Κεφάλαιο 4.2 Quantum Bits και Quantum Registers

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4.2 Quantum Bits και Quantum Registers"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4. Quantum Bits και Quantum Registers 4.. Ένα qubit, μία σφαίρα Bloch Σο στοιχειώδες μέτρο κβαντικής πληροφορίας είναι το quantum binary digit δηλαδή το quantum bit, δηλαδή το qubit. Ψς ένα qubit μπορεί να θεωρηθεί ένα κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων (πιο αυστηρά, qubit είναι ένα κβαντικό σύστημα του οποίου οι καταστάσεις ανήκουν σε ένα δισδιάστατο χώρο Hilbert, και πιο γενικά ακόμη, ένα κβαντικό σύστημα «έχει» n qubits αν οι καταστάσεις του ανήκουν σε ένα χώρο Hilbert n διαστάσεων και έτσι έχει, άρα, n αλληλο-ορθογώνιες κβαντικές καταστάσεις). Γυρνώντας στο ένα qubit, ονομάζουμε τη μία κατάσταση του και την άλλη. Κατά τα γνωστά, η αντιστοιχεί στην (,) Σ και η αντιστοιχεί (,) Σ. Οι δύο καταστάσεις είναι βάση του χώρου Hilbert. τη τρέχουσα συζήτηση δεν μας απασχολεί ποιες ακριβώς είναι οι φυσικές ιδιότητες που αναπαριστούν οι καταστάσεις (φωτονικές πολώσεις, ηλεκτρονιακά σπιν, κλπ). Η γενική μορφή μιας δισδιάστατης κατάστασης, που δεν μας απασχολεί το μήκος της (και που άρα το θέτουμε ίσο με τη μονάδα), ούτε μια συνολική φάση, (γενική μορφή δηλαδή δισδιάστατης ακτίνας) γράφεται (όπου έχουμε ξεκινήσει βεβαίως από τη τετραπαραμετρική Q = α + β με α,β μιγαδικά), ως: Q = cos(θ/) + sin(θ/) e iφ (4. - ) Μία τέτοια κατάσταση «ζει» πάνω στην επιφάνεια της μοναδιαίας σφαίρας (άκρη του ανύσματος μπλε χρώματος στο σχήμα 4.). Η σφαίρα αυτή καλείται σφαίρα Bloch. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 96/6

2 Σχήμα 4.α. Η σφαίρα Bloch ενός δισδιάστατου κβαντικού συστήματος. Η κατάσταση Q «ζει» πάνω στη σφαίρα και προσδιορίζεται από τις παραμέτρους θ και φ. Οι δύο καταστάσεις της βάσης {, } βρίσκονται στους πόλους της σφαίρας. Η σφαίρα Bloch δεν «υπάρχει» πουθενά 49, αλλά είναι μία επιτρεπτή (και βολική) οπτικοποίηση της παραμετροποίησης (4. - ). Για να χτίσουμε το πυρήνα ενός κβαντικού υπολογιστή, τον κβαντικό register ή qu-register, θέλουμε πολλά τέτοια qubits. Όταν τέτοια qubits συντίθενται σε ένα σύστημα, ο χώρος Hilbert του είναι το γινόμενο. Για να κατανοήσουμε αυτό το χώρο καλύτερα είναι χρήσιμο να δούμε ποια είναι η βάση που τον καλύπτει. α φυσική βάση για ένα τέτοιο χώρο λαμβάνουμε τη βάση των ακόλουθων n ανυσμάτων: (4. - ) n n - η οποία καλείται και «υπολογιστική βάση» ή και «λεξικογραφική βάση». Έτσι, κλασσικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους n, θα αντιστοιχούν σε n-qubit κβαντικές καταστάσεις: 49 «Τπάρχει» όσο «υπάρχουν», για παράδειγμα, και οι σφαιρικές αρμονικές Y lm. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 97/6

3 i i i 3... i n i i i 3...i n i i i 3 i n (4. - 3) Για παράδειγμα, για 3 qubits έχουμε τη βάση {,,,,,,, }, η οποία σημειώστε μπορεί να γραφεί και {,,, 3, 4, 5, 6, 7 }, εξ ου και ο χαρακτηρισμός «υπολογιστική βάση». Ένα σύστημα από πολλά qubits, όπως π.χ. αυτό που θα αναπαριστά τη (4. - 3) καλείται quantum register ή quregister, σε αναλογία με τους κλασσικούς registers που είδαμε στο μέρος. Μια οπτικοποίηση ενός qu-register με σφαίρες Bloch σε τανυστικό γινόμενο φαίνεται στο σχήμα Σχήμα 4.. Ένας quregister σαν τανυστικό γινόμενο από σφαίρες Bloch. [Άσκηση 4. - : Επιβεβαιώστε ότι η μήτρα j σχέσης (4. - ) περί τον j άξονα, με j=x, y, z. ] ισοδυναμεί με στροφή κατά π της κατάστασης Q της Σχήμα 4.β. Οι καταστάσεις του πίνακα.3 επί της σφαίρας Bloch. ημειώστε ότι από την (4. - ) έχουμε Q = Q Q = cos( ) cos ( θ ) θ sin ( ) θ eiφ cos( ) θ sin ( θ ) e-iφ sin ( θ ) (4. - 4) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 98/6

4 στη βάση {, }. Σο πολύ σημαντικό είναι ότι η τελευταία σχέση μας οδηγεί στην εξίσωση 5 Q = Q Q = ( + α ) (4. - 5) όπου α = (α x, α y, α z ), α =, ένα κλασσικό άνυσμα μέτρου μονάδας (οπότε και τώρα έχoυμε δύο ελεύθερες παραμέτρους, όπως είχαμε πριν τα θ και φ), και = ( X, Y, Z ) η τριάδα των πινάκων του Pauli (βλέπε σχέση (.8 - ) για τον ορισμό της πράξης ). Σο άνυσμα α καλείται άνυσμα Bloch. Η ισότητα των (4. - 4) και (4. - 5) συμβαίνει διότι η (4. - 5) αναπτύσσεται ως Q = Q Q = +α z α x +i α y α x -i α y -α z (4. - 6) και οι δύο μήτρες (4. - 4) και (4. - 6) είναι ίσες αν επιβάλουμε κάποιες απλές σχέσεις στις συνιστώσες του α: α x = α x (θ,φ), α y = α y (θ,φ), α z = α z (θ,φ), όπως π.χ. α z = cos(θ). [Άσκηση 4. - : Βρείτε τις άλλες δύο σχέσεις.] Παρατηρείστε εν τάχει κάτι που θα ξανασυζητήσουμε αργότερα: = Q Q =Tr( Q) =Tr( ( +α )) = Tr + Tr( (α )) =α (4. - 7) Δηλαδή, η ποσότητα α είναι η αναμενόμενη τιμή του ανυσματικού τελεστή. Ας μην τον πούμε αποκλειστικά «τελεστή του σπιν», διότι η φυσική ιδιότητα που θα αναπαριστούν οι ιδιοτιμές του, μπορεί να μην σχετίζονται με την ιδιοστροφορμή (θυμηθείτε για παράδειγμα τα δύο διαμερίσματα του κιτίου στην άσκηση του κεφαλαίου.9.). Αποδείξτε, για διασκέδασή σας, αλλά και για να αποκτήσετε εξοικείωση με τον τελεστή, τη φοβερή σχέση 5 ημειώστε επίσης ότι και κάθε x χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί ως = /h ( ) Ψ + Ω περίπτωση καλείται άνυσμα Rabi., όπου το Ω σε αυτή τη ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 99/6

5 (a ) (b ) = (a Σ b) + i (axb). (4. - 8) Η απόδειξη της (4. - 8) χρειάζεται τις σχέσεις μετάθεσης και αντιμετάθεσης των α: [ α, β] = i ε αβγ γ και (4. - 9) α β + α β = δ αβ. (4. - ) Με βάση τη σχέση (4. - 8) έχουμε (μεταξύ πολλών άλλων) για παράδειγμα Q= 4( + α +α +α α ) = 4 ( +α +(ασ α) + i(αxα) ) = Q (4. - ) αφού α Σ α = και αxα =. Η σχέση (4. - 5) είναι σημαντική διότι μας ανοίγει τα φτερά στη μηχανική των σφαιρών Bloch. Θα μπορέσουμε έτσι να κάνουμε εύκολα ανέλπιστες γενικεύσεις και να εμβαθύνουμε στη δομή της Q και των γενικεύσεών της, περισσότερο από όσο μπορούμε να φανταστούμε απλά παρατηρώντας τη (4. - ). Παράδειγμα 4. - : Δύο καταστάσεις γράφονται [39]: α = ( + α ) και β = ( + β ) όπου γενικά έχουμε α = α και β = β. Οι ιδιοτιμες του α είναι ( α ) και του β είναι ( β ). Η fidelity, σχέση (3.9-7) μεταξύ των δύο, είναι f( α, β) = ( Tr α β α ) = + ασ β + - α - β. την ειδική περίπτωση που α = και β = τότε έχουμε καθαρές καταστάσεις. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε α = Χ α Χ α και β = Χ β Χ β, και έτσι Χ α Χ β = Tr α β = ( + ασ β ) = f ( α, β), ή αν προτιμάτε, δείτε την τελευταιά ακολουθία ισοτήτων με την αντίστροφη σειρά. 4.. Μηχανική σφαιρών Bloch τις τρεις διαστάσεις (δηλαδή σε σύστημα με χαμιλτονιανή 3 καταστάσεων, όπου το σύστημα καλείται qutrit ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6

6 και όχι qubit), η (4. - 5) γίνεται = 3 ( + 3 α ) (4. - ) όπου το α είναι διάνυσμα οκτώ συνιστωσών, και η ποσότητα αναπαριστά τις οκτώ μήτρες Gell-Mann: =, = i -i, 3 = -, 4 =, 5 = i -i, 6 =, 7 = i -i, 8 = 3 - (4. - 3) Οι μήτρες i ικανοποιούν τις σχεσεις: Tr( i j ) = δ ij, [ i, j] = i C ijk k, και i j + j i = (4/3) δ ij + D ijk k, όπου C ijk και D ijk είναι σταθερές ποσότητες. τις d διαστάσεις (δηλαδή σε σύστημα d καταστάσεων), έχουμε = d ( + f(d) α ) (4. -4) όπου το α είναι (d -)-διάστατο, η f(d) είναι απλή συνάρτηση του d και οι μήτρες ικανοποιούν την άλγεβρα Lie του (d). είναι dxd μήτρες που Έστω ότι τώρα έχουμε τρεις καταστάσεις Q, Q και Q 3. Βεβαίως κατά τα γνωστά θα έχουμε τρεις Qi που για απλότητα γράφουμε,, 3 και τα αντίστοιχα α, α και α 3. ημειώστε ότι για την συζήτηση αυτή δεν μας ενδιαφέρει το d, το οποίο μπορεί να είναι, μπορεί να είναι και μεγαλύτερο. Για απλότητα των πράξεων πάντως, διαλέγουμε σε ότι ακολουθεί d =. Έστω λοιπόν, ότι η κάθε Q i, έχει συσχετισμένη μια κλασσική πιθανότητα p i, (με p + p + p 3 = ), οπότε έχουμε μία συνολική στη λογική της μικτής κατάστασης ως ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6

7 = p Q Q + p Q Q + p 3 Q 3 Q 3 = p + p + p 3 3 (4. - 5) Η έτσι όπως ορίστηκε μπορεί να αντιστοιχίσει σε ένα δικό της άνυσμα Bloch α ως α = p α + p α + p 3 α 3 (4. - 6) Εισάγουμε τώρα μια ποσότητα που καλείται περίμετρος P, ως P := α - α + α - α 3 + α 3 - α = 6 - (α T α + α T α 3 + α 3 T α ) (4. - 7) Σχήμα 4.3. Η περίμετρος P, για τρία δικαστασιακά ανύσματα. Όταν d=, τότε, Q Q = σημαίνει ότι οι δύο καταστάσεις είναι πάντα ακτινικά αντίθετες στον ίδιο παράλληλο επί της σφαιρας Bloch. Συνεπώς, τρεις καταστάσεις μέγιστα «καθετο-ποιημένες», βρίσκονται στην ίδια μέγιστη κυκλική διατομή (φ -φ =), όμως δεν θα έχουν ποτέ Q i Q j =, αλλά Q Q = cos(θ / - θ /) = cos(π/3) = - /. Άρα, Q max = 3/4 και P max =9. [Άσκηση 4. -3: Κάντε τις πραξεις]. Η ποσότητα P μας λέει πόσο διαφέρουν κατά μέσο όρο οι τρεις καταστάσεις. Όσο πιο ορθογώνιες είναι τόσο μεγαλύτερο είναι και η P. Η τελευταία πρόταση μπορεί να δειχθεί ως εξής Q := Q Q + Q Q 3 + Q 3 Q = Tr + Tr 3 + Tr 3 = + α Σ 3 α = 3 - P 4 = ( + ασ α ) + ( + ασ α ) 3 + ( ) (4. - 8) Εάν οι καταστάσεις ταυτίζονται, τότε έχουμε Q min = 3 και συνεπώς P min =. Εάν οι καταστάσεις είναι όσο το δυνατόν πιο ορθογώνιες τότε έχουμε Q max = 3/4 και P max = 9. Σο P max = 9 προκύπτει από τη περίμετρο του μέγιστου ισόπλευρου τριγώνου εντός της σφαίρας, δηλαδή εντός ενός μέγιστου κύκλου (αυτό το ισόπλευρο ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6

8 σπάει σε τρία ισοσκελή με κοινή κορυφή το κέντρο της σφαίρας, στη κορυφή έχουμε μοίρες, και από το θεώρημα του συνημίτονου προκύπτει άμεσα το 3 για το μήκος της βάσης του κάθε ισοσκελούς, οπότε 3 x 3 =9). [Άσκηση : δείξτε το.] Ας θεωρήσουμε τώρα όχι τρεις, αλλά t ισοπίθανες καταστάσεις (με p i =/t δηλαδή). Πάντα d =. Πάντα θα έχουμε μία που θα ορίζει τη γενική μικτή κατάσταση. Η κατάσταση αυτή έχει μία Von Neumann εντροπία ίση με (βλέπε σχέση (.3-34)): S( ) = -Tr( ln ). (4. - 9) Για να βρούμε πόση είναι αυτή και πως σχετίζεται με τη περίμετρο, θα πρέπει να διαγωνοποιήσουμε τη, να βρούμε δηλαδή τις ιδιοτιμές της. Αν π.χ. οι ιδιοτιμές της είναι χ + και χ -, τότε, πολύ απλά θα έχουμε S = -χ + ln χ + - χ - ln χ - (4. - ) Σώρα, θα έχουμε α = (α + α α t )/t (4. - ) και θα έχουμε για τις ιδιοτιμές: χ = α = ( ) ασ α (4. - ) Επειδή τώρα α Σ α = (t + α α + α α α t- α t )/t = t - P t (4. - 3) λαμβάνουμε S = - + t - P t ln + t - P t - - t - P t ln - t - P t (4. - 4) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 33/6

9 το παρακάτω σχήμα φαίνεται η σχέση μεταξύ εντροπίας και περιμέτρου στις δύο διαστάσεις για t=3. ε παραπάνω διαστάσεις τα πράγματα μπερδεύονται. S P Σχήμα 4.4. Η σχέση εντροπίας και περιμέτρου επι της σφαίρας Bloch. Εδώ d = και t = 3. Οι t καταστάσεις είναι ισοπίθανες και P max =9. Είναι ενδιαφέρον ότι η εντροπία μιας μικτής κατάστασης σχετίζεται με μια αύξουσα συνάρτηση μίας κατάλληλα ορισμένης περιμέτρου (ακόμη και αν η περίμετρος δεν ανήκει σε «φυσικό» αντικείμενο). Μας θυμίζει αυτό την εντροπία Bekenstein-Hawking μιας μαύρης τρύπας S = 4 c 3 h/g A = 4 Α l P (4. - 5) όπου A είναι η επιφάνεια της μαύρης τρύπας και l P το μήκος Plank. Ενώ όμως η σχέση Bekenstein-Hawking ίσως ξεκαθαρίζει κάπως από την «ολογραφική αρχή» του Gerard t Hooft (περί τα 994) που λέει ότι η πληροφορία μιας φυσικής κατάστασης στο εσωτερικό μιας περιοχής μπορεί να αναπαρασταθεί επί του συνόρου αυτής της περιοχής και περιορίζεται από την επιφάνεια αυτού του συνόρου, η σχέση εντροπίας και περιμέτρου (4. - 4), παρότι ενδιαφέρουσα, είναι μάλλον συμπτωματική. 5 5 Διακοπή για τροχαδάκι εδώ. Η πληροφορία και οι μαύρες τρύπες είναι ένα τεράστιο θέμα. Θα το αγγίξουμε στο μέρος 6 του βιβλίου. Η ιστορία έχει ως εξής: Μια επιφάνεια Α δεν έχει άπειρη διαμέριση, αλλά υπάρχει κατώτατη μονάδα επιφανείας, Α, το τετράγωνο του μήκους Plank. Άρα, υφίστανται, στις n = Α/Α θέσεις της επιφάνειας της μαύρης τρύπας, κβαντικές οντότητες που δύνανται να αποθηκεύσουν πληροφορία. Οι οντότητες αυτές είναι qubits, και πιο ακριβέστερα κατάλληλες αναπαραστάσεις των ιδιοανυσμάτων του τελεστή επιφάνειας (στα πλαίσια της κβαντικής βαρύτητας). Επειδή μια ομάδα n qubits έχει εκθετικά εκρηγνυόμενη ικανότητα αναπαράστασης πληροφορίας ( n ), και επειδή η μονάδα επιφάνειας Plank είναι μια ικανά μικρή ποσότητα, αρχίζουμε να συνειδητοποιούμε τον πολύ μεγάλο όγκο πληροφορίας που μια μαύρη τρύπα μπορεί να «αποθηκεύσει» στην επιφάνειά της. (Μια μαύρη τρύπα διαμέτρου mm δίνει n 64 ). ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 34/6

10 Επειδή η που αντιστοιχεί σε μία Χ δεν αποτελείται από ποσότητες που θα μπορούσαν οι πειραματικοί να μετρήσουν κατ ευθείαν στο εργαστήριο, τίθεται το ζητούμενο: να βρεθεί μία αναπαράσταση της Χ που να είναι άμεσα συσχετίσιμη με μετρήσιμα δεδομένα. Για κβαντικά συστήματα με πεπερασμένο πλήθος ενεργειακών επιπέδων, όπου η διάσταση d του αντίστοιχου χώρου Hilbert είναι πεπερασμένη, το άνυσμα Bloch είναι μία καλή αναπαράσταση της Χ. Αν i (i =,, 3,, d -) λοιπόν είναι οι ορθογώνιοι γεννήτορες της..4.ε σχετικά) τις σχέσεις: (d), που ικανοποιούν (βλέπε κεφάλαιο i+ = i (4. - 6) Tr( i ) = (4. - 7) Tr( i + j) = δ ij (4. - 8) και αφού οι i μαζί με την αποτελούν βάση για το χώρο των γραμμικών τελεστών, ένας τελεστής πυκνότητας μπορεί να γραφεί: = d - ( ) d Tr( ) + Tr( i) i = i = d + d - i = i i (4. - 9) όπου έχει γίνει χρήση της Tr( ) = και Tr( i) = i. Από φυσική άποψη αυτό σημαίνει ότι χρειάζεται μόνο να ξέρουμε τις αναμενόμενες τιμές των i για να καθορίσουμε την κατάσταση (τον τελεστή πυκνότητας). Αξίζει να σημειώσουμε πριν προχωρήσουμε ότι η ιδιότητα (4. - 6) επάγει ότι τα i είναι παρατηρήσιμα, η (4. - 7) ότι τα i και το είναι κάθετα, ενώ ο (4. - 8) ότι τα i είναι κάθετα μεταξύ τους. Επίσης, τα i είναι γεννήτορες της (d), αφού κάθε μήτρα (d) «γεννιέται» από τα i με βάση τη σχέση: = exp i d - j = u j j με u j. (4. - 3) Και τώρα πίσω στη. Αφού λοιπόν όλα τα i μπορούν να δώσουν την κατάσταση (το τελεστή πυκνότητας), μπορούν αυτά τα ίδια να ορίσουν ένα άνυσμα που θα αναπαριστά πλήρως τη κατάσταση. Αυτό το άνυσμα ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 35/6

11 είναι το άνυσμα Bloch, β, β d - με στοιχεία β = β β β d - = d- (4. -3) Έτσι β και είναι πλήρως ισοδύναμα μέσω της σχέσης: = d - d + β i i = i = d + d β (4. - 3) Παρόλο που αυτός ο ορισμός του β είναι απλός, ο προσδιορισμός της υπερσφαίρας, πιο σωστά της πολλαπλότητας που ανήκει, δεν είναι εύκολη υπόθεση και η δομή συστημάτων με πολλά ενεργειακά επίπεδα είναι πολύ πιο περίπλοκη υπόθεση από ότι είδαμε για τα δι-επίπεδα συστήματα, που εκεί ο χώρος είναι η σφαίρα Bloch. Σο πιο σημαντικό σημείο του ανύσματος Bloch είναι ότι αποτελείται από πειραματικά δεδομένα. Για περισσότερες πληροφορίες μπορεί κανείς να ανατρέξει στα [9-3] Τι είναι λοιπόν ένα qubit; Σι είναι λοιπόν ένα qubit; Ένα qubit στην ουσία ορίζεται διαμέσου του τρόπου με τον οποίο κάποιος μπορεί να λάβει πληροφορία από αυτό, και για τον έλεγχό του αλλά και για τη μέτρησή του. Σα qubits συνήθως σχετίζονται με τελεστές που περιγράφονται από τις τυπικές μήτρες του Pauli, που ικανοποιούν τις (4. - 9) και (4. - ). Αυτή είναι όμως μία περιορισμένη θέαση των πραγμάτων διότι υπάρχουν πολλές αναπαραστάσεις της (). Η αναπαράσταση διαστάσεων είναι αυτή των πινάκων Pauli. Τπάρχει όμως και τρισδιάστατη [3], η [3] = [3] = i -i i = ( ) + 6 ( α) -i = ( ) + 7 ( β) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 36/6

12 3[3] = - = ( γ) όπου οι μήτρες i είναι εδώ οι μήτρες Gell-Mann. [Άσκηση : Αυτό που λέμε παραπάνω είναι ότι οι ( ) ικανοποιούν τις (4. - 9) και (4. - ). Δείξτε λοιπόν, για παράδειγμα ότι [ [3], [3] ] = i 3 [3]. ] Όπως λοιπόν γράφουμε [] = ( + α [] ) ( ) έτσι μπορούμε και να γράψουμε (το α πάντα άνυσμα στις τρεις διαστάσεις): [3] = 3 ( + α [3] ) ( ) Κάθε χειρισμός της [] δισδιάστατη αναπαράσταση της (). μπορεί να βρει μίμηση 5 στη [3]. Ένα qubit είναι σαφώς κάτι πολύ παραπάνω από τη Παρόλο που η φράση αυτή λέει ότι το d=3 «καλύπτει» το d=, θα δούμε ανακλάσεις αυτής της φράσης όταν αργότερα, στους κβαντικούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων, θα κωδικοποιούμε λογικά qubits της d= σε παραπάνω από ένα φυσικά qubits ώστε να κάνουμε τα λογικά qubits ανθεκτικά σε παραμορφώσεις (βλέπε π.χ παράγραφο 4..6, για έναν τέτοιο 3-qubit κώδικα). [Άσκηση : Έστω ότι ένα qubit είναι στη κατάσταση, και μετράμε το παρατηρήσιμο Φ. Ποια είναι η μέση τιμή του Φ; Ποια είναι η αβεβαιότητα του Φ; ] [Άσκηση : Έστω ένα μοναδιαίο διάνυσμα α (με α =). Η ποσότητα α καλείται καμμιά φορά «μέτρηση του σπιν κατά την διεύθυνση α». (α) Δείξτε ότι οι ιδιοτιμές του τελεστή α είναι πάντα, όποιο 5 Ένα παρατηρήσιμο μέγεθος στην -διάστατη αναπαράσταση είναι το [] = m + m [] (βλέπε π.χ. σχέση με άνυσμα Rabi). Η μέση τιμή του είναι: Tr( [] [] ) = m +m T α. Για την 3-διάστατη αναπαράσταση μπορούμε να ορίσουμε το παρατηρήσιμο [3] = m + (3/4) m [3] με μέση τιμή και πάλι Tr( [3] [3] ) = m +m T α. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 37/6

13 και αν είναι το μοναδιαίο α. (β) Δείξτε επίσης ότι οι ποσότητες := ( α ) είναι οι προβολικοί τελεστές στους αντιστοιχούντες ιδιοχώρους των ιδιοτιμών. ] [Άσκηση : Τπολογίστε την πιθανότητα p(+) λήψης του αποτελέσματος + μετά από μέτρηση του α (με α =), με δεδομένο ότι η αρχική κατάσταση είναι η κατάσταση. Ποια είναι η κατάσταση του συστήματος μετά την λήψη του αποτελέσματος της μέτρησης; ] ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 38/6

14 Κεφάλαιο 4.3 Η τετραγωνική ρίζα της άρνησης και άλλες κβαντικές λογικές πύλες 4.3. Υπολογισμοί σε ένα qubit και η φοβερή μοναδιακότητα Πως μπορεί κάποιος να πραγματώσει υπολογισμούς επί των qubits; Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση f που με είσοδο το αριθμό (ή τη συμβολοσειρά) i i i 3...i n δίδει σαν έξοδο τον αριθμό f(i i i 3...i n ), δηλαδή f: i i i 3...i n f(i i i 3...i n ), από τα n qubits στα n qubits. Ουσιαστικά, θέλουμε το φυσικό σύστημα που χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση των qubits να εξελιχθεί με κάποιο τρόπο ως: Χ = i i i 3...i n i i i 3...i n = f(i i i 3...i n ) = Χ (4.3 - ) με τη πάροδο κάποιου πεπερασμένου χρονικού διαστήματος t. τη περίπτωση του ενός qubit, βλέπουμε στο σχήμα 4.5 τι σημαίνει ακριβώς ένας «υπολογισμός για ένα qubit». Κατά μία προσέγγιση είναι μια «στρέψη της κατάστασης Χ του φυσικού συστήματος επί της μοναδιαίας σφαίρας σε μια νέα θέση Χ. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 39/6

15 Σχήμα 4.5. Αναπαράσταση ενός κβαντικού υπολογισμού. Προσοχή βέβαια στο ότι το σχήμα 4.5 είναι περιγραφικό, διότι οι γενικές Χ και Χ πολλών qubit ανήκουν σε υπερσφαίρα Bloch. Πρέπει λοιπόν να βρούμε τη χαμιλτονιανή που θα παράγει αυτή την εξέλιξη μέσω της εξίσωσης του Schrödinger (4. - 4). Πρέπει δηλαδή να βρούμε την ξέροντας τη. Λύση για την υπάρχει πάντα, αν η είναι μοναδιακή. Πρέπει κανείς να προσέξει το θέμα της μοναδιακότητας. Σο κβαντικό ανάλογο μιας κλασσικής πράξης θα είναι μοναδιακό εάν η f είναι ένα-προς-ένα, ή αντιστρέψιμη. Άρα, αντιστρέψιμες κλασσικές συναρτήσεις μπορούν να υλοποιηθούν από φυσικές χαμιλτονιανές. Έχει επίσης αποδειχθεί ότι κάθε κλασσική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως μία αντιστρέψιμη συνάρτηση χρησιμοποιώντας λίγα παραπάνω bit. Επιπλέον, αν η f μπορεί να υπολογισθεί κλασσικά με (πολυωνυμικά πολλά) στοιχειώδη αντιστρέψιμα βήματα, τότε η αντίστοιχη είναι επίσης αποδομήσιμη σε μια ακολουθία (πολυωνυμικά πολλών) στοιχειωδών μοναδιακών μετασχηματισμών. Άρα, τα κβαντικά συστήματα μπορούν να μιμηθούν όλους τους κλασσικούς υπολογισμούς. τοιχειώδεις μοναδιακές πράξεις σε qubits καλούνται «κβαντικές λογικές πύλες». Για παράδειγμα, εάν ένα qubit εξελίσσετε ως Αν τότε Αν τότε e iωt (4.3 - ) τότε, μπορούμε να πούμε ότι, μετά από χρόνο t, η πράξη ή η κβαντική λογική πύλη (θ) = iθ (4.3-3) e έχει τελεστεί επί του qubit με θ = ωt. Αυτό μπορεί επίσης να γραφεί ως (θ) := + e iθ (phase shift) (4.3-4) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6

16 και να αναπαρασταθεί το ισοδύναμο «κύκλωμα», γραφικά, όπως στο σχήμα 4.6. Σχήμα 4.6. Γραφική αναπαράσταση του «κυκλώματος» της πρώτης σημαντικής κβαντικής λογικής πύλης που συναντούμε, της πύλης phase-shift. Σημειώστε τη σχηματική απόδοση χώρου και χρόνου στο σχήμα. Επίσης: α {,}. Γενικά, μία Κβαντική Λογική Πύλη είναι μία «συσκευή» που τελεί μία δεδομένη μοναδιακή πράξη σε επιλεγμένα qubits σε μία δεδομένη πεπερασμένη χρονική περίοδο, ενώ ένα Κβαντικό Δίκτυο Πυλών είναι μία συσκευή αποτελούμενη από κβαντικές λογικές πύλες των οποίων τα υπολογιστικά βήματα είναι συγχρονισμένα. Οι έξοδοι κάποιων εκ των πυλών του δικτύου διασυνδέονται με «καλώδια» με κάποιες εισόδους άλλων πυλών. Σο μέγεθος του δικτύου παρέχεται από το πλήθος των πυλών που εμπεριέχει. Μερικές άλλες στοιχειώδεις κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα μόνο qubit, είναι οι: := + = = (ταυτότητα) (4.3-5) και := + = = (άρνηση, NOT) (4.3-6) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6

17 Σχήμα 4.7. Γραφική αναπαράσταση της κβαντικής λογικής πύλης. Επίσης: α {,}. Η κβαντική NOT πηγαίνει το στο και το στο και έτσι είναι ανάλογη της κλασσικής ΝΟΣ. Η πύλη αυτή καλείται και, διότι είναι η πρώτη μήτρα του Pauli που παραδοσιακά σχετίζεται με την καρτεσιανή διάσταση x. Προτού προχωρήσετε πρέπει να καταλάβετε πολύ καλά γιατί ονομάζουμε τον τελεστή και «πύλη NOT». Προφανώς όλη η ουσία βρίσκεται στο κβαντικό τελεστή και όχι στο τι γράφουμε μέσα στις ετικέτες των ιδιοανυσμάτων του. Συχαίνει όμως με έξυπνη, και όχι τυχαία έξυπνη, επιλογή των ετικετών, να «πραγματώνουμε» επί των ετικετών την κλασσική πύλη NOT. [Άσκηση : Δείξτε το αυτό όσο πιο αναλυτικά νιώθετε ότι πρέπει]. Μια πολύ ενδιαφέρουσα παραλλαγή στο θέμα της άρνησης, που όμοια της δεν υπάρχει κλασσικά, είναι το εξής. Κβαντικά μπορούμε να ορίσουμε μία πύλη, που ούτε λίγο ούτε πολύ είναι η τετραγωνική ρίζα της άρνησης: := +i -i -i +i (τετραγωνική ρίζα της άρνησης) (4.3-7) Αφού ( Υ ) = Υ (4.3-8) Βλέποντας τον πίνακα. του πρώτου μέρους, είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η τετραγωνική ρίζα της άρνησης ταυτίζεται με τη μήτρα μετασχηματισμού από την κεκλιμένη βάση στη βάση στρέψης. Μια φιλοσοφικότερη θέαση της μας θυμίζει την (. - 73) και πως εκεί επεκτείναμε τους πραγματικούς αριθμούς προς τους μιγαδικούς με τη εισαγωγή και χρήση της τετραγωνικής ρίζας του -, τη τετραγωνική ρίζα της απλούστερης δηλαδή άρνησης: της αρνητικής μονάδας! Και εδώ, η κβαντική λογική μας δίνει τέτοιες αναπάντεχες επεκτάσεις της κλασσικής λογικής. Μια πολύ σημαντική πύλη είναι η ακόλουθη: ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 3/6

18 := (( ) ) + +( ) - = = - = ( + 3 ) (Haddamard, Beam-Splitter, στροφή) (4.3-9) Σχήμα 4.8. Γραφική αναπαράσταση της κβαντικής λογικής πύλης Haddamard. Βλέποντας τον πίνακα. του πρώτου μέρους, είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι ο τελεστής του Haddamard ταυτίζεται με τη μήτρα μετασχηματισμού από την XY-βάση στη κεκλιμένη βάση. τα σχήματα 4.9α και 4.9β παρακάτω, φαίνονται διάφορες φυσικές όψεις του μετασχηματισμού Haddamard. Σχήμα 4.9. Φυσικές όψεις του μετασχηματισμού Haddamard. [Άσκηση : την πειραματική υλοποίηση της κβαντικής υπολογιστικής με τεχνικές πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού (NMR), η πύλη Hadamard, υλοποιείται ως στροφή π περί τον άξονα ( ^x + ^z ) /. Δείξτε για ποιο λόγο κάτι τέτοιο είναι δυνατό. ] Άλλες δύο σημαντικές πύλες, πολύ στενά δεμένες με τις μήτρες του Pauli: := = - = - = 3 (phase shift π, (π)) (4.3 - ) ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 33/6

19 := = - = - = -i (4.3 - ) [Άσκηση 4.3-3: Δείξτε όλες τις παραπάνω ισότητες]. Παρατηρήστε ότι με τις και μπορούμε να κατασκευάσουμε και τις και. Αυτό θα αποδειχθεί πολύ χρήσιμο αργότερα, όταν θα συζητήσουμε τους κβαντικούς κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων (QECC quantum error correcting codes). ημειώστε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός κβαντικών στοιχειωδών λογικών πυλών σε αντίθεση με την κλασσική υπολογιστική όπου μόνο δύο λογικές πύλες είναι επιτρεπτές για ένα μόνο bit: η ταυτότητα και η λογική άρνηση (ΝΟΣ). Οι πύλες και μπορούν να συνδυαστούν στο σειριακό κύκλωμα της ακόλουθης ακριβούς μορφής: (φ+π/) (θ), το οποίο μπορεί να δώσει τη γενική κατάσταση του ενός qubit: Q =e iθ (cosθ +sinθ e iφ ). Σχήμα 4.. Παραγωγή της σχέσης (4. - ). Η αρχική κατάσταση είναι η. Η συνολική φάση δεν μας ενοχλεί. Αν μάλιστα βάζαμε τη πύλη (θ) αντί της (θ) θα παίρναμε ακριβώς την (4. - ). Άρα, οι πύλες και μπορούν να παράγουν κάθε μοναδιακό μετασχηματισμό ενός μόνο qubit. ημειώστε τέλος ότι =, =, =. (4.3 - ) και ότι οι πύλες του συνόλου {,,, } σχηματίζουν ομάδα κάτω από τον πολλαπλασιασμό. ΕΚΔΟΗ.Α-, Μαίου. 34/6

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστη κβαντική επιτάχυνση: ο αλγόριθμος έρευνας του Grover

Βέλτιστη κβαντική επιτάχυνση: ο αλγόριθμος έρευνας του Grover δ Μια συζήτηση της ισχύος του αλγορίθμου εύρεσης περιόδου Η δύναμη του αλγόριθμου εύρεσης της περιόδου σε μια πρώτη ματιά φαίνεται να είναι τρυκ. «Δεν είναι καθαρό πως ο κβαντικός υπολογιστής βρίσκει την

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή... 11 Δύο λόγια για το Διδάσκοντα... 1 Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Κεφάλαιο 1: Κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων...17 1.1 Το κβαντικό κέρμα... 17

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

CoveX: Quantum Circuit Simulator

CoveX: Quantum Circuit Simulator Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Μάρτιος 2015 Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Περιεχόμενα 1 Κβαντική Πληροφορία 2

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ :

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ : ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2016-2017 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : B ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 06.06.2017 ΥΠ.

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4. Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

P(n 1, n 2... n k ) = n 1!n 2! n k! pn1 1 pn2 2 pn k. P(N L, N R ) = N! N L!N R! pn L. q N R. n! r!(n r)! pr q n r, n! r 1!r 2! r k!

P(n 1, n 2... n k ) = n 1!n 2! n k! pn1 1 pn2 2 pn k. P(N L, N R ) = N! N L!N R! pn L. q N R. n! r!(n r)! pr q n r, n! r 1!r 2! r k! Ασκήσεις Πιθανοτήτων - Στατιστικής Πρόβλημα 1 (Η Πολυωνυμική Κατανομή). Στο πρόβλημα αυτό θα μελετήσουμε μία γενίκευση της διωνυμικής κατανομής που συναντήσαμε στο μάθημα. Συγκεκριμένα, θα δούμε τί συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.2 Πόλωση φωτονίου και επαφή με τις πρώτες κβαντικότητες

Κεφάλαιο 1.2 Πόλωση φωτονίου και επαφή με τις πρώτες κβαντικότητες Κεφάλαιο.2 Πόλωση φωτονίου και επαφή με τις πρώτες κβαντικότητες.2. Πολωμένα κύματα Για το επίπεδο κύμα, λοιπόν, της παραγράφου.., επιστρέφοντας στο φως, μπορούμε να γράψουμε για τα μέτρα των συντεταγμένων

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Proslipsis.gr ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό αντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας

2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας . Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η μονάδα της κβαντικής πληροφορίας που είναι το κβαντικό t (utum t). Θα περιγραφούν φυσικά συστήματα τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή : ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1

Οδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1 ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: Να απαντήσετε και στα δέκα (10) θέματα του μέρους Α. Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες (5/100).

ΜΕΡΟΣ Α: Να απαντήσετε και στα δέκα (10) θέματα του μέρους Α. Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες (5/100). ΑΝΙΤΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 017-018 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: Β ΜΕΡΟΣ Α: Να απαντήσετε και στα δέκα (10) θέματα του μέρους Α. Θέμα 1. Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες (5/100). Να κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί Υπολογιστές

Κβαντικοί Υπολογιστές ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κβαντικοί Υπολογιστές Εισαγωγή και προσομοίωση του Κβαντικού Μετασχηματισμού Fourier Αλέξανδρος Ρίσης ΑΕΜ: 872 Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση N B P Y T ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 9 5 Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση - y y h + O x Ω + O V x υ a Σχήμα : Το σύστημα με τους δύο παρατηρητές του φαινομένου

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα