Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 13: Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα Ιωάννης Μανωλόπουλος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα

5 Δίκτυα Πρακτικά παραδείγματα δικτύων Ρευστά σε σωλήνες κομμάτια σε γραμμές παραγωγής ρεύμα σε ηλεκτρικό δίκτυο πληροφορία σε δίκτυο επικοινωνίας μεταφορά αγαθών σε δρόμους 5

6 Δίκτυα Παράδειγμα Δίκτυο ροών: κατευθυνόμενος γράφος G=(V,E) Παράδειγμα: σωλήνες πετρελαίου Προορισμός (κόμβος απόληξης) Πηγή (κόμβος προέλευσης) 6

7 Το Πρόβλημα Μέγιστης Ροής Άτυπος Ορισμός Άτυπος ορισμός προβλήματος μέγιστης ροής: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ρυθμός αποστολής υλικού από την πηγή στον προορισμό χωρίς παραβίαση των περιορισμών χωρητικότητας; 7

8 Χωρητικότητα Ι u 12 v u c(u,v)=12 6 v Μεγάλος σωλήνας c(u,v)=6 Μικρός σωλήνας 8

9 Χωρητικότητα ΙΙ Αν (u,v) E c(u,v) =

10 Χωρητικότητα Ροή u 6/12 v u f(u,v)=6 6/6 v Ροή μικρότερη της χωρητικότητας f(u,v)=6 Μέγιστη Ροή 10

11 Ροή Ι

12 Ροή ΙΙ /6 3 6/6 6/8 12

13 Ροή ΙΙΙ /6 3 6/6 6/8 13

14 Ροή ΙV 3/8 3 3/3 3/6 6/6 3 6/6 6/8 14

15 Ροή V 3/8 3 3/3 3/6 6/6 3 6/6 6/8 15

16 Ροή VI 5/8 3/3 2/3 3/6 6/6 3 6/6 8/8 16

17 Ακύρωση I 5/8 3/3 2/3 3/6 6/6 3 6/6 8/8 17

18 Ακύρωση II 6/8 3/3 3/3 4/6 6/6 1/3 5/6 8/8 u u u u /10 4 8/10 3/4 5/10 4 v v v v 18

19 Ιδιότητες Ροών Ροή σε G = V, E : f: V V R με 3 ιδιότητες: 1. Περιορισμός χωρητικότητας: u, v V: 0 f(u, v) c(u, v) 2. Συμμετρία: u, v V: f u, v = f(v, u) 3. Διατήρηση ροής: u, v V{s, }: v V f u, v = 0 19

20 Ιδιότητες Ροών Παράδειγμα Δίκτυο ροών G=(V,E) 12/12 Προσοχή: Λόγω συμμετρίας f(,) = /14 20

21 Συνολική Ροή και Τιμή Ροής Συνολική ροή: Θετική ή αρνητική τιμή της f(u,v) u 8/10 3/4 v u 5/10 4 v f(u,v) = 5 f(v,u) = -5 Τιμή ροής f: Ορισμός : 6/8 3/3 3/3 4/6 f = v V f(s, v) 6/6 1/3 5/6 8/8 21

22 Το Πρόβλημα της Μέγιστης Ροής Άτυπος ορισμός προβλήματος μέγιστης ροής: Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ρυθμός αποστολής υλικού από την πηγή στον προορισμό χωρίς παραβίαση των περιορισμών χωρητικότητας; Τυπικός ορισμός του προβλήματος μέγιστης ροής: Το πρόβλημα μέγιστης ροής είναι η εύρεση νόμιμης ροής για δοθέντα ζυγισμένο κατευθυνόμενο γράφο G, που έχει τη μέγιστη τιμή από όλες τις ροές. 22

23 Η Μέθοδος Ford-Fulkerson, ένας τρόπος εύρεσης μέγιστης ροής Υποθέσεις: 1. Θεωρούμε θετικές ακέραιες χωρητικότητες (C η τιμή της μέγιστης) 2. Η πηγή (κόμβος προέλευσης) δεν έχει εισερχόμενη ακμή 3. Ο προορισμός (κόμβος απόληξης) δεν έχει εξερχόμενη ακμή Αυτή η μέθοδος περιέχει 3 σημαντικές ιδέες: 1. Υπολειπόμενος γράφος (residual nework) 2. Διαδρομές επαύξησης 3. Αποκοπές δικτύων ροής 23

24 Ford-Fulkerson ψευδοκώδικας 1. Αρχικοποίηση τιμής ροής f σε 0 2. Όσο υπάρχει διαδρομή επαύξησης p 3. δώσε ροή f στη διαδρομή p 4. Επίστρεψε f 24

25 Ford Fulkerson Υπολειπόμενα Δίκτυα Ι Το υπολειπόμενο δίκτυο G f ενός δικτύου ροών G με νόμιμη ροή f αποτελείται από τις ίδιες κορυφές v V, όπως στο G, που συνδέονται με ακμές υπολοίπων (u,v) E f που μπορούν να δεχθούν αυστηρά περισσότερη συνολική ροή. Η υπολειπόμενη χωρητικότητα c f αναπαριστά το βάρος κάθε ακμής E f και είναι η επιπρόσθετη συνολική ροή f(u,v) πριν ξεπερασθεί η χωρητικότητα c(u,v) 25

26 Ford Fulkerson Υπολειπόμενα Δίκτυα ΙΙ Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/12 11/14 c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) 26

27 Ford Fulkerson Υπολειπόμενα Δίκτυα ΙΙI Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ / c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) 27

28 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης I Ορισμός: Μία διαδρομή επαύξησης p είναι μία απλή (χωρίς κύκλους) διαδρομή από το s στο στο υπολειπόμενο δίκτυο G f Υπολειπόμενη χωρητικότητα του p c f (p) = min{c f (u,v): (u,v) ανήκει στο p} 28

29 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης II Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ /

30 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης III Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ / Διαδρομή Επαύξησης 30

31 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης IV Ορίζουμε μία ροή: fp: V x V R έτσι ώστε: f p u, v = c f p αν u, v ανηκει στο p c f p αν v, u ανηκει στο p 0 διαφορετικα 31

32 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης V Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ /

33 Ford Fulkerson Διαδρομές Επαύξησης VI Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ / Η ιδεατή ροή f p στη διαδρομή επαύξησης p στο G f 33

34 Ford Fulkerson Αυξάνοντας τη Ροή Δίκτυο ροών G = (V,E) Υπολειπόμενο δίκτυο G f = (V,E f ) 12/ /14 Νέα Ροή: f : V x V R : f =f + f p 3 11 Η ιδεατή ροή f p στη διαδρομή επαύξησης p στο G f 34

35 Ford Fulkerson Νέα ροή Περιορισμός Λήμμα: Χωρητικότητας f : V x V R : f = f + f p στο G c f (p) = min{c f (u,v): (u,v) is on p} c f (u,v) = c(u,v) f(u,v) Περιορισμός χωρητικότητας: Για κάθε u,v V, απαιτούμε f(u,v) < c(u,v) Απόδειξη: f p (u,v) < c f (u,v) = c (u,v) f (u,v) (f + f p ) (u,v) = f (u,v) + f p (u,v) < c (u,v) 35

36 Ford Fulkerson Νέα ροή Συμμετρία Λήμμα: f : V x V R : f = f + f p στο G Συμμετρία: Για κάθε u,v V, απαιτούμε f(u,v) = f(v,u) Απόδειξη: (f + f p )(u,v) = f (u,v) + f p (u,v) = f (v,u) f p (v,u) = (f (v,u) + f p (v,u)) = (f + f p ) (v,u) 36

37 Ford Fulkerson Νέα ροή Διατήρησης Ροής Λήμμα: f : V x V R : f = f + f p στο G Διατήρηση Ροής: Για κάθε u V \ {s,} : f(u,v) = 0 Απόδειξη: v V f(u, v) + u V {s, } v V f + f p u, v = 37

38 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Νέα έννοια: αποκοπή (,T) ενός δικτύου ροών Μία αποκοπή (,T) ενός δικτύου ροών G=(V,E) είναι μία διαμέριση του V σε και T = V \ έτσι ώστε s και T. 38

39 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Παράδειγμα = {s,,), T = {,,} Συνολική ροή f(,t) = f(,) + f(,) + f(,) = (-0) = 23 12/12 Χωρητικότητα c(,t) = c(,) + c(,) = = 26 11/14 Με σημειογραφία αθροίσματος: f, T = u v T f(u, v) T 39

40 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Λήμμα Λήμμα: Η τιμή μίας ροής σε ένα δίκτυο είναι ίση με τη συνολική ροή σε οποιαδήποτε αποκοπή του δικτύου f (,T) = f 12/12 11/14 40

41 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Λήμμα (Απόδειξη) Απόδειξη Λήμματος f (, T) = f (, V\) = f (, V) f (, ) = f (, V) = f (s [\s], V) = f (s, V) + f (\s, V) = f (s, V) = f 41

42 Ford Fulkerson Αποκοπές Δικτύων Ροών Ιδιότητες Ρόων Ιδιότητες ροών: X,Y,Z V and X Y = f (X, Y) = f (x, y) f (X, X) = 0 f (X, Y) = f(y, X) f (u, V) = 0 for all u V \ {s, } f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) f (Z, X Y) = f (Z, X) + f (Z, Y) 42

43 Ford Fulkerson Αποκοπές Η τιμή κάθε ροής f σε ένα δίκτυο ροών G φράσσεται από επάνω από τη χωρητικότητα οποιασδήποτε αποκοπής του G 12/12 11/14 Λήμμα: f < c (, T) 43

44 Ford Fulkerson Αποκοπές Λήμμα Απόδειξη Λήμματος (Απόδειξη) f = f, T = = c(, T) u v T f(u, v) u v T c(u, v) 44

45 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής Αν f είναι μία ροή στο δίκτυο G = (V,E) με πηγή s και προορισμό, τότε τα εξής είναι ισοδύναμα: 1.Η f είναι μέγιστη ροή στο G. 2.Το υπολειπόμενο δίκτυο G f δεν περιέχει διαδρομές επαύξησης. 3. f = c (, T) για κάποια αποκοπή (, T) του G. 45

46 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Απόδειξη: (1) (2): Αποκοπής (Απόδειξη Ι) Υποθέτουμε ότι η f είναι μέγιστη ροή στο G αλλά υπάρχει διαδρομή επαύξησης p στο G f. Τότε, μπορούμε να αυξήσουμε τη ροή στο G σύμφωνα με το τύπο : f = f + f p. Αυτό θα δημιουργούσε μία νέα ροή f που θα ήταν αυστηρά μεγαλύτερη από την f που είναι αντίφαση μιας και η f είναι μέγιστη ροή. 46

47 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής (Απόδειξη ΙΙ) Απόδειξη: (2) (3): Αρχικό δίκτυο G 3/3 6/8 3/3 1/3 6/6 5/6 4/6 8/8 Υπολειπόμενο δίκτυο G f

48 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής (Απόδειξη ΙΙΙ) Απόδειξη: (2) (3): Ορίζουμε = {v V διαδρομή p από s σε v στο G f } T = V \ (το σύμφωνα με (2)) Υπολειπόμενο δίκτυο G f

49 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Αποκοπής (Απόδειξη ΙV) Απόδειξη: (2) (3): Ορίζουμε = {v V διαδρομή p από s σε v στο G f } T = V \ (το σύμφωνα με (2)) u, v T: f (u, v) = c (u, v) (διαφορετικά (u, v) E f και v ) f = f (, T) = c (, T) Αρχικό δίκτυο G 3/3 6/8 3/3 1/3 6/6 5/6 4/6 8/8 49

50 Θεώρημα Μέγιστης Ροής Ελάχιστης Απόδειξη: Αποκοπής (Απόδειξη V) (3) (1): όπως αποδείξαμε πριν f = f (, T) < c (, T) Το (3) ορίζει : f = c (, T) που σημαίνει ότι f είναι μέγιστη ροή 50

51 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson 1. for each edge (u, v) E [G] 2. do f [u, v] = 0 3. f [v, u] = 0 4. while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f 5. do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} 6. for each edge (u, v) in p 7. do f [u, v] = f [u, v] + c f (p) 8. f [v, u] = - f [u, v] 51

52 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης Ι (υπολειπόμενο) δίκτυο G f for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 52

53 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης ΙI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f 0/12 0/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 53

54 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης ΙII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 54

55 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης ΙV (υπολειπόμενο) δίκτυο G f for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 55

56 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης V (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) =

57 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης VI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 57

58 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης VII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 58

59 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης VIII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 59

60 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης IX (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) =

61 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης X (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) = 4 4/14 61

62 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 4/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 62

63 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 4/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 63

64 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XIII υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 4/14 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 64

65 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XIV (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) = 7 4/14 65

66 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XV (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 [..] do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] Προσωρινή Μεταβλητή: c f (p) = 7 11/14 66

67 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XVI (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G 12 11/ /12 for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 67

68 Ο αλγόριθμος του Ford Fulkerson Παράδειγμα Εκτέλεσης XVII (υπολειπόμενο) δίκτυο G f Νέο δίκτυο G /12 11/14 Άρα: for each edge (u, v) E [G] do f [u, v] = 0 f [v, u] = 0 while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} f = f (s, V) = 23 for each edge (u, v) in p do f [u, v] = f [u,v] + c f (p) f [v, u] = - f[u, v] 68

69 Ανάλυση 1. for each edge (u, v) E [G] 2. do f [u, v] = 0 3. f [v, u] = 0 4. while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f 5. do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} 6. for each edge (u, v) in p 7. do f [u, v] = f [u, v] + cf (p) 8. f [v, u] = - f [u, v] Ο χρόνος εκτέλεσης εξαρτάται από τον τρόπο ορισμού των αυξητικών μονοπατιών p στη γραμμή 4. 69

70 Ford Fulkerson Ανάλυση I Λήμμα: (f + f p ) = f + f p Η τιμή της ροής είναι πάντα ακέραιος αριθμός. Τιμής ροής f: f = v V f(s, v) Απόδειξη f + f p = f + f p s, v = f s, v + f p s, v v V v V = v V f(s, v) + v V f p (s, v) = f + f p 70

71 Ford Fulkerson Ανάλυση II Συνέπεια: f : V x V R : f = f + f p στο G (f + f p ) = f + f p > f Το λήμμα δείχνει: Αν μπορεί να βρεθεί μία διαδρομή επαύξησης τότε η αύξηση της ροής θα δώσει καλύτερη ροή. 71

72 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) I 1. for each edge (u, v) E [G] 2. do f [u, v] = 0 3. f [v, u] = 0 O( E ) 4. while here exiss a pah p from s o in he residual nework G f 5. do c f (p) = min {c f (u, v) (u, v) is in p} 6. for each edge (u, v) in p 7. do f [u, v] = f [u, v] + cf (p) 8. f [v, u] = - f [u, v] O( E ) Χρόνος εκτέλεσης: O ( E fmax ) με fmax τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι O( E f max ) 72

73 1 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) II Συνέπειες αυθαίρετης επιλογής: Παράδειγμα αν f* είναι μεγάλο: Χρόνος εκτέλεσης: O ( E f max ) με f max τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι s 73

74 1 1 / 1 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) III Συνέπειες αυθαίρετης επιλογής: Παράδειγμα αν f* είναι μεγάλο: Χρόνος εκτέλεσης: O ( E f max ) με f max τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι s s 74

75 1 1 Ανάλυση - Χρόνος Εκτέλεσης (αυθαίρετη επιλογή p) III Συνέπειες αυθαίρετης επιλογής: Παράδειγμα αν f* είναι μεγάλο: Χρόνος εκτέλεσης: O ( E f max ) με f max τη μέγιστη ροή (1) Η διαδρομή επαύξησης επιλέγεται αυθαίρετα και όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι s s 75

76 Καλές Διαδρομές Επαύξησης I Προσοχή στην επιλογή των διαδρομών o Μερικές επιλογές (όπως πριν) οδηγούν σε εκθετικούς αλγόριθμους. o Έξυπνες επιλογές δίνουν πολυωνυμικούς αλγόριθμους. o Αν οι χωρητικότητες είναι άρρητοι, τότε ο αλγόριθμος μπορεί να μην τερματίσει! Στόχος: επιλογή διαδρομών ώστε: o Αποδοτική εύρεση των διαδρομών επαύξησης. o Λίγες επαναλήψεις. 76

77 Καλές Διαδρομές Επαύξησης II Επιλογή διαδρομών με: [Edmonds-Karp 1972, Diniz 1970] o o o Μέγιστη υπολειπόμενη χωρητικότητα. Αρκετά μεγάλη υπολειπόμενη χωρητικότητα. Ελάχιστο πλήθος ακμών. 77

78 Κλιμάκωση Χωρητικότητας Ι Διαίσθηση: Η εύρεση της διαδρομής με μέγιστη υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξάνει τη ροή κατά τη μέγιστη τιμή. o Δεν χρειάζεται να μπλέξουμε με το μέγιστο (δαπανηρό). o Παράμετρο κλιμάκωσης Δ. o Έστω G f (Δ) ο υπογράφος του υπολειπόμενου γράφου με ακμές με χωρητικότητα τουλάχιστον Δ. 78

79 Κλιμάκωση Χωρητικότητας ΙΙ 4 4 s s G f G f (100) 79

80 Κλιμάκωση Χωρητικότητας ΙΙΙ caling-max-flow(g, s,, c) { Για κάθε e E f(e) 0 μεγαλύτερη δύναμη του 2 που είναι μικρότερη από τη μέγιστη χωρητικότητα ακμών που εξέρχονται του s G f υπολειπόμενος γράφος while ( 1) { G f ( ) -υπολειπόμενος γράφος while (υπάρχει διαδρομή επαύξησης P στο G f ( )) { f augmen(f, c, P) ενημέρωση G f ( ) } / 2 } reurn f } 80

81 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Ορθότητα Υπόθεση: Όλες οι χωρητικότητες είναι ακέραιοι στο [1,C]. Αμετάβλητη Ιδιότητα: Όλες οι ροές και υπολειπόμενες χωρητικότητες είναι ακέραιοι. Ορθότητα: Αν ο αλγόριθμος τερματίζει, τότε το f είναι μέγιστη ροή. Απόδειξη: i. Όταν = 1 G f ( ) = G f. ii. Όταν τερματίζει στην φάση = 1, τότε δεν υπάρχουν διαδρομές επαύξησης. 81

82 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα I Λήμμα 1: Το εξωτερικό while επαναλαμβάνεται 1 + log 2 C φορές. Απόδειξη: Αρχικά C. Το υποδιπλασιάζεται σε κάθε επανάληψη. Λήμμα 2: Έστω f η ροή στο τέλος μίας φάσης -κλιμάκωσης. Τότε η μέγιστη τιμή συνολικής ροής είναι f + m. 82

83 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα II Λήμμα 3: Υπάρχουν το πολύ 2m επαυξήσεις σε κάθε φάση κλιμάκωσης. Έστω f η ροή στο τέλος της προηγούμενης φάσης κλιμάκωσης. Κάθε επαύξηση σε μία -φάση κλιμάκωσης αυξάνει το f κατά. Λήμμα 2 f* f + m (2 ). Θεώρημα: Ο αλγόριθμος μέγιστης ροής με κλιμάκωση ανακαλύπτει τη μέγιστη ροή σε O(m log C) επαύξησης. Μπορεί να υλοποιηθεί ώστε να τρέχει σε O(m 2 log C) χρόνο. 83

84 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα III Λήμμα 2: Έστω f η ροή στο τέλος μίας φάσης -κλιμάκωσης. Τότε η μέγιστη τιμή συνολικής ροής είναι f + m. Απόδειξη: (σχεδόν ίδια με το θεώρημα μέγιστης ροής ελάχιστης αποκοπής) Θα δείξουμε ότι στο τέλος της -φάσης, υπάρχει αποκοπή (A, B) έτσι ώστε c(a, B) f + m. Το A είναι το σύνολο κόμβων που φτάνει ο s στο G f ( ). s A. A. 84

85 Κλιμάκωση Χωρητικότητας: Πολυπλοκότητα IV f = f(e) f e e ou of A e in o A (c e Δ) Δ e ou of A e in o A = c(e) Δ Δ e e ou of A e ou of A c A, B mδ e in o A 85

86 Πολυπλοκότητες Ο αλγόριθμος Ford-Fulkerson: Ο(m C) (Εκθετικός/Ψευδοπολυωνυμικός) Μέγιστη Ροή με Κλιμάκωση: Ο(m 2 logc) (Ασθενώς πολυωνυμικός) Edmonds-Karp (συντομότερες διαδρομές ως διαδρομές επαύξησης): Ο(nm 2 ) (ισχυρά πολυωνυμικός) 86

87 Παραλλαγές Μέγιστης Ροής Μία 2η συνάρτηση χωρητικότητας για κάτω φράγμα με b(u,v) < f(u,v) < c(u,v) Μία συνάρτηση κόστους όπου κάθε ακμή (u,v) έχει και ένα δεύτερος βάρος cos(u,v) και έχουμε το πρόβλημα μέγιστης ροής ελαχίστου κόστους Δίκτυα με πολλαπλές πηγές και προορισμούς 87

88 Πολλαπλές Πηγές και Προορισμοί s1 s2 1 Υπερπηγή T Υπερπροορισμός s3 2 s4 88

89 Ταίριασμα Είσοδος: μη κατευθυνόμενος γράφος G = (V, E). M E είναι ένα ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μία το πολύ ακμή του M. Μέγιστο Ταίριασμα: εύρεση ταιριάσματος μέγιστου πλήθους ακμών. 89

90 Διμερές Ταίριασμα I L ' 2' 3' 4' 5' ταίριασμα 1-2', 3-1', 4-5' Είσοδος: μη κατευθυνόμενος διγράφος G = (L R, E). M E είναι ένα ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μία το πολύ ακμή του M. Μέγιστο Ταίριασμα: εύρεση ταιριάσματος μέγιστου πλήθους ακμών. 90

91 Διμερές Ταίριασμα II R 1' 2' 3' 4' 5' ταίριασμα 1-1', 2-2', 3-3, 4-4' Είσοδος: μη κατευθυνόμενος διγράφος G = (L R, E). M E είναι ένα ταίριασμα αν κάθε κόμβος εμφανίζεται σε μία το πολύ ακμή του M. Μέγιστο Ταίριασμα: εύρεση ταιριάσματος μέγιστου πλήθους ακμών. 91

92 Διμερές Ταίριασμα III Χρήση Μέγιστης Ροής. Κατασκευή κατευθυνόμενου γράφου G' = (L R {s, }, E' ). Όλες οι ακμές θα δείχνουν από το L στο R, και δώσε χωρητικότητα 1 σε κάθε μία. Πρόσθεση πηγής s, με ακμές προς L με χωρητικότητα 1. Πρόσθεση προορισμού, με ακμές από R με χωρητικότητα 1. 92

93 Διμερές Ταίριασμα IV G' 1 1 1' 1 2 2' 1 s 3 3' 4 4' L 5 5' R 93

94 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα I Θεώρημα: Μέγιστο Ταίριασμα στο G = τιμή μέγιστης ροής στο G'. Απόδειξη: Δοθέντος μέγιστου ταιριάσματος M μεγέθους k. Έστω η ροή που στέλνω 1 μονάδα από αυτές τις k διαδρομές. Η f είναι μία ροή και έχει τιμή k. 94

95 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα II 1 1' 1 1 1' 2 2' 1 2 2' 1 3 3' s 3 3' 4 4' 4 4' G 5 5' 5 5' G' 95

96 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα III Θεώρημα: Μέγιστο Ταίριασμα στο G = τιμή μέγιστης ροής στο G'. Απόδειξη. Έστω f η μέγιστη ροή στο G' με τιμή k. Το k είναι ακέραιος και η ροή σε κάθε ακμή είναι 0-1. M = σύνολο ακμών e από το L στο R με f(e) = 1. Κάθε κόμβος στο L και R συμμετάσχει σε το πολύ μία ακμή του Μ M = k: θεωρήστε την αποκοπή (L s, R ) 96

97 Διμερές Ταίριασμα: Ορθότητα IV 1 1 1' 1 1' 1 2 2' 1 2 2' s 3 3' 3 3' 4 4' 4 4' G' 5 5' 5 5' G 97

98 Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh, Ιωάννης Μανωλόπουλος. «Αλγοριθμική Θεωρία Γράφων. Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://eclass.auh.gr/courses/ocr264/. 98

99 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creaive Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] hp://creaivecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

100 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Ανδρέας Κοσματόπουλος Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2015

101 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

102 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση

103 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 7: Ελάχιστα Ζευγνύοντα Δένδρα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reative

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Δεδομένα στη C++ Ζαχαρούλα Ανδρεοπούλου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Από τον Ηρόδοτο μέχρι τον Απόστολο Παύλο Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 6: Προσδιορισμός δ0 σε οκτάεδρα σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας Ενότητα 1: Αυτοαξιολόγηση μεταφραστών Κασάπη Ελένη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 9: Μέτρηση Αγωγιμότητας Διαλυμάτων Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία IΙ Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 12: Αντιστοιχίσεις και καλύμματα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η:

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2η: Η εμφάνιση των εθνών-κρατών και οι συνέπειες στο διεθνές σύστημα Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 12: Αντιμετώπιση Περιορισμών Αλγοριθμικής Ισχύος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 12: Αντιμετώπιση Περιορισμών Αλγοριθμικής Ισχύος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 12: Αντιμετώπιση Περιορισμών Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1η: Εισαγωγή Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό)

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό) ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό) Ενότητα 9η: Παρουσίαση και σχολιασμός των Οδηγιών (2014 μέρος Β ) Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική Ενότητα 4: Δομές Ελέγχου Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγικό Μάρκετινγκ

Στρατηγικό Μάρκετινγκ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12: Παρουσίαση νέων προϊόντων στην αγορά (2) Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων. Βασικές έννοιες. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης

Οικονομετρία. Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων. Βασικές έννοιες. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Οικονομετρία Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων Βασικές έννοιες Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση της έννοιας του συστήματος συναληθευουσών

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 2: Εισαγωγή στον βέλτιστο έλεγχο Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Εγγειοβελτιωτικά Έργα και Επιπτώσεις στο Περιβάλλον

Εγγειοβελτιωτικά Έργα και Επιπτώσεις στο Περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εγγειοβελτιωτικά Έργα και Επιπτώσεις στο Περιβάλλον Ενότητα 3 : Βασικές Υδραυλικές και Μαθηματικές Έννοιες Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.07: Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Συμπεριφορά Καταναλωτή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 : Ομάδες αναφοράς Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η Βιοηθική στη σύγχρονη εποχή. Ελένη Καλοκαιρινού Φιλοσοφίας-Παιδαγωγικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης

Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης Ενότητα 08: Σχεδιασμός και Οργάνωση ενός Προγράμματος Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης Ι Πολυξένη

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 10

Λογισμός 4 Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Διαιρέσεις της μονάδας και επέκταση του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 17

Λογισμός 4 Ενότητα 17 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17: Το επί-επιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικών πεδίων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 2: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (1 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων Ενότητα 1

Δομές Δεδομένων Ενότητα 1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Η παιδαγωγική ποιότητα του χώρου Δημήτριος Γερμανός Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού

Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού Ενότητα 4: Εφαρμογές λογιστικών φύλλων στη Στατική: Γεωμετρικά μεγέθη πολυγωνικά

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Γλωσσική Κατάρτιση

Τεχνολογία και Γλωσσική Κατάρτιση ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τεχνολογία και Γλωσσική Κατάρτιση Ενότητα 4 : Blog Wiki (Υλικό και Παρουσίαση: Θεόδωρος Βαβούρας) Γεώργιος Υψηλάντης Τμήμα Ιταλικής Γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Επιχειρήσεων

Διοίκηση Επιχειρήσεων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η λήψη των αποφάσεων Ευγενία Πετρίδου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Η δυναμική της σχέσης του ανθρώπου με τον χώρο και η εκπαιδευτική της σημασία (2/2) Δημήτριος Γερμανός Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό)

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό) ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό) Ενότητα 2η: Διεθνείς Πράξεις Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η κοινωνική ποιότητα του χώρου Δημήτριος Γερμανός Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Εξαγωγών. Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον

Μάρκετινγκ Εξαγωγών. Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Γραμμική, διπλή λογαριθμική, ημιλογαριθμική. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Γραμμική, διπλή λογαριθμική, ημιλογαριθμική. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Γραμμική, διπλή λογαριθμική, ημιλογαριθμική Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 9: Άσκηση εμπορικής πολιτικής Παράδειγμα άσκησης εμπορικής πολιτικής Γρηγόριος Ζαρωτιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 1: Εισαγωγή Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5 Λογικοί Τελεστές Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12η: Μουσουλμανικοί Οργανισμοί Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Ενότητα: 7 η Ελένη Περδικούρη Τμήμα Φιλοσοφίας 1 Ενότητα 7 η Πότε γνωρίζω; Α. Τα κριτήρια της γνώσης (Μετά τα Φυσικά Α 1 και Αναλυτικά Ύστερα Ι

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα