραγματικές κατασκευές αποτελούνται από πολλά δικτυώματα που αλληλοσυνδέονται και σχηματίζουν ένα χωροδικτύωμα. Κάθε δικτύωμα σχεδιάζεται για να φέρει εκείνα τα φορτία που ενεργούν μέσα στο επίπεδό του και επομένως μπορεί να θεωρηθεί ως δισδιάστατο δόμημα. Σχ. Σχ. 5

7 Γενικά, τα μέλη κάθε δικτυώματος είναι λεπτά και μπορούν να φέρουν μόνο πολύ μικρά πλευρικά φορτία. Επομένως, όλα τα φορτία θα πρέπει να ενεργούν στους διάφορους κόμβους, και όχι πάνω στα μέλη αυτά καθ' αυτά. 'Οταν πρέπει ένα συγκεντρωμένο φορτίο να ασκηθεί μεταξύ δύο κόμβων, ή όταν ένα κατανεμημένο φορτίο πρέπει να το φέρει το δικτύωμα, όπως στην περίπτωση δικτυώματος γέφυρας, πρέπει να υπάρχει ένα επιδαπέδιο σύστημα το οποίο με χρήση μηκίδων και διαδοκίδων να μεταφέρει τα φορτία στους κόμβους. (Βλέπε σχ.) Δικτυώματα Στεγών Δικτυώματα Γεφυρών Σχ. Άλλα Είδη Δικτυωμάτων Τα βάρη των μελών του δικτυώματος υποθέτουμε ότι ασκούνται στους κόμβους και μάλιστα το μισό σε κάθε κόμβο που βρίσκεται στα άκρα του μέλους. Παρότι τα μέλη στην πραγματικότητα συνδέονται με ήλους ή συγκολλήσεις, συνήθως υποθέτουμε ότι συνδέονται με πείρους. Επομένως, οι δυνάμεις που ενεργούν σε κάθε άκρο ενός μέλους ανάγονται μόνο σε μία δύναμη και δεν υπάρχει ζεύγος.έτσι, οι μόνες δυνάμεις που υποθέτουμε ότι ενεργούν σε μέλος δικτυώματος είναι από μία δύναμη στο κάθε άκρο του μέλους. 6

8 Κάθε μέλος μπορεί τότε να θεωρηθεί ως μέλος δύο δυνάμεων, και όλο το δικτύωμα ως ομάδα πείρων και μελών δύο δυνάμεων. Κάθε αυτοτελές μέλος μπορεί να θεωρηθεί ότι καταπονείται με ένα από τους δύο τρόπους που φαίνονται στο σχ.. Στην πρώτη περίπτωση, οι δυνάμεις τείνουν να επιμηκύνουν το μέλος, και το μέλος εφελκύεται, ενώ στη δεύτερη περίπτωση, οι δυνάμεις τείνουν να συμπιέσουν το μέλος, το οποίο θλίβεται. Διάφορα είδη δικτυωμάτων βλέπετε στο σχ.... ΑΠΛΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Ας θεωρήσουμε το δικτύωμα του Σχ. 4α, το οποίο αποτελείται από τέσσερα μέλη που συνδέονται με πείρους στα Α, Β, C και D. Αν και στο Β ενεργήσει ένα φορτίο, το δικτύωμα θα παραμορφωθεί πολύ και θα χάσει τελείως την αρχική του μορφή. Εξάλλου, το δικτύωμα του Σχ.4b, το οποίο αποτελείται υπό τρία μέλη συνδεμένα με πείρους στα Α, Β, και C, θα π αραμορφ ωθε ί μόνο ελαφ ρύ ε ξ αι τίας ε ν ός φ ο ρτίου π ου ενε ργε ί στ ο Β.Η μόνη δυνατή παραμόρφωση γι αυτό το δικτύωμα είναι εκείνη που περιλαμβάνει μικρές μεταβολές των μηκών των μελών του. Λέμε ότι το δικτύωμα του Σχ. 4b είναι στερεό δικτύωμα, όπου ο όρος στερεό (rigid) χρησιμοποιείται εδώ για να δηλώσει ότι το δικτύωμα δεν θα καταρρεύσει. (a) (b) Σχ.4 (c) (d) 7

9 Όπως φαίνεται στο Σχ.4c, ένα πιο μεγάλο στερεό δικτύωμα μπορεί να προκύψει αν προστεθούν δύο μέλη BD και CD στο βασικό τριγωνικό δικτύωμα του Σχ.4b η διαδικασία αυτή μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές θέλουμε, και το δικτύωμα που θα προκύπτει θα είναι στερεό αν κάθε φορά προσθέτουμε δύο νέα μέλη σε ξεχωριστούς υπάρχοντες κόμβους και τα συνδέουμε σ ένα νέο κόμβο*. Κάθε δικτύωμα που θα κατασκευάζεται με τον τρόπο αυτό ονομάζεται απλό δικτύωμα. *Οι τρεις κόμβοι δεν πρέπει να είναι συνευθειακοί. Πρέπει να τονίσούμε ότι κάθε απλό δικτύωμα δεν αποτελείται αναγκαστικά μόνο από τρίγωνα. Το δικτύωμα του Σχ.4d, για παράδειγμα, είναι ένα απλό δικτύωμα το οποίο δομήθηκε υπό το τ ρ ί γ ω ν ο Α Β μ ε τ η δ ι α δ ο χ ι κ ή π ρ ο σ θ ή κ η τ ω ν κ ό μ β ω ν D, Ε, Γ, κ α ι G. Ε ξ ά λ λ ο υ, σ τ ε ρ ε ά δικτυώματα δεν είναι πάντα τα απλά δικτυώματα, ακόμα και αν φαίνεται να αποτελούνται από τρίγωνα. Τα δικτυώματα τύπου Fink και Baltimore που βλέπετε στο Σχ., λόγου χάρη, δεν είναι απλά δικτυώματα, επειδή δεν είναι δυνατό να δομηθούν υπό ένα τρίγωνο με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω.όλα τα άλλα δικτυώματα του Σχ. είναι απλά δικτυώματα, όπως μπορείτε να διαπιστώσετε εύκολα (για το δικτύωμα τύπου Κ, αρχίστε με ένα από τα κεντρικά τ ρίγωνα). Γυρίζοντας στο βασικό τριγωνικό δικτύωμα του Σχ. 4b, παρατηρούμε ότι αυτό το δικτύωμα έχει τρία μέλη και τρεις κόμβους. Το δικτύωμα του Σχ.4c έχει δύο επιπλέον μέλη και ένα επιπλέον κόμβο, δηλαδή συνολικά πέντε μέλη και τέσσερις κόμβους. Παρατηρώντας ότι κάθε φορά που προσθέτουμε δύο νέα μέλη, ο αριθμός των κόμβων αυξάνει κατά ένα, βρίσκουμε ότι σε κάθε απλό δικτύωμα ο συνολικός αριθμός των μελών είναι b=n-, όπου b είναι ο συνολικός αριθμός κόμβων. 8

