1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγµα 2

Transcript

1 1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγµα 1 ίνεται η συνάρτηση z = f(x,y)= x 3-3xy 2 +y 4 α) να βρεθούν οι πρώτες µερικές παράγωγοι ως προς x,y β) να βρεθούν οι δεύτερες µερικές παράγωγοι ως προς x,y και y,x z = f(x,y)= x 3-3xy 2 +y 4 θz ή θf = 3x 2-3y 2 θx θx θz ή θf = -6xy+4y 3 θy θy θ 2 z ή θ 2 f = 6x θx 2 θx 2 θ 2 z ή θ 2 f = -6x+12y 2 θy 2 θy 2 θ 2 z ή θ 2 f = -6y θxθy θxθy θ 2 z ή θ 2 f = -6y θyθx θyθx Παράδειγµα 2 ίνεται η συνάρτηση α) να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης z = f(x,y) =x+3y+1 β) να βρεθούν οι µερικές παράγωγοι 1 ης και 2 ης τάξης α) x y z

2 β) θz = 1 θx θz = 3 θy θ 2 z = 0 θx 2 Παρατήρηση: εν υπάρχουν x,y που να µηδενίζουν την πρώτη παράγωγο εν υπάρχει ακρότατο θ 2 z = 0 θy 2 θ 2 z = θ 2 z = 0 θxθy θyθx Παράδειγµα 3 ίνεται η συνάρτηση z = f(x,y) = x 3 + x 2 + -xy + y α) οι πρώτες µερικές παράγωγοι β) οι δεύτερες µερικές παράγωγοι γ) οι τιµές των x,y που οι πρώτες παράγωγοι γίνονται 0 z = f(x,y) = x 3 + x 2 + -xy + y α) θz = 3x2+2x-y γ) -x+2y= 0 x=2y θx 3x2+2x-y=0 3(2y)2 + 2(2y)2-y=0 θz = -x+2y 12y2 + 4y y = 0 3y(4y + 1) = 0 θy 2

3 Άρα β) θ 2 z = 6x+2 y=0 ή 4y + 1 = 0 θx 2 x=2y x=2y (0, 0) (-1/2, -1/4) θ 2 z = 2 θy 2 θ 2 z = -1 θxθy 2. ΜΗΤΡΑ (MATRIX) α 11 α 12.. α 1n Α= α 21 α α 2n.. α m1 α m2... α mn Ανάστροφη : συµβολίζεται Α ή Α Τ στήλες => γραµµές γραµµές => στήλες X1 x = [x1 x 2.. x n ] => x = x 2.. Xn p 1 p= p 2 => p = [p 1 p 2 p n ].. Pn x 1 c = p x = [p 1 p 2 p n ] * x 2 = p1x1 + p 2 x p n x n.. Xn 3

4 2.1 ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΜΗΤΡΑΣ : Συµβολίζεται lαl ή D(A) A = α11 α12 α21 α22 => lαl ή D (A) = α11 α12 = α11 * α22 α12 * α21 α21 α22 π.χ. Β = 5 4 => lβl ή D(Β) = 5 4 = 5 * 8 4 * 3 = Παράδειγµα 1 ίνεται η µήτρα Α = Να βρεθεί η ορίζουσα. Α = => lαl = = = 3 * * (-2) * 0 4 = = 3 * (4*3-2*1) - 1 * (0*3-8*1) + (-2) * (0*2-8*4) = 102 Σηµείωση: Ανάπτυξη ορίζουσας Μήτρας 3x3 κατά γραµµή α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 = α 11 * α 22 α 23 - α 12 * α 21 α 23 + α 13 * α 21 α 22 α 31 α 32 α 33 α 32 α 33 α 31 α 33 α 31 α 32 4

5 κατά στήλη α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 = α 11 * α 22 α 23 - α 21 * α 12 α 13 + α 31 * α 12 α 13 α 31 α 32 α 33 α 32 α 33 α 32 α 23 α 22 α ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΩΝ Lagrange Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση y = f(x 1,x 2 ) / A και υπάρχει ο περιορισµός φ = φ(x 1,x 2 ) = 0 Τότε σχηµατίζουµε την συνάρτηση L = L(x 1, x2, λ) = f(x 1, x2) + λ * φ(x 1, x2) Η συνάρτηση ονοµάζεται συνάρτηση Lagrange και όπου λεr είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. 1) Αναγκαίες συνθήκες L 1 = θl = θf + λ * θφ = f1 + λ * φ 1 θx 1 θx 1 θx 1 L 2 = θl = θf + λ * θφ = f2 + λ * φ 2 θx 2 θx 2 θx 2 L λ = θl = φ(x 1, x2) = 0 θλ Λύνουµε το σύστηµα των 3 εξισώσεων ως προς x 1,x 2, λ. Η λύση του συστήµατος αποτελεί πιθανό ακρότατο. 2) Ικανές συνθήκες lhφl = L 11 L12 φ1 όπου φ 1 = θφ και φ 2 = θφ L 21 L22 φ2 θx 1 θx 2 φ 1 φ 2 0 5

6 Έχω µέγιστο όταν lhφl > 0 Έχω ελάχιστο όταν lhφl < 0 4. ΣΥΝΟΛΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Παράδειγµα 1 Έστω ότι σε µια οικονοµία υπάρχουν 2 επιχειρήσεις, η επιχείρηση 1 και η επιχείρηση 2 (επιχείρηση 1 = παραγωγή σιδήρου, επιχείρηση 2 = παραγωγή αυτοκινήτων) και 3 αγαθά (αγαθό 1=αυτοκίνητο, αγαθό 2 = σίδηρος και αγαθό 3 = εργασία). Στην οικονοµία υπάρχουν 2 διαδικασίες παραγωγής για κάθε επιχείρηση που εκφράζονται µε τα ακόλουθα διανύσµατα παραγωγής : Επιχείρηση 1 : y 1 = (-2, 4, -8) εr 3 X1 = (1, -3, 12) εr 3 Επιχείρηση 2 : y 2 = (9, -3, 18) εr 3 X2 = (8, -2, 6) εr 3 Ζητούνται: α) Να ευρεθούν τα σχέδια παραγωγής της οικονοµίας β) H συνολική παραγωγή της οικονοµίας για τις δυο διαδικασίες γ) Τα σύνολα παραγωγής των επιχειρήσεων 1 και 2 δ) Το σύνολο ολικής παραγωγής α) Το α σχέδιο παραγωγής της οικονοµίας είναι: Y* = (y 1, y 2 ) = (-2, 4, -8), (9, -3, 18) To β σχέδιο παραγωγής της οικονοµίας είναι: X* = (x 1, x 2 ) = (1, -3, 12), (8, -2, 6) 6

7 β) H συνολική παραγωγή για τις δυο διαδικασίες παραγωγής είναι: y = y 1 + y 2 = (-2, 4, -8) + (9, -3, 18) = (7, 1, 10) x = x 1 + x 2 = (1, -3, 12) + (8, -2, 6) = (9, -5, 18) γ) Τα σύνολα παραγωγής των επιχειρήσεων 1 και 2 είναι : Επιχείρηση 1 : Y 1 = [y 1, x 1 ] = [(-2, 4, -8), (1, -3, 12)] Επιχείρηση 2 : Y 2 = [y 2, x 2 ] = [(9, -3, 18), (8, -2, 6)] δ) το σύνολο ολικής παραγωγής είναι το : Y = Y 1 + Y 2 = [y 1, x 1 ] + [y 2, x 2 ] = [y 1 + y 2, x 1 + x 2 ] = = [y, x] = [(7, 1, 10), (9, -5, 18)] 5. EΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ελαστικότητα µιας συνάρτησης δίνεται από τον τύπο: n = dy * x dx y Παράδειγµα 1 Να υπολογιστεί η ελαστικότητα της συνάρτησης : y = 40 5x2 / R όταν x=2. Όταν x=2 τότε y = 40 5 * 22 = 20 dy = -10x Άρα n = dy * x = -10x * x = -10 * 2 *2 = -2 dx dx y y 20 Αρα για κάθε x αυξ. 10% => µείωση y 2% 7

8 Παράδειγµα 2 Να υπολογισθεί η ελαστικότητα της συνάρτησης: y = -5x -5 στο σηµείο x. dy = 25 x -6 dx n = dy * x = 25x -6 * x = 25x -6 * x = 25 x -5 = -5 dx y y -5x -5-5x -5 Άρα για κάθε x αυξ. 1% => µείωση y 5% 6. ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΙΣΟΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Μας δίνεται η συνάρτηση παραγωγής : q = F(K,L) (1) Εάν θέσουµε στην (1) q = q o = σταθερή τότε: q o = F(K,L) (2) Η συνάρτηση (2) αντιπροσωπεύει µια καµπύλη που αντιστοιχεί σε κάθε επίπεδο παραγωγής q = q o. Έτσι για τα διάφορα απίπεδα παραγωγής θα έχουµε µια οικογένεια καµπυλών. Κάθε καµπύλη ισοπαραγωγής δείχνει όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των συντελεστών παραγωγής που παράγουν την ίδια ποσότητα προιόντος. 8

9 Τα χαρακτηριστικά των καµπύλων ισοπαραγωγής είναι : α) Κάθε σηµείο στον χώρο των συντελεστών παραγωγής ανήκει σε κάποια καµπύλη ισοπαραγωγής β) Οι καµπύλες ισοπαραγωγής έχουν αρνητική κλίση γ) Οι καµπύλες ισοπαραγωγής δεν τέµνονται µεταξύ τους δ) Οι καµπύλες ισοπαραγωγής είναι κυρτές ως προς την αρχή των αξόνων 7. ΟΡΙΑΚΟΣ ΛΟΓΟΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Έχω την συνάρτηση παραγωγής: q = F(K,L) dq = F * dk + F * dl K L dq = F K * dk + F L * dl Αν q = σταθερό τότε dq = 0 Συνεπώς 0 = F K dk + F L dl F K dk = - F L dl dk = - F L = ( - MP L ) dl F K MP K 9

10 το dk µας δείχνει την κλίση της ευθείας σρο σηµείο Α dl MRTSKL = - dk dl ( Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης) 8. Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 10

11 Στις καµπύλες ισοπαραγωγής ενδιαφέρον από οικονοµική άποψη έχουν τα τµήµατα των καµπυλών που η κλίση τους είναι αρνητική, γιατί εκεί είναι δυνατή η υποκατάσταση των συντελεστών παραγωγής, εδώ συγκεκριµένα το τµήµα της Ι 1 που είναι το ΑΒ. Οι γραµµές ΟΒΧ και ΟΑΥ ονοµάζονται γραµµές οριοθέτησης. Η περιοχή ανάµεσα στις γραµµές οριοθέτησης είναι η οικονοµική περιοχή της παραγωγής. Για την γραµµή οριοθέτησης ΟΑΥ ισχύει ΜP L = 0 και MRTS LK = 0, και αντίστοιχα για την ΟΒΧ. Μέχρι το Α : είναι οικονοµικό Μέχρι το Γ : είναι αντιοικονοµικό Πέρα από τις καµπύλες ΟΒΧ και ΟΑΥ είναι αντιοικονοµικό 9. ΓΡΑΜΜΗ ΙΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Έστω ότι σε µια επιχείρηση χρησιµοποιούµε τους συντελεστες παραγωγής, εργασία L και κεφάλαιο Κ µε τις αντίστοιχες αµοιβές W και r. Συνεπώς το κόστος C µιας επιχείρησης δίνεται από την εξίσωση: C = wl + rk ή K = C - w *L r r 11

12 Η γραµµή ΑΒ ονοµάζεται «γραµµή ίσου κόστους» ή «γραµµή περιορισµένης δαπάνης». Η κλισή της ΑΒ προσδιορίζεται από τον αρνητικό λόγο των εισροών εργασίας και κεφαλαίου dk = - w dl r 10.ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έχω την συνάρτηση : f(x 1, x 2 ) = 3x 1 2-5x 1 x 2 + 9x 2 2 f(tx 1, tx 2 ) = 3(tx 1 ) 2-5(tx 1 )(tx 2 ) + 9(tx 2 ) 2 = t 2 ( 3x 1 2-5x 1 x 2 + 9x 2 2 ) = t 2 f(x 1, x 2 ) Άρα οµοιγενής δευτέρου βαθµού Παράδειγµα 1 Να δειχθεί αν η συνάρτηση Κοπ-Νταγκλας είναι οµογενής q = F(K, L) = A * K a * L b (να εξετασθεί ως προς την οµογένεια). F(tK, tl) = A(tK)a (tl)b = A ta Ka tb Lb = ta+b (AKaLb) = ta+b F(k,L)= =t F(K,L) a+b = 1 αν a+b = 2 το F(K,L) θα διπλασιάζεται αν a+b = 3 το F(K,L) θα τριπλασιάζεται... Παράδειγµα 2 ίνεται η συνάρτηση φ(x,y) = x + 2y να εξετασθεί ως προς την οµογένεια y x 12

13 f(tx, ty) = tx + 2ty = x + 2y = t o f(x,y) ty tx y x Άρα είναι οµογενής µηδενικού βαθµού 11. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τρόποι υπολογισµού τόκου: α) Ι = C * t * i β) I = (C * µ * i) / 12 γ) I = (C * V * ι) / 365 = (C * V) / (365/i) = N / D όπου Ν = C * V D = 365 / i C = κεφάλαιο i = επιτόκιο µ = µήνες V = µέρες Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ µε 0,05 επιτόκιο για 3 έτη. Ι = C * t * i = * 3 * 0,05 = ευρώ Παράδειγµα 2 Να υπολογισθεί ο τόκος κεφαλαίου ευρώ µε εξαµηναίο επιτόκιο 0,1 για 3 έτη. Ι = C * t * i = * 6 * 0,1 = ευρώ 13

14 Παράδειγµα 3 Πόσο τόκο θέλει κεφάλαιο ευρώ σε δυο έτη και 8 µήνες µε επιτόκιο 4% ανα τρίµηνο; Ι = C * t * i = * 0,04 * (30/3 +2/3) = ευρώ C t = C + I = C + C * t * i = C * (1 + t * i) τελική αξία Παράδειγµα 4 Ποιο κεφάλαιο που τοκίστηκε µε 3% κατ ετος επί 6 έτη έγινε µαζι µε τους τόκους του ; Ι = C * t * i => C = I / t * i = / (8/12) * 0.05 =. Παράδειγµα 5 Με ποιο ετήσιο επιτόκιο κεφαλαίου ευρώ επί 3 έτη παράγει τόκο ευρώ; Ι = C * t * i => i = I / C*t = / *3 = 0.06 Παράδειγµα 6 Ποιο κεφάλαιο που τοκίστηκε µε 3% κατ έτος επί 6 έτη έγινε µαζί µε τους τόκους του ; Ι = Co * t * i C t = Co + I = Co + Co * t * i = Co * (1 + t * i) (1) t = 6 i = 0.03 C t =

15 Άρα από (1) έχω C t = Co * (1 + t * i) => Co = C t / (1 + t * i) = = / (1 + 6 * 0,03) = ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ Ονοµαστική αξία = Παρούσα αξία + Προεξόφληµα Εξωτερική προεξόφληση E = C * t * i (2) A + E = C (3) Από (2), (3) έχω Α + C * t * i = C => A = C C * t * i => => A = C * (1-t*i) όπου Ε: εξωτερικό προεξόφληµα Α: πραγµατική αξία της συναλλαγµατικής Παράδειγµα 1 Μια συναλλαγµατική έχει ονοµαστική αξία δραχµες και προεξοφλείται 2 έτη πριν από την λήξη της µε επιτόκιο 8%. Ζητείται: α) το εξωτερικό προεξόφληµα β) η πραγµατική αξία της συναλλαγµατικής α) Έχω C = , i = 0.08, t = 2 και ισχύει E = C * t * i Συνεπώς Ε = * 0,08 * 2 = δραχµές β) Ισχύει Α + Ε = C => A = C E => A = =

16 Εσωτερική προεξόφληση Έχω E = Α * t * i (1) και ισχύει Α + Ε = C Α + Α * t * i = C Α * (1 + t * i ) = C A = C / (1 + t * i ) (2) Από (1), (2) έχω Ε = C * t * i 1 + t * i Παράδειγµα 2 Συναλλαγµατικκή αξίας ονοµαστικής ευρώ προεξοφλείται 30 ηµέρες πριν από την λήξη της µε επιτόκιο 2%. Να ευρεθεί το εσωτερικό προεξόφληµα αυτής. Ε = C * t * i (1) µε t = ν / t * i Άρα από (1) => Ε = C * ν * i = * 30 * 0.02 = ν * i *

17 12. ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ Λογική Παθητικού: ΑΥΞΗΣΗ = ΠΙΣΤΩΣΗ ΜΕΙΩΣΗ = ΧΡΕΩΣΗ Λογική Ενεργητικού: ΑΥΞΗΣΗ = ΧΡΕΩΣΗ ΜΕΊΩΣΗ = ΠΙΣΤΩΣΗ Παράδειγµα 1 Η επιχείρηση Ν. Αλέφαντος ΑΕ κατά το Νοέµβρη 2004 είχε τις ακόλουθες οικονοµικές πράξεις: 1) Στις 21/11/04 αγόρασε εµπορεύµατα µε µετρητά αξίας ευρώ (Α.Τ. 829) 2) Στις 22/11/04 αγόρασε εµπορεύµατα µε πίστωση αξίας ευρώ (Α.Τ. 175) 3) Στις 23/11/04 πλήρωσε για ενοίκιο 800 ευρώ (Αρ.Απ. 36) 4) Στις 24/11/04 πούλησε εµπορεύµατα αξίας 8000 ευρώ αντί ευρώ µε µετρητά (τιµ. 412) Ζητείται να γίνουν οι σχετικές λογιστικές εγγραφές α) στο ηµερολόγιο β) στο γενικό καθολικό Πραγµατοποίηση Εξόδων => Μείωση Καθαρης Περιουσίας => Μείωση παθητικού => ΧΡΕΩΣΗ Πραγµατοποίηση Εσόδων => Αυξηση Καθαρής Περιουσίας => Αύξηση Παθητικού => ΠΙΣΤΩΣΗ α) Ηµερολόγιο σε ευρώ Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΣΓΚ ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 21/11/ Εµπορεύµατα Ταµείο (Αρ.Τ. 829) /11/ Εµπορεύµατα Προµηθευτές (Α.Τ175) /11/ Ενοίκιο Ταµείο (Α.Απ. 36) /11/ Ταµείο Εµπορεύµατα (Α.Τ 412) Κέρδη Εµπορεύµατα 3000 β) Γενικό Καθολικό σελ.10 17

18 Χ Εµπορεύµατα Π (1) Ι 8000 (4) (2) Ι σελ.20 Χ Ταµείο Π (4) Ι (1) Ι 800 (3) Χ Προµηθευτές Π Ι (2) σελ.30 σελ.40 Χ Ενοίκιο Π (3) 800 Ι Χ σελ.50 Κέρδη Εµπορεύµατα Ι 3000 (4) Π Παράδειγµα 2 Η επιχείρηση Α.Αντωνίου Α.Ε. κατά το εκέµβριο 2004 έκανα τις παρακάτω οικονοµικές πράξεις: 1) Στις 3/12/04 αγόρασε από τον Β.Βασιλείου 2500 kg λάδι, προς 4ευρώ/κιλό και 4000 kg ελιές προς 0,5 ευρώ/κιλό (Αρ.τιµ. 452) 2) Στις 17/12/04 πλήρωσε στον Β.Βασιλείου 3600 έναντι οφελής (Αρ.Απ. 270) 3) Στις 18/12/04 αγόρασε 1000 kg λάδι από τον. ηµητρίου προς 4,2 ευρώ/κιλό το µισό µε πίστωση και το υπόλοιπο µισο µε µετρητά (Αρ.τιµ. 163) Ζητείται: α) να συγγραφεί το ηµερολόγιο β) το γενικό καθολικό γ) τα αναλυτικά καθολικά 18

19 Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΣΓΚ ΣΑΚ ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΑΝ.Κ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 3/12/ Εµπορεύµατα λάδι (2500kg * 4ευρώ /kg) ελιές(4000kg * 0,5ευρώ /kg) Πιστωτές (Αρ.Τ. 452) Β.Βασιλείου /12/ Πιστωτές Β.Βασιλείου Ταµείο (Αρ.Απ. 270) /12/ Εµπορεύµατα λάδι (1000kg * 4,2ευρώ /kg) Πιστωτές ηµητρίου Ταµείο (Α.Τ. 163) β) ΓΕΝΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ σελ.10 Χ Εµπορεύµατα Π (1) Ι (2) 4200 Ι σελ.20 Χ Πιστωτές Π (2) 3600 Ι (1) Ι 2100 (3) σελ.30 Χ Ταµείο Π Ι 3600 (2) Ι 2100 (3) γ) ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΩΝ σελ.5 Χ Λάδι Π (1) Ι (3) 4200 σελ.8 Χ Ελιές Π (1) 2000 Ι 19

20 ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΠΙΣΤΩΤΩΝ σελ.3 Χ Β.Βασιλείου Π (2) 3600 Ι (1) σελ.6 Χ. ηµητρίου Π Ι 2100 (3) Παράδειγµα 3 Η επιχείρηση Θ.Α.Ε. τον 12/04 είχε τις ακόλουθες οικονοµικές πράξεις: 1) Στις 2/12/04 αγόρασε έπιπλα αξίας 800 ευρώ µε µετρητά (Αρ.Τ. 157) 2) Στις 3/12/04 πλήρωσε για ενοίκια 1100 ευρώ (Α.Απ. 24) 3) Στις 6/12/04 πούλησε εµπορεύµατα αξίας 4200 ευρώ µε µετρητά (Αρ.Τ.163) Ζητείται να γίνουν: α) οι καταχωρήσεις στο ηµερολόγιο β) οι αντίστοιχες εγγραφές στο γενικό καθολικό και γ) να συνταχθεί το ισοζύγιο. Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΣΓΚ ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 2/12/ Επιπλα Ταµείο (Αρ.Τ. 157) /12/ Ενοίκια Ταµείο (Αρ.Α. 24) /12/ Εµπορεύµατα Ταµείο (Αρ.Τ. 613) 4200 β) ΓΕΝΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ σελ.10 Χ Επιπλα Π (1) 800 Ι 20

21 σελ.20 Χ Ταµείο Π (3) 4200 Ι 800 (1) Ι 1100 (2) 1900 σελ.30 Χ Ενοίκια Π (2) 1100 Ι σελ.40 Χ Εµπορεύµατα Π Ι 4200 (3) γ) ΙΣΟΖΥΓΙΙΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΙΠΑ Α/Α ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 Επιπλα Ταµείο Ενοίκιο Εµπορεύµατα Παράδειγµα 4 Στις 3/12/04 ο Α.Αφραγκος ίδρυσε επιχείρηση και κατέθεσε για έναρξη των εργασιών ευρώ (Αρ.Απ. 1). Στις 4/12/04 πλήρωσε το ενοίκιο του µηνός δεκεµβρίου για τα γραφεία της επιχείρησης αξίας 800 ευρώ (Αρ.Απ. 196) Ζητείται να γίνουν οι σχετικές λογιστικές εγγραφές στο ηµερολόγιο. Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΤΡ.ΛΟ Ε.ΛΟ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 3/12/ ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ ,00 ΤΑΜΕΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ,07 ΚΕΦ. ΑΤΟΜ. ΕΠ ,07,000 ΚΕΦ. ΑΦΡΑΓ /12/ ΠΑΡΟΧΕΣ ΤΡΙΤΩΝ ,04 ΕΝΟΙΚΙΑ ,04,01 ΕΝΟΙΚΙΑ ΚΤΗΡ ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ ,00 ΤΑΜΕΙΟ

22 Παράδειγµα 5 Σε µια ατοµική επιχείρηση Ε. στις 14/12 ο επιχειρηµατίας αυτης Σ.ΩΝΑΣΗΣ προσφερε από την προσωπική του περιουσία 4000 ευρώ και έπιπλα 900 ευρώ µε σκοπό την αύξηση του κεφαλαίου της επιχείρησης. Στις 18/12/04 ο ίδιος επιχειρηµατίας εισέπραξε για ατοµικές του ανάγκες 1500 ευρώ ( Απ.Αρ. 172/ ). Ζητείται να γίνουν οι σχετικές λογιστικές εγγραφές στο ηµερολόγιο. Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΤΡ.ΛΟ Ε.ΛΟ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 14/12/ ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ ,00 ΤΑΜΕΙΟ ΕΠΙΠΛΑ Κ ΕΞΟΠΛ ,00 ΕΠΙΠΛΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ,07 ΚΕΦ. ΑΤΟΜ. ΕΠ ,07,000 Σ.ΩΝΑΣΗΣ (ΑΠΟ. ΑΡ. 36/14/12/ /12/ ΧΡΕΩΣ. ΙΑΦΟΡΕΣ ,07 ΑΤΟΜ. ΛΟΓ. ΕΠΙΧ ,07,000 Σ.ΩΝΑΣΗΣ ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ ,00 ΤΑΜΕΙΟ 1500 (Απ.Αρ. 172/ ) Παράδειγµα 5 Τα στοιχεία της χρηµατοοικονοµικής κατάστασης της επιχείρησης «Εκπαιδευτήρια Πειραιώς Α.Ε.» κατά την 31/12/04 ήταν τα ακόλουθα (τα ποσά σε ευρώ): Ταµείο 8000 Ε Καταθέσεις όψεως Ε ανειο Alpha Bank Π ιδακτρα Εισπρακτέα Ε Γραµµάτια πληρωτές Π Γραφική ύλη 600 Ε Γραµµάτια εισπρακτέα Ε Φόροι πληρωτέοι 2000 Π Προµηθευτές 9000 Π Εξοπλισµός γραφείου 2400 Ε Ζητείται: α) Να προσδιοριστούν ποια στοιχεία ανήκουν στο ενεργητικό και ποια στο παθητικό β) να συνταχθεί ο ισολογισµός 22

23 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 31/12/04 ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΠΑΘΗΤΙΚΟ ΤΑΜΕΙΟ 8000 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤ. ΟΨΕΩΣ ΑΝΕΙΟ Ι. ΕΙΣΠΡ ΓΡΑΜΜ. ΠΛΗΡ ΓΡΑΦΙΚΗ ΥΛΗ 600 ΦΟΡΟΙ 2000 ΓΡΑΜΜ. ΕΙΣΠΡ ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΕΣ 9000 ΕΞΟΠΛ. ΓΡΑΦΕΊΟΥ 2400 ΣΥΝΟΛΟ ΠΑΘΗΤ ΣΥΝΟΛΟ ΕΝΕΡΓ