U uvodu ćemo ponoviti ono što smo dosad učili o potencijama. Potencije i njihova svojstva. Nadalje, uz primjenu svojstva (E 1 ) vrijedi:

Transcript

1

2 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE Dosad smo u srednjoj školi uoznali više funkcija. Nekima od njih, a takve su, rimjerice, olinomi rvog i drugog stunja, vrijednosti možemo izračunavati rimjenom četiriju osnovnih algebarskih oeracija te oeracija otenciranja i korjenovanja. Takve se funkcije zovu algebarske. U ovom oglavlju srest ćemo se s dvjema novim funkcijama, eksonencijalnom i logaritamskom, koje relaze te okvire jer se njihove vrijednosti ne mogu izračunavati na oisani način. Takve su funkcije transcedentne. U uvodu ćemo onoviti ono što smo dosad učili o otencijama. 5.. Eksonencijalna funkcija Potencije i njihova svojstva U rvom smo razredu uoznali otencije čiji su eksonenti cijeli ili racionalni brojevi. Ako je a > 0 realan, a n rirodan broj, onda je a = a a a = a a a = a a ::: a n = a a {z ::: a = } a n; a: n uta Broj a je baza, a broj n eksonent otencije a n. Iz definicije neosredno slijede ova osnovna svojstva otencija: (E ) a a y = a +y, (E ) (a ) y = a y, (E ) (a b) = a b. Potom smo uveli otencije čiji je eksonent negativan cijeli broj a ;n = a n ri čemu je a > 0inN. Nadalje, uz rimjenu svojstva (E ) vrijedi: a 0 = a n;n = a n a ;n = a n a n = : Ovo ćemo važno svojstvo otencija takoder osebno istaknuti: (E ) a 0 =.

3 EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA 5. Potenciranje ozitivnog broja a reciročnim brojem rirodnog broja n ovezali smo s korijenom broja a : a n = n a: Zatim smo uveli ojam otencije čija je baza a ozitivan broj, a eksonent bilo koji racionalan broj. Ako je m =, m Z, n N, tada stavljamo: n a = a m n = n a m : Računanje s ovakvim otencijama osjeduje sva svojstva E E. Tako smo definirali otenciju a za sve ozitivne brojeve a te racionalne brojeve. Zadatak. Obrazloži sljedeće dvije jednakosti: ) ;0:75 + ; 6 = ; ) 6 =. Zadatak. Izračunaj vrijednost brojevnog izraza a =, b = 6. a ; ; ; b : a b ; ako je Eksonencijalna funkcija Ako je a zadana baza, a > 0 i a 6=, a bilo koji racionalan broj, onda vrijednost otencije a ovisi o. Možemo govoriti o funkciji koja racionalnom broju ridružuje vrijednost otencije a, 7! a : Definicija te funkcije može se roširiti i na realne brojeve te je za svaki realni broj definirana funkcija f () =a koju zovemo eksonencijalna funkcija. Primjer. Funkcija f () = rimjer je eksonencijalne funkcije. Za realni broj vrijednost funkcije jednaka je. Tako je f () = = f (;) = ; = f = = : U svakom od triju rimjera umjesto uvrštavali smo samo robrane brojeve. Jer oćenito, bez omoći kalkulatora ili tablica nije moguće izračunavati vrijednosti otencije.

4 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE Koliko je, rimjerice, f? Odnosno, 5 koliko je 5? 5 5 = = 5 7: Vrijednosti funkcije f () = (ine samo nje) u ravilu se odreduju računalom. Kako, o tome će još biti riječi. No rimijetite kako je na slici računalom dobiveno 5 :905. Eksonencijalna funkcija Neka je a > 0ia 6= realan broj. Funkcija f () =a definirana za svaki realni broj zove se eksonencijalna funkcija. Zašto se zahtijeva da baza otencije bude ozitivan broj? Ako bismo doustili da je baza negativan broj, tada otencije kao što su, rimjerice, (;) ;, (;) i slične ne bi bile realni brojevi. Ako bi ak baza bila jednaka nuli, tada bi vrijedilo 0 = 0 za svaki realni broj osim za = 0, kada ta otencija i nije definirana. Jednako tako je = za svaki realni broj. Dakle, funkcija f () = = je konstanta a je zbog toga uvedeno i ograničenje a 6=. Zadatak. Ako je dana eksonencijalna funkcija f () =, koliko je: f (), f f ;, f (0), f (0:5)?, Neka je baza eksonencijalne funkcije a >. Tada za svaki ozitivan racionalni eksonent > 0 vrijedi a = m n >. Naime, a = n a m, a kako je a m >, onda je i n a m >. Uzmimo da je <. Uz rimjenu svojstva E imamo: a = a (;)+ = a ; a > a jer je ; > 0ia ; >. Time smo dokazali i sljedeće svojstvo monotonosti eksonencijalne funkcije: (E 5 ) Ako je a >, onda za racionalne brojeve < vrijedi a < a.

5 EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA 5. Zadaci 5... Obrazloži svojstva otencija (E ) (E ) za slučaj kada su i y rirodni brojevi.. Zaiši u obliku otencije: ) ; ) (9 7 ) ; ) (6 ) 5 ; ) ; 5) ; 6) Naiši u obliku otencija s osnovicom a : ) (a n+ ) (a n+ ) (a n+ ) ; ) (a n; ) (a n; ) (a n; ) ; ) (a ) n+ (a ) n+ (a 5 ) n+ ; ) (a n+ ) (a n+ ) (a n ) ; 5) a n+ (a n+ ) (a n+ ).. Izračunaj: ) n+ : n+ ; ) 6 n+ : 6 n+5 ; ) 9 n+ : 7 n+ n; 7 n; ; ) 6 n; ; n+ 5) n+ 7 n; ; 6) 6 n+ 6 n n. 5. Izračunaj: ) a ; b ; b ; a ; 5 5a ; ) ; a ; b b ) ( y ; ) ; : ; 6 y ; ) 0:5 y ; ; 9 ; ; ; 7z ; y z 5) 9a ; ; a c ; :. 6b c ; 7b ;5 6. Skrati razlomke: ) ) ) ) m; n ; m n; m; n; ; 5 n n; ; 5 n; n 0 n+ ; n; n+ ; n+ n; n n; + n; n ; n n ; n n n ; n. 7. Provedi naznačene računske oeracije i rezultat izrazi u znanstvenom zaisu: ) 9: 0 ;5 + 5: 0 ;5 ; ) 6: : 0 9 ; ) :5 0 ; 7:6 0 ; ; ) 5:5 0 ; 9: 0 ;5 ; 5) 7: 0 ::0 ; 6) 6:6 0 ;0 :: 0 ;5.. Izračunaj: ) (;5) ; (;5) ; ; ) (;) ; (;) ; ; ) (;9) ; : ; 7 ; ; ) (;0:) ; : (;00) ; ; 5) ;0 ; (;0: ; ) (;0:0 ; ) ; ; 6) ; 00 ; 0:0 0 ; 0: Polumjer točke koju ostavi ritisak olovke na airu iznosi metara. Koliki je romjer točke? Izrazi rezultat u znanstvenom zaisu. 0. Za koliko će vremena svemirski broj koji utuje brzinom od :50 5 km/s rijeći ut od :50 km?. Brzina svjetlosti je 0 metara u sekundi. Ako je udaljenost Sunca od Zemlje 9 milijuna milja ( milja =.6 km), za koliko će vremena svjetlost sa Sunca stići do Zemlje?. Ako je masa atoma vodika :7 0 ; grama, koliko je atoma vodika u masi od jednog kilograma?. Izračunaj: ) ; ) ; ) 6 ; ) 9; 5) 9 : ; 6) : ; 7) 5 5; ). 5

6 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE. Izračunaj: 5 ) 5 ; ) 9 ) : ; ) 5. Pojednostavni: ) ( : ) ; ) ( : ) ; ) ( n 5 ) : ( n ) ; ) ( n ) : ( n ) ; 6. Naiši u obliku otencije: ) ) ; ) 7 ; ) 5 ; 5) 7) (a;) ; ) 9 6 ; 5 0 :. 5 ; ; 6) r 5 ; a ; b. 7. Zaiši omoću korijena sljedeće otencije: ) ; ; ) ;:5 ; ) 5 ; ) (a ; ) ; 5) (a ; ) ; 6) a b ;.. Izračunaj: ) ; ) ; ; ) 0:065 ; ) 5 +(;) ; 5) 0 ; 6) (;). 9. Izračunaj: ) 0:5 ; ;0:5 ; 6 ) 0:0 ;:5 ; 5 ;0:75 ) 6 0:5 + ; 6 ; ) (0:) ;0:5 + ; 6 ; 5) ; ; (0:06) ; 5 6) 7 ; ; 5 ; Izračunaj vrijednost brojevnog izraza h (a ; b) ;:5 : (a b ) ; za a = 6, b = 7. i ;. Izračunaj vrijednost brojevnog izraza h (a b ; ) 0:75 : (a ; b ) ; i ; za a = 6, b = 0:0.. Izračunaj vrijednost brojevnog izraza h (a b ; ) ; : (ab ; i ; ) ako je a = 0:6, b = 5.. Izračunaj: ) ) 5) ; 9 0:5 ; ) ; 7 0:5 ; ) 5 ; ;0:75 ; 6) 0:5 6 7 ; 5 :5 0:6 ; 5 ; 7 ; 0:5 ;.. U kojem su medusobnom odnosu realni brojevi m i n,akoje m n ) > ; ) m > n ; ) 0: m < 0: n ; ) m = n ; m n m n 5) < ; 6) > ; π m π n m n 7) < ; ) >? 6

7 GRAF I SVOJSTVA EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE Graf i svojstva eksonencijalne funkcije Način na koji zaisujemo brojeve daje naslutiti kako će baza a = 0 imati osebnu ulogu u računanju otencija. Naime, dekadski zais brojeva uravo se zasniva na računanju s otencijom broja 0. Promotrimo zato otencije oblika 0. Graf funkcije 7! 0 Skicirajmo graf funkcije f () = 0. U tu ćemo svrhu izračunati njezine vrijednosti za nekoliko odabranih vrijednosti. y 0 ; 0 ; = 0:00 ; 0 ; = 0:0 ; 0 ; = 0: = 0:5 0 0:5 = 0 = :6 0 = 0 :5 0 :5 = 000 = :6 0 = 00 Primijetimo da su vrijednosti funkcije u točkama 0:5 i :5 odredene ribližno, jer su 0 i 000 iracionalni brojevi. 0 Graf otencije Vidimo da ova eksonencijalna funkcija raste vrlo brzo za ozitivne brojeve. Crtano u mjerilu :, za = 0 cm koordinata y iznosi 0 0 cm = 0 5 km. Za negativne argumente funkcija ada rema nuli, takoder vrlo brzo. Njezin se graf riljubljuje uz negativni dio osi. Kažemo da je negativni dio osi asimtota grafa eksonencijalne funkcije. Graf funkcije 0 u različitim mjerilima Grafove funkcija koje rastu vrlo brzo možemo lakše redočiti tako da uorabimo različita mjerila na koordinatnim osima. Nacrtajmo sad graf eksonencijalne funkcije na intervalu [; ] izabravši jedinice na koordinatnim osima tako da jednoj jedinici na osi odgovara deset jedinica na y osi. Pritom ćemo omoću računala računati vrijednosti eksonencijalne funkcije u racionalnim točkama. Broj 0 računa se na dženom računalu na sljedeći način: 7

8 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE unese se vrijednost broja, ritisne se tika 0. Dobivene ćemo vrijednosti zaisati s dvjema znamenkama. 0 ; 0: ;0: 0:6 ;0:6 0:5 ;0: 0:0 ;0: 0:6 0 0: :6 0: :5 0:6 :0 0: 6: 0 - y 0 0 Graf funkcije 0, crtan u mjerilu 0:. Nacrtani graf redstavlja funkciju koja je definirana u svakom realnom broju, dakle i u iracionalnim brojevima. Da vidimo je li takav ostuak isravan, načinimo sljedeće razmatranje. Izaberimo neki iracionalni broj, recimo. Njega možemo zaisati samo s odredenom točnošću, jer je njegov decimalni zais beskonačan. Ako računamo na dvije decimale, tada ćemo zaisati: : < < : : Želimo da svojstva eksonencijalne funkcije ostanu sačuvana. Zato o E mora vrijediti: 0 : < 0 < 0 : odnosno: 5:70 < 0 < 6:0 : Ocjena je nerecizna jer funkcija 7! 0 raste jako brzo, a uzeli smo grubu aroksimaciju broja. Poravimo je! Iz ocjene slijedi: : < < : 5:95 < 0 < 5:959: Vidimo da smo dobili broj 0 s et točnih znamenaka, 0 = 5:95. Kad se broj 0 računa na računalu koje zaisuje brojeve s 0 znamenaka, tada računalo koristi aroksimaciju :567 < < :56 (rebrojite broj znamenaka!), a na zaslonu se okaže vrijednost 0 = 5:95555

9 GRAF I SVOJSTVA EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE 5. s deset točnih znamenaka. Naravno, i ovo je samo ribližna vrijednost broja 0 jer je to iracionalan broj. Pri zaisivanju iracionalnih brojeva izračunatih na računalu rezultate ćemo zaokruživati na 5 točnih znamenaka. Na ovakav način, koristeći racionalne eksonente, vrijednost otencije 0 možemo s dovoljnom točnošću izračunati za svaki iracionalni broj. Zatoje dovoljno uzeti bliske decimalne brojeve i takve da vrijedi < <. Onda će biti: 0 < 0 < 0. Graf eksonencijalne funkcije 7! a Baš kao za a = 0, možemo nacrtati graf funkcije a za druge vrijednosti baze a. Nacrtajmo graf funkcije f () =. ; ; ; 0 y Graf funkcije. y= Vidimo da i ova funkcija ima graf sličan grafu funkcije 7! 0, samo što ona za ozitivne realne brojeve > 0 raste sorije, jer je < 0 za > 0. Za negativne brojeve vrijedi surotna nejednakost: > 0. y 0 y b a a<b Usoredba grafova eksonencijalnih funkcija za razne vrijednosti baza a >,b >. Zadatak. Nacrtaj graf funkcije f () =. Usoredi ga s grafovima funkcija () =0 i f () =.Što možeš zaključiti? 9

10 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE Uz bazu 0, koja je važna zbog toga što računamo u dekadskom sustavu, te bazu, jer računala računaju u binarnom sustavu (sustavu s bazom ),važna je i eksonencijalna funkcija čija je baza broj e. To je iracionalan broj s ribližnom vrijednošću e = :7 ::: Funkcija f () = e ugradena je u svako dženo računalo koje sadrži i ostale standardne funkcije. Njezina je tika označena s e. Vrijednost broja e možemo dobiti omoću e. Zadatak. Provjerite: e :5 :7 e 0 e ;0:5 0:77 e ; 0:679. Kutak lus BROJ e Jednadžbe kao što su linearna a + b = 0, kvadratna a + b + c = 0 ili jednadžba. stunja (kubna), gdje su koeficijenti racionalni brojevi zovu se algebarske jednadžbe. Realni brojevi koji su rješenja takvih jednadžbi zovu se algebarski brojevi. No ostoje realni brojevi koji nisu rješenja niti koje algebarske jednadžbe. To su transcedentni brojevi. Broj π je transcedentan broj. On nije rješenje nijedne algebarske jednadžbe. Dužinu čija je duljina transcedentan broj nije moguće konstruirati. Tako ne možemo konstruirati niti dužinu duljine π i to je razlog zbog kojeg nije rješiv zadatak kvadrature kruga somenut u. razredu. Uz broj π još se ističe jedan transcedentan broj, broj e. Taj broj čija je ribližna vrijednost :7590 kao baza eksonencijalne funkcije ojavljuje se u vrlo raznolikim rirodnim zakonima kao što su razne vrste rirodnog rirasta. Nezaobilazne su takve funkcije i u otici, akustici, elektronici, dinamici itd. Promatramo li niz brojeva koji dobijemo uvrštavanjem za n redom rirodnih brojeva u izraz dalje u tom nizu odmičemo, sve smo bliži broju e. n +! :7590 ::: n + n n, tada što Oznaku e uveo je švicarski matematičar Leonhard Euler 77. godine, vjerojatno insiriran rječju eksonent. On je 77. dokazao da je e iracionalan, a da je transcedentan dokazao je 7. Charles Hermite. 0

11 GRAF I SVOJSTVA EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE 5. Graf eksonencijalne funkcije s bazom 0 < a < Sada ćemo romotriti eksonencijalnu funkciju s bazom 0 < a <. Vidjet ćemo da se njezin graf može izvesti iz grafa eksonencijalne funkcije s bazom većom od, koju znamo nacrtati. Zaočnimo jednim rimjerom. Uzmimo bazu a =. Primijetimo da vrijedi: = ; : Nacrtajmo na istom koordinatnom sustavu grafove funkcija f () = i g() = ;. ; ; ; ; 0 y Grafovi funkcija f () = ig() = ; simetrični su s obzirom na y os. Primjećujemo da funkcije f i g orimaju iste vrijednosti za brojeve surotnih redznaka, jer vrijedi: f (;) = ; = g(). Zato su grafovi ovih funkcija simetrični s obzirom na y os. Objasnimo u kakvoj su vezi funkcije čiji su grafovi simetrični s obzirom na y os. y g() =f( -) f () (-,f(-)) (,y) Zrcaljenjem oko y osi dobiva se graf funkcije g() =f (;). -

12 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE Zrcalimo graf o volji odabrane funkcije f oko y osi. Time dobivamo graf neke funkcije; označimo je s g. Ako točka ( y) leži na njezinom grafu, tada je y = g(), ali isto je tako y = f (;), jer je graf dobiven zrcaljenjem (vidi sliku). Zrcaljenje grafa oko y osi Zrcaljenjem grafa funkcije f g() =f (;). oko y osi dobiva se graf funkcije Zrcalimo li graf eksonencijalne funkcije f () =a oko y osi, dobit ćemo graf eksonencijalne funkcije g() =a ; : g() =f (;) =a ; = : a y - g() =b =a f=a () Graf funkcije g() = b, 0 < b < simetričan je grafu funkcije f () =a, - a = s obzirom na y os. b Funkcija g() =b adajuća je funkcija. Pozitivan dio osi njezina je asimtota. Zadatak. Na jednoj slici nacrtaj grafove funkcija f () = i g() =.Što rimje- ćuješ? Točno-netočno italice. Ako je f () =, onda je f (;0:5) =;. T N. Funkcija f () = je eksonencijalna funkcija. T N. Za eksonencijalnu funkciju f () =5 ; je f (;) < f (;). T N. Za eksonencijalnu funkciju f () = ; je f (0:) < f (0:0). T N 5. Graf funkcije f () =a siječeos y točki (0 ). T N 6. Funkcija f () =( ) nije definirana za negativne realne brojeve. 7. Ako je f () =0, onda je f (;0) =0:. T N T N

13 GRAF I SVOJSTVA EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE 5. Navedimo sada svojstva eksonencijalne funkcije: Svojstva eksonencijalne funkcije Eksonencijalna funkcija 7! a ima sljedeća svojstva:. Funkcija je definirana za svaki realan broj.. Sve su vrijednosti funkcije ozitivni brojevi i svaki je ozitivan realni broj vrijednost funkcije za neki realni broj.. (E ) a a y = a +y, (E ) (a ) y = a y, (E ) (a b) = a b. (E ) a 0 =. (E 5 ) ) Ako je a >, onda za < vrijedi a < a ; funkcija je rastuća. ) Ako je 0 < a <, onda za < vrijedi a > a ; funkcija je adajuća.. Grafovi eksonencijalnih funkcija čije su baze reciročni brojevi simetrični su s obzirom na os y. Za svaki a > 0 a 6= jea 0 =, a to znači da graf svake eksonencijalne funkcije relazi os y u točki (0 ). Injektivnost eksonencijalne funkcije Iz svojstva E 5 slijedi sljedeći važan zaključak: Injektivnost eksonencijalne funkcije (E 6 ) Ako je a = a, onda vrijedi =. Zaista, kad bi bilo 6=, a je, recimo, <, onda se o svojstvu E ili E 0 vrijednosti a i a takoder razlikuju. Vrijedi, dakle: 6= =) a 6= a : Ova je tvrdnja ekvivalentna tvrdnji E 5. (Razmislite zašto!) Na rimjer, iz =, tj. = nužno slijedi =.

14 5 EKSPONENCIJALNE I LOGARITAMSKE FUNKCIJE Zadaci 5... Koristeći se dženim računalom odredi: ) 0 0:5 ; ) 0 0: ; ) 0 0: ; ) 0 :55 ; 5) 0 :7 ; 6) 0 :95 ; 7) 0 ;0:5 ; ) 0 ;:5 ; 9) 0 ;0:57 ; 0) 0 ;:5.. Izračunajte računalom vrijednosti funkcije y = 0 za 0:5, 0:5,::: 0:60. Je li razlika funkcijskih vrijednosti konstantna?. Uvjerite se u točnost formule 0 0 = 0 + računajući lijevu i desnu stranu za neke brojeve i.. Za funkciju f () = 0 vrijedi: f (0) = i f () = 0. Za koji će biti f () =? Potražite taj na računalu računajući vrijednosti funkcije 0 za različite brojeve. Odredite s točnosti od triju decimala. (Uuta: usoredite f (0:) i f (0:). Zatim izračunajte f (0:) itd.) 5. Dane su eksonencijalne funkcije: f () = f () = f () = f () = 5 f 5 () = Poredaj o veličini brojeve:! : ) f (;), f (;), f (;), f (;), f 5 (;) ; ) f (), f (), f (), f (), f 5 (). 6. Za koje realne brojeve vrijedi: ) < ; ) < ; )? ; )? ; 5) > ; 6) > ; 7) > ;? 7. Dana je eksonencijalna funkcija: f () =. Poredaj o veličini brojeve: f (; 5), f (), f (0:5), f (;), f (0).. Dana je eksonencijalna funkcija: f () = 5. Poredaj o veličini brojeve: f ( ), f (;), f (0:0), f (;0:5), f (0). 9. Koliko će godina doživjeti neki čovjek? Možda je neobično, ali je istinito: očekivanje raste s godinama. Za žene je ono dano formulom f (n) =7:5 (:00) n a za muškarce f (n) =7: (:00) n gdje je n trenutačni broj godina neke osobe. ) Koliki životni vijek može očekivati žena kojoj je sada 5 godina? ) Koliki životni vijek može očekivati muškarac kojem je 60 godina? 0. U Koačkom ritu u roljeće broj komaraca naglo raste i njihov je broj o jednom hektaru jednak n(t) =:5 0 0:t+, gdje je t broj dana nakon osljednjeg mraza. Koliko će komaraca biti u ritu nakon 5; 0; 5 dana?. Nacrtajte graf funkcije f () = i usoredite ga s grafovima funkcija: ) f () = + ; ) f () = ; ; ) f () = ; ; ) f () = +.. Nacrtajte graf funkcije f () = i usoredite ga s grafovima funkcija: ) f () = ; ; ) f () = ; ; ; ) f () = ;; ; ) f () = ;+.. Nacrtaj grafove funkcija: ) f () = jj ; ) f () = j+j ; ) f () = ;jj ; ) f () = j;j.