i) Nα δείξετε ότι η ράβδος MN θα τεθεί σε κίνηση και να καθορίσε τε την επιτάχυνση εκκίνησής της.

Transcript

1 Δύο µεταλλικά σύρµατα A 1 x 1 και A 2 x 2 αµελητέ ας ηλεκτρικής αντίστασης και πολύ µεγάλου µήκους στερεώνονται, ώστε να είναι κατακόρυφα το ένα ακριβώς απέναντι από το άλλο, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Oι πάνω άκρες A 1, A 2 των συρµάτων συνδέονται µε τους πόλους µιας γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος αµελητέας εσωτερικής αντίστασης και ηλεκτρεγερτικής δύναµης E=10 V, ενώ πάνω στα σύρµατα µπορεί να γλυστράει µεταλλική ράβδος MN µάζας m=0,5 kg µήκους =1 m και ηλεκτρικής αντί στασης =1 Ω, ώστε οι άκρες της να εφάπτονται των συρµάτων και να παραµένει συνεχώς κάθετη στα σύρµατα. Όλο το σύστηµα βρίσ κεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναµικές γραµ µές είναι κάθετες στο επίπεδο των συρµάτων, η δε έντασή του έχει µέτρο B=1 Ts. Tη χρονική στιγµή t=0 κλείνουµε το διακόπτη. i) Nα δείξετε ότι η ράβδος MN θα τεθεί σε κίνηση και να καθορίσε τε την επιτάχυνση εκκίνησής της. ii) Eάν κατά τη διάρκεια της κίνησής της η ράβδος δέχεται δύναµη τριβής T αντίρροπη της ταχύτητάς της v, της οποίας το µέτρο ικα νοποιεί τη σχέση T=λv, όπου λ=2 Nt.s/m, να δείξετε ότι η ράβδος θ' αποκτήσει τελικά σταθερή ταχύτητα (οριακή ταχύτητα) της οποίας να υπολογίσετε το µέτρο. ΛYΣH: i) Tη χρονική στιγµή t=0 που κλείνει ο διακόπτης το κύκλωµα A 1 MNA 2 A 1 διαρρέεται από ρεύµα έντασης I 0, η οποία δίνεται από τη σχέση: I 0 = E/ = 10 A Λόγω του ρεύµατος αυτού η ράβδος MN δέχεται από το οµογενές µαγνητικό πεδίο δύναµη aplace F αντίρροπή προς το βάρος της w, της οποίας το µέτρο είναι: F = BI 0 = 10 Nt Eξάλλου το βάρος της ράβδου έχει µέτρο: w = mg = 5 Nt Παρατηρούµε ότι ισχύει F >w, που σηµαίνει ότι η ράβδος MN θα τεθεί σε κίνηση προς τα πάνω, η δε επιτάχυνση εκκίνησής της a 0 θα έχει µέτρο, που

2 υπολογίζεται από τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, δηλαδή από τη σχέση: F - w = ma 0 a 0 = F - w m = m/s 2 = 5 m/s 2 ii) Aς εξετάσουµε την ράβδο κατά µία χρονική στιγµή t που έχει ταχύτητα v. Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου υπάρχει επαγωγική H.E.Δ της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (1), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: E επ = Bv (1) Eφαρµόζοντας στο κύκλωµα κατά τη χρονική στιγµή t τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση: E - E " = I (1) E - Bv = I I = E - Bv (2) Σχήµα 1 όπου I η αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος. Tο µέτρο της αντίστοιχης δύνα µης aplace F που δέχεται η ράβδος είναι: F = BI (2 ) F = B(E - Bv) Όµως η ράβδος εκτός από τις δυνάµεις F και w δέχεται δύναµη τριβής T αντίρροπη της κίνησής της µε µέτρο ανάλογο του µέτρου της ταχύτητας της v, δηλαδή η συνισταµένη δύναµη F " κατά τη διεύθυνση κίνησης της ράβ δου έχει φορά προς τα πάνω και το µέτρο της είναι: F " = F - w - T (3 ) F " = B(E - Bv) - mg - "v (3) F " = BE - mg - B 2 2 # " + " $ & v (4) %

3 Παρατηρούµε από τη σχέση (4) ότι το µέτρο της F " µειώνεται µε την πάροδο του χρόνου, διότι το µέτρο της v αυξάνεται και σύµφωνα µε το δεύ τερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα µειώνεται και το µέτρο της επιτάχυν σης a της ράβδου, δηλαδή αυτή θα εκτελεί µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση κατευθυνόµενη κατακόρυφα προς τα πάνω. Όταν µηδενισθεί η επιτάχυνση, η ράβδος θα συνεχίσει την προς τα πάνω κίνησή της µε σταθερή ταχύτητα v " (οριακή ταχύτη τα) της οποίας το µέτρο υπολογίζεται από τη σχέση (4) θέτοντας F ολ = 0 και v=v ορ, οπότε θα έχουµε: BE - mg - B 2 2 # " + $ & v "# = 0 % v = BE/ - mg B 2 2 / + " BE - mg = B " v " = , m/s = 1,66 m/s Ένα λεπτό µεταλλικό δακτυλίδι ακτίνας α και ηλεκτρικής αντιστάσης, κινείται µε σταθερή ταχύτητα, µέτρου v, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο του δακτυλιδιού. Tο δακτυλίδι κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε χώρο, όπου υπάρχει οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναµικές γραµµές είναι κατακόρυφες, η δε έντασή του έχει µέτρο B. Kάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, το δακτυλίδι αρχίζει να βγαίνει από το µαγνητικό πεδίο. i) Nα βρείτε την αναγκαία εξωτερική δύναµη, σε συνάρτηση µε το χρόνο, ώστε το δακτυλίδι να διατηρεί την ταχύτητά του, καθώς και τη χρονική στιγµή κατά την οποία το µέτρο της δύναµης αυτής παίρνει τη µέγιστη τιµή του. ii) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που θα βρείτε. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε το δακτυλίδι κατά µία τυχαία χρονική στιγµή t, οπότε θα έχει µετατοπιστεί εκτός µαγνητικού πεδίου κατά x=vt. Tη στιγµή αυτή, κατά µήκος του τµήµατος MAN του δακτυλιδιού αναπτύσσεται επαγω γική H.E.Δ. της οποίας η τιµή δίνεται από τη σχέση: E επ = Bv(MN) (1) H E επ δηµιουργεί στο δακτυλίδι ρεύµα επαγωγικό, που η συµβατική του φορά ανταποκρίνεται στον κανόνα του enz (σχ. 2) η δε έντασή του τη χρονική στιγµή t, δίνεται από τη σχέση:

4 I " = E " (1) I " = Bv(MN) (2) Eξ αιτίας του επαγωγικού ρεύµατος το τµήµα MAN του δακτυλιδιού, που βρίσκεται µέσα στο µαγνητικό πεδίο, δέχεται από αυτό δύναµη aplace F αντίρροπη της ταχύτητας v, της οποίας ο φορέας, για λόγους συµµετρίας, διέρχεται από το κέντρο K του δακτυλιδιού και είναι κάθετος στη χορδή MN αυτού. Έτσι, για να εξασφαλίζεται η ισοταχής κίνηση του δακτυλιδιού, πρέπει να ενεργεί πάνω σ αυτό εξωτερική δύναµη F του ίδιου φορέα, αντί Σχήµα 2 θετης φοράς και ίσου µέτρου µε την F. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, η ισχύς της F πρέπει κάθε στιγµή να είναι ίση µε το ρυθµό παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας στο δακτυλίδι, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: P F = P " Fv = I " 2 (2) Fv = B2 v 2 (MN) 2 F = B2 v(mn) 2 2 (3) όπου F το µέτρο της εξωτερικής δύναµης κατά τη χρονική στιγµή t. Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο KMO έχουµε: (KM) 2 = (KO) 2 + (MN) 2 2 = ( - vt) 2 + (MN) 2 2 = 2-2vt + v 2 t 2 + (MN) 2 (MN) 2 = 2vt - v 2 t 2 (MN) 2 = vt(2 - vt) (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε τη σχέση: F = B2 v vt(2 - vt) µε 0 t 2α/v (5) Aπό την (5) προκύπτει ότι η σχέση µεταξύ F και t είναι δευτέρου βαθµού,

5 παρατηρούµε δε ότι, για να πάρει το µέτρο της δύναµης τη µέγιστη τιµή του πρέπει η ποσότητα vt(2α-vt) να γίνει µέγιστη. Όµως ισχύει vt+(2α-vt)=2α= σταθερό, οπότε το γινόµενο vt(2α-vt) γίνεται µέγιστο όταν συµβεί: vt = 2α - vt 2vt = 2α t = α/v (6) Σχήµα 3 δηλαδή τη χρονική στιγµή t = α/v το µέτρο της F λαµβάνει τη µέγιστη τιµή του: F max = B2 v v ( /v ) ( 2 - v/v ) F max = B2 2 v (7) ii) Eξάλλου, για t = 0 η σχέση (5) δίνει F = 0 και για t = 2α/v δίνει επίσης F =0. Έτσι η γραφική παράσταση της (5) θα είναι η παραβολή του σχήµατος (3). P.M. fysikos Ένα τετραγωνικό πλαίσιο, µάζας m ηλεκτρικής αντίστασης και πλευράς α, αφήνεται από την ηρεµία να κινηθεί παράλληλα προς κατακόρυφο επίπεδο xoy. Στον χώρο όπου κινείται το πλαίσιο υπάρχει µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναµι κές γραµµές είναι κάθετες στο επίπεδο xoy, το δε µέτρο της έντα σής του µεταβάλλεται κατά µήκος του κατακόρυφου άξονα Oy, σύµφωνα µε τη σχέση: B=ky όπου k θετικός συντελεστής αναλογίας. Nα δείξετε ότι, το πλαίσιο θ αποκτήσει οριακή ταχύτητα, της οποίας να υπολογίσετε το µέτ ρο. ΛYΣH: Eξετάζουµε το πλαίσιο κατά µιά τυχαία στιγµή t, που η ταχύτητα του είναι v, η δε αντίστοιχη απόσταση της πλευράς του AΓ από τον άξονα Ox είναι y (σχ. 4). Tη στιγµή αυτή κατά µήκος των πλευρών AΓ και ΔZ του πλαισίου υπάρχουν επαγωγικές H.E.Δ. µε των οποίων οι πολικότητες που φαίνονται στο σχήµα (4), οι δε τιµές τους είναι : E " A# = B 1 $v = Kx$v E " Z% = B 2 $v = K(y + $)$v " # (1)

6 όπου B 1, B 2 οι εντάσεις του πεδίου στα σηµεία των πλευρών AΓ και ZΔ αντιστοίχως, κατά τη χρονική στιγµή που εξετάζουµε το πλαίσιο. Aπό τις σχέσεις (1) προκύπτει ότι E Z# " > E A$ ", οπότε η συµβατική φορά του επαγωγι κού ρεύµατος, που δηµιουργούν στο µεταλλικό πλαίσιο οι δύο αυτές επα γωγικές H.E.Δ., θα είναι αυτή που επιβάλλει η E Z# " (σχ. 4) Eφαρµόζοντας στο πλαίσιο τη χρονική στιγµή t το δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνου µε για την αντίστοιχη ένταση Iεπ του επαγωγικού ρεύµατος τη σχέση: E " Z# - E " A$ = I " (1) kyv + K 2 v - kyv = I "# k 2 v - kxv = I "# I " = k# 2 v/ (3) Σχήµα 4 Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος οι πλευρές AΓ και ZΔ του πλαισίου δέχον ται από το µαγνητικό πεδίο δυνάµεις* aplace F 1, F 2 αντιστοίχως, που έχουν τη διεύθυνση του άξονα Oy, φορά όπως φαίνεται στο σχήµα, τα δε µέτρα τους δίνονται από τις σχέσεις: F 1 = I " B 1 # F 2 = I " B 2 # " # (3 ) F 1 = k 2 3 yv/ F 2 = k 2 3 (y + )v/ " # (4) Έτσι κατά τη διεύθυνση του άξονα Oy, το πλαίσιο δέχεται συνισταµένη δύ ναµη, της οποίας το µέτρο τη χρονική στιγµή t, είναι: ( F y ) = mg + F 1 - F (4) 2 ( F y ) = mg + k2 3 yv - k2 3 (y + )v * Δυνάµεις aplace δέχονται και οι πλευρές AZ και ΓΔ του πλαισίου, αλλά κά θε στιγµή οι δυνάµεις αυτές έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίδιο µέτρο, µε αποτέλεσµα να αλληλοεξουδετερώνονται.

7 ( F y ) = mg - k2 4 v (5) Aπό την (5) προκύπτει ότι, το µέτρο της ΣF(y) µείωνεται µε το χρόνο, αφού το µέτρο της ταχύτητας του πλαισίου αυξάνεται, οπότε, σύµφωνα µε τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, θα µειώνεται και το µέτρο της επιτάχυνσης του πλαισίου, δηλαδή αυτό θα εκτελεί κατά τη διεύθυνση του άξονα Oy µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. Όταν συµβεί Σ(F y ) = 0, το πλαίσιο θ αποκτή σει µηδενική επιτάχυνση και στη συνέχεια θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα v " (οριακή ταχύτητα), της οποίας το µέτρο υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: 0 = mg - k2 4 v "# mg = k2 4 v "# v " = mg k 2 # 4 P.M. fysikos Δύο όµοια µεταλλικά σύρµατα A 1 x 1 και A 2 x 2 στε ρεώνονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το ένα ακριβώς απέναντι από το άλλο, σε απόσταση µεταξύ τους. Oι άκρες A 1 και A 2 των συρ µάτων βραχυκυκλώνονται, ενώ πάνω στα σύρµατα µπορεί να γλυσ τράει µεταλλική ράβδος MN, µήκους και ηλεκτρικής αντίστα σης, παραµένουσα συνεχώς κάθετη στα σύρµατα. Tη χρονική στιγµή t=0 η ράβδος MN βρίσκεται σχεδόν σε µηδενική απόσταση από την ευθεία A 1 A 2 και αρχίζει να κινείται εκ της ηρεµίας µε σταθερή επιτάχυνση µέτρου a, πλησιάζοντας προς τις άκρες x 1 και x 2 των συρµάτων. Eάν όλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυ φο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B, να δείξετε ότι, υπάρχει χρονική στιγµή κατά την οποία η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα A 1 MNA 2 A 1 γίνεται µέγιστη. Aκόµη να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο. Δίνεται η αντίσταση * ανά µονάδα µήκους των συρµάτων A 1 x 1 και A 2 x 2. ΛYΣH: Eξετάζουµε τη µεταλλική ράβδο MN κατά µιά τυχαία χρονική στιγµη t, που έχει µετατοπιστεί πάνω στα σύρµατα κατά x. Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου υπάρχει επαγωγική H.E.Δ. µε της οποίας η πολικό τητα φαίνεται στο σχήµα (5), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: E επ = Bv = Bαt (1) H αντίστοιχη ένταση I επ του επαγωγικού ρεύµατος στο κύκλωµα MA 1 A 2 NM είναι: (1) E I " = " I + ' " = B#t (2) + ' όπου η ηλεκτρική αντίσταση των συρµάτων A 1 M και A 2 N. Όµως για την αντίσταση ισχύει η σχέση: ' = * x + * x = 2 * x '= 2 * (at 2 /2) = * at 2 (3)

8 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) έχουµε: I " = Bat + * at 2 µε 0 t < + (4) H (4) µπορεί να πάρει τη µορφή: I επ + I επ * at 2 = Bat I επ * at 2 - Bat + I επ = 0 (5) Σχήµα 5 H σχέση (5) είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς t και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή η διακρίνουσά της πρέπει να είναι µη αρνητική, οπότε θα έχουµε: B 2 2 a 2-4I επ * ai επ 0 B 2 2 a 2 4I επ. * a I " 2 B2 2 a 4 * I " B 2 a I max " = B * 2 a * (6) Όταν όµως η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος λάβει τη µέγιστη τιµή της, τότε η (5) θα έχει µιά διπλή ρίζα t *, για την οποία ισχύει: t * = - (-Ba) 2I " max * a (5) t = B ( ) a/ 2 B/2 = a (7) Σχήµα 6 H γραφική παράσταση της έντασης I επ του επαγωγικού ρεύµατος, σε συνάρ τηση µε τον χρόνο t αντιστοιχεί στη σχέση (3), για την οποία ισχύουν τα εξής:

9 i) Για t=0 η (3) δίνει I επ =0, που σηµαίνει ότι η ζητούµενη γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ii) Για t = αποδείχθηκε ότι I επ =max, που σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση, παρουσιάζει τοπικό µέγιστο. iii) Για t + η (3) δίνει: I " = B /t + at " 0 δηλαδή η ζητούµενη γραφική παράσταση πλησιάζει ασυµπτωτικά τον άξονα των χρόνων (σχ. 6). P.M. fysikos Mιά αντλία ισχύος N, αντλεί από την ηρεµία υδράργυρο, τον οποίο αναγκάζει να ρέει µε σταθερή ταχύτητα v κατά µήκος οριζόντιου µονωτικού σωλήνα τετραγωνικής διατοµής, πλευράς α. Στο εσωτερικό του σωλήνα είναι στερεωµένες πάνω στα κατακόρυφα τοιχώµατα του δύο τετραγωνικές µεταλλικές πλάκες, πλευράς α, οι οποίες είναι η µιά ακριβώς απέναντι από την άλλη και συνδέονται µε αµπερόµετρο, το οποίο βρίσκεται εξωτερικώς του σωλήνα. Όλο το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B και φορά προς τα κάτω. Eάν ο ρυθµός διέλευσης του υδραργύρου από κάθε διατο µή του σωλήνα είναι m * kg/s, να βρεθεί η ένδειξη του αµπεροµέτ ρου. ΛYΣH: Θεωρούµε κάποια στιγµή t το τµήµα του υδραργύρου που βρίσκεται µεταξύ των κατακόρυφων τετραγωνικών πλακών. Tη στιγµή αυτή µεταξύ των πλακών είναι εντοπισµένη µια επαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (7), που αποτελεί µια οριζόντια τοµή του συστήµατος, η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: E επ = Bαv (1) Σχήµα 7 Η ηλεκτρεγερική αυτή δύναµη δηµιουργεί στο κλειστό κύκλωµα που σχηµα τίζεται από τον περιέχόµενο µεταξύ των πλακών Hg, από τις πλάκες και το

10 αµπερόµετρο, ρεύµα επαγωγικό µε αποτέλεσµα στο κύκλωµα αυτό να παρά γεται ηλεκτρική ενέργεια. Θεωρώντας ένα στοιχειώδες χρονικό διάστηµα dt, µετά απo τη χρονική στιγµή t, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, στο χρονικό αυτό διάστηµα η αντλία παράγει ενέργεια Pdt, ένα µέρος της οποίας χρησι µοποιείται για να δώσει σε µιά µάζα * dm υδραργύρου κίνηση εκ της ηρεµί ας, δηλαδή µετατρέπεται σε κινητική ενέργεια της µάζας dm και το υπόλοι πο µετασχηµατίζεται σε ηλεκτρική ενέργεια, µέσω του φαινοµένου της επα γωγής, στο τµήµα του υδραργύρου που βρίσκεται µεταξύ των µεταλλικών πλα κών. Έτσι θα έχουµε τη σχέση: Pdt = dmv2 2 (1) + E " I " dt Pdt = m v 2 dt 2 + Bv I "# dt 2P = m v 2 + 2Bv I "# I " = 2P - m v 2 2B #v (2) όπου I επ η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος (ένδειξη αµπεροµέτρου) κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή t. Παρατηρούµε από την σχέση (2) ότι, η I επ είναι ανεξάρτητη του χρόνου t. Παρατήρηση: H παραγόµενη στο κύκλωµα ηλεκτρική ενέργεια, µετασχηµατίζεται σε θερµότητα joule στις ηλεκτρικές αντιστάσεις του αµπεροµέτρου, των µεταλ λικών πλακών και του υδραργύρου που υπάρχει µεταξύ αυτών. P.M. fysikos Δύο µεταλλικά σύρµατα A 1 x 1 και A 2 x 2 απεριόρισ του µήκους και αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης στερεώνονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, το ένα ακριβώς απέναντι από το άλλο. Oι άκρες A 1, A 2 των συρµάτων συνδέονται µε τους πόλους µιας γεν νήτριας συνεχούς ρεύµατος, που έχει στοιχεία E και r, ενώ πάνω στα σύρµατα µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή µια µεταλλική ράβ δος MN, µήκους, µάζας m και ηλεκτρικής αντίστασης, όλο δε το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B. Kάποια στιγµή που λαµ βάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου η ράβδος MN εκτοξεύεται µε οριζόντια ταχύτητα µέτρου v 0, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς τα σύρµατα η δε φορά της είναι προς τις άκρες x 1, x 2 των συρµάτων. i) Nα δείξετε ότι, η ράβδος θα εκτελέσει µη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µέχρις ότου µηδενιστεί η ταχύτητά της και στη συνέχεια θ αρχίσει κινούµενη κατ αντίθετη φορά θα αποκτήσει δε οριακή ταχύτητα * H αντλία συνεχώς θέτει σε κίνηση νέες µάζες υδραργύρου εκ της ηρεµίας, ώστε να εξασφαλίζεται η συνεχής ροή αυτού κατά µήκος του σωλήνα.

11 ii) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση τη γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιµής της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε τη ράβδο MN κατά µια τυχαία χρονική στιγµή που η ταχύτητά της v έχει φορά προς τις άκρες x 1 και x 2 των συρµάτων. Tη στιγµή αυτή κατά µήκος της ράβδου αναπτύσσεται H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (8), η δε τιµή της δίνεται από τη σχέση: E επ = Bv (1) Eφαρµόζοντας στο κύκλωµα τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff έχουµε (1) E + E επ = I( + r) E + Bv = I( + r) I = E + Bv + r (2) Σχήµα 8 όπου I η ένταση του ρεύµατος κατά τη στιγµή που εξετάζουµε το κύκλωµα. H αντίστοιχη δύναµη aplace F που δέχεται η ράβδος από το µαγνητικό πεδίο είναι αντίρροπη της v, το δε µέτρο της υπολογίζεται από τη σχέση: F = BI (2) F = B E + Bv $ # & (3) " + r % Έτσι η ράβδος MN επιβραδύνεται µε αποτέλεσµα η ταχύτητά της να µειώ νεται κατά µέτρο, οπότε σύµφωνα µε την (3) θα µειώνεται και το µέτρο της F. Aυτό σηµαίνει ότι, θα µειώνεται και το µέτρο της επιβράνδυσης της ράβ δου, δηλαδή αυτή θα εκτελεί πάνω στα σύρµατα µη οµαλά επιβραδυνό µενη κίνηση και έτσι το µέτρο της v θα µειώνεται εκ της τιµής v 0, όχι γραµµικά µε το χρόνο, µέχρις ότου µηδενιστεί. Όµως τη στιγµή που µηδενίζεται η ταχύτητα της ράβδου µηδενίζεται και η επαγωγική H.E.Δ. κατά µήκος αυτής, οπότε στο κύκλωµα υπάρχει µόνο η ηλεκτρεγερτική δύναµη E της γεννήτριας, που προκαλεί στο κύκλωµα ρεύµα µε αποτέλεσµα ο αγωγός να εξακολουθεί να δέχεται δύναµη aplace µε φορά προς τις άκρες A 1, A 2 των συρµάτων, η οποία τη θέτει σε κίνηση εκ της ηρεµίας, µε φορά κίνησης αντίθετη της προηγούµενης. Aυτό έχει ως συνέπεια να αναπτύσσεται πάλι κατά µήκος της ράβδου MN H.E.Δ. από επαγωγή µε αντίθετη πολικότητα απ ότι προγηγουµένως, η δε τιµή της θα δίνεται πάλι από τη σχέση (1), στην οποία το v εκφράζει το µέτρο της στιγµιαίας ταχύτητας της ράβδου, η οποία όµως ταχύτητα είναι τώρα οµόρροπη της δύναµης F. Eφαρµόζοντας εκ νέου τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση:

12 (1) E-E επ =I(+r) E-Bv=I(+r) I = E - B v + r Έτσι το µέτρο της F κατ αυτό το στάδιο κίνησης της ράβδου MN θα είναι: (4) (4) F =BI F = B E - Bv $ # & (5) " + r % Σχήµα 9 Aπό την (5) προκύπτει ότι, το µέτρο της F µειώνεται µε το χρόνο αφού το µέτρο της v αυξάνεται. Έτσι η κίνηση της ράβδου είναι µη οµαλά επιταχυ νόµενη, που σηµαίνει ότι το µέτρο της ταχύτητάς της αυξάνεται µε το χρόνο όχι γραµµικά. Όταν συµβεί F =0 θα µηδενιστεί και η επιτάχυνση της ράβδου, οπότε αυτή θα κινείται πλέον προς τις άκρες A 1, A 2 των συρµάτων µε σταθερή ταχύτητα v " (οριακή ταχύτητα) της οποίας το µέτρο υπολογίζε ται µέσω της σχέσεως: B E - B v $ " # & = 0 E - B v " = 0 v " = E " + r % B (5) ii) Σύµφωνα µε όσα αναφέρθηκαν πιό πάνω από τη στιγµή t=0 που η ράβδος MN εκτοξεύεται πάνω στα σύρµατα µε ταχύτητα v 0 µέχρι τη στιγµή t * που µηδενίζεται η ταχύτητά της, το µέτρο της ταχύτητας της ράβδου µειώνεται µε το χρόνο όχι γραµµικά, ενώ από τη στιγµή t * και µετά το µέτρο της ταχύτητας αυξάνεται µε το χρόνο πάλι όχι γραµµικά, από την τιµή µηδέν προς την τιµή v ορ. Aυτό σηµαίνει ότι η αλγεβρική τιµή v της ταχύτητας της ράβδου από τη στιγµή t * και µετά έχει αντίθετο πρόσηµο από εκείνο που είχε πριν από τη στιγµή t *. Θεωρώντας θετική φορά πάνω στη διεύθυνση κίνησης της ράβδου, τη φορά της αρχικής της ταχύτητας v 0, η γραφική παρά σταση της συνάρτησης v=f(t) θα έχει τη µορφή που φαίνεται στο σχήµα (9) P.M. fysikos Ένας µαγνήτης µικρού µήκους, αφήνεται µε τον άξονά του κατακόρυφο να κινηθεί προς τα κάτω και διέρχεται διά µέσου ενός µικρού µεταλλικού δακτυλιδιού. Tο δακτυλίδι είναι στερεωµένο µε το επίπεδο του οριζόντιο, το δε κέντρο του βρίσκε ται στην προέκταση του γεωµετρικού άξονα του µαγνήτη. Nα δεχ

13 θείτε ότι, κατά την κίνηση του µαγνήτη προς τα κάτω η µαγνητική ροή δια µέσου της επιφάνειας του δακτυλιδιού µεταβάλλεται µε το χρόνο, σύµφωνα µε το διάγραµµα του σχήµατος (12). i) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση τη γραφική παράσταση της έντασης του επαγωγικού ρεύµατος στο δακτυλίδι, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii) Nα αναφέρετε όλους τους ενεργειακούς µετασχηµατισµούς που λαµβάνουν χώρα, στη διάρκεια της κίνησης του µαγνήτη. ΛYΣH: i) Kαθώς ο µαγνήτης κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω, µεταβάλ λεται η µαγνητική ροή που διέρχεται µέσα από την επιφάνεια του δακτυλι διού, µε αποτέλεσµα να αναπτύσσεται κατά µήκος αυτού επαγωγική H.E.Δ. που δίνεται από τη σχέση: E επ = -dφ/dt (1) Σχήµα 10 Σχήµα 11 Σχήµα 12 όπου dφ/dt η ταχύτητα µεταβολής της µαγνητικής ροής, κατά τη χρονική στιγµή που εξετάζουµε το σύστηµα µαγνήτης-δακτυλίδι. Eπειδή το δακτυλί δι αποτελεί κλειστό κύκλωµα, η E επ δηµιουργεί σ αυτό ρεύµα επαγωγικό, που η στιγµιαία έντασή του δίνεται από τη σχέση: I " = E " (1) I " = - 1 # " d# dt $ & (2) % όπου η ηλεκτρική αντίσταση του δακτυλιδιού. Aπό τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Φ=Φ(t) (σχ. 81), προκύπτουν τα εξής: α. Για 0 t<t 1 ισχύει dφ/dt>0 και µάλιστα η συνάρτηση dφ/dt είναι αύξουσα, αφού η κλίση της καµπύλης στο χρονικό αυτό διάστηµα αυξάνεται*. Έτσι * Στο χρονικό διάστηµα (0,t 1 ) το διάγραµµα της συνάρτησης Φ=Φ(t) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, που σηµαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος της Φ=Φ(t) είναι θετική στο διάστηµα αυτό, δηλαδή η συνάρτηση dφ/dt είναι αύξουσα.

14 λόγω του αρνητικού πρόσηµου της (2) η ένταση του ρεύµατος φθίνει διατη ρώντας αρνη τικές τιµές (απολύτως όµως αυξάνεται). β) Για t 1 <t<t * ισχύει dφ/dt>0, αλλά η dφ/dt µειώνεται, αφού η κλίση της καµπύ λης στο χρονικό αυτό διάστηµα µειώνεται*, οπότε σύµφωνα µε την (2) η I επ θα είναι αύξουσα, διατηρώντας όµως αρνητικές τιµές. Έτσι κατά τη χρονική στιγµή t 1 που η συνάρτηση Φ=Φ(t) παρουσιάζει σηµείο καµπής, η ένταση I επ θα παρουσιάζει ελάχιστη τιµή I min < 0. γ. Tη χρονική στιγµή t * ισχύει dφ/dt=0 που σηµαίνει ότι, τη στιγµή αυτή ισχύει I επ = 0. Σχήµα 13 δ. Για t * <t<t 2 ισχύει dφ/dt<0, αλλά η συνάρτηση dφ/dt είναι φθίνουσα, διότι η κλίση της καµπύλης στο χρονικό αυτό διάστηµα µειώνεται. Aυτό, σύµφωνα µε την σχέση (2) σηµαίνει ότι, η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος αυξάνεται διατηρώντας θετικές τιµές. ζ. Για t 2 <t<+ ισχύει dφ/dt<0, αλλά η συνάρτηση dφ/dt είναι αύξουσα στο χρονικό αυτό διάστηµα, οπότε η I επ µειώνεται προς το µηδέν διατηρώντας θετι κές τιµές. Eίναι προφανές ότι, τη χρονική στιγµή t 2 η κλίση της καµπύ λης παίρνει την µέγιστη τιµή της, που σηµαίνει ότι και η ένταση I επ παίρνει µέγιστη τιµή I max > 0. Mε βάση τα παραπάνω η γραφική παράσταση της έντα σης I επ σε συνάρτηση µε το χρόνο, είναι η καµπύλη του σχήµατος (13) ii) Kατά την κίνηση του µαγνήτη προς τα κάτω, µειώνεται, µέσω του έργου του βάρους m g, η βαρυτική του δυναµική ενέργεια µετατρεπόµενη κατά ένα µέρος σε ηλεκτρική ενέργεια στο δακτυλίδι και κατά το υπόλοιπο µέρος της σε κινητική ενέργεια του µαγνήτη, µέσω του έργου της συνισταµένης δύναµης που δέχεται. P.M. fysikos Ένας µικρός κυκλικός µεταλλικός βρόχος έχει ηλεκτρική αντίσταση και αµελητέο βάρος, κινείται δε µε σταθε ρή ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε τον γεωµετρικό άξονα ενός κυκλικού πηνίου πεπερασµένου µήκους, ο οποίος διέρ χεται από το κέντρο του βρόχου και είναι κάθετος στο επίπεδο του * Στο χρονικό διάστηµα (t 1,t * ) το διάγραµµα της συνάρτησης Φ=Φ(t) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, που σηµαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος της Φ=Φ(t) είναι αρνητική στο διάστηµα αυτό, δηλαδή η συνάρτηση dφ/dt είναι φθίνουσα.

15 Tο πηνίο διαρρέεται από ρεύµα σταθερής έντασης, οπότε δηµιουρ γεί µαγνητικό πεδίο τόσο στο εσωτερικό του όσο και εξωτερικά αυτού. H γραφική παράσταση της µαγνητικής ροής Φ, η οποία διέρχεται από τον βρόχο, σε συνάρτηση µε το χρόνο t φαίνεται στο σχήµα (15). Eάν τη χρονική στιγµή t=0, ο βρόχος βρίσκεται στο εσωτερικό του πηνίου και στο κέντρο του, να σχεδιάσετε µε ελεύθε ρη εκτίµηση και σε συνάρτηση µε το χρόνο, τα εξής διαγράµµατα: i) Tο διάγραµµα της επαγωγικής H.E.Δ. που δηµιουργείται στον βρόχο. ii) Tο διάγραµµα της ηλεκτρικής ισχύος του βρόχου. iii) Tο διάγραµµα του µέτρου της εξωτερικής δύναµης που πρέπει να εξασκείται στον βρόχο. Aκόµη να σχεδιάσετε τη διεύθυνση και τη φορά της δύναµης αυτής κατά µια τυχαία χρονική στιγµή, δίνοντας όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις. ΛYΣH: i) Kατά την κίνηση του µεταλλικού βρόχου µεταβάλλεται η µαγνη τική ροή που διέρχεται µέσα από την επιφάνεια του, µε αποτέλεσµα να δηµι ουργείται κατά µήκος αυτού επαγωγική H.E.Δ., η οποία κατά µιά οποιαδή ποτε χρονική στιγµή t, δίνεται από τη σχέση: E επ =-dφ/dt (1) Σχήµα 14 όπου dφ/dt η ταχύτητα µεταβολής (ρυθµός µεταβολής) της µαγνητικής ροής κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Aπό τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Φ=f(t) (σχ. 14) προκύπτουν τα εξής: α. Για 0 t t 1 η µαγνητική ροή Φ δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει dφ/dt=0, οπότε σύµφωνα µε την (1), θα ισχύει E επ = 0. β. Για t 1 <t t 2, η µαγνητική ροή Φ µειώνεται, δηλαδή ισχύει dφ/dt<0. Όµως η συνάρτηση dφ/dt στο χρονικό αυτό διάστηµα είναι φθίνουσα, διότι η κλί ση της καµπύλης µειώνεται, που σηµαίνει ότι η E επ αυξάνεται διατηρώντας θετικές τιµές. γ. Για t 2 <t<+ η µαγνητική ροή Φ εξακολουθεί να µειώνεται, δηλαδή ισχύ ει πάλι dφ/dt<0, αλλά η συνάρτηση dφ/dt στο χρονικό αυτό διάστηµα είναι

16 αυξουσα, διότι κλίση της καµπύλης αυξάνεται. Έτσι στο χρονικό αυτό διά στηµα η E επ, σύµφωνα µε την (1), θα διατηρεί θετικές τιµές, αλλά θα ελατ τώνεται. Eίναι προφανές ότι, τη χρονική στιγµή t 2 η E επ θα πάρει τη µέγιστη τιµή της E max >0. Όλα τα παραπάνω συνηγορούν ότι, η γραφική παράσταση της E επ σε συνάρτηση µε το χρόνο θα έχει τη µορφή της δεύτερης καµπύλης του σχήµατος (15) ii) H ηλεκτρική ισχύς P ηλ του µεταλλικού βρόχου, δίνεται κάθε στιγµή από τη σχέση: P ηλ = I επ2 (2) Σχήµα 15 όπου I επ η αντίστοιχη ένταση του επαγωγικού ρεύµατος που διαρρέει το βρόχο. Όµως, από τον νόµο του Ohm για κλειστό κύκλωµα ισχύει I επ = E επ /, οπότε η (2) δίνει: P ηλ = E επ2 / (3) H σχέση (3) σε συνδυασµό µε τη γραφική παράσταση της E επ, µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι, η γραφική παράσταση της P ηλ µε το χρόνο είναι κατά προσέγγιση η πρώτη καµπύλη γραµµή του σχήµατος (16). Σχήµα 16 iii) Kατά την κίνηση του µεταλλικού βρόχου, αυτός δέχεται από το µαγνη τικό πεδίο του κυκλικού πηνίου, λόγω του επαγωγικού ρεύµατος που τον

17 διαρρέει, δύναµη aplace F, η οποία είναι ελκτική (κανόνας του enz), ο φορέας της για λόγους συµµετρίας συµπίπτει µε τον άξονα του πηνίου, το δε µέτρο της είναι συνάρτηση της θέσης του βρόχου, δηλαδή εξαρτάται από το χρόνο. Για να εξασφαλίζεται, όµως η οµαλή κίνηση του βρόχου πρέπει κάθε στιγµή να εξασ κείται σ αυτόν εξωτερική δύναµη F ", ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς µε την F, µέσω του έργου της οποίας προσφέρεται στο βρόχο ενέργεια, που µετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε ηλεκτρική ενέργεια, δηλαδή κάθε στιγµή η ισχύς της F " είναι ίση µε την ηλεκτρική ισχύ του βρόχου, οπότε θα ισχύει: (3) P F" = P #$ F " v = E 2 # F " = E 2 # v (4) H σχέση (4) σε συνδυασµό µε τη γραφική παράσταση της E επ εγγυάται ότι, η γραφική παράσταση της F εξ σε συνάρτηση µε το χρόνο, είναι η δεύτερη καµ πύλη γραµµή του σχήµατος (16) P.M. fysikos Ένα κυκλικό πηνίο πεπερασµένου µήκους, διαρρέεται από ρεύµα σταθερής έντασης και είναι στερεωµένο µε τον άξονα του κατακόρυφο. Ένας µεταλλικός δακτύλιος, ηλεκτ ρικής αντίστ σης, µάζας m και ακτίνας λίγο µεγαλύτερης από την ακτίνα του πηνίου, περιβάλλει το πηνίο, ώστε το επίπεδό του να είναι οριζόντιο και το κέντρο του να είναι πάνω στον άξονα του πηνίου. Tη χρονική στιγµή t=0 ο δακτύλιος αφήνεται ελεύθερος στην κεντρική περιοχή του πηνίου. H µαγνητική ροή Φ που διέρχε ται µέσα από την επιφάνεια του δακτυλίου µεταβάλλεται µε το χρόνο t, σύµφωνα µε το διάγραµµα του σχήµατος (17). i) Nα δείξετε ότι, ο δακτύλιος εκτελεί µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση, µέχρις ότου εξέλθει από το µαγνητικό πεδίο του πηνίου. ii) Nα βρείτε τη σχέση που συνδέει κάθε στιγµή τα µέτρα της ταχύ τητας και της επιτάχυνσης του δακτυλίου, µε την ένταση του επα γωγικού ρεύµατος που κυκλοφορεί σ αυτόν. iii) Nα σχεδιάσετε µε ελεύθερη εκτίµηση, τη γραφική παράσταση της ηλεκτρικής ισχύος και της επιτάχυνσης του δακτυλίου, σε συνάρτηση µε το χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Tη χρονική στιγµή t=0 που ο µεταλλικός δακτύλιος αφήνεται ελεύθερος, η µόνη δύναµη που δέχεται είναι το βάρος του m g, υπό την επίδραση της οποίας αρχίζει να κινείται προς τα κάτω. Kατά την κίνηση του δακτυλίου θα µεταβάλλεται η µαγνητική ροή που διέρχεται µέσα από την επιφάνειά του, µε αποτέλεσµα να αναπτύσσεται κατά µήκος αυτού επα γωγική H.E.Δ. που προκαλεί σ αυτόν επαγωγικό ρεύµα. H συµβατική φορά του ρεύµατος αυτού, σύµφωνα µε τον κανόνα του enz είναι τέτοια ώστε, εξ αιτίας του να δέχεται από το µαγνητικό πεδίο του µαγνήτη δύναµη aplace F αντίρροπη της κίνησης του. H δύναµη αυτή, για λόγους συµµετ

18 ρίας, έχει φορέα που διέρχεται από το κέντρο του δακτυλίου και είναι κάθε τος στο επίπεδο του, το δε µέτρο της µεταβάλλεται µε το χρόνο. Για να κατα νοήσουµε τον τρόπο µεταβολής του µέτρου της F µε το χρόνο, πρέπει να βρούµε πως µεταβάλλεται µε το χρόνο η ένταση I επ του επαγωγικού ρεύ µατος. Aπό τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Φ=f(t), (σχ. 18) παρατη ρούµε τα εξής: Σχήµα 17 Σχήµα 18 α. Στο χρονικό διάστηµα 0 t t 1, η µαγνητική ροή Φ δεν µεταβάλλεται, δη λαδή ισχύει dφ/dt=0, που σηµαίνει ότι κατ' αυτό το διάστηµα δεν ανα πτύσ σεται στον δακτύλιο H.E.Δ. από επαγωγή, δηλαδή δεν κυκλοφορεί σ αυτόν επαγωγικό ρεύµα, οπότε η δύναµη aplace F επί του δακτυλίου θα είναι µηδενική. β. Στο χρονικό διάστηµα t 1 <t t 2 η µαγνητική ροή Φ µειώνεται, δηλαδή ισχύει dφ/dt<0. Oµως η συνάρτηση dφ/dt στο χρονικό αυτό διάστηµα είναι φθίνουσα διότι η κλίση της καµπύλης µειώνεται, που σηµαίνει ότι η επαγω γική H.E.Δ. στον δακτύλιο, σύµφωνα µε τη σχέση E επ =-dφ/dt αυξάνεται λαµβάνουσα θετικές τιµές. Άρα και η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος που διαρρέει τον δακτύλιο θα αυξάνεται, οπότε θα αυξάνεται και το µέτρο της δύναµης aplace F. γ. Στο χρονικό διάστηµα t 2 <t<+ η µαγνητική ροή συνεχίζει να µειώνεται δηλαδή ισχύει dφ/dt<0, αλλά η συνάρτηση dφ/dt είναι αυξουσα, διότι κλίση της καµπύλης αυξάνεται. Eτσι στο χρονικό αυτό διάστηµα η E επ θα διατηρεί θετικές τιµές, αλλά θα ελαττώνεται, µε αποτέλεσµα να µειώνεται και η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος στον δακτύλιο. Aυτό σηµαίνει ότι και το µέτρο της F θα µειώνεται κατά το χρονικό αυτό διάστηµα, τείνωντας προς το µηδέν. Eφαρµόζοντας τώρα για τον δακτύλιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, θα έχουµε τη σχέση:

19 mg - F = ma a = g - F /m (1) όπου α το µέτρο της επιτάχυνσης του δακτυλίου τη στιγµή αυτή. Aπό τη σχέση (1) και συνδυασµό µε όσα αναφέρθηκαν για τη µεταβολή του µέτρου της F προκύπτουν τα εξής: Σχήµα Για 0 t t 1 ο δακτύλιος εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτά χυνση ίση προς g, αφού F =0. 2. Για t 1 <t t 2 ο δακτύλιος εκτελεί επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση της οποίας το µέτρο ελαττώνεται, αφού το µέτρο της F αυξάνεται. 3. Για t 2 <t<+ ο δακτύλιος εκτελεί επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση που το µέτρο της αυξάνεται προς την τιµή g, αφού το µέτρο της F µειώνε ται. Eίναι προφανές ότι, τη χρονική στιγµή t 1 το µέτρο της επιτάχυνσης του δακτυλίου θα έχει τη µικρότερη τιµή του a min. Mε βάση τα παραπάνω συµπεραίνου µε ότι, η κίνηση του δακτυλίου στο σύνολό της είναι µη οµαλά επιταχυνόµενη, η δε γραφική παράσταση της συνάρτησης a=f(t) είναι η καµπύλη γραµµή του σχήµατος (19) ii) Aς εξετάσουµε το δακτύλιο µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt. βeάν du είναι η µείωση της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του δακτυλίου στον χρόνο dt, dk η αντίστοιχη αύξηση της κινητικής του ενέργειας και dw ηλ η αντίστοιχη ηλεκτρική ενέργεια που παράχθηκε στον δακτύλιο, τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ισχύει η σχέση: du = dk + dw ηλ mg dh = dk + I επ2 dt mg dh $ # & = dk $ # & + I 2 " dt % " dt % " (2) όπου dh η κατακόρυφη µετατόπιση προς τα κάτω του δακτύλιου στο χρόνο dt και I επ η ένταση του επαγωγικού ρεύµατος που τον διαρρέει, κατά τη χρο νική στιγµή t. Όµως το πηλίκο dh/dt αποτελεί το µέτρο v της ταχύτητας του δακτυλίου τη στιγµή t, το δε πηλίκο dk/dt τον αντίστοιχο ρυθµό αύξη σης της κινητικής ενέργειας του δακτυλίου. Eξάλλου, σύµφωνα µε το θεώρη µα κινητικής ενέργειας-έργου, ισχύει κατά το χρόνο dt η σχέση: dk = dw F" dk = F "dh

20 dk dt = m # " dh dt $ & % dk dt = mv (3) Σχήµα 20 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε τη σχέση: mgv = mav + I επ2 (g - a)mv = I επ2 (4) iii) H ηλεκτρική ισχύς P ηλ του δακτυλίου δίνεται κάθε στιγµή από τη σχέση P ηλ = I επ2, η οποία σε συνδυασµό µε όσα αναφέρθηκαν προηγουµένως για τη µεταβολή της έντασης Iεπ του επαγωγικού ρεύµατος, µας επιτρέπουν να ισχυριστούµε ότι, η γραφική παράσταση της P ηλ σε συνάρτηση µε το χρόνο t, είναι κατά προσέγγιση η καµπύλη γραµµή του σχήµατος (20). P.M. fysikos