Αγώνες αυτοκινήτου σε πίστα

Transcript

1 Αγώνες αυτοκινήτου σε πίστα Αυτοκίνητο τρέχει στην πίστα που φαίνεται και έχει κυκλικά τόξα ένα ακτίνας 80m και ένα 40m. Αν οδηγός τρέχει ένα πλήρη κύκλο με σταθερή ταχύτητα 50m/s (80km/h) συγκρίνετε την εφαπτομενική του επιτάχυνση στο Α με αυτή στο Β. Είναι ίσες με μηδέν Αν οδηγός τρέχει ένα πλήρη κύκλο με σταθερή ταχύτητα 50m/s (80km/h) συγκρίνετε την κεντρομόλο του επιτάχυνση στο Α με αυτή στο Β. a κ A υ r A a υ κ B Είναι μεγαλύτερη στο Β rb

2 Αγώνες αυτοκινήτου σε πίστα Αυτοκίνητο τρέχει στην πίστα που φαίνεται και έχει κυκλικά τόξα ένα ακτίνας 80m και ένα 40m. Αν οδηγός τρέχει ένα πλήρη κύκλο με σταθερή ταχύτητα 50m/s (80km/h) συγκρίνετε την γωνιακή του ταχύτητα στο Α με αυτή στο Β. υ υ ω A ω B Είναι μεγαλύτερη στο Β r r A B

3 Αγώνες αυτοκινήτου σε πίστα Έστω ότι ο οδηγός μπαίνει στη στροφή της πλευράς Α με 40m/s κινούμενος με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού και βγαίνει με 60m/s σε 5s έχοντας σταθερή επιτάχυνση. Βρείτε: Ποια η κεντρομόλος επιτάχυνση όταν η ταχύτητα είναι 50m/s ; a εϕ a 50 A ra 80 κ υ m,5 s Ποια η εφαπτομενική επιτάχυνση; υ f υi m 4 t 5 s Ποια η συνολική επιτάχυνση; a aκa + aεϕ,5 + 4 m,5 s

4 Αγώνες αυτοκινήτου σε πίστα Έστω ότι ο οδηγός μπαίνει στη στροφή της πλευράς Α με 40m/s κινούμενος με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού και βγαίνει με 60m/s σε 5s έχοντας σταθερή επιτάχυνση. Βρείτε: Ποια η γωνιακή ταχύτητα όταν η ταχύτητα είναι 50m/s ; υ 50 ω 0, 65 r A 80 Ποια η γωνιακή επιτάχυνση; a α εϕ γ ra 4 80 rad s rad 0,05 s Πόσο χρόνο μετά που μπήκε στη στροφή η ταχύτητα είναι 50m/s ; ω 40 o 0, o r 5 A 80 υ rad s ω ωo 0,65 0,5 ω ωo + αγ t t, 5s α 0,05 γ

5 Αλυσίδα ποδηλάτου Αν η αλυσίδα δεν ολισθαίνει συγκρίνετε τις γωνιακές ταχύτητες των οδοντωτών τροχών Όσο μικρότερη η ακτίνα του μικρού τροχού σε σχέση με του μεγάλου τόσο περισσότερες περιστροφές κάνει το λεπτό. Τα δόντια είναι τοποθετημένα σε ισαπέχοντα διαστήματα και στους τροχούς

6 Αλυσίδα ποδηλάτου Αν η αλυσίδα δεν ολισθαίνει συγκρίνετε τις γωνιακές ταχύτητες των οδοντωτών τροχών υ ποδ Ας υποθέσουμε ότι το μπροστινό και το πίσω γρανάζι έχουν τον ίδιο αριθμό δοντιών. Αν κάνουμε πετάλι με γωνιακή ταχύτητα ω 60rpm και το πίσω γρανάζι θα γυρίζει με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω 60rpm. Αν ο πίσω τροχός έχει διάμετρο 70cm, η ταχύτητα του ποδηλάτου θα είναι: rev π ( rad) ω r 60 0,5m,m / s min 60s / min 8km / h Αν όμως το μπροστινό γρανάζι είχε τριπλάσια δόντια από το πίσω τότε αν κάναμε πάλι πετάλι με ω 60rpm, το πίσω γρανάζι θα γύριζε με τριπλάσια γωνιακή ταχύτητα ω 80 rpm. Άρα η ταχύτητα του ποδηλάτου θα ήταν τριπλάσια δηλαδή 4km/h.

7 Αλυσίδα ποδηλάτου

8 9 η Εβδομάδα Περιστροφική κίνηση αίτια που την προκαλούν Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Ροπή αδράνειας Υπολογισμός ροπής αδράνειας Ροπή δύναμης Ροπή και γωνιακή επιτάχυνση

9 Κινητική ενέργεια περιστροφής Κινητική ενέργεια υλικού σημείου που κινείται με ταχύτητα υ. K mυ K Iω Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής σώματος που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω

10 Κινητική ενέργεια περιστροφής Ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται μπορεί να θεωρηθεί ως μια ομάδα από σωμάτια. Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι: K K m υ + ( ) m r + m r +... ω m υ +... K m r ω + m r ω +... Το άθροισμα: ( ) m r + m r + m r I... n i i i Το λέμε ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής και μας δείχνει πως κατανέμεται η μάζα του σώματος γύρω από τον άξονα.

11 Κινητική ενέργεια περιστροφής Η ροπή αδράνειας I στην περιστροφική κίνηση είναι το αντίστοιχο της μάζας m στην κίνηση υλικού σημείου. Όπως η μάζα αποτελεί μέτρο της αδράνειας του σώματος δηλαδή δείχνει πόσο αντιδρά το σώμα στη μεταβολή της κινητικής του κατάστασης έτσι και η ροπή αδράνειας γύρω από συγκεκριμένο άξονα δείχνει πόσο αντιδρά το σώμα όταν πάμε να το περιστρέψουμε γύρω από αυτόν τον άξονα.

12 Κινητική ενέργεια περιστροφής K Iω Δύο σφαίρες ίδιας μάζας και ακτίνας που η μια είναι κούφια και η άλλη γεμάτη έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Συγκρίνετε τις περιστροφικές κινητικές τους ενέργειες. Η κούφια σφαίρα έχει τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας άρα και τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια.

13 Ροπή αδράνειας Η ροπή αδράνειας σώματος εξαρτάται από τον άξονα γύρω από τον οποίο θέλουμε να περιστρέψουμε το σώμα. Σε ποια από τις δύο περιπτώσεις η ροπή αδράνειας είναι μεγαλύτερη;

14 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Για διάκριτες μάζες έχουμε: ( ) m r + m r + m r I... i i Το σύστημα περιστρέφεται γύρω από τον y άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω. Ποια η ροπή αδράνειας και η κινητική του ενέργεια; n i I n y miri Ma + Ma i K I y ω Ma ω Ma Ma Το σύστημα περιστρέφεται στο xy επίπεδο γύρω άξονα που περνά από το κέντρο του (z άξονα) με γωνιακή ταχύτητα ω. Ποια η ροπή αδράνειας και η κινητική του ενέργεια; ω

15 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Για διάκριτες μάζες έχουμε: ( ) m r m r m r I n i i i Το σύστημα περιστρέφεται στο xy επίπεδο γύρω άξονα που περνά από το κέντρο του (z άξονα) με γωνιακή ταχύτητα ω. Ποια η ροπή αδράνειας και η κινητική του ενέργεια; I n z miri Ma + Ma + mb + mb Ma + mb i K I z Ma + Ma + ω ( mb ) ω ( mb ) ω

16 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Για συνεχή κατανομή μάζας έχουμε: I r dm

17 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Για συνεχή κατανομή μάζας έχουμε: dm r I L dx M dm dx dm L M λ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) h Lh L M h h Lh L h L L M h h L L M x L M dx x L M dx x dm x I h L h h L h h L h λ

18 Υπολογισμός ροπής αδράνειας I M + ( L Lh h ) Αν ο άξονας περιστροφής περνά από το άκρο της ράβδου δηλ. h0, I ML Αν ο άξονας περιστροφής περνά από το κέντρο της ράβδου δηλ. hl/, I ML

19 Υπολογισμός ροπής αδράνειας I r dm dm ρ dm ρdv ρπrldr dv Αλλά M ρ M ρπl( R R V ) I M ( R + R )

20 Υπολογισμός ροπής αδράνειας I M ( R + R Αν ο κύλινδρος είναι συμπαγής με ακτίνα R (R 0 και R R) ) I Αν ο κύλινδρος είναι λεπτότοιχος σαν σωλήνα, με ακτίνα R (R R R) MR I MR

21 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Θεώρημα παράλληλων αξόνων Icm I p Ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Ροπή αδράνειας ως προς άξονα παράλληλο προς τον προηγούμενο d Απόσταση των δύο αξόνων

22 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Θεώρημα παράλληλων αξόνων

23 Προσομοίωση βαρύτητας Στο διαστημικό λεωφορείο που βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη γη οι αστροναύτες βρίσκονται συνεχώς σε κατάσταση ελεύθερης πτώσης. Βρίσκονται σε κατάσταση έλλειψης βαρύτητας

24 Προσομοίωση βαρύτητας Θα μπορούσαμε να έχουμε ένα διαστημικό σταθμό σε τροχιά γύρω από τη γη όπου όσοι ζουν σε αυτόν δε θα αισθάνονται αβαρείς;

25 Προσομοίωση βαρύτητας Θα μπορούσαμε να έχουμε ένα διαστημικό σταθμό σε τροχιά γύρω από τη γη όπου όσοι ζουν σε αυτόν δε θα αισθάνονται αβαρείς; Ναι αν ο σταθμός περιστρεφόταν

26 Προσομοίωση βαρύτητας Αν ο σταθμός περιστρεφόταν με γωνιακή ταχύτητα 5rpm και η ακτίνα του ήταν 8m ποια επιτάχυνση θα αισθάνονταν οι ένοικοι του σταθμού; rpm π ω 5 5 rad 0, 60s 5 r s a k υ ak ω R R a k m 0,5 8 ak 4,9 s g

27 Προσομοίωση βαρύτητας Αν ο σταθμός περιστρεφόταν με γωνιακή ταχύτητα 5rpm και η ακτίνα του ήταν 8m ποια επιτάχυνση θα αισθάνονταν οι ένοικοι του σταθμού; a k m 4,9 s g Άρα αν ο σταθμός είχε τη διπλάσια ακτίνα δηλαδή 6m οι άνθρωποι θα αισθάνονταν την κανονική βαρύτητα g που θα είχαν και στη γη. Θα περπατούσαν και θα δούλευαν στην εσωτερική επιφάνεια του σταθμού όπως και στην επιφάνεια της γης.

28 Προσομοίωση βαρύτητας Η περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα 5rpm όμως είναι γρήγορη και δημιουργεί πρόβλημα στους ανθρώπους. Μια περιστροφή rpm θα ήταν αρκετά πιο ανεκτή αλλά απαιτεί διαμέτρους περίπου km.