20-Μαρ-2009 ΗΜΥ Φίλτρα απόκρισης πεπερασμένου παλμού (FIR)

Transcript

1 ΗΜΥ Φίλτρα απόκρισης πεπερασμένου παλμού (FIR) 1

2 Γενικά βήματα για σχεδιασμό φίλτρων (1) Προσδιορισμός χαρακτηριστικών του φίλτρου: Χαρακτηριστικά σήματος (π.χ. μέγιστη συχνότητα) Χαρακτηριστικά φίλτρου (π.χ. απόκριση μεγέθους ή/και φάσης, ταχύτητα) Τρόπος υλοποίησης (π.χ. σε υπολογιστή ή εξειδικευμένο επεξεργαστή) Άλλα χαρακτηριστικά (π.χ. κόστος) Γιαφίλτραεπιλογής συχνότητας: προδιαγραφές μέσω σχημάτων ανοχής (tolerance schemes). δ p : απόκλιση ζώνης διάβασης δ s : απόκλιση ζώνης αποκοπής f p : συχνότητα άκρου ζώνης διάβασης f s : συχνότητα άκρου ζώνης αποκοπής 2

3 (2) Υπολογισμός κατάλληλων συντελεστών φίλτρου: IIR: βασίζονται σε μετασχηματισμό χαρακτηριστικών αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά. 3 βασικές μέθοδοι: (ι) impulse invariant, (ιι) bilinear transformation, και (iii) pole-zero placement. FIR: (ι) window, (ιι)frequency sampling, και (ιιι) optimal (Parks- McClellan algorithm) (3) Απεικόνιση φίλτρου με κατάλληλη δομή: μετατροπή μίας συνάρτησης μεταφοράς H(z) σε κατάλληλη μορφή φίλτρου. IIR: direct, cascade και parallel μορφές FIR: direct, frequency sampling και fast convolution technique μορφές (4) Ανάλυση επίδρασης πεπερασμένης ακρίβειας του αριθμού bits: επιλογή κατάλληλου αριθμού bits για αποφυγή υποβάθμισης της απόδοσης του φίλτρου. Παράγοντες που επηρεάζουν απόδοση: κβαντοποίηση (εισόδου/εξόδου, συντελεστών φίλτρου), στρογγυλοποίηση, υπερροή. (5) Υλοποίηση φίλτρου: λογισμικό ή υλισμικό. Χρειάζονται: μνήμες ROM και RAM, πολλαπλασιαστές και αθροιστές ή αριθμητική λογική. 3

4 Χαρακτηριστικά FIR (1) Βασικό FIR φίλτρο χαρακτηρίζεται από: y( n) H ( z) N 1 k 0 N 1 k 0 h( k) x( n k) h( k) z όπου h(k): συντελεστές κρουστικής απόκρισης του φίλτρου k Η(z): συνάρτηση μεταφοράς φίλτρου (1) (2) Ν: μέγεθος φίλτρου, δηλ. αριθμός συντελεστών φίλτρου k0,1,,ν-1 (1): στο πεδίο χρόνου. Μη-αναδρομική μορφή (υπάρχουν και αναδρομικά φίλτρα FIR). Μη-αναδρομικά φίλτρα FIR είναι πάντοτε σταθερά. (2): μέθοδος ανάλυσης φίλτρου, π.χ. υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης 4

5 (2) Υλοποιούνται πολύ εύκολα. Όλοι οι επεξεργαστές ΨΕΣ έχουν αρχιτεκτονική κατάλληλη για FIR φίλτρα. (3) FIR φίλτρα μπορούν να έχουν εντελώς γραμμική φάση. Απόκριση φάσης, θ(ω), ικανοποιεί: θ ( ω) αω (1) ή θ ( ω) β αω όπου α και β: σταθερές. Αν ισχύει η (1): κρουστική απόκριση φίλτρου πρέπει να έχει θετική συμμετρία h( n) h( N α (Ν 1)/ 2 n 1), n 0,1,...,( N 1) / 2, n 0,1,...,( N / 2) 1, (2) N μονός αριθμός Ν ζυγός αριθμός 5

6 Αν ισχύει η (2): κρουστική απόκριση φίλτρου έχει αρνητική συμμετρία h( n) h( N α ( N β π / 2 1) / 2 n 1) Καθυστέρηση φάσης: η καθυστέρηση που υπόκειται η κάθε συχνότητα κατά την εφαρμογή του φίλτρου στο σήμα T p θ ( ω) / ω Ομαδική καθυστέρηση: ο μέσος όρος της καθυστέρησης του σήματος στην κάθε συχνότητα Τ dθ ( ω) dω g / Για τη σχέση (1) σταθερή καθυστέρηση φάσης & ομαδική καθυστέρηση Για τη σχέση (2) σταθερή ομαδική καθυστέρηση 6

7 FIR φίλτρα: προσδιορισμός προδιαγραφών Απόκριση φάσης: αρνητική ή θετική συμμετρία. Γραμμική. Απόκριση μεγέθους συχνότητας: σχήματα ανοχής Άλλοι προσδιορισμοί: μέγιστος αριθμός συντελεστών φίλτρου 7

8 FIR φίλτρα: υπολογισμός συντελεστών FIR φίλτρο χαρακτηρίζεται από τις εξισώσεις: y( m) H ( z) N 1 n 0 N 1 n 0 h( n) x( m n) h( n) z n (1) (2) Στόχος μεθόδων υπολογισμού συντελεστών: υπολογισμός h(n) έτσι ώστε το φίλτρο να τηρεί τους προσδιορισμούς. Μέθοδοι υπολογισμού h(n): Μέσω παραθύρου (window) Optimal Δειγματοληψία συχνότητας (frequency sampling) 8

9 FIR φίλτρα - Υπολογισμός Συντελεστών: Μέθοδος παραθύρου Ιδανική απόκριση συχνότητας, Η D (ω), και κρουστική απόκριση, h D (ω), φίλτρου: h 1 2π π kωn ( n) D H D ( ω) e dω - Αντίστροφος ΜΦ π Π.χ. Χαμηλοπερατό φίλτρο - ιδανική απόκριση: h D 1 π ( n) 1 2 e π π jωn 2 f dω 2 f c c sin( nωc ), nω, c n 0, n n 0 (κκανόνα L'Hopital) 9

10 Πίνακας 1: Ιδανική κρουστική απόκριση για συγκεκριμένα φίλτρα: 10

11 Φίλτρα που σχεδιάζονται με τη μέθοδο παραθύρου έχουν ίση απόκλιση ζωνών διάβασης και αποκοπής, δηλ. δ p δ s h D (n)h D (-n) γραμμική και μηδενική φάση Παρατηρούμε ότι υπάρχει κρουστική απόκριση θεωρητικά και για n±, άρα δεν είναι FIR φίλτρο πολλαπλασιασμός της ιδανικής κρουστικής απόκρισης με κατάλληλο πεπερασμένο παράθυρο, w(n), για υπολογισμό συντελεστών φίλτρου. Στο πεδίο χρόνου: h(n)h D (n)w(n) Στο πεδίο συχνότητας: H(ω)H D (ω)*w(ω) 11

12 Χαρακτηριστικά γνωστών παραθύρων στα πεδία χρόνου και συχνότητας Rectangular Hamming 12

13 Blackman Για το παράθυρο Hamming το πλάτος ζώνης μετάβασης: Δf3.3/Ν, όπου Ν: μέγεθος φίλτρου, Δf: κανονικοποιημένο πλάτος ζώνης μετάβασης Μέγιστη εξασθένιση (attenuation) ζώνης αποκοπής: 53dΒ Ελάχιστη κορυφή κυματισμού ζώνης διάβασης: dB 13

14 Παράθυρο Kaiser: I 0 α 1 I 0 2n N 1 [ α ] 2, ( N 1) / 2 n < ( N 1) / 2 όπου I 0 : τροποποιημένη συνάρτηση Bessel 1 ου είδους & L k 2 μηδενικής τάξης: x I 0 ( x) 1+ k k 1 2 k! με L<25 συνήθως, α: τρόπος που το παράθυρο tapers στις άκριες στο πεδίο χρόνου (α0 rectangular) Υπολογισμός α ανάλογα με τις προδιαγραφές εξασθένισης ζώνης αποκοπής: α 0, αν A 21dB α α A log ( A 21) ( A 8.7), 10 δ, 0.4 δ ( A 21), min( δ, δ ) p s αν 21dB < αν A 50dB A < 50dB 14

15 Αριθμός συντελεστών φίλτρου: N A Δf Οι τιμές των α και Ν χρησιμοποιούνται για υπολογισμό των συντελεστών του παραθύρου Kaiser, w(n). 15

16 Πίνακας 2: Χαρακτηριστικά συνήθεις παραθύρων 16

17 Παράδειγμα: Υπολογίστε τους συντελεστές ενός χαμηλοπερατού FIR φίλτρου που να πληρεί τις πιο κάτω προδιαγραφές: συχνότητα διάβασης, f c πλάτος ζώνης μετάβασης εξασθένιση ζώνης αποκοπής συχνότητα δειγματοληψίας 1.5 khz 0.5 khz >50 db 8 khz Κρουστική απόκριση χαμηλοπερατού φίλτρου: h h D D ( n) ( n) 2 f 2 f c c sin( nω ) nω c c, n 0, n 0 17

18 Σύμφωνα με τον πίνακα 2, τα παράθυρα Hamming, Blackman ή Kaiser πληρούν τις προδιαγραφές εξασθένισης ΖΑ. Hamming (απλό): w(n) cos(2πn/53), -26 n 26 Κανονικοποίηση πλάτους ΖΜ: Δf 0.5 / Μέγεθος φίλτρου: Ν 3.3 / Δf 3.3 / Ν53 Συντελεστές φίλτρου υπολογίζονται από: h(n)h D (n)w(n) f c f c + Δf/2 ( )kHz 1.75/ (αναπροσαρμογή f c στο κέντρο ΖΜ) 18

19 FIR Φίλτρα ) ( (26) ) 26 / 0.46 cos( (26) ) 2 sin( (26) 26 : (1) (1) 1) ( (1) ) / 0.46 cos( ) / 0.46 cos( (1) ) sin( ) sin( (1) 1: (0) (0) (0) cos(0) 0.54 (0) (0) 0 : h h w h n w h h h w h n w h h w f h n D D D D c D π π π π π π π M M M o o

20 Βήματα μεθόδου παραθύρου: (1) Προσδιορισμός ιδανικής ή επιθυμητήςαπόκρισης συχνότητας, Η D (ω). (2) Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης h D (n) του φίλτρου μέσω Αντίστροφου ΜΦ. (3) Επιλογή παραθύρου που ικανοποιεί τους προσδιορισμούς για τις ζώνες διάβασης και υπολογισμός του αριθμού συντελεστών του φίλτρου χρησιμοποιώντας τη σωστή σχέση μεταξύ του μεγέθους του φίλτρου και το μέγεθος της ζώνης μετάβασης, Δf. (4) Υπολογισμός τιμών w(n) για το επιλεγμένο παράθυρο και τις τιμές των συντελεστών φίλτρου, h(n), μέσω: h( n) h ( n) w( n) D 20

21 μεθόδου παραθύρου: Απλή κατανοητή και εύκολη, ελάχιστή υπολογιστική προσπάθεια ακόμα και για περίπλοκα παράθυρα όπως το Kaiser μεθόδου παραθύρου: Έλλειψη flexibility απόκλιση ζωνών διάβασης και αποκοπής περίπου ίση Λόγω συνέλιξης του συχνοτικού περιεχομένου του παραθύρου και της επιθυμητής απόκρισης, οι συχνότητες αποκοπής και διάβασης δεν μπορούν να προσδιοριστούν ακριβώς Για συγκεκριμένο παράθυρο (εκτός Kaiser) το μέγιστο πλάτος των κυματισμών είναι σταθερό, ανεξάρτητα από το Ν συγκεκριμένη εξασθένιση ΖΑ Για μερικές εφαρμογές HD(ω) είναι πολύ πολύπλοκο για υπολογισμό του hd(n) μέθοδος frequency sampling πριν τη μέθοδο παραθύρου 21

22 FIR φίλτρα - Υπολογισμός Συντελεστών: Μέθοδος optimal : ισχυρή, ευέλικτη, εύκολη (λόγω ύπαρξης συγκεκριμένου αλγόριθμου) πρώτη επιλογή στις πλείστες εφαρμογές FIR Μέθοδος παραθύρου κυματισμοί της απόκρισης συχνότητας φίλτρου είναι μέγιστοι στις άκριες των ζωνών. Όμως, ομοιογενής κυματισμός στις ζώνες καλύτερη προσέγγιση της ιδανικής απόκρισης συχνότητας φίλτρου. Γιατί; Διαφορά μεταξύ ιδανικής απόκρισης συχνότητας και προσέγγισης: Ε(ω)W(ω) Η D (ω)-η(ω), όπου W(ω): συντελεστής βαρύτητας. Στόχος: min E(ω), το οποίο συμβαίνει όταν ο κυματισμός είναι ομοιογενής. Η μέθοδος optimal βασίζεται σε αυτήν την έννοια. 22

23 Συχνότητες στις οποίες παρατηρούνται τα άκρα των κυματισμών δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων υπολογισμός τους είναι το κυρίως θέμα της μεθόδου απλό να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του φίλτρου! Μέθοδος υπολογισμού χρησιμοποιεί Remez exchange algorithm. 23

24 Βήματα μεθόδου optimal: (1) Προσδιορισμός άκρων ζωνών, κυματισμός ζώνης διάβασης (δ p ) & εξασθένιση ζώνης αποκοπής (δ s ) (σε db ή αριθμοί), και συχνότητα δειγματοληψίας (f s ). (2) Κανονικοποίηση συχνοτήτων ζωνών και μεγέθους ζώνης διάβασης (Δ f ), δηλ. διαίρεση με f s (3) Υπολογισμός μεγέθους φίλτρου, Ν, χρησιμοποιώντας δ p, δ s και Δ f. (4) Υπολογισμός συντελεστών βαρύτητας για κάθε ζώνη ως το λόγο δ p /δ s. (5) Χρησιμοποίηση αλγορίθμου για υπολογισμό των συντελεστών φίλτρου. (6) Έλεγχος αν δ s και δ p πληρούν τις προδιαγραφές (7) Αν όχι αύξηση Ν και επανάληψη (5) & (6) μέχρι ικανοποίησης του (6). Έλεγχος απόκρισης συχνότητας για πληρότητα προδιαγραφών. 24

25 FIR φίλτρα - Υπολογισμός Συντελεστών: Μέθοδος frequency sampling : σχεδιασμός μη-αναδρομικών FIR φίλτρων για κλασικές και μη αποκρίσεις συχνότητας. Αναδρομικός σχεδιασμός υπολογιστική αποδοτικότητα. Μη-αναδρομικά φίλτρα: Υπολογισμός συντελεστών φίλτρου: δειγματοληψία της ιδανικής απόκρισης συχνότητας (Ν δείγματα) σε διαστήματα f k kf s /N, k0,.1,,n-1 (φίλτρο τύπου 1), και ΑΜΦ των δειγμάτων. Για FIR με γραμμική φάση και θετική συμμετρική κρουστική απόκριση: B 1 h( n) 2 H ( k) cos[ 2πk ( n α) / N ] + H (0) N k 1 όπου α(ν-1)/2 και ΒΝ/2-1 (Ν: ζυγός) ή Β(Ν-1)/2 (Ν: μονός) 25

26 26

27 Η απόκριση συχνότητας στα δείγματα είναι όμοια με την αρχική. Όμως, στα ενδιάμεσα δείγματα μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική επαρκή αριθμό δειγμάτων. Εναλλακτικό φίλτρο (τύπος 2): f k (k+1/2)f s /N, k0,1,,n-1 Οι δύο τύποι φίλτρου καταλήγουν σε μερικώς διαφορετικές αποκρίσεις συχνότητας. Ο σχεδιαστής επιλέγει ποιον τύπο θέλει. Φίλτρο έχει κακή απόκριση μεγέθους πιο ευρεία ζώνη μετάβασης για καλύτερη απόκριση μεγέθους. Επιτυγχάνεται με εισαγωγή δειγμάτων στη ζώνη μετάβασης (τιμές των δειγμάτων συχνότητας υπολογίζονται μέσω βελτιστοποίησης). Για χαμηλοπερατό φίλτρο: αύξηση εξασθένισης 20dB για κάθε δείγμα συχνότητας στη ζώνη μετάβασης. εξασθένιση ζώνης αποκοπής (25+20Μ) db πλάτος ζώνης μετάβασης (Μ+1)f s /Ν Μ: αριθμός δειγμάτων στη ζώνη μετάβασης, Ν: μέγεθος φίλτρου 27

28 Πλείστες περιπτώσεις: Μ1: 0.250<Τ 1 <0.450 M2: 0.040<Τ 1 < <Τ 2 <0.650 M3: 0.003<Τ 1 < <Τ 2 < <Τ 3 <

29 Αναδρομικά φίλτρα: Αναδρομική μορφή ενός FIR: H N N 1 z z) N k H ( k) H1( z) H ( z) j2πk / N 1 1 e z 1 ( 2 0 Άρα περιγραφή FIR ως δύο φίλτρων σε διαδοχική σύνδεση: Η1(z) με Ν ρίζες ισοκατανεμημένες στον μοναδιαίο κύκλο, και Η2(z) με άθροισμα Ν φίλτρων με Ν πόλους. 29

30 Βήματα μεθόδου frequency sampling: (1) Προσδιορισμός ιδανικής ή επιθυμητής απόκρισης συχνότητας, εξασθένισης ζώνης αποκοπής και συχνότητες άκρων ζωνών. (2) Επιλογή φίλτρου τύπου 1 ή 2 ανάλογα με προδιαγραφές. (3) Καθορισμός Ν (αριθμός δειγμάτων ιδανικής απόκρισης), Μ (αριθμός δειγμάτων στη ζώνη μετάβασης), ΒW (αριθμός δειγμάτων στη ζώνη διάβασης) και Τ i (τιμές συχνότητας δειγμάτων στη ζώνη μετάβασης, i1,2,,μ). (4) Χρησιμοποίηση κατάλληλης συνάρτησης για υπολογισμό συντελεστών φίλτρου. 30

31 Σύγκριση μεθόδων σχεδιασμού FIR Παράθυρο Optimal Freq. Sampling Κατάλληλη όταν δεν υπάρχει το πρόγραμμα για optimal & όταν οι κυματισμοί στις ζώνες είναι ίδιοι Απλή, κατανοητή Δεν επιτρέπει απόλυτο έλεγχο στις τιμές των άκρων ζωνών Έυκολη, ευέλικτη, απόλυτος έλεγχος προδιαγραφών φίλτρου Απαραίτητη η χρησιμοποίηση αλγόριθμου Ιδιαίτερα κατάλληλη για μετασχηματιστές Hilbert Αναδρομικά και μηαναδ. φίλτρα Σχεδιασμός φίλτρων με οποιεσδήποτε αποκρίσεις πλάτουςφάσης. Έλλειψη ελέγχου προσδιορισμού συχνοτήτων στα άκρα και ύπαρξη πίνακα σχεδιασμού 31

32 Επόμενη διάλεξη: 11. Φίλτρα απόκρισης άπειρου παλμού (IIR) 32