KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG"

Transcript

1 S R P S K K M I J N U K KLSIƒNI NUƒNI SPISI KNJIG III MTMTIƒKI INSTITUT KNJIG 3 GOMTRISK ISPITIVNJ IZ TORIJ PRLLNIH LINIJ O N. I. LOƒVSKOG Preveo RNISLV PTRONIJVI RUGO, PRO IRNO IZNJ O G R 1951

2 Na²ao sam u geometriji izvesne nesavr²enosti, koje drºim za razlog ²to ova nauka, ukoliko nije analiza, da sada nije mogla u initi ni koraka napred iz onog stanja u kom nam ju je uklid ostavio. U ta nesavr²enstva ra unam nejasnost prvih pojmova o geometriskim koli inama, na in na koji se zami²lja merenje njihovo, i naposletku vaºnu prazninu u teoriji paralelnih, koji nisu bili u stanju do sada da ispune napori matemati ara. Poku²aji Leºandrovi nisu ni ega dodali ovoj teoriji, po²to je on bio primoran, da ostavi jedan strogi put, da skrene jednim sporednim putem i da pribegne pomo nim stavovima, iju nuºnu aksiomati nost bezrazloºno ho e da utvrdi. Prvi moj poku²aj o osnovama geometrije objavio sam u Kazanskom Vesniku" za 1829 god. U nadi da sam odgovorio svim zahtevima, zanimao sam se dalje izradom te nauke u celini, i objavio sam moj rad u pojedinim deovima u U enim zapiscima kazanskog Univerziteta" za god 1836, 1837, 1838 pod naslovom Novi osnovi geometrije sa potpunom teorijom paralelnih". Moºda obim ovog poslednjeg rada smeta mojim zemljacima da se bave jednim takvim predmetom koji je izgubio svoj interes posle Leºandra. li drºim, da ta teorija paralelnih nije smela izgubiti paºnju geometara, i stoga sam nameran da ovde izloºim ono ²to je bitno u mojim istraºivanjima, prime uju i unapred, da nasuprot mi²ljenju Leºandrovom sve ostale nesavr²enosti, na pr. denicija prave linije, ovde nemaju mesta, i bez ikakvog su uticaja na teoriju paralelnih. a ne bih zamarao itaoce mnoºinom takvih stavova, iji dokazi ne pri injavaju nikakve te²ko e, ja u ovde unapred izloºiti samo one, ije je znanje potrbno za ono ²ta sleduje. 1. Prava linija poklapa se sama sa sobom u svima poloºajima. Pod ovim podrazumevam, da prava linija pri obrtanju povr²ine ne menja svoje mesto, ako prolazi kroz dve nepokretne ta ke u povr²ini. 2. ve prave linije mogu se se i u dvema ta kama. 3. Kad se prava linija dovoljno produºi u oba pravca, ona mora pre i svaku granicu, i deli, prema tome, jednu ograni enu ravan na dva dela. 4. ve prave linije, koje su upravne na istoj tre oj, ne seku se, pa makoliko se produºile. 5. Jedna prava linija uvek se e drugu, ako s jedne strane njene prelazi na drugu. 6. Unakrsni uglovi, kod kojih su strane jednoga produºenja strana drugoga, jednaki su. Ovo vaºi kako za ravne pravoliniske uglove, tako i za ravne povr²inske uglove. 7. ve prave linije ne mogu se se i, ako ih tre a preseca pod istim uglovima. 1

3 8. U pravoliniskom trouglu leºe naspram jednakih uglova jednake strane i obratno. 9. U pravoliniskom touglu leºi prema ve oj strani i ve i ugao. U pravouglom trouglu hipotenuza je ve a od svake katete i uglovi, koji leºe na njoj, o²tri su. 10. Pravoliniski trougli su kongruentni, ako imaju jednake jednu stranu i dva ugla, ili dve strane i zahva eni ugao, ili dve strane i ugao prema najve oj strani ili ako su sve tri strane jednake. 11. ko je jedna prava linija upravna na drugim dvema koje nisu s njom u istoj ravni, onda je ona upravna na svima pravim linijama, koje se mogu povu i kroz zajedni ku ta ku preseka u ravni drugih dveju. 12. Presek kugle i ravni je krug. 13. Prava linija, koja je upravna na preseku dveju upravnih ravni a leºi u jednoj od njih, upravna je na drugoj ravni. 14. U sfernom trouglu leºe naspram jednakih strana jednaki uglovi i obrnuto. 15. Sferni trouglovi su kongruentni, ako imaju jednake dve strane i njima zahva eni ugao, ili jednu stranu i uglove na njoj. Odavde ostali stavovi sleduju sa njihovim obja²njenjima i dokazima. 16. Sve prave linije, koje polaze u jednoj ravni iz jedne ta ke, mogu se u odnosu na jednu datu pravu liniju u istoj ravni podeliti u dve klase, i to u linije koje se seku i linije koje se ne seku. Grani na linija izmežu jedne i druge klase tih linija naziva se paralelnom datoj liniji. Neka je iz ta ke (g. 1) na liniju spu²tena upravna, na koju je opet povu ena upravna. U pravom uglu ili e se sve prave linije, koje polaze iz ta ke, se i sa linijom, kao, na pr., F,ili se neke od njih sli no upravnoj, ne e se i sa linijom. U neizvesnosti, da li je upravna jedina linija, koja se ne se e sa, mi emo pretpostaviti, da je mogu no da ima jo² drugih linija, na pr. G, koje se ne seku sa, ma koliko bile produºene. Pri prelazu od linija F, koje se seku, ka linijama G, koje se ne seku, moramo nai i na jednu liniju H, koja je paralelna sa, na jednu grani nu liniju, na ijoj se jednoj strani nijedna od linija G ne se e sa, dok se na drugoj strani svaka prava linija F se e sa linijom. 2

4 K G H F H K Fig. 1 Ugao H izmežu paralelne H i upravne naziva se paralelnim uglom (ugao paralelizma) i njega emo ovde obeleºavati Π(p) za = p. ko je Π(p) prav ugao, onda e produºenje upravne biti takože paralelno produºenju linije. Uz to emo jo² primetiti, da u odnosu na etiri prava ugla, koja u ta ki ine upravne i i njihova produºenja i, svaka prava linija, koja polazi iz ta ke, ili sama, ili bar u svome produºenju, leºi u jednome od dva prava ugla, ²to se nalaze naspram, tako da osim paralelne sve ostale, ako se s obe strane dovoljno produºe, moraju se i liniju. ko je Π(p) < 1 2π onda e na drugoj strani upravne a pod istim uglom K = Π(p) leºati jo² jedna linija K paralelna sa produºenjem linije, tako da kod ove pretpostavke moramo razlikovati jo² stranu paralelizma. Sve ostale linije ili njihova produºenja, u okviru dva prava ugla ²to leºe naspram, spadaju u linije koje se seku, ako u okviru ugla HK = 2Π(p) leºe izmežu paralelnih; naprotiv one spadaju u linije G koje se ne seku, ako se nalaze na drugoj strani paralelnih H i K u otvoru uglova H = 1 2 π Π(p), K = 1 2π Π(p) izmežu paralelnih i upravne na. Na drugoj strani upravne bi e na sli an na in produºenja H i K takože paralelna sa ; ostale linije spadaju u uglu K H u linije koje se seku, a u uglovima K, H u linije koje se ne seku. Prema tome pri pretpostavci Π(p) = 1 2π linije mogu samo ili linije koje se seku ili paralelne; ako se pak pretpostavi da je Π(p) < 1 2π onda se moraju dopustiti dve paralelne, jedna na jednoj druga na drugoj strani; osim toga moraju se ostale linije razlikovati u linije koje se ne seku i u linije koje se seku. U obema pretpostavkama oznaka paralelizma je u tome, ²to linija pri najmanjem odstupanju na onoj strani, na kojoj se nalazi paralelna, postaje linijom koja se se e, tako da, ako ja H paralelno sa svaka linija F se e ma kako mali bio ugao HF. 3

5 17. Prava linija zadrºava oznaku paralelizma u svim svojim ta kama. Neka je paralelna sa, na kojoj ja upravna. Mi emo posmatrati dve ta ke, koje su uzete proizvoljno na liniji i njenom produºenju na drugoj strani upravne. Neka ta ka leºi na onoj strani uprane, na kojoj se smatra da je paralelno sa. Neka se iz ta ke spusti upravna K na, zatim neka se povu e F tak da pada u okvir ugla K. Neka se ta ke i F spoje jednom pravom linijom, ije prouºenje mora se i po drugi put (stav 2.), to ce ona morati se i negde u H (stav 3.). F F K K H G G Fig. 2 Neka je sada ta ka na produºenju linije i K upravna na produºenju linije, neka se povu e linija F pod tako malim uglom F da se e negde u F, zatim, neka se pod istim ugom sa povu e iz jo² linija F, cije e produºenje se i u G (16. stav). Na taj na in dobija se trougao G u koji ulazi poduºenje linije F ; po²to ova linija ne se e po drugi put, ali ne moºe se i ni G jer je ugao G = G (7. stav), to e ona morati se i negde u G. Ma od kojih ta aka, dakle, polazile linije F i F i ma kako malo odstupale od linije, one e ipak se i, sa kojom je paralelna. 18. ve su linije uvek uzajamno paralelne. Neka je G upravna na (g. 3), sa kojom je paralelna, neka se iz povu e linija pod ma kakvim o²trim uglom sa, i neka se iz spusti upravna F na, pa e se dobiti pravougli trougao F, u kome je hipotenuza ve a od katete F (9-ti stav). Na inimo F = G, pa e linije i F do i u poloºaj linija K i GH, tako da je ugao K = F, prema tome mora K se i liniju negde u K (16-ti stav), im postaje trougao K, u kome se upravna GH se e sa linijom K u L (3- i stav) i time odrežuje daljinu L ta ke preseka linija i na liniji od ta ke. 4

6 G F L K H Fig. 3 Odavde sleduje, da e uvek se i, ma kako mali bio ugao, prema tome je paralelno sa (16-ti stav). 19. U pravolinijskom trouglu suma njegova tri ugla ne moºe biti ve a od dva prava. Pretpostavimo da je u trouglu (g. 4) suma njegova tri ugla π + α, izaberimo u slu aju nejednakosti strana najmanju, prepolovimo je u, povucimo iz kroz liniju, i na inimo produºenje njeno jednakim sa, zatim sopojimo ta ku pravom linijom sa ta kom. U kongruentnim je trouglima i ugao = i = (6-ti i 10-ti stav); Fig. 4 odavde sleduje, da i u trouglu suma njegova tri ugla mora biti jednaka π+α, osim toga najmanji ugao (9-ti stav) trougla pre²ao je u novi trougao, pri emu je razlomljen u dva dela i. Produºuju i na ovaj na in, time ²to emo uvek prepolovljavati stranu koja leºi naspram najmanjeg ugla, na posletku moramo do i do jednog trougla, u kome je zbir njegova tri ugla π + α, ali u kome se nalaze dva ugla, od kojih je svaki po svojoj apsolutnoj veli ini manji od 1 2α; po²to pak tre i ugao ne moºe biti ve i od π, to α mora biti ili nula ili negativno. 20. ko je ma u kome pravoliniskom trouglu suma njegova tri ugla jednaka dva prava, onda je to slu aj i u svakom drugom truglu. Neka je u pravoliniskom trouglu (g. 5) suma njegova tri ugla = π, tada moraju bar dva njegova ugla i biti o²tri. 5

7 p q Fig. 5 Spustimo li iz temena tre eg ugla na suprotnu stranu upravnu p, ta e upravna rastaviti trougao u dva pravougla, u kojima e suma tri morati takože iznositi π, da nebi u jednome od njih bila ve a od π a u drugom manja od π. Na taj na in dobija se jedan pravougli trougao, ije su katete p i q, a odatle jedan etvorougao, ije su suprotne strane jednake a strane p i q, koje su jedna pored druge, upravne (g. 6). p q q q q p p q p p Fig. 6 Ponavljanjem ovoga etvorougla moºe se sastaviti sli an etvorougao sa stranama np i q, i naposletku etvorougao sa stranama, koje su upavne jedna na drugoj, tako da je = np, = mq, = np, = mq, gde su m i n proizvoljni celi brojevi. Takav etvorougao podeljen je dijegonalom u dva kongruentna pravougla trougla i, u kojima je suma njihova tri ugla = π. rojevi n i m mogu se uzeti tako veliki, da pravougli trougao (g. 7), ije su katete = np, = mq, sadrºi u sebi jedan drugi dati trougao, im se pravi uglovi poklope. 6

8 Fig. 7 ko se povu e linija, dobi e se uz to pravougli trougli, od kojih sve po dva ²to sleduju jedan za drugim imju jednu zajednicku stranu. Trougao postaje spajanjem trouglova i, u kojima suma tri ugla ne moºe biti ve a od π; ona prema tome mora bit jednaka π, da bi ova suma mogla u sloºenom trouglu iznositi π. Na isti na in sastoji se trougao iz trouglova i, prema tome mora u suma njegova tri ugla iznosit π, i to mora uop²te biti slu aj u svakom trouglu, po²to se svaki da rastaviti u dva pravougla trougla. Odavde sleduje, da su dopu²tene samo dve pretpostavke: ili je suma tri ugla u svim pravolinskim trouglima jednaka π, ili je ova suma u svima manja od π. 21. Iz jedne date ta ke moºe se uvek povu i jedna pava linija tako, da ona sa datom pravom zaklapa neodreženo mali ugao. Neka se iz date ta ke (g. 8) spusti upravna na datu pravu, neka se uzme na prizvoljna ta ka, povu e linija, na ini = i povu e. ko je u pravouglom trouglu ugao = α, onda mora u ravnokrakom trouglu ugao bit ili jednak ili manji od 1 2 α (stav 8,20). Fig. 8 7

