Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα"

Transcript

1 Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM) (Q, Σ,, q 0, F) Q σύνολο καταστάσεων. Σ αλφάβητο εισόδου και αλφάβητο ταινίας. q 0 Q αρχική κατάσταση. F Q τελική κατάσταση (εστιάζουμε σε YES και O). σχέση μετάβασης. (κατάσταση q, διαβάζει α) σύνολο ενεργειών (νέα κατάσταση q, γράφει α, κεφαλή μετακινείται L, R ή S). (Αρχική, τελική) διαμόρφωση όπως για DTM. Γιακάθετρέχουσαδιαμόρφωση, υπάρχουν καμία ή περισσότερες επιτρεπτές επόμενες διαμορφώσεις όπου μπορεί DTM να μεταβεί! Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 2

3 Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Υπολογισμός TM: σχέση - και σχέση - *. - : διαμορφώσεις που προκύπτουν από τρέχουσα σε ένα βήμα. - * : διαμορφώσεις που προκύπτουν σε κάποιο #βημάτων. Υπολογισμός TM αναπαρίσταται με δέντρο: Ρίζα: αρχική διαμόρφωση (q 0, x). Κόμβοι: όλες οι διαμορφώσεις που μπορεί να προκύψουν από αρχική διαμόρφωση (q 0, x). Απόγονοι κόμβου: όλες οι διαμορφώσεις που προκύπτουν με βάση σχέση μετάβασης. Φύλλα: όλες οι τελικές διαμορφώσεις που προκύπτουν από αρχική. Βαθμός σταθερός! Χβτγ, δυαδικό δέντρο. Υπολογισμός DTM: μονοπάτι! (q 0, x) Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 3 Y Y

4 Αποδοχή και Απόρριψη TM έχει πολλούς κλάδους υπολογισμού («εκδοχές») που μπορεί να καταλήγουν σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Αποδέχεται αν τουλάχιστον ένας κλάδος αποδέχεται: «δικτατορία της αποδοχής»! Ν(x) = YES ανν Γλώσσα L TM-αποκρίσιμη ανν υπάρχει TM, x Σ * : όλοι οι κλάδοι της (x) τερματίζουν, και Γλώσσα L ΝΤΜ-αποδεκτή ανν υπάρχει ΝΤΜ Ν: (q 0, x) Ενδέχεται κλάδοι (x) να μην τερματίζουν. Όταν x L, τουλ. ένας τερματίζει σε YES. Όταν x L, όσοι τερματίζουν δίνουν O. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 4 Y Y

5 Μη Ντετερμινιστική Χρονική Πολυπλοκότητα Χρονική πολυπλοκότητα TM : Αύξουσα συνάρτηση t : ώστε για κάθε x, x = n, όλοιοικλάδοιτηςν(x) έχουν μήκος t(n). Μέγιστο ύψος δέντρου υπολογισμού Ν με είσοδο μήκους n. Μη ντετερμινιστική χρονική πολυπλοκότητα προβλ. Π: Χρονική πολυπλοκότητα «ταχύτερης» ΝTM που λύνει Π. Κλάση πολυπλοκότητας (q 0, x) Όχι ρεαλιστικό μοντέλο, αλλά θεμελιώδες για Θεωρία Πολυπλοκότητας! Χρονική Πολυπλ. = Ύψος Δέντρου Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 5 Y Y

6 Μη Ντετερμινιστικός Υπολογισμός Ισοδύναμοι τρόποι για μη ντετερμινιστικό υπολογισμό: (x) «μαντεύει» (πάντα σωστά) κλάδο που καταλήγει σε YES και ακολουθεί μόνο αυτόν (επιβεβαιώνει YES). Αναζήτηση x σε πίνακα Α με n στοιχεία: «Μάντεψε» θέση k, και επιβεβαίωσε ότι A[k] = x. Hamilton Cycle: «Μάντεψε» μετάθεση κορυφών και επιβεβαίωσε ότι δίνει HC. k-sat: «Μάντεψε» αποτίμηση και επιβεβαίωσε ότι ικανοποιεί φ. Στο βήμα k, Ν(x) «εκτελεί» / βρίσκεται σε όλες τις διαμορφώσεις σε απόσταση k από αρχική ταυτόχρονα. «Μηχανιστική» προσομοίωση νοημοσύνης. Χρόνος = ύψος δέντρου υπολογισμού. (q 0, x) Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 6 Y Y

7 Ντετερμινιστική Προσομοίωση Ντετερμινιστική προσομοίωση TM με εκθετική επιβάρυνση. Προσομοίωση δέντρου υπολογισμού με BFS λογική. Για t = 1, 2,, t( x ), προσομοίωση όλων των κλάδων υπολογισμού (x) μήκους t. Τερματισμός YES: πρώτος κλάδος που καταλήγει σε YES. Τερματισμός O: πρώτο t που όλοι οι κλάδοι τερματίζουν σε O. Μη τερματισμός: κανένας κλάδος σε YES (q και κάποιος δεν τερματίζει. 0, x) ΝΤΜ-αποκρίσιμο ανν DTM-αποκρίσιμο. (Θέση Church-Turing) TM-αποδεκτό ανν DTM-αποδεκτό. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 7 Y Y

8 TIME και DTIME Ντετερμινιστική προσομοίωση TM με εκθετική επιβάρυνση. Για t = 1, 2,, t( x ), προσομοίωση όλων των κλάδων υπολογισμού (x) μήκους t. Τερματισμός YES: πρώτος κλάδος που καταλήγει σε YES. Τερματισμός O: πρώτο t που όλοι οι κλάδοι τερματίζουν σε O. Αν TM χρόνου t(n) και με βαθμό μη ντετερμινισμού d, χρόνος προσομοίωσης: Κατά συνέπεια: (q 0, x) Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 8 Y Y

9 ΗΚλάσηP Προβλήματα που λύνονται σε πολυωνυμικό μη ντετερμινιστικό χρόνο: «YES-λύση» μπορεί να «μαντευθεί» σε πολυωνυμικό χρόνο (άρα πολυωνυμικού μήκους) και να επιβεβαιωθεί σε πολυωνυμικό ντετερμινιστικό χρόνο. (k-)sat, κύκλος Hamilton, TSP, Knapsack, MST, Shortest Paths, Max Flow, ανήκουνστηνκλάσηp. Χρειάζεται προσπάθεια για να σκεφθείτε πρόβλημα εκτός ΝP! Κλάση P κλειστή ως προς ένωση, τομή, και πολυωνυμική αναγωγή. Πιστεύουμε ότι κλάση P δεν είναι κλειστή ως προς συμπλήρωμα (ασυμμετρία υπέρ αποδοχής). cop: αντίστοιχη κλάση με ασυμμετρία υπέρ απόρριψης. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 9

10 P και Συνοπτικά Πιστοποιητικά Σχέση R Σ * Σ * είναι: πολυωνυμικά ισορροπημένη αν πολυωνυμικά αποκρίσιμη αν (x, y) R ελέγχεται (ντετερμινιστικά) σε πολυωνυμικό χρόνο. L P ανν υπάρχει πολυωνυμικά ισορροπημένη και πολυωνυμικά αποκρίσιμη σχέση R Σ * Σ * ώστε y αποτελεί «σύντομο» και «εύκολο» να ελεγχθεί πιστοποιητικό ότι x L. Αν υπάρχει τέτοια σχέση R, υπάρχει ΝΤΜ Ν: x L, Ν(x) «μαντεύει» πιστοποιητικό y και επιβεβαιώνει ότι (x, y) R σε πολυωνυμικό χρόνο. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 10

11 P και Συνοπτικά Πιστοποιητικά L P ανν υπάρχει πολυωνυμικά ισορροπημένη και πολυωνυμικά αποκρίσιμη σχέση R Σ * Σ * ώστε Αν L P, θεωρούμε ΝΤΜ Ν που αποφασίζει L. Πιστοποιητικό y αποτελεί κωδικοποίηση μη ντετερμινιστικών επιλογών (x) που οδηγούν σε YES. y poly( x ) γιατί Ν πολυωνυμικού χρόνου. (x, y) R ελέγχεται πολυωνυμικά ακολουθώντας (μόνο) κλάδο υπολογισμού Ν(x) που κωδικοποιείται από y. (x, y) R ανν ο y-κλάδος (x) καταλήγει σε YES. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 11

12 P και Συνοπτικά Πιστοποιητικά ΗκλάσηP περιλαμβάνει προβλήματα απόφασης: Για κάθε YES-στιγμιότυπο, υπάρχει «συνοπτικό» πιστοποιητικό που ελέγχεται «εύκολα» (πολυωνυμικά). Ένα τέτοιο πιστοποιητικό μπορεί να είναι δύσκολο να υπολογισθεί. εν απαιτείται κάτι αντίστοιχο για O-στιγμιότυπα. Κλάση cop περιλαμβάνει προβλήματα απόφασης που έχουν αντίστοιχο πιστοποιητικό για ΝΟ-στιγμιότυπα. Αν πρόβλημα Π P, πρόβλημα coπ = { x : x Π} cop. Προβλήματα στο Ρ ανήκουν ΝΡ Προβλήματα στο Ρ ανήκουν coνρ Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 12

13 ΝΡ-Πληρότητα Πρόβλημα Π είναι P-πλήρες αν Π P και κάθε πρόβλημα Π P ανάγεται πολυωνυμικά στο Π (Π P Π). Π είναι από τα δυσκολότερα προβλήματα στο P (όσον αφορά στον υπολογισμό πολυωνυμικού χρόνου). ΠκάποιοP-πλήρες πρόβλημα: Π P ανν P = P. Αν P = P, πολλά σημαντικά προβλήματα ευεπίλυτα! Αν P P (όπως όλοι πιστεύουν), υπάρχουν προβλήματα στο ΝΡ που δεν λύνονται σε πολυωνυμικό χρόνο! Εξ ορισμού, τα ΝΡ-πλήρη ανήκουν σε αυτή την κατηγορία. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 13

14 ΝΡ-Πληρότητα Αντίστοιχα με cop και cop-πλήρη προβλήματα. Έστω προβλήματα Π 1, Π 2 P ώστε Π 1 P Π 2. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις αληθεύουν; Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016)

15 SAT είναι P-Πλήρες Ικανοποιησιμότητα (SAT): ίνεται λογική πρόταση φ σε CF. Είναι φ ικανοποιήσιμη; SAT P. «Μαντεύουμε» ανάθεση τιμών αλήθειας α σε μεταβλητές φ. Ελέγχουμε ότι ανάθεση α ικανοποιεί φ. Θεώρημα Cook (1971): SAT είναι P-πλήρες. Υπολογισμός οποιασδήποτε TM πολυωνυμικού χρόνου με είσοδο x κωδικοποιείται σε CF πρόταση φ,x : φ,x έχει μήκος πολυωνυμικό σε x και. φ,x υπολογίζεται σε χρόνο πολυωνυμικό σε x και. φ,x είναι ικανοποιήσιμη ανν (x) = YES. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 15

16 SAT είναι P-Πλήρες Έστω TM Ν p(n)-χρόνου και είσοδος x, x = n. Για κωδικοποίηση (x), εισάγουμε 3 είδη μεταβλητών: Q[k, t]: (x) βρίσκεται στην κατάσταση q k την στιγμή t. H[j, t]: κεφαλή βρίσκεται στη θέση j την στιγμή t. S[j, i, t]: θέση j περιέχει σύμβολο s i την στιγμή t. Για κωδικοποίηση (x), εισάγουμε 7 ομάδες όρων: G 1 : (x) βρίσκεται σε μία μόνο κατάσταση κάθε στιγμή. G 2 : κεφαλή σε μία μόνο θέση κάθε στιγμή. G 3 : κάθε θέση ταινίας περιέχει ένα μόνο σύμβολο κάθε στιγμή. G 4 :(x)ξεκινά από αρχική διαμόρφωση (q 0, x). G 5 : Ν(x) βρίσκεται σε κατάσταση YES την στιγμή p(n). Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 16

17 SAT είναι P-Πλήρες Για κωδικοποίηση (x), εισάγουμε 7 ομάδες όρων: G 6 : για κάθε t, μόνο το σύμβολο στη θέση όπου βρίσκεται ηκεφαλήμπορεί να αλλάξει στην επόμενη στιγμή t+1. G 7 : για κάθε t, η διαμόρφωση στην επόμενη στιγμή t+1 προκύπτει από την τρέχουσα διαμόρφωση με εφαρμογή της σχέσης μετάβασης. Τελικά: φ,x έχει μήκος και κατασκευάζεται σε χρόνο Ο(p 3 (n)). από περιγραφή Ν και είσοδο x. φ,x είναι ικανοποιήσιμη ανν (x) = YES. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 17

18 Αποδείξεις P-Πληρότητας Απόδειξη ότι πρόβλημα (απόφασης) Π είναι P-πλήρες: Αποδεικνύουμε ότι Π P (εύκολο, αλλά απαραίτητο!). Επιλέγουμε (κατάλληλο) γνωστό P-πλήρες πρόβλημα Π. Ανάγουμε πολυωνυμικά το Π στο Π (Π P Π): Περιγράφουμε κατασκευή στιγμιότυπου R(x) του Π από στιγμιότυπο x του Π. Εξηγούμε ότι R(x) υπολογίζεται σε πολυωνυμικό χρόνο. Αποδεικνύουμε ότι x Π R(x) Π. Αναγωγή με γενίκευση. Π αποτελεί γενίκευση του Π, και προφανώς Π είναι τουλάχιστον τόσο δύσκολο όσο το Π. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 18

19 Ακολουθία Αναγωγών Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 19

20 3-SAT είναι P-Πλήρες 3-SAT: λογική πρόταση φ σε 3-CF. Είναι φ ικανοποιήσιμη; 3-SAT P (όπως και SAT). Θδο SAT P 3-SAT. Έστω πρόταση ψ = c 1 c m σε CF. Κατασκευάζουμε φ ψ σε 3-CF αντικαθιστώντας κάθε όρο c j ικανοποιήσιμος ανν c j ικανοποιήσιμος. Άρα φ ψ ικανοποιήσιμη ανν ψ ικανοποιήσιμη. Και βέβαια, κατασκευή φ ψ σε πολυωνυμικό χρόνο. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 20

21 3-SAT(3) είναι P-Πλήρες 3-SAT(3): στην φ κάθε μεταβλητή εμφανίζεται 3 φορές: Είτε 1 χωρίς άρνηση και 2 με άρνηση, είτε 2 χωρίς άρνηση και 1 με άρνηση. Θδο 3-SAT P 3-SAT(3). Έστω πρόταση ψ = c 1 c m σε 3-CF. μεταβλητή x που εμφανίζεται k > 3 φορές, αντικαθιστούμε κάθε εμφάνιση x με διαφορετική μεταβλητή x 1, x 2,, x k. Προσθέτουμε όρους που ικανοποιούνται ανν οι x 1, x 2,, x k έχουν ίδια τιμή αλήθειας (εμφανίσεις ίδιας μετ/τής x): Έτσι κατασκευάζουμε 3-SAT(3) στιγμιότυπο ψ : ψ ικανοποιήσιμη ανν ψ ικανοποιήσιμη. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 21

22 ΜΑΧ 2-SAT είναι P-Πλήρες ΜΑΧ 2-SAT: (μη ικανοποιήσιμη) φ σε 2-CF και Κ < #όρων. Υπάρχει ανάθεση τιμών αλήθειας που ικανοποιεί Κόρους; ΜΑΧ 2-SAT P. Θδο 3-SAT P MAX 2-SAT. Έστω c i = x y z, w i μετ/τή, και ομάδα C i 10 2-CF όρων: Ανάθεση ικανοποιεί c i : επιλέγουμε w i, ικανοποιούνται 7 όροι C i. Ανάθεση δεν ικανοποιεί c i : ικανοποιούνται μόνο 6 όροι C i. Έτσι από ψ = c 1 c m σε 3-CF, κατασκευάζουμε φ ψ = C 1 C m σε 2-CF σε πολυωνυμικό χρόνο. ψ ικανοποιήσιμη ανν υπάρχει ανάθεση τιμών αλήθειας που ικανοποιεί 7m όρους της φ ψ. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 22

23 MIS είναι P-πλήρες Max Independent Set (MIS): Γράφημα G(V, E) και k < V. Έχει G ανεξάρτητο σύνολο με k κορυφές; MIS P. Θδο 3-SAT P MIS. Έστω ψ = c 1 c m σε 3-CF. Κατασκευάζουμε G ψ. Ένα «τρίγωνο» t j για κάθε όρο Μια ακμή (x i, x i ) για κάθε ζευγάρι συμπληρωματικών εμφανίσεων μεταβλητής x i. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 23

24 MIS είναι P-πλήρες 3-SAT P MIS (συνέχεια). Έστω ψ = c 1 c m σε 3-CF. Κατασκευάζουμε G ψ. Ένα «τρίγωνο» t j για κάθε όρο Μια ακμή (x i, x i ) για κάθε ζευγάρι συμπληρωματικών εμφανίσεων μεταβλητής x i. Αν ψ ικανοποιήσιμη, από κάθε «τρίγωνο» t j επιλέγουμε μια κορυφή που αντιστοιχεί σε (κάποιο) αληθές literal όρου c j. Όχι συμπληρωματικά literals ανεξάρτητο σύν. m κορυφών. Αν G ψ έχει ανεξάρτητο σύν. m κορυφών, αυτό έχει μια κορυφή από κάθε «τρίγωνο» t j και όχι «συμπληρωματικές» κορυφές. Θέτουμε αντίστοιχα literals αληθή: ψ ικανοποιήσιμη. ψ ικανοποιήσιμη ανν G ψ έχει ανεξάρτητο συν. m κορυφών. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 24

25 MIS(4) είναι P-πλήρες Πρόταση ψ στιγμιότυπο 3-SAT(3): Κάθε μετ/τή εμφανίζεται 3 φορές. Είτε 1 χωρίς άρνηση και 2 με άρνηση, είτε 2 χωρίς άρνηση και 1 με άρνηση. Στο γράφημα G ψ, μέγιστος βαθμός κορυφής = 4. MIS παραμένει P-πλήρες για γραφήματα με μέγιστο βαθμό 4! Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 25

26 Vertex Cover, Independent Set, και Clique Min Vertex Cover P Max Independent Set P Max Clique. Vertex cover C σε γράφημα G(V, E) ανν independent set V \ C σε γράφημα G ανν clique V \ C σε συμπληρωματικό γράφημα. Έστω μη κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E), V = n. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: Το G έχει vertex cover k. Το G έχει independent set n k. To συμπληρωματικό έχει clique n k. Min Vertex Cover αποτελεί (απλή) ειδική περίπτωση Ακέραιου Γραμμικού Προγρ. (ILP): Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 26

27 Set Cover Κάλυμμα Συνόλου (Set Cover): Σύνολο S, υποσύνολα X 1,, X m του S, φυσικός k, 1 < k < m. Υπάρχουν k υποσύνολα που η ένωσή τους είναι το S. «Κάλυψη» του S με k υποσύνολα (από συγκεκριμένα). Παράδειγμα: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } X 1 = {1, 2, 3} X 2 = {2, 3, 4, 8} X 3 = {3, 4, 5} X 4 = {4, 5, 6} X 5 = {2, 3, 5, 6, 7} X 6 = {1, 4, 7, 8} Βέλτιστη λύση: X 5, X 6 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 27

28 Set Cover Κάλυμμα Συνόλου (Set Cover): Σύνολο S, υποσύνολα X 1,, X m του S, φυσικός k, 1 < k < m. Υπάρχουν k υποσύνολα που η ένωσή τους είναι το S. «Κάλυψη» του S με k υποσύνολα (από συγκεκριμένα). Set Cover αποτελεί γενίκευση του Vertex Cover: Vertex Cover προκύπτει όταν κάθε στοιχείο e S ανήκει σε (ακριβώς) δύο υποσύνολα X i και X j. S: ακμές γραφήματος με m κορυφές / υποσύνολα. Ακμή e S συνδέει κορυφές / υποσύνολα X i και X j. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 28

29 Subgraph Isomorphism Subgraph Isomorphism: Γραφήματα G 1 (V 1, E 1 ) και G 2 (V 2, E 2 ), V 1 > V 2. Υπάρχει υπογράφημα του G 1 ισομορφικό με το G 2 ; ηλ. είναι το G 2 υπογράφημα του G 1 ; Subgraph Isomorphism αποτελεί γενίκευση MIS (Clique): MIS προκύπτει για G 2 ανεξάρτητο σύνολο k κορυφών. Clique προκύπτει για G 2 πλήρες γράφημα k κορυφών. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 29

30 Ακολουθία Αναγωγών Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 30

31 3-COL είναι P-πλήρες 3-χρωματισμός (3-COL): Γράφημα G(V, E). χ(g) = 3; 3-COL P. Θδο 3-SAT P 3-COL. Έστω ψ = c 1 c m σε 3-CF. Κατασκευάζουμε G ψ. Κορυφή b και ένα «τρίγωνο» [b, x i, x i ] για κάθε μετ/τή x i. Ένα gadget g j για κάθε όρο Ακμή μεταξύ κάθε literal g j και της αντίστοιχης κορυφής σε b-τρίγωνο. Κορυφή α και «τρίγωνο» [b, α, C j ] με κάθε g j. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 31

32 3-COL είναι P-πλήρες 3-SAT P 3-COL. x 1 x 2 x 3 Παράδειγμα κατασκευής: b x 1 x 2 x 3 x 1 x 1 s s s 21 s 22 C 1 C 2 a Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) x 2 x 3 x 2 x 3

33 3-COL είναι P-πλήρες Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν χ(g ψ )= 3. Χβτγ, υποθέτουμε ότι χρ(b) = 2, χρ(α) = 1. Έτσι χ(g ψ ) = 3 ανν χρ(c j ) = 0 για κάθε gadget g j (όρο c j ). Αν ψ ικανοποιήσιμη, χρ(x i ) = 1 και χρ( x i ) = 0 αν x i αληθής, και χρ(x i ) = 0 και χρ( x i ) = 1 αν x i ψευδής (βλ. b-τρίγωνα). Αν όρος c j ικανοποιείται: χρωματίζουμε g j ώστε χρ(c j ) = 0. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016)

34 3-COL είναι P-πλήρες Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν χ(g ψ )= 3. Χβτγ, υποθέτουμε ότι χρ(b) = 2, χρ(α) = 1. Έτσι χ(g ψ ) = 3 ανν χρ(c j ) = 0 για κάθε gadget g j (όρο c j ). Αν χρ(c j ) = 0 για κάθε gadget g j πρέπει τουλ. μία από 3 «εισόδους» g j έχει χρώμα 1 (αντιστοιχεί σε αληθές literal). Θέτουμε x i αληθές αν χρ(x i ) = 1 και χρ( x i ) = 0 και x i ψευδές αν χρ(x i ) = 0 και χρ( x i ) = 1. Έτσι ψικανοποιείται, αφού υπάρχει τουλ. ένα αληθές literal σε κάθε όρο c j. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 34

35 3DM είναι P-πλήρες Τρισδιάστατο Ταίριασμα (3-Dimensional Matching, 3DM). Ξένα μεταξύ τους σύνολα Β, G, H, B = G = H = n, και σύνολο τριάδων Μ Β G H. Υπάρχει Μ Μ, Μ = n, όπου κάθε στοιχείο των B, G, H εμφανίζεται μία φορά (δηλ. Μ καλύπτει όλα τα στοιχεία). 3DM P. Θδο 3-SAT(3) P 3DM. Έστω ψ = c 1 c m σε 3-CF(3). Κατασκευάζουμε Β ψ, G ψ,h ψ, και M ψ. Για κάθε μετ/τή x, 2 «αγόρια», 2 «κορίτσια», 4 «σπίτια», και 4 τριάδες. h x0 Τριάδες με h x0,h x2 για x(x αληθής). Τριάδες με (h x1,h x3 ) για x (x ψευδής). b x0 g x1 h x1 g x0 b x1 h x2 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 35 h x3

36 3DM είναι P-πλήρες 3-SAT(3) P 3DM. ψ = c 1 c m σε 3-CF(3). Κατασκ. Β ψ, G ψ,h ψ, και M ψ. Για κάθε όρο, π.χ. c = x y z, «ζευγάρι» όρου c («αγόρι» b c και «κορίτσι» g c ), και 3 τριάδες: (b c, g c, h x1 ) (ή μεh x3 ): επιλογή αν x αληθές. (b c, g c, h y0 ) (ή μεh y2 ): επιλογή αν y ψευδές. h x1 (b c, g c, h z1 ) (ή μεh z3 ): επιλογή αν z αληθές. Περιορισμός στον #εμφανίσεων: «σπίτια» επαρκούν για τριάδες όρων. b x0 4n «σπίτια» και 2n+m «ζευγάρια». 2n m «αζήτητα σπίτια»! h x0 2n m «εύκολα ζευγάρια» που συνδέονται με όλα τα «σπίτια». g x1 g x0 b x1 h x2 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 36 h x3

37 3DM είναι P-πλήρες 3-SAT(3) P 3DM. Ακόμη 4 «εύκολα ζευγάρια» που συνδέονται με όλα τα «σπίτια». Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016)

38 3DM είναι P-πλήρες Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν υπάρχει 3DM Μ Μ ψ, Μ = 4n. Αν ψ ικανοποιήσιμη: αληθή μετ/τή x, επιλέγουμε 2 x-τριάδες. ψευδή μετ/τή x, επιλέγουμε 2 x-τριάδες (2n). Τουλ. ένα αληθές literal σε κάθε όρο της ψ: τουλ. ένα «ελεύθερο σπίτι» για «ζευγάρι» κάθε όρου (m). «Αζήτητα σπίτια» καλύπτονται από b 2n m «εύκολα ζευγάρια». x0 h x1 g x0 h x0 h x2 g x1 b x1 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 38 h x3

39 3DM είναι P-πλήρες Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν υπάρχει 3DM Μ Μ ψ, Μ = 4n. Αν υπάρχει 3DM Μ Μ ψ, Μ = 4n: Εστιάζουμε σε 2n+m «δύσκολα ζευγάρια». Επιλέγονται 2n «ζευγάρια» μεταβλητών: μετ/τη x, είτε 2 x-τριάδες, οπότε x αληθής, είτε 2 x-τριάδες, οπότε x ψευδής. h x1 Επιλέγονται m «ζευγάρια» όρων: «Ελεύθερο σπίτι» για κάθε όρο. Ανάθεση τιμών αλήθειας δημιουργεί τουλάχιστον ένα αληθές literal σε κάθε όρο. h x0 b x0 g x0 h x2 Bipartite Matching (2DM) P. g x1 b x1 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) 39 h x3

40 Subset Sum και Knapsack Subset Sum: Σύνολο φυσικών Α = {w 1,, w n } και W, 0 < W < w(a). Υπάρχει Α Αμε Κnapsack αποτελεί γενίκευση Subset Sum. Subset sum προκύπτει όταν για κάθε αντικείμενο i, μέγεθος(i) = αξία(i) (θεωρούμε μέγεθος σακιδίου = W). Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 40

41 Subset Sum και Partition Partition: Σύνολο φυσικών Α = {w 1,, w n } με άρτιο Υπάρχει Α Αμεw(A ) = w(a \ A ); Subset Sum P Partition. Έστω σύνολο Α = {w 1,, w n } και W, 0 < W < w(a). Χβτγ, θεωρούμε ότι W w(a)/2. Σύνολο Β = {w 1,, w n, 2W w(a)} με w(b) = 2W. Υπάρχει Α Α με w(a ) = W ανν υπάρχει Β Β με w(b ) = w(b \ B ) = W. Ένα από τα Β, Β \ Β είναι υποσύνολο του Α. Όμως το Subset Sum αποτελεί γενίκευση Partition. Τελικά Subset Sum P Partition. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 41

42 Ακολουθία Αναγωγών Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 42

43 Subset Sum είναι P-Πλήρες Subset Sum P. Θδο 3DM P Subset Sum. Έστω B = {b 1,, b n }, G = {g 1,, g n }, H = {h 1,, h n }, και Μ B G H, M = m. Τριάδα t i Μ δυαδική συμβ/ρά b i μήκους 3n με 3 «άσσους». 1 ος «άσσος» σε θέση 1 ως n δηλώνει το «αγόρι». 2 ος «άσσος» σε θέση n+1 ως 2n δηλώνει το «κορίτσι». 3 ος «άσσος» σε θέση 2n+1 ως 3n δηλώνει το «σπίτι». Π.χ. n = 4. (b 2, g 3, h 1 ): Υπάρχει 3DM Μ Μ, Μ = n, ανν υπάρχει που οι «άσσοι» των καλύπτουν όλες τις 3n θέσεις. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 43

44 Subset Sum είναι P-Πλήρες 3DM P Subset Sum. Υπάρχει 3DM Μ Μ, Μ = n, ανν υπάρχει που οι «άσσοι» των καλύπτουν όλες τις 3n θέσεις.... ανν σύνολο Α = {w 1,, w m } με έχει υποσύνολο A Αμεw(A) = 2 3n 1(;). Μπορεί και όχι(!): π.χ. A = { 0011, 0101, 0111 } «Επιπλοκή» λόγω κρατούμενου δυαδικής πρόσθεσης. Λύση: ερμηνεύουμε αριθμούς σε βάση m+1 ώστε πρόσθεση m «άσσων» να μην εμφανίζει κρατούμενο.... ανν σύνολο Α = {w 1,, w m } με έχει υποσύνολο A Αμεw(A) = ((m+1) 3n 1)/m. Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 44

45 Ακολουθία Αναγωγών Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2016) P-Πληρότητα 45

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

NP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30

NP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30 NP-complete problems IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH Καλογερόπουλος Παναγιώτης (ΜΠΛΑ) NP-complete problems 1 / 30 Independent Set is NP-complete Ορισμός. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Φροντιστήριο 11 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που

Διαβάστε περισσότερα

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π

Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1, Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 26 Ιουνίου 2013 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 10+10 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 26 - I. ΜΗΛΗΣ NP-complete προβλήματα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II Tree of reductions (partial) Cook s Th. Π NP SAT 3-SAT

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιακριτό Πρόβλημα Σακιδίου ίνονται n αντικείμενα και σακίδιο μεγέθους Β. Αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 06 - I. ΜΗΛΗΣ P NP και NP-complete προβλήματα (Κλάσεις Πολυπλοκότητας) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 06 - Ι. ΜΗΛΗΣ 5 NP-COMPLETENESS I Γιατί για πολλά προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού 12.1 Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους 12.2 Μηχανές Turing 12.3 Καθολικές γλώσσες προγραμματισμού 12.4 Μια μη υπολογίσιμη συνάρτηση 12.5 Πολυπλοκότητα προβλημάτων 12.6

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Turing (T.M) I

Μηχανές Turing (T.M) I Μηχανές Turing (T.M) I Οι βασικές λειτουργίες μιας TM είναι: Διάβασε το περιεχόμενο του τρέχοντος κυττάρου Γράψε 1 ή 0 στο τρέχον κύτταρο Κάνε τρέχον το αμέσως αριστερότερο ή το αμέσως δεξιότερο κύτταρο

Διαβάστε περισσότερα

Recursive and Recursively Enumerable sets I

Recursive and Recursively Enumerable sets I Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης

Γράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Γράφοι Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10.0 Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές NP-πληρότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 ) Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ILP-Feasibility conp

ILP-Feasibility conp Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον

Διαβάστε περισσότερα

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6 HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο 2015-2016 Φροντιστήριο 6 Α) ΘΕΩΡΙΑ Μέθοδος Επίλυσης (Resolution) Στη μέθοδο της επίλυσης αποδεικνύουμε την ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου προτάσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα