Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέθοδοι Βελτιστοποίησης"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

4 Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητή η ανάγκη των προβλημάτων της δικτυωτής ανάλυσης και οι λύσεις που δίδονται με τους αλγόριθμους ευρεσης συντομότερης διαδρομής και ελαχιστοποίησης κάλυψης κόμβων

5 Περιεχόμενα ενότητας Δικτυωτή Ανάλυση Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής Αλγόριθμος Dijkstra Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford - Fulkerson

6 Βιβλιογραφία Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, 99. Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 99. Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα Αντικείμενο και μεθοδολογία, Συμμετρία, 99. Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 99. F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Παπαζήση, 9.

7 Δικτυωτή Ανάλυση (α) Ένα δίκτυο αποτελείται από κόμβους και συνδέσεις μεταξύ των κόμβων (κλάδους ή διαδρομές). Κάθε σύνδεση (κλάδος) συνδέει δυο διαφορετικούς κόμβους. Ένας κόμβος μπορεί να είναι συνδεδεμένος με περισσότερους από έναν κόμβους, όπως και σε έναν κόμβο μπορούν να καταλήγουν περισσότερες από μια συνδέσεις. Οι κόμβοι χαρακτηρίζονται συνήθως με αριθμούς (,, ). Οι κόμβοι συμβολίζονται συνήθως με έναν κύκλο που περιλαμβάνει τον αριθμό του κόμβου. (00) (0,0,) (00) 7

8 Δικτυωτή Ανάλυση (β) Ένα δίκτυο αποτελείται από κόμβους και συνδέσεις μεταξύ των κόμβων (Σε κάθε διαδρομη συνδέονται τρεις αριθμοί (α, α, α) όπου α: ελάχιστη τιμή χωρητικότητας, α η μέγιστη τιμή χωρητικότητας και α το κόστος. Σε κόμβους εισόδου ή εξόδου καταχωρούμε τις ποσότητες εισόδου ή εξόδου από το Δίκτυο Στην περίπτωση μονόδρομης μεταφοράς ή ροής στους κόμβους έχουμε κατευθυνόμενο δίκτυο. Σε δίκτυα ροής στις διαδρομές καταγράφουμε εκτός από τη μέγιστη δυνατή ροή (χωρητικότητα) και την υπάρχουσα (00) 00: Ποσότητα Εισόδυ στο Δίκτυο (0,0,) 0/ 0: ελάχιστη ροή 0: μέγιστη ροή :κόστος μονάδας (00) 0: μέγιστη ροή : Ροή στη διαδρομή 00: Ποσότητα εξόδου από το Δικτυο

9 Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (α) Τα Προβλήματα που συνήθως αντιμετωπίζουμε στη Δικτυωτή Ανάλυση είναι: Βέλτιστης κάλυψης όλων των κόμβων Σε ένα δίκτυο υπολογίζουμε την διαδρομή με την μικρότερη απόσταση ή κόστος προκειμένου να καλυφθούν όλοι οι κόμβοι. (Εφαρμογές στα Δίκτυα Η/Υ, Υδραυλικά Δίκτυα, Ηλεκτρικά Δίκτυα, κ.ά.) Εύρεση της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των κόμβων. Σε δίκτυα που έχουν έναν αρχικό και έναν τελικό κόμβο και δίνονται οι αποστάσεις (κόστος) μεταξύ των κόμβων βρίσκουμε τις συνδέσεις που μας δίνουν την ελάχιστη απόσταση (κόστος) διασύνδεσης του αρχικού με τον τελικό κόμβο. Μεγιστοποίηση της Ροής Δικτύου Σε ένα δίκτυο μεταφοράς με αρχικό και τελικό κόμβο και τις χωρητικότητες (ικανότητες μεταφοράς) των συνδέσεων (κλάδων) βρίσκουμε τη διαδρομή (συνδέσεις) μέσω των οποίων θα μεγιστοποιηθεί η αποδοτικότητα δηλαδή θα μεγιστοποιηθεί η χωρητικότητα. 9

10 Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (β) Το πρόβλημα της Μεταφοράς Σε δίκτυα που έχουν ένα σύνολο κόμβων Αφετηρίας Α i και ένα άλλο σύνολο κόμβων Προορισμού T i με συγκεκριμνες δυνατότητες οσον αφορά στις ποσότητες αποστολής και παραλαβής και γνωρίζοντας τα κόστη μεταφοράς από τις Αφετηρίες προς τους Προορισμοπυς προσδιορίζουμε τις διαδρομές με το ελάχιστο κόστος με εξασφάλιση ότι μεταφερθούν όλες οι ποσότητες από τις Αφετηρίες προς τους Προορισμους. Το Πρόβλημα της Ανάθεσης Το πρόβλημα της Ανάθεσης αφορά την τομποθέτηση ν αντικειμένων σε μ θέσεις έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος (η μεγιστοποιείται η απόδοση), γνωριζοντας το κόστος ή την απόοδση της ανάθεσης αντικειμένου σε θέση. Το Κρίσιμο Μονοπάτι Σε ένα δίκτυο αλλαηλοεξαρτώμενων δραστηριοτήτων υλοποίησης ενός έργου προσδιορίζονται οι δραστηριότητες που είναι κρίσιμες ώστε το έργο να εκτεκεσθεί στα απαιτούμενα χρονικά πλαίσιο.. 0

11 Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης (γ) Τα προβλήματα της Δικτυωτής Ανάλυσης συναντώνται συχνά σε πολλούς τομείς της Διοίκησης Λειτουργιών, μεταφορών και της Παραγωγής. Πολλά από τα Προβλήματα Δικτυωτής Ανάλυσης μπορούν να διατυπωθούν σε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού & να επιλυθούν με τη μέθοδο Simple. Για κάθε ένα από αυτά έχουν αναπτυχθεί τεχνικές και μέθοδοι επίλυσης, οι οποίες λειτουργούν ταχύτερα από την SIMPLEX. Κάθε πρόβλημα θα παρουσιασθεί διεξοδικά

12 Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (α) Αφορά προβλήματα στα οποία σε ένα δίκτυο κόμβων απαιτείται να προσδιορισθεί η διαδρομή εκείνη που καλύπτει όλους του κόμβους και ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί μια παράμετρο (το κόστος ή η απόσταση). Εντάσσεται στην κατηγορία πρβλημάτων χωροθέτσησης. Παράδειγμα: Η Εταιρεία Παροχής Φυσικού Αερίου σκοπεύει να συνδέσει να κατασκευάσει αγωγό για να παρέχει φυσικό αέριο από τις κετρικές εγκαταστάσεις (Α) στις πόλεις έως 9. Στο δίκτυο που ακολουθεί δίδονται οι επιτρεπτές διαδρομές και το κόστος κατασκευής. Α

13 Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (β) Γ.Π. Μοντελοποίηση σε μορφή Γραμμικού Προβλήματος (Ακέραιου) N. Αριθμός των κόμβων, Κ ο κόμβος της Αφετηρίας C ij : το κόστος κατασκευής της διδρομης KiKj. min(c n n ij i i {0,} ij i ij ij ), i 0,,,..n, j,,.., n j,..,n c ij

14 Ελαχιστοποίηση κάλυψης κόμβων (γ) Παράδειγμα: Σε ένα συγκρότημα με 9 κατοικίες σχεδιάζεται το δίκτυο ύδρευσης. Το κόστος κατασκευής είναι ανάλογο των αποστάσεων μεταξύ των κατοικιών. Δεν είναι απαραίτητο όλες οι κατοικίες να συνδεθούν με το κεντρικό δίκτυο. Μια κατοικία μπορεί να συνδεθεί με μια άλλη. Δεν είναι δυνατόν να συνδεθούν όλες οι κατοικίες μεταξύ τους λόγω ιδιομορφίας του εδάφους. Στο δικτυωτό διάγραμμα δίνονται οι αποστάσεις σε μέτρα των συνδέσεων. Να βρεθεί ο τρόπος σύνδεσης ώστε να καλυφθούν όλες οι κατοικίες με το ελάχιστο δυνατό κόστος

15 Βήματα Επίλυσης. Καταγράφουμε σε πίνακα όλους τους κλάδους του δικτύου κατά αύξουσα σειρά αποστάσεων.. Ξεκινάμε με την επιλογή του πρώτου κλάδου (αυτόν με την μικρότερη απόσταση και επιλέγουμε έναν - έναν τους κλάδους με την προϋπόθεση ότι δεν δημιουργείται βρόγχος (κλειστό κύκλωμα).. Συνεχίζουμε μέχρι να επιλεγούν όλοι οι κόμβοι.. Σχεδιάζουμε με έντονες συνδέσεις τη διαδρομή στο διάγραμμα του δικτύου.

16 Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0. Καταγράφουμε όλους του κλάδους και τις αποστάσεις και ταξινομούμε τον πίνακα κατά αύξουσα σειρά ως προς τις αποστάσεις (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) (,) 0 (,9) 0

17 Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0 (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) 0 (,) 0 (,9) 0 0. Ξεκινάμε από τον κλάδο (,), Συνεχίζουμε στον (,), (7,), (,),.. (,) Ταυτόχρονα σημειώνουμε περισσότερο έντονα τους κόμβος στο διάγραμμα

18 Επίλυση Παραδείγματος ( ο βήμα) Κλάδος Απόσταση (,) 0 (,) 0 (7,) 0. Δεν λαμβάνουμε την περίπτωση (,) διότι δημιουργεί βρόγχο. Συνεχίζουμε με το (7,9) Καλύπτονται όλοι οι κόμβοι. (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,) 0 (7,9) 0 (,) 90 (,7) 90 (,) 0 (,) 0 (,9)

19 Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής (α) Εύρεση Ελάχιστης Απόστασης Μεταξύ Αφετηρίας & Προορισμού ( Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής): Οι αποθήκες μιας κατασκευαστικής εταιρείας (κόμβος Α) βρίσκονται σε απόσταση από το εργοτάξιο της Οικοδομής (κόμβος Π) που βρίσκεται σε εξέλιξη. Για τη μεταφορά των υλικών υπάρχουν οι οδικές αρτηρίες που δίνονται στο σχήμα δικτύου που ακολουθεί όπως και οι σχετικές αποστάσεις. Ποιά είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθηθεί για τη μεταφορά ώστε να ελαχιστοποιηθεί η απόσταση. Α 0 9 Π 9

20 Πρόβλημα Συντομότερης Διαδρομής (β) 0 Ανάμεσα στην αφετηρία και τον Προορισμό παρεμβάλονται κόμβοι που δημιουργούν πολλές εναλλακτικές διαδρομές. Ζητείται να προσδιορισθεί η μικρότερη διαδρομή (ή με το μικρότερο κόστος) ανάμεσα στην Αφετηρία και τον Προορισμό. Αν Α (K 0 ): η αφετηρία, Π (k n+ ): ο Προορισμός, c ij : η απόσταση του κόμβου i από τον κόμβο j και n ο αριθμός των ενδιάμεσων κόμβων 0 9 min(c n i n ij n i {0,} ij i,j 0 ij in ij ), i 0,,,..n n i,j ji J,..,n, i j c ij 0 0

21 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος με. Σε έναν πίνακα καταγράφουμε τους κόμβους και τους κλάδους με τις αντίστοιχες αποστάσεις στην παρακάτω μορφή. Δεν καταγράφουμε κλάδους που καταλήγουν στην αφετηρία ή ξεκινούν από τον προορισμό. αλγόριθμο Dijkstra () Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 Α 9 0 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 9 Π

22 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(α). Ξεκινάμε από τον κόμβο που είναι πλησιέστερα στον Α (έχει τη μικρότερη απόσταση). Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Σημειώνεται έντονα ο κλάδος (,Π):. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον κόμβο Α Π

23 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(β). Ξεκινάμε από τον κόμβο που είναι πλησιέστερα στον Α (έχει τη μικρότερη απόσταση). Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Σημειώνουμε πάνω από τον κόμβο το (απόσταση από Α) (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Σημειώνεται έντονα ο κλάδος. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον κόμβο Α Π

24 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(γ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Απόσταση 9. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον με Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +=

25 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(δ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α, και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): 7. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Α. Απόσταση 0 9. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι += 0. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 9+=7

26 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος ()(ε). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α,, και. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,):. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π):. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +=. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 9+=0. Οι Κόμβος και είναι οι πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 0+=

27 Βήματα Επίλ. του προβλήματος ()(στ). Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας τον κόμβο που βρίσκεται πλησιέστερα στους Α,,,, και. Βρίσκουμε την απόσταση από Α. Βρίσκονται σ=τον Πλησιέστερο κόμβο στον Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που οδηγούν στον Κόμβο αυτόν. Σημειώνουμε πάνω στον κόμβο την απόσταση από τον Α 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9. Επιλέγουμε τον κόμβο που απέχει λιγότερο από τον αρχικό κόμβο Α. Διαγράφουμε τους κλάδους που καταλήγουν στον και σημειώνουμε την απόσταση πάνω από τον. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι +9=0 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 7. Ο Κόμβος είναι ο πλησιέστερος στον Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι 0+=. Οι Κόμβος Π ο πλησιέστερος στον. Απόσταση. Η απόσταση από τον Α είναι += 7

28 Βήματα Επίλυσης του προβλήματος (7)(ζ). Έμεινε μόνο ο κόμβιος Π. Εχουμε τις αποστάσεις 9 0 Α Π (Α,): (,): (,): (,): (,): (,): 9. Επιλέγουμε τη σύνδεση με τον Κόμβο διαγράφοντας τις άλλες. Ο Κόμβος συνδέεται με τον και ο με τον Α (Α,): 9 (,): (,): (,): (,): (,): (Α,):0 (,): (,): (,): (,):9 (,):9 (,): (,Π): (,Π): (,Π): 0. Ο κόμβος Π απέχει από κόμβο και από τον Α +0=. Ο Κόμβος Π απέχει από τον κόμβο κατά η απόσταση από τον Α είναι +=. Οι Κόμβος Π ο απέχει από τον κόμβο κατά και από τον Α 0.

29 Το Τελικό Διάγραμμα Δικτύου Α 0 9 Π 9 Η διαδρομή είναι Α,,,Π Απόσταση 0++=0. 9

30 Άσκηση Εξάσκησης Για την καθημερινή σας μετακίνηση από το σπίτι σας στο ΤΕΙ Πειραιά μπορείτε να ακολουθήσετε κάποιες εναλλακτικές διαδρομές που περιλαμβάνουν οδικούς άξονες και διασταυρώσεις - κόμβους. Για λόγους άσκησης και προστασίας του περιβάλλοντος αποφασίσατε να χρησιμοποιήσετε ποδήλατο. Να προσδιορίσετε τη συντομότερη διαδρομή. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το για να αντλήσετε στοιχεία. 0

31 Άσκηση Εξάσκησης Ο σχεδιασμός της διαδρομής του σιδηροδρόμου από τη πόλη Α στον πόλη Π εδωσε το παρακάτω διάγραμμα εφικτών κλάδων και κόμβων του τμήματος του σοδηροδρομικού δικτύο που μπορεί να συνδέσει τις δυο πόλεις. Ποιά είναι η διαδρομή που πρέπει να ακολουθηθεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί η απόσταση που θα διανύει η αμαξοστοιχεία. Α Π

32 Μεγιστοποίηση ροής σε ένα δίκτυο (α) Δίκτυο διαδρομών με διαφορετικές χωτηρικότητες στις διαδρομές Τα προβλήματα αυτά αφορούν στην επιλογή των διαδρομών σε ένα δίκτυο, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η μέγιστη ροή στο δίκτυο. Βασικό Χαρακτηριστικό: Σε δυο διαδρομές με διαφορετική δυναμικότητα ροής που συνδέονται σε ένα κόμβο η ροη που θα επιτευχθεί είναι η μικρότερη από τις ροές των δύο διαδρομών. Flow: Flow: Total Flow:

33 Μεγιστοποίηση ροής σε ένα δίκτυο (β) Πολλές Εφαρμογές (Δίκτυα Η/Υ- Δρομολόγηση της μεταφοράς δεδομένων, Δίκτυα Υδρευσης, Παροχής Ενέργειας, Μεταφοοράς Φυσικού Αερίου, κ.ά.) Αν Α=Κ 0, Π=Κ n+ W ij οι χωρητικότητες των διαδρομών X ij οι ζητούμενες ροές τότε το Γ.Π. επίλυσης έχει ως ακολούθως Α W 0 / 0 W / 0k W 0 / 0 n- W n-,n+ X n-,n+ W r,n+ X r,n+ W n,n+ X n,n+ n Π ma( ij ), i 0,,,..n j n ij 0 ij j k, j,,.., n, i,,.., n, i j, k,,... n ij ij 0, i,,.., n w ij, i,,.., n

34 Παράδειγμα Δίδεται το παρακάτω δίκτυο όπου Α είναι η Αφετηρία και Π ο Προορισμός. Στο Γράφο δίνεται η δυνατότητες ροής στο κατευθυνόμενο δίκτυο. Να προσδιορισθούν οι ροές στις διαδρομές έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική ροή στο δίκτυο. Αν Α=Κ 0, Π=Κ και ij Οι ροές στο δίκτυο (άγνωστες) ma( , 0,,, 0 0,, 0,, 0 ),, 9,,,,,, Α,, 0 9,, 0, i,,,,.., n 9 Π

35 Αλγόριθμος Επίλυσης (α) Δίδεται το παρακάτω δίκτυο όπου Α είναι η Αφετηρία και Π ο Προορισμός. Σημειώνουμε στις διαδρομές τη μέγιστη ροή και τις υπολογισμένη ροή. Ξεκινάμε σε όλες τις διαδρομές με εκτιμημένη ροή 0. Επιλέγουμε μια διαδρομή απο Αφετηρία προς Προορισμό (πχ Α,,,Π). Βρίσκουμε την μικρότερη ροή. Θέτουμε τη ροή αυτή στο σύνολο των επιμέρους κλάδων της Διαδρομής και αφαιρούμε από τις ποσότητες από τη χωρητικότα των κλάδων της διαδρομής. Η μικρότερη ροή στη διαδρομή Α,,,Π είναι. Βάζουμε την τιμή στη ροή και αφαιρούμε από όλους τους κλάδους της διαδρομής Συνεχίζουμε με την επόμενη διαδρομή (Α,,,Π) μέχρι να μην έχουμε δυνατότητα ροής σε καμμία διαδρομή. Α Α /0 /0 0/ /0 /0 /0 / 0 /0 /0 /0 /0 / 7/0 Π 7/0 7/0 / Π

36 Αλγόριθμος Επίλυσης (β) Συνεχίζουμε με την επόμενη διαδρομή (Α,,,Π) μέχρι να μην έχουμε δυνατότητα ροής σε καμμία διαδρομή. Η μικρότερη ποσότητα στη διαδρομή (Α,,,Π) είναι. Α 0/ / /0 0/ /0 / / / Π Αφαιρούμε από τη δυναμικότητα των κόμβων της διαδρομής και προσθέτουμε στις ροές Συνεχίζουμε με τη διαδρομή Α,,,,Π. Η μικρότερη Ποσότητα είναι στους κόμβους. Αφαιρούμε από τη δυναμικότητα των κόμβων και προσθέτουμε στις ροές Α /7 0/ / 0/ / / 0/7 / Π Η Μέγιστη Ροή είναι

37 Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (α) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βρισκουμε μια εφικτή λύση (όχι βέλτιστη): Ξεκινάμε από τον κόμβο και διαδοχικά αναθέτουμε ροές στους κλάδους του δικτύου, έτσι ώστε οι εισροές σε ένα κόμβο να είναι ίσες με τις εκροές. Ή διαδικασία περιλαμβάνει ένα σύνολο βημάτων που επαναλαμβάνονται / / / / / /7 / / / 7

38 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (β) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βήμα : Ξεκιναμε με τον πρώτο κόμβο. Δίνουμε την ετικέτα (+0, Μ) όπου 0 αντιστοιχεί στο ότι 7 δεν υπάρχει προαπαιτούμενος κόμβος και Μ ότι δεν υπάρχει όριο σε επιπρόσθετη παροχή. Ο Κόμβος θεωρείται σημασμένος και μη διερευνημένος. Βήμα : Επιλέγουμε έναν κόμβο ο οποίος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος (ο Κόμβος στην πρώτη φάση). Αν όλοι οι κόμβοι είναι σημασμένοι και διερευνημένοι τότε έχουμε βρεί την βέλτιστη λύση. Βήμα : Στον σημασμένο κόμβο I, για κάθε μη σημασμένο κόμβο (j): α) για τον οποίο υπάρχει κλάδος με τον σημασμένο κόμβο που εξετάζουμε (I,j) και η ροή του κλάδου ( ij ) είναι μικρότερη της χωτηρικότητας (b ij ) θέτουμε ετικέτα (+i, y j ) όπου y i = min( b ij - ij, y i ) β) για το οποίο υπάρχει κλάδος (j,i) και ή ροή είναι μεγαλύτερη του 0 ( ij <0) θέτουμε την ετικέτα (-i, y j ) όπου y j =min( ji, y i ) O κόμος I έχει διερευνηθεί. Τον τσεκάρουμε / 7/ (0, Μ) Βήμα / (0, Μ) / / /7 7/ / / / Βήμα, () (+, ) Μόνο ο κόμβος ικανοποιεί τις συνθήκες (α) y= min(7-=, M)

39 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (γ) Αλγόριθμος Ford & Fulkerson Βήμα : Αν ο Κόμβος Προορισμου (0, Μ) 7/ (ο Κόμβος ν) είναι σημασμένος τότε 7 μεταβαίνουμε στο βήμα, αλλιώς / μεταβαίνουμε στο βήμα. Βήμα :Ελέγχουμε τη τιμη y n της ετικέτας του κόμβου προορισμού. Με τη τιμή αυτή αυξάνουμε τη ροή της διαδρομής με την εξής διαδικασία: α) Για κάθε κλάδο που η ετικέτα έχει θετικό πρόσημο αυξανουμε τη ροή κατά y n β) Για κάθε κλάδο που η ετικέτα έχει αρνητικό πρόσημο αφαιρούμε από τη ροή y n (+, ) / / / /7 / Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα 9 / /

40 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford (0, Μ) 7 (+, ) (+, ) / 7/ Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. Fulkerson(δ) Βήμα : Ο κλάδος (,) ικανοποιεί τη συνθηκη α. Σημαίνουμε τον Κόμβο με (+, min(-, )=) Τσεκάρουμε τον κόμβο (0, Μ) 7 / 7/ (+, ) / / / /7 / / / Βήμα : Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα (0, Μ) 7 7/ (+, ) / Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. (+, ) / (-, ) Βήμα : Ο κλάδος (,) ικανοποιεί τη συνθηκη β. Σημαίνουμε τον Κόμβο με (-, min(, )=) Τσεκάρουμε τον κόμβο (0, Μ) 7 / 7/ (+, ) / Βήμα : Ο Κόμβος δεν είναι σημασμένος, επομένως πάμε στοβήμα (+, ) / /7 / / / (-, ) 0

41 Βελτιστοποίηση Ροής - Αλγόριθμος Ford Fulkerson (ε) (0, Μ) (+,) / 7/ 7 / / (+, ) /7 / (-, ) (--, ) (+.) (+.) (+,) / 7/ / 7 / / / / /7 / (-, ) (0, Μ) Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος και μη διερευνημένος. Βήμα : Οι κλάδοι (,) και (,) ικανοποιούν τις συνθήκες α, β. Σημαίνουμε τους κόμβους και με (-, min(7, )=) και (, Min(-,)= Τσεκάρουμε τον κόμβο Βήμα : Ο Κόμβος είναι σημασμένος, επομένως πάμε στο βήμα

42 Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (στ) (0, Μ) 7 7/+ (+,) (--, ) / + / /7 (+.) /- (-, ) /+ (+, ) Βήμα : Στους κλάδους ((,), (,) και (,) προσθέτουμε στη ροή. Στους κλάδους (,), αφαιρούμε. / (0, Μ) 9 7/ / / /0 / / /7 /7 Ξεκινάμε τη Διαδικασία από την Αρχή Βήμα

43 Βελτιστοποίηση Ροής-Αλγόριθμος Ford Fulkerson (ζ) / (0, Μ) 9 7/ / / /0 / / / (-, ) /7 (0, Μ) 7 (+, ) / 7/ (+, ) Μετά από επαναλήψεις φθάνουμε στο σημείο όπου οι κόμβοι είναι σημασμένοι και διερευνημένοι ή μη σημασμένοι. Έχουμε Βέλτιστη λύση Μέγιστη Ροή στον Κόμβο 7+ =9.

44 Τέλος Ενότητας

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος Ενότητα: Σημειώσεις Εργαστηρίου Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 6: Κανονικοποίηση. Αθανάσιος Σπυριδάκος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 6: Κανονικοποίηση. Αθανάσιος Σπυριδάκος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 6: Κανονικοποίηση Αθανάσιος Σπυριδάκος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Φωτοτεχνία Ενότητα 3: Μελέτες Φωτισμού Εσωτερικών Χώρων Mέθοδος Favie-Οικονομόπουλος Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υψηλές Τάσεις. Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά. Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ

Υψηλές Τάσεις. Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά. Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υψηλές Τάσεις Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.)

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.) Ενότητα 5: Γεωθερμία Σπύρος Τσιώλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική υπολογιστών

Αρχιτεκτονική υπολογιστών 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αρχιτεκτονική υπολογιστών Ενότητα 12 : Δομή και Λειτουργία της CPU 2/2 Φώτης Βαρζιώτης 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Κατεύθυνση: «Τεχνολογίες Δικτύων Επικοινωνιών & Υπολογιστών» Βασικές Αρχές Κυψελωτών Συστημάτων Δημοσθένης Βουγιούκας

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα δικτύου. Ορολογία (1) Ορολογία (2) Ορολογία (3) Δίκτυο με δεδομένα δυναμικότητας ροής στις ακμές

Παράδειγμα δικτύου. Ορολογία (1) Ορολογία (2) Ορολογία (3) Δίκτυο με δεδομένα δυναμικότητας ροής στις ακμές http://users.uom.gr/~acg Στοιχεία από τη Θεωρία Δικτύων Παράδειγμα δικτύου Τα δίκτυα είναι παντού (όπως και η Επιχειρησιακή Έρευνα) Τα δίκτυα είναι παντού (συνέχεια) Ένα δίκτυο είναι μία συλλογή κόμβων

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικές Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι

Εσωτερικές Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εσωτερικές Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες για τις Ε.Η.Ε. Σταύρος Καμινάρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ No 05 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού)

4.6 Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) . Critical Path Analysis (Μέθοδος του κρίσιμου μονοπατιού) Η πετυχημένη διοίκηση των μεγάλων έργων χρειάζεται προσεχτικό προγραμματισμό, σχεδιασμό και συντονισμό αλληλοσυνδεόμενων δραστηριοτήτων (εργσιών).

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική. Ενότητα 10: Μονοπωλιακός Ανταγωνισμός. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μικροοικονομική. Ενότητα 10: Μονοπωλιακός Ανταγωνισμός. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μικροοικονομική Ενότητα 10: Μονοπωλιακός Ανταγωνισμός Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος AO Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 6: Αντιστάθμιση γραμμών μεταφοράς με σύγχρονους αντισταθμιστές Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνικές Εφαρμογές

Ηλεκτροτεχνικές Εφαρμογές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ηλεκτροτεχνικές Εφαρμογές Ενότητα 1: Εξαρτήματα Ηλεκτρικών Συσκευών Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 7 η Διάλεξη: Δρομολόγηση & Προγραμματισμός (Routing & Scheduling) 015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 1 Διάλεξη 1 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών Εργαστήριο: XQuery - 2 Όνομα Καθηγητή: Χρήστος Νικολάου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 3 : Αποκατάσταση εικόνας (Image Restoration) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική, Χρηματοοικονομική Ενότητα των Επιχειρήσεων, :Εισαγωγή Ενότητα βασικές : έννοιες, Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ-Ανοικτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι

ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΤΕ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΑΠΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Ιστορία Κατασκευών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Ιστορία Κατασκευών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ιστορία Κατασκευών Ενότητα 4.3: Αρχιτεκτονικές - οικοδομικές λεπτομέρειες αστικών κτιρίων 19 ου αιώνα στην Ελλάδα. Μελέτη περίπτωσης:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Ενότητα 8: Εισαγωγή στα Δίκτυα Δρ. Φραγκούλης Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

9 ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ

9 ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο κεφάλαιο αυτό, αναλύεται πλήρως ένα τεχνικό έργο, συγκεκριµένα αυτό της κατασκευής ενός µικρού αντλιοστασίου. Για την ανάλυση του έργου χρησιµοποιείται το πακέτο λογισµικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Λειτουργικά

Εισαγωγή στα Λειτουργικά Εισαγωγή στα Λειτουργικά Συστήματα Ενότητα 9: Αρχεία ΙΙ Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 1: Ο Νόμος του ΟΗΜ και ο Χρωματικός Κώδικας Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 8: ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Επιχειρήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Επιχειρήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Επιχειρήσεων 3 ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γιάννης Καλογήρου, Καθηγητής ΕΜΠ y.caloghirou@ntua.gr Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα: Συσκευές Τηλεμετρίας Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail: sbellou@uowm.gr

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Ενότητα 3: Θεωρία του Διεθνούς Εμπορίου Θεωρητικές προσεγγίσεις Γεώργιος Μιχαλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Ενότητα 3: Ο Υπολογιστής Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Παραχώρηση (Franchising) Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Δορυφορική Γεωδαισία (GPS) Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ Δορυφορική Γεωδαισία (GPS)

Διαβάστε περισσότερα

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ω Ν Σ Ε Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Ο Π Ε Ρ Ι Β Α Λ Λ Ο Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 12: Ηλεκτρικός Ισολογισμόςς Πλοίου Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Επιχειρήσεων. Ενότητα 2: Προσεγγίσεις της Διοίκησης Επιχειρήσεων από τις διάφορες Σχολές Πουλιόπουλος Λεωνίδας Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου

Διοίκηση Επιχειρήσεων. Ενότητα 2: Προσεγγίσεις της Διοίκησης Επιχειρήσεων από τις διάφορες Σχολές Πουλιόπουλος Λεωνίδας Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Προσεγγίσεις της Διοίκησης Επιχειρήσεων από τις διάφορες Σχολές Πουλιόπουλος Λεωνίδας Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά Συστήματα

Υπολογιστικά Συστήματα Υπολογιστικά Συστήματα Ενότητα 6: Ασκήσεις στη Visual Basic for Applications (VBA) Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Γραμμές Παραγωγής Εκτίμηση Ελαττωματικών Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Παρουσίαση χαρακτηριστικών γραμμών παραγωγής Παραδείγματα σε παραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΓΙΕΙΝΗ - ΔΙΚΑΙΟ Τομέας Μεταλλευτικής Τμήμα Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΓΙΕΙΝΗ - ΔΙΚΑΙΟ Τομέας Μεταλλευτικής Τμήμα Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΓΙΕΙΝΗ - ΔΙΚΑΙΟ Τομέας Μεταλλευτικής Τμήμα Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΝΟΤΗΤΑ 6. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Ιωάννης Πασπαλιάρης, Καθηγητής, Τομέας Μεταλλουργίας Γεώργιος Ν. Παναγιώτου,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικό Εμπόριο. Ενότητα 1: Εισαγωγικές Έννοιες. Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Ηλεκτρονικό Εμπόριο. Ενότητα 1: Εισαγωγικές Έννοιες. Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Ηλεκτρονικό Εμπόριο Ενότητα 1: Εισαγωγικές Έννοιες Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική των επιχειρήσεων

Διοικητική των επιχειρήσεων Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Διοικητική των επιχειρήσεων Ενότητα 13 :Ιστορία της Διοικητικής Σκέψης Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Ενότητα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΣΦΑΛΜΑΤΩΣΗΣ Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακές Επικοινωνίες

Επιχειρησιακές Επικοινωνίες ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακές Επικοινωνίες Ενότητα # 4: Ακροατήρια-Κοινά-Στόχοι Πρόδρομος Γιαννάς Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική Χρηματοοικονομική των,δημοσιονομική Επιχειρήσεων, πολιτική, Ενότητα : Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΚΑΙ ΗΠΕΙΡΟΥ- ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ενότητα 13: (Μέρος Α ) Ενσωματωμένα Συστήματα Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος Επιχειρησιακός Προγραμματισμός Συστημάτων Διαχείρισης ΑΣΑ Ανάπτυξη & ΕφαρμογήστηΝήσοΚέρκυρα Παρουσίαση: Αλέξανδρος

Διαβάστε περισσότερα

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα, τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Νο 07 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

ενεργειακών απαιτήσεων πρώτης ύλης, ενεργειακού περιεχομένου παραπροϊόντων, τρόπους αξιοποίησής

ενεργειακών απαιτήσεων πρώτης ύλης, ενεργειακού περιεχομένου παραπροϊόντων, τρόπους αξιοποίησής Πίνακας. Πίνακας προτεινόμενων πτυχιακών εργασιών για το εαρινό εξάμηνο 03-4 ΤΜΗΜΑ: MHXANIKΩN ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Α/Α Τίτλος θέματος Μέλος Ε.Π Σύντομη περιγραφή Προαπαιτούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Linear Programming) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 1 Το πρόβλημα των περιορισμένων πόρων Κάθε επιχειρηματική

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικό Εμπόριο. Ενότητα 8: Διαδικτυακή Διαφήμιση Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Ηλεκτρονικό Εμπόριο. Ενότητα 8: Διαδικτυακή Διαφήμιση Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Ηλεκτρονικό Εμπόριο Ενότητα 8: Διαδικτυακή Διαφήμιση Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Διάλεξη 1η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Εισαγωγή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα 5: Οξύμετρο (OxyPro Project) Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail: sbellou@uowm.gr

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τη Ανάπτυξη Ανοικτών Ψηφιακών Μαθημάτων

Οδηγίες για τη Ανάπτυξη Ανοικτών Ψηφιακών Μαθημάτων Οδηγίες για τη Ανάπτυξη Ανοικτών Ψηφιακών Μαθημάτων Δράση «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» Σύνδεσμος: http://opencourses.uoa.gr / Περιεχόμενα ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ... 2 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΧΡΗΣΤΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα