Profr. Efraín Soto Apolinar.

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1 1 Identidades Trigonométrias No te preoupes por tus difiultades en matemátias. todavía mayores. Alert Einstein. Te puedo asegurar que las mías son Funiones trigonométrias Las funiones trigonométrias son funiones que araterizan a un ángulo. Estas funiones se definen a partir de un triángulo retángulo, de auerdo a las proporiones de sus lados. r sin y r s r y y os x r se r x x tan y x ot x y Puede enontrar la interpretaión geométria de las funiones trigonométrias en la página??..1 Identidades Reíproas Las demostraiones de las siguientes identidades es muy senilla. Basta sustituir las definiiones para verifiar que se umple la igualdad en ada una de ellas. 1 sin 1 s ( 1 y r r y os 1 se ( 1 r x r x 3 tan 1 ot ( 1 y x x y La siguiente identidad es tamién evidente. tan sin os Para demostrar esta identidad, esriimos: tan y x ( y r ( x r sin os La división por r está justifiada porque r > /14

2 . Propiedades de las funiones trigonométrias Estas propiedades son evidentes al grafiar las funiones trigonométrias a partir del írulo unitario. 1 sin os(90 o os sin(90 o 3 tan ot(90 o 4 ot tan(90 o 5 s se(90 o 6 se s(90 o.3 Identidades trigonométrias pitagórias Para demostrar ada una de las siguientes deemos reordar ómo se definen las funiones trigonométrias. 1 sin + os 1 Por definiión: sin y r, y os x, pero por el teorema de Pitágoras, x, y, r satisfaen: r x + y r x r + y r r r ( x ( y + 1 r r os + sin 1 Dividir por r es siempre válido, dado que r > 0. Esta es la primera identidad trigonométria pitagória. se 1 + tan Dividimos amos lados de la identidad anterior entre os, y otenemos: sin + os 1 sin os + os 1 os os ( sin ( os ( 1 + os os os tan + 1 se 3 s 1 + ot La terera identidad trigonométria pitagória se otiene de manera similar a la segunda. En este aso dividimos amos lados de la primera identidad trigonométria por sin : sin + os 1 sin sin + os 1 sin sin ( sin ( os ( 1 + sin sin sin 1 + ot s /14

3 .4 Identidades de suma y diferenia de ángulos 1 sin( + β sin os β + sin β os Para demostrar esta identidad, empezamos diujando los ángulos y β de manera que podamos apreiar la suma de los dos: y 1 β x Ahora nos asamos en la interpretaión geométria de las funiones ásias: Oserve que la proyeión de ada uno de los atetos de un triángulo retángulo es igual a la hipotenusa multipliada por una funión trigonométria, seno para la omponente vertial y oseno para la omponente horizontal. Basándonos en este heho es muy senillo deduir el siguiente diagrama: y sin β sin 1 sin β sin β os β os β os β os os β sin x En este diagrama, podemos diujar un triángulo retángulo on hipotenusa de longitud 1, el ual se muestra en el siguiente diagrama: 3/14

4 y sin β sin 1 sin β sin β os β os β os β os os β sin x Y de auerdo a la interpretaión geométria de las funiones trigonométrias ásias, dada en la página??, la proyeión vertial es equivalente a sin( + β. Enontrando el resultado usado: Lo ual se muestra a la dereha de la figura. os( + β os os β sin sin β sin( + β sin os β + sin β os Utilizando la figura de la identidad anterior, podemos fáilmente ver que la proyeión horizontal es os( + β, y este resultado es: os( + β os sin β sin os β. Puede ver este resultado más laramente si onsideramos que la proyeión horizontal del triángulo retángulo on hipotenusa 1 la otenemos restando el segmento que queda en la parte superior de la figura que mide: sin β sin al segmento que está sore el eje x, y mide: os β os. 3 sin( β sin os β sin β os Apliando las propiedades de las funiones trigonométrias que se dieron antes, podemos fáilmente deduir esta identidad sustituyendo sin β en lugar de sin( β, y os β en lugar de os( β: sin ( + ( β sin os( β + sin( β os sin os β sin β os 4 os( β os os β + sin sin β De manera semejante a la identidad anterior, podemos sustituir en la identidad orrespondiente a os( + β y alular, en su lugar os( β y así otenemos: os ( + ( β os os( β sin sin( β os os β + sin sin β Esta identidad es importante en el álgera lineal al onsiderar el produto punto de dos vetores. 4/14

5 tan + tan β 5 tan( + β 1 tan tan β Podemos utilizar la identidad de oiente para tan x, siendo x β y simplifiar la expresión así otenida: tan( + β sin( + β os( + β sin os β + sin β os os os β sin sin β Para simplifiar esta expresión asta dividir en el numerador omo en el denominador por os os β: tan( + β sin os β + sin β os os os β sin sin β sin os + sin β os β 1 sin os sin β os β sin os β sin β os + os os β os os β os os β sin sin β os os β os os β tan + tan β 1 tan tan β tan tan β 6 tan( β 1 + tan tan β Se proede de manera semejante al ejeriio anterior: tan( β sin( β os( β sin os β sin β os os os β + sin sin β sin os sin β os β 1 + sin os sin β os β sin os β sin β os os os β os os β os os β sin sin β os + os β os os β tan tan β 1 + tan tan β Aunque tamién podemos otenerla sustituyendo tan( β tan β en donde se requiera: dado que: se sigue que: tan( + ( β tan β sin β os β tan + tan( β 1 tan tan( β tan tan β 1 + tan tan β tan( β sin( β os( β sin β os β tan β 5/14

6 7 ot( + β ot ot β 1 ot + ot β Proedemos de manera semejante a las anteriores identidades: ot( + β os( + β sin( + β os os β sin sin β sin os β + sin β os ( ( os os β 1 sin sin β os sin + os β sin β os os β sin sin β sin sin β sin sin β sin os β sin sin β + sin β os sin sin β ot ot β 1 ot + ot β Sin emargo, tamién podemos simplifiar la deduión de esta identidad utilizando las identidades reíproas: ot( + β 1 tan( + β 1 1 tan tan β ( tan + tan β tan + tan β 1 tan tan β Así hemos otenido dos resultados equivalentes para ot( + β. 8 ot( β ot ot β + 1 ot β ot Proedemos de manera semejante a la identidad anterior: ot( β os( β sin( β os os β + sin sin β sin os β sin β os ( ( os os β + 1 sin sin β os β sin β os sin os os β sin sin β + sin sin β sin sin β sin os β sin sin β sin β os sin sin β ot ot β + 1 ot β ot Utilizando la identidad reíproa, simplifiamos el proedimiento y otenemos un resultado equivalente: ot( β 1 tan( β tan tan β ( tan tan β tan tan β 1 + tan tan β O ien, podemos utilizar la propiedad: ot( β ot β: ot( + ( β ot ot( β 1 ot + ot( β ot ot β 1 ot ot β ot ot β + 1 ot β ot 6/14

7 .5 Suma de funiones trigonométrias ( ( + β β 1 sin + sin β sin os Para deduir esta identidad se requieren de las siguientes: sin( + β sin os β + sin β os sin( β sin os β sin β os Sumando las dos identidades otenemos: sin( + β + sin( β sin os β Por otra parte, si en lugar de sumar las identidades las restamos otenemos: sin( + β sin( β sin β os Ahora definimos: A + β, y B β. Al sumar primero y restar después, estas dos euaiones otenemos: lpha A + B A + B β A B β A B Ahora sustituimos estos valores que aaamos de enontrar: sin( + β + sin( β sin os β ( ( A + B A B sin A + sin B sin os ( ( β + β sin sin β sin os Continuando on el proedimiento utilizado para deduir la identidad anterior, podemos deir que, de auerdo a las definiiones dadas, sin( + β sin( β sin β os ( ( A B A + B sin A sin B sin os ( ( + β β 3 os + os β os os Ahora utilizaremos las identidades: Al sumar las identidades otenemos: os( + β os os β sin sin β os( β os os β + sin sin β os( + β + os( β os os β 7/14

8 Y al restarlas otenemos: os( β os( + β sin sin β De la misma manera, definimos: A + β, y B β, tal que, A + B y β A B Y al sustituir estos valores en las igualdades antes enontradas otenemos: os( + β + os( β os os β ( ( A + B A B os A + os B os os ( ( + β β 4 os β os sin sin Si ontinuamos on el desarrollo utilizado en la identidad anterior, otenemos: os( β os( + β sin sin β ( ( A + B A B os B os A sin sin.6 Otras Identidades trigonométrias 1 sin( sin os Es muy senillo otener esta identidad a partir de la identidad: sustituyendo β. sin( + β sin os β + sin β os sin( + sin os + sin os sin os os( os sin Proedemos de manera semejante a la identidad anterior: os( + os os sin sin os sin 3 tan( tan 1 tan Seguimos utilizando el mismo proedimiento: tan( + tan + tan 1 tan tan tan 1 tan Ahora se queda omo ejeriio: 8/14

9 Deduir la identidad: tan(3, haiendo tan( +. Deduir la identidad: tan(4, utilizando tan( + 3 primero y luego tan( +. ( 1 + os 4 os Para demostrar esta identidad haremos uso de las siguientes indentidades que ya han sido demostradas: sin + os 1 os sin os( Si reemplazamos por, otenemos las siguientes identidades, igualmente válidas: ( sin os ( ( + os ( sin 1 os( Al sumar estas dos últimas identidades, otenemos: ( os 1 + os ( 1 + os os ( 1 os 5 sin De nuevo, onsideramos las identidades: ( sin ( + os ( os ( sin 1 os( Ahora, en lugar de sumar, restamos para otener: ( sin 1 os ( 1 os sin ( 1 os 6 tan 1 + os Considerando las identidades: tan x sin x os x ( 1 os sin ( 1 + os os 9/14

10 nos damos uenta que: ( tan ( ( 7 sin sin os 1 os 1 + os Considerando las siguientes identidades: 1 os 1 + os sin( sin os 1 os 1 + os haemos ξ, y al sustituir este valor en las identidades, otenemos: ( ( ξ ξ sin(ξ sin os que es preisamente lo que queríamos demostrar. ( 8 os os ( os Igual que en el aso anterior, empezamos onsiderando la identidad: os( os sin y haiendo ξ, y al sustituir este valor en las identidades, otenemos: ( ( ξ ξ os(ξ os sin Con lo que hemos demostrado lo que usáamos. ( tan 9 tan ( 1 tan Considerando la identidad: tan( tan 1 tan y sustituyendo: ξ, otenemos: ( ξ tan tan ξ ( ξ 1 tan.7 Leyes de senos y de osenos 1 a sin sin β sin γ Empezamos on un triángulo ualquiera. 10/14

11 h γ a β Es laro, de la figura que h sin β. Pero tamién, h sin γ. Al igualar los dos valores de h enontrados otenemos: h sin β sin γ sin γ sin β Pero esa no es la únia altura que tiene el triángulo. Si diujamos otra altura h, omo se muestra enseguida: h γ a β Ahora tenemos que h a sin γ, y tamién se umple: h sin. Al igualar estos valores otenemos: Pero ya haíamos enontrado que: h a sin γ sin a sin sin γ sin γ Entones, por transitividad 1, podemos esriir: a sin sin β sin β sin γ 1 Puede enontrar la propiedad de transitividad de la igualdad en la página??. 11/14

12 a + os Para demostrar la ley de osenos empezamos realizando el diagrama que le orresponde: a Ahora realizamos los siguientes trazos auxiliares para formar un triángulo retángulo: a h x Ahora, apliando el teorema de Pitágoras, tenemos que: x + h a Por otra parte, tamién se umple, + x os h sin Esto nos permite esriir: x os Y al sustituir estas igualdades en la primera euaión que otuvimos on el teorema de Pitágoras, porque, os + sin 1. a ( os + ( sin os os + + sin os + (os + sin + os De manera semejante podemos demostrar las siguientes identidades equivalentes a la anterior: 1/14

13 3 a + a os β 4 a + a os γ A a sin γ a sin β sin Donde: A es el área del triángulo on lados a,,. Para demostrar esta fórmula, simplemente diujamos un triángulo on lados a,,, lados opuestos de los ángulos, β, γ, respetivamente. El área del triángulo se define omo ase por altura entre dos. La altura en ada aso es un lado por el seno del ángulo que forma la ase on otro lado adyaente. El área del triángulo es la mitad del produto de la longitud de la ase, por la longitud del lado adyanente por el seno del ángulo. Por ejemplo, del siguiente triángulo: a h inmediatamente vemos que la ase del triángulo es, la altura h sin, y el área es el semiproduto de la ase por la altura, es deir, A sin De manera semejante podemos deduir las otras dos fórmulas. Créditos Todo dee haerse tan simple omo sea posile, pero no más. Alert Einstein Este material se extrajo del liro Enseñanza Efetiva de las Matemátias esrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es ompartir este material para que más gente se enamore de las matemátias, de ser posile, muho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Ediión: Efraín Soto Apolinar. Composiión tipográfia: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Produtor general: Efraín Soto Apolinar. 13/14

14 Año de ediión: 008 Año de puliaión: Pendiente. Última revisión: 0 de noviemre de 008. Derehos de autor: Todos los derehos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méxio Espero que estos truos se distriuyan entre profesores de matemátias de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y éstos utilien esta informaión al enseñar matemátias a sus alumnos. Este material es de distriuión gratuita. Graias por respetar los términos de uso. Profesor, agradezo sus omentarios y sugerenias a la uenta de orreo eletrónio: efra.soto.a@gmail.om Ver los términos de uso en el sitio: /14