=2 gh (1) m + m m + m Α Β Α Β

Transcript

1 Ορµή εύτερος Νόµος, ιτήρηση της Ορµής Τρίτος Νόµος Εφρµογές Εφρµογή η Ένς κροβάτης µάζς m µε τη βοήθει ενός τρµπολίνο πηδάει κτκόρυφ προς τ πάνω µε ρχική τχύτητ µέτρου υ 0 = g 0. νερχόµενος σε ύψος 0 ρπάζει ένν άλλο κροβάτη Β µάζς m Β που στέκετι κίνητος. ν η διάρκει της ρπγής συνένωσης των δύο κροβτών θεωρηθεί µελητέ,. ν υπολογιστεί το ύψος στο οποίο φθάνουν οι κροβάτες πό το τρµπολίνο. β. ποιο θ ήτν το ύψος υτό ν οι κροβάτες είχν ίσες µάζες; ίνοντι m, m Β, 0 κι g. 0 υ 0 Λύση. Ο κροβάτης φθάνει στη θέση που βρίσκετι ο κροβάτης Β µε τχύτητ υ κινούµενος υπό την επίδρση της βρυτικής δύνµης, εποµένως η µηχνική του ενέργει διτηρείτι(ως επίπεδο µηδενικής βρυτικής δυνµικής θεωρούµε το οριζόντιο επίπεδο που περνάει πό την επιφάνει του τρµπολίνο): mυ 0 +0 = mg 0 + mυ υ = υ0 -g0 () Οι δύο κροβάτες κτά τη διάρκει της συνένωσής τους θεωρούντι ως µονωµένο σύστηµ, φού η διάρκει της ρπγής του Β πό τον θεωρείτι µελητέ κι οι ωθήσεις των βρυτικών δυνάµεων µελούντι. Η ορµή του συστήµτος διτηρείτι: 0 V υ 0 U B =0 + () m υ m υ0 -g 0 mυ +0 = (m + m Β)V V = V = m + m m + m m 4g0 - g0 m g0 V = V = () m + m m + m Β Β Β Β Όπου V= η τχύτητ των συνενωµένων πλέον κροβτών. Κτά τη διάρκει της συνένωσης υπάρχει πώλει µηχνικής ενέργεις. Οι δύο κροβάτες µετά την συνένωσή τους κινούντι προς τ πάνω υπό την επίδρση µόνον της βρυτικής δύνµης κι φθάνουν σε ύψος πό το τρµπολίνο, πό τη διτήρηση της µηχνικής τους ενέργεις : V (m + m Β)V + (m + m Β)g 0 = (m + m Β)g = 0 + () mg0 = 0 + g g(m + m ) m = + (3) 0 0 (m + m Β) Β β. ν m = m Β πό τη σχέση (3): 5 0 = 4.

2 Εφρµογή η Ο µικρός κύβος µάζς m µπορεί ν ολισθίνει χωρίς τριβές πάνω στη σιδηρογωνί µάζς m η οποί ρχικά ηρεµεί πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο. φήνουµε πό την ηρεµί τον κύβο ν κινηθεί πάνω στο τετρτοκύκλιο κτίνς R που έχει διµορφωθεί στη σιδηρογωνί. Ν υπολογιστούν:. η τχύτητ του κύβου, ότν υτός εγκτλείπει τη σιδηρογωνί στη θέση Γ. β. το µέτρο της κτκόρυφης δύνµης που δέχετι ο κύβος πό τη σιδηρογωνί, ότν βρίσκετι λίγο πριν τη θέση Γ. ίνοντι: m, m =3m, R κι g. A Γ Λύση. Στο σύστηµ των δύο σωµάτων δεν επιδρούν εξωτερικές δυνάµεις κτά την οριζόντι διεύθυνση, άρ είνι µονωµένο κι η ορµή του στην οριζόντι διεύθυνση διτηρείτι. ν υ Γ κι υ,τελ είνι οι τχύτητες του κύβου κι της σιδηρογωνίς ντίστοιχ, ότν ο κύβος φθάνει στη θέση Γ κι η τχύτητά του γίνετι οριζόντι : + * = mυ + mυ 0 = mυ mυ Γ,τελ Γ,τελ υ,τελ A R (Σχήµ ) Κ Γ υ Γ U B =0.Π m = 3m mυ υ υ,τελ = = () m 3 Γ Γ υ,τελ * Ότν µετξύ των σωµάτων µελών ενός µονωµένου συστήµτος υπάρχει σχετική κίνηση, τότε οι τχύτητες κι οι ορµές όλων των σωµάτων πρέπει ν εκφράζοντι( υπολογίζοντι) ως προς το ίδιο σύστηµ νφοράς που είνι το κίνητο έδφος ο κίνητος πρτηρητής (.Π). A R Κ υ,τελ Ν δ υ,τελ φ N W N y N φ N x υ W R Γ υ Γ U B =0 (Σχήµ )

3 Κτά τη διάρκει της κίνησης του κύβου πάνω στη σιδηρογωνί στο σύστηµ επιδρούν οι εξής δυνάµεις: οι βρυτικές δυνάµεις κύβου κι σιδηρογωνίς Wκι W ντίστοιχ, η κτκόρυφη ντίδρση Ν δ του λείου δπέδου στη σιδηρογωνί κι οι εσωτερικές δυνάµεις του συστήµτος, δυνάµεις επφής µετξύ κύβου κι σιδηρογωνίς N κι N οι οποίες έχουν σχέση δράσης ντίδρσης N = - N. Η δύνµη W είνι συντηρητική, οι δυνάµεις Ν δ κι W είνι κάθετες στη διεύθυνση κίνησης της σιδηρογωνίς κι δεν εκτελούν έργο, τ έργ των δυνάµεων N κι N είνι ντίθετ (λληλονιρούντι) διότι: Η ολική τχύτητ του κύβου κτά τη διάρκει της κίνησής του πάνω στη σιδηρογωνί ως προς τον κίνητο πρτηρητή (.Π) νλύετι στην τχύτητ υ του κύβου (ίδι τχύτητ) κι στην τχύτητ της σιδηρογωνίς υ κθώς µετέχει στην κίνησή της. ντίστοιχ µι στοιχειώδης µεττόπιση του κύβου xνλύετι σε δύο µεττοπίσεις x κι x ( x = x + x ) στις διευθύνσεις των τχυτήτων υ κι υ ντίστοιχ. Το στοιχειώδες έργο της N είνι : W = N xσυν90 + N xσυν80 + N xσυν90 = N xσυνφ () ˆ N x y Το στοιχειώδες έργο της N είνι : Ν =Ν W = N xσυνφˆ W = N xσυνφˆ (3) N N πό () κι (3): WN = W N Λόγω των προηγούµενων συµπερσµάτων σε σχέση µε τ έργ των δυνάµεων, η µηχνική ενέργει του συστήµτος διτηρείτι (ως επίπεδο µηδενικής βρυτικής δυνµικής θεωρούµε το οριζόντιο δάπεδο): m =3m mgr + UΒ(σιδ/νις) = UΒ(σιδ/νις) + mυ Γ + mυ,τελ mgr = mυ Γ + mυ,τελ gr =υ + () υγ 4υΓ 3gR 3gR Γ 3υ,τελ gr =υγ + 3 gr = υγ = υγ = (4). 9 3 β. Η κεντροµόλος δύνµη που δέχετι ο κύβος στη θέση Γ είνι: m (υ Γ +υ,τελ ) () m 4υΓ KΓ Γ Γ Γ F =Ν - m g + m g =Ν Ν = + m g R R 3 (4) m 6υΓ 6 m 3gR 8 ΝΓ = + mg ΝΓ = + mg ΝΓ = mg + mg ΝΓ = mg. R 9 9 R 3 3 3

4 Εφρµογή 3 η Τ σώµτ µζών m κι m έχουν ενσωµτωµένες µικρές µετλλικές επιφάνειες που είνι θετικά φορτισµένες µε φορτίο η κάθε µί κι προεξέχουν ώστε ν βρίσκοντι η µί πένντι στην άλλη. Τ σώµτ µπορούν ν κινούντι χωρίς τριβές πάνω στην ξύλινη τροχιά του σχήµτος η οποί είνι πκτωµένη. φήνουµε το σώµ µάζς m ελεύθερο πό ύψος =0,4 m κι υτό κτέρχετι, ενώ το σώµ µάζς m ρχικά ηρεµεί πάνω στο οριζόντιο τµήµ της τροχιάς. Τ φορτί ρχίζουν ν λληλεπιδρούν (λληλοπωθούντι), ότν το σώµ µάζς m ρχίσει ν κινείτι στο οριζόντιο τµήµ της τροχιάς µε ποτέλεσµ το σώµ µάζς m ν ρχίσει ν κινείτι. Τ δύο σώµτ δεν έρχοντι ποτέ σε επφή κι το σώµ µάζς m, φού κινηθεί στο οριζόντιο τµήµ της τροχιάς επιστρέφει νερχόµενο στο κµπύλο τµήµ της. Η λληλεπίδρση των δύο σωµάτων προσοµοιάζει µε µι «ελστική κρούση» κι ηλεκτροµγνητικά φινόµεν λόγω της κίνησης των φορτισµένων επιφνειών µελούντι.. Ν υπολογιστεί το ύψος στο οποίο φθάνει το σώµ µάζς m. ίνοτι m, m,. β. Ν υπολογιστεί η τιµή του ύψους ότν : i. m =3 m ii. m = m iii. m >> m. Λύση. m m N N N W F υ υ F (Σχήµ ) W W Το σώµ µάζς m κινείτι στο κµπυλόγρµµο τµήµ της τροχιάς µε την επίδρση της βρυτικής συντηρητικής δύνµης W κι της ντίδρσης της τροχιάς Ν η οποί είνι κάθετη στη διεύθυνση της κίνησης κι δεν εκτελεί έργο. πό τη διτήρηση της µηχνικής ενέργεις του σώµτος m (ως επίπεδο µηδενικής βρυτικής δυνµικής ενέργεις θεωρούµε το οριζόντιο δάπεδο): m g = mυ υ = g () Η λληλεπίδρση των µγνητών ρχίζει, ότν το σώµ µάζς m ρχίσει ν κινείτι στο οριζόντιο τµήµ της τροχιάς (Σχήµ ). 4

5 m m m υ Κ υ Κ (Σχήµ ) Το σώµ µάζς m επιβρδύνετι πό την ηλεκτρική δύνµη F ενώ το σώµ µάζς m επιτχύνετι πό την ντίδρσή της F. Τ δύο σώµτ θ βρεθούν στην ελάχιστη µετξύ τους πόστση, ότν τ µέτρ των τχυτήτων τους γίνουν ίσ υ = υ = υ Κ (Σχήµ ). m V m m V (Σχήµ 3) Στη συνέχει το σώµ µάζς m θ ποµκρύνετι πό το σώµ µάζς m το οποίο κάποι στιγµή θ κινητοποιηθεί στιγµιί κι µέσως µετά θ ρχίσει ν επιτχύνετι προς τ ριστερά κινούµενο προς το κµπύλο τµήµ της τροχιάς (Σχήµ 3). ν V κι V είνι τ µέτρ των τχυτήτων των δύο σωµάτων, ότν το σώµ µάζς mρχίζει ν κινείτι πάλι στο κµπυλόγρµµο τµήµ της τροχιάς, τότε επειδή το σύστηµ των δύο σωµάτων είνι µονωµένο (η συνιστµένη των εξωτερικών δυνάµεων είνι µηδέν), η ορµή του διτηρείτι στθερή: + P = P mυ = m V + m V () ολ,θέσεις σχήµτος ολ,θέσεις σχήµτος 3 Οι δυνάµεις N, W, N, W είνι κάθετες στη διεύθυνση κίνησης των σωµάτων κι δεν εκτελούν έργο, τ έργ των συντηρητικών ηλεκτρικών δυνάµεων F κι F πό τις θέσεις των φορτίων στο Σχήµ, όπου υτά εισέρχοντι το έν µέσ στο ηλεκτρικό πεδίο του άλλου, κι µέχρι ν βρεθούν στις θέσεις που φίνοντι στο Σχήµ 3 είνι µηδέν (η υνµική ηλεκτρική ενέργει του συστήµτος των δύο φορτίων µηδενίζετι), εποµένως η 5

6 ενέργει του συστήµτος των δύο σωµάτων διτηρείτι στθερή. ν ορίσουµε το επίπεδο µηδενικής βρυτικής δυνµικής στο οριζόντιο δάπεδο): Ε στις θέσεις σχήµτος = Εστις θέσεις σχήµτος 3 ( ) mυ = m V + mv (3) m m υ mυ πό τις () κι (3): V = (4) κι V = (5) m +m m +m πό τη διτήρηση της Μηχνικής ενέργεις του σώµτος m, ότν υτό ρχίσει ν νέρχετι στο κµπυλόγρµµο τµήµ της τροχιάς έχουµε: m g = m V = V g ( ) ( ) ( ) (4) () V g g(m +m ) g(m +m ) (m +m ) m m υ m m g m m = = = = (6) β. πό τη σχέση (6): i. ν m =3 m : = 4 ii. ν m = m : = 0, το σώµ m κινητοποιείτι στο τέλος της «ελστικής κρούσης», δηλδή στο τέλος της επιβρδυνόµενης κίνησής του κι δεν επιστρέφει στο κµπυλόγρµµο τµήµ της τροχιάς. iii. ν m >> m : = ( ) m m (m +m ) ( ) m m =, το πολύ βρύ σώµ µάζς m δεν (m +m ) µετκινείτι V = 0 (πό την (5) )πρά την επίδρση της ηλεκτρικής δύνµης F µε ποτέλεσµ το σώµ µάζς m ν «νκλάτι» κι µε την ίδι τχύτητ V =υ (πό την (4) ) κι ν επιστρέφει στην ρχική του θέση. Εφρµογή 4 η Ποσότητ νερού πέφτει πό ύψος =,5 m µε ρυθµό λ=0,5 Kg/s µέσ σε ρχικά άδειο κουβά µάζς Μ=0,75Kg, χωρίς ν νπηδά. Ο κουβάς είνι τοποθετηµένος πάνω σε ζυγριά.. Ν υπολογιστεί η τχύτητ του νερού, ότν υτό κτυπάει στον πυθµέν του κουβά. β. ν t 0 =0 η χρονική στιγµή που ρχίζει ν γεµίζει µε νερό ο κουβάς, ν υπολογίσετε την ένδειξη της ζυγριάς σε συνάρτηση µε το χρόνο. γ. Ν υπολογιστεί η µάζ του νερού που υπάρχει στον κουβά, ότν η ένδειξη της ζυγριάς είνι 30Ν. ίνετι g=0 m/s. 6

7 Λύση. Γι µι µάζ νερού m που πέφτει πό ύψος πό τον κουβά κι κινείτι µε την επίδρση της βρυτικής δύνµης, η µηχνική ενέργει διτηρείτι: N mg= mυ m υ = g = 5 () s β. Στο σύστηµ κουβάς νερό επιδρούν η εκάστοτε βρυτική δύνµη W ολ η οποί µετά πό χρονικό διάστηµ t πό τη χρονική στιγµή t 0 =0 ντιστοιχεί σε µάζ Μ+λ t - κθώς το νερό N που συλλέγετι στον κουβά υξάνει - κι η δύνµη N πό την ζυγριά. πό τον ο Νόµο έχουµε: uu p + 0 λ tυ Wολ + Ν = W ολ Ν = Ν = ( Μ + λ t)g + λυ t t () Ν = Μ g + λg(t -0) +λυ Ν = Μ g + λυ +λgt Ν = 0, , ,5 0 t Ν = 8,75 +,5t (S.I) () γ. Η ένδειξη της ζυγριάς κάθε χρονική στιγµή ντιστοιχεί στο µέτρο της δύνµης Ν που σκεί ο κουβάς στη ζυγριά κι είνι η ντίδρση της δύνµης Ν ( Ν = -Ν), άρ έχουν το ίδιο µέτρο Ν = Ν.πό τη () : 30 = 8,75 +,5t t = 8,5s.Η µάζ του νερού που υπάρχει στον κουβά τη χρονική στιγµή t=4,5s είνι: m=λt=0,5 Kg s 8,5s =,5Kg. Εφρµογή 5 η Σε ένν κρδιολογικό έλεγχο συχνά είνι σηµντικό ν γνωρίζουµε τη µάζ του ίµτος που διοχετεύει η κρδιά ενός νθρώπου νά πλµό. Ένς τρόπος προσδιορισµού είνι κι το βλλιστοκρδιογράφηµ (ballistocadiogap - BCG). Ο τρόπος λειτουργίς της διάτξης που χρησιµοποιείτι είνι ο εξής: το υπό εξέτση άτοµο ξπλώνει σε µί οριζόντι πλτφόρµ η οποί επιπλέει σε λεπτό στρώµ έρ. Η τριβή που δέχετι η πλτφόρµ θεωρείτι µελητέ. Το σύστηµ ρχικά ισορροπεί. Ότν η κρδιά πάλλετι εξωθεί µί µάζ ίµτος m στην ορτή µε τχύτητ µέτρου υ κι το σύστηµ άνθρωπος πλτφόρµ κινείτι προς την ντίθετη κτεύθυνση µε τχύτητ µέτρου V. Σε κάποι εφρµογή η τχύτητ του ίµτος υπολογίστηκε µε άλλο τρόπο (υπέρηχο Dopple) κι βρέθηκε υ=0,6m/s. Το σύστηµ πλτφόρµ άνθρωπος έχει µάζ Μ=60Κg κι σε -5 χρονική διάρκει t=0,6s µετά πό έν τυπικό πλµό κινήθηκε κτά x= 6 0 m.. Ν υπολογίσετε τη µάζ του ίµτος που διοχετεύθηκε πό την κρδιά. β. Ν επνληφθεί ο προηγούµενος υπολογισµός ν θεωρήσουµε ότι το σύστηµ άνθρωπος πλτφόρµ δέχετι την επίδρση τριβής στθερού µέτρου. Ν θεωρήσετε ότι η ζητούµενη µάζ του ίµτος είνι µελητέ σε σχέση µε τη µάζ του συστήµτος άνθρωπος πλτφόρµ. W ολ 7

8 Λύση. Το σύστηµ άνθρωπος πλτφόρµ ποσότητ ίµτος που εξωθείτι νά πλµό θεωρείτι µονωµένο, ν υ = η τχύτητ του ίµτος που εξωθεί η κρδιά κι V = η τχύτητ του συστήµτος άνθρωπος πλτφόρµ, πό τη διτήρηση της ορµής έχουµε: = m υ +ΜV 0 = m υ ΜV m ΜV = (). υ + Το µέτρο της τχύτητς V ν υτή θεωρηθεί στθερή κτά τη διάρκει της πολύ µικρής µεττόπισης της πλτφόρµς υπολογίζετι πό τη σχέση: -5 x V = V = V = 0 m / s (). - t () πό () m 8 = m = 37, 5 0 Kg m = 37, 5g 0, 6 β. Σ υτήν την εκδοχή θεωρούµε ότι η πλτφόρµ εκτελεί οµλά επιτχυνόµενη κίνηση οπότε: V = t -5 V x V V V 0 m / s = = = - = (3). x = t x t t (3) πό () m 4 = m = 75 0 Kg m = 75g 0, 6 Σχόλιο Το ποτέλεσµ της ης εκδοχής είνι ρελιστικότερο διότι σε ένν τυπικό κρδικό πλµό η κρδιά εξωθεί περίπου 70ml ίµτος, µι τυπική τιµή πυκνότητς του ίµτος είνι ρ=,06 g/ml, άρ η εξωθούµενη µάζ ίµτος είνι: m=ρv=,06 g 70ml =74,g. ml Είνι προφνές ότι στην εφρµογή υτή περιγράφετι η ρχή λειτουργίς της διάτξης. Στην πργµτικότητ η διάτξη είνι εφοδισµένη µε ευίσθητο επιτχυνσιόµετρο µε τη βοήθει του οποίου µετριέτι η επιτάχυνση της πλτφόρµς. Η διάτξη που πεικονίζετι στη φωτογρφί είνι υτή που κτσκευάστηκε πό τον Nion Koden το 953. ν κι η τεχνική είνι γνωστή γι περισσότερο πό 60 χρόνι, επειδή η µάζ του εξωθούµενου ίµτος είνι πολύ µικρή σε σύγκριση µε τη µάζ του συστήµτος σώµ πλτφόρµ τ πειρµτικά σφάλµτ στη µέτρηση της επιτάχυνσης του ίµτος ήτν µεγάλ κι γι υτό η µέθοδος δεν ήτν κι ιδιίτερ χρήσιµη. Σχετικά πρόσφτ οι µοντέρνες τεχνικές επεξεργσίς σήµτος επιτρέπουν τη µεγάλη µείωση των πειρµτικών σφλµάτων κι το βλλιστοκρδιογράφηµ συµπεριλµβάνετι συχνά στις διγνωστικές εξετάσεις στ πλίσι ενός κρδιολογικού ελέγχου. V υ 8

9 Εφρµογή 6 η Οι µονχοί ενός µονστηριού που βρίσκετι σε πόκρηµνο βράχο χρησιµοποιούν το κλάθι του σχήµτος γι τις µετκινήσεις τους. Το κλάθι µε τους δύο µονχούς έχουν συνολική µάζ Μ=30Κg κι κινείτι µε τη βοήθει των τροχλιών πάνω στο συρµτόσχοινο µε τχύτητ υ=0m/s. Το δίχτυ που έχει µελητέ µάζ συνδέετι µε την ίδ µήκους l=0m κι µάζς d=6κg/m που προυσιάζει µε το έδφος συντελεστή τριβής ολίσθησης µ=0,5. Ν υπολογιστούν:. η τχύτητ του συστήµτος δίχτυ - ίδ µέσως µετά τη συνένωσή του µε το «κλάθι». Ο χρόνος πρόσπτωσης του «κλθιού» στο δίχτυ θεωρείτι µελητέος. β. ο χρόνος t που πιτείτι γι ν κινητοποιηθεί το «κλάθι». γ. το µήκος που θ έπρεπε ν έχει η ίδ ώστε το «κλάθι» ν κινητοποιηθεί µετά πό χρόνο t =s. δ. ποι η στθερά Κ ενός ιδνικού ελτηρίου µε το οποίο θ µπορούσµε ν ντικτστήσουµε την ίδ προκειµένου ν κινητοποιήσουµε το «κλάθι» στον ίδιο χρόνο, φού προηγουµένως συνδέσουµε το έν άκρο του ιδνικού ελτηρίου µε το δίχτυ κι στερεώσουµε κλόνητ το άλλο, στην περίπτωση που η πρµόρφωση του ελτηρίου είνι ίση µε τη µεττόπιση της ίδς. ίνετι g=0 m/s. Λύση. Η µάζ της ίδς είνι: m = l d m = 0 6 = 30Κg () Το σύστηµ «κλάθι» - δίχτυ ίδ κτά τη διάρκει της πρόσπτωσης του «κλθιού» στο δίχτυ θεωρείτι µονωµένο διότι N = εδφ Wλ υσ κι η ώθηση του βάρους του «κλθιού» W N υ εδφ µελείτι. Η ορµή του συστήµτος διτηρείτι στθερή: υ T ολ V W + () M υ Μυ = (Μ + m )V V = () 0m Μ + m W 30 0 V = = 0m / s ( ) β. Γι την κίνηση της ίδς µετά το τέλος της πρόσπτωσης πό το εύτερο Νόµο έχουµε: uuu + uu N εδφ m Ρ () = 0 - (Μ + m g )V Μυ Μυ ΣF εξ = - T ολ = -µn εδφ = - -µmg = - t t t t () Μυ 30 0 t = (3) t = t =4s µm g 0, m υ 9

10 γ. ν l ' = το νέο µήκος της ίδς τότε η νέ µάζ της θ είνι ντικτάστση στη σχέση (3) έχουµε: Μυ Μυ 30 0 t' = l' = l' = l' = 80m µd l'g µd t'g 0,5 6 0 δ. m' = d l ', µε Κ V Θ.Φ.Μ l Η ίδ µήκους l µέχρι ν κινητοποιηθεί µζί µε το «κλάθι» µεττοπίζετι κτά V l = (4). Το µέτρο της επιβράδυνσης που δέχετι το σύστηµ ίδ δίχτυ µ Ν () εδφ µ mg 0, «κλάθι» είνι: Τ ολ = (m + M) = = = m + M m + M =,5m / s (5). 0 πό (4) κι () l = l = 0m (6).,5 Εφρµόζουµε το Θ.Μ.Κ.Ε γι την κίνηση του συστήµτος µετά την πρόσπτωση κι µέχρι υτό ν στµτήσει: () (Μ + m )V W F =Κ ελ τελ -Κρχ 0 - Κ l = 0 - (Μ + m )V K = l (6) ( )0 K = K = 60N / m 0 0