ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η αξιοποίηση των μοτίβων (patterns) για τη μελέτη της ικανότητας για γενίκευση στα Μαθηματικά των υποψηφίων δασκάλων. ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΝΩΛΟΠΟΥΛΟΥ ΘΕΟΔΩΡΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: κ. ΚΟΛΕΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ Νοέμβριος 2014 ΠΑΤΡΑ 1

2 Περιεχόμενα Εισαγωγή 3 1 Σχολική Άλγεβρα σύγχρονες προσεγγίσεις Από την Αριθμητική στην Άλγεβρα Κατανόηση των μεταβλητών και των αλγεβρικών παραστάσεων Κατανόηση της ισότητας Κατανόηση των ιδιοτήτων των πράξεων Patterns: ο ρόλος τους στα προγράμματα σπουδών των Μαθηματικών Είδη Patterns Επαναλαμβανόμενα Patterns (Repeating Patterns) και πρώιμη Άλγεβρα..23 Αναπτυσσόμενα Patterns (Growing Patterns) και πρώιμη Άλγεβρα Οι συνθήκες που μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αναπτύξουν στοιχεία αλγεβρικής και συναρτησιακής σκέψης Οι στρατηγικές των μαθητών σε δραστηριότητες patterning ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Σκοπός της έρευνας Συμμετέχοντες Υλικό- Συλλογή των δεδομένων Ανάλυση των δεδομένων 45 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ...50 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...94 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.97 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

3 Εισαγωγή Η Άλγεβρα, αν και ιστορικά συνδέθηκε, κυρίως με τη μελέτη των μεθόδων λύσης των εξισώσεων, σήμερα χρησιμοποιείται παντού. Είναι στα δίκτυα επικοινωνίας, στους νόμους της φυσικής, στα μοντέλα επιχειρήσεων από τα καθημερινά λογιστικά φύλλα μέχρι τα προηγμένα συστήματα προγραμματισμού και τις στρατηγικές οικονομικού σχεδιασμού, στα μοντέλα μελέτης των πληθυσμών και στα στατιστικά αποτελέσματα που μπορούν να αναπαρασταθούν με τη συμβολική γλώσσα της Άλγεβρας. Επιπλέον, η Άλγεβρα μελετά τις αφηρημένες δομές και τον τρόπο που αυτές συμβάλλουν στην επίλυση των προβλημάτων. Αν δεχτούμε ότι η αλγεβρική ικανότητα είναι σημαντική στη ζωή των ενηλίκων, τότε όλοι οι μαθητές πρέπει να μπορούν να μάθουν Άλγεβρα (Γαβρίλης, 2011). Όπως σημειώνεται από το National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000), η Άλγεβρα θεωρείται ως κάτι περισσότερο από τον χειρισμό των συμβόλων. Οι μαθητές πρέπει να μπορούν να κατανοήσουν τις έννοιες της Άλγεβρας, τη δομή και τις αρχές που διέπουν τον χειρισμό των αλγεβρικών συμβόλων και τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να τη χρησιμοποιούν για την καταγραφή των ιδεών τους και την απόκτηση γνώσεων σχετικά με τις καταστάσεις. Είναι σημαντικό, πριν την εισαγωγή των μαθητών στην Άλγεβρα, να προηγηθεί ένα στάδιο προετοιμασίας τους, κατά τη διάρκεια του οποίου θα διαμορφωθούν τα κατάλληλα νοητικά σχήματα για τη συστηματική, στη συνέχεια, μελέτη των αλγεβρικών ιδεών. Το στάδιο αυτό μπορεί και προτείνεται να ξεκινήσει από τις πρώτες κιόλας τάξεις του Δημοτικού Σχολείου (NCTM, 2000) Η Άλγεβρα και η Αριθμητική στα "παραδοσιακά" σχολικά Μαθηματικά θεωρούνται ως δύο διακριτά θεματικά πεδία. Ως συνέπεια του ότι η εμφάνιση της Άλγεβρας είναι ιστορικά μεταγενέστερη της Αριθμητικής καθώς επίσης και του γεγονότος πως η Άλγεβρα παρουσιάζεται κατά κανόνα ως γενικευμένη Αριθμητική είναι η αναβολή της μύησης των μαθητών στις αλγεβρικές έννοιες και διαδικασίες μέχρι την έναρξη της τυπικής διδασκαλίας της Άλγεβρας στις πρώτες τάξεις της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Μία τέτοια διάκριση επιτρέπει μια "τακτοποιημένη" σειρά των θεμάτων στο αναλυτικό πρόγραμμα. Στο Δημοτικό σχολείο οι εκπαιδευτικοί εστιάζουν την προσοχή τους κυρίως σε αριθμητικές έννοιες, σε υπολογιστικές δεξιότητες και λεκτικά προβλήματα με μία μόνο αριθμητική 3

4 απάντηση. Και μόνο αργότερα τα γράμματα χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών και μαθηματικών διαδικασιών. Δεν πρέπει, όμως, να εκπλήσσει ότι μια τέτοια άκαμπτη οριοθέτηση οδηγεί σε μεγάλη ένταση κατά μήκος των συνόρων της Αριθμητικής και της Άλγεβρας. Ωστόσο πολλές έρευνες έχουν δείξει πως πολλές από τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές κατά τη "μετάβαση" από την Αριθμητική στην Άλγεβρα, την περίοδο δηλαδή που υποθετικά "τελειώνει" η Αριθμητική και "αρχίζει" η Άλγεβρα προέρχονται από χαμένες ευκαιρίες στις αρχικές μαθηματικές εμπειρίες τους που στη συνέχεια πρέπει να ανασκευαστούν (Carraher et al., 2006 Kieran, 1981). Ο όρος "Άλγεβρα" συνήθως δεν αναφέρεται στο Δημοτικό Σχολείο, όμως η μαθηματική διερεύνηση και οι συζητήσεις των μαθητών από τις μικρές κιόλας τάξεις της υποχρεωτικής εκπαίδευσης περιλαμβάνουν στοιχεία αλγεβρικού συλλογισμού. Αυτές οι εμπειρίες παρουσιάζονται ως πλούσια πλαίσια για την προώθηση της εννοιολογικής κατανόησης των Μαθηματικών και αποτελούν σημαντικό πρόδρομο για τη συστηματική, στη συνέχεια, μελέτη των αλγεβρικών ιδεών (NCTM, 2000). Κατά την Kieran (2007) η αλγεβρική σκέψη στις πρώτες τάξεις της στοιχειώδους εκπαίδευσης συνεπάγεται την ανάπτυξη των τρόπων σκέψης στο πλαίσιο δραστηριοτήτων στις οποίες ο αλγεβρικός συμβολισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα εργαλείο, αλλά δεν αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση όπως η ανάλυση σχέσεων μεταξύ ποσοτήτων, η παρατήρηση δομής, η μελέτη της μεταβολής, η γενίκευση, η επίλυση προβλημάτων, η μοντελοποίηση, η τεκμηρίωση, η απόδειξη και η πρόβλεψη. Οι Kaput και Blanton (2001) προτείνουν την "αλγεβροποίηση της μαθηματικής εμπειρίας στο Δημοτικό σχολείο". Αυτή η διαδικασία έχει τρεις διαστάσεις: (α) τη διαδικασία δημιουργίας ή μετασχηματισμού δραστηριοτήτων οι οποίες θα παρέχουν ευκαιρίες για γενίκευση και προοδευτική τυποποίηση των μαθηματικών μοντέλων και δομών, (β) οι εκπαιδευτικοί να μπορούν να αναγνωρίζουν τις ευκαιρίες για τέτοιου είδους συλλογισμό στην καθημερινή εργασία στην τάξη, (γ) δημιουργία πρακτικών και συνθηκών στην τάξη που υποστηρίζουν τέτοιου είδους συλλογισμό. Υποστηρίζουν, επίσης, πως μια τέτοια προσέγγιση θα πρόσθετε σαφήνεια και βάθος στη στοιχειώδη μαθηματική εκπαίδευση. Κυρίως, όμως, πως είναι απαραίτητη γιατί θα εκδημοκράτιζε τις υψηλής αξίας ιδέες καθιστώντας τες προσβάσιμες από όλους τους μαθητές. Η έρευνα καταγράφει όλο και περισσότερο την ικανότητα των μαθητών του Δημοτικού Σχολείου, από διαφορετικά κοινωνικοοικονομικά και εκπαιδευτικά 4

5 υπόβαθρα, να συμμετέχουν σε αλγεβρικό συλλογισμό που αίρει τους αναπτυξιακούς περιορισμούς που τους είχαν επιβληθεί (π.χ. Blanton και Kaput, 2003 Carpenter, Franke και Levi, 2003). Όπως οι Carpenter, Franke και Levi (2003) παρατηρούν "οι μαθητές του Δημοτικού Σχολείου είναι ικανοί να μάθουν πώς να συμμετέχουν σε αυτό το είδος συλλογισμού, όμως συχνά δεν τους έχει δοθεί η ευκαιρία να το πράξουν". Oι πρόσφατες έρευνες, λοιπόν, εξετάζουν την ανάπτυξη της αλγεβρικής σκέψης ως ένα συνεχές (continuum) που αρχίζει από τις πρώτες τάξεις της στοιχειώδους εκπαίδευσης και υποστηρίζουν πως η διερεύνηση απλών patterns σε "ρεαλιστικά πλαίσια" μπορεί να συμβάλλει προς αυτή την κατεύθυνση (π.χ. Stacey& McGregor, 2001). Η μελέτη των patterns είναι εξαιρετικά σημαντική για να αρχίσουν οι μαθητές να διακρίνουν σχέσεις, να προβλέπουν εξελίξεις ή αποτελέσματα και να οδηγούνται σε γενικεύσεις. Η σύνδεση της Άλγεβρας με τις δομές των patterns συμβάλλει στην ανάπτυξη αλγεβρικών ικανοτήτων (γενίκευσης, αφαίρεσης κ.ά), όπως και στην ανάπτυξη της αλγεβρικής έκφρασης. 5

6 1. Σχολική Άλγεβρα: σύγχρονες προσεγγίσεις Η Άλγεβρα συνιστά μία από τις σπουδαιότερες, αλλά και δυσκολότερες ενότητες των Μαθηματικών από άποψη μάθησης αλλά και διδασκαλίας. Η αξία της βρίσκεται κυρίως σε δύο δυνατότητες που προσφέρει: (α) τη διαχείριση των μαθηματικών ιδεών με ακρίβεια και σαφήνεια και (β) την ευκολότερη και αποτελεσματικότερη επίλυση προβλημάτων, μαθηματικών και μη, κυρίως μέσω της μοντελοποίησης (Δράμαλης& Σακονίδης, 2006 Kieran, 2007). Οι συγγραφείς του Principles and Standards for School Mathematics (2000) συμπεριέλαβαν την Άλγεβρα ως ένα από τα πέντε κριτήρια περιεχομένου που καλύπτουν όλες τις τάξεις από τα νήπια μέχρι τη Γ Λυκείου (τα υπόλοιπα κριτήρια περιεχομένου είναι: "Αριθμοί και Πράξεις", "Ανάλυση Δεδομένων και Πιθανότητες", "Γεωμετρία" και "Μετρήσεις"). Το κριτήριο της Άλγεβρας στο Principles and Standards αφορά την ανάπτυξη της αλγεβρικής σκέψης και των αλγεβρικών εννοιών στο Αναλυτικό Πρόγραμμα από το Νηπιαγωγείο μέχρι τη Γ Λυκείου. Το πεδίο εστίασης της πρότασης «Άλγεβρα για όλους» είναι: (α) η κατανόηση προτύπων (patterns), σχέσεων και συναρτήσεων, (β) η αναπαράσταση και η ανάλυση μαθηματικών καταστάσεων και δομών με τη βοήθεια συμβόλων, (γ) η χρήση μαθηματικών μοντέλων για την έκφραση και κατανόηση ποσοτικών σχέσεων και (δ) η ανάλυση μεταβολών σε διάφορα πλαίσια. Η αλγεβρική συλλογιστική περιλαμβάνει την αναπαράσταση, τη γενίκευση και την τυποποίηση καταστάσεων και την κανονικότητα σε όλες τις πλευρές των Μαθηματικών (Van de Walle, 2005). Όπως σημειώνει και ο Kaput (1998) είναι δύσκολο να βρούμε μια περιοχή των Μαθηματικών η οποία να μη συνεπάγεται τη γενίκευση και την τυποποίηση με κάποιο ουσιώδη τρόπο. Στην πραγματικότητα, αυτός ο τύπος της συλλογιστικής βρίσκεται στην καρδιά των Μαθηματικών ως "επιστήμης των κανονικοτήτων" και της τάξης ("Science of Patterns" κατά τους Steen, 1988 Hardy, 1992 Devlin, 1994 και Resnik, 1999, μεταξύ άλλων). Η διδασκαλία των Μαθηματικών στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση εστιάζεται κυρίως στην ανάπτυξη αριθμητικών εννοιών και υπολογιστικών δεξιοτήτων. Ωστόσο είναι πλέον ευρέως κατανοητό ότι η προετοιμασία των μαθητών του Δημοτικού σχολείου για τα ολοένα και πιο σύνθετα Μαθηματικά αυτού του αιώνα απαιτεί μια διαφορετική προσέγγιση. Συγκεκριμένα, οι μαθητές πρέπει να αποκτήσουν ένα τρόπο σκέψης ("habits of mind") που ανταποκρίνεται στις βαθύτερες δομές των 6

7 Μαθηματικών (Kaput,1999) και αυτός ο τρόπος σκέψης πρέπει να ενσωματώνεται στις σχολικές εμπειρίες των μαθητών από τις πρώτες κιόλας τάξεις του Δημοτικού σχολείου (NCTM, 2000) Η εισαγωγή της Άλγεβρας στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση δε συνεπάγεται την προσθήκη της παραδοσιακής και τυπικής Άλγεβρας στο Αναλυτικό Πρόγραμμα του Δημοτικού σχολείου. Οι υπέρμαχοι της μεταρρύθμισης των προγραμμάτων σπουδών των Μαθηματικών κάνουν λόγο για εκ νέου χαρακτηρισμό της φύσης της Άλγεβρας και της αλγεβρικής σκέψης προκειμένου να περιλαμβάνει ένα ευρύτερο ορισμό (Blanton& Kaput, 2005 Warren& Cooper, 2001). Όταν ο όρος "Άλγεβρα" χρησιμοποιείται περιλαμβάνει δύο διαφορετικές έννοιες: την αλγεβρική σκέψη και τον αλγεβρικό συμβολισμό. Υπάρχει έλλειψη συμφωνίας μεταξύ των ερευνητών όσον αφορά τη σχέση μεταξύ των δύο. Κάποιοι θεωρούν τα αλγεβρικά σύμβολα ως απαραίτητο στοιχείο της αλγεβρικής σκέψης, ενώ άλλοι τα θεωρούν ως έκβαση ή ως εργαλεία επικοινωνίας (Zazkis και Liljedahl, 2002).Οι Zazkis και Liljedahl αναφέρουν ότι η πιο πρόσφατη ερευνητική τάση είναι ο διαχωρισμός του αλγεβρικού συμβολισμού από την αλγεβρική σκέψη. Αυτή η ξεχωριστή θεώρηση προάγεται από δύο παράγοντες: το επιβεβαιωμένα από τη μεριά των μαθητών απρόσεκτο χειρισμό των συμβόλων και από την μετακίνηση προς τον πρώιμο αλγεβρικό συλλογισμό, την έμφαση στη δομή της Αριθμητικής παρά στη χρήση της ως υπολογιστικό εργαλείο στο Δημοτικό σχολείο. Τονίζουν ότι ούτε η παρουσία του αλγεβρικού συμβολισμού θα πρέπει να ληφθεί ως ένδειξη της αλγεβρικής σκέψης, ούτε η έλλειψη αλγεβρικού συμβολισμού θα πρέπει να ληφθεί ως αδυναμία να σκεφτούν οι μαθητές αλγεβρικά. Η συμβολική γλώσσα διευκολύνει την αλγεβρική σκέψη, αλλά δεν την εξασφαλίζει ούτε την εγγυάται (Malisani& Spagnolo, 2009).Ο Mason (1996, όπως αναφέρεται στο Zazkis και Liljedahl, 2002) αναφέρεται στην αλγεβρική σκέψη ως δραστηριότητα. Βλέπει τις ρίζες της αλγεβρικής σκέψης στην ανίχνευση της ομοιότητας και της διαφοράς, στη δημιουργία διακρίσεων, στην ταξινόμηση και την επισήμανση, ή απλά στην αναζήτηση του αλγόριθμου. Η ίδια η δημιουργία αυτού του αλγόριθμου στο μυαλό του μαθητή σε οποιαδήποτε μορφή κι αν συλλαμβάνεται είναι αλγεβρική σκέψη. Ο αλγεβρικός συμβολισμός, σύμφωνα με τον Mason, είναι η γλώσσα που δίνει φωνή σε αυτή τη σκέψη, η γλώσσα που εκφράζει τη γενικότητα. Ο Dörfler (1991) προτείνει ότι η θεωρητική γενίκευση απαιτεί μια ορισμένη συμβολική περιγραφή. Ωστόσο, πιστεύει ότι η συμβολική περιγραφή δεν συνεπάγεται κατ ανάγκη τη χρήση γραμμάτων. Σύμφωνα με τον 7

8 Dörfler αυτά τα σύμβολα μπορεί να είναι λεκτικά, εικονικά, γεωμετρικά ή αλγεβρικής φύσης. Αυτό είναι σύμφωνο με τη Sfard (1995) που χρησιμοποιεί τον όρο Άλγεβρα "σε σχέση με οποιοδήποτε είδος μαθηματικής προσπάθειας που αφορά γενικευμένες υπολογιστικές διαδικασίες ανεξάρτητα από τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να αποδώσουν αυτή τη γενικότητα" (Zazkis και Liljedahl, 2002). Οι Blanton και Kaput (2005) προσδιορίζουν τον αλγεβρικό συλλογισμό ως μια διαδικασία όπου οι μαθητές γενικεύουν μαθηματικές ιδέες από ένα σύνολο συγκεκριμένων περιπτώσεων, δημιουργούν αυτές τις γενικεύσεις μέσω συζήτησης της επιχειρηματολογίας και τις εκφράζουν με ολοένα και πιο επίσημους και σύμφωνα με την ηλικία τους τρόπους. Ο Radford (2011, όπως αναφέρεται στο Σακονίδης, 2011) υποστηρίζει ότι η αλγεβρική σκέψη συνδέεται με το συλλογισμό με συγκεκριμένους τρόπους. Διακρίνει την αριθμητική από την αλγεβρική σκέψη από επιστημονική άποψη, με βάση το γεγονός ότι στην τελευταία, απροσδιόριστες ποσότητες αντιμετωπίζονται με αναλυτικό τρόπο. Επιπλέον, ισχυρίζεται ότι, από σημειωτική άποψη, υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι σκέψης και έκφρασης της απροσδιοριστίας, με σύμβολα που δεν περιορίζονται σε αριθμούς και γράμματα. Ο ισχυρισμός αυτός είναι συμβατός με την ιστορική εξέλιξη της Άλγεβρας και, επιπλέον, επιτρέπει τη διερεύνηση μη συμβολικών μορφών αλγεβρικής σκέψης, δραστηριότητα που αναγνωρίζει, σέβεται και δίνει τη δυνατότητα αξιοποίησης της αλγεβρικής σκέψης των μαθητών. Ο Radford καταλήγει με τον ισχυρισμό ότι η αλγεβρική σκέψη δεν είναι κάτι «φυσικό» που προκύπτει με την ωρίμανση. Η αλγεβρική σκέψη είναι ένας πολύ επεξεργασμένος πολιτισμικός τύπος αναστοχασμού και δράσης, ένας τρόπος που έχει εκλεπτυνθεί ξανά και ξανά στο πέρασμα του χρόνου, προτού καταλήξει στην παρούσα μορφή. Αυτός και είναι ο λόγος που η απόκτησή του παρουσιάζει τόσες δυσκολίες. Όταν αναφερόμαστε στην Άλγεβρα συνήθως κάνουμε λόγο για το γνωστικό πεδίο της, το περιεχόμενό της, και λιγότερο για τη φύση των αλγεβρικών δραστηριοτήτων και για τις ικανότητες που πρέπει να αποκτήσουν οι μαθητές για να μπορούν να «κάνουν Άλγεβρα». Η Kieran (2004) κατηγοριοποιεί τις αλγεβρικές δραστηριότητες σε τρία είδη: (α) Δραστηριότητες παραγωγής (generational activities), τυποποίηση των εκφράσεων και των εξισώσεων. Τυπικά παραδείγματα αποτελούν: εξισώσεις που περιέχουν έναν άγνωστο και αναπαριστούν καταστάσεις, εκφράσεις γενίκευσης που προκύπτουν από 8

9 γεωμετρικά patterns ή αριθμητικές ακολουθίες και κανόνες που ορίζουν αριθμητικές σχέσεις, (β) Δραστηριότητες μετασχηματισμού (transformational activities), ισοδυναμία εκφράσεων και εξισώσεων, πράξεις και παραγοντοποίηση πολυωνύμων, λύση εξισώσεων κ.ά., (γ) Σφαιρικές (global, meta-level, activities),όπου η Άλγεβρα χρησιμοποιείται ως εργαλείο: επίλυση προβλήματος, μοντελοποίηση, παρατήρηση δομής, μελέτη των μεταβολών, γενίκευση, ανάλυση σχέσεων, αιτιολόγηση, παρουσίαση αποδείξεων και πρόβλεψη. Είναι εύκολο να αναγνωρίσει κάποιος, ότι μεταξύ των τριών αυτών κατηγοριών, οι δραστηριότητες μετασχηματισμού είναι αυτές που κυρίως χαρακτηρίζουν την παραδοσιακή σχολική Άλγεβρα. (Γαβρίλης,2011) Οι Drivers, Goddijn και Kindt (2011, όπως αναφέρεται στο Γαβρίλης,2011) θεωρούν ότι μια μαθηματική δραστηριότητα μπορεί να χαρακτηριστεί ως αλγεβρική, όταν έχει αρκετά από τα παρακάτω χαρακτηριστικά: (α) πραγματοποιείται μια ρητή ή υπονοούμενη γενίκευση, (β) ερευνώνται πρότυπα σχέσεων μεταξύ των αριθμών ή/και τύπων, (γ) τα προβλήματα λύνονται με την εφαρμογή των γενικών ή εξαρτώμενων από την κατάσταση κανόνων, (δ) ο λογικός συλλογισμός διεξάγεται με τις άγνωστες ή τις μέχρι εκείνη τη στιγμή άγνωστες ποσότητες, (ε) οι μαθηματικές διαδικασίες διεξάγονται με μεταβλητές που αναπαριστώνται με σύμβολα, (στ) Οι τύποι δημιουργούνται ως αποτέλεσμα των διαδικασιών, (ζ) για τις αριθμητικές διαδικασίες και τις σχέσεις, χρησιμοποιούνται ειδικά σύμβολα, (η) οι πίνακες και οι γραφικές παραστάσεις αναπαριστούν τους τύπους και χρησιμοποιούνται για να ερευνήσουν τους τύπους, (θ) οι τύποι και οι εκφράσεις συγκρίνονται και μετασχηματίζονται, (ι) οι τύποι και οι εκφράσεις χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις καταστάσεις στις οποίες οι ποσότητες διαδραματίζουν κάποιο ρόλο, (κ) οι διαδικασίες για τα προβλήματα περιέχουν βήματα που είναι βασισμένα στους υπολογιστικούς κανόνες, αλλά που δεν έχουν απαραιτήτως οποιαδήποτε έννοια στα πλαίσια του προβλήματος. Οι καλές αλγεβρικές δραστηριότητες, επομένως, πρέπει να μπορούν να ενταχθούν σε μία από τις τρεις παραπάνω κατηγορίες και να έχουν όσο περισσότερα από τα παραπάνω προτεινόμενα χαρακτηριστικά (ό.π., σελ. 75). Όσον αφορά την αλγεβρική ικανότητα που κάποιος έχει ή αποκτά ένας τρόπος να συζητηθεί είναι οι ιδέες των Kilpatrick, Swafford& Findell, για τη μαθηματική ικανότητα που αναφέρονται στο βιβλίο τους «Adding it up». Η μαθηματική ικανότητα είναι μια σύνθετη ικανότητα που συγκροτείται από πέντε επιμέρους στοιχεία (Kilpatrick et al., 2001): (α) εννοιολογική κατανόηση: κατανόηση των 9

10 μαθηματικών εννοιών, των διαδικασιών και των σχέσεων, ικανότητα του μαθητή να αναπαριστά τις μαθηματικές καταστάσεις με διαφορετικούς τρόπους και να αναγνωρίζει πως οι διαφορετικές αναπαραστάσεις μπορούν να είναι χρήσιμες για διάφορους λόγους, (β) διαδικαστική άνεση: δεξιότητα στην εκτέλεση διαδικασιών, ευέλικτα, με ακρίβεια, αποτελεσματικά και ανάλογα με την περίπτωση, (γ) στρατηγική ικανότητα: ικανότητα διατύπωσης, αναπαράστασης και σχεδιασμού στρατηγικών επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων, ικανότητα επιλογής της καλύτερης στρατηγικής, ή της καλύτερης αναπαράστασης, ή της καλύτερης συμβολικής έκφρασης, (δ) προσαρμοστικός συλλογισμός: ικανότητα για λογική σκέψη, αναστοχασμό, επεξήγηση και αιτιολόγηση, διαισθητικός και επαγωγικός συλλογισμός που στηρίζεται σε παρατήρηση κανονικοτήτων, σε αναλογίες και μεταφορές και (ε) παραγωγική διάθεση: θετική στάση αντιμετώπισης των Μαθηματικών ως χρήσιμων και σημαντικών, συνοδευόμενη από μια πεποίθηση ως προς την αποτελεσματικότητά τους. Συνοπτικά, και σε αντιστοιχία με την μαθηματική ικανότητα, στο μέτρο που αυτό είναι εφικτό, η αλγεβρική ικανότητα είναι συγχρόνως: ικανότητα να κατανοεί τις αλγεβρικές έννοιες, διαδικασίες και σχέσεις, ικανότητα να πραγματοποιεί τις αλγεβρικές διαδικασίες ευέλικτα και με ακρίβεια, ικανότητα να λύνει μαθηματικά προβλήματα με τη βοήθεια αλγεβρικών εννοιών και διαδικασιών, ικανότητα για τεκμηριωμένο συλλογισμό και θετική στάση απέναντι στην Άλγεβρα. 1.1 Από την Αριθμητική στην Άλγεβρα Η Αριθμητική και η Άλγεβρα εμφανίζονται ως δύο διαφορετικοί κόσμοι στους μαθητές και πολλοί αντιμετωπίζουν δυσκολίες κατά τη μετάβαση από τον ένα κόσμο στον άλλο (Van Ameron, 2003). Η μετάβαση από την Αριθμητική στην Άλγεβρα είναι δύσκολη ακόμα και για μαθητές που είναι αρκετά ικανοί στην Αριθμητική, διότι απαιτεί από τους μαθητές να κάνουν πολλές προσαρμογές (Kieran, 2004 Kilpatrick et al., 2001). Η Kieran υποστηρίζει πως για να είναι επιτυχής η μετάβαση απαιτείται: (α) εστίαση στις σχέσεις και όχι μόνο στον υπολογισμό μιας αριθμητικής απάντησης, (β) εστίαση στις πράξεις και στις αντίστροφές τους καθώς και στη σχετική ιδέα "πράξη/αναίρεση" (doing/undoing), (γ) εστίαση τόσο στην αναπαράσταση και στην 10

11 επίλυση ενός προβλήματος και όχι απλώς στην επίλυση, (δ) εστίαση και στους αριθμούς και στα γράμματα αντί για τους αριθμούς μόνο. Αυτό περιλαμβάνει: (i) εργασία με γράμματα που μπορεί να είναι άγνωστοι, μεταβλητές ή παράμετροι, (ii) αποδοχή ανοικτών εκφράσεων με γράμματα ως απαντήσεις, (iii) σύγκριση εκφράσεων για ισοδυναμία που βασίζεται στις ιδιότητες και όχι μόνο σε αριθμητική εκτίμηση, (ε) επαναπροσδιορισμό της έννοιας του συμβόλου της ισότητας. Η Άλγεβρα εμφανίζεται ως μια νέα «γλώσσα» με τη δική της δομή, τις δικές της αρχές και τους δικούς της κανόνες που πολλές φορές έρχονται σε αντίθεση τόσο με τους κανόνες της καθημερινής γλώσσας όσο και με τους κανόνες της Αριθμητικής. Στην Άλγεβρα τα γράμματα, τα σύμβολα, οι εκφράσεις και η έννοια της ισότητας απαιτούν διαφορετική ερμηνεία. Οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν τις μεταβλητές και τον αλγεβρικό συμβολισμό, το σύμβολό της ισότητας ως μια σχέση, και τις ιδιότητες των πράξεων. Η εξοικείωση των μαθητών με τη δομή γίνεται αντιληπτή ως συνέπεια της εμπειρίας των μαθητών με την Αριθμητική μέσα από μια διαδικασία επαγωγικών γενικεύσεων (Warren, 2001a Warren, 2001b Warren& Cooper, 2001). 1.2 Κατανόηση των μεταβλητών και των αλγεβρικών παραστάσεων. Μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στην Άλγεβρα είναι η έννοια της μεταβλητής. Η μεταβλητή αρχίζει να εμφανίζεται στη διδασκαλία από τις τελευταίες τάξεις του Δημοτικού και συνεχίζει να εμφανίζεται και να κατασκευάζεται σαν έννοια για τους μαθητές μέχρι το Λύκειο (Λεμονίδης, 1996). Οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι οι μεταβλητές είναι σύμβολα που παίρνουν τη θέση των αριθμών ή πεδίων αριθμών και ότι έχουν διαφορετικές σημασίες ανάλογα με το κατά πόσον χρησιμοποιούνται ως αναπαραστάσεις ποσοτήτων που ποικίλλουν ή αλλάζουν, αναπαραστάσεις συγκεκριμένων άγνωστων τιμών ή ως σύμβολα σε μια γενική έκφραση ή τύπο. Οι μεταβλητές μάς παρέχουν τη δυνατότητα να χρησιμοποιούμε τα σύμβολα για να σκεφτόμαστε και ως βοηθήματα για να κατανοούμε καλύτερα τις μαθηματικές ιδέες κατά τον ίδιο τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε τα φυσικά αντικείμενα και τα σχήματα (Van de Walle, 2005). Οι σημασίες των μεταβλητών αλλάζουν ανάλογα με τον τρόπο που χρησιμοποιούνται. Ο Usiskin (1988) αναγνώρισε τρεις χρήσεις με τις οποίες συναντώνται συχνά οι μεταβλητές στα μαθηματικά: (α) Ως συγκεκριμένοι άγνωστοι: 11

12 Πρόκειται για τη χρήση που συναντάμε στις μικρές τάξεις σε εξισώσεις όπως 5+ =12. Αργότερα, δίνονται ασκήσεις όπως: αν 2χ+7=3χ+2, βρείτε τον χ. (β) Ως γενίκευση ενός προτύπου (pattern): Οι μεταβλητές χρησιμοποιούνται σε προτάσεις που είναι αληθείς για όλους τους αριθμούς. Για παράδειγμα, α X β= β X α για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Όμως, και οι τύποι σαν τον Ε= Μ x Π παριστάνουν ένα πρότυπο. (γ) Ως μεγέθη που μεταβάλλονται σε κοινή μεταλλαγή: Κοινή μεταλλαγή έχουμε, όταν η αλλαγή σε μια μεταβλητή καθορίζει την αλλαγή σε μια άλλη. Στο y=7χ+5, καθώς το χ αλλάζει ή μεταβάλλεται, το ίδιο συμβαίνει και με το y. Οι τύποι αποτελούν παράδειγμα κοινής μεταλλαγής. Στο C= 2πr, καθώς αλλάζει το r, η ακτίνα, αλλάζει ταυτόχρονα και το C, η περιφέρεια. (Van de Walle, 2005) Στοιχεία από την Αριθμητική μπορούν να αξιοποιηθούν ως βάση για την ανάπτυξη της αλγεβρικής κατανόησης των μαθητών. Για παράδειγμα, η διδασκαλία που αξιοποιεί τις «ημι-μεταβλητές» εισάγει τους μαθητές στην έννοια της μεταβλητής από τα χρόνια της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης (Fujii, 2003). Πρόκειται για αριθμούς σε μια αριθμητική παράσταση που δηλώνουν σχέση η οποία παραμένει εν ισχύ, ανεξάρτητα των εμπλεκόμενων αριθμών, π.χ =78 και έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν την ιδιαιτερότητά τους και όχι τη σχέση a- b+b=a. Οι Irwin και Britt (2007) υποστηρίζουν ότι όταν οι μαθητές έχουν εμπειρία στην τάξη όπου οι αριθμοί χρησιμοποιούνται ως «ημι-μεταβλητές» μπορούν να προχωρήσουν "χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία στη χρήση γραμμάτων ως μεταβλητές" (σελ. 33). Η έρευνα των Warren and Cooper (2002) με μαθητές δευτέρας τάξης Δημοτικού εξέτασε τον τρόπο με τον οποίο η χρήση «ημι-μεταβλητών» βοήθησε τους μαθητές στην έκφραση γενικεύσεων. Στην περίπτωση αυτή, οι μαθητές ήταν σε θέση να γενικεύσουν ένα πρότυπο (pattern) μέσω της χρήσης ημι-μεταβλητών και να περιγράψουν την υφιστάμενη μαθηματική δομή του προτύπου. Άλλες μελέτες (π.χ. Blanton& Kaput, 2003, 2005) έδειξαν πως οι ημι-μεταβλητές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να διευκολύνουν τους μαθητές να εξετάσουν τις ιδιότητες των περιττών και άρτιων αριθμών. Πολλά από τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στην κατανόηση της στοιχειώδους Άλγεβρας σχετίζονται με τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ Άλγεβρας και Αριθμητικής. Για παράδειγμα, στις αριθμητικές παραστάσεις τα γράμματα είναι συνήθως συντμήσεις ή μονάδες μέτρησης, ενώ στις αλγεβρικές τα γράμματα αντιπροσωπεύουν μεταβλητούς ή άγνωστους αριθμούς. Αυτή η αλλαγή στο νόημα των γραμμάτων από την Αριθμητική στην Άλγεβρα δημιουργεί στους μαθητές 12

13 το πρόβλημα της «έλλειψης αριθμητικής αναφοράς» (Booth, 1984). Αν και οι μαθητές εκτίθενται κατά το Δημοτικό σε κουτιά και γράμματα σε αριθμητικές εκφράσεις, οι μελέτες δείχνουν ότι οι περισσότεροι από αυτούς επιδεικνύουν μια περιορισμένη κατανόηση της έννοιας της «μεταβλητής» (π.χ. Booth, 1988). Παρόλο που ο τρόπος με τον οποίο οι μαθητές αντιλαμβάνονται το πώς χρησιμοποιούνται τα γράμματα στην Άλγεβρα σχετίζεται με τη φύση και την πολυπλοκότητα της ερώτησης, μόνο ένα πολύ μικρό ποσοστό μαθητών είναι σε θέση να αντιληφθεί τα γράμματα ως γενικευμένους αριθμούς και ακόμη μικρότερο ποσοστό ως μεταβλητές (Kuchemann, 1981) Σύμφωνα με την αναπτυξιακή θεωρία, η χρήση των γραμμάτων καθώς και ο αλγεβρικός συμβολισμός υπερβαίνει τις γνωστικές ικανότητες των μικρότερων παιδιών (Carraher et al, 2006). Εντούτοις, η μελέτη των MacGregor και Stacey (1997) πρότεινε ότι οι δυσκολίες των μαθητών με τον συμβολισμό θα μπορούσε να οφείλονται τόσο στην έλλειψη ευκαιριών για διερεύνηση της σημειογραφίας όσο και στις εμπειρίες τους στην τάξη. Διαπίστωσαν ότι οι ακατάλληλες μέθοδοι διδασκαλίας, όπως η χρήση γραμμάτων για την εκπροσώπηση ενός αντικειμένου, οδήγησε τους μαθητές να θεωρούν τα γράμματα ως συντομευμένες λέξεις. Άλλες ερευνητικές μελέτες (π.χ. Fujii, 2003 Weinberg, Stephens, McNeil, Krill, Knuth&Alibabi, 2004, A. Stephens, 2005) ανέδειξαν κοινές παρανοήσεις των μαθητών που συνδέονται με τον συμβολισμό, συμπεριλαμβανομένων της ερμηνείας ενός γράμματος ως το όνομα ενός συγκεκριμένου αριθμού, δηλαδή ως συγκεκριμένο άγνωστο και της αντίληψης ότι οι μεταβλητές που εκπροσωπούνται από διαφορετικά γράμματα δε θα μπορούσε να είναι ο ίδιος αριθμός. Οι English και Warren (1998) εισηγούνται μια προσέγγιση με patterns για την εισαγωγή της έννοιας της μεταβλητής. Υποστηρίζουν ότι στην παραδοσιακή διδασκαλία οι μεταβλητές εισάγονται ως άγνωστοι όροι σε εξισώσεις, όπου δε φαίνεται η πραγματική τους φύση. Επιπρόσθετα, μια προσέγγιση με patterns δίνει στους μαθητές την ευκαιρία να παρατηρήσουν και να εκφράσουν γενικεύσεις και να τις καταγράψουν συμβολικά. Προτείνουν, όμως, οι δραστηριότητες προτύπων (patterns) να μην περιορίζονται μόνο στην εισαγωγή της έννοιας της μεταβλητής, καθώς παρέχουν μια χρήσιμη και σταθερή βάση για εργασία με σύμβολα. Γνωρίζουμε ότι η αλγεβρική κατανόηση των μαθητών αναπτύσσεται με την εμπειρία (Flockton, Crooks, Smith& Smith, 2006). Μελέτες με μαθητές Γυμνασίου έχουν δείξει ότι οι επιδόσεις των μαθητών στην ερμηνεία αλγεβρικών παραστάσεων 13

14 και την κατανόηση των μεταβλητών που αντιπροσωπεύουν πολλαπλές τιμές αυξάνονται στις μεγαλύτερες τάξεις (Knuth et al, 2005 Weinberg et al, 2004). Ωστόσο, πρόσφατες έρευνες με μαθητές Δημοτικού σχολείου υποστηρίζουν ότι οι μικρότεροι μαθητές είναι ικανοί να κατανοήσουν και να εργαστούν με αλγεβρικό συμβολισμό (Van Ameron, 2003 Carraher et al., 2006 Carpenter& Levi, 2000 Carpenter et al, 2003 Lee, 2006 Schliemann et al., 2007). Τα αποτελέσματα μιας συνέντευξης με βάση μελέτη που εκπονήθηκε με μαθητές της τρίτης τάξης από τους Schliemann et al. (2007) αναφέρουν ότι οι μαθητές μπορούν να αναπτύξουν συνεπή σημειογραφία, όπως κύκλους ή σχήματα για να "εκπροσωπήσουν στοιχεία και σχέσεις σε προβλήματα που αφορούν γνωστές και άγνωστες ποσότητες" (σελ. 59). Δύο μελέτες διδακτικής παρέμβασης με μαθητές τρίτης τάξης, η πρώτη από τον Carraher και τους συνεργάτες του (2006) και η δεύτερη από τη Lee (2006), βρήκαν ότι οι μαθητές ήταν ικανοί να χρησιμοποιούν τύπους για να αναπαριστούν συναρτησιακές σχέσεις και να αντιμετωπίζουν τα γράμματα σε περιπτώσεις πρόσθεσης ως σύμβολα που μπορούν να πάρουν διάφορες τιμές. Μια άλλη μελέτη από τον A. Stephens (2005) με μαθητές Γυμνασίου έδειξε πως ένα μαθηματικό πρόβλημα θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την αντιμετώπιση των κοινών παρανοήσεων των μαθητών όσον αφορά τον συμβολισμό. Οι εκπαιδευτικοί στη μελέτη παρατήρησαν ότι η έμφαση σε συμβολικές εκφράσεις τους επέτρεψε να αντιμετωπίσουν παρανοήσεις των μαθητών. 1.3 Κατανόηση της ισότητας. Το σύμβολο του ισότητας είναι ένα από τα πιο σημαντικά σύμβολα στην Αριθμητική στις πρώτες τάξεις, στην Άλγεβρα και σε όλα τα Μαθηματικά όπου χρησιμοποιούνται αριθμοί και πράξεις. Ταυτόχρονα έρευνες από το 1975 μέχρι σήμερα δείχνουν ότι είναι ένα ελάχιστα κατανοητό σύμβολο. Για πολλούς μαθητές στην αρχή της μάθησης της Άλγεβρας το σύμβολο του "ίσον" (=) έχει μόνο τη σημασία του "να κάνεις κάτι" και συχνά "να δώσεις την απάντηση, έναν αριθμό" και όχι ως το σύμβολο της ισότητας μεταξύ του δεξιού και του αριστερού σκέλους (Δράμαλης& Σακονίδης,2006). Αυτή η αντίληψη για το ίσον, που διδάσκεται και είναι κυρίαρχη στο Δημοτικό, διαμορφώνεται, επίσης, και από τη χρήση των υπολογιστών τσέπης. Μια συνέπεια του να σκέφτεται ένας μαθητής το σύμβολο της 14

15 ισότητας μόνο σαν σύμβολο του "κάνω κάτι", είναι να δυσκολεύεται στην κατανόηση των διαδικασιών που απαιτούνται για να λύσει εξισώσεις όπως την 2χ+4=χ+12, επειδή δεν δέχεται την αρχική πρόταση, ότι αυτές οι δύο ποσότητες είναι ισοδύναμες. Οι δυσκολίες αυτές χαρακτηρίζονται ως "γνωστικό κενό-εμπόδιο" και απαιτούν μια νέα αντίληψη της ισότητας (Herscovics & Linchevski, 1994). Στην έκφραση 3Β+7=Β-Γ, το ίσον δηλώνει ότι η ποσότητα στα αριστερά είναι η ίδια με την ποσότητα στα δεξιά. Για να κατανοήσουν τις εκφράσεις με αυτόν τον τρόπο, οι μαθητές πρέπει να ερμηνεύουν τις απλές εκφράσεις όπως τις 3+5 ή 4 Χ 87 ως μια ποσότητα. Μια σημαντική διαφορά της Άλγεβρας από την Αριθμητική στο επίπεδο της γλώσσας είναι η σημασιολογική. Στην Αριθμητική η παράσταση 3+4 δηλώνει ένα πρόβλημα και ερμηνεύεται ως εντολή (προσθέστε 3 στο 4). Στην Άλγεβρα η παράσταση 3+4 δηλώνει έναν αριθμό, δηλαδή το 7. Αυτή η αλλαγή στον τρόπο σκέψης αποδεικνύεται καθοριστική με την εμφάνιση των γραμμάτων στις αλγεβρικές παραστάσεις. Εάν οι μαθητές επιμένουν να βλέπουν, για παράδειγμα, την έκφραση χ+5, μόνο σαν μια ένδειξη του να εκτελέσουν πρόσθεση, τότε μπορεί να αντιμετωπίσουν δυσκολία στο να αποδεχθούν τέτοιες παραστάσεις ως αποτέλεσμα απλοποίησης παραστάσεων και στην κατανόηση των διαδικασιών για την επίλυση εξισώσεων. Οι δυσκολίες των μαθητών να κατανοήσουν ταυτόχρονα μια έννοια ως διαδικασία και ως αποτέλεσμα της διαδικασίας έχουν αναφερθεί ως «process-product dilemma». Σύμφωνα με την Sfard (1991), οι μαθηματικές έννοιες έχουν διπλή όψη, την λειτουργική (operationally) και τη δομική (structurally). Αρχικά, οι έννοιες γίνονται αντιληπτές ως διαδικασίες (λειτουργική όψη) και στη συνέχεια κατανοούνται ως αντικείμενο. Η δομική αντίληψη μιας έννοιας αναπτύσσεται μέσω τριών σταδίων: α)της Εσωτερίκευσης (Interiorization), όπου ο μαθητής εξοικειώνεται με διαδικασίεςσυνήθως υπολογιστικές που θα οδηγήσουν στη γέννηση της νέας έννοιας, β) της Συμπύκνωσης (Condensation), όπου ο μαθητής γίνεται όλο και περισσότερο ικανός να σκεφτεί μια διαδικασία συνολικά χωρίς να περάσει σε λεπτομέρειες και γ) της Πραγμοποίησης (Reification), πρόκειται για ένα ξαφνικό και ποιοτικό άλμα κατά το οποίο αυτό που αρχικά γίνεται αντιληπτό ως διαδικασία τώρα σταθεροποιείται σε νοητικό αντικείμενο, σε μια στατική δομή η οποία είναι ανεξάρτητη πλαισίου και αποδεσμευμένη από συγκεκριμένους αλγόριθμους. Η φάση της πραγμοποίησης είναι 15

16 το πιο δύσκολο στάδιο για αυτό η Sfard προτείνει οι νέες έννοιες να μην εισάγονται μέσα από δομικές περιγραφές. Η ανάπτυξη της κατανόησης της ισοδυναμίας αναγνωρίζεται ως ένα πολύπλοκο και δύσκολο έργο, που απαιτεί πολύ χρόνο και σαφή προσοχή από τους εκπαιδευτικούς (Knuth et al, 2006). Οι Warren και Cooper (2005) προτείνουν τη χρήση του μοντέλου ισοζυγίου για τη διερεύνηση των αριθμητικών εξισώσεων με τους μαθητές. Ο Carpenter και οι συνεργάτες του (2005) προτείνουν να χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία αληθείς και ψευδείς αριθμητικές προτάσεις, καθώς και ανοικτές αριθμητικές προτάσεις προκειμένου οι μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της ισότητας π.χ.4+5=9 ή 8=10-1 στις μικρότερες τάξεις και αργότερα οι μαθητές να διερευνούν λιγότερο παραδοσιακές μορφές εξισώσεων όπως = ή 73+56=71+ Όταν ένας μαθητής παρατηρεί και χρησιμοποιεί αριθμητικές σχέσεις ανάμεσα στις δύο πλευρές του συμβόλου του ίσον αντί να υπολογίζει τις ποσότητες, ο συλλογισμός που εμπλέκεται αναφέρεται ως συσχετιστικός συλλογισμός. Ο συσχετιστικός συλλογισμός προχωρά πέρα από τον απλό υπολογισμό και αντίθετα εστιάζει στο πώς μια πράξη ή μία σειρά πράξεων αλληλο-συσχετίζονται (Van de Walle, 2007). Ερευνητές υποστηρίζουν ότι οι μαθητές με μια συσχετιστική κατανόηση του συμβόλου της ισότητας είναι σε θέση να χειρίζονται με επιτυχία αλγεβρικές δραστηριότητες, όπως προβλήματα ισοδυναμίας και αλγεβρικές εξισώσεις (π.χ. Knuth et al., 2005). Κατά τη μεταφορά από ένα λεκτικό πρόβλημα (Αριθμητική) σε μια εξίσωση (Άλγεβρα), η έννοια του συμβόλου του "ίσον"(=) αλλάζει. Το "ίσον" (=) από δηλωτικό ενός αποτελέσματος γίνεται δηλωτικό μιας ισοδυναμίας. Έτσι ενώ προβλήματα της Αριθμητικής μπορούν να λυθούν άμεσα (με τις ενδιάμεσες απαιτήσεις, εάν είναι απαραίτητο), τα αλγεβρικά προβλήματα πρέπει να μεταφραστούν και να γραφούν σύμφωνα με τους κανόνες της «αλγεβρικής γλώσσας» και μετά να λυθούν (Da Rocha Falcao, 1995). Στην Αριθμητική η όλη δραστηριότητα επικεντρώνεται στο να βρεθεί μια ειδική αριθμητική απάντηση. Στην Άλγεβρα, όμως, η επικέντρωση γίνεται στην παραγωγή διαδικασιών και σχέσεων και η έκφραση αυτών με απλούς γενικούς τύπους. Για την ομαλή μετάβαση από την Αριθμητική στην Άλγεβρα, το παιδί πρέπει να αναπτύξει την αλγεβρική ικανότητα, η οποία απαιτεί μια άλλη προσέγγιση στην επίλυση προβλήματος. Ένας από τους τρόπους που μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να περάσουν ομαλά από την Αριθμητική στη 16

17 στοιχειώδη Άλγεβρα είναι να ξεκινήσει η διδασκαλία των εξισώσεων από τις άτυπες στρατηγικές των μαθητών και επάνω σε αυτές να «χτιστούν» οι τυπικές μέθοδοι επεξεργασίας των αλγεβρικών παραστάσεων και επίλυσης των εξισώσεων. 1.4 Κατανόηση των ιδιοτήτων των πράξεων Η Warren (2003) υποστηρίζει πως η επιτυχία της μετάβασης από την Αριθμητική στην Άλγεβρα εξαρτάται από τη γνώση της μαθηματικής δομής και την ανάπτυξη μιας αίσθησης των πράξεων από τους μαθητές. Η γνώση της μαθηματικής δομής αναφέρεται στη γνώση των μαθηματικών αντικειμένων, της μεταξύ τους σχέσης, καθώς και των ιδιοτήτων αυτών των σχέσεων. Συγκεκριμένα αφορά: (α) τις σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων (ισοδύναμες, μεγαλύτερη μικρότερη), (β) τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, μεταβατική, προσεταιριστική, την ύπαρξη αντιστρόφου και ουδέτερου στοιχείου), (γ) τις ιδιότητες μεταξύ πράξεων (επιμεριστικότητα) και (δ) τις σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων (μεταβατικότητα ισότητας και ανισότητας). Στην παραδοσιακή προσέγγιση της Άλγεβρας γίνεται σιωπηρώς η υπόθεση ότι οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με αυτές τις έννοιες από την αριθμητική τους εμπειρία. Δηλαδή, ότι φθάνουν σε μια κατανόηση της αριθμητικής δομής μέσω επαγωγικής γενίκευσης. Σε ότι αφορά στην αίσθηση των πράξεων που αναπτύσσουν οι μαθητές, την οποία ο Slavitt (1999) ορίζει ως το σύνολο των αντιλήψεων που σχετίζονται με τη βαθύτερη δομή της πράξης, τη χρήση και τις σχέσεις της με άλλες μαθηματικές πράξεις, δομές και εν δυνάμει γενικεύσεις, η βιβλιογραφία υποδεικνύει τρεις κατηγορίες στοιχείων που την απαρτίζουν και αποκαλύπτουν τις απαρχές της αλγεβρικής σκέψης των μαθητών: ιδιότητες (π.χ. γνώση αριθμητικών γεγονότων, ιδιότητες πράξεων), εφαρμογές (π.χ. αξιοποίηση πράξεων σε διαφορετικά πλαίσια) και συσχετισμούς (π.χ. σχέση μεταξύ πράξεων και μεταξύ αναπαραστάσεων μιας πράξης σε διαφορετικά σύνολα αριθμών) (Σακονίδης, 2011, σελ. 285). Με βάση την παραπάνω οπτική, η προετοιμασία για την Άλγεβρα απαιτεί περισσότερα από την απλή αφαίρεση των αριθμητικών ιδιοτήτων. Προϋποθέτει την κατανόηση της γενίκευσης των πράξεων και οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να διαπιστώνουν την ουσία των πράξεων και να την αναπαριστούν σε ένα συμβολικό σύστημα (ό.π.,286) 17

18 Η διεργασία της δημιουργίας γενικεύσεων από τους αριθμούς και την Αριθμητική αρχίζει από το Νηπιαγωγείο και συνεχίζεται καθώς οι μαθητές διδάσκονται όλες τις πλευρές της έννοιας του αριθμού και των υπολογισμών, συμπεριλαμβανομένων και των βασικών γεγονότων και του νοήματος των πράξεων. Για να καταφέρουμε να δημιουργήσουμε γενικεύσεις θα βοηθούσε να χρησιμοποιήσουμε συμβολισμούς. Επομένως, τόσο οι γενικεύσεις όσο και η κατανόηση των μεταβλητών αναπτύσσονται ταυτόχρονα. Η ιδέα της Άλγεβρας ως γενικευμένη Αριθμητική περιλαμβάνει τη δομική κατανόηση των αριθμητικών διαδικασιών. Αυτή η πτυχή της Άλγεβρας απαιτεί μια γενική κατανόηση της Αριθμητικής, η οποία αρχικά παρουσιάζεται ως μια σειρά υπολογισμών που στη συνέχεια «αφαιρούνται» και «συμπυκνώνονται» σε μια ενιαία ιδέα. Έρευνες, ωστόσο, δείχνουν ότι οι μαθητές στερούνται βαθιάς κατανόησης των ιδιοτήτων των πράξεων (π.χ. Carpenter et al., 2005). Μελέτες που εξετάζουν την κατανόηση της αντιμεταθετικής ιδιότητας των πράξεων έχουν δείξει ότι πολλοί μαθητές δεν έχουν κατανοήσει τις ιδιότητες των πράξεων. Η μελέτη των Antony και Walshaw (2002) με μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου έδειξαν ότι πολλοί μαθητές δεν κατάφεραν να οδηγηθούν σε ορθές γενικεύσεις σχετικά με την αντιμεταθετική ιδιότητα. Δεν έχουν βαθιά κατανόηση της Αριθμητικής που θα στήριζε τη δομική κατανόηση. Αν οι μαθητές "κατανοήσουν την Αριθμητική σε ένα επίπεδο που να είναι σε θέση να εξηγούν και να αιτιολογούν τις ιδιότητες που χρησιμοποιούν καθώς προβαίνουν σε υπολογισμούς, έχουν μάθει κάποια βασικά στοιχεία της Άλγεβρας" (Carpenter et al., 2005, σελ. 82). Η δομή του αριθμητικού μας συστήματος και οι μέθοδοι που χρησιμοποιούμε μπορούν να γενικευθούν. Αυτές οι γενικεύσεις αποτελούν δυναμικές ιδέες για να «κάνουμε» Μαθηματικά. Οι σύγχρονες θεωρήσεις, λοιπόν, αναγνωρίζουν ότι η Αριθμητική έχει αλγεβρικό χαρακτήρα, με την έννοια ότι αφορά σε γενικές περιπτώσεις και δομές που μπορεί να εκφραστούν περιεκτικά με αλγεβρικό συμβολισμό. Δηλαδή, ότι το αλγεβρικό νόημα των αριθμητικών πράξεων είναι δεδομένο (π.χ. οι αριθμητικές πράξεις μπορούν να προσεγγιστούν ως συναρτήσεις, ως μια σχέση μεταξύ ενός συνόλου τιμών παραγωγής και ενός συνόλου τιμών εισαγωγής,function Machines) και, κατά συνέπεια θα έπρεπε να θεωρείται αναπόσπαστο κομμάτι των στοιχειωδών Μαθηματικών (Carraher et al, 2006). Οι Carraher et al. (2006) προτείνουν την εισαγωγή της Άλγεβρας στο Δημοτικό σχολείο στη βάση τριών αρχών: η γενίκευση αποτελεί βασική πτυχή της αλγεβρικής 18

19 δραστηριότητας, οι αριθμητικές πράξεις μπορούν να προσεγγιστούν ως συναρτήσεις και η αλγεβρική σημειογραφία θα μπορούσε να υποστηρίξει τον μαθηματικό συλλογισμό των μικρών μαθητών. 2. Patterns: ο ρόλος τους στα προγράμματα σπουδών των Μαθηματικών Παντού όπου κοιτάξουμε γύρω μας βλέπουμε κανονικότητες, πρότυπα και διατάξεις, που μερικές φορές για να αποκαλυφθούν οι δομές χρειάζονται πειράματα και διερευνήσεις. Καθώς, σήμερα, η κατανόηση των πολύπλοκων δυναμικών συστημάτων είναι ένα σημαντικό μέρος των γνώσεων και των δεξιοτήτων που πρέπει να έχει κάθε επιστήμονας, τα πειράματα και οι διερευνήσεις είναι απαραίτητο να γίνουν βασικό κομμάτι της μάθησης για κάθε μαθητή (Γαβρίλης, 2011). Όπως ήδη έχει αναφερθεί, οι μαθητές από μικρή ηλικία πρέπει να μπορούν να αναγνωρίζουν, να δημιουργούν και να χειρίζονται αριθμητικές ή γεωμετρικές κανονικότητες ή πρότυπα (patterns) και στόχος της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι να βοηθήσει τους μαθητές να τα περιγράψουν, χρησιμοποιώντας μαθηματικά εργαλεία. Τι ακριβώς όμως είναι ένα πρότυπο; Ο Κεḯσογλου (2011) γράφει «συνήθως το αναλλοίωτο μέγεθος ή μια σταθερή σχέση μεταξύ μεταβαλλόμενων μεγεθών θεωρούμε ότι αποτελεί μία κανονικότητα, ένα πρότυπο (pattern). Μια διδακτικά αξιοποιήσιμη προσέγγιση του ορισμού της κανονικότητας προέρχεται από τον Resnic (1997). Κατά τον Resnic πρότυπο είναι οποιαδήποτε δομημένη κατασκευή τόσο στα Μαθηματικά όσο και σε άλλες ανθρώπινες δραστηριότητες όπως η μουσική, η ζωγραφική, η βιολογία κ.ά. Αυτό που επισημαίνει ο Resnic είναι ότι ιδιαίτερα για τα Μαθηματικά, κανένα στοιχείο ενός ευρύτερου συνόλου δεν έχει νόημα έξω από τη δομή στην οποία ανήκει. Επιχειρώντας μία σύνθεση των παραπάνω προσεγγίσεων θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι οι κανονικότητες και τα αναλλοίωτα χαρακτηριστικά, που εντοπίζει ο μαθητής σε μια μαθηματική κατάσταση, αποτελούν την πρώτη ύλη για να δομήσει την κατάσταση, δηλαδή, να δημιουργήσει ένα πρότυπο. Το πρότυπο, επομένως, είναι αποτέλεσμα δραστηριοτήτων μέσω των οποίων αναζητούμε κανονικότητες. Ο ορισμός αυτός του προτύπου είναι διδακτικά αξιοποιήσιμος καθώς μας καλεί να στραφούμε μέσα στο μαθηματικό corpus προς 19

20 κάθε κατεύθυνση και όχι μόνο προς την κατεύθυνση των γνωστών γεωμετρικών ή αριθμητικών κανονικοτήτων. Τα πλέον γνωστά παραδείγματα κανονικότητας στην Άλγεβρα αποτελούν οι πρόοδοι, αλλά και άλλες σειρές αριθμών, όπως η ακολουθία Fibonacci. Γενικότερα, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι όλες οι μαθηματικές έννοιες αποτελούν κανονικότητες και επομένως η οπτική των patterns αποτελεί μία πολύ χρήσιμη προσέγγιση»(σελ ) Οι Τζεκάκη και Κούλελη (2007), περιγράφουν το pattern ως «ένα σύνολο από μορφικά, γεωμετρικά ή μετρικά χαρακτηριστικά που παραμένουν σταθερά μέσα σε ομάδες αριθμών, σχημάτων, μεγεθών ή άλλων μαθηματικών καταστάσεων» (σελ.269) Η Κολέζα (2009) αναφέρει ότι τρεις είναι οι βασικοί ρόλοι των patterns στα προγράμματα σπουδών των Μαθηματικών: 1.Η συνειδητοποίηση των Μαθηματικών ως «επιστήμης των δομών» ή ως «επιστήμης των κανονικοτήτων». Επομένως η διδασκαλία των Μαθηματικών στοχεύει στην κατανόηση αυτών των δομών μέσω της συγκρότησης των αντίστοιχων νοητικών σχημάτων. Αυτός ο ρόλος των patterns αποτέλεσε τον βασικό στόχο της μεταρρύθμισης των Νέων Μαθηματικών. Αν θέλουμε να απομακρυνθούμε από μια τυποποιημένη εικόνα των Μαθηματικών και να δούμε κάτω από το πρίσμα της μαθηματικοποίησης και της «επανα-ανακάλυψης», τα Μαθηματικά ως επιστήμη των κανονικοτήτων, πρέπει να εστιάσουμε στην αναζήτηση, στην έρευνα, στη διατύπωση και στην εφαρμογή των patterns. Αυτή η νέα «προσανατολισμένη προς τη διαδικασία» θεώρηση της διδασκαλίας των Μαθηματικών συνδέεται άμεσα με μια αντίληψη των Μαθηματικών ως μια πειραματική (ημι-εμπειρική) επιστήμη (Polya, 1945). Τα Μαθηματικά που παρουσιάζονται με τον ευκλείδειο τρόπο εμφανίζονται ως συστηματική, παραγωγική επιστήμη, αλλά τα Μαθηματικά εν τη γενέσει εμφανίζονται ως μια πειραματική, επαγωγική επιστήμη. Οι ιδέες του Polya (1945) και του Lakatos (1976) έστρεψαν τη Μαθηματική Εκπαίδευση σε έναν πιο πραγματιστικό στόχο: την απόκτηση από τους μαθητές της ικανότητας για «επίλυση προβλημάτων». Η εύρεση και η επέκταση patternsκανονικοτήτων είναι ίσως η πιο σημαντική στρατηγική επίλυσης προβλήματος. Η ικανότητα αναγνώρισης, περιγραφής, επέκτασης και δημιουργίας μιας ποικιλίας patterns μπορεί να αποτελέσει έναν αυτοσκοπό για μια διδασκαλία εστιασμένη στην επίλυση προβλήματος. Ενδέχεται, όμως, η αναζήτηση patterns να είναι ένας ενδιάμεσος στόχος σε έναν γενικότερο που αφορά την κατανόηση μιας έννοιας ή τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος. 20

21 Η εύρεση ενός προτύπου απαιτεί σύγκριση και αντιπαραβολή. Σύγκριση για τον εντοπισμό σταθερών χαρακτηριστικών και αντιπαραβολή για τον εντοπισμό εκείνων που μεταβάλλονται. (Bennet& Nelson,2001). Επιπλέον, προϋποθέτει ένα μεγάλο αριθμό ικανοτήτων μεταξύ των οποίων είναι οι ικανότητες οργάνωσης και ταξινόμησης πληροφορίας, η ικανότητα διατύπωσης υποθέσεων, οι ικανότητες ελέγχου και αναστοχασμού και η ικανότητα πρόβλεψης. 2.Η σταδιακή μύηση των μαθητών στη διαδικασία της απόδειξης, μέσω προσωπικής διερεύνησης. Η αναζήτηση patterns συνδέεται άμεσα με την έννοια της λειτουργικής απόδειξης. Ο όρος "λειτουργική απόδειξη" δεν είναι αρκετά σωστός δεδομένου ότι δεν είναι η απόδειξη που είναι "λειτουργική", αλλά ολόκληρη η διαδικασία. Οι λειτουργικές αποδείξεις έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: α) προκύπτουν από τη διερεύνηση ενός μαθηματικού προβλήματος, β) βασίζονται σε διαδικασίες με ημι-πραγματικά (quasi-real) μαθηματικά αντικείμενα, και γ) μπορούν να περιγραφούν με μικρή απαίτηση συμβολισμού (Wittmann, 2007). Συνήθως, ο γενικός κανόνας στα patterns δεν προκύπτει μέσω μιας τυπικής φορμαλιστικής απόδειξης, αλλά μέσω ενός επαγωγικού συλλογισμού, μέσω αυτού που πολλοί ερευνητές ονομάζουν «λειτουργική απόδειξη» (operative proof) ή «προμαθηματικά» ("pre-mathematics", Semadeni, 1974) με την έννοια ότι χρησιμοποιούνται ευρετικά επιχειρήματα, διερευνήσεις και άλλες διαδικασίες, που προηγούνται της σαφούς διατύπωσης ακριβών υποθέσεων και συμπερασμάτων, ή μιας λογικής διαδοχής βημάτων στη βάση μιας τυπικής θεωρίας (Wittmann, 2007). Αυτού του τύπου η απόδειξη προκύπτει από την ευρετική διερεύνηση του μαθηματικού προβλήματος και εκφράζεται σε μια απλή -σχετική με το ιδιαίτερο κάθε φορά πρόβλημα- γλώσσα, ενώ επιπλέον απαιτεί στοιχειώδη και απλό συμβολισμό. Μια λειτουργική απόδειξη εφαρμόζεται σε ένα περιβάλλον, που δεν θα μπορούσαμε να το χαρακτηρίσουμε ως «μαθηματικό». Αυτό το περιβάλλον που χαρακτηρίζεται από την ημι-πραγματική μορφή των μαθηματικών αντικειμένων, ο Yuri Manin (1992) την αποκαλεί «mathscape». Δεν μπορούμε να περιμένουμε οι μαθητές μας να εξοικειωθούν μεμιάς με τις αυστηρές μαθηματικές αποδείξεις. Οι μαθητές χρειάζονται συνεχώς ευκαιρίες για να υποβάλλουν σε δοκιμασία τα επιχειρήματά τους. Ο Wittmann (2007) τονίζει τον ρόλο των patterns στη κατανόηση των Μαθηματικών: «Οι λειτουργικές αποδείξεις δεν αναφέρονται στις συμβολικές περιγραφές των μαθηματικών αντικειμένων μέσα σε μια συστηματικο-παραγωγική 21

22 θεωρία, αλλά άμεσα σε αντικείμενα που επιτρέπουν "συγκεκριμένες" διαδικασίες Για να κατανοήσουν τα Μαθηματικά, οι μαθητές χρειάζεται να έλθουν όσο το δυνατόν νωρίτερα σε επαφή με μαθηματικά patterns. Το να μπορέσουν να δουν το γενικό στο ειδικό είναι ουσιαστικό για την εκτίμηση και την κατανόηση των Μαθηματικών σε οποιοδήποτε επίπεδο, ιδιαίτερα σε ό,τι αφορά τον ρόλο της απόδειξης» (Wittmann, 2007, σελ. 2, 13). Ενώ, όσον αφορά τα κατάλληλα σχεδιασμένα μαθησιακά περιβάλλοντα που ευνοούν την ανακάλυψη των patterns αναφέρει ότι «αρχίζουν με εκτεταμένους υπολογισμούς, κατασκευές ή πειράματα. Κατ αυτό τον τρόπο δημιουργείται μια "ψευδο-πραγματικότητα" ("quasi-reality"), που επιτρέπει την παρατήρηση των φαινομένων, την ανακάλυψη κανονικοτήτων, τη διατύπωση υποθέσεων και μια μορφή απόδειξης για την εξήγηση αυτών των patterns. Οι διαδικασίες στις οποίες στηρίζονται αυτές οι "λειτουργικές αποδείξεις" εισάγονται σε αυτή την πρώτη φάση με έναν φυσικό τρόπο. Αναφορά σ αυτή την "ψευδο-πραγματικότητα" γίνεται συνεχώς ενώ το περιβάλλον εξερευνάται όλο και περισσότερο σε βάθος. Οι δεξιότητες ενεργοποιούνται συνεχώς για τον έλεγχο και την επαλήθευση των επιχειρημάτων» (Wittmann, 2007, σελ.16) Προσεγγιστικά, οι λειτουργικές αποδείξεις ακολουθούν μια διαδρομή όπως αυτή που περιγράφεται στο παρακάτω σχήμα (Almeida, 1996) Με δραστηριότητες patterning οι μαθητές μπορούν να μάθουν να διατυπώνουν υποθέσεις, να τις ελέγχουν, να τις απορρίπτουν ή να τις επαληθεύουν. Μπορούν να μυηθούν στον επαγωγικό συλλογισμό, στον συλλογισμό «κατ' αναλογία», στην αναγνώριση και τη χρήση ισομορφισμών, στην ταξινόμηση σύμφωνα με κάποιο κριτήριο, στην οργανωμένη παρατήρηση και τη γενίκευση. 3.Η γενίκευση ενός pattern, η προσπάθεια, δηλαδή, να εκφράσουμε το πρότυπο με γενικό τρόπο, οδηγεί στη χρήση συμβόλων. Αυτός είναι και ο λόγος που τα patterns 22

23 θεωρούνται ως ο συνδετικός κρίκος μεταξύ Αριθμητικής και Άλγεβρας. Οι γενικεύσεις των patterns είναι αφαιρέσεις των αριθμητικών διαδικασιών. 2.1 Είδη Patterns Οι Zazkis και Liljedahl (2002) διακρίνουν τα patterns σε διάφορες κατηγορίες με βάση τη μορφή αναπαράστασης ή άλλα κριτήρια, για παράδειγμα, αριθμητικά patterns, εικονιστικά/γεωμετρικά, patterns με υπολογιστικές διαδικασίες, γραμμικά και patterns δευτεροβάθμιας εξίσωσης, επαναλαμβανόμενα κ.ά. Τα πλέον χρησιμοποιούμενα είδη patterns τόσο στις ερευνητικές μελέτες όσο και στα σχολικά εγχειρίδια είναι τα επαναλαμβανόμενα και τα αναπτυσσόμενα. Επαναλαμβανόμενα patterns (Repeating Patterns) και πρώιμη Άλγεβρα Ο Threlfall (1999) επικεντρώθηκε στα μονοδιάστατα επαναλαμβανόμενα patterns στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Ένα επαναλαμβανόμενο pattern είναι το pattern με έναν αναγνωρίσιμο κύκλο στοιχείων που αναφέρεται ως «μονάδα επανάληψης»- "μια κυκλική δομή που μπορεί να δημιουργηθεί με την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή ενός μικρότερου τμήματος του pattern" (Liljedahl, 2004, σελ. 27). Για παράδειγμα, το ABCABCABC μπορεί να ειδωθεί ως ένα επαναλαμβανόμενο pattern με τρία στοιχεία και έναν επαναλαμβανόμενο κύκλο ή μονάδα επανάληψης μήκους τρία, ενώ το ABCabABCabABCab μπορεί να ειδωθεί ως ένα πιο σύνθετο επαναλαμβανόμενο pattern με τρία στοιχεία και έναν κύκλο μήκους πέντε, στον οποίο όχι μόνο τα γράμματα, αλλά και το μέγεθός τους ποικίλει. Διαφοροποιώντας ορισμένα γνωρίσματα των στοιχείων (όπως το μέγεθος, το χρώμα, τον προσανατολισμό κλπ) και διατηρώντας άλλα γνωρίσματα σταθερά προσθέτουμε πολυπλοκότητα σε ένα επαναλαμβανόμενο pattern. (Threlfall, 1999). Τα επαναλαμβανόμενα patterns ως παραδείγματα κυκλικών δομών είναι οικεία στους μαθητές από τις καθημερινές τους εμπειρίες, όπως η απαγγελία των ημερών της εβδομάδας ή των μηνών του έτους κτλ. Τα απλά επαναλαμβανόμενα patterns μπορούν να διερευνηθούν από τα χρόνια του Νηπιαγωγείου, χρησιμοποιώντας για το σκοπό αυτό πραγματικά υλικά, όπως χρωματιστά κυβάκια, ξυλάκια, κουμπιά, 23

24 χάντρες κτλ. Οι μικρότεροι μαθητές μπορούν να καταφέρουν να δημιουργήσουν ή να επεκτείνουν επαναλαμβανόμενα patterns χρησιμοποιώντας διαδικαστικές ή ρυθμικές προσεγγίσεις. Μεταξύ των λόγων για εργασία με επαναλαμβανόμενα patterns ο Threlfall (1999) αναγνωρίζει τη χρησιμότητά τους ως εργαλεία για την ανάπτυξη των εννοιών της κανονικότητας και της αλληλουχίας. Ο Liebeck (1984, όπως αναφέρεται στο Threlfall, 1999) υποστηρίζει ότι η αναζήτηση σε ένα επαναλαμβανόμενο pattern του «τι ακολουθεί μετά», δηλαδή ποιο είναι το επόμενο στοιχείο, αποτελεί προπομπό στη χρήση της σύγκρισης. Ωστόσο, αυτό που είναι μείζονος σημασίας στην ενασχόληση των μαθητών με τα επαναλαμβανόμενα patterns είναι να αντιληφθούν πως η επαναλαμβανόμενη φύση τους είναι αυτή που τα διακρίνει από ένα οποιοδήποτε τυχαίο σχέδιο και να επικεντρώσουν στον ρόλο της μονάδας επανάληψης. Οι Papic& Mulligan (2005) αναφέρουν ότι μερικά παιδιά μπορεί να είναι σε θέση να αντιγράφουν και να επεκτείνουν επαναλαμβανόμενα patterns, αλλά δεν προσδιορίζουν απαραίτητα στα patterns τη μονάδα επανάληψης. Στην μελέτη τους, οι περισσότεροι μαθητές που δεν είχαν δεχθεί παρέμβαση αναγνώρισαν, αντέγραψαν, επέκτειναν και δημιούργησαν επαναλαμβανόμενα patterns ως εναλλαγή δύο ή τριών χρωμάτων χωρίς να προσδιορίζουν τη μονάδα επανάληψης ή τον αριθμό των επαναλήψεων. Όταν η πολυπλοκότητα του pattern αυξήθηκε αυτό αποδείχθηκε να είναι μια λιγότερο αποτελεσματική στρατηγική. Οι μαθητές τείνουν να ακολουθούν μια ρυθμική προσέγγιση στην ενασχόληση με επαναλαμβανόμενα patterns (για παράδειγμα ρυθμική απαγγελία διαδοχικών όρων του pattern: κόκκινο, κίτρινο, κίτρινο, κόκκινο, κίτρινο, κίτρινο ). Πολλοί από αυτούς τους μαθητές αποτυγχάνουν να αναγνωρίσουν τη μονάδα επανάληψης (μια κόκκινη και δύο κίτρινες). Ο Threlfall (1999) πρότεινε ότι η πρώτη προσέγγιση θεωρείται ως διαδικαστική κατανόηση και η δεύτερη ως εννοιολογική κατανόηση. Η διάκριση είναι πιο εμφανής όταν ζητάμε από τους μαθητές να βρουν ένα μη μετρήσιμο στοιχείο. Η διαδικαστική κατανόηση θα συνεπάγεται την απαγγελία των στοιχείων του επαναλαμβανόμενου pattern εωσότου ο μαθητής φτάσει στο απαιτούμενο στοιχείο, ενώ η ύπαρξη εννοιολογικής κατανόησης θα συνεπάγεται τη χρήση του μήκους της επανάληψης για να επεξεργαστεί το στοιχείο. Αυτό απαιτεί αναγνώριση της δομής του pattern, δηλαδή τη θεώρηση του pattern ως αποτελούμενο από διακριτές επαναλήψεις. Γίνεται, λοιπόν, σαφές ότι είναι πιο σημαντικό οι 24

25 μαθητές να αναγνωρίζουν τη μονάδα επανάληψης από το να είναι σε θέση να δημιουργήσουν πολύπλοκα επαναλαμβανόμενα patterns. Η αναγνώριση της μονάδας επανάληψης συνεπάγεται μια διαδικασία μοναδοποίησης (unitising). Η μοναδοποίηση είναι η ικανότητα, πρώτον, να κατασκευάζει ο μαθητής μια μονάδα αναφοράς και, δεύτερον, να ερμηνεύει μια κατάσταση από την άποψη της εν λόγω μονάδας. Κατά τον Threlfall (1999) οι μαθητές πρέπει να μπορούν να δουν τη μονάδα που επαναλαμβάνεται και να μπορούν να την επεξεργαστούν και σαν μέρος του pattern, αλλά και σαν σύνθεση μερών. Προκειμένου να εκτιμηθεί κατά πόσο οι μαθητές έχουν κατανοήσει την κανονικότητα που διέπει τα επαναλαμβανόμενα patterns θα πρέπει να ενθαρρύνονται να περιγράφουν τα patterns και τη στρατηγική τους για την επίλυση της δραστηριότητας. Για παράδειγμα, το παρακάτω απόσπασμα είναι ένας διάλογος μεταξύ ενός δασκάλου και ενός μαθητή, αφού ο μαθητής είχε δημιουργήσει έναν πύργο (ABBC pattern) από μνήμης. Δάσκαλος: Πώς ξέρεις πότε να σταματήσεις; Γιατί δεν προσθέτεις μερικούς ακόμα κύβους; Μαθητής: Γιατί έπρεπε να βάλω έναν κόκκινο, έναν μπλε, πάλι έναν μπλε και στη συνέχεια έναν μαύρο και έπρεπε να το κάνω τρεις φορές. Η ικανότητα του μαθητή να αφαιρεί τη μονάδα επανάληψης και να προσδιορίζει τον αριθμό των επαναλήψεων ήταν, σαφώς, εμφανής και αυτό υποδηλώνει, επίσης. πολλαπλασιαστική σκέψη. Οι Warren και Cooper (2006) θεωρούν ότι τα patterns πρέπει να παρουσιάζονται με μια ποικιλία διαφορετικών τρόπων, όπως με κινήσεις, μουσική ή γεωμετρικά σχήματα. Αυτό ενισχύει το ενδεχόμενο για γενίκευση των patterns ως μονάδα επανάληψης ανεξάρτητα από τον τρόπο παρουσίασης. Μεταφράζοντας ένα pattern σε ένα διαφορετικό μέσο βοηθά τα μικρά παιδιά να συνδέουν διαφορετικές αναπαραστάσεις και να αναγνωρίζουν τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ τους. Μερικοί συγγραφείς, όπως αναφέρει ο Threlfall, θεωρούν τα επαναλαμβανόμενα patterns ως μια χρήσιμη βάση στη διδασκαλία άλλων θεμάτων και στη νοηματοδότηση καινούριων ιδεών, ανασύροντας μέσω αυτών χρήσιμες πλευρές της εμπειρίας. Παραδείγματα που στηρίζουν αυτή την άποψη θα μπορούσαν να είναι τα ακόλουθα: Ταιριάζοντας τα σχήματα στο παρακάτω επαναλαμβανόμενο pattern με έναν κύκλο μήκους 2 με τους αριθμούς που προσδιορίζουν τη θέση τους, οι μαθητές 25

26 διερευνούν τους περιττούς και άρτιους αριθμούς. Όλοι οι αριθμοί θέσης των τριγώνων είναι περιττοί ενώ για τα τετράγωνα είναι άρτιοι. Υπάρχει, επίσης μια σαφής σχέση μεταξύ της μονάδας επανάληψης ενός επαναλαμβανόμενου pattern και του πίνακα πολλαπλασιασμού. Παραδείγματος χάριν, το ακόλουθο pattern έχει μονάδα επανάληψης μήκους 3: Οι μαθητές για να μπορέσουν να απαντήσουν σε ερωτήσεις όπως «Ποιος θα είναι ο αριθμός θέσης του 20 ου τριγώνου;» ή «Ποιος θα είναι ο αριθμός θέσης του 100 ου τριγώνου;» θα σκεφτούν τα πολλαπλάσια του 3. Σε αυτό το pattern το τρίγωνο, για παράδειγμα, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα είδος αλγεβρικής μεταβλητής, η οποία έχει πάντα τιμή που μπορεί να εκφραστεί ως 3ν. Το 3 είναι η μονάδα επανάληψηςκύκλος, τετράγωνο, τρίγωνο και το ν είναι ο αριθμός των επαναλήψεων. Το τετράγωνο είναι μια διαφορετική μεταβλητή που η τιμή της θα μπορούσε να εκφραστεί ως 3ν-1 και ο κύκλος μια διαφορετική μεταβλητή της οποίας η τιμή είναι 3ν-2. Όταν οι μαθητές εργάζονται με δραστηριότητες σαν κι αυτή, ακόμα κι αν δεν χρησιμοποιούν τον τυπικό συμβολισμό για να γράψουν τις γενικές εκφράσεις, σκέφτονται αλγεβρικά (Κυλάφης, 2009). Άλλοι συγγραφείς θεωρούν ότι η εργασία με τα patterns αναπτύσσει έναν τρόπο σκέψης που οδηγεί σε ανώτερες ιδέες των Μαθηματικών και για το λόγο αυτό πρέπει να διδάσκονται συστηματικά. Οι Zazkis & Liljedahl (2002, όπως αναφέρεται στο Κυλάφης, 2009) αναφέρουν το ακόλουθο πρόβλημα: «Φαντάσου ένα ξύλινο τρενάκι του οποίου το πρώτο βαγόνι είναι κόκκινο, το δεύτερο μπλε, το τρίτο κίτρινο, το τέταρτο είναι κόκκινο, το πέμπτο είναι μπλε, το έκτο είναι κίτρινο και το pattern συνεχίζεται για όλα τα βαγόνια. Ποιο είναι το χρώμα του εκατοστού βαγονιού; Αν το τρένο έχει 200 βαγόνια, ποιος είναι ο αριθμός του τελευταίου κίτρινου βαγονιού» και σχολιάζουν «Ακόμα και πολύ μικροί μαθητές μπορούν να εμπλακούν σε αυτή τη δραστηριότητα συνέχισης αυτού του pattern. Μπορούν να φτιάξουν ένα τρένο και να χρωματίσουν τα βαγόνια του. Στις μικρές ηλικίες η συνέχιση του pattern μπορεί να βασιστεί στην παρατήρηση της επανάληψης, δηλαδή στην ικανότητα συσχέτισης 26

27 στοιχείων με γειτονικά στοιχεία (όπως το μπλε μετά το κόκκινο, το κόκκινο μετά το κίτρινο κ.ο.κ.) καθώς επίσης και με μια ρυθμική προσέγγιση απομνημονεύοντας τη μονάδα επανάληψης. Η εργασία με τα patterns βοηθάει στην ανάπτυξη της ικανότητας για μαθηματικό συλλογισμό που είναι σπουδαίος για τη μάθηση-ως πλαίσιο για γενίκευση, ως ένα εννοιολογικό σταθερό βήμα στην Άλγεβρα, ως ένα πλαίσιο για αναγνώριση, εικασίες και αναζήτηση κανόνων (Threlfall, 1999). Οπωσδήποτε, για τα παραπάνω απαιτείται να αναπτυχθεί η αντίληψη της μονάδας επανάληψης σ ένα επαναλαμβανόμενο pattern. Μόνο τότε μπορεί κάποιος να ασχοληθεί με το ερώτημα "Ποιο είναι το χρώμα του εκατοστού βαγονιού;". Εμείς περαιτέρω προτείνουμε ότι τα επαναλαμβανόμενα patterns παρέχουν ένα όχημα για κατεύθυνση της προσοχής των παιδιών στην πολλαπλασιαστική δομή των φυσικών αριθμών, εξασφαλίζοντας έτσι μια πύλη για την εισαγωγή στις έννοιες της Θεωρίας Αριθμών. Το ερώτημα: "Ποιο είναι το χρώμα του εκατοστού βαγονιού", δεν φαίνεται να είναι απλό για τα μικρά παιδιά. Ας σκεφτούμε, όμως, όπως ο Polya, ένα όμοιο αλλά απλούστερο πρόβλημα: "Ποιο είναι το χρώμα του 15 ου βαγονιού;". Ενώ οι μικροί μαθητές θα παίζουν με την ακολουθία, οι μεγαλύτεροι μπορεί να αντιληφθούν τη μονάδα επανάληψης. Ένας άλλος τρόπος για να απλοποιήσουμε το πρόβλημα είναι να θεωρήσουμε ένα τρένο με δύο χρώματα. Αυτός είναι ωραία ευκαιρία, και για μερικούς μαθητές η πρώτη, να παρουσιάσουμε τους άρτιους και περιττούς αριθμούς. Η επέκταση της μονάδας επανάληψης, δηλαδή του αριθμού των χρωμάτων του επαναλαμβανόμενου pattern, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή ή την καλλιέργεια της έννοιας των πολλαπλασίων ενός αριθμού στο Δημοτικό σχολείο. Τώρα ας φανταστούμε το επαναλαμβανόμενο pattern που δημιουργείται από ένα τρένο με 1000 βαγόνια 7 διαφορετικών χρωμάτων (κόκκινο, πορτοκαλί, κίτρινο, πράσινο, μπλε, καφέ, άσπρο), κι ας θεωρήσουμε το χρώμα του 800 ου βαγονιού. Στρατηγικές αντιμετώπισης τέτοιων αριθμητικών patterns που αναπαριστούν γραμμικά επαναλαμβανόμενα patterns, βασίζονται σε εισαγωγικές έννοιες της Θεωρίας Αριθμών, όπως παράγοντες, πολλαπλάσια και διαιρετότητα (σελ. 213) Επίσης, τα επαναλαμβανόμενα patterns μπορούν να λειτουργήσουν ως αποτελεσματικές "γέφυρες" για την εισαγωγή της έννοιας του λόγου και της αναλογίας στους μικρούς μαθητές, οι οποίοι βρίσκουν πιο εύκολη τη συζήτηση με λόγους από ό,τι με την έννοια του κλάσματος, επειδή ο λόγος περιλαμβάνει σύγκριση μεταξύ των μερών, ενώ τα κλάσματα περιλαμβάνουν σύγκριση μεταξύ των μερών και 27

28 του όλου, μια σύγκριση που πολλοί μαθητές βρίσκουν δύσκολη. Επίσης, η γλώσσα διαδραματίζει σημαντικό ρόλο. Η γλώσσα που χρησιμοποιείται για την περιγραφή του λόγου είναι πιο κοντά στη γλώσσα που χρησιμοποιείται για τους αριθμούς (απόλυτα αριθμητικά αντί για τακτικά αριθμητικά) (Warren& Cooper, 2007). Παρουσιάζοντας στους μαθητές ένα επαναλαμβανόμενο pattern όπως: παρατηρούν ότι τα τρία από τα τέσσερα πρώτα ορθογώνια είναι κόκκινα, τα έξι από τα πρώτα οκτώ ορθογώνια είναι κόκκινα κ.ο.κ και ότι ο λόγος των κόκκινων ορθογωνίων προς όλα τα ορθογώνια είναι ο ίδιος: οι λόγοι 3/4, 6/8, 9/12 είναι ίσοι. Οι Warren και Cooper (2007) επισημαίνουν πως είναι απαραίτητη η κατανόηση της μαθηματικής δομής των επαναλαμβανόμενων patterns προκειμένου να χρησιμοποιηθούν ως εισαγωγικές δραστηριότητες για την έννοια του λόγου και της αναλογίας. Στην έρευνα τους μελέτησαν τις διδακτικές ενέργειες και διαδικασίες που βοήθησαν στην βαθύτερη κατανόηση του νοητικού αντικειμένου (object). Η έμφαση των εκπαιδευτικών στην αποδόμηση των patterns, δηλαδή στον χωρισμό των patterns στα μέρη τους όχι μόνο επέτρεψε στους μαθητές να προσδιορίσουν τις επαναλήψεις, αλλά άρχισαν και να συζητούν τη δομή της μιας επανάληψης, των δύο επαναλήψεων και ως εκ τούτου για τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ των διαφορετικών επαναλήψεων. Αυτό περιλαμβάνει την εισαγωγή ενός κοινού λεξιλογίου στην τάξη (π.χ. "επαναλαμβανόμενο μέρος") για να περιγράψουν τα patterns. Η εισαγωγή καρτών που τοποθετούσαν οι μαθητές κάτω από τον διαφορετικό αριθμό επαναλήψεων, επίσης, βοήθησε τους μαθητές να δουν τον αριθμό των επαναλήψεων και τον αριθμό των διαφορετικών στοιχείων σε αυτές τις επαναλήψεις. Ενώ, ο πίνακας τιμών βοήθησε τους μαθητές να συνοψίσουν τα δεδομένα τους και υποστήριξε την αναζήτηση γενικεύσεων μεταξύ των στοιχείων των συνόλων. Αρχικά οι μαθητές αναζήτησαν patterns σε ένα μόνο στοιχείο των επαναλήψεων. Για παράδειγμα, οι μαθητές παρατήρησαν ότι "ο αριθμός των κίτρινων τετραγώνων αυξάνεται κατά 3" ή "ο συνολικός αριθμός των τετραγώνων αυξάνεται κατά 4". Αναφέρουν αυτό ως σκέψη για απλή μεταβολή ή προσθετική στρατηγική ("single variational thinking" ή "additive strategy",warren, 1996). Συγκεκριμένες ενέργειες συντέλεσαν στην αλλαγή της σκέψης των μαθητών από σκέψη για απλή μεταβολή σε σκέψη συμμεταβολής ("relational thinking" ή "co-variational thinking") όπως η 28

29 εισαγωγή των όρων "προς τα κάτω κανόνες"-αναζήτηση κανόνων σε μία από τις στήλες των δεδομένων- και "κατά μήκος κανόνες"-εύρεση γενικεύσεων με τη σύνδεση δύο συνόλων των δεδομένων (π.χ."ο αριθμός των κίτρινων τετραγώνων είναι τριπλάσιος από αυτόν των μπλε τετραγώνων") καθώς επίσης και η ενθάρρυνση των μαθητών για γενίκευση από ένα μικρό αριθμό επαναλήψεων σε έναν μεγαλύτερο αριθμό επαναλήψεων καθιστώντας ανεπαρκή την αναζήτηση "προς τα κάτω" patterns. Ακόμα ζητήθηκε από τους μαθητές να περιγράψουν λεκτικά τις γενικεύσεις στις οποίες οδηγήθηκαν και αυτές οι περιγραφές έπρεπε να είναι ακριβείς και να σχετίζονται άμεσα με τα δεδομένα που ήταν υπό διερεύνηση. Γίνεται, λοιπόν, φανερό πως με μια στοχευμένη χρήση των επαναλαμβανόμενων patterns στην τάξη, αυτά μπορούν να αξιοποιηθούν ως εργαλεία για την ανάπτυξη της ικανότητας για γενίκευση και της συναρτησιακής σκέψης. Ο πίνακας τιμών οδήγησε στη μετατροπή των οπτικών αναπαραστάσεων σε αναπαραστάσεις με αριθμούς. Επομένως, οι μαθητές αναζήτησαν αριθμητικά patterns και δημιούργησαν μια ποικιλία από λόγους για διαφορετικούς αριθμούς επαναλήψεων. Ωστόσο, όταν ήρθε η συζήτηση για τη σχέση που υπήρχε μεταξύ των λόγων στον πίνακα τιμών, ήταν η επιστροφή στις οπτικές αναπαραστάσεις των λόγων που βοήθησε τις συζητήσεις των μαθητών για την ισοδυναμία. Ο ρόλος των εκπαιδευτικών είναι να διασφαλίσουν ότι τόσο η συζήτηση στην τάξη όσο και το μαθηματικό πλαίσιο είναι πλούσια και αναπαραστασιακά του πλήρους εύρους της κατανόησης έτσι ώστε οι αρχικές έννοιες που επιδιώκονται να επιτυγχάνονται από τους μαθητές που συμμετέχουν στον διάλογο. Θεωρούν ότι η χρήση πίνακα τιμών, συγκεκριμένων υλικών, η κατάλληλη γλώσσα και οι ερωτήσεις του εκπαιδευτικού επιδρούν στην ανάπτυξη της βαθύτερης κατανόησης των αντικειμένων. Σημαντική είναι η ενασχόληση των μαθητών της στοιχειώδους εκπαίδευσης με τα επαναλαμβανόμενα patterns και για το λόγο ότι συμβάλλει στην πιο αποτελεσματική ενασχόλησή τους, στη συνέχεια, με τα αναπτυσσόμενα patterns, τα οποία είναι αυτά που παραδοσιακά χρησιμοποιούνται για την εισαγωγή των μαθητών στην τυπική Άλγεβρα. Οι μαθητές επιδεικνύουν μια μεγαλύτερη άνεση με τα επαναλαμβανόμενα patterns σε σχέση με τα αναπτυσσόμενα. Δεν είναι, σύμφωνα με την ερευνήτρια, πως τα αναπτυσσόμενα patterns είναι γνωστικά πιο δύσκολα, αλλά το γεγονός πως οι μαθητές έχουν περισσότερες εμπειρίες με επαναλαμβανόμενα patterns. Η έλλειψη, όμως, προγενέστερης γνώσης με αναπτυσσόμενα patterns δυσχεραίνει τη μετάβαση 29

30 από την Αριθμητική στην Άλγεβρα δεδομένου ότι τα αναπτυσσόμενα patterns είναι αυτά που παραδοσιακά χρησιμοποιούνται για να γεφυρώσουν το χάσμα μεταξύ των δύο αυτών πεδίων. Αναπτυσσόμενα patterns (Growing Patterns) και πρώιμη Άλγεβρα Τα αναπτυσσόμενα patterns είναι πρότυπα που εμπεριέχουν μια σταδιακή εξέλιξη βήμα βήμα. Τυπικά, τα πρότυπα αυτά καλούνται ακολουθίες (Van de Walle, 2005). Στην εργασία αυτή θα χρησιμοποιηθεί ο όρος "αναπτυσσόμενα patterns". Οι δραστηριότητες με αναπτυσσόμενα patterns μπορούν να αναπτυχθούν σε διάφορα πλαίσια- αριθμητικό ή εικονιστικό πλαίσιο- και με την εφαρμογή διαφόρων προσεγγίσεων. Συνήθως, σε δραστηριότητες με patterns, οι μαθητές ενθαρρύνονται να αναγνωρίζουν, να συμπληρώνουν, να περιγράφουν και να κατασκευάζουν απλές γεωμετρικές, αριθμητικές και άλλες κανονικότητες. Είναι σημαντικό να δοθεί χρόνος στους μαθητές του Δημοτικού σχολείου να εξοικειωθούν με τις θεμελιώδεις διαδικασίες της αναγνώρισης κανονικοτήτων και σχέσεων. Πολλοί ερευνητές υποστηρίζουν πως τα patterns μπορούν να αξιοποιηθούν ως διδακτικό εργαλείο με στόχο την ανάπτυξη της ικανότητας για γενίκευση από τις μικρές ηλικίες. Η γενίκευση αποτελεί μια σημαντική συνιστώσα του αλγεβρικού συλλογισμού. Η γενίκευση αναφέρεται στη σκόπιμη επέκταση του εύρους της συλλογιστικής ή της επικοινωνίας πέρα από την περίπτωση ή τις περιπτώσεις που εξετάζονται, τον σαφή προσδιορισμό και την έκθεση των κοινών στοιχείων μεταξύ των περιπτώσεων ή την ανύψωση του συλλογισμού ή της επικοινωνίας σε τέτοιο επίπεδο όπου η εστίαση δεν βρίσκεται πλέον στις περιπτώσεις ή στις καταστάσεις αυτές καθαυτές αλλά στα patterns, τις διαδικασίες, τις δομές και τις σχέσεις (που με τη σειρά τους αποτελούν νέα, υψηλότερου επιπέδου αντικείμενα συλλογισμού ή επικοινωνίας). Αλλά η έκφρασή της γενίκευσης σημαίνει την απόδοσή της σε κάποια γλώσσα, τυπική ή άλλη (π.χ. για τα μικρότερα παιδιά, χειρονομίες) (Kaput, 1999). Οι εκπαιδευτικοί, ωστόσο, πρέπει να είναι ενήμεροι για τους διαφορετικούς, διαβαθμισμένης δυσκολίας τρόπους έκφρασης της γενικότητας που μπορούν τα patterns να υποθάλψουν. 30

31 Για να επεκτείνουν οι μαθητές ένα αναπτυσσόμενο pattern πρέπει να αναγνωρίσουν τι μεταβάλλεται και με ποιο τρόπο. Σύμφωνα με τον Van de Wall (2005), ο τρόπος με τον οποίο το pattern αλλάζει από ένα δεδομένο όρο προς τον επόμενο είναι το πρώτο που παρατηρούν οι μαθητές. Οι μαθητές, δηλαδή, συσχετίζουν στοιχεία του ίδιου συνόλου (περιγραφή της αναδρομικής σχέσης). Για παράδειγμα, οι μαθητές σε ένα αναπτυσσόμενο pattern, όπως το 1, 3, 5, 7, 9, αναγνωρίζουν τη σχέση α ν =α ν-1 +2 με α 1 =1. Το μείζον πρόβλημα για τους μαθητές δεν είναι στην "παρατήρηση ενός pattern", αλλά στην αναγνώριση ενός "αλγεβρικά χρήσιμου pattern" (Lee, 1996). Εφόσον, οι μαθητές αντιλαμβάνονται ένα pattern με έναν ορισμένο τρόπο είναι δύσκολο για αυτούς να εγκαταλείψουν την αρχική τους αντίληψη. Μια ευέλικτη θεώρηση των patterns πρέπει να αναπτυχθεί προκειμένου να βοηθήσει τους μαθητές να ανακαλύψουν αυτά τα patterns που μπορούν να οδηγήσουν σε αλγεβρικό συμβολισμό (Lee, 1996 English& Warren, 1998). Πιο ισχυρή γενίκευση, δηλαδή, προκύπτει όταν συσχετίζονται τα στοιχεία δύο συνόλων- εύρεση μιας σχέσης που επιτρέπει τον προσδιορισμό των στοιχείων ενός όρου από τη θέση του όρου αυτού- ρητή γενίκευση, π.χ. α ν =1+2(ν-1). Ένα σημαντικό αποτέλεσμα ερευνών που εξετάζουν την ικανότητα για γενίκευση προτύπων είναι πως οι ικανότεροι μαθητές αναζητούν μια συναρτησιακή σχέση, ενώ οι λιγότερο ικανοί χρησιμοποιούν αναδρομικές προσεγγίσεις ή ανακριβείς αναλογικούς συλλογισμούς (English& Warren, 1998 Lee, 1996). Πρέπει να γίνεται παρουσίαση και των δύο μορφών γενίκευσης ενός pattern, αναδρομική (recursive) και ρητή (explicit), και συζήτηση για τον τρόπο που αυτές οι μορφές σχετίζονται μεταξύ τους, καθώς και των πλεονεκτημάτων και των μειονεκτημάτων τους και σύγκριση της αποτελεσματικότητας της κάθε μιας (Lannin, 2004). Η αναδρομική (recursive) γενίκευση είναι σημαντική και δεν πρέπει να παραγκωνίζεται (Rivera& Becker, 2005), γιατί μεταξύ άλλων θέτει τις βάσεις για κατανόηση των εννοιών του ρυθμού μεταβολής και της κλίσης της γραμμικής γραφικής παράστασης. Ο Radford τονίζει πως μια δραστηριότητα patterning θεωρείται αλγεβρική όταν οι μαθητές δε βασίζονται στην εικασία και δοκιμή στρατηγικών, αλλά αναζητούν ομοιότητες και ο σχηματισμός των γενικών εννοιών προκύπτει από τον σχηματισμό γενικών εκφράσεων. Ο Radford, όπως έχει ήδη αναφερθεί, διακρίνει την αριθμητική από την αλγεβρική σκέψη. Όσον αφορά την αλγεβρική σκέψη, εισηγήθηκε τον ακόλουθο ορισμό: Η γενίκευση ενός pattern αλγεβρικά στηρίζεται στην ικανότητα 31

32 αντίληψης κοινών χαρακτηριστικών που παρατηρούνται σε ορισμένα στοιχεία (ας πούμε p₁, p₂, p₃. pk) επέκτασης ή γενίκευσης αυτών των κοινών χαρακτηριστικών σε όλους τους επόμενους όρους (pk + 1, pk + 2, pk + 3, ) και χρήσης των κοινών στοιχείων για να παρέχουν μια άμεση έκφραση οποιουδήποτε όρου της ακολουθίας. Υπάρχουν διάφορες πτυχές που εμπλέκονται σε αυτόν τον ορισμό. Πρώτον, τα τοπικά κοινά χαρακτηριστικά (local commonality) ας πούμε C που παρατηρούνται σε λίγους όρους της ακολουθίας S. Αυτό tο βήμα απαιτεί κανείς να κάνει επιλογή μεταξύ του τι υπολογίζει ως το ίδιο και τι διαφορετικό. Δεύτερον, αυτά τα κοινά χαρακτηριστικά C γενικεύονται σε όλους τους όρους της ακολουθίας. Στο τελευταίο μέρος της διαδικασίας της γενίκευσης τα κοινά χαρακτηριστικά αποτελούν τη βάση για να γραφούν εκφράσεις των στοιχείων της ακολουθίας που παραμένουν πέραν του αντιληπτού πεδίου.. Η άμεση έκφραση των όρων της ακολουθίας απαιτεί την επεξεργασία ενός κανόνα-συγκεκριμένα ενός σχήματος κατά την άποψη του Kant (Radford, 2005)- βασισμένου στις απροσδιόριστες ποσότητες. Σε αυτή την περίπτωση στις μεταβλητές. Το παρακάτω σχήμα συνοψίζει την πορεία μιας αλγεβρικής γενίκευσης των προτύπων. Σχήμα: Άλγεβρική γενίκευση των προτύπων Η "αφαίρεση του αναλλοίωτου" από τις μεταβαλλόμενες καταστάσεις αποτελεί μια πολύ σημαντική πτυχή της μαθηματικής δραστηριότητας (Kaput, 1992). Και για να υπάρξει αναγνώριση του αναλλοίωτου πρέπει να υπάρχουν μεταβολές. Πολλά υπολογιστικά περιβάλλοντα έχουν κατασκευαστεί ώστε να ευνοούν τις δυναμικές μεταβολές.(γαβρίλης, 2011). Σε αυτό το περιβάλλον που ευνοεί μεγαλύτερο πλήθος πειραμάτων και ενισχύει τη συμβολική έκφραση από την αρχή, οι μαθητές έχουν καλύτερες ευκαιρίες να δημιουργήσουν γενικεύσεις και να τις εκφράσουν αλγεβρικά. Τα τελευταία χρόνια, η εισαγωγή των νέων τεχνολογιών στην εκπαίδευση διαμόρφωσε νέα δεδομένα και νέες συνθήκες εργασίας και μέσα στην τάξη των Μαθηματικών. Ένας σημαντικός αριθμός ερευνών υπάρχει σχετικά με τη χρήση διερευνητικών λογισμικών στην τάξη των Μαθηματικών. Η εμφάνιση των υπολογιστικών περιβαλλόντων στη σχολική Άλγεβρα έδωσε τη δυνατότητα για μελέτη των μεταβολών και των συναρτήσεων. Μελέτες έχουν δείξει πως τα 32

33 προγράμματα υπολογιστικών φύλλων μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να κάνουν συνδέσεις ανάμεσα στις άτυπες ιδέες τους και στις τυπικές αναπαραστάσεις (π.χ. Ainley, Bills & Wilson, 2004). Επιπροσθέτως, τα υπολογιστικά φύλλα επιτρέπουν στους μαθητές να αιτιολογούν με ευελιξία επιτρέποντας τους να προβαίνουν σε γενικεύσεις με βάση επαναληπτικό συλλογισμό ή με ρητή γενίκευση. Η ευελιξία αυτή μπορεί να προσφέρει μεγαλύτερη προσβασιμότητα στη γενίκευση μαθηματικών καταστάσεων στους μαθητές. Ένα επιπλέον όφελος από τη χρήση της τεχνολογίας είναι ότι μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να συνδέουν τις μαθηματικές ιδέες τους σχετικά με τις συμβολικές αναπαραστάσεις με τις γραφικές παραστάσεις (Drier, 2001), τις εικονικές παραστάσεις και το ίδιο το πλαίσιο του προβλήματος. Ως εκ τούτου, τα υπολογιστικά περιβάλλοντα μπορούν να μετατοπίσουν το επίκεντρο της διδασκαλίας μακριά από την παραδοσιακή έμφαση στις διαδικασίες προς την ανάπτυξη νοήματος για τις αλγεβρικές παραστάσεις. Με τα υπολογιστικά περιβάλλοντα οι μαθητές μπορούν να εμπλακούν σε αλγεβρικές δραστηριότητες και να αποκτήσουν αλγεβρικές ικανότητες να διερευνούν σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων, να αναπτύσσουν εικασίες, να τις γενικεύουν, να τις εκφράζουν με τη χρήση αλγεβρικού συμβολισμού και να τις αποδεικνύουν. Οι κατάλληλες δραστηριότητες, η παρουσία των υπολογιστικών εργαλείων και ο διάλογος στην τάξη βελτιώνουν τη μάθηση της Άλγεβρας. Στην τάξη των Μαθηματικών πρέπει να ενισχύονται οι διάφορες στρατηγικές των μαθητών και να δίνεται έμφαση στην επικοινωνία. Όλες οι μορφές επικοινωνίας (λεκτική, σχηματική, συμβολική) υποστηρίζονται και συζητούνται. Η επιλογή του κατάλληλου πλαισίου (με τη μορφή ερωτημάτων, προβλημάτων ή δραστηριοτήτων) είναι από τις πιο σημαντικές στιγμές της διδασκαλίας. Η ουσία της «μαθηματικοποίησης» δεν βρίσκεται στο είδος της δραστηριότητας (πραγματική ή μαθηματική), αλλά στον τρόπο διαπραγμάτευσης, στην οργάνωση της δραστηριότητας. Είναι απαραίτητο να επιλέγονται δραστηριότητες που δίνουν την ευκαιρία στους μαθητές να αποκτήσουν εκείνες τις γνώσεις και δεξιότητες που θα τους χρησιμεύσουν στην περαιτέρω ενασχόλησή τους με τα Μαθηματικά. Ο μαθητής πρέπει να έχει ευκαιρίες για την ανάπτυξη βασικών μαθηματικών διαδικασιών, όπως η διατύπωση υποθέσεων, ο έλεγχος, η δικαιολόγηση, η απόδειξη και η γενίκευση. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να βοηθήσει τους μαθητές να μάθουν να κατανοούν τη γλώσσα των Μαθηματικών και να χρησιμοποιούν αυτή τη γλώσσα για να επικοινωνήσουν τη μαθηματική τους σκέψη. Να δώσει την ευκαιρία στους μαθητές μέσα από κατάλληλες σχεδιασμένες 33

34 δραστηριότητες και ερωτήσεις- να επικοινωνήσουν τη σκέψη τους, εκθέτοντας τις προσωπικές τους απόψεις και στρατηγικές. Όπως σημειώνεται από τον Lannin (2005) η γενίκευση δεν μπορεί να διαχωριστεί από την αιτιολόγηση. Η αιτιολόγηση διαδραματίζει δύο βασικούς ρόλους που σχετίζονται με την κατανόηση της σκέψης των μαθητών: (α) επιτρέπει στον εκπαιδευτικό να κατανοήσει γιατί ένας μαθητής χρησιμοποιεί μια συγκεκριμένη στρατηγική και (β) παρέχει ένα παράθυρο για να διαπιστωθεί ο βαθμός στον οποίο οι μαθητές αναγνωρίζουν τη γενικότητα των κανόνων τους. Η εισαγωγή στην αλγεβρική σκέψη περιλαμβάνει δράσεις όπως η αναγνώριση, η συμπλήρωση, η περιγραφή, η γενίκευση κανονικοτήτων (γεωμετρικών και αριθμητικών), η αναγνώριση των σχέσεων μεταξύ διάφορων αναπαραστάσεων (λεκτικών, υλικών, εικονικών, συμβολικών) και η μετάβαση από τη μία παράσταση στην άλλη. Τα αναπτυσσόμενα patterns αντιπροσωπεύονται με πέντε διαφορετικούς τρόπους-αναπαραστάσεις: το ίδιο το πρότυπο, στο οποίο μπορούμε να αναφερθούμε ως το συγκείμενο, ο πίνακας τιμών, η συμβολική έκφραση, η γραφική παράσταση και η γλώσσα. Η αναγνώριση σχέσεων στα patterns σε διαφορετικές αναπαραστάσεις και ο συνδυασμός διαφορετικών μορφών αναπαράστασης ενός pattern μπορεί να παίζει σημαντικό ρόλο στην κατανόηση της γενίκευσης από τους μαθητές και στην ανάπτυξη αλγεβρικού συλλογισμού. Οι ίδιες πέντε αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται για όλες τις συναρτήσεις, όχι μόνο για τα patterns. Οι μαθητές πρέπει να κατανοούν ότι κάθε αναπαράσταση είναι ένας τρόπος να εξεταστεί η συνάρτηση, ωστόσο κάθε μια παρέχει ένα ξεχωριστό τρόπο εξέτασης ή σκέψης της συνάρτησης αυτής. Οι μαθητές πρέπει να μπορούν να ερμηνεύουν τους τρόπους αναπαράστασης, να μεταβαίνουν από τη μια αναπαράσταση στην άλλη αντιλαμβανόμενοι ταυτόχρονα πως αυτές οι μεταβάσεις αποτελούν στρατηγικές για να λύσουν το πρόβλημά τους. Η δόμηση των μαθηματικών εννοιών και σχέσεων επιτυγχάνεται με την αξιοποίηση των πολλαπλών αναπαραστάσεων 34

35 2.2 Οι συνθήκες που μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αναπτύξουν στοιχεία αλγεβρικής και συναρτησιακής σκέψης. Ένα πλήθος ερευνών με αντικείμενο τη μελέτη των patterns ως διδακτικού εργαλείου για την ανάπτυξη της ικανότητας για γενίκευση έχουν δείξει πως οι μαθητές της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης είναι σε θέση να συμμετέχουν σε συζητήσεις που προάγουν την αλγεβρική και συναρτησιακή σκέψη και σκιαγραφούν τις συνθήκες που μπορούν να συμβάλλουν προς αυτή την κατεύθυνση. Οι Blanton και Kaput (2004) μελέτησαν την εξέλιξη της συναρτησιακής σκέψης των μαθητών σε σχέση με την ηλικία τους. Από τις απαντήσεις μαθητών από το νηπιαγωγείο ως την πέμπτη τάξη του δημοτικού σχολείου στο ίδιο πρόβλημα, το οποίο απαιτούσε την αναγνώριση α) της σχέσης μεταξύ του πλήθους των σκύλων και του πλήθους των ματιών τους και β) της σχέσης του πλήθους των σκύλων και του αντίστοιχου συνολικού αριθμού ματιών και ουρών, παρατηρήθηκε ότι ακόμα και οι μαθητές του νηπιαγωγείου ήταν σε θέση να περιγράψουν προσθετικές σχέσεις στη φυσική γλώσσα. Οι μαθητές της πρώτης τάξης μπορούσαν να περιγράψουν προφορικά, κυρίως, προσθετικές σχέσεις ("μετράμε ανά 2"), ενώ, ορισμένοι περιέγραψαν το αριθμητικό pattern χρησιμοποιώντας πολλαπλασιαστικές σχέσεις ("διπλάσιο" ή "τριπλάσιο"). Από τη δευτέρα τάξη, οι μαθητές ήταν ικανοί να αναζητούν όχι μόνο αναδρομικές σχέσεις, αλλά και να αναγνωρίζουν τον τρόπο που οι ποσότητές συμμεταβάλλονται (περιγραφή πολλαπλασιαστικών σχέσεων με λεκτικές δηλώσεις). Οι μαθητές της τρίτης τάξης και των επόμενων τάξεων, χρησιμοποιώντας μικρότερο αριθμό τιμών στοιχείων, μπορούσαν να εμπλακούν με ικανοποιητικό τρόπο σε αλγεβρικό συλλογισμό, να καθορίζουν συναρτησιακές σχέσεις και να χρησιμοποιούν αλγεβρικό συμβολισμό για να τις αναπαραστήσουν (π.χ. "ο αριθμός των ματιων=2n" ή Χ 3=n). Μέχρι την πρώτη τάξη, οι εκπαιδευτικοί κατέγραφαν τα δεδομένα σε πίνακα τιμών συνάρτησης (t-chart), εργασία της οποίας την ευθύνη ανέλαβαν οι μαθητές από την πρώτη τάξη. Από τη δευτέρα και τρίτη τάξη, οι μαθητές χρησιμοποιούσαν με ευχέρεια αυτό το αναπαραστασιακό εργαλείο. Οι ερευνητές τονίζουν τον σημαντικό 35

36 ρόλο των εκπαιδευτικών στην αναγνώριση και την υποστήριξη των προσπαθειών των μαθητών για γενίκευση αριθμητικών και γεωμετρικών patterns. Πολλοί ερευνητές (π.χ. Blanton & Kaput, 2005 Carraher et al., 2006) υποστηρίζουν πως οι πίνακες τιμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν και να εκφράσουν συναρτησιακές σχέσεις σε μια σειρά από προβλήματα-καταστάσεις. Οι Becker και Rivera (2006), όμως, τονίζουν πως η πρόωρη αριθμητικοποίηση ενισχύει αναδρομικές στρατηγικές και στρατηγικές του τύπου "δοκιμή και λάθος". Συγκεκριμένα, οι Becker και Rivera (2006) μελέτησαν την ικανότητα 29 μαθητών μέσης ηλικίας 11 ετών για γενίκευση γεωμετρικών patterns κατά τη διάρκεια ενός εξάμηνης διάρκειας προγράμματος παρέμβασης. Τα patterns παρουσιάζονταν σε εικονιστικό πλαίσιο για την αποφυγή εκ μέρους των μαθητών στρατηγικών όπως "δοκιμής-και-λάθους" ή χρήσης αναδρομικών τύπων (π.χ."a n =a n-1 +4"). Στο τέλος της παρέμβασης, οι μαθητές ήταν σε θέση να εκφράζουν συμβολικά τις σχέσεις που περιγράφουν τα patterns και να αιτιολογούν τις απαντήσεις τους με αναφορά στα πρότυπα που παράγει το εικονιστικό πλαίσιο, καθώς, επίσης, και να αξιολογούν την ισοδυναμία constructive γενικοτήτων [π.χ. (2 X n)+(2 X n)+1]. Αντίθετα, παρατηρήθηκε δυσκολία στην αιτιολόγηση deconstructive γενικοτήτων [π.χ. (2 X n)+1+(2 X n)+1-1]. Σε προηγούμενη, όμως, έρευνα η Warren (2005) επισήμανε πως οι μαθητές εστιάζουν την προσοχή τους μόνο στο ένα μεταβαλλόμενο μέγεθος και στις διαδικασίες επανάληψής του και στις σχηματικές αναπαραστάσεις. Η εμπλοκή των μαθητών σε "σημειωτικές" δραστηριότητες βοήθησε στην αναγνώριση και περιγραφή συναρτησιακών σχέσεων. 2.3 Οι στρατηγικές των μαθητών σε δραστηριότητες patterning Η Stacey (1989) εστίασε την ερευνά της στις στρατηγικές γενίκευση μαθητών ηλικίας 9 ως 13 ετών σε γραμμικά έργα γενίκευσης. Οι στρατηγικές που καταγράφηκαν ήταν οι ακόλουθες: μέθοδος υπολογισμού (counting), μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου (whole-object), μέθοδος διαφοράς (difference) και γραμμική μέθοδος (linear). Στη μέθοδο υπολογισμού, οι μαθητές σχεδίασαν τις μορφές και απαρίθμησαν τα στοιχεία των μορφών. Οι μαθητές που χρησιμοποίησαν τη μέθοδο ολόκληρου-αντικειμένου υπολόγισαν τον προς αναζήτηση όρο παίρνοντας ένα 36

37 πολλαπλάσιο μιας προηγούμενης τιμής, υιοθέτησαν σιωπηρά, δηλαδή, ένα μοντέλο της μορφής Σ(νμ)=ν Χ Σ(μ). Ορισμένοι μαθητές για τον υπολογισμό των στοιχείων μιας μορφής πολλαπλασίασαν τη διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών όρων με τον αριθμό της μορφής (μέθοδος διαφοράς). Τέλος, υπήρξαν μαθητές που χρησιμοποίησαν ένα γραμμικό μοντέλο της μορφής αn+b, b 0. Η μελέτη, επίσης, έδειξε πως ένα σημαντικό ποσοστό των μαθητών χρησιμοποιεί τη μέθοδο της ευθείας αναλογίας σε έργα που δεν περιείχαν ευθεία αναλογία. Παρατηρήθηκε, ακόμα, ασυνέπεια στις γενικεύσιμες μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν από τους μαθητές σε ερωτήσεις "κοντινής γενίκευσης" ("near generalization"- ερωτήσεις που μπορούν να απαντηθούν με τη χρήση ενός σχεδίου ή μιας αναδρομικής σχέσης, για παράδειγμα, η εύρεση του 5 ου όρου της ακολουθίας) και "μακρινής γενίκευσης" ("far generalization"- οι στρατηγικές που αναφέρθηκαν δεν είναι πλέον λειτουργικές και για να απαντηθούν οι ερωτήσεις όπως για παράδειγμα η εύρεση του 100ού όρου απαιτείται ο καθορισμός ενός ρητού κανόνα). Οι προσεγγίσεις των μαθητών φάνηκαν να επηρεάζονται από το εικονιστικό πλαίσιο, αλλά ο παράγοντας αυτός δε διερευνήθηκε περαιτέρω. Η μελέτη των Garcia, Cruz και Martinon (1997) αποσκοπούσε στην ανάλυση των διαδικασιών γενίκευσης που αναπτύσσουν μαθητές Λυκείου. Οι ερευνητές βασίστηκαν στην εργασία της Stacey για την ανάλυση των μεθόδων που χρησιμοποιήθηκαν από τους μαθητές. Σύμφωνα με τους ερευνητές, οι τρεις βασικές μέθοδοι γενίκευσης είναι: η μέθοδος υπολογισμού (οι μαθητές απαριθμούν τα στοιχεία μιας μορφής ή επεκτείνουν την ακολουθία μετά την εύρεση της αναδρομικής σχέσης), η μέθοδος της ευθείας αναλογίας και η γραμμική μέθοδος. Επίσης, οι στρατηγικές κατηγοριοποιήθηκαν με κριτήριο το χαρακτήρα τους σε: οπτικές, αριθμητικές και μικτές. Εάν οι μορφές διαδραμάτισαν ένα βασικό ρόλο στην αναζήτηση της κανονικότητας, η μέθοδος ονομάζεται οπτική. Από την άλλη πλευρά, αν η εύρεση του pattern βασίστηκε στην αριθμητική ακολουθία, η μέθοδος θεωρείται αριθμητική. Στη μικτή διαδικασία γενίκευσης, οι μαθητές εξετάζουν την αριθμητική ακολουθία για κανονικότητές και χρησιμοποιούν τις μορφές για να ελέγξουν την ακρίβεια της απάντησή τους. Τα ευρήματα της εν λόγω έρευνας έδειξαν πως οι μορφές διαδραματίζουν διπλό ρόλο στη διαδικασία της αφαίρεσης και της γενίκευσης. Αυτές αποτέλεσαν τη βάση για τους μαθητές που χρησιμοποιούν οπτικές στρατηγικές για να οδηγηθούν σε μία γενίκευση και από την άλλη πλευρά ενήργησαν 37

38 ως ένα μέσο για να ελέγξουν την εγκυρότητα του συλλογισμού τους οι μαθητές που ευνοούνται από αριθμητικές στρατηγικές. O Gardner (1993) υποστηρίζει πως μερικοί μαθητές προσδιορίζουν στις κανονικότητες οπτικά ή χωρικά χαρακτηριστικά, ενώ άλλοι αντιμετωπίζουν αυτές λογικά και αναλυτικά. Ο Krutetsii (1976) αναλύοντας τον τρόπο συλλογισμού που ανέπτυξαν μαθητές όταν επέλυαν μαθηματικά προβλήματα, προσδιόρισε τρεις κύριες κατηγορίες: αναλυτική (μη οπτική προσέγγιση), γεωμετρική (οπτική προσέγγιση) και αρμονική (χρήση και των δύο προηγούμενων τύπων συλλογισμού). Παρά την ύπαρξη διαφορετικών προσεγγίσεων για το ίδιο πρόβλημα, οι περισσότεροι μαθητές προτιμούν να χρησιμοποιούν αριθμητικές σχέσεις ως υποστήριξη του συλλογισμού τους αντικατοπτρίζοντας ίσως την εργασία που προωθείται στην τάξη όπου κυριαρχούν οι αναλυτικές παραστάσεις. Ωστόσο, ορισμένες μελέτες δείχνουν πως οι περισσότεροι μαθητές οδηγούνται σε ορθές γενικεύσεις όταν χρησιμοποιούν μια αρμονική ή μικτή προσέγγιση (Stacey, 1989 Becker& Rivera, 2005). Πολλοί ερευνητές τονίζουν τη σημασία της οπτικοποίησης στην επίλυση προβλημάτων (Presmeg, 2006 Shama& Dreyfus, 1994), ενώ άλλοι ισχυρίζονται πως η οπτικοποίηση πρέπει να χρησιμοποιείται συμπληρωματικά με την αναλυτική αιτιολόγηση (Goldenberg, 1996 Tall, 1991). Σύμφωνα με τον Presmeg (2006), οι εκπαιδευτικοί τείνουν να προωθούν την οπτική συλλογιστική ως μια πιθανή στρατηγική για την επίλυση προβλημάτων μόνο σε ένα αρχικό στάδιο. Αρκετές μελέτες επισημαίνουν τη δυναμική της οπτικής προσέγγισης για την υποστήριξη της επίλυσης προβλημάτων και της μάθησης των Μαθηματικών. Η πραγματικότητα, όμως, στις τάξεις δείχνει πως οι μαθητές συχνά εμφανίζονται απρόθυμοι να αξιοποιήσουν το οπτικό υποστηρικτικό υλικό (Dreyfus, 1991) και τείνουν να μη κάνουν συνδέσεις μεταξύ της οπτικής και αναλυτικής σκέψης (Presmeg, 1986). Αυτές οι ιδέες συνεπάγονται πως ο ρόλος της οπτικοποίησης στη διδασκαλία των Μαθηματικών θα πρέπει να επανεκτιμηθεί. Υπάρχουν διάφοροι λόγοι που υπογραμμίζουν τη σημασία της οπτικοποίησης: (α) τα Μαθηματικά στα νέα προγράμματα σπουδών συνδέονται στενά με τη μελέτη των patterns που σε συνδυασμό με τη χρήση της τεχνολογίας μπορεί να μειώσουν τη δυσκολία της αλγεβρικής σκέψης, (β) η οπτικοποίηση συχνά μπορεί να παρέχει απλές και ισχυρές προσεγγίσεις, (γ) οι εκπαιδευτικοί πρέπει να αναγνωρίσουν τη σημασία της υποστήριξης των μαθητών προκειμένου να αναπτύξουν ένα ρεπερτόριο διαφορετικών τεχνικών να προσεγγίζουν μαθηματικά προβλήματα-καταστάσεις (Thornton, 2001) 38

39 Οι Orton& Orton (1999) μελέτησαν τον τρόπο με τον οποίο μαθητές ηλικίας 10 ως 13 ετών προσέγγισαν γραμμικά και τετραγωνικά patterns. Οι ερευνητές ανέφεραν μια τάση για χρήση της διαφοράς μεταξύ διαδοχικών όρων ως μια μέθοδο γενίκευσης και επέκτασης της σε τετραγωνικά patterns λαμβάνοντας τις δεύτερες διαφορές, χωρίς, όμως, επιτυχία σε ορισμένες περιπτώσεις, όπως στην περίπτωση της ακολουθίας Fibonacci (1,1,2,3,5 ). Ανέφεραν, επίσης, ως εμπόδιο για την επιτυχή γενίκευση, την αριθμητική ανεπάρκεια των μαθητών και την καθήλωση σε αναδρομικές προσεγγίσεις, οι οποίες, παρόλο που είναι χρήσιμες για να απαντηθούν ερωτήσεις κοντινής γενίκευσης, δεν συμβάλλουν στην κατανόηση της δομής του pattern. Οι Sasman, Olivier και Linchevski (1999) εργάστηκαν με μαθητές ηλικίας ετών σε δραστηριότητες γενίκευσης, στις οποίες εμπλέκονταν διαφορετικές αναπαραστάσεις. Τα ευρήματα της έρευνας έδειξαν πως οι μαθητές χρησιμοποιούσαν σχεδόν αποκλειστικά αριθμητικά πλαίσια, αγνοώντας τις μορφές και έτειναν να αναζητούν αναδρομικές σχέσεις και να δίνουν αρκετές λανθασμένες απαντήσεις που συνδέονταν με την ακατάλληλη χρήση ευθείας αναλογίας. Σε μια πιο πρόσφατη μελέτη, οι Becker και Rivera (2005) περιέγραψαν την εργασία μαθητών της 9 ης τάξης (14-15 ετών) σε γραμμικά έργα γενίκευσης. Έγινε προσπάθεια να αναλυθούν οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές προκειμένου να αναπτύξουν μια ρητή γενίκευση και να κατανοηθεί ο ρόλος του εικονιστικού και αριθμητικού πλαισίου. Οι στρατηγικές που ακολουθήθηκαν από τους μαθητές φάνηκαν να ήταν κατά κύριο λόγο αριθμητικές. Ενώ, οι τρεις τύποι γενίκευσης που προσδιορίστηκαν ήταν: αριθμητική (numerical), με βάση τις μορφές (figural) και πραγματιστική (pragmatic). Οι μαθητές που εργάστηκαν αριθμητικά οδηγήθηκαν σε έναν ρητό κανόνα με τη μέθοδο "δοκιμή-και-λάθος" έχοντας μικρή αίσθηση του τι ο συντελεστής και η σταθερά αντιπροσώπευαν στα γραμμικά patterns. Δηλαδή, δεν ήταν πάντα σε θέση να αιτιολογούν τις γενικεύσεις τους μη-επαγωγικά ή με κάποιο άλλο έγκυρο τρόπο. Παρατηρήθηκε, λοιπόν, πως, σε ορισμένες περιπτώσεις, οι αριθμητικές στρατηγικές ήταν προσανατολισμένες στο αντικείμενο (object-oriented) με την έννοια πως οι τύποι που αναπτύχθηκαν αξιολογούνταν μόνο από την άποψη του πόσο καλά ταίριαζαν στις περιορισμένες πληροφορίες που εξετάστηκαν. Οι μαθητές που εργάστηκαν σχεδιαστικά εστίασαν στον προσδιορισμό σταθερών σχέσεων ανάμεσα στις δοσμένες μορφές (relation-oriented methods) και ήταν ικανοί να ερμηνεύουν τις μεταβλητές μέσα στο πλαίσιο μιας συναρτησιακής 39

40 σχέσης. Τέλος, οι ικανότητες ορισμένων μαθητών για γενίκευση patterns αντανακλούν την ικανότητα για εφαρμογή τόσο αριθμητικών όσο και εικονιστικών στρατηγικών (πραγματιστική γενίκευση), καθώς οι αριθμητικές ακολουθίες θεωρούνται ως αποτελούμενες και από ιδιότητες και από σχέσεις. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των παραπάνω ερευνών, θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε πως παρόλο που αναπτύχθηκαν σε διαφορετικά πλαίσια παρουσιάζουν μια σειρά κοινών στοιχείων. Όσον αφορά τη φύση των στρατηγικών που προέκυψαν από την εργασία των μαθητών, προτείνονται παρόμοιες κατηγορίες και αναφέρεται η προτίμηση των μαθητών για εφαρμογή αριθμητικών στρατηγικών. Επιπρόσθετα, αναδεικνύεται η προσκόλληση σε αναδρομικές προσεγγίσεις ή σε ανακριβείς αναλογικούς συλλογισμούς που αποτρέπει τους μαθητές από τον προσδιορισμό της γενικής δομής των patterns. Η έρευνα έχει δείξει πως η μαθηματική δομή της δραστηριότητας, οι ερωτήσεις των εκπαιδευτικών, η προγενέστερη γνώση ή η προγενέστερη χρησιμοποιούμενη στρατηγική του μαθητή και η κοινωνική αλληλεπίδραση είναι παράγοντες που επηρεάζουν την επιλογή μιας στρατηγικής (π.χ. Lannin et al., 2006). 3.ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3.1 Σκοπός της έρευνας Οι άνθρωποι στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν τον κόσμο, να ερμηνεύσουν τα διάφορα φαινόμενα, να κάνουν προβλέψεις για τη συμπεριφορά διαφόρων συστημάτων, αλλά και να ενεργήσουν πάνω σε αυτά, επιστρατεύουν τις συμβολικές, παραστατικές και δημιουργικές τους ικανότητες, δημιουργώντας πραγματικά ή συμβολικά κατασκευάσματα που μιμούνται ή αναπαριστούν- σε μια ιδεατή μορφήστοιχεία ή πτυχές της πραγματικότητας (Ράπτης& Ράπτη, 2002). Η ικανότητα για μοντελοποίηση και επίλυση προβλήματος είναι ουσιαστική για τη διαβίωση στη σύγχρονη κοινωνία. Οι άνθρωποι βρίσκονται αντιμέτωποι με ποικίλα προβλήματα στην καθημερινή τους ζωή και στην εργασία. Προκειμένου να επιλύσουν αποτελεσματικά αυτά τα προβλήματα, απαιτούνται τρεις κατηγορίες δεξιοτήτων: ευέλικτη εφαρμογή μιας καλά οργανωμένης βάσης γνώσεων, συστηματικές 40

41 στρατηγικές αναζήτησης πληροφορίας, για την ανάλυση και τον μετασχηματισμό του εκάστοτε προβλήματος, και μεταγνωστικές δεξιότητες (De Corte, 1990, 2003). Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι η έκφραση μιας «πραγματικής/ ρεαλιστικής» κατάστασης μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου. Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια αναπαράσταση (αντικειμένων, σχέσεων και κανόνων) μιας κατάστασης ή ενός προβλήματος. Το μοντέλο μπορεί να είναι χειραπτικά υλικά, εικόνες, διαγράμματα, άτυπα ή τυπικά σύμβολα ή ακόμα και άτυπες στρατηγικές, ένα λογιστικό φύλλο ή ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων. Η μοντελοποίηση είναι μια δραστηριότητα απεικόνισης από ένα σύστημα σε ένα άλλο που παρακινείται από την ανάγκη να περιγραφούν, να προβλεφθούν ή να εξηγηθούν μερικά ιδιαίτερα φαινόμενα, ενδιαφέροντα στο άτομο που επιχειρεί τη μοντελοποίηση. Στοιχεία από τον πραγματικό κόσμο, την καθημερινή ζωή ή τις επιστήμες επιλέγονται, οργανώνονται και μοντελοποιούνται κατά τέτοιον τρόπο ώστε να ερμηνευθούν και να γίνουν προβλέψεις. Η διαδικασία μοντελοποίησης μας αναγκάζει να σκεφτόμαστε πολύ προσεκτικά μια κατάσταση ως προς τη δομή της, δηλαδή, τη σχέση των μεταβλητών που την περιγράφουν. Δυστυχώς, στο σχολείο, η διαδικασία μοντελοποίησης συρρικνώνεται συχνά στην επίλυση απλών προβλημάτων, εστιάζοντας κυρίως στις μαθηματικές τεχνικές (εφαρμογή αλγόριθμων για την εύρεση ενός αριθμητικού αποτελέσματος) (Κολέζα, 2009) Η μαθηματική μοντελοποίηση αναφέρεται στον μαθηματικό τρόπο ερμηνείας των διαφόρων καταστάσεων (Lesh& Doerr, 2003). Όταν δίνεται στους μαθητές μια δραστηριότητα μοντελοποίησης κάποιας κατάστασης, σε μια πρώτη φάση, προσπαθούν να κατανοήσουν την κατάσταση. Ξεκινούν με ένα σύνολο στοιχείων. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουν συνήθως είναι να προσδιορίσουν οποιαδήποτε τάση ή κάποια κανονικότητα (pattern) που θα τους επιτρέψει να βρουν ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο για να περιγράψει τη διαδικασία, και να το χρησιμοποιήσουν για να κάνουν προβλέψεις σχετικά με αυτή τη διαδικασία. Σ' αυτή την προσπάθεια κάνουν χρήση της μαθηματικής γλώσσας και αναπτύσσουν πολλαπλούς τρόπους επικοινωνίας. Αντί να βασίζονται απλά σε μια τυποποιημένη ή απομνημονευμένη διαδικασία- όπως, συνήθως, συμβαίνει στα προβλήματα των σχολικών εγχειριδίωνδουλεύοντας με δραστηριότητες μοντελοποίησης, οι μαθητές δεν αναπτύσσουν μόνο τη μαθηματική τους σκέψη, αλλά και τις μεταγνωστικές τους ικανότητες μέσω της αλληλεπίδρασης που απαιτείται για να ελεγχθεί και να επικυρωθεί ή να απορριφθεί μια λύση (Κολέζα, 2009) 41

42 Το μοντέλο μιας κατάστασης είναι μια απλοποιημένη εκδοχή της, που επιτρέπει τον πιο εύκολο και πληρέστερο έλεγχο των παραμέτρων της (Fischbein, 1977). Ένα μοντέλο δεν αποτελεί ποτέ ένα ακριβές αντίγραφο του πραγματικού φαινομένου ή αντικειμένου, αλλά αναπαριστά κάποια ή κάποιες πτυχές της δομής του, των ιδιοτήτων ή της συμπεριφοράς αυτού που μελετάται. Ένα μοντέλο αποτελείται από μια συλλογή οντοτήτων που έχουν σαφώς προκαθορισμένες ιδιότητες και μπορούν να συσχετιστούν μεταξύ τους με καλώς προσδιορισμένους κανόνες ή σχέσεις. Σκοπός του μοντέλου είναι να προσομοιώσει με ακρίβεια ουσιαστικές πτυχές ενός συγκεκριμένου χώρου της πραγματικότητας. Ένα μαθηματικό μοντέλο μας βοηθάει να σκεφτόμαστε, αλλά ενδέχεται και να «δεσμεύει» τη σκέψη μας, οδηγώντας μας σε υπερ-γενικεύσεις. Για παράδειγμα, πολλές φορές, η μεγάλη οικειότητα των μαθητών και η πλούσια εμπειρία τους με γραμμικά μοντέλα της μορφής f(x)=nx, μπορεί να οδηγήσει στη λανθασμένη πεποίθηση ότι αυτά τα μοντέλα έχουν μια καθολική δυνατότητα εφαρμογής και ως εκ τούτου σε μια τάση των μαθητών να αντιμετωπίζουν κάθε αριθμητική σχέση ως αναλογική (Freudenthal, 1983) χωρίς να δίνουν σημασία στην προβληματική κατάσταση και τους περιορισμούς που αυτή μπορεί να έχει. Υπάρχει μια γενική συμφωνία πως πρέπει να αρχίσει η ανάπτυξη αυτών των τύπων συλλογιστικής (μελέτη της δομής, δημιουργία μαθηματικών μοντέλων κ.ά.) από το ξεκίνημα του σχολείου, ώστε οι μαθητές να μάθουν να σκέφτονται παραγωγικά χρησιμοποιώντας δυναμικές ιδέες των Μαθηματικών, για να καταφέρουν να σκέφτονται με μαθηματικό τρόπο (Van de Walle, 2007). Είναι σημαντικός ο ρόλος των εκπαιδευτικών στη διαδικασία παροχής υποστηρικτικού υλικού (scaffolding). Για να βοηθήσουν, όμως, οι εκπαιδευτικοί τους μαθητές να κατανοήσουν το αντικείμενο της διδασκαλίας πρέπει να διαθέτουν γνώση του περιεχομένου, ώστε οι ερωτήσεις που υποβάλλουν και οι δραστηριότητες που επιλέγουν να "προκαλούν" τους μαθητές και να είναι οι κατάλληλες για την εισαγωγή της έννοιας. Οι εκπαιδευτικοί, επίσης, πρέπει να διαθέτουν και παιδαγωγική γνώση του περιεχομένου, δηλαδή, πώς να αναπαριστούν (με την ευρεία έννοια που περιλαμβάνει και τη χρήση της φυσικής γλώσσας) τις μαθηματικές έννοιες και ιδέες προκειμένου να γίνονται κατανοητές από τους μαθητές. Στην περίπτωση της μελέτης των patterns, οι εκπαιδευτικοί πρέπει να γνωρίζουν τις ευκαιρίες για γενίκευση που μπορούν να δημιουργηθούν με την αξιοποίηση των patterns στη διδασκαλία, καθώς επίσης και τους διαφορετικούς τύπους και το επίπεδο πολυπλοκότητας του καθενός. 42

43 Συγκεκριμένα η παρούσα έρευνα μελετά την ικανότητα των φοιτητών να εκφράζουν γενικεύσεις που προκύπτουν από γεωμετρικά patterns και καταστάσειςπροβλήματα. Ερευνητικά ερωτήματα: 1. Υπάρχουν διαβαθμίσεις στο επίπεδο γενίκευσης στην προσέγγιση των patterns από τους φοιτητές; 2. Ποια διακριτά μοντέλα (μέθοδοι) αναπτύσσουν οι φοιτητές κατά τη διερεύνηση μαθηματικών προβλημάτων/ γεωμετρικών patterns; 3. Ποιές μορφές αιτιολόγησης της γενίκευσης που προτείνουν χρησιμοποιούν οι φοιτητές; 4. Ποιος ο ρόλος της οπτικής αναπαράστασης στην αναζήτηση της κανονικότητας; 3.2 Συμμετέχοντες Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 164 πρωτοετείς φοιτητές, οι οποίοι φοιτούσαν σε ένα Παιδαγωγικό Τμήμα ενός Πανεπιστημίου της χώρας το ακαδημαϊκό έτος θεωρητική κατεύθυνση (91,46%), τεχνολογική κατεύθυνση (3,66%), θετική κατεύθυνση (3,66%), Δ' δέσμη/κατατακτήριες (0,61%) και ένας φοιτητής δήλωσε "ουδέτερη κατεύθυνση" (Κύπρος)(0,61%). Το δείγμα χαρακτηρίζεται εμπειρικό, επειδή δεν προέκυψε με τη διαδικασία της τυχαίας δειγματοληψίας (Βάμβουκας, 2007), δεν μπορεί να χαρακτηριστεί αντιπροσωπευτικό και ως εκ τούτου τα αποτελέσματα δεν είναι δυνατόν να γενικευτούν στον γενικό πληθυσμό των φοιτητών-μελλοντικών εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Παρόλα αυτά, επειδή πρόκειται για ένα αρκετά μεγάλο δείγμα, όπου όλα τα υποκείμενα της έρευνας έχουν ολοκληρώσει ένα επίσημο πρόγραμμα Άλγεβρας κατά τη φοίτηση τους σε σχολεία της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης και ζητήθηκε από αυτούς η διερεύνηση μαθηματικών προβλημάτων/γεωμετρικών patterns η περιγραφή των οποίων απαιτεί απλό και στοιχειώδη συμβολισμό, η έρευνα παρέχει μια εικόνα για την ικανότητα των φοιτητών να εκφράζουν κανόνες που περιγράφουν καταστάσειςπροβλήματα, των διακριτών μοντέλων (μεθόδων) που ανέπτυξαν, καθώς και των τρόπων που χρησιμοποίησαν για να εκφράσουν και να αιτιολογήσουν τον κανόνα που παρήγαγαν. 43

44 3.3 Υλικό-Συλλογή των δεδομένων Βασική επιδίωξη της παρούσας έρευνας ήταν η μελέτη της ικανότητας των φοιτητών να γράφουν εξισώσεις με έναν άγνωστο που εκφράζουν γενικεύσεις που προκύπτουν από γεωμετρικά patterns και κανόνες που ορίζουν αριθμητικές σχέσειςgenerational activities (Kieran, 2004). Για το σκοπό αυτό, στα πλαίσια του μαθήματος "Μαθηματικά", έγινε η επίδοση ενός test με τρεις δραστηριότητες. Στις τρεις δραστηριότητες του test, οι σπουδαστές καλούνται να αναγνωρίσουν και να εκφράσουν τις σχέσεις μεταξύ των μεγεθών αλγεβρικά. Αυτό σημαίνει πως η Άλγεβρα θα χρησιμοποιηθεί στο τέλος μιας διαδικασίας για να εκφράσει το αποτέλεσμα (Noss et al., 1997). Ο χρόνος για την συμπλήρωση του test ήταν επαρκής. Η ερευνήτρια διασαφήνισε δυσνόητα σημεία και έδωσε συμπληρωματικές επεξηγήσεις σχετικά με το περιεχόμενο ορισμένων ερωτήσεων, όταν τα υποκείμενα της έρευνας δεν κατανοούσαν κάποια ερώτηση. Πιο αναλυτικά, στην Δραστηριότητα 1, η οποία περιελάμβανε δύο λεκτικά προβλήματα: α) πρόβλημα "άσπροι και μαύροι βόλοι" και β) πρόβλημα "μαθητέςκαθηγητές", ζητήθηκε από τους φοιτητές να εκφράσουν με συμβολικό τρόπο τη σχέση (δημιουργία εξίσωσης) που περιγράφει τη μαθηματική δομή που προκύπτει κατά τη διαδικασία της μαθηματικοποίησης των προβλημάτων. Στη Δραστηριότητα 2 συμπεριλήφθηκαν έργα προτύπων με μια προφανή γεωμετρική σύνδεση. Συγκεκριμένα, η δραστηριότητα αποτελείται από τέσσερα γεωμετρικά patterns: α) pattern με μπάλες με γενίκευση 2ν+1 (Radford, 2008), β) pattern με κύκλους με γενίκευση 2ν+3 (Radford, 2006), γ) pattern με οδοντογλυφίδες με γενίκευση 2ν+1 (Radford, 2006) και δ) pattern με τραπέζια με γενίκευση 2ν+2 (Stephens et al., 2012), (ΔΕΙΤΕ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ), στα οποία έπρεπε να γίνει αντιληπτή μια κανονικότητα ή μια σχέση για να υπολογιστούν ο 6 ος όρος (ερώτηση που μπορεί να απαντηθεί με το βήμα προς βήμα σχεδιασμό ή τον υπολογισμό) και ο 100ός όρος (ερώτηση που υπερβαίνει τα λογικά πρακτικά όρια μιας τέτοιας βήμα προς βήμα προσέγγισης) των patterns και να γραφτεί ο αλγεβρικός κανόνας (ν-οστός όρος). Το εικονιστικό πλαίσιο παρέχει συχνά τη δυνατότητα για απλές και ισχυρές προσεγγίσεις στην επίλυση προβλήματος (Thornton, 2001). Στη Δραστηριότητα 3, "pattern αυλής" (Smith et al, 2007), οι σπουδαστές κλήθηκαν να δικαιολογήσουν τις ισοδύναμες constructive και deconstructive γενικότητες πέντε μαθητών Γυμνασίου που προκύπτουν από το pattern. Μια ορθή και 44

45 ισχυρή αιτιολόγηση προϋποθέτει τη συσχέτιση, εύρεση και επεξήγηση του γενικού κανόνα με βάση το αρχικό πλαίσιο του pattern, στην περίπτωση αυτή το εικονιστικό πλαίσιο. Ακολούθως, ζητήθηκε από τους φοιτητές να συγκρίνουν τις γενικότητες, να υπολογίσουν έναν "απομακρυσμένο" όρο του pattern (50ό όρο) και να καθορίσουν μια τιμή εισαγωγής από μια τιμή παραγωγής (ΔΕΙΤΕ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ). Ζητήθηκε από τους σπουδαστές οι προβλέψεις τους και οι σχέσεις που αναγνώρισαν να συνοδεύονται από μια εξήγηση, διότι το πιο σημαντικό σε δραστηριότητες patterning είναι η συλλογιστική πίσω από κάθε πρόβλεψη (Van de Walle, 2005). Η χρησιμοποίηση πιο "ανοικτών" εργασιών επίλυσης προβλήματος, καθώς, επίσης, και η ενθάρρυνση των σπουδαστών να σκεφτούν πάνω στην εργασία τους μας παρέχει μια ευκαιρία να αποκαλύψουμε τις διαδικασίες σκέψης, τις δυσκολίες και τα γνωστικά εμπόδια που αντιμετωπίζουν (Ginsburg, 1997). 3.4 Ανάλυση των δεδομένων Η πρώτη ανάγνωση των γραπτών των φοιτητών είχε σκοπό να καταγραφούν τα διακριτά μοντέλα (μέθοδοι) που ανέπτυξαν οι φοιτητές κατά τη διαδικασία μαθηματικοποίησης των καταστάσεων-προβλημάτων και γενίκευσης των γεωμετρικών προτύπων. Στη συνέχεια, μια δεύτερη, πιο λεπτομερής εξέταση των γραπτών πραγματοποιήθηκε προκειμένου να αναγνωριστούν τα κοινά στοιχεία των μοντέλων και να αναδειχθούν οι βασικές κατηγορίες περιγραφής του αλγεβρικού συλλογισμού των φοιτητών. Η κατηγοριοποίηση του υλικού έπρεπε να εξαντλεί το περιεχόμενο του διαθέσιμου υλικού, τις απαντήσεις που έχουν δοθεί (αρχή της εξαντλητικότητας) και κάθε απάντηση να ταξινομείται σε μία και μόνο κατηγορία, δηλαδή, οι κατηγορίες να αποκλείονται αμοιβαία (αρχή του αμοιβαίου αποκλεισμού). Στην προσπάθεια να οριστούν λειτουργικά τα μοντέλα των φοιτητών, στοιχεία από τα γραπτά των φοιτητών και την αναδίφηση στη σχετική βιβλιογραφία συντέλεσαν στην περιγραφή των κατηγοριών και των κριτηρίων κατηγοριοποίησης. Συγκεκριμένα, η εξέταση των γενικεύσιμων μεθόδων που χρησιμοποίησαν οι φοιτητές έδειξε ότι ορισμένοι φοιτητές είχαν επιτύχει ένα επίπεδο γενίκευσης που τους επέτρεψε να δώσουν μόνο αριθμητικές απαντήσεις, άλλοι ήταν σε θέση να συνοψίσουν τις σχέσεις χρησιμοποιώντας λέξεις και μερικοί χρησιμοποίησαν αλγεβρικό συμβολισμό για να αναπαραστήσουν τις συναρτησιακές σχέσεις. Όσον 45

46 αφορά την αιτιολόγηση των κανόνων/σχέσεων που διατύπωσαν οι φοιτητές, παρατηρήθηκε πως οι φοιτητές είτε αναγνώρισαν μια κανονικότητα ή σχέση στο πλαίσιο της κατάστασης (contextual generalization strategy) είτε η σχέση αυτή βασίστηκε στην αριθμητική ακολουθία των τιμών που προέκυψαν από τη δραστηριότητα (numeric generalization strategy). Στον παρακάτω πίνακα, παρουσιάζονται οι κατηγορίες μεθόδων που χρησιμοποίησαν οι φοιτητές και κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα αυτών. Η ανάλυση των μεθόδων βασίστηκε στην εργασία των Lannin, Barker & Townsend (2006). 1.Ρητός κανόνας (Explicit Rule): Ένας κανόνας παράγεται που επιτρέπει τον άμεσο υπολογισμό μιας τιμής παραγωγής δεδομένης μιας συγκεκριμένης τιμής εισόδου. Με βάση το σχήμα (contextual): Ο ρητός κανόνας που παράγεται βασίζεται στο εικονιστικό πλαίσιο τoυ pattern σε συνδυασμό με μια τεχνική απαρίθμησης. Παράδειγμα 1: (pattern με τραπέζια) Παράδειγμα2: (pattern με τραπέζια) Με βάση την αριθμητική ακολουθία (numeric): Ο φοιτητής μετατρέπει το pattern σε ισοδύναμη αριθμητική Παράδειγμα 1: (pattern με τραπέζια) 46

47 ακολουθία και η αναζήτηση ενός ρητού κανόνα γίνεται σε αριθμητικά πλαίσια, συχνά με τη μέθοδο "εικασίας και ελέγχου". Παράδειγμα2: (pattern με τραπέζια) 2.Μέθοδος Ολόκληρουαντικειμένου (Wholeobject/ Unitizing) Με βάση το σχήμα (contextual): Ένα πολλαπλάσιο ενός τμήματος/μονάδα ς αναφοράς του pattern χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μιας μεγαλύτερης μονάδας τουχρήση ενός μοντέλου της μορφής Σ(νμ)=ν Χ Σ(μ). Ο φοιτητής, όμως, λαμβάνει υπόψη του την οπτική επικάλυψη που συμβαίνει όταν ενώνονται τμήματα/μονάδες του pattern για την κατασκευή μιας μεγαλύτερης μονάδας του και προσαρμόζει το μοντέλο. Deconstructive generalizations, δηλαδή, τύποι που αποτελούνται από όρους που αναφέρονται στα επικαλυπτόμενα μέρη μιας μορφής. Pattern με οδοντογλυφίδες: 47

48 Με βάση την αριθμητική ακολουθία (numeric): Ένα πολλαπλάσιο μιας προηγούμενης τιμής στον πίνακα τιμών του pattern χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του προς αναζήτηση όρου- χρήση ενός μοντέλου της μορφής Σ(νμ)=ν Χ Σ(μ). Ο φοιτητής, όμως, δεν λαμβάνει υπόψη του την οπτική επικάλυψη, όταν αυτή ισχύει, και δεν προσαρμόζει το μοντέλο. Παράδειγμα 1: (pattern με τραπέζια) Παράδειγμα 2: 3. Chunking Με βάση το Pattern με μπάλες: σχήμα (contextual): Ένας αναδρομικός κανόνας παράγεται ο οποίος βασίζεται σε μια σχέση που παρατηρείται στην οπτική αναπαράσταση του pattern. Ο φοιτητής προσθέτει μια μονάδα (unit) σε γνωστές τιμές του ζητούμενου χαρακτηριστικού/ μεγέθους. Με βάση την Παράδειγμα 1: (pattern με τραπέζια) 48

49 αριθμητική ακολουθία (numeric): Ο φοιτητής βασίζεται σε ένα αναδρομικό πρότυπο με αναφορά στον πίνακα τιμών οικοδομώντας μια μονάδα σε γνωστές τιμές του επιθυμητού χαρακτηριστικού/ μεγέθους. Παράδειγμα 2: (pattern με μπάλες) 4.Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) Με βάση το σχήμα (contextual): Ο φοιτητής περιγράφει τη σχέση που παρατηρείται στην οπτική αναπαράσταση του pattern μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής. Με βάση την αριθμητική ακολουθία (numeric): Ο φοιτητής παρατηρεί το αριθμητικό πρότυπο (pattern) στα αποτελέσματα για τις διαδοχικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Pattern με οδοντογλυφίδες: Παράδειγμα 1: (pattern με τραπέζια) Παράδειγμα 2: (pattern με τραπέζια) 49

50 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Δραστηριότητα 1: α' ερώτημα: Δύο φίλοι ανταλλάσσουν βόλους. Επειδή δεν έχουν όλοι την ίδια αξία," για κάθε μαύρο βόλο δίνουν δύο άσπρους". Γράψε χρησιμοποιώντας το γράμμα α για τους άσπρους και το γράμμα μ για τους μαύρους βόλους, τον παραπάνω κανόνα ανταλλαγής. β' ερώτημα: Σε μια τάξη ενός σχολείου, "σε κάθε καθηγητή αντιστοιχούν 6 μαθητές". Γράψε αυτή τη σχέση χρησιμοποιώντας το γράμμα κ για τους καθηγητές και το γράμμα μ για τους μαθητές. Στο α' ερώτημα της Δραστηριότητας 1, ένα μικρό ποσοστό των ερωτηθέντων (1,83%) έγραψε σωστά τη σχέση που περιγράφει την κατάσταση-πρόβλημα, α=2μ. Ένας φοιτητής δημιούργησε πίνακα τιμών και τον επέκτεινε. Δεν μπόρεσε, όμως, να οδηγηθεί σε μία γενίκευση. Δεν εστίασε την προσοχή του στον τρόπο που οι δύο ποσότητες συμμεταβάλλονται. Επίσης, ένα μικρό ποσοστό των φοιτητών (1,22%), παρόλο που σχημάτισε την αναλογία, αυτή δεν ήταν, για παράδειγμα, της μορφής 1/μ=2/α. Με αποτέλεσμα, αν και η διαδικασία που ακολουθήθηκε ήταν σωστή, να μη γράψει ή να γράψει μια λανθασμένη εξίσωση. Παρατηρήθηκε πως οι φοιτητές χρησιμοποίησαν διαφορετικές μεταβλητές (x, y) από αυτές που αναφέρονται στο λεκτικό πρόβλημα, προκειμένου να γράψουν μια σχέση που περιγράφει την κατάσταση-πρόβλημα. Τα γραπτά των φοιτητών είναι τα ακόλουθα: Παράδειγμα 1: Παράδειγμα 2: 50

51 Το πιο κοινό λάθος ήταν η σχέση μ=2α (reversal error, 88,41%). Οι περισσότεροι φοιτητές δεν αιτιολόγησαν την απάντησή τους. Απαντήσεις των φοιτητών όπως: "Εφόσον οι φίλοι για κάθε μαύρο βόλο δίνουν δύο άσπρους 1 μαύρος βόλος ισοδυναμεί με 2 άσπρους μ=2α, δηλαδή οι άσπροι βόλοι θα ναι διπλάσιοι σε αριθμό των μαύρων" ή "Έστω ν ο αριθμός των βόλων, οπότε νμ=2να" δείχνουν πως οι φοιτητές ίσως έγραψαν έναν κανόνα ανταλλαγής (συναρτησιακή σχέση συμμεταβολής) χωρίς να τον ελέγξουν στο πλαίσιο του προβλήματος. Δεν χρησιμοποίησαν την εννοιολογική κατανόηση για να αναλύσουν την κατάστασηπρόβλημα και να σχεδιάσουν τη λύση. Ή εργάστηκαν αποκλειστικά με βάση τη γλωσσική σύνταξη της πρότασης και έγραψαν τη σχέση μ=2α (χρήση του συμβόλου της ισότητας να αντιπροσωπεύει έναν λόγο. Για παράδειγμα "μ=2α, 1 μαύρο/2 άσπρα= 2 μαύρα/4 άσπρα= 4 μαύρα/8 άσπρα " ή "Για κάθε μαύρο βόλο δίνουν δύο άσπρους, συνεπώς, ο λόγος που συνδέει τους βόλους είναι 1μ/2α, μ=2α), στην οποία τα γράμματα μ και α χρησιμοποιούνται με τη σημασία ετικέτας-συντομογραφίας και όχι ως μεταβλητές- "ανάγνωση" του γράμματος α ως "ο αριθμός ή το πλήθος των άσπρων βόλων", αντίστοιχα, για το γράμμα μ. Ο ισχυρισμός ότι οι φοιτητές δεν αναγνώρισαν τα γράμματα α και μ ως μεταβλητές ενισχύεται από το γεγονός ότι δεν είχαν όλες οι απαντήσεις τη μορφή εξίσωσης. Μερικές σχέσεις είχαν τη μορφή κλάσματος (π.χ. μ/2α ή α/μ, 1,83%) ή χρησιμοποιήθηκε το σύμβολο "βέλος" (μ 2α, 3,05%). ΠΙΝΑΚΑΣ 1: Απαντήσεις των φοιτητών για το πρόβλημα "μαύροι βόλοι-άσπροι βόλοι" α=2μ (σωστή σχέση) 1,83 % Σχηματισμός αναλογίας (Δεν έγραψαν ή έγραψαν μια λανθασμένη 1,22 % εξίσωση) Δεν έγραψαν εξίσωση (σχέση υπό μορφή κλάσματος, π.χ. μ/2α) 1,83 % Δεν έγραψαν εξίσωση (μ 2α) 3,05 % μ=2α ("μετάφραση" της πρότασης στη φυσική γλώσσα) 88,41% Λάθος απάντηση π.χ. 2(μ-2α) 2,44 % Καμία απάντηση 1,22 % 51

52 Σε σύνολο 164 γραπτών, οι σωστές απαντήσεις στο β' ερώτημα της Δραστηριότητας 1 είναι πέντε (μ=6κ ή κ/μ=1/6, 3,05%) Οι απαντήσεις των φοιτητών, και σε αυτό το ερώτημα, είναι παρεμφερείς με αυτού του πρώτου ερωτήματος (πίνακας 2). Η σχέση κ=6μ θεωρήθηκε, από την πλειοψηφία των φοιτητών, πως είναι αυτή που περιγράφει την κατάσταση-πρόβλημα. Προφανώς, τα γράμματα κ, μ και σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν ως συντμήσεις και όχι ως σύμβολα που αντιπροσωπεύουν μεταβλητές ποσότητες. ΠΙΝΑΚΑΣ 2: Απαντήσεις των φοιτητών για το πρόβλημα "μαθητές-καθηγητές" μ=6κ ή κ/μ=1/6 (σωστή σχέση) 3,05% Σχηματισμός αναλογίας (Δεν έγραψαν ή έγραψαν μια λανθασμένη 0,61% εξίσωση) Δεν έγραψαν εξίσωση (σχέση υπό μορφή κλάσματος, π.χ. κ/6μ) 9,15% Δεν έγραψαν εξίσωση (κ 6μ) 6,1% κ=6μ ("μετάφραση" της πρότασης στη φυσική γλώσσα) 76,22% Λάθος απάντηση π.χ. 1κx6μ 1,22% Καμία απάντηση 3,66% 52

53 Πριν από τριάντα πέντε χρόνια οι Kaput και Clement (1979) [και αργότερα οι Clement, Lochhead και Monk (1981)] επισήμαναν ότι οι φοιτητές αντιμετώπιζαν δυσκολία με το εξής ερώτημα: «Γράψτε μια εξίσωση χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές S και P να αντιπροσωπεύει την ακόλουθη δήλωση "Σε ένα Πανεπιστήμιο υπάρχουν έξι φορές περισσότεροι φοιτητές από τους καθηγητές". Χρησιμοποιήστε το γράμμα S για τον αριθμό των φοιτητών και το γράμμα P για τον αριθμό των καθηγητών» (σελ. 288). Σε πολλές έρευνες με σπουδαστές κολεγίων περίπου το 40%- 60% λύνει το πρόβλημα λανθασμένα. Το πιο κοινό λάθος που κάνουν οι σπουδαστές είναι η ανεστραμμένη εξίσωση (reversal error: 6S=P). Ο Rosnick (1981) αναφέρει «η τάση από την πλευρά πολλών φοιτητών να γράψουν την ανεστραμμένη εξίσωση, 6S=P, δεν είναι απλώς κοινή, αλλά βαθιά ριζωμένη». Το λάθος αυτό ήταν σύνηθες όχι μόνο όταν οι φοιτητές δημιουργούσαν μια εξίσωση με βάση ένα λεκτικό πρόβλημα, αλλά και όταν προσπαθούσαν να κατασκευάσουν μια εξίσωση με βάση έναν πίνακα τιμών ή ένα διάγραμμα. Οι απαντήσεις αρκετών φοιτητών φαινόταν να περιγράφουν μια στατική σύγκριση (static comparison), στην οποία τα γράμματα χρησιμοποιούνταν ως ετικέτες αντί για μεταβλητές (Clement,1982). Ωστόσο, οι McGregor και Stacey (1993) διαπίστωσαν ότι αυτή η φαινομενική στρατηγική ήταν μια "εκ των υστέρων εξήγηση μιας εξίσωσης που προκύπτει από ένα μοντέλο που σχηματίζεται χωρίς συνειδητή παρέμβαση" (σελ. 230). Ο Clement (1982) προτείνει δύο βασικές ικανότητες για τη σωστή επίλυση προβλημάτων τύπου "φοιτητέςκαθηγητές", την αναγνώριση των γραμμάτων ως σύμβολα που αντιπροσωπεύουν 53

54 ποσότητες και τη δημιουργία μιας υποθετικής πράξης (hypothetical operation) για να κάνει τις δύο ποσότητες (όπως ο αριθμός των φοιτητών και των καθηγητών) να ισούνται. Οι Kaput, Sims-Knight και Clement (1985) προτείνουν ότι υπάρχουν δύο στοιχεία απαραίτητα για την επιτυχία σε προβλήματα τύπου "φοιτητές-καθηγητές", η κατανόηση των μεταβλητών (και της υφιστάμενης έννοιας της συμμεταβολής των δύο ποσοτήτων) και η κατανόηση των συντακτικών χαρακτηριστικών της αλγεβρικής παράστασης των μεταβλητών. Ενώ, οι Rosnick και Clement (1980) σημειώνουν ότι μια λανθασμένη αντίληψη του συμβόλου της ισότητας θα μπορούσε να σχετίζεται με τις λανθασμένες απαντήσεις. Αρκετές έρευνες (π.χ. Philipp, 1992) έχουν δείξει ότι η αντικατάσταση των S και P με διαφορετικά γράμματα δε βελτίωσε τις επιδόσεις των φοιτητών. Ομοίως, ο Fisher (1988) παρατήρησε πως η χρήση των Ns και Np (για να εκφράζουν τον αριθμό των φοιτητών και τον αριθμό των καθηγητών) δε βελτίωσε την επίδοση των φοιτητών. Δραστηριότητα 2: α) pattern με μπάλες 6 ος όρος Στο pattern με τις μπάλες της Δραστηριότητας 2, για την εύρεση του 6 ου όρου, οι περισσότεροι φοιτητές (73,17%) επέκτειναν το pattern. Με τη βοήθεια πίνακα τιμών οδηγήθηκαν σε μια αναδρομική σχέση: παρατήρησαν πως το pattern αυξάνεται κατά το ίδιο πάντα ποσό, και επομένως η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερή. Συγκεκριμένα, έγραψαν πως ο πρώτος όρος αποτελείται από 3 μπάλες, ο δεύτερος όρος αποτελείται από 3+2=5 μπάλες, ο τρίτος όρος αποτελείται από 5+2=7 μπάλες, άρα ο έκτος όρος θα αποτελείται από 13 μπάλες- η τιμή του 5 ου όρου συν 2. Εξ αυτών το 0,61% ενώ είχε αναγνωρίσει το pattern και είχε γράψει σωστά την αναδρομική σχέση δεν κατέληξε σε σωστό αριθμητικό αποτέλεσμα δίνοντας "κοντινές λανθασμένες" απαντήσεις όπως 14 αντί του σωστού 13. Υπήρξαν φοιτητές που έγραψαν έναν γενικό τύπο από την προσθετική σχέση ("μετράμε ανά 2"). Έγραψαν τη σχέση α 6 =3+2(6-1) (4,27%) όπου ορίζεται ο έκτος όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς ή υπολόγισαν τον 6 ο όρο από τη 54

55 σχέση α 6 = 7+2(6-3) (1,22%), όπου ορίζεται ο 6 ος όρος συναρτήσει του τρίτου όρου και της διαφοράς. Το 15,25%, επίσης, αναζήτησε έναν γενικό τύπο που θα του επέτρεπε να υπολογίσει οποιονδήποτε όρο του pattern. Απ αυτούς το 3,66% κατέληξε σε γενίκευση με εξέταση των μορφών: παρατηρώντας το γεωμετρικό pattern, οι φοιτητές πρόσεξαν πως ο αριθμός των μπαλών στην πάνω σειρά είναι κατά 1 μικρότερος σε σχέση με αυτόν της κάτω σειράς. Ακόμα, αναζητώντας μια σχέση μεταξύ του αριθμού του όρου και του αριθμού των μπαλών της πάνω σειράς κατέληξαν για τον υπολογισμό του 6 ου όρου στη σχέση f(6)=6+7. Οι φοιτητές έδωσαν απαντήσεις, όπως οι παρακάτω: Στον ίδιο γενικό τύπο κατέληξαν και ορισμένοι φοιτητές (1.83%) με τη βοήθεια πίνακα τιμών. Συγκεκριμένα ανέπτυξαν την παρακάτω στρατηγική: Αριθμός μπαλών Αριθμός όρου Διαφορά Αθροίζοντας τις δύο κάτω γραμμές του πίνακα παίρνουν ως αποτέλεσμα τα δεδομένα της πρώτης γραμμής. Εξετάζοντας τις τιμές των δύο γραμμών οι φοιτητές εντόπισαν μια κανονικότητα, βρήκαν έναν κανόνα που παράγει κάθε ζεύγος και όχι μόνο ένα ή 55

56 δύο: 1 ος όρος: 3=1+2, 2 ος όρος: 5=2+3, 3 ος όρος; 7=3+4. Σύμφωνα με τον πίνακα, ο 6 ος όρος θα αποτελείται από 13=6+7 μπάλες. Ενώ το υπόλοιπο 9,76% κατέληξε στη σχέση f(6)=(2χ6)+1. Και σε αυτή την περίπτωση, οι φοιτητές, αφού εξέτασαν τις πρώτες αριθμητικές τιμές της ακολουθίας (ο πρώτος όρος αποτελείται από 3 μπάλες, ο δεύτερος όρος αποτελείται από 5 μπάλες, ο τρίτος όρος αποτελείται από 7 μπάλες), αναζήτησαν μια σχέση μεταξύ ανεξάρτητης μεταβλητής (θέση του όρου στην ακολουθία) και εξαρτημένης μεταβλητής. Οι φοιτητές, ίσως, να χρησιμοποίησαν το σχήμα ως ένα μέσο για να επαληθεύσουν την ακρίβεια της λύσης. Στην περίπτωση αυτή πρόκειται για μικτή στρατηγική. Ένας φοιτητής (0,61%) χρησιμοποίησε τη μέθοδο της ευθείας αναλογίας, δηλαδή υπολόγισε τον 6 ο όρο ως εξής: αφού ο 1 ος όρος αποτελείται από 3 μπάλες, ο 6 ος όρος θα αποτελείται από 3Χ6=18 μπάλες. Όπως ήταν, λοιπόν, αναμενόμενο οδηγήθηκε σε μια λανθασμένη απάντηση, επειδή πρόκειται για γραμμικό pattern της μορφής αx+β με β 0 Τέλος, το 4,88% των ερωτηθέντων δεν απάντησε (1,22%) ή απάντησε λανθασμένα (3,66%), επειδή δεν αναγνώρισε το pattern. Pattern με μπάλες 6 ος όρος: Σωστό αποτέλεσμα Λάθος αποτέλεσμα Ρητός κανόνας f(6)=(2χ6)+1 9,76% (EXPLICIT 1) (Explicit) f(6)=6+7 5,49% (EXPLICIT 2) f(6)=3+2(6-1) 4,27% (EXPLICIT 3) Chunking f(6)=7+2(6-3) 1,22% (CHUNKING) Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) 73,17% (RECURSIVE) 0,61% (RECURSIVE) Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 0,61% (WHOLE- OBJECT) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern 4,88% 56

57 100ός όρος Ο υπολογισμός του 100ού όρου ("μακρινή γενίκευση") καθιστά μη λειτουργική την εφαρμογή αναδρομικών σχέσεων. Περισσότεροι ήταν οι φοιτητές που στο ερώτημα αυτό (32,93%) δεν έδωσαν καμία απάντηση ή έγραψαν την αναδρομική σχέση- Σ(100)=Σ(99)+2- χωρίς, όμως, να τον υπολογίζουν ή δεν έγραψαν τη σωστή σχέση. Το 4,88% των φοιτητών ενώ απάντησε σωστά πως ό 100 ος όρος θα αποτελείται από 201 μπάλες δεν περιέγραψε τη διαδικασία λύσης του και αρκέστηκε στη διατύπωση του αναδρομικού τύπου της ακολουθίας ή έγραψε, για παράδειγμα, πως "στον 100ό όρο έχοντας κάνει τις προσθέσεις με το +2 θα βρούμε τον αριθμό 201" Ένα μικρό ποσοστό των φοιτητών (2,44%) αφού επέκτεινε το pattern ως τον 20ό όρο παρατήρησε ότι η διαφορά μεταξύ δέκα όρων του pattern είναι 20 μπάλες. Έγραψε, λοιπόν, ότι αφού ο 20ός όρος θα αποτελείται από 41 μπάλες, ο 30ός όρος θα αποτελείται από 41+20=61 μπάλες, ο 40ός από 61+20=81 μπάλες Επομένως, ο 100ός όρος θα αποτελείται από 201 μπάλες ή παρατήρησε πως η διαφορά μεταξύ 5 όρων του pattern είναι 10 μπάλες και γνωρίζοντας τις προηγούμενες καταχωρήσεις στον πίνακα υπολόγισε σωστά τον 100ό όρο. Όπως ήδη αναφέρθηκε, ορισμένοι φοιτητές προτίμησαν να βρουν έναν γενικό τύπο για το pattern πριν εξετάσουν τις κοντινές και μακρινές περιπτώσεις γενίκευσης. Όμως οι περισσότεροι φοιτητές παρουσίασαν ασυνέπεια στη χρήση στρατηγικών για τη γενίκευση του pattern από μικρούς αριθμούς θέσης στους μεγάλους αριθμούς θέσης. Ενώ, για την εύρεση του 6 ου όρου χρησιμοποίησαν προσθετικές στρατηγικές για την εύρεση του 100ού όρου- η πλειοψηφία των φοιτητών που ήταν ικανοί να 57

58 υπολογίσουν τον 100ό όρο- αναζήτησαν έναν κανόνα ή μια αλγεβρική σχέση που να συνδέει τον αριθμό των μπαλών σε ένα όρο με τη θέση του όρου και επομένως να μπορούν να προσδιορίσουν οποιαδήποτε καταχώρηση στον πίνακα χωρίς να δημιουργήσουν ή να υπολογίσουν όλες τις ενδιάμεσες καταχωρήσεις. Οι περισσότεροι εργάστηκαν αριθμητικά, μετέτρεψαν, δηλαδή, το γεωμετρικό pattern σε ισοδύναμη αριθμητική ακολουθία (δημιουργία πίνακα τιμών) και εστίασαν την προσοχή τους στη συμμεταβολή και των δύο μεταβαλλόμενων ποσοτήτων. Η πλειοψηφία των φοιτητών έγραψε γραμμικά μοντέλα που περιλαμβάνουν και τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση. Το 8,54% των ερωτηθέντων εργάστηκε ως εξής προκειμένου να απαντήσει στο ερώτημα: επισημαίνοντας τη κοινή διαφορά μεταξύ των δοσμένων όρων και γνωρίζοντας τον πρώτο όρο της ακολουθίας έγραψε τη σχέση f(6)=3+2(100-1) ή αφού υπολόγισε τον 3 ο ή τον 6 ο όρο έγραψε τις σχέσεις 7+2(100-3) ή 13+2(100-6). Το 8,54% των φοιτητών έδωσε την απάντηση πως ο 100 ος όρος θα αποτελείται από =201 μπάλες είτε με τη βοήθεια της σχηματικής αναπαράστασης του pattern είτε με τη βοήθεια πίνακα τιμών. Οι περισσότεροι φοιτητές (4,88%) δημιούργησαν πίνακα τιμών. Το 32,32% προσέγγισε με διαφορετικό τρόπο το pattern. Κατέληξε στη σχέση f(100)=(2χ100)+1, είτε υιοθετώντας τη στρατηγική "εικασίας και ελέγχου" για την εύρεση ενός ρητού κανόνα (explicit rule) από το αριθμητικό pattern είτε έγραψε τον γενικό τύπο 2ν+1 επισημαίνοντας ότι οι όροι του pattern είναι περιττοί αριθμοί. Τέλος, ένα μικρό ποσοστό (1,83%), επίσης, μετέτρεψε το pattern σε ισοδύναμη αριθμητική ακολουθία, κατέληξε, όμως, σε ένα διαφορετικό τρόπο υπολογισμού του 100 ού όρου, γράφοντας τη σχέση f(100)= =201 μπάλες. Χρησιμοποίησε τη μέθοδο δοκιμή-και-λάθος. Ένας φοιτητής έγραψε: «Παρατηρώ ότι ο τελευταίος τύπος [ενν. ν+(ν-1)+2)] είναι αυτός που όποιον αριθμό τοποθετήσω στη θέση του ν, δηλαδή όποιον όρο τοποθετήσω (ενν. από 1-5), μου δίνει το σωστό αποτέλεσμα για τους πρώτους πέντε όρους, άρα μου το δίνει για όλους». Περισσότεροι ήταν οι φοιτητές (8,54%) που σε αυτό το ερώτημα χρησιμοποίησαν ανακριβείς αναλογικούς συλλογισμούς. Είτε χρησιμοποίησαν τη μέθοδο της ευθείας αναλογίας, είτε μεταπήδησαν στην πορεία από τη μια μέθοδο στην άλλη. Οι περισσότεροι χρησιμοποίησαν δύο μεθόδους, δηλαδή τη μέθοδο του ολόκληρου αντικειμένου (Whole-object method), αμέσως μετά τη σωστή χρήση μιας βήμα προς βήμα προσέγγισης. Υπέθεσαν πως ο αριθμός των μπαλών στην 100ή μορφή του 58

59 pattern θα είναι δεκαπλάσιος του αριθμού μπαλών της 10 ης μορφής, Σ(100)=10 Χ Σ(10). Αφού υπολόγισαν σωστά πως ο 10 ος όρος θα αποτελείται από 21 μπάλες, απάντησαν πως ο 100 ος θα αποτελείται από 10Χ21=210 μπάλες. Στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν με πιο σύντομο τρόπο τον προς αναζήτηση όρο, χρησιμοποίησαν τη μέθοδο της ευθείας αναλογίας σε ένα έργο που δεν περιέχει ευθεία αναλογία. Pattern με μπάλες 100 ος όρος: Σωστό αποτέλεσμα Ρητός κανόνας (Explicit) f(100)=(2χ100)+1 32,32% (EXPLICIT 1) f(100)= ,54% (EXPLICIT 2) f(100)=3+2(100-1) 6,1% (EXPLICIT 3) f(100)= ,83% (EXPLICIT 4) Chunking f(100)=7+2(100-3) 1,22% (CHUNKING 1) f(100)=13+2(100-6) 1,22% (CHUNKING 2) Εύρεση του όρου από τον κανόνα: "Η διαφορά μεταξύ 10 όρων του pattern είναι 20 μπάλες ή "Η διαφορά μεταξύ 5 όρων του pattern είναι 10 μπάλες" 2,44% (CHUNKING 3) Χωρίς εξήγηση 4,88% Λάθος Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 8,54% (WHOLEαποτέλεσμα OBJECT) Δεν απάντησαν/ Λάθος σχέση 32,93% 59

60 ν-οστός όρος Η προσκόλληση σε αναδρομικές προσεγγίσεις ή σε ανακριβείς αναλογικούς συλλογισμούς απέτρεψε τους φοιτητές από τον προσδιορισμό της γενικής δομής του pattern. Οι περισσότεροι από τους φοιτητές που παρατήρησαν τη μεταβολή εντός ενός μόνο συνόλου οδηγήθηκαν σε λεκτική περιγραφή αναδρομικών σχέσεων και δεν διατύπωσαν το pattern σε μια γενικευμένη μορφή μέσω της χρήσης συμβόλων. Ορισμένοι από αυτούς έγραψαν έναν λανθασμένο γενικό τύπο, για παράδειγμα, f(ν)=2ν ή f(ν)=(ν-1)+2, χωρίς να ελέγξουν την ορθότητά του εξετάζοντας αν αυτός ο γενικός τύπος περιγράφει τους ήδη γνωστούς όρους του pattern. Όσοι εργάστηκαν με τη μέθοδο ολόκληρου-αντικειμένου, επίσης, δεν έγραψαν γενικό τύπο, με εξαίρεση τέσσερις φοιτητές (2,44%) που απάντησαν λανθασμένα:f(ν)=3ν, f(ν)=21ν ή f(ν)=ν+2. Η πλειοψηφία των φοιτητών που υπολόγισε σωστά τον 100ό όρο του pattern ήταν σε θέση να γράψει τον γενικό όρο του, γιατί οι καλά ορισμένες σχέσεις (κανόνες) που περιγράφουν το pattern μπορούν να αποδοθούν με μικρή απαίτηση συμβολισμού- αν και δεν συμβόλισαν πλήρως τις σχέσεις σε μια μορφή όπως f(ν)=2ν+1: ο ν-οστός όρος θα αποτελείται από ν+(ν+1) (6,71%), ο ν-οστός όρος θα αποτελείται από 2ν+1 (30,49%), ο ν-οστός όρος θα αποτελείται από ν+(ν-1)+2 (1,83%), ο ν-οστός όρος θα 60

61 αποτελείται από 3+2(ν-1) (5,49%) και ο ν-οστός όρος θα αποτελείται από 7+2(ν-3) (1,22%). Pattern με μπάλες ν-οστός όρος: Σωστός γενικός Ρητός κανόνας f(ν)=2ν+1 30,49% (EXPLICIT 1) όρος (Explicit) f(ν)=ν+(ν+1) 6,71% (EXPLICIT 2) f(ν)=3+2(ν-1) 5,49% (EXPLICIT 3) f(ν)=ν+(ν-1)+2 1,83% (EXPLICIT 4) Chunking f(ν)=7+2(ν-3) 1,22% (CHUNKING) Δεν απάντησαν/ Απάντησαν λανθασμένα Δεν έγραψαν τον σωστό γενικό όρο: 15,24% Δεν απάντησαν: 39,02% Απαντήσεις στα δύο προηγούμενα ερωτήματα Γενικός όρος (εύρεση 6 ου και 100ού όρου) Για τον 100ό όρο απάντησαν Σωστός γενικός όρος Λανθασμένος γενικός όρος Δεν απάντησαν f(100)=(2χ100)+1 (53 φοιτητές) (ν)=2ν+1 (1 φοιτητής) (2 φοιτητές) (50 φοιτητές) f(100)= (14 φοιτητές) f(ν)=ν+(ν+1) - (3 φοιτητές) (11 φοιτητές) f(100)=3+2(100-1) (10 φοιτητές) f(ν)=3+2(ν-1) - (1 φοιτητής) 61

62 (9 φοιτητές) f(100)= (3 φοιτητές) f(ν)=ν+(ν-1) (3 φοιτητές) f(100)=7+2(100-3) (2 φοιτητές) f(ν)=7+2(ν-3) - - (2 φοιτητές) f(100)=13+2(100-6) (2 φοιτητές) - - (2 φοιτητές) Εύρεση του όρου από τον κανόνα: "Η διαφορά μεταξύ 10 όρων του pattern είναι 20 μπάλες ή "Η διαφορά μεταξύ 5 όρων του pattern είναι 10 μπάλες" (4 φοιτητές) - - (4 φοιτητές) Σωστή απάντηση χωρίς εξήγηση (8 φοιτητές) - (3 φοιτητές) (5 φοιτητές) Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου (Whole-object) (14 φοιτητές- εκ των οποίων οι 13 φοιτητές υπολόγισαν σωστά τον 6 ο όρο επεκτείνοντας το pattern) Υπολόγισαν μόνο τον 6 ο όρο (αναδρομική προσέγγιση) (46 φοιτητές- εκ των οποίων ο 1 φοιτητής, ενώ έγραψε σωστά τον αναδρομικό τύπο, δεν κατέληξε σε σωστό αριθμητικό αποτέλεσμα) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern (8 φοιτητές) Β) - (4 φοιτητές) (10 φοιτητές) - (13 φοιτητές) (33 φοιτητές) - (4 φοιτητές) (4 φοιτητές) Pattern με κύκλους 6 ος όρος Στο δεύτερο pattern (το pattern με τους κύκλους), επίσης, οι περισσότεροι φοιτητές (67,68%) επέκτειναν το pattern έως τον 6 ο όρο προκειμένου να απαντήσουν στο πρώτο ερώτημα. Σύμφωνα με τον Van de Wall (2005), ο τρόπος με τον οποίο το pattern αλλάζει από ένα δεδομένο όρο προς τον επόμενο είναι το πρώτο που 62

63 παρατηρούν οι μαθητές. Το 1,22% των φοιτητών παρόλο που χρησιμοποίησε αυτή τη στρατηγική δεν υπολόγισε σωστά τον 6 ο όρο δίνοντας απαντήσεις που "πλησίαζαν" στην σωστή απάντηση. Ορισμένοι φοιτητές (7,32%) συνέδεσαν αναδρομικούς κανόνες με ρητούς κανόνες. Η αναζήτηση της διαφοράς τους έδωσε μια σχέση που χρησιμοποίησαν ως βάση για μια γενίκευση. Υπολόγισαν, λοιπόν, τον 6 ο όρο από τις σχέσεις f(6)=5+2(6-1) (5,49%) και f(6)=9+2(6-3) (1,83%). Και σε αυτό το pattern, υπήρξαν φοιτητές που αρχικά προσδιόρισαν τον τρόπο κατασκευής του pattern, αναζήτησαν τι μένει σταθερό και τι μεταβάλλεται ή αναζήτησαν μια σχέση που να συνδέει τον αριθμό των στοιχείων των βημάτων με τους αριθμούς των βημάτων και στη συνέχεια υπολόγισαν τον 6 ο όρο. Σχεδόν όλοι οι φοιτητές γενίκευσαν από τα αριθμητικά δεδομένα του pattern. Μόνο ένα μικρό ποσοστό των ερωτηθέντων εργάστηκε σχεδιαστικά Το εικονιστικό πλαίσιο του pattern βοήθησε το 3,66% των φοιτητών να διατυπώσει μια γενίκευση για τον ν-οστό όρο- ο 1 ος όρος αποτελείται από 2 κύκλους στην πάνω σειρά και 3 κύκλους στην κάτω σειρά, ο 2 ος όρος αποτελείται από 3 κύκλους στην πάνω σειρά και 4 κύκλους στην κάτω σειρά ο ν-οστός όρος θα αποτελείται από (ν+1)+(ν+2) κύκλους- και να απαντήσει στη συνέχεια πως ο 6 ος όρος θα αποτελείται από 7+8=15 κύκλους. Ένα μικρό ποσοστό (1,83%) των φοιτητών επεσήμανε ότι ο κάθε όρος του pattern με τους κύκλους είναι κατά 2 μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο όρο του pattern με τις μπάλες. Επομένως, έγραψε ότι ο 6 ος όρος θα αποτελείται από (6+7)+2=15 κύκλους. Προσάρμοσε, δηλαδή, τη σχέση που είχε γράψει στο προηγούμενο pattern προκειμένου να ταιριάζει στα καινούρια δεδομένα ή εργάστηκε όπως στο πρώτο pattern και απάντησε πως f(6)=6+(6+3) επειδή ο 1 ος όρος αποτελείται από 5=1+4 κύκλους, ο 2 ος όρος αποτελείται από 7=2+5 κύκλους, ο 3 ος όρος από 9=3+6 κύκλους. 63

64 Το 11,59% των ερωτηθέντων, επίσης, μετέτρεψε το pattern σε ισοδύναμη αριθμητική ακολουθία και η αναζήτηση σχέσης έγινε μέσα σε αριθμητικά πλαίσια, καταλήγοντας στη σχέση f(6)=(2χ6)+3. Το 6,71% των φοιτητών δεν απάντησε (4,27%) ή δεν αναγνώρισε το pattern (2,44%). Pattern με κύκλους 6 ος όρος: Σωστό Ρητός κανόνας f(6)=(2χ6)+3 11,59% (EXPLICIT 1) αποτέλεσμα (Explicit) f(6)=7+8 3,66% (EXPLICIT 2α) f(6)=(6+7)+2/f(6)=6+(6+3) 1,83% (EXPLICIT 2β) f(6)=5+2(6-1 ) 5,49% (EXPLICIT 3) Chunking f(6)=9+2(6-3) 1,83% (CHUNKING) Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) 67,68% (RECURSIVE) Λάθος αποτέλεσμα Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) 1,22% (RECURSIVE) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern 6,71% 64

65 100ός όρος Οι περισσότεροι από τους φοιτητές που υπολόγισαν σωστά τον 100ό όρο προσπάθησαν να βρουν μια σχέση που να επιτρέπει τον προσδιορισμό των στοιχείων ενός όρου από τη θέση του όρου αυτού, δηλαδή μια συναρτησιακή σχέση. Μόνο ένας φοιτητής υπολόγισε τον 100ό όρο προσθέτοντας τη κοινή διαφορά στον προηγούμενο όρο. 65

66 Ενώ, ένας άλλος φοιτητής αφού επέκτεινε το pattern έως τον 20ό όρο παρατήρησε ότι η διαφορά μεταξύ δέκα όρων και σε αυτό το pattern είναι 20 κύκλοι. Εργάστηκε, λοιπόν, με τον ίδιο τρόπο όπως και στο προηγούμενο pattern και υπολόγισε σωστά ότι ο 100ός όρος θα αποτελείται από 203 κύκλους. Οι φοιτητές έχουν επιτύχει ένα επίπεδο γενίκευσης που τους επιτρέπει να δίνουν μόνο αριθμητικές απαντήσεις. Η πλειοψηφία των φοιτητών που περιέγραψε στη φυσική γλώσσα προσθετικές σχέσεις ("αυξάνεται κατά 2") χωρίς να εξετάσει πως οι ποσότητες συμμεταβάλλονται, δεν υπολόγισε τον 100ό όρο. Όπως είναι εμφανές, όταν πρόκειται για έναν "απομακρυσμένο" όρο, οι αναδρομικές προσεγγίσεις είναι λιγότερο αποδοτικές, γι' αυτό το 40.24% των φοιτητών δεν απάντησε ή έγραψε μια λανθασμένη σχέση. Από την άλλη μεριά, η αναγνώριση του τι αλλάζει/μεταβάλλεται και πώς αλλάζει οδήγησε πολλούς φοιτητές στις σχέσεις: f(100)= (3,66%), f(100)= /f(100)=100+(100+3) (3,66%), f(100)=5+2(100-1) (5,49%)/ f(100)=9+2(100-3) (1,22%)/ f(100)=15+2(100-6) (0,61%), f(100)=(2χ100)+3 (29,27%) και f(100)= (1,22%). Και στο δεύτερο pattern υπήρξαν φοιτητές (9,15%) που αντιμετώπισαν το γνωστικό εμπόδιο της αναλογίας γράφοντας ως απάντηση ότι ο 100ός όρος θα αποτελείται από 230 κύκλους. Ένας από αυτούς παρόλο που είχε απαντήσει σωστά πως ο 6 ος όρος θα αποτελείται από 9+2(6-3)=15 κύκλους, δεν χρησιμοποίησε αυτή τη σχέση για την εύρεση του 100ού όρου. Παρατηρήθηκε, λοιπόν, αλλαγή από γραμμική μέθοδο για την κοντινή γενίκευση στη μέθοδο ολόκληρου-αντικειμένου για τη μακρινή γενίκευση. Οι φοιτητές ίσως στόχευαν στην απλότητα και την ταχύτητα παρά στην ακρίβεια. 66

67 Pattern με κύκλους 100 ος όρος: Σωστό αποτέλεσμα Ρητός κανόνας (Explicit) f(100)=(2χ100)+3 29,27% (EXPLICIT 1) f(100)= ,66% (EXPLICIT 2α) f(100)=( )+2/ f(100)=100+(100+3) 3,66% (EXPLICIT 2β) f(100)=5+2(100-1) 5,49% (EXPLICIT 3) f(100)= ,22% (EXPLICIT 4) Chunking f(100)=9+2(100-3) 1,22% (CHUNKING 1) f(100)=15+2(100-6) 0,61% (CHUNKING 2) Εύρεση του όρου από τον κανόνα: "Η διαφορά μεταξύ 10 όρων του pattern είναι 20 κύκλοι 0,61% (CHUNKING 3) Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) 0,61% (RECURSIVE) Χωρίς εξήγηση 4,88% Λάθος Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 8,54% (WHOLEαποτέλεσμα OBJECT) Δεν απάντησαν/ Λάθος σχέση 40,24% 67

68 ν-οστός όρος Το 42,08% των φοιτητών ήταν σε θέση να αποδώσει συμβολικά τον γενικό όρο του pattern, γράφοντας τις ισοδύναμες αλγεβρικές εκφράσεις:f(ν)=5+2(ν-1) (5,49%), f(ν)=9+2(ν-3) (1,22%), f(ν)=(ν+1)+(ν+2) (3,66%), f(ν)=ν+(ν+1)+2/f(ν)=ν+(ν+3) (3,66%) και f(ν)=2ν+3 (26,83%), f(ν)=ν+(ν-1)+4 (1,22%). Εφόσον, οι φοιτητές ανακάλυψαν την αριθμητική έκφραση για κάθε στάδιο εξέλιξης του pattern χρησιμοποιώντας τους αριθμούς των σταδίων, οι περισσότεροι από αυτούς αντικατέστησαν τους αριθμούς των σταδίων με το γράμμα ν γράφοντας με αυτόν τον τρόπο τη συμβολική αναπαράσταση του pattern. Πολλοί ήταν οι φοιτητές (41,46%) που δεν έγραψαν τον γενικό όρο του pattern ή που δεν έγραψαν τον σωστό (16,46%). Οι περισσότεροι από τους φοιτητές που αναγνώρισαν τον αναδρομικό ή επαναληπτικό χαρακτήρα του pattern δεν ήταν σε θέση να γράψουν (ή να γράψουν σωστά) έναν τύπο για τον αριθμό των κύκλων που απαιτείται για τον ν-οστό όρο. Αντίστοιχα, όσοι χρησιμοποίησαν τη μέθοδο ολόκληρου αντικειμένου δεν έγραψαν τον γενικό όρο του pattern ή έγραψαν μια λανθασμένη σχέση. Pattern με κύκλους ν-οστός όρος: Σωστός γενικός όρος Ρητός κανόνας (Explicit) f(ν)=2ν+3 26,83% (EXPLICIT 1) f(ν)=(ν+1)+(ν+2) 3,66% (EXPLICIT 2α) f(ν)=ν+(ν+1)+2/f(ν)=ν+(ν+3) 3,66% (EXPLICIT 2β) f(ν)=5+2(ν-1) 5,49% (EXPLICIT 3) f(ν)=ν+(ν-1)+4 1,22% (EXPLICIT 4) Chunking f(ν)=9+2(ν-3) 1,22% (CHUNKING) Δεν απάντησαν/ Απάντησαν λανθασμένα Δεν απάντησαν 41,46% Δεν έγραψαν τον σωστό γενικό όρο: 16,46% 68

69 Απαντήσεις στα δύο προηγούμενα ερωτήματα (εύρεση 6 ου και 100ού όρου) Για τον 100ό όρο απάντησαν f(100)=(2χ100)+3 (48 φοιτητές) f(100)= (6 φοιτητές) Γενικός όρος Σωστός γενικός όρος (ν)=2ν+3 (44 φοιτητές) f(ν)=(ν+1)+(ν+2) (6 φοιτητές) Λανθασμένος Δεν απάντησαν γενικός όρος - (4 φοιτητές) - - f(100)=( )+2/ f(100)=100+(100+3) (6 φοιτητές) f(100)=5+2(100-1) (9 φοιτητές) f(100)= (2 φοιτητές) f(100)=9+2(100-3) (2 φοιτητές) f(100)=15+2(100-6) (1 φοιτητής) Εύρεση του 100ού όρου από τον κανόνα: "Η διαφορά μεταξύ 10 όρων του pattern (6 φοιτητές) - - f(ν)=3+2(ν-1) - - (9 φοιτητές) f(ν)=ν+(ν-1) (2 φοιτητές) f(ν)=9+2(ν-3) - - (2 φοιτητές) - - (1 φοιτητής) - - (1 φοιτητής) 69

70 είναι 20 μπάλες (1 φοιτητής) Αναδρομική προσέγγιση για την εύρεση του 100ού όρου (1 φοιτητής) Σωστή απάντηση χωρίς εξήγηση (8 φοιτητές) Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρουαντικειμένου (Whole-object) (14 φοιτητές-όλοι υπολόγισαν σωστά τον 6 ο όρο επεκτείνοντας το pattern) Υπολόγισαν μόνο τον 6 ο όρο (αναδρομική προσέγγιση) (55 φοιτητές- εκ των οποίων οι 2 φοιτητές, ενώ έγραψαν σωστά τον αναδρομικό τύπο, δεν κατέληξαν σε σωστό αριθμητικό αποτέλεσμα) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern (11 φοιτητές) - - (1 φοιτητής) - (2 φοιτητές) (6 φοιτητές) - (4 φοιτητές) (10 φοιτητές) - (17 φοιτητές) (38 φοιτητές) - (4 φοιτητές) (7 φοιτητές) Γ) Μοτίβο οδοντογλυφίδες 6 ος όρος Στο pattern με τις οδοντογλυφίδες το ποσοστό των φοιτητών που υπολόγισε τον 6 ο όρο αφού πρώτα είχε υπολογίσει όλους τους προηγούμενους ενδιάμεσους όρους είναι σημαντικά μικρότερο (43,29%) σε σχέση με τα δύο προηγούμενα patterns. Αρκετοί φοιτητές (28,05%) έγραψαν έναν κανόνα (συναρτησιακή σχέση συμμεταβολής) που περιγράφει το pattern και στη συνέχεια υπολόγισαν τον 6 ο όρο. Οι περισσότεροι από αυτούς επισήμαναν ότι πρόκειται για το ίδιο pattern με αυτό με τις μπάλες, οπότε χρησιμοποίησαν τη σχέση που είχαν γράψει για το πρώτο pattern για να απαντήσουν στα ερωτήματα ή εργάστηκαν με τον ίδιο τρόπο όπως στο πρώτο pattern: f(6)=6+7 (3,66%- η πλειοψηφία είχε εργαστεί αριθμητικά στα προηγούμενα 70

71 patterns, μόνο 1 φοιτητής είχε εργαστεί σχεδιαστικά), f(6)=(2χ6)+1 (15,85%), f(6)=6+5+2 (1,83%) f(6)=3+2(6-1) (4,27%) και f(6)=7+2(6-3) (1,22%). Ενώ, το 1,22% των φοιτητών υπολόγισε ότι ο 6 ος όρος θα αποτελείται από 13 οδοντογλυφίδες γράφοντας τη σχέση f(6)=(6x3)-5 (deconstructive generalization). Αυτή η σχέση προέκυψε από την εξέταση του γεωμετρικού pattern. Παρατήρησαν ότι ο πρώτος όρος αποτελείται από 1 τρίγωνο που σχηματίζεται από 3 οδοντογλυφίδες, ο δεύτερος όρος αποτελείται από 2 τρίγωνα που σχηματίζονται από (2Χ3)-1=5 οδοντογλυφίδες (τα τρίγωνα έχουν 1 κοινή πλευρά), ο τρίτος όρος αποτελείται από 3 τρίγωνα που σχηματίζονται από (3Χ3)-2=7 οδοντογλυφίδες (αφαιρούνται οι 2 κοινές πλευρές) κ.ο.κ. Επομένως, ο 6 ος όρος θα σχηματίζεται από (6Χ3)-5=13 οδοντογλυφίδες. Στο pattern αυτό, το ποσοστό των φοιτητών που δεν μπόρεσε να υπολογίσει τον 6 ο όρο είναι πολύ μεγαλύτερο σε σχέση με τα προηγούμενα δύο patterns (28,66%). Από αυτούς το 13,41% θεώρησε λανθασμένα πως ο 6 ος όρος θα σχηματίζεται από 6 οδοντογλυφίδες και έγραψε την αναδρομική σχέση: «Ο κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας 1». Pattern με οδοντογλυφίδες 6 ος όρος: Σωστό αποτέλεσμα Ρητός κανόνας f(6)=(2χ6)+1 15,85% (EXPLICIT 1) (Explicit) f(6)=6+7 3,66% (EXPLICIT 2) f(6)=3+2(6-1) 4,27% (EXPLICIT 3) f(6)= ,83% (EXPLICIT 4) Μέθοδος ολόκληρουαντικειμένου [Whole-object WHOLE-OBJECT(contextual) f(6)=(6x3)-(6-1) 1,22% (contextual)] Chunking f(6)=7+2(6-3) 1,22% Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) 43,29% (RECURSIVE) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern 28,66% 71

72 100ός όρος Ο υπολογισμός του 100ού όρου οδηγεί τους φοιτητές στην αναζήτηση "κατά μήκος" pattern, δηλαδή, υπολόγισαν τον 100ό όρο έπειτα από εξέταση των δύο συνόλων στοιχείων και εύρεση μιας σχέσης μεταξύ των δύο συνόλων: f(100)= (5,49%), f(100)=(2χ100)+1 (27,44%), f(100)= (1,83%), f(100)=(3x100)- 99 (1,22%). Και σε αυτό το pattern οι φοιτητές χρησιμοποίησαν τη μέθοδο ολόκληρουαντικειμένου (5,49%) προκειμένου να απαντήσουν από πόσες οδοντογλυφίδες θα αποτελείται ο 100ός όρος του pattern- Σ(100)=10XΣ(10)=10Χ21=210 οδοντογλυφίδες. Θα μπορούσαν να είχαν χρησιμοποιήσει αυτή τη μέθοδο και να είχαν δώσει τη σωστή απάντηση, αν είχαν λάβει υπόψη τους την επικάλυψη που συμβαίνει όταν ενώνονται μονάδες του pattern για τη κατασκευή μιας μεγαλύτερης μονάδας του, αν είχαν γράψει ότι ο f(100)=(10x21)-9=210-9=201 οδοντογλυφίδες. Σε αυτή τη σχέση θα μπορούσαν να είχαν καταλήξει μόνο οι φοιτητές που θα είχαν εξετάσει τη σχηματική αναπαράσταση του pattern και στον κανόνα αιτιολόγησης τους θα ήταν σαφής η σύνδεση των μαθηματικών διαδικασιών με τη γεωμετρική τους ερμηνεία, καθώς θα υπήρχε αναφορά στο πλαίσιο (στα επικαλυπτόμενα μέρη της μορφής). 72

73 Ένα μεγάλο ποσοστό των φοιτητών (46,95%) δεν απάντησε ή έγραψε μια λανθασμένη σχέση για τον υπολογισμό του 100ού όρου του pattern. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αρκετοί φοιτητές δεν αναγνώρισαν το pattern και, επίσης, η καθήλωση στις διαφορές εμπόδισε την πρόοδο για τον γενικό κανόνα (για παράδειγμα πολλαπλασιάζουμε με το 2 και προσθέτουμε 1). Pattern με οδοντογλυφίδες 100 ος όρος: Σωστό αποτέλεσμα Ρητός κανόνας (Explicit) f(100)=(2χ100)+1 27,44% (EXPLICIT 1) f(100)= ,49% (EXPLICIT 2) f(6)=3+2(100-1) 4,27% (EXPLICIT 3) f(100)= ,83% (EXPLICIT 4) Μέθοδος f(100)=(3x100)-(100-1) 1,22% ολόκληρουαντικειμένου WHOLE-OBJECT(contextual) [Whole-object (contextual)] Chunking f(6)=7+2(100-3) 1,22% (CHUNKING 1) f(100)=13+2(100-6) 0,61% (CHUNKING 2) Χωρίς εξήγηση 3,66% Λάθος Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 5,49% αποτέλεσμα WHOLE-OBJECT (numeric) Δεν απάντησαν/ Λάθος σχέση 48,78% 73

74 ν-οστός όρος Οι φοιτητές που απάντησαν σωστά για τον αριθμό των οδοντογλυφίδων στον 100ό όρο είχαν κατανοήσει τη δομή του pattern ή είχαν γράψει μια αριθμητική έκφραση για κάθε αριθμό βήματος και οι περισσότεροι από αυτούς ήταν σε θέση να εκφράσουν συμβολικά τον γενικό όρο: f(ν)=ν+(ν+1) (4,27%), f(ν)=2ν+1 (26,22%), f(ν)=ν+(ν-1)+2 (1,83%) f(ν)=3+2(ν-1) (4,27%), f(ν)= 3ν-(ν-1) (1,22%) και f(ν)=7+2(ν-3) (1,22%). Ενώ, το 60,98% των φοιτητών δεν κατέληξε σε ένα γενικό τύπο ή έγραψε μια λανθασμένη σχέση. Pattern με οδοντογλυφίδες ν-οστός όρος: Σωστός γενικός όρος Ρητός κανόνας (Explicit) Μέθοδος ολόκληρουαντικειμένου [Wholeobject (contextual)] Chunking f(ν)=2ν+1 26,22% (EXPLICIT 1) f(ν)=ν+(ν+1) 4,27% (EXPLICIT 2) f(ν)=3+2(ν-1) 4,27% (EXPLICIT 3) f(ν)=ν+(ν-1)+2 1,83% (EXPLICIT 4) f(ν)=3ν-(ν-1) 1,22% WHOLE-OBJECT(contextual) f(ν)=7+2(ν-3) 1,22 (CHUNKING) Δεν απάντησαν/ Απάντησαν λανθασμένα Δεν απάντησαν 37,2% Δεν έγραψαν τον σωστό γενικό όρο: 23,78% 74

75 Απαντήσεις στα δύο προηγούμενα ερωτήματα (εύρεση 6 ου και 100ού όρου) Για τον 100ό όρο απάντησαν f(100)=(2χ100)+1 (45 φοιτητές) Γενικός όρος Σωστός γενικός όρος (ν)=2ν+1 (43 φοιτητές) Λανθασμένος Δεν γενικός όρος απάντησαν (1 φοιτητής) (1 φοιτητής) f(100)= (9 φοιτητές) f(100)=3+2(100-1) (7 φοιτητές) f(100)= (3 φοιτητές) f(100)=(3x100)-(100-1) (2 φοιτητές) f(100)=7+2(100-3) (2 φοιτητές) f(100)=13+2(100-6) (1 φοιτητής) Σωστή απάντηση χωρίς εξήγηση (6 φοιτητές) Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρουαντικειμένου (Whole-object) (9 φοιτητές-όλοι υπολόγισαν σωστά τον 6 ο όρο επεκτείνοντας το pattern) Υπολόγισαν μόνο τον 6 ο όρο (αναδρομική προσέγγιση) (33 φοιτητές) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern (47 φοιτητές) f(ν)=ν+(ν+1) (7 φοιτητές) - (2 φοιτητές) f(ν)=3+2(ν-1) - - (7 φοιτητές) f(ν)=ν+(ν-1) (3 φοιτητές) f(ν)=3ν-(ν-1) - - (2 φοιτητές) f(ν)=7+2(ν-3) - - (2 φοιτητές) - - (1 φοιτητής) - (6 φοιτητές) - (4 φοιτητές) (5 φοιτητές) - (5 φοιτητές) (28 φοιτητές) - (29 φοιτητές) (18 φοιτητές) 75

76 Δ) Μοτίβο τραπέζια 6 ος όρος Στο τελευταίο pattern της Δραστηριότητας 2 (το pattern με τα τραπέζια), περισσότεροι από του μισούς φοιτητές (56,1%) υπολόγισαν τον 6 ο όρο επεκτείνοντας το pattern. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, για ερωτήσεις "κοντινής γενίκευσης" είναι αρκετή η εύρεση αναδρομικών σχέσεων. Ενώ το 28,66% των φοιτητών αναζήτησε έναν κανόνα που να περιγράφει το pattern. Για ορισμένους από αυτούς η εύρεση του κανόνα βασίστηκε στην εξέταση της οπτικής αναπαράστασης του pattern. Συγκεκριμένα, το 1,83% των ερωτηθέντων απάντησε ότι στα έξι τραπέζια θα καθίσουν (2Χ3)+(4Χ2)=14 άτομα. Επίσης, από αυτούς που έγραψαν ότι στα έξι τραπέζια θα καθίσουν (2Χ6)+2=14 άτομα (18,29%), ορισμένοι εργάστηκαν σχεδιαστικά και δεν δημιούργησαν πίνακα τιμών- με 2 ανθρώπους στις άκρες και αριθμό ανθρώπων όσο και τα τραπέζια σε κάθε πλευρά, ένας γενικός κανόνας για -ν-τραπέζια θα επιτρέπει να κάθονται το πολύ 2ν+2 76

77 άνθρωποι. Ένα μικρό ποσοστό από αυτούς έγραψε τον γενικό τύπο [(4Χ6):2]+2 για να περιγράψει την ίδια σχέση. Και ορισμένοι εργάστηκαν αριθμητικά, δημιούργησαν πίνακα τιμών για να οργανώσουν τις πληροφορίες και αναζήτησαν τη σχέση μεταξύ των δύο συνόλων στοιχείων. Αριθμητικά εργάστηκαν και όσοι έγραψαν τις σχέσεις f(6)=6+5+3 (1,22%), f(6)=6+7+1 (1,22%) και f(6)=4+2(6-1) (6,1%). Οι φοιτητές εργάστηκαν με τον ίδιο τρόπο όπως στα προηγούμενα patterns. Από τους φοιτητές που έγραψαν τη σχέση f(6)=4+2(6-1), μόνο ένας φοιτητής για να αιτιολογήσει την απάντησή του αναφέρθηκε στο εικονιστικό πλαίσιο. Οι φοιτητές που εργάστηκαν σχεδιαστικά παρατήρησαν πως η ακολουθία των μορφών διαθέτει αμετάβλητες δομές και κατά συνέπεια κατασκευάζεται με συγκεκριμένους τρόπους. Οι φοιτητές αυτοί δεν έκριναν απαραίτητη τη δημιουργία πίνακα τιμών προκειμένου να βρουν ένα γενικό τύπο. Ενώ οι φοιτητές που εργάστηκαν αριθμητικά κυρίως χρησιμοποίησαν τη μέθοδο "μαντεύω και ελέγχω" και στην αιτιολόγηση του γενικού κανόνα του pattern δεν ήταν σαφής η σύνδεσή του με μια γενική σχέση που υπάρχει στο πλαίσιο της συγκεκριμένης μαθηματικής κατάστασης. Παρατηρήθηκε πως οι φοιτητές δεν είχαν αίσθηση αυτού που ο συντελεστής και η σταθερά στο γραμμικό pattern αντιπροσωπεύουν. Στο pattern αυτό παρατηρήθηκε πως ένα μικρό ποσοστό των φοιτητών (2,44%) χρησιμοποίησε τη μέθοδο της ευθείας αναλογίας και για μικρούς αριθμούς θέσης (6 ος όρος) και για μεγάλους αριθμούς θέσης (100ός). Έγραψε πως στα 6 τραπέζια θα καθίσουν 24 άτομα- Αφού στο 1 τραπέζι θα καθίσουν 4 άτομα στα 6 τραπέζια θα καθίσουν 4Χ6 άτομα. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου αυτής στην παροχή απαντήσεων, έστω και λανθασμένων, όπως και το γεγονός ότι ορισμένοι φοιτητές ακολουθούν επιφανειακές στρατηγικές όταν ασχολούνται με δραστηριότητες patterning ίσως είναι κάποιοι λόγοι που οδήγησαν τους φοιτητές σε "απλές και γρήγορες" γενικεύσεις που όμως δεν ισχύουν. Και σε αυτό το pattern, όπως και στο pattern με τις οδοντογλυφίδες, οι φοιτητές θα μπορούσαν να είχαν χρησιμοποιήσει τη μέθοδο του ολόκληρου-αντικειμένου (Whole-object/ Unitizing) για την εύρεση του 6 ου όρου ή οποιοδήποτε άλλου όρου, λαμβάνοντας όμως υπόψη τους την επικάλυψη που συμβαίνει όταν ενώνονται μονάδες του pattern για τη κατασκευή μιας μεγαλύτερης μονάδας του. Αυτό προϋποθέτει βαθιά κατανόηση της δομής του 77

78 γεωμετρικού pattern. Θα μπορούσαν να υπολογίσουν τον 6 ο όρο από τη σχέση f(6)=(6χ4)-2(6-1), γιατί μια σχέση που "κρύβεται" στο pattern είναι f(ν)=4ν-2(ν-1). Η εξέταση, όμως, της οπτικής αναπαράστασης του pattern φαίνεται να βοηθά περισσότερο τους φοιτητές να οδηγηθούν σε constructive γενικότητες από ό,τι σε deconstructive γενικότητες, σε αντίθεση με το pattern με τις οδοντογλυφίδες. To 12,8% των ερωτηθέντων δεν αναγνώρισε το pattern (5,48%) ή δεν απάντησε (7,32%) Pattern με τραπέζια 6 ος όρος: Σωστό αποτέλεσμα Ρητός κανόνας (Explicit) f(6)= (2Χ6) % (EXPLICIT 1) f(6)=(6+7)+1 1,22% (EXPLICIT 2) f(6)=4+2(6-1) 6,1% (EXPLICIT 3) f(6)= ,22% (EXPLICIT 4) f(6)= (2Χ3)+(4Χ2) 1,83% (EXPLICIT 5) Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) 54,27% (RECURSIVE) Λάθος Αναδρομική προσέγγιση (Recursive) 1,83% (RECURSIVE) αποτέλεσμα Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 2,44% (WHOLE- OBJECT) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern 12,8% 78

79 100ός όρος Οι φοιτητές που αναζήτησαν συναρτησιακές σχέσεις (συμμεταβολής ή αντιστοίχισης) ήταν σε θέση να υπολογίσουν σωστά τον 100ό όρο: f(100)=(2x100)+2 (35,37%), f(100)= /100+(100+2) (3,66%), f(100)=(2x3)+(98x2) (2,44%-οι τρεις από τους τέσσερις φοιτητές που έγραψαν αυτή τη σχέση δεν είχαν αναγνωρίσει ή είχαν γράψει μόνο την αναδρομική σχέση στα προηγούμενα patterns.), f(100)= (1,22%). Επίσης, σε σταθερής διαφοράς patterns, όπως και το pattern με τα τραπέζια, η μέθοδος της αναζήτησης διαφορών έδωσε στους φοιτητές μια σχέση που χρησιμοποίησαν ως βάση για να υπολογίσουν τον 100ό όρο: 4+2(100-1) (6,1%), 8+2(100-3) (0,61%) και 14+2(100-6) (0,61%). Ενώ, όπως και στα προηγούμενα patterns, ορισμένοι φοιτητές (3,66%) υπολόγισαν σωστά την τιμή του 100ού όρου, δεν περιέγραψαν, όμως, την στρατηγική που ακολούθησαν. Το 36,59% των φοιτητών δεν απάντησε σε αυτό το ερώτημα ή δεν έγραψε τη σωστή σχέση. Και σε αυτό το pattern, ορισμένοι φοιτητές (9,76%) χειρίστηκαν την αριθμητική σχέση ως αναλογική χωρίς να λάβουν υπόψη τους τους περιορισμούς που η προβληματική κατάσταση έχει. Pattern με τραπέζια 100 ος όρος: Σωστό Ρητός κανόνας f(100)= (2Χ100)+2 35,37% (EXPLICIT 1) αποτέλεσμα (Explicit) f(100)=( )+1/f(100)=100+(100+2) 3,66% (EXPLICIT 2) f(100)=4+2(100-1) 6,1% (EXPLICIT 3) f(100)= ,22% (EXPLICIT 4) f(100)= (2Χ3)+(98Χ2) 2,44% (EXPLICIT 5) Chunking f(100)=8+2(100-3) 0,61% (CHUNKING 1) f(100)=14+2(100-6) 0,61% (CHUNKING 2 ) Χωρίς εξήγηση 3,66% Λάθος Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 9,76% αποτέλεσμα (WHOLE-OBJECT) Δεν απάντησαν/ Λάθος σχέση 36,59% 79

80 ν-οστός όρος Η πλειοψηφία των φοιτητών οι οποίοι εξέτασαν την οπτική αναπαράσταση του pattern ή τις σχέσεις μεταξύ των τιμών των δύο στηλών οδηγήθηκαν σε λεκτικές περιγραφές εξαρτώμενων σχέσεων ή κανόνων αντιστοιχίας, αλλά και σε συμβολικές γενικεύσεις. Με εξαίρεση τους φοιτητές που υπολόγισαν τον 100ό όρο από τη σχέση f(100)=(2x3)+(98x2), οι οποίοι δε χρησιμοποίησαν αλγεβρικό συμβολισμό για να αναπαραστήσουν τη συναρτησιακή σχέση. Το 56,09% των φοιτητών δεν απάντησε στο ερώτημα ή δεν έγραψε τον σωστό γενικό τύπο. Pattern με τραπέζια ν-οστός όρος: Σωστός γενικός όρος Δεν απάντησαν/ Απάντησαν λανθασμένα Ρητός κανόνας f(ν)= 2ν+2 32,32% (EXPLICIT 1) (Explicit) f(ν)=ν+(ν+1)+1/f(ν)=ν+(ν+2) 3,66% (EXPLICIT 2) f(ν)=4+2(ν-1) 6,1% (EXPLICIT 3) f(ν)= ν+(ν-1)+3 1,22% (EXPLICIT 4) Chunking f(ν)=8+2(ν-3) 0,61% (CHUNKING) Δεν απάντησαν: 41,46% Δεν έγραψαν τον σωστό γενικό όρο: 14,63% 80

81 Απαντήσεις στα δύο προηγούμενα Γενικός όρος ερωτήματα (εύρεση 6 ου και 100ού όρου) Για τον 100ό όρο απάντησαν Σωστός γενικός όρος Λανθασμένος γενικός όρος Δεν απάντησαν f(100)=(2χ100)+2 (58 φοιτητές) (ν)=2ν+2 - (5 φοιτητές) (53 φοιτητές) f(100)=( )+1/f(100)= f(ν)=ν+(ν+1) (6 φοιτητές) /f(ν)=ν+(ν+2) (6 φοιτητές) f(100)=4+2(100-1) (10 φοιτητές) f(ν)=4+2(ν-1) - - (10 φοιτητές f(100)= (2 φοιτητές) f(ν)=ν+(ν-1) (2 φοιτητές) f(100)=(2χ3)+(98χ2) (4 φοιτητές) - (2 φοιτητές) (2 φοιτητές) f(100)=8+2(100-3) f(ν)=8+2(ν-3) - - (1 φοιτητής) (1 φοιτητής) f(100)=14+2(100-6) (1 φοιτητής) - - (1 φοιτητής) Σωστή απάντηση χωρίς εξήγηση (6 φοιτητές) - - (6 φοιτητές) Αναλογία/Μέθοδος ολόκληρου- - (5 φοιτητές) (11 φοιτητές) 81

82 αντικειμένου (Whole-object) (16 φοιτητές- εκ των οποίων οι 12 φοιτητές υπολόγισαν σωστά τον 6 ο όρο επεκτείνοντας το pattern) Υπολόγισαν μόνο τον 6 ο όρο (αναδρομική προσέγγιση) (39 φοιτητές- εκ των οποίων οι 3 φοιτητές, ενώ έγραψαν σωστά τον αναδρομικό τύπο δεν κατέληξαν σε σωστό αριθμητικό αποτέλεσμα) Δεν απάντησαν/ Δεν αναγνώρισαν το pattern (21 φοιτητές) - (9 φοιτητές) (30 φοιτητές) - (8 φοιτητές) (13 φοιτητές) Το 64,63% των φοιτητών υπολόγισε σωστά τον 100ό όρο τουλάχιστον σε 1 από τα 4 patterns. Εκ των οποίων οι περισσότεροι φοιτητές εμφανίζονται να έχουν κατανοήσει μια γενική σχέση που υπάρχει σε ένα πλαίσιο (pattern με μπάλες) και την εφαρμόζουν στις επόμενες παρόμοιες καταστάσεις προβλήματος (στο pattern με τους κύκλους, στο pattern με τις οδοντογλυφίδες και στο pattern με τα τραπέζια), βελτιώνοντας με αυτό τον τρόπο την ικανότητά τους να προβαίνουν σε γενικεύσεις. Οι περισσότεροι φοιτητές εργάστηκαν αριθμητικά γι αυτό δείχνουν συνέπεια στην επιλογή γενικεύσιμης μεθόδου για τα patterns και γράφουν γραμμικά μοντέλα ίδιας μορφής [π.χ. αx+β, β 0 ή Σ(ν)=Σ(μ)+ω(ν-μ)]. Οι περισσότεροι φοιτητές έγραψαν την 82

83 ισοδύναμη αριθμητική ακολουθία για κάθε pattern και αναγνώρισαν ότι πρόκειται για ακολουθίες στις οποίες για δύο διαδοχικούς όρους τους α ν, α ν+1 ισχύει α ν+1 - α ν = ω, όπου ω μια σταθερή ποσότητα, διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αυτό φαίνεται και από τις απαντήσεις που έδωσαν οι φοιτητές στο ερώτημα "Από τα τέσσερα προηγούμενα patterns: α)ποια μοιάζουν; Σε τι; β)ποια διαφέρουν σε τι; Μόνο ένα μικρό ποσοστό των φοιτητών (2,44%) έγραψε πως το pattern με τις οδοντογλυφίδες μοιάζει με το pattern με τα τραπέζια, επειδή "πρέπει να προσέξουμε τις κοινές πλευρές μεταξύ τους" ή "προσθέτουμε κάθε φορά μία πλευρά λιγότερη από το αρχικό σχήμα (Στο Γ που έχουμε τρίγωνο προσθέτουμε κάθε φορά 2 πλευρές, στο Δ που έχουμε τετράγωνο προσθέτουμε κάθε φορά 3 πλευρές)." Ομοιότητες των patterns Μοιάζουν τα patterns Α,Β,Γ,Δ, επειδή ο κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο +2/ Μοιάζουν τα patterns Α και Γ, γιατί έχουν τον 5,49% S1 ίδιο γενικό όρο. Μοιάζουν τα patterns Γ,Δ (λαμβάνουμε υπόψη μας τις κοινές 2,44% S2 πλευρές) Μοιάζουν τα patterns Α,Β,Γ,Δ, επειδή ο κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο +2/ Μοιάζουν τα patterns Α και Γ, γιατί έχουν κοινό α 1. 8,54% S3 Μοιάζουν τα patterns Α και Γ, επειδή έχουν τον ίδιο γενικό όρο. 18,29% S4 Μοιάζουν τα patterns Α και Γ, επειδή έχουν κοινό α 1. 6,1% S5 Μοιάζουν τα patterns Α,Β,Γ,Δ, επειδή ο κάθε όρος προκύπτει από 17,07% S6 τον προηγούμενο +2. Μοιάζουν τα patterns Α,Β,Δ, επειδή ο κάθε όρος προκύπτει από τον 7,93% S7 προηγούμενο +2 (οι φοιτητές δεν έγραψαν σωστά τον αναδρομικό τύπο για το pattern Γ). Δεν απάντησαν 34,15% Διαφορές των patterns Οι όροι στα patterns Α,Β και Γ είναι περιττοί, ενώ στο pattern Δ 18,29% D1 είναι άρτιοι. Τα patterns Α,Γ/Β/Δ έχουν διαφορετικό γενικό όρο. 13,41% D2 Τα patterns Α,Γ/Β/Δ έχουν διαφορετικό α 1. 10,37% D3 Το pattern Γ διαφέρει από τα υπόλοιπα, επειδή ο κάθε όρος 7,93% D4 προκύπτει από τον προηγούμενο +1. (Λάθος απάντηση) Δεν απάντησαν 50% 83

84 Δραστηριότητα 3 Βλέπετε ένα pattern μιας αυλής στρωμένης με μαύρες και άσπρες πλάκες. Το μέγεθος της αυλής αυξάνεται, αλλά το pattern μένει το ίδιο. Ζητήθηκε από μαθητές στο τέλος της Α Γυμνασίου να σκεφτούν έναν κανόνα που να τους δίνει τον αριθμό των άσπρων πλακιδίων για οποιοδήποτε μέγεθος αυλής. Πέντε μαθητές έδωσαν τις παρακάτω απαντήσεις: (α είναι τα άσπρα τετράγωνα και μ είναι τα μαύρα τετράγωνα) Ιουλία: α=2(μ-1)+8 Άρτεμις: α=2μ+6 Σπύρος: α=3+μ+μ+3 Χάρης: α=2(μ+2)+2 Πάνος: α=3(μ+2)-μ 1) Γράψτε με λόγια πώς μπορεί να σκέφτηκε ο κάθε μαθητής. 2) Από τις προηγούμενες λύσεις ποιες μοιάζουν; Εξηγήστε αναλυτικά. 3) Στο pattern με 50 μαύρα τετράγωνα, πόσα είναι τα άσπρα; Γράψτε ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ πώς σκεφτήκατε. 4) Στο pattern με τα 70 άσπρα, πόσα είναι τα μαύρα; Στο α' ερώτημα της Δραστηριότητας 3 οι φοιτητές καλούνται να περιγράψουν πώς σκέφτηκε καθένας από τους πέντε μαθητές και κατέληξε σε έναν τύπο (συμβολική μορφή του κανόνα) που να του δίνει τον αριθμό των άσπρων πλακιδίων για οποιοδήποτε μέγεθος αυλής. Ό τύπος και των πέντε μαθητών είναι σωστός, συνεπώς αυτό που στην πραγματικότητα τους ζητήθηκε ήταν να εκφράσουν κάθε μία γενίκευση με όρους του γεωμετρικού περιβάλλοντος. Οι φοιτητές έπρεπε να αναγνωρίσουν τις σταθερές σχέσεις ανάμεσα στις δοσμένες μορφές της αυλής. Ωστόσο, ένα πολύ μικρό ποσοστό των φοιτητών αιτιολόγησε επιτυχώς έστω και έναν από τους κανόνες των μαθητών. 84

85 Η περιγραφή των κανόνων έγινε άλλοτε με λεκτικές δηλώσεις και άλλοτε σχηματικά ή συμβολικά. Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι οι μαθητές δυσκολεύονται στην άρθρωση ενός γενικού κανόνα για το pattern στη φυσική τους γλώσσα. Παραδείγματα των απαντήσεων των φοιτητών είναι τα ακόλουθα: Ιουλία: Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2 Άρτεμις: Παράδειγμα 1: 85

86 Παράδειγμα 2: Παράδειγμα 3: Σπύρος: Παράδειγμα 1: Παράδειγμα 2: Χάρης: Παράδειγμα 1: 86

87 Παράδειγμα 2: Πάνος: Παράδειγμα 1: Παράδειγμα 2: Παράδειγμα 3: 87

88 Επίσης, όπως φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα, οι φοιτητές αναγνώρισαν και αιτιολόγησαν σε μεγαλύτερο ποσοστό τους κανόνες που αναφέρονται σε ένα πολλαπλάσιο του αριθμού των μαύρων πλακιδίων συν μια σταθερά ("ανάγνωση" του pattern σε στήλες: τύποι της Αρτέμιδος και του Σπύρου-constructive generalization) από ό,τι τους κανόνες που αναφέρονται σε ένα πολλαπλάσιο ενός αριθμού- ο οποίος μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα του αριθμού των μαύρων πλακιδίων με μια σταθεράσυν/πλην έναν αριθμό, σταθερά ή μεταβλητή ("ανάγνωση" του pattern σε γραμμές: τύποι του Χάρη και του Πάνου). Τον κανόνα της Ιουλίας αιτιολόγησαν οι φοιτητές που δημιούργησαν πίνακα τιμών, αναγνώρισαν ότι πρόκειται για μια αριθμητική πρόοδο και έγραψαν ότι ν-οστός όρος μπορεί να οριστεί συναρτήσει του πρώτου όρου (α 1 ) και της διαφοράς. Ιουλία Άρτεμις Σπύρος Χάρης Πάνος Σύνδεση των τύπων με τη 4,27% 10,98% 11,59% 4,27% 3,66% γεωμετρική τους ερμηνεία (σωστή απάντηση) Περιγραφή του τύπου/ Σύνδεση του τύπου με συγκεκριμένο μέγεθος αυλής 3,66% 4,27% 3,05% 1,22% 1,22% Σύνδεση του τύπου με 9,15% 9,15% 7,32% 7,93% 7,93% συγκεκριμένο μέγεθος αυλής Περιγραφή του τύπου 15,24% 18,9% 15,85% 17,07% 16,46% Λάθος απάντηση 15,85% 12,2% 12,2% 13,41% 11,59% Δεν απάντησαν 51,83% 44,51% 50% 56,1% 59,15% Ενώ, ένα μεγάλο ποσοστό των φοιτητών αρκέστηκε στην περιγραφή των τύπων με λέξεις και πολλοί από αυτούς, στη συνέχεια, χρησιμοποίησαν τους τύπους για να ελέγξουν αν περιγράφουν τους ήδη γνωστούς όρους του pattern. Από απαντήσεις των φοιτητών, όπως; «Τα παιδιά μέτρησαν τα άσπρα πλακίδια σε μια αυλή και προσπάθησαν να σκεφτούν μια σειρά από πράξεις που θα τους οδηγήσουν στον αριθμό των άσπρων πλακιδίων που θα περιέχουν και τον αριθμό των μαύρων» ή «έψαχναν να βρουν μια εξίσωση απλής μορφής βέβαια της οποίας το αποτέλεσμα να κάνει όσα τα άσπρα σε κάθε μέγεθος (8, 10, 12) αντίστοιχα. Και έτσι ο καθένας με τη φαντασία του και τις γνώσεις του δημιούργησε τη δική του εξίσωση. Άλλωστε το 88

89 κάνουμε πολλές φορές αυτό να προσπαθούμε να βρούμε μια εξίσωση που να μας βγάζει ένα συγκεκριμένο αριθμό (όπως π.χ. στο παράδειγμα με τους μαγικούς αριθμούς που κάνουμε, όπου προσπαθούμε να φτιάξουμε μια εξίσωση)» φαίνεται ότι ορισμένοι φοιτητές θεωρούν πως οι μαθητές έφτασαν στη λύση «παίζοντας» απλά με τους αριθμούς και ρωτώντας "Τι πράξεις μπορώ να κάνω με τον αριθμό των μαύρων πλακιδίων για να βρω τον αντίστοιχο αριθμό των άσπρων πλακιδίων στον πίνακα;» Τέλος, πολλοί ήταν οι φοιτητές που δεν αναγνώρισαν το pattern ή δεν έδωσαν καμία απάντηση. Στην κατηγορία "Δεν απάντησαν" ανήκουν και γραπτά των φοιτητών όπως: "Οι μαθητές σκέφτηκαν σωστά τους τύπους, καθώς χρησιμοποιώντας όλους μπορούμε να βρούμε πόσα είναι τα άσπρα. Ο κάθε μαθητής μελέτησε το μοτίβο της αυλής και το κατανόησε με τον δικό του τρόπο" ή "Ο μαθητής παρατήρησε προσεκτικά τα τρία μεγέθη της αυλής και διαπίστωσε ότι 8 άσπρα αντιστοιχούν σε 1 μαύρο, 10 άσπρα σε 2 μαύρα και 12 άσπρα σε 3 μαύρα. Άρα, όταν τα μαύρα αυξάνονται κατά 1 τα άσπρα αυξάνονται κατά 2. Με αυτή τη λογική έφτιαξε τους τύπους.", επειδή δε δικαιολογούνται οι γενικεύσεις των μαθητών. Στη συνέχεια (β' ερώτημα της Δραστηριότητας 3), ζητήθηκε από τους φοιτητές να γράψουν ποιες από τις απαντήσεις των μαθητών μοιάζουν. Μόνο ένα μικρό ποσοστό των φοιτητών (3,66%) έγραψε ότι μοιάζουν οι απαντήσεις της Αρτέμιδος και του Σπύρου, επειδή οι μαθητές εξετάζοντας το γεωμετρικό pattern παρατήρησαν μια σχέση που "κρύβεται" σ' αυτό και μπόρεσαν να την εκφράσουν συμβολικά. Οι φοιτητές, δηλαδή, αντιλαμβάνονται ότι, σε αυτή την περίπτωση, τα σύμβολα υπηρετούν την παράσταση γενικότητας και την αιτιολόγηση των σχέσεων μεταξύ των όρων του pattern. Με άλλα λόγια, ότι η Άλγεβρα χρησιμοποιείται για να εκφράσει την αφαίρεση και την τυποποίηση. Επίσης, το 3,66% των φοιτητών απάντησε ότι μοιάζει η λύση που έγραψε η Άρτεμις με τη λύση του Σπύρου και η λύση που έγραψε ο Χάρης με τη λύση του Πάνου χωρίς να αιτιολογούν, όμως, την απάντησή τους. Αρκετοί φοιτητές (15,85%) μετασχημάτισαν τις παραστάσεις 2(μ-1)+8, 3+μ+μ+3, 2(μ+2)+2 και 3(μ+2)-μ που πήραν τη μορφή της απάντησης της Αρτέμιδος (2μ+6) και διαπίστωσαν την ισοδυναμία των παραστάσεων χωρίς, όμως να υπάρχει κάποια δήλωση για τις κανονικότητες ή τις σχέσεις στο pattern. Επίσης, ορισμένοι φοιτητές ταξινόμησαν τις λύσεις των μαθητών με κριτήριο τις πράξεις ή τις ιδιότητες των πράξεων που χρησιμοποίησαν οι μαθητές (οι απαντήσεις αυτές εντάσσονται στην κατηγορία "λάθος απάντηση"). Οι φοιτητές ίσως πιστεύουν ότι οι μαθητές αντιμετώπισαν το pattern σε ένα αριθμητικό επίπεδο και προσπάθησαν 89

90 να προσδιορίσουν τον τρόπο που σε κάθε τιμή του ενός συνόλου αποδίδεται μια μοναδική τιμή του άλλου συνόλου, να ανακαλύψουν, δηλαδή, σχέσεις αντιστοίχισης. Τέλος, μεγάλο ποσοστό των φοιτητών (57,32%) δεν απάντησε ή ανέφερε ότι μια σειρά λύσεων (π.χ. της Ιουλίας και της Άρτεμις) μοιάζουν χωρίς, όμως, να αιτιολογούν την επιλογή τους. Το ερώτημα γ της Δραστηριότητας 3 ζητούσε από τους φοιτητές να υπολογίσουν τον αριθμό των άσπρων πλακιδίων που θα έχει η αυλή με 50 μαύρα πλακίδια, δηλαδή, τον 50ό όρο του pattern. Οι περισσότεροι από τους φοιτητές που απάντησαν σωστά, χρησιμοποίησαν κάποιον από τους τύπους των μαθητών. Οι απαντήσεις ορισμένων από αυτών χαρακτηρίζονται από βαθιά κατανόηση της έννοιας των πράξεων και των διαδικασιών που χρησιμοποιήθηκαν στους κανόνες που διατύπωσαν οι μαθητές. Ενδεικτικά παραδείγματα είναι τα ακόλουθα: 90

91 Ενώ ορισμένοι φοιτητές χρησιμοποίησαν κάποιον από τους τύπους αφού πρώτα έλεγξαν αν τους δίνει το σωστό αποτέλεσμα για τον αριθμό των άσπρων πλακιδίων σε κάποιο από γνωστά μεγέθη αυλής. Πρόκειται για απαντήσεις όπως: "Παίρνουμε τον τύπο α=2μ+6. Ο τύπος αυτός επαληθεύεται αφού όταν στη θέση του μ βάλουμε τη μονάδα (1) δίνεται το αρχικό μοτίβο. Έτσι, αντικαθιστούμε το μ με το 50" και "Ο γενικός τύπος που μας δίνει τα άσπρα πλακάκια με βάση τις απαντήσεις των παιδιών είναι α=2μ+6. Παρατηρούμε πως ο τύπος είναι σωστός, αφού, για παράδειγμα, για 1 πλακάκι θα έχω α=(2χ1)+6=8 άσπρα, για 2 μαύρα πλακάκια θα είναι α=(2χ2)+6=10 άσπρα. Με τον ίδιο τρόπο για 50 μαύρα θα έχω 106 άσπρα πλακάκια" Πολλοί, όμως, ήταν και οι φοιτητές που χρησιμοποίησαν κάποιον από τους τύπους των μαθητών-συνήθως τον τύπο α=2μ+6- χωρίς να αιτιολογούν την επιλογή τους, ενώ κάποιοι επισήμαναν ότι θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν οποιονδήποτε από τους τύπους των μαθητών προκειμένου να απαντήσουν στο ερώτημα. Στον γενικό τύπο 2μ+6 για το pattern κατέληξαν και φοιτητές που δημιούργησαν πίνακα τιμών και αναζήτησαν μια συναρτησιακή σχέση. Υπήρξαν φοιτητές που εργάστηκαν με τον ίδιο τρόπο όπως και στα patterns της Δραστηριότητας 2. Ένας φοιτητής, για παράδειγμα, υπολόγισε τον 50ό όρο του pattern από τον γενικό τύπο μ+(μ-1)+7. Από την άλλη μεριά, δύο φοιτητές απάντησαν σωστά χρησιμοποιώντας τη «μέθοδο των διαφορών»: "1 μαύρο 8 άσπρα, 2 μαύρα 10 άσπρα, 3 μαύρα 12 άσπρα 10 μαύρα 26 άσπρα, 11 μαύρα 28 άσπρα 20 μαύρα 46 άσπρα, επομένως, 30 μαύρα 46+20=66 άσπρα, 40 μαύρα 66+20=86 άσπρα, 50 μαύρα 86+20=106 άσπρα πλακίδια" ή "Κάνοντας τις πράξεις βλέπουμε ότι 12 μάυρα 30 άσπρα και 22 μαύρα 50 άσπρα. Συνεχίζοντας εικάζουμε ότι στα 32 μαύρα 70 άσπρα, στα 42 μαύρα 90 άσπρα και στα 52 μαύρα 110 άσπρα. Τι παρατηρούμε; Πως οι δεκάδες αυξάνονται +20, γι' αυτό και το 30 έγινε 50, το 50 έγινε 70 και ούτω κάθε έξης. Αν θελήσουμε να υπολογίσουμε τα 50 μαύρα απλώς γυρνάμε -2 μονάδες από το 52 και εύκολα με το μυαλό βρίσκουμε ότι 50 μαύρα 106 άσπρα". Και σε αυτό το pattern, οι φοιτητές διατύπωσαν λανθασμένες εικασίες αναλογικότητας, που οφείλονται σε ελλιπείς ή λάθος συνδέσεις μεταξύ των μεταβαλλόμενων ποσοτήτων: "στο 1 μαύρο υπάρχουν 8 άσπρα, στα 50 μαύρα υπάρχουν x άσπρα, x=400" ή "στα 10 μαύρα υπάρχουν 26 μαύρα, άρα στα 50 μαύρα θα υπάρχουν 5Χ26=130 άσπρα" 91

92 Τέλος, το 40,24% των φοιτητών δεν αναγνώρισε το pattern ή δεν έδωσε καμία απάντηση. ΠΙΝΑΚΑΣ: 50 ος όρος pattern αυλής Σωστή απάντηση 40,85% Λάθος τύπος 9,76% Αναλογία/μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 9,15% Δεν απάντησαν 40,24% Στο τελευταίο ερώτημα του τεστ (δ' ερώτημα της Δραστηριότητας 3) οι φοιτητές έπρεπε να υπολογίσουν τον αριθμό των μαύρων πλακιδίων που θα έχει η αυλή με 70 άσπρα πλακίδια, να καθορίσουν, δηλαδή, μια τιμή εισαγωγής από μια τιμή παραγωγής. Το 35,98% των φοιτητών χρησιμοποίησε έναν από τους τύπους των μαθητών ή εργάστηκε με τον ίδιο τρόπο όπως στη Δραστηριότητα 2: Παράδειγμα 1: Παράδειγμα 2: 92

93 Ενώ, το 15,86% των φοιτητών δεν αναγνώρισε το pattern ή χρησιμοποίησε τη μέθοδο του ολόκληρου-αντικειμένου π.χ. "Η αυλή με 10 άσπρα πλακίδια έχει 2 μαύρα πλακίδια, άρα η αυλή με 70 άσπρα θα έχει 7Χ2=14 μαύρα". Τέλος, το 48,17% των ερωτηθέντων δεν απάντησε στο ερώτημα. Σωστή απάντηση 35,98% Λάθος τύπος 8,54% Αναλογία/μέθοδος ολόκληρου-αντικειμένου 7,32% Δεν απάντησαν 48,17% 93