3 Πλεοναςμόσ Πληροφορίασ

Transcript

1 3 Πλεοναςμόσ Πληροφορίασ Τα λάκθ ςτα δεδομζνα ςυμβαίνουν ενδεχομζνωσ όταν εκείνα μεταφζρονται από τθ μια μονάδα ςτθν άλλθ, από ζνα ςφςτθμα ςε ζνα άλλο, ι όταν αυτά αποκθκεφονται ςε μια μονάδα μνιμθσ. Για να ανεχτοφμε τζτοια λάκθ, ειςάγουμε τθν ζννοια του πλεοναςμοφ ςτα δεδομζνα, που καλείται πλεοναςμόσ πλθροφορίασ (information redundancy). Θ πιο κοινι μορφι πλεοναςμοφ πλθροφορίασ είναι θ κωδικοποίθςθ (coding), που προςκζτει bits ςτα δεδομζνα, επιτρζποντάσ μασ να πιςτοποιιςουμε τθν ορκότθτα των δεδομζνων πριν τα χρθςιμοποιιςουμε, και ςε κάποιεσ περιπτϊςεισ, μποροφμε ακόμθ και να διορκϊςουμε τα εςφαλμζνα bits δεδομζνων. Αρκετοί ςυχνά χρθςιμοποιοφμενοι κϊδικεσ διόρκωςθσ λακϊν και ανίχνευςθσ λακϊν ςυηθτοφνται ςτο Εδάφιο 3.1. Θ ειςαγωγι του πλεοναςμοφ πλθροφορίασ μζςω κωδικοποίθςθσ δεν περιορίηεται ςτο επίπεδο μεμονωμζνων λζξεων δεδομζνων αλλά μπορεί να επεκτακεί για να παρζχει ανκεκτικότθτα ςε ςφάλματα για μεγαλφτερεσ δομζσ δεδομζνων. Το πιο δθμοφιλζσ παράδειγμα τζτοιασ χριςθσ είναι το ςφςτθμα αποκικευςθσ Ρλεονάηοντοσ Ρίνακα Ανεξάρτθτων Δίςκων (ΡΡΑΔ) (Redundant Array of Independent Disks RAID). Αρκετοί RAID παρουςιάηονται ςτο Εδάφιο 3.2 και αναλφονται οι βελτιϊςεισ ςτθν αξιοπιςτία και τθ διακεςιμότθτα. Σε ζνα κατανεμθμζνο ςφςτθμα, όπου τα ίδια ςφνολα δεδομζνων ίςωσ να χρειαςτοφν από διαφορετικοφσ κόμβουσ του ςυςτιματοσ, θ αναπαραγωγι δεδομζνων (data replication) βοθκά ςτθν προςβαςιμότθτά τουσ. Θ διατιρθςθ ενόσ αντίγραφου των δεδομζνων ςε ζναν μόνο κόμβο πικανϊσ να τον μετζτρεπε ςε κόμβο ςυμφόρθςθσ και να άφθνε τα δεδομζνα ευάλωτα ςε μια ενδεχόμενθ βλάβθ του. Μια εναλλακτικι προςζγγιςθ κα ιταν θ διατιρθςθ πανομοιότυπων αντιγράφων των δεδομζνων ςε πολλαπλοφσ κόμβουσ. Αρκετά πλάνα για τθ διαχείριςθ των αναπαραγόμενων αντίγραφων για τα ίδια δεδομζνα παρουςιάηονται ςτο Εδάφιο 3.3. Κλείνουμε αυτό το κεφάλαιο με μια περιγραφι ανκεκτικότθτασ ςε ςφάλματα βάςει αλγορίκμου (algorithm-based fault tolerance), θ οποία αποτελεί επαρκι τεχνικι πλεοναςμοφ πλθροφορίασ που διαχειρίηεται μεγάλουσ πίνακεσ ςτοιχείων δεδομζνων. 3.1 Κωδικοποίηςη Θ κωδικοποίθςθ αποτελεί μια κακοριςμζνθ περιοχι ζρευνασ και πρακτικισ, ειδικά ςτο πεδίο τθσ επικοινωνίασ, και πολλά βιβλία είναι διακζςιμα πάνω ςε αυτό το κζμα μελζτθσ (δείτε και το τμιμα τθσ Ρεραιτζρω Μελζτθσ). Εδϊ, περιοριηόμαςτε ςε μια ςφντομθ ζρευνα των πιο δθμοφιλϊν κωδίκων. Πταν κωδικοποιοφμε, μια λζξθ δεδομζνων d-bits κρυπτογραφείται (encoded) ςε μια κωδικι λζξθ (codeword) c-bits, θ οποία αποτελείται από ζνα μεγαλφτερο αρικμό bits απ ό, τι θ αρχικι λζξθ δεδομζνων, δθλαδι c > d. Αυτι θ κρυπτογράφθςθ ειςάγει τον πλεοναςμό πλθροφορίασ, κάτι που μασ ωκεί να χρθςιμοποιιςουμε πιο πολλά bits από όςα χρειαηόμαςτε. Μια ςυνζπεια αυτοφ του πλεοναςμοφ πλθροφορίασ είναι ότι δεν αποτελοφν όλοι οι 2 c δυαδικοί ςυνδυαςμοί των c bits ζγκυρεσ κωδικζσ λζξεισ. Σαν αποτζλεςμα, όταν επιχειροφμε να αποκρυπτογραφιςουμε (decode) τθν λζξθ των c bits για να εξάγουμε τα αρχικά d bits δεδομζνων, ίςωσ ζρκουμε αντιμζτωποι με μια άκυρθ κωδικι λζξθ, κάτι που ςθμαίνει πωσ ςυνζβθ λάκοσ. Για ςυγκεκριμζνα πλάνα κρυπτογράφθςθσ, κάποιοι τφποι λακϊν μποροφν ακόμθ και να διορκωκοφν και όχι μόνο να εντοπιςτοφν. Ζνασ κϊδικασ ορίηεται ςαν το ςφνολο όλων των επιτρεπτϊν κωδικϊν λζξεων. Οι παράμετροι απόδοςθσ ενόσ κϊδικα είναι το πλικοσ των εςφαλμζνων bits που μποροφν να

2 εντοπιςτοφν ςαν εςφαλμζνα κακϊσ και το πλικοσ των λακϊν που ζχει διορκωκεί. Ο φόρτοσ που ειςάγει ο κϊδικασ μετριζται βάςει και των πλεοναηόντων bits που απαιτοφνται αλλά και από το χρόνο κρυπτογράφθςθσ και αποκρυπτογράφθςθσ. Μια ςθμαντικι μετρικι του χϊρου των κωδικϊν λζξεων είναι θ απόςταςθ Hamming (Hamming distance). Θ απόςταςθ Hamming μεταξφ δφο κωδικϊν λζξεων είναι ο αρικμόσ των κζςεων bits ςτισ οποίεσ διαφζρουν οι δφο λζξεισ. Θ Εικόνα 3.1 δείχνει τισ οκτϊ δυαδικζσ λζξεισ των 3 bits. Δφο λζξεισ ςτθν εικόνα ςυνδζονται με μια ακμι αν θ απόςταςθ Hamming τουσ είναι 1. Οι λζξεισ 101 και 011 διαφζρουν ςε δφο κζςεισ bits και επομζνωσ ζχουν απόςταςθ Hamming ίςθ με 2. Κάποιοσ κα πρζπει να διαςχίςει δφο ακμζσ ςτθν Εικόνα 3.1 για να πάει από τον κόμβο 101 ςτον κόμβο 011. Υποκζςτε ότι δφο ζγκυρεσ κωδικζσ λζξεισ διαφζρουν μόνο ςτθ λιγότερο ςθμαντικι κζςθ bit, όπωσ για παράδειγμα οι λζξεισ 101 και 100. Σε αυτιν τθν περίπτωςθ, ζνα απλό λάκοσ ςτο λιγότερο ςθμαντικό bit ςε οποιαδιποτε από αυτζσ τισ λζξεισ κα περνοφςε απαρατιρθτο, κακϊσ θ λανκαςμζνθ λζξθ αποτελεί από μόνθ τθσ μια υπάρχουςα κωδικι λζξθ. Αντίκετα, θ απόςταςθ Hamming ίςθ με 2 (ι και περιςςότερο) μεταξφ των δφο κωδικϊν λζξεων εγγυάται πωσ ζνα λάκοσ bit ςε όποια από τισ δφο λζξεισ, δε κα τθν αλλάξει. Θ απόςταςθ κϊδικα (code distance) είναι θ μικρότερθ απόςταςθ Hamming μεταξφ οποιωνδιποτε δφο ζγκυρων κωδικϊν λζξεων. Ο κϊδικασ που αποτελείται από τισ τζςςερισ κωδικζσ λζξεισ,001, 010, 100, 111- που φαίνονται μζςα ςτουσ κφκλουσ ςτθν Εικόνα 3.1, ζχει απόςταςθ 2 και είναι επομζνωσ ικανόσ να εντοπίηει οποιοδιποτε λάκοσ απλοφ bit. Ο κϊδικασ που αποτελείται μόνο από τισ κωδικζσ λζξεισ,000, 111- ζχει απόςταςθ 3 και επομζνωσ είναι ικανόσ να εντοπίηει οποιοδιποτε λάκοσ απλοφ και διπλοφ bit. Αν τα λάκθ διπλοφ bit δεν είναι πικανό να ςυμβοφν, αυτόσ ο κϊδικασ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για να διορκϊςει τα λάκθ απλοφ bit. Γενικότερα, για να εντοπίςουμε μζχρι και λάκθ των k bits, θ απόςταςθ κϊδικα πρζπει να είναι τουλάχιςτον k + 1, ενϊ για να διορκϊςουμε μζχρι και λάκθ των k bits, θ απόςταςθ κϊδικα πρζπει να είναι το λιγότερο 2k + 1. Ο κϊδικασ,000, 111- μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για τθν κρυπτογράφθςθ ενόσ bit δεδομζνων με 0 (για παράδειγμα) κρυπτογραφθμζνο ςαν 000 και του 1 ςαν 111. Αυτόσ ο κϊδικασ είναι παρόμοιοσ με τθν τεχνικι πλεοναςμοφ TMR, θ οποία ςυηθτικθκε ςτο Κεφάλαιο 2. Στθν αρχι, πολλζσ τεχνικζσ πλεοναςμοφ κεωροφνται πλάνα κωδικοποίθςθσ. Ζνα διπλότυπο, για παράδειγμα, κεωρείται κϊδικασ του οποίου οι ζγκυρεσ κωδικζσ λζξεισ

3 αποτελοφνται από δφο πανομοιότυπεσ λζξεισ δεδομζνων. Για ζνα απλό bit δεδομζνων, οι κωδικζσ λζξεισ κα είναι 00 και 11. Μια επιπρόςκετθ ιδιότθτα των κωδίκων είναι θ διαχωριςτικότθτα (separability). Ζνασ διαχωρίςιμοσ (separable) κϊδικασ ζχει ξεχωριςτά πεδία για τα δεδομζνα και για τα bits ελζγχου. Συνεπϊσ, θ αποκρυπτογράφθςθ ενόσ διαχωρίςιμου κϊδικα αποτελείται απλά από τθν επιλογι των bits δεδομζνων, αγνοϊντασ τα bits ελζγχου. Τα τελευταία πρζπει να εξεταςτοφν ξεχωριςτά για να διαπιςτωκεί θ ορκότθτα των δεδομζνων. Ζνασ μθ-διαχωρίςιμοσ κϊδικασ (non separable code), από τθν άλλθ πλευρά, ζχει τα bits ελζγχου και δεδομζνων ενςωματωμζνα. Θ εξαγωγι των δεδομζνων από τθν κρυπτογραφθμζνθ λζξθ απαιτεί κάποια διεργαςία, οδθγϊντασ επομζνωσ ςε επιπλζον κακυςτζρθςθ. Και οι δφο τφποι των κωδίκων αυτϊν εξετάηονται ςε αυτό το κεφάλαιο Κώδικεσ Ιςοτιμίασ Κςωσ οι πιο απλοί κϊδικεσ από όλουσ είναι οι κϊδικεσ ιςοτιμίασ (parity codes). Στθν πιο βαςικι τθσ μορφι, μια κωδικι λζξθ ιςοτιμίασ περιλαμβάνει d bits δεδομζνων και ζνα επιπλζον bit (ελζγχου) για τθν ιςοτιμία. Σε ζναν ηυγό (ι μονό) κϊδικα ιςοτιμίασ, θ τιμι αυτοφ του επιπλζον bit επιλζγεται ζτςι ϊςτε το πλικοσ των άςςων ςε ολόκλθρθ τθ λζξθ των (d + 1) bits (ςυμπεριλαμβανομζνου και του bit ιςοτιμίασ) να είναι ηυγό (ι μονό). Το κλάςμα φόρτου του κϊδικα ιςοτιμίασ είναι 1/d. Ζνασ κϊδικασ ιςοτιμίασ ζχει απόςταςθ Hamming ίςθ με 2 και εγγυάται να εντοπίςει όλα τα λάκθ απλοφ bit. Αν ζνα bit αλλάξει τιμι από το 0 ςτο 1 (ι αντίςτροφα), θ ςυνολικι ιςοτιμία δε κα είναι ξανά θ ίδια, ενϊ κα μποροφν να εντοπιςτοφν λάκθ. Ραρόλα αυτά, θ απλι ιςοτιμία δεν είναι ικανι να διορκϊςει κανζνα λάκοσ bit. Αφοφ ο κϊδικασ ιςοτιμίασ είναι ζνασ διαχωρίςιμοσ κϊδικασ, είναι εφκολο να ςχεδιάςουμε κυκλϊματα κρυπτογράφθςθσ και αποκρυπτογράφθςθσ ιςοτιμίασ για αυτόν. Θ Εικόνα 3.2 δείχνει κυκλϊματα για κρυπτογράφθςθ και αποκρυπτογράφθςθ λζξεων δεδομζνων των 5 bits. Ο κρυπτογράφοσ αποτελείται από ζναν ακροιςτι modulo-2 με πζντε ειςόδουσ, ο οποίοσ παράγει ζνα μθδενικό αν το πλικοσ των άςςων είναι ηυγό. Θ ζξοδοσ αυτοφ του ακροιςτι είναι το ςιμα ιςοτιμίασ για τον ηυγό κϊδικα ιςοτιμίασ. Ο αποκρυπτογράφοσ παράγει τθν ιςοτιμία από τα λθφκζντα bits δεδομζνων και ςυγκρίνει τθν παραγόμενθ αυτι ιςοτιμία με το λθφκζν bit ιςοτιμίασ. Αν ταιριάηουν, θ ζξοδοσ τθσ δεξιάσ πφλθσ XOR (Exclusive OR) είναι 0, υποδεικνφοντασ πωσ δεν ζχει εντοπιςτεί κανζνα λάκοσ. Αν δεν ταιριάηουν, θ ζξοδοσ είναι 1, υποδεικνφοντασ τότε τθν φπαρξθ λάκουσ. Σθμειϊςτε ότι τα λάκθ διπλοφ bit δεν ανιχνεφονται από τον ζλεγχο ιςοτιμίασ. Εντοφτοισ, και τα τρία (και γενικότερα, οποιοςδιποτε μονόσ αρικμόσ) λάκθ bits κα ανιχνευτοφν.

4 Θ επιλογι ηυγισ (even) ι μονισ (odd) ιςοτιμίασ εξαρτάται από το είδοσ του λάκουσ όλων των bits που είναι πιο πικανό (λάκοσ όλα-0 ι λάκοσ όλα-1). Αν, για παράδειγμα, επιλζξουμε τον ηυγό κϊδικα ιςοτιμίασ, το bit ιςοτιμίασ που παριχκθ για τθ λζξθ δεδομζνων όλα-0 κα είναι 0. Σε μια τζτοια περίπτωςθ, μια βλάβθ ςτθν λζξθ όλα-0 κα περάςει απαρατιρθτθ επειδι κα αποτελεί μια ζγκυρθ κωδικι λζξθ. Θ επιλογι του μονοφ κϊδικα ιςοτιμίασ επιτρζπει τθν ανίχνευςθ όλων των βλαβϊν όλα-0. Αν, αντίκετα, είναι πιο πικανό να ςυμβεί βλάβθ όλα-1 και όχι όλα-0, πρζπει να εξαςφαλίςουμε πωσ θ λζξθ όλα-1 (bit δεδομζνων και ιςοτιμίασ) είναι άκυρθ. Για τον ςκοπό αυτό, οφείλουμε να επιλζξουμε τον μονό κϊδικα ιςοτιμίασ αν ο ςυνολικόσ αρικμόσ των bits (ςυμπεριλαμβανομζνου και του bit ιςοτιμίασ) είναι ηυγόσ και αντίκετα. Αρκετζσ παραλλαγζσ του βαςικοφ κϊδικα ιςοτιμίασ ζχουν προτακεί και εφαρμοςτεί. Μια από αυτζσ είναι και θ τεχνικι bit ιςοτιμίασ ανά byte (parity-bit-per-byte). Αντί να ζχουμε ζνα μόνο bit ιςοτιμίασ για ολόκλθρθ τθν λζξθ δεδομζνων, ανακζτουμε ζνα ξεχωριςτό bit ιςοτιμίασ ςε κάκε byte (ι ςε κάκε άλλο ςφνολο bits). Κάτι τζτοιο κα αυξιςει τον φόρτο από 1 / d ςε m / d, όπου το m είναι το πλικοσ των bytes (ι κάποιο άλλο ςφνολο ίδιου μεγζκουσ). Από τθν άλλθ πλευρά, κα εντοπιςτοφν το πολφ m λάκθ, αρκεί βζβαια να ςυμβοφν ςε διαφορετικά bytes. Αν είναι πικανόν να ςυμβοφν βλάβεσ όλα-0 και όλα-1, μποροφμε να επιλζξουμε τον μονό κϊδικα ιςοτιμίασ για ζνα byte και τον ηυγό κϊδικα για κάποιο άλλο byte. Μια παραλλαγι των παραπάνω είναι ο κϊδικασ ιςοτιμίασ πεπλεγμζνου byte (byte interlaced parity code). Για παράδειγμα, υποκζςτε ότι d = 64 και ςυμβολίςτε τα bits δεδομζνων με α 63, α 62,,α 0. Χρθςιμοποιείςτε οκτϊ bits ιςοτιμίασ ζτςι ϊςτε το πρϊτο να είναι το bit ιςοτιμίασ για τα α 63, α 55, α 47, α 39, α 31, α 23, α 15 και α 7, δθλαδι όλα τα πιο ςθμαντικά bits ςτα οκτϊ bytes. Με παρόμοιο τρόπο, τα εναπομείναντα επτά bits ιςοτιμίασ κα ανατεκοφν ζτςι ϊςτε τα αντίςτοιχα ςφνολα των bits να περιπλζκονται. Ζνα τζτοιο πλάνο είναι

5 ευεργετικό όταν το βραχυκφκλωμα των παρακείμενων bits αποτελεί ζναν κοινό τρόπο βλάβθσ (για παράδειγμα, μζςα ςε μια αρτθρία). Επιπρόςκετα, αν ο τφποσ ιςοτιμίασ (ηυγόσ ι μονόσ) εναλλάςςεται ανάμεςα ςτα ςφνολα, τα λάκθ όλα-0 και όλα-1 κα είναι ανιχνεφςιμα. Μια προζκταςθ τθσ ζννοιασ τθσ ιςοτιμίασ μπορεί να καταςτιςει το λάκοσ του κϊδικα διορκϊςιμο. Το απλοφςτερο ςχζδιο περιλαμβάνει τθν οργάνωςθ των δεδομζνων ςε ζναν διςδιάςτατο πίνακα, όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.3. Τα bits ιςοτιμίασ φαίνονται με ζντονθ γραφι. Το bit ςτο τζλοσ τθσ ςειράσ αναπαριςτά τθν ιςοτιμία τθσ εκάςτοτε ςειράσ. Το bit ςτθν τελευταία ςειρά είναι το bit τθσ αντίςτοιχθσ ςτιλθσ. Το πλάνο ηυγισ ιςοτιμίασ ακολουκείται και για τισ ςειρζσ αλλά και για τισ ςτιλεσ τθσ Εικόνασ 3.3. Ζνα απλό λάκοσ οπουδιποτε κα κάνει μια ςειρά και μια ςτιλθ να αναγνωριςτοφν ωσ ελαττωματικζσ. Επειδι κάκε ςειρά και κάκε ςτιλθ διαςταυρϊνονται ςε μια μοναδικι κζςθ bit, το εςφαλμζνο bit κα μπορεί να εντοπιςτεί και να διορκωκεί. Τα παραπάνω αποτελοφςαν ζνα παράδειγμα επικαλφπτουςασ ιςοτιμίασ (overlapping parity), κατά τθν οποία κάκε bit «καλφπτεται» από ζνα ι και περιςςότερα bits ιςοτιμίασ. Στθ ςυνζχεια, περιγράφουμε τθ γενικότερθ κεωρία που ςχετίηεται με τθν επικαλφπτουςα ιςοτιμία. Στόχοσ μασ είναι να είμαςτε ικανοί να αναγνωρίςουμε κάκε ελαττωματικό bit. Υποκζςτε ότι υπάρχουν d bits δεδομζνων. Ρόςα bits ιςοτιμίασ κα πρζπει να χρθςιμοποιθκοφν και ποια bits κα πρζπει να καλυφκοφν από κάκε bit ιςοτιμίασ; Ασ είναι r ο αρικμόσ των bits ιςοτιμίασ (bits ελζγχου) που προςκζτουμε ςτα d bits δεδομζνων που οδθγοφν ςε κωδικζσ λζξεισ μεγζκουσ d + r bits. Επομζνωσ, υπάρχουν d + r καταςτάςεισ λακϊν, όπου ςτθν i-οςτι κατάςταςθ, το i-οςτό bit τθσ κωδικι λζξθσ είναι εςφαλμζνο (αναλογιςτείτε πωσ αντιμετωπίηουμε μόνο απλά λάκθ. Το παρόν πλάνο δε δφναται να εντοπίςει όλα τα διπλά λάκθ). Επιπρόςκετα, υπάρχει θ κατάςταςθ όπου κανζνα bit δεν είναι ελαττωματικό. Ζτςι, οδθγοφμαςτε ςε d + r + 1 διακεκριμζνεσ καταςτάςεισ. Εντοπίηουμε ςφάλματα διενεργϊντασ r ελζγχουσ ιςοτιμίασ. Αυτό ςθμαίνει πωσ, για κάκε bit ιςοτιμίασ, ελζγχουμε αν θ ςυνολικι ιςοτιμία αυτοφ του bit και των bits δεδομζνων που το καλφπτουν, είναι ςωςτι. Αυτοί οι r ζλεγχοι ιςοτιμίασ μποροφν να παράξουν μζχρι και 2 r διαφορετικά αποτελζςματα ελζγχων. Άρα, ο ελάχιςτοσ αρικμόσ των bits ιςοτιμίασ είναι το μικρότερο r που ικανοποιεί τθν ακόλουκθ ανίςωςθ:

6 2 r d + r + 1 (3.1) Ρϊσ όμωσ κα αποφαςίςουμε ποια bits δεδομζνων κα καλυφκοφν και από ποιο bit ιςοτιμίασ; Συνδζουμε κάκε μια από τισ d + r + 1 καταςτάςεισ με ζνα από τα πικανά 2 r αποτελζςματα των r ελζγχων ιςοτιμίασ. Κάτι τζτοιο, όμωσ, περιγράφεται καλφτερα με ζνα παράδειγμα. ΡΑΑΔΕΙΓΜΑ Υποκζςτε ότι ζχουμε d = 4 bits δεδομζνων, α 3 α 2 α 1 α 0. Από τθν Εξίςωςθ 3.1 γνωρίηουμε πωσ r = 3 είναι ο ελάχιςτοσ αρικμόσ bits ιςοτιμίασ, που τα ςυμβολίηουμε με p 2 p 1 p 0. Υπάρχουν = 8 καταςτάςεισ μζςα ςτισ οποίεσ μπορεί να υπάρχει θ κωδικι λζξθ. Θ ολοκλθρωμζνθ κωδικι λζξθ των 7 bits είναι α 3 α 2 α 1 α 0 p 2 p 1 p 0, δθλαδι οι λιγότερο ςθμαντικζσ κζςεισ bit 0, 1 και 2 είναι τα bits ιςοτιμίασ ενϊ οι άλλεσ κζςεισ είναι τα bits δεδομζνων. Ο Ρίνακασ 3-1 δείχνει μια πικανι ανάκεςθ των αποτελεςμάτων των ελζγχων ιςοτιμίασ ςτισ καταςτάςεισ, κάτι που φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.4. Θ ανάκεςθ όπου δεν υπάρχουν κακόλου λάκθ ςτουσ ελζγχουσ ιςοτιμίασ ςτθν κατάςταςθ

7 «κακόλου λάκθ» είναι προφανισ, όπωσ και θ ανάκεςθ των υπόλοιπων τριϊν καταςτάςεων για τισ οποίεσ μόνο ζνασ ζλεγχοσ ιςοτιμίασ είναι εςφαλμζνοσ. Θ ανάκεςθ των τελευταίων τεςςάρων καταςτάςεων (που αντιςτοιχοφν ςε ζνα λάκοσ ςε bit δεδομζνων) ςτα εναπομείναντα τζςςερα αποτελζςματα των ελζγχων ιςοτιμίασ μπορεί να γίνει με 4! τρόπουσ. Ζνασ από αυτοφσ φαίνεται τον Ρίνακα 3-1 και ςτθν Εικόνα 3.4. Για παράδειγμα, αν οι δφο ζλεγχοι των p 0 και p 2 είναι λάκοσ, αυτό υποδεικνφει πρόβλθμα ςτθ κζςθ 4 όπου βρίςκεται το α 1. Ζνα bit ιςοτιμίασ κα καλφψει όλεσ τισ κζςεισ bits των οποίων το λάκοσ υποδεικνφεται με τον αντίςτοιχο ζλεγχο ιςοτιμίασ. Επομζνωσ, το p 0 καλφπτει τισ κζςεισ 0, 3, 4 και 6 (βλζπε Εικόνα 3.4), δθλαδι p 0 = α 0 α 1 α 3. Κατ αντιςτοιχία, p 1 = a 0 a 2 a 3 και p 2 = a 1 a 2 a 3. Για παράδειγμα, για τα bits δεδομζνων α 3 α 2 α 1 α 0 = 1100, τα παραγόμενα bits δεδομζνων είναι p 2 p 1 p 0 = 001. Υποκζςτε τϊρα ότι θ ολοκλθρωμζνθ κωδικι λζξθ αντιμετωπίηει ζνα απλό λάκοσ bit και γίνεται Υπολογίηουμε ξανά τα τρία bits ιςοτιμίασ, ζχοντασ p 2 p 1 p 0 = 111. Υπολογίηοντασ τθ διαφορά μεταξφ των νζων παραγόμενων τιμϊν των bits ιςοτιμίασ και των προθγοφμενων τιμϊν τουσ (διενεργϊντασ τθ λογικι πράξθ XOR) ζχουμε 110. Αυτι θ διαφορά, που καλείται ςφνδρομο (syndrome), δείχνει ποιοι ζλεγχοι ιςοτιμίασ ζχουν λάκοσ. Το ςφνδρομο 110 υποδεικνφει, βάςει του Ρίνακα 3-1, ότι το bit α 2 είναι λάκοσ και ότι τα ςωςτά δεδομζνα κα ζπρεπε να ιταν α 3 α 2 α 1 α 0 = Αυτόσ ο κϊδικασ λζγεται (7,4) κϊδικασ Hamming διόρκωςθσ απλοφ λάκουσ (SEC). Το ςφνδρομο (που είναι αποτζλεςμα των ελζγχων ιςοτιμίασ) μπορεί να υπολογιςτεί απευκείασ από τα bits α 3 α 2 α 1 α 0 p 2 p 1 p 0 ςε ζνα βιμα. Αυτό παρουςιάηεται καλφτερα από τον ακόλουκο πίνακα ςτον οποίον όλεσ οι προςκζςεισ είναι modulo-2. Αυτόσ ο πίνακασ ονομάηεται πίνακασ ελζγχου ιςοτιμίασ (parity check matrix): Για όλα τα ςφνδρομα που παράγονται με αυτόν τον τρόπο (βλζπε Ρίνακα 3-1), εκτόσ των 011 και 100, μποροφμε να αφαιρζςουμε 1 από το υπολογιςμζνο ςφνδρομο για να πάρουμε το περιεχόμενο του bit που ζχει το λάκοσ. Τροποποιοφμε τθν ανάκεςθ των καταςτάςεων ςτα

8 αποτελζςματα ελζγχου ιςοτιμίασ ζτςι ϊςτε το υπολογιςμζνο ςφνδρομο να παρζχει για όλεσ τισ περιπτϊςεισ (εκτόσ, προφανϊσ, από τθν περίπτωςθ κανενόσ λάκουσ) το περιεχόμενο του λάκουσ bit μετά τθν αφαίρεςθ τθσ μονάδασ. Για το παραπάνω παράδειγμα, θ ςειρά α 3 α 2 α 1 α 0 p 2 p 1 p 0 κα παρζχει τα επικυμθτά ςφνδρομα. Αν τροποποιιςουμε τθ κζςθ των bits ζτςι ϊςτε να ξεκινοφν με μονάδα για να μθν καταφεφγουμε ςτθν αφαίρεςι τθσ, ζχουμε τον ακόλουκο πίνακα ελζγχου ιςοτιμίασ: Σθμειϊςτε πωσ τϊρα οι κζςεισ των bits για όλα τα bits ιςοτιμίασ είναι δυνάμεισ του 2 (δθλαδι 1, 2 και 4) και οι δυαδικζσ αναπαραςτάςεισ διαμορφϊνουν τον πίνακα ελζγχου ιςοτιμίασ. Αν 2 r d + r + 1, χρειάηεται να διαλζξουμε d + r + 1 ςυνδυαςμοφσ από τουσ 2 r για ςφνδρομα. Σε μια τζτοια περίπτωςθ, είναι ςυνετό να αποφφγουμε εκείνουσ τουσ ςυνδυαςμοφσ που περιζχουν μεγάλο αρικμό μονάδων. Αυτό κα οδθγιςει ςε ζναν πίνακα ελζγχου ιςοτιμίασ που κα περιζχει λιγότερεσ μονάδεσ, άρα κα ζχει απλοφςτερα κυκλϊματα για τισ λειτουργίεσ κρυπτογράφθςθσ και αποκρυπτογράφθςθσ. Για παράδειγμα, για d = 3 κζτουμε r = 3, αλλά χρειάηονται μόνο επτά από τουσ οκτϊ δυαδικοφσ ςυνδυαςμοφσ των 3 bits. Θ Εικόνα 3.5 δείχνει δφο πικανοφσ πίνακεσ ελζγχου ιςοτιμίασ: ο (α) χρθςιμοποιεί τον ςυνδυαςμό 111 ενϊ ο (β) δεν τον χρθςιμοποιεί. Σαν αποτζλεςμα, το κφκλωμα κρυπτογράφθςθσ για τον πίνακα (α) κα απαιτεί μια μόνο πφλθ XOR για τθν παραγωγι των p 2 και p 1

9 και δφο πφλεσ XOR για τθν παραγωγι του p 0. Αντίκετα, το κφκλωμα κρυπτογράφθςθσ του πίνακα (β) χρειάηεται μια μόνο πφλθ XOR για τθν παραγωγι κάκε bit ιςοτιμίασ. Ο κϊδικασ του Ρίνακα 3-1 είναι ικανόσ να διορκϊςει ζνα απλό λάκοσ bit αλλά δεν μπορεί να εντοπίςει κάποιο διπλό λάκοσ. Για παράδειγμα, αν δφο λάκθ ςυμβοφν ςτο , οδθγϊντασ ςτο (είναι λάκοσ τα α 2 και α 1 ), το ςφνδρομο που κα προκφψει είναι το 011, υποδεικνφοντασ λανκαςμζνα πωσ το bit α 0 κα πρζπει να διορκωκεί. Ζνασ τρόποσ για να βελτιϊςουμε τισ δυνατότθτεσ τθσ ανίχνευςθσ λακϊν είναι να προςκζςουμε ζνα επιπλζον bit ελζγχου που κα παίηει το ρόλο του bit ιςοτιμίασ όλων των δεδομζνων και bits ελζγχου. Ο κϊδικασ αυτόσ καλείται κϊδικασ Hamming (8, 4) διόρκωςθσ απλοφ λάκουσ ανίχνευςθσ διπλοφ λάκουσ (single error correcting / double error detecting SEC DED Hamming code). Θ παραγωγι του ςυνδρόμου για αυτόν τον κϊδικα παρουςιάηεται παρακάτω: Ππωσ και πριν, τα τρία τελευταία bits του ςυνδρόμου υποδεικνφουν το bit που ζχει λάκοσ και πρζπει να διορκωκεί, αρκεί το πρϊτο bit, το s 3, να είναι ίςο με τθ μονάδα. Αφοφ το p 3 είναι το bit ιςοτιμίασ για όλα τα δεδομζνα και τα bits ελζγχου, ζνα λάκοσ απλοφ bit αλλάηει τθ ςυνολικι ιςοτιμία, και ςαν αποτζλεςμα, το s 3 πρζπει να είναι ίςο με τθ μονάδα. Αν το s 3 είναι μθδζν και οποιοδιποτε από τα υπόλοιπα bits του ςυνδρόμου δεν είναι μθδενικό, παράγεται ζνα διπλό ι ακόμθ και μεγαλφτερου βακμοφ λάκοσ. Για παράδειγμα, αν προκφψει ζνα λάκοσ ςτο και γίνει τότε , το υπολογιςμζνο ςφνδρομο είναι 1110, υποδεικνφοντασ, όπωσ και πριν, ότι το α 2 ζχει λάκοσ. Αν, παρόλα αυτά, προκφψουν δφο λάκθ, οδθγϊντασ ςε αποτζλεςμα , το υπολογιςμζνο ςφνδρομο είναι τϊρα 0011, κάτι που ςθμαίνει πωσ ςυνζβθ ζνα μθ διορκϊςιμο λάκοσ (uncorrectable error). Εν γζνει, ζνασ ηυγόσ αρικμόσ λακϊν είναι ανιχνεφςιμοσ

10 ενϊ ζνασ μονόσ αρικμόσ (και μεγαλφτεροσ τθσ μονάδασ) είναι δυςδιάκριτοσ από ζνα λάκοσ απλοφ bit, οδθγϊντασ ζτςι ςε μια εςφαλμζνθ διόρκωςθ. Τα ςφγχρονα κυκλϊματα μνιμθσ που ζχουν υποςτιριξθ SEC / DED (δεν ζχουν όλα) χρθςιμοποιοφν είτε (39, 7) είτε (72, 8) κϊδικα Hamming. Αφοφ τα λάκθ ςε δφο παρακείμενα κελιά μνιμθσ μοιάηουν αρκετά, τα bits ςε μια απλι λζξθ μνιμθσ ςυχνά ανατίκενται ςε μθ γειτονικά κελιά για να μειωκεί θ πικανότθτα ενόσ μθ διορκϊςιμου διπλοφ λάκουσ ςτθν ίδια λζξθ. Το μειονζκτθμα του παραπάνω SEC / DED κϊδικα Hamming είναι πωσ ο υπολογιςμόσ του επιπλζον bit ελζγχου, που αποτελεί το bit ιςοτιμίασ για όλα τα bits ελζγχου και δεδομζνων, ενδζχεται να κακυςτεριςει τθν κρυπτογράφθςθ και τθν αποκρυπτογράφθςθ. Ζνασ τρόποσ αποφυγισ αυτισ τθσ ποινισ αλλά ταυτόχρονα και τθσ διατιρθςθσ τθσ ικανότθτασ ανίχνευςθσ διπλϊν λακϊν είναι θ ανάκεςθ ςτα bits δεδομζνων και ελζγχου μόνο ςφνδρομα που περιζχουν μονό αρικμό από μονάδεσ. Σθμειϊςτε πωσ ςτον αρχικό SEC κϊδικα Hamming, κάκε bit ιςοτιμίασ ζχει ζνα ςφνδρομο που περιζχει μονάχα μια μονάδα. Αν περιοριςτοφμε ςτθ χριςθ ςυνδρόμων που περιζχουν περιττό αρικμό μονάδων (για κάκε λάκοσ απλοφ bit), ζνα διπλό λάκοσ κα οδθγιςει ςε ζνα ςφνδρομο με ηυγό πλικοσ μονάδων, υποδεικνφοντασ κάποιο λάκοσ που δεν κα μπορεί να διορκωκεί. Ζνασ πικανόσ πίνακασ ελζγχου ιςοτιμίασ για ζναν τζτοιον (8, 4) SEC / DED κϊδικα Hamming φαίνεται παρακάτω: Ο περιοριςμόσ ςε περιττά ςφνδρομα υπονοεί πωσ χρθςιμοποιοφμε μόνο 2 r-1 από τουσ 2 r ενδεχόμενουσ ςυνδυαςμοφσ. Αυτό είναι κάτι αντίςτοιχο με το να ποφμε ότι χρειαηόμαςτε ζνα επιπλζον bit ελζγχου πζραν του ελάχιςτου που απαιτείται για ζναν SEC κϊδικα Hamming. Ο ςυνολικόσ αρικμόσ των bits ελζγχου είναι ο ίδιοσ με εκείνον ςτον SEC / DED κϊδικα Hamming. Αν το πλικοσ των bits δεδομζνων είναι πολφ μεγάλο, θ πικανότθτα να υπάρχει λάκοσ που δεν μπορεί να διορκωκεί από ζναν κϊδικα SEC αυξάνει. Για να μειωκεί αυτι θ πικανότθτα, ίςωσ χρειαςτεί να διαιρζςουμε τα D bits δεδομζνων ςε D / d, ασ ποφμε, ίςα κομμάτια (d bits το κακζνα) και να κρυπτογραφιςουμε ξεχωριςτά το κάκε κομμάτι χρθςιμοποιϊντασ τον κατάλλθλο (d + r, d) SEC κϊδικα Hamming. Κάτι τζτοιο, ωςτόςο, κα αυξιςει το φόρτο r / d που τίκεται από τον κϊδικα SEC. Ζχουμε ζτςι μια ςυναλλαγι (tradeoff) μεταξφ τθσ πικανότθτασ ενόσ μθ διορκϊςιμου λάκουσ και του φόρτου. Αν f είναι θ πικανότθτα ενόσ λάκουσ bit και αν αυτά προκφπτουν ανεξάρτθτα το ζνα από το άλλο, θ πικανότθτα φπαρξθσ περιςςότερων του ενόσ λάκουσ bit ςε d + r bits δίνεται από τον τφπο:

11 ( d, r) 1 (1 f ) ( d r) f (1 f ) d rd r 1 2 d r d r1 f 2, f 1 (3.2) Θ πικανότθτα φπαρξθσ ενόσ μθ διορκϊςιμου λάκουσ ςε κάποιο από τα D / d κομμάτια δίνεται από τον τφπο: D, d, r 1 1 d, r D d d r d r Dd / /,,, 1 (3.3) Κάποια αρικμθτικά δεδομζνα που δείχνουν τθ ςυναλλαγι παρζχονται ςτον Ρίνακα Άθροιςμα Ελζγχου Το άκροιςμα ελζγχου (checksum) χρθςιμοποιείται κυρίωσ για τθν ανίχνευςθ λακϊν ςτθ μετάδοςθ δεδομζνων μζςω καναλιϊν επικοινωνίασ. Θ βαςικι ιδζα είναι να προςκζςουμε το μπλοκ δεδομζνων που μεταδίδεται και να το μεταδϊςουμε και αυτό. Ο αποδζκτθσ ακροίηει τα δεδομζνα που ζλαβε και ςυγκρίνει αυτό το άκροιςμα με το άκροιςμα ελζγχου που ζλαβε. Αν αυτά δεν ταιριάηουν, υποδεικνφεται λάκοσ.

12 Υπάρχουν αρκετζσ παραλλαγζσ ακροιςμάτων ελζγχου. Υποκζςτε πωσ οι λζξεισ δεδομζνων ζχουν μικοσ d bits. Στθν ζκδοςθ απλισ ακρίβειασ (single precision), το άκροιςμα ελζγχου είναι μια πρόςκεςθ modulo-2 d. Στθν ζκδοςθ διπλισ ακρίβειασ (double precision), το άκροιςμα ελζγχου είναι μια πρόςκεςθ modulo-2 2d. Θ Εικόνα 3.6 δείχνει ζνα παράδειγμα για τθν κάκε ζκδοςθ. Γενικά, το άκροιςμα ελζγχου απλισ ακρίβειασ εντοπίηει λιγότερα λάκθ από τθν ζκδοςθ διπλισ ακρίβειασ, αφοφ εμείσ κρατάμε τα πιο δεξιά d bits του ακροίςματοσ. Το άκροιςμα ελζγχου υπολοίπου (residue checksum) λαμβάνει υπόψθ του το κρατοφμενο (carry out) του d-οςτοφ bit, δθλαδι το κρατοφμενο ακροίηεται ςτο λιγότερο ςθμαντικό bit του ακροίςματοσ ελζγχου, και γι αυτό το λόγο είναι κάπωσ πιο αξιόπιςτο. Το άκροιςμα ελζγχου Honeywell προςτατεφει από λάκθ που ςυμβαίνουν ςτθν ίδια κζςθ ςυγκεντρϊνοντασ λζξεισ ςε ηεφγθ για τον υπολογιςμό του ακροίςματοσ ελζγχου (modulo-2 2d ). Ραραδείγματοσ χάρθ, αναλογιςτείτε τθν κατάςταςθ ςτθν Εικόνα 3.7. Επειδι το α 3 είναι κολλθμζνο ςτο μθδζν, ο αποδζκτθσ κα δει ότι το εκπεμπόμενο άκροιςμα ελζγχου και το δικό του (που ζχει υπολογίςει) ταιριάηουν ςτο άκροιςμα ελζγχου απλισ ακρίβειασ. Ραρόλα αυτά, το άκροιςμα ελζγχου Honeywell, όταν υπολογίηεται βάςει των λθφκζντων δεδομζνων, κα διαφζρει από το λαμβανόμενο άκροιςμα ελζγχου και κα διαγνωςτεί λάκοσ. Πλα τα πλάνα ακροίςματοσ ελζγχου επιτρζπουν τθν ανίχνευςθ λακϊν αλλά όχι τθν τοποκζτθςι τουσ (error location). Ολόκλθρο το μπλοκ των δεδομζνων πρζπει να μεταδοκεί ξανά αν ζχει εντοπιςτεί κάποιο λάκοσ.

13 3.1.3 Κώδικεσ M-of-N Ο κϊδικασ M-of-N αποτελεί παράδειγμα ενόσ μονοκατευκυντικοφ (unidirectional) κϊδικα ανίχνευςθσ λακϊν. Ππωσ είναι και το όνομά του, όλα τα μονοκατευκυντικά λάκθ επθρεάηουν τα bits προσ μια κατεφκυνςθ, είτε προσ το 0 είτε προσ το 1, αλλά όχι και ςτισ δφο κατευκφνςεισ μαηί.

14 Σε ζναν κϊδικα M-of-N, κάκε κωδικι λζξθ των N bits ζχει ακριβϊσ M bits που είναι μονάδα, M οδθγϊντασ ςε N κωδικζσ λζξεισ. Οποιοδιποτε λάκουσ απλοφ bit κα αλλάξει το πλικοσ των μονάδων ςε Μ + 1 είτε ςε Μ 1 και κα ανιχνευτεί. Ακόμθ, κα μποροφν να ανιχνευτοφν και τα μονοκατευκυντικά πολλαπλά λάκθ. Ζνα απλό παράδειγμα ενόσ κϊδικα M-of-N είναι ο κϊδικασ 2- of-5, οποίοσ αποτελείται από 10 κωδικζσ λζξεισ. Ο κϊδικασ αυτόσ μπορεί να κρυπτογραφιςει τα δεκαδικά ψθφία. Ζνα παράδειγμα αυτοφ του κϊδικα δίνεται ςτον Ρίνακα 3-3. Υπάρχουν 10! Διαφορετικοί τρόποι ανάκεςθσ των 10 κωδικϊν λζξεων ςτα δεκαδικά ψθφία. Θ ανάκεςθ που παρουςιάηεται εδϊ διατθρεί τθ δυαδικι ςειρά. Το κφριο πλεονζκτθμα των κωδίκων M-of-N είναι θ εννοιολογικι τουσ απλότθτα. Ραρόλα αυτά, θ κρυπτογράφθςθ και θ αποκρυπτογράφθςθ γίνονται ςχετικά πολφπλοκεσ λειτουργίεσ επειδι τζτοιοι κϊδικεσ, γενικά, είναι μθ διαχωρίςιμοι, αντίκετα με τουσ κϊδικεσ ιςοτιμίασ και ακροίςματοσ ελζγχου. Εντοφτοισ, μποροφν να καταςκευαςτοφν διαχωρίςιμοι κϊδικεσ M-of-N. Για παράδειγμα, ο κϊδικασ M-of-2Μ καταςκευάηεται αν προςτεκοφν Μ bits ελζγχου ςτα δοκζντα M bits δεδομζνων, ζτςι ϊςτε θ κωδικι λζξθ των 2Μ bits που προκφπτει να ζχει ακριβϊσ Μ μονάδεσ. Τζτοιοι κϊδικεσ είναι εφκολοι ςτθν κρυπτογράφθςθ και ςτθν αποκρυπτογράφθςθ αλλά ζχουν μεγαλφτερο φόρτο (πάνω από 100%) από εκείνον των μθ διαχωρίςιμων κωδίκων. Ραραδείγματοσ χάρθ, για να κρυπτογραφιςουμε 10 δεκαδικά ψθφία, ξεκινάμε με 4 bits ανά ψθφίο, οδθγοφμενοι ςε ζναν κϊδικα 4-of-8, ο οποίοσ ζχει πολφ υψθλότερο επίπεδο πλεοναςμοφ από εκείνο του κϊδικα 2-of-5.

15 3.1.4 Κώδικασ Berger Ο κϊδικασ M-of-2Μ για τον εντοπιςμό μονοκατευκυντικϊν λακϊν είναι ζνασ διαχωρίςιμοσ κϊδικασ αλλά ζχει υψθλό επίπεδο πλεοναςμοφ πλθροφορίασ. Ζνασ κϊδικασ ανίχνευςθσ μονοκατευκυντικϊν λακϊν που είναι διαχωρίςιμοσ και ζχει μικρότερο φόρτο είναι ο κϊδικασ Berger. Για τθν κρυπτογράφθςθ, μετράει το πλικοσ των μονάδων μζςα ςτθ λζξθ, εκφράηει τον αρικμό αυτόν δυαδικά, βρίςκει το ςυμπλιρωμά του και ανακζτει τθν ποςότθτα αυτι ςτα δεδομζνα. Για παράδειγμα, υποκζςτε πωσ πρζπει να κρυπτογραφιςουμε τθν λζξθ Υπάρχουν τζςςερισ άςςοι μζςα τθσ, δθλαδι 100 με δυαδικι γραφι. Το ςυμπλιρωμά του είναι το 011 και θ κωδικι λζξθ κα είναι Ο φόρτοσ του κϊδικα Berger υπολογίηεται παρακάτω. Αν υπάρχουνd bits δεδομζνων, τότε κα υπάρχουν το πολφ d άςςοι ςε αυτά, που χρειάηονται μζχρι log 2 d 1 bits για να απαρικμθκοφν. Ο φόρτοσ ανά bit δεδομζνων δίνεται επομζνωσ από τον τφπο: log 2 d 1 d Αυτόσ ο φόρτοσ υπάρχει πινακοποιθμζνοσ για κάποιεσ τιμζσ του d ςτον Ρίνακα 3-4. Αν d = 2 k 1 για ζναν ακζραιο αρικμό k, τότε το πλικοσ των bits ελζγχου, που ςυμβολίηεται με r, είναι r = k. Ο κϊδικασ αυτόσ καλείται κϊδικασ Berger μζγιςτου μικουσ (maximum-length Berger code). Για τισ

16 δυνατότθτεσ ανίχνευςθσ μονοκατευκυντικϊν λακϊν, ο κϊδικασ Berger απαιτεί τον μικρότερο αρικμό bits ελζγχου από όλουσ τουσ γνωςτοφσ διαχωρίςιμουσ κϊδικεσ Κυκλικοί Κώδικεσ Στουσ κυκλικοφσ κϊδικεσ, θ κρυπτογράφθςθ των δεδομζνων αποτελείται από τον πολλαπλαςιαςμό (modulo-2) τθσ λζξθσ δεδομζνων με ζναν ςτακερό αρικμό. Το γινόμενο αποτελεί και τθν κωδικι λζξθ. Θ αποκρυπτογράφθςθ γίνεται με τθ διαίρεςθ με τθν ίδια ςτακερά: αν το υπόλοιπο δεν είναι μθδενικό, φαίνεται ότι ζχει ςυμβεί κάποιο λάκοσ. Αυτοί οι κϊδικεσ καλοφνται κυκλικοί (cyclic codes) επειδι για κάκε κωδικι λζξθ α n-1, α n-2,, α 0, θ κυκλικι τθσ μετατόπιςθ α 0, α n-1, α n-2,, α 1 είναι και αυτι μια κωδικι λζξθ. Για παράδειγμα, ο κϊδικασ των 5 bits που αποτελείται από,00000, 00011, 00110, 01100, 11000, 10001, 00101, 01010, 10100, 01001, 10010, 01111, 11110, 11101, 11011, είναι επίςθσ κυκλικόσ. Οι κυκλικοί κϊδικεσ είναι ςτο επίκεντρο τθσ προςοχισ και χρθςιμοποιοφνται ευρζωσ ςτθν αποκικευςθ δεδομζνων και ςτισ επικοινωνίεσ. Εδϊ, κα παρουςιάςουμε μονάχα ζνα μικρό δείγμα αυτισ τθσ δουλειάσ: θ κεωρία των κυκλικϊν κωδίκων βαςίηεται ςε προθγμζνθ άλγεβρα, που δεν αποτελεί αντικείμενο ςυηιτθςθσ ςτο παρόν βιβλίο. Οι αναγνϊςτεσ που ενδιαφζρονται μποροφν να απευκυνκοφν ςτο Εδάφιο τθσ Ρεραιτζρω Μελζτθσ. Υποκζςτε πωσ k είναι ο αρικμόσ των bits που ψάχνουμε να κρυπτογραφιςουμε. Θ κρυπτογραφθμζνθ λζξθ μικουσ n bits βρίςκεται αν πολλαπλαςιάςουμε τα k bits δεδομζνων με ζναν αρικμό που ζχει μικοσ n k + 1 bits. Στθ κεωρία των κυκλικϊν κωδίκων, ο πολλαπλαςιαςτισ παρουςιάηεται ςαν ζνα πολυϊνυμο, που ονομάηεται πολυϊνυμο γεννιτρια (generator polynomial). Οι άςςοι και τα μθδενικά ςτον πολλαπλαςιαςτι των (n k + 1) bits κεωροφνται ςυντελεςτζσ ενόσ πολυωνφμου βακμοφ (n k). Για παράδειγμα, αν ο πολλαπλαςιαςτισ των 5 bits είναι ο 11001, το πολυϊνυμο γεννιτρια κα είναι το G(x) = 1 X X X X X 0 = X 4 + X Ο κυκλικόσ κϊδικασ που χρθςιμοποιεί ζνα πολυϊνυμο γεννιτρια βακμοφ n k και ςυνολικό πλικοσ κρυπτογραφθμζνων bits ίςο με n, καλείται κυκλικόσ κϊδικασ (n, k). Αυτόσ ο κϊδικασ είναι ικανόσ να εντοπίςει όλα τα απλά λάκθ και τισ εκτελζςεισ των γειτονικϊν λακϊν bits, αρκεί βζβαια αυτζσ να είναι μικρότερεσ από n k. Αυτοί οι κϊδικεσ είναι επομζνωσ πολφ χριςιμοι ςε εφαρμογζσ όπωσ είναι θ αςφρματθ επικοινωνία, όπου τα κανάλια ζχουν ςυνικωσ κόρυβο και υποβάλλουν τθ μετάδοςθ ςε παρεμβολζσ που ενδεχομζνωσ να οδθγιςουν ςε παρακείμενα λάκθ bits. Για να είναι ζνα πολυϊνυμο βακμοφ n k ζνα πολυϊνυμο γεννιτρια ενόσ κυκλικοφ κϊδικα (n, k), κα πρζπει να ζχει παράγοντα Χ n 1. Το πολυϊνυμο X 4 + X είναι παράγοντασ του Χ 15 1 και επομζνωσ μπορεί να παίξει το ρόλο του πολυωνφμου γεννιτρια για ζναν κυκλικό κϊδικα (15, 11). Ζνασ

17 επιπλζον παράγοντασ Χ 15 1 είναι το X 4 + X + 1, το οποίο μπορεί να παράξει ακόμθ ζναν κυκλικό κϊδικα (15, 11). Το πολυϊνυμο Χ 15 1 ζχει πζντε πρϊτουσ παράγοντεσ, οι οποίοι είναι: X 15 1 = (X + 1)(X 2 + X + 1)(X 4 + X + 1)(X 4 + X 3 + 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) Ο κακζνασ από αυτοφσ τουσ παράγοντεσ και κάκε προϊόν αυτϊν (δφο ι και περιςςότερων) μπορεί να παίξει το ρόλο του πολυωνφμου γεννιτρια για ζναν κυκλικό κϊδικα. Ραραδείγματοσ χάρθ, το προϊόν των δφο πρϊτων παραγόντων είναι το (X + 1)(X 2 + X + 1) = X Αυτό μπορεί να παράξει ζναν κυκλικό κϊδικα (15, 12). Κατά τον πολλαπλαςιαςμό του X + 1 με το X 2 + X + 1, ςθμειϊςτε πωσ όλεσ οι προςκζςεισ γίνονται modulo-2. Ακόμθ, ςθμειϊςτε πωσ θ αρικμθτικι αφαίρεςθ ςε modulo- 2 είναι πανομοιότυπθ με τθν πρόςκεςθ, και επομζνωσ το X 15 1 είναι ίδιο με το X Ο κυκλικόσ κϊδικασ των 5 bits που αναφζρκθκε ςτθν αρχι του εδάφιου αυτοφ ζχει πολυϊνυμο γεννιτρια το X + 1, ικανοποιϊντασ τθ ςχζςθ X 5 1 = (X + 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) και είναι ζνασ κυκλικόσ κϊδικασ (5, 4). Μποροφμε να πιςτοποιιςουμε πωσ το Χ + 1 είναι πολυϊνυμο γεννιτρια για τον παραπάνω κυκλικό κϊδικα (5, 4) πολλαπλαςιάηοντασ όλεσ τισ λζξεισ δεδομζνων των 4 bits (από τθν 0000 μζχρι τθν 1111) με Χ + 1 ι με 11 ςτο δυαδικό ςφςτθμα. Για παράδειγμα, θ κωδικι λζξθ που αντιςτοιχεί ςτθ λζξθ δεδομζνων 0110 είναι θ 01010, όπωσ κα δείξουμε. Θ λζξθ δεδομζνων 0110 μπορεί να γραφτεί ςαν X 2 + X και όταν κα πολλαπλαςιαςτεί με Χ + 1, κα οδθγιςει ςτθν X 3 + X 2 + X 2 + X = X 3 + Χ, θ οποία αναπαριςτά τθν κωδικι λζξθ των 5 bits Ο πολλαπλαςιαςμόσ με το πολυϊνυμο γεννιτρια μπορεί επίςθσ να γίνει απευκείασ με δυαδικι αρικμθτικι και όχι με τθ χριςθ πολυωνφμων. Για παράδειγμα, θ κωδικι λζξθ που αντιςτοιχεί ςτθ λζξθ δεδομζνων 1110 βρίςκεται αν πολλαπλαςιάςουμε τθν 1110 με το 11 ςε αρικμθτικι modulo- 2, όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.8. Σθμειϊςτε ότι αυτόσ ο κυκλικόσ κϊδικασ δεν είναι διαχωρίςιμοσ. Τα bits δεδομζνων και ελζγχου μζςα ςτθν κωδικι λζξθ δεν είναι διαχωρίςιμα.

18 Ζνασ από τουσ πιο ςθμαντικοφσ λόγουσ δθμοτικότθτασ των κυκλικϊν κωδίκων είναι το γεγονόσ ότι ο πολλαπλαςιαςμόσ και θ διαίρεςθ με το πολυϊνυμο γεννιτρια μπορεί να υλοποιθκεί ςτο υλικό με τθ χριςθ απλϊν καταχωρθτϊν μετατόπιςθσ και πυλϊν XOR. Μια τζτοια απλι υλοποίθςθ επιτρζπει τθ γριγορθ κρυπτογράφθςθ και αποκρυπτογράφθςθ. Ασ ξεκινιςουμε με ζνα παράδειγμα: κεωρείςτε το πολυϊνυμο γεννιτρια X 4 + X (που αντιςτοιχεί, όπωσ ζχουμε δείξει, ςτον πολλαπλαςιαςτι 11001). Θεωρείςτε ακόμθ το κφκλωμα τθσ Εικόνασ 3.9, όπου τα τετράγωνα κουτιά είναι ςτοιχεία κακυςτζρθςθσ, τα οποία ςυγκρατοφν τθν είςοδό τουσ για ζναν κφκλο ρολογιοφ. Ο αναγνϊςτθσ κα καταλάβει πωσ πραγματικά το κφκλωμα αυτό πολλαπλαςιάηει (modulo- 2) τισ ςειριακζσ ειςόδουσ με Για να καταλάβουμε γιατί ςυμβαίνει αυτό, παρατθροφμε τον πολλαπλαςιαςμό που φαίνεται ςτθν Εικόνα προςζξτε τθν ςτιλθ που βρίςκεται μζςα ςτο κουτί. Δείχνει πϊσ το πζμπτο bit είναι άκροιςμα modulo-2 από τα αντίςτοιχα bits του πολλαπλαςιαςτζου που μετατοπίςτθκαν μθδζν φορζσ, τρεισ φορζσ και τζςςερισ φορζσ. Αν ο πολλαπλαςιαςτζοσ τροφοδοτείται ςειριακά, ξεκινϊντασ από το λιγότερο ςθμαντικό bit ενϊ εμείσ προςκζτουμε τον πολλαπλαςιαςτζο όπωσ περιγράφθκε παραπάνω, φτάνουμε ςτο αποτζλεςμά μασ. Είναι ακριβϊσ αυτι θ μετατόπιςθ που γίνεται από τα ςτοιχεία κακυςτζρθςθσ του κυκλϊματοσ. Ο Ρίνακασ 3-5 παρουςιάηει τθ λειτουργία κρυπτογράφθςθσ του κυκλϊματοσ ςτο οποίο i 3 είναι θ είςοδοσ του ςτοιχείου κακυςτζρθςθσ Ο 3.

19

20 Σε αυτό το ςθμείο μελετάμε τθ διαδικαςία αποκρυπτογράφθςθσ, θ οποία γίνεται με διαίρεςθ με το πολυϊνυμο γεννιτρια. Ρρϊτα, ασ απεικονίςουμε τθ διαδικαςία αυτι μζςω τθσ διαίρεςθσ με τθν ςτακερά 11001, όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.11 α. το τελικό υπόλοιπο είναι μθδζν, κάτι που υποδεικνφει ότι δεν ζχει εντοπιςτεί κανζνα λάκοσ. Αν προκφψει απλό λάκοσ και λάβουμε (θ μονάδα με τθν ζντονθ γραφι είναι το λάκοσ bit), θ διαίρεςθ κα δθμιουργιςει ζνα μθ μθδενικό υπόλοιπο, όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.11 β. για να δείξουμε ότι κάκε απλό λάκοσ μπορεί να εντοπιςτεί, λάβετε υπόψθ ςασ ότι ζνα απλό λάκοσ ςτθν i-οςτι κζςθ bit αναπαρίςταται με X i και θ λαμβανόμενθ κωδικι λζξθ που περιζχει ζνα τζτοιο λάκοσ γράφεται ςαν D(X)G(X) + X i, όπου D(X) είναι θ αρχικι λζξθ δεδομζνων και G(X) είναι το πολυϊνυμο γεννιτρια. Αν το G(X) ζχει τουλάχιςτον δφο όρουσ, δεν διαιρεί το X i, και ςυνεπϊσ, θ διαίρεςθ του D(X)G(X) + X i με το G(X) κα είναι ατελισ, αφινοντασ κάποιο μθ μθδενικό υπόλοιπο. Ο παραπάνω κυκλικόσ κϊδικασ (15, 11) ζχει απόςταςθ Hamming ίςθ με τρία και ζτςι επιτρζπει τθν ανίχνευςθ όλων των διπλϊν λακϊν bits, ανεξάρτθτα τθσ κζςθσ των bits τουσ. Θ κατάςταςθ είναι διαφορετικι όταν προκφπτουν λάκθ τριϊν bits. Υποκζςτε πρϊτα ότι τα λάκθ των τριϊν bits προκφπτουν ςε μθ παρακείμενεσ κζςεισ bits, παράγοντασ, για παράδειγμα, αντί για Θ επανάλθψθ τθσ παραπάνω διαίρεςθσ για αυτιν τθν κωδικι λζξθ ζχει ςαν αποτζλεςμα το πθλίκο (quotient) και το υπόλοιπο (remainder) που φαίνονται ςτθν Εικόνα 3.12 α. το τελικό υπόλοιπο είναι μθδζν, και ςυνεπϊσ, τα λάκθ των τριϊν bits δεν ανιχνεφτθκαν, παρόλο που το τελικό αποτζλεςμα είναι εςφαλμζνο. Αν,ωςτόςο, τα λάκθ τριϊν bits είναι γειτονικά, όπωσ για παράδειγμα , τότε ζχουμε το πθλίκο και το υπόλοιπο που φαίνεται ςτθν Εικόνα 3.12 β. Το μθ μθδενικό υπόλοιπο υποδεικνφει λάκοσ. Για να υλοποιιςουμε το κφκλωμα διαίρεςθσ, πρζπει να κατανοιςουμε πωσ θ διαίρεςθ μπορεί να επιτευχκεί με πολλαπλαςιαςμό ςτο βρόχο ανατροφοδότθςθσ. Αυτό παρουςιάηουμε με το ακόλουκο παράδειγμα.

21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ασ εκφράςουμε τθν κρυπτογραφθμζνθ λζξθ με το πολυϊνυμο Ε(Χ) και ασ χρθςιμοποιιςουμε τουσ προθγοφμενουσ ςυμβολιςμοφσ για G(X) και D(X) για το πολυϊνυμο γεννιτρια και τθν αρχικι λζξθ δεδομζνων, αντίςτοιχα. Αν δεν υπάρχουν κακόλου λάκθ ςε bits, κα λάβουμε Ε(Χ) και κα EX ( ) υπολογίςουμε το D(X) από τον τφπο DX ( ), ενϊ το υπόλοιπο κα είναι μθδενικό. Σε μια GX ( ) τζτοια περίπτωςθ, μποροφμε να ξαναγράψουμε τθν διαίρεςθ ςαν E(X) = D(X) G(X) = D(X){X 4 + X 3 + 1} = D(X){X 4 + X 3 } + D(X) Επομζνωσ D(X) = E(X) D(X){X 4 + X 3 = E(X) + D(X){X 4 + X 3 } (επειδι ιςχφει ότι πρόςκεςθ = αφαίρεςθ modulo-2)

22 Με αυτιν τθν τελευταία ζκφραςθ, μποροφμε να καταςκευάςουμε το κφκλωμα ανατροφοδότθςθσ για τθν διαίρεςθ (βλζπε Εικόνα 3.13). Ξεκινάμε με όλα τα ςτοιχεία κακυςτζρθςθσ που είναι μθδενικά, παράγουμε πρϊτα τα επτά bits πθλίκου που αποτελοφν τα bits δεδομζνων και μετά τα τζςςερα εναπομείναντα bits. Αν αυτά τα bits είναι μθ μθδενικά, γνωρίηουμε ότι ζχει προκφψει λάκοσ. Ο Ρίνακασ 3-6 απεικονίηει τθ λειτουργία αποκρυπτογράφθςθσ ςτθν οποία θ i 3 είναι θ είςοδοσ ςτο Ο 3 ςτοιχείο κακυςτζρθςθσ. Ο αναγνϊςτθσ μπορεί να πιςτοποιιςει πωσ οποιοδιποτε λάκοσ ςτθν λαμβανόμενθ ακολουκία Ε(Χ) κα οδθγιςει ςε ζνα μθ μθδενικό υπόλοιπο. Σε πολλζσ εφαρμογζσ μεταδόςεων δεδομζνων, χρειάηεται να διαςφαλίςουμε ότι όλα τα λάκθ ριπϊν μικουσ 16 bits ι λιγότερο κα είναι ανιχνεφςιμα. Επομζνωσ, χρθςιμοποιοφνται κυκλικοί κϊδικεσ του τφπου (16 + k, k). Το πολυϊνυμο γεννιτρια βακμοφ 16 κα πρζπει να επιλεγεί ζτςι ϊςτε ο μζγιςτοσ αρικμόσ των bits δεδομζνων να είναι επαρκϊσ μεγάλοσ, επιτρζποντασ τθ χριςθ του ίδιου κϊδικα (και των ίδιων κυκλωμάτων κρυπτογράφθςθσ και αποκρυπτογράφθςθσ) για τα μπλοκ δεδομζνων των διαφόρων μεγεκϊν. Δφο πολυϊνυμα γεννιτριεσ βακμοφ 16 χρθςιμοποιοφνται ςυχνά για αυτόν τον ςκοπό. Αυτά δεν είναι άλλα από τον Ζλεγχο Κυκλικοφ Ρλεοναςμοφ CRC-16 (Cyclic Redundancy Check): Και το CRC CCITT πολυϊνυμο: G(X) = (X + 1)(X 15 + X + 1) = X 16 + X 15 + X G(X) = (X + 1)(X 15 + X 14 + X 13 + X 12 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) = X 16 + X 12 + X 5 + 1

23 Και ςτισ δφο περιπτϊςεισ, το πολυϊνυμο βακμοφ 16 διαιρεί το Χ n 1 για n = (αλλά όχι για μικρότερθ τιμι του n) και επομζνωσ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για μπλοκ δεδομζνων μεγζκουσ μζχρι και = bits. Σθμειϊςτε πωσ τα μικρότερα μπλοκ μποροφν ακόμθ να χρθςιμοποιοφν τον ίδιο κυκλικό κϊδικα. Τζτοια μπλοκ κεωροφνται μεγζκουσ bits με ζναν επαρκι αρικμό μθδενικϊν που μπορεί να αγνοθκεί ςε λειτουργίεσ κρυπτογράφθςθσ και αποκρυπτογράφθςθσ. Επίςθσ ςθμειϊςτε ότι και τα δφο πολυϊνυμα CRC ζχουν μόνο τζςςερισ μθ μθδενικοφσ ςυντελεςτζσ, απλοποιϊντασ με αυτόν τον τρόπο το ςχζδιο των κυκλωμάτων κρυπτογράφθςθσ και αποκρυπτογράφθςθσ. Ο κϊδικασ CRC-32 που φαίνεται ακολοφκωσ χρθςιμοποιείται ευρζωσ για μεταφορζσ δεδομζνων ςτο Διαδίκτυο: G(X) = X 32 + X 26 +X 23 +X 22 +X 16 +X 12 +X 11 +X 10 + X 8 +X 7 +X 5 +X 4 + X 2 + X +1 επιτρζποντασ τθν ανίχνευςθ των λακϊν που αποτελοφνται μζχρι και από 32 bits μπλοκ δεδομζνων μεγζκουσ μζχρι και bits. Για τισ μεταφορζσ δεδομζνων μεγάλων μπλοκ, είναι πιο κατάλλθλο να εφαρμόςουμε διαχωρίςιμθ κρυπτογράφθςθ που κα επιτρζψει ςτα λαμβανόμενα δεδομζνα να χρθςιμοποιθκοφν αμζςωσ δίχωσ να χρειαςτεί να περιμζνουν όλα τα bits τθσ κωδικισ λζξθσ να λθφκοφν και να αποκωδικοποιθκοφν. Ζνασ διαχωρίςιμοσ κυκλικόσ κϊδικασ κα επιτρζψει τθν ανίχνευςθ λακϊν ανεξάρτθτα από τθν επεξεργαςία των ίδιων των δεδομζνων. Ευτυχϊσ, υπάρχει ζνασ απλόσ τρόποσ παραγωγισ ενόσ διαχωρίςιμου κυκλικοφ κϊδικα (n, k). Αντί να κωδικοποιιςουμε τθν δοκείςα λζξθ δεδομζνων D(X) = d k 1 X k 1 + d k 2 X k d 0 πολλαπλαςιάηοντάσ τθν με το πολυϊνυμο γεννιτρια G(X) βακμοφ n k, πρϊτα προςαρτοφμε (n k) μθδενικά ςτο D(X) και ζχουμε D (X) = d k 1 X k 1 + d k 2 X k d 0 X n-k. Ζπειτα, διαιροφμε το D (X) με το G(X) και ζτςι ζχουμε: D (X) = Q(X)G(X) + R(X) όπου το R(X) είναι το πολυϊνυμο μικρότερου βακμοφ από n k. Τζλοσ, δθμιουργοφμε τθν κωδικι λζξθ C(X) = D (X) R(X), θ οποία και κα μεταδοκεί. Αυτι θ κωδικι λζξθ των n bits ζχει το G(X) ςαν παράγοντα και ςυνεπϊσ, αν διαιρζςουμε το C(X) με το G(X), το μθ μθδενικό υπόλοιπο κα υποδεικνφει ότι ςυνζβθ κάποιο λάκοσ. Σε αυτι τθν κωδικοποίθςθ, τα D (X) και R(X) δεν ζχουν κοινοφσ όρουσ και ζτςι, τα πρϊτα k bits του C(X) = D (X) R(X) = D (X) + R(X) είναι τα αρχικά bits δεδομζνων, ενϊ τα υπολειπόμενα n k είναι τα bits ελζγχου που κάνουν τθν κωδικοποίθςθ διαχωρίςιμθ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ραρουςιάηουμε τθν διαδικαςία που περιγράφθκε παραπάνω με ζναν κυκλικό κϊδικα (5,4) που χρθςιμοποιεί το ίδιο πολυϊνυμο γεννιτρια Χ + 1, όπωσ και πριν. Για τθν λζξθ δεδομζνων 0110, ζχουμε D (X) = X 3 + X 2. Διαιρϊντασ το D (X) με Χ + 1 οδθγοφμαςτε ςε Q(X) = X 2 και R(X) = 0. Άρα, θ αντίςτοιχθ κωδικι λζξθ είναι X 3 + X 2, ι γραμμζνθ ςε δυαδικό ςφςτθμα, όπου τα τζςςερα πρϊτα bits είναι τα bits δεδομζνων και το τελευταίο είναι το bit ελζγχου. Με παρόμοιο τρόπο, για τθν λζξθ δεδομζνων 1110, ζχουμε: D (X) = X 4 + X 3 + X 2 = (X 3 + X + 1)(X + 1) + 1

24 κάτι που μασ οδθγεί ςτθν κωδικι λζξθ Ο αναγνϊςτθσ μπορεί να εξακριβϊςει ότι παράγονται οι ίδιεσ 16 κωδικζσ λζξεισ, όπωσ και πριν:,0000, 00011, 00110, 01100, 11000, 10001, 00101, 01010, 10100, 01001, 10010, 01111, 11110, 11101, 11011, Εντοφτοισ, θ αντιςτοιχία μεταξφ των λζξεων δεδομζνων και των κωδικϊν λζξεων ζχει αλλάξει Αριθμητικοί Κώδικεσ Οι κϊδικεσ αρικμθτικϊν λακϊν είναι εκείνοι οι κϊδικεσ που διατθροφνται κάτω από ζνα ςφνολο αρικμθτικϊν λειτουργιϊν. Αυτι θ ιδιότθτα μασ επιτρζπει να ανιχνεφουμε λάκθ που ενδεχομζνωσ να ςυμβοφν κατά τθ διάρκεια εκτζλεςθσ μιασ αρικμθτικισ λειτουργίασ ςτο οριςμζνο ςφνολο. Ταυτόχρονθ ανίχνευςθ λακϊν γίνεται με τθν αντιγραφι τθσ αρικμθτικισ μονάδασ, αλλά θ αυτι είναι ςυνικωσ πολφ δαπανθρι για να είναι πρακτικι. Λζμε ότι ζνασ κϊδικασ διατθρείται κάτω από μια αρικμθτικι λειτουργία αν για οποιουςδιποτε δφο τελεςτζσ Χ και Y και τισ αντίςτοιχεσ κωδικοποιθμζνεσ οντότθτεσ Χ και Y, υπάρχει μια λειτουργία για τουσ κωδικοποιθμζνου τελεςτζσ που ικανοποιεί τθ ςχζςθ: Χ Y = (Χ Y) (3.4) Αυτό υπονοεί πωσ το αποτζλεςμα τθσ αρικμθτικισ λειτουργίασ, όταν εφαρμόηεται ςτουσ κωδικοποιθμζνουσ τελετζσ Χ και Y, οδθγεί ςτο ίδιο αποτζλεςμα με αυτό τθσ κωδικοποίθςθσ του αποτελζςματοσ εξόδου όταν εφαρμόςουμε τθν αρχικι λειτουργία ςτουσ αρχικοφσ τελεςτζσ Χ και Y. Συνεπϊσ, το αποτζλεςμα τθσ αρικμθτικισ λειτουργίασ κα κωδικοποιθκεί με τον ίδιο κϊδικα των τελεςτϊν. Οι αρικμθτικοί κϊδικεσ αναμζνεται να είναι ικανοί να ανιχνεφουν όλα τα απλά ςφάλματα bits. Λάβετε υπόψθ ςασ, όμωσ, ότι ζνα λάκοσ απλοφ bit ςε ζναν τελεςτι ι ςε ζνα ενδιάμεςο αποτζλεςμα πικανόν να προκαλζςει ζνα λάκοσ πολλαπλοφ bit ςτο τελικό αποτζλεςμα. Πταν ακροίηουμε δφο δυαδικοφσ αρικμοφσ, για παράδειγμα, αν το ςτάδιο i των ακροιςτϊν είναι ελαττωματικό, όλα τα υπόλοιπα (n i) ψθφία υψθλότερου επιπζδου κα παρουςιάςουν λάκοσ. Υπάρχουν δφο κλάςεισ αρικμθτικϊν κωδίκων: οι διαχωρίςιμοι και οι μθ διαχωρίςιμοι. Οι απλοφςτεροι μθ διαχωρίςιμοι κϊδικεσ είναι οι ΑΝ κϊδικεσ, που δθμιουργοφνται από τον πολλαπλαςιαςμό των τελεςτϊν με μια ςτακερά Α. Με άλλα λόγια, ο Χ ςτθν Εξίςωςθ 3.4 είναι ΑΧ και οι λειτουργίεσ και είναι πανομοιότυπεσ για πρόςκεςθ και αφαίρεςθ. Για παράδειγμα, αν Α = 3, πολλαπλαςιάηουμε κάκε τελεςτι με 3 (από τον τφπο 2Χ + Χ) και ελζγχουμε το αποτζλεςμα μιασ πράξθσ πρόςκεςθσ ι αφαίρεςθσ για να δοφμε αν είναι αρικμόσ ακζραιοσ και πολλαπλάςιοσ του 3. Πλα τα μεγζκθ λακϊν που είναι πολλαπλάςια του Α δεν δφνανται να εντοπιςτοφν. Γι αυτό το λόγο, δεν πρζπει να επιλζξουμε μια τιμι του Α που είναι δφναμθ με βάςθ το 2. Μια περιττι τιμι του Α κα ανιχνεφςει κάκε ςφάλμα απλοφ ψθφίου, επειδι ζνα τζτοιο λάκοσ ζχει μζγεκοσ 2 i. Αν Α = 3 τότε ο ΑΝ κϊδικασ είναι ο λιγότερο ακριβόσ που μπορεί ακόμθ να εντοπίςει όλα τα απλά λάκθ. Για παράδειγμα, ο αρικμόσ = 6 10 παρουςιάηεται ςτον ΑΝ κϊδικα με Α = 3 και = Ζνα ςφάλμα ςτθν τρίτθ κζςθ bit ίςωσ οδθγιςει ςτον λάκοσ αρικμό = Αυτό το λάκοσ είναι εφκολα ανιχνεφςιμο, αφοφ το 26 δεν είναι πολλαπλάςιο του 3.

25 Οι πιο απλοί διαχωρίςιμοι κϊδικεσ είναι ο κϊδικασ υπολοίπου (residue code) και ο αντίςτροφοσ κϊδικασ υπολοίπου(inverse residue code). Σε κακζναν από αυτοφσ, προςκολλάμε ζνα διαχωρίςιμο ςφμβολο ελζγχου C(X) ςε κάκε τελεςτι Χ. Για τον κϊδικα υπολοίπου, C(X) = X mod A = X A, όπου το Α καλείται μζγεκοσ ελζγχου (check modulus). Για τον αντίςτροφο κϊδικα υπολοίπου, C(X) = A (X mod A). Και για τουσ δφο διαχωρίςιμουσ κϊδικεσ, θ Εξίςωςθ 3.4 αντικακίςταται από τθν: C(X) C(Y) = C (X Y) (3.5) Αυτι θ ιςότθτα προφανϊσ ιςχφει και για τθν πρόςκεςθ αλλά και για τον πολλαπλαςιαςμό επειδι ιςχφουν με τθ ςειρά τουσ και οι ακόλουκεσ εξιςϊςεισ: X +Y A = X A + Y A A X Y A = X A Y A A (3.6) Αν Α = 3, Χ = 7 και Y = 5, τα αντίςτοιχα υπόλοιπα είναι Χ Α = 1 και Y Α = 2. Πταν προςκζτουμε τουσ δφο τελεςτζσ, ζχουμε = 0 = = = 0. Πταν πολλαπλαςιάηουμε τουσ δφο τελεςτζσ, ζχουμε = 2 = = = 2. Για τθν διαίρεςθ, θ εξίςωςθ X S = Q D ικανοποιείται. Ο Χ είναι ο διαιρετζοσ (dividend), ο D ο διαιρζτθσ (divisor), το Q το πθλίκο και το S το υπόλοιπο. Επομζνωσ, ο αντίςτοιχοσ ζλεγχοσ υπολοίπου είναι: Χ Α - S A A = Q A D A A ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν Α = 3, Χ = 7 και D = 5, τα αποτελζςματα είναι Q = 1 και S = 2. Ο αντίςτοιχοσ ζλεγχοσ υπολοίπου είναι = = 2. Θ αφαίρεςθ ςτον αριςτερό όρο γίνεται με τθν πρόςκεςθ του ςυμπλθρωματικοφ μεγζκουσ 3, δθλαδι = = = 2. Ο κϊδικασ υπολοίπου με Α ςαν μζγεκοσ ελζγχου ζχει το ίδιο ποςοςτό ανιχνεφςιμων λακϊν με τον αντίςτοιχο κϊδικα ΑΝ. Για παράδειγμα, αν Α = 3, απαρατιρθτα κα περάςουν μόνο τα λάκθ που τροποποιοφν το αποτζλεςμα με κάποιο πολλαπλάςιο του 3, και ςυνεπϊσ, τα λάκθ απλοφ bit είναι πάντα ανιχνεφςιμα. Επιπρόςκετα, οι αλγόρικμοι ελζγχου για τον ΑΝ κϊδικα και τον κϊδικα υπολοίπου είναι οι ίδιοι: και ςτουσ δφο χρειάηεται να υπολογίςουμε το υπόλοιπο του modulo-a. Ακόμθ και θ αφξθςθ του μικουσ τθσ λζξθσ, log 2 A, είναι θ ίδια και για τουσ δφο κϊδικεσ. Θ πιο ςθμαντικι διαφορά ζγκειται ςτθν ιδιότθτα τθσ διαχωριςτικότθτασ. Θ αρικμθτικι μονάδα για το ςφμβολο ελζγχου C(X) ςτον κϊδικα υπολοίπου είναι εντελϊσ διαχωρίςιμθ από τθν κφρια μονάδα λειτουργίασ ςτο Χ, ενϊ μόνο μια μονάδα (μεγαλφτερθσ πολυπλοκότθτασ) υπάρχει ςτθν περίπτωςθ ςτου ΑΝ κϊδικα. Ζνασ ακροιςτισ με κϊδικα υπολοίπου φαίνεται ςτθν Εικόνα Στο μπλοκ

26 ανίχνευςθσ λακϊν που παρουςιάηεται ςτθν εικόνα, το υπόλοιπο modulo-a τθσ ειςόδου X + Y υπολογίηεται και ςυγκρίνεται με το αποτζλεςμα του ακροιςτι mod A. Μια αναντιςτοιχία μεταξφ τουσ υποδεικνφει κάποιο λάκοσ. Οι κϊδικεσ ΑΝ και υπολοίπου με Α = 3 είναι τα πιο απλά παραδείγματα τθσ κλάςθσ των αρικμθτικϊν κωδίκων (διαχωρίςιμοι και μθ διαχωρίςιμοι κϊδικεσ) οι ποίοι χρθςιμοποιοφν τθν τιμι του Α ςτθ μορφι Α = 2 α 1, για κάποιον ακζραιο αρικμό α. Αυτι θ επιλογι απλοποιεί τον υπολογιςμό του υπολοίπου κατά τθ διαίρεςθ με Α (που χρθςιμοποιείται ςτον αλγόρικμο ελζγχου). Αυτό εξθγεί το λόγο που αυτοί οι κϊδικεσ καλοφνται αρικμθτικοί κϊδικεσ χαμθλοφ κόςτουσ (lowcost arithmetic codes). Ο υπολογιςμόσ του υπολοίπου κατά τθ διαίρεςθ με 2 α 1 είναι απλόσ, επειδι θ εξίςωςθ: z i r i r 1 = z i r 1, r = 2 a (3.7) επιτρζπει τθ χριςθ άκροιςθσ modulo-(2 α 1) των ςυνόλων μεγζκουσ α bits που ςυνκζτουν τον αρικμό (κάκε ςφνολο ζχει μια τιμι 0 z i 2 α 1). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για να υπολογίςουμε το υπόλοιπο όταν διαιροφμε τον αρικμό Χ = με Α = 7 = 2 3 1, χωρίηουμε το Χ ςε ςφνολα μεγζκουσ 3, ξεκινϊντασ από το λιγότερο ςθμαντικό bit. Αυτόσ ο διαχωριςμόσ ζχει ςαν αποτζλεςμα Χ = (z 3, z 2, z 1, z 0 ) = (11, 110, 101, 011). Ζπειτα, ακροίηουμε αυτά τα ςφνολα modulo-7, δθλαδι «πετάμε» τα εφτάρια και προςκζτουμε το κρατοφμενο όπου χρειάηεται. Αυτό που πετάξαμε ζχει βάροσ ίςο με 8, και επειδι 8 7 = 1, πρζπει να ακροίςουμε το κρατοφμενο όπου ζχουμε πετάξει κάτι, όπωσ φαίνεται παρακάτω:

27 Το υπόλοιπο modulo-7 του Χ είναι 3, κάτι που αποτελεί και το ςωςτό υπόλοιπο του Χ = όταν διαιρείται με το 7. Και οι διαχωρίςιμοι αλλά και οι μθ διαχωρίςιμοι κϊδικεσ διατθροφνται όταν εκτελοφμε αρικμθτικζσ λειτουργίεσ ςε μθ προςθμαςμζνουσ τελεςτζσ (unsigned operands). Αν επικυμοφμε να ςυμπεριλάβουμε και προςθμαςμζνουσ τελεςτζσ, πρζπει ο κϊδικασ να είναι ςυμπλθρωματικόσ (complementable) του R, όπου το R είναι είτε 2 n είτε 2 n-1 και n είναι ο αρικμόσ των bits ςτον κωδικοποιθμζνο τελεςτι. Το επιλεγμζνο R κα κακορίςει ποιο από τα ςυμπλθρϊματα (του R = 2 n ι του R = 2 n-1 ) κα εφαρμοςτεί. Για τον ΑΝ κϊδικα, πρζπει το R AX να είναι διαιρζςιμο με Α, άρα ο Α πρζπει να είναι παράγοντασ του R. Αν ο Α είναι περιττόσ αρικμόσ, αποκλείει τθν επιλογι R = 2 n, οπότε τότε χρθςιμοποιοφμε μόνο το R = 2 n-1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για n = 4, το R είναι ίςο με 2 n 1 = 15 και είναι διαιρζςιμο με Α για τον κϊδικα ΑΝ με Α = 3. Ο αρικμόσ Χ = 0110 αναπαρίςταται από 3Χ = και το ςυμπλιρωμά του (= ) διαιρείται με 3. Ραρόλα αυτά, το ςυμπλιρωμα του 3Χ είναι (= ) και δε διαιρείται με το 3. Αν n = 5, τότε το ςυμπλιρωμα του R είναι ίςο με 31, που δεν διαιρείται με το Α. Ο αρικμόσ Χ = αναπαρίςταται με 3Χ = και το ςυμπλιρωμά του είναι (= ) που διαιρείται από το 3. Για τον κϊδικα υπολοίπου με μζγεκοσ ελζγχου Α, θ εξίςωςθ Α - Χ Α = R X A πρζπει να ικανοποιείται. Αυτό υπονοεί ότι το R πρζπει να είναι ζνασ ακζραιοσ αρικμόσ πολλαπλάςιοσ του Α, επιτρζποντασ και πάλι να χρθςιμοποιθκεί μόνο ζνα αρικμθτικό ςυμπλιρωμα. Ραρόλα αυτά, μποροφμε να τροποποιιςουμε τθν διαδικαςία ζτςι ϊςτε το ςυμπλιρωμα του R = 2 n να μπορεί και αυτό να εφαρμοςτεί: 2 n X A = 2 n 1 X + 1 A = 2 n 1 X A + 1 A (3.8)

28 Ζτςι, χρειάηεται να προςκζςουμε ζνα όρο διόρκωςθσ (correction term) 1 A ςτον κϊδικα υπολοίπου όταν φτιάχνουμε το ςυμπλιρωμα. Σθμειϊςτε ότι το Α πρζπει να είναι ακόμθ παράγοντασ του 2 n 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για τον κϊδικα υπολοίπου με Α = 7 και n = 6, R = 2 6 = 64 και R 1 = 63, που διαιρείται με το 7. Ο αρικμόσ = ζχει υπόλοιπο 3 modulo-7. Το ςυμπλιρωμα του είναι το Το ςυμπλιρωμα του 3 7 είναι το 4 7. Ρροςκζτοντασ τον όρο διόρκωςθσ 1 A οδθγοφμαςτε ςτο 5, που είναι το ςωςτό υπόλοιπο modulo-7 του (= ). Μια παρόμοια διόρκωςθ χρειάηεται όταν ακροίηουμε τελεςτζσ που αναπαρίςτανται με το ςυμπλιρωμά τουσ και ζνα κρατοφμενο (βάρουσ 2 n ) παράγεται ςτον κφριο ακροιςτι. Ζνα τζτοιο κρατοφμενο απορρίπτεται ςφμφωνα με τουσ κανόνεσ του αρικμθτικοφ ςυμπλθρϊματοσ. Για να αντιςτακμίςουμε τθν κατάςταςθ, χρειάηεται να αφαιρζςουμε 2 n Α από το υπόλοιπο ελζγχου. Και αφοφ το Α είναι παράγοντασ του 2 n 1, ο όροσ 2 n Α είναι ίςοσ με το 1 A. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν προςκζςουμε ςτο Χ = τον αρικμό Y = , δθμιουργείται κρατοφμενο που απορρίπτεται. Επομζνωσ, πρζπει να αφαιρζςουμε τον όρο διόρκωςθσ = 1 7 από τον ζλεγχο υπολοίπου με Α = 7. Τότε, ζχουμε: όπου το 3 είναι προφανϊσ το ςωςτό υπόλοιπο του αποτελζςματοσ modulo-7. Οι παραπάνω τροποποιιςεισ οδθγοφν ςε μια αλλθλεξάρτθςθ ανάμεςα ςτθν κφρια αρικμθτικι μονάδα και ςτθ μονάδα ελζγχου που διαχειρίηεται τα υπόλοιπα. Μια τζτοια αλλθλεξάρτθςθ ίςωσ προκαλζςει μια κατάςταςθ ςτθν οποία ζνα λάκοσ ςτθν κφρια μονάδα αναπαράγεται ςτθν μονάδα ελζγχου και το αποτζλεςμα του ςφάλματοσ καλφπτεται. Εντοφτοισ, ζχει δειχτεί ότι όταν ζνα λάκοσ απλοφ bit ςυμβεί, είναι πάντα ανιχνεφςιμο.

29 Θ διόρκωςθ λακϊν μπορεί να επιτευχκεί με τθ χριςθ δφο ι περιςςότερων ελζγχων υπολοίπου. Θ πιο απλι περίπτωςθ είναι εκείνθ του δι-υπόλοιπου κϊδικα (bi-residue code), ο οποίοσ αποτελείται από δφο ελζγχουσ υπολοίπου Α 1 και Α 2. Αν n είναι ο αρικμόσ των bits του τελεςτι, επιλζξτε α και β ζτςι ϊςτε ο n να είναι το ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο των α και β. Αν Α 1 = 2 α 1 και Α 2 = 2 β 1 είναι δφο ζλεγχοι υπολοίπου χαμθλοφ κόςτουσ, τότε οποιοδιποτε λάκουσ απλοφ bit είναι διορκϊςιμο. 3.2 Εφκαμπτα Συςτήματα Δίςκων Ζνα εξαίρετο παράδειγμα χριςθσ του πλεοναςμοφ πλθροφορίασ μζςω κωδικοποίθςθσ ςε υψθλότερο επίπεδο από τισ μεμονωμζνεσ λζξεισ δεδομζνων είναι θ δομι RAID (Redundant Arrays of Independent (or Inexpensive) Disks), ι αλλιϊσ των Ρλεοναηόντων Ρινάκων Ανεξάρτθτων (ι Οικονομικϊν) Δίςκων. Στθ ςυνζχεια, αναλφουμε πζντε δομζσ RAID RAID Επιπζδου 1 Το επίπεδο 1 των RAID (RAID1) αποτελείται από είδωλα δίςκων (mirrored disks). Στθ κζςθ ενόσ δίςκου υπάρχουν δφο, με τον κακζνα να είναι ζνα αντίγραφο του άλλου. Αν ζνασ δίςκοσ πάκει βλάβθ, ο άλλοσ μπορεί να ςυνεχίςει να εξυπθρετεί αιτιςεισ πρόςβαςθσ. Αν λειτουργοφν ορκά και οι δφο δίςκοι, το RAID1 μπορεί να επιταχφνει τθν ανάγνωςθ των προςβάςεων μοιράηοντάσ τεσ ςτουσ δφο δίςκουσ. Θ εγγραφι των προςβάςεων, ωςτόςο, κακυςτερεί επειδι οι δφο δίςκοι πρζπει να τελειϊςουν πρϊτα τθν ενθμζρωςθ (update) πριν τθν περάτωςθ τθσ λειτουργίασ. Ασ υποκζςουμε ότι οι δίςκοι πακαίνουν βλάβεσ ανεξάρτθτα ο ζνασ από τον άλλον, ο κακζνασ με ζναν ςτακερό ρυκμό λ, και ότι ο χρόνοσ επιδιόρκωςθσ του κακζνα είναι εκκετικά κατανεμθμζνοσ 1 / μ. Σε αυτό το ςθμείο κα υπολογίςουμε τθν αξιοπιςτία και τθ διακεςιμότθτα ενόσ ςυςτιματοσ RAID1. Για να υπολογίςουμε τθν αξιοπιςτία, κεωροφμε μια αλυςίδα Markov τριϊν επιπζδων, όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.15 (οι αλυςίδεσ Markov επεξθγοφνται ςτο Κεφάλαιο 2). Θ κατάςταςθ του ςυςτιματοσ είναι το πλικοσ των δίςκων που είναι λειτουργικό: μπορεί να ποικίλει μεταξφ του μθδενόσ (το ςφςτθμα ζχει πάκει βλάβθ) και του δφο (και οι δφο δίςκοι είναι λειτουργικοί). Θ μθ-αξιοπιςτία ςε χρόνο t είναι θ πικανότθτα το ςφςτθμα να βρίςκεται ςε κατάςταςθ βλάβθσ, P 0 (t). Οι διαφορικζσ εξιςϊςεισ που ςχετίηονται με αυτιν τθν αλυςίδα Markov είναι οι ακόλουκεσ: dp2 () t 2 P2( t) P1( t) dt dp1 () t ( ) P1( t) 2 P2( t) dt P ( t) 1 P ( t) P ( t) Θ επίλυςθ των τριϊν ταυτόχρονων διαφορικϊν εξιςϊςεων με αρχικζσ ςυνκικεσ P 2 (0) = 1 και P 0 (0) = P 1 (0) = 0 μασ δίνει τθν πικανότθτα να πάκει βλάβθ το ςφςτθμα δίςκων πριν τθ χρονικι ςτιγμι t. Οι εκφράςεισ για τισ πικανότθτεσ κατάςταςθσ είναι κάπωσ περίπλοκεσ και όχι τόςο διαφωτιςτικζσ.

30 Θα χρθςιμοποιιςουμε μια προςζγγιςθ, όπου υπολογίηουμε το Μζςο Χρόνο Απϊλειασ Δεδομζνων (Mean Time to Data Loss MTTDL) και μετά χρθςιμοποιοφμε το γεγονόσ ότι μ» λ (ο ρυκμόσ επιδιόρκωςθσ είναι κατά πολφ μεγαλφτεροσ από το ρυκμό βλάβθσ). Ο ΧΑΡ υπολογίηεται με τον ακόλουκο τρόπο: κα ειςζλκουμε ςτθν κατάςταςθ 0 αν το ςφςτθμα ειςζλκει ςτθν κατάςταςθ 1 και μετά μεταβεί ςτθν κατάςταςθ 0. Αν ξεκινιςουμε από τθν κατάςταςθ 2 τθ χρονικι ςτιγμι 0, ο μζςοσ χρόνοσ πριν ειςζλκουμε ςτθν κατάςταςθ 1 είναι 1 / 2λ. Ο μζςοσ χρόνοσ που μείναμε ςτθν κατάςταςθ 1 είναι 1 / (λ + μ). Σφμφωνα με αυτό, το ςφςτθμα μπορεί είτε να γυρίςει πίςω ςτθν κατάςταςθ 2, που κα το κάνει με πικανότθτα q = μ / (μ + λ), είτε ςτθν κατάςταςθ 0, με πικανότθτα p = λ / (μ + λ). Θ πικανότθτα να γίνουν n επιςκζψεισ ςτθν κατάςταςθ 1 πριν το ςφςτθμα μεταβεί ςτθν κατάςταςθ 0 είναι προφανϊσ q n-1 p, επειδι κα ζπρεπε να γίνουν n 1 μεταβάςεισ από τθν κατάςταςθ 1 ςτθν 2, ακολουκοφμενεσ από μια μετάβαςθ από τθν κατάςταςθ 1 ςτθν 0. Ο μζςοσ χρόνοσ για να ειςζλκουμε ςτθν κατάςταςθ 0 ςε αυτιν τθν περίπτωςθ δίνεται από τον τφπο: T2 0( n) n n 2 2 ( ) Επομζνωσ: 3 MTTDL q pt n nq pt T p n1 n1 20( ) 20(1) 20(1) 2 n1 n1 2 Αν μ» λ, μποροφμε να προςεγγίςουμε τθν μετάβαςθ ςτθν κατάςταςθ 0 κεωρϊντασ τισ καταςτάςεισ 1 και 2 ςαν μια κακολικι κατάςταςθ, από τθν οποία υπάρχει μετάβαςθ ρυκμοφ 1 / MTTDL ςτθν κατάςταςθ 0. Επομζνωσ, θ αξιοπιςτία προςεγγίηεται από τθν ςυνάρτθςθ: R() t e t/ MTTDL (3.9) Θ Εικόνα 3.16 δείχνει τθν μθ αξιοπιςτία του ςυςτιματοσ (πικανότθτα απϊλειασ δεδομζνων) μζςα ςτο χρόνο για μια ποικιλία μζςων χρόνων ηωισ δίςκων και μζςων χρόνων επιδιόρκωςθσ δίςκων. Αξίηει να ςθμειϊςουμε το ςθμαντικό αντίκτυπο του μζςου χρόνου επιδιόρκωςθσ ςτθν πικανότθτα απϊλειασ δεδομζνων.

31 Ζνασ υπολογιςμόσ τθσ μακρόχρονθσ αξιοπιςτίασ του ςυςτιματοσ δίςκου γίνεται βάςει τθσ αλυςίδασ Markov που είναι πανομοιότυπθ με εκείνθ τθσ Εικόνασ 2.16, οδθγϊντασ ςτον τφπο: 2 2 A RAID Επιπζδου 2 Το RAID Επιπζδου 2 αποτελείται από μια τράπεηα δίςκων δεδομζνων ςε παράλλθλουσ δίςκουσ κωδικοποιθμζνουσ με Hamming. Υποκζςτε ότι υπάρχουν d δίςκοι δεδομζνων και c δίςκοι κωδίκων. Τότε, μποροφμε να κεωριςουμε το i-οςτό bit του κάκε δίςκου ςαν bits μιασ λζξθσ (c + d)

32 bits. Βάςει τθσ κεωρίασ των κωδίκων Hamming, γνωρίηουμε πωσ πρζπει να ζχουμε 2 c c + d + 1 για να είμαςτε ικανοί να διορκϊςουμε το ζνα bit ανά λζξθ. Δε κα αφιερϊςουμε περιςςότερο χρόνο ςτο RAID2 επειδι άλλα ςχζδια RAID επιφζρουν πολφ λιγότερο φόρτο RAID Επιπζδου 3 Το RAID3 αποτελεί μια τροποποίθςθ του RAID2 και προκφπτει από τθν παρατιρθςθ ότι κάκε δίςκοσ ζχει κωδικοποίθςθ διόρκωςθσ λάκουσ ανά τομζα. Επομζνωσ, αν κάποιοσ τομζασ πάκει βλάβθ, μποροφμε να τον αναγνωρίςουμε. Το RAID3 αποτελείται από μια τράπεηα d δίςκων δεδομζνων μαηί με ζναν δίςκο ιςοτιμίασ. Τα δεδομζνα είναι διαςτρωμζνα με bits (bit-interleaved) κατά μικοσ των δίςκων δεδομζνων και θ i-οςτι κζςθ bit τθσ ιςοτιμίασ δίςκου περιζχει το bit ιςοτιμίασ που ςχετίηεται με τα bits ςτθν i-οςτι κζςθ του κάκε δίςκου δεδομζνων. Ζνα παράδειγμα του ςυςτιματοσ πζντε δίςκων RAID3 φαίνεται ςτθν Εικόνα Για ςκοποφσ εντοπιςμοφ και διόρκωςθσ λακϊν, κεωροφμε ότι το i-οςτό bit του κάκε δίςκου ςχθματίηει μια λζξθ (d + 1) bits, αποτελοφμενθ από d bits δεδομζνων και 1 bit ιςοτιμίασ. Υποκζςτε πωσ μια τζτοια λζξθ ζχει ζνα λάκοσ bit ςτθν j-οςτι κζςθ. Ο κϊδικασ διόρκωςθσ λάκουσ για αυτόν τον τομζα ςτον j-οςτό δίςκο κα υποδείξει βλάβθ, άρα κα εντοπίςει το ςφάλμα. Μόλισ το εντοπίςουμε, τα υπολειπόμενα bits κα χρθςιμοποιθκοφν για να αποκαταςτιςουν το εςφαλμζνο. Ραραδείγματοσ χάρθ, ασ πάρουμε τθ λζξθ 01101, όπου 0110 είναι τα bits δεδομζνων και 1 είναι το bit ιςοτιμίασ. Αν χρθςιμοποιείται ηυγι ιςοτιμία, γνωρίηουμε πωσ ζνα bit ζχει λάκοσ. Αν ο τζταρτοσ δίςκοσ (ο δίςκοσ 3 ςτθν Εικόνα) υποδείξει λάκοσ ςτον ςχετικό τομζα ενϊ οι άλλοι δίςκοι δεν δείξουν λάκθ, κα ξζρουμε ότι θ λζξθ κα ζπρεπε να είναι και τότε κα γίνει θ απαραίτθτθ διόρκωςθ. Οι αλυςίδεσ Markov για τθν αξιοπιςτία και τθ διακεςιμότθτα αυτοφ του ςυςτιματοσ είναι ςχεδόν ίδιεσ με εκείνεσ που χρθςιμοποιικθκαν ςτο RAID1. Εκεί, είχαμε δφο δίςκουσ ανά ςφνολο. Εδϊ, ζχουμε d + 1. Και ςτισ δφο περιπτϊςεισ, το ςυνολικό ςφςτθμα πακαίνει βλάβθ (ζχουμε απϊλεια δεδομζνων) αν δφο θ περιςςότεροι δίςκοι πάκουν βλάβθ. Άρα, θ αλυςίδα Markov για τον υπολογιςμό τθσ αξιοπιςτίασ είναι όπωσ παρουςιάηεται ςτθν Εικόνα Θ ανάλυςθ αυτισ τθσ αλυςίδασ είναι παρόμοια με αυτιν ςτο RAID1: ο μζςοσ χρόνοσ μζχρι τθν απϊλεια των δεδομζνων για αυτό το ςφνολο είναι: MTTDL 2 1 2d 1 d d (3.10)

33 Θ αξιοπιςτία δίνεται προςεγγιςτικά από τον τφπο: R() t e t/ MTTDL (3.11)

34 Θ Εικόνα 3.19 δείχνει κάποια αρικμθτικά αποτελζςματα για διάφορεσ τιμζσ του d. Θ περίπτωςθ d = 1 είναι πανομοιότυπθ με εκείνθ του ςυςτιματοσ RAID1. Θ αξιοπιςτία μειϊνεται όςο το d αυξάνει, κάτι που είναι αναμενόμενο γεγονόσ RAID Επιπζδου 4 Το RAID4 είναι παρόμοιο με το RAID3, εκτόσ από το γεγονόσ ότι θ μονάδα που παρεμβάλλεται δεν αποτελείται από ζνα bit αλλά από ζνα μπλοκ αυκαίρετου μεγζκουσ, που καλείται ράβδωςθ (stripe). Ζνα παράδειγμα ςυςτιματοσ RAID4 με τζςςερισ δίςκουσ δεδομζνων και ζναν δίςκο ιςοτιμίασ φαίνεται ςτθν Εικόνα Το πλεονζκτθμα του RAID4 ζναντι του RAID3 είναι ότι μια μικρι λειτουργία ανάγνωςθσ μπορεί να περιοριςτεί μζςα ςε ζναν μόνο δίςκο δεδομζνων και όχι να παρεμβλθκεί ςε όλουσ. Σαν αποτζλεςμα, οι μικρζσ αναγνϊςεισ είναι ταχφτερεσ ςτο RAID4 παρά ςτο RAID3. Μια παρόμοια παρατιρθςθ ιςχφει και για τισ μικρζσ εγγραφζσ: ςε μια τζτοια λειτουργία, και ο επθρεαηόμενοσ δίςκοσ δεδομζνων και ο δίςκοσ ιςοτιμίασ πρζπει να αναβακμιςτοφν. Θ αναβάκμιςθ τθσ ιςοτιμίασ είναι ςχετικά απλι: το bit ιςοτιμίασ εναλλάςςεται (toggles) αν το αντίςτοιχο bit δεδομζνων που γράφεται είναι διαφορετικό από εκείνο που εκείνο που αντικακίςταται. Το μοντζλο αξιοπιςτίασ του RAID4 είναι όμοιο με εκείνο του RAID RAID Επιπζδου 5 Το RAID5 αποτελεί μια τροποποίθςθ τθσ δομισ του RAID4 και προκφπτει από τθν παρατιρθςθ ότι ο δίςκοσ ιςοτιμίασ μπορεί μερικζσ φορζσ να είναι ο παράγοντασ ςυμφόρθςθσ του ςυςτιματοσ (system bottleneck): ςτο RAID4, υπάρχει πρόςβαςθ ςτον δίςκο ιςοτιμίασ ςε κάκε λειτουργία εγγραφισ. Για να παρακάμψουμε αυτό το πρόβλθμα, μποροφμε απλά να παρεμβάλλουμε τα μπλοκ ιςοτιμίασ ανάμεςα ςτουσ δίςκουσ. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει πλζον δίςκοσ μόνο για τα bits ιςοτιμίασ, αλλά ο κάκε δίςκοσ ζχει κάποια μπλοκ δεδομζνων και κάποια μπλοκ ιςοτιμίασ. Ραράδειγμα του ςυςτιματοσ RAID5 με πζντε δίςκουσ υπάρχει ςτθν Εικόνα 3.21.

35 Το μοντζλο αξιοπιςτίασ για το RAID5 είναι προφανϊσ το ίδιο με το RAID4: διαφζρουν μόνο ςτο μοντζλο απόδοςθσ Μοντελοποίηςη Συςχετιςμζνων Βλαβών Στθν ανάλυςθ που ζχουμε παρουςιάςει μζχρι τϊρα, ζχουμε υποκζςει ότι οι δίςκοι πακαίνουν βλάβθ ανεξάρτθτα ο ζνασ από τον άλλον. Σε αυτό το εδάφιο, κα περιγράψουμε το αντίκτυπο που ζχουν οι ςυςχετιςμζνεσ βλάβεσ. Οι ςυςχετιςμζνεσ βλάβεσ προκφπτουν επειδι θ ιςχφσ τροφοδοςίασ και ελζγχου τυπικά διαμοιράηονται ανάμεςα ςτουσ πολλαπλοφσ δίςκουσ. Τα ςυςτιματα δίςκων ςυνικωσ αποτελοφνται από χορδζσ (strings). Θ κάκε χορδι αποτελείται από δίςκουσ που ςτεγάηονται ςε κλειςτό χϊρο και μοιράηονται τθν τροφοδοςία, τθν καλωδίωςθ, τθν ψφξθ και τον ελεγκτι. Αν κάποιο από αυτά πάκει βλάβθ, το ίδιο κα πάκει και όλθ θ χορδι. Με λ str ςυμβολίηουμε το ρυκμό βλάβθσ των ςτοιχείων υποςτιριξθσ (τροφοδοςία, καλωδίωςθ, ψφξθ, ζλεγχοσ) μιασ χορδισ. Αν ζνα ςφνολο RAID ελζγχεται από μια χορδι, τότε ο κακολικόσ ρυκμόσ βλάβθσ του ςυνόλου κα δίνεται από τον τφπο: λ total = λ indep + λ str (3.12) όπου λ indep είναι προςεγγιςτικά το αντίςτροφο του MTTDL, με τθν προχπόκεςθ ότι ιςχφουν οι ανεξάρτθτεσ βλάβεσ των δίςκων. Αν ο ρυκμόσ επιδιόρκωςθσ του δίςκου είναι κατά πολφ μεγαλφτεροσ από τον ρυκμό βλάβθσ του, θ απϊλεια δεδομζνων μπορεί να μοντελοποιθκεί και μζςω τθσ διαδικαςίασ Poisson, εξαιτίασ των ανεξάρτθτων βλαβϊν δίςκων. Το άκροιςμα των δφο ανεξάρτθτων διαδικαςιϊν Poisson είναι και αυτό μια διαδικαςία Poisson: για αυτόν τον λόγο, μποροφμε να κεωριςουμε τθ ςυνολικι διαδικαςία βλάβθσ ςαν μια διαδικαςία Poisson με ρυκμό λ total. Θ αξιοπιςτία τότε δίνεται από τον τφπο: total R () t e t total (3.13)

36 Θ δραματικι επίπτωςθ των βλαβϊν χορδισ ςε ζνα ςφςτθμα RAID1 φαίνεται ςτθν Εικόνα (Θ επίπτωςθ του RAID3 και των υψθλότερων επιπζδων είναι παρόμοια). Στθ βιβλιογραφία αναφζρονται εικόνεσ από ϊρεσ μζςθσ διάρκειασ ηωισ των χορδϊν και τουλάχιςτον ζνασ καταςκευαςτισ υποςτθρίηει ςαν μζςθ διάρκεια ηωισ των δίςκων τισ ϊρεσ. Επομζνωσ, θ ςυνζνωςθ ενόσ ολόκλθρου πίνακα RAID ςε μια χορδι αυξάνει τθν μθ αξιοπιςτία κατά πολφ. Για να παρακάμψουμε αυτό το φαινόμενο, μποροφμε να ζχουμε ορκογϊνιεσ διατάξεισ των χορδϊν και των ςυνόλων RAID, όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα Σε μια τζτοια περίπτωςθ, θ βλάβθ μιασ χορδισ επθρεάηει μόνο ζναν δίςκο ςτο ςφνολο RAID. Λόγω του γεγονότοσ ότι το κάκε RAID μπορεί να ανεχτεί τθν βλάβθ το πολφ ενόσ δίςκου, αυτό μειϊνει το αντίκτυπο βλαβϊν των χορδϊν. Το ορκογϊνιο ςφςτθμα μπορεί να μοντελοποιθκεί προςεγγιςτικά όπωσ παρακάτω: κάκε απϊλεια δεδομζνων προκαλείται από μια ακολουκία γεγονότων. Αν αυτι θ ακολουκία ξεκίνθςε από μια απλι βλάβθ δίςκου ι από μια βλάβθ χορδισ, λζμε ότι θ βλάβθ προκλικθκε (triggered) από μια μεμονωμζνθ βλάβθ ι μια βλάβθ χορδισ, αντίςτοιχα. Αφοφ οι ρυκμοί βλάβθσ και τθσ χορδισ και του δίςκου είναι ςχετικά χαμθλοί, μποροφμε, χωρίσ ςθμαντικό λάκοσ, να μοντελοποιιςουμε ξεχωριςτά τισ βλάβεσ που προκλικθκαν μεμονωμζνα από εκείνεσ που προκλικθκαν από χορδζσ. Θα ανακαλφψουμε (προςεγγιςτικά) το ρυκμό βλάβθσ για τθν κάκε μια περίπτωςθ. Θ πρόςκεςθ των δφο αυτϊν ρυκμϊν βλάβθσ κα μασ δϊςει προςεγγιςτικά τον κακολικό ρυκμό βλάβθσ, ο οποίοσ μπορεί τότε να χρθςιμοποιθκεί για να κακοριςτεί ο MTTDL κακϊσ και θ πικανότθτα απϊλειασ δεδομζνων για κάκε χρονικι ςτιγμι. Στθ ςυνζχεια, καταςκευάηουμε ζνα προςεγγιςτικό μοντζλο που υπολογίηει τον MTTDL και τθν αξιοπιςτία του ςυςτιματοσ για κάκε χρονικι ςτιγμι t. Αυτό το μοντζλο επιτρζπει μια γενικότερθ κατανομι των χρόνων επιδιόρκωςθσ.

37 Υπάρχουν ςυνολικά d + 1 δίςκοι ανά ςφνολο RAID, κάτι που μεταφράηεται ςε d + 1 χορδζσ και g ςφνολα δίςκων ςτθν ορκογϊνια διάταξθ. Ο ςυνολικόσ αρικμόσ των δίςκων είναι επομζνωσ (d + 1)g. Αντίκετα με το προθγοφμενό μασ ςυμπζραςμα, δε κα υποκζτουμε από εδϊ και ςτο εξισ ότι οι χρόνοι επιδιόρκωςθσ είναι εκκετικά κατανεμθμζνοι: αυτό που επικυμοφμε είναι να γίνονται γνωςτζσ οι κατανομζσ τουσ. Με f disk (t) ςυμβολίηουμε τθν ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ του χρόνου επιδιόρκωςθσ του δίςκου. Ο προςεγγιςτικόσ ρυκμόσ με τον οποίον οι μεμονωμζνεσ βλάβεσ πυροδοτοφν απϊλεια δεδομζνων ςε ςυγκεκριμζνο δίςκο δίνεται ςαν λ disk π indiv, όπου λ disk είναι ο ρυκμόσ βλάβθσ ενόσ απλοφ δίςκου και π indiv είναι θ πικανότθτα να προκαλζςει απϊλεια δεδομζνων μια μεμονωμζνθ βλάβθ. Για να υπολογίςουμε το π indiv, κυμόμαςτε ότι αποτελεί τθν πικανότθτα να πάκει βλάβθ ζνασ δίςκοσ ςτο επθρεαςμζνο ςφνολο RAID ενϊ θ προθγοφμενθ βλάβθ δεν ζχει ακόμθ επιδιορκωκεί. Αλλά και αυτι θ βλάβθ ςυμβαίνει με ρυκμό d(λ disk + λ str ), αφοφ θ δεφτερθ βλάβθ δίςκου μπορεί να ςυμβεί είτε λόγω μιασ βλάβθσ μεμονωμζνου δίςκου είτε λόγω μιασ βλάβθσ χορδισ. Με τ ςυμβολίηουμε τον (τυχαίο) χρόνο επιδιόρκωςθσ δίςκου. Θ πικανότθτα απϊλειασ δεδομζνων, δεδομζνου ότι θ επιδιόρκωςθ του πρϊτου δίςκου χρειάηεται χρόνο ίςο με τ, είναι: disk str ό { ώ έ ό ό } 1 e d Το τ ζχει ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ ίςθ με f disk ( ). Άρα, θ πικανότθτα απϊλειασ δεδομζνων είναι:

38 ό { ώέ όό} f d indiv 0 0 ddisk str 1 disk disk F e f d disk disk str ddisk str disk f d e f d d (3.14) disk όπου F disk ( ) είναι ο μεταςχθματιςμόσ Laplace του f disk ( ). Αφοφ υπάρχουν (d + 1)g δίςκοι δεδομζνων, ο προςεγγιςτικόσ ρυκμόσ με τον οποίον πυροδοτείται απϊλεια ςφαλμάτων από μεμονωμζνθ βλάβθ δίςκου δίνεται από τον τφπο: Λ indiv (d + 1)gλ disk {1 F disk (d[λ disk + λ str ])} (3.15) Γιατί όμωσ δεν είναι ακριβισ αυτι θ ζκφραςθ αλλά μόνο μια προςζγγιςθ; Επειδι (d + 1)gλ disk είναι ο ρυκμόσ με τον οποίον ςυμβαίνουν οι μεμονωμζνεσ βλάβεσ δίςκων ςε ζνα ςφςτθμα απαλλαγμζνο από ςφάλματα (fault-free system). Αφοφ θ πικανότθτα να είναι το ςφςτθμα εντελϊσ απαλλαγμζνο από ςφάλματα είναι μεγάλθ (αν οι χρόνοι επιδιόρκωςθσ είναι πολφ μικρότεροι από το χρόνο μεταξφ των βλαβϊν και το μζγεκοσ του ςυςτιματοσ δεν είναι υπερβολικά μεγάλο), αυτό αποτελεί ςυνικωσ μια καλι προςζγγιςθ. Ζχει το προτζρθμα να μθν επιβάλλει περιοριςμοφσ ςτθν κατανομι του χρόνου επιδιόρκωςθσ. Σε αυτό το ςθμείο, ασ υπολογίςουμε το Λ str, το ρυκμό δθλαδι με τον οποίον προκαλείται απϊλεια δεδομζνων λόγω βλάβθσ χορδισ. Ο ςυνολικόσ ρυκμόσ με τον οποίον οι χορδζσ πακαίνουν βλάβθ (αν είναι όλεσ λειτουργικζσ) είναι (d + 1) λ str. Πταν πάκει βλάβθ μια χορδι, πρζπει να τθν επιδιορκϊςουμε και ζπειτα να κάνουμε τισ απαραίτθτεσ διορκϊςεισ και ςτουσ μεμονωμζνουσ δίςκουσ, που ενδζχεται να ζχουν επθρεαςτεί από τθ βλάβθ τθσ χορδισ. Θα κάνουμε τθν απαιςιόδοξθ εικαςία ότι θ βλάβθ μπορεί να ςυμβεί αν κάποια άλλθ ςυμβεί ςε οποιοδιποτε από τα ςφνολα ι ςε οποιονδιποτε από τουσ δίςκουσ πριν αποκαταςτακοφν πλιρωσ όλα τα ςφνολα. Αποτελεί απαιςιόδοξθ ςκζψθ επειδι υπάρχουν περιπτϊςεισ που κεωροφνται πωσ προκαλοφν απϊλεια δεδομζνων αλλά ςτθν πραγματικότθτα δεν ςυμβαίνει κάτι τζτοιο. Για παράδειγμα, κα κεωριςουμε πωσ προκαλεί βλάβθ δεδομζνων το γεγονόσ να ςυμβοφν δφο βλάβεσ χορδϊν ςτθν ίδια χορδι, με τθν δεφτερθ να ςυμβαίνει πριν τθν πλιρθ αποκατάςταςθ τθσ πρϊτθσ. Επιπλζον, μποροφμε να κάνουμε και τθν αιςιόδοξθ υπόκεςθ πωσ όλοι οι δίςκοι που επθρεάςτθκαν από τθν βλάβθ χορδισ ζχουν ανοςία ςε περαιτζρω βλάβθ πριν τθν αποκατάςταςθ αυτισ και όλων των δίςκων που επθρεάςτθκαν από αυτιν. Θ διαφορά ςτουσ ρυκμοφσ βλάβθσ που προβλζφκθκαν από τισ δφο παραπάνω εικαςίεσ κα μασ δϊςει μια εικόνα του πόςο ςφιχτά τυχαίνει να είναι τα απαιςιόδοξα όρια. Τ είναι ο (τυχαίοσ) χρόνοσ επιδιόρκωςθσ τθσ χορδισ με βλάβθ κακϊσ και όλων των ςυςτατικϊν τθσ δίςκων που ενδεχομζνωσ να ζχουν επθρεαςτεί. Με f str ( ) ςυμβολίηουμε τθν ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ πικανότθτασ αυτοφ του χρόνου. Μετά, και ςφμφωνα με το απαιςιόδοξο ςενάριο, επιπρόςκετεσ βλάβεσ ςυμβαίνουν με ρυκμό λ pess = (d + 1)λ str + (d + 1)gλ disk. Σφμφωνα με το αιςιόδοξο ςενάριο, επιπρόςκετεσ βλάβεσ ςυμβαίνουν με ρυκμό λ opt = dλ str + dgλ disk.

39 Απϊλεια δεδομζνων, ςυνεπϊσ, κα προκλθκεί ςτο απαιςιόδοξο μοντζλο με τθν πικανότθτα pess (επί τ) p 1 e pess και ςτο αιςιόδοξο μοντζλο (επί τ) με τθν πικανότθτα p opt opt 1 e. Ενςωματϊνοντασ το τ, αποκτοφμε τισ απαιςιόδοξεσ και αιςιόδοξεσ εκτιμιςεισ: pess 1 Fstr ( pess ) και opt 1 Fstr ( opt ), αντίςτοιχα, όπου F str () είναι ο μεταςχθματιςμόσ Laplace του f str ( ). Ο απαιςιόδοξοσ και αιςιόδοξοσ ρυκμόσ με τουσ οποίουσ μια βλάβθ χορδισ προκαλεί απϊλεια δεδομζνων δίνονται από τουσ ακόλουκουσ τφπουσ: Λ str_pess = (d +1)λ str π pess Λ str_opt = (d +1)λ str π opt (3.16) Ο ρυκμόσ με τον οποίον υπάρχει απϊλεια δεδομζνων προςεγγιςτικά ςτο ςφςτθμα είναι, επομζνωσ: Από το παραπάνω, ζχουμε αμζςωσ ότι: 1 MTTDL Rt e data _ loss data _ loss, t (3.18) ςαν προςεγγίςεισ του MTTDL και τθσ αξιοπιςτίασ του ςυςτιματοσ, αντίςτοιχα. 3.3 Αναπαραγωγή Δεδομζνων Θ αναπαραγωγι δεδομζνων (data replication) ςε κατανεμθμζνα ςυςτιματα αποτελεί ακόμθ ζνα παράδειγμα τθσ χριςθσ του πλεοναςμοφ πλθροφορίασ για βελτίωςθ τθσ ανκεκτικότθτασ ςε ςφάλματα ςτο επίπεδο ςυςτιματοσ. Αποτελείται από πανομοιότυπα αντίγραφα δεδομζνων ςε δφο ι και περιςςότερουσ κόμβουσ ςε ζνα κατανεμθμζνο ςφςτθμα. Ππωσ και ςτο ςφςτθμα RAID, ζνα ςωςτά διαχειρίςιμο πλάνο αναπαραγωγισ δεδομζνων μπορεί να προςφζρει και ανκεκτικότθτα ςε ςφάλματα αλλά και βελτιωμζνθ απόδοςθ (επειδι υπάρχει θ δυνατότθτα ανάγνωςθσ δεδομζνων, λόγου χάρθ, από γειτονικά αντίγραφα). Ραρόλα αυτά, είναι ιδιαιτζρωσ ςθμαντικό να διατθρθκοφν τα δεδομζνα ςυνεπι, παρά τισ βλάβεσ του ςυςτιματοσ. Θεωρείςτε, επί παραδείγματι, μια κατάςταςθ ςτθν οποία διατθροφμε πζντε αντίγραφα των δεδομζνων: ζνα αντίγραφο ςε κακζναν από τουσ πζντε κόμβουσ ενόσ κατανεμθμζνου ςυςτιματοσ, οι οποίοι ςυνδζονται όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.24 α. υποκζςτε πωσ μια αίτθςθ εγγραφισ ι ανάγνωςθσ κα φτάςει ςε οποιονδιποτε από τουσ πζντε κόμβουσ μζςω των αμφίδρομων ςυνδζςμων τθσ εικόνασ. Πςο τα πζντε αντίγραφα διατθροφνται ςυνεπι, μια λειτουργία ανάγνωςθσ μπορεί να αποςταλεί ςε οποιονδιποτε κόμβο. Εντοφτοισ, ασ υποκζςουμε ότι δφο από τουσ ςυνδζςμουσ πακαίνουν βλάβθ, κάτι που φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.24 β. Τότε, ο κόμβοσ Α

40 αποςυνδζεται από τουσ κόμβουσ B και C. Αν μια λειτουργία εγγραφισ ενθμερϊςει το αντίγραφο δεδομζνου (datum) ςτον κόμβο Α, αυτι θ εγγραφι δεν μπορεί να ςταλεί ςε άλλουσ κόμβουσ και ζτςι δε κα είναι πλζον ςυνεπείσ με τον Α. Κάκε ανάγνωςθ των δεδομζνων τουσ κα οδθγιςει, επομζνωσ, ςτθ χριςθ πολυκαιριςμζνων δεδομζνων (stale data). Σε ό, τι ακολουκεί, περιγράφουμε δφο προςεγγίςεισ διαχείριςθσ τθσ αναπαραγωγισ των δεδομζνων μζςω τθσ ανάκεςθσ βαρϊν (ψιφων) ςτα μεμονωμζνα αντίγραφα: ζνα μθ ιεραρχικό πλάνο και ζνα ιεραρχικό. Οι ψιφοι μάσ επιτρζπουν να προτιμοφμε αντίγραφα που υπάρχουν ςε πιο αξιόπιςτουσ και πιο καλά ςυνδεδεμζνουσ κόμβουσ. Θα υποκζςουμε πωσ όλοι οι ελαττωματικοί κόμβοι μποροφν να αναγνωριςτοφν αν δε λάβει χϊρα καμία κακόβουλθ ςυμπεριφορά Ψηφοφορία: Μη Ιεραρχική Οργάνωςη Στθ ςυνζχεια, παρουςιάηουμε μια προςζγγιςθ ψιφου για τθ διαχείριςθ τθσ αναπαραγωγισ δεδομζνων. Για να αποφφγουμε τθν ςφγχυςθ, δίνουμε ζμφαςθ ςτο γεγονόσ ότι δεν ψθφίηουμε πολλαπλά αντίγραφα των δεδομζνων. Αν διαβάςουμε r αντίγραφα μιασ δομισ δεδομζνων, επιλζγουμε εκείνο με τθν τελευταία χρονικι ςφραγίδα (latest timestamp). Υποκζτουμε πωσ θ κωδικοποίθςθ δεδομζνων χρθςιμοποιείται για τθν ανίχνευςθ / διόρκωςθ των λακϊν δεδομζνων που είναι αποκθκευμζνα ι που μεταδίδονται. Θ ψθφοφορία δε χρθςιμοποιείται για αυτόν τον ςκοπό αλλά μονάχα για να κακορίςει το ελάχιςτο ςφνολο των κόμβων που χρειάηεται να ενθμερωκοφν για μια λειτουργία εγγραφισ ι να είναι προςβάςιμοι για τθν ολοκλιρωςθ μιασ λειτουργίασ ανάγνωςθσ. Το απλοφςτερο πλάνο ψθφοφορίασ είναι το ακόλουκο: ανακζτουμε v i ψιφουσ ςτο αντίγραφο i του δεδομζνου και με S ςυμβολίηουμε το ςφνολο όλων των κόμβων αυτοφ του

41 δεδομζνου. ν είναι το άκροιςμα όλων των ψιφων, με ν = Σ iєs ν i. Οι ακζραιοι r και w ζχουν τισ παρακάτω ιδιότθτεσ: r + w > v, w > v / 2 Με V(X) ςυμβολίηουμε τον ςυνολικό αρικμό των ψιφων που ανατζκθκαν ςτα αντίγραφα ςτο ςφνολο Χ των κόμβων. Θ ακόλουκθ ςτρατθγικι διαςφαλίηει πωσ όλεσ οι αναγνϊςεισ γίνονται ςτα πιο τελευταία δεδομζνα. Για την ολοκλήρωςη μιασ ανάγνωςησ, είναι απαραίτητο να διαβάςουμε από όλουσ τουσ κόμβουσ ενόσ ςυνόλου R S, τζτοιο ώςτε V(R) r. Με παρόμοιο τρόπο, για την ολοκλήρωςη μιασ εγγραφήσ, πρζπει να βροφμε ζνα ςφνολο W S, τζτοιο ώςτε V(W) w και να εκτελζςουμε αυτήν την εγγραφή ςε κάθε αντίγραφο του W. Αυτι θ διαδικαςία λειτουργεί επειδι για κάκε ςφνολο R και W τζτοια ϊςτε V(R) r και V(W) w, πρζπει να ζχουμε R W Ø (επειδι r + w > v). Επομζνωσ, κάκε λειτουργία ανάγνωςθσ εγγυάται να διαβάςει τθν τιμι τουλάχιςτον ενόσ αντίγραφου που ζχει ενθμερωκεί από τθν πιο πρόςφατθ εγγραφι. Επιπρόςκετα, για οποιαδιποτε δφο ςφνολα W 1, W 2 τζτοια ϊςτε V(W 1 ), V(W 2 ) w, πρζπει να ζχουμε W 1 W 2 Ø. Κάτι τζτοιο αποτρζπει διαφορετικζσ εγγραφζσ ςτο ίδιο δεδομζνο τθν ίδια ςτιγμι και εγγυάται ότι υπάρχει τουλάχιςτον ζνασ κόμβοσ που λαμβάνει και τισ δφο ενθμερϊςεισ. Οποιοδιποτε ςφνολο R τζτοιο ϊςτε V(R) r, λζγεται πωσ ζχει απαρτία ανάγνωςθσ (read quorum) και κάκε ςφνολο W,τζτοιο ϊςτε V(W) w ζχει απαρτία εγγραφισ (write quorum). Ρϊσ όμωσ κα λειτουργιςει αυτό το ςφςτθμα για το παράδειγμα τθσ Εικόνασ 3.24; Υποκζςτε πωσ δίνουμε μια ψιφο ςε κάκε κόμβο: το άκροιςμα όλων των ψιφων είναι επομζνωσ ν = 5. Ρρζπει να ιςχφει w > 5 / 2, ζτςι ϊςτε w є,3, 4, 5-. Αφοφ r + w > ν, πρζπει να είναι r > ν w. Οι ακόλουκοι ςυνδυαςμοί είναι επιτρεπτοί: (r, w) {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (3, 3)} Σκεφτείτε τϊρα τθν περίπτωςθ όπου (r, w) = (1, 5). Μια λειτουργία ανάγνωςθσ μπορεί να εκτελεςτεί επιτυχϊσ αν αναγνωςτεί οποιοδιποτε από τα πζντε αντίγραφα. Ωςτόςο, για να ολοκλθρωκεί μια εγγραφι, χρειάηεται να ενθμερϊςουμε και τα πζντε αντίγραφα. Αυτι θ ενθμζρωςθ διαςφαλίηει πωσ κάκε λειτουργία ανάγνωςθσ λαμβάνει τθν τελευταία ενθμζρωςθ των δεδομζνων. Αν επιλζξουμε w = 5, δεν ζχει νόθμα να ορίςουμε r > 1, κάτι που κα κακυςτεροφςε δίχωσ λόγο τθ λειτουργία ανάγνωςθσ. Σε αυτιν τθν περίπτωςθ, μποροφμε να ςυνεχίςουμε να διαβάηουμε από κάκε κόμβο ακόμθ και μετά τθν αποςφνδεςθ του δικτφου λόγω των βλαβϊν, όπωσ φαίνεται και ςτθν Εικόνα 3.24 β. Εντοφτοισ, κα είναι αδφνατο να ενθμερϊςουμε το δεδομζνο αφοφ δεν μποροφμε, από καμία πθγι, να φτάςουμε τα πζντε αντίγραφα και να τα ενθμερϊςουμε. Σαν ζνα άλλο παράδειγμα, ζχουμε (r, w) = (3, 3). Εδϊ υπάρχει το πλεονζκτθμα αίτθςθσ εγγραφισ μόνο τριϊν αντιγράφων πριν τθν επιτυχι ολοκλιρωςθ τθσ ενθμζρωςθσ δεδομζνων. Ραρόλα αυτά, οι λειτουργίεσ ανάγνωςθσ χρειάηονται τϊρα περιςςότερο χρόνο επειδι θ κάκε ςυνολικι ανάγνωςθ απαιτεί το διάβαςμα τριϊν αντιγράφων και όχι μόνο ενόσ. Με αυτό το ςφςτθμα, μετά τθν αποςφνδεςθ του δικτφου, οι εγγραφζσ και οι αναγνϊςεισ του κόμβου Α δεν κα εξυπθρετοφνται. Πμωσ, οι τζςςερισ κόμβοι που ζμεινα ςυνδεδεμζνοι, μποροφν να ςυνεχίςουν το ρόλο τουσ (εγγραφι και ανάγνωςθ) ανενόχλθτοι.

42 Οι επιλεγμζνεσ τιμζσ για τα r και w κα επθρεάςουν τθν απόδοςθ του ςυςτιματοσ. Αν, λόγου χάρθ, υπάρχουν πολφ περιςςότερεσ αναγνϊςεισ από εγγραφζσ, ίςωσ επιλζξουμε να κρατιςουμε το r ςε χαμθλά επίπεδα για να επιταχφνουμε τισ λειτουργίεσ ανάγνωςθσ. Βζβαια, επιλζγοντασ r = 1 απαιτείται να είναι w = 5, κάτι που ςθμαίνει ότι οι εγγραφζσ πλζον δε κα γίνονται ζςτω και αν ζνασ κόμβοσ είναι αποςυνδεδεμζνοσ. Επιλζγοντασ r = 2 ζχουμε w = 4. Οι εγγραφζσ μποροφν να γίνουν αν είναι ςυνδεδεμζνοι οι τζςςερισ από τουσ πζντε κόμβουσ. Γι αυτό το λόγο ζχουμε μια ςυναλλαγι μεταξφ απόδοςθσ και αξιοπιςτίασ. Το πρόβλθμα ανάκεςθσ ψιφων ςτουσ κόμβουσ με τζτοιον τρόπο ϊςτε να μεγιςτοποιείται θ διακεςιμότθτα είναι πολφ δφςκολο (θ διακεςιμότθτα του ςυςτιματοσ είναι θ πικανότθτα να είναι διακζςιμεσ οι απαρτίεσ εγγραφισ και ανάγνωςθσ). Ζτςι, παρουςιάηουμε δφο ευρετικζσ (heuristics) που ςυνικωσ παράγουν καλά αποτελζςματα (αν και όχι απαραίτθτα βζλτιςτα). Αυτζσ οι ευρετικζσ μάσ επιτρζπουν να χρθςιμοποιοφμε ζνα γενικό μοντζλο που περιλαμβάνει βλάβεσ κόμβου και ςυνδζςμου. Υποκζςτε πωσ γνωρίηουμε τθν διακεςιμότθτα του κάκε κόμβου i, που είναι α n (i), και κάκε ςυνδζςμου j, που είναι α l (j). Με L(i) ςυμβολίηουμε το ςφνολο των ςυνδζςμων που προςπίπτουν ςτον κόμβο i. Ευρετική 1: Ανακζςτε ςτον κόμβο i μια ψιφο ν(i) = α n (i)σ jєl α l (j) ςτρογγυλοποιθμζνθ ςτον κοντινότερο ακζραιο αρικμό. Αν το άκροιςμα όλων των ψιφων που ανατζκθκε ςτουσ κόμβουσ είναι ηυγό, δϊςτε μια επιπλζον ψιφο ςε ζναν από τουσ κόμβουσ με το μεγαλφτερο αρικμό ψιφων. Ευρετική 2: Ασ είναι k(i, j) ο κόμβοσ που ςυνδζεται ςτον κόμβο i με τον ςφνδεςμο j. Ανακζςτε ςτον κόμβο i μια ψιφο ν(i) = α n (i) + Σ jєl α l (j)α n (k(i, j)) ςτρογγυλοποιθμζνθ ςτον κοντινότερο ακζραιο αρικμό. Ππωσ και ςτθν Ευρετικι 1, αν το άκροιςμα όλων των ψιφων που ανατζκθκε ςτουσ κόμβουσ είναι ηυγό, δϊςτε μια επιπλζον ψιφο ςε ζναν από τουσ κόμβουσ με το μεγαλφτερο αρικμό ψιφων. Σαν παράδειγμα, πάρτε το ςφςτθμα τθσ Εικόνασ Θ αρχικι ανάκεςθ λόγω τθσ Ευρετικισ 1 είναι θ ακόλουκθ: v(a) = = 0 v(b) = = 1 v(c) = = 1 v(d) = = 1 Σθμειϊςτε πωσ θ Ευρετικι 1 δίνει ςτον κόμβο Α μθδζν ψιφουσ. Αυτό ςθμαίνει πωσ ο Α και οι ςφνδεςμοί του είναι τόςο αναξιόπιςτοι ςυγκριτικά με τουσ υπόλοιπουσ, που μποροφμε κάλλιςτα να μθν τον χρθςιμοποιιςουμε κακόλου. Οι ψιφοι βγαίνουν τελικά 3, και ζτςι οι απαρτίεσ ανάγνωςθσ και εγγραφισ πρζπει να πλθροφν τισ ακόλουκεσ απαιτιςεισ: r + w > 3, w > 3 / 2 Συνεπϊσ, w {2, 3}. Αν κζςουμε w = 2, κα ζχουμε r = 2 για τθν μικρότερθ απαρτία ανάγνωςθσ. Οι πικανζσ λοιπόν απαρτίεσ ανάγνωςθσ κα είναι,bc, CD, BD}. Ταυτόχρονα, αποτελοφν και τισ πικανζσ απαρτίεσ εγγραφισ.

43 Αν κζςουμε w = 3, ζχουμε r = 1 για τθν μικρότερθ απαρτία ανάγνωςθσ. Οι πικανζσ λοιπόν απαρτίεσ ανάγνωςθσ κα είναι,b, C, D-, ενϊ υπάρχει μόνο μια πικανι απαρτία εγγραφισ, θ οποία είναι θ BCD. Σφμφωνα με τθν Ευρετικι 2, ζχουμε τισ παρακάτω ανακζςεισ ψιφων: v(a) = = 1 v(b) = = 2 v(c) = = 2 v(d) = = 1 Αφοφ οι ψιφοι ζχουν ςαν άκροιςμα ηυγό αρικμό, δίνουμε ςτον Β μια επιπλζον ψιφο, ζτςι ϊςτε θ τελικι ανάκεςθ ψιφων να είναι: ν(α) = 1, ν(β) = 3, ν(c) = 2, ν(d) = 1. Τϊρα οι ψιφοι ζχουν άκροιςμα ίςο με 7, και ζτςι οι απαρτίεσ ανάγνωςθσ και εγγραφισ πρζπει να ικανοποιοφν τισ ςχζςεισ: r + w > 7, w > 7 / 2 Συνεπϊσ, w є {4, 5, 6, 7}. Ο Ρίνακασ 3-7 δείχνει τισ απαρτίεσ ανάγνωςθσ και εγγραφισ που ςχετίηονται με r + w = 8. Ρροςκαλοφμε τον αναγνϊςτθ να μεγαλϊςει το μζγεκοσ του πίνακα, καταγράφοντασ τθν διακεςιμότθτα που ςυνδζεται με κάκε δοςμζνο ηεφγοσ (r, w): αυτι είναι, βζβαια, θ πικανότθτα ςυγκζντρωςθσ τουλάχιςτον μιασ απαρτίασ ανάγνωςθσ και εγγραφισ, παρά τθν φπαρξθ βλαβϊν κόμβου και/ι ςυνδζςμου. Απεικονίηουμε τθν διαδικαςία λφνοντασ το πρόβλθμα για (r, w) = (4, 4). Θ διακεςιμότθτα ςε αυτιν τθν περίπτωςθ είναι θ πικανότθτα χριςθ τουλάχιςτον μιασ εκ των απαρτιϊν AB, BC, BD, ACD. Υπολογίηουμε αυτιν τθν πικανότθτα αφοφ πρϊτα λογαριάςουμε τισ διακεςιμότθτεσ των μεμονωμζνων απαρτιϊν. Θ απαρτία ΑΒ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί αν οι κόμβοι Α και Β αλλά και το μοναδικό μονοπάτι που τουσ ςυνδζει είναι λειτουργικά. Θ πικανότθτα να ςυμβεί κάτι τζτοιο είναι:

44 Ρικανότθτα {χριςθσ AB} = a n (A)a n (B)a l (l AB ) = = Ππου a l (l AB ) είναι θ διακεςιμότθτα του ςυνδζςμου l AB που ςυνδζει τουσ κόμβουσ Α και Β. Θ απαρτία BC κα μπορεί να χρθςιμοποιθκεί αν οι κόμβοι Β και C και τουλάχιςτον ζνα από τα δφο μονοπάτια που τουσ ςυνδζουν είναι λειτουργικά. Θ πικανότθτα αυτι υπολογίηεται παρακάτω: Ρικανότθτα,χριςθσ BC} = a n (B)a n (C)[a l (l BC )+a l (l BD )a n (D)a l (l DC )(1 a l (l BC ))] = [ ] = Ραρομοίωσ, μποροφμε να υπολογίςουμε τισ διακεςιμότθτεσ από τισ απαρτίεσ BD και ACD. Ραρόλα αυτά, για να υπολογίςουμε τθν διακεςιμότθτα του ςυςτιματοσ, δεν μποροφμε να ακροίςουμε απλά τισ επιμζρουσ διακεςιμότθτεσ από τισ απαρτίεσ, επειδι τα γεγονότα «θ απαρτία i είναι λειτουργικι» δεν είναι αμοιβαίωσ αποκλειόμενα. Αντίκετα, κα πρζπει να υπολογίςουμε τισ πικανότθτεσ όλων των διαςταυρϊςεων αυτϊν των γεγονότων και μετά να τισ αντικαταςτιςουμε ςτθν φόρμουλα ενςωμάτωςθσ και αποκλειςμοφ, κάτι που αποτελεί επίπονθ εργαςία. Ζνασ ευκολότεροσ και πιο μεκοδικόσ τρόποσ υπολογιςμοφ τθσ διακεςιμότθτασ του ςυςτιματοσ είναι θ καταγραφι όλων των πικανϊν ςυνδυαςμϊν των καταςτάςεων των εξαρτθμάτων του ςυςτιματοσ και ζπειτα θ άκροιςθ των πικανοτιτων αυτϊν των ςυνδυαςμϊν για τουσ οποίουσ υπάρχει απαρτία. Στο δικό μασ παράδειγμα, το ςφςτθμα ζχει οκτϊ εξαρτιματα (ςυνδζςμουσ και κόμβουσ), το κακζνα από τα οποία βρίςκεται ςε μια εκ των δφο καταςτάςεων: «λειτουργικό» ( up ) και «μθ λειτουργικό» ( down ), με 2 8 = 256 ςυνολικζσ καταςτάςεισ ςυςτιματοσ. Θ πικανότθτα τθσ κάκε κατάςταςθσ είναι ζνα προϊόν οκτϊ όρων, ο κακζνασ από τουσ οποίουσ λαμβάνει μια από τισ ακόλουκεσ μορφζσ: α n (i), (1 - α n (i)), α l (j) ι (1 - α l (j)). Για κάκε μια από αυτζσ τισ καταςτάςεισ, μποροφμε να δοφμε αν υπάρχει απαρτία ανάγνωςθσ ι εγγραφισ. Θ διακεςιμότθτα του ςυςτιματοσ είναι το άκροιςμα των πικανοτιτων των καταςτάςεων όπου υπάρχουν και οι δφο απαρτίεσ. Για (r, w) = (4, 4), οι λίςτεσ και για τα δφο είδθ απαρτίασ είναι πανομοιότυπεσ. Για κάκε άλλθ τιμι του (r, w), οι λίςτεσ είναι διαφορετικζσ και για να υπολογίςουμε τθν διακεςιμότθτα του ςυςτιματοσ, πρζπει να λάβουμε υπόψθ μασ τισ ςχετικζσ ςυχνότθτεσ των λειτουργιϊν εγγραφισ και ανάγνωςθσ και να τισ πολλαπλαςιάςουμε με τισ αντίςτοιχεσ πικανότθτεσ να υπάρχουν αυτζσ οι απαρτίεσ.