Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 5: Αναγωγές της Βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

4 ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Introduction to ravity field Ακαδημαϊκή Χρονιά: Πρόγραμμα: Τετάρτη 9:00 13:00 Διδάσκοντες: Η.Ν. Τζιαβός, Γ.Σ. Βέργος

5 Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η. Τζιαβός ή Γ. Βέργος Μαθήματα - εργασίες

6

7 o Γενικά για ανωμαλίες βαρύτητας o Αναγωγή και ανωμαλίες ελευθέρου αέρα Συσχέτιση με υψόμετρο Μέσες τιμές o Τοπογραφική αναγωγή Ανωμαλίες Bouuer o Αναγωγή υπολειπόμενης τοπογραφίας o Ανωμαλίες Faye o Ψηφιακά μοντέλα τοπογραφίας & βαθυμετρίας o Ισοστασία και ισοστατικά μοντέλα αναγωγών o Ισοστατικές ανωμαλίες o Εφαρμογές ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

8 ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ o Οι ανωμαλίες της βαρύτητας είναι οριακές (συνοριακές) τιμές επί του γεωειδούς χρησιμεύουν για τον προσδιορισμό του γεωειδούς (βαρυτημετρικό γεωειδές) είναι χρήσιμες και σε άλλες γεωεπιστήμες (γεωλογία, γεωφυσική, εφαρμοσμένη γεωφυσική, ωκεανογραφία)

9 ΑΝΑΓΩΓΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ - ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ -Ι- Αναγωγή μέσω κατακόρυφης βαρυτοβαθμίδας (ravity vertical radient) / H 0 H H κατακόρυφη βαρυτοβαθμίδα Αναγωγή ελεύθερου αέρα (free-air reduction) Εικόνα 1 F H H ms / m

10 ΑΝΑΓΩΓΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ - ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ -ΙΙ- Αναγωγή ελεύθερου αέρα 5 F H ms / m H m H Ανωμαλία ελεύθερου αέρα F F 0 Η αναγωγή ελεύθερου αέρα αντιστοιχεί σε μία παράλληλη μετατόπιση ή συμπύκνωση των τοπογραφικών μαζών επί του γεωειδούς Η αναγωγή ελεύθερου αέρα δίνει κατά προσέγγιση οριακές τιμές επί του γεωειδούς και η έμμεση επίδραση (indirect effect) διατηρείται μικρή (κάτω από μερικά μέτρα)

11 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΩΝ ΑΝΩΜΑΛΙΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ ΜΕ ΤΟ ΥΨΟΜΕΤΡΟ -Ι- Οι ανωμαλίες ελεύθερου αέρα ΔF και μετά τη σχετική αναγωγή είναι συσχετισμένες με το υψόμετρο του σημείου στο οποίο έγινε η μέτρηση και επομένως δεν είναι αντιπροσωπευτικές για μεγάλη επιφάνεια Για περιορισμένες επιφάνειες η συσχέτιση των ΔF με το υψόμετρο μπορεί να εντοπισθεί και περιορισθεί με εμπειρικό τρόπο (π.χ. μέθοδος γραμμικής παλινδρόμησης) F a bh α και b είναι προσδιοριστέοι συντελεστές. Ο α εξαρτάται από την κατανομή της μάζας στη λιθόσφαιρα και ο b είναι συνάρτηση της μέσης πυκνότητας των τοπογραφικών μαζών. Αποκλίσεις από τη σχέση γραμμικής παλινδρόμησης οφείλονται σε ανωμαλίες κατανομής της πυκνότητας και των τοπογραφικών μαζών Για μεγαλύτερες επιφάνειες η συσχέτιση των ΔF με το ύψος διαπιστώνεται και περιορίζεται με κατάλληλες τοπογραφικές αναγωγές

12 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΤΩΝ ΑΝΩΜΑΛΙΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ ΜΕ ΤΟ ΥΨΟΜΕΤΡΟ -ΙΙ- Συσχέτιση των ανωμαλιών ελεύθερου αέρα με το υψόμετρο στον Ελλαδικό χώρο Δείγμα: 7500 σημειακές τιμές ΔGF ομοιόμορφα κατανεμημένες στην ηπειρωτική Ελλάδα Εικόνα

13 ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ - Ι - o Σε πρακτικές εφαρμογές περιφερειακής/σφαιρικής κλίμακας χρησιμοποιούνται μέσες τιμές ανωμαλίας ελεύθερου αέρα ΔF o Σχηματίζονται από μέσους όρους ομαλοποιημένων σημειακών τιμών χρησιμοποιώντας τη συσχέτιση των ΔF με το ύψος o Οι μέσες τιμές είναι απαλλαγμένες από τοπικές επιδράσεις του ύψους και επομένως αντιπροσωπευτικές για την αντίστοιχη επιφάνεια 1 d

14 ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ - ΙΙ - Μέσες 6 10 τιμές ΔF στην Ανατολική Μεσόγειο (10-5 ms - ) Εικόνα 3 Πρόγνωση με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής Ερευνητικό πρόγραμμα GEOMED για την τοπογραφία της επιφάνειας της θάλασσας και το γεωειδές στη Μεσόγειο

15 ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΑΕΡΑ - ΙΙΙ - Ανωμαλίες ελεύθερου αέρα ΔF Εικόνα 4 Ψηφιακό μοντέλο τοπογραφίας (Diital Terrain Model) DTM Ψηφιακό μοντέλο εδάφους (Diital Depth Model) DDM Εικόνα 5

16 ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ BOUGUER Η επίδραση των τοπογραφικών μαζών της ορατής τοπογραφίας στις ανωμαλίες βαρύτητας αφαιρείται με την τοπογραφική αναγωγή Η ορατή τοπογραφία περιλαμβάνει τις μάζες τις υπερκείμενες του γεωειδούς Οι ηπειρωτικές μάζες αποτελούν περίσσευμα με πυκνότητα ίση με τη μέση πυκνότητα της ανώτερης λιθόσφαιρας. Οι θαλάσσιες μάζες αποτελούν έλλειμμα με πυκνότητα ίση με τη διαφορά των πυκνοτήτων της μέσης πυκνότητας της ανώτερης λιθόσφαιρας και της μέσης πυκνότητας του θαλάσσιου νερού Αν στις ανωμαλίες ελεύθερου αέρα εφαρμοσθεί η τοπογραφική αναγωγή προκύπτουν οι ανωμαλίες Bouuer (Bouuer ravity anomalies) B F T F T 0

17 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΑΝΑΓΩΓΗΣ Υπολογισμός τοπογραφικής αναγωγής Ψηφιακά πρότυπα (μοντέλα) τοπογραφίας (Diital Terrain Models DTMs) Υλοποίηση DTMs (ορθά πρίσματα με βάσεις κύκλους ή ορθογώνια) Ομόκεντροι κύκλοι ΜΕΣΑ ΥΨΗ κυκλικοί τομείς ή ορθογώνια Σύστημα γεωγραφικών ή καρτεσιανών συντεταγμένων Το ύψος κάθε πρίσματος ίσο με το ύψος της τοπογραφίας που περιέχεται σ αυτό n n 1

18 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΑΝΑΓΩΓΗΣ - ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΤΟΜΕΙΣ F z G a z r1 z r z1 r1 z1 r z1 H P H z H P Εικόνα 6 Η τελική τοπογραφική αναγωγή ίση με το άθροισμα της επίδρασης όλων των πρισμάτων γύρω από το σημείο Ρ (μέχρι μία ορισμένη ακτίνα rmax T F Z Μειονέκτημα Τα μέσα ύψη υπολογίζονται εξ αρχής κάθε φορά που αλλάζει το σημείο υπολογισμού Ρ

19 x 1 x x n x y 1 y n y y / 3 x x y y z z z z y y x x z z y x zdxdydz G r zdz dy dx G F arcsin ln ln z z y y x x z z y r y yr y z z r x y r y x G F 1/ z y x r Πλεονεκτήματα Υπολογισμός μέσων υψών μία μόνο φορά Εφαρμογή μετασχηματισμών Fourier ταχύτητα στους υπολογισμούς T F Z ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΑΝΑΓΩΓΗΣ - ΟΡΘΑ ΠΡΙΣΜΑΤΑ Εικόνα 7

20 ΑΝΑΓΩΓΗ ΠΛΑΚΑΣ BOUGUER ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΝΑΓΛΟΥΦΟΥ Εικόνα 8 τοπογραφική αναγωγή = αναγωγή πλάκας Bouuer + T P t αναγωγή τοπογραφικού αναγλύφου Η αναγωγή της πλάκας Bouuer αφορά την έλξη μιας σφαιρικής ή άπειρα εκτεινόμενης επίπεδης πλάκας πάχους ΗΡ ίσου με το υψόμετρο του ελκόμενου σημείου Ρ και σταθερής πυκνότητας ρ

21 ΑΝΑΓΩΓΗ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΠΛΑΚΑΣ BOUGUER Για επίπεδη πλάκα Bouuer και για Δα=π, r1=0, r=, z1=0, z=hp F z G a z r1 z r z1 r1 z1 r P G H P H P ms,67 k m 3 P H P ms

22 ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΑΝΑΓΛΟΥΦΟΥ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ BOUGUER Η αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου δημιουργεί μια πλάκα Bouuer προσθέτοντας μάζες σε περιοχές που λείπουν και αφαιρώντας μάζες σε περιοχές που περισσεύουν Στην περίπτωση της επίπεδης πλάκας Bouuer η αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου είναι πάντοτε θετική F z G a r r1 H r1 H r αναγωγή τοπογραφικού αναγλύφου t F z τοπογραφική αναγωγή B F P t 0 ανωμαλίες Bouuer

23 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΑΝΑΓΩΓΗΣ Εικόνα 9 Στον υπολογισμό της τοπογραφικής αναγωγής απαιτείται θεωρητικά να ληφθούν υπόψη μάζες σε σφαιρική κλίμακα Λόγω του τεράστιου όγκου της υπολογιστικής εργασίας και επειδή οι μακρινές από το σημείο υπολογισμού μάζες έχουν μικρή επίδραση, αγνοούνται στον τελικό υπολογισμό Ικανοποιητική προσέγγιση είναι η θεώρηση μαζών μέχρι μία ακτίνα 600 km, στην πράξη όμως αρκούμαστε σε ακόμη μικρότερες αποστάσεις Στην ακρίβεια των τοπογραφικών αναγωγών επιδρά και η διακριτική ικανότητα (resolution) του διαθέσιμου μοντέλου (προτύπου) της τοπογραφίας (DTM). Υψηλή διακριτική ικανότητα συνεπάγεται μεγαλύτερη ακρίβεια στον προσδιορισμό της τοπογραφικής αναγωγής Στην πράξη χρησιμοποιούνται συνήθως δύο DTMs: ένα για τον υπολογισμό της επίδρασης της εγγύς τοπογραφίας (π.χ. 1x1 km μέχρι μία ακτίνα R1 τουλάχιστο διπλάσια από την ακτίνα του δεύτερου πλέγματος) και ένα δεύτερο DTM για τον υπολογισμό της επίδρασης της μακρινής τοπογραφίας (π.χ. 10x10 km μέχρι μια ακτίνα R) 3,67 km Η υπόθεση σταθερής πυκνότητας (συνήθως των τοπογραφικών μαζών είναι αιτία σφαλμάτων στον υπολογισμό της τοπογραφικής αναγωγής Η διαθεσιμότητα ψηφιακών μοντέλων πυκνότητας με την ίδια διακριτική ικανότητα των ψηφιακών μοντέλων τοπογραφίας αυξάνει την ακρίβεια υπολογισμού της τοπογραφικής αναγωγής

24 Εύρος τιμών της αναγωγής τοπογραφικού αναγλύφου ΑΠΛΕΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ BOUGUER x 10 ms x10 ms πεδινές περιοχές ορεινές περιοχές Σε εκτεταμένες περιοχές με ομαλή τοπογραφία (οι αναγωγές τοπογραφικού αναγλύφου έχουν πολύ μικρές τιμές) και εφόσον οι απαιτήσεις για την ακρίβεια της εφαρμογής το επιτρέπουν (π.χ. γεωφυσική διασκόπηση), οι αναγωγές τοπογραφικού αναγλύφου δεν λαμβάνονται υπόψη B F P 0 F P απλές ανωμαλίες Bouuer (simple Bouuer anomalies) B F P t 0 F P t πλήρεις ανωμαλίες Bouuer (refined Bouuer anomalies)

25 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ BOUGUER Πολλές φορές στον υπολογισμό των τοπογραφικών αναγωγών οι μάζες εξομοιώνονται με ευθείες Κατά τον υπολογισμό των ανωμαλιών Bouuer οι μάζες έχουν μετακινηθεί (αφαίρεση ή πρόσθεση μαζών και δεν τηρούνται οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται για τον προσδιορισμό του γεωειδούς (μάζες επί του γεωειδούς, μικρή έμμεση επίδραση). Ως εκ τούτου οι ανωμαλίες Bouuer δεν είναι κατάλληλες για τον προσδιορισμό του γεωειδούς Οι ανωμαλίες Bouuer είναι απαλλαγμένες από την επίδραση της ορατής τοπογραφίας και οφείλονται σε ανωμαλίες πυκνότητας των ανώτερων λιθοσφαιρικών μαζών. Αντανακλούν τη γενικότερη τάση του πεδίου βαρύτητας που οφείλεται στη διαφορά πυκνότητας μεταξύ διαφορετικών γεωλογικών σχηματισμών τοπικής έκτασης και είναι κατάλληλες για γεωφυσική διασκόπηση και εντοπισμό ορυκτών πόρων και άλλων πηγών ενέργειας Οι ανωμαλίες Bouuer μεταβάλλονται ομαλά και είναι αντιπροσωπευτικές για μεγαλύτερες εκτάσεις από ότι οι ανωμαλίες βαρύτητας. Επομένως είναι κατάλληλες για τον σχηματισμό μέσων τιμών και την πρόγνωση ομόλογων τιμών. Από τις μέσες ή σημειακές τιμές ανωμαλίας Bouuer προκύπτουν στη συνέχεια ανωμαλίες ελεύθερου αέρα

26 ΑΝΑΓΩΓΗ RTM Εικόνα 10 Σε διάφορες εφαρμογές προσέγγισης του πεδίου βαρύτητας εφαρμόζεται ένα είδος αναγωγής με στόχο την εξομάλυνση του πεδίου βαρύτητας, ώστε η διαδικασίας της πρόγνωσης να γίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια και να μειώνεται η επίδραση συστηματικών σφαλμάτων Η αναγωγή αυτή είναι όμοια με την αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου, αλλά δεν γίνεται ως προς την πλάκα Bouuer, αλλά ως προς μία εξομαλυσμένη προσέγγιση της πραγματικής τοπογραφίας (τοπογραφική επιφάνεια αναφοράς). Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό ως τοπογραφικό ανάγλυφο θεωρούνται τα περισσεύματα και τα ελλείμματα της τοπογραφίας ως προς την τοπογραφική επιφάνεια αναφορά (Residual Terrain Model RTM)

27 ΑΝΑΓΩΓΗ RTM Στον πρακτικό υπολογισμό η εξομαλυσμένη προσέγγιση της τοπογραφίας προσδιορίζεται από ένα λεπτομερειακό ψηφιακό μοντέλο εδάφους, έτσι ώστε το ψηφιακό μοντέλο τοπογραφίας που προκύπτει να έχει διακριτική ικανότητας μικρότερη από αυτήν του αρχικού μοντέλου. (Παράδειγμα: Αν η πραγματική τοπογραφία της περιοχής μελέτης περιγράφεται με ένα DTM 1x1 km, η τοπογραφική επιφάνεια αναφοράς θα μπορούσε να περιγραφεί με ένα DTM 0.5 x0.5 ή 1 x1 (ανάλογα με την έκταση της περιοχής) ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΤΥΧΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Σε σχέση με τις αρχικές τιμές ανωμαλιών βαρύτητας: Η κατά το δυνατό μεγαλύτερη ελάττωση της μεταβλητότητας των ανηγμένων με τον τρόπο αυτόν ανωμαλιών βαρύτητας Η κατά το δυνατό μεγαλύτερη ελάττωση του μέσου όρου των ανηγμένων με τον τρόπο αυτόν ανωμαλιών βαρύτητας

28 ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ FAYE Στη λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών του πεδίου βαρύτητας ορισμένες φορές χρησιμοποιούνται ανωμαλίες ελεύθερου αέρα στις οποίες έχει γίνει μόνον η αναγωγή του τοπογραφικού αναγλύφου Faye F t

29 ΕΙΔΗ ΑΝΩΜΑΛΙΩΝ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ F F 0 ανωμαλία βαρύτητας ελέυθερου αέρα B F P 0 F P απλές ανωμαλίες Bouuer (simple Bouuer anomalies) B F P t 0 F P t πλήρεις ανωμαλίες Bouuer (refined Bouuer anomalies) Faye F t ανωμαλία βαρύτητας Faye

30 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΑΝΩΜΑΛΙΩΝ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Χάρτες με καμπύλες ίσων τιμών άλλοι τρόποι απεικόνισης Χάρτες τοπικής, περιφερειακής, σφαιρικής (παγκόσμιας) κλίμακας Κλίμακες απεικόνισης Εθνικές και διεθνείς υπηρεσίες διαχείρισης τιμών βαρύτητας Εθνικές και διεθνείς τράπεζες δεδομένων τιμών βαρύτητας

31 ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 11

32 ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΕ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ Εικόνα 1

33 ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 13

34 ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΤΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 14

35 ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ / ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑΣ Παγκόσμια και εθνικά μοντέλα (πρότυπα) τοπογραφίας και βαθυμετρίας (DTMs, DDMs) Διακριτική ικανότητα και ακρίβεια Εθνικές και διεθνείς υπηρεσίες διαχείρισης DTMs/DDMs Εθνικές και διεθνείς τράπεζες δεδομένων τοπογραφίας και βαθυμετρίας

36 ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ / ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑΣ DTMs - DDMs ETOPO05 Terrain Base JGP95E Διακριτική ικανότητα 5 Διαθέτουν τα ίδια δεδομένα βαθυμετρίας και διαφέρουν ως προς τα ηπειρωτικά δεδομένα ETOPO0 GLOBE30 GTOPO30 Διακριτική ικανότητα 5 Διακριτική ικανότητα 30 Διακριτική ικανότητα 30 SRTM (Shuttle Radar Toporaphic Mission) 3 ~90m διακριτική ικανότητα σε πακόσμια κλίμακα για τις ηπειρωτικές εκτάσεις Μοντέλα βαθυμετρίας για τις θαλάσσιες εκτάσεις σε παγκόσμια κλίμακα από δεδομένα δορυφορικής αλτιμετρίας Διακριτική ικανότητα 1 -

37 ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ / ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑΣ Εικόνα 15 Μοντέλο JGP95E

38 ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ / ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑΣ ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ 100 m Εικόνα 16

39 ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ / ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑΣ ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ 1000 m Εικόνα 17

40 ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ / ΒΑΘΥΜΕΤΡΙΑΣ ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ 100 m ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ 1000 m

41 ΙΣΟΣΤΑΣΙΑ H πίεση στο εσωτερικό της Γης, πρακτικά υδροστατική, είναι συνέπεια των υπερκείμενων μαζών Οι θαλάσσιες μάζες ουσιαστικά συνιστούν έλλειμμα μάζας (πυκνότητα νερού μικρότερη αυτής των λιθοσφαιρικών μαζών) Η ανισοκατανομή λιθοσφαιρικών και υδάτινων μαζών θα αποτελούσε αιτία διαταραχής του υδροστατικού ισοζυγίου, αν οι μάζες δεν ήταν αντισταθμισμένες σε κάποιο βάθος στο εσωτερικό της Γης Η αντιστάθμιση αυτή των μαζών προκύπτει από τη μελέτη της συστηματικής συμπεριφοράς μεγεθών που συνδέονται με το πεδίο βαρύτητας (αποκλίσεις της κατακορύφου, υψόμετρα του γεωειδούς, κλπ) Οι αποκλίσεις της κατακορύφου που υπολογίζονται από τις ορατές τοπογραφικές μάζες έχουν συστηματικά μεγαλύτερες τιμές από τις αποκλίσεις της κατακορύφου που υπολογίζονται με αστρογεωδαιτικές τιμές Οι ανωμαλίες Bouuer έχουν σε σφαιρική κλίμακα αρνητικές τιμές στις ηπείρους μέχρι (-00 mgal) και θετικές στις θαλάσσιες περιοχές (μέχρι 400 mgal) Οι ηπειρωτικές μάζες θα έπρεπε να προκαλούν διακυμάνσεις στο γεωειδές της τάξης των 1000m, ενώ οι πραγματικές διακυμάνσεις είναι της τάξης των 100m

42 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Προσπάθεια ερμηνείας της αντιστάθμισης των μαζών Θεωρία της ισοστασίας (isostasy) Ισοστατικά μοντέλα

43 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΟΝΤΕΛΟ PRATT Υπόθεση: Λιθόσφαιρα σταθερού πάχους και μεταβλητής πυκνότητας Τ0 πάχος λιθόσφαιρας Στήλη υψομέτρου h=0 έχει κανονική πυκνότητα ρ0 Στις ηπειρωτικές εκτάσεις στήλες με h>0 έχουν πυκνότητα ρ< ρ0 Εικόνα 18 Στους ωκεανούς στήλες με h<0 έχουν πυκνότητα ρw> ρ0 T 0 h 0T cm T 0 T 0 h wt T 0 t 0T0 w 1.07cm 3..67T 0 T t t

44 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΟΝΤΕΛΟ AIRY Υπόθεση: Λιθόσφαιρα μεταβλητού πάχους και σταθερής πυκνότητας Εικόνα 19

45 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΟΝΤΕΛΟ AIRY Υπόθεση: Λιθόσφαιρα μεταβλητού πάχους και σταθερής πυκνότητας Στήλη υψομέτρου h=0 αντιστοιχεί πάχος Τ0 Στις ηπειρωτικές εκτάσεις στήλες μαζών εισχωρούν στον πυκνότερο μανδύα κατά πάχος (ρίζα) d Στους ωκεανούς ο μανδύας εισχωρεί στη λιθόσφαιρα κατά d ώστε να υπάρχει υδροστατική ισορροπία ρμ πυκνότητα μανδύα Εικόνα 0 0 d 0h 0. 67cm 3 d 4. 45h (ηπειρωτικές εκτάσεις) 0 d 0 w t M 3.7cm 3 d. 73t (ωκεάνιες εκτάσεις)

46 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗΣ ΒΑΘΗ MOHO Εκτίμηση του βάθους αντιστάθμισης Αποτέλεσμα ισοστατικών αναγωγών στις ανωμαλίες της βαρύτητας (ανεξάρτητες του ύψους) Ελάχιστες διαφορές ανάμεσα στις τοπογραφικές-ισοστατικές αποκλίσεις της κατακορύφου και τις αντίστοιχες αστρογεωδαιτικές Τ0 ~ 117 km (μοντέλο Pratt) T km (μοντέλο Airy) Συμφωνία με αποτελέσματα μικροσεισμικής έρευνας Επιφάνεια αντιστάθμισης τοπογραφικών μαζών ασυνέχεια Moho (βάθη Moho) - Mohorovicic D (επιφάνεια επαφής της λιθόσφαιρας με το μανδύα) Εικρατέστερη η θεωρία του μοντέλου Airy

47 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗΣ ΒΑΘΗ MOHO Εικόνα 1 Μεγάλα βάθη αντιστάθμισης στην Πίνδο (~40km), μικρά βάθη στο νότιο Ιόνιο (~1km)

48 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΓΩΓΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ Στις ισοστατικές ανωμαλίες της βαρύτητα οι τοπογραφικές μάζες χρησιμοποιούνται για την ομαλοποίηση της λιθόσφαιρας λιθόσφαιρα σταθερού πάχους και σταθερής πυκνότητας Η ισοστατική αναγωγή υπολογίζεται δi από τους ίδιους ολοκληρωματικούς τύπους όπως και η τοπογραφική αναγωγή αντικαθιστώντας κατάλληλα τα όρια ολοκλήρωσης και τις τιμές της πυκνότητας Ισοστατική ανωμαλία της βαρύτητας (αναγωγή Bouuer + ισοστατική αναγωγή) i B i F T i 0

49 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΌ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα

50 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΌ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 3 Διόρθωση τοπογραφικού αναγλύφου

51 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΌ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 4 Ισοστατική αναγωγή

52 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΌ ΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 5 RTM επίδραση στα υψόμετρα του γεωειδούς

53 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

54 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Ανωμαλία ελεύθερου αέρα F F sin sin ms x ms 1/ F H H ms ms F ms

55 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 0. Απλή ανωμαλία Bouuer B F P F P P G H P H P ms,67 k m 3 P H P ms 5 5 P x10 ms B 96.77x10 ms 0 3. Πλήρης ανωμαλία Bouuer B F T B x10 ms

56 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

57 GRS 67 F GRS 67 0 F Αφαίρεση κατά μέλη GRS 80 F GRS 80 0 F F GRS 80 GRS 67 GRS 67 GRS 80 F x10 ms x 10 ms GRS 67 5 GRS 80 5 GRS F x10 ms GRS 67 B GRS 67 0 F P GRS 80 B GRS 80 0 F P Αφαίρεση κατά μέλη GRS B 80 B GRS 80 GRS 67 GRS 67 GRS 80 B x10 ms

58 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

59 P G H P H P ms,67 k m 3 P H P ms P x10 ms B F P F 0 P F B P F x10 ms (στο GRS67) F x10 ms Mετατροπή στο GRS80 όπως στην άσκηση Συγκρινόμενη με την τιμή 5 5 F 08.7 x10 ms διαφέρει κατά.4x10 ms

60 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (Ι)

61 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙΙ) α/α φ λ Η d(egm08) d(goco0s) d(eigen6c) n=50 d(eigen6c) n=1949 d(rtm) N(EGM08) N(RTM)

62 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙII)

63 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙV) Αναγωγή μέσω κατακόρυφης βαρυτοβαθμίδας (ravity vertical radient) / H κατακόρυφη βαρυτοβαθμίδα 0 H H Αναγωγή ελεύθερου αέρα (free-air reduction) F H H ms / m

64 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (V) Αναγωγή ελεύθερου αέρα 5 F H ms / H m H m Ανωμαλία ελεύθερου αέρα F F 0 Η αναγωγή ελεύθερου αέρα αντιστοιχεί σε μία παράλληλη μετατόπιση ή συμπύκνωση των τοπογραφικών μαζών επί του γεωειδούς Η αναγωγή ελεύθερου αέρα δίνει κατά προσέγγιση οριακές τιμές επί του γεωειδούς και η έμμεση επίδραση (indirect effect) διατηρείται μικρή (κάτω από μερικά μέτρα)

65 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VI) Αναγωγή ελεύθερου αέρα 5 F H ms / H m H m Ανωμαλία ελεύθερου αέρα F F 0 Οπότε για κάθε ένα από τα 16 σημεία υπολογίζουμε την αναγωγή ελευθέρου αέρα δ f Και στη συνέχεια την ανωμαλία ελευθέρου αέρα βάσει της αναγωγής δ f και της τιμής της κανονικής βαρύτητας που υπολογίστηκε στο ερώτημα α)

66 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VIΙ) o Στην ιστοσελίδα του μαθήματος υπάρχει διαθέσιμο πρόγραμμα στο Matlab για τη σχεδίαση των πεδίων και τον υπολογισμό των στατιστικών

67 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VIΙΙ)

68 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (IX) % % Compute the data statistics % %results printed on screen fprintf(1,'the statistics of the input d(egm08) are \n'); fprintf(1,' \n'); fprintf(1,'\n'); fprintf(1,'max=%6.3f min=%6.3f mean=%6.3f std=%6.3f\n',max(d_egm),min(d_egm),mean(d_egm),std(d_egm) ); % % finish with statistics % %

69 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (X) % Make some plots phirid=(min(phi):0.001:max(phi))'; dlarid=(min(dla):0.001:max(dla))'; [DLAI,PHI] = meshrid(dlarid,phirid); DG_EGM = riddata(dla,phi,d_egm,dlai,phi,'v4'); % % Use surf to do the plot surf(dlai,phi,dg_egm), hold shadin interp % % place the data points if you wish plot3(dla,phi,d_egm,'^','markeredecolor','k',... 'MarkerFaceColor','k','MarkerSize',6), hold off % axis labels xlabel('lonitude','rotation',1) ylabel('latitude','rotation',338) % create colorbar h= colorbar; set(et(h,'xlabel'),'strin', 'mgal', 'Rotation', 0,'FontSize',1) title('plot of EGM08 contribution to ravity anomalies','fontweiht','bold','fontsize',1) % Plot eneration ended %

70 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XI)

71 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΧII)

72 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΧΙΙI) Αρχικά αφαιρώ τη συνεισφορά του γεωδυναμικού μοντέλου d(egm08) που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, προκειμένου να υπολογιστούν ανηγμένες τιμές στο γεωδυναμικοί μοντέλο d d EGM08 EGM 08 red f F 0 Στη συνέχεια αφαιρώ και την αναγωγή υπολειπόμενης τοπογραφίας που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, τις τελικές ανηγμένες τιμές d d d RTM EGM08 RTM res red f EGM08 RTM F 0 d d Προσοχή!!! Για όλα τα πεδία απαιτούνται τα στατικά χαρακτηριστικά τους (max, min, mean, std) και τα αντίστοιχα γραφήματα

73 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΧII)

74 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΧΙΙI) Αρχικά αφαιρώ τη συνεισφορά του γεωδυναμικού μοντέλου d(goco0s) για n max =50, που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, προκειμένου να υπολογιστούν ανηγμένες τιμές στο γεωδυναμικοί μοντέλο d d GOCO0 s GOCO0 s red f F 0 Στη συνέχεια αφαιρώ και την αναγωγή υπολειπόμενης τοπογραφίας που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, τις τελικές ανηγμένες τιμές d d d RTM GOCO0 RTM res red f d d F 0 GCO0s RTM Προσοχή!!! Για όλα τα πεδία απαιτούνται τα στατικά χαρακτηριστικά τους (max, min, mean, std) και τα αντίστοιχα γραφήματα

75 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΧΙV) Αρχικά αφαιρώ τη συνεισφορά του γεωδυναμικού μοντέλου d(eigen6c) για n max =50, που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, προκειμένου να υπολογιστούν ανηγμένες τιμές στο γεωδυναμικοί μοντέλο d d EIGEN 6C EIGEN 6C red f n 50 F 0 n 50 Στη συνέχεια αφαιρώ και την αναγωγή υπολειπόμενης τοπογραφίας που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, τις τελικές ανηγμένες τιμές d d d RTM EIGEN6C RTM res red f n 50 d d F EIGEN6C 0 n 50 RTM Προσοχή!!! Για όλα τα πεδία απαιτούνται τα στατικά χαρακτηριστικά τους (max, min, mean, std) και τα αντίστοιχα γραφήματα

76 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΧV) Αρχικά αφαιρώ τη συνεισφορά του γεωδυναμικού μοντέλου d(eigen6c) για n max =1949, που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, προκειμένου να υπολογιστούν ανηγμένες τιμές στο γεωδυναμικοί μοντέλο d d EIGEN 6C EIGEN 6C red f n 1949 F 0 n 1949 Στη συνέχεια αφαιρώ και την αναγωγή υπολειπόμενης τοπογραφίας που δίνεται στην εκφώνηση του θέματος, τις τελικές ανηγμένες τιμές d d d RTM EIGEN6C RTM res red f n 1949 d d F EIGEN6C 0 n 1949 RTM Προσοχή!!! Για όλα τα πεδία απαιτούνται τα στατικά χαρακτηριστικά τους (max, min, mean, std) και τα αντίστοιχα γραφήματα

77 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΧVI) Τόσο για τα στατιστικά όσο και για τα σχήματα χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα από τη σελίδα του μαθήματος με τις αναγκαίες μετατροπές.

78 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνες 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18 0, 1: Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (007) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Εικόνα 19: Βέργος ΓΣ (006) Μελέτη του πεδίου βαρύτητας και της θαλάσσιας τοπογραφίας στον Ελληνικό χώρο με συνδυασμό επίγειων δεδομένων και δεδομένων των νέων δορυφορικών CHAMP και GRACE. Διδακτορική Διατριβή, Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εικόνες 16, 17,, 3: Tziavos IN, Veros GS, Grioriadis VN (010) Investiation of toporaphic reductions and aliasin effects to ravity and the eoid over Greece based on various diital terrain models. Surveys in Geophysics 31(3):3-67. doi: /s z. Εικόνα 1: F. G. Lemoine, S. C. Kenyon, J. K. Factor, R.G. Trimmer, N. K. Pavlis, D. S. Chinn, C. M. Cox, S. M. Klosko, S. B. Luthcke, M. H. Torrence, Y. M. Wan, R. G. Williamson, E. C. Pavlis, R. H. Rapp and T. R. Olson, The Development of the Joint NASA GSFC and NIMA Geopotential Model EGM96, NASA Goddard Space Fliht Center, Greenbelt, Maryland, 0771 USA, July Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

79 Σημείωμα Αναφοράς Copyriht Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος. «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας. Αναγωγές της Βαρύτητας». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

80 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

81 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δαλάκης Νικόλαος Θεσσαλονίκη, 16/9/014 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

82 ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

83 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 1: Εισαγωγή Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 3: Συστήματα Υψών Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 6: Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις & Αναπτύγματα Συνιστωσών του Πεδίου Βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 0: Θέμα Εξαμήνου Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων Ενότητα 4 : Η χρήση του G.P.S. Τοκμακίδης Κωνσταντίνος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή ( ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον Ενότητα 5 : Προστασία αγωγών από πλήγμα κριού Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων Ενότητα 5 : Αποτύπωση με μεθόδους φωτογραμμετρίας Τοκμακίδης Κωνσταντίνος Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # 17: Ταχύτητα Αντιδράσεων Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Παράκτια Τεχνικά Έργα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 9: Μέτρηση Αγωγιμότητας Διαλυμάτων Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία IΙ Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οικονομία των ΜΜΕ Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας Ενότητα 1: Αυτοαξιολόγηση μεταφραστών Κασάπη Ελένη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικά Δίκτυα Αρδεύσεων

Ατομικά Δίκτυα Αρδεύσεων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5 : Άρδευση Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 11η: Σύγκριση Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας και Καθολικής Εκκλησίας Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Αναλυτική επίλυση του μαθηματικού ομοιώματος: Σύμμορφη Απεικόνιση Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commos. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6η: Ελληνική νομολογία Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Ακτομηχανική και λιμενικά έργα

Ακτομηχανική και λιμενικά έργα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διάλεξη 10 η. Γεωστροφικός άνεμος, κυματισμοί, στατιστική ανάλυση και ενεργειακά φάσματα Θεοφάνης Καραμπάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα Μάρκετινγκ Ενότητα 4

Έρευνα Μάρκετινγκ Ενότητα 4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 : Δειγματοληψία Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε)

Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Αθήνας Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε) Άσκηση 5 Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων Ενότητα 7 : 3D Laser Scanner Τοκμακίδης Κωνσταντίνος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Ιστορία. Ενότητα 12η: Ο Β Παγκόσμιος Πόλεμος Η Ευρώπη. του Hitler Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Διπλωματική Ιστορία. Ενότητα 12η: Ο Β Παγκόσμιος Πόλεμος Η Ευρώπη. του Hitler Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12η: Ο Β Παγκόσμιος Πόλεμος Η Ευρώπη του Hitler Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φυσική-Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Φυσική-Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 1: Εισαγωγή στη -Ακρίβεια & Σημαντικά Ψηφία- Βαθμωτά Μεγέθη-Διανυσματικά Μεγέθη Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # (5): Δεσμοί και Τροχιακά Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Συμπεριφορά Καταναλωτή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 : Ομάδες αναφοράς Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 3: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις μιας μεταβλητής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικά Δίκτυα Αρδεύσεων

Ατομικά Δίκτυα Αρδεύσεων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2 : Διήθηση-Εξίσωση Kostiakov Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Παράκτια Τεχνικά Έργα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 3 η : Διάλυση στο μακρινό πεδίο Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύττας Ενόττα 8: Το Γεωειδές Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μχανικών Εισαγωγή στο πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 7: Κανονικότητες, συμμετρίες και μετασχηματισμοί στο χώρο Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον Ενότητα 1 : Εκπόνηση μελέτης Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 12η: Αυτόνομες και ημιαυτόνομες εκκλησίες κ.ά. διατάξεις Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Στατιστικός έλεγχος γραμμικού συνδυασμού συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Στατιστικός έλεγχος γραμμικού συνδυασμού συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Πολλαπλή Παλινδρόμηση Στατιστικός έλεγχος γραμμικού συνδυασμού συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση της

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και ΜΜΕ Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Επιχειρήσεων

Διοίκηση Επιχειρήσεων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η λήψη των αποφάσεων Ευγενία Πετρίδου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων Ενότητα 3 : Τοπογραφία και Μνημεία Τοκμακίδης Κωνσταντίνος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Σχεδιασμός εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τον αγροτικό χώρο Αφροδίτη Παπαδάκη-Κλαυδιανού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παράκτια Ωκεανογραφία

Παράκτια Ωκεανογραφία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διάλεξη 3η: Παράκτια Υδροδυναμική Κυκλοφορία Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 4: Μοντέλα Ανάλυσης και Εξισώσεις Παρατηρήσεων Δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγικό Μάρκετινγκ

Στρατηγικό Μάρκετινγκ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 13: Είσοδος στις παγκόσμιες αγορές Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 19

Λογισμός 4 Ενότητα 19 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Το Θεώρημα του Gauss. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση Βασικές έννοιες και τυχαίο σφάλμα. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση Βασικές έννοιες και τυχαίο σφάλμα. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Βασικές έννοιες και τυχαίο σφάλμα Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση των εισαγωγικών εννοιών που

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η Βιοηθική στη σύγχρονη εποχή. Ελένη Καλοκαιρινού Φιλοσοφίας-Παιδαγωγικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων Ενότητα 2 : Αποτυπώσεις Μνημείων Τοκμακίδης Κωνσταντίνος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα