Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"

Ἀρίσταρχος Ταρσούλη
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου Σελ. 7 Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του Διαφορικού Λογισµού; Μονάδες 7 Θεωρία Σχολικού Σελ. 47 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. _ α. Αν z ένας µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z. Μονάδες ΣΩΣΤΟ β. Έστω µία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Αν f (x)> για κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. Μονάδες ΣΩΣΤΟ γ. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα Δ, ισχύει f (x)dx = f(x) + c, c IR. ΣΩΣΤΟ Μονάδες

2 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ δ. Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστηµα Δ, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. Μονάδες ΛΑΘΟΣ ε. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα Δ και x ένα εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x και f (x)=, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x. Μονάδες ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Δίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z=α+βi, όπου α,β IR και w=z i _ z +4, όπου _ z είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=α β+4 Ιm(w)=β α. Μονάδες 6 α. w = z i z + 4 = (α + βi) i(α βi) + 4 = α + βi αi β + 4 = (α β + 4) + (β α)i άρα Re(w) = α β + 4 Im(w) = β α β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y=x. Μονάδες 9 β. Έχουµε ότι Μ(w) Ε: y = x β α = α β + 4 4β = 4α 8 β = α. Άρα τα σηµεία Ν(z) η : y = x.

3 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ γ. Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο µέτρο. Μονάδες γ. y η: y = x O K x Φέρνουµε ΟΚ η : y = x, τότε λοκ =, άρα ΟΚ: y = x ΟΚ : y = x y = x K:, άρα Κ(, ) η : y = x y = Συνεπώς ο ζητούµενος µιγαδικός είναι ο z = i. ΘΕΜΑ Έστω η συνάρτηση f(x) = x 5 +x +x. α. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. Μονάδες 6 α. Είναι f (x) = 5x 4 + x + >, x R, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε «-», άρα αντιστρέφεται. Είναι: f (x) = x + 6x = x(x + ). f (x) = x =. x + f + f Όπως φαίνεται από τον πίνακα µεταβολών της f η f είναι κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, + ) και έχει (Σ.Κ.) στο σηµείο (, ).

4 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ β. Να αποδείξετε ότι f(e x ) f(+x) για κάθε x IR.. β. f(e x ) f( + x) f e x + x, x R. Θεωρούµε g(x) = e x x, x R g (x) = e x g (x) = x = Μονάδες 6 x + g + g Όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα ισχύει: g(x) g() = e x + x γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (,) είναι ο άξονας συµµετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f. Μονάδες 5 γ. Είναι f() = και f () = η εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο Ο(, ) είναι η y f() = f ()(x ) ή y = x, η οποία είναι άξονας συµµετρίας δύο αντίστροφων συναρτήσεων. δ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και την ευθεία µε εξίσωση x=. δ. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και η f είναι γνησίως αύξουσα. Βρίσκουµε τις ρίζες της f και έχουµε: f (α) = α = f() =, άρα η µονάδική ρίζα της f είναι η x =. Άρα για x f (x) f () = Οπότε E = f ( x) dx Θέτουµε x = f(u) dx = f (u)du. 4

5 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Για x = : = f(u) u = Για x = : = f(u) u = Η µοναδικότητα της ρίζας εξασφαλίζεται από το ότι η f είναι. = Άρα Ε = f ( f( u) ) fʹ( u) du ufʹ ( u) du = 5 ( x) dx = ( 5x + x + ) = xfʹ 6 4 x x x = = = = τ.µ x dx = Δεύτερη λύση κάνοντας µια πρόχειρη γραφική παράσταση των f και f - έχουµε + = Cf y = x y = C f x = Φέρνοντας την y = το εµβαδόν που ορίζεται από C f, x x, x = είναι ίσο µε το εµβαδόν που ορίζεται από Cf, y y και την y = λόγω συµµετρίας ως προς την y = x. Έτσι f(x) = x 5 + x + x = x = προφανής ρίζα µοναδική λόγω του ότι f είναι «-» Οπότε Ε(Ω) = ( f(x)) dx = 6 4 x x x = [ x ] = = = = = dx ( x + x + x) dx = 5

6 ΘΕΜΑ 4 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β). Αν ισχύει f(α) = f(β) = και υπάρχουν αριθµοί γ (α,β), δ (α,β), έτσι ώστε f(γ) f(δ)<, να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)= στο διάστηµα (α,β). 4α. Επειδή f(γ) f(δ) < γ δ γιατί αν γ = δ τότε f(γ) = f(δ) και f(γ) f(δ) = (f(γ)) > άτοπο γιατί f(γ) f(δ) < Άρα, έστω γ < δ χωρίς βλάβη της γενικότητας και αφού [γ, δ] [α, β] η f συνεχής από Θεώρηµα Bolzano υπάρχει xo (γ, δ) ώστε f(xo) =. β. Υπάρχουν σηµεία ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε f (ξ)< και f (ξ)>. Μονάδες 9 4β. ος τρόπος Στα διαστήµατα [α, xo] και [xo, β] η f είναι παραγωγίσιµη και ισχύουν f(α) = f(xo) = f(β) = άρα από Θ. Rolle υπάρχουν x (α, xo) και x (xo, β) ώστε f (x) = και f (x) =. Τώρα αν f (x) = x (α, β) τότε f (x) = κ x [α, β] και επειδή f (x) = κ = δηλαδή f (x) = άρα f(x) = λ για x [α, β] δηλαδή f(γ) f(δ) = λ > άτοπο εποµένως η f δεν είναι παντού µηδέν. Αν η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο (α, β) τότε η f γνήσια µονότονη οπότε η f θα έχει το πολύ µια ρίζα στο (α, β) άτοπο αφού f από παραπάνω έχει δύο ρίζες. Εποµένως, επειδή f συνεχής θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξ, ξ (α, β) ώστε f (ξ)< και f (ξ) >. ος τρόπος α κ λ β Επειδή η f στο [α, β] δεν είναι σταθερή αφού αν f σταθερή στο [α, β] και f(α) = f(β) = και f συνεχής θα ισχύει f(x) = x (α, β) άτοπο αφού f(γ)f(δ) < σύµφωνα µε Θ.Μ.Ε.Τ. υπάρχουν κ, λ (α, β) ώστε f(κ) f(x) f(λ) και επειδή η f έχει ετερόσηµες τιµές στο (α,β) η µικρότερη τιµή f(κ) < και η µεγαλύτερη τιµή f(λ) >. Τώρα στο [α, κ] η f παραγωγίσιµη οπότε σύµφωνα µε Θ.Μ.Τ. υπάρχει ρ (α, κ) ώστε f(κ) f(α ) f(κ) f (ρ) = = > κ - α κ α Στο διάστηµα τώρα [ρ, κ] η f παραγωγίσιµη µε f (κ) = από Fermat, υπάρχει από f (κ) f (ρ) f (ρ ) Θ.Μ.Τ. ξ (ρ, κ) ώστε f (ξ) = = < κ ρ κ ρ 6

7 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Επίσης, στο [λ, β] από Θ.Μ.Τ. για την f έχουµε ότι f(β) f(λ ) f(λ ) υπάρχει ρ (λ, β) ώστε f (ρ) = = > αφού f(λ) < β - λ β - λ και στο [λ, ρ] από Θ.Μ.Τ. για την f έχουµε ότι f (ρ ) f (λ) f (ρ ) υπάρχει ξ (λ, ρ) ώστε f (ξ) = = > αφού f (λ) = από Fermat. ρ λ ρ λ γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f. 4γ. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του θέµατος και των θεωρητικών δεδοµένων της σχολικής ύλης για τον ορισµό του σηµείου καµπής (... αν η f αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του xo και f (xo) =...) η ύπαρξη τουλάχιστον ενός σηµείου καµπής δεν αποδεικνύεται. Η ύπαρξη πιθανής θέσης σηµείου καµπής (που βαθµολογήθηκε µε όλες τις µονάδες) αποδεικνύεται ως εξής: Επειδή f συνεχής στο διάστηµα που ορίζουν τα σηµεία ξ και ξ του β) ερωτήµατος και f (ξ)f (ξ) < σύµφωνα µε Θ. Bolzano υπάρχει ξ ώστε f (ξ) = δηλαδή το (ξ, f(ξ)) είναι πιθανό σηµείο καµπής. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ α. Οι παραπάνω λύσεις είναι ενδεικτικές β. Τα σηµερινά θέµατα ήταν ιδιαίτερα απαιτητικά και ήθελαν πέρα από την εµβάθυνση της σχολικής ύλης, ξεχωριστή ικανότητα για την αντιµετώπιση κάποιων ερωτηµάτων. Θεωρούµε ότι οι βαθµολογίες στο συγκεκριµένο µάθηµα θα κυµανθούν σε χαµηλότερα επίπεδα από πέρυσι. 7

Σχετικά έγγραφα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (