ΟΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ

Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (005) σελ ΟΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΤΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή μελετάται η χρήση των πιθανοθεωρητικών ορίων αντί των παραδοσιακών ορίων με ± 3σ. Συζητούνται τα kσ, (kεr), όρια και τα προβλήματα που ανακύπτουν, δημιουργούνται πιθανοθεωρητικά όρια και γίνεται ποιοτική σύγκριση. Παρουσιάζονται ποσοτικά αποτελέσματα, που δείχνουν τη χρησιμότητα των πιθανοθεωρητικών ορίων και τέλος συζητείται η χρήση της γεωμετρικής κατανομής στον έλεγχο παραγωγικών διεργασιών. 1. EIΣΑΓΩΓΗ Τα παραδοσιακά c-διαγράμματα και u-διαγράμματα ελέγχου ιδιοτήτων βασίζονται στην υπόθεση ότι η κατανομή που διέπει μια παραγωγική διαδικασία είναι η Poisson. Η υπόθεση σπάνια επαληθεύεται στη χρήση αυτού του τύπου των διαγραμμάτων, αλλά και στην περίπτωση που γίνεται έχουν μελετηθεί εναλλακτικές πρακτικές, που έχουν παρουσιαστεί σε εγχειρίδια όπως των Wadsworth (00), Farnum (1994), και Messina (1988). Σ ένα άρθρο του ο Kaminsky κ.α.(199), έδειξαν ότι αν και στη διεργασία η εμφάνιση των γεγονότων εξηγείται καλύτερα από τη γεωμετρική κατανομή, συχνά παίρνονται λανθασμένες επιχειρησιακές αποφάσεις όταν χρησιμοποιούνται τα παραδοσιακά c-διαγράμματα. Οι Glushkovsky (1994), Goh (198), Calvin(1983), ανεξάρτητα μεταξύ τους είχαν χρησιμοποιήσει γεωμετρική κατανομή για τον έλεγχο των διεργασιών. Παράλληλα με την παραδοσιακή ιδέα οι Kaminsky κ.α.(199), πρότειναν νέα όρια ελέγχου για γεωμετρική κατανομή, όταν αυτή περιγράφει καλύτερα τα

2 δεδομένα. Τα όρια ελέγχου βασίζονται στα ± 3σ, υποθέτοντας ότι η κατανομή είναι γεωμετρική. Πάντως, αν κι αυτό είναι μια βελτίωση της μεθόδου όταν η κατανομή είναι γεωμετρική δεν παύουν να υπάρχουν προβλήματα. Για παράδειγμα, η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι θα είναι μεγαλύτερη από την αναμενόμενη και τα κατώτερα όρια ελέγχου θα είναι συχνά χωρίς αξία.. ΟΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας θεωρήσουμε ότι η παρατήρηση Χ ακολουθεί γεωμετρική κατανομή, τότε x PX ( = x) = p(1 p), με x = 0,1,, (1) έστω ένα σύνολο παρτίδων μεγέθους n, τότε το άθροισμα τους Z παριστάνει το συνολικό πλήθος των συμβάντων στις n παρτίδες και είναι: Z = X 1 + X + X n με το Ζ να έχει αρνητική διωνυμική κατανομή ή κατανομή Pascal, δηλ. n+ z 1 n z PZ ( = z) = p(1 p), με z=0,1,, () n 1 Υποθέτοντας ότι το p είναι γνωστό και το n σταθερό, τα όρια ελέγχου μπορούν να δημιουργηθούν βασιζόμενα σ αυτά τα αποτελέσματα. Αν το p είναι άγνωστο μπορεί εύκολα να εκτιμηθεί, αλλά η περίπτωση αυτή δεν θα συζητηθεί εδώ. 3. ΤΑ kσ ΟΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Η αναμενόμενη τιμή και η διασπορά του συνολικού αριθμού των συμβάντων Ζ σ ένα σύνολο παρτίδων μεγέθους n είναι αντίστοιχα: EZ n (1 p ) n (1 p ) = = (3) p p ( ), σ ( Z) Βασιζόμενοι στη βασική ιδέα των kσ ορίων, τα όρια ελέγχου υπολογίζονται ως k φορές την τυπική απόκλιση κι έτσι τα όρια ελέγχου που παίρνουμε είναι: UCL k n(1 p) n(1 p) p p n(1 p) n(1 p) = (4) p p = + k, LCL k k

3 n(1 p) με την κεντρική γραμμή να είναι: CL = (5) p Έχει αποδειχτεί ότι όταν η κατανομή είναι γεωμετρική, τότε αυτά τα όρια ελέγχου είναι πολύ καλύτερα από τα παραδοσιακά c- διαγράμματα. O Kaminsky κ.α.(199), μελέτησαν ορισμένα σύνολα πραγματικών δεδομένων και απέδειξαν ότι τα προτεινόμενα όρια ελέγχου βελτιώνουν τα παραδοσιακά όρια ελέγχου που προκύπτουν από εφαρμογή των c ή u διαγραμμάτων. Κατ αρχήν, επειδή η ιδέα των k-τυπικών αποκλίσεων βασίζεται στην προσέγγιση κανονικής το μέγεθος του δείγματος πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο, ώστε η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι να ισούται με την περίπτωση του παραδοσιακού διαγράμματος Shewhart (1931). Πιο σωστά είναι γνωστό ότι για αρνητική διωνυμική κατανομή που προσεγγίζεται από κανονική κατανομή, πρέπει το np να είναι μεγάλο. Όταν το p είναι μικρό, τότε το μέγεθος του δείγματος n πρέπει να είναι πολύ μεγάλο. Το πρόβλημα με το κατώτερο όριο ελέγχου LCL είναι το πιο σοβαρό, αφού η LCL στη σχ.(4) μπορεί εύκολα να γίνει αρνητική. Όταν αυτό συμβεί, τότε δεν μπορεί να αναζητηθεί διαδικασία βελτίωσης χωρίς τη χρήση περίπλοκων κανόνων ροής, αν ανιχνευτεί ικανός αριθμός «μη συμμορφούμενων μονάδων σ ένα προϊόν». Παρ όλα αυτά, από την σχ.(4), συνάγεται ότι το κατώτερο όριο ελέγχου LCL δεν είναι ποτέ μεγαλύτερο του μηδενός. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο διαγράμματα ελέγχου που παρουσιάστηκαν στην εργασία του Kaminsky κ.α. (199), μπορούν να βελτιωθούν. Αυτό μπορεί να δειχτεί ως εξής. Για να είναι το κατώτερο όριο ελέγχου LCL μεγαλύτερο του μηδενός πρέπει να ισχύει: n (1 p ) n (1 p ) > k p< 1 k (6) p p n Με k=3 και n=5, που είναι δύο συνηθισμένες τιμές, τότε p < 0.8, που δεν μπορεί να συμβαίνει. Επίσης για συνεχείς επιθεωρήσεις, n=1, και k=1, προκύπτει p < 0, που κι αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει. Συνεπώς συνάγεται ότι χρησιμοποιώντας το LCL όριο όπως δίνεται στη σχέση (3) είναι μη πρακτικά και απατηλά! 4. ΤΑ ΑΚΡΙΒΗ ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΟΡΙΑ Η χρήση των ακριβών πιθανοθεωρητικών ορίων είναι μια γνωστή διαδικασία, εφαρμόζεται στην πράξη και διαπραγματεύεται σε πολλά άρθρα και βιβλία που ασχολούνται με ελέγχους διαγραμμάτων, όπως π.χ. Calvin (1983), Wetheril (1991),

4 Shewhart (1931). Η χρήση τους είναι πιο σημαντική στην περίπτωση γεωμετρικής κατανομής. Είναι εύκολο να βρούμε τα ακριβή πιθανοθεωρητικά όρια. Αν ο κίνδυνος αποδοχής εσφαλμένης προειδοποίησης είναι α, τότε τα όρια UCL a και LCL a δίνονται από τη λύση των εξισώσεων και UCL a 1 n+ z 1 n z a PZ ( < LCLa ) = p(1 p) < z= 0 n 1 (7) UCL a 1 n+ z 1 n z a PZ ( > UCLa ) = 1 p(1 p) < z= 0 n 1 (8) Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να λυθούν είτε αριθμητικά είτε με χρήση προγραμμάτων Η/Υ. Θα συζητήσουμε παρακάτω για τη λύση αυτών των εξισώσεων. Θα μελετήσουμε την περίπτωση για n=1, που είναι συνήθης στις συνεχείς επιθεωρήσεις. Έτσι με n=1 τα όρια ελέγχου βρίσκονται εύκολα χρησιμοποιώντας τη σχέση z0 z0 n+ z 1 n z z z0 p (1 p) = p( 1 p) = 1 (1 p) z= 0 n 1 (9) z= 0 και τα όρια LCL a και UCL a δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: LCL a a ln(1 ) =, ln(1 p) UCL a a ln( ) = ln(1 p) (10) Όταν n=1, η αρνητική διωνυμική κατανομή καταλήγει στην γεωμετρική κατανομή κι τα όρια αυτά είναι ίδια με εκείνα που βρήκαν οι Calvin (1983), Goh (1987), Bourke (1991). Στις εργασίες αυτές μελετάται ένας τύπος διαγράμματος ελέγχου που βασίζεται στο άθροισμα των συμμορφούμενων μονάδων. Αυτό είναι πολύ αποτελεσματικό όταν το κλάσμα των μη συμμορφουμένων μονάδων γίνεται πολύ μικρό και συγχρόνως μετρείται ένας μεγάλος αριθμός δειγμάτων με μηδενικά ελαττώματα. Αντίστοιχες μελέτες που βασίζονται στην ίδια ιδέα μελέτησαν οι Χie- Goh (199),(1993) και Glushkovsky (1994). Είναι γνωστό ότι ο αριθμός των αθροιστικών συμμορφουμένων μονάδων μεταξύ δυο μη συμμορφουμένων ακολουθεί γεωμετρική κατανομή

5 Πρέπει να τονίσουμε ότι η συνθήκη ώστε το κατώτερο όριο ελέγχου είναι μεγαλύτερο του μηδενός, όταν χρησιμοποιούμε ακριβή πιθανοθεωρητικά όρια, είναι n a PZ ( = 0) = p < (11) Επίσης θα πρέπει να λεχθεί ότι τα πιθανοθεωρητικά όρια είναι καταλληλότερα, όταν δεν ισχύει η προσέγγιση από κανονική κατανομή. Ένα μειονέκτημα τους είναι ότι τα όρια ελέγχου δεν είναι συμμετρικά, όπως είναι χρήσιμο να φαίνονται έτσι, όταν π.χ. θέλουμε να ελέγξουμε αν τα όρια έχουν σχεδιαστεί σωστά. H αρνητική διωνυμική κατανομή σχετίζεται με την κοινή διωνυμική κατανομή ως εξής: PZ ( z) = PY ( n) (1) όπου Υ είναι η τ.μ. που ακολουθεί διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n+z & p, βλέπε Johnson-Kotz (1969). Συνεπώς πίνακες της διωνυμικής κατανομής μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αρνητική διωνυμική κατανομή. Συνήθως το κατώτερο όριο ελέγχου LCL a υπολογίζεται από τη σχ.(7) και είναι ο μικρότερος ακέραιος, επομένως μερικοί πρώτοι όροι από το άθροισμα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του. Επειδή οι υπολογισμοί με τη σχ.(8) παρουσιάζουν δυσκολίες προτείνεται η χρήση της παρακάτω σχέσης: UCL a 1 n+ z 1 n z a PZ ( > UCLa ) = 1 p(1 p) < z= 0 n 1 (13) 5. ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΟΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται τα πιθανοθεωρητικά όρια και συγκρίνονται με τα όρια k-τυπικών αποκλίσεων που προτείνονται από τον Kaminsky(199). Στον Πίν. Ι δίνονται τα ακριβή πιθανοθεωρητικά όρια και συγκρίνονται με όρια 3- τυπικών αποκλίσεων. Τα πιθανοθεωρητικά όρια βρίσκονται χρησιμοποιώντας τις σχ. (8), και (9) με α=0.007 ως ένα τυπικό επίπεδο απόρριψης. Όπως ανεμένετο υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ των δύο ανωτέρων ορίων. Επειδή η αρνητική διωνυμική κατανομή έχει μεγάλη κύρτωση, το ανώτερο όριο ελέγχου UCL a είναι μεγαλύτερο από εκείνο των 3-τυπικών αποκλίσεων. Όπως, ανεμένετο τα πιθανοθεωρητικά όρια έχουν πιθανότητα λανθασμένης προειδοποίησης πολύ κοντά στην αρχική επιθυμητή τιμή

6 Όταν χρησιμοποιούνται πιθανοθεωρητικά όρια στο διάστημα , τότε στις περισσότερες περιπτώσεις η πιθανότητα λανθασμένης προειδοποίησης είναι η αναμενόμενη. Έτσι όταν χρησιμοποιούνται όρια 3-τυπικών αποκλίσεων, η πιθανότητα λανθασμένης προειδοποίησης είναι δηλ. 3-5 φορές μεγαλύτερη. Τέλος ένα διάγραμμα είναι ευαίσθητο για λογικό αριθμό αλλαγών στα χαρακτηριστικά μιας παραγωγικής διαδικασίας. Στον Πιν. ΙΙ συγκρίνονται τα μέσα μήκη ροών για την περίπτωση p=0., ένα παράδειγμα που έδωσε ο Kaminsky κ.α. (199). Πρέπει να σημειώσουμε ότι τα όρια 3-τυπικών αποκλίσεων αν και είναι ικανά να βρουν μια μείωση στην πιθανότητα p, αποτυγχάνουν να την βρουν (δηλ. το p ) όταν το p αυξάνει. Αυτό συμβαίνει γιατί το κάτω όριο ελέγχου είναι μικρότερο του μηδενός. Από τον Πίν.ΙΙ φαίνεται ότι το μέσο μήκος ροών αυξάνει σημαντικά όταν χρησιμοποιούνται όρια 3-αποκλίσεωνν. Αυτό σημαίνει ότι όταν η διαδικασία αλλάζει από τον στόχο, υπό την έννοια ότι το p αυξάνει, δεν θα υπάρξει προειδοποίηση, αν και χρησιμοποιούνται συγκεκριμένοι κανόνες ροών, όπως περιγράφονται στον Nelson (1984). Εν τούτοις πιθανοθεωρητικά όρια μπορούν να ανιχνεύσουν αλλαγές στν παραγωγική διαδικασία. Ο λόγος είναι ότι στον Πίν. ΙΙ, το ARL δεν φτάνει στο μέγιστο για p=0., λόγω της στρογγυλοποίησης του σφάλματος στο κάτω όριο ελέγχου. 6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εδώ θα δοθούν αριθμητικά παραδείγματα που θα εξηγήσουν την χρήση των ορίων ελέγχου και της γεωμετρικής κατανομής. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του Πιν. ΙΙΙ, με p=0., ο υπολογισμός των ορίων ελέγχου δίνει ότι: α) με τη χρήση τη κατανομής Poisson, τα 3σ όρια ελέγχου είναι ULC=35 ενώ LCL 0. Έτσι τα κάτω όρια ελέγχου όπως επίσης και κάθε τιμή των μηδενικών ελαττωμάτων θα έπρεπε να αλλαχτεί στην παραγωγική διαδικασία. β) με τη χρήση γεωμετρικής κατανομής βρίσκεται ως άνω όριο ελέγχου ULC=6 και κάτω όριο ελέγχου LCL=0. Για να καταλάβουμε τη χρήση των πιθανοθεωρητικών ορίων, ας θεωρήσουμε τα δεδομένα του Πιν. ΙV, με p=0.. Τα πιθανοθεωρητικά όρια είναι 4 και 134 αντίστοιχα, ενώ το άνω όριο των 3-τυπικών αποκλίσεων είναι 109. Το Σχ. δίνει το διάγραμμα ελέγχου. Παρατηρούμε ότι υπάρχει ένα σημείο που είναι εκτός των ορίων των 3-τυπικών αποκλίσεων, ενώ όλα τα σημεία βρίσκονται εντός των πιθανοθεωρητικών ορίων. Τα αποτελέσματα αυτά βρίσκονται σε συμφωνία με αυτά της προηγούμενης παραγράφου, που δίνει ότι η πιθανότητα εσφαλμένης - 4 -

7 προειδοποίησης είναι 0,7% αντί 1% αναφορικά με τα όρια των 3- τυπικών αποκλίσεων. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η γεωμετρική κατανομή είναι μια συνήθης κατανομή αν και διαγράμματα ελέγχου που στηρίζονται σ αυτήν δεν έχουν επαρκώς μελετηθεί. Όταν η κατανομή Poisson δεν είναι κατάλληλη για μια παραγωγική διαδικασία, η γεωμετρική κατανομή είναι μια εναλλακτική αντιμετώπιση. Το γεγονός ότι πολλοί τύποι δεδομένων ακολουθούν γεωμετρική κατανομή, η γεωμετρική κατανομή είναι μια κατανομή για την παρακολούθηση υψηλής απόδοσης διαδικασιών που βασίζονται στην αθροιστική ποσότητα των συμμορφούμενων παραγόμενων μονάδων. Σημειώνουμε ότι, στην εργασία αυτή για τη γεωμετρική κατανομή τα όρια ελέγχου που βασίζονται στις k-τυπικές αποκλίσεις που χρησιμοποιούνται πρόσφατα, γίνονται αιτία για συχνές λανθασμένες προϋποθέσεις ενός ελέγχου και δεν μπορούν να εξασφαλίσουν λογικά κατώτερα όρια ελέγχου και βελτιώσεις ανίχνευσης χωρίς να εισαγάγουν σύνθετους κανόνες ροής. Το πρόβλημα αυτό αν και επισημαίνεται συχνά για την περίπτωση την κατανομής Poisson, είναι πολύ σημαντικό για τα διαγράμματα ελέγχου με γεωμετρική κατανομή και όρια ελέγχου με τις k τυπικές αποκλίσεις και θα έπρεπε να χρησιμοποιούνται με ιδιαίτερη προσοχή. ABSTRACT In this work, the use of probability limits instead of the traditional limits based on the mean ± 3σ is studied. The traditional k-sigma type limits and some of the problems with this approach are discussed. Probability limits are derived and some qualitative comparison is made. Then some quantitative results that demonstrate the usefulness of probability limits are presented together with some numerical examples. Finally the use of geometric distribution in process control is discussed. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bourke P.D., (1991). Detecting a shift in fraction nonconforming using run- length control charts with 100% inspection, Journal of Quality Technology, 3(3), Calvin T.W., (1983). Quality control techniques for zero-defects, IEEE Trans of Componets Hybrids and Manufacturing Technology, GHMT-6, Farnum N.R., (1994). Modern Statistical Quality Control and Improvement, Duxbury Press

8 Johnson NL and Kotz. S., (1969). Discrete Distributions J. Wiley, New York, NY. Goh., T. N., (1987). A control chart for very high yield processes. Quality Assurance, 13 (1), 18-. Glushkovsky E.A., (1994). On-line G-control chart for attribute data. Quality and Reliability Engineering International, 10 (4), Kaminsky F. C., Benneyan J.C., Davis R.D and Bruke R.J., (199). Statistical control charts based on a geometrical distribution, Journal of Quality Technology, 4( ), Nelson L.S., (1984). The Shewart control chart-tests for special causes, Journal of Quality Technology, 16(4), Messina W.S., (1988). Statistical Quality Control for Manufacturing Managers, J. Wiley, New Yoerk, N.Y. Shewhart WA., (1931). Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand, New York, NY. Xie M and Goh T.N., (1993). Improvement detection by control charts for high yield processes. International Journal of Quality & Reliability Management, 10(7), Xie M and Goh T.N., (199), Some procedures for decision making in controlling high yield processes, Quality & Reliability Engineering International, 8, Wadsworth H.M., Stephens K.S. and Godfrey A.B., (00). Modern Methods for Quality Control and Improvement, J. Wiley, New York N.Y. Wetheril G.B. and Brown D.W., (1991). Statistical Process Control-Theory and Practice, Chapman & Hall, London

9 Πίνακας I: Ανώτερα και κατώτερα όρια Πίνακας ΙΙ: Μέσο μήκος ροήςγια ομάδες μεγέθους σύγκριση για p = με α=0.007 και σύγκριση με τα όρια 3-τυπικών αποκλίσεων UCL p LCL a UCL a UCL k p ARL a ARL k Πίνακας ΙΙΙ: Δεδομένα γεωμετρικής κατανομής από Kaminsky κ.α

10 Πίνακας IV: Δεδομένα αρνητικής διωνυμικής κατανομής, για p= UCL 6 Παρατηρησεις δειγματος MEAN LCL Αριθμος δειγματος Σχήμα 1. Διάγραμμα ελέγχου για τα δεδομένα του Πίν.ΙΙΙ και πιθανοθεωρητικά όρια 150 UCL 134 Παρατηρησεις δειγματος UCLk MEAN 45 0 LCL Αριθμος δειγματος