ΜΑΣ 191. Μαθηματικά με Υπολογιστές Ενδιάμεση εργαστηριακή εξέταση 26 Απριλίου 2007

Transcript

1 ΜΑΣ 191. Μαθηματικά με Υπολογιστές Ενδιάμεση εργαστηριακή εξέταση 26 Απριλίου 27 ΟΝΟΜΑ: ΑΤ:. Πρόβλημα 1 Στον πίνακα φαίνονται οι απογραφές πληθυσμού που έγιναν στις ΗΠΑ κατά τον περασμένο αιώνα: Έτος Πληθυσμός (σε εκατομμύρια) (α) Σχεδιάστε τον πληθυσμό σαν συνάρτηση του χρόνου στο διάστημα [19, 22] χρησιμοποιώντας μπλε κύκλους για τα δεδομένα. 2. μ. (β) Προσαρμόστε τα δεδομένα με πολυώνυμα 2 ου, 4 ου, 6 ου και 8 ου βαθμού. Στη συνέχεια κατασκευάστε ένα πολλαπλό 2 2 γραφικό με τα γραφήματα των τεσσάρων πολυωνύμων παρεμβολής μαζί με τα σημεία του πίνακα στο διάστημα [19, 22]. 12 μ. (γ) Με βάση το πολυώνυμο παρεμβολής 2 ου βαθμού βρείτε εκτιμήσεις του πληθυσμού των ΗΠΑ για τα έτη 21 και μ. (α) Ορίζουμε τα σημεία: >> t = (19:1:2)'; >> p = [ ]'; Με τις εντολές >> plot(t,p,'bo'); >> ais([ ]); >> title('population of the U.S. 19-2'); >> ylabel('millions'); παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα: 1

2 4 Population of the U.S Millions (β) Βρίσκουμε τα πολυώνυμα παρεμβολής p 2, p 4, p 6 και p 8 : >> p2=polyfit(t,p,2) Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT. > In polyfit at 8 p2 = 1.e+4 * >> p4=polyfit(t,p,4) Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT. > In polyfit at 8 p4 = 1.e+7 * Columns 1 through Columns 4 through >> p6=polyfit(t,p,6) Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT. > In polyfit at 8 p6 = 1.e+11 * Columns 1 through Columns 4 through Column >> p8=polyfit(t,p,8) Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT. > In polyfit at 8 p8 = 1.e+14 * Columns 1 through Columns 4 through 6 2

3 Columns 7 through >> Με τις εντολές >> =19:22; >> P2=p2(); P4=p4(); P6=p6(); P8=p8(); >> subplot(2,2,1); plot(t,p,'bo',,p2); ylabel('p_2'); ais([ ]); >> subplot(2,2,2); plot(t,p,'bo',,p4); ylabel('p_4'); ais([ ]); >> subplot(2,2,3); plot(t,p,'bo',,p6); ylabel('p_6'); ais([ ]); >> subplot(2,2,4); plot(t,p,'bo',,p8); ylabel('p_8'); ais([ ]); >> παίρνουμε το πιο κάτω γραφικό: p 2 2 p p 6 2 p (γ) Υπολογίζουμε τις τιμές του p 2 για t=21 και 22: >> p21=polyval(p2,21) p21 = e+2 >> p22=polyval(p2,22) p22 = e+2 Με βάση το μοντέλο p 2 ο πληθυσμός των ΗΠΑ θα είναι εκατομμύρια το 21 και εκατομμύρια το 22. 3

4 Πρόβλημα 2 Εστω το γραμμικό σύστημα A=b: = 42 = 32 = 12 = 5 = 1 = = (α) Βρείτε τη λύση του συστήματος με αριστερή διαίρεση. 3 μ. (β) Βρείτε τον ανηγμένο κλιμακωτό και τη λύση του συστήματος 3 μ. (γ) Βρείτε τη λύση =A -1 b 2 μ. (δ) Βρείτε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α 2 μ. (α) (β) >> A=[ ; ; ; ; ; ; ]; >> b=[ ]'; >> >> =A\b = >> format short >> C=rref([A b]) C = Columns 1 through Column

5 (γ) >> =inv(a)*b = (δ) >> eig(a) ans = i i i i

6 Πρόβλημα 3 Δίνεται το γραμμικό σύστημα: = = = (α) Βρείτε τον ανηγμένο κλιμακωτό του επαυξημένου πίνακα [Α b]. 2 μ. (β) Βρείτε τη γενική λύση του συστήματος. 4 μ. (α) >> A=[ ; ; ]; >> b=[ 16-1]'; >> >> C=rref([A b]) C = >> (β) Η γενική λύση του συστήματος είναι = λ = 1 2λ =.4 2.6λ = λ 6

7 Πρόβλημα 4 Δίνεται ο πίνακας A = (α) Βρείτε την 1-, την 2-, την - και τη νόρμα Frobenius του πίνακα Α. 4 μ. (β) Βρείτε τον δείκτη κατάστασης του πίνακα Α. Είναι ο πίνακας καλής κατάστασης; 2 μ. (α) (β) >> A=[ ; ; ; ]; >> norm1=norm(a,1) norm1 = 12 >> norm2=norm(a,2) norm2 = >> norminf=norm(a,inf) norminf = 11 >> normfro=norm(a,'fro') normfro = >> cond2=cond(a) cond2 = Επειδή κ(α)=ο(1), ο Α είναι καλής κατάστασης. 7

8 Πρόβλημα 5 Δίνεται ότι η συνάρτηση Bessel 2 ου είδους και τάξης n που συμβολίζεται με Υ n δίνεται από τη συνάρτηση βιβλιοθήκης bessely(n,) Για περισσότερες πληροφορίες δοκιμάστε τη βοήθεια help bessely. (α) Ορίστε τις ανώνυμες συναρτήσεις Υ και Υ 1 για τις συναρτήσεις Bessel 2 ου είδους και τάξης και 1 αντίστοιχα. 2. μ. (β) Σχεδιάστε στο ίδιο γράφημα τις γραφικές παραστάσεις των Υ και Υ 1 στο διάστημα [, 1] έτσι ώστε να φαίνονται τα σημεία τομής τους με τον άξονα των. 4 μ. (γ) Βρείτε εκτιμήσεις όλων των ριζών των Υ και Υ 1 στο διάστημα [, 1]. 6 μ. (δ) Βρείτε τις ακριβείς τιμές των ριζών των Υ και Υ 1 στο διάστημα [, 1]. 6 μ. (ε) Βρείτε τα σημεία τομής των Υ και Υ 1 στο διάστημα [, 1]. 6 μ. (α) >> Y=@() bessely(,) Y bessely(,) >> Y1=@() bessely(1,) Y1 bessely(1,) (β) Με τις εντολές >> =:.1:1; >> plot(,y(),,y1(),'r') >> ais([ 1-2 2]) παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα: Y Y (γ) Οι ρίζες της Υ φαίνονται προσεγγιστικά με ανοικτούς κύκλους και αυτές της Υ 1 με κλειστούς κύκλους: 8

9 Βρίσκουμε προσεγγίσεις των ριζών των Υ και Υ 1 με την εντολή ginput. Για τη Υ έχουμε: >> [,y]=ginput(3) = y = Για την Υ 1 βρίσκουμε: >> [1,y1]=ginput(3) 1 = y1 = (δ) Θα βρούμε τις ακριβείς ρίζες με τη συνάρτηση fzero. Για τη Υ βρίσκουμε: >> format long >> for i=1:3 yroot(i)=fzero(y,(i)); end >> yroot yroot = Ομοίως βρίσκουμε τις ρίζες της Υ 1 : >> for i=1:3 y1root(i)=fzero(y1,1(i)); end >> y1root y1root =

10 (ε) Με τη βοήθεια της ginput βρίσκουμε πρώτα προσεγγίσεις των σημείων τομής των Y και Υ 1 : >> [r,yr]=ginput(3) r = yr = Ορίζουμε πρώτα την ανώνυμη συνάρτηση Y -Y 1 και χρησιμοποιούμε την fzero: >> YY1=@() bessely(,)-bessely(1,) YY1 bessely(,)-bessely(1,) >> for i=1:3 sec(i)=fzero(yy1,r(i)); end >> cpoints=[sec' Y(sec)'] cpoints =

11 Πρόβλημα 6 Διαβάστε το αρχείο b2 που βρίσκεται στην ιστοσελίδα του μαθήματος το οποίο περιέχει σε 4 στήλες τα διανύσματα, y 1, y 2 και y 3. Στη συνέχεια σχεδιάστε στο ίδιο πολλαπλό γράφημα τις γραφικές παραστάσεις των y 1, y 2 και y 3 συναρτήσει του, ως εξής: y 1 y 2 y 3 Με τις εντολές >> fid=fopen('b2.tt'); >> X=fscanf(fid,'%g %g %g %g',[4 inf])'; >> fclose(fid); >> subplot(3,1,1); plot(x(:,1),x(:,2)); label(''); ylabel('y_1'); >> subplot(3,1,2); plot(x(:,1),x(:,3)); label(''); ylabel('y_2'); >> subplot(3,1,3); plot(x(:,1),x(:,4)); label(''); ylabel('y_3'); παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα 8 μ. 1 y y y

12 Πρόβλημα 7 Εστω το πολυώνυμο f 3 2 ( ) = (α) Βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου. 2 μ. (β) Σχεδιάστε το γράφημα του f έτσι ώστε να φαίνονται καθαρά οι 3 ρίζες του. 4 μ. (γ) Ποια ρίζα βρίσκει η μέθοδος Newton με αρχική εκτίμηση =1; (Χρησιμοποιήστε το m-file Newton1.m στην ιστοσελίδα του μαθήματος) 2 μ. (δ) Ποια ρίζα βρίσκει η μέθοδος Newton με αρχική εκτίμηση =1.15; 2 μ. (ε) Αν * η ακριβής ρίζα που βρήκατε στο (δ) υπολογίστε το σφάλμα ε = *, k =,1,2, k k και σχεδιάστε το ε k συναρτήσει του k σε ημιλογαριθμικό γράφημα (κατά τον άξονα των ε k ). 6 μ. (α) Ορίζουμε το πολυώνυμο f και χρησιμοποιούμε την εντολή roots: >> pf=[ ]; >> roots(pf) ans = (β) Με τις εντολές >> f=@() polyval(pf,) f polyval(pf,) >> =1:.1:1.4; >> plot(,f()) >> ais([ ]) παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα:

13 (γ) Ορίζουμε σαν ανώνυμη συνάρτηση την παράγωγο της f και καλούμε την Newton1: ( δ) >> dpf=polyder(pf) dpf = >> df=@() polyval(dpf,) df polyval(dpf,) >> root=newton1(f,df,1,1e-6,1) k _k f(_k) Newton method has converged root = >> root=newton1(f,df,1.15,1e-6,1) k _k f(_k) Newton method has converged root = Παρατηρούμε ότι τώρα βρήκαμε την 3 η ρίζα του f. (ε) >> XK=[ ]; >> error=abs(xk-root) error = >> kvec=:6; >> semilogy(kvec,error,'o') 13

14 >> label('iteration') >> ylabel('error') Παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα που δείχνει την τετραγωνική σύγκλιση της μεθόδου Newton: Error Iteration 14

15 Πρόβλημα 8 ( α) Δημιουργείστε ένα function m-file με όνομα wrpol.m και δεδομένα εισόδου ένα πολυώνυμο p, το όνομα fname ενός αρχείου και δύο αριθμούς a b με b >a το οποίο θα διαμερίζει το διάστημα [a,b] σε 11 ισαπέχοντες κόμβους i και θα τυπώνει στο αρχείο fname σε τρείς στήλες τις τιμές i, p( i ), dp/d( i ) (β) Χρησιμοποιείστε το πιο πάνω m-file για το πολυώνυμο 6 μ. p 3 2 ( ) = στο διάστημα [,1]. 2 μ. (α) Το ζητούμενο m-file είναι το εξής: function []=wrpol(p, fname, a, b) % WRPOL % Prints the values of p and p' in [a,b] % =a:(b-a)/1:b; pd=polyder(p); Y= [ ; polyval(p,); polyval(pd,)] ; fid=fopen(fname,'w'); fprintf(fid,'%4.1f %13.8f %13.8f \n',y); fclose(fid); % End of WRPOL (β) Με την εντολή >> wrpol([ ], 'data1',, 1) παίρνουμε το αρχείο data1:

16 Πρόβλημα 9 Διαμερίστε στη ΜΑΤLAB το διάστημα [, 1] με 21 ισαπέχοντες κόμβους i, i=1,., 21 έτσι ώστε: Στη συνέχεια υπολογίστε το γινόμενο =.5( i 1), i= 1,, 21 i 21 i= 1, i 9 ( i ) με τη χρήση μόνο ενός βρόχου for. 4 μ. >> =(:2)/2; >> product=1; >> for i=1:21 if i ~=9 product=product*((9)-(i)) end end Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε: >> =linspace(,1,21); >> product=1; >> for i=[1:8 1:21] product= product*((9)-(i)) end Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουμε: 9 >> product product = e-13 16