ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

Transcript

1 ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου πχ) και Πυθαγόρας ( πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην εωµετρία και τον ανθρώπινο πολιτισµό δυο αιώνια αστραφτερά στολίδια: Τα θεωρήµατα που φέρνουν το όνοµά τους Τα θεωρήµατα όµως αυτά δεν «απέχουν πολύ» µεταξύ τους, όπως και τα χρόνια που γεννήθηκαν (περίπου 50 χρόνια νεώτερος ο Πυθαγόρας) αλλά και οι τόποι που τους γέννησαν: η Σάµος και η απέναντι Μίλητος, στην ένδοξη Ιωνία Στο άρθρο αυτό θα δούµε πως συνδέονται τα θεωρήµατα αυτά, αλλά και πως συσχετίζονται µε το εµβαδόν ευθυγράµµου σχήµατος ίναι γνωστό ότι ένας τρόπος (από τους περίπου 380 τρόπους, µέχρι σήµερα!) για να αποδειχθεί το Πυθαγόρειο θεώρηµα, είναι να χρησιµοποιηθεί η οµοιότητα τριγώνων, η οποία στηρίζεται στο θεώρηµα του Θαλή, όπως γίνεται συνήθως στα σχολικά βιβλία εωµετρίας ναρωτιέται τώρα κανείς αν ισχύει και το αντίστροφο: δηλαδή αν µε την βοήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήµατος µπορεί να αποδειχθεί το θεώρηµα του Θαλή Θα αποδείξουµε ότι πράγµατι, αυτό ισχύει, αλλά µε µια (σηµαντική) προϋπόθεση πίσης θα δώσουµε µια απόδειξη του θεωρήµατος του Θαλή µε την βοήθεια της έννοιας του εµβαδού ευθυγράµµου σχήµατος 1 πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο Θεώρηµα του Θαλή ίναι εύκολο να δειχθεί ότι, για να αποδειχθεί το γενικό θεώρηµα του Θαλή, αρκεί να αποδειχθεί το θεώρηµα του Θαλή σε τρίγωνο ΠΡΟΤΣΗ 1 (ειδική περίπτωση) Έστω κατ αρχήν ορθογώνιο στο τρίγωνο και // B Τότε ισχύει Έστω κ, λ, µ Έχουµε µ 2 κ 2 + λ 2, α 2 β 2 + γ 2 (1) B κ γ λ µ α Φέρνουµε κάθετη στην πό το ορθογώνιο τρίγωνο, λόγω και του ορθογωνίου, έχουµε A β

2 Ι Μ- Σ Σ Μ Θεώρηµα Θαλή και Πυθαγόρα ή (α - µ) 2 (γ - κ) 2 + (β - λ) 2 ή λόγω των (1) αµ γκ + βλ ή αµ γκ βλ ή α 2 µ 2 + γ 2 κ 2-2αµγκ β 2 (µ 2 - κ 2 ) ή µ 2 (α 2 - β 2 ) + κ 2 (γ 2 + β 2 ) 2αµγκ 0 ή µ 2 γ 2 + κ 2 α 2 2αµγκ 0 ή (µγ - κα) 2 0 ή µγ κα ή µ κ α -µ γ - κ ή B µ κ α γ ή ΠΡΟΤΣΗ 2 (ενική περίπτωση) Έστω τυχόν τρίγωνο και // Τότε ισχύει ν η γωνία είναι οξεία (βλ σχήµα) φέρνουµε Η κάθετη στην, οπότε είναι κάθετη και στην πό το ορθογώνιο τρίγωνo Η, όπου //Η, καθώς και από το ορθογώνιο τρίγωνo Η, όπου //Η λόγω της περίπτωσης (Ι) παίρνουµε αντίστοιχα A Η A, Η Η, οπότε A Όµοια εργαζόµαστε αν η γωνία είναι αµβλεία, ενώ αν είναι ορθή έχουµε την περίπτωση (Ι) πίσης όµοια είναι η απόδειξη αν η τέµνει τις προεκτάσεις των, Σηµείωση 1 Η παραπάνω απόδειξη του Θ Θαλή έγινε µε βάση το Π Θ, αλλά µε µορφή που προϋποθέτει τον τύπο-θεώρηµα για το εµβαδόν τετραγώνου, το οποίο µε τη σειρά του στηρίζεται στο αξίωµα για το τετράγωνο πλευράς 1 Χωρίς τον τύπο αυτό το Π Θ µπορεί να διατυπωθεί (: το εµβαδόν του τετραγώνου µε πλευρά την υποτείνουσα είναι ίσο και όχι, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο ) και να αποδειχθεί υτό ακριβώς κάνει ο υκλείδης (Στοιχεία πρόταση Ι47), όπου χρησιµοποιεί άλλες «ολοφάνερες» προτάσεις (τα υπόλοιπα γνωστά σε µας αξιώµατα των εµβαδών) και κριτήρια ισότητας τριγώνων και κανένα τύπο εµβαδού ενικά, στη εωµετρία των ρχαίων λλήνων δεν υπάρχουν οι γνωστοί

3 Ι Μ- Σ Σ Μ Θεώρηµα Θαλή και Πυθαγόρα 3 τύποι των εµβαδών, αλλά η «επιφάνεια» ενός ευθυγράµµου σχήµατος συγκρίνεται µε αυτήν ενός άλλου κλπ Με την µορφή αυτή (των εµβαδών) το Π Θ δεν οδηγεί στο Θ Θαλή Σηµείωση 2 ς έχουµε υπόψη ότι το Π Θ, όπως και το Θ Θ, είναι θεωρήµατα µόνο της υκλείδειας εωµετρίας Στις µη υκλείδειες εωµετρίες ισχύει κάτι αντίστοιχο µε το Π Θ µε εντελώς όµως διαφορετική µορφή 'τσι, πχ στην Υπερβολική εωµετρία, η σχέση µεταξύ υποτείνουσας α και καθέτων πλευρών β, γ ορθογωνίου τριγώνου είναι cosh(α) cosh(β) cosh(γ), x x e + e όπου cosh(x), η συνάρτηση υπερβολικό συνηµίτονο 2 Στη λλειπτική εωµετρία, στο µοντέλο της σφαιρικής επιφάνειας, η σχέση µηκών πλευρών ορθογωνίου σφαιρικού τριγώνου είναι συν α ρ συν β ρ συν γ, όπου ρ η ακτίνα της σφαίρας ρ 2 Το θεώρηµα του Θαλή µε την βοήθεια της έννοιας του εµβαδού Με την βοήθεια του θεωρήµατος για το εµβαδόν τριγώνου-το οποίο απορρέει από το θεώρηµα για το εµβαδόν τετραγώνου - θα δώσουµε µια άµεση απόδειξη του Θ Θαλή, χωρίς να χρησιµοποιούµε το Π Θ Πρόταση 3 Έστω τρίγωνο και // Τότε ισχύει A πειδή τα τρίγωνα, έχουν το ίδιο ύψος από το, έχουµε (AE) ( EB) (AE) Όµοια, από τα τρίγωνα, έχουµε ( E) λλά τα τρίγωνα, είναι ισοδύναµα, αφού έχουν ίδια βάση και ίσα ύψη, λόγω // Έτσι από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει η αποδεικτέα

4 Ι Μ- Σ Σ Μ Θεώρηµα Θαλή και Πυθαγόρα 4 Σηµείωση 3 Ως γνωστόν στα σχολικά βιβλία η απόδειξη του θεωρήµατος του Θαλή συνήθως παραλείπεται, κυρίως λόγω της δυσκολίας που υπάρχει στην περίπτωση άρρητου λόγου Το θεώρηµα όµως αυτό µπορεί να αποδειχθεί µε την βοήθεια της έννοιας του εµβαδού όπως είδαµε παραπάνω (2), όπου βέβαια η δυσκολία µεταβιβάζεται στην απόδειξη του τύπου-θεωρήµατος του εµβαδού τετραγώνου µε πλευρά άρρητο (µαζί µε την επιβάρυνση του αξιώµατος για το εµβαδόν τετραγώνου πλευρά 1) Σηµείωση 4 Το εµβαδόν έχει µια άµεση εποπτεία και φυσικότητα που το καθιστά σχεδόν πρωταρχική έννοια για τα σχολικά µαθηµατικά Έτσι, σε µια µελλοντική αναδιάρθρωση της ύλης της εωµετρίας στο Λύκειο, θα µπορούσε να προηγηθεί η έννοια του εµβαδού, από την έννοια της οµοιότητας, και έτσι να δοθεί η δυνατότητα να αποδειχθεί, κατ αρχήν το Πυθαγόρειο Θεώρηµα (µε την θαυµάσια απόδειξη του υκλείδη ή άλλη) και µετά το Θεώρηµα του Θαλή, µε µια από τις παραπάνω αποδείξεις Τέλος ας έχουµε υπόψη ότι µε την βοήθεια των τύπων-θεωρηµάτων εµβαδών ευθυγράµµων σχηµάτων, µπορούν να αποδειχθούν ευκολότερα και κοµψότερα και πολλές άλλες γεωµετρικές προτάσεις (γνωστή και η «µέθοδος των εµβαδών» στη εωµετρία) ς δούµε για παράδειγµα, µερικές Θεώρηµα σωτερικής ιχοτόµου ν εσωτερική διχοτόµος τριγώνου τότε ισχύει και αντιστρόφως Έστω, οι αποστάσεις του από τις πλευρές, αντίστοιχα ι οποίες, ως γνωστόν, είναι ίσες Έχουµε () () και (ίσα ύψη), () () οπότε προκύπτει η αποδεικτέα ντίστροφα: άµεση συνέπεια των προηγούµενων λόγων

5 Ι Μ- Σ Σ Μ Θεώρηµα Θαλή και Πυθαγόρα 5 Θεώρηµα Μενελάου (Έλληνας στρονόµος, λεξάνδρεια, 1-2 αι µχ) Έστω τρίγωνο και τα σηµεία,,, των ευθειών,, αντίστοιχα ν τα σηµεία,, είναι συνευθειακά τότε ισχύει 1 και αντίστροφα Έστω κ, λ, µ, οι αποστάσεις των,, από την ευθεία Έχουµε () κ (1) () λ () λ και (2) () µ λ B A Μ κ Z Ν µ E H πίσης (Μ) Μ Μ κ (Ν) Ν Ν µ οπότε κ (3) µ πό (1), (2), (3) µε πολλαπλασιασµό προκύπτει η αποδεικτέα ντίστροφα: Έστω ότι η ευθεία τέµνει την στο σηµείο Η προς το µέρος του (οπότε Η>Η) Τότε έχοµε H 1 λλά 1, οπότε H ΗB Η πειδή Η > Η είναι και > οπότε, Η εξωτερικά του και προς το ίδιο µέρος κλπ, άρα, Η συµπίπτουν Άσκηση Να δοθεί απόδειξη του Θ Μενελάου µόνο µε βάση το θεώρηµα για το λόγο των εµβαδών τριγώνων που έχουν µια γωνία ίση ή παραπληρωµατική

6 Ι Μ- Σ Σ Μ Θεώρηµα Θαλή και Πυθαγόρα 6 Θεώρηµα Ceva (Giovanni, Ιταλός Μαθηµατικός ) ίνεται τρίγωνο και τα σηµεία,, εσωτερικά των πλευρών,, αντίστοιχα ν οι ευθείες,, συντρέχουν τότε ισχύει 1 και αντιστρόφως Τα τµήµατα, είναι βάσεις των τριγώνων,, όπως και των Ο, Ο και έχουν ίσα ύψη, οπότε έχουµε () (Ο) () (Ο) (Ο) () (Ο) () (Ο) (Ο) Οµοίως προκύπτει (Ο), (Ο) (Ο) (Ο) Η A Ο Και µε πολλαπλασιασµό κατά µέλη έχουµε την αποδεικτέα B ντίστροφα : Έστω ότι οι, τέµνονται σε σηµείο Ο (εσωτερικό του τριγώνου από υπόθεση) ν η Ο τέµνει την (εδώ αναγκαστικά εσωτερικά) στο Η θα έχουµε Η 1 και λόγω της υπόθεσης προκύπτει Η Η, οπότε τα Η, (εσωτερικά του ) συµπίπτουν κλπ Η Άσκηση Με τη βοήθεια του Θ Ceva να αποδειχθεί ότι, οι διάµεσοι, οι διχοτόµοι και τα ύψη τριγώνου συντρέχουν (Υπ για τα ύψη: χρήση και οµοιότητας ή µόνο µε θεωρήµατα εµβαδών) - ( Μέρος του άρθρου αυτού δηµοσιεύτηκε στο 1 ο τεύχος του ΥΚΛΙΗ ) Τελευταία άρθρα του συγγραφέα, στο περιοδικό «φ»: 1 Κυρτότητα και εξισώσεις, τεύχος 4, 2007, σελ 87 2 Ίσα τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι, τεύχος 5, 2008, σελ146, 3 Η Ισοδυναµία των διαστηµάτων του R µε αφορµή ένα πρόβληµα του «φ», τεύχος 6, 2009, σελ35