10 .. Ισοστατικότητα - Στερεότητα Με τον όρο δικτύωμα, εννοούμε ένα σύστημα δεσμικών ράβδων που είναι κατάλληλα συνδεμένες στα άκρα τους, έτσι ώστε να αποτελούν στερεό σχηματισμό. Στερεός είναι γενικά εκείνος ο φορέας, που τα μέλη του συνδέονται μεταξύ τους, με τέτοιο σχηματισμό, ώστε κάτω από την επίδραση οποιασδήποτε εξωτερικής φόρτισης (μέσα στα όρια της αντοχής) ο σχηματισμός να μην αλλάζει μορφή. Οι δεσμικές ράβδοι λέγονται και απλά ράβδοιτου δικτυώματος. Στα άκρα τους έχουν αρθρώσεις, ενώ δεν φορτίζονται ενδιάμεσα. Οι αρθρώσεις αυτές ονομάζονταικόμβοι. Τέτοιοι είναι οι Α. Β, Γ. Δ. ενώ ράβδοι είναι οι,,,, 4, 5 (Σχ.5a). Γενικά διακρίνουμε τα δικτυώματα σε επίπεδα και χωρικά. Επίπεδα καλούνται τα δικτυώματα στα οποία όλες οι ράβδοι και η φόρτισή τους, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ωστόσο, η μελέτη και ανάλυση των δικτυωμάτων στο επίπεδο γίνεται για διευκόλυνσηστην επίλυση των προβλημάτων που αυτά παρουσιάζονται. Στηνπραγματικότητα όμως, όλα τα δικτυώματα λειτουργούν στο χώρο. Έστω ράβδος ΑΒ (Σχ. 5b), που στα άκρα της έχει αρθρώσεις, ενώ δεν φορτίζεται ενδιάμεσα. Από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας της προκύπτει: Βχ = Αχ, Αy= Βy = 0 Συμπερασματικά λοιπόν αν μια ράβδος φέρει αρθρώσεις στα άκρα της και ενδιάμεσα είναι αφόρτιστη (όπως η ράβδος του δικτυώματος), καταπονείται μόνον από σταθερή αξονική δύναμη Αχσεόλο τομήκος της. Αυτό σημαίνει ότι μια ράβδος μπορεί ισοδύναμα να αντικατασταθεί από μια δύναμη αγνώστου μεν μέτρου αλλα γνωστής διεύθυνσης, τη διεύθυνση της ράβδου. 9

11 (a) (b) Σχ.5 Δικτύωμα (a) και ράβδος με άρθρωση στα άκρα της (b) Γενικεύοντας, ράβδοςονομάζεται κάθε στερεός φορέας που μπορεί να δεχτεί μόνον αξονικά φορτία. Τα φορτία αυτά δεχόμαστε ότι διέρχονται από το κέντρο βάρους της διατομής της. Τα υπόλοιπα εντατικά μεγέθη Q(x), Μ(χ)είναι μηδέν. Συνοπτικά λοιπόν, κατά τη μελέτη ενός δικτυώματος πρέπει να γνωρίζουμε ότι: i. Οι κόμβοι στους οποίους συνδέονται οι ράβδοι που συνιστούν το δικτύωμα λειτουργούν σαν αρθρώσεις. ii. Τα φορτία ασκούνται μόνον στους κόμβους του δικτυώματος. Επομένως ένα δικτύωμα δεν μπορεί να στηρίζεται σε πάκτωση, αφού τότε Θα είχαμε σαν φόρτιση και ροπή ζεύγους. iii. Το 'ίδιο βάρος" της κάθε μεμονωμένης ράβδου, Θεωρείται αμελητέο. ίν. Η κύλιση είναι δυνατόν να αντικατασταθεί από μία δεσμική ράβδο, η δε άρθρωσηαπό δύο. Οι παραπάνω παρατηρήσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι δυνάμεις που μεταφέρει το κάβε στοιχείο τον δικτυώματος έχουν τη διεύθυνση του άξονατου στοιχείου αυτού και επομένως καλύπτεται η απαίτηση του ορισμού τον δικτυώματος, κατά τον οποίο αυτό είναι ένα σύστημα δεσμικών ράβδων. Η δύναμη που μεταφέρεται τώρα από κάθε ράβδο του δικτυώματος έχει επικρατήσει να λέγεται και τάσητης ράβδου αυτής. Αν απομακρύνεται από τον κόμβο τείνει να εφελκύσει τη ράβδο ("εφελκυστική τάση"), οπότε συμβατικά τη θεωρούμε θετική. Αντίθετα αν κατευθύνεται προς τον κόμβο, τείνει να συνθλίψει τη ράβδο ("θλιπτικήτάση"), οπότε αντίστοιχα τη θεωρούμε αρνητική. 0

12 Το δικτύωμα που είναι απαλλαγμένο από τις στηρίξεις του με το έδαφος λέγεται εσωτερικόή ελεύθερο,ενώ εκείνο στο οποίο έχουν προστεθεί και οι στηρίξεις του, λέγεται δικτυωτός φορέας. Ακόμα τα δικτυώματα, διακρίνονται σε απλά και σύνθετα. -Απλό δικτύωμαλέγεται εκείνο, το οποίο αν το αποσυναρμολογήσουμε καταργώντας κάθε φορά έναν κόμβο και δύο ράβδους, Θα καταλήξουμε στο Βασικό τριγωνικό δίσκο. - Σύνθετο δικτύωμαείναι εκείνο που σχηματίζεται από τη σύνθεση δύο ή και περισσοτέρων απλών δικτυωμάτων..4.επύλυση Δικτυωτού Φορέα Λέγοντας "επίλυση δικτυωτού" φορέα εννοούμε την εύρεση των τάσεων των ράβδων από τις οποίες αποτελείται το δικτύωμα, στο οποίο αναφερόμαστε. Ακολουθούμε, τα εξής τέσσερα γενικά στάδια εργασίας: i. Απόδειξη της ισοστατικότητας του φορέα. ii. Απόδειξη της στερεότητας του σχηματισμού του φορέα. iii. Εύρεσπ των αντιδράσεων στήριξης του φορέα με το έδαφος. iv. Υπολογισμός των τάσεων των ράβδων του δικτυώματος. Σημειώνουμε ότι τα εξωτερικά φορτία Θα πρέπει να δρούνπάνταστους κόμβους (επικόμβια φόρτιση). Ισοστατικότητα: Ένας διχτυωτός φορέας καλείται ισοστατικός όταν το άθροισμα του αριθμού των ράβδων του φορέα και του αριθμού των ράβδων στήριξής του, είναι ίσο με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταξύ τους εξισώσεων στατικής ισορροπίας του. Ως γνωστόν όμως, ο αριθμός των εξισώσεων ισορροπίας ενός δικτυώματος είναι διπλάσιος του αριθμού των κόμβων του, γιατί στον καθένα από αυτούς έχουμε ένα σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων για το οποίο έχουμε τη δυνατότητα να γράψουμε δύο το πολύ εξισώσεις στατικής ισορροπίας. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκειμένου ένα δικτύωμα να είναι ισοστατικό πρέπει να ισχύει η σχέση: ρ εξ.+ ρ εσ.=k όπου ρ εξ ο αριθμός των ράβδων του δικτυώματος,ρ εσ. ο αριθμός των ράβδων στήριξης του δικτυώματος στο έδαφος (δηλ. ο αριθμός των αγνώστων αντιδράσεων), ενώ k ο αριθμός των κόμβων του.

13 Αν τώρα ρ εξ + ρ εσ.> k ο δικτυωτός φορέας είναι (ρ εξ + Ρεσ -k) φορές υπερστατικός, ενώ αν p εξ +p εσ < k ο δικτυωτός φορέας είναι [k-(ρ εξ + ρ εσ.)] φορές υποστατικόςκαι λέγεται μηχανισμός. (a) (b) (c) (d) Σχ. 6 Στοιχειώδεις στερεοί σχηματισμοί Στερεότητα: Προφανώς κάθε ράβδος αποτελεί ένα στερεό. Στοιχειώδης σχηματισμός καλείται αυτός που αποτελείται από ράβδους που συντρέχουν σε κόμβους (τρίγωνο) (Σχ. 6a). Είναι όμως δυνατόν ένας συνδυασμός ράβδων να είναι στερεός ή χαλαρός. Για τον έλεγχο της στερεότητας ενός δικτυώματος χρησιμοποιούμε ένα από τα παρακάτω κριτήρια: Κριτήριο Ι: Αν ένα δικτύωμα είναι απλή παράθεση τριγώνων, τότε αυτό είναι στερεό (Σχ. 6b). Κριτήριο ΙΙ: Αν δύο δίσκοι (η γενικότερα δύο στερεά) συνδέονται μεταξύ τούς με τρεις ράβδους που οι διευθύνσεις τους δεν συντρέχουν, τότε τοσύνολα είναι στερεό (Σχ. 6c). Κριτήριο ΙΙΙ: Αν τρεις δίσκοι (ή γενικότερα τρία στερεά) συνδέονται ανά δύο με ράβδους που τέμνονται σε σημεία μη συνευθειακά, Τότε το σύνολο είναι

14 στερεό (Σχ. 6d), όπου τα Α, Β, Γ είναι σημεία μη συνευθειακά (κριτήριο τριών δίσκων). Υπολογισμός Αν τιδράσεων Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. του δικτυώματος, αντικαθιστώντας τις στηρίξεις του με τις ανάλογες αντιδράσεις. Αυτές υπολογίζονται ως γνωστόν από τις Ε.Σ.Ι., ανάλογες των (5. ή 5.' ή 5."), στο Δ.Ε.Σ. του δικτυώματος. Υπολογισμός των τάσεων Για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός δικτυώματος, χρησιμοποιούμε μία από τις παρακάτω μεθόδους: ί. Μέθοδος των κόμβων. ii. Μέθοδος των τομών Ritter. iii. Μ έ θοδος Bow- Cremona. iv. Μέθοδος Μητρώων. Αν το δικτύωμα είναι απλό καταφεύγουμε στην μέθοδο των κόμβων ή των μητρώων. Αν το δικτύωμα είναι πιο σύνθετο, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο τομών Ritter ή τη γραφική μέθοδο Cremona. Οι μέθοδοι αυτοί αναλύονται συνοπτικά παρακάτω..5.μέθοδος των Κόμβων Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται συνήθως σε απλά δικτυώματα. Είναι υπολογιστική και συνίσταται στην εξέταση των κόμβων του δικτυώματος. Συγκεκριμένα, απομονώνουμε έναν προς έναν όλους τούς κόμβους του δικτυώματος και γράφουμε για τον καθένα τις δύο εξισώσεις ισορροπίας τον συστήματος των συντρεχουσών δυνάμεων πού ενεργούν σε αυτόν. Ακολουθούμε δε τα εξής βήματα εργασίας: i.αφού έχουμε ήδη υπολογίσει τις αντιδράσεις στα σημεία στήριξης, επιλέγουμε έναν κόμβο, στον οποίο να συντρέχουν το πολύ δύο ράβδοι άγνωστων τάσεων, όσες δηλαδή και οι εξισώσεις ισορροπίας του κόμβου. ii. Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. του κόμβου αυτού, τοποθετώντας σε αυτόν τις τυχόν εξωτερικές δυνάμεις που του ασκούνται, ενώ αντικαθιστούμε και τις ράβδους που συντρέχουν σε αυτόν με τις τάσεις τους (Σχ.7). Επειδή όμως δε γνωρίζουμε τις φορές των τάσεων αυτών, τις θεωρούμε συμβατικά ότι είναι τέτοιες, ώστε να απομακρύνονται από τον κόμβο.τις θεωρούμε δηλ. αρχικά όλες εφελκυστικές(θετικές). Αν τώρα κατά τη διαδικασία της επίλυσης,

15 κάποια τάση προκύψει αρνητική, αυτό σημαίνει ότι θα έχει φορά αντίθετη από αυτήν που εμείς θεωρήσαμε, θα είναι δηλ. θλιπτική. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε είτε να χρησιμοποιήσουμε, αν χρειαστεί στην συνέχεια, τη συγκεκριμένη τάση με το αρνητικό της πρόσημο, χωρίς να αλλάξουμε τη φορά της στο Δ.Ε.Σ. του κόμβου, είτε να την αλλάξουμε, οπότε και Θα τη χρησιμοποιούμε στη συνέχεια με θετικό πρόσημο. iii. Για το σύστημα των συντρεχουσών δυνάμεων στον υπόψη κόμβο, γράφουμε τις δύο εξισώσεις ισορροπίας του: Fχ = 0, Fy = 0 Αυτό επιτυγχάνεται με την προβολή όλων των δυνάμεων που ενεργούν στον κόμβο, πάνω σε ένα κατάλληλα επιλεγμένο ορθογώνιο σύστημα αξόνων O x y. Έχουμε έτσι, ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, το οποίο επιλυμένο μας δίνει τις τάσεις των ζητούμενων ράβδων. Σημειώνουμε ότι, αν σε έναν κόμβο συντρέχουν δύο μη συνευθειακές ράβδοι κατ δεν ασκούνται εξωτερικά φορτία (σε αυτόν), οι τάσεις τους είναι μηδέν. ίν.προχωρούμε στην συνέχεια σε άλλον κόμβο, προσέχοντας πάντα να μη σ υ ν τ ρ έ χ ο υν σ ε αυτόν π αραπάνω α π ό δ υο ρ άβδοι άγνωστων τάσεων. Κόμβος Α Κόμβος Γ (a) (b) (c) Σχ.7 Δ ι κ τ ύ ω μ α ( a ) κ α ι δ υ ν ά μ ε ι ς σ τ ο υ ς κ ό μ β ο υ ς Α κ α ι Γ 4

16 Ακολουθώντας τα Βήματα ii.iii. σε κάθε κόμβο, βρίσκουμε όλες τις τάσεις των ράβδων, ενώ στο τέλος περισσεύουν εξισώσεις για γενική επαλήθευση, (εφόσον Βέβαια έχουν υπολογιστεί εκ των προτέρων οι αντιδράσεις). Σημειώνουμε ότι στη γενική μορφή, ακόμη κι αν δεν μπορούσαμε να απομονώσουμε έναν κόμβο με δύο ράβδους για να ξεκινήσουμε, μπορούμε να γράψουμε τις "k" εξισώσεις για όλους τους κόμβους ("k" στο πλήθος) και να επιλύσουμε το σύστημα k εξισώσεων με k αγνώστους που θα προκύψει, κάτι όμως που είναι αρκετά επίπονο..6.μέθοδος των τομών Ritter Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται είτε για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός σύνθετουδικτυώματος (όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος των κόμβων), είτε για την ταχύτερη εύρεση της δύναμης μίας ράβδου. Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην πραγματοποίηση μίας ή περισσοτέρων τομών, καθεμιά από τις οποίες τέμνει το μικρότερο δυνατό αριθμό ράβδων, ενώ διαχωρίζει το δικτύωμα σε δύο ανεξάρτητα τμήματα, η ισορροπία των οποίων διατηρείται, αν στις Θέσεις πού η τομή συναντά τις ράβδους εφαρμοστούν οι αντίστοιχες αξονικές δυνάμεις των ράβδων (τάσεις) (Σχ.8). Σημειώνεται ότι η τομή Ritterδεν Θα πρέπει σε καμία περίπτωση να διέρχεται από κόμβο. Τα δε τμήματα που προκύπτουν από την τομή, πρέπει απαραίτητα να είναι δίσκοι (στερεά), πράγμα που σε συνδυασμό με τις ζητούμενες τάσεις, αποτελούν κριτήριογια τη Θέση που Θα πραγματοποιηθεί η τομή. 5

17 ι Ακόμη, δεν θα πρέπει σε καμία περίπτωση να απομονώνεται ένας μόνον κόμβος, διότι τότε η μέθοδος Ritteτταυτίζεται με αυτή των κόμβων. Για κάθε ένα από τα δύο ανεξάρτητα τμήματα πού προκύπτουν από την τομή του (Σχ.8), ισχύουν οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων, δηλαδή των γνωστών αντιδράσεων του τμήματος, των εξωτερικών φορτίων και των άγνωστων τάσεων των ράβδων που τέμνονται από την τομή. Εξετάζουμε πάντα ένα από τα δύο τμήματα (συνήθως το απλούστερο), ενώ Θεωρούμε τις τάσεις των ράβδων που τέμνονται από την τομή με φορά προς τα έξω του εξεταζόμενου τμήματος. Εφόσον τώρα, η τομή Ritterσυναντά μόνον ράβδους του δικτυώματος, οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας αρκούν για τον προσδιορισμό των τάσεων των ράβδων αυτών. Θεωρούμε ισορροπία ροπών ως προς το σημείο τομής των φορέων των δύο αγνώστων τάσεων (οπότε η ροπή τους είναι μηδέν) και έτσι υπολογίζουμε (ευκολότερα) την τρίτη άγνωστη δύναμη (τάση). Αν το δικτύωμα είναι αρκετά σύνθετο, όπως π.χ. να αποτελείται από τρεις δίσκους που συνδέονται μεταξύ τους με δύο ράβδους που τα σημεία τομής τους δεν είναι συνευθειακά, πραγματοποιούμε δύο τομές απομονώνοντας κάθε φορά από έναν δίσκο του δικτυώματος και κόβοντας δύο ζεύγη συνδετήριων ράβδων, δηλαδή τέσσερις ράβδους, με mν κάθε τομή. 'Ετσι είναι προφανές ότι υπάρχει ένα κοινό ζεύγος συνδετήριων ράβδων που κόβονται και από τις δύο τομές (Σχ. 9). Στην συνέχεια και αφού εφαρμόσουμε κατάλληλα τις εξισώσεις ισορροπίας, επιλύουμε το σύστημα που προκύπτει ως προς τις τάσεις των κοινών συνδετήριων ράβδων. Συγκεκριμένα, ενώ με τις δύο τομές προκύπτούν αρχικά 8 άγνωστες τάσεις, παρατηρούμε ότι οι είναι κοινές. Εφαρμόζοντας έτσι τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας για κάθε τμήμα χωριστά, μπορούμε να υπολογίσουμε τις 6 άγνωστες τάσεις. Στη μέθοδο Ritterεπαληθεύουμε συνήθως παίρνοντας ισορροπία ροπών ως προς σημεϊο, που βρίσκεται εκτός του τμήματος που εξετάσαμε. Είναι δε πιθανόν σ ένα όχι πολύ σύνθετο δικτύωμα, μετά από την πραγματοποίηση μίας τομής Ritterνα μπορούμε να συνεχίσουμε μετη μέθοδο των κόμβων. 6

18 Μέθοδος διπλής τομής Rίtter Σχ. 9.7.ΜΕΘΟΔΟΣ BO CREMONA Η μέθοδος αυτή είναι γραφική και βασίζεται στην αρχή ότι σε κάθε σύστημα δυνάμεων που ισορροπεί, πρέπει το δυναμοπολύγωνο να είναι κλειστό. Στην εφαρμογή της μεθόδου αυτής ακολουθούμε τα εξής στάδια: i. Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. του δικτυώματος. Προσδιορίζουμε τις αντιδράσεις στήριξης. Εν συνεχεία χωρίζουμε το επίπεδο του δικτυώματος σε περιοχές. Κάθε περιοχή στην οποία χωρίζεται ο εξωτερικός χώρος του δικτυώματος έχει σαν όριο το φορέα δύο εξωτερικών δυνάμεων, ενώ κάθε περιοχή στην οποία χωρίζεται ο εσωτερικός χώρος έχει σαν όριο της ράβδούς του. Ονομάζουμε τις περιοχές αυτές με μικρά γράμματα του αλφαβήτου και επιλέγουμε μία φορά διαγραφής, συνήθως την ωρολογιακή. Κάθε ράβδο θα την συμβολίζουμε με τα γράμματα των περιοχών, ανάμεσα στις οποίες βρίσκεται. ii. Θεωρούμε έναν κόμβο στον οποίο να έχουμε το πολύ δύο αγνώστους. Εκλέγουμε κάποια κλίμακα και σχεδιάζουμε διαδοχικά τα διανύσματα των γνωστών δυνάμεων που ασκούνται στον κόμβο. Για το συμβολισμό της αρχής και του πέρατος μίας δύναμης ακολουθούμε τον εξής κανόνα: Κινούμενοι ωρολογιακά περί τον κόμβο, συμβολίζουμε την αρχή του διανύσματος της δύναμης με το γράμμα της περιοχής που συναντάμε πριν περάσούμε το φορέα της δύναμης. Το πέρας της δύναμης το συμβολίζουμε με το γράμμα της περιοχής που συναντάμε, αφού περάσουμε το φορέα της. Εφόσον στον κόμβο έχουμε ράβδους αγνώστων τάσεων, το δυναμοπολύγωνο αυτού θα έχει μόνον ένα άγνωστο σημείο, που προσδιορίζεται αν από τα γνωστά σημεία και ανάλογα το συμβολισμό των ζητούμενων τάσεων, φέρουμε παράλληλες προς τις αυτές ράβδους. 7

19 'Ετσι κατασκευάζεται το δυναμοπολύγωνο του κόμβου, από το οποίο προσδιορίζονται τα μέτρα των τάσεων των ράβδων αφού μετρηθούν με την κλίμακα. Αναφορικά τέλος με το αν μία τάση είναι θετική ή αρνητική, αν το διάνυσμα που την αντιπροσωπεύει δίνει κατεύθυνση που απομακρύνεται από τον κόμβο, της τάση της ράβδου είναι εφελκυστική, αλλιώς είναι θλιπτική. iii. Προχωρούμε από κόμβο σε κόμβο, σύμφωνα με την παραπάνω μεθοδολογία, μέχρι που να φθάσουμε στον προτελευταίο κόμβο, όπου έχουμε μόνο μία ράβδο άγνωστης τάσης. 'Ετσι στο αντίστοιχο δυναμοπολύγωνο του κόμβου αυτού, όλα τα σημεία είναι καθορισμένα και για να σχηματιστεί το κλειστό δυναμοπολύγωνολείπει μόνο μία ευθεία, την οποία και παίρνουμε. Αν η ευθεία αυτή είναι παράλληλη προς τη ράβδο άγνωστης τάσης που έχουμε, τότε το δυναμοδιάγραμμα που κατασκευάσαμε "κλείνει'', δηλαδή η κατασκευή μας είναι ακριβής και έτσι γίνεται ο έλεγχος των αποτελεσμάτων μας. Παρατήρηση: Στη μέθοδο Bow- Cremona πρέπει να είναι πάντα μονοσήμαντος ο διαχωρισμός του δικτυώματος σε περιοχές. Μονοσήμαντο διαχωρισμό δεν μπορούμε να έχουμε: α') 'Οταν οι εξωτερικές δυνάμεις δρουν σε εσωτερικούς κόμβους του δικτυώματος και β') 'Οταν οι ράβδοι του δικτυώματος διασταυρώνονται (χωρίς κόμβο). Σχ.0 (a) (b) Σήμανση δικτυώματος για τη μεθοδοbow-cremona 8

20 .8.ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΗΤΡΩΩΝ Είναι και αυτή μία υπολογιστική μέθοδος, αποτελεί δε παραλλαγή της μεθόδου των κόμβων. Εξετάζουμε έναν προς έναν όλους τους κόμβους του δικτυώματος, ενώ στο τέλος μένει ένας κόμβος και μία εξίσωση από προηγούμενο για γενική επαλήθευση (εφόσον έχουμε υπολογίσει τις αντιδράσεις). Στη συγκεκριμένη μέθοδο, η ισορροπία κάθε κόμβου εκφράζεται μέσω μιας εξίσωσης πινάκων. Συγκεκριμένα, ένας πίνακας-στήλη που περιέχει τις τάσεις των ράβδων που συντρέχουν στον κόμβο, πολλαπλασιάζεται με έναν πίνακα γραμμών που έχει για στοιχεία του τα συνημίτονα και ημίτονα των γωνιών που σχηματίζουν τα διανύσματα των τάσεων με το θετικό ημιάξονα Οχ. Στον πίνακα-γινόμενο προστίθεται ένας πίνακας δύο γραμμών που περιέχει τις συνιστώσες των εξωτερικών δυνάμεων που άρουν στον κόμβο κατά τον άξονα χ και κατά τον άξονα y. Το άθροισμα των δύο πινάκων εξισώνεται με ένα μηδενικό πίνακα. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία σε όλους τους κόμβους, λύνουμε το σύστημα. 9

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΖΕΥΚΤΟ ΣΤΕΓΗΣ Σε αυτό το κεφάλαιο θα επιλύσουμε το δικτύωμα με την μέθοδο των κόμβων με 5 διαφορετικές κλίσεις στο φορτίο... Το δικτύωμα μας Σχ. Το δικτύωμα μας αποτελείται από ράβδους και στηρίζεται σε μια άρθρωση και μια κύλιση όπως φαίνεται στο Σχ..Εχει 8 κόμβους και είναι ισοστατικό αφού ισχύει η σχέση ρ=κ- δηλαδή =*8-.Στον κόμβο Δ δέχεται ένα εξωτερικό φορτίο σε ένα φάσμα 90 μοιρών. 0

22 .ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ Σε αυτό το κεφάλαιο θα γίνει επίλυση του δικτυώματος με τη μέθοδο των κόμβων για 5 διαφορετικές κλίσεις του φορτίου.μετά τους υπολογισμούς θα προκύψουν 5 πίνακες που θα φαίνονται οι τιμές των τάσεων για κάθε ράβδο και το είδος φόρτισης που δέχονται. Οι τιμές της γωνίας Θ θα είναι για 0 μοίρες για 0,45,60 και τέλος για κάθετο φορτίο 90 μοίρες.

23

24 Κόμβος Α Fx 0 s s*cos 0 0 s s* 0 w Fy 0 Ay s*sin 0 0 s* 0 * s s 4 4 s s s * s 4 Kόμβος Θ Fx 0 s4 s 0 s4 s s4 4 Fy 0 s 0

25 Kόμβος Β Fx 0 s5*cos 0 s6*cos 0 s*cos 0 0 s5* s6* s* s5 s6 Fy 0 s6*sin 0 s5*sin 0 s s*sin 0 0 s6 s5 s5 s6 s5 s6 s6 s6 s5 s6 s5 s s5 s6 s5 0 4

26 Κόμβος Γ Fx 0 s8*cos0 s6*cos0 0 s8* s6* s8 Fy 0 s8*sin 0 s7 s6*sin 0 s7 s8 s6 s7 * * s7 Κόμβος Η Fx 0 s0 s9*cos 0 s5*cos 0 s4 0 s0 s9* s4 s0 s9 4 Fy 0 s9*sin 0 s7 s5*cos 0 s9 s7 s9 s9 s0 s

27 Κόμβος Ζ Fx 0 s s0 0 s s0 s 4 Fy 0 s 0 Κόμβος Δ Fx 0 s*cos 0 s8*cos 0 s 9*cos 0 0 s* s8* s9* s s Fy 0 s*sin 0 s s9*sin 0 s8*sin 0 0 ( )

28 Κόμβος Ε Fx 0 s scos 0 0 * Fy 0 Ey s*sin 0 0 * OK 4 7

29 ΠΙΝΑΚΑΣ α/α Ράβδος(ταση) Φόρτιο Καταπόνηση S Θλίψη S 4 Εφελκυσμός S 0-4 S4 4 Εφελκυσμός 5 S5 0-6 S6 Θλίψη 7 S7 8 S8 Εφελκυσμός Θλίψη 9 S9 Θλίψη 0 S0 4 Εφελκυσμός S 0 - S 4 Εφελκυσμός S Θλίψη 8

30 Φορτίο με γωνία 60 μοίρες x *cos 60 y *sin 60 L L L 9

31 Αντιδράσεις στήριξης Fx 0 Ax x 0 Ax x Ax Fy 0 Ay Ey y 0 Ax Ey y Ay Ey 0 y L x L EyL 0 Ey L 4 Ey 4 Ay Ey Ay Ay 6 Κόμβος Α L L Fx 0 s Ax s*cos 0 0 s s Fy 0 Ay s*sin 0 0 s 0 s 6 6 s s s s s 0 0

32 Κόμβος Θ Fx 0 s4 s 0 s4 s s4 0 Fy 0 s 0 Κόμβος Β Fx 0 s5*cos 0 s6*cos 0 s*cos 0 0 s5 s6 s s5 s6 Fy 0 s6*sin 0 s5*sin 0 s s*sin 0 0 s6 s5 s5 s6 s s5 s6 s5 s6 s6 s6 s5 s6 s5 0

33 Κόμβος Γ Fx 0 s8*cos0 s6*cos0 0 s8 s6 s8 Fy 0 s8*sin 0 s7 s6*sin 0 0 s7 s8 s6 s7 s7 Κόμβος Η Fx 0 s0 s9*cos 0 s5*cos 0 s4 0 s0 s9 0 Fy 0 s9*sin 0 s7 s5*sin 0 0 s9 s7 s9 s9 s0 s9 s0 s0

34 Κόμβος Ζ Fx 0 s s0 0 s s0 s Fy 0 s 0 Κόμβος Δ Fx 0 x s*cos 0 s8*cos 0 s 9*cos 0 0 s x s8 s9 s s s Fy 0 y s*sin 0 s s9*sin 0 s8*sin

35 Κόμβος Ε Fx 0 s s*cos Fy 0 Ey s*sin OK 4

36 ΠΙΝΑΚΑΣ α/α Ράβδος(ταση) Φόρτιο Καταπόνηση S Θλίψη S 0 Εφελκυσμός S 0-4 S4 0-5 S5 0-6 S6 Θλίψη 7 S7 Εφελκυσμός 8 S8 9 S9 Θλίψη Θλίψη 0 S0 Εφελκυσμός S 0 - S Εφελκυσμός S Θλίψη 5

37 Φορτίο με γωνία 45 μοίρες x y *cos 45 *sin 45 L L 0 * L 4 4 Aντιδράσεις στήριξης Fx 0 Ax x 0 Ax x Ax Fy 0 Ay Ey y 0 Ay Ey y Ay Ey 0 y * L x * L Ey * L 0 4 Ey * L * * L 4 * * L 9 6 Ey Ay Ey Ay Ay 4 4 6

38 Κόμβος Α Fx 0 s Ax s*cos 0 0 s s 6 Fy 0 Ay s*sin 0 0 s* s s 4 6 s s s * 6 s 8 Κόμβος Θ 6 Fx 0 s4 s 0 s4 s s4 8 Fy 0 s 0 7

39 Κόμβος Β Fx 0 s5*cos 0 s6*cos 0 s*cos 0 0 s5* s6* s* 6 s5 s6 Fy 0 s6*sin 0 s5*sin 0 s s*sin 0 0 s6 s5 s 6 s5 s6 6 s5 s6 6 s5 s6 6 6 s6 S s5 s6 s5 6 s5 0 8

40 Κόμβος Γ Fx 0 s8*cos0 s6*cos0 0 s8 s6 6 s8 Fy 0 s8*sin 0 s7 s6*sin 0 0 s7 s8 s s7 s7 Κόμβος Η Fx 0 s0 s9*cos 0 s5*cos 0 s4 0 s0 s9 6 8 Fy 0 s9*sin 0 s7 s5*sin 0 6 s s9 s7 s s0 s

41 Κόμβος Ζ 6 Fx 0 s s0 0 s s0 s 8 Fy 0 s 0 Κόμβος Δ Fx 0 x s*cos 0 s8*cos 0 s9*cos 0 0 s 6 6 x s8 s9 s 6 s s 8 Fy 0 y s*sin 0 s s9*sin 0 s8*sin

42 Κόμβος Ε Fx 0 s s*cos Fy 0 Ey s*sin o o OK 4

43 ΠΙΝΑΚΑΣ α/α Ράβδος(τάση) Φορτίο Kαταπόνηση S 6 Θλίψη S 6 Θλίψη S 0-4 S4 6 Θλίψη 5 S5 0-6 S6 6 Θλίψη 7 S Εφελκυσμός 8 S8 6 Θλίψη 9 S9 6 Θλίψη 0 S Εφελκυσμός S 0 - S 6 Εφελκυσμός S 9 6 Θλίψη 8 4

44 φορτίο με γωνία 0 μοίρες x *cos 0 y *sin 0 L L 0 L 4 4 Αντιδράσεις στήριξης Fx 0 Ax x 0 Ax x Ax Fy 0 Ay Ey y 0 Ay Ey y Ay Ey 0 y * L x * L Ey * L 0 4 Ey * L L L Ey 4 4 Ay Ey Ay Ay 4 4 4

45 Κόμβος Α Fx 0 s Ax s*cos 0 0 s s Fy 0 Ay s*sin 0 0 s 0 s 4 4 s s s s s 4 Κόμβος Θ Fx 0 s4 s 0 s4 s s4 4 Fy 0 s 0 44

46 Κόμβος Β Fx 0 s5*cos 0 s6*cos 0 s*cos 0 0 s5 s6 s s5 s6 Fy 0 s6*sin 0 s5*sin 0 s s*sin 0 0 s6 s5 s s5 s6 s5 s6 s6 s6 s5 s6 s5 4 s5 s6 s5 0 45

47 Κόμβος Γ Fx 0 s8*cos0 s6*cos0 0 s8 s6 s8 Fy 0 s8*sin 0 s7 s6*sin 0 0 s7 s8 s6 s7 s7 Κόμβος Η Fx 0 s0 s9*cos 0 s5*cos 0 s4 0 s0 s9 4 Fy 0 s9*sin 0 s7 s5*sin 0 0 s9 s7 s9 s9 s0 s

48 Κόμβος Ζ Fx 0 s s0 0 s s0 s 4 Fy 0 s 0 Κόμβος Δ Fx 0 x s*cos 0 s8*cos 0 s9*cos 0 0 s x s8 s9 s s Fy 0 y s*sin 0 s s9*sin 0 s8sin

49 Κόμβος Ε Fx 0 s s*cos Fy 0 Ey s*sin OK 4 48

50 ΠΙΝΑΚΑΣ 4 α/α Ράβδος(ταση) Φόρτιο Καταπόνηση S Θλίψη S 4 Θλίψη S 0-4 S4 4 Θλίψη 5 S5 0-6 S6 Θλίψη 7 S7 Εφελκυσμός 8 S8 Θλίψη 9 S9 - Θλίψη 0 S0 4 Εφελκυσμός S 0 - S 4 Εφελκυσμός S Θλίψη 49

51 φορτίο οριζόντιο L L 0 L Αντιδράσεις στήριξης Fx 0 Ax 0 Ax Fy 0 Ay Ey 0 MA 0 * Ey * L 0 Ey * L * L Ey Ay Ey Ay 50

52 Κόμβος Α Fx 0 s Ax s*cos 0 0 s s Fy 0 Ay s*sin 0 0 s 0 s s 6 s s*sin 0 s s 6 4 Κόμβος Θ Fx 0 s4 s 0 s4 s s4 4 Fy 0 s 0 5

53 Κόμβος Β Fx 0 s5*cos 0 s6* c0s0 s* cos0 0 s5 s6 s s5 s6 6 Fy 0 s6*sin 0 s5*sin 0 s s*sin 0 0 s5 s5 s6 s5 s6 s 6 s6 6 s6 s6 6 6 s5 s6 6 s5 s6 s s5 0 5

54 Κόμβος Γ Fx 0 s8*cos0 s6*cos0 0 s8 s6 s8 Fy 0 s8*sin 0 s7 s6*sin 0 0 s7 s8 s6 s7 s Κόμβος Η Fx 0 s0 s9*cos 0 s5*cos 0 s4 0 s0 s9 s4 s0 s9 4 Fy 0 s9*sin 0 s7 s5*cos 0 0 s9 s7 s9 s9 6 w s0 * s

55 Κόμβος Ζ w Fx 0 s s0 0 s s0 s 4 Fy 0 s 0 Κόμβος Δ Fx 0 s*cos 0 s8*cos 0 s9* cos0 0 s s8 s9 s 6 s s 4 6 Fy 0 s*sin 0 s s9*sin 0 s8*sin

56 Κόμβος Ε w Fx 0 s s*cos 0 0 * Fy 0 Ey s*sin 0 0 *

57 ΠΙΝΑΚΑΣ 5 α/α Ράβδος(ταση) Φόρτιο Καταπόνηση S 6 Θλίψη S 4 Θλίψη S 0-4 S4 4 Θλίψη 5 S5 0-6 S6-6 Θλίψη 7 S7 6 Εφελκυσμός 8 S8-6 Θλίψη 9 S9 Θλίψη 0 S0 Θλίψη S 0 - S Εφελκυσμός S Εφελκυσμός 56

58 . Υπολογισμός τάσεων σε σχέση της γωνίας θ,φορτίου και μήκος L. Σε αυτό το κομμάτι της διερέυνησης θα υπολογίσουμε το δικτύωμα μας όπως στο προηγούμενο κεφάλαιο αλλα τώρα δεν θα βάλουμε τιμές στη γωνία Θ.Όπως φαίνεται στο Σχ.. Σχ. Η λύση του δικτυώματος θα γίνει με τη μέθοδο των κόμβων και θα μας δώσει τις σχέσεις των τάσεων και για τις ράβδους σε σχέση με τη γωνία θ το μήκος L καιτο φορτίο.τα σχέδια στη επίλυση των κόμβων παρακάτω δεν υπάρχουν γιατί είναι πανομοιότυπα με αυτά της επίλυσης του προηγούμενου κεφαλαίου. 57

59 ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ x 58

60 ό 59

61 ό Έγινε επαλήθευση οπότε οι σχέσεις είναι σωστές. 60

62 .4. Διαγράμματα Τάσεων ράβδων-γωνίας φορτίου Σε αυτό το μέρος της εργασίας της εργασίας απεικονίζονται τα διαγράμματα τάσεων ράβδων-γωνίας φορτίου που έγινα σύμφωνα με τις σχέσεις που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Σε αυτά τα διαγράμματα μπορούμε να δούμε πως συμπεριφέρεται η κάθε ράδος σε σχέση της κλίσης του εξωτερικού φορτίου που δέχεται το δικτύωμα μας. Στον κάθετο άξονα του κάθε διαγράμματος αναγράφονται οι τιμές της τάσης, και στον οριζόντιο η τιμές της γωνίας θ από 0 έως 90 μοίρες. 0-0, s-s6-s8 ΓΩΝΙΑ Θ , -0, -0,4-0,5-0,6-0,7 0-0, s-s4 ΓΩΝΙΑ Θ , -0, -0,4-0,5-0,6-0,7-0,8 6

63 s7 ΓΩΝΙΑ Θ 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, , s9 ΓΩΝΙΑ Θ ,4-0,6-0,8 - -, -,4 6

64 ,6 s0-s ΓΩΝΙΑ Θ,4, 0,8 0,6 0,4 0, ,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 - -, -,4 -,6 s ΓΩΝΙΑ Θ Για τις ράδους,5 και η δεν έγιναν διαγράμματα γιατί δεν επηρεάζονται από το φορτίο. 6

65 .5 Χρωματική απεικόνιση τάσεων στο ζευκτό. Εδώ θα δούμε σε χρωματική απεικόνιση το βαθμό τον οποίο καταπονείται η κάθε ράβδος σε εφελκυσμό η θλίψη. Οι τιμές βγήκαν από τις σχέσεις που υπολογίσαμε στο κεφάλαιο.. Τα διαγράμματα έγιναν για 7 διαφορετικές κλίσεις του φορτίου, 0,5,0,45,60,75 και 90 μοίρες γωνία. 64

66 65

67 66

68 Τάσεις S 0,9 0,4 0,5 0,55 0,57 0,56 0,5 S -0,7-0,6-0,5-0,44-0,4 -O,44-0,5 S S4-0,7-0,59-0,5-0,44-0,4-0,44-0,5 S S6 0,9 0,4 0,5 0,55 0,57 0,56 0,5 S7 0,9 0,4 0,5 0,55 0,57 0,56 0,5 S8 0,9 0,4 0,5 0,55 0,57 0,56 0,5 S9-0,57-0,8 - -, -,5 -, - S0 0,8 0,5 0,75 0,96,4,8,6 S S 0,8 0,5 0,75 0,96,4,8,6 S 0,8-0, -0,5-0,85 -, -, -,5 67

69 .6 Συμπεράσματα Έγινε επίλυση στο δικτύωμα του ζευκτού μας, πρώτα για συγκεκριμένες γωνίες του εξωτερικού φορτίου που δέχεται ο κόμβος Δ και έπειτα υπολογίστηκαν σχέσεις με τις οποίες για κάθε γωνία θ σε μοίρες,( από κάθετο φορτίο έως και 90 μοίρες γωνία).με τις σχέσεις αυτές βρέθηκαν οι δυνάμεις σε κάθε μέρος του δικτυώματος.στο δεύτερο κεφάλαιο υπολογίστηκαν οι τάσεις και έγιναν τα διαγράμματα θ(γωνία),s(τάσης) για κάθε ράβδο ξεχωριστά.τα διαγράμματα μας έδειξαν πως οι ράβδοι,5 και η δεν επηρεάζονται καθόλου από το εξωτερικό φορτίο.οι ράβδοι,6,7,8 και οι ράβδοι 0 και εφελκύονται για όλες τις γωνίες ενώ οι ράβδοι,4 και 9 θλίβονται με διαφορετικές εντάσεις σε σχέση της γωνίας θ του εξωτερικού φορτίου.στη ράβδο μόνο αλλάζει το είδος καταπόνησης από εφελκυσμό σε θλίψη στις 0,8 μοίρες της γωνίας του φορτίου.στο τελευταίο μέρος της εργασίας υπάρχουν τα διαγράμματα τα οποία απεικονίζουν χρωματικά την ένταση των τάσεων και το είδος της καταπόνησης από κάθετο έως οριζόντιο εξωτερικό φορτίο για όλες τις ράβδους.οί ράβδοι 0, δέχονται τις μεγαλύτερες εφελκύστηκες δυνάμεις ενώ η ράβδος θλίβεται με τη μεγαλύτερη τιμή τάσης στο κάθετο εξωτερικό φορτίο. 68

70 Βιβλιογραφία.ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΜΟΣ -ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ,ΣΤΑΤΙΚΗ ΒΕΕΡ/JOHNSTON Μετάφραση:Γρηγόριος Χρυσοστόμου Πολιτικός μηχανικός Ε.Μ.Π Εκδώσεις Φούντας ΑΘΗΝΑ 999.ΣΤΑΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Δρ.Π.Α.Βουθούνης Έκδοση του ιδίου του συγγραφέα ΑΘΗΝΑ

71 70

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισο-στατικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #6: Δικτυώματα (Μέθοδος Κόμβων) Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στην Τεχνική Μηχανική Ι μελετώνται επίπεδα δικτυώματα. Τα δικτυώματα είναι φορείς που απαρτίζονται από ευθύγραμμες ράβδους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ Πτυχιακή Εργασία Θέμα: Στατική Επίλυση Επίπεδων Ισοστατικών Δικτυωμάτων Φοιτητής: Γογοδώνης

Διαβάστε περισσότερα

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί:

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί: 8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Σχ. 8.1 Παραδείγματα δικτυωμάτων 8.1 Ορισμοί: Δικτύωμα θα λέγεται ένας σύνθετος φορέας που όλα τα μέλη του είναι ράβδοι. Παραδείγματα δικτυωμάτων δίνονται στο σχήμα παραπάνω. Πλεονέκτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΠΕ Α ΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. ομική Μηχανική Ι. Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ

ΕΠΙΠΕ Α ΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. ομική Μηχανική Ι. Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΝΘΕΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΙXΜΗΣ ΕΠΙΠΕ Α ΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ομική Μηχανική Ι 1 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Μόρφωση επίπεδων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

Ανυψωτικές και Μεταφορικές Μηχανές Εισαγωγή. Εργαστήριο 1 ο

Ανυψωτικές και Μεταφορικές Μηχανές Εισαγωγή. Εργαστήριο 1 ο Ανυψωτικές και Μεταφορικές Μηχανές Εισαγωγή Εργαστήριο 1 ο Τι είναι οι Ανυψωτικές και Μεταφορ. Μηχανές Μηχανικά συγκροτήματα για τη μεταφορά βάρους με κατακόρυφο, οριζόντιο ή ενδιάμεσο τρόπο. Κ. Στυλιανός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 5 η και 6 η Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων Τετάρτη,, 15, Παρασκευή, 17 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2 Ισοστατικός (ή στατικά ορισμένος) λέγεται ο φορέας που ο προσδιορισμός της εντατικής του κατάστασης είναι δυνατός βάσει μόνο των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων

Μέθοδος των Δυνάμεων Μέθοδος των Δυνάμεων Εισαγωγή Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-2 Η Μέθοδος των Δυνάμεων ή Μέθοδος Ευκαμψίας είναι μία μέθοδος για την ανάλυση γραμμικά ελαστικών υπερστατικών φορέων. Ανκαιημέθοδοςμπορείναεφαρμοστείσεπολλάείδηφορέων

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθήματος Ι

Περίληψη μαθήματος Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΑΠΘ Περίληψη μαθήματος Ι Τυπολόγιο μεθοδολογία στατικής Περίληψη Ι: Ισορροπία υλικού σημείου & στερεού σώματος, δικτυώματα,

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Διάφοροι τύποι ολόσωμων ισοστατικών πλαισίων Ισορροπία κόμβων ΣF x = 0 N 1 + N 2 cosθ + Q 2 sinθ N 3

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7 Στατική των γραμμικών φορέων ix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. 1 1.1 Εισαγωγή.. 3 1.2 Συστήματα συντεταγμένων. 7 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ 13 2.1 Η κίνηση και η στήριξη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών Ασκήσεις για λύση Η ράβδος του σχήματος είναι ομοιόμορφα μεταβαλλόμενης κυκλικής 1 διατομής εφελκύεται αξονικά με δύναμη Ρ. Αν D d είναι οι διάμετροι των ακραίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς ΤΧΝΟΛΟΙΚΟ ΚΠΑΙΥΤΙΚΟ ΙΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΑΣΚΗΣΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ οκοί, Πλαίσια, ικτυώματα, ραμμές πιρροής και Υπερστατικοί Φορείς, Ph.D. Μάρτιος 11 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M)

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M) . ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M). Ορισμοί φορτίσεων μίας δοκού Οι φορτίσεις που μπορεί να εμφανισθούν σ'ένα σώμα είναι ο εφελκυσμός (ή η θλίψη με κίνδυνο λογισμού), η διάτμηση, η κάμψη και η στρέψη.

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουνίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ. ικτυωτοί Φορείς. Υπολογισµός ικτυωµάτων ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ. Πολυτεχνική Σχολή. Μόρφωση ικτυώµατος. Μέθοδος των κόµβων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ. ικτυωτοί Φορείς. Υπολογισµός ικτυωµάτων ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ. Πολυτεχνική Σχολή. Μόρφωση ικτυώµατος. Μέθοδος των κόµβων ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών ικτυωτοί Φορείς Μόρφωση ικτυώµατος Υπολογισµός ικτυωµάτων Μέθοδος των κόµβων ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 011 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : , 12:00-15:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : , 12:00-15:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΑΡ. ΜΗΤΡ :.......

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Ι - Στατική

Μηχανική Ι - Στατική ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μηχανική Ι - Στατική Ενότητα #2: Δυνάμεις στο Επίπεδο Δρ. Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι των Μετακινήσεων

Μέθοδοι των Μετακινήσεων Μέθοδοι των Μετακινήσεων Εισαγωγή Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-2 Στη Μέθοδο των Δυνάμεων (ή Ευκαμψίας), που έχουμε ήδη μελετήσει, επιλέγουμε ως άγνωστα υπερστατικά μεγέθη αντιδράσεις ή εσωτερικές δράσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΦΟΡΕΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας

Κεφάλαιο 10 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας Κεφάλαιο 0 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας Σύνοψη Η άσκηση 0, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αναφέρεται σε μία μεγάλη σειρά απλών και σύνθετων στατικών φορέων, για τους οποίους ζητείται ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y.

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο επίπεδο της μορφής x y 0, με 0, 0 θα δίνεται από τον τύπο. ( μονάδες) Β. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη 2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων)

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 9 - ΧΩΡΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Να γίνει στατική επίλυση τoυ χωρικού πλαισίου από οπλισμένο σκυρόδεμα κατηγορίας C/, κάτοψη του οποίου φαίνεται στο σχήμα (α). Δίνονται: φορτίο επικάλυψης πλάκας gεπικ. KN/, κινητό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων)

1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων) ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 1. Ανασκόπηση Μεθόδων Ευκαμψίας (δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος 1 Θέματα Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2005 ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 1 Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα Μ, Q, N (3.5 μονάδες) β) η κατακόρυφη βύθιση του κόμβου 7 λόγω της φόρτισης και μιας ομοιόμορφης μείωσης της θερμοκρασίας

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008

Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008 1 Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008 ΘΕΜΑ 1o Για τον φορέα του σχήματος ζητούνται: Tο Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα με τα ελάχιστα άγνωστα μεγέθη. Το μητρώο δυσκαμψίας Κ του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6 - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΑΣΚΗΣΗ 6 - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΣΚΗΣΗ - ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Να γίνει πλήρης ανάλυση του μεταλλικού δικτυώματος του σχήματος. Ολες οι συνδέσεις των ράβδων στους κόμβους είναι αρθρωτού τύπου. Επί πλέον, ο ένας εκ των άνω κόμβων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 7--, 9:-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Σελίδα1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για να λύσουμε ένα πρόβλημα ισορροπίας εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας, αφού πρώτα σχεδιάσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Περιεχόμενα Σχήμα 1 Α. Ασημακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟ ΦΟΡΕΑ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟ ΦΟΡΕΑ Έργο Ιδιοκτήτες Θέση ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟ ΦΟΡΕΑ Η µελέτη συντάχθηκε µε το πρόγραµµα VK.STEEL 5.2 της Εταιρείας 4M -VK Προγράµµατα Πολιτικού Μηχανικού. Το VK.STEEL είναι πρόγραµµα επίλυσης χωρικού

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

1 η Επανάληψη ιαλέξεων

1 η Επανάληψη ιαλέξεων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 η Επανάληψη ιαλέξεων Στατική Ανάλυση Ισοστατικών Φορέων Τρίτη,, 28 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk ΠΠΜ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα