Οδηγός του Excel. για το βιβλίο. Στατιστικές Μέθοδοι Δ. Α. Ιωαννίδη

Transcript

1 1 Οδηγός του Excel για το βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι Δ. Α. Ιωαννίδη 1

2 2 Πρόλογος Το Excel είναι το πλέον διαδεδομένο πρόγραμμα που χρησιμοποιείται στη Λογιστική και Χρηματοοικονομική καθώς και στη διαχείριση κάθε μορφής παραγωγής και έρευνα αγοράς. Το λογιστικό φύλλο του Excel δίνει την δυνατότητα στο να διαχειρίζονται δεδομένα που εκφράζονται με αριθμούς (ποσοτικά) αλλά και με λέξεις ή γράμματα (ποιοτικά). Επίσης στο ίδιο φύλλο μπορούμε να έχουμε τα γραφήματα που προκύπτουν από την ανάλυση των δεδομένων μας. Το Excel διαθέτει ένα ικανό σύνολο από εντολές ώστε να δημιουργεί φυσικό υπολογιστικό περιβάλλον για κάθε στατιστική μεθοδολογία. Ο σκοπός του Οδηγού του Excel είναι να βοηθηθεί ο σπουδαστής για την καλύτερη εκμάθηση της στατιστικής επιλύοντας παραδείγματα και ασκήσεις από το βιβλίο «Στατιστικές Μέθοδοι» με την βοήθεια του. Ο σπουδαστής δεν χρειάζεται να έχει ιδιαίτερες γνώσεις σε υπολογιστές. Από την στιγμή που ανοίγει ένα φύλλο Excel μπορεί ψηλαφιστά να φθάνει στην επίλυση των προβλημάτων που τον ενδιαφέρουν. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσονται κάποιες βασικές γνώσεις, όπως εισαγωγή δεδομένων, πράξεων κτλ. Στην συνέχεια τα κεφάλαια που ακολουθούν έχουν αντίστοιχη ανάπτυξη όπως η διάρθρωση του βιβλίου «Στατιστικές Μέθοδοι». Από την στιγμή που λύνεται ένα παράδειγμα από το βιβλίο καλό είναι παράλληλα να επιλύεται και με το Excel. Κάθε κεφάλαιο περιέχει τον τρόπο ανάπτυξης των ενεργειών που πρέπει να προχωρήσουμε μέσω του Excel για να εφαρμόσουμε μια συγκεκριμένη στατιστική μέθοδο, λυμένα παραδείγματα, αλλά και επεξηγήσεις. Πολλά από τα δεδομένα υπάρχουν στο συνοδευτικό Cd. 2

3 1 Βασικές Αρχές 1. Βασικές Αρχές του Excel Το Excel διαθέτει ένα ισχυρό υπολογιστικό περιβάλλον με μεγάλες δυνατότητες εφαρμογών του στην στατιστική. Μπορεί κανείς σε ένα λογιστικό φύλλο να εισάγει τα δεδομένα του, να τα επεξεργάζεται και συγχρόνως να γράφει κείμενο. 1.1 Περιήγηση και Εισαγωγή Δεδομένων στο Excel Άνοιγμα Αρχείων Με την ενεργοποίηση του Excel που γίνεται με το κλικ του κέρσορα του ποντικιού στο εικονίδιο με την ένδειξη Microsoft Office Excel 2007, ξετυλίγεται στην οθόνη του υπολογιστή το λογιστικό φύλλο του Excel. Στο άνω μέρος εμφανίζεται ο τίτλος «Βιβλίο 1». Ένα λογιστικό φύλλο περιέχει στήλες με τίτλους σε σειρά τα κεφαλαία γράμματα της Λατινικής Αλφαβήτου. Μετά από την στήλη με το τελευταίο γράμμα Ζ, οι στήλες φέρνουν σαν τίτλο συνδυασμούς δυο Λατινικών γραμμάτων (π.χ., AA, AB,..) έως την τελευταία στήλη, που είναι η 256η. Επιπλέον ένα λογιστικό φύλλο περιέχει γραμμές, αριθμημένες από το 1 έως το Οι 256 στήλες διασταυρώνονται με τις γραμμές και δημιουργούν 256* κελιά. Το κελί Α1 εντοπίζεται στην διασταύρωση της πρώτη στήλης και της πρώτης γραμμής, ενώ το κελί Z26 εντοπίζεται στην διασταύρωση της 26 η στήλης και 26 η γραμμής. Με το άνοιγμα του Excel ενεργοποιείται το κελί Α1. Μπορούμε να περιηγηθούμε ελεύθερα ένα λογιστικό φύλλο του Excel, μεταπηδώντας από κελί σε κελί και να εισάγουμε κείμενο ή αριθμούς ή συναρτήσεις απλά πιέζοντας το πλήκτρο Enter. Η περιήγηση μπορεί να γίνει με την μετακίνηση του κέρσορα του ποντικιού ή απλά πιέζοντας τα πλήκτρα,,, and. Παρακάτω δίνεται ένα λογιστικό φύλλο που περιέχει κείμενο, κάποιους αριθμούς και την εισαγωγή συνάρτησης. Στην περίπτωση μας βλέπουμε την συνάρτηση που εισάγουμε κοιτάζοντας στην «γραμμή τύπων» που βρίσκεται στο άνω δεξιό μέρος του λογιστικού φύλλου(εδώ, =C3+C4 ). 1

4 1 Βασικές Αρχές Για την εισαγωγή μιας συνάρτησης ξεκινάμε πάντα με την εισαγωγή του συμβόλου του =. Ο υπολογισμός του αθροίσματος των μισθών του Σταύρου και της Μαρίας, μπορεί να γίνει άμεσα μέσω τησ εισαγωγής της συνάρτησης «Sum» από την «γραμμή τύπων» ( ή από το πλήκτρο fx ) πιέζοντας το πλήκτρο Enter ή ακολουθώντας τα επόμενα βήματα. : 1. Επιλέγουμε το κελί C6. 2. Εισάγουμε το = 3. Εισάγουμε το μισθό του Σταύρου με την λειτουργία της αντιγραφής από το κελί C3 (ή το πληκτρολογούμε εκ νέου) 4. Εισάγουμε το + 5. Εισάγουμε το μισθό της Μαρίας με την λειτουργία της αντιγραφής από το κελί C4 (ή το πληκτρολογούμε το εκ νέου) 6. Πιέζουμε το πλήκτρο Enter. 2

5 1 Βασικές Αρχές 1. 2 Βασικές Πράξεις Οποιοδήποτε κελί μπορεί να περιέχει έναν μαθηματικό τύπο στον οποίο να σημειώνονται οι βασικές πράξεις με αριθμούς που αναφέρονται σε άλλα κελιά. Αναφέρομε τις βασικώτερες αριθμητικές πράξεις με το Excel. 1. Επιλέγουμε ένα κελί και εισάγουμε το = 2. Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα + πρόσθεση, για αφαίρεση, * για πολλαπλασιασμό, / για διαίρεση, τον εκθέτη ^ για να υψώσουμε σε δύναμη και τέλος το % για ποσοστά. Μερικά παραδείγματα με τις βασικές πράξεις να σημειώνονται στην στήλη D ενώ τα αποτελέσματα σημειώνονται στο αντίστοιχο κελί της στήλης B. 3

6 1 Βασικές Αρχές 3. Σειρά εκτέλεσης πράξεων : α. Η ύψωση σε δύναμη ^ εκτελείται πρώτη β. Πολλαπλασιασμός * και διαίρεση / ακολουθούν. Οι πράξεις στην παρένθεση προηγούνται και μάλιστα από την εσωτερικότερη προς την εξωτερικότερη. Στο επόμενο κλάσμα, 2 / (3 * 4), υπολογίζεται πρώτα ο παρανομαστής και ακολουθεί μετά η διαίρεση γ. Η πρόσθεση + και η αφαίρεση - εκτελούνται τελευταίες. Έτσι η παράσταση * 2 ^ 3 σε πρώτη φάση γίνεται * 8 μετά και τελικά 38 δ. Προσοχή στο σύμβολο του «μείον» προηγείται όλων των άλλων. Έτσι το -2 ^ 4 είναι σαν να υπολογίζει (-2) ^ 4 που δίνει 16, ενώ αν γράψετε -(2 ^ 4) λαμβάνετε Τα ποσοστά λαμβάνονται σαν να διαιρείς με 100. Αν εισάγεις 20% σ ένα κελί λαμβάνεις 0.20 και απλοποιούνται οι πολλαπλασιασμοί 1.3 Συναρτήσεις του Excel Το Excel διαθέτει μια πλούσια συλλογή από Μαθηματικές, Οικονομικές Στατιστικές, αλλά και άλλου είδους συναρτήσεις. Από την στιγμή που επιλέγηκε ενά κελί στο λογιστικό φύλλο του Excel μπορούμε να πάμε στην καρτέλα ΤΥΠΟΙ(FORMULAS) και να κάνουμε κλικ στο Εισαγωγή της Συνάρτησης, οπότε επιλέγουμε την συνάρτηση που επιθυμούμε. Παρακάτω επιλέγουμε την συνάρτηση Χτυπώντας το SUM, εμφανίζεται Με βάσει την παραπάνω συνάρτηση αθροίζω τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 4

7 1 Βασικές Αρχές Πριν αθροίσω πρέπει πρώτα να τους εισάγω στο φύλλο Excel. Το τελευταίο μπορεί να γίνει και μέσω εντολών του Excel. Έτσι αναπτύσσουμε το παρακάτω Συμπλήρωση Κελιών με διαδοχικούς αριθμούς Για να τους εισάγω, τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, επειδή οι αριθμοί μου είναι διαδοχικοί χρησιμοποιώ Ιδιότητα Γεμίσματος των Κελιών του Excel. Εισάγω τον αριθμό 1 στο D5, από το εικονίδιο Κεντρική του μενού, επιλέγω το εικονίδιο κάτω από το Σ, και μέσω του «Σειρά» εισάγω τους 10 αριθμους μου, όπως υποδεικνύεται παρακάτω. 5

8 1 Βασικές Αρχές 1.5 Υπολογισμός Αθροίσματος Στη στήλη του D από D5:D15 εισήχθηκαν οι αριθμοί 1, 2,, 10. Στο κελί Ε11 δίνεται το άθροισμα των 1, 2, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Το άθροισμα υπολογίστηκε μέσω της συνάρτησης Sum, όπως υποδεικνύεται παρακάτω. 6

9 1 Βασικές Αρχές 1.6 Ονομασία δεδομένων Άθροισμα Παραπάνω τα δεδομένα από το 1 έως το 10, αναφέρονται απλά με την αναφορά D5:D14, είναι όμως πιο πρακτικό στο να δίνουμε ένα όνομα στα δεδομένα μας. Μπορούμε στα δεδομένα μας από D5:D14 να δώσουμε ένα όνομα π.χ. Άθροισμα. Γράφουμε την λέξη Άθροισμα στο κελί D4, μετά μαρκαρουμε τα κελιά από D5:D14. 7

10 1 Βασικές Αρχές Κατόπιν δίνουμε δεξί κλικ με το ποντίκι και επιλέγουμε ονομασία περιοχής Λαμβάνουμε το επόμενο 8

11 1 Βασικές Αρχές και πατώντας OK κατοχυρώνουμε το όνομα Άθροισμα για τα δεδομένα μας από D5:D Οδηγός Γραφημάτων με Excel Μέσω του Excel μπορούμε να λάβουμε πολλώv ειδών γραφήματα. 1. Επιλέγουμε τα δεδομένα μας, σε μια στήλη ή σε πολλές. Πολλές φορές είναι χρήσιμο να επιλέξουμε και τα ονόματα των δεδομένων μας. Σε κάθε στήλη αντιστοιχεί ένα όνομα (ή μια ετικέτα). 2. Από το από το εικονίδιο Εισαγωγή του μενού, επιλέγω το εικονίδιο Γραφήματα και στην συνέχεια με κλικ στα γραφήματα έχουμε. 9

12 1 Βασικές Αρχές Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γράφημα της Διασποράς για δεδομένα από δυο ή περισσότερα μεγέθη (Πολυδιάστατη Ανάλυση). 1.8 Ανάλυση Δεδομένων με Excel Πέραν των στατιστικών συναρτήσεων, το Excel περιέχει ολοκληρωμένες εντολές Στατιστικής Ανάλυσης. Αν δεν είναι φορτωμένες στο πρόγραμμα του Excel σας μπορείτε να τις εισαγάγετε ως εξής : Πηγαίνετε στο κουμπί του Office και κάντε αριστερό κλικ, εμφανίζεται η επόμενη εικόνα. Στο κάτω αριστερό μέρος επιλέγουμε το : Επιλογές του Excel 10

13 1 Βασικές Αρχές Με αριστερό κλικ στο επιλογές έχουμε το 11

14 1 Βασικές Αρχές Με αριστερό κλικ στα πρόσθετα φθάνουμε στο επόμενο και κάνουμε αριστερό κλικ στο Πακέτο Εργαλείο Ανάλυσης 12

15 1 Βασικές Αρχές Το Ανάλυση Δεδομένων εμφανίζεται με αριστερό κλικ στο εικονίδιο Δεδομένα του κύριου μενού. 13

16 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.1 Ακιδωτό διάγραμμα - Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες Excel για την κατασκευή Ακιδωτού Διαγράμματος Παραδείγματος Ανοίγουμε το Αρχείο Παράδειγμα Μαρκάρουμε τα δεδομένα μας 3. Επιλέγουμε Συγκεντρωτικού Πίνακα Εισάγουμε τα δεδομένα μας στο πεδίο : Πίνακας /περιοχή και επιλέγουμε για την θέση αναφοράς του συγκεντρωτικού πίνακα το κελί C7 και ΟΚ. 14

17 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 4. Σύρουμε το αρχείο Χρόνοι Πρ. πρώτα στην Γραμμή και μετά στα δεδομένα. Στη συνέχεια κάνουμε δεξί κλικ πάνω από ένα κελί της στήλης σύνολό και επιλέγουμε στο Ρυθμίσεις Πεδίου Τιμής το πλήθος. 15

18 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 5. Από τα Εργαλεία Συγκεντρωτικού Πίνακα επιλέγουμε Συγκεντρωτικό Γράφημα και επιλέγουμε από τα στήλη γραφημάτων το στυλ γραφήματος Στήλη Τμημάτων. 16

19 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 6. Μπορούμε να αλλάξουμε τον τύπο του γραφήματος κάνοντας δεξί κλικ στο υπάρχον γράφημα, κάνοντας επιλογή Αλλαγή Τύπου Γραφήματος και επιλογή Πίτα. 17

20 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.2 Ιστόγραμμα- Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες Excel για την κατασκευή Ιστογράμματος Παραδείγματος Ανοίγουμε το Αρχείο Παράδειγμα Μαρκάρουμε τα δεδομένα μας 3. Επιλέγουμε Συγκεντρωτικό Πίνακα 4. Κάνουμε δεξί κλικ στην περιοχή που εμφανίζεται, επιλέγουμε Επιλογές συγκεντρωτικού πίνακα και από την καρτέλα εμφάνιση διαλέγουμε την κλασσική διάταξη του Συγκεντρωτικού πίνακα. Στην συνέχεια κάνοντας κλικ στο ΟΚ λαμβάνουμε την κλασσική μορφή του συγκεντρωτικού πίνακα. 5. Σύρουμε το αρχείο Παράδειγμα πρώτα στην Γραμμή και μετά στα δεδομένα. Στη συνέχεια κάνουμε δεξί κλικ πάνω από ένα κελί της στήλης Παράδειγμα και επιλέγουμε Ομαδοποίηση με αρχή το 1600 και τέλος 2300, ανά

21 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στη συνέχεια κάνουμε δεξί κλικ πάνω από ένα κελί της στήλης Σύνολο και επιλέγουμε το πλήθος. Εμφανίζεται ο επόμενος πίνακας. Πλήθος από Παράδειγμα Παράδειγμα Σύνολο Γενικό άθροισμα Μαρκάρουμε τον παραπάνω πίνακα και από τα Εργαλεία Συγκεντρωτικού Πίνακα επιλέγουμε Συγκεντρωτικό Γράφημα και επιλέγουμε από τα στήλη γραφημάτων το στυλ γραφήματος Στήλη Τμημάτων. Έχουμε το επόμενο 7. Μπορούμε να ενώσουμε τις στήλες κάνοντας αριστερό και μετά δεξί κλικ σε μια από τις στήλες του παραπάνω γραφήματος επιλέγοντας την Μορφοποίηση σημείου δεδομένων.τέλος δίνομε στο εικονίδιο Πλάτος Ανοίγματος τo 0%. Έτσι έχουμε το τελικό γράφημα του Ιστογράμματος. 19

22 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.3 Αθροιστική Κατανομή Συχνοτήτων - Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι του Δ. Α. Ιωαννίδη) Οδηγίες Excel για την κατασκευή της Απόλυτης Αθροιστικής Κατανομής Συχνοτήτων Παραδείγματος Ανοίγουμε το Αρχείο Παράδειγμα Επαναλαμβάνουμε ακριβώς έως και το βήμα 4 της Παραγράφου 2.1 και παίρνουμε τον επόμενο πίνακα συχνοτήτων (Στο αντίστοιχο φύλλο του Excel εμφανίζεται ο πίνακας συχνοτήτων στα κελιά Ε15 έως F23) Πλήθος από Χρόνοι Προμηθ Χρόνοι Προμηθ Σύνολο

23 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 7 8 Γενικό άθροισμα Στην στήλη G18 έως G23 δίνουμε την Αθροιστική Κατανομή Απόλυτης Συχνότητας. Στο κελί G18 γράφουμε 1, την απόλυτη συχνότητα του 1, στο κελί G19 γράφουμε =F18+G17 και στην συνέχεια, αφήνοντας τον κέρσορα στην κάτω αριστερή γωνία του G18 και πατώντας αριστερά σύρουμε τον κέρσορα έως το G23 κελί.έχουμε την επόμενη στήλη Αθροιστική Κατανομή Στη συνέχεια μεταφέρουμε δεδομένα και συχνότητες ακριβώς όπως στα κελία J16 έως K Μαρκάρουμε τα παραπάνω δεδομένα και από το διάγραμμα διασποράς όπως φαίνεται και παρακάτω, επιλέγοντας το τελευταίο εικονίδιο έχουμε την γραφική παράσταση της Αθροιστικής Απόλυτης Συχνότητας 21

24 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.4 Θηκόγραμμα (Boxplot)-Παράδειγμα 2.7.6(Στατιστικές Μέθοδοι του Δ. Α. Ιωαννίδη) Σε αυτό το σημείο θα εξηγήσουμε το πως μπορούμε να κατασκευάσουμε το box plot, όταν γνωρίζουμε τα 5 σημεία, δηλ. την ελαχίστη τιμή, τα τρία τεταρτημόρια και την μεγίστη τιμή των δεδομένων μας. Θεωρούμε ότι έχουμε στην διάθεση μας τα δεδομένα του Παραδείγματος 2.7.6, όπου τα πέντε σημεία ήταν : 30, 36, 51, 95 και 95. Παρακάτω δίνουμε τα βήματα που απαιτούνται για την κατασκευή του Θηκογράμματος. : 1. Τοποθετούμε τα πέντε σημεία ακριβώς όπως φαίνεται στο επόμενο φύλλο τα Excel. Επισημαίνουμε την προσοχή το κενό κελί που αφήνουμε πριν την διάμεσο : 22

25 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2. Δεξιά από τους πέντε αριθμούς εισάγουμε τους αριθμούς 1, 2, 3 ακριβώς με την σειρά που σημειώνονται. Το τελευταίο δείχνει το πώς θα χαραχθούν οι γραμμές του boxblot. Μαρκάρουμε τις γραμμές (περιλαμβάνοντας και την κενή γραμμή). Από το εικονίδιο Εισαγωγή του μενού, επιλέγω το εικονίδιο Γραφήματα και στην συνέχεια με κλικ στα γραφήματα όπως φαίνεται και παρακάτω, επιλέγοντας το τελευταίο εικονίδιο παίρνω το θηκόγραμμα. 23

26 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.5 Πίνακας Συνάφειας Πίνακας Συσχέτισης από το Αρχείο Βάση Εργαζομένων Σε αυτό το σημείο θα εξηγήσουμε το πως μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα Πίνακα Συνάφειας αλλά και Συσχέτισης. (Οι έννοιες αναπτύσσονται στην Παράγραφος 2.9 αλλά και στο Κεφάλαιο 15 Στατιστικές Μέθοδοι του Δ. Α. Ιωαννίδη). Θεωρούμε ότι έχουμε στην διάθεση μας τα δεδομένα από το αρχείο Βάση Εργαζομένων που βρίσκεται στο επισυναπτόμενο 24

27 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Παρακάτω δίνουμε τα βήματα που απαιτούνται για την κατασκευή του Πίνακα Συνάφειας της ποιοτικής μεταβλητής Εκπαίδευση σε σχέση με την ποιοτική μεταβλητή Φύλλο : 1. Τα βήματα είναι τα ίδια όπως στην κατασκευή του Ακιδωτού Διαγράμματος στην 2.1. Εργαζόμενοι ανάλογα σύρουμε την μεταβλητή Φύλλο στην γραμμή και μετά στο πεδίο δεδομένων και επιλέγουμε το πλήθος. 2. Σύρουμε την μεταβλητή Εκπαίδευση στην στήλη και έχουμε τον ακόλουθο Πίνακα Συνάφειας, Πλήθος από Φύλο Εκπαίδευση Γενικό άθροισμα Φύλο A B Γ Α Γ Γενικό άθροισμα Παρακάτω δίνουμε τα βήματα που απαιτούνται για την κατασκευή του Πίνακα Συσχέτισης της ποσοτικής μεταβλητής Μισθός σε σχέση με την ποσοτική μεταβλητή Ηλικία : 3. Τα βήματα είναι τα ίδια όπως στην κατασκευή του Ιστογράμματος στην Εργαζόμενοι ανάλογα σύρουμε την μεταβλητή Ηλικία στην γραμμή και μετά στο πεδίο δεδομένων, και επιλέγουμε το πλήθος. 4. Σύρουμε την μεταβλητή Μισθό στην στήλη και αφού ομαδοποιήσουμε τα δεδομένα της στήλης μας, έχουμε τον ακόλουθο Πίνακα Συσχέτισης. 5. Εκτελώντας τα προηγούμενα βήματα παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα: Πλήθος από Ηλικία Ετήσιος μισθός Γενικό άθροισμα Ηλικία Γενικό άθροισμα

28 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.6 Διάγραμμα Διασποράς (ή της Ετεροσκεδαστικότητας) από το αρχείο Βάση Εργαζομένων Σε αυτό το σημείο θα εξηγήσουμε το πως μπορούμε να κατασκευάσουμε το Διάγραμμα Διασποράς. ( Η έννοια αναπτύσσεται στην Παράγραφος 2.9 αλλά και στο Κεφάλαιο 13 Στατιστικές Μέθοδοι του Δ. Α. Ιωαννίδη). Θεωρούμε ότι έχουμε στην διάθεση μας τα δεδομένα από το αρχείο Βάση Εργαζομένων που βρίσκεται επισυναπτόμενο στη βάση του Excel. Παρακάτω δίνουμε τα βήματα που απαιτούνται για την κατασκευή του Διαγράμματος Διασποράς της ποσοτικής μεταβλητής Μισθό σε σχέση με την ποσοτική μεταβλητή Ηλικία : 1. Ανοίγουμε το αρχείο Βάση Εργαζομένων. 2. Σε δυο νέες διαδοχικές στήλες επικολλούμε τα δεδομένα των μεταβλητών Ηλικία και Μισθό ώστε η μεταβλητή Ηλικία να βρίσκεται αριστερά 3. Μαρκάρουμε τα δεδομένα μας στις νέες στήλες Επιλέγουμε το Διάγραμμα Διασποράς ( όπως υποδείξαμε παραπάνω). 4. Κάνουμε κλικ στο πρώτο εικονίδιο 5. Με κλικ στο ΟΚ έχουμε το ακόλουθο γράφημα 26

29 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.7. Αριθμητικός Μέσος- Παράδειγμα 2.6.1( από Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες Excel για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου. Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα α) Θα ακολουθήσουμε τον συντομότερο τρόπο αντί της όλης θεωρητικής προσέγγισης. 1. Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Επιλέγουμε την συνάρτηση AVERAGE 3. Εισάγουμε τα δεδομένα στο όρισμα της συνάρτησης 4. Κάνοντας κλικ στο ΟΚ παίρνουμε το αποτέλεσμα. β) 1. Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα και μεταβαίνουμε στο φύλλο με το όνομα Ερώτημα β. 2. Προκειμένου να υπολογίσουμε την συχνότητα των παρατηρήσεων που εντάσσονται στην κάθε ηλικιακή κατηγορία, εισάγουμε δίπλα από τον πίνακα τους αριθμούς 1-6, όσες είναι δηλαδή και οι ηλικιακές ομάδες που εξετάζουμε. 27

30 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3. Εισάγουμε την συνάρτηση IF όπως φαίνεται παρακάτω: =IF(A1<20;1;IF(AND(A1>=20;A1<30);2;IF(AND(A1>=30;A1<40);3;IF(AND(A1>=40 ;A1<50);4;IF(AND(A1>=50;A1<60);5;IF(A1>=60;6)))))) 4. Χρησιμοποιούμε την συνάρτηση COUNTIF για να υπολογίσουμε τις απόλυτες συχνότητες. 5. Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όπως και στο ερώτημα α. 2.8 Διάμεσος- Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες Excel για την εύρεση της διαμέσου σε μη ομαδοποιημένα δεδομένα Παραδείγματος Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Επιλέγω την συνάρτηση MEDIAN 3. Εισάγω τα δεδομένα στο όρισμα της συνάρτησης 4. Κάνοντας κλικ στο ΟΚ παίρνουμε το αποτέλεσμα. 28

31 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.9 Γεωμετρικός Μέσος -Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες για τον υπολογισμό του γεωμετρικού μέσου Παραδείγματος Ανοίγουμε το αρχείο Παραδείγματα Υπολογίζουμε τις μεταβολές r 1 και r 2 από τον ακόλουθο τύπο: r k k j j 1 j j =, j = 1,2, όπου k j 1 k η j περίοδος j=1,2. 3. Υπολογίζουμε τις ποσότητες 1+r 1 και 1+r 2 σε μια νέα στήλη. 4. Εισάγουμε την συνάρτηση GEOMEAN για να υπολογίσουμε τον γεωμετρικό μέσο. 5. Κάνοντας κλικ στο ΟΚ παίρνουμε το αποτέλεσμα. 29

32 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.10 Τεταρτημόρια- Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες Excel για τον υπολογισμό ποσοστιαίων σημείων Παραδείγματος Ανοίγουμε το αρχείο Παραδείγματα Εισάγουμε την συνάρτηση QUARTILE εισάγοντας τον αριθμό 1, 2 ή 3 για να υπολογίσουμε το πρώτο, δεύτερο ή τρίτο τεταρτημόριο. 3. Κάνοντας κλικ στο ΟΚ παίρνουμε το αποτέλεσμα Εύρος-Διακύμανση- Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες Excel για τον υπολογισμό του εύρους Παραδείγματος Α) 1. Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα φύλλο «Ερώτημα Α» 2. Λόγω του ότι το Excel δεν διαθέτει μια έτοιμη συνάρτηση που να υπολογίζει το εύρος κάποιων τιμών πρώτα εισάγουμε την εντολή MAX για να υπολογίσουμε το μέγιστο των τιμών αυτών. 3. Κατόπιν, εισάγουμε την εντολή MIN για υπολογίσουμε το ελάχιστο των τιμών αυτών. 4. Υπολογίζουμε την διαφορά του μέγιστου και του ελάχιστου. 30

33 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Β)(i) Οδηγίες Excel για τον υπολογισμό της διακύμανσης Παραδείγματος όταν τα δεδομένα είναι μεμονωμένα. 1. Ανοίγουμε το Παράδειγμα φύλλο «Ερώτημα Β» 2. Εισάγουμε την συνάρτηση VAR για τον υπολογισμό της διακύμανσης σε μηομαδοποιημένα δεδομένα. (ii) Οδηγίες Excel για τον υπολογισμό της διακύμανσης σε ομαδοποιημένα δεδομένα Παραδείγματος Ανοίγουμε το Παράδειγμα φύλλο «Ερώτημα Β» 2. Αντιστοιχούμε σε κάθε ένα διάστημα( όπως αυτά φαίνονται και στο φύλλο του Excel, Παράδειγμα )τους αριθμούς 1, 2, Εισάγουμε την συνάρτηση IF με την ακόλουθη μορφή: =IF(AND(C3>=2500;C3<2600);1;IF(AND(C3>=2600;C3<2700);2;IF(AND(C3>=2700;C3< 2800);3))). Προκειμένου να εντάξουμε τους αριθμούς των δεδομένων όπως αυτοί εμφανίζονται στην εκφώνηση σε ένα από τα διαστήματα. 4. Εισάγουμε την συνάρτηση COUNTIF ώστε να υπολογίσουμε τις απόλυτες συχνότητες κάθε κλάσης. 5. Τέλος υπολογίζουμε την διακύμανση με τον παρακάτω τύπο 2.12 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος- Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες για τον υπολογισμό του ενδοτεταρτημοριακού εύρους Παραδείγματος Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα

34 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2. Υπολογίζουμε με την χρήση της συνάρτησης QUARTILE το πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο, με =QUARTILE(D3:D25;1) και =QUARTILE(D3:D25;3). 3. Υπολογίζουμε την διαφορά Q3-Q1 (διαφορά του τρίτου με του πρώτου τεταρτημορίου) με=g3-f3 = Σχετική Θέση Παρατήρησης- Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες για την εύρεση σχετικής θέσης μιας παρατήρησης Παραδείγματος Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Υπολογίζουμε με την χρήση της συνάρτησης AVERAGE εισάγοντας τα δεδομένα μας παίρνοντας =AVERAGE(D3:D12) με τιμή ίσο 3 στο κελί F3. 3. Υπολογίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων με την χρήση της συνάρτησης STDEV παίρνοντας =STDEV(D3:D12) με τιμή ίσο 4, στο κελί G3 4. Υπολογίζουμε πρώτα την σχετική θέση της πρώτης παρατήρησης μας του κελιού D3( την 1) εισάγοντας στο κελί H3 την =(D3-$F$3)/$G$3( έχοντας κατά νου τον παρακάτω τύπο ), και βρίσκουμε -0, Στην συνέχεια αφήνουμε τον κέρσορα στην κάτω άκρη του κελιού μας ώστε να λάβει την μορφή του + και έπειτα κάνοντας αριστερό κλικ τον πιέζουμε σταθερά και τον σύρουμε έως την γραμμή G13. Έτσι υπολογίζουμε όλες τις υπόλοιπες z-τιμές καθώς και για το 20 που το εισήγαμε στο D13 την 3,844 (περίπου 4) Συμμετρία και λοξότητα. Να κατασκευάσετε με την βοήθεια του Excel τα Ιστογράμματα του Παραδείγματος και να συζητήσετε τα αποτελέσματα σας. Εδώ έχουμε τρείς κατανομές με τις αντίστοιχες κατανομές συχνοτήτων να διαφέρουν από κατανομή σε κατανομή, γεγονός που οδηγεί σε διαφορετικής μορφής Ιστογράμματα. Ωστόσο και οι τρείς κατανομές δίνουν τον ίδιο αριθμητικό μέσο και ίσες τυπικές αποκλίσεις. Η διαφορά στην μορφή των Ιστογραμμάτων μπορεί να εξηγηθεί εύκολα υπολογίζοντας και τα άλλα μέτρα κεντρικής τάσης, όπως την Διάμεσο και Επικρατούσα τιμή. Στο ιστόγραμμα Α έχω ότι Αριθμητικός Μέσος=Διάμεσο=Επικρατούσα τιμή, ενώ στο Γ Αριθμητικός Μέσος<Διάμεσο<Επικρατούσα τιμή. Ένας άλλος τρόπος να εξηγηθούν οι διαφορετικές μορφες των Ιστογραμμάτων με τους ίδιους Αριθμητικούς μέσους και διακυμάνσεις είναι οι υπολογισμοί των Μέτρων Λοξότητας και Κυρτότητας που αναφέρονται και στο βιβλίο. Οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν από το Excel με εισαγωγή των σχετικών τύπων. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το μέτρο λοξότητας 3 ης ροπής. 32

35 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Εισάγω τα δεδομένα του Παραδείγματος στο Excel και στη συνέχεια υπολογίζω στις στήλες του Excel G,H,I,J,K και L αντίστοιχα τις ποσότητες 2. Στα κελιά C16, D16 και E16 υπολογίζουμε τους τρείς μέσους ενώ στα κελιά C19, D19 και Ε19 υπολογίζω τις διακυμάνσεις των κατανομών. Στα κελιά F19, G19 και H19 υπολογίζουμε τις τρίτες δυνάμεις των τυπικών αποκλίσεων ενώ στα κελιά Ι19, J19 και K19 υπολογίζω τα τετράγωνα των διακυμάνσεων των κατανομών. 33

36 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στα κελιά Μ12, Ν12 και Ο12 υπολογίζουμε τις τρίτες ροπές ενώ,η τεταρτη ροπή δίνεται στα κελιά P13, Q13 και R Υπολογίζουµε τον συντελεστή λοξότητας g3 καθώς και την κύρτωση W4 για κάθε κατανοµή όπως φαίνεται και στα κελιά C23, D23, E23 και C25, D25, E25 αντίστοιχα. Ένας εύκολος τρόπος για να αποφανθούμε αν οι κατανομές είναι συμμετρικές ή όχι είναι η μορφή από το σχήμα του ιστογράμματος. Αν είναι συμμετρικό όπως στο Α, τότε όλοι οι μέσοι είναι ίσοι και αντίστροφα.(βλεπε σχετικα στο βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι) Δίνουμε έναν διαφορετικό τρόπο δημιουργίας Ιστογραμμάτων από ότι στην Παράγραφο 2.2. Στο Excel μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα ιστόγραμμα επιλέγοντας πρώτα από όλα τα δεδομένα για την δημιουργία του γραφήματος και στη συνέχεια εκτελόντας την σειρά ενεργειών (Μενού) Εισαγωγή Γράφημα. 34

37 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για να δημιουργήσουμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων για κάθε κατανομή θα πρέπει να μαρκάρουμε πρώτα τα διαστήματα δείχνοντας ποιος θέλουμε να είναι ο άξονας χ και στη συνέχεια με πατημένο το Ctrl μαρκάρουμε τις συχνότητες για την κατανομή Α την στήλη δηλαδή h Α. Στη συνέχεια εκτελούμε τις εντολές που περιγράφηκαν πιο πάνω για τη δημιουργία ιστογράμματος. 35

38 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Όμοια δουλεύουμε και με τις υπόλοιπες κατανομές συχνοτήτων. 36

39 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3. Βασικές Πιθανότητες Το μεγαλύτερο μέρος του Κεφαλαίου 3 από το βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι απαιτεί υπολογισμούς, που γίνονται ταχύτερα με την βοήθεια επιστημονικού υπολογιστή τσέπης. Φυσικά το Excel εκτελεί αριθμητικούς υπολογισμούς απλά εισάγοντας σε ένα κελί το =, στην συνέχεια την αριθμητική παράσταση που θέλουμε να υπολογίσουμε (π.χ. ( )*0.4) και πιέζοντας το πλήκτρο Enter λαμβάνουμε την απάντηση. 3.1 Υπολογισμοί Συνδυασμών. Να γίνουν οι υπολογισμοί με την βοήθεια του Excel του Παραδείγματος από το βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι 1. Στο κελί Α2 γράφουμε P(A). 2. Στο κελί Α3 εισάγουμε το = και υπολογίζουμε με την βοήθεια της συνάρτησης COMBIN (Από τις Μαθηματικές Συναρτήσεις) τον συνδυασμό του 5 ανά Στο κελί Α4 εισάγουμε το = και υπολογίζουμε με την βοήθεια της συνάρτησης COMBIN τον συνδυασμό των 3 ανά Στο κελί Α5 εισάγουμε το = και υπολογίζουμε με την βοήθεια της συνάρτησης COMBIN τον συνδυασμό των 2 ανά Στο κελί Β2 εισάγουμε το= και γράφουμε την παράσταση Α4*Α5/Α3 6. Πιέζοντας το πλήκτρο Enter, έχουμε το αποτέλεσμα 0,6. 37

40 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4. Τυχαίες Μεταβλητές, Κατανομές, Δειγματοληψίες, Νόμος Μεγάλων Αριθμών. Με το Excel μπορούμε υπολογίσουμε τις πιθανότητες των τιμών διαφόρων τυχαίων μεταβλητών. Στο κεφάλαιο αυτό θα υπολογίσουμε πιθανότητες για την Διωνυμική, την Υπεργεωμετρική, την Poisson, την Εκθετική και την Κανονική Κατανομή. 4.1 Διωνυμική κατανομή. Να υπολογισθεί η πιθανότητα P(X=2) στο Παράδειγμα Επίσης, να υπολογισθεί η πιθανότητα F(2)= P(X 2) Στο παράδειγμα μας επιλέγουμε 5 άτομα (με επανάληψη), n=5, και ρωτάμε τα 2, k=2, να είναι υπέρ, αν p=0,44( πιθανότητα κάποιος να είναι υπέρ). Τo Excel υπολογίζει βάσει του τύπου =BINOMDIST(k,n,p,FALSE) την πιθανότητα P(X=k) X ίσον k, ενώ ο τύπος =BINOMDIST(k,n,p,TRUE) την πιθανότητα P(X k) X μικρότερο ή ίσον του k. Στο ίσο γράφουμε FALSE, ενώ στο μικρότερο ή ίσον του k TRUE. Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: Έτσι μπορούμε να πούμε πως P(X 2)=

41 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Άρα η πιθανότητα P(X=2)= Υπεργεωμετρική κατανομή. Να υπολογισθεί η πιθανότητα P(X=2) στο Παράδειγμα Στο παράδειγμα μας δίνεται ότι Ν= 6 αντικείμενα, από τα οποία τα 3, m=3, είναι ελαττωματικά. Ζητάμε την πιθανότητα από τα επιλεγόμενα 2 και τα δυο είναι ελαττωματικά. Τo Excel υπολογίζει βάσει του τύπου =HYPGEOMDIST(k, n, m, N ) την πιθανότητα P(X=k) X ίσον k. Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: 39

42 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.3 POISSON κατανομή. Να υπολογισθεί η πιθανότητα P(X=2) στο Παράδειγμα Επίσης, να υπολογισθεί η πιθανότητα F(2)= P(X 2) Η μεταβλητή Χ λαμβάνει τιμές 0,1, 2,., ενώ λ=4 Τo Excel υπολογίζει βάσει του τύπου =POISSON(k, mean, FALSE) την πιθανότητα P(X=k) X ίσον k, ενώ ο τύπος =POISSON(k, mean, TRUE) την πιθανότητα P(X k) X μικρότερο ή ίσον του k. Στο ίσο γράφουμε False, ενώ στο μικρότερο ή ίσον του k TRUE. Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: Η πιθανότητα όπως P(X 2) δίνεται παρακάτω και είναι ίση με: 0,238 40

43 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ενώ η πιθανότητα όπως P(X=2) είναι ίση με

44 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.4 Κανονική κατανομή Να υπολογισθεί η πιθανότητα P(X 35,4) στο Παράδειγμα Επίσης, να υπολογισθεί η πιθανότητα P(34,3 X 35,7) Το Excel υπολογίζει τις πιθανότητες, για να είναι μια μεταβλητή Χ που ακολουθεί την κανονική κατανομή μικρότερη από κάποια τιμή. Δεν απαιτεί την διαδικασία της τυποποίησης, αλλά ζητά φυσικά την γνώση του μ (μέσου) και του σ (τυπικής απόκλισης). Τo Excel υπολογίζει βάσει του τύπου =NORMDIST(x, mean, standard deviation, TRUE) την πιθανότητα P(X x) X μικρότερο ή ίσον του x.. Η δεύτερη πιθανότητα υπολογίζεται αφού υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X 35,7) και μετά αφαιρέσουμε την πιθανότητα P(X 34,3). Γνωρίζοντας τους παραμέτρους της κανονικής κατανομής Ν(35, ) όπως αυτοί δίνονται στο παράδειγμα 4.3.3, στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: P(X 35,4)=0,788 Ενώ για να υπολογίσουμε την τιμή της πιθανότητας: P(34,3 X 35,7), υπολογίζουμε το P(X 35,7) και στη συνέχεια το P(X 34,3) όπως φαίνεται και παρακάτω: 42

45 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Έτσι βρίσκουμε ότι P(34,3 X 35,7)=0,919-0,08=0,83 43

46 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.5 Τυποποιημένη κανονική κατανομή. Να υπολογισθούν οι πιθανότητες P(Ζ 0,85), P(Ζ 0,75), και P(Ζ 0) με Z την τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Ν(0, 1)(ή απλά την τυποποιημένη μεταβλητή ) Το Excel υπολογίζει τις πιθανότητες, για να είναι η μεταβλητή Ζ μικρότερη από κάποια τιμή. Τo Excel υπολογίζει βάσει του τύπου =NORMSDIST(z) την πιθανότητα P(Z z) Ζ μικρότερο ή ίσον του z.. Στο βιβλίο συμβολίζουμε με Φ(z) την P(Z z). Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: Έτσι βρίσκουμε πως P(Ζ 0,85)=0,80. Όμοια εργαζόμαστε και για τις υπόλοιπες πιθανότητες και βρίσκουμε ότι: P(Ζ 0,75)=0,7733 και ότι P(Ζ 0)=0, Εκθετική κατανομή. Να υπολογισθεί η πιθανότητα P(X<20) στο Παράδειγμα Το Excel υπολογίζει τις πιθανότητες, για να είναι μια μεταβλητή Χ που ακολουθεί την Αρνητική Εκθετική μικρότερη από κάποια τιμή. Απαιτεί γνώση του λ (=1/μέσο). Τo Excel υπολογίζει βάσει του τύπου =EXPONDIST(x, lamda, TRUE) την πιθανότητα P(X x) X μικρότερο ή ίσον του x.. Η πιθανότητα P(X>x) υπολογίζεται αφού υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X x) και μετά αφαιρέσουμε από το 1. Από το παράδειγμα γνωρίζουμε πως η παράμετρος λ=0,02. Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: 44

47 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Έτσι προκύπτει ότι η πιθανότητα P(X<20)=0,329 45

48 4 ΝΟΜΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Δειγματοληψίες, Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Με το Excel μπορούμε να επιλέγουμε τυχαία δείγματα με επανάληψη ή χωρίς επανάληψη από οιονδήποτε πληθυσμό, αλλά και από πληθυσμούς των οποίων την κατανομή την γνωρίζουμε. Το τυπικό σφάλμα του δείγματος μας αλλά και ο μέσος υπολογίζονται εύκολα από τις συναρτήσεις του Excel. 4.7 Παράδειγμα : Να επιλεγεί ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 3 από έναν πληθυσμό με 10 μονάδες. 1.Στην στήλη Α και από A1:A2 εισάγουμε τους αριθμούς από 1 έως 10, πχ με την ιδιότητα της συμπλήρωσης στην αρχή του κεφαλαίου. Στο κελί Β1 εισάγουμε την συνάρτηση =RAND() και πατάμε το πλήκτρο εισόδου, στην συνέχεια αναπαράγουμε το αποτέλεσμα στα υπόλοιπα κελιά της στήλης Β έως την 10 γραμμή 2.Μαρκάρουμε τα δεδομένα μας στις δυο στήλες και από τα Δεδομένα/ταξινόμηση επιλέγοντας στην ταξινόμηση την Β στήλη, κάνοντας ΟΚ, έχουμε τον επόμενο πίνακα τιμών. Επιλέγοντας τις 3 πρώτες έχουμε το δείγμα μεγέθους 3. Με το πλήκτρο F9 αλλάζουμε ξανά κα ξανά το τυχαίο δείγμα. 4.8 Παράδειγμα : Με την μέθοδο της προσομοίωσης (Monte Carlo) να μελετηθεί ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών με δείγμα 100 από τον πληθυσμό του Παραδείγματος Στο Παράδειγμα του βιβλίου η πραγματοποίηση ενός δανείου έχει πιθανότητα 0,5 να έχει γίνει για την πληρωμή άλλου δανείου. Από την στιγμή λοιπόν που ρωτάμε τυχαία άτομα που έχουν πάρει δάνειο αν θα το χρησιμοποιήσουν για την αποπληρωμή άλλων δανείων, θα μπορούσε στα 10 άτομα, ενδεχομένως τα 5 άτομα να το χρησιμοποιήσουν, ενδεχομένως 2 άτομα ή και κανένα από τα 10. Εφαρμόζοντας τον Νόμο των Μεγάλων Αριθμών θα δούμε ότι όσο αυξάνεται ο αριθμός των ερωτηθέντων δανειοληπτών (το n) η σχετική συχνότητα των δανειοληπτών που κάνουν δάνειο για το σκοπό που περιγράψαμε όλο και πλησιάζει στο 0,5 (το 50%) όσο το n αυξάνει. Στο παράδειγμα μας οι απαντήσεις που παίρνουμε είναι Ναι και Όχι, που τις σημειώνουμε με 1 και 0, και περιγράφονται από ένα Bernoulli τυχαίο πείραμα (Διωνυμική με n=1, p). Άρα αν ρωτήσουμε 1000 άτομα τυχαία σύμφωνα με τον αναφερθέντα νόμο αναμένουμε οι περί τους 50 να απάντησαν Ναι. 1. Στην στήλη Α και από A2:A101 δημιουργούμε δείγμα προσομοίωσης από τον πληθυσμό B(1, 0,5), επιλέγοντας από το Ανάλυση Δεδομένων το Γεννήτρια τυχαίων αριθμών και συμπληρώνουμε όπως φαίνεται παρακάτω. 2. Στην στήλη Β, και στο κελί Β2 εισάγω την συνάρτηση =SUM($Α$2:Α2)/COUNT($Α$2:A2), κάνω κλικ στο κουμπί εισόδου, και συμπληρώνω όμοια έως το Β

49 4 ΝΟΜΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Παρατηρώ ότι η σχετική συχνότητας εμφάνισης του 1, είναι 0 με την πρώτη απάντηση, 0,5 με την δεύτερη, από την 3 η έως περίπου 80 η αρκετά μεγαλύτερη του 0,5 αλλά να πλησιάζει το 0,5 όσο προχωράμε προς την εκατοστή. 5. Μαρκάροντας τις στήλες από A2:B1001 και στην συνέχεια πηγαίνοντας στον οδηγό γραφημάτων επιλέγοντας το πρώτο εικονίδιο, παίρνουμε την γραφική παράσταση για την σχετική συχνότητα: 47

50 5 α-τιμεσ-δειγματοληπτικεσ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 5. α-τιμές Τυχαίων Μεταβλητών Δειγματοληπτικές Κατανομές (Κεφάλαια 5 και 8 από το βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι) Σαν ορισμό της α-τιμής μιας μεταβλητής Χ δώσαμε την τιμή χ α για την οποία έχουμε P(X χ α )=α (βλέπε βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι, Κεφάλαιο 5 ). Αν η κατανομή μιας μεταβλητής είναι η Κανονική με μέσο το 0 και τυπική απόκλιση το 1 θα την ονομάζουμε Ζ μεταβλητή. Αν η κατανομή μιας μεταβλητής είναι η t-κατανομή με n βαθμούς ελευθερίας θα την ονομάζουμε t μεταβλητή με n βαθμούς ελευθερίας. Αν η κατανομή μιας μεταβλητής είναι η Χ-τετράγωνο με n βαθμούς ελευθερίας θα την ονομάζουμε X μεταβλητή. 2 n Αν η κατανομή μιας μεταβλητής είναι η F- κατανομή με m και n βαθμούς ελευθερίας θα την ονομάζουμε F nm, μεταβλητή. Για τους ορισμούς των κατανομών βλέπε βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι, Κεφάλαιο 8. 2 Παρακάτω δείχνουμε πως με το Excel μπορούμε να υπολογίσουμε την α-τιμή της Z,, t X n και F nm, μεταβλητής, για 0<α< α-τιμή της Ζ. Ποια είναι η 0,025-τιμή της Z μεταβλητής ; Ποια η 0,05- τιμή της Z μεταβλητής ;Ποια η 0,01-τιμή της Z μεταβλητής; Με το Excel μπορούμε να υπολογίσουμε τις α-τιμές της Z, για διάφορες τιμές του α βάσει του τύπου =NORMSINV(1-α). Η συνάρτηση NORMSINV αποδίδει τις z α τιμές της Z-μεταβλητής Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: 48

51 5 α-τιμεσ-δειγματοληπτικεσ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Έτσι βρίσκουμε πως οι z 0,025, z 0,05 και z 0,01 είναι 1,96, 1,644 και 2,32, αντίστοιχα. 49

52 5 α-τιμεσ-δειγματοληπτικεσ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 5.2. α-τιμή της t. Ποια είναι η 0,025-τιμή της t 10 μεταβλητής (t 10;0,025 ) ; Ποια η 0,05-τιμή της (t 10;0,05 ) μεταβλητής ;Ποια η 0,01-τιμή της (t 10;0,01 ) μεταβλητής; Με το Excel μπορούμε να υπολογίσουμε την α/2-τιμή της t n για διάφορες τιμές βάσει του τύπου =(TINV(α, n)). Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: Όμοια χρησιμοποιώντας την συνάρτηση TINV βρίσκουμε και τις τιμές του α για τα υπόλοιπα ερωτήματα. Έτσι t 10;0,025 =1.22, t 10;0,05 =2.22 και t 10;0,01 =3, α-τιμή της Χι-τετράγωνο. Ποια είναι η 0,025-τιμή της X 10 μεταβλητής 2 X ) ; Ποια η 0,05-τιμή της ( X ) μεταβλητής ;Ποια η 0,01-τιμή ( 2 10;0,025 2 της ( X 10;0,01 ) μεταβλητής; 10;0,05 Με το Excel μπορούμε να υπολογίσουμε την α-τιμή της τύπου =(CHIINV(α, n)). 2 X n για διάφορες τιμές του α βάσει του Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: 50

53 5 α-τιμεσ-δειγματοληπτικεσ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Έτσι προκύπτει ότι 2 X 10;0,01 = X =20.48 ενώ ανάλογα υπολογίζεται ότι X 2 10;0,025 10;0,05 =18.30 και 5.4. α-τιμή της F. Ποια είναι η 0,025-τιμή της F 10,9 μεταβλητής ( F 10,9;0,025 ) ; Ποια η 0,05-τιμή της ( F 10,9;0,05 ) μεταβλητής ;Ποια η 0,01-τιμή της ( F 10,9;0,01 ) μεταβλητής; Με το Excel μπορούμε να υπολογίσουμε την α-τιμή της F nm, για διάφορες τιμές του α βάσει του τύπου =(FINV(α, n, m)). Στο επόμενο φύλλο Excel δίνουμε τις απαντήσεις: 51

54 5 α-τιμεσ-δειγματοληπτικεσ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Έτσι προκύπτει ότι η τιμή F 10,9;0,025 =3,96. Ανάλογα υπολογίζονται και οι ποσότητες 2 F =3,13 καθώς και η F =5,26. 10,9;0,05 10;0,01 52

55 6 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 6. Διαστήματα Εμπιστοσύνης (κεφάλαιο 10 από το βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι) Με το Excel μπορούμε να υπολογίσουμε τα άκρα Διαστημάτων Εμπιστοσύνης για μια παράμετρο του πληθυσμού μας αρκεί να εφαρμόσουμε τις γνωστές εντολές του στους τύπους των διαστημάτων. Όταν δίνονται δεδομένα από έναν πληθυσμό κανονικό με γνωστή διακύμανση το Excel υπολογίζει το σφάλμα περιθωρίου για το μέσο μ με άμεσο τρόπο. Το επόμενο παράδειγμα είναι διαφωτιστικό. 6.1 Διάστημα Εμπιστοσύνης για τον μέσο μ Κανονικού πληθυσμού (Γνωστή διακύμανση). Θεωρούμε τα δεδομένα του Παραδείγματος , που προέρχονται από έναν κανονικό πληθυσμό. Εδώ, θα θεωρήσουμε ότι η διακύμανση είναι άγνωστη. Να κατασκευασθεί το Διάστημα Εμπιστοσύνης για τον πληθυσμιακό μέσο μ με συντελεστή εμπιστοσύνης 0, Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Επιλέγουμε την συνάρτηση CONFIDENCE 53

56 6 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 3. Εισάγουμε την τιμή του σ =2,4, την τιμή του n=9, και α=0,01 και έχουμε το σφάλμα περιθωρίου 2,06 4. Επιλέγουμε την συνάρτηση AVERAGE και υπολογίζουμε το δειγματικό μέσο 184,8. 5. Το διάστημα εμπιστοσύνης με σ.ε., 0,99 είναι το [184,8-2,06, 184,8+2,06]=[182,76, 186,86] Όταν δίνονται δεδομένα από έναν πληθυσμό κανονικό με άγνωστη διακύμανση το Excel υπολογίζει το σφάλμα περιθωρίου για το μέσο μ με άμεσο τρόπο. Το επόμενο παράδειγμα είναι διαφωτιστικό. 6.2 Διάστημα Εμπιστοσύνης για τον μέσο μ Κανονικού πληθυσμού (Άγνωστη διακύμανση). Θεωρούμε τα δεδομένα του Παραδείγματος , που προέρχονται από έναν κανονικό πληθυσμό. Εδώ, θα θεωρήσουμε ότι η διακύμανση είναι άγνωστη. Να κατασκευασθεί το Διάστημα Εμπιστοσύνης για τον πληθυσμιακό μέσο μ με συντελεστή εμπιστοσύνης 0, Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Από τα Εργαλεία κάνουμε κλικ στο Ανάλυση Δεδομένων και δεξί κλικ στο Descriptive Statistics 54

57 6 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 3. Εισάγουμε τα δεδομένα μας 4. Μαρκάρουμε τα πεδία όπως φαίνεται παρακάτω και στην συνέχεια πάμε με κλικ στο ΟΚ 5. Λαμβάνουμε το επόμενο Παράδειγμα Μέσος 184,8 Τυπικό σφάλμα 0, Διάμεσος 184,5 Επικρατούσα τιμή #Δ/Υ Μέση απόκλιση τετραγώνου 1, Διακύμανση 1,725 Κύρτωση 0, Ασυμμετρία 0, Εύρος 4,5 Ελάχιστο 182,6 Μέγιστο 187,1 Άθροισμα 1663,2 Πλήθος 9 55

58 6 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Βαθμός εμπιστοσύνης(99,0%) 1, Το διάστημα εμπιστοσύνης με σ.ε., 0,99 είναι το 184,8±2,06 Η κατασκευή του παραπάνω διαστήματος εμπιστοσύνης αντιστοιχεί με το Διάστημα Εμπιστοσύνης της παραγράφου 10.3 του βιβλίου Στατιστικές Μέθοδοι. Είναι η μόνη περίπτωση που αντιμετωπίζεται από το Excel με έναν ευθύ υπολογιστικό τρόπο. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις κατασκευής Διαστήματος Εμπιστοσύνης γίνονται με εισαγωγή των τύπων τους σε φύλλο του Excel. 56

59 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 7. Έλεγχοι Υποθέσεων (κεφάλαιο 11 από το βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι) Με το Excel μπορούμε να διενεργήσουμε Ελέγχους υποθέσεων για τις παραμέτρους του πληθυσμού μας που ενδιαφερόμαστε. Στο Κεφάλαιο 11 αναπτύσσονται Στατιστικοί Έλεγχοι που αφορούν τον πληθυσμιακό μέσο μ και την πληθυσμιακή διακύμανση σ 2 όταν έχουμε δεδομένα (τιμές του τυχαίου δείγματος μας) από τον πληθυσμό μας. Οι Έλεγχοι μπορεί να είναι μονόπλευροι ή δίπλευροι και σε διάφορα επίπεδα σημαντικότητας. Κατά αναλογία εξετάσθηκαν οι Έλεγχοι που προκύπτουν από την σύγκριση δύο πληθυσμών όταν έχουμε δεδομένα (τιμές του τυχαίου δείγματος μας) ξεχωριστά από κάθε πληθυσμό (ανεξάρτητα ή ζευγαρωτά). 7.1 Έλεγχοι για τον πληθυσμιακό μέσο(απλά δείγματα) Αν χρησιμοποιήσουμε την Αρχή Ισοδυναμίας Διαστημάτων Εμπιστοσύνης και Ελέγχων υποθέσεων(βλέπε βιβλίο Παράγραφο 11.7), τότε : αν η τιμή της παραμέτρου για την οποία ορίζεται η Μηδενική Υπόθεση εμπεριέχεται στο διάστημα που κατασκευάσαμε σύμφωνα με το προηγούμενο κεφάλαιο δεν απορρίπτουμε την Μηδενική Υπόθεση. Το Excel δεν μπορεί να εκτελέσει ελέγχους γύρω από την τιμή μιας παραμέτρου για δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας (πχ 0,05 ή 0,01). Μπορεί να διενεργήσουμε όμως τους ελέγχους μας με την βοήθεια της p- τιμής. Αν η p-τιμή είναι μικρότερη από το 0,05 επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου τότε αποφασίζουμε για την Εναλλακτική μας υπόθεση σε ε.σ. 0,05(ο έλεγχος μας είναι στατιστικά σημαντικός σε ε.σ. 0,05). Σχετικά με την έννοια της p- τιμής παραπέμπουμε στο Κεφάλαιο 11 του βιβλίου(παράδειγμα ). Θα αναφερθούμε διεξοδικά στους t- ελέγχους, επειδή είναι συνηθέστερο να έχουμε άγνωστη την διακύμανση του πληθυσμού, αλλά και σε περίπτωση που είναι γνωστή η διακύμανση ο Ζ- έλεγχος μπορεί να γίνει με ανάλογες ενέργειες.(βλέπε παρακάτω Έλεγχος με την p- τιμή). Α) t-δίπλευρος Έλεγχος. Να γίνει ο έλεγχος του Παραδείγματος του βιβλίου με την βοήθεια της p- τιμής. Ο ίδιος έλεγχος να γίνει με την βοήθεια του Διαστήματος Εμπιστοσύνης (ΔΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ) Το παράδειγμά μας δείχνει να ελέγξουμε αν ο πληθυσμιακός μας μέσος μ παίρνει μια ορισμένη αριθμητική τιμή(μ=500). Από την Ανάλυση Δεδομένων επιλέγοντας τα Περιγραφικά Στατιστικά, και εισάγοντας τα δεδομένα μας έχουμε τον επόμενο Πίνακα : 57

60 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα Μέσος 496 Τυπικό σφάλμα 0, Διάμεσος 496 Επικρατούσα τιμή 499 Μέση απόκλιση τετραγώνου 3 Διακύμανση 9 Κύρτωση -1, Ασυμμετρία -0, Εύρος 9 Ελάχιστο 491 Μέγιστο 500 Άθροισμα 5456 Πλήθος 11 Βαθμός εμπιστοσύνης(99,0%) 2, Έλεγχος με την p- τιμή. Η τιμή της στατιστικής ελέγχου μας t υπολογίζεται με την εισαγωγή της ποσότητας =SQRT(11)*( )/3 σε ένα κελί του Excel και δίνει -4,422. Στην συνέχεια υπολογίζουμε την p- τιμή για την τιμή της στατιστικής ελέγχου, με την βοήθεια του τύπου =TDIST(ABS(t),n-1,2). Στην πράξη καλώντας την συνάρτηση εμφανίζεται =TDIST( Χ, deg_ freedom, 2), και βάζοντας όπου Χ την απόλυτη τιμή του t, εδώ η 4,42, n-1=10, μετά 2( επειδή πήραμε σαν Εναλλακτική την Α : μ 500 (Δίπλευρη υπόθεση) ) η p τιμή είναι 0,0012. Επειδή όμως 0,0012 μικρότερο από το 0,01 αποφασίζουμε για την Α. Αν η διακύμανση θεωρείτο γνωστή τότε θα είχαμε τον Z-έλεγχο και η p- τιμή υπολογίζεται από την συνάρτηση ZTEST. (Παράγραφος 11.2 (1) στο βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι) Έλεγχος με την βοήθεια Διαστήματος Εμπιστοσύνης Από τον πίνακα με τα Περιγραφικά Στατιστικά έχουμε ότι το διάσημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ και συντελεστή εμπιστοσύνης 0,99έιναι το [496-2,866, ,866]=[493,134, 498,866]. Η τιμή 500 βρίσκεται εκτός του διαστήματος και άρα αποφασίζουμε για την Α. 58

61 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Β) t-μονόπλευρος Έλεγχος. Επιλέγοντας σαν εναλλακτική Α : μ>500 στο Παραδείγμα του βιβλίου, να γίνει ο έλεγχος με την βοήθεια της p- τιμής. Ο ίδιος έλεγχος να εκτελεσθεί επιλέγοντας σαν εναλλακτική Α : μ<500. Έλεγχος με Α : μ>500 Για τον μονόπλευρο έλεγχο η t- στατιστική και το δειγματικό μέγεθος n παραμένουν ίδια, αλλά διαφέρει η p-τιμή. Οι υπολογισμοί εξαρτώνται από το πρόσημο της στατιστικής ελέγχου t. Υπολογίζουμε την p- τιμή για την τιμή της στατιστικής ελέγχου, με την βοήθεια του τύπου =TDIST(ABS(t),n-1,1) ή του. =1-=TDIST(ABS(t),n-1,1), ανάλογα αν η τιμή της στατιστικής ελέγχου είναι θετική ή αρνητική. Στην πράξη καλώντας την συνάρτηση εμφανίζεται =TDIST( Χ, deg_ freedom, 1), και βάζοντας όπου Χ την απόλυτη τιμή του t, εδώ η 4,42, n-1=10, μετά 1 ( επειδή πήραμε σαν Εναλλακτική την Α : μ > 500 (Μονόπλευρη υπόθεση) ) η p τιμή είναι 1-0,0006 =0,9994. Επειδή όμως 0,9994 μεγαλύτερο από το 0,01 κρατάμε την Η. Έλεγχος με Α : μ<500 Για τον μονόπλευρο έλεγχο η t- στατιστική και το δειγματικό μέγεθος n παραμένουν ίδια, αλλά διαφέρει η p-τιμή. Οι υπολογισμοί εξαρτώνται από το πρόσημο της στατιστικής ελέγχου t. Υπολογίζουμε την p- τιμή για την τιμή της στατιστικής ελέγχου, με την βοήθεια του τύπου =TDIST(ABS(t),n-1,1) ή του. =1-=TDIST(ABS(t),n-1,1), ανάλογα αν η τιμή της στατιστικής ελέγχου είναι αρνητική ή θετική. Στην πράξη καλώντας την συνάρτηση εμφανίζεται =TDIST( Χ, deg_ freedom, 1), και βάζοντας όπου Χ την απόλυτη τιμή του t, εδώ η 4,42, n-1=10, μετά 1 ( επειδή πήραμε σαν Εναλλακτική την Α : μ < 500 (Μονόπλευρη υπόθεση) ) η p τιμή είναι 0,0006. Επειδή όμως 0,0006 μικρότερο από το 0,01 αποφασίζουμε για την Α.: Όταν υπάρχει ένα πρόβλημα ελέγχου υποθέσεων δεν εξετάζεται και τις τρεις περιπτώσεις εναλλακτικών υποθέσεων στα ίδια δεδομένα, αλλά πριν από την εκτέλεση του ελέγχου επιλέγεται την εναλλακτική σας υπόθεση Έλεγχοι για την σύγκριση δυο πληθυσμών (Διπλά Ανεξάρτητα δείγματα) Με τα επόμενα παραδείγματα θα αναφερθούμε στην εκτέλεση των ελέγχων υποθέσεων που αφορούν την σύγκριση δυο πληθυσμών (βλέπε Παραγράφους και 11.6 του βιβλίου) 59

62 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Θα αναφερθούμε πρώτα στον έλεγχο της Παραγράφου 11.6, επειδή η απόκτηση γνώσης γύρω από την ισότητα των διακυμάνσεων των δυο πληθυσμών μας υποδεικνύει το πώς θα υπολογίσουμε την στατιστική ελέγχου όταν προχωράμε στον έλεγχο για την ισότητα των πληθυσμιακών μέσων. Α)Σύγκριση διακυμάνσεων. Να γίνει ο έλεγχος του Παραδείγματος του βιβλίου σχετικά με την ισότητα των πληθυσμιακών διακυμάνσεων, με εναλλακτική την δίπλευρη υπόθεση. Στην συνέχεια στηριζόμενοι σε αυτόν να γίνει ο έλεγχος για την ισότητα των πληθυσμιακών μέσων Έλεγχος για την ισότητα των πληθυσμιακών διακυμάνσεων Το Excel εκτελεί τον έλεγχο με απλές σχετικά ενέργειες. 1.Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Από τα Εργαλεία κάνουμε κλικ στο Ανάλυση Δεδομένων και δεξί κλικ στο Έλεγχος F των διακυμάνσεων δυο δειγμάτων 3.Εισάγουμε τα δεδομένα μας, φροντίζοντας στο πεδίο ορισμού της πρώτης μεταβλητής να εισάγουμε την μεταβλητή με την μεγαλύτερη διακύμανση 60

63 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 4. Μαρκάρουμε τα υπόλοιπα πεδία, όπως φαίνεται παρακάτω και στην συνέχεια πάμε με κλικ στο ΟΚ 5. Λαμβάνουμε το επόμενο Έλεγχος F των διακυμάνσεων δύο δειγμάτων Μέσος 35,625 31,125 Διακύμανση 26, ,98214 Μέγεθος δείγματος 8 8 βαθμοί ελευθερίας 7 7 F 1, P(F<=f) μονόπλευρη 0, F κρίσιμο, μονόπλευρο 3, Επειδή η p- τιμή του ελέγχου μας είναι 0,387 που είναι μεγαλύτερη του 0, 05 κρατάμε την μηδενική 2 2 υπόθεση Η σ1 = σ 2, δηλ. ότι οι πληθυσμιακές διακυμάνσεις ότι είναι ίσες σε ε.σ. α=0,05. Με βάσει το τελευταίο προχωράμε στην σύγκριση των μέσων. Β) Έλεγχος για την ισότητα των πληθυσμιακών μέσων Το Excel εκτελεί τον έλεγχο με απλές σχετικά ενέργειες. 1.Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Από τα Εργαλεία κάνουμε κλικ στο Ανάλυση Δεδομένων και δεξί κλικ στο Έλεγχος t δυο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις 61

64 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 3.Εισάγουμε τα δεδομένα μας που αντιστοιχούν στις δυο μεταβλητές στα πεδία ορισμού τους. 4. Μαρκάρουμε τα υπόλοιπα πεδία, όπως φαίνεται παρακάτω και στην συνέχεια πάμε με κλικ στο ΟΚ 5. Λαμβάνουμε το επόμενο Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις Παλαία Νέα Μέσος 35, , Διακύμανση 24, , Μέγεθος δείγματος 9 9 Διάμεση διακύμανση 22, Υποτιθέμενη διαφορά μέσων 0 βαθμοί ελευθερίας 16 t 1, P(T<=t) μονόπλευρη 0, t κρίσιμο, μονόπλευρο 1, P(T<=t) δίπλευρη 0, t κρίσιμο, δίπλευρο 2,

65 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ H p-τιμή του δίπλευρου είναι 0,118 και απορρίπτουμε την εναλλακτική Α μ1 μ2 σε ε.σ. 0,05 επειδή 0,118>0,05. Αν είχαμε την εναλλακτική Α : μ 1 > μ 2 η p-τιμή του μονόπλευρου είναι 0,059 και την απορρίπτουμε επειδή 0,059>0,05. Στην περίπτωση που οι διακυμάνσεις είναι άνισες επιλέγουμε στο δεύτερο βήμα Έλεγχος t δυο δειγμάτων με υποτιθέμενες άνισες διακυμάνσεις. Αν οι διακυμάνσεις των δυο πληθυσμών ήταν γνωστές τότε επιλέγουμε στο δεύτερο βήμα Έλεγχος z του μέσου δυο δειγμάτων. Γ) Έλεγχοι για την σύγκριση δυο πληθυσμιακών μέσων (Εξάρτημένα δείγματα) Στο βιβλίο Στατιστικές Μέθοδοι στο τέλος της παραγράφου 10.6, καθώς και στην παράγραφο 11.5 γίνεται συζήτηση για τις ζευγαρωτές παρατηρήσεις. Εδώ θεωρούμε ότι έχουμε δυο μετρήσεις στην ίδια στατιστική μονάδα με την διαφορά ότι την μια την λαμβάνουμε πριν από κάποιο συμβαν ενώ την άλλη μετά. Σε αυτή την περίπτωση είναι σαν να συγκρίνουμε δυο πληθυσμούς ο ένας να αντιστοιχεί σε μια προηγούμενη κατάσταση ενώ ο άλλος σε μια κατοπινή μας. Η σύγκριση των δυο πληθυσμών γίνεται μέσω των πληθυσμιακών μέσων στηριζόμενοι σε δυο δείγματα, το πρώτο να αντιστοιχεί στον πληθυσμό του πριν ενώ το δεύτερο στον πληθυσμό του μετά.. Τα δυο δείγματα είναι εξαρτημένα μεταξύ τους και όχι ανεξάρτητα. Να εκτελεσθεί ο έλεγχος σχετικά με την ισότητα των πληθυσμιακών μέσων με βάσει τα δεδομένα του Παραδείγματος του βιβλίου. 1. Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Από τα Εργαλεία κάνουμε κλικ στο Ανάλυση Δεδομένων και δεξί κλικ στο Έλεγχος t του μέσου δυο δειγμάτων συσχετισμένων δειγμάτων 3. Εισάγουμε τα δεδομένα μας που αντιστοιχούν στις δυο μεταβλητές στα πεδία ορισμού τους. 63

66 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 4. Μαρκάρουμε τα υπόλοιπα πεδία, όπως φαίνεται παρακάτω και στην συνέχεια πάμε με κλικ στο ΟΚ 5. Λαμβάνουμε το επόμενο Έλεγχος t του μέσου δύο δειγμάτων συσχετισμένων ζευγών Χ Υ Μέσος Διακύμανση ,22222 Μέγεθος δείγματος Συσχέτιση Pearson 0, Υποτιθέμενη διαφορά μέσων 0 βαθμοί ελευθερίας 9 t 2, P(T<=t) μονόπλευρη 0, t κρίσιμο, μονόπλευρο 1, P(T<=t) δίπλευρη 0, t κρίσιμο, δίπλευρο 2, H p-τιμή του δίπλευρου είναι 0,017 και αποδεχόμαστε την εναλλακτική Α μ1 μ2 0 σε ε.σ. 0,05 επειδή 0,017 <0,05 (δηλ. υπάρχει διαφορά ανάμεσα στους μισθούς των δυο πληθυσμών όταν τους συγκρίνουμε κατά τους μέσους σε ε.σ. 0,05). 64

67 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Δ) Ποιοτικός Έλεγχος. Παράδειγμα (Στατιστικές Μέθοδοι) Οδηγίες για την γραφική απεικόνιση Ποιοτικού Ελέγχου Παραδείγματος Ανοίγουμε το αρχείο Παραδείγματα Υπολογίζουμε το Όρια Ελέγχου Κάτω όριο ελέγχου Άνω όριο ελέγχου Κάτω προειδοποιητικό όριο ελέγχου Άνω προειδοποιητικό όριο ελέγχου 3. Επιλέγοντας όλα τα δεδομένα εκτελούμε τις εντολές: Εισαγωγή Γραφήματα 4. Πατάμε OK και παίρνουμε το παρακάτω γράφημα 65

68 7 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 66

69 8 Χ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ 8. Χ 2 -Τετράγωνο Ανάλυση 2 Οι X -Έλεγχοι χρησιμοποιούνται στο να ελέγξουμε κατά πόσο τα ποσοστά κατηγοριών του πληθυσμού είναι ίσα με γνωστές τιμές(βλέπε Παραγράφους 122 και 12.3 από το βιβλίο ). Επίσης μπορούμε με την βοήθεια τους να εξετάσουμε αν υπάρχει ανεξαρτησία μεταξύ δυο ποιοτικών χαρακτηριστικών(πίνακες Συνάφειας) ή και ποσοτικών κατηγοριοποιημένων χαρακτηριστικών. Το Excel μπορεί να εκτελέσει τέτοιους ελέγχους υπολογίζοντας τις κατάλληλες στατιστικές και α- τιμές. 8.1 Έλεγχος καλής προσαρμογής. Να γίνει ο έλεγχος του Παραδείγματος με το Excel 1. Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Υπολογίζουμε στην στήλη Ε4:E7 τις αναμενόμενες τιμές, ενώ στην στήλη F4:F7. Στην γραμμή 7 υπολογίζουμε τα αθροίσματα 2 των στηλών. Στο κελί F9 δίνεται η τιμή της X στατιστικής ελέγχου. 2. Υπολογίζουμε την p-τιμή της στατιστικής ελέγχου καλώντας την συνάρτηση CHIDIST(ChiSq,DF). Επειδή η p-τιμή που δίνεται στο κελί C12 είναι η 0,0082 μικρότερη του 0,05, αποφασίζουμε για την Εναλλακτική Α. ότι άλλαξε η αναλογία ζήτησης. 67

70 8 Χ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ 8.2 Έλεγχος ανεξαρτησίας. Να γίνει ο έλεγχος του Παραδείγματος με το Excel 1. Ανοίγουμε το αρχείο Παράδειγμα Υπολογίζουμε στα κελιά C18:E19 ενώ στα κελιά C24:E25 τα τετράγωνα των διαφορών λαμβανομένων από αναμενόμενες τιμές 2 προς τις αναμενόμενες.. Στο κελί F9 δίνεται η τιμή της X στατιστικής ελέγχου που είναι η 9, Υπολογίζουμε την p-τιμή της στατιστικής ελέγχου καλώντας την συνάρτηση CHIDIST(ChiSq,DF). Επειδή η p-τιμή που δίνεται στο κελί C37 είναι η 0,0077 μικρότερη του 0,01, αποφασίζουμε για την Εναλλακτική Α. ότι υπάρχει σχέση εξάρτησης Εκπαίδευσης και Εισοδήματος. 68