Σύγκριση της Φασµατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης µε τη Στατική και την Ιδιοµορφική Υπερωθητική Ανάλυση

Transcript

1 Σύγκριση της Φασµατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης µε τη Στατική και την Ιδιοµορφική Υπερωθητική Ανάλυση Β.Σ. Τσιγγέλης, Α.Μ. Αθανατοπούλου & Ι.Ε. Αβραµίδης Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών ΑΠΘ. Λέξεις κλειδιά: ανελαστική ανάλυση, στατική υπερωθητική ανάλυση, ιδιοµορφική υπερωθητική ανάλυση, φασµατική υπερωθητική ανάλυση, σεισµική επίδοση, σεισµική επιτελεστικότητα ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η αξιόπιστη εκτίµηση των αναµενόµενων ανελαστικών παραµορφώσεων µε τη βοήθεια κατάλληλων µεθόδων ανάλυσης αποτελεί µία από τις βασικές προϋποθέσεις για τον αντισεισµικό σχεδιασµό µε βάση τη σεισµική επίδοση (επιτελεστικότητα) των κτιρίων. Η κατά κανόνα εφαρµοζόµενη σήµερα στην πράξη «στατική υπερωθητική ανάλυση» (ΣΥΑ) έχει περιορισµένο πεδίο εφαρµογής (π.χ. δεν καλύπτει ικανοποιητικά τα ασύµµετρα χωρικά κτίρια) και εµφανίζει προβλήµατα ακρίβειας (π.χ. δεν λαµβάνονται υπόψη οι ανώτερες ιδιοµορφές). Για την αντιµετώπιση των παραπάνω ζητηµάτων έχουν προταθεί διάφορες παραλλαγές της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης καθώς επίσης και νέες απλοποιηµένες µέθοδοι ανελαστικής ανάλυσης, όπως η «ιδιοµορφική υπερωθητική ανάλυση» (IYA) και η «φασµατική υπερωθητική ανάλυση» (ΦΥΑ). Στην παρούσα εργασία γίνεται σύγκριση των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από την εφαρµογή των µεθόδων αυτών µε τα αποτελέσµατα της ανελαστικής χρονολογικής ανάλυσης (που θεωρείται ως λύση αναφοράς) και εξάγονται ορισµένα συµπεράσµατα σχετικά µε την αξιοπιστία των συγκρινόµενων µεθόδων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µη γραµµική στατική σεισµική ανάλυση (Στατική υπερωθητική ανάλυση στις διάφορες παραλλαγές της) χρησιµοποιείται ολοένα και συχνότερα για την εκτίµηση της σεισµικής ανελαστικής απόκρισης τόσο των υφιστάµενων όσο και των νέων κατασκευών, ιδιαίτερα µετά τη δηµοσίευση των κειµένων ATC-0 (996), FEMA / (99) και FEMA 6 (000). Η ΣΥΑ περιλαµβάνει δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση σχεδιάζεται η υπερωθητική καµπύλη, που προκύπτει µε επαυξητική εγκάρσια στατική φόρτιση-παραµόρφωση της κατασκευής και διαδοχική τροποποίηση του προσοµοιώµατος στα σηµεία διαρροής. Μέσω αυτής της καµπύλης προσδιορίζονται τα ανελαστικά χαρακτηριστικά ενός «ισοδύναµου» µονοβάθµιου συστήµατος, αντιπροσωπευτικού για ολόκληρο το κτίριο. Στη δεύτερη φάση υπολογίζεται η µέγιστη απαιτούµενη παραµόρφωση, δηλαδή η παραµόρφωση που επιβάλλει (απαιτεί) η εκάστοτε θεωρούµενη σεισµική διέγερση (που δίνεται υπό µορφή επιταχυνσιογραφήµατος, φάσµατος, κτλ). Οι παραλλαγές της ΣΥΑ που χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση των µέγιστων απαιτούµενων παραµορφώσεων είναι κυρίως δύο. Η πρώτη είναι η «µέθοδος του ισοδύναµου γραµµικού συστήµατος», η οποία βασίζεται στην παραδοχή ότι η ανελαστική απόκριση ενός µονοβάθµιου ταλαντωτή µπορεί να υπολογιστεί από την ελαστική απόκριση ενός ταλαντωτή µε µεγαλύτερη περίοδο (ενεργός περίοδος) και µεγαλύτερη απόσβεση (ενεργός απόσβεση) από τον αρχικό. Η δεύτερη είναι η «µέθοδος της τροποποίησης της µετακίνησης», η οποία εκτιµά την ανελαστική µετακίνηση του µονοβάθµιου ταλαντωτή πολλαπλασιάζοντας την αντίστοιχη ελαστική (που υπολογίζεται θεωρώντας τις αρχικές γραµµικές ιδιότητες και την αρχική απόσβεση του ταλαντωτή) µε έναν ή περισσότερους συντελεστές. Η πρώτη µέθοδος περιγράφεται διεξοδικά στον ATC-0 (996), ενώ η δεύτερη παρουσιάζεται στην FEMA / (99) και FEMA 6 (000). Επειδή σε αρκετές περιπτώσεις η χρήση των δύο αυτών µεθόδων ανελαστικής ανάλυσης έδινε πολύ διαφορετικές τιµές απαιτούµενης µετακίνησης για την ίδια σεισµική διέγερση και το ίδιο ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006

2 «ισοδύναµο» µονοβάθµιο σύστηµα, παρουσιάστηκε το 00 στον ATC- (=FEMA 0) σειρά τροποποιήσεων µε στόχο την επίτευξη παρόµοιων κα συµβατών µεταξύ τους αποτελεσµάτων. Πέραν όµως της άρσης των µεγάλων διαφορών στα αποτελέσµατα µεταξύ των προαναφερθεισών µεθόδων, οι µέθοδοι στατικής υπερωθητικής ανάλυσης παρουσιάζουν γενικώς τα εξής εγγενή µειονεκτήµατα (Chopra and Goel, 00; Fajfar, 000; Krawinkler and Seneviratna, 998): (α) ισχύουν µόνο για επίπεδα πλαισιακά συστήµατα, (β) αγνοούν τη συµβολή των ανώτερων ιδιοµορφών και (γ) δεν λαµβάνουν υπόψη την αλλαγή των ταλαντωτικών ιδιοτήτων του φορέα κατά την προοδευτική εµφάνιση πλαστικών αρθρώσεων. Προς αντιµετώπιση αυτών των προβληµάτων αναπτύχθηκαν για επίπεδα συστήµατα διάφορες παραλλαγές της ΣΥΑ (π.χ. βλ. Kim et al., 999, Gupta and Kunnath, 000 κ.ά.), όπως επίσης και µέθοδοι που ξεφεύγουν από τα στενά όρια της στατικής ανάλυσης. Εξ αυτών ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν (i) η λεγόµενη Ιδιοµορφική Υπερωθητική Ανάλυση (ΙΥΑ, Modal Pushover Analysis, Chopra and Goel, 00), στην οποία λαµβάνεται υπόψη η συµβολή των ανώτερων ιδιοµορφών ταλάντωσης υπό την παραδοχή αµετάβλητης καθύψος κατανοµής των εγκάρσιων δυνάµεων, και (ii) η Φασµατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΦΥΑ, Spectral Pushover Analysis, Αναστασιάδης, 00), κύριο χαρακτηριστικό γνώρισµα της οποίας είναι η απευθείας επαυξητική φόρτιση της κατασκευής µε το φάσµα της σεισµικής διέγερσης αντί της επαυξητικής εφαρµογής των στατικών σεισµικών δυνάµεων ορόφων. εδοµένου ότι κατά την ΦΥΑ ο φορέας επιλύεται σε κάθε βήµα εφαρµόζοντας την ελαστική φασµατική ανάλυση, παύει να ισχύει ο περιορισµός σε επίπεδα συστήµατα, σε αντίθεση µε όλες τις άλλες προαναφερθείσες µεθόδους (Αναστασιάδης, 00). Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται αποτελέσµατα από την διεξοδική µελέτη τριών επιπέδων πλαισίων µε την ΦΥΑ και γίνεται σύγκριση των αποτελεσµάτων που προκύπτουν µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα της ΣΥΑ (στις δύο παραλλαγές της), της ΙΥΑ και της ανελαστικής χρονολογικής ανάλυσης. Τα τελευταία θεωρούνται ως λύση αναφοράς («ακριβής λύση»). ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (ΦΥΑ) Η βασική ιδέα της ΦΥΑ συνίσταται στην άµεση «µεταφορά» της κλασικής υπερωθητικής ανάλυσης από το πεδίο της Στατικής στο πεδίο της υναµικής Φασµατικής Ανάλυσης. Για την περιγραφή των βηµάτων της επαναληπτικής διαδικασίας υπολογισµού χρησιµοποιούνται οι παρακάτω συµβολισµοί: Π k : Τροποποιηµένο προσοµοίωµα του φέροντος οργανισµού στο βήµα k (Π 0 είναι ο αρχικός φορέας) {F y } k,i : Αποµένουσα αντοχή (αντοχή διαρροής) της κρίσιµης διατοµής i του προσοµοιώµατος Π k {F} i, {R} : Μέγεθος έντασης στην κρίσιµη διατοµή i και τυχόν µέγεθος απόκρισης {F g } i, {R g } : Επίδραση µονίµων φορτίων στο προσοµοίωµα Π 0 ({F g } 0,i ={F g } i, {R g } 0 ={R g }) {F s } k,i, {R s } k : Πιθανές µέγιστες τιµές υπό την επίδραση του συνόλου του φάσµατος στο Π k { F s } k,i, { R s } k : Πιθανές µέγιστες τιµές υπό την επίδραση του ποσοστού του φάσµατος στο Π k {F s } k,i, {R s } k : Άθροισµα όλων των { F s } k,i, { R s } k από το βήµα 0 έως το βήµα k {F} k,i, {R} k : Συνολική απόκριση υπό σεισµικά και µόνιµα φορτία στο τέλος του βήµατος k Τα κύρια βήµατα της µεθόδου είναι τα εξής: i. Καθορισµός του γραµµικού προσοµοιώµατος (φορέα) της δεδοµένης κατασκευής (Π 0 ) ii. Προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς των στοιχείων (διατοµών) της κατασκευής (προσδιορισµός της αντοχή διαρροής {F y } 0,i ) iii. Εφαρµογή ελαστικής στατικής ανάλυσης για το προσοµοίωµα Π 0 για τα µόνιµα φορτία και υπολογισµός των {F g } i, {R g } iv. Υπολογισµός της αποµένουσας αντοχής σε κάθε βήµα k (k=,,.) από τη σχέση {F y } k,i = {F y } 0,i -{F g } i -{F s } k-,i, (για k=, {F s } 0,i =0) v. Ελαστική δυναµική φασµατική ανάλυση του Π k χρησιµοποιώντας το σύνολο του φάσµατος για τον υπολογισµό των {F s } k,i, {R s } k vi. Υπολογισµός του συντελεστή λ k από τη σχέση ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006

3 λ = min( {F } {F } ) () k ± y k,i s k, i και των πιθανών µέγιστων τιµών ({ F s } k,i, { R s } k ) που αναπτύσσονται για ποσοστό φάσµατος (λ x k S a ) στο Π k vii. Υπολογισµός των συνολικών τιµών των µεγεθών απόκρισης µε πρόσθεση των τιµών όλων των βηµάτων που έχουν γίνει, δηλαδή {F s } k,i ={F s } k-,i +{ F s } k,i και {R s } k ={R s } k- + { F s } k viii. Υπολογισµός των συνολικών τιµών των µεγεθών απόκρισης λόγω µονίµων και σεισµικών φορτίων, {F} k,i ={F s } k,i +{F g } i και {R} k ={R s } k + {R g } ix. Τροποποίηση του προσοµοιώµατος. Εφόσον η ανελαστική συµπεριφορά των διατοµών θεωρηθεί «ιδανικά ελαστική-ιδανικά πλαστική», η τροποποίηση αυτή συνίσταται στην εισαγωγή µηχανικών αρθρώσεων στα σηµεία που εµφανίζεται πλαστική άρθρωση. x. Έλεγχος () αν όλες οι µετακινήσεις των ορόφων έχουν φτάσει την αντίστοιχη µετακίνηση που προκύπτει για ελαστική ανάλυση του αρχικού φορέα για το σύνολο του φάσµατος ή () αν το άθροισµα των συντελεστών λ k για όλα τα βήµατα γίνει ίσο µε τη µονάδα. Αν δεν ισχύει ούτε το () ούτε το (), τότε επιστροφή στο βήµα iv και διεξαγωγή του επόµενου βήµατος k+ για το τροποποιηµένο προσοµοίωµα. Αν ισχύει είτε το () είτε το (), τέλος υπολογισµών. Από την παραπάνω επαναληπτική διαδικασία γίνεται αντιληπτό ότι η «φόρτιση» µεταβάλλεται σε κάθε βήµα λόγω της αλλαγής των δυναµικών χαρακτηριστικών της κατασκευής σε κάθε βήµα. Ο υπολογισµός των µεγεθών απόκρισης σε κάθε βήµα γίνεται µε τον γνωστό τρόπο της ελαστικής δυναµικής φασµατικής µεθόδου. Όποτε µία ή περισσότερες διατοµές διαρρέουν, ένας «νέος» φορέας δηµιουργείται και η ελαστική δυναµική φασµατική µέθοδος επαναλαµβάνεται. ΜΕΛΕΤΗΘΕΝΤΕΣ ΦΟΡΕΙΣ. Περιγραφή φορέων και φορτία Προκειµένου να συγκριθούν αριθµητικά οι µέθοδοι που αναφέρθηκαν στην εισαγωγή της παρούσας εργασίας, επιλέγονται προς ανάλυση τρία δίστυλα πλαίσια ενός, πέντε και δεκαοκτώ ορόφων, τα γεωµετρικά και ελαστικά χαρακτηριστικά των οποίων απεικονίζονται στο Σχήµα. Το Πίνακας. Κατάλογος εδαφικών κινήσεων No. Earthquake Name M Location Record ü go ú go u go (cm/s ) (cm/s) (cm) Loma Prieta 6.9 Agnews State Hospital LP89agw Loma Prieta 6.9 Capitola LP89cap Loma Prieta 6.9 Gilroy Array # LP89g Loma Prieta 6.9 Gilroy Array # LP89g Loma Prieta 6.9 Gilroy Array # LP89gmr Loma Prieta 6.9 Hollister City Hall LP89hch Loma Prieta 6.9 Hollister Diff. Array LP89hda Loma Prieta 6.9 Sunnyvale - Colton Ave. LP89svl Northridge 6. Canoga Park NR9cnp Northridge 6. LA - N Faring Rd NR9far Northridge 6. LA - Fletcher Dr NR9fle Northridge 6. Glendale - Las Palmas NR9glp Northridge 6. LA - Hollywood Stor FF NR9hol Northridge 6. La Crescenta - New York NR9nya Northridge 6. Northridge - Saticoy St NR9stc San Fernando 6.6 LA - Hollywood Stor Lot SFpel Superstition Hills 6. Brawley SH8bra Superstition Hills 6. El Centro Imp. Co. Center SH8icc Superstition Hills 6. Plaster City SH8pls Superstition Hills 6. Westmorland Fire Station SH8wsm 69.. ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006

4 µονώροφο πλαίσιο είναι όµοιο µε αυτό της εργασίας των Chopra-Goel (00), ενώ τα δύο πολυώροφα πλαίσια σχεδιάζονται βάσει του ΕΚΟΣ και ΕΑΚ ακολουθώντας τη φιλοσοφία «ισχυροί στύλοι-ασθενή ζυγώµατα». Η διαστασιολόγηση και η όπλιση των δοµικών στοιχείων έγινε µε τη βοήθεια του προγράµµατος NEXT. Λεπτοµέρειες όπλισης των δύο πολυωρόφων πλαισίων δίνονται στο Σχήµα. Σηµειώνεται, ότι τα κατακόρυφα φορτία αγνοούνται στο µονώροφο και -ώροφο πλαίσιο, ενώ αντίθετα λαµβάνονται υπόψη στο 8-ώροφο πλαίσιο (8 kν/m ανά όροφο). Ως σεισµικές διεγέρσεις χρησιµοποιήθηκαν οι 0 καταγραφές του Πίνακα. EIc EIb m EIc.66 m E = kn/m v = 0. m =. t (SI) Ic = 6.0 e- m Ib =. e- m G, Q m G, Q G = kn/m Q = 0 kn/m E = kn/m v = 0. m = 0 t (SI) C0/S00. m Πλαίσιο m G, Q TOMH - Φ0/0 60 x x x x x 60 0 x 60 Φ Φ m m 0 x 60 m 0 x 60 m 0 x 60 m 0 x 60.0 m TOMH -. m TOMH - Φ8/ TOMH - Φ8/0. m 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0 Φ8/0 Πλαίσιο.0 m.0 m.0 m.0 m.0 m E = kn/m v = 0. m = 60 t (SI) m = 0 t (SI) C0/S00 TOMH - 8Φ0 Φ8/ 8Φ0 0. m TOMH 9-9 Φ0 Φ8/ Φ0 Φ0 Φ0 0. m TOMH 8-8 Φ0 Φ0 0. m TOMH 0-0 Φ0 Φ0 0. m TOMH - Φ8/0 0. m TOMH 6-6 Φ8/0 0. m TOMH - Φ8/0 0. m 0. m m G, Q m G, Q m 6 G, Q 6 m 6 G, Q 6 m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m G, Q m Φ Φ Φ Φ0 Φ8 TOMH - 6Φ6 6Φ6 0. m TOMH 6-6 Φ6 Φ6 0. m Φ0 Φ0 0.8 m TOMH - Φ0/0 0. m TOMH - Φ0/0 0. m TOMH - Φ6 Φ8/ Φ6 0. m TOMH - Φ6 Φ8/ Φ6 0. m 0.8 m 0. m 0. m 6Φ Φ 6.0 m Πλαίσιο Σχήµα. Γεωµετρικά και ελαστικά χαρακτηριστικά των τριών πλαισίων ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006

5 . Προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς των στοιχείων της κατασκευής Οι απαιτούµενες για την ανελαστική ανάλυση ροπές διαρροής και αστοχίας όλων των κρίσιµων διατοµών του φορέα υπολογίζονται µε το πρόγραµµα XTRACT. Επίσης, κατασκευάζονται τα διαγράµµατα αλληλεπίδρασης ροπών κάµψης-αξονικών δυνάµεων για τους στύλους των πολυωρόφων πλαισίων. Για την προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς των στοιχείων της κατασκευής, θεωρείται ελαστοπλαστική συµπεριφορά σε όλες τις κρίσιµες διατοµές (M y =M u ). Ως κρίσιµες θεωρούνται οι διατοµές στα άκρα των δοµικών στοιχείων. Για το πλαίσιο οι τιµές των ροπών διαρροής των στύλων και των δοκών ορίζονται µε τέτοιο τρόπο ώστε οι πλαστικές αρθρώσεις να σχηµατίζονται ταυτόχρονα σε όλα τα στοιχεία. Η πλαστική στροφή θεωρείται άπειρη (θp ), ενώ η αλληλεπίδραση ροπών κάµψης-αξονικών δυνάµεων των στύλων αγνοείται. Οι τιµές ροπών κάµψης-στροφών των εξετασθέντων πλαισίων δίνονται στον Πίνακα. Σηµειώνεται τέλος ότι αγνοούνται τυχόν φαινόµενα Ρ-δ, όπως αγνοείται και η επιρροή της ανακυκλιζόµενης φόρτισης του σεισµού στη συµπεριφορά των πλαστικών αρθρώσεων. Πίνακας. Ανελαστικά χαρακτηριστικά κρίσιµων διατοµών -ΩΡΟΦΟ ΑΣΥΜΜΕΤΡΟ ΠΛΑΙΣΙΟ (ΠΛΑΙΣΙΟ ) 8-ΩΡΟΦΟ ΠΛΑΙΣΙΟ (ΠΛΑΙΣΙΟ ) Στοιχείο M y θ p M y θ Στοιχείο p (kn m) (rad) (kn m) (rad) Αριστερός στύλος ου ορόφου Στύλοι ου -6 ου ορόφου Αριστερός στύλος ου ορόφου Στύλοι ου - ου ορόφου Αριστερός στύλος ου ορόφου Στύλοι ου -8 ου ορόφου Αριστερός στύλος ου ορόφου οκοί ου - ου ορόφου Αριστερός στύλος ου ορόφου οκοί ου - ου ορόφου εξιός στύλος ου ορόφου οκοί 8 ου - ου ορόφου εξιός στύλος ου ορόφου οκοί ου - ου ορόφου εξιός στύλος ου ορόφου οκοί ου -8 ου ορόφου εξιός στύλος ου ορόφου ΜΟΝΩΡΟΦΟ (ΠΛΑΙΣΙΟ ) εξιός στύλος ου ορόφου M y θ Στοιχείο p Αριστερό άκρο δοκού ου ορόφου (kn m) (rad) εξιό άκρο δοκού ου ορόφου Στύλοι 00.6 Αριστερό άκρο δοκού ου ορόφου οκοί.8 εξιό άκρο δοκού ου ορόφου Άκρα δοκού ου ορόφου Άκρα δοκού ου ορόφου Άκρα δοκού ου ορόφου Μέθοδοι ανάλυσης Οι µέθοδοι ανάλυσης που εφαρµόζονται στα τρία επίπεδα πλαίσια παρουσιάζονται στον Πίνακα. Πίνακας. Μέθοδοι ανάλυσης των τριών πλαισίων Μονώροφο (Πλαίσιο ) -ώροφο (Πλαίσιο ) 8-ώροφο (Πλαίσιο ) LRHA LRSA NLRHA DrainD+ Sap000N NSP- ATC- Eq. Lin. Dis. Mod. NSP- EC-8 MPA SPA ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006

6 Επεξήγηση συντοµογραφιών: LRHA : Linear Response History Analysis (Ελαστική Χρονολογική Ανάλυση) LRSA : Linear Response Spectrum Analysis (Ελαστική Φασµατική Ανάλυση) NLRHA : NonLinear Response History Analysis (Ανελαστική Χρονολογική Ανάλυση) NSP : Nolinear Static Procedure (Στατική Υπερωθητική Ανάλυση) Eq. Lin. : Equivalent Linearization (Μέθοδος του ισοδύναµου γραµµικού συστήµατος) Dis. Mod. : Displacement Modification (Μέθοδος της τροποποίησης της µετακίνησης) MPA : Modal Pushover Analysis (Ιδιοµορφική Υπερωθητική Ανάλυση-IYA) SPA : Spectral Pushover Analysis (Φασµατική Υπερωθητική Ανάλυση-ΦΥΑ) Στην περίπτωση της ΦΥΑ για το µονοβάθµιο σύστηµα (πλαίσιο ), υπολογίζεται για κάθε σεισµική διέγερση αρχικά το ποσοστό του φάσµατος λ που απαιτείται ώστε να δηµιουργηθεί πλαστική άρθρωση (δηµιουργούνται ταυτόχρονα πλαστικές αρθρώσεις στις δοκούς και τους στύλους). Επειδή ο φορέας γίνεται µηχανισµός, θεωρείται ότι το υπόλοιπο ποσοστό του φάσµατος λ =-λ παραλαµβάνεται από το «νέο» φορέα µε ιδιοπερίοδο Τ (οπότε Sd (Τ ) = maxu o ). Για την ανάλυση των πολυωρόφων πλαισίων µε την διερευνώµενη µέθοδο ΦΥΑ, λαµβάνονται υπόψη για µεν το -ώροφο όλες οι ιδιοµορφές, ενώ για το 8-ώροφο µόνον οι πέντε πρώτες. Και για τα δύο αυτά συστήµατα η ιδιοµορφική επαλληλία πραγµατοποιείται µε τον κανόνα CQC. Σύµφωνα µε τα βήµατα που περιγράφηκαν στην παράγραφο, µετά τον καθορισµό του γραµµικού προσοµοιώµατος και τον προσδιορισµό των αντοχών διαρροής γίνεται ανάλυση για τα µόνιµα φορτία (στο µονώροφο και -ώροφο τα µόνιµα δεν ελήφθησαν υπόψη, για αυτό και δεν έγινε ανάλυση λόγω µονίµων). Μετά, στον αρχικό φορέα γίνεται δυναµική φασµατική ανάλυση για το σύνολο του φάσµατος και υπολογισµός των πιθανών µέγιστων τιµών των εντατικών µεγεθών όλων των κρίσιµων διατοµών. Εφαρµόζεται η σχέση και υπολογίζεται ο συντελεστής λ για τον οποίο εµφανίζεται η πρώτη (ή οι πρώτες πλαστικές αρθρώσεις καθόσον µπορεί να διαρρέουν ταυτόχρονα περισσότερες από µία διατοµές). Στη συνέχεια υπολογίζονται οι αναπτυσσόµενες αποκρίσεις για το ποσοστό του φάσµατος (λ x S a ). Τοποθετούνται µηχανικές αρθρώσεις στα σηµεία (διατοµές) που διαρρέουν και γίνεται δυναµική φασµατική ανάλυση του τροποποιηµένου φορέα (µε επικαιροποιηµένα τα δυναµικά του χαρακτηριστικά και τις αντίστοιχες φασµατικές επιταχύνσεις) για το σύνολο του φάσµατος και ο υπολογισµός των νέων πιθανών µέγιστων τιµών. Για το δεύτερο αυτό βήµα, υπολογίζεται ο νέος συντελεστής λ. Στη συνέχεια γίνεται άθροιση τόσο των συντελεστών λ k (και έλεγχος αν Σλ k >, k=) όσο και των πιθανών µέγιστων τιµών όλων των βηµάτων. Η παραπάνω διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου είτε η µετακίνηση όλων των ορόφων φτάσει την µετακίνηση που προκύπτει για ελαστική ανάλυση του αρχικού φορέα για το σύνολο του φάσµατος, είτε το άθροισµα των συντελεστών λ k για όλα τα βήµατα γίνει ίσο µε τη µονάδα. Η παραδοχή «η µετακίνηση όλων των ορόφων να φτάσει την µετακίνηση που προκύπτει για ελαστική ανάλυση του αρχικού φορέα για το σύνολο του φάσµατος» για την παύση της µεθόδου είναι µία συντηρητική παραδοχή, καθώς θα µπορούσε να επιλεχθεί µόνο η µετακίνηση κορυφής. Μία σηµαντική επισήµανση που πρέπει να γίνει αφορά στη παραδοχή για τοποθέτηση ή µη πλαστικής άρθρωσης στα κατακόρυφα στοιχεία. Λόγω του ακαθόριστου πρόσηµου της µεθόδου, τόσο η αξονική δύναµη όσο και η ροπή κάµψης σε κάθε βήµα είναι ±Ν και ±Μ, και συνεπώς προκύπτουν τέσσερα σηµεία ροπής κάµψης-αξονικής δύναµης. Η παραδοχή που υιοθετείται είναι ότι πλαστική άρθρωση στους στύλους τοποθετείται εφόσον και τα δύο σηµεία (+Μ,+Ν) και (+Μ,-Ν) βρίσκονται «έξω» από την καµπύλη αλληλεπίδρασης ή εάν και τα δύο σηµεία (-Μ,+Ν) και (-Μ,-Ν) βρίσκονται «έξω» από την καµπύλη αλληλεπίδρασης. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ. Μετακινήσεις ορόφων και θέσεις σχηµατισµού πλαστικών αρθρώσεων Στους Πίνακες και δίνονται οι µετακινήσεις κορυφής του πλαισίου για όλες τις περιπτώσεις ανάλυσης που περιγράφτηκαν στην υποπαράγραφο.. Στους Πίνακες αυτούς υπολογίζεται η απόκλιση σε % από την ανελαστική χρονολογική ανάλυση (NLRHA), η οποία θεωρείται ως λύση αναφοράς («ακριβής λύση»). ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006 6

7 Πίνακας : Εφαρµογή ΦΥΑ για το µονώροφο πλαίσιο (Ποσοστά φάσµατος σε κάθε βήµα, κριτήριο παύσης της µεθόδου και απόκλιση (%) από την «ακριβή λύση»- NLRHA) No. Καταγραφή Πλαίσιο λ λ µετακίνηση κριτήριο DrainD+ % 0 LP89agw Σλ= LP89cap µέγιστη ελαστική LP89g µέγιστη ελαστική LP89g µέγιστη ελαστική LP89gmr Σλ= LP89hch µέγιστη ελαστική LP89hda µέγιστη ελαστική LP89svl Σλ= NR9cnp µέγιστη ελαστική NR9far Σλ= NR9fle Σλ= NR9glp Σλ= NR9hol µέγιστη ελαστική NR9nya Σλ= NR9stc µέγιστη ελαστική SFpel Σλ= SH8bra Σλ= SH8icc µέγιστη ελαστική SH8pls µέγιστη ελαστική SH8wsm Σλ= Πίνακας. Μετακινήσεις κορυφής πλαισίου και αποκλίσεις (%) της ΣΥΑ µε την «ακριβή λύση» No. LRHA LRSA NLRHA NSP- ATC- DrainD+ Sap Eq. Lin. Dis. Mod ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006

8 Για τα πολυώροφα πλαίσια, ενδεικτικά παρουσιάζονται οι µετακινήσεις του κάθε ορόφου, καθώς επίσης και οι θέσεις των πλαστικών αρθρώσεων για µία σεισµική διέγερση (για το -ώροφο ασύµµετρο πλαίσιο η σεισµική διέγερση Νο 0-ΝR9far και για το 8-ώροφο η σεισµική διέγερση Νο8-LP89svl). Στο Σχήµα απεικονίζεται η ιδιοµορφική ανάλυση του -ωρόφου για τις δύο πρώτες ιδιοµορφές, οι οποίες είναι κανονικοποιηµένες ως προς τη µετακίνηση κορυφής, και οι µετακινήσεις για την ελαστική χρονολογική και την ελαστική φασµατική ανάλυση. Στο σχήµα α φαίνονται οι µετακινήσεις των ορόφων που προκύπτουν από την ανελαστική χρονολογική ανάλυση για τις δύο φορές της σεισµικής διέγερσης. Για τη συγκεκριµένη διέγερση στο συγκεκριµένο φορέα παρατηρείται ο ίδιος πλαστικός µηχανισµός για τις δύο διευθύνσεις, αλλά αυτό είναι «τυχαίο» και οφείλεται στα γεωµετρικά και ανελαστικά χαρακτηριστικά των διατοµών και στην έλλειψη µονίµων φορτίων. Επίσης, στο ίδιο σχήµα παρουσιάζονται οι µετακινήσεις όπως προέκυψαν από τη ΣΥΑ κατά ATC- (Σχήµα β). Η µετακίνηση κορυφής προέκυψε περίπου η ίδια µε τις δύο διαφορετικές µεθόδους του ATC-, και ίδια για τις δύο φορές διέγερσης. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο ότι αγνοούνται τα µόνιµα φορτία, οι διατοµές των δοκών που διαρρέουν είναι συµµετρικά οπλισµένες, αλλά και στο ότι δεν παρουσιάζονται πλαστικές αρθρώσεις στα κατακόρυφα στοιχεία. Το γεγονός ότι η ταύτιση των πλαστικών µηχανισµών για τις δύο αντίθετες διευθύνσεις (φορές) εφαρµογής των οριζοντίων δυνάµεων είναι «τυχαία» προκύπτει και από τα αποτελέσµατα της εφαρµογής της ΣΥΑ κατά EC-8. Το ισοδύναµο µονοβάθµιο που προκύπτει για τις δύο φορές δυνάµεων είναι περίπου το ίδιο, συνεπώς η ανελαστική µετακίνηση του ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος είναι ίδια είτε για θετική είτε για αρνητική φορά των δυνάµεων. Παρόλα αυτά, ο πλαστικός µηχανισµός είναι διαφορετικός (Σχήµα α). Με την ΙΥΑ (Σχήµα β), προκύπτουν τέσσερεις διαφορετικές επαλληλίες υπολογισµού της απόκρισης ανάλογα µε το θεωρούµενο πρόσηµο κάθε ιδιοµορφής όταν λαµβάνονται υπόψη οι δύο πρώτες ιδιοµορφές (επαλληλία (i) θετική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή µε θετική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή, (ii) θετική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή µε αρνητική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή, (iii) αρνητική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή µε θετική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή, και (iv) αρνητική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή µε αρνητική φορά των δυνάµεων ανάλογα µε την η ιδιοµορφή). Οι θέσεις των πλαστικών αρθρώσεων «τυχαίνει» να είναι οι ίδιες για τις τέσσερεις επαλληλίες, όχι µόνο για τους λόγους που αναφέρθηκαν στην περίπτωση της εφαρµογής της ΣΥΑ κατά ATC-, αλλά επιπλέον διότι για στατική υπερωθητική ανάλυση µε δυνάµεις ανάλογα µε τη η ιδιοµορφή προκύπτει µετακίνηση στόχος για την οποία η συµπεριφορά του συστήµατος είναι ελαστική. Πάντως, το µειονέκτηµα είναι ότι εάν απαιτούνται τρεις ιδιοµορφές, τότε θα έχουµε οκτώ διαφορετικές επαλληλίες υπολογισµού της απόκρισης και οκτώ πιθανές περιπτώσεις θέσεων σχηµατισµού πλαστικών αρθρώσεων. Τέλος, στο Σχήµα φαίνεται η πορεία εφαρµογής της ΦΥΑ (α) (β) (γ) Σχήµα. (α) Ιδιοµορφική Ανάλυση, (β) LRHA, (γ) LRSA ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006 8

9 NR9far-angle 0 o NR9far-angle 80 o NR9far (Procedure A- Eq. Lin. ATC-) NR9far (site class C- Dis. Mod. ATC-) (α) Σχήµα. (α) NLRHA, (β) NSP- ATC- (β) NR9far (EC-8) NR9far (EC-8) (α) Σχήµα. (α) NSP- ΕC-8, (β) MPA (β) λ =0. λ =0. λ =0.09 λ = Σχήµα. Εφαρµογή Φασµατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης στο -ώροφο Στο Σχήµα 6 απεικονίζονται οι πλαστικές αρθρώσεις του 8-ώροφου πλαισίου για τη σεισµική διέγερση Νο8-LP89svl. Στην περίπτωση αυτή, οι θέσεις των πλαστικών αρθρώσεων είναι περίπου ίδιες για όλες τις περιπτώσεις µεθόδων ανάλυσης. ιαφέρουν όµως οι µετακινήσεις ορόφων. Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από την ΙΥΑ (λαµβάνονται υπόψη οι πέντε πρώτες ιδιοµορφές) είναι πιο κοντά στην «ακριβή» λύση της ανελαστικής χρονολογικής ανάλυσης, ενώ αυτά της ΣΥΑ έχουν τη µεγαλύτερη απόκλιση. εν πρέπει όµως να ξεχνάµε ότι η απαιτούµενη µετακίνηση µε τη ΣΥΑ υπολογίστηκε µε τους τύπους του ATC-, ενώ στην ΙΥΑ µε ανελαστική χρονολογική ανάλυση του αντίστοιχου µονοβαθµίου συστήµατος. Εάν στην ΙΥΑ είχαν χρησιµοποιηθεί οι τύποι του ATC-, η απόκλιση θα ήταν ακόµη µεγαλύτερη από τη ΣΥΑ λόγω επαλληλίας της ης ιδιοµορφής µε τις ανώτερες ιδιοµορφές. Τέλος, στο Σχήµα φαίνεται η πορεία εφαρµογής της ΦΥΑ και τα ποσοστά φάσµατος σε κάθε βήµα. ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006 9

10 8 6 αρ. ορόφου Ανελαστική Χρονολογική Ανάλυση Στατική Υπερωθητική Ανάλυση - Μέθοδος Τροποποίησης Μετακίνησης κατά ATC- Στατική Υπερωθητική Ανάλυση - Μέθοδος Τροποποίησης Μετακίνησης µε Ανελαστική Χρονολογική Ανάλυση του Μονοβάθµιου κατά EC-8 Ιδιοµορφική Υπερωθητική Ανάλυση Φασµατική Υπερωθητική Ανάλυση (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχήµα 6. Θέσεις πλαστικών αρθρώσεων 8-ωρόφου: (α) NLRHA (β) NSP- ATC- (γ) NSP- EC-8 (δ) MPA (ε) SPA (στ) Μετακινήσεις ορόφων 0 µετακίνηση ορόφου (m) Βήµα λ = 0. Βήµα λ = 0.06 Βήµα λ = 0.00 Βήµα λ = 0.6 Βήµα λ = 0.0 Βήµα 6 λ6 = 0.09 Βήµα λ = 0.6 Σχήµα. Εφαρµογή της Φασµατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης στο 8-ώροφο. Ροπή κάµψης του αριστερού στύλου των πολυωρόφων συστηµάτων Στον Πίνακα 6 παρουσιάζεται η µέγιστη απόλυτη τιµή της ροπής κάµψης του αριστερού στύλου του -ωρόφου πλαισίου, όπως αυτή προέκυψε από την ανελαστική χρονολογική ανάλυση, από τη ΣΥΑ κατά ATC- (µε τη «µέθοδο του ισοδύναµου γραµµικού συστήµατος» και µε τη «µέθοδο της τροποποίησης της µετακίνησης» για κατηγορία εδάφους C), από τη ΣΥΑ κατά EC-8, από την ΙΥΑ και τη ΦΥΑ για όλες τις σεισµικές διεγέρσεις. Η ΦΥΑ δίνει πιο συντηρητικά αποτελέσµατα, ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006 0

11 καθώς σε κάθε βήµα γίνεται πρόσθεση µεγίστων τιµών. Η απόκλιση της ΦΥΑ από την «ακριβή λύση» (NLRHA) κυµαίνεται από -% έως %, η οποία µπορεί να θεωρηθεί εξαιρετικά ικανοποιητική για τέτοιου είδους µη γραµµικές αναλύσεις. Πίνακας 6: Μέγιστες τιµές ροπής κάµψης στη βάση του αριστερού στύλου του -ωρόφου πλαισίου No Καταγραφή NLRHA NSP- ATC- NSP- EC-8 MPA SPA Eq. Lin. Dis. Mod. LP89agw LP89cap LP89g LP89g LP89gmr LP89hch LP89hda LP89svl NR9cnp NR9far NR9fle NR9glp NR9hol NR9nya NR9stc SFpel SH8bra SH8icc SH8pls SH8wsm ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται αποτελέσµατα µιας συγκριτικής µελέτης διαφόρων ανελαστικών µεθόδων σεισµικής ανάλυσης µε κύριο στόχο τη διερεύνηση της αποτελεσµατικότητας της Φασµατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης. Τα πλεονεκτήµατα της ΦΥΑ έναντι της ΣΥΑ, αλλά και της ΙΥΑ µπορούν να συνοψισθούν στα εξής:. Στη ΦΥΑ η «φόρτιση» προσοµοιώνεται µέσω του ελαστικού φάσµατος σχεδιασµού Sa (T,ζ), ή µέσω του ελαστικού φάσµατος απόκρισης για συγκεκριµένη σεισµική καταγραφή. Η «φόρτιση» µεταβάλλεται από βήµα σε βήµα επειδή µεταβάλλονται τα δυναµικά χαρακτηριστικά της κατασκευής έπειτα από την εµφάνιση κάθε νέας πλαστικής άρθρωσης, κάτι που δεν συµβαίνει στις ανελαστικές µεθόδους της ΣΥΑ και ΙΥΑ, καθώς σε αυτές η κατανοµή των στατικών δυνάµεων παραµένει αµετάβλητη σε όλη τη διάρκεια της υπερωθητικής ανάλυσης.. εν χρειάζεται να σχεδιαστεί υπερωθητική καµπύλη ούτε υπάρχει αναγκαιότητα χρήσης κάποιου ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος. Σε αντίθεση µε τις διαδικασίες της ΣΥΑ και ΙΥΑ, οι οποίες χρησιµοποιούν µία ανεξάρτητη από την εκάστοτε διέγερση υπερωθητική καµπύλη και στις οποίες εποµένως η σειρά εµφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων είναι ίδια (διαφέρει µόνον το πλήθος των πλαστικών αρθρώσεων), στη ΦΥΑ, η σειρά εµφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων είναι διαφορετική για κάθε θεωρούµενη διέγερση.. Με τη ΦΥΑ δεν χρειάζεται ανάλυση σε δύο διευθύνσεις και µε διαφορετικές καθύψος κατανοµές.. Θεωρητικά µπορεί να εφαρµοστεί χωρίς περιορισµούς και σε χωρικά συστήµατα. Τα συµπεράσµατα που εξάγονται βάσει των µελετηθέντων φορέων µπορούν να συνοψισθούν ως εξής:. Με τις πρόσφατες βελτιώσεις που περιγράφονται στον ATC- έχει πράγµατι επιτευχθεί σύγκλιση µεταξύ των δύο παραλλαγών της ΣΥΑ: της «µεθόδου τροποποίησης της ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006

12 µετακίνησης» και της «µεθόδου του ισοδυνάµου γραµµικού συστήµατος».. Η ΙΥΑ δίνει πάντα µεγαλύτερα µεγέθη µετακινήσεων συγκριτικά µε τη ΣΥΑ (όταν σε αυτήν χρησιµοποιείται προφίλ δυνάµεων ανάλογο µε την η ιδιοµορφή και υπολογισµός σύµφωνα µε τη «µέθοδο τροποποίησης της µετακίνησης»), καθώς µε την ΙΥΑ γίνεται επαλληλία µε τον κανόνα SRSS. Επίσης, οδηγεί σε µεγαλύτερο πλήθος πλαστικών αρθρώσεων από τη ΣΥΑ. Επί πλέον, η ΙΥΑ παρέχει γενικώς καλύτερη προσέγγιση των θέσεων των πλαστικών αρθρώσεων από τη ΣΥΑ, αλλά υπάρχει δυσκολία εφαρµογής της σε µη συµµετρικούς φορείς.. Οι θέσεις των πλαστικών αρθρώσεων στην ΙΥΑ (όταν οι µετακινήσεις κορυφής υπολογίζονται µε ανελαστική ανάλυση του αντίστοιχου µονοβάθµιου) και στην ΦΥΑ είναι παρόµοιες και πλησιάζουν τη λύση αναφοράς.. Τα αποτελέσµατα της ΦΥΑ για τους µελετηθέντες φορείς είναι αρκετά ικανοποιητικά συγκρινόµενα µε τα αποτελέσµατα της ανελαστικής χρονολογικής ανάλυσης. Εντούτοις διαφαίνεται η αναγκαιότητα να αναλυθεί µεγαλύτερη ποικιλία συστηµάτων για εξαγωγή ασφαλέστερων γενικών συµπερασµάτων. 6 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ATC-0, 99. Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings. Applied Technology Council, Redwood City, California ATC- (FEMA-0), 00. Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures. Applied Technology Council, Redwood City, California Aναστασιάδης, Κ.Κ., 00. Φασµατική υπερωθητική ανάλυση για εκτίµηση σεισµικής επίδοσης κτιρίων, ο Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής και Τεχνικής Σεισµολογίας, Θεσ/νίκη Chopra, Α.Κ, and Goel, R.K, 00. Α Modal Pushover Analysis Procedure to Estimate Seismic Demands for Buildings: Theory and Preliminary Evaluation. PEER Report 00/0, Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley DRAIND+, 99. Report No. CEER/R8-0. Center for Earthquake Engineering Research, National Taiwan University EAK 00. Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός. ΥΠΕΧΩ Ε EC-8, CEN Techn. Comm. 0 / SC8. Eurocode 8: Earthquake Resistant Design of Structures-Part : General rules. (ENV998-, Parts,,), CEN. Brussels, 99, 99 EKOΣ 000. Ελληνικός Κανονισµός Οπλισµένου Σκυροδέµατος. ΥΠΕΧΩ Ε Fajfar, Ρ., 000. Α Nonlinear Analysis Method for Performance-Based Seismic Design. Earthquake Spectra 6 (),-9 FEMA- (NEHRP), 99. Commentary on the Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings. Prepared by ATC, Washington, D.C. FEMA-6, 000. Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings. Prepared by ASCE, Washington, D.C. Gupta, Β., and Kunnath, S.K, 000. Adaptive Spectra-Based Pushover Procedure for Seismic Evaluation of Structures. Earthquake Spectra 6 (), 6-9 Kim, S.D., Hong, W. K., and Ju, Υ.Κ, 999. Α Modified Inelastίc Analysis of Tall Buildings Considering Changes of Dynamic Characteristics. Struct. Design Tall Build 8, - Krawinkler, Η., and Seneviratna, G.D.Ρ.K., 998. Pros and Cons of a Pushover Analysis of Seismic Performance Evaluation. Engineering Structures 0, -6 NEXT, Πρόγραµµα Στατικής & υναµικής Ανάλυσης και ιαστασιολόγησης, Computec Software SAP000. Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures. Computers and Structures, Inc., Berkeley, California, USA, 000 XTRACT. Cross sectional analysis program for structural engineers. Imbsen Software Systems and Associates, Inc., Sacramento, California, USA, 00 ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, - Οκτωβρίου, 006