αριθμητή και παρονομαστή επί γ + δi. Οι γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες ισχύουν όπως και στους πραγματικούς.

Transcript

1 Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί Μιγαδικοί αιθμοί Τα πόμνα σχόλια αναφέονται στις πααγάφους.1 ως και.3 σλ. 83 ως 100 του σχολικού βιβλίου των μαθηματικών θτικής τχνολογικής κατύθυνσης της Γ Λυκίου. ΜΕΘΔΛΓΙ ΣΗΣΕΩΝ 1. ΙΣΤΗΤ ΜΙΓΔΙΩΝ Γνικά : 1 = Re( 1 ) = Re( ) και Im( 1 ) = Im( ).. ΠΡΞΕΙΣ ΜΕΤΞΥ ΜΙΓΔΙΩΝ Όταν δίνται μια μιγαδική παάσταση τη φένουμ στη μοφή + Βi. Η πόσθση και ο πολλαπλασιασμός γίνονται όπως και οι αντίστοιχς πάξις μ διώνυμα της μοφής α + β στο IR μόνο που αντί για έχουμ τη φανταστική μονάδα i. α + βi Τα πηλίκα της μοφής τα μτατέπουμ στη μοφή + i πολλαπλασιάζοντας τον γ + δi αιθμητή και παονομαστή πί γ + δi. ι γνωστές αλγβικές ταυτότητς ισχύουν όπως και στους παγματικούς. 3. ΔΥΝΜΕΙΣ ΜΙΓΔΙΩΝ Η δύναμη v έχι νόημα μόνο όταν ο κθέτης ίναι ακέαιος δηλ. ν Z. Για τον υπολογισμό δύναμης i ν, ν ΙΝ, κάνοντας χήση της Ευκλίδιας διαίσης του ν μ το 4 έχουμ ν = 4κ + υ, όπου κ ΙΝ και υ = 0, 1,, 3, οπότ η δύναμη i ν έχι μια από της παακάτω μοφές : i 4κ = 1, i 4κ + 1 = i, i 4κ + = - 1, i 4κ + 3 = - i Σ ακτές πιπτώσις μποούμ να αποφύγουμ να διακίνουμ πιπτώσις για τον κθέτη ν κάνοντας πααγοντοποίηση. ι ξισώσις της μοφής i = α, όπου α {-1, 1, i, -i}, IN δν έχουν μοναδική λύση όπως αυτές που έχουμ στην άλγβα της Β λυκίου στο IR. Για παάδιγμα i ν = - 1 i ν = i 4κ + ν = 4κ + ν = κ + 1, κ ΙΝ. Για να υπολογίσουμ μγάλς δυνάμις μ βάση τις πααστάσις 1 + i και 1 i μποούμ να λάβουμ υπόψη ότι (1 + i) = i και (1 i) = -i. ν έχουμ πίσης στα δδομένα μας = 0 ή = 0, τότ πολλαπλασιάζοντας μ 1 ή + 1 αντίστοιχα έχουμ : ( 1)( + + 1) = = 0 3 = 1. ( + 1)( - + 1) = = 0 3 = - 1. Για πααστάσις της μοφής (α ± βi) ν ή ν = κ, κ ΙΝ και έχουμ (α ± βi) κ = [(α ± βi) ] κ... ή πααγοντοποιούμ την παάσταση (α ± βi), για παάδιγμα : α + βi = i(β αi) = - i(αi β) ή αντίστοιχα α βi = - i(αi + β). 4. ΜΙΓΔΙ ΕΠΙΠΕΔ άθ μιγαδικός αντιστοιχίζται σ μοναδικό Μ σημίο του πιπέδου και σ κάθ μιγαδικό μ ικόνα το σημίο Μ αντιστοιχί κατά μοναδικό τόπο ένα διάνυσμα OM που ονομάζται διανυσματική ακτίνα του. Χησιμοποιούμ τις γνώσις από την αναλυτική γωμτία της Β Λυκίου για πίλυση ασκήσων που αναφέονται στις διανυσματικές ακτίνς δύο ή πισσοτέων μιγαδικών. 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Εξίσωση πώτου βαθμού μοφής α = β, α, β, λύνται κατά τα γνωστά όπως και στους παγματικούς αιθμούς. ν α 0, η ξίσωση έχι μοναδική λύση = α β, την οποία μ ποαναφθέντα τόπο γάφουμ στη μοφή + i,, IR. Εξίσωση δύτου βαθμού της μοφής α + β + γ = 0, (1) α, β, γ IR και α 0, κατά τα γνωστά βίσκουμ τη διακίνουσα Δ = β 4αγ. Διακίνουμ τις πιπτώσις : αν Δ > 0 αν Δ = 0 αν Δ < 0 η ξίσωση έχι δύο ίζς παγματικές και άνισς, τις : η ξίσωση έχι μια ίζα διπλή και παγματική, την : β ± Δ β 1, = = - β ± i α α 1, = α Η ξίσωση έχι δύο συζυγίς μιγαδικές ίζς, τις : Ισχύουν οι τύποι Vieta 1 + = - α β και 1 = α γ, μ 1, οι ίζς της ξίσωσης (1). - Δ 1 = ή = 1, methodal+_1()/l Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ

2 Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί Πολυωνυμική ξίσωση ξίσωση 3ου ή μγαλύτου βαθμού (μ παγματικούς συντλστές) λύνουμ μταφέοντας τους όους στο πώτο μέλος και κατά τα γνωστά πααγοντοποιούμ μ τη βοήθια του σχήματος Horner. Εξίσωση μ και. Θέτουμ = + i και = - i,, IR. άνουμ τις σχτικές πάξις και καταλήγουμ σ σύστημα μ αγνώστους,. 6. ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΤΣ Για την πίλυση συστήματος μ μιγαδικούς πααμέτους α, β, γ, α, β, γ : α + β = γ λύνουμ μ τις γνωστές μθόδους (αντικατάστασης, αντίθτων συντλστών, α + β = γ D οιζουσών). ν D 0, τότ έχουμ μοναδική λύση = D, =. D D (οι οίζουσς υπολογίζονται κατά τα γνωστά και μ μιγαδικούς αιθμούς) 7. ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΔΙΙ ν = + i ίναι = - i,, IR, οπότ + = Re() και - = Im()i. () Για να δίξουμ ότι δύο μιγαδικοί, w ίναι συζυγίς : = w Re() = Re(w) και Im() = - Im(w). Είναι ακόμα = +. ν μφανίζονται σχέσις της μοφής =, (3), IR, ( > 0), τότ συνήθως γάφουμ =. Eπίσης αν δύο μιγαδικοί, w ίναι ίσοι τότ και οι συζυγίς τους ίναι ίσοι δηλ. = w = w. 8. ΡΙΤΗΡΙ ΓΙ IR ή I ν ίναι μια μιγαδική παάσταση ή μιγαδικός. Για να δίξουμ ότι IR ή I, τότ : α) Φένουμ το μιγαδικό στη μοφή = + i και δίχνουμ ότι = 0 ή αντίστοιχα = 0. β) Χησιμοποιούμ τις ισοδυναμίς ι) IR =, ιι) I = -, από τις σχέσις () της πααγάφου ΓΕΩΜΕΤΡΙΙ ΤΠΙ ΕΙΝΩΝ ΜΙΓΔΙΩΝ α) όταν w IR ή w I Σ μιγαδική παάσταση w που μφανίζται ο μιγαδικός θέτουμ = + i και για Im(w) = 0, (αν w IR) ή αντίστοιχα Re(w) = 0, (αν w I) βίσκουμ μια σχέση μταξύ των, που ίναι και ο ζητούμνος γωμτικός τόπος των ικόνων. (γνωστοί θωούνται οι γωμτικοί τόποι από τα μαθ/τικά κατ/νσης της Β Λυκίου) β) όταν = f(λ) + g(λ)i, λ IR Για να βούμ σ αυτήν την πίπτωση τον γωμτικό τόπο των ικόνων Μ του, θέτουμ = f( λ) = + i, οπότ ίναι, απαλοίφουμ την παάμτο λ ή μ αντικατάσταση ή μ = g( λ) συνδυασμό μτασχηματισμών των δύο ξισώσων του συστήματος και η σχέση των, που θα ποκύψι χωίς την παάμτο λ ίναι ο ζητούμνος γωμτικός τόπος των σημίων Μ(, ) των ικόνων του. (Ποσοχή και στις δύο πιπτώσις για τυχόν πιοισμούς, για τα, του ή του λ γιατί κάποια σημία Μ(, ) νδέχται να αποκλίονται από τους γωμτικούς τόπους που θα έχτ υπολογίσι) 10. ΜΕΤΡ ΜΙΓΔΙΥ Σ ασκήσις μποούμ να χησιμοποιήσουμ τις σχτικές ιδιότητς : 0, για κάθ, ακόμα = 0 = 0. = = =. =, οπότ αν σ άσκηση έχουμ =, > 0 ισχύι η σχέση (3) και τα πακόλουθα της 7 πααγάφου. 1 = v v 1 και γνικά 1... v = 1... v, =, για ν ΙΝ*. Επίσης 1 1 =, μ 0. Γνικά η τιγωνική ανισότητα γάφται 1 1 ± Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ

3 Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί ΜΕΤΡ ΜΙΓΔΙΥ (συνέχια) ν σ άσκηση έχουμ 1 =, τότ ισχύι και 1 =. Ποσοχή όμως το αντίστοφο δν ισχύι δηλ. αν ίναι 1 =, τότ δν ισχύι κατ ανάγκη ότι 1 =. Άα από την ισότητα μιγαδικών μποούμ να πάσουμ σ ισότητα μέτων, όχι το αντίθτο. Την ίδια διαδικασία (βάζοντας μέτα σ ήδη ίσους μιγαδικούς) ακολουθούμ και σ ισότητα μοφής g f ( ) v = ( ) v g, έτσι (f()) v = (g()) v τότ γίνται ( f ( )) v = ( ( )) v απαλλάσσουμ μια παάσταση από μγάλς δυνάμις. g f ( ) = ( ) Για τον υπολογισμό μέτου παάστασης μοφής (f()) v χησιμοποιούμ τις σχτικές ιδιότητς του μέτου που ποαναφέθηκαν. f = ( ) v f. Δηλ. ( ( )) v f και κατόπιν υπολογίζουμ το ( ) Για να λύσουμ ξίσωση της f(,, ) = 0, ακολουθούμ τα σχτικά όπως στη παάγαφο 5, για την ξίσωση μ και και ακόμα ίναι = +. ν στα δδομένα άσκησης έχουμ ισότητα της μοφής f ( ) = g ( ) δύο μέλη στο ττάγωνο κάνοντας χήση της ιδιότητας ( ) ( ) w = w w., (4) τότ υψώνουμ και τα f μοίως αν έχουμ σχέση μοφής = α, μ α > 0, ποκύπτι f ( ) = α g ( ) και στη g συνέχια υψώνουμ στο ττάγωνο όπως και στο ποηγούμνο σχόλιο της μοφής (4). Σ άσκηση μ δδομένη σχέση της μοφής f ( ) > g ( ) ή f ( ) < g ( ), υψώνουμ όπως και πιν στο ττάγωνο κατά τα γνωστά (οι ανισότητς διατηούνται αφού και τα δύο μέλη ίναι μγαλύτα ή ίσα του μηδνός) Ποσοχή! Διάταξη μταξύ μιγαδικών δν ισχύι, γι αυτό πέπι να ποσέχουμ σ κάθ βήμα μιας ανισοτικής σχέσης να έχουμ και στα δύο μέλη παγματικούς αιθμούς. ν πα όλα αυτά δίνται ανισότητα της μοφής 1 <, τότ σημαίνι ότι οι αιθμοί 1, IR. 11. ΠΣΤΣΗ ΕΙΝΩΝ ΜΙΓΔΙΩΝ B( ) Το μέτο της διαφοάς δύο μιγαδικών αιθμών 1, ίναι ίσο μ την απόσταση των ικόνων τους. Δηλ. ίναι 1 = 1 = (Β) = AB. (σχήμα 1) σχήμα 1 Στη πίπτωση που έχουμ ένα ΒΓ ισόπλυο τίγωνο (σχήμα ) τότ ποφανώς ισχύι : 1 = 3 = 3 1, αφού ισχύι ότι (Β) = (ΒΓ) = (Γ). ν αντίστοιχα το τίγωνο ΒΓ ίναι ισοσκλές μ (Β) = (Γ) τότ ποφανώς ίναι 1 = 1 3. σχήμα B( ) Γ( 3 ) ν το τίγωνο ΒΓ ίναι οθογώνιο μ A = 90 0, τότ από την ισχύ του Πυθαγοίου Θωήματος έχουμ : (Β) + (Γ) = (ΒΓ) = 3, (σχήμα 3). κολουθούν ξισώσις μ μέτα διαφοών μιγαδικών που κφάζουν γνωστούς γωμτικούς τόπους από την και Β Λυκίου. B( ) σχήμα 3 Γ( 3 ) Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ

4 Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) σχήμα 4 σχήμα 5 σχήμα 6 Μ την ξίσωση της μοφής 0 =, > 0 κφάζται ο κύκλος (, ) στο σχήμα 4, όπου ίναι οι ικόνς των μιγαδικών που απέχουν από το κέντο απόσταση ίση μ. Επίσης μ την ανίσωση 0 <, > 0 κφάζται ο κυκλικός δίσκος του κύκλου (, ) αφού (Μ) < (χωίς τα σημία του αντίστοιχου κύκλου) (σχήμα 5 σκιασμένη πιοχή). Μ την ανίσωση 0 >, > 0 κφάζται η πιοχή που αποτλίται από τις ικόνς που ίναι ξωτικά σημία του κύκλου (, ) αφού (Μ) >. (σχήμα 6 σκιασμένη πιοχή). B( ) B( ) B( ) σχήμα 7 σχήμα 8 σχήμα 9 Μ ξίσωση μέτων διαφοών κφάζται και ο γωμτικός τόπος των σημίων που ισαπέχουν από τα άκα ( 1 ) και Β( ) του υθύγαμμου τμήματος Β του σχήματος 7. Η ξίσωση ίναι 1 = αφού (Μ) = (ΒΜ) και οι ικόνς ανήκουν στη μσοκάθτη υθία του Β. Στο σχήμα 8 η σκιασμένη πιοχή αποτλίται από τα σημία που ικανοποιούν την ανίσωση 1, αφού (Μ) (ΜΒ). Είναι το ημιπίπδο (, ) μ την ακμή από την ισότητα. Στο σχήμα 9 η σκιασμένη πιοχή αποτλίται από τα σημία που ικανοποιούν την ανίσωση 1, αφού (Μ) (ΜΒ). Είναι το ημιπίπδο (, Β) μ την ακμή από την ισότητα. Ε ( 1 ) Ε( ) Ε ( 1 ) Ε( ) σχήμα 10 σχήμα 11 Η ξίσωση 1 + = α, μ α > 0 κφάζι έλλιψη που ίναι ο γωμτικός τόπος των ικόνων των οποίων το άθοισμα των αποστάσών τους από δύο δδομένα σημία Ε ( 1 ) και Ε( ) (στίς έλλιψης) ίναι σταθό και ίσο μ α. (ΜΕ ) + (ΜΕ) = α, (α ίναι το μήκος του μγάλου άξονα της έλλιψης) (σχήμα 10). Μ 1 = γ < α. (γ ίναι η στιακή απόσταση). Η ξίσωση 1 = α, μ α > 0 κφάζι υπβολή που ίναι ο γωμτικός τόπος των ικόνων των οποίων το απόλυτο της διαφοάς των αποστάσών τους από δύο δδομένα σημία Ε ( 1 ) και Ε( ) (στίς υπβολής) ίναι σταθό και ίσο μ α. Ι(ΜΕ ) (ΜΕ)Ι = α, (α ίναι η απόσταση των κουφών της υπβολής) (σχήμα 11). Μ 1 = γ > α. (γ ίναι η στιακή απόσταση) Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ

5 Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί 1. ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΛΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΜΕΤΡΥ ΜΙΓΔΙΥ & ΜΕΤΡΥ ΔΙΦΡΣ ΜΙΓΔΙΩΝ πό τιγωνική ανισότητα , ποκύπτι ότι ma 1 + = 1 +, μόνο όταν οι διανυσματικές ακτίνς των 1, ίναι ομόοπς δηλ. OB = κ OA, μ κ > 0. ν πίσης = + i, 1 = i, τότ ίναι = κ, μ κ > 0 και 1 0 και 0. (σχήμα 1) μοίως ποκύπτι ότι min 1 + = 1, μόνο όταν ίναι = κ, μ κ < 0 και 1 0 και 0. 1 B( ) 1 σχήμα 1 Η ικόνα διατέχι την υθία, τότ : min = d(o, ) = (), μ, (), σχήμα 13α. Η ικόνα διατέχι την υθία και Ν( 1 ) δδομένη ικόνα του μιγαδικού 1 που δν ανήκι στην, τότ : min 1 = d(n, ) = (Ν), μ Ν, 1 (Ν), σχ.13β min σχήμα 13α 1 Ν( 1 ) σχήμα 13β 1 min 1 ι ικόνς, M ( ) διατέχουν τις 1, αντίστοιχα μ 1 //, τότ : min 1 = d( 1, ) = (Λ), μ Λ 1, Λ, οπότ (Μ 1 Μ ) = 1 (Λ), σχήμα 14. d Λ Μ ( ) σχήμα 14 Η ικόνα διατέχι κύκλο : (, ), τότ : min = (OA) = ( O), ma = (OB) = (O) +, σχ. 15α. Η ικόνα διατέχι κύκλο : (, ), και Ν( 1 ) δδομένη ικόνα του μιγαδικού 1 που δν ανήκι στον, τότ : min 1 = (NA) = ( N), ma 1 = (NB) = (N) +, σχ. 15β. ι ικόνς, M ( ) διατέχουν κύκλο : (, ) τότ : ma 1 = (Β) =, οπότ (Μ 1 Μ ) = 1, > 0, σχήμα 16. B σχήμα 15α σχήμα 15β Μ ( ) Β A N( 1 ) σχήμα 16 B Η ικόνα διατέχι κύκλο : (, ) και η ικόνα Μ ( ) υθία, μ d(, ) >, τότ : min 1 = (Γ) = d(, ), οπότ (Μ 1 Μ ) = 1 (Γ), σχήμα 17. σχήμα 17 Γ Μ ( ) Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ

6 Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί ι ικόνς, M ( ) διατέχουν κύκλους 1 : (, R) και : (Λ, ), αντιστοίχως μ R > > 0, τότ : ι) αν (Λ) > R +, ίναι : min 1 = (ΒΓ) = (Λ) R, ma 1 = (Δ) = (Λ) + R +, οπότ (ΒΓ) (Μ 1 Μ ) (Δ) (Λ) R 1 (Λ) + R +, σχήμα 18α. 1 R R Β Γ σχήμα 18α Μ ( ) Λ Μ ( ) 1 Β R R Λ Γ Δ ιι) αν (Λ) = R +, ίναι : ma 1 = (Γ) = (Λ) + R +, οπότ (Μ 1 Μ ) = 1 (Λ) + R +, σχήμα 18β. σχήμα 18β ιιι) αν (Λ) = R, ίναι : ma 1 = (Β) = R, οπότ (Μ 1 Μ ) = 1 R, σχήμα 18γ. 1 R Μ ( ) Λ Β σχήμα 18γ Η ικόνα διατέχι την έλλιψη : + = 1, σχ. 19, α β β = α γ, α > 0, β > 0, γ > 0, α > γ, τότ : min = (OB ) = (Β) = β, ma = (OA ) = () = α, οπότ αν Μ(, ), ίναι α και β. Β Ε Β σχήμα 19 min ma Ε ι ικόνς, M ( ) διατέχουν την έλλιψη : + = 1, β = α γ, α > 0, β > 0, γ > 0, α > γ, α β σχήμα 0, τότ : ma 1 = (A A) = α, οπότ (Μ 1 Μ ) = 1 α. Σ πίπτωση που οι ικόνς, M ( ) ίναι σημία αντιδιαμτικά στην έλλιψη τότ : min 1 = (B Β) = β. Β Ε Β σχήμα 0 Ε Μ ( ) Η ικόνα διατέχι την υπβολή : = 1, α β σχήμα 1, β = γ α, α > 0, β > 0, γ > 0, γ > α, τότ : min = (OA ) = () = α, οπότ αν Μ(, ), ίναι α. Η ικόνα διατέχι την πααβολή : = p, σχήμα, μ p > 0 και 0 ή p < 0 και 0 και στία p E, 0, τότ : min p p p p = (OΕ) =, οπότ. Ε Ε σχήμα 1 δ p δ : = - p Ε, 0 σχήμα Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ

7 Μθοδολογία ασκήσων ο φάλαιο Άλγβας Μιγαδικοί ιθμοί 13. ΤΥΤΤΗΤΕΣ και ΤΥΤΤΗΤΕΣ ΜΕ ΣΥΝΘΗΗ Όπως αναφέθηκ και στην παάγαφο οι γνωστές ταυτότητς ισχύουν στους μιγαδικούς αιθμούς όπως και στους παγματικούς. Σ πίπτωση ταυτότητας μ συνθήκη αποδικνύουμ την ζητούμνη ισότητα ή ξκινώντας από τη συνθήκη ή ξκινώντας από το α μέλος της ισότητας που ζητίται και χησιμοποιώντας τη συνθήκη καταλήγουμ στο β μέλος. Σ αυτήν την ομάδα των ασκήσων μποούμ να χησιμοποιήσουμ και τα παακάτω : ν = α IR τότ και = α + = = = =, μ 0. = 0 = = , 1,, = ( ) ( ) = ( ) ( ) ΣΧΛΙ για τη ΣΥΝΡΤΗΣΗ f(), Πέπι να τονίσουμ, τέλος, ότι η συνάτηση f(), όπου αναφέται, έχι την έννοια της μιγαδικής παάστασης, αφού οι συνατήσις f : και η μλέτη τους ίναι κτός ύλης. Άα στις ασκήσις ασχολούμαστ μ πάξις μταξύ τέτοιων πααστάσων ή το μτασχηματισμό τους και όχι μλέτη μονοτονίας, ακότατων, οίων, συνόλου τιμών κ.τ.λ. ΠΡΡΤΗΜ 15. ΜΕΤΡ ΜΙΓΔΙΥ & ΕΥΘΥΓΡΜΜ ΤΜΗΜ ν 1, μ ικόνς τα σημία, Β αντίστοιχα, τότ λέμ ότι η ικόνα Μ του μιγαδικού αιθμού βίσκται στο σωτικό του υθύγαμμου τμήματος Β αν μ 1,, ισχύι : + =, σχήμα σχήμα 3 B( ) 16. ΜΙΓΔΙΙ & ΘΡΙΣΜ ΤΕΤΡΓΩΝΩΝ ν, w και + w = 0, τότ μποί 0 και w 0. Δν ισχύι δηλ. η αντίστοιχη ιδιότητα των παγματικών όπου αν + = 0 = 0 και = 0, αφού 0 και 0, μ, IR. Έτσι για παάδιγμα αν = i και w = 1, τότ + w = 0, μ 0 και w Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