9 Produºuju i na taj na in do i e se naposletku do jednog takvog ugla, koji je manji nego ma koji dati. 22. ko su dve upravne na istoj pravoj liniji mežu sobom paralelne, onda je suma triju uglova u pravoliniskim trouglima jdnaka π Neka su linije i (g. 9) paralelne mežu sobom i upravne na. Povucimo iz linije i F prema ta kama i F, koje su uzete na liniji u prizvoljnim odstojanjima F > od ta ke. F Fig. 9 ko pretpostavimo, da je u pravouglome trouglu suma njegova tri ugla jednaka π α, u trouglu F jdnaka π β, onda e ona u trouglu F morati biti jednaka π α β, gde α i β ne mogu biti negativni. ko je dakle ugao F = a, F = b, onda je α + β = a b; ako u inimo da se linija F udaljava sve vi²e od upravne, moºe se ugao a izmežu F i paralelne u initi proizvoljno malim, tako isto da se ugao b smanjiti, prema tome, uglovi α i β ne mogu imati drugu veli inu do α = 0 i β = 0. Prema tome, ili je u svim pravoliniskim trouglima suma njihova tri ugla π i u isto doba paralelan ugao Π(p) = 1 2π za svaku liniju p, ili je ova suma za sve trougle < π pa prema tome i Π(p) < 1 2 π. Prva pretpostavka sluºi za podlogu obi ne geometrije i ravne geometrije. ruga se pretpostavka moºe takože dopustiti a da se ne dože u rezultatima ni do kakve protivre nosti, i ini osnov jedne nove geometriske doktrine, koju sam nazvao imaginarnom geometrijom", i koju nameravam ovde da izloºim do izvoženja jedna ina, koje postoje izmežu strana i uglova kod pravoliniskih i sfernih touglova. 23. Za svaki dati ugao α moºe se na i jedna linija p, tako da je Π(p) = α. Neka su i (g. 10) dve prave linije, koje u ta ki preseka sklapaju o²ta ugao α; uzimamo na proizvoljno ta ku, iz ove spustimo upravnu na, 8

10 M G H K F Fig. 10 na inimo =, podignimo u upravnu i produºim tako dok ne dožemo do jedne upravne, koja se vi²e ne se e sa. Ovo mora nuºnim na inom jednom biti, jer ako je u trouglu suma sva tri ugla jednaka π α, onda e ona u trouglu biti jednaka π 2α, u trouglu manja od π 2α, u trouglu manja od π 2α (2. stav), i tako dalje, dok naposeltku ne postane negativnom i time ne pokaºe nemogu nost obrazovanja trougla. Upravna moºe biti identi na sa upravnom, od koje po ev sve linije bliºe ta ki seku ; u svakom slu aju mora egzistirati jedna takva upravna pri prelazu od linija koje seku linijama koje ne seku. Povucmo sada iz ta ke F liniju F H, koja sa F G zaklapa o²tri ugao HF G, i to na onoj strani na kojoj se nalazi ta ka. Iz ma koje ta ke H linije F H spustimo na upravnu HK, ije e produºenje, prema tome, morati se i negde u, i na taj na in posta e trougao K, u koji ulazi produºenje linije F H, koji stoga mora se i hipotenuzu negde u M. Po²to je ugao GF H proizvoljan i moºe se u initi proizvoljno malim, tp je F G paralelno sa i F = p (16-ti i 18-ti stav). Lako se uviža, da sa smanjivanjem linije p raste ugao α i da se za p = 0 pribliºuje vrednosti 1 2π; sa ra² enjem linije p smanuje se ugao α i pribliºuje se sve vi²e 0 za p =. Po²to je sasvim svejedno, koji e se ugao podrazumevati pod znakom Π(p), ako se linija p izrazi sa negativnim brojem, to emo uzeti da je Π(p) + Π(p) = π jedna ina, koja treba da vaºi za sve vrednosti od p, kako pozitivne tako i negativne i za p = ²to se paralelne linije vi²e produºuju na strani njihovog paralelizma, tim se vi²e pribliºavaju jedna drugoj. Neka su na liniji (g. 11) podignute dve upravne = i njihove krajnje ta ke i spojene jednom pravom linijom; 9

11 F G Fig. 11 tada e etvorougao u i imati dva prava, u i pak dva o²tra ugla (22. stav), koji su mežusobno jednaki, o emu se lako moºemo uveriti ako etvorougao poloºimo tako na samog sebe, da linija padne na a linija na. Prepolovimo i podignimo u ta ki polovljenja upravnu F na, koja mora u isto doba biti upravna i na, po²to su etvorougli F i F poklapaju kada se tako poloºe jedan na drugi, da linija F ostane u itom poloºaju. Prema tome, linija ne moºe biti paralelna sa, ve e paralelna sa ovom poslednjom za ta ku, naime linija G, skrenuti na onu stranu na kojoj je (16. stav) i otse i od upravne deo G <. Po²to je ta ka proizvoljna u liniji G, to iz toga sleduje, da se linija G, ²to vi²e produºuje, tim vi²e pribliºuje liniji. 10

12 25. ve prave linije, koje su paralelne sa tre om, paralelne su i mežu sobom. Najpre emo uzeti, da tri linije,, F (g.12) leºe u jednoj ravni. ko su dve od njih, po redu i, paralelne sa krajnjom F, onda su i i paralelne mežu sobom. a bi ovo dokazali, spustimo iz ma koje ta ke krajnje linije na drugu liniju F upravnu, koja e srednju liniju se i negde u ta ki (3- i stav) pod uglom < 1 2π na strani linije F paralelne sa linijom (22-ti stav). Upravna G spu²tena iz iste ta ke na mora se nalaziti u otvoru o²trog ugla G (9-ti stav), a svaka druga linija H povu ena iz u okviru ugla mora se i liniju F paralelnu sa negde u H, ma kako mali bio ugao H, prema tome e u trouglu H se i liniju H negde u K, po²to je nemogu no da se se e sa F. ko bi H polazilo iz ta ke u okviru ugla G, ona bi morala se i produºenje linije izmežu ta aka i G u trouglu G. Odavde slduje, da su i paralelne (16. i 18. stav). F M H L K G Fig. 12 ko se uzme, da su obe krajnje linije i F paralelne srednjoj, onda e svaka linija K povu ena iz ta ke u okviru ugla se i liniju nege u tacki K, makako mali bio ugao K. Uzmio na prduºenju od K ma koju ta ku L i spojimo je linijom L sa ta kom, koja mora se i F negde u M, ime postaje trougao M. Produºenje linije L u okviru trougla M ne moºe se i ni ni M po drugi put, prema tome su i F uzajamno paralelne. Neka sada paralelne i (g. 13) leºe u dve ravni, ciji je presek linija F. Spustimo iz makoje ta ke na ovoj poslednjoj upravnu na jednu od paralelnih, na pr. na, zatim spustimo iz, podnoºje ta ke upravne, jdnu novu upravnu na drugu paralelnu i spojimo krajnje ta ke i tih upravnih linijom. 11

13 G H F Fig. 13 Ugao mora biti o²tar (22-gi stav), prema tome pa² e upravna G, spu²tena iz na, u ta ku G na onu stranu od, na kojoj se smatra da su linije i paralelne. Svaka linija H, ma kako odstupala od F, pripada sa linijom jednoj ravni, koja ravan paralelnih i mora se i duº neke linije. Ova poslednja linija se e negde i to u istoj ta ki H, zajedni koj svim trima ravnima, kroz koju nuºnim na inom prolazi i linija H: prema tome je F paralelno sa. Na sli an na in dâ se dokazati i paralelizam linija F i. Prema tome, pretpostavka, da je linija F paralelna sa jednom od druge dve i, koje su mežu sobom paralelne, ne zna i ni²ta drugo do to, da se F ima smatrati kao presek onih ravni, u kojima leºe dve paralelne,. Prema tome, dve su linije paralelne mežu sobom kad su paralelne sa tre om i onda kad leºe u razli itim ravnima. Poslednji stav moºe se i ovako izraziti: tri se ravni seku u linijama, koje su sve mežusobom paralelne, im se petpostavi paralelizam dveju od ovih. 26. Trougli, koji na povr²ini kugle leºe naspram drugog, jednaki su po povr²ini. Pod suprotnim trouglima ovde podrazumevamo trougle, koje slaaju preseci kugline povr²ine sa tri ravni na obe strane sredi²ta; stoga u takvim trouglima strane i uglovi imaju suprotan pravac. U suprotnom su trouglovi i (g. 14), (gde se jedan od njih ima da smatra da je predstavljen u obrnutom poloºaju), strane =, =, =, tako isto jednaki su i odgovaraju i uglovi u ta kama,, uglovima u drugome trouglu u ta kama,,.zamislimo jednu ravan poloºenu kroz ta ke,, i upravnu spu²tenu na nju iz sredi²ta kugle, ija e produºenja na obe strane se i suprotne trougle u ta kama i kugline povr²ine. 12

14 Fig. 14 Otstojanje ta ke od ta aka,, merena na sferi lucima najve ih krugova, moraju biti jednaka (12. stav) kako mežu sobom tako i sa otstojanjima,, u drugom trouglu (6. stav), prema tome su ravnokraki trougli oko ta aka i u oba sferna trougla i kongruentni. a bismo uop²te mogli suditi o jednakosti dveju povr²ina, slede i stav uzimam za osnovu toga suženja: dve su povr²ine jednake, ako postaju spajanjem ili odvajanjem jednakih delova. 27. Trostrani rogalj jednak je polovini sume povr²inskih uglova manje jednom pravom. U sfenom trouglu (g 15.), u kome je svaka strana < π, ozna imo uglove sa,,, produºimo stranu tako da postane jedan ceo krug, koji e kuglu podeliti na dva jednaka dela. Fig. 15 Produºimo u onoj polovini, u kojoj se nalazi trougao, i druge dve strane njegove kroz njihovu zajedni ku ta ku preseka toliko, da se one seku sa krugom u i. Na taj na in bi e ta polovina kugle podeljena u etiri trougla,,,, ije veli ine neka su P, X, Y, Z.Jasno je da su ovde 13

15 P + X =, P + Z =. Veli ina sfernog trougla Y jednaka je veli ini suprotnog ugla, koji ima zajedni ku stranu sa trouglom P i iji tre i ugao leºi na krajnjoj ta ki onog pre nika kugle koji polazi od i prolazi kroz sredi²te njeno (26-ti stav). Odavde sleduje, da je P + Y = i, po²to je P + X + Y + Z = π, imamo takože: P = 1 2 ( + + π). o istog zaklju ka moºe se do i i drugim putem, oslanjaju i se samo na gornji stav o jednakosti povr²ina (26. stav). U sfernom trouglu (g. 16) prepolovimo strane i, poloºimo kroz sredi²nje ta ke i jedan najve i krug i spustimo na ovaj iz ta aka,, upravne F, H i G. ko upravna iz i H pada izmežu i, onda e trougao H biti jednak F i H jdnak G (6. i 15. stav), iz ega sleduje da je povr²ina etvorougla F G (26. stav). F H G F Fig. 16 Fig. 17 ko se ta ka H poklapa sa sredi²njom ta kom strane (g. 17), onda e postojati samo dva jednaka pravougla trougla F i, ijom se izmenom mesta dokazuje jednakost povr²ina trougla i etvorougla F. ko naposletku ta ka H pada van trougla (g. 18) i upravna G ide kroz trougao, onda emo pre i od trougla etvorouglu F G ako dodamo trougao F = H, pa zatim oduzmemo trougao G = H. ko u etvorouglu F G zamislimo kroz ta ke i G, kao i kroz ta ke F i poloºene najve e krugove, luci njihovi izmežu G i F bi e jednaki (15. stav), prema tome, bi e kongruentni trougli F i G (15. stav) i ugao F jednak uglu G. 14

16 G H F Fig. 18 Odavde sleduje, da je u svima prethodnim slu aevima suma sva tri ugla u sfernom trouglu jednaka sumi oba jednaka ugla u etvorouglu koji nisu pravi. Prema tome, moºe se svakom sfernom trouglu, u kome je suma njegova tri ugla S, na i etvorougao s istom povr²inom, u kome se nalaze dva prava ugla i dve jednake upravne strane i u kome je svaka od druga dva ugla jednaka 1 2 S Neka je sada (g. 19) sferni etvorougao, u kome su strane = upravne na i uglovi u i svaki 1 2 S. F H G Fig. 19 Produºimo strane i tako da se one seku u i produºimo ih dalje od, na inimo = F i spustimo na produºenje linije upravnu F G. eo luk G prepolovmo i spojimo sredisnju tacku H lucima najve eg kruga sa i F. Trougli F G i kongruentni su (15. stav), prema tome je F G = =. Trougli H i HGF takože su kongruentni, jer su pravougli i imaju jednake katete, prema tome, H i HF pripadaju jednom krugu, luk HF jednak je π, F takože je = π, ugao H = HF = 1 2 S H = 1 2 S HF G = 1 2 HF F G = 1 2 S H π S. Prema tome je: ugao HF = 1 2 (S π), ili, ²to je isto: jednak veli ini ise ka 15

17 HF. Veli ina ovog jednaka je opet etvorouglu, ²to se lako vidi ako se od jednog preže na drugi dodaju i najpre trougao F G i H a zatim oduzimaju i trougle i HF G, koji su im jednaki. Prema tome je 1 2 (S π) veli ina etvorougla i u isto doba veli ina sfernog trougla, u kome je suma sva tri ugla jednaka S. 28. ko se tri ravni seku u paralelnim linijama, suma njihova tri povr²inska ugla iznosi dva prava. Neka su,, (g. 20) tri paralelne linije koje postaju presecanjem triju ravni (25. stav). Uzmimo na njima tri proizvoljne ta ke,, i zamislimo kroz njih poloºenu jednu ravan, koja e prema tome se i ravni paralelnih u pravim linijama,,. alje poloºimo kroz liniju i ma koju ta ku na liniji jo² jednu ravan, iji e preseci sa ravnima paralelnih,, i, biti linije i, i iji emo nagib prema tre oj ravni paralelnih i ozna iti sa w (u g. 2' sa w1 i w2). r q p n l m r p q Fig. 20 Uglove izmežu ravni, u kojima se nalaze paralelne linije, ozna i emo sa X, Y Z na linijama, i (g. 2'); naposletku neka su linearni uglovi = a, = b, = c. Zamislimo oko kao sredi²ta opisanu jednu kuglinu povr²inu, na kojoj prseci njeni sa pravama, i odrežuju sferni trougao, ije strane neka su p, q, r a povr²ina α, a iji su uglovi: w naspram srane q, X naspram strane r i prema tome π + 2α w X naspram strane p (27. stav). Na isti na in seku,, kuglinu povr²inu oko sredi²ta i odrežuju trougao veli ine β sa stranama p, q, r i uglovima: w naspram q, Z naspram r i prema tome pi + 2β w Z naspram p. Naposletku preseci kugline povr²ine oko sa linijama,, odrežuju sferni trougao, ije su strane l, m, n a suprotni uglovi w + Z 2β, w + X 2α i Y, ija je povr²ina, prema tome, δ = 1 2 (X + Y + Z π) α β + w. 16

18 r q p w1 X n b l c y a m r Z p q w2 Fig. 2' Kad w opada opadaju i povr²ine trouglova α i β tako, da uglu δ mogu se strane l i m smanjiti takože do u beskona nost (21. stav), prema tome moºe se trougao δ jednom od svojih strana l ili m poloºiti na najve i krug kugle koliko se ho e puta a da time polovina kugle ne bude ispunjena, prema tome δ i² ezava u isto doba sa w; iz ega sleduje da je nuºnim na inom X + Y + Z = π. 29. U pravolinijskom trouglu ili se upravne podignute u sredinama strana ne seku ili se sve tri seku u jednoj ta ki. Pretpostavimo da se u trouglu (g. 21) dve upravne i F, podignute na stranama i u njihovim sredi²nim ta kama i F, seku u ta ki, i povucimo u okviru uglova trouglovih linije,,. F G Fig. 21 U kongruentnim je trouglima i (10. stav) =, tako isto sleduje da je i = ; trougao je, prema tome, ravnokrak i upravna spu²tena iz temena na osnovicu pa² e u njenu sredi²nu ta ku G. okaz ostaje isti i kada ta ka preseka upravnih i F leºi u liniji ili kad pada van trougla. U slu aju, dakle, kad se pretpostavi da se dve od ovih upravnih ne seku, ne moºe se ni tre a sa njima se i. 17

19 30. Upravne podignute u sredinama strana pravoliniskog trougla moraju sve tri biti paralelne, ako se pretpostavi paralelizam dveju od njih. Neka su u trouglu (g 22.) linije, F G, HK upravne na stranama u njihovim sredi²njim ta kama, F, H. F L H M P G K Fig. 22 Mi emo najpre pretpostaviti, da su upravne i F G paralelne, da one liniju seku u LM, i da se upravna HK nalazi izmežu njih. U okviru ugla L povucimo proizvoljno pravu liniju LG, koja e morati F G se i negde u G ma kako mali bio ugao otstupanja GL (16. stav). Po²to se u trouglu LGM upravna HK ne moºe se i sa MG (29. stav), ona mora se i LG negde u P, odakle sleduje, da HK mora biti paralelna sa (16. stav) i MG (18. i 25. stav). ko se stavi strana = 2a, = 2b, = 2c i uglovi suprotni ovim stranama ozna e sa,, onda imamo u gornjem slu aju = Π(b) Π(c), = Π(a) Π(c), = Π(a) Π(b), o emu se lako uveravamo pomo u linija,,, koje su iz ta aka,, povu ene paralelno upravnoj HK i koje su, prema tome, paralelne i sa druge dve upravne i F G (23. i 25. stav). Neka su sada upravne HK i F G mežu sobom paralelne, tre a upravna tada ih ne e se i (29. stav), prema tome, ona je ili paralelna sa njima ili se e. Poslednja pretpostavka ne zna i drugo do da je ugao > Π(a) + Π(b). Smanji li se ovaj ugao tako, da postane jednak Π(a) + Π(b), ²to e biti ako se liniji dâ nov poloºaj Q (g. 23), Q 18

20 Fig. 23 i duºina tre e strane Q ozna i sa 2c, onda mora ugao Q u ta ki, koji je postao ve i, prema onome ²to je gore dokazano, biti jednak Π(a) Π(c ) > Π(a) Π(c) odakle sleduju c > c (23. stav). li u trouglu Q uglovi u i Q su jednaki, prema tome mora u trouglu Q ugao kod Q biti ve i od ugla u ta ki, prema tome je > Q (9. stav); ²to zna i da je c > c. 31. Grani nom linijom (oriciklom) nazivamo onu krivu liniju u ravni, kod koje su sve upravne podignute u sredi²njim ta kama tetiva mežusobno paralelne. U saglasnosti sa ovom denicijom moºemo proizvoženje grani ne linije zamisliti na taj na in, ²to emo na datoj pravi iz jedne od njenih ta aka povla iti pod raznim uglovima = Π(a) tetive = 2a; H L G K F Fig. 24 kraj jedne takve tetive leºa e na grani noj liniji, ije ta ke moºemo postpeno odrediti na taj na in. Upravna na tetivi u njenoj sredini bi e paralelna sa linijom, koju emo nazvati osom grani ne linije.isto tako bi e i svaka druga upravna podignuta u sredi²njoj ta ki ma koje tetive H paralelna sa, prema tome, ova osobina mora pripadati i svakoj drugoj upravnoj KL uop²te, koja je podignuta u sredi²njoj ta ki K ma koje tetive, koja je povu ena izmežu makojih ta aka i H na grani noj liniji (30. stav). Takve upravne moraju se dakle takože bez razlike kao i nazvati osama grani ne linije. 32. Krug, iji polupre nik raste, prelazi u grani nu liniju. Neka je (g. 25) tetiva grani ne linije, povucimo iz njenih krajnjih ta aka: i dve ose i, koje e, prema tome, sklapati sa tetivom dva jednaka ugla = = α (31. stav). 19

21 F α β γ Fig. 25 Na jednoj od ovih osa uzmimo ma gde ta ku za sredi²te jednog kuga i povucimo luk F od po etne ta ke ose do njegove ta ke preseka F sa drugom osom. Polupre nik F kruga, koji odgovara ta ki F, sklapa e na jednoj strani sa tetivom F ugao F = β a na drugoj strani sa osom ugao F = γ. Izlazi da je ugao izmežu obe tetive F = α β < β + γ α (22. stav), odakle sleduje: α β < 1 2γ. Po²to se pak ugao γ smanjuje do nule kako kretanjem sredi²ta u pravcu, pri emu F ostaje nepromenjeno (21. stav), tako i pribliºavanjem ta ke F ta ki, pri emu sredi²te koje ostaje u svome poloºaju (22. stav), to sleduje, da takvim smanjivanjem ugla γ i² ezava i ugao α β, odnosno uzajamni nagib tetiva i F, pa prema tome i odstojanje ta ke na grani noj liniji od ta ke F na krugu. Prema tome moºe se grani na linija nazvati krugom sa beskona no velikim polupre nikom. 33. Neka su = = x (g. 26), dve linije paralelne mežu sobom na strani idu i od ka, ose grani nih lukova (lukova na dvema grani nim linijama) = s, = s, tada je s = se x, gde je e nezavisno od lukova s, s i prave x, koja predstavlja odstojanje luka s od s. a bismo ovo dokazali pretpostavimo, da je odnos luka s prema luku s jednak odnosu dva cela broja n i m. Izmežu osa, povucimo tre u osu,koja e na taj na in otsecati od luka deo = t i od luka na istoj strani deo = t. S S Fig

22 Neka je odnos izmežu t i s jednak odnosu dva cela broja p i q, tako da je s = n m s, t = p q s. Podelimo sada s osama u nq jednakih delova tako, da e takvih delova biti nq na s i np na t. Kako ovi jednaki delovi na s i t odgovaraju tako isto jednakim delovima na s t imamo: t t = s s. Ma gde dakle uzeli luke t i t izmežu osa i, uvek e njihov odnos ostati isti, dokle god otsojanje njihovo ostaje isto. ko se stoga za x = 1 stavi s = es onda e za svako x morati biti s = se x. Po²to je e nepoznat broj a podleºi samo usovu e > 1 i po²to se dalje jedinica duºine za x moºe uzeti proizvoljno, to je moºemo radi ra unskog upro² avanja tako izabrati, da se pod e razume osnova Neperovih logaritama. Jo² se ovde moºe primetiti, da je za x =, s = 0, prema tome, ne samo ²to se smanjuje otstojanje izmežu dve paralelne (24. stav), nego ono naposletku sasvim i² ezava pri produºenju paralelnih na strani paralelizma. Paralelne linije imaju dakle karakter asimptota. 34. Grani na povr²ina(orisfera) naziva se ona povr²ina koja postaje obrtanjem grani ne linije oko jedne od njenih osa, koja e zajedno sa svima ostalima osama granicne linije biti osa i grani ne povr²ine. Tetiva sklapa jednake uglove sa osama povu enim kroz njene krajne ta ke, pa ma gde da se uzmu na grani noj povr²ini ove dve krajne ta ke. Neka su,, (g. 27) tri ta ke na grani noj povr²ini, osa obrtanja, i dve druge ose, prema tome i tetive koje sa osama sklapaju jednake uglove =, = (31. stav); ose, povu ene kroz krajne ta ke tre e tetive takože su paralelne i leºe u jednoj ravni (25. stav). Upravna podignuta u sredini tetive i u ravni paralelnih, mora biti paralelna sa osama,, i upravnom. Ugao izmežu ravni,u kojoj su paralelne i, i ravni trougla ozna i emo sa Π(a), gde a moºe biti pozitivno, negativno ili nula. ko je a pozitivno, povucimo F = a, u trouglu i ravni njegovoj, upravno na tetivu iz njene sredi²nje ta ke ; ako je a negativan broj, F se mora povu i van trougla na drugoj strani tetive ; ako je a = 0, ta ka F poklapa se sa ta kom. 21

23 K F G F G Fig. 27 U svim ovim slu ajevima postaju dva kongruentna pravougla trougla F i F, prema tome je F = F. Podignimo sada u F liniju F F upravno na ravan trougla. Po²to je ugao F = Π(a), F = a, to je F F paralelno sa i linijom, sa kojom leºi u jednoj istoj ravni, koja je upravna na ravni trougla. Zamislimo sada da je u ravni paralelnih, F F podignuta na F upravna K, ta e upravna stajati upravno i na ravni trougla (13. stav) i na liniji koja leºi u toj ravni (11. stav), prema tome mora, koja je upravna na K i, biti u isto doba upravna i na F (11. stav). Trougli F i F su kongruentni, po²to su pravougli i imaju jednake katete, prema tome je F = F = F. Upravna spu²tena iz temena F ravnokrakog trougla F na osnovicu prolazi kroz njenu sredi²nju ta ku G; ravan poloºena kroz ovu upravnu F G i liniju F F mora biti upravna na ravni trougla i se i ravan paralelnih, (25. stav); po²to je pak G upravno na F G, pa prema tome u isto doba i na G, to je i ugao G = G (23. stav). Odavde sleduje, da se svaka osa moºe smatrati za obrnutu osu grani ne povr²ine. Glavnom ravni naziva emo svaku ravan koja je poloºena kroz jednu osu grani ne povr²ine. Prema tome, svaka glavna ravan se e grani nu povr²inu u grani noj liniji, dok je za svaki drugi poloºaj presecaju e ravni ovaj presek krug. Tri glavne ravni, koje se uzajamno seku, sklapaju mežu sobom uglove ija je suma π (28. stav). Ove emo uglove smatrati za uglove grani nog trougla, ije su strane luci grani nih linja, koje su preseci grani ne povr²ine sa onim trima glavnim ravnima. Kod grani nih trouglova postoji dakle ista zavisnost izmežu uglova i strana, kava se dokazuje u obi noj geometriji za pravolinijske trougle. 22

24 35. U slede em ozna ava emo veli inu linije jednim pismenom sa dodatim akcentom, na pr. x, da bismo izrazili, da njena veli ina stoji u jednom odnosu sa veli inom druge linije, koja je obeleºena istim znakom x bez akcenata, koji je izraºen jedna inom Π(x) + Π(x ) = 1 2 π. Neka je sada (g. 28)jedan pravoliniski trougao, u kome je hipotenuza = c, katete = b, = a, a suprotni uglovi = Π(α), = Π(β). Podignimo u ta ki upravnu,na ravan trougla i iz ta aka i povucimo i paralelno sa. Ravni, u kojima leºe ove tri paralelne, sklapaju mežu sobom uglove: Π(α) na ivici, prav ugao na ivici (11. i 13. stav), prema tome Π(α ), na ivici (28. stav). Preseci linija,, sa povr²inom kugle, koja je opisana oko ta ke kao sredi²ta, odrežuju sferni trougao, u kome je strana mn = Π(c), kn = Π(β), mk = Π(α) a suprotni uglovi Π(b), Π(α ), 1 2 π. p O3 r c a q b Fig. 28 Prema tome egzistencija jednog pravoliniskog trougla sa stranama a, b, c, i suprotnim uglovima Π(α), Π(β), 1 2π povla i sa sobom egzistenciju jednog sfernog trougla (g. 29) sa stranama Π(c), Π(β), Π(a) i suprotnim uglovima Π(β), Π(a ), 1 2π. li i obrnuto, egzistencija datog sfernog trougla uslovljava egzistenciju jednog novog pravoliniskog trougla, ije su strane a, α, β a suprotni uglovi Π(b ), Π(c), 1 2 π. 23

25 P(β) {}}{ P(a ) P(α) a c P(a) P(b) 1 π 2 b P(α) 1 2 π P(β) Fig. 29 Prema tome moºe se od a, b, c, α, β pre i na b, a, c, β, α, kao i na a, α, β, b, c. Zamisimo da je kroz ta ku (g. 28) poloºena grani na povr²ina sa osom, povr²ina koja druge dve ose, se e u i, i iji preseci s ravnima paralelnih sklapaju grani ni trougao, ije su strane = p, = q, = r, a suprotni ugovi Π(α), Π(α ), 1 2π, i gde je prema tome (34. stav): p = r sin Π(α), q = r cos Π(α). ko sada spoj date tri ravni rasklopimo duº linije (g. 30) i te ravni razvijemo tako, da one sa svim svojim linijama dožu u jednu ravan, tada e se o evedno luci p, q, r spojiti u jedan luk jedne grani ne linije, koja e prolaziti kroz ta ku i imati za osu. Osim toga nalazi e se na jednoj strani : luci q i p, strana b trougla, koja je u upravna na, osa, koja polazi iz krajne ta ke linije b paralelno sa i ide kroz dodirnu ta ku linija p i q, strana a upravno na u ta ki, i iz krajne ta ke njene osa paralelna s, koja prolazi kroz krajnu tacku luka p. Na drugoj srani od nalazi e se: strana c upravna na u ta ki, i osa paralelna sa, koja polazi iz krajne ta ke linije c i ide kroz krajnu ta ku luka r. d q g e p q r 24

26 Fig. 30 Veli ina linije zavisi od b, i tu emo zavisnost ozna iti sa = f(b). Na isti na in bi e = f(c). ko se sa kao osom opi²e jedna nova grani na linija iz ta ke pa do preseka njenog sa osom i luk ozna i sa t, bi e = f(a); = + = +, prema tome: Osim toga vidimo da je (33. stav) f(c) = f(a) + f(b). t = pe f(b) = r sin Π(α) e f(b). a je mesto u ta ki podignuta upravna u ta ki na ravan trougla linije c i r ostale bi iste, ali luci q i t pretvorili bi se u t i q, prave a i b u b i a i ugao Π(α) u Π(β), prema tome imali bismo q = r sin Π(β) e f(a), odakle sleduje, kad se mesto q stavi njegova vrednost, a kad se mesto α i β stave b i c i dalje mnoºenjem sa e f(b) Odavde sleduje da je i : cos Π(α) = sin Π(β) e f(a), sin Π(b) = sin Π(c) e f(a), sin Π(b) e f(b) = sin Π(c) e f(c). sin Π(a) e f(a) = sin Π(b) e f(b) Po²to su pak prave a i b nezavisne jedna od druge, i osim toga f(b) = 0, Π(b) = π 2 za b = 0, to je za svaku pravu liniju a prema tome: e f(a) = sin Π(a), sin Π(c) = sin Π(a) sin Π(b), sin Π(β) = cos Π(α) sin Π(a). Odavde se jo² dobija izmenom pismena: sin Π(α) = cos Π(β) sin Π(b), 25

27 cos Π(b) = cos Π(c) cos Π(α), cos Π(α) = cos Π(c) cos Π(β). ko se u sfernom pravouglom trouglu (g. 29) strane Π(c), Π(β), Π(α) ozna e pismenima a, b, c a suprotni ugovi Π(b), Π(α ) pismenima,, onda e nažene jedna ine dobiti formu onih jedna ina, koje se, kao ²to je poznato, izvode u sfernoj triginometriji za pravougle trougle, naime: sin α = sin c sin, sin b = sin c sin, cos = cos a sin, cos = cos b sin, cos c = cos a cos b, sa kojih se jedna ina moºe pre i na jedna ine za sve sferne trougle uop²te. Prema tome, sferna triginometrija ne zavisi od toga, da li je zbir ugova u pravoliniskome trouglu jednak dvama pravama ili ne. 36. Sada emo ponova posmatrati pravougli pravoliniski trougao (g. 31), u kome su strane a, b, c a suprotni uglovi Π(α), Π(β), 1 2π. Produºimo hipotenuzu c preko ta ke i na inimo = β; u ta ki podignimo upravnu na, koja e prema tome biti paralelna sa, tj. s produºenjem strane a na drugu stranu od ta ke. Iz ta ke povucimo jo² paralelnu sa, koja je u isto doba paralelna i sa (25. stav), sa ega je ugao = Π(c + β), = Π(b) dakle: Π(b) = Π(α) + Π(c + b). ko prenesmo duºinu β na hipotenuzu c iz ta ke, zatim u krajnoj ta ki njenoj (g. 32) podignimo upravnu na u okviru trougla, a iz ta ke povu emo paralelnu P(β) α P( ) P(b) P(c + β) P( ) c b P(β) a β 26

28 Fig. 31 Fig. 32 sa, onda e biti sa svojim produºenjem tre a paralelna P(β) c P(β) a P( ) P(b) c b a β c P(α) P(b) b Fig. 33 Fig. 34 tada je: ugao = Π(b), = Π(c β), prema tome, Π(c β) = Π(α) + Π(β). Ova poslednja jedna ina vaºi i onda kada je c = β ili c < β. ko je c = β (g. 33), onda je upravna podignuta u ta ki na paralelna strani = a sa njenim produºenjem, prema tome je Π(α) + Π(b) = 1 2π, dok je takože Π(c β) = 1 2π (23. stav). ko je c < β, kraj od β pada na drugu stranu ta ke u (g. 34) na produºenje hipotenuze. Na podignuta upravna iz bi e i ovde paralelna strani = a sa njenim produºenjem. Ovde je ugao = Π(β c), prema tome, Π(α) + Π(b) = π Π(β c) = Π(c β) (23. stav). Spajanjem obe jedna ine dobija se 2Π(b) = Π(c β) + Π(c + β), odakle sleduje 2Π(α) = Π(c β) Π(c + β), cos Π(b) cos Π(α) = cos[ 1 2 Π(c β) + 1 2Π(c + β)] cos[ 1 2 Π(c β) 1 2Π(c + β)]. Zamenili se ovde vrednost (35. stav) cos Π(b) = cos Π(c), cos Π(α) 27

29 onda se dobija, tan Π(c) = tan 1 2 Π(c β) tan 1 Π(c + β). 2 Po²to je ovde β proizvoljan broj, jer se ugao Πβ, koji se nalazi na jednoj π strani od c moºe uzeti proizvoljno izmežu granica 0 i 2, prema tome β izmežu granica 0 i, to emo zaklju iti, ako stavimo redom β = c, 2c, 3c itd., da je za svaki pozitivan broj n tan n 1 2 Π(c) = tan 1 2 Π(nc). ko se n smatra odnos dveju linija x i c i ako se pretpostavi da je cot 1 2 Π(c) = ec, onda se nalazi za svaku liniju x op²te, pa bilo da je ona pozitivna ili negativna tan 1 2 Π(x) = e x, gde e moºe biti svaki mogu ni broj ve i od jedan, po²to je za x =, Π(x) = 0. Po²to je proizvoljna linija kojom se mere linije, to se pod e moºe podrazumevati i osnova Naperovih lagaritama. 37. Od gore naženjih jedna ina (35. stav) dovoljno je poznavati slede e dve sin Π(c) = sin Π(a) sin Π(b), sin Π(α) = sin Π(b) cos Π(β), ako se pri tome ova poslednja primeni na obe katete a i b, pa da se njihovim spajanjem izvedu ostale dve (35. stav) bez dvosmislenosti algebarskih znakova, po²to su ovde svi uglovi o²tri. Na sli an na in dolazi se do slede ih dveju jedna ina tan Π(c) = sinπ(α) tan Π(α), (1) cos Π(α) = cos Π(c) cos Π(β). (2) Sad emo posmatrati jedan pravoliniski trougao ije su strane a, b, c, (g. 35) a suprotni uglovi,,. ko su i o²tri uglovi, upravna p spu²tena iz temena ugla u trouglu pada na stranu c i deli je u dva dela, i to u deo x na strani ugla i c x na strani ugla. 28

30 b p a x c x Fig. 35 Na taj na in postaju dva pravougla trougla, za koje se primenom jedna ine (1) dobija: tan Π(a) = sin tan Π(p), tan Π(b) = sin tan Π(p), jedna ine koje ostaju nepromenjene i kad je jedan od uglova, b a p c c x c Fig. 36 Fig. 37 na pr. prav ili tup (g. 37). Prema tome imamo uop²te za svaki ugao sin tan Π(a) = sin tan Π(b). (3) Za trougao sa o²trim uglovima,, (g. 35) imamo jo² i (2-ga jedna ina): cos Π(x) = cos cos Π(b), cos Π(c x) = cos cos Π(a), jedna ine koje se odnose i na trougle u kojima je jedan od uglova ili prav ili tup. Na primer, mora se za = 1 2π (g. 36) uzeti da je x = c, tada prva jedna ina prelazi u gore naženu (2-gu jedna inu), a druga je sama 29

31 sobm data. Za > 1 2π (g. 37) prva jedna ina ostaje nepromenjena, a mesto druge moramo pisati odgovaraju u: cos Π(x c) = cos(π ) cos Π(a), ali je cos Π(x c) = cos Π(c x) (23. stav) a i cos(π ) = cos. ko je prav ili tup ugao onda se mora mesto x i c x staviti c x i x, da bi se ovaj slu aj sveo na preža²nji. a bismo eliminisali x iz obe jedna ine, primeti emo da je (36. stav) cos Π(c x) = 1 tan2 1 2Π(c x) 1 + tan 2 1 2Π(c x) = 1 e2x 2c 1 + e 2x 2c = 1 tan2 1 2 Π(c) cot2 1 2 Π(x) 1 + tan Π(c) cot2 1 2 Π(x) = cos Π(c) cos Π(x) 1 cos Π(c) cos Π(x). ko se ovde zameni izraz za cos Π(x), cos Π(c x) dobija se : odakle sleduje i naposletku: cos Π(c) = cos Π(a) cos Π(b) = cos Π(a) cos + cos Π(b) cos 1 + cos Π(a) cos Π(b) cos cos, cos Π(c) = cos cos 1 cos cos Π(b) cos Π(c), sin 2 Π(c) = [1 cos cos Π(c) cos Π(a)] [1 cos cos Π(b) cos Π(c)]. Na sli an na in mora biti i: sin 2 Π(a) = [1 cos cos Π(a) cos Π(b)] [1 cos cos Π(c) cos Π(a)]. (4) sin 2 Π(b) = [1 cos cos Π(b) cos Π(c)] [1 cos cos Π(a) cos Π(b)] Iz ove tri jedna ine nalazi se jo²: sin 2 Π(b) sin 2 Π(c) sin 2 Π(a) = [1 cos cos Π(b) cos Π(c)]. Odavde sleduje bez dvosmislenosti znakova: cos cos Π(b) cos Π(c) + sin Π(b) sin Π(c) sin Π(a) = 1. (5) 30

32 ko se ovde zameni vrednost od sin Π(c) u saglasnosti sa jedna inom (3), dobija se sin Π(c) = sin tan Π(a) cos Π(c) sin cos Π(c) = cos Π(a) sin sin sin Π(b) + cos sin cos Π(a) cos Π(b), ili ako se ovaj izraz za cos Π(c) zameni u jedna ini (4), cot sin sin Π(b) + cos = liminacijom sin Π(b) pomo u jedna ine (3) izlazi: cos Π(a) cos cos = 1 sin sin Π(a), cos Π(b) sin Jedna ina (6) daje, mežutim, promenom pismena cos Π(a) cos Π(b) Iz poslednje dve jedna ine sleduje: = cot b sin sin Π(a) + cos. cos + cos cos = cos Π(b) cos Π(a). (6) sin sin sin Π(a). (7) Sve etiri jedna ine za zavisnost strana a, b, c u pravoliniskom trouglu bi e prema tome [identi ne sa (3), (5), (6), (7)]: (8) sin tan Π(a) = sin tan Π(b), sin Π(b) sin Π(c) cos cos Π(b) cos Π(c) + sin Π(a) = 1, cos Π(b) cos sin sin Π(b) + cos = cos Π(a), cos + cos cos = sin sin sin Π(a). ko su srane a, b, c, trougla vrlo male, moºemo se zadovoljiti pribliºnim vrednostima (36. stav) cot Π(a) = a, sin Π(a) = a 1 2 a2, cos Π(a) = a, i na sli an na in i za druge strane b i c. Jedna ine (8) prelaze za takve trougle u slede e: b sin = a sin, 31

33 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos, a sin( + c) = b sin, cos + cos( + c) = 0. Prve dve od ovih jedna ina pretpostavlja obi na geometrija; iz druge dve sleduju, uzimaju i u pomo prve dve, zaklju ak: + + = π. Prema tome, imaginarna geometrija prelazi u obi nu kad se pretpostavi, da su strane pravolinisog trougla vrlo male. O merenju krivih linija, ravnih gura, povr²ina i zapremina tela, kao i o primeni imaginarne geometrije na analizu, objavio sam nekoliko ispitivanja u U enim zapisnicima Univerziteta kazanskog". Jedna ine (8) pruºaju ve same sobom dovoljnu podlogu, da se pretpostavka imaginarne geometrije moºe smatrati za mogu nu. Prema tome, astronomska posmatranja su jedino sredstvo, da bi se moglo suditi o ta nost prora una obicne geometrije. Ova se ta nost prostire vrlo daleko, kao ²to sam to pokazao jednom od svojih rasprava, tako da, na pr. u trouglima, ije su strane jo² pristupa ne na²im merenjima, zbir njihova tri ugla nije razli an od dva prava za stoti deo jedne sekunde. Jo² je vredno ista i, da one etiri jedna ine (8) ravne geometrije prelaze u jedna ine za sferne trougle, ako se mesto strana a, b, c stavi: a 1, b 1, c 1, ali sa ovom promenom mora se o evidno staviti i da je: sin Π(a) = 1 cos a, cos Π(a) = 1 tan a, tan Π(a) = 1 sin a 1, i na sli an na in i za strane b i c. Na taj na in prelazi se od jedna ina (8) na slede e: sin sin = sin sin a, cos a = cos b cos c + sin b sin c cos, cot sin + cos cos b = sin b cot a, cos = cos a sin sin cos cos. 32

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Elektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016.

Elektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016. Elektrodinamika 1 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 18. januar 016. 1. Zapreminska gustina naelektrisanja u prostoru ima oblik ρ( r) = αδ(ρ + z a )ν(z), gde su ρ i z cilindri

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03 POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 2: Αριθμοί (Brojevi) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 2: Αριθμοί (Brojevi) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 2: Αριθμοί (Brojevi) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK GEOMETRJSKE KRKTERSTKE

Διαβάστε περισσότερα

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija 12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα