Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom
|
|
- Ἄλκανδρος Γαλάνη
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad, 2013.
2 Sadržaj 1 Uvod 4 2 Sergej Soboljev 6 3 Lebegova mera i integral Osnovni pojmovi L p prostori Distribucije i slabi izvodi Distribucije Pojam slabog izvoda Furijeova transformacija i temperirane distribucije Prostori Soboljeva Definicija i osobine Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom Prostori Soboljeva sa realnim indeksom H s (R n ), H0(R s n ) H s (Γ) H s (Ω), H0(Ω) s Primer primene - Nehomogeni granični problem Motivacija Definicija problema za eliptičnu jednačinu Adjungovani operator i Formula Grina
3 6.4 Postojanje rešenja u prostorima sa pozitivnim indeksom Postojanje rešenja u prostorima sa negativnim indeksom Zaključak 71 3
4 Glava 1 Uvod Prostori Soboljeva imaju veoma važnu ulogu u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina, analize, matematičke fizike, diferencijalne geometrije, kao i u drugim oblastima matematike. Ovi prostori se definišu preko L p prostora, pa su oni opisani u prvom delu rada. Za ovo su bili potrebni osnovni pojmovi teorije mere i definicija Lebegovog integrala. Videćemo prednosti Lebegovog integrala nad Rimanovim, kao i neke lepe osobine L p prostora. Zatim je neophodno definisati prostore distribucija i slabe izvode, što je ura deno u narednom, četvrtom poglavlju. Poglavlje pet je srž rada - definicija prostora Soboljeva i predstavljanje značajnih osobina i teorema. Definisani su prvo prostori sa pozitivnim indeksom - prostori H p,m, a zatim se definicija proširuje na prostore sa negativnim indeksom: H p, m, a potom i na prostore sa realnim indeksom: H s. Na kraju poglavlja su opisani prostori Soboljeva sa specifičnim domenom, što je zapravo uvod u poslednje poglavlje - opis nehomogenog graničnog problema. U poslednjem poglavlju je na primeru eliptične jednačine predstavljena primena prostora Soboljeva u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina. Definisan je granični problem za eliptičnu jednačinu i potom je pokazano kako se, u zavisnosti od regularnosti početnih uslova, rešenje ovog problema može naći u prostorima H s (Ω) ili H s (Ω), gde će fokus biti na ovom poslednjem. Kako je pro- 4
5 stor H s (Ω) zapravo dual prostora H s (Ω) značajnu ulogu odigraće dualni (adjungovani) operatori i njima će biti posvećena odre dena pažnja. Za početak, ipak, recimo nešto o tvorcu - Sergeju Soboljevu. 5
6 Glava 2 Sergej Soboljev Sergej Soboljev ro den je u Sankt Peterburgu. Već sa 12 godina je bio upoznat sa elementarnom algebrom, geometrijom i trigonometrijom diplomirao je na lenjingradskom fakultetu za matematiku i fiziku. Nakon diplomiranja pozvan je da radi na Seizmološkom institutu, gde je, za deceniju rada, rešio mnoge važne probleme matematičke fizike, a tako de je uveo nove teorije i konstrukcije. Sa samo 25 godina postao je dopisni član Akademije nauka u Sovjetskom Savezu. Za vreme Drugog svetskog rada bio je uključen u realizaciju projekta za nuklearno oružje i bio je postavljen za zamenika direktora na Institutu za atomsku energiju. Neki od najbitnijih pojmova koje je Soboljev uveo su pojam slabog rešenja, distribucije, prostori Soboljeva i Soboljeva nejednakost. Njegova definicija slabog rešenja je trijumfovala nad ostalim jer je mogla da se prilagodi brojnim problemima, a kako je znatno oslabila uslov glatkosti - mnoge klase funkcija sa prekidima su postale dostupne. 1935/36 Soboljev je uveo pojam distribucije, mada nije koristio termin distribucija. Pod ovim je podrazumevao funkcionele nad prostorom C k funkcija sa kompaktnim nosačem. Mnogi drugi naučnici su dalje razvili teoriju distribucija. Ispostavilo se da su distribucije u bliskoj vezi sa mnogim poljima matematičke analize. Jedan od najvažnijih problema matematičke fizike 20-tog veka 6
7 je bilo dokazivanje dobre postavljenosti Dirihleovog i Nojmanovog problema za Laplasovu jednačinu kao i uopštenije eliptične jednačine drugog reda. Soboljev je rešio centralni problem: pronašao je adekvatne prostore funkcija: prostore Soboljeva. Zajedno sa Soboljevim nejednakostima, ovi prostori su imali fundamentalnu ulogu u teoriji PDJ-a, matematičke fizike, diferencijalne geometrije i drugih polja matematičke analize. 7
8 Glava 3 Lebegova mera i integral 3.1 Osnovni pojmovi Navešćemo neke pojmove teorije mere na R n. Definicija Kolekcija Σ podskupova od R n naziva se sigma algebra ako važi sledeće: 1. R n Σ 2. Ako A Σ onda A C = {x R n : x / A} Σ 3. Ako A j Σ, j = 1, 2,... onda j=1 A j Σ Skup iz Σ zove se merljiv skup. Svaki otvoren skup iz R n je merljiv. Definicija Mera µ na Σ je funkcija iz Σ u [0, ] za koju važi: µ ( ) A j = µ(a j ) j=1 j=1 za bilo koje A j Σ takve da A j Ak = za j k. Definicija Ako je A = {x R n a j x j b j, j = 1,..., n} interval u R n onda je Lebegova mera skupa A: n m(a) = (b j a j ). j=1 8
9 Ako je E merljiv skup onda je m(e) = inf{m(u); U E, U je otvoren}. Napomena Koristićemo izraz skoro svuda što znači svuda osim na skupu mere nula. Definicija Funkcija koja slika prostor sa σ -algebrom u topološki prostor je merljiva ako je inverzna slika otvorenog skupa merljiv skup. Neka A R n. Funkcija χ A (x) definisana sa { 1 ako x A, χ A (x) = 0 ako x / A. Neka je sada f : A R n R +. s = m j=1 a jχ Aj, gde je A j A merljiv skup i a j R, ćemo nazivati jednostavnom funkcijom. Definišemo m s(x)dx = a j µ(a j ) A i f(x)dx = sup s(x)dx, A A gde se supremum uzima po merljivim, jednostavnim fukcijama s koje su jednaki nuli van A i zadovoljavaju: 0 s(x) f(x) na A. Ako f uzima vrednosti u R korisimo: f = f + f gde su f + = max(f, 0) i f = min(f, 0) merljive i nenegativne. Lebegov integral realne funkcije je: f(x) = f + (x)dx f (x)dx A A Ako je ovaj integral konačan kažemo da je funkcija (Lebeg) integrabilna na A. Klasa ovakvih funkcija se označava sa L 1 (A). Sada možemo definisati i Lebegov integral kompleksne funkcije: j=1 A 9
10 Definicija Neka je f = u + iv gde su u, v realne funkcije (f je merljiva ako i samo ako su u, v merljive). f L 1 (A) ako f = (u 2 + v 2 ) 1/2 L 1 (A). Za takvo f L 1 (A) Lebegov integral je: f(x) = u(x)dx + i v(x)dx. A A A Lako je pokazati da f L 1 (A) akko u, v L 1 (A). Bitna teorema vezana za ove prostore je: Teorema (O dominantnoj konvergenciji) Neka je A R n merljiv skup i {f n } kovergentan niz kompleksnih merljivih funkcija na A. Ako postoji funkcija g L 1 (A) takva da je f n (x) g(x) za svako n i za svako x A onda lim n A f n (x)dx = A lim n f n(x)dx Teorema Neka je f : [a, b] R ograničena. Tada ako je f Riman integrabilna, onda je i Lebeg integrabilna i Rimanov integral funkcije f je jednak Lebegovom: b f(x)dx = f(x)dx a Za razliku od Riman integrabilnih funkcija, Lebeg integralne funkcije ne moraju biti ograničene. Tako de interval na kojem integriramo može biti neograničen. Tako svaka funkcija za koju Rimanov integral: 1 ɛ [a,b] f(x) dx ima konačnu graničnu vrednost kada ɛ 0 je Lebeg integrabilna na [0, 1], štaviše: 1 f(x)dµ = lim f(x)dx. [0,1] ɛ 0 ɛ 10
11 Tačnije, svaki apsolutno konvergentan nesvojstveni integral postoji kao Lebegov integral. Treba napomenuti da nesvojstveni integrali 1 0 f(x)dx nisu Lebegovi u slučaju kada ili 0 f(x)dx Na primer, 1 a lim f(x) dx = ili lim f(x) dx =. ɛ 0 ɛ a 0 0 sin(x) dx = x i Lebegov integral funkcije sin(x) x ne postoji. Ali, Rimanov integral konvergira: sin(x) x dx = π L p prostori 0 Uvodni pojmovi Označimo sada sa Ω otvoren podskup od R n. Sa indukovanom topologijom iz R n ovo je potprostor čiji su otvoreni skupovi istovremeno otvoreni i u R n. U ovom poglavlju biće nam potrebno i nekoliko sledećih pojmova. Ako G R n označavamo sa Ḡ zatvaranje skupa G u Rn. Pisaćemo G Ω ako Ḡ Ω i Ḡ je kompaktan (ograničen) podskup od R n. C m (Ω), gde m N 0 je skup funkcija koje su definisane nad Ω i imaju neprekidne sve izvode zaključno sa redom m. Definicija Nosač neprekidne funkcije f : Ω C je adherentan skup za skup {x Ω; f(x) 0}. Nosač označavamo sa suppf. 11
12 Definicija Podskup C m 0 (Ω) od C m (Ω) je skup funkcija čiji su nosači kompaktni u Ω (supp f je ograničen i supp f Ω). Definicija Funkcija u definisana skoro svuda na Ω je lokalno integrabilna na Ω ako u L 1 (A) za svaki merljiv skup A Ω. Pišemo u L 1 loc (Ω) Neki pojmovi funkcionalne analize Neka su X i Y metrički prostori. Linearna funkcija (operator) L iz X u Y je ograničena ako postoji M > 0 tako da x X Lx Y M x X. L je neprekidna ako i samo ako je ograničena. Skup svih linearnih funkcija iz X u Y se označava sa L(X, Y ). Norma u ovom prostoru je data sa: L = inf{m 0 : Lx Y M x X x X}. (3.1) Ako je Y kompletan, L(X, Y ) je Banahov. Funkcionela nad X je funkcija koja slika X C. Dual od X, u oznaci X, je skup svih linearnih, neprekidnih funkcionela nad X. X sa dualnom normom (3.1) je Banahov prostor. Ako je X Y i operator inkluzije je neprekidan, tj. iz x n x u X sledi x n x u Y, onda Y X u smislu da restrikcija funkcionele iz Y na X pripada X. Homeomorfizam je neprekidna bijekcija takva da je njena inverzna funkcija tako de neprekidna. Homeomorfizmi očuvavaju topološke osobine prostora. Injekcija f iz X u Y koja je homeomorfizam izme du X i f(x) naziva se potapanje, obeležavamo je sa X Y. Intuitivno, potapanje nam dopušta da tretiramo X kao podskup od Y. Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori. Preslikavanje f : X Y se naziva izometrija ako a, b X važi d Y (f(a), f(b)) = d X (a, b). 12
13 Svaka izometrija je automatski injekcija i neprekidno preslikavanje (potapanje). Ako je izometrija izme du X i Y sirjektivna, kažemo da su X i Y izometrični. Neka je (X, d X ) metrički prostor. Metrički prostor (Y, d Y ) je kompletiranje X ako i samo ako: Y je kompletan postoji f : X Y izometrija f[x] = Y. Definicija Definišimo sada L p prostore: Definicija Sa L p (Ω) označavamo prostor merljivih kompleksnih funkcija u definisanih na Ω za koje važi: u(x) p dx < (3.2) Ω Napomena U L p (Ω) identifikujemo funkcije koje su jednake skoro svuda na Ω. Stoga su elementi prostora L p (Ω) klase ekvivalencije merljivih funkcija koje zadovoljavaju (3.2), gde su dve funkcije ekvivalentne ako su jednake skoro svuda na Ω. Ipak, zbog jednostavnosti poistovećujemo klase sa elementom klase i pišemo da u L p (Ω) ako u zadovoljava (3.2) i kažemo da je u = 0 ako je u = 0 skoro svuda na Ω. L p (Ω) je vektorski prostor. Funkcionela p definisana sa ( 1/p u p = u(x) dx) p (3.3) je norma u L p (Ω) za 1 p <. Navešćemo i dve bitne nejednakosti: Ω 1. Helderova nejednakost: Neka je 1 p, p = p p 1 i u L p (Ω), v L p (Ω) tada uv L 1 (Ω) i važi u(x)v(x) dx u p v p. Ω 13
14 2. Nejednakost Minkovskog: Ako 1 p < onda u + v p u p + v p Definicija Merljiva funkcija u na Ω je esencijalno ograničena ako postoji konstanta K takva da je u(x) K skoro svuda na Ω. Najmanje takvo K je esencijalni supremum od u na Ω i označava se ess sup x Ω u(x). Sa L (Ω) označavamo vektorski prostor esencijalno ograničenih funkcija na Ω, a ponovo identifikujemo funkcije koje su skoro svuda jednake na Ω. Norma na L (Ω) je: u = ess sup u(x) x Ω Teorema L p (Ω) za 1 p je Banahov prostor. L 2 (Ω) je Hilbertov prostor sa skalarnim proizvodom: (u, v) = u(x)v(x)dx. Ω Teorema L p (Ω) je separabilan za 1 p <. Ako je 1 < p < onda je L p (Ω) refleksivan. Teorema Neka je Ω dx = µ(ω) < i 1 p q. Ako u L q (Ω) onda u L p (Ω) i odnosno važi u p ( µ(ω) ) 1/p 1/q u q L q (Ω) L p (Ω). Dokaz Dokaz za p = q je jasan. Neka 1 p < q i u L q (Ω). Tada u p L q/p (Ω) i Hölderova nejednakost daje: ( ) p/q ( ) 1 p/q u(x) p dx u(x) q/p dx 1dx Ω Ω Ω ( ) p/q ( ) 1 p/q u(x) q dx 1dx Ω 14 Ω
15 što je ekvivalentno sa u p ( µ(ω) ) 1/p 1/q u q Slično se može pokazati da je L p (Ω) L 1 loc (Ω) za 1 p i svaki domen Ω (zbog konačnosti Lebegove mere kompaktnog skupa). Vratimo se na Helderovu nejednakost. Eksponent p naziva se dualni za p, sada ćemo i opravdati taj naziv. Helderova nejednakost pokazuje da svaka funkcija g L p (Ω) generiše neprekidnu linearnu funkcionelu nad L p (Ω) datu sa: l(f) = f(x)g(x)dx. (3.4) Ω Može se pokazati i da je svaka neprekidna linearna funkcionela nad L p (Ω) oblika (3.4): Teorema Neka je 1 p < i 1/p + 1/p = 1. Tada je (L p (Ω)) = L p (Ω) u sledećem smislu: za svaku neprekidnu linearnu funkcionelu l na L p (Ω) postoji jedinstveno g L p (Ω) takvo da l(f) = f(x)g(x)dx, f L p (Ω). Ω Šta više, l = g p ( označava dualnu normu). 15
16 Glava 4 Distribucije i slabi izvodi 4.1 Distribucije Sa α ćemo označavati multiindeks: α = {α 1,..., α n }, α = α α n, a D α će označavati D α = α α n x α xα n n Tako de, sa x α, gde je x R n, ćemo označiti x α = x α xα n n. Kažemo da niz {φ n } C 0 (Ω) konvergira u smislu prostora D(Ω) ka funkciji φ C 0 (Ω) ako su zadovoljeni sledeći uslovi: (i) postoji skup K Ω takav da supp φ n K za svako n (što implicira suppφ K) i (ii) lim n D α φ n (x) = D α φ(x) uniformno na K za svaki multiindeks α. Odnosno važi φ n φ C m (Ω) ako j m N 0 gde C m (Ω) označava normu u prostoru C m (Ω) definisanu sa f C m (Ω) = sup D α f(x) < x Ω α m (sa kojom je ovaj prostor Banahov). Dakle prostor C 0 (Ω) sa gore definisanom konvergencijom označavamo sa D(Ω) a njegove elemente - test funkcije. 16
17 Definicija Neprekidna linearna funkcionela nad D(Ω) naziva se distribucija. Prostor distribucija označavamo sa D (Ω), on je dakle dual prostora D(Ω), a distribucije preslikavaju D(Ω) u C. Neprekidnost važi u nizovnom smislu: Koristimo oznaku: T (φ j ) T (φ) za j kada god φ j D φ T : φ < T, φ >. U odnosu na uobičajene operacije sabiranja i množenja, D (Ω) čini vektorski postor nad C: < S + T, φ >=< S, φ > + < T, φ >, φ D(Ω) < ct, φ >= c < T, φ >, φ D(Ω) Konvergencija u prostoru D (Ω) je definisana na sledeći način: T n T in D (Ω) ako i samo ako < T n, φ > < T, φ > u C za svako φ iz D(Ω). Definicija Prostor distribucija A D (Ω) naziva se normalan prostor distribucija nad Ω ako je C 0 (Ω) gust u A i ako je identičko preslikavanje D(Ω) A neprekidno (tj. iz u n u u D(Ω) sledi u n u u A). Dual prostora A smatramo potprostorom od D (Ω) (restrikcije sa A na D(Ω) su distribucije). Regularne distribucije Svakoj funkciji u L 1 loc (Ω) odgovara distribucija T u D(Ω) definisana sa: T u = u(x)φ(x)dx, φ D(Ω). (4.1) Ω 17
18 Jasno ovako definisano T u je linearna funkcionela na D(Ω). Da bi pokazali da je i neprekidna pretpostavimo da φ n φ u D(Ω). Onda postoji K Ω takav da sup(φ n φ) K za n = 1, 2, 3... Stoga: T u (φ n ) T u (φ) sup x K φ n (x) φ(x) u(x) dx Pošto φ n φ onda desna strana teži nuli, pa je T neprekidno. Ovakve distribucije nazivaju se regularne distribucije. Napomena Nije svaka distribucija regularna. Ako na primer pretpostavimo da 0 Ω, lako se može pokazati da ne postoji lokalno integrabilna funkcija δ takva da za svako φ D(Ω) važi: δ(x)φ(x)dx = φ(0). S druge strane, lako je videti da je Ω δ(φ) = φ(0) neprekidna, linearna funkcionela na D(Ω), tj. distribucija. Napomena Funkciju u poistovećujemo sa regularnom distribucijom T u. Kako je L p (Ω) L 1 loc (Ω) za svaki domen Ω, prostor L p (Ω) je tako de prostor (regularnih) distriucija. 4.2 Pojam slabog izvoda Neka u C 1 (Ω) i φ D(Ω). Kako je φ jednaka nuli van nekog kompaktnog skupa u Ω, parcijalnom integracijom po promenljivoj x j dobijamo: Ω ( x j u(x))φ(x)dx = Ω K u(x)( x j φ(x))dx. Slično, parcijalnom integracijom α puta dolazimo do: (D α u(x))φ(x)dx = ( 1) α u(x)d α φ(x)dx. Ω 18 Ω
19 ako u C α (Ω). Ovo je motivacija za uvo denje sledeće definicije izvoda D α T distribucije T : (D α T )(φ) = ( 1) α T (D α φ). Pokažimo da je ovako definisan izvod distribucije tako de distribucija. Kako D α φ D(Ω) za svako φ D(Ω), D α T jeste funkcionela na D(Ω). Jasno D α T je linearno. Pokažimo još da je neprekidno. D(Ω) Neka φ j φ. Tada je supp(d α φ j ) supp(φ j ) K za neki kompaktan podskup K od Ω. Tako de φ j φ C m (Ω) 0 D α φ j D α φ C m (Ω) 0 Sada znamo da T (D α φ j ) T (D α φ) pa sledi da D α T (φ j ) D α T (φ). Dakle svaka distribucija ima izvode proizvoljnog reda u D (Ω). Štaviše, preslikavanje D α iz D (Ω) u D (Ω) je neprekidno. Ako T n T u D (Ω) i ako je φ D(Ω) onda D α T n (φ) = ( 1) α T n (D α φ) ( 1) α T (D α φ) = D α T (φ) Sada ćemo uvesti pojam slabog izvoda lokalno integrabilne funkcije. Neka u L 1 loc (Ω). Tada može ali ne mora postojati funkcija v α L 1 loc (Ω) takva da je T v α = D α (T u ) u D (Ω). Ako takva v α postoji ona je jedinstvena do na skup mere nula i zove se slabi ili distribucioni parcijalni izvod od u i označava se sa D α u. Dakle D α u = v α u slabom (distributivnom) smislu ako v L 1 loc (Ω) zadovoljava: v α (x)φ(x)dx = ( 1) α u(x)d α φ(x)dx. Ω Ako u ima izvod u klasičnom smislu, onda je to izvod i u distributivnom smislu. S druge strane, ako lokalno integrabilna funkcija u ima slabi izvod, onda je ona skoro svuda diferencijabilna i u tim tačkama je slabi izvod jednak jakom. 19 Ω
20 Primer Neka je Ω = R i u(x) = x. Ova funkcija nije diferencijabilna u nuli, ali videćemo da ima slabi izvod. Neka φ D(R). = (xφ(x)) x=0 x= + Dakle, je slabi izvod od x. 0 x φ (x)dx = 0 xφ (x)dx + φ(x)dx + (xφ(x)) x= x=0 0 0 xφ (x)dx φ(x)dx (parcijalna integracija) = 1, za x > 0, sgn(x) = 0, za x = 0, 1, za x < 0 sgn(x)φ(x)dx 4.3 Furijeova transformacija i temperirane distribucije Definicija Neka je n N. S(R n ) = {φ C (R n ) : φ k,l < k N 0, l N 0 } gde je φ k,l = sup (1 + x 2 ) k/2 D α φ(x). x R n α l Kažemo da niz {φ j } j=1 S konvergira u S ka φ S ako φ j φ k,l 0, za j i sve k, l N 0 20
21 Ako je u definiciji stavimo l = 0 onda imamo da φ(x) c k (1 + x ) k mora da važi za sve k i x R n. Slično za izvode od φ. Zato se S obično naziva Švarcov prostor brzo opadajućih funkcija. Iz definicije sledi da je D(R n ) S(R n ), i φ j D φ implicira φj S φ. S druge strane, postoje funkcije koje su u S, a nisu u D, istaknut primer je: φ(x) = e x, x R n Definicija Neka φ S(R n ). Tada ˆφ(ξ) = (Fφ)(ξ) = (2π) n/2 R n e ixξ φ(x)dx, ξ R n se naziva Furijeova transformacija od φ, a ˇφ(ξ) = (F 1 φ)(ξ) = (2π) n/2 R n e ixξ φ(x)dx, ξ R n je inverzna Furijeova transofrmacija od φ. Može se pokazati da ako φ S onda Fφ, F 1 φ S; φ = FF 1 φ = F 1 Fφ. Štaviše, i F i F 1 su injektivna preslikavanja prostora S(R n ): Tako de važi FS = F 1 S = S. F(F(φ))(x) = φ( x). Prostor neprekidnih linearnih funkcionela nad S(R n ) označavamo sa S (R n ) ili S. Elementi S nazivaju se temperirane distribucije ili 21
22 distribucije sporog rasta. Neprekidnost, konvergenciju i ostale osobine definišemo isto kao i kod D (R n ). Važi: S (R n ) D (R n ) tj. restrikcija od T S (R n ) na D(R n ) je elemenat od D (R n ). Može se pokazati i: u smislu da za f L p važi L p (R n ) S (R n ) za 1 p. R n f(x)φ(x)dx <, za φ S Kako je S(R n ) L p (R n ) sledi da možemo smatrati da je S(R n ) S (R n ). Zato sada možemo proširiti Furijeovu transformaciju sa S na S. Definicija Neka T S (R n ). FT i F 1 T se definišu sa: (FT )(φ) = T ( ˆφ) i (F 1 T )(φ) = T ( ˇφ), φ S(R n ) Ponovo važi: FS = F 1 S = S. Tako de, ako T S (R n ) i α je multiindeks onda x α T S (R n ) i D α T S (R n ) i imamo sledeće važne osobine: F(D α T ) = i α x α (FT ) i F(x α T ) = i α D α (FT ). Na kraju, ako f L p (R n ) za 1 p, onda znamo da Ff S (R n ). Može se pokazati i sledeća osobina: Restrikcije od F i F 1 na L 2 (R n ) generišu unitarne operatore na L 2 (R n ) (što znači da je Ff = f, i FL 2 = L 2 ) i važi FF 1 = F 1 F = id L 2 22
23 Glava 5 Prostori Soboljeva 5.1 Definicija i osobine Definicija Neka je m nenegativan ceo broj, a 1 p. Prostor: H m,p (Ω) = {u L p (Ω) : D α u L p (Ω) za 0 α m} gde je D α izvod u distribucionom smislu, naziva se prostor Soboljeva. U odnosu na uobičajene operacije H m,p (Ω) je vektorski prostor nad poljem C. U taj prostor uvodimo normu: u p,m,ω := ( D α u p p) 1/p za 1 p <, (5.1) α m u m, = max 0 α m Dα u Ako je Ω = R n tada je uobičajeno da se simbol R n izostavlja. Tako de se p = 2 izostavlja, pa umesto H m,2 pišemo H m. Još jedan prostor nosi ime Soboljeva: Definicija H m,p 0 (Ω) = zatvaranje prostora C 0 (Ω) u H m,p (Ω) u odnosu na normu (5.1). Jasno, H 0,p (Ω) = L p (Ω). Tako de, H m,p 0 (Ω) je normalan prostor distribucija. 23
24 Teorema Prostor H m,p (Ω) je Banahov (1 p, m N 0 ). Prostor H m,2 (Ω) je Hilbertov. Dokaz Neka je {u n } Košijev niz u H m,p (Ω). To znači da je {D α u n } Košijev u L p (Ω) za 0 α m. Kako je L p (Ω) kompletan tako {D α u} ima granicu u L p (Ω). Zapišimo: u n u i D α u n u α u L p (Ω) kada n. Pokazaćemo da ovo implicira da D α u n u α u D (Ω) i onda, kako je diferenciranje neprekidna operacija u D (Ω) slediće da je u α = D α u. Dakle, na osnovu Helderove nejednakosti, za proizvoljno φ D(Ω) važi: T un T u u n (x) u(x) φ(x) dx φ p u n u p Ω za 0 α m i p = p p 1 To znači da u n u u D (Ω), a slično se pokazuje da T Dα u n T uα. Možemo zapisati: T uα (φ) = lim T Dα u n n (φ) = lim ( 1) α T un (D α φ) = ( 1) α T u (D α φ), n odnosno T uα (φ) = T Dα u, ili u α = D α u. Odatle u L p i D α u L p i lim n u n u m,p = 0. H m,p (Ω) je kompletan. Lako se proverava da sledeći izraz definiše skalarni proizvod u prostoru H m,2 (Ω): (u, v) m,ω := D α ud α v, u, v H 2,m (Ω) R n α m Teorema Prostor H m,p (Ω) je separabilan za 1 p <, a refleksivan za 1 < p <. Dokaz Neka je N broj indeksa α za koje važi α m. Posmatraćemo proizvod prostora L p (Ω): L p N = N i=1 Lp (Ω) sa normom: {( N j=1 u p,n = u ) j p 1/p p za 1 p < (5.2) max 1 j N u j za p = 24
25 Topologija u N j=1 (Lp (Ω), p ) je ekvivalentna sa topologijom koju norma (5.2) indukuje u proizvodu L p N = N i=1 Lp (Ω). Kako je L p separabilan za 1 p < i refleksivan za 1 < p < tako isto važi i za proizvod L p N. Svakom u Hm,p možemo dodeliti dobro definisan vektor P u L p N : P u = (u (α 1),..., u (α N ) ) gde su α 1,..., α N pore dani u proizvoljnom, ali fiksiranom poretku. Kako je P u p,n = u m,p, P je izometrija iz H m,p (Ω) na potprostor H L p N. Kako je Hm,p (Ω) kompletan, H je zatvoren potprostor od L p N. Svaki potprostor separabilnog potprostora je separabilan, a svaki zatvoren potprostor refleksivnog prostora je refleksivan. To važi za H a zbog izometrije i za H m,p (Ω). Teorema Prostor H m,p 0 (Ω) je Banahov, a prostor H m,2 0 (Ω) je Hilbertov. Dokaz Zatvoren potprostor Banahovog (Hilbertovog) prostora je Banahov (Hilbertov). Recimo sada nešto i o aproksimaciji glatkim funkcijama. Označimo sa C skup: C = {φ C m (Ω) : φ m,p < }. (5.3) Ovo je očigledno podskup od H m,p (Ω). Odatle sledi i da je C podskup od H m,p (Ω). Kako je H m,p (Ω) kompletan, tako je i C tako de kompletan. Identičko preslikavanje je izometrija izme du C i C, tj. C je kompletiranje od C. Dakle kompletiranje od C je podskup od H m,p (Ω). Pokazaćemo da je kompletiranje od C ustvari baš skup H m,p (Ω). Pre toga će nam biti potrebni neki novi pojmovi. Teorema Neka je A proizvoljan podskup od R n i O kolekcija otvorenih skupova u R n koji pokrivaju A, odnosno takvih da je A U O U. Tada postoji kolekcija Φ funkcija φ C 0 (R n ) koja ima sledeće osobine: 25
26 1. φ Φ i x R n, 0 φ(x) 1 2. Ako je K kompaktan podskup od A, sve sem konačno mnogo funkcija φ Φ su identički jednake nuli na K. 3. Za svako φ Φ postoji U O tako da suppφ U. 4. Za svako x A važi φ Φ φ(x) = 1. Ovakva kolekcija Φ naziva se C podela jedinice za A podre dena O. Tako de će nam biti potrebna funkcija čija je svrha upravo aproksimiranje distribucija glatkim funkcijama, pomoću konvolucije. Neka je J nenegativna, realna funkcija iz C 0 (Ω) koja ima sledeće osobine: 1. J(x) = 0, za x 1, 2. R n J(x)dx = 1. Ako je ɛ > 0, funkcija J ɛ (x) = ɛ n J(x/ɛ) je nenegativna, pripada C 0 (Ω) i važi: 1. J ɛ (x) = 0, za x ɛ 2. R n J ɛ (x)dx = 1 Konvolucija: J ɛ u(x) = J ɛ (x y)u(y)dy, R n (5.4) definisana za funkcije u za koje desna strana gornje jednačine ima smisla, naziva se (Soboljevo) uglačanje u. Može se pokazati da ako u L 1 loc (Rn ), gde u = 0 van Ω, onda J ɛ u(x) C (R n ). Lema Neka je 1 p < i u H m,p (Ω). Ako Ω Ω onda lim ɛ 0 + J ɛ u = u u H m,p (Ω ). 26
27 Sada možemo dokazati teoremu: Teorema C = H m,p (Ω), odnosno H m,p (Ω) je kompletiranje prostora C (5.3), 1 p <. Dokaz Ustvari ćemo pokazati da ako u H m,p (Ω) i ɛ > 0 onda postoji φ C (Ω) tako da u φ m,p < ɛ. Da bi iskoristili lemu moramo se ograničiti na Ω k Ω, ali koristimo i podelu jedinice koja je takva da postoji samo konačno mnogo φ k Φ koje ne nestaju na Ω k. Za k = 1, 2,... neka je Ω k = {x Ω : x < k, d(x, Ω) > 1/k} gde je d udaljenost tačke od skupa: d(x, G) = inf y G x y za neki G R n, i x R n. Neka je Ω 0 = Ω 1 =. Važi Ω k Ω k+1, k = 1, 2... i Ω = k=1 Ω k. Tako de: O = {U k : U k = Ω k+1 (Ω k 1 ) c, k = 1, 2,...} je kolekcija otvorenih podskupova od Ω koji pokrivaju Ω. Neka je Φ podela jedinice za Ω podre dena O. Neka φ k označava sumu konačno mnogo funkcija φ Φ čiji su nosači sadržani u U k. Za svako x Ω k Ω možemo napisati u kao u(x) = φ j (x)u(x) j=1 gde se samo konačno mnogo sabiraka sume razlikuje od nule. Dalje, možemo izabrati ɛ k tako da: J ɛk (φ k u) φ k u m,p,ωk < ɛ 2 k (nejednakost važi po prethodnoj lemi, jer φ k u H m,p (Ω)). Neka je φ = k=1 J ɛ k (φ k u), gde se ponovo na Ω k samo konačno mnogo sabiraka razlikuje od nule, pa φ C (Ω). Tako de, 27
28 možemo pisati: k u(x) = φ j (x)u(x), φ(x) = j=1 Onda imamo da je k J ɛk j (φ j u)(x). j=1 u φ m,p,ωk k J ɛj (φ j u) φ j u m,p,ωk < ɛ j=1 A kako je Ω k = k j=1 Ω j, a niz parcijalnih suma u prethodnoj nejednakosti je ograničen i rastući, po teoremi o monotonoj konvergenciji sledi u φ m,p,ω < ɛ. Teorema D(R n ) je gust u H m,p (R n ). Ideja dokaza Dokaz se izvodi tako de pomoću funkcija (5.4). Neka f H m,p i f h = J ɛ f iz (5.4). Tada se pokazuje da D α f h = (D α f) h, a na osnovu toga da D α f D α f h L p 0, h 0, α m. Zbog toga f h C H m,p i f h f u H m,p kada h 0. Zbog ovoga je dovoljno aproksimirati funkcije g C H m,p u H m,p funkcijama iz D. Neka φ D i φ(x) = 1 za x 1. Tada važi D φ(2 j x)g(x) g(x) u H m,p za j Posledica Ako je 1 p < tada je H m,p 0 (R n ) = H m,p (R n ). Posledica S(R n ) je gust u H m,p (R n ). Dokaz Znamo D S H m,p, pa H m,p = D S H m,p = H m,p sledi S = H m,p. 28
29 5.2 Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom Podsetimo se, ako je H m,p 0 (Ω) normalan prostor distribucija, 0 (Ω)) smatramo potrostorom prostora distribucija. (H p,m Napomena Prostor L 2 (Ω) poistovećujemo sa njegovim dualom, ali za prostor H m,p 0 (Ω) to ne radimo. Teorema Distribucija u D (Ω) je neprekidna linearna funkcionela nad H p,m 0 (Ω), 1 p <, m N 0, ako i samo ako je u oblika: u = D α u α (izvod je u distribucionom smislu) (5.5) α m gde su u α L p (Ω), α m, p = p p 1, (za p = 1, p = ). Dokaz Pokažimo da je uslov (5.5) dovoljan. Neka je u D (Ω) oblika (5.5). Treba pokazati da u (H m,p 0 (Ω)). Neka je prvo φ C0 (Ω). Tada važi: u, φ = D α u α, φ = ( 1) α u α, D α φ = α m α m ( 1) α α m Ω u α (x)d α φ(x)dx Na osnovu Helderove nejednakosti imamo: u, φ u α D α φ dx α m α m Ω u α p D α φ p C φ p,m,ω, (5.6) gde je C = ( α m u ) α p 1/p p i gde smo iskoristili Helderovu nejednakost za sume. Ovo znači da je u neprekidna funkcionela nad 29
30 C0 (Ω) u odnosu na normu 5.1 i da se može proširiti na H m,p 0 (Ω), pa u (H m,p 0 (Ω)). Pokažimo sada da je uslov (5.5) potreban. Ponovo ćemo koristiti prostore L p N sa normom (5.2). Može se pokazati: za svaku L neprekidnu linearnu funkcionelu nad L p N postoji jedinstveno u N i=1 (Ω), p = p Lp p 1 tako da za svako f Lp N važi: L(f) = u, f = N i=1 R n u i f i dx. Zapravo, (L p N ) je izomorfan sa N i=1 (Ω). Lp Neka u (H m,p 0 (Ω)). Preslikavanje H m,p 0 (Ω) u L p N definisano sa: i : φ (D α 1 φ,..., D α N φ) je izomorfizam prostora H m,p 0 (Ω) i potprostora od L p N označiti sa L. Izrazom (D α 1 φ,..., D α N φ) u(φ) koje ćemo je definisana neprekidna linearna funkcionela U nad L. Neprekidne (ograničene) linearne funkcionele nad potprostorom normiranog prostora imaju proširenje na dati normiran prostor (specijalan slučaj Han - Banahove teoreme). Dakle U se može proširiti na L p N kao neprekidna linearna funkcionela Ũ, za koju važi Ũ = U nad L. Kako Ũ N i=1 (Ω) sledi da postoje funkcije u Lp αi L p (Ω) tako da je Kako je za φ H m,p 0 (Ω): Ũ = N ( 1) α i u αi. i=1 Ũ, (Dα 1 φ,..., D α N φ) = u, φ 30
31 tako i za φ C 0 (Ω) važi: Ũ, (φ(α 1),..., φ (α N ) ) = = N ( 1) α i u αi, φ (αi) i=1 N D α i u αi, φ = u, φ i=1 Dakle dobili smo da je u = N i=1 Dα i u α i, što je i trebalo pokazati. Definicija H p, m (Ω), 1 p, m 1 je potprostor od D (Ω) čiji su elementi oblika u = D α u α (5.7) gde su u α L p (Ω). α m U prostor H p, m (Ω) uvodimo normu u p, m,ω := inf{ ( α m u α p p) 1/p} (5.8) gde se infimum uzima po svim reprezentacijama od u oblika 5.7. Posmatrajmo u iz (H p,m 0 (Ω)). Dualna norma od u je: u p,m,ω = sup{ u, φ ; φ p,m,ω 1}. Na osnovu (5.6) dobijamo da je sup { u, φ } ( ) 1/p ( u α p ) p. φ p,m,ω 1 α m Može se pokazati da je zapravo: u p,m,ω = u p, m,ω Ovim je dokazana sledeća teorema: 31
32 Teorema Prostor (H p,m 0 (Ω)), 1 p < sa dualnom normom je izometričan sa H p, m (Ω) i normom 5.8 Dokažimo sada dve teoreme za prostore H 2, m (Ω) = H m (Ω) i H m,2 0 (Ω) = H m 0 (Ω). Teorema Prostori H0 m (Ω) i H m (Ω), m N su izometrični. Izometrija tih prostora je definisana sa H0 m (Ω) u ( 1) α D 2α u H m (Ω). (5.9) Dokaz jer je α m Sa (5.9) je definisano preslikavanje iz H m 0 (Ω) u H m (Ω) ( 1) α D 2α u = D α u α, α m α m gde je u α = ( 1) α D α u L 2 (Ω). Pokažimo da preslikavanje (5.9) na. Neka g H m (Ω), onda je g neprekidna linearna funkcionela nad H0 m (Ω). Koristićemo Risovu teoremu o reprezentaciji: Ako je H Hilbertov prostor i g neprekidna linearna funkcionela nad H, onda postoji y H takvo da g(x) = x, y x H. Tako de, g = x. U našem slučaju, to znači da postoji f H0 m (Ω) tako da za svako φ H0 m (Ω) važi: g, φ = (φ, f) m,ω = D α φ(x)d α f(x)dx, α m Ω g = f m,ω. (5.10) Označimo sa f = h H0 m (Ω), onda imamo ustvari da je: g, φ = ( 1) α D 2α h, φ, α m 32
33 odnosno da je g distribucija oblika g = α m ( 1) α D 2α h, h H m 0 (Ω). Znamo da je g = g m,ω i h m,ω = f m,ω, pa iz (5.10) sledi da je (5.9) izometrija: g m,ω = h m,ω. Teorema (i) Prostor H m (Ω), m N je Hilbertov. (ii) H m (Ω), m N je normalan prostor distribucija. Dokaz (i) Tvr denje sledi na osnovu toga što je (5.9) izometrija. (ii) Neka je f izometrija (5.9). f je bijekcija iz C0 (Ω) na C0 (Ω), tj. C0 (Ω) je podskup H m (Ω). Proizvoljno u H m (Ω) se može napisati kao u = f(v) za neko v H0 m (Ω). Tada postoji niz v n C0 (Ω) koji teži ka v u H0 m (Ω). Sledi da f(v n ) teži ka f(v) u H m (Ω), a kako f(v n ) tako de pripada C0 (Ω) sledi da je C0 (Ω) gust u H m (Ω). 5.3 Prostori Soboljeva sa realnim indeksom H s (R n ), H s 0(R n ) Sada ćemo pomoću Furijeove transformacije definisati prostore H 2,s (R n ) i H 2,s 0 (Rn ) kada s R, koje kraće zapisujemo H s i H0. s Za s N 0 ova definicija će se poklapati sa prethodnom definicijom Soboljevih prostora. Prvo pokažimo sledeću teoremu (H m (R n ) = H m ). Teorema (i) Distribucija u pripada H m, m N ako i samo ako je u temperirana distribucija i važi û(1 + y 2 ) m/2 L 2, y R n (5.11) (ii) Distribucija g pripada H m, m N ako i samo ako je g temperirana distribucija i važi ĝ(1 + y 2 ) m/2 L 2, y R n (5.12) 33
34 Dokaz (i) Neka u H m. To znači da D α u L 2, α m. Znamo da za L 2 funkcije važi: D α u 2 = F(D α u) 2. Za funkcije iz S (a L 2 S ) znamo da važi pa je F(D α u) = i α y α F(u) D α u 2 = i α y α F(u) 2 pa sledi da i α y α F(u) L 2. Uslov da y α F(u) L 2 α m je ekvivalentan sa uslovom da (1+ y 2 ) m/2 F(u) L 2. Tako dobijamo da važi (i). (ii) Neka g H m (Ω). Tada na osnovu teoreme postoji h H0 m (Ω) tako da je ĝ = ( 1) α i 2 α y 2α ĥ. α m Iz (i) sledi da je (1 + y 2 ) m/2 ĥ L 2, pomnoženo sa (1 + y 2 ) m i dalje pripada L 2, pa imamo: (1 + y 2 ) m/2 ĝ = ( 1) α i 2 α y 2α (1 + y 2 ) m/2 ĥ L 2. α m Neka je sada g temperirana distribucija za koju važi (5.12). Tada je ĝ(1 + y 2 ) m temperirana distribucija. Kako je Furijeova transormacija bijekcija na prostoru S možemo reći da postoji h S tako da je ĥ = ĝ(1 + y 2 ) m i ĥ(1 + y 2 ) m/2 pripada L 2. Na osnovu (i) sledi h H m, i imamo ĝ = (1 + y 2 ) m ĥ. Može se pokazati da iz ovoga sledi g(x) = (1 4 ) m h(x), h H m, odakle dobijamo da g H m. 34
35 Definicija Za proizvoljno s R sa H s označavamo prostor temperiranih distribucija za koje važi: u H s (1 + y 2 ) s/2 û L 2, y R n. Važi: i posebno H s 1 H s 2, za < s 2 s 1 < H s 1 H s 2 L 2, za 0 s 2 s 1 < Norma u prostoru H s je data sa u s = (1 + y 2 ) s/2 û L 2, y R n (5.13) a skalarni proizvod sa: [u, v] s = û(y) ˆv(y)(1 + y 2 ) s dy, u, v H m, y R n R n (5.14) Definicija H s 0(R n ) je zatvaranje D(R n ) u H s (R n ). Teorema Neka s R. Prostori H s sa skalarnim proizvodom (5.14) su Hilbertovi. Važi: i S(R n ) je gust u H s. S(R n ) H s (R n ) S (R n ) Dokaz Označimo sa w s = (1 + y 2 ) s/2. Po definiciji, U : f w s Ff : H s L 2 (5.15) generiše izometriju. Ako je g L 2 proizvoljno, možemo izabrati f = F 1 (w s g) S (R n ) i time vidimo da je ovo preslikavanje 35
36 sirjektivno, odnosno unitarno. Kako je L 2 Hilbertov, tako je i H s Hilbertov. Može se pokazati da preslikavanje f w s f, s R definiše bijekciju iz S u S, i iz S u S. Kako je F tako de bijekcija na ovim prostorima tako U definiše bijekciju iz S u S, i iz S u S. Kada je m N 0 znamo da važi S H m L 2 S i S je gust u H m. Odatle imamo prvo S H m H s S, a kako je S gust u L 2 onda je S gust i u H s jer je U unitarno. Teorema Prostor H s, s R je refleksivan i separabilan Hilbertov prostor. Dokaz Ovo je posledica toga što je preslikavanje (5.15) izometrija iz H s i L 2 koji je refleksivan i separabilan. Teorema Dual prostora H s je H s i dualna norma se poklapa sa s. Dokaz Pokažimo prvo da ako u H s tada je to neprekidna linearna funkcionela nad H s. Kako je S gust u H s onda je ekvivalentno pokazati da je u neprekidna linearna funkcionela nad S u odnosu na s. Zbog definicije Furijeove transformacije na prostorima S i S i na osnovu Helderove nejednakosti za φ S imamo: u(x), φ(x) = u(x), F( ˆφ( y)) = û(y), ˆφ( y) = (1 + y 2 ) s/2 û(y), (1 + y 2 ) s/2 ˆφ( y) = (1 + y 2 ) s/2 û(y)(1 + y 2 ) s/2 ˆφ(y)dy u s φ s R n što znači da je u neprekidno nad S u odnosu na normu s. Neka je sada u neprekidna linearna funkcionela nad S u odnosu na normu s. Za proizvoljno φ S važi u, φ C φ s, 36
37 za neko C. Ako ponovo iskoristimo da je u(x), φ(x) = û(y), ˆφ( y) dobijamo û(y), ˆφ( y) C φ(x) s = C (1 + y 2 ) s/2 ˆφ(y) 2. Preslikavanje φ(x) ˆφ( y) = ψ(y) iz (S, s ) u S sa normom: je izometrija pa dobijamo da je ψ(y) s,1 = (1 + y 2 ) s/2 ˆφ(y) 2 û(y), ψ(y) C ψ(y) s,1, tj. da je û neprekidna linearna funkcionela nad (S, s,1 ). Koristićemo prostor (L 2 a, s,1 ), to je prostor funkcija f za koje važi af L 2, a za a ćemo uzeti a = (1 + y 2 ) s/2. Za prostore L 2 a važe iste osobine kao za prostore L 2. (S, s,1 ) je gust u (L 2 a, s,1 ), a dual od (L 2 a, s,1 ) je (L 2 a 1, s,1 ). Odavde sledi da û L 2 a 1 što znači da u H s. Kako važi da je u s,1 identično sa dualnom normom od û, koja je identična sa dualnom normom od u, važi i poslednji deo tvr denja H s (Γ) Prostori Soboljeva nalaze svoju primenu u rešavanju graničnih problema. Kasnije ćemo videti kako se formalno opisuju ovi problemi, ali jasno je da će oni uključivati funkcije koje su definisane na granici nekog skupa. Prvi korak ka predstavljanju graničnog problema biće definisanje prostora H s (Γ). Γ će biti granica skupa Ω. Da bi se ona opisala biće nam potrebni Elementi diferencijalne geometrije Definicija Neka je U R k otvoren i ψ : U R n glatka funkcija, gde je k n. ψ se naziva imerzija ako je za svako x U 37
38 rang Jakobijana Dψ(x) maksimalan, odnosno jednak k. Za rang r(dψ) važi: r(dψ(x)) = dim im(dψ(x)) = dim(r k ) dim(ker Dψ(x)). Stoga sledi da je ker Dψ(x) = {0} i Dψ(x) je injektivno za svako x. Definicija Podskup M od R n se naziva k - dimenzionalna beskonačno diferencijabilna (pod)mnogostrukost (k n) ako važi: Za svako p M postoji otvorena okolina W od p u R n, otvoren podskup U od R k i imerzija ψ : U R n, takva da je ψ : U ψ(u) homeomorfizam i ψ(u) = M W. ψ dakle topološki identifikuje U i ψ(u) = M W (M W nosi indukovanu topologiju iz R n ). ψ se naziva lokalna parametrizacija mnogostrukosti M. Jedinični krug je jednodimezionalna mnogostrukost u R 2. Sfera je dvodimezionalna mnogostrukost u R 3. Svakako i otvoren podskup od R n je mnogostrukost, sam R n je mnogostrukost. Ali postoje i apstraktniji skupovi koji su podmnogostrukosti. Na primer, može se pokazati da je skup SL(n, R) := {A R n2 det A = 1} podmnogostrukost od R n2 dimenzije n 2 1. Reći ćemo još šta podrazumevamo pod glatkom funkcijom nad mnogostrukostima (parcijalni izvodi se definišu u unutrašnjoj tački skupa, pa definiciju glatke funkcije znamo samo kada je otvoren skup u pitanju, zato nam je sada potrebna nova definicija). Definicija Neka su M R m i N R n mnogostrukosti. Preslikavanje f : M N je glatko (C ), ako za svako p M postoji otvorena okolina U p od p u R m i glatka funkcija f : U p R n takva da f M Up = f M Up. 38
39 Napomenimo samo da je specijalan slučaj N = R n uključen u ovu definiciju. Tako de, lako se može pokazati da je kompozicija glatkih funkcija glatka funkcija. Ako je f bijektivno i f i f 1 su glatke, f nazivamo difeomorfizmom. Definicija Neka je M k - dimenziona mnogostrukost u R n. Karta (ϕ, V ) mnogostrukosti je difeomorfizam otvorenog skupa V M na otvoren skup u R k. Dve karte ϕ 1 (V 1 ) i ϕ 2 (V 2 ) su (C ) kompatibilne ako su ϕ 1 (V 1 V 2 ) i ϕ 2 (V 1 V 2 ) otvoreni u R k i promena karata ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (V 1 V 2 ) ϕ 2 (V 1 V 2 ) je difeomorfizam. C atlas od M je familija A = {(ϕ α, V α ) α A} karti koje su u parovima kompatibilne, takva da M = α A V α Lako se može pokazati da ako je ψ lokalna parametrizacija za M, tada je ϕ := ψ 1 : W M U karta M. Tako de, može se pokazati da je familija ovakvih karti u parovima kompatibilna, pa imamo atlas za M. Sada ćemo definisati skup Ω i do kraja rada ćemo smatrati da on ima ovakve osobine. Neka je Ω ogranicena oblast (otvoren i povezan skup) u R n sa granicom Γ, gde je Γ beskonacno diferencijabilna mnogostrukost reda n 1, a Ω se lokalno nalazi na jednoj strani granice Γ, drugim recima Ω je kompaktna mnogostrukost sa granicom Γ klase C. (5.16) 39
40 Vratimo se sada na definisanje prostora H s (Γ). Videćemo kasnije da ako je Ω otvoren skup H s (Ω) možemo definisati kao suženje elemenata iz H s (R n ). Me dutim za mnogostrukost Γ ovo nije moguće uraditi. U ovom slučaju želimo da domen ne bude mnogostrukost Γ već R n 1. Neka je {(ϕ j, G j ), j = 1, 2,..., µ} atlas od Γ. Neka, osim toga, ϕ j slikaju G j u loptu Q = {y R n 1 : y < 1}. Neka je {α j } podela jedinice na Γ. Podelu jedinice na proizvoljnom skupu smo definisali u teoremi 5.1.6, sada ćemo samo malo drugačije formulisati osobine ove kolekcije: α j D(Γ) = prostor beskonacno diferencijabilnih funkcija na Γ, α j ima kompaktan nosac u G j, za svako x Γ vazi µ j=1 α j(x) = 1. Za proizvoljnu funkciju u definisanu na Γ važi µ u = α j u na Γ. Definišimo dalje: j=1 ϕ j(α j u)(y) = (α j u)(ϕ 1 j (y)), y Q. (5.17) Kako α j (pa i α j u) ima kompaktan nosač na G j tako ϕ j (α ju) ima kompaktan nosač na (celom) Q i stoga ϕ j (α ju) može biti do - definisana na ceo R n 1. tako što se produži nulom van Q. Linearno preslikavanje: u ϕ j(α j u) je neprekidno preslikavanje L 1 (Γ) L 1 (R n 1 ), a tako de D(Γ) D(R n 1 ), pa se ono produžava na linearno neprekidno preslikavanje iz D (R n 1 ) D (Γ). Sada ćemo definisati H s (Γ) za svako realno s: 40
41 Definicija H s (Γ) = {u ϕ j(α j u) H s (R n 1 ), j = 1,..., µ} (5.18) Napomena Prethodna definicija ne zavisi od izbora sistema lokalnih karata (ϕ j, G j ) i podele jedinice α j. U H s (Γ) možemo uvesti normu: u Hs (Γ) = ( µ ϕ j(α j u) 2 1/2, H s (R )) (5.19) n 1 j=1 koja očigledno zavisi od sistema {ϕ j, G j, α j }. Ali ove norme su me dusobno ekvivalentne, a H s (Γ) sa normom (5.19) je Hilbertov prostor. Važi: Teorema D(Γ) je gust u H s (Γ). Dokaz Treba pokazati da za proizvoljno u H s (Γ) postoji niz ϕ n D(Γ) koji teži ka u kada n u prostoru H s (Γ). Tj.: ϕ n u Hs (Γ) = ( µ ϕ j(α j ϕ n ) ϕ j(α j u) 2 1/2 H s (R )) 0, n 1 j=1 kada n. Za ϕ j (α ju) postoji niz ψ jn D(R n 1 ) takav da ψ jn ϕ j (α ju) kada n u prostoru H s (R n 1 ). Možemo pretpostaviti da ψ jn ima kompaktan nosač u y < 1, a odavde sledi da postoji ϕ n tako da je ψ jn = ϕ j (α jϕ n ) za svako j, odakle sledi teorema. Teorema (H s (Γ)) = H s (Γ), s R H s (Ω), H s 0(Ω) Rešenja graničnog problema tražićemo u prostorima H s (Ω), dakle umesto H s (R n ) sada ćemo definisati i prostore H s (Ω) i H s 0(Ω). Ali prvo ćemo uvesti jedan bitam pojam, koji će nam koristiti u daljem radu. 41
42 Interpolacioni prostor Neka su X i Y separabilni Hibertovi prostori i neka važi X Y, inkluzija je neprekidna i X gust u Y. Tada postoji prostor [X, Y ] θ, θ [0, 1] takav da važi X [X, Y ] θ Y, kao i nejednakost: Ovde je Osobine u [X,Y ]θ C u 1 θ X u θ Y u X. [X, Y ] 0 = X [X, Y ] 1 = Y X je gust u [X, Y ] θ, θ Neka su θ 0 i θ 1 dva fiksirana broja iz [0, 1] i θ 0 < θ 1. Tada [X, Y ] θ0 [X, Y ] θ1. Tako de, [X, Y ] θ0 je gust u [X, Y ] θ1. Kako važi X [X, Y ] θ Y, pri čemu je svaki prostor gust u narednom (i ne identifikujemo prostor sa svojim dualom), tako važi: Y [X, Y ] θ X pri tom je ponovo svaki skup gust u narednom. Važi i teorema: Teorema Za svako θ [0, 1] važi: [X, Y ] θ = [Y, X ] 1 θ pri čemu su odgovarajuće norme ekvivalentne. 42
43 Sada imamo sve potrebne pojmove za opis prostora H s (Ω). Za Ω definisano u (5.16) i s 0 prostori H s (Ω) su suženje elemenata iz H s (R n ) na Ω. Prostori H s 0(Ω) su i dalje zatvaranje D(Ω) u H s (Ω). Norma u ovom prostoru je data sa: u Hs (Ω) = inf U Hs (R n ), U = u, skoro svuda na Ω. Prostori H s (Ω) se mogu definisati i kao prostori koji se nalaze izme du prostora H 0 i H m, odnosno interpolacioni prostori. Ova definicija je ekvivalentna prethodnoj. Za X = H 0 i Y = H m (m je ceo pozitivan broj), imamo da je H s (Ω) = [H m (Ω), H 0 (Ω)] θ, gde je s = (1 θ)m, θ (0, 1). Neke od osobina koje ćemo navesti u ovom odeljku su posledica osobina interpolacionih prostora. Prva od njih je Teorema Prostor D(R n ) je gust u H s (R n ) za svako s. H s 0(R n ) = H s (R n ). Dokaz Znamo da je X gust u [X, Y ] θ, pa sledi da ako je X 0 X, X 0 gust u X, onda je X 0 gust u [X, Y ] θ. Za s 0 možemo uzeti X = H m (R n ) (m celo i m s), X 0 = D(R n ), Y = L 2 (R n ). Za s < 0 možemo iskoristiti dualnost pa imamo X = L 2 (R n ) i Y = H m (R n ). Za dalji rad biće nam potrebne i glatke funkcije koje nisu neophodno jednake nuli na granici. Za otvoreno Ω funkcija φ C m (Ω) ne mora biti ograničena na Ω. Ako je φ C m (Ω) ograničena i uniformno neprekidna na Ω onda ona ima jedinstveno ograničeno i neprekidno produženje na zatvaranje Ω od Ω. Vektorski prostor D( Ω) se sastoji iz funkcija φ C m (Ω) za koje je D α φ ograničena i uniformno neprekidna funkcija na Ω za svako 0 α m. D( Ω) je Banahov prostor sa normom: φ; D( Ω) = max sup D α φ(x). 0 α m 43 x Ω
44 Kako su sve funkcije iz D(Ω) ograničene i uniformno neprekidne na Ω tako važi D(Ω) D( Ω). Ali funkcije iz D( Ω) ne moraju biti jednake nuli na granici od Ω. Navešćemo sada neke osobine ovih prostora. Iz osobina interpolacionih prostora sledi sledeća Teorema Neka je s = m(1 θ), a m je ceo pozitivan broj. θ [0, 1] H m (Ω) je gust u H s (Ω). Zapravo, možemo videti da je H s 1 gust u Hs 2 za proizvoljno s 1 > s 2. Vratićemo se na kratko na prostore H m (Ω), m N 0. Recimo prvo nešto o operatoru produženja. Teorema Za svako celo m 0 postoji operator p sa sledećim osobinama: p L(H k (Ω), H k (R n )), k, 0 k m, pu = u skoro svuda na Ω, u H 0 (Ω). Napomena Preslikavanje suženje na Ω: u r Ω u = suzenje u na Ω je linearno neprekidno preslikavanje iz H k (R n ) u H k (Ω) za svako celo k 0. Teorema D( Ω) je gust u H m (Ω). Dokaz Neka je pu H m (R n ), tada postoji niz Φ l D(R n ) koji teži ka pu u normi prostora H m (R n ) (teorema 5.1.9). Zato važi u = r Ω (pu) = lim l r Ω Φ l u prostoru H m (Ω) odakle sledi potreban rezultat jer r Ω Φ l D( Ω). Teorema Iz prethodne dve teoreme sledi: D( Ω) je gust u H s (Ω), s 0. 44
45 Potom imamo sledeće osobine: Teorema Za s > n 2 važi inkluzija: H s (Ω) C( Ω), pri čemu je operator inkluzije neprekidan. Napomena Ova inkluzija znači da ako u H s (Ω) onda se u skoro svuda poklapa s nekim elementom u C( Ω) i identifikujemo u sa tim elementom. Napomena Ovaj rezultat ne može biti uopšten. Na primer, ako je n = 2, s = 1, a Ω je krug x < 1/2, onda H s (Ω) nije sadržan u C( Ω); funkcija pripada H 1 ali ne pripada C( Ω). x log log x 45
46 Posledica Za s > n 2 + m m N 0 (Ω R n ), važi H s (Ω) C m ( Ω) ako je C m ( Ω) snabdeven normom α m max x Ω D α v(x). Pri tom je operator inkluzije neprekidan. Posledica H k (Ω) = D( Ω) k=0 Teorema D(Ω) gust u H s (Ω) (tj. H s 0(Ω) = H s (Ω)) ako i samo ako je s 1 2. U suprotnom imamo pravu inkluziju: Hs 0(Ω) H s (Ω). Ideja dokaza A kako važi Može se pokazati da je D(Ω) gust u H 1/2 (Ω). H 1/2 (Ω) H s (Ω), H 1/2 (Ω) je gust u H s (Ω), s < 1/2, to je i dovoljno. Definišimo: H s (Ω) = (H s 0(Ω)), s > 0 Ovo je ponovo podskup od D (Ω). Za Ω = R n ova definicija se poklapa sa teoremom Tako de, na osnovu teoreme znamo da je (H s (Ω)) = H s (Ω) za s 1/2. Objasnićemo još jedan značajan pojam - trag funkcije. 46
47 Trag funkcije Ako funkcija pripada D( Ω) tada se njen trag može definisati kao restrikcija na neku (n 1) - dimenzionalnu mnogostrukost sadržanu u Ω, u našem slučaju će to biti Γ. Ako je funkcija iz L 1 loc (Ω) ili Lp (Ω) onda funkciju možemo proizvoljno da definišemo na Γ jer je Γ mere nula. To znači da ne možemo definisati njen trag na Γ na jedinstven način u L 1 loc (Ω) (Lp (Ω)). Za funkcije iz H m,p (Ω), m N je moguće definisati jedinstven trag. Navešćemo primer traga funkcije iz H 1 (Ω). U ovom primeru uzećemo malo drugačije uslove za domen: Ω ograničena oblast čija je granica je sastavljena od konačno mnogo zatvorenih (n 1) - dimenzionalnih površi klase C 1 koje se me- dusobno seku. Neka je Γ (n 1) - dimenzionalna površ klase C 1 sadržana u Ω koja se može prekriti sa konačno mnogo otvorenih skupova. Ako je f H 1 (Ω) tada postoji niz {f n } iz C 1 ( Ω) koji u normi prostora H 1 (Ω) konvergira ka f. Može se pokazati da postoji konstanta C takva da f Γ L2 (Γ) C f H1 (Ω). Niz {f n } je Košijev u H 1 (Ω) pa iz ove nejednakosti sledi i da je {f n Γ } Košijev u L 2 (Γ). L 2 (Γ) je kompletan pa {f n Γ } konvergira ka nekom f Γ L 2 (Γ). Može se pokazati da f Γ ne zavisi od izbora niza {f n }. Ovim smo dakle pokazali da za f H 1 (Ω) postoji jedinstven element f Γ L 2 (Γ) tako da postoji C > 0 (koje ne zavisi od f) i da važi f Γ L2 (Γ) C f H1 (Ω). Drugim rečima preslikavanje iz H 1 (Ω) u L 2 (Γ), f f Γ je neprekidno i injektivno. Trag funkcije f H 1 (Ω) nad Γ je f Γ L 2 (Γ). Ako je f H 1 0(Ω) iz konstrukcije traga sledi da je f Γ = 0, a može se pokazati i obrnuto tvr denje. Granični uslovi u diferencijalnim jednačinama podrazumevaju da 47
48 znamo kakva je funkcija na granici skupa, ali često se traže i izvodi po normali. Kako će nas zanimati rešenje koje je iz prostora Soboljeva, nemamo klasičnu diferencijabilnost i izvode po normali pa će biti potreban malo drugačiji pristup. Sada ćemo se vratiti na uobičajenu definiciju 5.16 za Ω i Γ i dati teoremu o tragu, koju ćemo koristiti u ostatku rada. Ova teorema preciznije locira trag funkcije nego prethodni primer. Teorema Teorema o tragu u H m (Ω) Neka Ω zadovoljava uslove (5.16). Tada preslikavanje u { j u v j j = 0,..., m 1 }, (5.20) (gde je j u v j - ti izvod po normali, a normala na granicu Γ je orjentisana ka unutrašnjosti od Ω) iz D( Ω) u (D(Γ)) m neprekidno se pro- j dužava do neprekidnog linearnog preslikavanja u { j m 1 u v j = 0,..., m 1}, j Hm (Ω) H m j 1/2 (Γ). Kako su prostori D( Ω) i D(Γ) gusti u H m (Ω) i H m (Γ) respektivno, svaka funkcija iz H m (Ω) može se aproksimirati nizom funkcija iz D( Ω). Ove glatke funkcije imaju izvode po normali koji su glatke funkcije na granici. Niz ovih glatkih funkcija na granici onda teži ka funkciji koja je u H m 1/2 j (Γ). Za dokaz teoreme je zbog ovoga dovoljno pokazati da je preslikavanje (5.20) neprekidno u odnosu na topologiju prostora H m (Ω) i H m 1/2 j (Γ), ali to nećemo pokazivati. Dakle, funkciju iz H m (Ω) možemo (neprekidno i linearno) povezati sa njenim tragom koji je u H m 1/2 j (Γ), a trag možemo zamišljati kao njen izvod po normali. j=0 48
49 Glava 6 Primer primene - Nehomogeni granični problem 6.1 Motivacija Počnimo sa formalnim opisom problema. Neka je O skup u R n sa granicom O. Neka u O i O deluju respektivno linearni diferencijalni operatori P i Q j, 0 j v. Pod nehomogenim graničnim problemom podrazumevamo problem sledećeg tipa: neka su f i g j, 0 j v elementi prostora F i G j, F je prostor funkcija nad O, a G j prostor funkcija nad O. U prostoru U funkcija nad O, tražimo element u, koji zadovoljava sledeće jednačine: { P u = f u O (6.1) Q j u = g j na O 0 j v. Cilj je pokazati da za f F i g j G j postoji jedinstveno rešenje koje neprekidno zavisi od početnih uslova, odnosno pronaći prostore F i G za koje takvo rešenje postoji. Naravno postoje razni izbori za prostore U i {F, G j }, a prostori Soboljeva su se pokazali najkorisnijim za primene. Daćemo prvo jednostavan i najčešći primer koji pokazuje značaj nehomogenih graničnih problema i čiji opštiji slučaj ćemo razraditi u nastavku. 49
50 Dirihleov problem za Laplasovu jednačinu Neka je O skup Ω u R n sa granicom Γ, za P uzimamo operator Laplasa: ; v = 0, i Q 0 identički operator. Tada problem (6.1) postaje: { u = f u Ω (6.2) u = g 0 = g na Γ Ponovo je pitanje u kojim prostorima da biramo f i g tako da problem (6.2) ima jedinstveno rešenje. Klasičan odgovor je, na primer: ako su f i g kvadratno integrabilne funkcije (kao i neki njihovi izvodi) na Ω i Γ respektivno, tada je rešenje u problema (6.2) (sa svojim izvodima) tako de kvadratno integrabilno. Pokazalo se da je prirodna familija za prostore F i G familija Soboljevih prostora H s (Ω) i H s (Γ). Važi sledeći rezultat: Teorema Neka je s nenegativan realan broj. Ako f H s (Ω) i g H s+3/2 (Γ) onda postoji jedinstveno rešenje u problema (6.2) koje pripada H s+2 (Ω). Preciznije, operator u { u, u Γ } je izomorfizam iz H s+2 (Ω) u H s (Ω) H s+3/2 (Γ) Prirodno je razmotriti i slučaj negativnog s jer se u razmatranju problema (6.2) često dešavaju slučajevi da je, na primer, f = 0, a g je neka neregularna funkcija, npr. g je kvadratno integrabilna na Γ (što se javlja u teoriji optimalnog upravljanja) ili g je jednostavno distribucija na Γ. Ispostavlja se da je takvo G podskup od H s, s < 0. I u slučaju negativnog s problem može biti rešen, a prostori U, F su ponovo podskupovi od H s, ali za negativno s. U nastavku će biti definisan opštiji problem, kada je operator P eliptični operator (biće označen sa A), kada su Q j normalni granični operatori (označeni sa B j ) i kada oni zadovoljavaju odre dene uslove eliptičnosti. 50
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραLINEARNE PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE SKRIPTA ZA DRUGI DEO KURSA
LINEARNE PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE SKRIPTA ZA DRUGI DEO KURSA MARKO NEDELJKOV Ova skripta pokriva deo gradiva iz predmeta parcijalne diferencijalne jednačine za studente matematike. Predznanje
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραNorme vektora i matrica
2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραSpektralna teorija ograničenih linearnih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Mentor prof. Dragana Cvetković Ilić Niš, oktobar 2013. Student Maja Ţivković
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme funkcionalne analize i primene u analizi aktivnosti
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Jelena Petričević Osnovne teoreme funkcionalne analize i primene u analizi aktivnosti Master rad Mentor: Prof.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραNepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački Master rad Mentor: Prof.dr Dejan Ilić Student: Sanja Randelović
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραОво дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1.
Ово дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1. This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4. International License.
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραPregleda teorema, tvrdnji i primjera
Pregleda teorema, tvrdnji i primjera iz predmeta Furijeova i Wavelet analiza I Definicija Furijeovog reda i lagani rezultati Definicija 1.1 Skup T = {z C : z = 1} zovemo jedinična kružnica ili jednodimenzionalna
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραR ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).
DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1
TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u 2 + + u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραParcijalne diferencijalne jednačine prvog reda
I. Vojnović Glava 1 Parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda 1.1 Oznake Za funkciju u : R n R parcijalni izvod po x i označavamo sa u xi, odnosno u xi = u/ x i, pri čemu je x = (x 1,..., x n ). Radi
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα