UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

Transcript

1 UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Đuričić Jelea PRIMJENA KONTURNIH DESKRIPTORA U PRETRAŽIVANJU BAZA SLIKA diplomski rad Baja Luka, septembar 27.

2 UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Đuričić Jelea Primjea koturih deskriptora u pretraživaju baza slika diplomski rad Baja Luka, septembar 27.

3 Tema: Primjea koturih deskriptora u pretraživaju baza slika Ključe riječi: Deskriptori oblika Digitala obrada slike Komisija: prof. dr Slavko Marić, predsjedik prof. dr Zdeka Babić, metor mr Vladimir Risojević, čla Uz rad prilože je CD sa tekstom rada i prilozima Kadidat: Đuričić Jelea

4 UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET KATEDRA ZA OPŠTU ELEKTROTEHNIKU Tema: Primjea koturih deskriptora u pretraživaju baza slika Zadatak: Dati pregled deskriptora oblika koji se koriste u pretraživaju baza slika. Detaljo opisati Fourierove i wavelet deskriptore oblika. Realizovati program u MATLAB-u koji, a osovu zadatog oblika, omogućava pretraživaje baza slika primjeom Fourierovih i wavelet deskriptora račuatih a osovu različitih sigatura oblika: kompleksih koordiata, cetroide distace, kurvature i kumulative ugaoe fukcije. Napraviti statističku aalizu odabraih deskriptora Metor: prof. dr Zdeka Babić Kadidat: Đuričić Jelea (78/97) Bajaluka, septembar, 27.

5 SADRŽAJ LISTA SKRAĆENICA UVOD PRONALAŽENJE SLIKA NA OSNOVU OBLIKA Koturi deskripotri Normalizacija broja tačaka koture Sigature oblika Mjere sličosti FOURIEROVI DESKRIPTORI Fourierova trasformacija Defiicija Fourierovih deskriptora Osobie Fourierovih deskriptora Traslacija Skaliraje Rotacija Početa tačka Normalizacija FD WAVELET DESKIRPTORI Wavelet teorija Uvod Wavelet trasformacija Diskreta wavelet trasformacija Kratak pregled periodiče wavelet teorije Defiicija Wavelet deskriptora Dekompozicija sigala WT Defiicija Wavelet deskriptora Osobie WD Traslacija Rotacija Skaliraje Normalizacija WD... 38

6 5. STATISTIČKA EVALUACIJA KONTURNIH DESKRIPTORA Grafički iterfejs Statistička evaluacija FD Promjea sigatura Promjea broja tačaka Promjea broja deskriptora Zaključak Statistička evaluacija WD Promjea sigatura Promjea broja tačaka Promjea reda dekompozicije Zaključak ZAKLJUČAK...97 PRILOG 1 - MATLAB FAJLOVI...1 LITERATURA Napomea: Uz rad je prilože CD. Fajlovi se alaze u folderu '\MatLab fajlovi' i folderu '\Excel fajlovi'. Svi primjeri pokreću se preko GUI-a Deskriptori.

7 LISTA SKRAĆENICA CBIR FT DFT FD STFT WT CWT DWT WD - Cotet Based Image Retrieval - proalažeje slika a osovu sadržaja - Fourierova trasformacija - Diskreta Fourierova trasformacija - Fourierovi deskriptori - Short Time Fourier Trasformatio - Kratkotraja Fourierova trasformacija - Wavelet trasformacija - Kotiuala wavelet trasformacija - Diskreta wavelet trasformacija - Wavelet deskriptori

8 1. UVOD Zahvaljujući brzom razvoju tehike, daas živimo u multimedijalom svijetu. Slike, video zapisi, dio su aše svakodevice. Za razliku od audio i video zapisa, koji se uglavom koriste za zabavu i vijesti, slike imaju cetralu ulogu u izu aučih disciplia počev od istorije umjetosti do medicie, preko astroomije, meterologije i mogih drugih oblasti. Primjea digitalih slika u svim sferama ljudskog života eprestao se širi. Sve više se fotografije prevode u digitalu formu i kao takve čuvaju i obrađuju. Postupkom odmjeravaja aalogih slika, koji se često aziva digitalizacija, dobijaju se digitale slike. Digitala slika defiiše se kao odmjerea, kvatovaa fukcija dvije varijable koja je geerisaa optičkim sredstvima, odmjerea u jedako razmakutim tačkama i kvatovaa jedakim itervalima amplitude. Prema tome, digitala slika se predstavlja dvodimezioalom matricom kvatovaih vrijedosti [1]. Digitalizovaje fotografija ima iz predosti kako u aučim i istraživačkim prmjeama tako i u svakodevom životu. Pošto se digitale slike predstavljaju matricama, obrada, aaliza, iterpretacija, kompresija i druge vrste maipulacije slikama, svode se a matematičke operacije ad matricama. Pored toga, i sami digitali uređaji postaju kvalitetiji i dostupiji. Razvoj tehologije omogućio je jeftie uređaje visokih performasi koji imaju iz predosti u odosu a klasiče fotografije. Daašji digitali aparati, skeeri i kamere imaju visoke rezolucije i kvalitete boje, a pored toga, i čuvaje takvih fotografija je mogo jedostavije i pregledije. U mogim oblastima geerišu se i koriste veliki broj digitalih slika. Jeda od prvih primjea su daljiske sezorske slike. To su digitale slike dobijee satelitskim mjerejima. Satelitima se sima Zemlja i mjeri refleksija od površie ili atmosferskih slojeva. Takođe simaju se i termale emisije u ifracrveom ili mikrotalasom spektru, i to eki sateliti vrše simaja samo jedog opsega, dok drugi simultao simaju više opsega. U daašje vrijeme, postoji mogo satelita koji obavljaju ovakva simaja. Digitale slike koje oi geerišu koriste se u izu aučih istraživaja, u voje svrhe, meterološke i druge. Sve te slike se moraju arhivirati, obraditi i aalizirati, a s obzirom a jihov broj, to predstavlja zahtjeva zadatak. Nafte kompaije su takođe veliki proizvođači i potrošači digitalih slika. Nafta istraživaja često započiju sa seizmičkim proučavajima, koja se zasivaju a ultrazvučom simaju i mjereju geoloških formacija. Na ovaj ači dobijaju se podaci koji se procesiraju u dvo ili trodimezioale slike. Pored toga, slike se simaju u itervalima, pa se u ovakvim primjeama zahtjeva aaliza, obrada i arhiviraje velikog broj digitalih slika koje sadrže veliku količiu podataka, a osim toga često je potrebo kombiovaje podataka dobijeih iz više izvora. Astroomija je takođe jeda od oblasti koja koristi i obrađuje veliki broj slika. Astroomske slike se dobijaju simajem u različitim opsezima spektra, a tako dobijee slike se međusobo porede i kombiuju da bi smo dobili odgovarajuće iformacije. Zači i astroomija je oblast gdje je potrebo pretraživaje i aaliza velikog broja slika, pa digitale slike već osamdesetih godia preuzimaju primat u ovoj oblasti [2]. 1

9 Biometrička idetifikacija zasiva se a fizičkim osobiama koje su jedistvee za svaku osobu. To uključuje idetifikaciju preko otisaka prstiju, oblika ruke, rasporeda vea a rukama, skeiraja retie, prepozavaja lica itd. Cilj biometričke idetifikacije je proalažeje osobe a osovu određeih fizičkih karakterisitika. Bilo koja od pomeutih metoda sastoji se u poređeju slika a kojima se alaze opisae karakteristike sa slikama iz baze podataka. Digitale slike ovaj posao čie mogo jedostavijim i bržim jer omogućavaju automatsko pretraživaje i poređeje [3]. Još jeda oblast koja koristi digitale slike je medicia. U medicii, veliki broj dijagostičih postupaka zasiva se a aalizi slika. Tu spadaju retgetski simci, CT, ultrazvuče slike, mageta rezoaca, distribucija hemijskih elemeata u orgaima (PET) i moge druge. Digitale slike čie aalizu i iterpretaciju mogo jedostavijom, a veliki izazov je i formiraje baza biomediciskih slika za poređeje i istraživaje različitih oboljeja a osovu sličosti i razlika mediciskih simaka. U posljedje vrijeme visoko kvaliteti sistemi za akviziciju digitalih slika postaju sve više dostupi svakom korisiku. Počev od uređaja za liču upotrebu kao što su digitale kamere i skeeri velike rezolucije, preko profesioalih skeera sa vrlo precizom kalibracijom boje pa sve do kompleksih mediciskih istrumeata kao što su digitala mamografija ili digitali radiološki sezori. Pored akvizicije digitalih slika začaja faktor je i jihova kompresija. Sa povećajem kvaliteta digitalih uređaja povećava se i veličia digitale slike, pa kompresija ima veliku ulogu u arhiviraju. Tehike kompresije možemo podijeliti u dvije kategorije. Prvu čie tehike bez gubitaka. Oe obezbjeđuju taču rekostrukciju origiale slike uz smajeje veličie faktorom 2 ili ajviše faktorom 3. Drugu kategoriju čie tehike kompresije sa gubicima. Oe fajla omogućavaju rekostrukciju eke od aproksimacija origiala bez uošeja vizuele distorzije. Rekostrukcije su, uslovo rečeo eprecize, ali je moguća kompresija faktorom 1 ili više. Pored razvoja softvera i različitih tehika kompresije i razvoj kompjuterskog hardvera zato je uticao a sve veću primjeu digitalih slika. Digitalae slike zauzimaju dosta memorijskog prostora, a pojavom sve više vrsta medija velikog kapaciteta i male cijee, problem memorijskog prostora je zato umaje. Memorija je samo jeda od faktora koji je ograičavao upotrebu digitalih slika. Još jeda začaja faktor je rezolucija video displeja, koja je presuda u izu primjea kao što je medicia gdje se zahtjevaju velike rezolucije (2x2 piksela), visoki kotrasti, veliki diamički opseg i ograičea geometrijska distorzija [2]. Sve više aučih oblasti koristi se digitalim slikama kao sredstvom za rad. Razvoj tehologije učiio je jihovu upotrebu jedostavom i dostupom. Međutim, većia primjea zahtjeva efikaso proalažeje slika uutar baza (kolekcija), pa je prepozavaje i klasifikacija digitalih slika postala jeda od cetralih zadataka. Ovaj problem ije jedostava. Slike aime, po svojoj prirodi e sadrže jedozačo defiisae iformacije. Da bi idetifikacija i klasifikacija bila moguća, eophodo je prethodo defiisati iformacije koje su sadržae a slici. Defiisaje sadržaja slike zovemo ideksiraje ili reprezetacija sadržaja slike. Tehike koje astoje da ideksiraju vizuela obilježja digitalih slika jedim imeom azivaju se proalažeje slika a osovu sadržaja - Cotet-Based Image Retrieval (CBIR). Sve ove tehike teže da proalažeje slika bude a osovu osobia koje se mogu dobiti automatski. Upiti za pretraživaje su podijeljei a tri ivoa zasovaa a složeosti. Prvi ivo čii pretraživaje po osovim karakteristikama- boji, teksturi i obliku. U okviru ovog ivoa, tehike zasovae a boji koriste uglavom kolor histograme i kumulative kolor 2

10 histograme. U ovom postupku svakoj slici koja se dodaje u bazu određuje se kolor histogram koji se čuva uz sliku. Proalažeje odgovarajuće slike iz baze se zasiva a izdvajaju slike sa ajbližim kolor histogramom. Teksture su korise prilikom raspozavaja područja sličih boja (pr. ebo i more). Za mjereje sličosti tekstura u upotrebi su raze tehike kao što su tehike zasovae a periodičosti, direkcioalosti ili alterative tehike koje koriste Gabor filtre i fraktale [4]. Ideksiraje po obliku podrazumjeva izdvajaje kotura objekata, jihovo ideksiraje i poređeje. Upiti drugog ivoa, predstavljaju adogradju prvog ivoa koji pored pretraživaja po osovim karakteristikama uključuju i izvedee logičke osobie. Na taj ači omogućeo je povezivaje pojediih osovih karakteristika da bi se obezbijedila što precizija reprezetacija sadržaja. Treći ivo uključuje dodavaje apstraktih atributa reprezetacijama prva dva ivoa. Dok upiti prvog ivoa predstavljaju osovu CBIR sistema, upiti drugog i trećeg ivoa čie osovu za dalji razvoj CBIR sistema. Cilj ovog rada je aaliza koturih deskriptora u pretraživaju baza slika. U aredoj glavi biće aaliziraa kotura objekta kao osova za koturu deskripciju. Kotura je predstavljea izom koordiata tačaka. Broj tačaka koture zavisi od jeog oblika, rezolucije i dimezija slike. Da bi pretraživaje bilo moguće eophodo je ormalizovaiti koturu a određe broj tačaka. Izbor broja tačaka pri ormalizaciji utiče a dalju obradu, pa je posebo aalizira kroz iz primjera. Nako ormalizacije broja tačaka koture slijedi postupak određivaja sigatura oblika (shape sigatures). Sigaturama oblika zovemo bilo koju jedodimezioalu fukciju koja opisuje dvodimezioali oblik graica. Postoji ekoliko ačia za zapisivaje kotura kao što su: komplekse koordiate, cetroida distaca, krivia, kumulativa ugaoa fukcija itd. Svaka od abrojaih sigatura ima za cilj da a što bolji ači zadrži bite paramatre oblika, a istovremeo eutrališe eke od epoželjih osobia. Izbor sigature takođe utiče a ideksiraje objekta pa će biti izvršea uporeda aaliza različitih sigatura. Kada je objekat opisa sigaturom, može se pristupiti deskripciji. Oa se zasiva a primjei određee trasformacije koja će zadržati osove iformacije o obliku, a istovremeo potisuti "evaže iformacije", tj. biti ivarijata a traslaciju, rotaciju i skaliraje. Postoji mogo različitih koturih deskriptora, a u ovom radu biće aalizirai spektrali deskriptori. Ovi deskriptori su reprezetacija oblika dobijea ekom od spektralih trasformacija sigature. Dva ajčešće korištea deskriptora su Fourierovi i Wavelet deskriptori. Efikasost oba avedea deskriptora biće aaliziraa promjeom parametara. Za Fourierove deskriptore kao parametari aaliziraće se vrsta sigatura, broj tačaka i broj deskriptora, dok kod Wavelet deskriptora za parametare su izabrai sigatura, broj tačaka i red wavelet trasformacije. Da bi odredili efikasost deskriptora izvršiće se jihova statistička procjea. Efikasost će se ispitivati prema sposobosti deskriptora za izdvajaje različitih klasa objekta kao i prema procetu ispravo proađeih slika u bazi. Rezultati su pojediačo sumirai za svaki deskriptor, a a kraju je izvšeo i jihovo međusobo poređeje. 3

11 2. PRONALAŽENJE SLIKA NA OSNOVU OBLIKA Početkom devedestih godia, razvojem Itereta i ovih tehologija za izradu i obradu digitalih slika, dolazi do zatog povećaja broja digitalih slika koje se poizvode u mediciskim, idustrijskim, aučim i drugim oblastima. Samim tim, problem proalažeja odgovarajućih sadržaja uutar velikih baza slika postaje primari problem. Sam razvoj CBIR-a ima korijee već u 7-tim godiama kada se prvi put pojavljuju aplikacije za proalažeje slika prema sadržaju. Te prve aplikacije temeljile su se a tome da je uz svaku sliku u bazi upisa i tekst koji opisuje sadržaj slike. Programi za proalažeje su se zasivali a pretraživaju teksta koji opisuje slike. Ove tehike zovu se text-based image retrieval. Pomoću tekstualih opisa slika, bilo je moguće sortiraje slika prema sadržaju, kategoriji, jedostava avigacija i jedostavi upiti za izdvajaje. Međutim, geerisaje teksta za opis ije moguće izvršiti automatski, pa se ovaj dio posla vršio ručo. Sa povećajem broja i razovrsosti slika koje su svakim daom sve više bile u upotrebi, ove tehike postaju ezadovoljavajuće. Početkom 9-tih godia, prvi put pojavljuju se tehike izdvajaja slika a osovu jihovog vizuelog sadržaja. Kao što je već rečeo, sve ove tehike jedim imeom zovu se CBIR. CBIR koristi vizuela obilježja kao što su boja, oblik ili tekstura da bi predstavio i ideksirao sadržaj slike. Ovim tehikama slike i jihov sadržaj predstavljee su multidimezioalim vektorima obilježja [5]. Ekstrakcija obilježja Kolekcija slika Vizuele osobie Tekstuala aotacija Multidimezioalo ideksiraje Procesiraje upita Iterfej s upita Korisik Slika Arhitektura sistema za proalažeje slika 4

12 Tipiči CBIR sistem prikaza je a Slici 2.1. Kolekcija slika sadrži osove objekte koji služe kao baza za poređeje. Izdvajajem obilježja i smještajem u bazu formira se ova baza koja sadrži vektore koji opisuju odgovarajuće slike. Takođe, uz slike se mogu postaviti i tekstuali opisi koji će se koristiti prilikom pretraživaja i opisivaja. Postupak proalažeja sastoji se u tome da se multidimezioalim ideksirajem sadržaja vrši opis odgovarajućih slika uutar baze i slika koje se pretražuju, a zatim se odgovarajućim upitima a osovu zadatih kriterija izdvajaju i preko iterfejsa korisiku prikazuju dobijei rezultati [2]. Jeda od ključih koraka ovog postupka je izdvajaje obilježja i formiraje multidimezioalih vektora. Obilježja koja se ideksiraju zavise od primjee odoso vrste slika koje se alaze u bazi. Za osova obilježja, boju, teksturu i oblik, razvijee su odgovarajuće tehike koje ih automatski izdvajaju i a osovu jih formiraju multidimezioale vektore - deskriptore. Zbog aglog porasta obima multimedijalih podataka, i sve veće potrebe za jihovim efikasim ideksirajem, pretraživajem i proalažejem, Međuaroda orgaizacija za stadardizaciju (ISO) i Međuaroda komisija za elektrotehiku (IEC) su defiisale Iterfejs za opis multimedijalog sadržaja, pozatog pod imeom MPEG-7 stadard. Ovaj stadard defiiše opis multimedijalih podataka, a jegovi osovi ormativi su deskriptori, deskripcioe šeme, jezik za defiisaje opisa i metode za kodiraje opisa. U vizuelom dijelu MPEG-7 sadarda defiisai su deskriptori boje, teksture, oblika i pokreta. Kao i za ostale deskriptore, i vizuelim deskriptorima u MPEG-7 stadardu ije defiisa ači izdvajaja obilježja kao i upotreba za određivaje sličosti slika, već su samo defiisae sitaksa i sematika kako bi ih aplikacije usklađee sa stadardom mogle dekodirati i obraditi. Što se tiče deskriptora oblika MPEG-7 defiiše kako 2D tako i 3D deskriptore oblika, dok za reprezetaciju 2D oblika defiiše deskriptore zasove a regiou i deskriptore zasovae a koturi [6] Koturi deskripotri Ideksiraje slika a osovu oblika u posledje vrijeme alazi sve više primjea 1. Razvijee su moge tehike deskripcije koje uzimaju u obzir različite karakteristike oblika pri formiraju deskriptora. Na Slici 2.2 [7] prikazaa je jeda od klasifikacija deskriptora oblika. Po osovoj podjeli deskriptore oblika dijelimo a koture i regioale. Koturi deksriptori formiraju se a osovu zatvoree krive liije koja okružuje objekat - koture objekta, dok regioali uzimaju u obzir područje uutar zatvoree koture. Oba ačia imaju svoje predosti i edostake, a a izbor utiče kokreta primjea. 1 Zaštiti zakovi i logo; Medicia (proalažeje emfisema CT pluća, patološke promjee a zubim simkama, proalažeje tumora...); Baze dokumeata (proalažeje odgovarajućih arhitektoskih crteža, tehičkih, mašiskih crteža i sl.); Policija i zaštita (proalažeje otisaka prstiju u bazi) [2] 5

13 Deskriptori oblika Koturi Regioali Strukturi Globali Globali Strukturi Lačai kodovi Poligoali B-splie Ivarijati mometi Sigature oblika Hausdoffova distaca Fourierovi deskriptori Wavelet deskriptori Elastičo podudaraje Kompaktost Dužia Površia Eulerovi brojevi Geometrijski mometi Zerike mometi Pseudo-Zerike mometi Legre mometi Geeri čki Fourierovi deskriptori Matrica oblika Metoda mreže Ivarijati mometi Covex Hull Sredja osa Jezgro Slika Podjela deskriptora oblika Primjea koturih deskriptora podrazumjeva da posjedujemo iformacije o koturi objekta. Da bi te iformacije dobili sa ulaze digitale slike, potrebo je sliku pripremiti, tako da dobijei podaci budu što tačiji i preciziji. Priprema slike podrazumijeva: biarizaciju - ajjasiju i ajpreciziju koturu dobićemo iz biare slike, jer su za koturu ijase i boje suviše i epotrebe. prigušivaje šuma - prilikom simaja slika, skoro uvijek je prisuta određea degradacija šumom. Bilo da je astao iz mehaičkih razloga, lošeg fokusiraja, osvjetljeosti ili u samom procesu digitalizacije, šum je potrebo prigušiti prije postupka deskripcije. povezivaje graice - postupak biarizacije i prigušivaja šuma, uosi određeu degradaciju samog oblika objekta a slici. Nastaju bjelie i procjepi koji mogu arušiti rub objekta koji je za postupak deskripcije od ključog začaja. Zbog toga se, kao dio pripreme slike, radi i zatvaraje. Zatvaraje slike je morforloški postupak koji popujava izolovae bijele piskele i a taj ači objekat čii kompaktim. Sam postupak zatvaraja je operacija u kojoj dilataciju slijedi erozija istim strukturim elemetom. izdvajaje koture - koturu možemo izdvojiti različitim metodama. Jeda od mogućih ačia je primjeom morfoloških operacija. Rubi pikseli su oi koji imaju ajmaje jeda susjedi piksel sa pozadiom. Erozija jedostavim strukturim elemetom uklaja baš te rube piksele, te se ta čijeica koristi prilikom dizajiraja morfološkog operatora za izdvajaje rubova. Naime, ako od origialog objekta oduzmemo objekat koji smo prethodo podvrgli eroziji, kao rezultat dobijamo rub. 6

14 (a) (b) (c) (d) (e) Slika (a)ulaza slika; (b) Biarizacija; (c) Prigušivaje šuma; (d) Povezivaje; (e) Izdvajaje koture 2 Od izdvojee koture objekta formira se fukcija koordiata. Fukciju koordiata koture predstavlja iz (x,y) koordiata koture, koji formiramo polazeći od proizvolje počete tačke (x,y ) i obilazeći koturu u smjeru kazaljke a satu Normalizacija broja tačaka koture Broj tačaka koture zavisi od složeosti oblika, veličie i rezolucije slike. Za samu deskripciju ije eophodo imati sve tačke koture. Smajivajem broja tačaka ubrzava se postupak izračuavaja deskriptora. S druge strae, prilikom poređeja objekta sa modelom, podrazumijeva se da su obe koture opisae istim brojem tačaka. Zbog svega avedeog broj tačaka koture se ormalizuje a eku uaprijed defiisau vrijedost. Pri tom treba voditi račua da će od broja tačaka koture zavisti koliko detaljo možemo opisati i uporediti objekat. 2 Fajl: Priprema.m 7

15 Geeralo postoje tri metoda za ormalizaciju koture [7] (1) odmjeravaje u jedakom broju tačaka, (2) odmjeravaje jedakim uglovima, (3) odmjeravaje jedakim dužiama. Na Slika 2.4 prikazao je odmjeravaje sa jedakim brojem tačaka koje podrazumjeva da za tačke ormalizovae koture uzimamo tačke origiala koje su međusobo udaljee za isti broj tačaka L/K (L-ukupa broj tačaka koture, K - broj tačaka ormalizovae koture). Slika Normalizacija sa jedakim brojem tačaka Odmjeravaje jedakim dužiama, prikazao a Slika 2.65, podrazumjeva da biramo tačke koje imaju jedako rastojaje d=p/k (P dužia koture, K - broj tačaka ormalizovae koture). (x,y) 7 7 (x 4,y 4) (x,y ) d[(x,y ),(x 4,y 4 )] = d[(x 4,y 4),(x 7,y 7 )]=.. Slika Normalizacija sa jedakim dužiama Na Slika 2.76 prikazao je odmjeravaje jedakim uglovima koje podrazumjeva da biramo tačke koje su udaljee za isti ugao θ=2π/k (K - broj tačaka ormalizovae koture). θ 2 θ1= θ2=... θ 1 Slika Normalizacija sa jedakim uglovima 8

16 Prvi i drugi metod ormalizacije daju sliče rezultate, dok je metod jedakih uglova ešto lošiji. Razlog tome leži u čijeici da birajem tačaka a taj ači postoji mogućost "zaobilažeja" aglih promjea oblika. Na Slika 2.7 prikazai su rezultati ormalizacije primjeom metode jedakih dužia, dok Slika 2.8 prikazuje koturu ormalizovau primjeom metode jedakih uglova. Vidljivo je da bolje rezultate dobijamo prvom metodom. Naime, metoda jedakih uglova daje mali broj tačaka u ravim dijelovima koture tj. dijelovima gdje je mala promjea ugla. 15 Broj tacaka = Broj tacaka = Broj tacaka = Broj tacaka = Slika Normalizacija koture sa jedakim brojem tačaka 3 15 Broj tacaka = Broj tacaka = Broj tacaka = Broj tacaka = Slika Normalizacija koture sa jedakim uglovima 4 3 fajl: ormalizacijaprimjer.m 4 fajl: ormalizacijaprimjer.m 9

17 2.4. Sigature oblika Sigaturom oblika zovemo bilo koju jedodimezioalu fukciju koja predstavlja dvodimezioalu koturu. Prilikom formiraja takve fukcije, cilj je što jedostavije i precizije opisati bite osobie oblika, i ako je to moguće, učiiti sigaturu ivarijatom a traslaciju, rotaciju, skaliraje. Postoje različite fukcije koje mogu predstavljati sigature oblika, a u aredim tačkama biće aalizirae [8,9]: komplekse koordiate cetroida distaca kurvatura kumulativa ugaoa fukcija Komplekse koordiate Fukcija kompleksih koordiata predstavlja jedostavo zapisivaje koordiata rubiih piksela u obliku kompleksog broja. Za koordiate koture (x,y) imamo: () t = x() t iy() t z + Da bi zapis oblika učiili ivarijatim a traslaciju, koriste se pomjeree koordiate: z () t = [ x() t x ] + i[ y() t ] c y c Gdje je (x c,y c ) cetar, koji određujemo kao sredju vrijedost koordiata ruba: x c L 1 L = x c L L t= () t, y = y() t t=, L-broj tačaka ruba Na Slika 2.9(a) prikazaa je kotura pomoću kompleksih koordiata, dok Slika 2.9(b) prikazuje koturu preko cetriraih kompleksih koordiata. (2.1.) (2.2.) (2.3.) 12 Komplekse koordiate 8 Cetrirae komplekse koordiate Imagiara 6 Imagiara Reala Reala (a) (b) Slika Kotura predstavljea pomoću (a) kompleksih koordiata (b) cetriraih kompleksih koordiata 5 5 fajl: sigature.m 1

18 Cetroida distaca objekta. Cetroida distaca je fukcija koja predstavlja udaljeost rubih tačaka od cetra r ( ) 2 2 () t = [ x() t x ] + [ y() t ] c y c 6 Na Slika 2.1 dat je primjer cetroide distace dva objekta. Možemo uočiti da ova fukcija site detalje opisuje VF kompoetama male amplitude, što je koriso jer im a taj ači e daje prevelik začaj. (2.4.) 15 Objekat 1 8 Cetroida distaca objekta 1 y koordiate x koordiate Objekat 2 15 r(t) Odmjerci koture Cetroida distaca objekta 2 8 y koordiate x koordiate r(t) Odmjerci koture Kurvatura Slika Kotura predstavljea preko cetroide distace 7 Koturu možemo predstaviti i preko uglova koje gradi tageta sa koturom. Kurvatura predstavlja drugi izvod ruba i prvi izvod tagete ruba. Kurvatura je defiisaa kao difereciraje sukcesivih uglova tagete ruba u odosu a horizotalu osu račuatih u prozoru širie w. 6 (x c,y c ) koordiate cetra oblika i određujemo ih prema formuli (2.3.) 7 fajl: sigature.m 11

19 K () t = θ () t θ( t 1) gdje je θ () t y = arcta x () t y( t w) () t x( t w) Treba aglasiti da tageta ugaoa fukcija defiisaa izrazom (2.5.) ima diskotiuitete za veličie 2π. Na Slika 2.11 prikazae su kurvature dva objekta. Vidljivo je da kurvaturom domiiraju diskotiuiteti, a jihov broj je maji što je kotura ravomjerija. (2.5.) (2.6.) 15 Objekat 1 4 Kurvatura objekta 1 y koordiate x koordiate Objekat 2 15 K(t) Odmjerci koture Kurvatura objekta 2 4 y koordiate 1 5 K(t) x koordiate Odmjerci koture Slika Kotura prikazaa preko kurvature 8 Kumulativa ugaoa fukcija Zbog edostataka tagete ugaoe fukcije u vidu diskotiuiteta, uvodi se kumulativa ugaoa fukcija ϕ(t). Nju defiišemo sa: () t = [ θ() t θ( ) ] mod( π ) ϕ 2 (2.7.) 8 fajl: sigature.m 12

20 Da bi smo ovu fukciju prilagodili ljudskoj ituiciji da je krug "bez oblika", uvodi se i ormalizovaa ugaoa fukcija ψ(t) koja se defiiše sa: ψ L 2π () t = ϕ t t (2.8.) Slika 2.12 prikazuje kumulative ugaoe fukcije dva objekta. Uočavamo da je rješe problem diskotiuiteta koji su postojali kod kurvature, a pored toga vidimo da kumulativom ugaoom fukcijom, za razliku od cetroide distace, domiiraju VF kompoete. 15 Objekat 1 Kumulativa ugaoa fukcija objekta 1 2 y koordiate 1 5 fi(t) x koordiate Objekat Odmjerci koture Kumulativa ugaoa fukcija objekta 2 2 y koordiate 1 5 fi(t) x koordiate Odmjerci koture Slika Kotura predstavljea kumulativom ugaoom fukcijom 9 9 fajl: sigature.m 13

21 2.5. Mjere sličosti Upiti za pretraživaje baza slika ešto se razlikuju od klasičih upita. Osovi pricip izdvajaja je tzv. izdvajaje a osovu sličosti, gdje korisik postavlja proizvolju sliku kao obrazac za pretraživaje. Na osovu te slike formira se vektor obilježja i dalje se vrši poređeje tog vektora sa vektorima u bazi i prikazuju se dobijei rezultati. Upite a osovu sličosti možemo grupisati u tri osove klase: 1. Proalažeje opsega: traže se sve slike čija je osobia 1 u opsegu r 1, osobia 2 u opsegu r Proalažeje k-ajsličijih susjeda: proalazi se k ajsličijih slika zadatoj slici 3. Uutrašja distaca (ili α-presjek): proaći sve sve slike sa mjerom sličosti boljim od α u odosu a zadatu sliku, ili sve slike sa distacom većom od d u odosu a zadatu sliku Prvi tip upita zahtjeva složei iterfejs kao i kompleksi programski jezik za upite kao što je SQL. Treći tip upita zasiva se a distaci i mjeri sličosti. Mjera sličosti je eegativa fukcija, koja je ograičea odozgo, i daje veće vrijedosti boljim podudarajima. Drugi tip upita zasiva se a mjerama sličosti, koje će biti obrađee u ovom radu.[2] Fukcija distace (metrika) D(, ), koja predstavlja mjeru sličosti, je po defiiciji eegativa, simetriča fukcija koja zadovoljava ejedakost trougla, i ima osobiu da je D(x,y)= ako i samo ako je x=y. Postoji mogo fukcija distaci, a jeda od ajčešće korišteih je Euklidova distaca koja će biti korištea u ovom radu. Euklidova distaca dvodimezioalih vektora x i y defiisaa je sa: (2.9.) Za mjereje efikasosti i tačosti izdvajaja koriste se mjere koje se azivaju precizost i odziv. Pretpostavimo da se u bazi alazi D slika koje zadovoljavaju postavljei kriterij pretraživaja. Neka je pretraživajem izdvojeo ukupo A slika, od čega je C tačih rezultata pretraživaja. Precizost P i odziv R se defiišu sa: (2.1.) 14

22 3. FOURIEROVI DESKRIPTORI 3.1. Fourierova trasformacija Fourierova trasformacija (FT) predstavlja sigal sumom kompleksih ekspoecijalih fukcija. U kotiualom prostoru Fourierov trasformacioi par dat je relacijama: F f + ( u) = f ( x) + ( x) = F( u) e e j 2πux j 2πux dx dx Ako sad pretpostavimo da je f(x) diskreta fukcija, u 1D diskretom prostoru trasformacioi par diskrete Fourierove trasformacije (DFT) dat je sa: F f 1 N ( u) = f ( x) N 1 ; u =,1,2,..., N 1 j N ( x) = F( u) e ; x =,1,2,..., N 1 u= N 1 x= e 2πx j N 2πx gdje je N broj odmjeraka sigala. U opštem slučaju FT je kompleksa fukcija reale varijable (frekvecije) te se može predstaviti amplitudom i fazom karakteristikom. jθ ( u) ( ) = F( u) e F u 3.2. Defiicija Fourierovih deskriptora Neka je s(t) jedodimezioala kompleksa fukcija, koja predstavlja sigaturu (3.1.) (3.2.) (3.3.) gdje je N - broj tačaka koture (3.4.) 15

23 DFT vektora data je sa: ~ F = 1 N N 1 t= ~ U e k 2πt j N Koeficijete, =, 1,..., N-1, dobijee DFT sigature koture azivamo Fourierovim deskriptorima (FD) koture [1]. Na Slika 3.1 prikazae su magitude i faze Fourierovi deskriptora dva objekta. Možemo uočiti da objekat sa više detalja - objekat 2 ima bogatiji spektar u odosu a ravomjeriji objekat. (3.5.) 1 Objekat 1 1 Objekat 2 5 Magituda (db) Magituda FD.5 1 Normalizovaa frekvecija Faza FD 5 Magituda (db) Magituda FD Normalizovaa frekvecija Faza FD 5 Faza (rad) Normalizovaa frekvecija Faza (rad) Normalizovaa frekvecija Slika Fourierovi deskriptori 1 1 fajl: FDprimjer.m 16

24 3.3. Osobie Fourierovih deskriptora Važe osobie deskriptora su ivarijatost a traslaciju, rotaciju i skaliraje. S obzirom da FD izvodimo iz eke sigature oblika, ivarijatost samih deskriptora zavisi i od toga koju smo sigaturu izabrali. FD dobijei a osovu kompleksih koordiata isu ivarijati, pa ćemo izvršiti aalizu osobia FD uz pretpostavku da smo ih formirali iz jih Traslacija Posmatrajmo dva objekta idetičog oblika koture, ali a različitim položajima. Pretpostavićemo da je, kao što je pokazao a Slika 3.2, drugi objekat traslira u odosu a prvi za: y y x t x Slika 3.2. Traslacija objekta t = Δx + Neka je jδy U ~ k vektor koordiata koture prvog objekta, a (3.6.) ~ F u = N 1 k= ~ U e k 2π j uk N vektor FD prve koture. (3.7.) Vektor koordiata druge koture možemo apisati u obliku T ~ k = U ~ k + t (3.8.) 17

25 pa je vektor FD za drugu koturu dat sa: N 1 2π N 1 2π 1 ~ ~ j uk ~ j uk N N N ~ u = Tke = ( U k + t) e = DFT[ U k ] + k= k= k= G Za u=, drugi čla u relaciji (3.9.) je N 1 k= te 2π j k N = Nt Za u>, imamo da je ~ ~ = G F + Nt te 2π j uk N (3.9.) (3.1.) N 1 k= ultom FD. te 2π j uk N = (3.11.) Iz avedeih relacija vidimo da je iformacija o položaju objekta sadržaa samo u 3 Objekat 1 ~ ~ F F + Nt 3 Objekat 2 (3.12.) Magituda (db) Magituda Magituda FD Objekat 1 Objekat Normalizovaa frekvecija x 1 4 Magituda FD Normalizovaa frekvecija x 1-6 Slika Uticaj traslacije a FD 11 Objekat 1 Objekat 2 Slika 3.3 prikazuje uticaj traslacije objekta. Da bi dobili rezultate bliske realim, origiala slika (objekat 1) traslira je u PhotoShop-u i dobije je objekat 2. Pored odstupaja defiisaih relacijom (3.12.) prisuta su i druga odstupaja. Njih uose programi za obradu slika, jer oi teže da dobiju vizuelo ajbolji objekat zbog čega se uz traslaciju uključuju i određei postupci poboljšaja kao što su iterploacija položaja, filtriraje itd. Međutim, matematički gledao, ovi postupci arušavaju origiali oblik koture zbog čega astaju dodata odstupaja između deskriptora. 11 fajl: FDtrasformacije.m 18

26 Skaliraje Posmatrajmo dva objekta, idetičog oblika i položaja. Pretpostavimo da je drugi objekat skalira 12 za faktor s u odosu a prvi kao što je prikazao a Slika 3.4. y y x x Pretpostavićemo da je Slika 3.4. Skaliraje objekta U ~ k vektor koordiata prvog objekta, a F ~ u vektor FD dat relacijom (3.7.). Vektor koordiata T ~ k drugog objekta možemo pisati u obliku: ~ ~ T = s k U k Vektor FD, dobijamo kao: (3.13.) ~ G u = s = N 1 k= N 1 k= ~ T e k k ~ U e = sdft U 2π j uk N 2π j uk N = ~ ~ [ k ] = sfu = N 1 k= ~ ( su ) k e 2π j uk N Zači, uvećavaje objekta faktorom s, u frekvecijskom domeu daje: = ~ ~ F s u F u (3.14.) (3.15.) Na Slika 3.5 prikazaa su dva objekta idetičog oblika pri čemu je drugi objekat skalira za faktor s. Ako posmatramo jihovu magitudu vidimo da su jedakog oblika ali a međusobo udaljee za s 13. Osim ovog odstupaja pristua su i odstupaja koja uosi PhotoShop skaliraje -mijejaje dimezija objekta opisao a str

27 2 Objekat 1 3 Objekat Magituda (db) Magituda FD Objekat 1 Objekat Normalizovaa frekvecija Faza FD 4 Faza (rad) Normalizovaa frekvecija Slika Uticaj skaliraja a FD Rotacija Posmatrajmo dva objekta idetičog oblika koture, položaja i veličie. Pretpostavimo da je drugi objekat rotira za ugao θ u odosu a prvi kao što je prikazao a Slika 3.6. y y θ x x Slika 3.6. Rotacija objekta 15 fajl: FDtrasformacije.m 2

28 Pretpostavićemo da je U ~ k vektor koordiata prvog objekta, a F ~ u vektor FD dat relacijom (3.7.). Vektor koordiata T ~ k drugog objekta možemo pisati u obliku: ~ jθ Tk = e ~ U k Vektor FD, dobijamo kao: k= ~ jθ ~ [ k ] = e Fu jθ ~ ( e U ) N 1 2π j uk N 1 2π j uk N 1 ~ = ~ N N jθ u Tk e = k e = e k= k= jθ G = e DFT U ~ U e k 2π j uk N Zači, rotacija objekta za ugao θ, u frekvecijskom domeu daje: ~ jθ Fu e ~ F u = (3.16.) (3.17.) (3.18.) Na Slika 3.7 prikazaa su objekta idetičog oblika, položaja i veličie međusobo rotiraa za ugao θ. Vidljiva su odstupaja u fazi koja su posljedica rotacije, dok su odstupaja magitude astala zbog programa PhotoShop u kojem je izvršea rotacija Objekat 1 3 Objekat Magituda (db) Magituda FD Objekat 1 Objekat Normalizovaa frekvecija Faza FD 5 Faza (rad) Normalizovaa frekvecija Slika Uticaj rotacije a FD opisao a str fajl: FDtrasformacije.m 21

29 Početa tačka Prilikom formiraja vektora koordiata objekta proizvoljo se bira početa tačka (x,y ). Pretpostavimo da imamo dva idetiča objekta, istog oblika koture, veličie i položaja. Takođe, pretpostavimo da je vektor koordiata prvog objekta formira počev od tačke (x,y ), a vektor koordiata drugog objekta počev od tačke (x m,y m ) kao što je prikazao a Slika 3.8. (x,y ) (x,y ) m m Slika 3.8. Idetiči objekti sa različitim početim tačkama Pretpostavićemo da je U ~ k vektor koordiata prvog objekta, a F ~ u vektor FD dat relacijom (3.7.). Vektor koordiata T ~ k drugog objekta možemo pisati u obliku: ~ T k N 1 2π j u( k+ m) N 1 ~ ~ N = U = = k+ m Fu e e u= k= = IDFT e 2π j um N ~ Fu 2π j um N ~ F u e 2π j uk N = (3.19.) Promjea počete tačke za m piksela, daje trasformacioi par: ~ U k+ m e 2π j um N ~ F u (3.2.) Normalizacija FD Normalizacijom FD postižemo jihovu ivarijatost a traslaciju, rotaciju, skaliraje i početu tačku. Treba aglasiti da ači ormalizacije zavisi i od toga iz koje smo sigature odredili FD. U aredim tačkama aaliziraa je ormalizacija za komplekse koordiate i cetroidu distacu. Periodiča kumulativa ugaoa fukcija data relacijom (2.8.), sama je po sebi ivarijata a traslaciju, rotaciju i skalu, pa se FD izvedei a osvovu je mogu direkto primjejivati [8]. 22

30 Posmatraćemo prvo FD izvedee iz koompleksih koordiata. Prema relaciji (3.12.), ~ vidimo da se sva iformacija o položaju alazi u F. Što zači ivarijatost a traslaciju postižemo sa: ~ F : = (3.21.) Na Slika 3.9 prikaza je primjer ormalizacije objekata, gdje vidimo da ulirajem prvog deskriptora cetroida oba objekta postavljea je u koordiati početak. 3 Origiali objekti 1 Normalizovai objekti Magituda Magituda FD Objekat 1 Objekat Normalizovaa frekvecija Faza FD 2 Faza (rad) Normalizovaa frekvecija Slika 3.9. Normalizacija FD za traslaciju 18 Polazeći od relacije (3.15.) i imajući u vidu ormalizaciju za traslaciju datu relacijom (3.21.), ivarijatost FD a skaliraje postižemo sa: ~ Fu : = ~ F F ~ u 1 (3.22.) 18 fajl: FDtrasformacije.m 23

31 Normalizacija za skaliraje prikazaa je a Slika Origiali objekti.5 Normalizovai objekti 2 1 Magituda Magituda FD Objekti 1 Objekti Normalizovaa frekvecija Faza FD 4 Faza (rad) Normalizovaa frekvecija Slika 3.1. Normalizacija FD za skaliraje 19 Iz relacija (3.18.) i (3.2.) vidimo da rotacija i promjea počete tačke utiču samo a fazu. Prema tome, jedostavo rješeje je potpuo uklajaje faze iz FD, što postižemo sa: ~ ~ F u : = F u (3.23.) 19 fajl: FDtrasformacije.m 24

32 Za FD dobijee iz cetroide distace ili kurvature, polazeći od relacija (2.4.) odoso (2.6.), vidimo da se FD izvode iz realih vrijedosti. Imajući u vidu parost FT realih fukcija, možemo zaključiti da oblik možemo potupo opisati korištejem samo polovie FD. Treba aglasiti i da su obe sigature same po sebi ivarijate a traslaciju. Ivarijatost a rotaciju i početu tačku postižemo a isti ači kao i kod kompleksih koordiata, dok ivarijatost a skalu dobijamo djeljejem sa ultom (DC) kompoetom. Vektor FD dat je sa: f FD FD FD = FD M FDN FD 1 2 / 2 (3.24.) 25

33 4. WAVELET DESKIRPTORI 4.1. Wavelet teorija Uvod Ako pogledamo kroz istoriju matematike, početak teorije waveleta može se povezati sa pojavom FT. Naime, još u 19 vijeku, Fourier je pokazao da bilo koju periodiču fukciju možemo prikazati beskoačom sumom kompleksih ekspoecijalih fukcija. Kasije, ova postavka geeralizovaa je a eperiodiče i diskrete sigale. Za složeoperiodiči sigal FT daće iformaciju o spektralim kompoetama tog sigala. Međutim, ije moguće odrediti gdje se koja kompoeta pojavljuje u vremeu, odoso u prostoru kod aalize 2D sigala. Drugim riječima, FT am govori da li se određea frekvecijska kompoeta pojavljuje u sigalu, ali e i kada se ta kompoeta javlja. Na Slika 4.1 prikaza je estacioari sigal - Sigal 1 koji se sastoji od dvije siusoide koje se pojavljuju u različitim vremeskim itervalima. S druge strae, imamo stacioari sigal - Sigal 2, koji predstavlja sumu iste dve siusoide. Ako pogledamo FT ovih sigala uočavamo gore opisai problem: FT su skoro idetiče jer pokazuju prisustvo iste dvije spektrale kompoete. 1 Sigal 1 2 Sigal T 2 1 FT sigala T Frekvecija (Hz) FT sigala Frekvecija (Hz) Slika Furierova trasformacija estacioarog i stacioarog sigala 2 2 fajl: FTprimjer.m 26

34 Da bi se prevazišao ovaj problem kod aalize estacioarih sigala, uvodi se kratkotraja Fourierova trasformacija (Short Time Fourier Trasformatio - STFT), i defiiše se sa: STFT * ( τ, ω) x( t) h ( t τ ) jωt = e dt gdje je prozorska fukcija. Ideja se sastoji u tome da se sigal x(t) posmatra kroz prozor h(t) fikse širie, te se određuje spektar dijela sigala koji se "vidi" kroz taj prozor. Pri tom se smatra da je u itervalu određeom širiom prozora sigal stacioara. Važa osobia STFT je širia prozora koji se koristi. Što je prozor uži, to je bolja rezolucija u vremeu i opravdaa pretpostavka stacioarosti, ali lošija frekvecijska rezolucija i obruto. Ovaj problem STFT veza je za Hajzebergov pricip eodređeosti. Ovaj pricip, jedostavo rečeo, kaže da ije moguće tačo odrediti vremeskofrekvecijsku reprezetaciju sigala, odoso ije moguće zati koja tačo spektrala kompoeta se javlja u određeom treutku, već samo možemo odrediti u kojem vremeskom itervalu postoji određei opseg frekvecija. Zbog svega avedeog, pri aalizi estacioarog sigala sa STFT jedom izabrau prozorsku fukciju moramo koristiti u kompletoj aalizi [1]. Slika 4.2 prikazuje dvije vremesko-frekvecijske ravi STFT, od kojih je prva sa boljom frekvecijskom rezolucijom, a druga sa boljom vremeskom rezolucijom. (4.1.) Uski prozori Široki prozori Frekvecija Frekvecija Vrijeme Vrijeme Slika 4.2. Vremesko-frekvecijska rava STFT za uske i široke prozore Wavelet trasformacija Zbog avedeih problema pri aalizi estacioarih sigala sa STFT uvede je ovi pristup aalizi pozat pod azivom wavelet trasformacija (WT). WT je dizajiraa da da dobru vremesku rezoluciju i lošu frekvecijsku rezoluciju a visokom frekvecijama, i dobru frekvecijsku rezoluciju i lošu vremesku rezoluciju a iskim frekvecijama. Slika 4.3 prikazuje vremesko-frekvecijsku rava WT. 27

35 Skala ψ a1,b1 a>a 2 1 ψ a2,b2 tvisoka iska t t-b 1 t-b 2 Slika 4.3. Vremesko-frekvecijska rava WT Ova vrsta aalize je dobra za sigale koji imaju VF kompoete kratkog trajaja i NF kompoete dugog trajaja, a to je čest slučaju u praksi 21. Kotiuala wavelet trasformacaija (CWT) defiiše se sa: C + 1 τ ψ τ, α (, α ) x() t () t gdje je: = dt α (4.2.) ψ τ, α 1 t τ () t = h α α Ova fukcija je prozorska fukcija koju zovemo majka wavelet, τ traslacija, a α je parametar skaliraja. Ovaj aziv dolazi od čijeice da je majka wavelet, fukcija koja se koristi kao prototip za geerisaje svih ostalih prozorskih fukcija. Traslacija u teoriji waveleta ima isto začeje kao i kod STFT - oa pokazuje lokaciju prozora a vremeskoj osi. Skaliraje, kao matematička operacija, širi sigal za α>1, i komprimuje sigal za α<1 [12]. (4.3.) 21 pr. česta pojava biološkim sigalima posebo u EEG, EMG, EKG 28

36 Diskreta wavelet trasformacija Da bi se sa kotiulae wavelet trasformacije prešlo a diskretu wavelet trasformaciju (DWT), odmjeravaje u ravi vrijeme-skala se radi a osovu dijadičke rešetke prikazae a Slika 4.4, tako da je: τ loga Slika 4.4. Dijadička rešetka α = α j τ = kα τ j gdje su α i τ koraci odmjeravaja po skali i vremeu. (4.4.) Odmjeravajem dobijamo DWT, defiisau sa: ( j, k ) = x( ) ψ ( ) C j, k Z gdje je ψ j,k diskreti wavelet defiisa sa: ψ j j ( ) = 2 / 2 ( 2 k) j. k ψ (4.5.) (4.6.) Iverza trasformacija data je sa: ( ) = C( j, k) ψ ( ) x j, k j Z k Z (4.7.) Kratak pregled periodiče wavelet teorije Ozačimo sa φ () t fukciju skaliraja takvu da za m Z, jee traslacije date sa: φ m m m () t = 2 ( t ) 2 φ 2, Z (4.8.) formiraju ortoormalu bazu za wavelet potprostor Vm i da je { Vm multirezolucioa aproksimacija prostora L 2 ( R). } m Z 29

37 Za svaku fukciju skaliraja φ ( t), može se odrediti odgovarajuća majka wavelet fukcija ψ () t takva da skup jeih dilatacija i traslacija ψ m m m () t = 2 ( t ) 2 ψ 2, m, Z formira ortoormalu bazu prostora L 2 ( R) defiisae su sa [14]: ~ φ m ~ ψ m m () t = φ ( t + l) l Z m () t = ψ ( t + l) l Z 4.2. Defiicija Wavelet deskriptora Dekompozicija sigala WT (4.9.). Periodiča skalirajuća i wavelet fukcija (4.1.) WT vršimo dekompoziciju sigala. Procedura dekompozicije počije propuštajem sigala kroz poluopseži NF filtrar koji uklaja sve frekvecije izad polovie maksimale frekvecije sigala. Nako ovakvog filtriraja opseg frekvecije sigala je prepolovlje. Po Nikvistovom kriteriju odmjeravaja sigal se može odmjeravati frekvecijom jedakom polovii maksimale frekvecije sigala. Pošto je ako filtriraja, maksimala frekvecija prepolovljea, sigal a izlazu filtra može se odmjeravati dva puta majom frekvecijom u odosu a početi sigal. Drugim riječima, možemo ispustiti svaki drugi odmjerak (subsamplig): ( ) = h( k ) x( k) + k = y 2 (4.11.) Nako ovoga skala sigala je duplo veća. Zači NF filtriraje prepoloviće rezoluciju dok skala ostaje epromjejea. Subsamplovajem koje slijedi, skala će se uduplati. Ovaj postupak prikaza je a Slika 4.5 [1]: Slika 4.5. Podopsežo kodovaje 3

38 Pretpostavimo da imamo diskreti sigal f(). Neka su h() i g() impulsi odzivi NF i VF filtra, respektivo. Sa H i G ozačićemo operatore koji su defiisai sa: ( Hf ) = h( 2k) f ( ) k ( Gf ) = g( 2k) f ( ) k (4.12.) Wavelet dekompozicija sigala u svakom koraku sigal razdvaja a NF i VF kompoetu kao što je prikazao a Slika 4.6[12]. f Hf Gf HHf GHf HHHf GHHf Slika 4.6. Wavelet dekompozicija Ovaj postupak možemo zapisati u obliku: f 2 j 1 j j 1 j 2 1 ( Gf, GHf, GH f, K, GH f, H f ) = ( d, d, K, d, d, c ) (4.13.) Koeficijete d i (i=1:j) i c azivamo wavelet koeficijetima a ivou j. Na Slika 4.7 prikazaa dekompozicija petog reda sigala s. U svakom koraku, prema gore opisaom postupku, sigal se propušta kroz VF i NF filtre, i a taj ači dobijaju se wavelet koficijeti a odgovarajućem ivou što je prikazao a Slika

39 Slika 4.7. Dekompozicija sigala Rekostrukcija sigala je sliča dekompoziciji. Sigal se u svakom koraku upsampluje sa 2, a zatim propušta kroz filtre predstavljee operatorima i, i a kraju sumira. Operatori su defiisai sa [12]: ( Hf ) = h( 2k) f ( ) k ( Gf ) = g( 2k) f ( ) k Rekurziva primjea ovih operatora vodi do jedakosti: (4.14.) f f = = 1 j ( j ) ( ) ( H ) Gd + ( H ) c j= 1 j= D j + C (4.15.) 32

40 Koeficijete Dj zovemo detaljima, a C aproksimacijom, što zači da sigal prikaza preko waveleta možemo pisati kao: Sigal = Aproksimacija + j Detalji j (4.16.) Na Slika 4.8 prikaza je primjer rekostrukcije koture iz WD bez koeficijeata detalja d 1. Iz rekostrukcije možemo vidjeti da koeficijeti d 1 sadrže ajviše frekvecije, pa jihovim uklajajem gubimo rave i glatke oblike koture Origiala kotura Rekostrukcija bez detalja d(1) Defiicija Wavelet deskriptora Pretpostavimo da je: s () t () t () t Slika 4.8. Rekostrukcija koture iz WD 22 x =, t( l) = l, l L y L (4.17.) matrica ormalizovaih koordiata koture, gdje je t - ormalizovaa dužia luka, l - dužia luka u posmatraoj tački počev od tačke t i L - ukupa dužia luka. 22 fajl: WDekompozicija.m 33

41 34 Primjeom DWT, dobijamo () () () () ( ) () = + = M m m d m d M a M a t y t x t y t x t y t x 1 (4.18.) gdje koeficijete date relacijama: () () ( ) ( ) = = M M M a M M M a t c t y t a t x φ φ ~, ~ (4.19.) zovemo aproksimacijom sigala a skali M, a: () () ( ) ( ) = = m m m d m m m d t d t y t r t x ψ ψ ~, ~ (4.2.) zovemo detaljima sigala a skali m, pri čemu je m=1 ajfiija skala, a M ajgrublja skala. Wavelet koeficijete date relacijama (4.19.) i (4.2.) zovemo wavelet deskriptorima (WD) koture (4.17.) [14]. Koristeći samo dio wavelet koeficijeata, tj. mali broj vrijedosti m, možemo dobiti različite multirezolucioe reprezetacije oblika. Drugim riječima, možemo koristiti aproksimaciju oblika datu sa: ( ) ( ) () () ( ) () = + = M k m m d m d M a M a t y t x t y t x t k y t k x ; ˆ ; ˆ (4.21.) gdje je M k. Kriva sa koordiatama datim relacijom (4.21.), daje sekvecu multirezolucioih aproksimacija origiale krive. Ovu dijadičku aproksimacijsku sekvecu možemo ajbolje objasiti preko jea dva ekstrema. Za k=1, dobijamo origialu krivu, a za k=m+1 ajgrublju aproksimacijsku krivu tj. samo koeficijete ( ) t x M a i () t y M a. Sigale detalja a skali m možemo predstaviti i preko polarih koordiata. () () () () () () t A t t d t r t y t x m m m m m m m m m m m d m d ψ θ θ θ θ θ ψ ~ cos si si cos ~ = = (4.22.) gdje su m θ i m A faza i amplituda date sa: ( ) ( ) 2 2, arcta m m m m m m r d A r d + = = θ (4.23.)

42 4.3. Osobie WD Traslacija Pretpostavimo da je izvršea traslacija koture date sa (4.17.) za udaljeost ( b x, b y ). Polazeći od defiicije periodiče wavelet fukcije (4.1.) i osobie dopustivosti baza waveleta, imamo da je [14]: 1 ~ ψ m l+ 1 ' () t dt = ψ ( t ) l Z l dt Lako se pokazuje da je: ' = (4.24.) 1 [ () ] ~ m () () ~ m f t bψ t dt f t ψ () t 1 + = dt, m -N; Z m (4.25.) m m Pa vidimo da su wavlet koeficijeti detalja r i d ivarijati a traslaciju. Zbog toga, traslacija koture utiče samo a koeficijete aproksimacije. Pošto je: 1 ~ φ M 1 M M () t dt φ ( t + l) dt = φ () t l Z + = dt imajući u vidu relaciju (4.26.) dobijamo da je: (4.26.) 1 ~ φ M + M M + M M 2 = 2 dt = 2 2 M 2 () t dt 2 φ( 2 t ) dt = 2 φ() t + gdje smo koristili osobiu da je φ () t dt = 1. Polazeći od ovih relacija dobijamo: (4.27.) 1 1 ~ + M M 2 [ f () t b] φ () t dt = f () t φ () t dt + 2 b Zači da traslacija koture ima za posljedicu [14]: ~ M (4.28.) ( a ( c M M a = c M M M 2 M 2 b b x y ( r ( d M M r = d M M (4.29.) 35

43 Na Slika 4.9 prikazaa su dva međusobo trasliraa objekta i jihovi wavelet koeficijeti. Traslacija ima ajveći uticaj a aproksimaciju, dok su odstupaja detalja posljedica programa PhotoShop Objekti 3 Aproksimacija Detalji Detalji Detalji Rotacija Slika Uticaj traslacije a WD 24 Neka je kotura data relacijom (4.17.) rotiraa u smjeru suprotom od kazaljke a satu za ugao ϕ sa cetroidom kao cetrom rotacije. Koeficijete rotirae koture možemo pisati: ( a ( c ( r ( d M M M M cosϕ = siϕ siϕ a cosϕ c M M cosϕ siϕ r = siϕ cosϕ d M M ili ako koristimo zapis koeficijeata preko polarih koordiata: ( θ M = θ M + ϕ, ( A = A M M Relacije vrijede i za koeficijete detalja i za koeficijete aproksimacije [14]. (4.3.) 23 opisao a str fajl: WDTrasformacije.m 36

44 Gore avedee zaključke potvrđuje Slika 4.1 gdje su vidljiva odstupaja faze, dok su odstupaja magitude zaemarljiva i posljedica su programa u kome je izvršea rotacija Objekat 1 3 Objekat Magituda (db) Magituda (db) Aproksimacija - magituda t Detalji - 3- magituda t Faza (rad) Faza (rad) Aproksimacija - faza t Detalji - 3-faza t Slika Uticaj rotacije a WD Skaliraje Pretpostavimo da je kotura skaliraa za faktor β. Možemo pisati: ( x ( y () t () t = x β y () t () t x = β y M a M a ( t) () t + x β y ( t) () M m d m m= 1 d t Zbog liearosti wavelet trasformacije vrijedi: ( a ( c ( r ( d M M M M a = β c M M r = β d M M (4.31.) (4.32.) 25 opisao a str fajl: WDtrasformacije.m 37

45 Na Slika 4.11 koja prikazuje dva skaliraa objekta vidljiv je uticaj skaliraja posebo kod magituda detalja koje su međusobo pomjeree za faktor β 27. Kod koeficijeata aproksimacije došlo je do uticaja trasliraja prilikom skaliraja u PhotoShopu. 2 Objekti 3 Objekti Magituda (db) Magituda (db) Aproksimacija - magituda t Detalji - 3- magituda t Faza (rad) Faza (rad) Aproksimacija - faza.5 1 t Detalji - 3-faza t Slika Uticaj skaliraja a WD Normalizacija WD Pošto su položaj, veličia i orjetacija ebiti parametri prilikom prepozavaja oblika, eophodo je izvršiti modifikaciju WD da bi ih učiili ivarijatim a pomeute osobie. Iz relacije (4.29.) vidimo da traslacija utiče samo a koeficijete aproksimacije. Prema tome efekat traslacije možemo poištiti jedostavim postavljajem cetroida objekta u koordiati početak. M m M M ( a,. c ) ( a, c ) ( b, b ) 1 M M M M ( b, b ) = ( a, c ) N ukupa broj koeficijeata a ( ili c ) x y N 1 1 x y (4.33.) 27 zbog logaritamske skale dolazi do lierog pomjeraja 28 fajl: WDTrasformacije.m 38