2. Εξισώσεις Κίνησης. 2.1 Εισαγωγή

Transcript

1 . Εξισώσεις Κίνησης. Εισαγωγή Η ανάλυση και πρσμίωση της κίνησης αερσκάφυς πυ μεταβάλλεται στν χρόν βασίζεται σε ένα μαθηματικό μντέλ πυ περιγράφει επαρκώς τ ιδιαίτερα περίπλκ δυναμικό σύστημα τυ αερσκάφυς. Τ χαρακτηριστικό γνώρισμα της δυναμικής τυ αερσκάφυς, τ πί τ κάνει να ξεχωρίζει από πλλά άλλα μηχανλγικά δυναμικά συστήματα, είναι η περιπλκότητα των αερδυναμικών φρτίων. Κάθε αερσκάφς περιλαμβάνει στιχεία πυ μπρεί να θεωρηθύν ως απόλυτα στερεά ή ελαστικά και είναι συνδεδεμένα μεταξύ τυς. Επίσης περιλαμβάνει περιστρεφόμενα μέρη, όπως αυτά πυ περιέχνται στ πρωθητικό σύστημα, και άλλα κινύμενα μέρη, όπως ι επιφάνειες ελέγχυ κ.λ.π. Τα δμικά στιχεία τυ αερσκάφυς βρίσκνται υπό την επίδραση των αερδυναμικών φρτίων και τυ βάρυς. Στην γενική περίπτωση, τα αερδυναμικά φρτία έχυν μη γραμμική εξάρτηση από τ σχήμα τυ αερσκάφυς και από την μρφή της κίνησης πυ εκτελεί. Σε πλλές περιπτώσεις σύνθετης κίνησης αερσκάφυς, παρατηρύνται συζεύξεις αερδυναμικές ή και αερελαστικές, πυ περιπλέκυν σημαντικά την περιγραφή τυ συστήματς, και πυ σε συνδυασμό με τις μεγάλες παραμρφώσεις ελαστικών κατασκευών καθιστύ πλύ δύσκλη και πλλές φρές αδύνατη την μαθηματική περιγραφή με απλπιημένα μντέλα και θεωρίες. Είναι λιπόν αναγκαί να εισάγυμε απλυστευτικές παραδχές πυ θα καταστήσυν εφικτή και εύχρηστη την περιγραφή τυ δυναμικύ συστήματς τυ αερσκάφυς και θα επιτρέψυν την περιγραφή της πτητικής τυ κατάστασης και τν πρσδιρισμό της τρχιάς τυ στις πλέν γενικές συνθήκες. Στ κεφάλαι αυτό θεωρύμε ότι τ αερσκάφς είναι μη-ελαστικό και μηπαραμόρφωσιμ σώμα με έξι βαθμύς ελευθερίας κίνησης πυ κινείται στην ατμόσφαιρα κάτω από την επίδραση της βαρύτητας και των αερδυναμικών φρτίων. Τα αερδυναμικά φρτία ενεργύν στ κέντρ βάρυς τυ αερσκάφυς σε μρφή συνισταμένων δυνάμεων και ρπών πυ βρίσκυμε από την αερδυναμική ανάλυση πυ όπως και στα πρηγύμενα κεφάλαια βασίζεται στην γραμμική θεωρία.. Εξισώσεις στερεύ σώματς Οι εξισώσεις στερεύ σώματς με την εφαρμγή των νόμων τυ Newtn σε μία στιχειώδη μάζα, dm, τυ αερσκάφυς όπως απεικνίζεται στ Σχ.... Οι ταχύτητες και επιταχύνσεις θεωρύνται ως πρς ένα αδρανειακό σύστημα αναφράς F, όπως είναι τ πρσαρτημέν στην γη σύστημα αναφράς. Υπθέτυμε ότι η ταχύτητα τυ ανέμυ είναι μηδενική, W = 0 είναι V, και η ταχύτητα ως πρς τ σύστημα F ενώ η ταχύτητα ως πρς τ σύστημα πυ είναι πρσαρμσμέν στ V και έχει συνιστώσες αερσκάφς και συμβλίζεται με F είναι V [,, ] T = υ w.. Τ διάνυσμα θέσης της στιχειώδυς μάζας dm από την αρχή τυ συστήματς F είναι rc + r όπως φαίνεται στ Σχ..., όπυ ι συντεταγμένες τυ διανύσματς

2 θέσης τυ κέντρυ βάρυς (ΚΒ), στ σύστημα συντεταγμένων F είναι r και δίννται από F είναι r c και στ σύστημα r = [ x, y, z ] T.. Η αδρανειακή ταχύτητα της στιχειώδυς μάζας dm είναι r = [ x, y, z] T..3 v = r + r = V + r..4 Σχήμα.. Ταχύτητες ως πρς τ αδρανειακό σύστημα αναφράς F και ως πρς τ σύστημα αναφράς F πυ είναι πρσαρτημέν στ αερσκάφς Η ρμή της στιχειώδυς μάζας dm είναι αερσκάφς βρίσκεται από λκλήρωση ως v dm ενώ η ρμή για λόκληρ τ v dm = ( V + r ) dm = V dm + r dm..5 επειδή είναι τ κέντρ μάζας r dm = 0 v dm = V m και η παραπάνω σχέση απλπιείται ως..6

3 όπυ m είναι η λική μάζα τυ αερσκάφυς. Ο δεύτερς νόμυ τυ Newtn στ σύστημα συντεταγμένων από την παρακάτω σχέση. F εκφράζεται df = v dm..7 πυ μετά από λκλήρωση και εφαρμγή της Εξ. (..6) είναι ή f = d f = v dm f = mv..8 όπυ η δύναμη f είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων πυ εξασκύνται στ αερσκάφς. Η Εξ. (..8) συνδέει τις εξωτερικές δυνάμεις με την κίνηση τυ ΚΒ. Η εξίσωση πυ συνδέει τις εξωτερικές ρπές με την περιστρφή τυ αερσκάφυς βρίσκεται από την αρχή της διατήρησης της στρφρμής (mment f mmentm) dh= r ( vdm) = r ( vdm) πότε η μεταβλή της στρφρμής είναι d ( d h) = r dm dm v + r v..9 dt όπυ σύμφωνα με την Εξ. (..4) όρς r είναι 0 z y r = v V, r = z 0 x y x 0 Η ρπή των εξωτερικών φρτίων γύρω από τ ΚΒ είναι dm = r df και η ρπή πυ παράγεται από την στιχειώδη δύναμη d f είναι πότε η Εξ. (..9) γίνεται dm = r df = r ( v dm)..0 d dm = ( dh) r vdm= dt d = ( d h )-(v -V )v dm dt.. 3

4 και επειδή v v = 0 η παραπάνω σχέση γίνεται d dm = ( dh) Vvdm dt.. Με λκλήρωση της παραπάνω σχέσης βρίσκυμε ότι η συνλική ρπή στ σύστημα συντεταγμένων F είναι d dm = dh V vdm dt..3 όπυ τα λκληρώματα d f και dm εκφράζυν την συνλική δύναμη και την συνλική ρπή γύρω από τ κέντρ βάρυς, αντίστιχα. Επι πλέν, λαμβάνντας υπ όψη ότι v v= 0, η Εξ. (..3) με την Εξ. (..6) δίνει την συνλική ρπή ως M = h = r v dm..4 Πρέπει να σημειωθεί ότι η παραπάνω σχέση ισχύει μόν για τ ΚΒ και πως όπως και η Εξ. (..8) ισχύει ακόμα και όταν υπάρχει σχετική κίνηση των διαφόρων μερών τυ αερσκάφυς. Η κίνηση τυ αερσκάφυς περιγράφεται από τις παρακάτω διανυσματικές εξισώσεις f = mv M = h πυ είναι ισδύναμες με έξι εξισώσεις για τις επί μέρυς συνιστώσες και πυ θα δείξυμε πι αναλυτικά στα παρακάτω κεφάλαια. Όταν η ταχύτητα τυ ανέμυ W δεν είναι μηδενική η ταχύτητα V στην Εξ. (..5) είναι η ταχύτητα V τυ ΚΒ σχετικά με τ αδρανειακό σύστημα F, η γωνιακή ρμή όμως είναι η ίδια πότε στην γενική περίπτωση όπυ W 0 ι εξισώσεις κίνησης είναι f = mv M = h..3.3 Πρσδιρισμός της γωνιακής ρμής h Οι συνιστώσες της γωνιακής ρμής h στ σύστημα συντεταγμένων F δίννται από h = dh = r v dm= r v.3. dm 4

5 όπυ 0 z y r = z 0 x y x 0 Η γωνιακή ταχύτητα τυ αερσκάφυς ως πρς τ κινύμεν με τ αερσκάφς σύστημα συντεταγμένων, F, συμβλίζεται με ω και έχει συνιστώσες ω = [ p, q, r] Τ, όπυ p, q, r είναι ρυθμός περιστρφής (rll), ρυθμός κλίσης (pitch), και ρυθμός πλάγιας κίνησης (yw), αντίστιχα. Τότε η ταχύτητα της στιχειώδυς μάζας dm είναι όπυ v = V + ω r.3. 0 r q ω = r 0 p q p 0 πότε η γωνιακή ρμή στ σύστημα συντεταγμένων F h = r (V + ωr) dm = r V dm+ r ωr dm = V r dm+ r ω r dm.3.3 όπυ τ πρώτ λκλήρωμα είναι μηδέν επειδή η αρχή τυ συστήματς συντεταγμένων βρίσκεται στ ΚΒ. Ο όρς r ωr dm στ δεύτερ λκλήρωμα είναι r ωr dm= I ω όπυ I είναι τ μητρώ αδράνειας και η Εξ. (.3.3) γίνεται h = I ω.3.4 Ix Ixy I xz I = Iyx Iy Iyz.3.5 Izx Izy I z όπυ ι ρπές αδράνειας δίννται από τις σχέσεις = y + z dm = x + z dm = x + y dm I x ( ), I y ( ), I z ( ) I = I = xydm, I = I = xzdm, I = I = yzdm xy xy xz zx yz zy.3.6 5

6 Όταν τ επίπεδ (x,z) είναι επίπεδ συμμετρίας I = I = 0. Επί πλέν, όταν η κατεύθυνση τυ άξνα x εκλεγεί έτσι ώστε η ρπή αδράνειας να είναι και αυτή μηδέν, I = zx 0, (κύρις άξνας) τότε τ μητρώ αδράνειας έχει απλή διαγώνια μρφή. xy yz.4 Πρσανατλισμός και θέση αερσκάφυς Η θέση και πρσανατλισμός τυ αερσκάφυς πρσδιρίζνται σχετικά με τ αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων F πυ είναι πρσαρτημέν στ έδαφς. Τ διάνυσμα θέσης τυ κέντρυ βάρυς (ΚΒ) είναι r και ι συντεταγμένες τυ είναι x, y, z. Ο πρσανατλισμός τυ αερσκάφυς ως πρς τ σύστημα F επιτυγχάνεται με διαδχικές περιστρφές γύρω από τυς άξνες συντεταγμένων. Η σειρά περιστρφής είναι καθρισμένη και ι γωνίες περιστρφής νμάζνται γωνίες ler. Η καθρισμένη σειρά περιστρφής είναι:. Περιστρφή κατά γωνία ψ γύρω από τν άξνα Ο z στ νέ σύστημα xyz. Περιστρφή κατά γωνία θ γύρω από τν άξνα Ο y στ νέ σύστημα x3y3z 3 3. Περιστρφή κατά γωνία φ γύρω από τν άξνα Ο x3 ώστε να πρκύψει τ τελικό σύστημα πυ έχει τν ίδι πρσανατλισμό με τ αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων F Σχήμα.4. 6

7 Τ εύρς των γωνιών ler. είναι π ψ < π η 0 ψ π π π θ π φ < π η 0 φ π Οι γωνίες ler.είναι μναδικές για τυς περισσότερυς πρσανατλισμύς αερσκαφών υπάρχυν όμως και εξαιρέσεις, όπως για παράδειγμα η κάθετη άνδς ή κάθδς όπυ θ = ± π / πότε η περιστρφή ( ψ, θ, φ) = ( ψ + α, ± π /, α) δίνει πάντα τν ίδι πρσανατλισμό ανεξάρτητα από την τιμή της γωνίας α. Η παραπάνω δυσκλία απφεύγεται με την χρήση των συνημίτνων κατεύθυνσης ή qrtenins αντί για τις γωνίες ler. Τρχιά πτήσης Ο πρσδιρισμός της τρχιάς πτήσης σχετικά με τ σύστημα F απαιτεί να γνώση των συνιστωσών της ταχύτητας κατά μήκς των αξόνων τυ συστήματς F. Οι συνιστώσες της ταχύτητας στ σύστημα συντεταγμένων F πρκύπτυν από τις γνωστές συνιστώσες της ταχύτητας V στ σύστημα συντεταγμένων F Β πυ είναι πρσαρμσμέν στ αερσκάφς με τν παρακάτω μετασχηματισμό συντεταγμένων V = L V.4. όπυ L είναι τ μητρώ των συνημίτνων κατεύθυνσης πυ αντιστιχεί στην ανάστρφη σειρά περιστρφών από τ αδρανειακό σύστημα F στ σύστημα F Β πυ είναι πρσαρμσμέν στ αερσκάφς. Τ μητρώ των συνημίτνων κατεύθυνσης L δίνεται από L = L ( ψ ) L ( θ) L ( φ).4. z y x όπυ τα μητρώα L z( ψ ), L y( θ), καί L x( φ ) είναι τα μητρώα περιστρφής L, L, καί L τυ παραρτήματς Α. Οπότε τ μητρώ περιστρφής L είναι 3 csθ csψ sinφsinθcsψ csφsinψ csφsinθ csψ + sinφsinψ = csθ sinψ sinφsinθsinψ + csφcsψ csφsinθsinψ sinφcsψ.4.3 sinθ sinφcsθ csφcsθ L και ι συντεταγμένες της τρχιάς βρίσκνται από την λύση της παρακάτω διαφρικής εξίσωσης. 7

8 x y = X = L z V.4.4 Πρσανατλισμός αερσκάφυς Ο πρσανατλισμός τυ αερσκάφυς βρίσκεται από την λύση μίας διαφρικής εξίσωσης πυ δίνει τις τιμές των γωνιών ler. Υπθέτυμε ότι τ αερσκάφς υπόκειται σε μικρή μεταβλή τύ πρσανατλισμύ κατά ( ψ +Δ ψ), ( θ + δθ), ( φ+ δφ) σε χρόν Δ t. Τα μναδιαία διανύσματα κατά μήκς των αξόνων x, y, z 3 είναι i 3, j, k πότε τ διάνυσμα περιστρφής δίνεται από Δ n= i Δφ + jδθ + k Δψ όπυ τα μναδιαία διάνυσμα στ σύστημα F Β πυ είναι πρσαρμσμέν στ αερσκάφς είναι 0 sinθ 3 = 0, = csφ i, = csθsinφ j k 0 sinφ csθ csφ και η γωνιακή ταχύτητα βρίσκεται από την Εξ. (.4.4) Δn ω= 3φ + θ + ψ Δt = i j k.4.5 αλλά ω =[p, q, r] T δηλαδή ω = i φ + j θ + k ψ Β 3Β Β Β ή δηλαδή p 0 0 sinφ φ φ q = csφ csθcsφ θ = R θ r sinφ csθcsφ ψ ψ φ 0 sinφtnθ csφtnθ p p θ csφ sinφ q T q = = ψ sinφsecθ csφsecθ r r

9 .5 Εξισώσεις κίνησης ler Η Εξ. (..5) δείχνει ότι για τν πρσδιρισμό της ρπής απαιτείται να υπλγίσυμε την παράγωγ της γωνιακής ρμής ή στρφρμής, h.η παράγωγς τυ διανύσματς h περιέχει τις ρπές αδράνειας γύρω από τυς άξνες πυ χρησιμπιύνται για την περιγραφή της κίνησης τυ αερσκάφυς. Όταν ι άξνες αυτί είναι σταθερί σε σχέση με τ αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, τότε τα λκληρώματα πυ απαιτύνται για τν υπλγισμό των ρπών αδράνειας είναι μεταβλητές στις εξισώσεις κίνησης. Η χρήση των εξισώσεων κίνησης σε αυτή την μρφή δεν είναι εύκλη και πρτιμάμε να εκφράσυμε τις εξισώσεις κίνησης στ σύστημα συντεταγμένων F για τ πί ι ρπές αδράνειας είναι σταθερές. Η εξίσωση ισρρπίας δυνάμεων στ σύστημα F είναι f = mv.5. Η παραπάνω σχέση στ σύστημα F πυ είναι πρσαρμσμέν στ κινύμεν αερσκάφς βρίσκεται με μετασχηματισμό συντεταγμένων πλλαπλασιάζντας με τ μητρώ L ( ) d L f = m ( L V ) = m L V + L V.5. dt Οι σχέσεις μετασχηματισμύ παραγώγυ διανύσματς και μητρώυ δίννται αναλυτικά στ παράρτημα Α, όπυ απδεικνύεται ότι L = L ω.5.3 Με την παραπάνω σχέση μετασχηματισμύ η Εξ. (.5.) γίνεται ( ω ) L f = m L V + L V και πλλαπλασιάζντας την παραπάνω σχέση εξ αριστερών με τ αντίστρφ βρίσκυμε f ( ω ) = m V + V.5.4 Επαναλαμβάνντας την παραπάνω διαδικασία για την εξίσωση της ρπής βρίσκυμε ότι η ρπή στ σύστημα συντεταγμένων F πυ είναι πρσαρμσμέν στ κινύμεν αερσκάφς δίνεται από M = h +ω h.5.5 Η συνλική δύναμη είναι τ άθρισμα των αερδυναμικών φρτίων δύναμης της βαρύτητας mg A, και της 9

10 f = mg + A Οι συνιστώσες των αερδυναμικών φρτίων είναι A = [ X, Y, Z] Τ της βαρύτητας στ σύστημα F είναι.5.6 και τ διάνυσμα 0 mg = ml g = ml g Οι συνιστώσες τυ διανύσματς ταχύτητας τυ αερσκάφυς V εκπεφρασμένες στ αδρανειακό F Ε είναι V = [,v, w ]. Τ διάνυσμα της γωνιακής ρμής στ σύστημα F είναι h = IωΒ, και τ μητρώ περιστρφής στην Εξ. (.5.5) είναι 0 r q ω = r 0 p q p 0 Οι συνιστώσες τυ διανύσματς της ρπής M στ σύστημα F συμβλίζνται ως M = [ L, M, N] Τ. Τ αερσκάφς θεωρείται σαν ένα απόλυτα στερεό σώμα, δηλαδή I = 0. Με τυ παραπάνω συμβλισμύς και ι εξισώσεις κίνησης τυ αερσκάφυς πυ εκφράζνται σε διανυσματική μρφή από τις Εξ. (.5.4) και (.5.5) δίννται σε μρφή συντεταγμένων από τις παρακάτω σχέσεις. X mg sin θ = m( r v + q w ) Y mg csθsin φ = m( r + v p w ) Z mg csθcs φ = m( q + p v + w ).5.8 L = I p I q + r I r + pq I q rp I I qr x yz( ) zx( ) xy( ) ( y z) M = Iq I r p I p+ qr I r pq I I rp y zx( ) xy( ) yz( ) ( z x) N = I r I p q I q + rp I p qr I I pq z xy( ) yz( ) zx( ) ( x y).5.9 Οι εξισώσεις κίνησης (.5.8) και (.5.9) ισχύυν για πιδήπτε ρθγώνι σύστημα συντεταγμένων πυ είναι πρσαρτημέν στ αερσκάφς (δες Σχ..5.) και έχει αρχή στ σημεί πυ είναι τ ΚΒ τυ αερσκάφυς. Επειδή τα αερσκάφη είναι περίπυ συμμετρικά, υπθέτυμε τέλεια συμμετρία ως πρς τ επίπεδ xz και θεωρύμε η φρά τυ άξνα x είναι στην κατεύθυνση κίνησης, η φρά τυ άξνα y κατά μήκς της δεξιάς πτέρυγας, και η φρά τυ άξνα z με 0

11 κατεύθυνση πρς τ έδαφς. Με τις παραπάνω υπθέσεις I I 0 εξισώσεις ισρρπίας ρπών γίννται xy = = και ι yz L = I p I ( r + pq) ( I I ) qr x zx y z M = Iq I r p I I rp y zx( ) ( z x) N = I r I ( p + qr) ( I I ) pq z zx x y.5.0 Σχήμα.5. Συμβλισμί δυνάμεων και ρπών Κύριι άξνες Όταν ι άξνες συντεταγμένων εκλέγνται στην κατεύθυνση των κυρίων αξόνων η ρπή αδράνειας I xz = 0 και ι εξισώσεις κίνησης ισρρπίας ρπών περαιτέρω απλπιύνται ως L = I p ( I I ) qr x y z M = Iq ( I I) rp y z x N = I r ( I I ) pq ενώ z x y h x Ix 0 0 p hy 0 Iy 0 q = h z 0 0 I r z.5.

12 Άξνες ευστάθειας Οι άξνες ευστάθειας xs, ys, z S (δες Σχ..5.) είναι τ σύστημα αξόνων πυ πρκύπτει όταν άξνας x είναι στην κατεύθυνση κίνησης, δηλαδή ευθυγραμμισμένς με τ διάνυσμα της ταχύτητας τυ αερσκάφυς πυ εκτελεί συμμετρική πτήση, δηλαδή έχει τρχιά χωρίς πλάγια κίνηση (yw). Στην περίπτωση αυτή έχυμε v=w=0 και ι εξισώσεις κίνησης απλπιύνται σημαντικά. Οι ρπές αδράνειας Ix, Iz, I zx στ σύστημα συντεταγμένων ευστάθειας εκφράζνται σαν συνάρτηση των ρπών αδράνειας I, I ως πρς τυς κύριυς άξνες x, z από τις παρακάτω σχέσεις P P x P z P V I = I cs ε + I sin x xp zp I = I sin ε + I cs x xp zp I = 0.5( I I )sin ε zx z p xp ε ε.5. όπυ ε είναι η γωνία μεταξύ των κυρίων αξόνων xp, zp και των αξόνων ευστάθειας xs, y S. Όταν ι άξνες τυ συστήματς συντεταγμένων δεν συμπίπτυν με τυς άξνες ευστάθειας OxSySz S ή τυς κύριυς άξνες OxPyPz P τότε άξνας Ox εκλέγεται κατά μήκς της γραμμής αναφράς τυ αερσκάφυς. Σχήμα.5. Άξνες ευστάθειας και κύριι άξνες.

13 .6 Επίδραση περιστρφής στις εξισώσεις κίνησης Η γωνιακή ρμή, h, στα πρηγύμενα κεφάλαια υπλγίστηκε για.απόλυτα στερεό σώμα και αμελώντας την ρπή πυ πρέρχεται από περιστρεφόμενα μέρη όπως αυτά πυ περιέχνται στ πρωθητικό σύστημα. Οι επιπρόσθετες γωνιακές ρμές από τα περιστρεφόμενα μέρη τυ αερσκάφυς, όπως ι πρπέλες και στόβιλς των Ox y z πρέπει λιπόν μηχανών trbjet, ως πρς τυς άξνες τυ αερσκάφυς να πρστεθύν στις εξισώσεις κίνησης πυ βρήκαμε στ πρηγύμεν κεφάλαι. Η ' γωνιακή ρμή των περιστρεφόμενων μερών συμβλίζεται με, h, και έχει συνιστώσες h=(h,h,h ), στ σύστημα F. Τότε η συνλική γωνιακή ρμή είναι ' ' ' ' x z z h =I ω +h.6. ' Β Δηλαδή σαν απτέλεσμα της περιστρφής πρπέλας η στρβίλυ έχυμε τυς παρακάτω επιπρόσθετυς όρυς στις εξισώσεις κίνησης L εξίσωση qh rh M εξίσωση rh ph N εξίσωση ph qh ' z ' x ' y ' y ' z ' x.6. Οι παραπάνω όρι νμάζνται γυρσκπικά ζεύγη. Αν για παράδειγμα υπθέσυμε ότι έχυμε μία πρπέλα πυ περιστρέφεται γύρω από τν άξνα Ox με γωνιακή ταχύτητα Ω p η επιπρόσθετη γωνιακή ρμή πυ αναπτύσσει είναι πότε ι γυρσκπικί όρι είναι (0, I Ω r, IΩ q) p p h ' = i I Ω p.7 Εξισώσεις κίνησης συμμετρικής πτήσης Οι εξισώσεις πυ περιγράφυν συμμετρική πτήση αερσκάφυς με περιστρεφόμενα μέρη είναι. X mg sin θ = m( + q w r v ) Y+ mg csθsin φ = m( v + r p w ) Z+ mg csθcs φ = m (w + p v q ).7. L = I p I q + r I r + pq I q rp I I qr + qh rh x yz( ) zx( ) xy( ) ( y z) [ z y ] M = Iq I r p I p+ qr I r pq I I rp+ rh ph y zx( ) xy( ) yz( ) ( z x) [ x z ] N = I r I p q I q + rp I p qr I I pq + ph qh z xy( ) yz( ) zx( ) ( x y) [ y x ] p = φ ψ sinθ q = θ csφ + ψ csθsinφ r = ψ csθcsφ θsinφ

14 φ = p+ ( qsinφ+ rcs φ)tnθ θ = qcsφ rsinφ ψ = ( qsinφ+ rcs φ)secθ x y z = csθ cs ψ + υ (sinφsinθcsψ csφsin ψ) + w (csφ sinθ csψ + sinφsin ψ) = csθ sin ψ + υ (sinφsinθsinψ + csφcs ψ) = sinθ + υ sinφsinθ = + W υ = υ+ W x y w = w+ W z + w (csφ sinθsinψ sinφcs ψ) + w csφcsθ Οι παραπάνω εξισώσεις είναι γενικές και ισχύυν με τις παρακάτω πρϋπθέσεις:. Τ αερσκάφς είναι απόλυτα στερεό σώμα. Τ επίπεδ xz είναι επίπεδ συμμετρίας 3. Οι άξνες περιστρφής πρπελών ή μηχανών trbjet έχυν καθρισμένη κατεύθυνση σχετικά με τυς πρσαρτημένυς στ αερσκάφς άξνες και εκτελύν περιστρφή με σταθερή ταχύτητα. Οι εξισώσεις κίνησης απτελύν ένα σύστημα 5 συνήθων διαφρικών εξισώσεων ως πρς τν χρόν. Οι δυνάμεις X, Y, Z και ι ρπές L, M, N στις εξισώσεις κίνησης εξαρτώνται από την σχετική ως πρς τ αέρα κίνηση τυ αερσκάφυς πυ περιγράφεται από τ διάνυσμα της ταχύτητας V και την γωνιακή ταχύτητα ω. Για δεδμένη ταχύτητα και γωνιακή ταχύτητα ι γωνίες των επιφανειών ελέγχυ και τ διάνυσμα της ώσης είναι δεδμένα. Συνεπώς, υπτίθεται ότι ι έξι δυνάμεις και ρπές είναι συναρτήσεις των, v, w, p,q, r και ενός διανύσματς ελέγχυ πυ εξαρτάται από τις γωνίες ilern, δ, elevtr δe, rdder, δr, και την ρύθμιση ώσης δp. = [ δα, δε, δ r, δ p] Τ διάνυσμα της ταχύτητας τυ αέρα, W, είναι γνωστό για τ σύστημα F και στ σύστημα F είναι W = L W. Οι εξαρτημένες μεταβλητές τυ συστήματς των 5 διαφρικών είναι ι παρακάτω δώδεκα πσότητες: (3) Θέση τυ ΚΒ, x, y, z (3) Γωνίες ler ψ, θ, φ (3) Συνιστώσες της ταχύτητας, v, w και ι (3) Συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας p, q, r Τ 4

15 Από τις δέκα πέντε (5) εξισώσεις, μόν ι δώδεκα () είναι ανεξάρτητες, διότι ι Εξ. (.7.3) και (.7.4) είναι υσιαστικά ίδιες. Η κίνηση τυ αερσκάφυς περιγράφεται από την λύση ενός συστήματς δώδεκα () εξισώσεων με δώδεκα () αγνώστυς. Ειδικές περιπτώσεις των εξισώσεων κίνησης για μηδενική ταχύτητα τυ αέρα παρυσιάζνται στα παρακάτω διαγράμματα των Σχ..7. και.7. Σχήμα.7. Ειδικές περιπτώσεις εξισώσεων κίνησης Σχήμα.7. Ειδικές περιπτώσεις εξισώσεων κίνησης Τα διαγράμματα των εξισώσεων δυνάμεων και ρπών, έχυν σαν είσδ και τ διάνυσμα ελέγχυ, πυ πρέπει να πρσδιριστεί ανάλγα με την πτητική κατάσταση. Διάφρες περιπτώσεις διανυσμάτων ελέγχυ πυ συχνά απαντώνται στην πράξη, παρυσιάζνται παρακάτω. 5

16 Πρβλήματα ευστάθειας σταθερύ ελέγχυ Θεωρείται ότι τ αερσκάφς υφίσταται μεταβλή της σταθερής πτητικής κατάστασης, χωρίς μεταβλή ελέγχυ (cntrls lcked in psitin) πότε τ διάνυσμα ελέγχυ είναι γνωστό ή έχει μηδενική τιμή. Για μικρές μεταβλές πτητικής κατάστασης ι εξισώσεις μπρεί να γραμμικπιηθύν. Πρβλήματα ευστάθειας ελεύθερυ ελέγχυ Η περίπτωση αυτή αφρά μόν αερσκάφη με χειρκίνητα συστήματα ελέγχυ όπυ υπτίθεται ότι ένα ή περισσότερα από τα κύρια συστήματα ελέγχυ είναι ελεύθερα. Η μεταβλή των γωνιών ελέγχυ στν χρόν, είναι απτέλεσμα αλληλεπίδρασης αερδυναμικών φρτίων δυναμικής συμπεριφράς αερσκάφυς και των συστημάτων ελέγχυ πυ όπως είδαμε στα πρηγύμενα κεφάλαια θεωρύνται ότι έχυν ένα βαθμό ελευθερίας στ σύστημα F. Κάθε ελεύθερ σύστημα ελέγχυ πρσθέτει μία εξίσωση και μία εξαρτημένη μεταβλητή στ σύστημα των εξισώσεων κίνησης. Πρβλήματα ευστάθειας με αυτόματα συστήματα ελέγχυ Στην περίπτωση αυτή η απτελεσματικότητα των συστημάτων ελέγχυ μελετάται εφαρμόζντας αλλαγές κατά βήμα (step chnges) στις συνιστώσες τυ διανύσματς Τ ελέγχυ = [ δα, δε, δ r, δ p]. Οι εξισώσεις κίνησης γίννται τότε ένα μη μιγενές σύστημα συνήθων διαφρικών για τις μεταβλητές (, v, w), ( p, q, r), και ( ψ, θ, φ ) ενώ ι επιβεβλημένες δυνάμεις Χ, Υ, Ζ και ρπές L, M, N εξαρτώνται από τις γωνίες ελέγχυ. Απόκριση στην ατμσφαιρική τύρβη Τα φρτία πυ εξασκύνται στ αερσκάφς και η κίνηση τυ επηρεάζνται σημαντικά από την ατμσφαιρική τύρβη, η ύπαρξη της πίας πρέπει να λαμβάνεται σβαρά στν σχεδιασμό και την λειτυργία τυ αερσκάφυς. Τ γενικό μαθηματικό πρόβλημα επιλύεται με τις γενικές εξισώσεις κίνησης πυ αναπτύχθηκα όπυ η ταχύτητα, v, w πυ εμφανίζεται σε αυτές μεταβάλλεται από σημεί σε σημεί ανάλγα με την ατμσφαιρική τύρβη. Αντίστρφα πρβλήματα Τα πρβλήματα αυτά είναι της μρφής: Δεδμένης της κατάστασης και της τρχιάς τυ αερσκάφυς αναζητύμε να βρύμε τι πρέπει να κάνει κυβερνήτης για να τις υλπιήσει. Η επίλυση αυτών των πρβλημάτων πραγματπιείται όταν πραγματπιήσει αν μερικές από τις μεταβλητές των εξισώσεων κίνησης πρδιαγράφνται σαν συναρτήσηεις τυ χρόνυ. 6

17 .8 Θεωρία μικρών διαταραχών Οι εξισώσεις κίνησης συχνά γραμμικπιύνται για να διευκλύνυν την μελέτη και πρακτική αντιμετώπιση πρβλημάτων ευστάθειας και ελέγχυ πτήσης. Για την γραμμικπίηση υπτίθεται ότι η κίνηση τυ αερσκάφυς συνίσταται από μικρές παρεκκλίσεις από την κατάσταση αναφράς πυ θεωρείται η ευσταθής πτήση χωρίς επιτάχυνση. Η εφαρμγή της γραμμικπιημένης θεωρίας μικρών διαταραχών βρέθηκε ότι δίνει πλύ καλές πρβλέψεις στις πρακτικές εφαρμγές. Πρβλέπει για παράδειγμα με ικανπιητική ακρίβεια την πτήση χωρίς επιτάχυνση αλλά δεν είναι κατάλληλη για την περιγραφή κινήσεων με μεγάλες απκλίσεις των γωνιών ler από την κατάσταση αναφράς. Οι κύριι λόγι για τυς πίυς η θεωρία μικρών διαταραχών έχει επιτυχημένη εφαρμγή στην πράξη είναι: () Πλλά από τα κύρια αερδυναμικά φαινόμενα εκφράζνται από περίπυ γραμμικές συναρτήσεις μικρών διαταραχών. Παραδείγματς χάριν, η μεταβλή της άντωσης και της ρπής είναι περίπυ γραμμικές για μικρές παρεκκλίσεις ή διαταραχές, (pertrbtins r distrbnces) της γωνίας πρόσπτωσης ή της ταχύτητας πτήσης. () Παρ όλν ότι μικρές διαταραχές της γραμμικής ή της γωνιακής ταχύτητας μπρεί να πρκαλέσυν σβαρές απκλίσεις από την κατάσταση αναφράς, η μαθηματική περιγραφή αυτών των απκλίσεων από τις γραμμικπιημένες εξισώσεων κίνησης είναι επαρκής. Στην θεωρία μικρών διαταραχών ι τιμές όλων των μεταβλητών στην κατάσταση αναφράς συμβλίζνται με δείκτη μηδέν, π.χ. η ταχύτητα αφράς συμβλίζεται ως Οι δε τιμές των μικρών διαταραχών ή απκλίσεων από την κατάσταση αναφράς συμβλίζνται με τ πρόθεμα Δ, π.χ. με την διαδικασία πυ ακλυθείται στην γραμμικπίηση των εξισώσεων της μηχανικής των ρευστών ή της δυναμικής, και για την γραμμικπίηση των εξισώσεων κίνησης όλες ι διαταραχές και ι παράγωγί τυς υπτίθεται μικρές συνεπώς τα γινόμενά τυς είναι αμελητέα. Περαιτέρω απλύστευση επιτυγχάνεται υπθέτντας ότι η κατάσταση αναφράς είναι συμμετρική πτήση και ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι μηδέν, δηλαδή θεωρώντας ότι + Δ. Παρόμια v = p = q = r = φ = ψ = 0. Επί πλέν, για την ανάπτυξη της θεωρίας μικρών διαταραχών εκλέγυμε σαν άξνες αναφράς τυς άξνες ευστάθειας τυ συστήματς, δηλαδή w = 0 και η ταχύτητα αναφράς της πτήσης είναι ενώ η γωνία αναφράς ανόδυ είναι θ, όπυ θ δεν είναι κατ ανάγκη μικρή γωνία. Σύμφωνα με τις παραπάνω υπθέσεις, και χρησιμπιώντας τις παρακάτω απλπιήσεις των τριγωνμετρικών συναρτήσεων, πυ ισχύυν για μικρές διαταραχές, καταλήγυμε στις πλύ απλύστερες εξισώσεις πυ περιγράφυν την κίνηση αερσκάφυς για μικρές διαταραχές από την κατάσταση πτήσης αναφράς. sin( θ +Δ θ) = sinθ cs Δ θ + csθ sin Δθ 0 0 sinθ +Δθcsθ cs( θ +Δ θ) = csθ cs Δ θ + sinθ sin Δθ csθ Δθsinθ.8. 7

18 Κάνντας δύ επιπρόσθετες υπθέσεις, ότι τα περιστρεφόμενα μέρη έχυν πλύ μικρή συνεισφρά και ότι η ταχύτητα τυ ανέμυ είναι μηδέν, πυ γίννται για να απλπιήσυν ακόμη περισσότερ τ μαθηματικό μας μντέλ, βρίσκυμε τις παρακάτω γραμμικές εξισώσεις κίνησης πυ περιέχυν μόν τυς όρυς πρώτης τάξης για τις διαταραχές. X +ΔX mg(sinθ +Δ θcs θ ) = m Δθ Y +Δ Y+ mg cs θ = m( υ+ r) Z +Δ Z + mg(csθ Δ θsin θ ) = m( w q) L +Δ L = I p I r M +Δ M = I q z x y zx zx N +Δ N = I r I p Δ θ = q φ = p+ rtnθ p = φ ψ sinθ ψ = r secθ x = ( +Δ)csθ Δ θsinθ + wsinθ y = ψ csθ + υ z = ( +Δ)sinθ Δ θcsθ + wcsθ Η κατάσταση αναφράς πτήσης βρίσκεται από τις παραπάνω εξισώσεις όταν όλες ι τιμές των διαταραχών μηδενισθύν, όπότε βρίσκυμε X mg sin = 0 Y = 0 Z + mg csθ = 0 θ L = M = N = x y z = csθ = 0 = sinθ Αντικαθιστώντας την κατάσταση αναφράς από τις παρπάνω σχέσεις στις γραμμικπιημένες εξισώσει κίνησης (δες Εξ. (.8.) (.8.5)) και υπθέτντας ότι ι απκλίσεις των επιφανειών ελέγχυ (ilern, rdder ) είναι μηδενικές βρίσκυμε 8

19 ΔΧ Δ = gδθcsθ m ΔΥ υ = + g φ csθ r m ΔZ w = gδ θsinθ + q m ( I zδ L+ I ΔN) p = II ΔM q = I y xz x z Ixz ( I zxδ L+ I ΔN) r = II x x z Izx Δ θ = q φ = p+ rtnθ p = φ ψ sinθ ψ = r secθ x = Δ csθ Δ θsinθ + wsinθ y = ψ csθ + υ z = Δ sinθ Δ θcsθ + wcsθ Τα αερδυναμικά φρτία δεν εξαρτώνται μόν από την πτητική κατάσταση (κατάσταση αναφράς) αλλά και τις μεταβλές από αυτή. Παραδείγματς χάριν, όταν η γωνία πρόσπτωσης μεταβάλλεται στν χρόν, α = α() t, η μεταβλή της άντωσης πτέρυγας, L, ως πρς τν χρόν, Lt (), δεν εξαρτάται μόν από την στιγμιαία τιμή της γωνίας αλλά και από όλες τις πρηγύμενες τιμές της. Αυτό είναι πρφανές διότι η πτέρυγα δημιυργεί απόρευμα και στρβιλισμός τυ απρεύματς επάγει ταχύτητες πάνω στην πτέρυγα. Η υστέρηση πυ υπάρχει στην επαγωγή της φρτίων από τ απόρευμα στην πτέρυγα έχει σαν απτέλεσμα την εξάρτηση της άντωσης από τις πρηγύμενες τιμές της γωνίας πρσβλής α και εν γένει από την πρηγύμενη κατάσταση κίνησης. Η εξάρτηση της άντωσης από τις πρηγύμενες τιμές της γωνίας πρόσπτωσης εκφράζεται ως Lt () = L( α( τ)) < τ t.8. Αναπτύσσντας την μεταβλή της γωνίας πρόσπτωσης α () t σε σειρά Tylr έχυμε 3 ( τ t) ( τ t) ατ ( ) = α( t) + ( τ t) α( t) + α( t) + α( t) ! 3! 9

20 Με αντικατάσταση τυ παραπάνω αναπτύγματς στην Εξ. (.8.) βρίσκυμε όπυ α, α, α είναι ι τιμές στν χρόν α, α, α για την άντωση είναι Lt ( ) = Lα (, α, α,...).8.3 t. Τ ανάπτυγμα Tylr ως πρς Δ Lt = L Δ α + L! Δ α + + L Δ α + L! Δ α + + L Δ α + L! Δ α + ( ) α( ) αα( )... α( ) αα( )... α( ) αα ( ) Στην παραπάνω σχέση ι όρι L α, L α, L α κ.λ.π. νμάζνται αερδυναμικές παράγωγι ευστάθειας L Lα =.8.5 α α ( t ) Η κύρια υπόθεση της γραμμικής αερδυναμικής θεωρίας είναι ότι τα αερδυναμικά φρτία μπρεί να περιγραφύν επαρκώς μόν από τυς γραμμικύς όρυς της Εξ. (.8.4) ακόμα και στην περίπτωση πυ η μεταβλή Δ α() t δεν είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή Δ Lt ( ) = L( Δ α) + L( Δ α) + L( Δ α) α α α Στ παρελθόν έχει καταβληθεί σημαντική πρσπάθεια για να επιτευχθεί ακριβής πρσδιρισμός των παραγώγων ευστάθειας, παρόμιων με εκείνες πυ εμφανίζνται στην Εξ. (.8.6). Ο πρσδιρισμός των αερδυναμικών παραγώγων σε διάφρες καταστάσεις πτήσης θα απτελέσει τ αντικείμεν μελέτης τυ επόμενυ κεφαλαίυ. Γραμμικές εξισώσεις κίνησης συμμετρικής πτήσης Στην συμμετρική κατάσταση πτήσης η πλάγια δύναμη Υ είναι μηδενική, δεν υπάρχει ρπή περιστρφής (rlling mment) L και πλάγια ρπή (ywing mment) N, και τ επίπεδ συμμετρίας παραμένει σταθερό κατά την διάρκεια της πτήσης. Για την κατάσταση της συμμετρικής πτήσης, ι όρι β, p, r, φψ, είναι μηδέν. Επίσης μηδενικές είναι και ι τιμές των παραγώγων των αερδυναμικών φρτίων Y, L, N ως πρς τις συμμετρικές μεταβλές τη κίνησης, w, q. Οι γραμμικπιημένες μεταβλές κίνησης σε συμμετρική κατάσταση πτήσης μπρεί να γραφύν στην μρφή της Εξ. (.8.6) ως ακλύθως 0

21 ΔΧ =ΧΔ +Χ ww +ΔΧc ΔΥ=Υ υυ +Υ p+υ r +ΔΥ ΔΖ=Ζ Δ +Ζ w+ζ w +Ζ q +ΔΖ Δ L = Lυυ + Lpp+ Lrr +ΔLc Δ M = MΔ + M w+ M w + M q +ΔM Δ N = N υ + N p+ N r +ΔN p r c w w q c υ w w q c p r c.8.7 όπυ δείκτης αναφέρεται στις δυνάμεις και ρπές πυ φείλνται στ σύστημα ελέγχυ. Πρέπει να σημειωθεί ότι στις Εξ. (.8.7) έχυν γίνει ι επιπρόσθετες παραδχές:. Όλες ι παράγωγι των συμμετρικών δυνάμεων και ρπών ως πρς τις μη-συμμετρικές μεταβλές είναι αμελητέες. Αμελύνται ι παράγωγι ως πρς τν ρυθμό μεταβλής εκτός από τις παραγώγυς Z και M. w w X 3. Αμελείται η παράγωγς q Αντικατάσταση των γραμμικπιημένων μεταβλητών κίνησης από τις Εξ. (.8/7) στις Εξ. (.8.7) (.8.0) δίνει τις παρακάτω γραμμικές εξισώσεις κίνησης για την κατά μήκς και κατά πλάτς κίνηση τυ αερσκάφυς σε μικρές διαταραχές από την κατάσταση αναφράς συμμετρικής πτήσης. Κατά μήκς εξισώσεις Δ Δ ΔΧc m w w ΔΖc [ ] m = A + Ζw q q ΔM Mw ΔΖc + Iy Iy ( m Ζw) Δ θ Δθ Χ Χw 0 g csθ m m Ζ Ζ Ζ q + m w mg sinθ [ ] m w m w m w m A = Ζ Ζ Ζ Ζ w M Mw( q m) w M Ζ + w w mgsinθm Ζ Ζ w M + Mw + Mq + Iy ( m Ζw) Iy ( m Ζw) Iy ( m Ζw) Iy( m Ζw) x = Δ csθ Δ θsinθ + wsinθ z = Δ sinθ Δ θcsθ + wcsθ

22 Κατά πλάτς εξισώσεις υ Υ Υ υ p Υ υ r ΔΥ c gcsθ m m m m p L L ' p ' Lr ' L υ p Δ c ' + I 0 I ' zxn I ' zxnp I ' zxnr ' zxn υ c I I x Ix I = x + x r N N ' Nυ ' p ' N r r Δ c ' IzxLυ + I 0 ' zxlp + I ' zxlr + ' I ' zxl Iz Iz I + c z I z φ 0 tnθ 0 φ I = ( I I I )/ I, I = ( I I I )/ I, I = I /( I I I ) ' ' ' x x z zx z z x z zx x zx zx x z zx ψ = r secθ Δ y = ψ csθ + υ Οι παραπάνω εξισώσεις (.8.8) και (.8.9) είναι δύ ανεξάρτητα συστήματα γραμμικών συνήθων διαφρικών εξισώσεων πρώτης τάξης πυ περιγράφυν την κατά μήκς και κατά πλάτς κίνηση τυ αερσκάφυς Για παράδειγμα, όταν όλες ι κατά πάτς μεταβλές είναι μηδενικές φ = v= p= r =ΔΥ =ΔL =ΔΝ = 0, τότε ι κατά πλάτς γραμμικές εξισώσει κίνησης, Εξ. (.8.9) επαληθεύνται αυτόματα. Επί πλέν, ι εναπμένυσες κατά μήκς γραμμικές εξισώσεις κίνησης Εξ. (.8.8) απτελύν ένα σύστημα έξι συνήθων γραμμικών διαφρικών εξισώσεων για τις έξι μεταβλητές Δ, w, q, Δθ, Δx, Δ z. Συνψίζντας έχυμε ότι, η κίνηση πυ περιγράφεται από τ σύστημα των έξι κατά μήκς εξισώσεων, Εξ. (.8.8), είναι συμμετρική ή κατά μήκς κίνηση και εξαρτάται μόν από τις κατά μήκς μεταβλητές Δ, w, q, Δθ, Δx, Δ z. Αντίστιχα η κίνηση πυ περιγράφεται από τις έξι κατά πλάτς εξισώσεις, Εξ. (,8.9) αφρά πλάγια κίνηση πυ εξαρτάται από τις κατά πλάτς μεταβλητές φ, ψ, v, p, r, y. Οι καθαρά κατά μήκς κίνηση περιγράφεται από τις γραμμικές εξισώσεις όταν. Υπάρχει επίπεδ συμμετρίας κίνησης.. Οι περιστρφικές κινήσεις των συστημάτων πρόωσης έχυν μικρή συνεισφρά. Οι καθαρά πλάγιες κινήσεις περιγράφνται από τις γραμμικές εξισώσεις κίνησης όταν. Η περιστρφή τυ πρωθητικύ συστήματς δεν επηρεάζει σημαντικά την πλάγια κίνηση τυ αερσκάφυς.. Η σύζευξη με την κατά μήκς κίνηση είναι αμελητέα. Οι γραμμικές εξισώσεις κίνησης είναι της μρφής x = Ax+c.8.0

23 Η παραπάνω μρφή είναι γνωστή και σαν μρφή διανύσματς κατάστασης (stte vectr frm), όπυ X συμβλίζει τ διάνυσμα κατάστασης, τ διάνυσμα ελέγχυ, και A, είναι τα μητρώα τυ συστήματς. Τα διανύσματα κατάστασης για την κατά πλάτς και κατά μήκς κινήσεις είναι κατά μήκς Χ =[Δ, w, q, Δθ] Τ κατά πλάτς Χ =[v, p, r, φ] Τ.8. Οι μεταβλητές x, y, z, καί ψ δεν είναι μέρς τυ διανύσματς κατάστασης..9 Αδιάστατ σύστημα Τ μεγάλ πλενέκτημα πυ παρέχυν ι αδιάστατες μρφές των εξισώσεων και ι αδιάστατι συντελεστές πυ πρκύπτυν είναι γνωστά από την μηχανική των ρευστών (εξισώσεις Nvier-Stkes και αδιάστατι αριθμί Reynlds, Prndtl, Mch, κ.λ.π) και την αερδυναμική (αδιάστατι συντελεστές για τα αερδυναμικά φρτία, όπως άντωσης, πισθέλκυσας κ.λ.π.). Η χρήση των αδιάστατων αριθμών και συντελεστών απαλείφει την εξάρτηση από την ταχύτητα, μέγεθς (χαρακτηριστικό μήκς), την πυκνότητα κ.λ.π. Κατά τν ίδι τρόπ, είναι αναγκαί να βρύμε αδιάστατυς συντελεστές για πλλές από τις παραγώγυς πυ εμφανίζνται στις εξισώσεις κίνησης. Στην μηχανική της πτήσης όμως, αντίθετα με την μηχανική των ρευστών και την κλασσική αερδυναμική δεν υπάρχει ένας μναδικός τρόπς ρισμύ αδιάστατων αριθμών και μεγεθών. Στ κεφάλαι αυτό λιπόν θα παρυσιάσυμε τ σύστημα πυ ρίσθηκε από την NASA και χρησιμπιήθηκε μέχρι σήμερα σε ευρεία κλίμακα. Η παρυσίαση της αδιάστατης μρφής των εξισώσεων κίνησης γίνεται πι κατανητή όταν κάνυμε μία σύντμη αναδρμή της αδιάστατης ανάλυσης πυ αφρά τ γενικό πρόβλημα της δυναμικής της πτήσης. Στην ανάλυση πυ θα παρυσιάσυμε θεωρύμε ένα σύνλ αερσκαφών πυ είναι όμια γεωμετρικά και εκτελύν μη επιταχυνόμενη, ανεξάρτητη από τν χρόν κίνηση με διαφρετικές ταχύτητες. Τ μέγεθς όμως των αερσκαφών στην ανάλυσή μας δεν είναι τ ίδι. Υπθέτυμε ότι σε ένα από τα αερσκάφη επιβάλλεται μία διαταραχή πυ έχει σαν απτέλεσμα την μεταβλή ως πρς τν χρόν κάπιας αδιάστατης μεταβλητής Π. Η μεταβλητή Π μπρεί να είναι παράγντας φόρτισης της πτέρυγας, η γωνία περιστρφής κ.λ.π. Η παραπάνω διαδικασία για τ συγκεκριμέν αερσκάφς τυ συνόλυ εκφράζεται μαθηματικέ από την σχέση Π = f () t.9. Στην περίπτωση πυ η παραπάνω εξίσωση απαιτείται να εκφράζει την συμπεριφρά όλων των αερσκαφών πυ θεωρήσαμε, η μεταβλητή Π δεν είναι συνάρτηση μόν τυ χρόνυ αλλά και των μεταβλητών,ρ,m,l(μήκς), g, M, t, ή πιθανώς και άλλων ακόμα μεταβλητών, δηλαδή Π= f (,ρ,m,l,g,m,t).9. Στην παραπάνω σχέση υπάρχυν 8 μεταβλητές Π,, ρ,m,l,g,m,t όπυ είναι η ταχύτητα αφράς, ρ είναι η πυκνότητα, L κάπι χαρακτηριστικό μήκς όπως τ μήκς χρδής της πτέρυγας, m είναι η μάζα, t είναι χρόνς, και Μ είναι αριθμός Mch. 3

24 T Π-θεώρημα τυ ckinghm επιβάλει, ότι ι παρακάτω πσότητες στην Εξ. (.9.), πυ εξαρτώνται και περιγράφνται με τρεις βασικές διαστάσεις, L, M, T, συνδένται με 8 3= 5 ανεξάρτητυς αδιάστατυς συνδυασμύς των κτώ πστήτων. Δηλαδή, αυτές ι πέντε Π-συναρτήσεις μπρεί να θεωρηθύν και σαν ι μναδικές μεταβλητές στην Εξ. (.9.) στην θέση των 8 αρχικών μεταβλητών. Επί πλέν, δυ αερσκάφη από τ σύνλ πυ θεωρήσαμε είναι δυναμικά όμια όταν όλες ι Π-συναρτήσεις τυ ενός είναι και αριθμητικά ίσες με αυτές τυ άλλυ. Οι αδιάστατι συνδυασμί πυ μπρύμε να σχηματίσυμε για την Εξ. (.9.) είναι: m t Π,M,,, 3 ρl L Lg και με την εφαρμγή τυ θεωρήματς τυ ckinghm βρίσκυμε m t Π= f M,,, ρl L Lg Στην παραπάνω σχέση ( ) /Lg είναι γνωστός αριθμός Frde, ( F=t/L) είναι η 3 ανιγμένη συχνότητα (redced freqency k= t/l) και όρς m/ρl γράφεται ως μ =m/ρsl όπυ S είναι μία χαρακτηριστική επιφάνεια. Δηλαδή, η Εξ. (.9.3) γράφεται Π= f ( M, μ, k, F).9.4 Η παραπάνω σχέση είναι μία συνάρτηση πέντε αντί για κτώ μεταβλητών. Οι πσότητες πυ πρέπει να αδιστατπιηθύν φαίννται στν πίνακα.. Η αδιάστατη μρφή των πστήτων φαίνεται στη τρίτη στήλη, ενώ στην δεύτερη στήλη δίνεται η πσότητα με την πία πρέπει να διαιρέσυμε για να πετύχυμε αδιαστατπίηση. Μέγεθς με διαστάσεις Πίνακας. Αδιάστατα μεγέθη των εξισώσεων κίνησης Διαιρέτης για τις γενικές εξισώσεις X, Y, Z ρ V S mg ρ V S M ρ V c ρ V b L, N Διαιρέτης για τις εξισώσεις μικρών διαταραχών αδιάστατ μέγεθς ρ V S X, Y, Z ρ V S W ρ V c m ρ V b,, v, w V ˆ ˆ ˆ, v, w α, q V / c / c α ˆ, qˆ β, p, r V / b / b ˆ β, pˆ, rˆ m ρ Sc/ ρ Sc/ μ Ι 3 3 ˆΙ y x z zx ρ S( c /) ρ S( b/) Ι, Ι, Ι 3 t S( c /) ρ y ( /) 3 ρ S b Ι x, Ι z, Ι zx * t c l ˆ ˆ ˆ = /( ) ˆt n 4

25 Αδιάστατες παράγωγι ευστάθειας Οι αδιάστατες παράγωγι ευστάθειας είναι ι μερικές παράγωγι τυ συντελεστή ρπής και δύναμης πυ περιλαμβάννται στις στήλες 4 των παρακάτω πινάκων. Πίνακας. Κατά μήκς παράγωγι (lngitdinl derivtives) û α ˆq ˆα x Z X Z X α m m Ζ α m α X ˆq Ζ ˆq m ˆq X α ˆ Ζ ˆ α m α ˆ Πίνακας.3 Κατά πλάτς παράγωγι (lterl derivtives) Y l n β ˆp ˆr β Y β l β n Y p ˆ l ˆp n ˆp Y r ˆ l ˆr n ˆr ˆ β Y ˆ l β ˆ β n ˆ β Με τυς ρισμύς των πινάκων..3 είναι δυνατόν να καταστήσυμε αδιάστατες τις εξισώσεις κίνησης. Η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων είναι δυνατή ανεξάρτητα από την μρφή των εξισώσεων. Η συνήθης πρακτική όμως είναι να χρησιμπιύνται ι εξισώσεις στην διαστατή τυς μρφή για την αριθμητική επίλυση και κατόπιν να παρυσιάζνται τα απτελέσματα της επίλυσης σε αδιάστατη μρφή. 5

26 .0 Παράγωγι ευστάθειας Παραδείγματα των παραγώγων ευστάθειας δίννται στυς πίνακες.4 και.5. Πίνακας.4 Κατά μήκς αδιάστατες παράγωγι Χ Ζ M ρs sinθ + ρs ρs z ρs w w x μ ρ csm w ρ Sx ρ Sz ρ csm q 4ρ cs x q 4ρ csz q 4ρ c S m q w 4ρcSx α 4 csz α 4ρ c S m α ρ Πίνακας.5 Κατά μήκς αδιάστατες παράγωγι Χ L N v ρ Sy β ρ bsl β ρ bsn β p 4ρ bs y p 4ρ b S l p 4ρ b S n p r 4ρ bs y r 4ρ b S l r 4ρ b S n r Στην συνέχεια τυ κεφαλαίυ αυτύ θα παρυσιάσυμε μια πι λεπτμερή ανάλυση ρισμένων σημαντικών παραγώγων ευστάθειας. Παράγωγι ως πρς z Η δύναμη στην κατεύθυνση z (δες Πίνακα.) είναι V = +v+w και για μικρές διαταραχές = +Δ, δηλαδή V S/ Ζ= Ζρ όπυ 6

27 Z V Z = = ρ S + ρ S Z Z.0. Όπυ δείκτης υπδηλώνει την κατάσταση πτήσης αφράς. Ζ Η παράγωγς ( V / ) είναι ( V / ) = /V, επίσης ( V / ) = και V S =Ζ /0.5ρ πότε Z Z = = ˆ Z.0. αλλά από την Εξ. (.8.6) έχυμε Ζ = mg csθ πότε Z = cs θ.0.3 w δηλαδή η παράγωγς ευστάθειας Ζ = (Z/ ) είναι Z = ρsw csθ + ρ SZ.0.4 Η παράγωγς ( V / w) = 0 πότε αλλά Z w = ( Ζ/ w) = ρ S ( Z / w).0.5 α x w w = tn ( / ) = tn [ /( +Δ )] πυ για μικρές απκλίσεις από την ισρρπία είναι α ( w/ ) και η παράγωγς ( / w) = ( / α )/ πότε x Z Z x Z w = ρs ( Z / αx) = ρs Z x α.0.3 Με τν ίδι τρόπ βρίσκυμε Ζ Ζ Z w = ρs( / w) = ρs = ρs w Z Zα x x.0.3 αλλά Ζ = c x Zα x.0.3 και Zw = ρ cs Z α 4 x.0.3 7

28 Η παράγωγς ως πρς τν ρυθμό περιστρφής q είναι Z q Z Z = = ρs q q.0.3 αλλά q= qˆ / c και Z = ρ c S.0.3 q Zq 4. Ελαστικί βαθμί ελευθερίας Στα πρηγύμενα κεφάλαια παρυσιάστηκαν ι εξισώσεις κίνησης πυ διέπυν την κίνηση με έξι βαθμύς ελευθερίας. Είναι όμως γνωστό, ότι η πτητική κατάσταση των αερσκαφών εξαρτάται από την δμική ακεραιότητα και τις ελαστικές παραμρφώσεις της δμής τυ αερσκάφυς, πυ επίσης επηρεάζυν και την ευστάθεια και τα χαρακτηριστικά ελέγχυ πτήσης. Η ανάλυση των ελαστικών παραμρφώσεων και ι αλλαγές πυ συνεπάγνται στις εξισώσεις κίνησης είναι αντικείμεν της αερελαστικότητας. Τ κεφάλαι αυτό όμως δεν έχει σκπό την πλήρη μελέτη των αερελαστικών φαινμένων, αλλά μόν να δείξει πως μπρύν ι παραμρφώσεις να συμπεριληφθύν στ μαθηματικό μντέλ πυ περιγράφει την κίνηση τυ αερσκάφυς. Τρππιήσεις των εξισώσεων κίνησης Υπθέτυμε ότι ι αδρανειακί όρι στιες εξισώσεις κίνησης πυ αναπτύξαμε στα πρηγύμενα κεφάλαια παραμένυν αμετάβλητι υπό την παρυσία των ελαστικών παραμρφώσεων. Στην πραγματικότητα όμως η κίνηση στερεύ σώματς δεν είναι τελείως ανεξάρτητη από τις ελαστικές παραμρφώσεις διότι ι ελαστικές παραμρφώσεις πρξενύν διαταραχές στα αερδυναμικά φρτία. Οι διαταραχές αυτές μπρεί να ληφθύν υπ όψη στις εξισώσεις κίνησης με την βήθεια κατάλληλων παραγώγων. Παραδείγματς χάριν, ι όρι πυ πρέπει να πρστεθύν στην ρπή περιστρφής (pitching mment), M, και συνδένται με τυς ελαστικύς βαθμύς ελευθερίας είναι: M ε + M ε + M ε = 0.. n n n n n n ε ε ε Οι επί πλέν εξισώσεις κίνησης είναι ι εξισώσεις κίνησης Lgrnge με γενικευμένες συντεταγμένες τα ε n. Παραδείγματς χάριν, εάν T είναι η κινητική ενέργεια της μετατόπισης πυ συνδέεται με την ελαστική παραμόρφωση σχετικά με τ σύστημα αναφράς F και U είναι η ενέργεια παραμόρφωσης (strin energy) τότε η γενικευμένη εξωτερική δύναμη f n είναι 8

29 d T T U = + f n dt ε n εn εn.. Αν θεωρήσυμε ότι μναδικός βαθμός ελευθερίας είναι ε n τότε ( ) T = x + y + z dm..3 Και όταν ι συντεταγμένες x, y, z περιγράφνται από (nrml mdes) όπως x() t = f ( x, y, z ) ε () t n= y() t = g ( x, y, z ) ε () t n= zt () = h( x, y, z) ε () t n= n n n n n n..4 η κινητική ενέργεια γίνεται T = ε ( f + g + h ) dm..5 n n n n όπυ τ λκλήρωμα είναι η γενικευμένη αδράνεια τυ n mde και συμβλίζεται με I n I f g h dm T n = ( n + n + n ) = I ε n n..6 Η ενέργεια παραμόρφωσης βρίσκεται με εφαρμγή της μεθόδυ Ryleight πυ επιβάλει ότι η μέγιστη παραμόρφωση είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια πυ έχυν τα στιχεία dm όταν διέρχνται από την θέση ισρρπίας όπυ η ενέργεια παραμόρφωσης είναι μηδενική. Δηλαδή, όταν υπθέσυμε ότι ε n = A sin ω nt η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι T mx = I A ω..7 n n Υπθέτντας ότι η σχέση τάσης παραμόρφωσης είναι γραμμική, βρίσκυμε ότι η ενέργεια παραμόρφωσης είναι τετραγωνική συνάρτηση τυ n U = kε, πότε / n ε δηλαδή, Umx = k A = Tmx = I A ω.. n n 9

30 ή k = I ω.. n n και U = I ω ε.. n n n Με αντικατάσταση των παραπάνω απτελεσμάτων στην Εξ. (..) βρίσκυμε I ε + I ω ε = f n.. n n n n n Όπυ η γενικευμένη δύναμη f n βρίσκεται από τ έργ πυ παράγεται κατά την δυνατή μετατόπιση (virtl displcement) W f n =.. ε n αλλά τ έργ W φείλεται στις εξωτερικές δυνάμεις πυ συμπεριλαμβάνυν και τις αδρανειακές δυνάμεις και πυ φείλνται στην μη μιόμρφη κίνηση τυ συστήματς αφράς και δίννται από df i = dm.. Τ δυνατό έργ (virtl wrk) πυ παράγεται από αυτές τις δυνάμεις κατά την διάρκεια μιας δυνατής παραμόρφωσης της δμικής κατασκευής τυ αερσκάφυς είναι δw = ( δxdf + δydf + δzdf ) = i n= xi yi zi = δε ( f df + g df + h df ) n n xi n yi n zi.. πότε W f = = f df + g df + h df.. i ni n xi n yi n zi ε n Η επιπρόσθετη συνεισφρά στην γενικευμένη δύναμη f n φείλεται στα αερδυναμικά φρτία πυ εκτελύν έργ δ W = p n ( r r i ) ds.. Όπυ τ λκλήρωμα αναφέρεται σε όλη την επιφάνεια τυ αερσκάφυς και ( r r ) είναι τ διάνυσμα μετατόπισης πυ δίνεται από 30

31 ( r r ) = ( f e + g e + h e ) δε n x n y n z n n=.. πότε δw = δε ( f + g + h ) ds p e e e n n x n y n z n= W fn = = p( fn x + gn y + hn z) ds ε e e e n.... Όλες ι μεταβλητές στ παραπάνω λκλήρωμα είναι συναρτήσεις της θέσης στην επιφάνεια ( x, y, z ) και τα αερδυναμικά φρτία p είναι συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων και των παραγώγων αυτών όπως επίσης και της θέσης των επιφανειών ελέγχυ. Δηλαδή, f n είναι μία γραμμική συνάρτηση πυ μπρεί να εκφρασθεί μεσω των αερδυναμικών παραγώγων ως fn = A Δ +A Δ +... n np nr n +A Δp +A Δp +... np +A Δr + A Δr +... nr + ε + b ε + c ε nm n nm n nm n m= m= m=.. Στις περισσότερες εφαρμγές πλλές από τις αερδυναμικές παραγώγυς παραμένυν αμετάβλητες και παραλείπνται πότε διατηρύνται μόν ι πι σημαντικές. 3

32 Παράρτημα Α. Μετασχηματισμί συντεταγμένων Θεωρύμε τ διάνυσμα με συνιστώσες = [,, 3] F και bi, i=,,3 στ σύστημα αναφράς F b σύστημα αναφράς Τ στ b στ συστημα στ συστημα = = αναφράς F, αναφράς Fb, b b 3 b3 Α.. x bj είναι cs( θ j) πύ j ( Ox, Ox ) όπως φαίνεται στ παρακάτω σχήμα. Οι συνιστώσα στις κατευθύνσεις γωνία b bj θ είναι η Σχήμα Α. Μετασχηματισμός συστήματς συντεταγμένων. Οι συνιστώσες i σε κάθε κατεύθυνση x bj είναι 3 Α.. = l j =,, 3 bj ij i i= 3

33 l ij cs( θ ) = Α..3 ij όπυ l cs( θ ) ij = είναι τα συνημίτνα κατεύθυνσης και η Εξ. (.) γράφεται υπό μρφή μητρώυ ως ij = L b b L b Α..4 = [ l ] b ij = L b b = L b b Α..5 L = L b όπυ για τυς διαδχικύς μετασχηματισμύς ισχύει επειδή b c b = L b = L = L ( L ) L = L L c = L c c cb b cb b c cb b = = = Α..6 = = = = Α..7 T T T T b b Lb Lb Δηλαδή τα μητρώα ρθγωνιότητας L b και L b ικανπιύν την παρακάτω συνθήκη L L I L L = L = L Τ b b =, b = Τ b b b 3 l l = δ ki k j i j k = Α..8. Μητρώ μετασχηματισμύ και γωνίες περιστρφής Θεωρύμε ένα διάνυσμα στ αρχικό σύστημα αναφράς F και διάνυσμα στ σύστημα αναφράς F b πυ πρκύπτει μετά από περιστρφή τυ συστήματς συντεταγμένων F. Τότε ισχύει 33

34 = L( x ) b i i Α.. Η περιστρφή τυ F στην τελική θέση F b μπρεί να θεωρηθεί ότι είναι απτέλεσμα τριών περιστρφών όπως φαίνεται στ παρακάτω σχήμα. Σχήμα Α. Βασικές περιστρφές (i) γύρω από τν άξνα άξνα X και (iii) γύρω από τν άξνα X 3 X, (ii) γύρω από τν Τα μητρώα της κάθε βασικής περιστρφής είναι 0 0 Lx ( ) = 0 csx sin X Α.. 0 sin X csx 34

35 cs X 0 sin X Lx ( ) = 0 0 Α..3 sin X 0 cs X cs X3 sin X3 0 Lx ( 3) = sin X3 csx3 0 Α όπυ ( X, X, X3) = ( ψ, θ, φ) και L b = L( φ) L( θ) L3( ψ) δηλαδή η περιστρφή στην τελική θέση γίνεται με τ παρακάτω μητρώ μετασχηματισμύ L b csθ csψ csθsinψ sinθ = sinφ sinθcsψ csφsinψ sinφsinθsinψ + csφcsψ sinφcsθ csφ sinθcsψ + sinφsinψ csφsinθsinψ sinφcsψ csφcsθ Σχήμα Α.3 Περιστρφή συστήματς συντεταγμένων 3. Μετασχηματισμί παραγώγυ διανύσματς Θεωρύμε τ διάνυσμα πυ παρατηρείται συγχρόνως από τα συστήματα αναφράς F και F b, όπυ τ σύστημα αναφράς F b περιστρέφεται σχετικά με τ F με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Η εξίσωση μετασχηματισμύ συντεταγμένων τυ διανύσματς b από τ σύστημα αναφράς F b στ σύστημα αναφράς F είναι Α.3. = L b b και ι χρνικές παράγωγι των διανυσμάτων είναι 35

36 b =, = b b 3 b3 Α.3. Τα διανύσματα και b είναι ι συντεταγμένες τυ ίδιυ διανύσματς σε διαφρετικά συστήματα αναφράς F και F b, αντίστιχα. Οι παράγωγι όμως, και b, των διανυσμάτων και b, είναι διαφρετικά διανύσματα επειδή τα συνημίτνα κατεύθυνσης l ij μεταβάλλνται στν χρόν λόγω της σχετικής περιστρφής των συστημάτων αναφράς F και F b. Οι παράγωγι των διανυσμάτων βρίσκνται με εφαρμγή των κανόνων παραγώγισης από = L + L = L + L b b b b b b b Α.3.3 Στις παραπάνω σχέσεις τα μητρώα L b και L b είναι ανεξάρτητα από τ διάνυσμα. Θεωρύμε ότι τ διάνυσμα b είναι σταθερό στ σύστημα αναφράς F b. Η χρνική παράγωγς τυ διανύσματς στ σύστημα αναφράς F δίνεται από d = = ω Α.3.4 dt ή =ω Α.3.5 όπυ 0 ω3 ω ω ω3 0 ω = ω ω 0 Σχήμα Α.4 Περιστρφή συστήματς συντεταγμένων. 36

37 Αλλά τ διάνυσμα b θεωρήθηκε ότι είναι σταθερό στ σύστημα αναφράς F b.πότε = L b b + L bb = L bb ( σταθερόστ F ) = 0 L = ω = ω L = ω b b b b b b b δηλαδή L = ω L ω = L L = L L b b ( ) b b b b Α.3.6 Η παραπάνω διαδικασία μπρεί να επαναληφθεί θεωρώντας τ διάνυσμα σταθερό στ σύστημα αναφράς F και με τ σύστημα αναφράς F b να περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, πότε βρίσκυμε L = ω L Α.3.7 b b b αλλά τ μητρώ ω είναι αντισυμμετρικό δίνεται από ω T = ω και μετασχηματισμός τυ ω = L ω L Α.3.8 b b b Η παράγωγς διανύσματς βρίσκεται με αντικατάσταση των παραπάνω στην Εξ. (Α.3.3) = L + ω = L + ω b b b b b b Α Μετασχηματισμί μητρώων Τα στιχεία των μητρώων μετασχηματισμύ εξαρτώνται από τ σύστημα αναφράς. Στην διανυσματική σχέση =Aw Α.4. Τα στιχεία τυ μητρώυ A εξαρτώνται από τ σύστημα αναφράς, δηλαδή = A w = A w b b b Α.4. 37

38 Ο μετασχηματισμός των διανυσμάτων, σύστημα αναφράς F είναι w από σύστημα αναφράς F b στ L = A L w Α.4.3 b b b και με πλλαπλασιασμό εξ αριστερών με τ αντίστρφ μητρώ L b βρίσκυμε = L A L w Α.4.4 b b b Δηλαδή ι σχέσεις μετασχηματισμύ μητρώυ από τ σύστημα αναφράς σύστημα αναφράς F b είναι F στ A = L A = L A A L L b b b b b b Α Διανύσματα και Qternins Οι σχέσεις περιστρφής διανύσματς εκφράζνται σε πλύ συνεπτυγμένη μρφή δια μέσυ των qternins, τα πία εισήχθησαν από τν Hmiltn, και πυ θα ρίσυμε παρακάτω. Τα qternins έχυν την μρφή x + xi+ x j+ xk Α.5. 3 όπυ = = = = i j k i jk ij= k, jk= i, ki= j= ik Α.5. Τα qternins ακλυθύν τυς αλγεβρικύς κανόνες με την μόνη εξαίρεση ότι πλλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός (cmmltive). Ο πλλαπλασιασμός για τα qternins ρίζεται με την χρήση τυ πρςεταιριστικύ κανόνα (sscitive lw) ως εξής r = ( p + pi+ p j+ p k) ( q + qi+ q j+ q k) = 3 3 = pq + pqi+ pq j+ pq k+ pq + pqi + pq ij Α.5.3 ή σε συνεπτυγμένη μρφή μητρώυ ως r p p p p3 q r p p p3 p q = r p p3 p0 p q r3 p3 p p p0 q3 Α

39 Εναλλακτικά τα qternins γράφνται σε διανυσματική μρφή q + q και i, j, k είναι τα μναδιαία διανύσματα κατά μήκς των συνιστωσών q, q, και q 3. Δηλαδή q q = r Α.5.5 q πότε πλλαπλασιασμός των qternins, *, ρίζεται ως pq p q p* q= pq qp+ p q Α.5.6 Ιδιότητες των qternins. Μη αντιμεταθετικότητα p * q q * p 0 0 p * q q * p = = p q q p ( p q) Α.5.7. Qternin nrm nrm( q) = i= 3 i= 0 q i nrm( p* q) = nrm( p) nrm( q) Α Πρσαιτεριστική ιδιότητα πλλαπλασιασμύ ( p* q)* r p*( q* r) Α Αντίστρφ qternin 5. Αντίστρφ γινμένυ q q q = r = r Α.5.0 q nrm( q) q ( p * q q p ) = * r = r nrm( q) q p nrm( p) q p Α.5. Περιστρφή διανύσματς με qternins Ένα διάνυσμα μπρεί να περιστραφεί με την βήθεια των qternins όταν η βαθμωτή πσότητα τυ qternin, q, ρίζει την γωνία περιστρφής ενώ τ 39

40 διάνυσμα δ είναι r q ρίζει τν άξνα περιστρφής. Τ qternin περιστρφής κατά γωνία csδ sinδ csα csδ q = = r Α.5. sinδ cs β sinδ n sinδ csγ όπυ α, β, και γ είναι ι γωνίες τυ άξνα περιστρφής και n είναι τ μναδιαί διάνυσμα κατά μήκς τυ άξνα περιστρφής qternins και ( ) = cs + sin (cs + cs + cs ) = nrm q δ δ α β γ Α.5.3 Τα συνήθη διανύσματα γράφνται σαν qternins με μηδενικό βαθμωτό μέρς 0 = r Α.5.4 Οπότε τ απτέλεσμα περιστρφής είναι και πάλι qternin με μηδενικό βαθμωτό μέρς. Ο μετασχηματισμός περιστρφής πρέπει να είναι επι πλέν και αντιστρεπτός, και τ περιστραμέν διάνυσμα βρίσκεται με την χρήση μητρώων ως ακλύθως όπυ b T T = q ( q ) + ( q q ( q ) ( q )) I qq Α q3 q q = q3 0 q Α.5.6 q q 0 b = b/ q + q q q3 ( qq + qq 3) ( qq + qq ) b/ = ( qq + qq3) q q + q q3 ( qq3+ qq) ( qq + qq) ( qq + qq) q q q + q Α.5.7 Qternins περιστρφής αξόνων Τ qternin πυ περιστρέφει τ σύστημα αναφράς στ σύτημα αναφράς b κατά γωνία μ συμβλίζεται ως q b/ και δίνεται από την σχέση 40

41 q b/ cs( μ / ) = sin( μ / ) r Α.5.8 n Οπότε μετασχηματισμός περιστρφής συστήματς με την βήθεια qternins είναι b = q * * q b/ b/ Α.5.9 Qternins των γωνιών ler Οι διαδχικές περιστρφές yw, pitch, rll πυ εκτελύμε με τις γωνίες ler, ψ, θ, φ γράφνται με την βήθεια των qternins στην παρακάτω συνεπτυγμένη μρφή b = q q q q q q r rll pitch yw yw pitch rll Α.5.0 όπυ cs( ψ / ) cs( θ / ) cs( φ/ ) 0 0 sin( φ /) qyw =, qpitch =, qrll = 0 sin( θ /) 0 sin( ψ / ) 0 0 Οι συνιστώσες τυ qternin περιστρφής είναι q 3 =± [cs( φ / ) cs( θ / ) cs( ψ / ) + sin( φ/ ) sin( θ / )sin( ψ / )] q =± [sin( φ/ ) cs( θ / ) cs( ψ / ) cs( φ/ ) sin( θ / )sin( ψ / )] q q =± [cs( φ/ ) cs( θ / ) cs( ψ / ) + sin( φ/ ) cs( θ / )sin( ψ / )] =± [cs( φ/ ) cs( θ / ) sin( ψ / ) sin( φ/)sin( θ /)cs( ψ /)] Α.5. Α.5. 4