Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 13: Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα Ιωάννης Μανωλόπουλος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα

5 Δίκτυα Πρακτικά παραδείγματα δικτύων Ρευστά σε σωλήνες κομμάτια σε γραμμές παραγωγής ρεύμα σε ηλεκτρικό δίκτυο πληροφορία σε δίκτυο επικοινωνίας μεταφορά αγαθών σε δρόμους 5

6 Δίκτυα Παράδειγμα Δίκτυο ροών: κατευθυνόμενος γράφος G=(V,E) Παράδειγμα: σωλήνες πετρελαίου Προορισμός (κόμβος απόληξης) Πηγή (κόμβος προέλευσης) 6

7 Το Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Άτυπος Ορισμός Άτυπος ορισμός προβλήματος μέγιστης ροής: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ρυθμός αποστολής υλικού από την πηγή στον προορισμό χωρίς παραβίαση των περιορισμών χωρητικότητας; 7

8 Χωρητικότητα Ι u 12 v u c(u,v)=12 6 v Μεγάλος σωλήνας c(u,v)=6 Μικρός σωλήνας 8

9 Χωρητικότητα ΙΙ Αν (u,v) E c(u,v) =

10 Χωρητικότητα Ροή u 6/12 v u f(u,v)=6 6/6 v Ροή μικρότερη της χωρητικότητας f(u,v)=6 Μέγιστη Ροή 10

11 Ροή Ι

12 Ροή ΙΙ /6 3 6/6 6/8 12

13 Ροή ΙΙΙ /6 3 6/6 6/8 13

14 Ροή ΙV 3/8 3 3/3 3/6 6/6 3 6/6 6/8 14

15 Ροή V 3/8 3 3/3 3/6 6/6 3 6/6 6/8 15

16 Ροή VI 5/8 3/3 2/3 3/6 6/6 3 6/6 8/8 16

17 Ακύρωση I 5/8 3/3 2/3 3/6 6/6 3 6/6 8/8 17

18 Ακύρωση II 6/8 3/3 3/3 4/6 6/6 1/3 5/6 8/8 u u u u /10 4 8/10 3/4 5/10 4 v v v v 18

19 Ιδιότητες Ροών Ροή σε G = V, E : f: V V R με 3 ιδιότητες: 1. Περιορισμός χωρητικότητας: u, v V: 0 f(u, v) c(u, v) 2. Συμμετρία: u, v V: f u, v = f(v, u) 3. Διατήρηση ροής: u, v V{s, }: v V f u, v = 0 19

20 Ιδιότητες Ροών Παράδειγμα Δίκτυο ροών G=(V,E) 12/12 Προσοχή: Λόγω συμμετρίας f(,) = /14 20

21 Συνολική Ροή και Τιμή Ροής Συνολική ροή: Θετική ή αρνητική τιμή της f(u,v) u 8/10 3/4 v u 5/10 4 v f(u,v) = 5 f(v,u) = -5 Τιμή ροής f: Ορισμός : 6/8 3/3 3/3 4/6 f = v V f(s, v) 6/6 1/3 5/6 8/8 21

22 Το Πρόβλημα της Μέγιστης Ροής Άτυπος ορισμός προβλήματος μέγιστης ροής: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ρυθμός αποστολής υλικού από την πηγή στον προορισμό χωρίς παραβίαση των περιορισμών χωρητικότητας; Τυπικός ορισμός του προβλήματος μέγιστης ροής: Το πρόβλημα μέγιστης ροής είναι η εύρεση νόμιμης ροής για δοθέντα ζυγισμένο κατευθυνόμενο γράφο G, που έχει τη μέγιστη τιμή από όλες τις ροές. 22

23 Η Μέθοδος Ford-Fulkerson, ένας τρόπος εύρεσης μέγιστης ροής Υποθέσεις: 1. Θεωρούμε θετικές ακέραιες χωρητικότητες (C η τιμή της μέγιστης) 2. Η πηγή (κόμβος προέλευσης) δεν έχει εισερχόμενη ακμή 3. Ο προορισμός (κόμβος απόληξης) δεν έχει εξερχόμενη ακμή Αυτή η μέθοδος περιέχει 3 σημαντικές ιδέες: 1. Υπολειπόμενος γράφος (residual nework) 2. Διαδρομές επαύξησης 3. Αποκοπές δικτύων ροής 23

24 Ford-Fulkerson ψευδοκώδικας 1. Αρχικοποίηση τιμής ροής f σε 0 2. Όσο υπάρχει διαδρομή επαύξησης p 3. δώσε ροή f στη διαδρομή p 4. Επίστρεψε f 24

25 Ford Fulkerson Υπολειπόμενα Δίκτυα Ι Το υπολειπόμενο δίκτυο G f ενός δικτύου ροών G με νόμιμη ροή f αποτελείται από τις ίδιες κορυφές v V, όπως στο G, που συνδέονται με ακμές υπολοίπων (u,v) E f που μπορούν να δεχθούν αυστηρά περισσότερη συνολική ροή. Η υπολειπόμενη χωρητικότητα c f αναπαριστά το βάρος κάθε ακμής E f και είναι η επιπρόσθετη συνολική ροή f(u,v) πριν ξεπερασθεί η χωρητικότητα c(u,v) 25

26 Ford Fulkerson Υπολειπόμενα Δίκτυα ΙΙ Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/12 11/14 c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) 26

27 Ford Fulkerson Υπολειπόμενα Δίκτυα ΙΙI Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ / c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) 27

28 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης I Ορισμός: Μία διαδρομή επαύξησης p είναι μία απλή (χωρίς κύκλους) διαδρομή από το s στο στο υπολειπόμενο δίκτυο G f Υπολειπόμενη χωρητικότητα του p c f (p) = min{c f (u,v): (u,v) ανήκει στο p} 28

29 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης II Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ /

30 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης III Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ / Διαδρομή Επαύξησης 30

31 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης IV Ορίζουμε μία ροή: fp: V x V R έτσι ώστε: f p u, v = c f p αν u, v ανηκει στο p c f p αν v, u ανηκει στο p 0 διαφορετικα 31

32 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης V Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ /

33 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης VI Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ / Η ιδεατή ροή f p στη διαδρομή επαύξησης p στο G f 33

34 Ford Fulkerson Αυξάνοντας τη Ροή Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ /14 Νέα Ροή: f : V x V R : f =f + f p 3 11 Η ιδεατή ροή f p στη διαδρομή επαύξησης p στο G f 34

35 Ford Fulkerson Νέα ροή Περιορισμός Λήμμα: Χωρητικότητας f : V x V R : f = f + f p στο G c f (p) = min{c f (u,v): (u,v) is on p} c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) Περιορισμός χωρητικότητας: Για κάθε u,v V, απαιτούμε f(u,v) < c(u,v) Απόδειξη: f p (u,v) < c f (u,v) = c (u,v) f (u,v) (f + f p ) (u,v) = f (u,v) + f p (u,v) < c (u,v) 35

36 Ford Fulkerson Νέα ροή Συμμετρία Λήμμα: f : V x V R : f = f + f p στο G Συμμετρία: Για κάθε u,v V, απαιτούμε f(u,v) = f(v,u) Απόδειξη: (f + f p )(u,v) = f (u,v) + f p (u,v) = f (v,u) f p (v,u) = (f (v,u) + f p (v,u)) = (f + f p ) (v,u) 36

37 Ford Fulkerson Νέα ροή Διατήρησης Ροής Λήμμα: f : V x V R : f = f + f p στο G Διατήρηση Ροής: Για κάθε u V \ {s,} : f(u,v) = 0 Απόδειξη: v V f(u, v) + u V {s, } v V f + f p u, v = 37

38 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Νέα έννοια: αποκοπή (,T) ενός δικτύου ροών Μία αποκοπή (,T) ενός δικτύου ροών G=(V,E) είναι μία διαμέριση του V σε και T = V \ έτσι ώστε s και T. 38

39 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Παράδειγμα = {s,,), T = {,,} Συνολική ροή f(,t) = f(,) + f(,) + f(,) = (-0) = 23 12/12 Χωρητικότητα c(,t) = c(,) + c(,) = = 26 11/14 Με σημειογραφία αθροίσματος: f, T = u v T f(u, v) T 39

40 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Λήμμα Λήμμα: Η τιμή μίας ροής σε ένα δίκτυο είναι ίση με τη συνολική ροή σε οποιαδήποτε αποκοπή του δικτύου f (,T) = f 12/12 11/14 40

41 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Λήμμα (Απόδειξη) Απόδειξη Λήμματος f (, T) = f (, V\) = f (, V) f (, ) = f (, V) = f (s [\s], V) = f (s, V) + f (\s, V) = f (s, V) = f 41

42 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Ιδιότητες Ρόων Ιδιότητες ροών: X,Y,Z V and X Y = f (X, Y) = f (x, y) f (X, X) = 0 f (X, Y) = f(y, X) f (u, V) = 0 for all u V \ {s, } f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) f (Z, X Y) = f (Z, X) + f (Z, Y) 42

43 Ford Fulkerson Αποκοπές Η τιμή κάθε ροής f σε ένα δίκτυο ροών G φράσσεται από επάνω από τη χωρητικότητα οποιασδήποτε αποκοπής του G 12/12 11/14 Λήμμα: f < c (, T) 43

44 Ford Fulkerson Αποκοπές Λήμμα Απόδειξη Λήμματος (Απόδειξη) f = f, T = = c(, T) u v T f(u, v) u v T c(u, v) 44

45 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής Αν f είναι μία ροή στο δίκτυο G = (V,E) με πηγή s και προορισμό, τότε τα εξής είναι ισοδύναμα: 1.Η f είναι μέγιστη ροή στο G. 2.Το υπολειπόμενο δίκτυο G f δεν περιέχει διαδρομές επαύξησης. 3. f = c (, T) για κάποια αποκοπή (, T) του G. 45

46 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Απόδειξη: (1) (2): Αποκοπής (Απόδειξη Ι) Υποθέτουμε ότι η f είναι μέγιστη ροή στο G αλλά υπάρχει διαδρομή επαύξησης p στο G f. Τότε, μπορούμε να αυξήσουμε τη ροή στο G σύμφωνα με το τύπο : f = f + f p. Αυτό θα δημιουργούσε μία νέα ροή f που θα ήταν αυστηρά μεγαλύτερη από την f που είναι αντίφαση μιας και η f είναι μέγιστη ροή. 46

47 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής (Απόδειξη ΙΙ) Απόδειξη: (2) (3): Αρχικό δίκτυο G 3/3 6/8 3/3 1/3 6/6 5/6 4/6 8/8 Υπολειπόμενο δίκτυο G f

48 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής (Απόδειξη ΙΙΙ) Απόδειξη: (2) (3): Ορίζουμε = {v V διαδρομή p από s σε v στο G f } T = V \ (το σύμφωνα με (2)) Υπολειπόμενο δίκτυο G f

49 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής (Απόδειξη ΙV) Απόδειξη: (2) (3): Ορίζουμε = {v V διαδρομή p από s σε v στο G f } T = V \ (το σύμφωνα με (2)) u, v T: f (u, v) = c (u, v) (διαφορετικά (u, v) E f και v ) f = f (, T) = c (, T) Αρχικό δίκτυο G 3/3 6/8 3/3 1/3 6/6 5/6 4/6 8/8 49

50 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Απόδειξη: Αποκοπής (Απόδειξη V) (3) (1): όπως αποδείξαμε πριν f = f (, T) < c (, T) Το (3) ορίζει : f = c (, T) που σημαίνει ότι f είναι μέγιστη ροή 50

51 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson 1. for each edge (u, v) E [G] 2. do f [u, v] = 0 3. f [v, u] = 0 4. while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f 5. do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} 6. for each edge (u, v) in p 7. do f [u, v] = f [u, v] + c f (p) 8. f [v, u] = - f [u, v] 51

52 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης Ι (υπολειπόμενο) δίκτυο G f for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 52

53 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης ΙI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f 0/12 0/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 53

54 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης ΙII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 54

55 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης ΙV (υπολειπόμενο) δίκτυο G f for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 55

56 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης V (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) =

57 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης VI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 57

58 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης VII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 58

59 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης VIII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 59

60 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης IX (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) =

61 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης X (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) = 4 4/14 61

62 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 4/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 62

63 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 4/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 63

64 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XIII υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 4/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 64

65 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XIV (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) = 7 4/14 65

66 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XV (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) = 7 11/14 66

67 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XVI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G 12 11/ /12 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 67

68 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XVII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 11/14 Άρα: for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} f = f (s, V) = 23 for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 68

69 Ανάλυση 1. for each edge (u, v) E [G] 2. do f [u, v] = 0 3. f [v, u] = 0 4. while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f 5. do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} 6. for each edge (u, v) in p 7. do f [u, v] = f [u, v] + cf (p) 8. f [v, u] = - f [u, v] Ο χρόνος εκτέλεσης εξαρτάται από τον τρόπο ορισμού των αυξητικών μονοπατιών p στη γραμμή 4. 69

70 Ford Fulkerson Ανάλυση I Λήμμα: (f + f p ) = f + f p Η τιμή της ροής είναι πάντα ακέραιος αριθμός. Τιμής ροής f: f = v V f(s, v) Απόδειξη f + f p = f + f p s, v = f s, v + f p s, v v V v V = v V f(s, v) + v V f p (s, v) = f + f p 70

71 Ford Fulkerson Ανάλυση II Συνέπεια: f : V x V R : f = f + f p στο G (f + f p ) = f + f p > f Το λήμμα δείχνει: Αν μπορεί να βρεθεί μία διαδρομή επαύξησης τότε η αύξηση της ροής θα δώσει καλύτερη ροή. 71

72 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) I 1. for each edge (u, v) E [G] 2. do f [u, v] = 0 3. f [v, u] = 0 O( E ) 4. while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f 5. do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} 6. for each edge (u, v) in p 7. do f [u, v] = f [u, v] + cf (p) 8. f [v, u] = - f [u, v] O( E ) Χρόνος εκτέλεσης: O ( E fmax ) με fmax τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι O( E f max ) 72

73 1 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) II Συνέπειες αυθαίρετης επιλογής: Παράδειγμα αν f* είναι μεγάλο: Χρόνος εκτέλεσης: O ( E f max ) με f max τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι s 73

74 1 1 / 1 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) III Συνέπειες αυθαίρετης επιλογής: Παράδειγμα αν f* είναι μεγάλο: Χρόνος εκτέλεσης: O ( E f max ) με f max τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι s s 74

75 1 1 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) III Συνέπειες αυθαίρετης επιλογής: Παράδειγμα αν f* είναι μεγάλο: Χρόνος εκτέλεσης: O ( E f max ) με f max τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι s s 75

76 Καλές Διαδρομές Επαύξησης I Προσοχή στην επιλογή των διαδρομών o Μερικές επιλογές (όπως πριν) οδηγούν σε εκθετικούς αλγόριθμους. o Έξυπνες επιλογές δίνουν πολυωνυμικούς αλγόριθμους. o Αν οι χωρητικότητες είναι άρρητοι, τότε ο αλγόριθμος μπορεί να μην τερματίσει! Στόχος: επιλογή διαδρομών ώστε: o Αποδοτική εύρεση των διαδρομών επαύξησης. o Λίγες επαναλήψεις. 76

77 Καλές Διαδρομές Επαύξησης II Επιλογή διαδρομών με: [Edmonds-Karp 1972, Diniz 1970] o o o Μέγιστη υπολειπόμενη χωρητικότητα. Αρκετά μεγάλη υπολειπόμενη χωρητικότητα. Ελάχιστο πλήθος ακμών. 77

78 Κλιμάκωση Χωρητικότητας Ι Διαίσθηση: Η εύρεση της διαδρομής με μέγιστη υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξάνει τη ροή κατά τη μέγιστη τιμή. o Δεν χρειάζεται να μπλέξουμε με το μέγιστο (δαπανηρό). o Παράμετρο κλιμάκωσης Δ. o Έστω G f (Δ) ο υπογράφος του υπολειπόμενου γράφου με ακμές με χωρητικότητα τουλάχιστον Δ. 78

79 Κλιμάκωση Χωρητικότητας ΙΙ 4 4 s s G f G f (100) 79

80 Κλιμάκωση Χωρητικότητας ΙΙΙ caling-max-flow(g, s,, c) { Για κάθε e E f(e) 0 μεγαλύτερη δύναμη του 2 που είναι μικρότερη από τη μέγιστη χωρητικότητα ακμών που εξέρχονται του s G f υπολειπόμενος γράφος while ( 1) { G f ( ) -υπολειπόμενος γράφος while (υπάρχει διαδρομή επαύξησης P στο G f ( )) { f augmen(f, c, P) ενημέρωση G f ( ) } / 2 } reurn f } 80

81 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Ορθότητα Υπόθεση: Όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι στο [1,C]. Αμετάβλητη Ιδιότητα: Όλες οι ροές και υπολειπόμενες χωρητικότητες είναι ακέραιοι. Ορθότητα: Αν ο αλγόριθμος τερματίζει, τότε το f είναι μέγιστη ροή. Απόδειξη: i. Όταν = 1 G f ( ) = G f. ii. Όταν τερματίζει στην φάση = 1, τότε δεν υπάρχουν διαδρομές επαύξησης. 81

82 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα I Λήμμα 1: Το εξωτερικό while επαναλαμβάνεται 1 + log 2 C φορές. Απόδειξη: Αρχικά C. Το υποδιπλασιάζεται σε κάθε επανάληψη. Λήμμα 2: Έστω f η ροή στο τέλος μίας φάσης -κλιμάκωσης. Τότε η μέγιστη τιμή συνολικής ροής είναι f + m. 82

83 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα II Λήμμα 3: Υπάρχουν το πολύ 2m επαυξήσεις σε κάθε φάση κλιμάκωσης. Έστω f η ροή στο τέλος της προηγούμενης φάσης κλιμάκωσης. Κάθε επαύξηση σε μία -φάση κλιμάκωσης αυξάνει το f κατά. Λήμμα 2 f* f + m (2 ). Θεώρημα: Ο αλγόριθμος μέγιστης ροής με κλιμάκωση ανακαλύπτει τη μέγιστη ροή σε O(m log C) επαύξησης. Μπορεί να υλοποιηθεί ώστε να τρέχει σε O(m 2 log C) χρόνο. 83

84 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα III Λήμμα 2: Έστω f η ροή στο τέλος μίας φάσης -κλιμάκωσης. Τότε η μέγιστη τιμή συνολικής ροής είναι f + m. Απόδειξη: (σχεδόν ίδια με το θεώρημα μέγιστης ροής ελάχιστης αποκοπής) Θα δείξουμε ότι στο τέλος της -φάσης, υπάρχει αποκοπή (A, B) έτσι ώστε c(a, B) f + m. Το A είναι το σύνολο κόμβων που φτάνει ο s στο G f ( ). s A. A. 84

85 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα IV f = f(e) f e e ou of A e in o A (c e Δ) Δ e ou of A e in o A = c(e) Δ Δ e e ou of A e ou of A c A, B mδ e in o A 85

86 Πολυπλοκότητες Ο αλγόριθμος Ford-Fulkerson: Ο(m C) (Εκθετικός/Ψευδοπολυωνυμικός) Μέγιστη Ροή με Κλιμάκωση: Ο(m 2 logc) (Ασθενώς πολυωνυμικός) Edmonds-Karp (συντομότερες διαδρομές ως διαδρομές επαύξησης): Ο(nm 2 ) (ισχυρά πολυωνυμικός) 86

87 Παραλλαγές Μέγιστης Ροής Μία 2η συνάρτηση χωρητικότητας για κάτω φράγμα με b(u,v) < f(u,v) < c(u,v) Μία συνάρτηση κόστους όπου κάθε ακμή (u,v) έχει και ένα δεύτερος βάρος cos(u,v) και έχουμε το πρόβλημα μέγιστης ροής ελαχίστου κόστους Δίκτυα με πολλαπλές πηγές και προορισμούς 87

88 Πολλαπλές Πηγές και Προορισμοί s1 s2 1 Υπερπηγή T Υπερπροορισμός s3 2 s4 88

89 Ταίριασμα Είσοδος: μη κατευθυνόμενος γράφος G = (V, E). M E είναι ένα ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μία το πολύ ακμή του M. Μέγιστο Ταίριασμα: εύρεση ταιριάσματος μέγιστου πλήθους ακμών. 89

90 Διμερές Ταίριασμα I L ' 2' 3' 4' 5' ταίριασμα 1-2', 3-1', 4-5' Είσοδος: μη κατευθυνόμενος διγράφος G = (L R, E). M E είναι ένα ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μία το πολύ ακμή του M. Μέγιστο Ταίριασμα: εύρεση ταιριάσματος μέγιστου πλήθους ακμών. 90

91 Διμερές Ταίριασμα II R 1' 2' 3' 4' 5' ταίριασμα 1-1', 2-2', 3-3, 4-4' Είσοδος: μη κατευθυνόμενος διγράφος G = (L R, E). M E είναι ένα ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μία το πολύ ακμή του M. Μέγιστο Ταίριασμα: εύρεση ταιριάσματος μέγιστου πλήθους ακμών. 91

92 Διμερές Ταίριασμα III Χρήση Μέγιστης Ροής. Κατασκευή κατευθυνόμενου γράφου G' = (L R {s, }, E' ). Όλες οι ακμές θα δείχνουν από το L στο R, και δώσε χωρητικότητα 1 σε κάθε μία. Πρόσθεση πηγής s, με ακμές προς L με χωρητικότητα 1. Πρόσθεση προορισμού, με ακμές από R με χωρητικότητα 1. 92

93 Διμερές Ταίριασμα IV G' 1 1 1' 1 2 2' 1 s 3 3' 4 4' L 5 5' R 93

94 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα I Θεώρημα: Μέγιστο Ταίριασμα στο G = τιμή μέγιστης ροής στο G'. Απόδειξη: Δοθέντος μέγιστου ταιριάσματος M μεγέθους k. Έστω η ροή που στέλνω 1 μονάδα από αυτές τις k διαδρομές. Η f είναι μία ροή και έχει τιμή k. 94

95 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα II 1 1' 1 1 1' 2 2' 1 2 2' 1 3 3' s 3 3' 4 4' 4 4' G 5 5' 5 5' G' 95

96 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα III Θεώρημα: Μέγιστο Ταίριασμα στο G = τιμή μέγιστης ροής στο G'. Απόδειξη. Έστω f η μέγιστη ροή στο G' με τιμή k. Το k είναι ακέραιος και η ροή σε κάθε ακμή είναι 0-1. M = σύνολο ακμών e από το L στο R με f(e) = 1. Κάθε κόμβος στο L και R συμμετάσχει σε το πολύ μία ακμή του Μ M = k: θεωρήστε την αποκοπή (L s, R ) 96

97 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα IV 1 1 1' 1 1' 1 2 2' 1 2 2' s 3 3' 3 3' 4 4' 4 4' G' 5 5' 5 5' G 97

98 Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh, Ιωάννης Μανωλόπουλος. «Αλγοριθμική Θεωρία Γράφων. Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://eclass.auh.gr/courses/ocr264/. 98

99 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creaive Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

100 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Ανδρέας Κοσματόπουλος Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2015

101 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

102 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση

103 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική, Χρηματοοικονομική Ενότητα των Επιχειρήσεων, :Εισαγωγή Ενότητα βασικές : έννοιες, Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ-Ανοικτά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 8: ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 12: Ηλεκτρικός Ισολογισμόςς Πλοίου Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Επιδημιολογικά στοιχεία καρκίνου του πνεύμονα Ο καρκίνος

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων

Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων Ενότητα 4: Ξενοδοχειακή Βιομηχανία. Γιανναράκης Γρηγόρης ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΓΡΕΒΕΝΑ) ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική Χρηματοοικονομική των,δημοσιονομική Επιχειρήσεων, πολιτική, Ενότητα : Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΚΑΙ ΗΠΕΙΡΟΥ- ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Παραχώρηση (Franchising) Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 6: Αντιστάθμιση γραμμών μεταφοράς με σύγχρονους αντισταθμιστές Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 2: Βασικές αρχές λειτουργίας και χρήσης του υπολογιστή Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Λειτουργικά

Εισαγωγή στα Λειτουργικά Εισαγωγή στα Λειτουργικά Συστήματα Ενότητα 9: Αρχεία ΙΙ Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική υπολογιστών

Αρχιτεκτονική υπολογιστών 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αρχιτεκτονική υπολογιστών Ενότητα 12 : Δομή και Λειτουργία της CPU 2/2 Φώτης Βαρζιώτης 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 1: Ο Νόμος του ΟΗΜ και ο Χρωματικός Κώδικας Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Βρογχοσκόπηση. Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Βρογχοσκόπηση. Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Βρογχοσκόπηση Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Βρογχοσκόπηση (καλωσόρισμα) Εύκαμπτο βρογχοσκόπιο Επιθεώρηση βρογχικού δέντρου

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική των επιχειρήσεων

Διοικητική των επιχειρήσεων Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Διοικητική των επιχειρήσεων Ενότητα 13 :Ιστορία της Διοικητικής Σκέψης Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυμεσικές Εφαρμογές

Πολυμεσικές Εφαρμογές Πολυμεσικές Εφαρμογές Ενότητα 7: ΒΙΝΤΕΟ Γεώργιος Στυλιαράς Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Αναλογικό και ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

Πυελική μάζα. Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου

Πυελική μάζα. Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου Πυελική μάζα Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου Γεώργιος Α. Ανδρουτσόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Ιατρική Σχολή Μαιευτικής - Γυναικολογίας Πανεπιστημίου Πατρών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση Πυελικής Μάζας Πρόπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης

Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης Ενότητα 4: Συλλογή Εμπορευμάτων Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος Ενότητα: Σημειώσεις Εργαστηρίου Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Θετικών Επιστημών

Ιστορία των Θετικών Επιστημών Ιστορία των Θετικών Επιστημών Ενότητα 13: Η Επιστημολογία από το 1800 έως το 1950 Ευθύμιος Ντάλλας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας, Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Σκοποί Ενότητας Η γνώση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ. Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση. Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας

ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ. Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση. Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας Σκοποί ενότητας Με την εισαγωγική διάλεξη επιδιώκεται η εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Διάλεξη 1η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Εισαγωγή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ. Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή. Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία

ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ. Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή. Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία Σκοποί ενότητας Κατανόηση του φαινομένου της ιοντικής ανταλλαγής Περιεχόμενα ενότητας 1) Ρόφηση 2) Απορρόφηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07 Ακαδ έτος 2007-2008 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Φερεντίνος 22/11/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με ΑΜ σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07 Παράδειγμα με if/else if και user input: import javautil*; public class Grades public

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Κατεύθυνση: «Τεχνολογίες Δικτύων Επικοινωνιών & Υπολογιστών» Βασικές Αρχές Κυψελωτών Συστημάτων Δημοσθένης Βουγιούκας

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.)

Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε.) Ενότητα 5: Γεωθερμία Σπύρος Τσιώλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 12. Γλύπτες του 4 ου αι. π.χ. Σκόπας, Ευφράνωρ,

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

Υγιεινή. Πρωτεΐνες. Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών

Υγιεινή. Πρωτεΐνες. Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών Υγιεινή Πρωτεΐνες Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών Αποτελούνται από αμινοξέα ενωμένα με πεπτιδικούς δεσμούς. Μέση σύσταση: Ν: 16 % C: 50 % H: 7 % O: 22 % S: 0,5-3%

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9. Ναοί του 4 ου αι. π.χ. στην ηπειρωτική Ελλάδα

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία της Υγείας

Κοινωνιολογία της Υγείας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Κοινωνιολογία της Υγείας Ενότητα 10 : Κοινωνιολογία του Σώματος Μέρος Γ Μαίρη Γκούβα 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Νοσηλευτικής

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα...

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα... Περιεχόμενα Σχετικά με τους συγγραφείς...3 Πρόλογος... 11 Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... 23 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές Ταίριασμα...25 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά Συστήματα

Υπολογιστικά Συστήματα Υπολογιστικά Συστήματα Ενότητα 6: Ασκήσεις στη Visual Basic for Applications (VBA) Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Ενότητα: Θερµικός υπολογισµός ηλιακού συλλέκτη Ταουσανίδης Νίκος Τµήµα ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Ενότητα 3: Θεωρία του Διεθνούς Εμπορίου Θεωρητικές προσεγγίσεις Γεώργιος Μιχαλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Υψηλές Τάσεις. Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά. Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ

Υψηλές Τάσεις. Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά. Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υψηλές Τάσεις Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Φωτοτεχνία Ενότητα 3: Μελέτες Φωτισμού Εσωτερικών Χώρων Mέθοδος Favie-Οικονομόπουλος Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ

Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ 2. ΑΔΕΙΕΣ Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΛΩΗ ΤΓΚΟΜΙΔΗ ΑΜΠΕΛΟΤΡΓΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ. Αρχείο Βοήθειας

ΔΗΛΩΗ ΤΓΚΟΜΙΔΗ ΑΜΠΕΛΟΤΡΓΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ. Αρχείο Βοήθειας ΔΗΛΩΗ ΤΓΚΟΜΙΔΗ ΑΜΠΕΛΟΤΡΓΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ Αρχείο Βοήθειας 1. Επεξήγηση Εικονιδίων και Λειτουργιών Διαμόρφωση. Πατώντας το εικονίδιο μεταβάλλουμε τα στοιχεία της επιλεγμένης εγγραφής. Διαγραφή. Πατώντας το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΗΠΕΙΡΟΥ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΡΕΥΝΩΝ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΙΔΙΚΟΥ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΥ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Άρτα, 17.02.2011 Αριθμ. Πρωτ.: 347 ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΓΝΩΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ TR-1

ΕΝΤΥΠΟ ΓΝΩΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ TR-1 ΕΝΤΥΠΟ ΓΝΩΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ TR-1 ΓΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΣΕ ΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΨΗΦΟΥ ΠΟΥ ΕΝΣΩΜΑΤΩΝΟΝΤΑΙ ΣΕ ΜΕΤΟΧΕΣ (ΠΑΡ. 1 ΚΑΙ 4 ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 9 ΤΟΥ ν. 3556/2007) ΚΑΙ ΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΠΙΣΤΩΤΙΚΑ ΜΕΣΑ (ΑΡΘΡΟ 11 ΤΟΥ ν. 3556/2007) i 1. Ταυτότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. Πρακτική Άσκηση. Ενότητα 7: Κλίμα αποδοχής, ελεύθερο παιχνίδι, συνεργασία

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. Πρακτική Άσκηση. Ενότητα 7: Κλίμα αποδοχής, ελεύθερο παιχνίδι, συνεργασία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Πρακτική Άσκηση Ενότητα 7: Κλίμα αποδοχής, ελεύθερο παιχνίδι, συνεργασία Αν. Καθηγήτρια: Σοφία Αυγητίδου E-mail: saugitidoy@uowm.gr Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ενότητα 10: Πέρασμα Παραμέτρων σε Διαδικασίες. Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Ενότητα 3: Ο Υπολογιστής Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ιξωδομετρία

EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ιξωδομετρία EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ιξωδομετρία Διδάσκων : Κων/νος Τσιτσιλιάνης, Καθηγητής Ουρανία Κούλη, Ε.ΔΙ.Π. Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Σκοπός Η εξοικείωση των φοιτητών με την πειραματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών Εργαστήριο: XQuery - 2 Όνομα Καθηγητή: Χρήστος Νικολάου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεριμνά, μέσω πρόσκλησης, για την παροχή στους δυνητικούς δικαιούχους λεπτομερών πληροφοριών σχετικά με:

Μεριμνά, μέσω πρόσκλησης, για την παροχή στους δυνητικούς δικαιούχους λεπτομερών πληροφοριών σχετικά με: ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΕΣ (i) Διασφαλίζει την επιλογή των προς χρηματοδότηση πράξεων σύμφωνα με τα κριτήρια που εφαρμόζονται στο πρόγραμμα καθώς και τη συμμόρφωση των συγχρηματοδοτούμενων πράξεων με τους ισχύοντες

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Θεωρία)

Στραγγίσεις (Θεωρία) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 4 : Μέτρηση της στάθμης του υπόγειου νερού Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 4.1 Εγκατάσταση πιεζομετρικών σωλήνων Η στάθμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...13

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.........................................................13 Ι - ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ, ΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ.........................................15

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μάρτιος 2010 Προηγούμενη διάλεξη Μαθησιακές δυσκολίες Σε όλες

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Ο Δείκτης Όγκου στο Λιανικό Εμπόριο, χωρίς τα καύσιμα, μειώθηκε κατά 9,2% το Φεβρουάριο 2011, σε σύγκριση με το Φεβρουάριο 2010.

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Ο Δείκτης Όγκου στο Λιανικό Εμπόριο, χωρίς τα καύσιμα, μειώθηκε κατά 9,2% το Φεβρουάριο 2011, σε σύγκριση με το Φεβρουάριο 2010. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 29 Απριλίου 2011 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Ο Δείκτης Κύκλου Εργασιών στο Λιανικό Εμπόριο, χωρίς τα καύσιμα, μειώθηκε κατά 9,0% το Φεβρουάριο 2011, σε σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΣΜΟΥ ΤΩΝ ΑΚΑΤΑΣΧΕΤΩΝ5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΣΜΟΥ ΤΩΝ ΑΚΑΤΑΣΧΕΤΩΝ5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ EYΧΑΡΙΣΤΙΕΣ...VII ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... IX ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ... XVII ΕΙΣΑΓΩΓΗ...1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΥΝΤΟΜΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΣΜΟΥ ΤΩΝ ΑΚΑΤΑΣΧΕΤΩΝ5 Ι. ΑΡΧΑΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΚΟ ΙΚΑΙΟ (Νόμος του Χαμουραμπί)...

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

8. Επιλογή και επανάληψη

8. Επιλογή και επανάληψη 8. Επιλογή και επανάληψη 8.1 Εντολές Επιλογής ΕΣΕΠ06-Θ1Β5 Η ιεραρχία των λογικών τελεστών είναι µικρότερη των αριθµητικών. ΕΣ07-Θ1Γ5 Η σύγκριση λογικών δεδοµένων έχει έννοια µόνο στην περίπτωση του ίσου

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΓΙΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΓΙΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΓΙΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΓΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΕ ΙΔΡΥΜΑΤΑ-ΕΤΑΙΡΟΥΣ ΔΕΥΤΕΡΗ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΞΕΝΟΥ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ 2004-2007

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΞΕΝΟΥ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ 2004-2007 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΑΝΑΓΚΩΝ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣ ΞΕΝΟΥ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ 2004-2007 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΧΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΜΑΡΤΙΟΣ 2004 ΣΥΝΟΨΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Το ξένο εργατικό

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα: Συσκευές Τηλεμετρίας Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail: sbellou@uowm.gr

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος AO Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε

Διαβάστε περισσότερα