ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ: ΠΡΟΒΛΕΠΟΝΤΑΣ ΤΟ ΜΕΛΛΟΝ, ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΟ ΠΑΡΕΛΘΟΝ ΚΑΡΒΕΛΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ (Α.Μ. 109) ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΑΛΕΒΙΖΟΣ ΠΑΤΡΑ 2008 [1]

2 [2]

3 [3]

4 Περίληψη 1. Εισαγωγή 2. Βασικές Έννοιες 2.1. Στοχαστική ιαδικασία και Χρονολογικές Σειρές 2.2. Συνεχείς ιακριτές Χρονολογικές Σειρές 2.3. Μετρά Χρονολογικών σειρών 2.4. Στασιµότητα 2.5. Συνάρτηση Αυτοσυσχετίσεως 3. Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών 3.1. Απλά Μοντέλα Χρονολογικών Σειρών Ανεξάρτητες Ισόνοµες Τυχαίες Μεταβλητές (iid noise Λευκός Θόρυβος (White Noise) Τυχαίος Περίπατος 3.2. Στασιµότητα και Ανεξαρτησία. Μέθοδος της Ανάλυσης (Decomposition) Σταθεροποίηση της ιασποράς Ανάλυση Τάσης Γραµµικό Φιλτράρισµα Μέθοδος των ιαφορών (differencing) Μέθοδος Προσαρµογής (Fitting) Ανάλυση Περιοδικότητας Ανάλυση Τάσης και Εποχικότητας 3.3. Συνάρτηση Αυτοσυσχετίσεως Παραδείγµατα Περιοδική Χρονολογική Σειρά Λευκός Θόρυβος Χρονολογική Σειρά µε Τάση 4. Στάσιµες Στοχαστικές ιαδικασίες (Αυτοπαλινδρούµενη ιαδικασία) 4.1. Αυτοπαλινδρούµενη ιαδικασία τάξης p AR(p) Αυτοπαλινδρούµενη ιαδικασία Πρώτης τάξεως AR(1) Αυτοπαλινδρούµενη ιαδικασία ευτέρας τάξεως AR(2) 4.2. Η συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχετίσεως 4.3. Έλεγχος Σηµαντικότητας Συντελεστών Αυτοσυσχετίσεως 4.4. ιαδικασίες Κινούµενου Μέσου ιαδικασία Κινούµενου Μέσου Πρώτης Τάξεως ΜΑ(1) ιαδικασία Κινούµενου Μέσου ευτέρας Τάξεως ΜΑ(2) ιαδικασία Κινούµενου Μέσου Τάξης q MA(q) Σχέση µεταξύ AR(p) και MA(q) διαδικασιών 4.5. Μεικτές ιαδικασίες ARMA(p,q) ARMA(1,1) ιαδικασία 4.6. Επιλογή Μοντέλου και Τάξης 5. Εκτίµηση Παραµέτρων 5.1. Μέθοδος Ροπών ή Μέθοδος Yule Walker 5.2. Η Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων 5.3. Μέθοδος Μεγίστης Πιθανοφάνειας µε συνθήκη [4]

5 5.4. Μέθοδος Μεγίστης Πιθανοφάνειας χωρίς συνθήκη 6. Μη στάσιµες ιαδικασίες 6.1. Τυχαίος Περίπατος 6.2. Ολοκληρωµένες ιαδικασίες 6.3. Το Μοντέλο ARIMA(p, d, q) Μεθοδολογία Box Jenkins 6.4. Εποχιακό Πολλαπλασιαστικό Μοντέλο 7. Προβλέψεις 7.1. Άπλες Τεχνικές Πρόβλεψης Αιτιοκρατική Τάση (Deterministic Trent) Εκθετική Οµαλοποίηση 7.2. Πρόβλεψη Στάσιµων Χρονολογικών Σειρών µε Γραµµικά Μοντέλα Πρόβλεψη µε Αυτοπαλινδρούµενα Μοντέλα Πρόβλεψη µε Μοντέλα Μέσου Όρου Πρόβλεψη µε Αυτοπαλινδρούµενα Μοντέλα Κινητού Μέσου 7.3. Πρόβλεψη µη στάσιµων χρονικών σειρών µε γραµµικά µοντέλα 7.4. Εφαρµογές Πρόβλεψη µε Αυτοπαλινδρούµενα Μοντέλα Πρόβλεψη µε Μοντέλα Κινούµενου Μέσου Πρόβλεψη µε ARMA Μοντέλα Άπλες Τεχνικές Πρόβλεψης Πρόβλεψη µη στάσιµων Χρονολογικών Σειρών Βιβλιογραφία [5]

6 Ευχαριστώ θερµά τον επιβλέποντα καθηγητή της διπλωµατικής εργασίας κ. Φίλιππο Αλεβίζο για την πολύτιµη και ουσιαστική βοήθεια που µου προσέφερε σε όλη την διάρκεια εκπόνησης αυτής, καθώς και την καθοδήγηση του, την φιλική του στάση και τα ουσιαστικά σχόλια του. [6]

7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η µελέτη αυτή ασχολείται µε την ανάλυση των χρονολογικών σειρών ως αντικείµενο κατανόησης του παρελθόντος και πρόβλεψης του µέλλοντος. Στα πρώτα κεφάλαια γίνεται µια εισαγωγή στις χρονολογικές σειρές, ποια η χρησιµότητα τους και τι µπορούν αυτές να περιγράψουν, καθώς αναλύονται ορισµένες βασικές έννοιες αυτών, όπως διάφορα µέτρα και στασιµότητα, και αναλύονται χαρακτηριστικά όπως η τάση, η περιοδικότητα κ.α. Έπειτα εξετάζονται συγκεκριµένες κατηγορίες χρονολογικών σειρών, όπως είναι οι στάσιµες και µη στάσιµες, και γίνεται εκτίµηση των παραµέτρων των παραπάνω σειρών µε διαφορές µεθόδους. Τέλος, παρουσιάζονται διάφοροι µέθοδοι πρόβλεψης µε την βοήθεια των χρονολογικών σειρών και γίνεται εφαρµογή αυτών των µεθόδων. ABSTRACT This work deals with time series analysis in a way to understand the past and predict the future. In the firsts chapters an introduction to time series was presented, in order to figure out their usage and what they can describe such as, main concerns analysis, (e.g. measures, stationary) and various other analysis characteristics as trend, variation, etc. In addition specific categories of time series were examined, like stationary and non stationary time series, and estimate same of their parameters with various methods. In the final chapters, various estimation methods were presented with the help of time series and who these methods are applied in practice. [7]

8 1 Εισαγωγή. Θεωρία και πράξη είναι δυο αντιπαραβαλλόµενες έννοιες στη ζωή µας. Η χρήση των υπολογιστών ανέδειξε έντονα αυτό το πρότυπο στην επιστήµη. Στις θετικές επιστήµες, και όχι µόνο, αντικειµενικός στόχος είναι αυτές οι δυο έννοιες να έρθουν όσο πιο κοντά είναι δυνατόν. Εργαλεία για την εργασία αυτή είναι κυρίως η προσοµοίωση και η πρόβλεψη. Συνδετικός κρίκος της θεωρίας και της πράξης είναι η δυνατότητα των µαθηµατικών εξισώσεων της θεωρίας να συµπέσουν µε τις παρατηρήσεις προσοµοίωσης της πράξης. Με άλλα λόγια, η δυνατότητα κατανόησης του παρελθόντος να µας οδηγήσει στην πρόβλεψη του µέλλοντος. Επιπλέον, βασικός στόχος σχεδόν κάθε ανθρώπινης δραστηριότητας είναι η διενέργεια προβλέψεων, δηλαδή η χρησιµοποίηση ενός εκτιµώµενου µοντέλου για την πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών των µεγεθών. Η πρόβλεψη είναι απαραίτητη γιατί αποτελεί το βασικό εργαλείο για κάθε µελλοντική εξέλιξη και απόφαση. Παράλληλα οι προβλέψεις που γίνονται πρέπει να είναι έγκυρες και όσο πιο κοντά στο µέλλον που θα προκύψει. Η ποιότητα της πρόβλεψης εξαρτάται κυρίως από τον τρόπο που συλλέχτηκαν και αναλύθηκαν οι πληροφορίες. Έτσι, η ανάγκη για έγκυρες, άρα και πρακτικά χρήσιµες προβλέψεις οδήγησε στην ανάπτυξη πολλών τεχνικών και µεθόδων συλλογής και επεξεργασίας διαφόρων πρωτογενών πληροφοριών. Στην παρούσα εργασία θα µελετηθούν αποκλειστικά µέθοδοι επεξεργασίας των πρωτογενών αυτών πληροφοριών. Τέτοιοι µέθοδοι, λοιπόν, προβλέψεων µπορεί να είναι ποιοτικές ή ποσοτικές. Με τις ποιοτικές µεθόδους ασχολούνται επιστήµες όπως η φιλοσοφία, θεολογία, οικονοµία, πολιτικές επιστήµες κ.α., οι οποίες για την ανάλυση των δεδοµένων χρησιµοποιούν την ανθρώπινη λογική και τον τρόπο µε τον οποίο οι διάφορες σχολές ανάλυσης αντιλαµβάνονται τον φυσικό κόσµο. Με τον όρο ανθρώπινη λογική εννοείται κάθε απόφαση που λαµβάνει κανείς µη χρησιµοποιώντας µαθηµατικές εξισώσεις. Για παράδειγµα, πρόβλεψη, η καλύτερα εκτίµηση, για την εξέλιξη µιας γλώσσας, της πολιτικής κατάστασης µιας χώρας, την πορεία της Ευρωπαϊκής Ένωσης και άλλα, είναι αποτέλεσµα λογικών διεργασιών σε διάφορα φόρουµ σκέψης. Σε όλες τις παραπάνω προβλέψεις δεν χρειάζεται καµία µαθηµατική επεξεργασία. Αντίθετα, στις ποσοτικές µεθόδους η ανάλυση των δεδοµένων γίνεται µε την βοήθεια µαθηµατικών εκφράσεων υποστηριζόµενες από υπολογιστές. Μια από αυτές τις ποσοτικές µεθόδους, είναι η ανάλυση χρονολογικών σειρών. Με τον όρο χρονολογικές σειρές εννοούµε µια σειρά από παρατηρήσεις που λαµβάνονται σε ορισµένες χρονικές στιγµές ή περιόδους που ισαπέχουν ή µη µεταξύ τους. Έτσι, η τρέχουσα τιµή µιας µεταβλητής Υ εκφράζεται ως συνάρτηση των προηγούµενων τιµών της, δηλαδή των τιµών της µε χρονική υστέρηση. [8]

9 Σχήµα 1. Η αξία και ο όγκος µια µετοχής κατά την διάρκεια των µηνών Μαΐου και Απριλίου. Η ανάπτυξη και η χρησιµοποίηση τέτοιων µοντέλων υπήρξε ραγδαία τις τελευταίες τρεις δεκαετίες, ιδίως µετά την δηµοσίευση της εργασίας των Box&Jenkins [4]. Οι προβλέψεις µε χρονολογικές σειρές αποδείχτηκαν πολλές φορές ανώτερες άλλων παλαιότερων µεθόδων. Επίσης, προβλέψεις µε χρονολογικές σειρές µπορούν να γίνουν σε ένα µεγάλο πεδίο επιστηµών, από την οικονοµετρία, την µηχανική, την φυσική, την ιατρική και πολλά άλλα. Βέβαια, στο σηµείο αυτό είναι αναγκαίο να τονιστεί ότι οι χρονολογικές σειρές δεν χρησιµοποιούνται αποκλειστικά και µόνο για την εκτίµηση µελλοντικών τιµών, άλλα είναι ένα πολύ χρήσιµο εργαλείο για την ανάλυση και καλύτερη κατανόηση αυτού κάθε αυτού του φαινοµένου. Οι χρονολογικές σειρές καταγράφουν την ιστορία των φαινοµένων και όπως είναι γνωστό η ιστορία είναι αυτή που διδάσκει και βοηθά για την καλύτερη κατανόηση των γεγονότων. Η ιστορία είναι αυτή, που µε την κατάλληλη ανάλυση µπορεί να βοηθήσει για την καλύτερη εκτίµηση του µέλλοντος. Στόχος λοιπόν των χρονολογικών σειρών είναι, ενώνοντας όλα τα γεγονότα που έχουν συλλεχτεί στον χρόνο, να δηµιουργηθεί ένα χρονοδιάγραµµα, η µελέτη του οποίου θα δώσει µια γενική εικόνα της διαχρονικής εξέλιξης των φαινοµένων ή χαρακτηριστικών. Με άλλα λόγια η ανάλυση χρονολογικών σειρών χρησιµοποιείται για να καθοριστούν µοντέλα που µετατρέπουν πληροφορίες από κανονικά χρονικά διαστήµατα σε στατιστικά µέτρα. Οι κυριότερες µέθοδοι ανάλυσης χρονοσειρών είναι η µέθοδος της αυτοσυσχέτισης (auto correlation) όπου η χρονοσειρά αναπαριστάται µε ένα δυναµικό µοντέλο (µοντέλο ARIMA, διαδικασία Box&Jenkins), όπου οι παρατηρήσεις θεωρούνται ως συναρτήσεις του παρελθόντος τους (και πιθανόν του παρελθόντος και άλλων µετρούµενων ή παρατηρούµενων µεταβλητών) και η µέθοδος της φασµατικής ανάλυσης (spectral analysis) όπου αναπαριστά την χρονοσειρά µε ένα κινητικό µοντέλο που οι παρατηρήσεις θεωρούνται συναρτήσεις του χρόνου. Στην παρούσα εργασία θα παρουσιαστούν µέθοδοι αυτοσυσχέτισης. Συµπερασµατικά, γίνεται κατανοητό από τα παραπάνω, ότι σκοποί της ανάλυσης χρονολογικών σειρών είναι η περιγραφή µιας χρονολογικής σειράς, η [9]

10 εξήγησή της, η πρόγνωση, ο σχεδιασµός, ο έλεγχος και τέλος η κατανόηση της διαδικασίας. Η περιγραφή µιας χρονολογικής σειράς µπορεί να γίνει µε µια απλή παρατήρηση της γραφικής της παράστασης µε το µάτι, όπου ανακαλύπτονται περιοδικότητες, τάσεις και άλλα. Επίσης, υπάρχουν περισσότερο σύνθετες και προχωρηµένες περιγραφές που γίνονται µε την βοήθεια των στοχαστικών µοντέλων. Η εξήγηση µε την σειρά της, είναι η συσχέτιση δυο ή περισσότερων χρονολογικών σειρών µεταξύ τους και η δυνατότητα η µια να εξηγεί την άλλη. Στο παράδειγµα παρακάτω γίνεται η προσπάθεια να ερµηνευτεί κατά πόσο οι πωλήσεις συσχετίζονται µε τις διαφηµίσεις και αντίστροφα. Σχήµα 2. Ο όγκος των διαφηµίσεων και των πωλήσεων µιας εταιρίας σε για ένα χρονικό διάστηµα. Παρατηρούµε ότι όταν µειώνεται ο όγκος των πωλήσεων αυξάνεται ο όγκος των διαφηµίσεων, για την καλύτερη προώθηση των προϊόντων. Επίσης, σηµαντικός σκοπός στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών είναι ο έλεγχος. Παραδείγµατα στην σπουδαιότητα του ελέγχου µπορούν να παρουσιαστούν στις διαδικασίες παραγωγής και ποιότητας ενός προϊόντος. Σχήµα 3. Η τιµή της ποσότητας ζάχαρης και η προδιαγραφόµενη ποσότητα για την παρασκευή ενός γλυκίσµατος σε ένα χρονικό διάστηµα. Στον παραπάνω πίνακα φαίνεται η ποσότητα ζάχαρης που χρησιµοποιείται για την παρασκευή ενός γλυκού σε µια βιοµηχανία τροφίµων και πως πραγµατοποιείται ο έλεγχος µε την βοήθεια χρονολογικών σειρών. Τέλος, βασικός σκοπός της ανάλυσης χρονολογικών σειρών είναι η κατανόηση της διαδικασίας. Την κατανόηση παρέχει η στατιστική δίνοντας φορµαλιστικές περιγραφές των χρονοσειρών καθαυτών. Έτσι, µπορεί να παραχθεί µια χρονοσειρά από ένα άγνωστο σύστηµα και συνεπώς να κατανοηθεί καλυτέρα το ίδιο το σύστηµα που έχει παράξει την χρονοσειρά αυτή. Για [10]

11 παράδειγµα µπορεί να γίνει κατανοητό εάν το σύστηµα είναι περιοδικό και να βρεθεί η περίοδος του, εάν το σύστηµα είναι στοχαστικό, χαοτικό κτλ. Παραδείγµατα χρονολογικών σειρών µπορούν να παρουσιαστούν και στην Οικονοµία. Τέτοια µπορεί να είναι η εξέλιξη της τιµής του πετρελαίου, η αξία µιας Σχήµα 4. Η τιµή του δείκτη του χρηµατιστηρίου Αθηνών για το πρώτο εξάµηνο του µετοχής, ο δείκτης συναλλαγών στο χρηµατιστήριο και άλλα. Κύριο ενδιαφέρον για την οικονοµία είναι η πρόβλεψη. Στο εµπόριο (marketing) επίσης είναι οι πωλήσεις ανά µήνα. Βασικός σκοπός στο εµπόριο εκτός της πρόβλεψης είναι ο σχεδιασµός, η σύγκριση και η ερµηνεία. Επίσης, παραδείγµατα χρονολογικών σειρών έχουµε από την δηµογραφία όπου µελετώνται οι εξελίξεις πληθυσµών. Από την ιατρική αναλύονται τα ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατα (ΗΕΓ, EEG) και ηλεκτροκαρδιογραφήµατα (ΗΚΓ, ECG). Εδώ αποσκοπούµε στην αναγνώριση ανωµαλιών, στην κατανόηση και στην εξήγηση της δυναµικής της καρδίας και του εγκέφαλου και φυσικά στην πρόβλεψη διαταραχών. Σχήµα 5. Ηλεκτροεγκεφαλογράφηµα. Ηλεκτροεγκεφαλικοί παλµοί για περίοδο 500 sec. Ακόµα, χρονολογικές σειρές συναντάµε στην φυσική, στην σεισµολογία, στην µετεωρολογία, στην αστροφυσική και αλλού, µε αντικειµενικό στόχο την κατανόηση και την πρόβλεψη. [11]

12 (α) (β) (γ) Σχήµα 6. Μετεώγραµµα για το Αεροδρόµιο της Θεσσαλονίκης. (α) Η τιµή (µέτρο, διεύθυνση και φορά) του ανέµου για τις 02/05/2004 (β) Η τιµή της θερµοκρασίας για τις 02/05/2004 (γ) Η τιµή της πίεσης για τις 02/05/2004. Στην αστροφυσική µε την ανάλυση χρονοσειρών µπορεί να περιγραφεί το µοντέλο και να γίνει σύγκριση µε τα θεωρητικά µοντέλα που ήδη υπάρχουν. Έτσι, µε την κατανόηση των διαδικασιών που παράγουν τις χρονοσειρές καθοδηγούµαστε στην δηµιουργία νέων µοντέλων. Τα νέα αυτά µοντέλα χρησιµοποιούνται µετά για προβλέψεις. Σχήµα 7. Αριθµός ηλιακών κηλίδων ανά έτος. [12]

13 2 Βασικές Έννοιες. 2.1 Στοχαστική ιαδικασία και Χρονολογικές Σειρές. Με τον όρο χρονολογική σειρά εννοούµε µια σειρά από παρατηρήσεις που παίρνονται σε ορισµένες χρονικές στιγµές ή περιόδους. Χρονολογική σειρά λοιπόν, είναι ένα δείγµα όπου ο δείκτης παριστάνει ισαπέχοντα ή µη χρονικά σηµεία ή διαστήµατα. Υποθέτοντας, ότι οι παρατηρήσεις είναι συγκεκριµένες τιµές ή συγκεκριµένες πραγµατοποιήσεις των τυχαίων µεταβλητών και ότι επιπλέον οι τυχαίες µεταβλητές αυτές είναι µέρος µιας άπειρης σειράς τυχαίων µεταβλητών. Η άπειρη αυτή ακολουθία των τυχαίων µεταβλητών ονοµάζεται στοχαστική ή τυχαία διαδικασία ή στοχαστική ανέλιξη και παριστάνεται ως. Με την ορολογία της κλασικής στατιστικής, η έννοια της στοχαστικής διαδικασίας είναι ανάλογη της έννοιας του πληθυσµού, ενώ η έννοια της συγκεκριµένης πραγµατοποιήσεως είναι ανάλογη της έννοιας του δείγµατος. Γενικά όπως και στην περίπτωση Τ τυχαίων µεταβλητών, µια στοχαστική διαδικασία µπορεί να περιγραφεί από µια συνάρτηση πιθανότητας. Εάν ήταν γνωστή η συνάρτηση πιθανότητας, τότε θα ήταν εύκολο να υπολογιστεί, για παράδειγµα, η πιθανότητα µιας συγκεκριµένης πραγµατοποιήσεως ή η πιθανότητα µιας µελλοντικής τιµής. Επειδή όµως όχι µόνο η συνάρτηση πιθανότητας δεν είναι γνωστή, αλλά ούτε και η πλήρης εξειδίκευση της µορφής της είναι δυνατή, σκοπός της ανάλυσης χρονολογικών σειρών είναι η διατύπωση µοντέλων που να µπορούν να περιγράψουν το µηχανισµό της στοχαστικής διαδικασίας από την όποια πρόεκυψε η συγκεκριµένη χρονολογική σειρά. 2.2 Συνεχείς ιακριτές Χρονολογικές Σειρές. Οι χρονολογικές σειρές διακρίνονται σε συνεχείς χρονολογικές σειρές και σε διακριτές. Συνεχείς (continuous) χρονολογικές σειρές είναι αυτές όπου η τιµή του φαινόµενου παρατηρείται συνεχώς. Παράδειγµα συνεχών χρονολογικών σειρών είναι η συνεχόµενη καταγραφή της θερµοκρασίας του αέρα ή η συνεχής παρακολούθηση των σεισµών. Σχήµα 8. Συνεχής χρονολογική σειρά. [13]

14 ιακριτές (discrete) χρονολογικές σειρές είναι αυτές όπου η τιµή του φαινοµένου καταγράφεται σε ορισµένα χρονικά διαστήµατα. Σχήµα 9. ιακριτή χρονολογική σειρά. Παράδειγµα διακριτών χρονολογικών σειρών είναι η τιµή µιας µετοχής ανά ηµέρα ή ο αριθµός των ηλιακών κηλίδων ανά έτος όπου υπάρχουν τιµές σε συγκεκριµένα χρονικά διαστήµατα. Οι διακριτές χρονολογικές σειρές είναι αυτές που µπορούν να κατανοηθούν από έναν Η/Υ. Συνεπώς, αντικειµενικός στόχος είναι οι συνεχείς χρονοσειρές να µετατραπούν σε διακριτές. Η διαδικασία µετατροπής µιας συνεχούς χρονολογικής σειράς σε διακριτή ονοµάζεται διακριτοποίηση ή δειγµατοληψία (Sampling, read off, digitize) και είναι η διαδικασία κατά την οποία διαβάζοντας µια συνεχή χρονολογική σειρά κρατάµε τιµές µόνο σε σηµεία που απέχουν ορισµένη χρονική απόσταση t ή µετρώντας εξ αρχής µόνο σε διακριτές χρονικές στιγµές. Συνήθως αποφεύγεται µη σταθερό t καθώς δηµιουργεί αρκετές δυσκολίες. Σχήµα 10. Μετατροπή Συνεχούς χρονολογικής σειράς σε ιακριτή. Ορισµένες φορές στην διαδικασία µετατροπής µιας συνεχούς χρονολογικής σειράς σε διακριτή είναι χρήσιµο να µην κρατιέται απλά η τιµή της συνεχούς χρονολογικής σειράς στην χρονική στιγµή αυτή, αλλά το να είναι το άθροισµα ή το ολοκλήρωµα για όλο το χρονικό διάστηµα t. Για παράδειγµα, όταν το βροχή σε είναι η ανά ηµέρα, λαµβάνεται το άθροισµα όλων των βροχοπτώσεων για [14]

15 κάποιο διάστηµα, ή όταν το, λαµβάνεται είναι η ραδιοακτινοβολία από τον ήλιο τότε σαν (2.1) όπου η συνεχής ακτινοβολία και. Στο σηµείο αυτό πρέπει να σηµειωθεί, ότι συνήθως στην ανάλυση χρονολογικών σειρών οι διαδοχικές παρατηρήσεις δεν είναι ανεξάρτητες, άρα πρέπει να λαµβάνεται υπ όψη η σειρά των παρατηρήσεων. Ακριβώς αυτή η εξάρτηση επιτρέπει την πρόγνωση του µέλλοντος µε βάση το παρελθόν. Οι χρονολογικές σειρές εκτός από συνεχείς και διακριτές κατηγοριοποιούνται σε ντετερµινιστικές, όπου επιτρέπουν την πρόγνωση µε ακρίβεια και στοχαστικές όπου επιτρέπουν προβλέψεις µόνο εν µέρει, δηλαδή µε πιθανότητα p να συµβεί ένα γεγονός. 2.3 Μέτρα Χρονολογικών Σειρών. Άλλες βασικές έννοιες των χρονολογικών σειρών είναι η γραφική παράσταση, ο µέσος όρος και η διασπορά αυτής, ο κινητό µέσος όρος, η τάση, η στασιµότητα και άλλα. Με την έννοια γραφική παράσταση µιας χρονολογικής σειράς εννοούµε την καµπύλη που παράγεται σε ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων όπου ο οριζόντιος άξονας είναι ο χρόνος και ο κατακόρυφος οι µετρούµενες τιµές στο αντίστοιχο χρονικό διάστηµα. Συµβολίζοντας µε τις Ν χρονικές στιγµές και µε τις τιµές των αντίστοιχων παρατηρήσεων, δηµιουργούµε Ν ζεύγη της µορφής µπορούµε να τα παραστήσουµε σε ένα σύστηµα αξόνων. όπου Σχήµα 11. Γραφική παράσταση µιας τυχαίας χρονολογικής σειράς η οποία παρουσιάζει περιοδικότητα. [15]

16 Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης µιας χρονολογικής σειράς µπορούν να γίνουν ορισµένες γρήγορες διαπιστώσεις. Στο παράδειγµα του σχήµατος 11 βλέπουµε µια χρονολογική σειρά που δείχνει να είναι περιοδική µε θόρυβο. Έστω η χρονολογική σειρά, Μέσος όρος µ µιας χρονολογικής σειράς είναι η µέση τιµή όλων των τιµών της. Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό η σειρά των δεν παίζει ρόλο. ιασπορά. (2.2) µιας χρονολογικής σειράς είναι ο µέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων από την µέση τιµή. (2.3) Τυπική απόκλιση σ µιας χρονολογικής σειράς είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Η τυπική απόκλιση είναι περισσότερο διαισθητική έννοια από ότι η διασπορά. (2.4) Σχήµα 12. Γραφική παράσταση τυχαίας χρονολογικής σειράς, ο µέσος όρος και η τυπική απόκλιση αυτής. [16]

17 Μεταξύ των τιµών και βρίσκονται τα περισσότερα σηµεία της χρονολογικής σειράς. Το διάστηµα αυτό δίνει και την διακύµανση των τιµών της χρονολογικής σειράς. Υπάρχουν όµως χρονολογικές σειρές όπου τα µέτρα µ και δεν δίνουν καλή περιγραφή της πραγµατικής µέσης τιµής. Σχήµα 13. Γραφική παράσταση χρονολογικής σειράς η οποία παρουσιάζει τάση. Ο λόγος έγκειται στο γεγονός πως υπάρχει µια τάση και έτσι η πραγµατική µέση τιµή µ αλλάζει µε τον χρόνο, δηλαδή η µέση τιµή είναι συνάρτηση του χρόνου. Έτσι, υπάρχει η ανάγκη να κατασκευαστεί ένα µοντέλο για την τάση. Ο πρώτος τρόπος για την κατασκευή αυτού του µοντέλου είναι να δεχτούµε αυθαίρετα ότι η τάση ακολουθεί κάποια γνωστή κατανοµή. Στο σχήµα 13, σαν µια πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχθούµε ότι η µέση τιµή µεταβάλλεται γραµµικά ως προς τον χρόνο Συστηµατοποιώντας την διαδικασία κατασκευής µοντέλου για την τάση κατασκευάστηκε ο κινητός µέσος όρος (running mean, moving average) Έτσι, σαν κινητό µέσο όρο ορίζουµε (2.5) όπου, Κ είναι το µήκος του παραθύρου. Στον σχήµα 14 φαίνεται ο κινητός µέσος όρος όπως αυτός ορίστηκε παραπάνω. [17]

18 Σχήµα 14. Ο κινητός µέσος όρος για τυχαία χρονολογική σειρά. Στις χρονολογικές σειρές δεν υπάρχουν µόνο περιπτώσεις µε την συµπεριφορά της τάσης όπως παραπάνω. Εκτός, λοιπόν, από την µακροχρόνια τάση (Secular Trend), στις χρονολογικές σειρές συναντάµε είτε κυκλική κύµανση αυτών, είτε περιοδική- εποχιακή µεταβολή, είτε ακανόνιστη µεταβολή. Συνήθως, στην πράξη συναντάµε περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά. Στην µακροχρόνια τάση η τιµή της µεταβλητής τείνει να αυξηθεί ή να ελαττωθεί για µεγάλο χρονικό διάστηµα. Σχήµα 15. Χρονολογική σειρά που παρουσιάζει µακροχρόνια τάση. Η µακροχρόνια τάση είναι από τις περισσότερο εύκολα αντιµετωπίσιµες περιπτώσεις γιατί η τάση εκφράζει την χρονολογική σειρά για µια εκτεταµένη περίοδο. Οι χρονολογικές σειρές που παρουσιάζουν µακροχρόνια τάση είναι αυτές που έχουν µελετηθεί περισσότερο. Επίσης, στις χρονολογικές σειρές µε µακροχρόνια τάση είναι εύκολη η κατανόηση της ιστορίας της µεταβλητής µε συνέπεια την πρόβλεψη µελλοντικών τιµών. Ορισµένες µέθοδοι προσδιορισµού της µακροχρόνιας τάσης είναι η µέθοδος των δυο µέσων σηµείων, η µέθοδος των κινητών µέσων, η µέθοδος της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων, η µέθοδος της καµπύλης ελαχίστων τετραγώνων και άλλα. Εκτός από τις γνωστές µεθόδους, θα αναλυθούν στην παρούσα εργασία και άλλες. [18]

19 Η κυκλική κύµανση που παρουσιάζουν περιπτώσεις χρονολογικών σειρών έγκειται στο γεγονός ότι παρατηρούνται αυξοµειώσεις της τιµής της µεταβλητής γύρω από γραµµή τάσης σε µια µακροχρόνια περίοδο. Στην πράξη τα σηµεία της χρονολογικής σειράς για µια χρονική σειρά παρατηρήσεων βρίσκονται κάτω από την γραµµή τάσης και στην συνέχεια για άλλη χρονική σειρά τιµών πάνω από την γραµµή τάσης. Ο χρόνος για να έχουµε µια κυκλική αυξοµείωση δεν είναι σταθερός. Σχήµα 16. Χρονολογική σειρά που παρουσιάζει κυκλική κύµανση. Στην πράξη οι κυκλικές αυξοµειώσεις είναι οι πλέον δύσκολες να αντιµετωπιστούν γιατί η κυκλική κίνηση δεν ακολουθεί κανένα κανονικό µοντέλο αλλά κινείται απρόβλεπτα. Αντίθετα, από τις χρονολογικές σειρές που παρουσιάζουν κυκλικές µεταβολές και είναι δύσκολα αντιµετωπίσιµες, οι χρονολογικές σειρές που παρουσιάζουν περιοδικές µεταβολές είναι πολύ χρήσιµες γιατί ακολουθούν κανονικό µοντέλο και έτσι µπορούν να δώσουν αξιόπιστες προβλέψεις για το µέλλον. Σχήµα 17. Χρονολογική σειρά που παρουσιάζει περιοδικότητα. [19]

20 Τέλος, υπάρχουν και χρονολογικές σειρές που παρουσιάζουν ακανόνιστες µεταβολές, µεταβολές που άλλοτε είναι µικρές, άλλοτε µεγάλες, θετικές ή αρνητικές χωρίς καµία κανονικότητα. Οι µεταβολές αυτές διακρίνονται σε συµπτωµατικές, οφειλόµενες σε απρόβλεπτα γεγονότα και τυχαίες. 2.4 Στασιµότητα. Η στασιµότητα είναι πολύ σηµαντική έννοια καθώς είναι απαραίτητη προϋπόθεση για τα περισσότερα εργαλεία της ανάλυση χρονολογικών σειρών. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, χρονολογική σειρά είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, κάθε µια από τις οποίες λαµβάνεται την χρονική στιγµή t. Η χρονολογική σειρά µπορεί µε άλλα λόγια να θεωρηθεί ως στοχαστική διαδικασία πεπερασµένου πλήθους παρατηρήσεων, δηλαδή, µια πραγµατοποίηση µιας διαδικασίας. Στα επόµενα µε τον όρο χρονολογική σειρά θα εννοούµε και το σύνολο των παρατηρήσεων της τυχαίας µεταβλητής και την διαδικασία της οποίας πραγµατοποίηση είναι οι παρατηρήσεις. Για να ορίσουµε ένα µοντέλο χρονολογικών σειρών, για ένα σύνολο παρατηρήσεων απαιτείται ο καθορισµός όλων των κοινών κατανοµών µιας ακολουθίας, πραγµατοποίηση των οποίων πρέπει να είναι οι παρατηρήσεις. Η αναζήτηση λοιπόν ενός µοντέλου, συνεπάγεται τον ορισµό όλων των κοινών κατανοµών των δηλαδή των πιθανοτήτων µε µια διαδικασία η όποια είναι εξαιρετικά δύσκολη. Στη θέση της ορίζονται και χρησιµοποιούνται ροπές µικρότερης τάξης. Βασική και απαραίτητη υπόθεση ώστε να απλοποιηθούν σηµαντικά προβλήµατα που προκύπτουν από την µελέτη των ροπών είναι η υπόθεση της στασιµότητας. Προτού, οριστεί πλήρως µαθηµατικά η στασιµότητα, γίνεται µια προσπάθεια να δοθεί ένας πρώτος διαισθητικός ορισµός. Μια χρονολογική σειρά λέγεται στάσιµη εάν δεν υπάρχει συστηµατική αλλαγή του µέσου όρου και της διασποράς της στο χρόνο. Με άλλα λόγια, εάν µια χρονολογική σειρά παρουσιάζει τάση τότε αυτή δεν θα είναι στάσιµη. Μια στοχαστική διαδικασία είναι αυστηρώς ή πλήρως στάσιµη (strictly strongly completely stationary) όταν οι ιδιότητες της δεν επηρεάζονται από µια αλλαγή στην αρχή µετρήσεως του χρόνου. ότι Συνήθως, οι διαδικασίες αυτές λέγονται και n τάξης στάσιµες. Αυτό σηµαίνει για οποιοδήποτε s, δηλαδή η από κοινού συνάρτηση κατανοµής µε αρχή το χρονικό σηµείο t είναι η ιδία µε την από κοινού συνάρτηση κατανοµής µε αρχή το χρονικό σηµείο. Το s παριστάνει µια αυθαίρετη µετακίνηση κατά µήκος του άξονα του χρόνου είτε προς τα εµπρός είτε [20]

21 προς τα πίσω. Ο αυστηρός, όµως, ορισµός της στασιµότητας αναφέρεται σε όλες τις ιδιότητες µιας στοχαστικής διαδικασίας. Πράγµα αρκετά δύσκολο. Αδυνατίζοντας τον ορισµό για την στασιµότητα, παράλληλα όµως µετατρέποντάς τον σε περισσότερο ευέλικτο, ορίζεται η n-τάξεως ασθενώς στάσιµη διαδικασία εάν υπάρχουν οι ροπές n-τάξεως και είναι ανεξάρτητες του t. ηλαδή, εάν ισχύουν τα εξής κ.ο.κ., ανεξάρτητη του t, (2.6), ανεξάρτητη του t, (2.7), ανεξάρτητη του t (2.8) Όταν οι παραπάνω συνθήκες περιορίζονται και αναφέρονται µόνο στις πρώτες και δευτέρες ροπές µιλάµε για 2 ης τάξης ασθενώς στάσιµες διαδικασίες ή απλώς ασθενώς στάσιµες διαδικασίες ή κατά συνδιακύµανση στάσιµες. Από την σχέση (2.8) είναι προφανές ότι δηλαδή. Επειδή και είναι παρατηρήσεις της ίδιας µεταβλητής που απέχουν χρονικά µεταξύ τους κατά s, η συνδιακύµανση αναφέρεται και ως αυτοσυνδιακύµανση. Είναι προφανές ότι για,. Τέλος, εάν µια χρονολογική σειρά είναι αυστηρά στάσιµη τότε θα είναι και ασθενώς στάσιµη 2 ης τάξης. Η απόδειξη περιγράφεται στα [1] και [2]. 2.5 Συνάρτηση Αυτοσυσχετίσεως. Είναι γνωστό από την θεωρία των πιθανοτήτων ότι ο λόγος της συνδιακύµανσης προς το γινόµενο των τετραγωνικών ριζών των διακυµάνσεων δυο µεταβλητών είναι ο συντελεστής συσχετίσεως τους. Επίσης, ο συντελεστής συσχέτισης µας δίνει ένα µέτρο για τον βαθµό της µεταξύ τους σχέσης δυο µεταβλητών. Μάλιστα, η τιµή του συντελεστή συσχέτισης, που είναι απαλλαγµένος από τις µονάδες των µεταβλητών, δίνει µια αρκετά πλήρη εικόνα. Και έτσι, µπορούµε να απαντήσουµε εάν η µεταξύ τους σχέση είναι ισχυρή ή ασθενής κτλ. Τέλος, για τον συντελεστή συσχέτισης ισχύει ότι και εάν έχουµε την µεγίστη δυνατή συσχέτιση, εάν υπάρχει θετική συσχέτιση, η όποια είναι τόσο πιο ισχυρή όσο πιο κοντά ο συντελεστής συσχέτισης είναι στο 1, εάν υπάρχει αρνητική συσχέτιση, η όποια είναι τόσο πιο ισχυρή όσο πιο κοντά ο συντελεστής συσχέτισης είναι στο 1. Για δεν υπάρχει καµία συσχέτιση µεταξύ των δυο µεταβλητών. [21]

22 Στην περίπτωση των χρονολογικών σειρών ο συντελεστής συσχετίσεως ανάµεσα στην και στην ονοµάζεται συντελεστής αυτοσυσχετίσεως. Σχήµα 18. Τα ζεύγη της χρονολογικής σειράς µε τον εαυτό της µετατοπισµένο κατά s. Σαν συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF) ονοµάζεται η συνάρτηση (2.9) όπου ο ο µέσος της χρονολογικής σειράς. ηλαδή, η σχέση που υπάρχει ανάµεσα στο συντελεστή αυτοσυσχετίσεως s. Το s µπορεί να πάρει τις τιµές από 0 µέχρι Ν-1. και στο Για την συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως υπάρχει το πρόβληµα ότι για µεγάλα s έχουµε µόνο λίγους όρους και έτσι η αυτοσυσχέτιση έχει µεγάλο στατιστικό σφάλµα. Στην πράξη παίρνουµε υπ όψη τα µόνο µέχρι περίπου Ν/4 ή το πολύ Ν/2. Η συνάρτηση (2.11) Ονοµάζεται συνάρτηση αυτοδιασποράς (ACVF) µιας στάσιµης χρονολογικής σειράς. Για τις παραπάνω συναρτήσεις ισχύουν τα εξής,, και (2.12) και. (2.13) Έτσι, µπορεί να οριστεί ο πίνακας που ονοµάζεται πίνακας αυτοδιασπορών (2.14) και ο πίνακας πίνακας αυτοσυσχετίσεων [22]

23 (2.15) Οι παραπάνω πίνακες αποδεικνύεται ότι είναι θετικά ορισµένοι για στάσιµες χρονολογικές σειρές. Η σηµασία της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι πολύ µεγάλη, πρώτον γιατί δίνει το µέτρο της συσχέτισης των παρατηρήσεων µετρήσεων οι οποίες απέχουν κατά το χρονικό διάστηµα s και δεύτερον γιατί δείχνει τόσο το βαθµό (ένταση) όσο και το µήκος ή την χρονική διάρκεια της µνήµης της στοχαστικής διαδικασίας. ηλαδή, εκφράζει κατά πόσο οι µετρήσεις µε χρονική απόσταση s έχουν σχέση µεταξύ τους. Με άλλα λογία, η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως µας δείχνει κατά πόσο το παρόν θυµάται το παρελθόν, και κατά πόσο το µέλλον θα επηρεαστεί από το παρόν. (α) (β) (γ) 1/e Σχήµα 19. (α) Αρχική χρονολογική σειρά. Σαν θόρυβος µε δοµές. (β) Συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως µέχρι Ν/4. (γ) Συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως µέχρι. Η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως τείνει στο µηδέν, παρόλα αυτά για τις πρώτες χρονικές στιγµές η χρονολογική σειρά έχει µνήµη. Με αλλά λόγια υπάρχει χαρακτηριστικός χρόνος, δηλαδή, ένα χρονικό διάστηµα για το όποιο η χρονολογική σειρά θυµάται το παρελθόν της. Χαρακτηριστικός χρόνος: Ορισµός 1: Ορισµός 2: Ορισµός 3:. Για τον χαρακτηριστικό χρόνο υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι για τον ορισµό του. Ένας πρώτος ορισµός του χαρακτηριστικού χρόνου είναι η τιµή όπου, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µηδενίζεται για πρώτη φορά. ηλαδή υπολογίζεται το µικρότερο για το οποίο ισχύει. Ένας δεύτερος ορισµός είναι ο χρόνος όπου η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως έχει το πρώτο ελάχιστο. [23]

24 Τέλος, τρίτος τρόπος για να οριστεί ο χαρακτηριστικός χρόνος, είναι η τιµή όπου η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης πέφτει κάτω από. Μια καλή επιλογή από τους παραπάνω ορισµούς είναι ο τρίτος, καθώς η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως πέφτει εκθετικά. Βεβαία, η επιλογή κάποιου από τους παραπάνω ορισµούς εξαρτάται από την εφαρµογή. Συχνά µπορούµε να αναγνωρίσουµε τον χαρακτηριστικό χρόνο και στην αρχική χρονολογική σειρά, όπως φαίνεται στο σχήµα 20. Σχήµα 20. Η αρχική χρονολογική σειρά µέχρι την χρονική στιγµή 40. Φαίνονται οι µικρές δοµές και στην συνεχεία ο ταλαντώσεις. Καθώς οι τιµές του µέσου µ, της διακύµανσης σ 2, της αυτοδιακύµανσης γ s, και του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ρ s είναι άγνωστοι, είναι απαραίτητο στην πράξη η χρήση εκτιµητών, χρησιµοποιώντας τις αντίστοιχες ροπές του δείγµατος. Έτσι, για την µέση τιµή της χρονολογικής σειράς, ένας αµερόληπτος εκτιµητής της µέσης τιµής µ είναι ο δειγµατικός µέσος Για την εκτίµηση της διακύµανσης σ 2 χρησιµοποιείται η δειγµατική συνάρτηση Η εκτίµηση της σχέσης (2.17) δεν είναι αµερόληπτη. Έτσι, πολλές φορές σαν εκτίµηση της διακύµανσης χρησιµοποιείται η δειγµατική συνάρτηση Η δειγµατική συνάρτηση αυτοδιασποράς (2.17) (2.18) για την εκτίµηση της συνάρτησης αυτοδιασποράς. Αποδεικνύεται ότι [11] [24]

25 που σηµαίνει ότι δεν είναι αµερόληπτος εκτιµητής της συνάρτησης αυτοδιασποράς. Η δειγµατική συνάρτηση αυτοδιασποράς µπορεί επίσης να οριστεί και από την σχέση Στην περίπτωση αυτή Ο δεύτερος εκτιµητής επίσης δεν είναι αµερόληπτος, αλλά ο έχει µεγαλύτερη αµεροληψία από τον ιδίως για s µεγάλο σε σχέση µε το n. Τέλος, για την εκτίµηση της συνάρτησης αυτοσυσχετίσεως χρησιµοποιείται η δειγµατική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Το γράφηµα ονοµάζεται διάγραµµα αυτοσυσχετίσεως (correlogram). Έχει αποδειχτεί [14] ότι για µεγάλο πλήθος παρατηρήσεων η κατανοµή των δειγµατικών αυτοσυσχετίσεων είναι κανονική και µάλιστα όπου ή όταν το n είναι πολύ µεγάλο [25]

26 3 Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. 3.1 Απλά Μοντέλα Χρονολογικών Σειρών. Προτού περάσουµε στις τεχνικές και µεθόδους ανάλυσης των χρονολογικών σειρών θα παρουσιάσουµε µερικά απλά µοντέλα χρονολογικών σειρών, τα οποία από µόνα τους δεν έχουν ενδιαφέρον αλλά βοηθούν στο κτίσιµο σύνθετων µοντέλων. Αυτά τα είναι: Ανεξάρτητες ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές (iid noise). Ανεξάρτητες ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές είναι µια ακολουθία ισχύει για την οποία µε για κάθε t Λευκός Θόρυβος (White Noise). Είναι µια ακολουθία ασυσχέτιστων τυχαίων µεταβλητών για τις οποίες ισχύει και, Τυχαίος Περίπατος. Είναι µια ακολουθία όπου Οι X t, είναι ανεξάρτητες ισόνοµες και τυχαίες µεταβλητές. Ο τυχαίος περίπατος είναι µια µη στάσιµη στοχαστική διαδικασία. 3.2 Στασιµότητα και ανεξαρτησία. Μέθοδος της Ανάλυσης (Decomposition). Όπως αναφέρθηκε στα προηγούµενα η στασιµότητα αποτελεί ένα βασικό χαρακτηριστικό των χρονολογικών σειρών, καθώς απλοποιεί την µελέτη τους. Έτσι, βασικός σκοπός της µεθόδου της ανάλυσης είναι να διαχωριστούν και να αποµονωθούν τα διάφορα χαρακτηριστικά µιας χρονολογικής σειράς, και κυρίως τα στάσιµα από τα µη-στάσιµα χαρακτηριστικά. Σαν στοιχεία ύπαρξης µη στασιµότητας είναι κυρίως η ύπαρξη τάσης, η ύπαρξη εποχικότητας, η αλλαγή της µεταβλητότητας συναρτήσει του χρόνου και άλλα. Συνήθως, σε µια χρονολογική σειρά συνυπάρχουν τρία χαρακτηριστικά. Αυτά είναι η τάση, η περιοδικότητα εποχικότητα και ο θόρυβος. Στην γενική περίπτωση, µια χρονολογική σειρά µπορεί να θεωρηθεί ως µια διαδικασία της µορφής [26]

27 όπου είναι η συνιστώσα της τάσης, η συνιστώσα της εποχικότητας, για την οποία ισχύει, ο θόρυβος και η στάσιµη συνιστώσα µε. Σχήµα 21. Τα τρία βασικά χαρακτηριστικά που συνήθως συνυπάρχουν σε µια χρονολογική σειρά. Η τάση, η περιοδικότητα και ο θόρυβος. Έτσι, αποµονώνοντας το κάθε χαρακτηριστικό µπορούµε να το χαρακτηρίσουµε περισσότερο καθαρά Σταθεροποίηση της διασποράς. Η διασπορά σταθεροποιείται χρησιµοποιώντας κατά περίπτωση κάποιο µετασχηµατισµό, για παράδειγµα χρησιµοποιώντας τον λογάριθµο ή την τετραγωνική ρίζα των αρχικών παρατηρήσεων. Με αλλεπάλληλες δοκιµές στις αρχικές παρατηρήσεις επιλέγουµε τον κατάλληλο µετασχηµατισµό που µειώνει ή σταθεροποιεί την αρχική µεταβλητότητα των παρατηρήσεων Στο σχήµα 22 φαίνεται πως σταθεροποιήθηκε η µεταβλητότητα χρησιµοποιώντας, για µετασχηµατισµό των αρχικών παρατηρήσεων, τον λογάριθµο αυτών. Σχήµα 22. Φαίνεται η αρχική σειρά των µετρήσεων του CO στον ατµοσφαιρικό αέρα και η σειρά των λογαρίθµων των παρατηρήσεων στην οποία η µεταβλητότητα έχει σταθεροποιηθεί. [27]

28 3.2.2 Ανάλυση Τάσης. Μέθοδοι για ταυτοποίηση της τάσης είναι το γραµµικό φιλτράρισµα (smoothing, lowpass filtering), η µέθοδος των διαφορών (differencing) και η µέθοδος προσαρµογής (fitting) µιας συνάρτησης Γραµµικό Φιλτράρισµα. Στο γραµµικό φιλτράρισµα, από την αρχική χρονολογική σειρά καινούργια χρονολογική σειρά σχηµατίζουµε µια όπου ώστε να έχουµε σταθµισµένο (weighted) µέσο όρο. Από την (3.2) προκύπτουν δυο διαδικασίες που έχουν ενδιαφέρον. Η πρώτη είναι αυτή κάθε αυτή η που περιέχει την τάση και η δεύτερη είναι η που περιέχει το υπόλοιπο (residual). Στην (3.2) αντικαθιστώντας κατάλληλα τα s, q προκύπτουν διάφορες µορφές γραµµικού φιλτραρίσµατος. Έτσι θέτοντας και προκύπτει ο γνωστός µας από τα προηγούµενα κινητός µέσος όρος Με αλλά λόγια, κινητός µέσος όρος είναι ο τυπικός µέσος των δεδοµένων στο διάστηµα. Ο αριθµός ονοµάζεται τάξη του κινητού µέσου και παίζει σηµαντικό ρόλο στην εξοµάλυνση που θα δώσει στην σειρά το φίλτρο του κινητού µέσου όρου. [28]

29 Προβλήµατα στο φιλτράρισµα µε τον κινητό µέσο όρο προκύπτουν στα άκρα της χρονολογικής σειράς. Τα προβλήµατα αυτά αντιµετωπίζονται, είτε µε πρόσθεση µηδενικών ή της µέσης τιµής στις άκρες, είτε ορίζοντας τον κινητό µέσο ως όπου Τώρα εάν θέσουµε σαν, και προκύπτει µια διαφορετική µορφή εξοµάλυνσης, η εκθετική εξοµάλυνση (exponential smoothing). Έτσι η διαδικασία της εκθετικής εξοµάλυνσης είναι όπου µια σταθερά (ελεύθερη παράµετρος). Ο µέσος όρος που προκύπτει και σε αυτή την περίπτωση είναι σταθµισµένος αφού Σχήµα 23. Η εκθετική εξοµάλυνση για τις διάφορες τιµές της σταθεράς α. [29]

30 Σχήµα 24. Εκθετική εξοµάλυνση για δεδοµένη χρονολογική σειρά και για διάφορες τιµές τις σταθεράς α. α=0.2 α=0.02 α= Μέθοδος των διαφορών (differencing). Η µέθοδος µε την χρήση διαφορών είναι αποδοτική κυρίως όταν η τάση είναι στοχαστική. Αφαιρώντας, ορίζουµε τον τελεστή διαφόρισης (difference operator) πρώτης τάξης δεύτερης τάξης και γενικότερα n-τάξης, Η αποδοτικότητα της µεθόδου αυτής έγκειται στο ότι σε οποιοδήποτε πολυώνυµο πάρουµε διαφορές κάποιας τάξης µπορεί να περιορισθεί σε σταθερά. Γεγονός που αποδεικνύεται γιατί ισχύει Για παράδειγµα εάν έχουµε γραµµική τάση τότε παίρνοντας τις πρώτες διαφορές έχουµε, ενώ εάν έχουµε µη-γραµµική τάση, έστω, παίρνοντας τις δεύτερες διαφορές έχουµε. Με άλλα λόγια, οι διαφορές αφαιρούν την τάση. Η χρονολογική σειρά των διαφορών που προκύπτει είναι η [30]

31 και όπως είναι εύκολα φανερό από την (3.11) η χρονολογική σειρά των διαφορών είναι πιο µικρή καθώς χάνουµε ένα σηµείο (το τελευταίο). Απόρροια του παραπάνω είναι ότι µειώθηκε το πλάτος αλλά αυξήθηκε ο θόρυβος (σχήµα 25). Σχήµα 25. Η χρονολογική σειρά των διαφορών. Σχήµα 26. Η αρχική χρονολογική σειρά και το υπόλοιπο αυτής. Παράλληλα, το υπόλοιπο (residual), R(t i ) = X(t i ) - Y(t i ) συµπίπτει σχεδόν µε την αρχική χρονολογική σειρά, παρά το γεγονός ότι αυξήθηκε ο θόρυβος. Έτσι το υπόλοιπο που παράγει δεν είναι χρήσιµο. (σχήµα 26). Σχήµα 27. Η αρχική χρονολογική σειρά και η χρονολογική σειρά των δεύτερων διαφορών. Στον σχήµα 27 βλέπουµε το αποτέλεσµα που προκύπτει παίρνοντας τις δεύτερες διαφορές. Παρατηρούµε ότι η τάση και η περιοδικότητα απαλείφθηκαν και έµεινε µόνο ο θόρυβος. Έτσι, η µέθοδος των διαφορών είναι καλή για τον προσδιορισµό (extraction) του θορύβου και την µετατροπή των µη-στάσιµων χρονολογικών σειρών σε στάσιµες. [31]

32 Αυξάνει όµως το πλάτος του θορύβου. Αυτό συµβαίνει γιατί εάν υποθέσουµε ότι έχουµε δυο τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ ανεξάρτητες µε µηδενική µέση τιµή τότε η διασπορά της διαφοράς του θα είναι Μεθοδος Προσαρµογης (Fitting). Σκοπός αυτής της µεθόδου είναι η εκτίµηση και η απαλοιφή της τάσης. Γενικά, όταν υπάρχουν παρατηρήσεις ή µετρήσεις, προσαρµόζεται µια συνάρτηση σε αυτές. Σκοπός µας δεν είναι απλά να κάνουµε interpolation στα δεδοµένα, αλλά προσαρµογή. ηλαδή, µας αρκεί η καµπύλη να περνάει κοντά από τα σηµεία των µετρήσεων και όχι απαραίτητα από αυτά. Γενικότερα, µε την έννοια µέτρηση εννοείται το αποτέλεσµα του νόµου που διέπει το φαινόµενο και του θορύβου που υπάρχει. Βασικά βήµατα της προσαρµογής είναι καταρχήν η επιλογή µιας συνάρτησης για προσαρµογά. Η επιλογή αυτή γίνεται είτε µέσω της θεωρίας, είτε κάποιας οπτικής εκτίµησης, είτε από κάποια άλλη πηγή πληροφοριών. Από την στιγµή που θα γίνει η επιλογή της συνάρτηση το επόµενο βήµα είναι η εφαρµογή κάποιας µεθόδου προσαρµογής. Τέλος, βασικό στάδιο είναι και η εκτίµηση της ποιότητας της προσαρµογής που έγινε στο προηγούµενο βήµα. Η πιο διαδεδοµένη µέθοδος προσαρµογής είναι η γνωστή µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Συνήθως, γίνεται η προσαρµογή είτε ενός πολυωνύµου, είτε κάποιας άλλης µη γραµµικής συνάρτησης. Στόχος της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων είναι η ελαχιστοποίηση της ποσότητας. Η ελαχιστοποίηση γίνεται συνήθως µε αριθµητικές µεθόδους. Ενδεικτικά, για την προσαρµογή της συνάρτησης σειρά, οι συντελεστές α και b δίνονται από τις σχέσεις στην χρονολογική [32]

33 Σε όλες τις παραπάνω µεθόδους, στο υπόλοιπο που προκυπτεί από την απάλειψη της τάσης προσαρµόζεται κάποιο άλλο µοντέλο χρονολογικών σειρών Ανάλυση περιοδικότητας. Όπως και στην ανάλυση της τάσης έτσι και στην ανάλυση της περιοδικότητας βασικός σκοπός είναι ο διαχωρισµός του περιοδικού µέρους από τον θόρυβο. Ξεκινάµε την µελέτη υποθέτοντας ότι η χρονολογική σειρά δεν έχει τάση. Μια χρονολογική σειρά χωρίς τάση είναι εφικτό να βρεθεί εφαρµόζοντας κάποια από τις τεχνικές ανάλυσης τάσης που αναλύθηκαν προηγουµένως. Έτσι, µπορούµε να πούµε ότι το µοντέλο µε εποχικότητα γράφεται Οι µέθοδοι είναι οι ίδιοι µε αυτούς της ανάλυσης τάσης. Έτσι, και στην ανάλυση περιοδικότητας χρησιµοποιείται το γραµµικό φιλτράρισµα, είτε µε τον κινητό µέσο όρο, αλλά µε µικρό παράθυρο Κ, είτε µε εκθετική εξοµάλυνση και την προσαρµογή µιας συνάρτησης. Εδώ, η συνάρτηση που χρησιµοποιείται για προσαρµογή είναι η Σχήµα 28. Γραµµικό φιλτράρισµα µε κινητό µέσο όρο και παράθυρο Κ=2 (α) Αρχική χρονολογική σειρά χωρίς τάση (β) φιλτραρισµένη χρονολογική σειρά (γ) Υπόλοιπο. [33]

34 Σχήµα 29. Γραµµικό φιλτράρισµα µε εκθετική εξοµάλυνση και α=2 (α) Αρχική χρονολογική σειρά χωρίς τάση (β) φιλτραρισµένη χρονολογική σειρά (γ) Υπόλοιπο. Σχήµα 30 Προσαρµογή της συνάρτησης. Με την βοήθεια της αριθµητικής ανάλυσης βρεθήκαν Α=-0.14 ω=0.994 φ=3.32 και περίοδος Τ=6.32 (α) Αρχική χρονολογική σειρά χωρίς τάση (β) φιλτραρισµένη χρονολογική σειρά (γ) Υπόλοιπο. Η µέθοδος της προσαρµογής ενδέχεται πολλές φόρες να αποτύχει, όπως φαίνεται και στο σχήµα 10. Ο λόγος της αποτυχίας βρίσκεται στον τρόπο που γίνεται η ελαχιστοποίηση της ποσότητας αριθµητικά, αφού η [34]

35 συνάρτηση f(t) είναι µη γραµµική. Υπολογίζοντας αριθµητικά το ελάχιστο ενδέχεται να πέσουµε σε κάποιο τοπικό ελάχιστο και να παγιδευτούµε εκεί. Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζεται, είτε χρησιµοποιώντας άλλες τεχνικές αριθµητικής ανάλυσης, είτε ορίζοντας µια άλλη ίσως καλύτερη αρχική πρόβλεψη. Σχήµα 31. Προσαρµογή της συνάρτησης. Με αρχική πρόβλεψη Α 0 =10 και ω 0 =2π/40 αριθµητικά βρεθήκαν Α=9.98 ω=0.16 φ=-0.02 και περίοδος Τ= Προφανώς η επιλογή της προσαρµογής έχει δώσει την περίοδο (α) Αρχική χρονολογική σειρά χωρίς τάση (β) φιλτραρισµένη χρονολογική σειρά (γ) Υπόλοιπο που περιέχει µικρή τάση. Επίσης εάν είναι γνωστή η περιοδικότητα d, ένας εύκολος τρόπος για να αποµακρυνθεί η εποχικότητα είναι πολλαπλασιάζοντας τις παρατηρήσεις µε τον τελεστή εποχικών διαφόρων ο οποίος ορίζεται ως εξής, Η σειρά έχει µέση τιµή µηδέν και δεν έχει περιοδικότητα. [35]

36 3.2.4 Ανάλυση Τάσης και Εποχικότητας. Σε περιπτώσεις όπου οι χρονολογικές σειρές παρουσιάζουν και τάση και εποχικότητα, όπως στο µοντέλο εφαρµόζονται διαδοχικά διάφοροι µέθοδοι από αυτές που παρουσιάστηκαν προηγουµένως. Σε άλλες περιπτώσεις η µέθοδος του κινητού µέσου όρου είναι ποιό αποτελεσµατική ενώ σε άλλες είναι αυτή της εκθετικής εξοµάλυνση, της προσαρµογής ή των διαφορών. Σχήµα 32. Ανάλυση Τάσης και Περιοδικότητας µε την µέθοδο του γραµµικού φιλτραρίσµατος χρησιµοποιώντας τον κινητό µέσο όρο. (α) Αρχική χρονολογική σειρά µε τάση (β) Τάση. Με την χρησιµοποίηση του κινητού µέσου όρου προκύπτει η τάση (γ) Περιοδικότητα (1 0 Υπόλοιπο) Το υπόλοιπο που προκύπτει φιλτράρεται ξανά µε τον κινητό µέσο όρο (δ) Θόρυβος (2 0 Υπόλοιπο). Σε άλλες περιπτώσεις, ο τελεστής που απαλείφει την εποχικότητα εφαρµόζεται πρώτα και αποµακρύνεται η περιοδικότητα. Έπειτα, αποµακρύνεται και η τάση εφαρµόζοντας κάθε φορά τον κατάλληλο τελεστή. Έστω ότι τότε [36]

37 όπου είναι η συνιστώσα της τάσης και η συνιστώσα των υπολοίπων. Η συνιστώσα της τάσης αποµακρύνεται εφαρµόζοντας τον τελεστή διαφορών στην νέα σειρά παρατηρήσεων. 3.3 Συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως. Παραδείγµατα Περιοδική Χρονολογική Σειρά. (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 33. (α) Αρχική Χρονολογική σειρά. Περιοδική. (β) Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µέχρι Ν=500 δηλαδή ολόκληρη η συνάρτηση. (γ) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µέχρι Ν/4. (δ) Μέρος της αρχικής χρονολογικής σειράς και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Στις περιοδικές χρονολογικές σειρές, η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως είναι περιοδική µε το πλάτος της να µικραίνει, Έτσι, όσο µεγαλώνει το s, έχουµε λιγότερους όρους στο άθροισµα, µε αποτέλεσµα το να είναι υποεκτιµηµένο (biased, underestimated) και το στατιστικό σφάλµα να αυξάνει. Αποτέλεσµα αυτού είναι να παίρνουµε υπ όψη τα µόνο µέχρι Ν/4 ή το πολύ Ν/2. Εξ άλλου στην συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µας ενδιαφέρει κυρίως η απόσβεση (decay) της συσχέτισης δηλαδή, περίπου το s όπου το γίνεται µηδέν. Η περίοδος είναι η ίδια και στην αρχική χρονολογική σειρά και στην συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: [37]

38 Έστω η περιοδική χρονολογική σειρά συνάρτηση αυτοσυσχέτισης γίνεται. Από την σχέση (3.16), η αφού, όπως και ο µέσος όρος. Έτσι, για καθαρά περιοδικές χρονολογικές σειρές, η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως δεν µας δίνει πολλές πληροφορίες τις όποιες δεν τις είχαµε από την αρχική χρονολογική σειρά Λευκός θόρυβος. (α) (β) Σχήµα 34. (α) Αρχική χρονολογική σειρά. Οµοιόµορφος θόρυβος στο [-2,2] (β) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.. Εάν µια χρονολογική σειρά είναι εντελώς τυχαία, δηλαδή είναι θόρυβος τότε, όπως φαίνεται και στο σχήµα, το 95% των βρίσκονται στο διάστηµα [38]

39 Σχήµα 35. Το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Παρατηρούµε ότι το 5% επιτρέπεται να βρίσκεται έξω από το διάστηµα εµπιστοσύνης αλλά, όχι όµως, αυτό να γίνεται συστηµατικά. Έτσι, ένα απλό τεστ για το εάν µια χρονολογική σειρά είναι τυχαία, γίνεται υπολογίζοντας την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Εάν το 95% των τιµών της βρίσκεται εντός του διαστήµατος Χρονολογική σειρά µε τάση. τότε η χρονολογική σειρά είναι εντελώς τυχαία. (α) (β) Σχήµα 36. (α) Αρχική χρονολογική σειρά. Οµοιόµορφος θόρυβος στο [-2,2] προσθέτοντας τάση. (β) Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Η χρονολογική σειρά φαίνεται να έχει µνήµη, αλλά αυτό οφείλεται µόνο στην επιρροή της τάσης. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µιας χρονολογικής σειράς µε τάση δεν µας παρέχει πολλές χρήσιµες πληροφορίες. Πρώτα πρέπει να αφαιρεθεί η τάση και µετά υπολογιστεί η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. [39]

40 4 Στάσιµες Στοχαστικές ιαδικασίες (Αυτοπαλίνδροµη ιαδικασία). Μέχρι ώρας έχουν αναφερθεί δυο στοχαστικές διαδικασίες, η µια του λευκού (οµοιοµόρφου) θορύβου που είναι µια στάσιµη στοχαστική διαδικασία και η άλλη ο τυχαίος περίπατος που είναι µη στάσιµη στοχαστική διαδικασία. Στα επόµενα κεφάλαια θα αναφερθούν οι συνήθεις στάσιµες στοχαστικές διαδικασίες που χρησιµοποιούνται στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών. Αυτές είναι η αυτοπαλίνδροµη ή αυτοπαλινδρούµενη διαδικασία (AR), η διαδικασία κινητού µέσου (ΜΑ) και η µεικτή διαδικασία (ARMA). Στα παρακάτω γίνεται η παραδοχή ότι η µέση τιµή της διαδικασίας είναι µηδέν, επειδή η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δεν επηρεάζεται εάν η σειρά έχει µέση τιµή διάφορη του µηδενός. Επίσης, χρησιµοποιείται ο συµβολισµός για την διαδικασία και για την ακολουθία των τυχαίων σφαλµάτων, η οποία πάντα θα θεωρείται λευκός θόρυβος και είναι ασυσχέτιστη µε την. Όπως έχει αναφερθεί, στο παρόν κεφάλαιο θα γίνει µελέτη των στάσιµων διαδικασιών. Συµφώνα λοιπόν µε το θεώρηµα διαχωρισµού του Wold (Wold s Decomposition Theorem) [11] κάθε στάσιµη στοχαστική διαδικασία µπορεί να εκφραστεί ως γραµµικός συνδυασµός µιας ακολουθίας ασυσχέτιστων τυχαίων µεταβλητών. Ένας τέτοιος γραµµικός συνδυασµός είναι επίσης γνωστός ως γραµµικό φίλτρο. Έστω µια όχι κατά ανάγκη αυστηρώς στάσιµη στοχαστική διαδικασία, µε µέσο µ. Το γραµµικό φίλτρο µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Θέτοντας η παραπάνω σχέση γράφεται Όπως έχει ήδη αναφερθεί η ακολουθία για τυχαίων µεταβλητών για την οποία, για κάθε t, έχει γίνει η υπόθεση ότι είναι µια ακολουθία ηλαδή και πρόκειται για µια διαδικασία λευκού θορύβου. Ο αριθµός των συντελεστών που είναι γνωστοί ως συντελεστές σταθµίσεως, µπορεί να είναι άπειρος ή πεπερασµένος. Εάν είναι άπειρος, γίνεται η υπόθεση ότι το άθροισµα τους συγκλίνει απολύτως, ότι δηλαδή [40]

41 Από την σχέση (4.1) προκύπτει ότι για την συνάρτηση αυτοδιασποράς ισχύουν τα παρακάτω: καθώς ισχύει ότι. Εποµένως, και Γιατί όλοι οι άλλοι όροι είναι µηδέν καθώς, Εποµένως Τέλος από τις προηγούµενες σχέσεις προκύπτει ότι Γίνεται φανερό ότι εάν το άθροισµα των συντελεστών σταθµίσεως δεν συγκλίνει, η διακύµανση τείνει στο άπειρο και ο συντελεστής αυτοσυσχετίσεως στο µηδέν. Εάν η σειρά είναι στάσιµη, τότε η διακύµανση είναι πεπερασµένη. [41]

42 Η εξίσωση (4.1) αποτελεί µια γενική µορφή από την οποία, µε διάφορες υποθέσεις σχετικά µε τους συντελεστές σταθµίσεως, προκύπτουν διάφορες στοχαστικές διαδικασίες χρονολογικών σειρών. Για παράδειγµα, έστω. Από την (4.1) προκύπτει: και Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως αυτοπαλίνδροµη διαδικασία πρώτης τάξης AR(1). Εάν υποθέσουµε ότι και για από την (4.1) προκύπτει η διαδικασία: Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως διαδικασία κινητού µέσου πρώτης τάξης ΜΑ(1). Στα επόµενα θα εξετάσουµε ξεχωριστά κάθε κατηγορία. 4.1 Αυτοπαλίνδροµη ιαδικασία τάξης p, AR(p). Η έκφραση µιας αυτοπαλίνδροµης διαδικασίας τάξης p είναι: ή ή όπου το πολυώνυµο και Β ο τελεστής της προς τα πίσω µετατόπισης. [42]

43 Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι στάσιµη η αυτοπαλίνδροµη διαδικασία, είναι η ρίζες της εξίσωσης να βρίσκονται έξω από τον µοναδιαίο κύκλο ή ισοδύναµα εάν οι ρίζες της εξίσωσης να βρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο Οι αποδείξεις των παραπάνω σχέσεων αναφέρονται στην βιβλιογραφία [12], [5], [3]. Για να είναι η σειρά στάσιµη, θα πρέπει η αυτοδιακύµανση να είναι σταθερός θετικός αριθµός. Για να συµβεί αυτό, θα πρέπει κάθε όρος του αθροίσµατος (4.3) να είναι θετικός αριθµός. Αυτό όµως µπορεί να συµβεί µόνο αν οι ρίζες της εξίσωσης (4.10) βρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Ο µέσος όρος των δίνεται από την σχέση [5]. Στην περίπτωση µας υποθέτουµε για χάρη απλότητας ότι., οπότε προκύπτει Για την AR(p) ισχύουν τα εξής [3]: Η συνάρτηση αυτοδιασποράς ACVF της στάσιµης διαδικασίας είναι ενώ η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως ACF δίνεται από την σχέση Επίσης ή [43]

44 είναι η διασπορά της αυτοπαλίνδροµης διαδικασίας. Από την σχέση (4.13) για εξισώσεις: προκύπτουν οι παρακάτω p, Yule Walker Οι παραπάνω εξισώσεις συνιστούν ένα σύστηµα p εξισώσεων, από την λύση του οποίου προκύπτουν οι τιµές για τις αυτοσυσχετίσεις, εάν είναι γνωστές οι τιµές των συντελεστών οι οποίοι ονοµάζονται συντελεστές αυτοπαλινδρόµησης. Με την µορφή πινάκων το παραπάνω σύστηµα γράφεται ως εξής: Όπου και Εάν οι αυτοσυσχετίσεις είναι γνωστές τότε οι συντελεστές αυτοπαλινδροµήσεως δίνονται από την σχέση [44]

45 4.1.1 Αυτοπαλίνδροµη διαδικασία τάξης 1, AR(1). Η πιο απλή µορφή των αυτοπαλίνδροµων διαδικασιών είναι οι αυτοπαλίνδροµες διαδικασίες πρώτης τάξης. Από την σχέση (4.7) για έχουν την έκφραση Με διαδοχικές αντικαταστάσεις η AR(1) διαδικασία γίνεται Έτσι για την AR(1) προκύπτει ότι: Για να είναι στάσιµη η σειρά, πρέπει. Έτσι για η διασπορά της διαδικασίας δίνεται από την σχέση Απόδειξη της σχέσης (4.26). Υψώνουµε στο τετράγωνο και τις δυο πλευρές της σχέσης (4.22) και παίρνουµε τις µαθηµατικές ελπίδες, οπότε έχουµε: Αλλά, αφού εξαρτάται µονό από το το οποίο είναι λευκός θόρυβος. Επίσης, αφού η σειρά είναι στάσιµη. Εποµένως, [45]

46 ή που είναι η σχέση (4.26). Επίσης, η συνάρτηση αυτοδιασποράς δίνεται από την σχέση Απόδειξη της σχέσης (4.27). Πολλαπλασιάζουµε τις δυο πλευρές της (4.22) επί µαθηµατικές ελπίδες, έχουµε: και παίρνοντας τις ή γιατί και Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: και γενικά που είναι η σχέση (4.27). [46]

47 Το παραπάνω αποτέλεσµα ισχύει εάν διαδικασία είναι στάσιµη., συνθήκη η οποία ισχύει όταν η AR(1) Στην περίπτωση που ισχύει διαδικασία δεν είναι στάσιµη. Όταν όµως, αυτοσυσχέτισης, αρχίζοντας από την µονάδα αφού τείνει προς το µηδέν καθώς το k αυξάνει. Για τότε η διασπορά δεν είναι ορισµένη και η τότε η συνάρτηση, ελαττώνεται εκθετικά και πάλι η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως ACF ελαττώνεται και τείνει προς το µηδέν αλλά µε εναλλασσόµενο πρόσηµο. Τα παραπάνω είναι απόρροια του ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης από τις σχέσεις (4.26) και (4.27) γίνεται και Σχήµα 37. Το γράφηµα των ACF από µια AR(1) διαδικασία Αυτοπαλίνδροµη διαδικασία ευτέρας Τάξεως, AR(2). Οι αυτοπαλίνδροµες διαδικασίες δευτέρας τάξεως στην γενική τους µορφή, µπορούν να γράφουν από την σχέση (4.7) για ως εξής: Όπως είναι ήδη γνωστό για να είναι στάσιµη η αυτοπαλίνδροµη διαδικασία δευτέρας τάξεως AR(2) θα πρέπει οι ρίζες της εξίσωσης [47]

48 να βρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Οι ρίζες είναι Έτσι, η συνθήκη στασιµότητας απαιτεί συνθήκη που οδηγεί στις εξής σχέσεις µεταξύ των παραµέτρων της διαδικασίας, Επίσης, για την AR(2) ισχύουν τα εξής: Για την συνάρτηση αυτοδιασποράς ισχύουν ή Για να είναι η σειρά στάσιµη, θα πρέπει η αυτοδιακύµανση να είναι σταθερός θετικός αριθµός. Για να συµβεί αυτό, θα πρέπει κάθε όρος στις παρενθέσεις στην σχέση (4.37) να είναι θετικός αριθµός. Αυτό όµως µπορεί να συµβεί µόνο αν ισχύουν οι σχέσεις (4.34), δηλαδή µε αλλά λόγια οι λύσεις της εξίσωσης (4.31) να βρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Επίσης, Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης προκύπτει ότι: [48]

49 Από την (4.39) για βλέπουµε ότι, αφού Απόδειξη της σχέσης (4.35). Παίρνουµε τις µαθηµατικές ελπίδες στη σχέση (4.30) έχοντας υποθέσει ότι, οπότε: ή και που είναι η σχέση (4.35). Απόδειξη της σχέσης (4.36) Πολλαπλασιάζουµε και τις δυο πλευρές της σχέσης (4.30) επί οπότε: Παίρνουµε τις µαθηµατικές ελπίδες, οπότε: ή Αλλά, και εποµένως, [49]

50 που είναι η σχέση (4.36). Απόδειξη της σχέσης (4.38). Πολλαπλασιάζουµε και τις δυο πλευρές της σχέσης (4.30) επί οπότε Παίρνουµε τις µαθηµατικές ελπίδες Αλλά, και εξ ορισµού και οπότε, που είναι η σχέση (4.38). Απόδειξη της σχέσης (4.39). ιαιρούµε την παραπάνω σχέση µε ή που είναι η σχέση (4.39). Απόδειξη της σχέσης (4.37). Η σχέση (4.37) προκύπτει από την σχέση (4.36) εάν αντικαταστήσουµε τα όπως αυτά δίνονται από την σχέση (4.38). και [50]

51 Οι εξισώσεις της σχέσης (4.40) είναι γνωστές ως εξισώσεις Yule Walker, από τις οποίες προκύπτουν οι τιµές για τις δυο αυτοσυσχετίσεις, όταν βεβαία ξέρουµε τις τιµές των συντελεστών. Συγκεκριµένα και Η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως µιας AR(2) διαδικασίας θα τείνει προς το µηδέν καθώς αυξάνεται η υστέρηση k. 4.2 Η Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχετίσεως. Για µια δοθείσα χρονολογική σειρά τα κύρια ερωτήµατα που πρέπει να απαντηθούν είναι ποία στοχαστική διαδικασία θα δώσει ένα ικανοποιητικό µοντέλο, ποία είναι η τάξη του και ποιές είναι οι παράµετροί του. Όλες οι αυτοπαλίνδροµες διαδικασίες έχουν συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης, οι όποιες βαίνουν φθίνουσες καθώς αυξάνει το µήκος της υστέρησης k, µε συνέπεια να είναι πολλές φορές δύσκολο να καθοριστεί η τάξη της διαδικασίας. Ως ένα πρόσθετο κριτήριο για τον σκοπό αυτό εισάγεται µια καινούργια συνάρτηση απαραίτητη στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών, η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης. Έστω, ότι η διαδικασία είναι AR(p) και στην γενική περίπτωση έστω µ η µέση τιµή της, όποτε η έκφρασή της είναι: όπου Η χρονολογική σειρά είναι µια πραγµατοποίηση αυτής της διαδικασίας, άρα Οπότε γίνεται γνωστό το µοντέλο που θα προσαρµοστεί, όταν θα έχουν εκτιµηθεί οι παράµετροι, η µέση τιµή µ, η διασπορά του λευκού θορύβου και η τάξη p του µοντέλου. Ξεκινώντας την ανάλυση των δεδοµένων, η τάξη του καλύτερα προσαρµοζόµενου µοντέλου είναι άγνωστη. Το πρόβληµα της εκτίµησης της τάξης του µοντέλου, είναι [51]

52 ανάλογο µε το πρόβληµα στην παλινδρόµηση εάν µια ανεξάρτητη µεταβλητή πρέπει να συµπεριληφθεί ή όχι στο µοντέλο. Όπλο προς αυτή την κατεύθυνση είναι η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχετίσεως (Partial Autocorrelation Function PACF). Η µερική αυτοσυσχέτιση ανάµεσα στην και στην αναφέρεται στην συσχέτιση ανάµεσα στην και στην όταν έχουν αφαιρεθεί οι γραµµικές επιδράσεις των ενδιάµεσων µεταβλητών. Έστω και ανεξάρτητες τις στάσιµη διαδικασία και, χωρίς περιορισµό της γενικότητας, έστω ότι. Έστω ένα µοντέλο παλινδρόµησης µε εξαρτηµένη µεταβλητή την δηλαδή, αφού η j παράµετρος της παλινδρόµησης και το σφάλµα για το οποίο ισχύουν όλες οι γνωστές προϋποθέσεις. Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι ο συντελεστής είναι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ανάµεσα στην και στην. Πολλαπλασιάζοντας µε µέσες τιµές, έχουµε: και τις δυο πλευρές τις (4.45) και παίρνοντας τις και Για ορίζεται το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων ή και [52]

53 Η παράµετρος, που υπολογίζεται από το παραπάνω σύστηµα µε τον κανόνα Cramer, θεωρούµενη σαν συνάρτηση της υστέρησης k, λέγεται Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχετίσεως PACF. Έτσι, για προκύπτει για για k και τέλος για k Είναι προφανές ότι για µια αυτοπαλίνδροµη διαδικασία p τάξεως, η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχετίσεως είναι µηδέν για και διάφορη του µηδενός για. Αυτό σηµαίνει ότι εάν η διαδικασία είναι AR, τότε η τάξη της θα είναι ίση µε το πλήθος των σηµαντικών µερικών αυτοσυσχετίσεων. Πιο συγκεκριµένα η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχετίσεως για αυτοπαλίνδροµες διαδικασίες υπολογίζεται από τον αλγόριθµο Durbin Levinson συµφώνα µε τον αναδροµικό τύπο για τις παραµέτρους. [53]

54 και όπου Οπότε, για AR(1): για AR(2): για AR(p): 4.3 Έλεγχος Σηµαντικότητας Συντελεστών Αυτοσυσχέτισης. Στην πράξη επειδή οι πραγµατικές τιµές τόσο των µερικών αυτοσυσχετίσεων όσο και των αυτοσυσχετίσεων δεν είναι γνωστές, χρησιµοποιούνται οι αντίστοιχες εκτιµήσεις τους από το δείγµα. Έτσι, εάν στους τύπους που δίνουν την θεωρητική τιµή της συνάρτησης µερικής αυτοσυσχετίσεως, τα αντικατασταθούν µε τις δειγµατικές τιµές τους τότε, οι τιµές των που προκύπτουν είναι οι δειγµατικές. [54]

55 Έχει δειχτεί [14] ότι κάτω από την υπόθεση ότι µια διαδικασία είναι AR τάξεως p, οι µερικές αυτοσυσχετίσεις τάξης p+1 και µεγαλύτερης, προσεγγιστικά είναι ανεξάρτητες κατανεµηµένες. Ακόµη για µεγάλα δείγµατα (n µεγάλο) οι εκτιµήσεις κατανέµονται κανονικά µε µέσο το µηδέν και διακύµανση των αυτοσυσχετίσεων, n το µέγεθος του δείγµατος [15]. Το ίδιο ισχύει και για τις εκτιµήσεις των µερικών αυτοσυσχετίσεων για υστερήσεις k µεγαλύτερες από την τάξη p της AR διαδικασίας. ηλαδή Με βάση τις εκτιµήσεις αυτές, µπορεί να γίνει έλεγχος σηµαντικότητας των παραµέτρων στον πληθυσµό. Ο έλεγχος της σηµαντικότητας του συντελεστή είναι Ο έλεγχος γίνεται µε την στατιστική, Έτσι, για επίπεδο σηµαντικότητας α, η µηδενική υπόθεση Η 0 απορρίπτεται εάν. Για και το είναι περίπου και η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται εάν. Έτσι το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης είναι, Ακριβώς ανάλογα ένα διάστηµα εµπιστοσύνης µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον έλεγχο της υπόθεσης της σηµαντικότητας της συνάρτησης µερικής αυτοσυσχετίσεως. Με βάση τον παραπάνω έλεγχο σηµαντικότητας των συντελεστών µερικής αυτοσυσχέτισης µπορεί να καθοριστεί η τάξη µιας AR διαδικασίας. Εξετάζοντας την ακολουθία των τιµών για, επιλέγεται ως τάξη της σειράς αυτή που αντιστοιχεί στην τελευταία σηµαντική τιµή του. [55]

56 4.4 ιαδικασίες Κινητού Μέσου. Οι διαδικασίες κινητού µέσου είναι χρήσιµες για περιγραφή φαινόµενων στα οποία τα γεγονότα παράγουν ένα άµεσο αποτέλεσµα, η επίδραση του οποίου όµως δεν σταµατά εκεί αλλά διαρκεί, αν και το ίδιο το γεγονός παύει να υφίσταται. Συνήθως επηρεάζει λιγότερο και για µικρό χρονικό διάστηµα τις επόµενες χρονικές στιγµές. Για παράδειγµα µια απεργία επηρεάζει την οικονοµία όχι µόνο την στιγµή που πραγµατοποιείται αλλά και τους εποµένους µήνες αν και έχει λήξει. Στην γενική του µορφή µια διαδικασία κινητού µέσου q τάξεως ή ΜΑ(q) γράφεται ως εξής: όπου Η τάξη q αναφέρεται στο µήκος της υστερήσεως της µεταβλητής, για την οποία, όπως και πριν, γίνεται η υπόθεση ότι είναι λευκός θόρυβος. Ο όρος κινητός µέσος αναφέρεται στο γεγονός ότι η εµφανίζεται ως ένα σταθµισµένο άθροισµα, όπως ο µέσος, των τιµών της. Προτού ξεκινήσει η µελέτη των διαδικασιών κινητών µέσων (ΜΑ) θα ορίσουµε την αντιστρέψιµη διαδικασία κινητού µέσου. Μια ΜΑ διαδικασία λέγεται αντιστρέψιµη όταν µπορεί να αντιστραφεί η έκφρασή της, δηλαδή να εκφραστούν τα σαν συνάρτηση των µε µοναδικό τρόπο. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισχύει η παραπάνω ιδιότητα είναι οι ρίζες του πολυωνύµου να βρίσκονται έξω από τον µοναδιαίο κύκλο. Με άλλα λογία, µια ΜΑ διαδικασία είναι αντιστρέψιµη αν µπορεί να διατυπωθεί ως µια αυτοπαλίνδροµη διαδικασία µε απείρους όρους ιαδικασία Κινητού Μέσου τάξης 1, ΜΑ(1). Πρώτα θα εξεταστεί η περίπτωση µιας διαδικασίας κινητού µέσου τάξης 1 (ΜΑ(1) διαδικασία) Για η σχέση (4.60) γίνεται Αποδεικνύεται εύκολα ότι για την ΜΑ(1) διαδικασία ισχύουν τα παρακάτω: [56]

57 Επίσης, Τέλος, η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης γίνεται δηλαδή η PACF µιας ΜΑ(1) διαδικασίας φθίνει εκθετικά µε εναλλασσόµενο πρόσηµο εάν (αρχίζοντας από θετικό) ή µε αρνητικό πρόσηµο εάν ενώ µόνο η αυτοσυσχέτιση τάξης 1 είναι σηµαντική. Όπως εύκολα γίνεται φανερό από τις παραπάνω σχέσεις όλες οι αυτοσυνδιακυµάνσεις και συνεπώς οι αυτοσυσχετίσεις είναι µηδέν εκτός από την πρώτη. Αυτό σηµαίνει ότι η µνήµη της διαδικασίας δεν υπερβαίνει την µια περίοδο. ηλαδή, µια οποιαδήποτε παρατήρηση της, εστω συσχετιζεται µε την προηγούµενη ή την εποµένη, αλλά δεν συσχετίζεται µε καµία άλλη. Τέλος, µια ΜΑ(1) διαδικασία για να είναι αντιστρέψιµη θα πρέπει ιαδικασία Κινητού Μέσου Τάξης 2, ΜΑ(2). Για η σχέση (4.60) γίνεται και αποτελεί την έκφραση για µια διαδικασία κινητού µέσου τάξης 2 (ΜΑ(2) διαδικασία). Όπως είναι γνωστό µια κινητού µέσου διαδικασία είναι σταθερή και αντιστρέψιµη όταν οι ρίζες του πολυωνύµου βρίσκονται έξω από τον µοναδιαίο κύκλο. Εύκολα, λοιπόν, αποδεικνύεται ότι για την ΜΑ(2) διαδικασία ισχύουν οι σχέσεις: [57]

58 Επίσης, ισχύουν οι σχέσεις: και Για τις συναρτήσεις αυτοδιασποράς (ACVF) και αυτοσυσχέτισης της ΜΑ(2) διαδικασίας ισχύουν: Επίσης, ενώ η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης PACF Σχέσεις οι όποιες προκύπτουν από το γεγονός ότι για ιαδικασία Κινητού Μέσου τάξης q, MA(q). Όπως έχει ήδη αναφερθεί η έκφραση δίνει την διαδικασία κινητού µέσου τάξης q και συµβολίζεται µε ΜΑ(q). Μια διαδικασία κινητού µέσου είναι πάντα στάσιµη και αντιστρέψιµη όταν οι ρίζες του πολυωνύµου βρίσκονται έξω από τον µοναδιαίο κύκλο. Εύκολα αποδεικνύεται ότι για την ΜΑ(q) διαδικασία ισχύουν οι σχέσεις: [58]

59 και Η ACVF της ΜΑ(q) διαδικασίας είναι: H ACF είναι Τέλος, οι µερικές αυτοσυσχετίσεις µπορούν να εκφραστούν ως συναρτήσεις των αυτοσυσχετίσεων µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και για τις AR διαδικασίες. Υπολογίζονται µε βάση τις σχέσεις ή δηλαδή µε την µέθοδο Cramer Σηµειώνεται ότι, γενικά ενώ η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µιας AR(p) διαδικασίας µπορεί να εκτείνεται στο άπειρο, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µιας ΜΑ(q) διαδικασίας τερµατίζεται (µηδενίζεται) µετά από q υστερήσεις. Η µνήµη της, µε αλλά λόγια, εξαντλείται σε q περιόδους. Αντίθετα, η συνάρτηση µερικής [59]

60 αυτοσυσχέτισης µιας ΑR(p) διαδικασίας τερµατίζεται µετά από p υστερήσεις, ενώ η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης µιας ΜΑ(q) διαδικασίας εκτείνεται στο άπειρο Σχέση µεταξύ AR(p) και MA(q) διαδικασιών. Με αφορµή την προηγούµενη σηµείωση και την παρατήρηση περί αντιστρεψιµότητας µιας ΜΑ διαδικασίας, θα µελετηθεί η σχέση µεταξύ AR(p) και MA(q) διαδικασιών. Μια AR(p) διαδικασία µπορεί να γραφεί όπου τέτοιο ώστε Τα βάρη δυνάµεων του. µπορούν να υπολογιστούν εξισώνοντας τους συντελεστές ιδίων Μάλιστα αποδεικνύεται ότι για ΑR(2) µοντέλο, η ανάδροµη σχέση που συνδέει τα µε τα είναι ηλαδή, µε άλλα λόγια, µια AR διαδικασίας πεπερασµένης τάξης ισοδυναµεί µε µια ΜΑ διαδικασία απείρου τάξης. Μια ΜΑ(q) διαδικασία τώρα µπορεί να γραφεί όπου [60]

61 και Τα µπορούν να υπολογιστούν όπως και προηγουµένως εξισώνοντας τους συντελεστές ιδίων δυνάµεων του και έτσι προκύπτει το συµπέρασµα πως µια ΜΑ διαδικασία ισοδυναµεί µε µια AR απείρου τάξης. 4.5 Μεικτές ιαδικασίες (ARMA(p, q)). Η έκφραση ή ή είναι συνδυασµός µιας AR(p) και µιας ΜΑ(q) διαδικασίας. Για αυτό αποκαλείται µεικτή αυτοπαλίνδροµη κινητού µέσου διαδικασία τάξης (p,q) ή ARMA(p,q). Είναι προφανές ότι η καθαρά αυτοπαλίνδροµη µορφή ή µια καθαρή µορφή κινητού µέσου µπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις µιας ARMA διαδικασίας. ηλαδή, και Αποδεικνύεται ότι η ACF της ARMA(p,q) διαδικασίας είναι: Γενικά, η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως µιας ARMA(p,q) διαδικασίας θα συµπεριφέρεται όπως αυτή µιας AR(p) διαδικασία, ενώ η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχετίσεως θα συµπεριφέρεται όπως αυτή µιας MA(q) διαδικασίας για. [61]

62 Συνοπτικά όλα τα παραπάνω και για τις σχέσεις των συναρτήσεων αυτοσυσχετίσεως και µερικής αυτοσυσχέτισης µεταξύ των στάσιµων χρονολογικών σειρών φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. ιαδικασία Συνάρτηση Αυτοσυσχετίσεως Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχετίσεως Λευκός Θόρυβος Μηδέν Μηδέν AR(p) Φθίνει εκθετικά ή φθίνει ακλουθώντας ηµιτονοειδή συµπεριφορά Μηδενίζεται µετά από p υστερήσεις MA(q) Μηδενίζεται µετά από p υστερήσεις Φθίνει εκθετικά ARMA(p,q) Φθίνει εκθετικά Φθίνει εκθετικά Έτσι, όπως γίνεται φανερό, για τον προσδιορισµό µοντέλου, χρησιµοποιούνται και οι µερικές δειγµατικές αυτοσυσχετίσεις, µε την βοήθεια των οποίων ορίζεται το είδος και η τάξη του προτεινόµενου µοντέλου. Βέβαια πάντα πρέπει να γίνεται η προσπάθεια για κατάληξη σε µοντέλα µε µικρή τάξη. Τέλος, για MA(q) διαδικασίες η δειγµατική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σταµατά να είναι σηµαντική από την υστέρηση. Ενώ, για AR(p) διαδικασίες η δειγµατική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ελαττώνεται οµαλά, ενώ η δειγµατική συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης σταµατά να είναι σηµαντική από την υστέρηση. Έτσι, όπως γίνεται αντιληπτό, οι δειγµατικές αυτοσυσχετίσεις και οι µερικές αυτοσυσχετίσεις µαρτυρούν την ταυτότητα των αντιστοιχών πληθυσµιακών (θεωρητικών). Ξαναγυρίζοντας στις µεικτές διαδικασίες, µια ARMA(p,q) διαδικασία είναι στάσιµη όταν οι ρίζες του AR πολυωνύµου είναι έξω από τον µοναδιαίο κύκλο και αντιστρέψιµη όταν οι ρίζες του ΜΑ πολυωνύµου είναι έξω από τον µοναδιαίο κύκλο. Μπορεί, όπως ήδη έχει δειχτεί, µια ARMA διαδικασία να γραφεί ως µια καθαρά ΜΑ διαδικασία ή µια AR διαδικασία. Η διαφορά είναι ότι χρειάζεται µια υψηλής τάξεως ΜΑ διαδικασία από ότι µε µια AR διαδικασία, δηλαδή απαιτεί περισσότερους συντελεστές. Έτσι, γίνεται φανερή, η οικονοµία που επιτυχαίνεται µε την χρήση των µεικτών διαδικασιών. Για παράδειγµα, µια ARMA(1,1) διαδικασία µπορεί να γραφεί ως µια ΜΑ( ). Επίσης, στην συνάρτηση αυτοσυσχέτισης υπεισέρχεται ο συντελεστής από την ΜΑ(1) διαδικασία αλλά µόνο για την αυτοσυσχέτιση πρώτης [62]

63 τάξης ( µέρος. ). Οι υπόλοιπες αυτοσυσχετίσεις εξαρτώνται µόνο από το αυτοπαλίνδροµο ARMA(1,1) ιαδικασία. Η απλούστερη µορφή µιας ARMA διαδικασίας είναι η ARMA(1,1) διαδικασία. Η σχέση (4.90) για και γίνεται Η συνθήκη στασιµότητας είναι ενώ η συνθήκη αντιστρεψιµότητας είναι Επίσης, εύκολα αποδεικνύεται ότι Επίσης, Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύει Όπως γίνεται φανερό η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ελαττώνεται εκθετικά καθώς το k αυξάνεται. Η µείωση αρχίζει όµως από το και από την µονάδα όπως στην περίπτωση της AR(1) διαδικασίας. Η συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης συµπεριφέρεται όπως στην περίπτωση της ΜΑ(1) διαδικασίας, δηλαδή φθίνει εκθετικά. Οι µερικές αυτοσυσχετίσεις προσδιορίζονται από τις σχέσεις (4.51) όπως στην περίπτωση µιας AR(p) διαδικασίας. Για παράδειγµα, οι δυο πρώτες µερικές αυτοσυσχετίσεις µε βάση τις γνώστες σχέσεις είναι οι εξής: [63]

64 4.6 Επιλογή Μοντέλου και Τάξης. Μετά την µελέτη όλων αυτών των διαδικασιών τίθενται τα ερωτήµατα επιλογής του κατάλληλου µοντέλου και της τάξης αυτού. Για την µεν τάξη του µοντέλου υπάρχουν διάφορα κριτήρια για την εκλογή της [17], [15], [4]. Μερικά από αυτά είναι: 1. Το κριτήριο του Akaike (AIC) 2. Το κριτήριο του Schwartz (SBC) 3. Το κριτήριο του σφάλµατος της πρόβλεψης (FPE) όπου m το πλήθος των παραµέτρων του συγκεκριµένου µοντέλου και n το πλήθος των παρατηρήσεων. Συµφώνα µε τα παραπάνω κριτήρια το καλύτερο µοντέλο είναι αυτό που ελαχιστοποιεί τις παραπάνω ποσότητες. Για δε την επιλογή του µοντέλου ισχύουν οι παρακάτω γενικές παρατηρήσεις: Πρώτον, τα AR µοντέλα είναι προτιµητέα γιατί έχουν µνήµη και γιατί υπάρχουν συνεπείς εκτιµήσεις των παραµέτρων τους. εύτερον, ένα ARMA(p,q) µοντέλο µε µικρά p και q συνήθως προσαρµόζεται στα δεδοµένα καλυτέρα από ένα AR(m) ή MA(m) µοντέλο µεγάλης τάξης. Τέλος, η χρήση µοντέλων µεγάλης τάξης µπορεί να οδηγήσει σε over-fitting των δεδοµένων. Εάν σε κάποια δεδοµένα προσαρµοστεί για παράδειγµα ένα AR(3) µοντέλο και τα σφάλµατα προσαρµογής είναι λευκός θόρυβος, τότε το ίδιο αναµένεται να συµβεί και για οποιοδήποτε µοντέλο µεγαλύτερης τάξης. Το γεγονός ότι θα εκτιµηθούν περισσότερες παράµετροι δε σηµαίνει και ότι θα εξηγηθούν καλυτέρα τα δεδοµένα. [64]

65 5 Εκτίµηση Παραµέτρων. Όπως έχει αναφερθεί, εάν ένα δείγµα προέρχεται από µια διαδικασία, µε βάση την δειγµατική συνάρτηση µερικής αυτοσυσχέτισης µε στατιστικούς ελέγχους µπορεί να καθοριστεί η τάξη p της διαδικασίας. Υποθέτοντας ότι είναι γνωστή η τάξη, πως µπορούν να εκτιµηθούν οι παράµετροι της διαδικασίας; ιάφοροι µέθοδοι έχουν προταθεί για τον σκοπό αυτό. 5.1 Μέθοδος Ροπών ή Μέθοδος Yule-Walker. Η µέθοδος ροπών είναι η απλούστερη από όλες τις µεθόδους εκτίµησης παραµέτρων. Βασικό µειονέκτηµα της, αποτελεί το γεγονός πως δεν δίνει καλούς εκτιµητές. Η βασική αρχή λειτουργιάς της είναι ότι εκτιµά τις άγνωστες παραµέτρους εξισώνοντας τις πληθυσµιακές ροπές µε τις δειγµατικές και λύνοντας τις εξισώσεις που προκύπτουν. Στα αυτοπαλίνδροµα µοντέλα AR(p), θεωρώντας ότι η AR(p) διαδικασία έχει µέση τιµή µηδέν, πολλαπλασιάζοντας µε και παίρνοντας τις µέσες τιµές, προκύπτουν οι εξισώσεις: ή Από τις παραπάνω σχέσεις, για προκύπτει ένα σύστηµα µε k εξισώσεις και k αγνώστους, το οποίο λύνοντάς το, βρίσκουµε τους εκτιµητές των άγνωστων παραµέτρων. Στο σύστηµα αντί των αγνώστων χρησιµοποιούνται τα που είναι γνωστά, οπότε Οι παραπάνω εκτιµητές ονοµάζονται εκτιµητές Yule Walker. Αποδεικνύεται επίσης ότι όπου η διασπορά της σειράς. [65]

66 Τέλος, θα αναφερθεί η µορφή των εκτιµητών Yule Walker για AR(1) και AR(2) διαδικασίες. Η µέθοδος ροπών για AR(1) διαδικασία δίνει ενώ για AR(2) διαδικασία το σύστηµα των εξισώσεων που προκύπτει είναι η λύση του οποίου, αφού αντικατασταθούν οι θεωρητικές αυτοσυσχετίσεις απο τις δειγµατικές, δίνει Τα πράγµατα είναι λίγο διαφορετικά στην εφαρµογή της µεθόδου ροπών για κινητού µέσου µοντέλα MA(q). Η συνάρτηση αυτοδιασποράς ενός MA(q) µοντέλου είναι ενώ για ιαιρώντας µε την διασπορά της σειράς τις παραπάνω εξισώσεις, προκύπτει το σύστηµα (5.10) [66]

67 το οποίο δεν είναι γραµµικό και η λύση του απαιτεί µεθόδους αριθµητικής ανάλυσης. Κατά τα λοιπά όµως η λύση αυτού του συστήµατος µετά την αντικατάσταση των, µε τα δειγµατικά, δίνει εκτιµητές των παραµέτρων του µοντέλου µε την µέθοδο ροπών. Έτσι, για παράδειγµα για MA(1) διαδικασία προκύπτει το σύστηµα Η λύση του συστήµατος δίνει δυο εκτιµητές της παραµέτρου επιλέγεται εκείνη που ικανοποιεί την συνθήκη αντιστρεψιµότητας.. Από αυτές Τέλος, και στα µεικτά µοντέλα ARMA(p,q) η µέθοδος των ροπών καταλήγει σε σύστηµα που για την λύση του χρησιµοποιούνται µέθοδοι αριθµητικής ανάλυσης. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός ARMA(p,q) µοντέλου είναι µε την βοήθεια της οποίας προκύπτει το σύστηµα για την εκτίµηση των παραµέτρων. 5.2 Η Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων. Ένας άλλος τρόπος που χρησιµοποιούµε για να εκτιµήσουµε τους παραµέτρους κάθε µοντέλου είναι η χρησιµοποίηση της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Η µέθοδος αυτή υπολογίζει τις άγνωστες παραµέτρους µιας διαδικασίας µε µέση τιµή µ, ελαχιστοποιώντας το άθροισµα των τετραγώνων των σφαλµάτων. Οι εκτιµητές που προκύπτουν από αυτή την µέθοδο έχουν τις ιδιότητες των µεγάλων δειγµάτων. ηλαδή, είναι συνεπείς και ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανοµή. Στην περίπτωση µιας AR(p) διαδικασίας και για δείγµα n παρατηρήσεων προκύπτει το (5.13) σύστηµα εξισώσεων [67]

68 αφού µια AR(p) διαδικασία στην γενική της µορφή µπορεί να γραφεί σαν µε. Το σύστηµα (5.13) γράφεται ως όπου,, και Σύµφωνα µε την θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων, οι εκτιµητές δίνονται από την σχέση όπου Ο πίνακας των διακυµάνσεων συνδιακυµάνσεων των εκτιµητών είναι όπου [68]

69 Ισοδύναµα σε µια AR(p) διαδικασία, ελαχιστοποιείται το άθροισµα Εάν τώρα,,, είναι οι εκτιµητές που προκύπτουν µε την παραπάνω µέθοδο, τότε τα εκτιµώµενα σφάλµατα είναι και η διασπορά τους Ένας εκτιµητής του µέσου της AR(p) διαδικασίας δίνεται από την σχέση Στις εφαρµογές συνήθως, σαν εκτιµητή της µέσης τιµής της AR(p) διαδικασίας λαµβάνεται ο δειγµατικός µέσος. Η παράµετρος αυτή δεν υπολογίζεται µε την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, αλλά από τον τύπο (5.26) Στην περίπτωση που η διαδικασία είναι MA(q), ελαχιστοποιούµε το άθροισµα όπου Ανάλογα και για ARMA(p,q) διαδικασία. Η µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων µπορεί να είναι µε συνθήκη ή χωρίς συνθήκη, ανάλογα ποιο άθροισµα τετραγώνων ελαχιστοποιείται. Στην πρώτη περίπτωση ελαχιστοποιείται το άθροισµα [69]

70 ενώ στην άλλη το άθροισµα Όπως βεβαία γίνεται φανερό από τις παραπάνω σχέσεις οι προς ελαχιστοποίηση συναρτήσεις για MA(q) και ARMA(p, q) διαδικασίες δεν είναι γραµµικές ως προς τις παραµέτρους. Έτσι, χρησιµοποιούνται µη γραµµικές µέθοδοι για την εκτίµηση των παραµέτρων. Η διαδικασία είναι επίπονη, αλλά πλέον γίνεται εύκολα µε τα διάφορα διαθέσιµα στατιστικά πακέτα προγράµµατα, όπως, τα E VIEWS, RATS, MINITAB, SPSS, και άλλα. Τελειώνοντας µε την µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, θα αναφερθούν παραδείγµατα για κάθε µια διαδικασία χωριστά. Για AR(1) µοντέλο ελαχιστοποιούµε το άθροισµα (το οποίο πολλές φορές ονοµάζεται και υπό συνθήκη άθροισµα τετραγώνων). Αντικαθιστώντας την µέση τιµή µε τον δειγµατικό µέσο προκύπτει το άθροισµα η ελαχιστοποίηση του οποίου δίνει τον εκτιµητή Η ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος (5.32) επιτυγχάνεται θέτοντας Η διασπορά των υπολοίπων (residuals) είναι [70]

71 όπως και στην προηγούµενη µέθοδο. Στην περίπτωση του MA(q) µοντέλου, το άθροισµα των τετραγώνων είναι το το οποίο ελαχιστοποιείται λαµβάνοντας και Για το µεικτό µοντέλο ARMA(p,q), υπολογίζονται τα για από την σχέση µε ελαχιστοποιείται το άθροισµα. 5.3 Μέθοδος Μεγίστης Πιθανοφάνειας µε συνθήκη. Η µέθοδος αυτή εκτιµά τις παραµέτρους µιας διαδικασίας συνάρτηση πιθανοφάνειας µε την συνθήκη ότι ελαχιστοποιώντας την είναι γνωστά. Η υπό συνθήκη συνάρτηση του λογάριθµου πιθανοφάνειας για το ARMA(p,q) µοντέλο είναι η και όπου το υπό συνθήκη άθροισµα τετραγώνων των σφαλµάτων. [71]

72 Για τον υπολογισµό αυτού του αθροίσµατος µας χρειάζονται οι τιµές των. Με την προϋπόθεση ότι η σειρά είναι στάσιµη και τα σφάλµατα iid από, τα άγνωστα τα εξισώνουµε µε ενώ τα τα αντικαθιστούµε µε την µέση τους τιµή, δηλαδή µηδέν. Τα περισσότερα στατιστικά πακέτα αυτή τη µέθοδο χρησιµοποιούν για εκτίµηση των παραµέτρων του µοντέλου. Αφού έχουν εκτιµηθεί οι παράµετροι του µοντέλου, ο εκτιµητής της διασποράς των σφαλµάτων, υπολογίζεται από τον τύπο: όπου οι βαθµοί ελευθερίας είναι όσοι οι όροι του αθροίσµατος µείον τον αριθµό των εκτιµώµενων παραµέτρων, δηλαδή Η µέθοδος αυτή συµπίπτει µε τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων µε συνθήκη αφού και οι δυο χρησιµοποιούν τις παρατηρήσεις µόνο µέσω του 5.4 Μέθοδος Μεγίστης Πιθανοφάνειας χωρίς συνθήκη. Η µέθοδος αυτή εκτιµά τις παραµέτρους του µοντέλου, χρησιµοποιώντας την ίδια συνάρτηση πιθανοφάνειας, ορίζοντας το άθροισµα διαφορετικά. Έτσι, δίνεται από την σχέση όπου η υπό συνθήκη µέση τιµή των δοθέντων των φ, µ, θ και X. Όσοι όροι δεν υπάρχουν υπολογίζονται κάνοντας πρόβλεψη προς τα πίσω. Στην πράξη χρησιµοποιείται το άθροισµα όπου Μ ένας αρκετά µεγάλος ακέραιος τέτοιος ώστε και ε κάποια αυθαίρετα προκαθορισµένη µικρή τιµή. [72]

73 Αφού εκτιµηθούν οι παράµετροι του µοντέλου, ο εκτιµητής της διασποράς των σφαλµάτων, υπολογίζεται από τον τύπο Κλείνοντας, θα αναφερθούν ορισµένες γενικές παρατηρήσεις πάνω στην εκτίµηση παραµέτρων. Καταρχήν, όπως έχει ήδη αναφερθεί η µέθοδος Yule Walker δίνει µεροληπτικούς εκτιµητές. Η χρησιµότητα της µεθόδου αυτής έγκειται στο ότι οι εκτιµητές που λαµβάνονται χρησιµοποιούνται σαν αρχικές τιµές για άλλες µεθόδους. εύτερον, όταν η χρονολογική σειρά είναι normal, η µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δίνει ίδιους εκτιµητές µε την µέθοδο µεγίστης πιθανοφάνειας. Επίσης, για µεγάλα n, όλες οι µέθοδοι δίνουν εκτιµητές ίδιους µε την µέθοδο µεγίστης πιθανοφάνειας µε µεγαλύτερη απόκλιση αυτήν της µεθόδου Yule Walker. Τέλος, όπως έχει ήδη αναφερθεί και προηγουµένως, η εκτίµηση των παραµέτρων µιας MA διαδικασίας είναι πιο δύσκολη από ότι της AR διαδικασίας. Οι δυσκολίες οφείλονται στο γεγονός ότι οι αντίστοιχες των εξισώσεων Yule Walker στην ΜΑ διαδικασία δεν δίνουν γραµµικό σύστηµα, η λύση του οποίου είναι απλή, αλλά µη γραµµικό η λύση του οποίου είναι δύσκολη και γίνεται µόνο µε µεθόδους αριθµητικής ανάλυσης. [73]

74 6 Μη Στάσιµες ιαδικασίες. Τα στοχαστικά µοντέλα που µελετήθηκαν µέχρι τώρα αναφέρονται όλα σε στάσιµες διαδικασίες. Αυτό σηµαίνει ότι ο µέσος, η διακύµανση και οι αυτοσυνδιακυµάνσεις δεν εξαρτώνται από τον χρόνο t. Υπάρχουν όµως, σειρές που δεν µπορούν να προσαρµοστούν από κανένα από τα στάσιµα προαναφερθέντα µοντέλα. Οι µετασχηµατισµοί που συνήθως χρησιµοποιούνται για να επιτευχθεί η στασιµότητα έχουν ήδη περιγραφεί. Στην συνέχεια, θα αναφερθούν διαδικασίες που δεν είναι στάσιµες, η µέθοδος των Box Jenkins και θα περιγραφεί ο τυχαίος περίπατος, τα ολοκληρωµένα µεικτά µοντέλα και το πολλαπλασιαστικό µοντέλο. 6.1 Τυχαίος Περίπατος. Η AR(1) διαδικασία για να είναι στάσιµη θα πρέπει. Εάν τότε προκύπτει η διαδικασία ή ή όπου είναι λευκός θόρυβος, δηλαδή Η διαδικασία (6.1) είναι γνωστή ως τυχαίος περίπατος (Random Walk). Όταν υπάρχει σταθερός όρος, δηλαδή η διαδικασία είναι γνωστή ως τυχαίος περίπατος µε περιπλάνηση (Random Walk with drift). Εάν το αναπαριστά βήµατα προς τα εµπρός ή προς τα πίσω κατά την χρονική στιγµή t, τότε η παρατήρηση θα αναπαριστά την θέση ενός περιπατητή κατά την χρονική στιγµή t και η απόφαση για το που θα κινηθεί αυτός κατά την διάρκεια της επόµενης περιόδου, δεν εξαρτάται από το που βρίσκεται την παρούσα περίοδο. [74]

75 Μια στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί τον τυχαίο περίπατο δεν είναι στάσιµη. Με διαδοχικές αντικαταστάσεις η γράφεται όπου είναι η τιµή της X στην περίοδο µηδέν (αρχική θέση). Είναι προφανές ότι και Ενώ ο µέσος όρος είναι σταθερός, η διακύµανση είναι συνάρτηση του χρόνου t και εποµένως η σειρά είναι µη στάσιµη. Εδώ πρέπει να γίνει η επισήµανση, ότι εάν υπολογιστούν οι πρώτες διαφορές της σειρά που προκύπτει είναι στάσιµη. ηλαδή, η σειρά η είναι διαδικασία λευκού θορύβου και είναι στάσιµη. 6.2 Ολοκληρωµένες ιαδικασίες. Οι περισσότερες χρονολογικές σειρές δεν έχουν τα χαρακτηριστικά στάσιµων διαδικασιών. Όπως στην περίπτωση του τυχαίου περιπάτου, που οι διαφορές πρώτης τάξης οδήγησαν σε στάσιµη διαδικασία (διαδικασία λευκού θορύβου), έτσι και πολλές άλλες περιπτώσεις χρονολογικών σειρών µετατρέπονται σε στάσιµες διαδικασίες µε την βοήθεια διαφορών. Οι σειρές είναι χρήσιµο να είναι στάσιµες γιατί έτσι αποφεύγονται διάφορα προβλήµατα, όπως για παράδειγµα το πρόβληµα της φαινοµενικής παλινδρόµησης. Όταν µια σειρά µετατρέπεται σε στάσιµη, παίρνοντας τις πρώτες διαφορές, η σειρά ονοµάζεται ολοκληρωµένη πρώτης τάξεως και συµβολίζεται µε Ι(1). Εάν η σειρά µετατρέπεται σε στάσιµη παίρνοντας τις δεύτερες διαφορές, είναι ολοκληρωµένη δεύτερης τάξεως και παριστάνεται µε Ι(2). Γενικά, εάν d είναι ο αριθµός των διαφορών που µετατρέπει µια σειρά σε στάσιµη, η σειρά ονοµάζεται ολοκληρωµένη d τάξεως και παριστάνεται µε Ι(d). Χρησιµοποιώντας τον τελεστή υστερήσεως, οι πρώτες διαφορές ορίζονται ως [75]

76 Χρησιµοποιώντας τον τελεστή δεύτερων διαφορών η διαδικασία γίνεται Ανάλογα αποτελέσµατα προκύπτουν χρησιµοποιώντας τελεστές διαφορών τρίτης, τέταρτης,, d τάξης. Γίνεται φανερό ότι ο τυχαίος περίπατος είναι µια ολοκληρωµένη πρώτης τάξεως διαδικασία. Ο λευκός θόρυβος θεωρείται ολοκληρωµένη µηδενικής τάξεως διαδικασία. Τέλος, αξίζει να σηµειωθεί πως αθροίζοντας µια φορά µια ολοκληρωµένη πρώτης τάξεως στάσιµη σειρά προκύπτει η αρχική µη στάσιµη σειρά. Αθροίζοντας δυο φορές µια ολοκληρωµένη δευτέρας τάξεως στάσιµη σειρά πάλι θα προκύψει η αρχική µη στάσιµη σειρά. Γενικά, αθροίζοντας d φορές µια ολοκληρωµένη d τάξεως στάσιµη σειρά προκύπτει η αρχική µη στάσιµη. Για παράδειγµα, έστω η σειρά και οι πρώτες διαφορές Αθροίζοντας µια φορά προκύπτει ηλαδή, είναι το άθροισµα όλων των διαφορών. Έστω, οι δεύτερες διαφορές οπότε [76]

77 Αθροίζοντας τώρα τα ηλαδή, για να βρεθεί η χρειάστηκε να γίνει η άθροιση δυο φόρες. 6.3 Το µοντέλο ARIMA(p,d,q). Σε ένα τυχαίο περίπατο οι διαφορές πρώτης τάξης οδηγούν σε διαδικασία λευκού θορύβου, δηλαδή σε στάσιµη διαδικασία. Στην γενική περίπτωση όµως, µια στάσιµη στοχαστική διαδικασία που προκύπτει παίρνοντας διαφορές κάποιας τάξης δεν είναι λευκός θόρυβος αλλά ARMA(p,q) στάσιµη διαδικασία. Οι Box Jenkins προτείνουν για µια µη στάσιµη χρονολογική σειρά την χρήση διαφορών πρώτης, δεύτερης ή d τάξεως για την επίτευξη στασιµότητας. Στην νέα σειρά προσαρµόζεται ένα µοντέλο ARMA(p,q). Γενικά ένα µοντέλο ARMA(p,q) που εφαρµόζεται σε µια ολοκληρωµένη σειρά d τάξεως, ονοµάζεται αυτοπαλίνδροµο ολοκληρωµένο µοντέλο κινητού µέσου τάξεως (p,q,d) (Autoregressive Integrated Moving Average) και συµβολίζεται µε ARIMA(p,q,d). Με άλλα λόγια, ARIMA(p,q,d) διαδικασία, είναι µια διαδικασία η οποία διαφορίζεται (κατά αναλογία µε το ολοκληρωµένη ) d φόρες και παράγει ARMA(p,q) διαδικασία. Η έκφραση της ολοκληρωµένης διαδικασίας κινητού µέσου ARIMA(p,q,d), µε την βοήθεια των πολυώνυµων είναι ή όπου Το πολυώνυµο άλλες έξω από τον µοναδιαίο κύκλο. έχει µια ρίζα ίση µε την µονάδα, τάξης d, και όλες τις [77]

78 Η ανάπτυξη και η κατασκευή µοντέλων ARIMA ως εργαλεία πρόβλεψης στην βιβλιογραφία είναι γνωστή ως µεθοδολογία ή τεχνικές Box Jenkins ή µεθοδολογία ARIMA Μεθοδολογία Box Jenkins. Η προσέγγιση Box Jenkins στην ανάλυση χρονολογικών σειρών, δηλαδή η προσαρµογή ARIMA µοντέλων σε κάποια δεδοµένα, απαιτεί τα παρακάτω βήµατα: Πρώτο βήµα είναι να κατασκευαστούν τα γραφήµατα της σειράς, των αυτοσυσχετίσεων και των µερικών αυτοσυσχετίσεων. Με το βήµα αυτό δίνεται η δυνατότητα να διαπιστωθούν ορισµένα κρίσιµα στοιχεία για την εξεύρεση ενός ARIMA µοντέλου. Εάν όλες οι αυτοσυσχετίσεις είναι ασήµαντες, ενδεχοµένως ένα µη γραµµικό µοντέλο να προσαρµόζεται. Καλό είναι στις περιπτώσεις αυτές να εφαρµόζεται και δεύτερος έλεγχος ανεξαρτησίας, έλεγχος που είναι γνωστός σαν έλεγχος µοναδιαίας ρίζας. Επίσης, εάν η σειρά δεν είναι στάσιµη, εφαρµόζοντας κάποιον µετασχηµατισµό ή παίρνοντας διαφορές κάποιας τάξης, µετατρέπεται σε στάσιµη. ηλαδή λαµβάνουµε νέα δεδοµένα που αντιστοιχούν σε στάσιµη χρονολογική σειρά. Με τα νέα αυτά δεδοµένα προσδιορίζεται η τάξη του ARIMA µοντέλου. Στο δεύτερο βήµα εφαρµόζεται κάποιο εκ των γνωστών µοντέλων, αυτοπαλίνδροµο (AR), κινητού µέσου (MA) ή µεικτό (ARMA) στις νέες παρατηρήσεις. ηλαδή, ακολουθεί η εκτίµηση των p παραµέτρων της αυτοπαλίνδροµης (AR) διαδικασίας και των q παραµέτρων της διαδικασίας κινητού µέσου (ΜΑ). Οι µέθοδοι εκτίµησης παραµέτρων αναλύθηκε σε προηγούµενο κεφάλαιο. Στο επόµενο βήµα γίνεται έλεγχος του µοντέλου για την προσαρµοστικότητα του. ηλαδή, πόσο καλά ταιριάζει το εκτιµώµενο µοντέλο µε τα δεδοµένα, αφού πιθανώς κάποιο άλλο µοντέλο ARIMA να προσαρµόζεται καλυτέρα. Ο έλεγχος αυτός, αφορά πέραν των γνωστών στατιστικών ελέγχων για την σηµαντικότητα των συντελεστών, την συµπεριφορά των καταλοίπων και την τάξη του µοντέλου. Εάν το εκτιµώµενο ARMA µεικτό µοντέλο ταιριάζει µε τα δεδοµένα, τότε τα κατάλοιπα θα πρέπει να συµπεριφέρονται ως διαδικασία λευκού θορύβου. ηλαδή, τα κατάλοιπα δεν θα πρέπει να αυτοσυσχετίζονται. Ο έλεγχος των καταλοίπων γίνεται µε την στατιστική συνάρτηση Q των Box Peirce (Box Pierce Q Statistic) ([1] [15]) µε την οποία ελέγχεται η σηµαντικότητα από κοινού ενός αριθµού συντελεστών αυτοσυσχετίσεων, έστω m. ηλαδή, ελέγχεται η µηδενική υπόθεση [78]

79 Η στατιστική Q ορίζεται ως εξής: όπου είναι οι δειγµατικές αυτοσυσχετίσεις των καταλοίπων και n ο αριθµός των παρατηρήσεων (καταλοίπων). Συνήθως, ο αριθµός των αυτοσυσχετίσεων των καταλοίπων που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό της στατιστικής ισούται µε την τετραγωνική ρίζα του αριθµού των παρατηρήσεων. ηλαδή,. Η παραπάνω στατιστική ακολουθεί προσεγγιστικά την κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας. Για δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας, η µηδενική υπόθεση, ότι όλοι οι συντελεστές αυτοσυσχετίσεως είναι µηδέν, απορρίπτεται εάν η τιµή της υπερβαίνει την κρίσιµη τιµή της, δηλαδή εάν. Μια τροποποιηµένη µορφή της στατιστικής των Box Rierce είναι η στατιστική που πρότειναν οι Ljung Box [8] και η οποία ορίζεται ως εξής: Η παραπάνω στατιστική (6.16) ακολουθεί προσεγγιστικά την κατανοµή µε βαθµού ελευθερίας. Η στατιστική [79] θεωρείται καταλληλότερη για µικρά δείγµατα. Για µεγάλα δείγµατα, και οι δυο στατιστικές έχουν ανάλογη συµπεριφορά. Τέταρτο βήµα, αποτελεί ο έλεγχος της τάξης του µοντέλου. Ο έλεγχος αυτός γίνεται συγκρίνοντας το µοντέλο µε ένα άλλο µοντέλο µεγαλύτερης τάξης. ηλαδή, το εκτιµώµενο µοντέλο ARMA(p,q) συγκρίνεται µε τα µοντέλα ARMA(p+1, q) και ARMA(p,q+1). Εάν το µοντέλο που εκτιµήθηκε περιγράφει την διαδικασία που παρήγαγε τα δεδοµένα ικανοποιητικά, οι επιπλέον συντελεστές στα µεγαλύτερα τάξεως µοντέλα δεν θα πρέπει να είναι στατιστικά διαφορετικοί από το µηδέν. Τέλος, θα αναφερθούν ορισµένα κριτήρια επιλογής του κατάλληλου µοντέλου. Είναι φανερό ότι αυξάνοντας την τάξη του µοντέλου, δηλαδή προσθέτοντας υστερήσεις για το αυτοπαλίνδροµο τµήµα ή και για το τµήµα του κινητού µέσου, θα µειώνεται το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων αλλά θα µειώνονται και οι βαθµοί ελευθερίας, αφού εκτιµώνται περισσότεροι παράµετροι. ηλαδή, δεν υπάρχει µόνο κέρδος από την προσθήκη µεταβλητών αλλά και κόστος. Στην ανάλυση χρονολογικών σειρών χρησιµοποιούνται ευρέως τα παρακάτω δυο κριτήρια για την επιλογή του καταλληλότερου µοντέλου. Το Κριτήριο Πληροφοριών Akaike (Akaike Information Criterion AIC) και το Μπαϊεσιανό Κριτήριο Schwartz (Schwartz Bayesian Criterion SBC) ([17], [8], [4]). Τα κριτήρια αυτά ορίζονται ως εξής:

80 όπου το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων, n ο αριθµός των παρατηρήσεων και ο αριθµός των παραµέτρων που εκτιµώνται. Με βάση τα παραπάνω κριτήρια, επιλέγεται το µοντέλο µε την µικρότερη τιµή. Και τα δυο κριτήρια µπορούν να πάρουν και αρνητικές τιµές. Το τελικό µοντέλο που έχει παραχθεί µε την παραπάνω διαδικασία χρησιµοποιείται για την πρόβλεψη. Για την πρόβλεψη θα γίνει εκτενής αναφορά σε επόµενο κεφάλαιο. 6.4 Εποχιακό Πολλαπλασιαστικό Μοντέλο. Στην Οικονοµία, στις επιχειρήσεις ακόµα και στην φύση υπάρχουν χρονολογικές σειρές που παρουσιάζουν εποχικότητα, δηλαδή διαστήµατα µε την ιδία συµπεριφορά. Έτσι, περίοδος s µιας χρονολογικής σειράς ονοµάζεται το πλήθος των παρατηρήσεων που αντιστοιχούν σε διαστήµατα που παρουσιάζουν την ιδία συµπεριφορά. Εάν η εποχική συνιστώσα του µοντέλου είναι καθορισµένη και ανεξάρτητη από άλλους µη εποχικούς παράγοντες, µπορεί να απαλειφθεί εφαρµόζοντας µια µέθοδο παλινδρόµησης, όπως ένα πολυώνυµο ηµιτόνων συνηµίτονων. Συνήθως τα πράγµατα στις χρονολογικές σειρές δεν είναι τόσο ξεκάθαρα. Οι Box Jenkins [4] προτείνουν την απαλοιφή της περιοδικότητας παίρνοντας διαφορές υστέρησης s. ηλαδή, Αφού απαλειφθεί η περιοδικότητα, το επόµενο βήµα είναι να προσαρµοστεί ένα µεικτό µοντέλο στις νέες παρατηρήσεις. Το παραπάνω µοντέλο θα είναι καθαρά εποχικό µοντέλο και θα αποτελεί µερική περίπτωση του γενικού εποχικού µοντέλου (πολλαπλασιαστικό µοντέλο) που είναι το γενικότερο µοντέλο στην ανάλυση χρονολογικών σειρών και αναφέρεται στην περίπτωση που η χρονολογική σειρά έχει συνιστώσα τάσης και συνιστώσα εποχικότητας. Η συνιστώσα εποχικότητας δεν είναι ανεξάρτητη από τις άλλες συνιστώσες. Έτσι, η διαδικασία λέγεται SARIMA διαδικασία µε περιοδικότητα s, εάν η διαδικασία είναι ARMA διαδικασία. Η παραπάνω διαδικασία µε την βοήθεια των πολυώνυµων γράφεται [80]

81 Το πολυώνυµο είναι βαθµού, ενώ το βαθµού. Το γενικό πολλαπλασιαστικό µοντέλο προσαρµόζεται σε χρονολογικές σειρές για τις οποίες µπορεί να γίνει η υπόθεση ότι στις παρατηρήσεις που απέχουν s χρονικές στιγµές εφαρµόζεται το ίδιο εποχικό µοντέλο ARIMA, ενώ στις παρατηρήσεις που περιέχονται µέσα σε κάθε περίοδο το ίδιο ολοκληρωµένο µεικτό µοντέλο. Η όλη διαδικασία που ακολουθείται στην ανάλυση χρονολογικών σειρών µε περιοδικότητα, δηλαδή η προσαρµογή ενός SARIMA µοντέλου σε ένα σύνολο παρατηρήσεων παρουσιάζεται παρακάτω µε τα ακόλουθα βήµατα. Πρώτο βήµα είναι η κατασκευή των γραφηµάτων της σειράς, των αυτοσυσχετίσεων και των µερικών αυτοσυσχετίσεων. Εάν όλες οι αυτοσυσχετίσεις είναι ασήµαντες ενδεχοµένως ένα µη γραµµικό µοντέλο να προσαρµόζεται στα δεδοµένα. Καλό είναι στις περιπτώσεις αυτές να εφαρµόζονται και άλλοι έλεγχοι ανεξαρτησίας. Εάν το γράφηµα παρουσιάζει επανάληψη ανά s αυτοσυσχετίσεις τότε από το γράφηµα των αυτοσυσχετίσεων και των µερικών αυτοσυσχετίσεων που αντιστοιχούν σε υστερήσεις πολλαπλάσιες της περιοδικότητας, επιλέγεται το ARIMA. Επόµενο βήµα είναι, στα εκτιµώµενα σφάλµατα που προκύπτουν µετά την προσαρµογή του παραπάνω µοντέλου, να προσαρµόζεται ένα ARIMA(p,d,q) µοντέλο και το γινόµενο των δυο είναι το γενικό πολλαπλασιαστικό µοντέλο. Όπως και προηγουµένως ελέγχεται ως προς την προσαρµοστικότητα του το µοντέλο. Ισχύει η ιδία ανάλυση και έτσι, εάν υπάρχουν περισσότερα από ένα κατάλληλα µοντέλα, επιλέγεται το καλύτερο. [81]

82 7 Προβλέψεις. Ο βασικός σκοπός της µελέτης των µοντέλων για χρονολογικές σειρές, δηλαδή της εξειδικεύσεως και εκτιµήσεως ενός µοντέλου όπως του αυτοπαλίνδροµου (AR), του κινητού µέσου (ΜΑ), του µεικτού (ARMA), του αυτοπαλίνδροµου ολοκληρωµένου κινητού µέσου (ARIMA) και του εποχικού πολλαπλασιαστικού (SARIMA) είναι η διενέργεια προβλέψεων (prediction, forecasting). Με βάση, δηλαδή, το εκτιµώµενο µοντέλο και τις υπάρχουσες πληροφορίες µέχρι την χρονική περίοδο t, να γίνει πρόβλεψη της τιµής της χρονολογικής σειράς στην περίοδο t κ.ο.κ. Όπως και στην ανάλυση του απλού γραµµικού µοντέλου, η καλύτερη πρόβλεψη µιας µελλοντικής τιµής της ερµηνευτικής µεταβλητής Υ, είναι: η οποία στην ουσία είναι εκτίµηση της. Η διάφορα έξαλλου παριστάνει το σφάλµα πρόβλεψης. Έτσι, και στην περίπτωση των µοντέλων των χρονολογικών σειρών προκύπτουν ανάλογα αποτελέσµατα. Όπως γίνεται αντιληπτό, η πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών µιας παρατηρούµενης χρονικής σειράς είναι σηµαντικό πρόβληµα για πολλές εφαρµογές. Ο δείκτης και ο όγκος χρηµατιστήριου αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα. Επίσης, ο αριθµός των ηλιακών κηλίδων είναι σηµαντικό πρόβληµα καθώς επηρεάζει το κλίµα της γης γι αυτό και έχει µεγάλη σηµασία η πρόβλεψη του αριθµού των ηλιακών κηλίδων για τα επόµενα έτη. Για να πραγµατοποιηθεί η πρόβλεψη χρησιµοποιούνται οι παρατηρήσεις µέχρι την παρούσα χρονική στιγµή. Θεωρώντας την παρατηρούµενη χρονολογική σειρά από µια στοχαστική διαδικασία, το πρόβληµα που µελετάται, είναι η πρόβλεψη της χρονικής σειράς για k χρονικά βήµατα µπροστά από την χρονική στιγµή t, που συµβολίζεται µε, ενώ η πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή στην χρονική στιγµή t είναι. Το σφάλµα πρόβλεψης (prediction error) είναι Με αναφορά στη στοχαστική διαδικασία, η πρόβλεψη είναι η εκτίµηση του στοιχείου της µε βάση τα προηγούµενα στοιχειά της. ηλαδή, η βέλτιστη πρόβλεψη είναι [82]

83 Επιθυµητές ιδιότητες καλής εκτιµήσεως, δηλαδή καλή πρόβλεψη, είναι η αµεροληψία (unbiasedness) και η αποτελεσµατικότητα (efficiency). Γνωστά από την στατιστική, η αµεροληψία είναι Η αποτελεσµατικότητα δηλαδή η µικρή διασπορά λάθους πρόβλεψης. Συνδυάζοντας τις δυο παραπάνω, η καλύτερη είναι εκείνη που ελαχιστοποιεί το µέσο τετραγωνικό σφάλµα πρόβλεψης για κάθε βήµα πρόβλεψης k. Προτού γίνει η ανάλυση και η µελέτη διάφορων µοντέλων πρόβλεψης, θα γίνει µια προσπάθεια να διατυπωθούν διάφορες τεχνικές αξιολόγησης των µοντέλων αυτών. ηλαδή, να συγκριθούν οι προβλεπόµενες µε τις πραγµατικές τιµές για την περίοδο για την οποία υπάρχουν στοιχειά. Για να αξιολογηθεί η απόδοση ενός µοντέλου πρόβλεψης σε µια χρονική σειρά για k χρονικά βήµατα µπροστά πρέπει να υπολογιστεί κάποιο µέτρο που να συγκεντρώνει τα σφάλµατα πρόβλεψης για ένα ικανοποιητικό αριθµό χρονικών στιγµών. Γίνονται λοιπόν, προβλέψεις για k χρονικά βήµατα µπροστά σε έναν αριθµό γνωστών παρατηρήσεων για χρόνους t δηλαδή υπολογίζονται τα. Έχοντας τις αντίστοιχες πραγµατικές τιµές πρόβλεψης για k χρονικά βήµατα µπροστά, υπολογίζονται τα σφάλµατα. Υπάρχουν διάφορα στατιστικά µέτρα που και συγκεντρώνουν τα σφάλµατα πρόβλεψης. Ένα από αυτά είναι η εκτίµηση του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος (mean square error mse) Ένα άλλο στατιστικό µέτρο που συχνά χρησιµοποιείται είναι η ρίζα του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος (root mean square error rmse) [83]

84 Ένα επίσης χρήσιµο µέτρο του σφάλµατος της πρόβλεψης όταν χρειάζεται να συγκριθούν µοντέλα σε διαφορετικές χρονολογικές σειρές είναι η κανονικοποίηση της ρίζας του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος (normalized root mean square error nrmse) διαιρώντας την ρίζα του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος (nrmse) µε την δειγµατική τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς (ή πιο σωστά των παρατηρήσεων που χρησιµοποιούνται στο σχηµατισµό των σφαλµάτων) όπου είναι η δειγµατική µέση τιµή των. Τιµές της κανονικοποιηµένης ρίζας του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος (nrmse) κοντά στο µηδέν δηλώνουν πολύ καλή πρόβλεψη, ενώ τιµές κοντά και γύρω από την µονάδα δηλώνουν ότι η πρόβλεψη είναι τόσο καλή, όσο εάν γινόταν πρόβλεψη µε την µέση τιµή. Ορισµένα ακόµα κριτήρια µέτρα αξιολόγησης της προβλεπτικής ικανότητας ενός µοντέλου είναι το µέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλµα (mean absolute percentage error mape) και ο συντελεστής ανισότητας του Theil (Theil Inequality Coefficient) [10] που ορίζεται ως εξής Ο συντελεστής U είναι ανεξάρτητος από τις µονάδες µέτρησης και γι αυτό είναι περισσότερο κατάλληλος για σύγκριση της προβλεπτικής ικανότητας διάφορων µοντέλων, σε αντίθεση µε τα υπόλοιπα κριτήρια που εξαρτώνται από τις µονάδες µέτρησης. Εάν οι προβλεπόµενες τιµές συµπίπτουν απολύτως µε τις πραγµατικές, η τιµή του U είναι µηδέν. Όταν ο συντελεστής ανισότητας του Theil είναι µεγαλύτερος της µονάδας, οι προβλέψεις είναι πολύ µακριά από την πραγµατικότητα, µη αποδοτικές και άρα πολύ κακές. Εάν ο συντελεστής ανισότητας του Theil ισούται µε την µονάδα, τότε όλες οι προβλέψεις είναι µηδέν. Η περίπτωση αυτή έχει περισσότερο νόηµα όταν για τον υπολογισµό του συντελεστή ανισότητας του Theil χρησιµοποιούνται όχι οι αρχικές τιµές αλλά οι µεταβολές, δηλαδή στην θέση των και χρησιµοποιούνται οι µεταβολές από την προηγούµενη περίοδο. Σε [84]

85 αυτή την περίπτωση δηλαδή συνέχιση της υπάρχουσας κατάστασης. σηµαίνει ότι οι προβλεπόµενες µεταβολές είναι µηδέν, Ο συντελεστής ανισότητας του Theil U µπορεί να διασπαστεί σε τρεις συνιστώσες κάθε µια από τις οποίες εκφράζει µια πηγή ή αιτία της ανακρίβειας των προβλέψεων, µε τον ίδιο τρόπο που µπορεί να γίνει και στην ανάλυση των γραµµικών παλίνδροµων µοντέλων. Η διάσπαση αυτή µπορεί να γίνει ως έξης. Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δυο µέρη της σχέσης (7.12), προκύπτει Ο αριθµητής στην παραπάνω σχέση είναι ο µέσος του τετραγώνου του σφάλµατος και µπορεί να γραφεί, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους µέσους των και ως ή όπου είναι ο µέσος των προβλεπόµενων τιµών, είναι ο µέσος των πραγµατικών τιµών, είναι η τυπική απόκλιση των προβλεπόµενων τιµών, είναι η τυπική απόκλιση των πραγµατικών τιµών και ρ είναι ο συντελεστής συσχετίσεως των πραγµατικών και των προβλεπόµενων τιµών. Ο πρώτος όρος στην σχέση (7.15), δηλαδή το τετράγωνο της διαφοράς των µέσων και είναι ένα µέτρο της µεροληψίας (bias). Ο δεύτερος όρος, δηλαδή το τετράγωνο της διαφοράς των διακυµάνσεων, είναι ένα µέτρο της άνισης µεταβλητότητας των πραγµατικών και προβλεπόµενων τιµών και. Ο τρίτος όρος περιέχει τον συντελεστή αυτοσυσχέτισης και µπορεί να θεωρηθεί ως ένα µέτρο της ατελούς µεταβλητότητας (covariation) των πραγµατικών και προβλεπόµενων τιµών και. Η σχέση (7.15) µπορεί να γραφεί ως εξής ενώ η σχέση (7.13) γίνεται [85]

86 όπου Ο τρίτος όρος στις παραπάνω σχέσεις παριστάνει το µη συστηµατικό (τυχαίο) παράγοντα που δεν µπορεί να αποφευχθεί, ενώ οι δυο πρώτοι όροι παριστάνουν συστηµατικά σφάλµατα που πρέπει να αποφεύγονται. Ιδεατά, θα ήταν επιθυµητό η µόνη πηγή σφάλµατος να ήταν το µη συστηµατικό µέρος, δηλαδή οι δυο πρώτοι όροι να ήταν µηδέν. Για ευκολία θα χρησιµοποιηθούν καταχρηστικά, συµβολισµοί που αναφέρονται στο δείγµα, όπως για να συµβολιστούν επίσης οι µεταβλητές, για παράδειγµα, όταν χρειάζεται να δοθούν γενικές σχέσεις για τις προβλέψεις και τα σφάλµατα πρόβλεψης. 7.1 Απλές Τεχνικές Πρόβλεψης Αιτιοκρατική Τάση (Deterministic Trent). Ξεκινώντας µε την πιο απλή περίπτωση, γίνεται η υπόθεση πως η πληροφορία στην χρονική σειρά δίνεται µόνο από χρονικές τάσεις (trends), που είτε είναι γνωστές, είτε χρειάζεται να εκτιµηθούν, δηλαδή, όπου είναι µια αιτιοκρατική τάση συναρτήσει του χρόνου t (τάση) και είναι ο λευκός θόρυβος. Η πρόβλεψη γίνεται µε την επέκταση (extrapolation) του αιτιοκρατικού όρου σε µελλοντικούς χρόνους, δηλαδή η πρόβλεψη του είναι Το σφάλµα πρόβλεψης είναι άρα είναι λευκός θόρυβος µε διασπορά. Επέκταση Καθολικών Τάσεων [86]

87 (Extrapolation of Global Trends) Μια εύκολη προσαρµογή της συνάρτησης αιτιοκρατικής τάσης καθολικά (σε όλη την χρονική σειρά) µπορεί να γίνει µε πολυώνυµο κάποιας τάξης m, δηλαδή Πολλών ειδών καµπύλες µπορεί να προσαρµοστούν καλά στα δεδοµένα, όπως οι πολυωνυµικές καµπύλες όταν το m είναι µεγάλο, αλλά δίνουν πολύ διαφορετικές προβλέψεις όταν επεκτείνονται σε µελλοντικά χρονικά βήµατα. Στην πράξη, τέτοιες προβλέψεις είναι γενικά φτωχές. Ειδικά τα πολυώνυµα υψηλής τάξης, ξεφεύγουν γρήγορα προς το συν ή το πλην άπειρο ( ) όταν επεκτείνονται έξω από το διάστηµα παρατήρησης για το όποιο έγινε η εκτίµηση των παραµέτρων τους. Επέκταση Τοπικών Τάσεων (Extrapolation of Local Trends) Ένας τρόπος για να βελτιωθεί η απόδοση της επέκτασης της τάσης είναι να γίνει η προσαρµογή του µοντέλου, όπως αυτό της (7.19), χρησιµοποιώντας µόνο τις σχετικά πρόσφατες παρατηρήσεις. Με αυτό τον τρόπο αποφεύγεται η επίδραση των παλαιών παρατηρήσεων στην εκτίµηση του µοντέλου πρόβλεψης. Αυτό βελτιώνει τα µοντέλα πρόβλεψης που δίνονται ως συνάρτηση του χρόνου. Για χρονολογικές σειρές µε αιτιοκρατικό εποχικό όρο ή µε αιτιοκρατικό εποχικό όρο και αιτιοκρατική τάση η πρόβλεψη γίνεται κατά τον ίδιο τρόπο, δηλαδή επεκτείνοντας σε µελλοντικούς χρόνους τους αιτιοκρατικούς όρους που εκτιµούνται µε κάποια συνάρτηση του χρόνου t Εκθετική Οµαλοποίηση. Ένας άλλος τρόπος πρόβλεψης είναι να εκτιµηθεί το άθροισµα των προηγούµενων παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς από το σταθµισµένο όπου οι συντελεστές είναι τα βάρη µε [87]

88 Είναι φυσικό να δοθεί περισσότερο βάρος στις πρόσφατες παρατηρήσεις και η επιλογή των βαρών να φθίνει πηγαίνοντας προς τα πίσω στον χρόνο. Μια τέτοια επιλογή των βαρών είναι όπου δεν χρειάζεται να ορίσθει το κάθε ξεχωριστά πάρα µόνο το α. Τα βάρη αυτά φθίνουν εκθετικά και η επιλογή του α ορίζει πόσο γρήγορα φθίνουν. Εάν ουσιαστικά µόνο οι πολύ πρόσφατες παρατηρήσεις χρησιµοποιούνται για την πρόβλεψη. Για να ενηµερώνεται η πρόβλεψη k χρονικών βηµάτων κάθε φορά που µια νέα παρατήρηση είναι διαθέσιµη µπορεί να χρησιµοποιηθεί η ανάδροµη σχέση 7.2 Πρόβλεψη Στάσιµων Χρονολογικών Σειρών µε Γραµµικά Μοντέλα. Πρώτα, θα θεωρηθεί ότι η χρονική σειρά για την οποία πρέπει να γίνουν προβλέψεις είναι στάσιµη ή έχει µετασχηµατιστεί σε στάσιµη µε κάποια από τις µεθόδους που αναλύθηκαν σε προηγούµενα κεφάλαια. Τα γραµµικά µοντέλα στάσιµων χρονολογικών σειρών που µελετήθηκαν είναι τα αυτοπαλίνδροµα AR, του κινητού µέσου ΜΑ και τα µεικτά µοντέλα ARMA. Αυτά τα µοντέλα θα χρησιµοποιηθούν για να γίνουν προβλέψεις. Παρακάτω θα θεωρηθεί επίσης, πως η χρονολογική σειρά έχει µέση τιµή µηδέν ώστε να αποφευχθεί η ύπαρξη σταθερού όρου στα µοντέλα πρόβλεψης. Πρακτικά αυτό γίνεται αφαιρώντας την δειγµατική µέση τιµή των παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς από κάθε παρατήρηση. Για να σχηµατιστεί η πραγµατική πρόβλεψη που αφορά την παρατηρούµενη µεταβλητή, προστίθεται η δειγµατική µέση τιµή στην προβλεπόµενη τιµή από το µοντέλο Πρόβλεψη µε Αυτοπαλίνδροµα Μοντέλα. AR(1) Μοντέλο Έστω το πιο απλό γραµµικό αυτοπαλίνδροµο µοντέλο, το αυτοπαλίνδροµο µοντέλο πρώτης τάξης AR(1), Για την πρόβλεψη της επόµενης χρονικής στιγµής, όταν είναι γνωστή η χρονολογική σειρά ως την χρονική στιγµή t, από την υπόθεση του µοντέλου προκύπτει [88]

89 Έτσι εάν η παράµετρος φ είναι γνωστή, τότε µε βάση τις πληροφορίες µέχρι την περίοδο t, µια πρόβλεψη για την περίοδο είναι η υπό συνθήκη προσδοκώµενη τιµή της. ηλαδή, εάν παριστάνει την πρόβλεψη, τότε ή Για λόγους απλότητας, το δεξιό µέρος της σχέση, γράφεται, οπότε Γενικά, είναι µια πρόβλεψη k περιόδους µπροστά µε βάση τις πληροφορίες µέχρι την χρονική περίοδο t. Επειδή η παραπάνω πρόβλεψη ελαχιστοποιεί τον µέσο του τετραγώνου του σφάλµατος (Mean Square Error mse), δηλαδή ελαχιστοποιεί την σχέση θεωρείτε άριστη (optimal forecast). Από την σχέση (7.30) προκύπτει ότι ή Εάν λειφθεί υπόψη ότι στην περίοδο κάθε όρος µε δείκτη µικρότερο του είναι γνωστός, συνεπάγεται ότι για χρονικές περιόδους µικρότερες της Για χρονικές περιόδους µεγαλύτερες της όµως [89]

90 Με βάση τα παραπάνω αποτελέσµατα η σχέση (7.37) γίνεται και η πρόβλεψη την περίοδο είναι Για δυο χρονικά βήµατα εµπρός προκύπτει Αντικαθιστώντας το µε την πρόβλεψη και χρησιµοποιώντας την (7.41) προκύπτει Επαναλαµβάνοντας αυτή την διαδικασία προκύπτει ότι η πρόβλεψη για k χρονικά βήµατα είναι Για το σφάλµα πρόβλεψης, Αποδεικνύεται εύκολα ότι δηλαδή το σφάλµα της πρόβλεψης τιµή και είναι λευκός θόρυβος µε µηδενική µέση και διασπορά Για πρόβλεψη στην περίοδο και [90]

91 Γενικά, για προβλέψεις k χρονικά βήµατα µπροστά, ισχύει ότι και ή Από τη σχέση (7.54) είναι φανερό ότι η διακύµανση του σφάλµατος πρόβλεψης αυξάνει µη γραµµικά καθώς µεγαλώνει η περίοδος πρόβλεψης. Εάν υποθέσουµε ότι η χρονολογική σειρά έχει µέση τιµή δ, στο όριο, καθώς η περίοδος πρόβλεψης µεγαλώνει, η πρόβλεψη συγκλίνει προς τον µέσο. ηλαδή AR(p) Μοντέλο Γίνεται η υπόθεση πως η παρατηρούµενη χρονική σειρά είναι η πραγµατοποίηση µιας αυτοπαλίνδροµης διαδικασίας τάξης p, AR(p), ή πιο ρεαλιστικά γίνεται η υπόθεση εργασίας πως το µοντέλο AR(p) εξηγεί ικανοποιητικά την χρονολογική σειρά. Το µοντέλο AR(p) για το είναι Οµοίως µε πριν, η βέλτιστη πρόβλεψη ενός χρονικού βήµατος σειρά είναι µε βάση την και το αντίστοιχο σφάλµα πρόβλεψης είναι Είναι φανερό ότι η πρόβλεψη του αυτοπαλίνδροµου AR µοντέλου. είναι το αιτιοκρατικό µέρος του [91]

92 Γενικά για k χρονικά βήµατα η πρόβλεψη είναι όπου κάθε τιµή είναι γνωστή είτε από προηγούµενη πρόβλεψη ή απευθείας από την χρονολογική σειρά. ηλαδή για, το είναι µια από τις προβλέψεις που ανήκει στο σύνολο που έχουν προηγηθεί, ενώ για ισχύει, και είναι µια γνωστή τιµή της χρονολογικής σειράς. Η πρόβλεψη συνίσταται πάλι στο αιτιοκρατικό µέρος του αυτοπαλίνδροµου µοντέλου AR για το, όπου οι άγνωστες παρατηρήσεις (οι θεωρητικές µεταβλητές) προβλέψεις. έχουν αντικατασταθεί από τις αντίστοιχες Το σφάλµα πρόβλεψης για k χρονικά βήµατα δίνεται ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του λευκού θορύβου στις χρονικές στιγµές όπου κάθε ορίζεται από τις παραµέτρους του µοντέλου. Έτσι το έχει µηδενική µέση τιµή και διασπορά Από την παραπάνω διασπορά πρόβλεψης µπορούν να σχηµατιστούν όρια πρόβλεψης (prediction bounds, tolerance intervals) για δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας α όπου είναι κατάλληλη κρίσιµη τιµή. Για παράδειγµα, εάν τότε το είναι η κρίσιµη τιµή της τυπικής κανονικής. ηλαδή για το 95% διάστηµα πρόβλεψης θα χρησιµοποιηθεί το Πρόβλεψη µε µοντέλα µέσου όρου. [92]

93 ΜΑ(1) Μοντέλο Έστω το µοντέλο κινητού µέσου τάξης 1, ΜΑ(1), Η πρόβλεψη στην περίοδο είναι ή αφού. Το σφάλµα πρόβλεψης είναι Συνεπώς, η διακύµανση του σφάλµατος της πρόβλεψης είναι Η πρόβλεψη για δυο χρονικές περιόδους µπροστά, δηλαδή την χρονική στιγµή είναι ή αφού Η διακύµανση του σφάλµατος πρόβλεψης είναι. Γενικά για να γίνει η πρόβλεψη για ένα ή περισσότερα χρονικά βήµατα χρησιµοποιείται σαν δεδοµένο ότι η τυχαία µεταβλητή είναι ανεξάρτητη του x, για χρονικές στιγµές µικρότερες του t και έτσι προκύπτει Η πρόβλεψη είναι [93]

94 και το σφάλµα Γίνεται φανερό λοιπόν πως όλες οι προβλέψεις για χρονικές στιγµές µεγαλύτερες της µονάδας είναι µηδέν, και έτσι το µοντέλο κινητού µέσου τάξης 1, ΜΑ(1), είναι κατάλληλο µόνο για προβλέψεις µιας περιόδου µπροστά. Τέλος, παρατηρείται πως η πρόβλεψη µιας χρονικής περιόδου µπροστά εξαρτάται από την τιµή του τυχαίου όρου z στην χρονική περίοδο t. Επειδή αυτή η τιµή είναι άγνωστη, στην πράξη αντικαθίσταται από την εκτίµηση της, η οποία προκύπτει από τις προηγούµενες τιµές. Συγκεκριµένα, αρχίζοντας από την χρονική στιγµή, η τιµή της X είναι Η πρόβλεψη είναι αφού. Η τιµή όµως, που αναφέρεται στην περίοδο πριν από το δείγµα, δεν είναι συνήθως γνωστή και αντικαθίσταται από την προσδοκώµενη τιµή της, που είναι µηδέν. Εποµένως και Άρα Η πρόβλεψη της X µιας περιόδου µπροστά από την χρονική περίοδο,, είναι και [94]

95 Συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο εκτιµούνται όλα τα z, δηλαδή τα. Έτσι για να γίνει η πρόβλεψη στην περίοδο, γίνεται η εκτίµηση της. ΜΑ(q) Μοντέλο Θεωρώντας το µοντέλο κινητού µέσου τάξης q, ΜΑ(q), για την χρονολογική σειρά η εποµένη παρατήρηση δίνεται ως Η βέλτιστη πρόβλεψη ενός βήµατος, στην περίοδο, είναι αφού. Το αντίστοιχο σφάλµα πρόβλεψης είναι Γενικά, η πρόβλεψη για k χρονικές περιόδους µπροστά, δηλαδή την χρονική στιγµή είναι Tο σφάλµα της πρόβλεψης των k χρονικών βηµάτων δίνεται ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του λευκού θορύβου στις χρονικές στιγµές και είναι όπως του αυτοπαλίνδροµου µοντέλου AR για Έτσι το έχει µηδενική µέση τιµή και διασπορά [95]

96 Οµοίως µε τα αυτοπαλίνδροµα µοντέλα, από την παραπάνω διασπορά πρόβλεψης µπορούν να σχηµατιστούν όρια πρόβλεψης για δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας α όπου είναι κατάλληλη κρίσιµη τιµή. Στα κινητού µέσου µοντέλα, τα σφάλµατα µπορούν να υπολογιστούν από τις παρατηρήσεις όπου οι αρχικές τιµές είναι µηδέν. Ειδικότερα για να βρεθούν τα, λύνεται η εξίσωση του MA(q) για ως προς, δηλαδή εδώ είναι και συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο για χρόνους Πρόβλεψη µε αυτοπαλίνδροµα µοντέλα κινητού µέσου. Θεωρώντας ένα µεικτό µοντέλο ARMA(p,q) για την χρονική σειρά εποµένη παρατήρηση δίνεται ως, η Η βέλτιστη πρόβλεψη για ένα χρονικό βήµα, όταν δίνονται τα είναι και το σφάλµα της πρόβλεψης Γενικά, για k χρονικά βήµατα η βέλτιστη πρόβλεψη είναι Η πρόβλεψη µε µεικτά µοντέλα ARMA είναι η σύνθεση των προβλέψεων µε το αυτοπαλίνδροµο µέρος και το µέρος του κινητού µέσου. 7.3 Πρόβλεψη µη στάσιµων χρονολογικών σειρών µε γραµµικά µοντέλα. Οι προβλέψεις στην χρονολογική σειρά που µετατράπηκε σε στάσιµη από µια µη στάσιµη χρονολογική σειρά θα πρέπει να µετασχηµατίσουν κατάλληλα για να αναφέρονται στην αρχική χρονολογική σειρά. Όταν λοιπόν, η χρονολογική σειρά δεν [96]

97 είναι στάσιµη για να εφαρµοστεί η πρόβλεψη µε τα µοντέλα της προηγούµενης παραγράφου πρέπει να γίνουν τα έξης βήµατα. Το πρώτο βήµα είναι να µετασχηµατιστεί η χρονολογική σειρά σε στάσιµη, δηλαδή η µη στάσιµη σειρά να µετασχηµατιστεί στην που θα είναι στάσιµη. εύτερο βήµα είναι να γίνει η πρόβλεψη του ενός αυτοπαλίνδροµου µοντέλου AR, έστω. µε κάποιο µοντέλο, για παράδειγµα Στην συνεχεία τρίτο βήµα είναι να µετασχηµατιστεί η πρόβλεψη στάσιµη χρονολογική σειρά, στην πρόβλεψη χρονολογική σειρά. για την για την αρχική µη στάσιµη Στην συνεχεία θα εφαρµοστούν αναλυτικά τα παραπάνω βήµατα. Έστω, πως η χρονολογική σειρά δεν είναι στάσιµη. Το κλασικό µοντέλο για το είναι όπου είναι η συνάρτηση τάσης, είναι η περιοδικότητα ή η εποχική συνάρτηση και είναι µια στάσιµη χρονολογική σειρά, απαλλαγµένη από τάσεις και περιοδικότητες. Τυπικά µοντέλα για την χρονολογική σειρά γνωστά µοντέλα AR, MA και ARMA. Αντικειµενικός σκοπός είναι, δοθέντων των είναι τα, να βρεθεί η πρόβλεψη για ένα χρονικό βήµα ή γενικά για k χρονικά βήµατα µπροστά, δηλαδή να προβλεφθεί το όπου Εάν επιλεγεί να εκτιµηθούν τα και ως συναρτήσεις του χρόνου t (για παράδειγµα να προσαρµοστεί στο ένα πολυώνυµο (7.22) ) τότε επεκτείνονται οι εκτιµήσεις στο χρόνο για να βρεθούν τα και. Σε αυτή την περίπτωση, αφαιρώντας από τις τιµές, τις εκτιµήσεις της τάσης και της περιοδικότητας προκύπτουν οι τιµές των (πρώτο βήµα). Στην συνεχεία γίνεται η πρόβλεψη του µε την χρήση κάποιου µοντέλου τύπου AR, MA ή ARMA (δεύτερο βήµα). Η πρόβλεψη προκύπτει απευθείας από την πρόβλεψη και τις επεκτάσεις της τάσης και της περιοδικότητας και (τρίτο βήµα) ως Εάν επιλεγεί να απαλειφτούν τα και χρησιµοποιώντας διαφορές τότε η πρόβλεψη µε τα παραπάνω τρία βήµατα είναι η πρόβλεψη µε µοντέλα ARIMA ή [97]

98 SARIMA. Οι γενικοί τύποι για τις προβλέψεις µε αυτά τα µοντέλα είναι πολύπλοκοι, αλλά κάποιος µπορεί να καταλάβει πως γίνεται η πρόβλεψη µε ARIMA µοντέλο θεωρώντας το ARIMA(p,1,q). Παίρνοντας τις πρώτες διαφορές µε υστέρηση µια µονάδα, από την αρχική χρονολογική σειρά προκύπτει η χρονολογική σειρά όπου σχηµατίζοντας έτσι το πρώτο βήµα της διαδικασίας πρόβλεψης µη στάσιµων χρονολογικών σειρών. Εφαρµόζοντας το µοντέλο ARMA(p,q) στην βρίσκεται η πρόβλεψη για ένα χρονικό βήµα για την αρχική χρονολογική σειρά (τρίτο βήµα) είναι (δεύτερο βήµα) και η πρόβλεψη Το σφάλµα πρόβλεψης του, το, είναι το ίδιο µε το σφάλµα πρόβλεψης του. Γενικά, η πρόβλεψη για k χρονικά βήµατα είναι όπου είναι η πρόβλεψη του µε το µοντέλο ARMA(p,q) και το είναι γνωστό από την πρόβλεψη του. Για ARIMA(p,d,q) ή SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) η διαδικασία της πρόβλεψης του είναι παρόµοια, δηλαδή βρίσκεται η πρόβλεψη µε µοντέλο τύπου ARMA και προστίθεται στην κατάλληλη έκφραση των τελευταίων παρατηρήσεων συµφώνα µε τις τιµές των d και D. Η πρόβλεψη για k χρονικά βήµατα µπορεί να υπολογιστεί αναδροµικά. 7.4 Εφαρµογές. Στην συνεχεία θα παρουσιαστούν ορισµένες εφαρµογές προβλέψεων µε χρονολογικές σειρές Πρόβλεψη µε AR µοντέλα. Η πρώτη εφαρµογή έχει να κάνει µε την τιµή του δείκτη του Χρηµατιστήριου Αξιών της Αθηνάς (ΧΑΑ) για την περίοδο του Μαΐου του Όπως έχει αναφερθεί, υπάρχουν δυο δυνατότητες πρόβλεψης. Η πρώτη αφορά την πρόβλεψη πολλών βηµάτων µπροστά για µια χρονική στιγµή, δηλαδή δοθέντων των τιµών της χρονολογικής σειράς, θα πρέπει να προβλεφτούν οι τιµές,,,. Η δεύτερη αφορά την πρόβλεψη για κάποιο βήµα µπροστά για πολλές χρονικές στιγµές. [98]

99 Έτσι, στο σχήµα 38 βλέπουµε την πρόβλεψη µε αυτοπαλίνδροµα µοντέλα διάφορων τάξεων για την πορεία του δείκτη τον µηνά Μάιο του ηλαδή, βλέπουµε την εκτίµηση της τιµής µε και. Με άλλα λογία γίνεται η πρόβλεψη για την τιµή που θα έχει ο δείκτης στις συν κάποιες µέρες. Παρατηρούµε ότι η πρόβλεψη δεν είναι αποδοτική, καθώς βρίσκεται µακριά από την πραγµατική τιµή για όλα τα µοντέλα των διαφορετικών τάξεων. Αυτό µπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός πως ο δείκτης του χρηµατιστήριου αξιών επηρεάζεται περισσότερο από την τιµή που είχε αυτός την προηγούµενη µέρα πάρα από την ιστορία του. Έτσι επιλέγετε να γίνει πρόβλεψη για ένα βήµα µπροστά για πολλές χρονικές στιγµές, όπως φαίνεται στο σχήµα 39. Σχήµα 38. Πρόβλεψη εντεκάτης τάξης για τον Μάιο του δείκτη του ΧΑΑ µε αυτοπαλίνδροµο µοντέλο πρώτης, έκτης και Το AR(1) µοντέλο είναι. και έτσι η βέλτιστη πρόβλεψη Το AR(6) είναι και το µοντέλο πρόβλεψης [99]

100 . Τέλος, οι συντελεστές του AR(11) µοντέλου είναι , , , , , , , , , , Στην συνεχεία στο σχήµα 39 βλέπουµε τις ηµερήσιες προβλέψεις πάλι µε αυτοπαλίνδροµα µοντέλα διαφόρων τάξεων για την ηµερησία πορεία του δείκτη τον µηνά Μάιο του ηλαδή βλέπουµε την πρόβλεψη για ένα βήµα µπροστά για πολλές χρονικές στιγµές. Με άλλα λογία, εκτιµώνται οι τιµές µε. Παρατηρούµε ότι η πρόβλεψη για τον δείκτη έχει πολύ καλά αποτελέσµατα καθώς πλησιάζει πολύ στις πραγµατικές τιµές, προβλέποντας και το µέγιστο του δείκτη καθώς και τις περισσότερες εναλλαγές αυτού, όπως ακριβώς περιµέναµε να συµβεί. Σχήµα 39. είκτης ΧΑΑ, ηµερήσιες προβλέψεις για τον Μάιο του Το ίδιο γίνεται και για τον όγκο των συναλλαγών του Χρηµατιστήριου Αξιών Αθηνών για τον Μάιο του 2002 [100]

101 Σχήµα 40. Όγκος ΧΑΑ, πρόβλεψη για τον Μάιο του µε και. Οι συντελεστές των AR µοντέλων είναι Για το µοντέλο πρώτης τάξης , για το µοντέλο έκτης τάξης , , , , , και για το µοντέλο AR(11) είναι , , , , , , , , , , [101]

102 Σχήµα 41. Όγκος ΧΑΑ, ηµερήσιες προβλέψεις για τον µηνά Μάιο µε. Μια άλλη εφαρµογή είναι αυτή της πρόβλεψης των ηλιακών κηλίδων, ένα πολύ δηµοφιλές σύνολο από δεδοµένων. Η πρόβλεψη των ηλιακών κηλίδων έχει να κάνει µε την δραστηριότητα του Ηλίου και ως εκ τούτου είναι πολύ σηµαντική καθώς η δραστηριότητα του Ηλίου επηρεάζει την ανθρωπινή δραστηριότητα, από τις τηλεπικοινωνίες µέχρι και την καιρική κατάσταση της ατµόσφαιρας. Οι συντελεστές των AR µοντέλων είναι: Για το µοντέλο πρώτης τάξης , για το µοντέλο έκτης τάξης , , , , , και για το µοντέλο AR(11) είναι , , , , , , , , , , [102]

103 Σχήµα 42. Ηλιακές κηλίδες, πρόβλεψη από το 1991 ως το µε και. [103]

104 Σχήµα 43. Ηλιακές κηλίδες, πρόβλεψη ενός έτους την περίοδο µε t Παρατηρούµε τώρα πως και η πρόβλεψη πολλών βηµάτων µπροστά για µια χρονική στιγµή, η πρόβλεψη για κάποιο βήµα µπροστά για πολλές χρονικές στιγµές είναι αρκετά αποδοτικές όσο αυξάνει η τάξη του µοντέλου. Τέλος, θα παρουσιαστεί η εφαρµογή για την πρόβλεψη του ρυθµού µεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ. Σ χήµα 44. Χρονολογική σειρά του ρυθµού µεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ καθώς και ορισµένα µέτρα αυτής. Οι τιµές είναι τετραµηνίες, από το δεύτερο τετράµηνο του 1947 ως το πρώτο τετράµηνο του [104]

105 Η πρόβλεψη γίνεται µε αυτοπαλίνδροµα µοντέλα πρώτης και τρίτης τάξης. AR (3) Μοντέλο Το µοντέλο έχει ως έξης µε Άρα και Σχήµα 45. Πρόβλεψη του ρυθµού µεταβολής του ΑΕΠ µε AR(3) µοντέλο AR(1) Μοντέλο Οµοίως και [105]

106 Σχήµα 46. Πρόβλεψη του ρυθµού µεταβολής του ΑΕΠ µε AR(1) µοντέλο. Σχήµα 9. Απόδοση πρόβλεψης k βηµάτων. Παρατηρούµε ότι για ένα βήµα µπροστά η πρόβλεψη δεν είναι αποδοτική καθώς η τιµή nrmse είναι κοντά και µεγαλύτερη της µονάδας Προβλέψεις µε MA µοντέλα. Συνεχίζοντας την εφαρµογή του ρυθµού µεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ, θα γίνει η πρόβλεψη αυτού όχι µε αυτοπαλίνδροµα µοντέλα που είδαµε προηγουµένως, αλλά µε µοντέλα κινητού µέσου ΜΑ. Τα δεδοµένα παραµένουν ίδια και έτσι τα µοντέλα είναι ΜΑ(2) Μοντέλο µε [106]

107 Άρα και Σχήµα 47. Πρόβλεψη ρυθµού µεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ µε την χρήση ΜΑ(2) µοντέλου και αξιολόγηση αυτού Προβλέψεις µε ARMA µοντέλα. Στην συνεχεία ο ρυθµός µεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ θα προβλεφτεί µε µεικτά µοντέλα ARMA ΑRΜΑ(3,2) Μοντέλο µε Άρα και [107]

108 Σχήµα 48. Πρόβλεψη ρυθµού µεταβολής του ΑΕΠ των ΗΠΑ µε την χρήση ARΜΑ(3,2) µοντέλου και αξιολόγηση αυτού Απλές Τεχνικές Πρόβλεψης. Τέλος, θα παρουσιάσουµε ορισµένες απλές τεχνικές πρόβλεψης στις γνώστες παραπάνω εφαρµογές, όπως αυτές έχουν παρουσιαστεί στο κεφάλαιο 7. Τέτοιες τεχνικές είναι η µέθοδος της αιτιοκρατικής τάσης και της εκθετικής οµαλοποίησης. Στην αιτιοκρατική τάση, η χρονολογική σειρά γράφεται ως, µε την τάση να είναι συνάρτηση του χρόνου. Η τιµή της χρονικής σειράς µετά από k χρονικά βήµατα προβλέπεται κατά τα γνωστά ως έξης Η πρόβλεψη γίνεται µε επέκταση της συνάρτησης της τάσης για χρόνους µεγαλύτερους από την χρονική στιγµή t. Το σφάλµα πρόβλεψης είναι. Έτσι, εάν η τιµή της συνάρτησης της τάσης είναι γνωστή µε µια απλή αντικατάσταση γίνεται η πρόγνωση, ενώ εάν η τιµή είναι άγνωστη, τότε αυτή εκτιµάται, για παράδειγµα µε ένα πολυώνυµο. [108]

109 Σχήµα 49. είκτης και όγκος ΧΑΑ. Πρόβλεψη µε επέκταση τάσεων (εκτίµηση µε πολυώνυµα) Βλέπουµε ότι η πρόγνωση σε αυτή την περίπτωση δεν είναι αποδοτική, καθώς δεν µπορεί να προβλέψει τις διακυµάνσεις του δείκτη. Στην εκθετική οµαλοποίηση, η εκτίµηση του των προηγούµενων παρατηρήσεων γίνεται ως σταθµισµένο άθροισµα Τα βάρη ορίζονται συνήθως συµφώνα µε µια παράµετρο α ως Έτσι η σχέση (7.102) γίνεται [109]

110 Σχήµα 50. Πρόβλεψη µε εκθετική οµαλοποίηση µε χρονικό βήµα 1 για όλες τις µέρες του Μαΐου Σύγκριση της απόδοσης του µοντέλου εκθετικής οµαλοποίησης για διάφορα α. Παρατηρούµε ότι η πρόβλεψη είναι πολύ καλύτερη από ότι µε την µέθοδο της αιτιοκρατικής τάσης, ειδικά για µεγάλο βάρος. Γενικά, στο συγκεκριµένο παράδειγµα µεγάλο α, δηλαδή µεγάλο βάρος στις πρόσφατες παρατηρήσεις, δίνει την καλύτερη πρόβλεψη. Η επιλογή του βάρους διαφέρει ανάλογα µε το πρόβληµα. Σχήµα 51. Πρόβλεψη µε εκθετική οµαλοποίηση µε χρονικό βήµα 1. Σύγκριση της απόδοσης του µοντέλου εκθετικής οµαλοποίησης για διάφορα α Πρόβλεψη µη στάσιµων χρονολογικών σειρών. Όταν έχουµε µια µη στάσιµη χρονολογική σειρά αποτελείται από το τρία βήµατα η πρόβλεψη 1. Μετασχηµατισµός σε στάσιµη 2. Πρόβλεψη του µε κάποιο µοντέλο 3. Αντίστροφος µετασχηµατισµός για την πρόβλεψη [110]