VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE"

Transcript

1 VPRAŠANJA ZA POKLICNO MATURO IZ MATEMATIKE ŠTEVILSKE MNOŽICE NARAVNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v N. Osnovne računske operacije so seštevanje in množenje (+, *): a) ZAKON O ZAMENJAVI (KOMULATATIVNOST) a+bb+a a*bb*a b) ZAKON O ZDRUŽEVANJU (ASOCIATIVNOST) (a + b) + c a + (b + c) a * b * c a (b * c) Obe računski operaciji pa povezuje ZAKON O RAZČLENJEVANJU (DISTRIBUTIVNOST) a (b + c) a * b + a * c 2. a) Definirajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil. b) Kako ju lahko izračunamo? c)kdaj sta si števili tuji? a) Največji skupni delitelj D je največje naravno število, ki deli obe števili hkrati D (a,b) Najmanjši skupni večkratnik je najmanjše število s katerim lahko delimo a, b v (a,b) b) Največji skupni delitelj D izračunamo (poiščemo) na dva načina: 1. NAČIN ko iščemo največji skupni delitelj dveh manjših števil D(8, 12)4 Delitelji št. 8: (1,2,4,8) Delitelji št. 12: (1,2,3,4,6,12) 2. NAČIN z razcepom na prafaktorje (praštevila), največji skupni delitelj teh števil je produkt skupnih praštevil in sicer z najmanjšo potenco D(180, 168) 1

2 * 32 * * 3 * 7 D(180,168)22 * 3 4 * 3 12 Najmanjši skupni večkratnik v poiščemo na dva načina: 1. NAČIN ko iščemo najmanjši skupni večkratnik dveh manjših števil v(8,6)24 Večkratniki št. 8: (8,16,24,32) Večkratniki št. 6: (6,12,18,24,30) 2. NAČIN z razcepom na prafaktorje (praštevila), najmanjši skupni večkratnik je produkt vseh praštevil in sicer z najvišjo potenco v(60,72)23 * 32 *5 8*9* *3 * * 32 c)števili a in b sta si tuji, če je največji skupni delitelj dveh števil enak 1. 2

3 D(a,b)1 npr. D(15,32)1 3. a) Povejte osnovni izrek o deljenju. b)kaj je večkratnik naravnega števila? a) a, b a:bk a>b a kb + o OSNOVNI IZREK k količnik O. Ostanek b) 1a, 2a, 3a, 4a,..n*a.. 4. Definirajte pojma praštevila in sestavljenega števila ter navedite kriterije deljivosti z 2, 3, 4, 5, 6, 9 in 10. PRAŠTEVILO je tisto naravno število, ki je deljivo s samim seboj in s številom 1 (prvo in najmanjše praštevilo je 2). SESTAVLJENA ŠTEVILA so tista naravna števila, ki imajo več kot 2 delitelja. Število 1 ni niti praštevilo, niti sestavljeno število. KRITERIJI DELJIVOSTI: Z 2, ko je zadnja cifra deljiva z 2 (42, 1256) S 3, ko je vsota cifer deljiva s 3 (252, 639) S 4, ko sta zadnji dve cifri deljivi s 4 (444, 2516, 532) S 5, ko je zadnja cifra 0 ali 5 (555, 6000) S 6, ko je deljivo z dva ali tri hkrati (102,666) Z 9, ko je vsota cifer deljiva z 9 (36, 108) Z 10, ko je zadnja cifra 0 Z 11, če je razlika med vsoto cifer na sodih mestih in vsoto cifer na lihih mestih deljiva z 11 (357269) CELA ŠTEVILA (Z) 1. Opišite urejenost celih števil (na številski premici). Naštejte pravila za računanje z neenakostmi. a, b Z Številska množica je urejena, če lahko po velikosti primerjamo poljubna dva elementa. Za poljubni celi števili a in b velja natanko ena izmed možnosti. 3

4 a>b a<b ab a<b a+c<b+c ak < bk ; k > 0 ak < bk; k < 0 a >b /*c (c ni nič) Če je c 0 je ac >bc Če je c negativen se znak obrne ac < bc a < b in b < c a < c ŠTEVILSKA PREMICA 2. Navedite osnovne računske operacije za računanje s celimi števili in njihove lastnosti. RAČUNSKE OPERACIJE: Seštevanje Množenje Odštevanje Za seštevanje in množenje veljajo enaki računski zakoni, kot v množici naravnih števil (zakon o zamenjavi in zakon o združevanju), za odštevanje pa velja le ZAKON O RAZČLENJEVANJU ali DISTRIBUTIVNOST (a*(bc)abac). 3. Naštejte in utemeljite pravila za računanje s potencami z naravnimi eksponenti. PRAVILA am * an am+n an * bn (a*b)n (am)n am*n (a)2n a2n število (a)2n+1 a 2n+1 število npr. 23 * 22 2*2*2*2*225 npr. 32 * 62 (3*6)2182 npr. (22)32664 npr.(3)2329 2n je sodo npr. (2) n+1 je liho

5 RACIONALNA ŠTEVILA (Q) 1. a) Kaj je ulomek? b)kdaj ulomka predstavljata isto racionalno število? c) Definirajte računske operacije z ulomki. a) Ulomek je vpeljano novo število, ker v množici celih števil nimamo operacije deljenja. a je števec b je imenovalec črta se imenuje ulomkova črta b) Kadar sta: ad bc c) RAČUNSKE OPERACIJE Z ULOMKI 1. Seštevanje in odštevanje ulomkov To izvedemo tako, da ulomke najprej razširimo na skupni imenovalec in nato seštejemo oz. odštejemo števce, imenovalce pa prepišemo Množenje ulomkov Ulomke množimo tako, da števec pomnožimo s števcem, imenovalec pa z imenovalcem * 3. Deljenje ulomkov Ulomke delimo tako, da prvi ulomek prepišemo, drugega obrnemo in ga zmnožimo. : : * 2 Obratna vrednost ulomka: Nasprotna vrednost ulomka: 2. Opišite lastnosti računskih operacij v Q. 5

6 x, y Q x+yy+x (x+y)+z x+(y+z) x+0 x x+(x) 0 x*y y*x (x*y) x (y*z) x*1 x x*x1 1, x ni enak 0 ( * 1) x (y+z) 0 3. Kako racionalno število zapišemo v decimalni obliki? Kdaj je ta zapis končen? a) DESETIŠKI ULOMKI Desetiški ali decimalni ulomek je ulomek, ki ima v imenovalcu potenco števila 10 oz. ga lahko razširimo na takšen ulomek. vsak desetiški ulomek lahko zapišemo s končno decimalno številko. 0,1 0,2 0,12 b) PERIODIČNE DECIMALNE ŠTEVILKE Vsak nedesetiški ulomek (to je ulomek katerega imenovalec se ne da razširiti na potenco št. 10). Lahko zapišemo kot periodično decimalno število. 5:6 0,8333 0, 8 Zapis je končen, ko imamo v imenovalcu število 2 in 5 (b 2n * 5m) 505*10 52 *2 (končna decimalka) *3 (neskončna decimalka) 4. Kako ponazorimo racionalna števila na številski premici? npr. 6

7 5. Definirajte potenco z negativnim celim eksponentom in naštejte pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti. POTENCA Z NEGATIVNIM CELIM EKSPONENTOM x0 1 PRAVILA: xn * xm x n +m (xn)m x m*n (x * y)n xn * yn n, m Z xn : xm xnm ( )n REALNA ŠTEVILA (R) 1. Naštejte računske operacije v R in navedite njihove lastnosti. Katera realna števila imenujemo iracionalna? Kakšen decimalni zapis imajo iracionalna števila? RAČUNSKE OPERACIJE (so iste kot v Q) 1. Seštevanje in odštevanje ulomkov To izvedemo tako, da ulomke najprej razširimo na skupni imenovalec in nato seštejemo oz. odštejemo števce, imenovalce pa prepišemo. 7

8 Množenje ulomkov Ulomke množimo tako, da števec pomnožimo s števcem, imenovalec pa z imenovalcem * 3. Deljenje ulomkov Ulomke delimo tako, da prvi ulomek prepišemo, drugega obrnemo in ga zmnožimo. : : * 2 Iracionalna števila so števila, ki jih zapišemo z neskončnimi neperiodičnimi decimalnimi številkami (, ) to niso ulomki. Iracionalna števila imajo neskončen decimalni zapis, ki NI periodičen. 2. Opišite številsko premico oziroma realno os. Kako so urejena realna števila? Kako računamo z neenakostmi? ŠTEVILSKA PREMICA OZ REALNA OS ab a<b a>b UREJENOST REALNI ŠTEVIL (isto kot pri celih številih Z) RAČUNANJE Z NEENAKOSMI (isto kot pri celih številih Z) 3. Definirajte a n ti koren. Naštej pravila za računanje s koreni. a x n je korenski eksponent a je korenjenec je korenski znak n PRAVILA ZA RAČUNANJE S KORENI (x, y > 0) ( )n x 8

9 * n 4. Definirajte potenco s pozitivno osnovo in racionalnim eksponentom ter povejte pravila za računanje s takimi potencami. a PRAVILA: Enako kot pri potencah s celim eksponentom (5. vprašanje pri racionalnih št.) 5. Definirajte absolutno vrednost realnega števila in naštejete njene osnovne lastnosti. x / / pomeni absolutno vrednost R /x/ LASTNOSTI: a) /x/ je razdalja točke x do 0 b) /xy/ /x/ * /y/ c) /x/ > ali 0 (večji ali enak nič) x0 e) /x +y/ < ali /x/ + /y/ d) /x/ 0 FUNKCIJE 1. Opišite pravokotni koordinatni sistem v ravnini in izpeljite formulo za računanje razdalje med dvema točkama. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini določata koordinatni osi, ki sta druga na drugo pravokotni, imata skupno izhodišče in enako enoto. Os x 9

10 imenujemo abscisna os, os y pa ordinatna os. Točka A v koordinatnem sistemu ima koordinati x in y, kar zapišemo A (x, y). Razdaljo med točkama A (x1, y1) in B (x2, y2) izračunamo po naslednjem obrazcu: d (A,B) 2. Kako izračunamo ploščino trikotnika, podanega s koordinatami točk in njegovo orientacijo? V ravnini so podane oglišča trikotnika: A (x1, y1) ; B (x2, y2) ; C (x3, y3). Ploščino danega trikotnika podanega z oglišči izračunamo po naslednji formuli: S To formulo si lahko zapomnimo tudi drugače: S determinanta Trikotnik je pozitivno orientiran, če si oglišča sledijo nasprotni smeri urnega kazalca. V tem primeru je determinanta večja od 0. Trikotnik je negativno orientiran, če si oglišča sledijo v smeri urnega kazalca. V tem primeru je determinanta manjša od Točke so kolinearne, ko ležijo na isti premici. V tem primeru je ploščina trikotnika enaka 0. LINEARNA FUNKCIJA, LINEARNA ENAČBA IN NEENAČBA 1. Definirajte linearno funkcijo. Kaj je njen graf? Kako je graf odvisen od smernega koeficienta? Kakšna sta grafa dveh linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma? Njena enačba je f(x) k x + n Število k imenujemo smerni koeficient, število n pa začetno vrednost linearne funkcije. Graf linearne funkcije je premica z enačbo y k x + n. Število k je smerni koeficient premice, n pa ordinata točke N (0,n ), v kateri premica seka ordinatno os. Smerni koeficient določa strmino premice. Za k > 0 je linearna funkcija naraščajoča, za k < 0 pa padajoča. Če je k 0, je funkcija konstantna, y n. 10

11 k tan 2. Napišite implicitno, eksplicitno in odsekovno enačbo premice. Enačbe katerih premic lahko zapišemo v teh oblikah? Enačbo premice lahko zapišemo v treh oblikah: Eksplicitna oblika y k x + n V tej obliki ne moremo zapisat premic, ki so vzporedne z y osjo. Implicitna oblika a x + b y + c 0 V tej obliki lahko zapišemo vsako premico. Odsekovna ali segmentna oblika V tej obliki ne moremo zapisat premic, ki so vzporedne z x in y osjo in tistih, ki potekajo skozi koordinatno izhodišče, ker m in n ne smeta biti enaka 0 (modsek na x osjo; n odsek na y osjo). 3. Koliko rešitev ima linearna enačba z eno neznanko in kako jo rešimo? Linearna enačba z eno neznanko je enačba oblike kx + n 0. Rešujemo jo tako, da uredimo člene z neznanko x na levo stran, števila pa na drugo stran enačbe. Kx n Če je k 0 in n, ima enačba eno rešitev Če je k 0 in n 0 (0 n), enačbo nima rešitve. Če sta k 0 in n 0 (00), enačbo rešijo vsa realna števila. Takšno enačbo imenujemo identična enačba. 4. Kako rešujemo linearno neenačbo z eno neznanko in kaj je množica rešitev? Rešujemo jo tako, da člene z neznanko pustimo na levi strani, števila prenesemo na desno stran. Npr.: 5 2x < 13 2x < 8 / :2 x >4 Če je k 0, neenačbo delimo s k. Če je k > 0, se znak neenakosti ohrani, če pa je k < 0, se znak neenakosti obrne. Rešitev takšne neenačbe je interval. Če je k 0, imamo dve možnosti: o Ni rešitve o Vsa realna števila rešijo neenačbo. 5. Kako rešujemo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama? (2x2) Sistem dveh linearnih enačb z neznankama x in y tvorita enačbi: Ax + by c 11

12 Dx + ey f Npr.: 3x 2y 11 / *2 2x + 7y 3 / * 3. Način reševanja sistema dveh enačb z dvema neznankama: Enačbi preoblikujemo z množenjem oz. deljenjem tako, da dobimo pred isto neznanko v obeh enačbah nasprotna koeficienta. Enačbi nato seštejemo. KVADRATNA FUNKCIJA, KVADRATNA ENAČBA IN NEENAČBA 1. Definirajte kvadratno funkcijo in naštejte tri najpogostejše oblike. def: f(x) ax2 + bx +c Najpogostejše tri oblike: f(x) ax2 + bx +c splošna oblika f(x) a (xp)2 + q temenska oblika f(x) a (x x1) (x x2) oblika za ničle 2. Zapišite kvadratno funkcijo v splošni obliki in temenski obliki ter razložite pomen njunih koeficientov. F(x) ax2 + bx +c splošna oblika f(x) a (xp)2 + q temenska oblika a>0 a<0 c. začetna vrednost T ( p, q) teme X1, x2 ničli 3. Zapišite kvadratno funkcijo v obliki iz katere so razvidne ničle funkcije. Kako so ničle povezane z diskriminanto kvadratne funkcije? f(x) a (x x1) (x x2) oblika za ničle D > 0; x1 x2 (dve različni rešitvi) D 0; x1 x2 (ena dvakratna rešitev) D < 0; enačba ni rešljiva z realnimi števili 4. Kako rešimo kvadratno enačbo? Kako je z rešitvijo v R. Razstavljanjem, po formuli 12

13 Kvadratna enačba je v R rešljiva, če je: D>0 D 0 D<0 5. Kako rešujemo kvadratno neenačbo in kaj je množica rešitev? Izračunamo ničle, malo si skiciramo Npr.: X2 3x 4 > 0 X2 3x 4 0 x (x 4) (x+1) 0 x X1 4 x2 1 POLINOMI 1. Definirajte potenčno funkcijo z naravnim eksponenti. Kakšne lastnosti imajo potenčne funkcije glede na eksponent? f(x) xn ; n liho: Je naraščajoča Je pozitivna za x > 0 Je negativna za x < 0 Ničla: x 0 Sodo: Je naraščajoča za x > 0 Je padajoča za x < 0 Je pozitivna, razen za x 0 Ničla: x 0 2. Definirajte polinom in opredelite pojme: stopnja polinoma, vodilni koeficient, konstantni člen polinoma. Definicija: Polinom je funkcija, ki ima oliko. p(x) an xn + an 1 xn a2 x2 + a1 x + a0 an xn vodilni člen an vodilni koeficient xn stopnja polinoma a0 prosti člen ali prosti koeficient 13

14 3. Naštej in opišite operacije v množici polinomov. seštevanje in oštevanje polinomov Vsota (razlika) dveh polinomov je polinom. Stopnja vsote (razlike) dveh polinomov je manjša ali enaka stopnji posameznega polinoma. Prosti člen vsote (razlike) je enak vsoti (razliki) prostih členov posameznih polinomov. Množenje polinoma s številom in množenje dveh polinomov Stopnja produkta je enaka vsoti stopnje posameznega polinoma. Deljenje polinomov p (x), q (x) p(x) k(x) q(x) + o(x) OSNOVNI IZREK O DELJENJU 4. Opišite Hornerjev algoritem in njegovo uporabnost. Hornerjev algoritem je postopek, ki ga uporabljamo: Za računanje vrednosti polinoma p(x) anxn + an1xn1 + +a1x + a0 v točki x a Pri deljenju polinoma p(x) z linearnim polinomom x a. iz hornerjeve sheme lahko preberemo koeficiente količnika in ostanek, Pri določevanju ničel polinoma. Npr.: p (x) x37x2 + 9x Kaj je ničla polinoma? Kako večkratnost ničle vpliva na graf polinoma? X a je ničla Enojna ničla gre čez Dvojna ničla se odbije 6. Kako poiščemo cele in racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti? Naj bo polinom p(x) an xn + an 1 xn a2 x2 + a1 x + a0 polinom s celimi koeficienti. Cele ničle: (kandidati) Vse cele ničle polinoma p(x) so delitelji prostega člena a0. Cele ničle označimo s c. Racionalne ničle: Npr.: 6x3 8x

15 Kandidati 7: (1, 7 ) Kandidati 6: (1, 2, 3, 6) Skupni kandidati: RACIONALNE FUNKCIJE 1. Definirajte potenčno funkcijo s celimi negativnimi eksponenti in opišite njene lastnosti glede na stopnjo. f(x) xn ; n liha: Ni definirana za x0 Ničel ni Soda: ničel ni Narašča za x < 0 Pada za x < 0 2. Definirajte racionalno funkcijo. Kaj je definicijsko območje racionalne funkcije? f (x) racionalna funkcija p in q sta polinoma brez skupnih ničel Df R \ definicijsko območje 3. Kaj so ničle in poli racionalne funkcije? NIČLE: p(x) 0 POLI: q(x) 0 15

16 Ničla racionalne funkcije je ničla polinoma v števcu. Njena stopnja je enaka stopnji ničle tega polinoma. Pol racionalne funkcije je ničla polinoma v imenovalcu. Njegova stopnja je enaka stopnji ničle tega polinoma. Poli racionalne funkcije so edine točke, kjer funkcija ni definirana. 4. a) Ali graf racionalne funkcije lahko seka navpično asimptoto? NE b)kaj pa vodoravno? DA 5. Kako rešujemo racionalne enačbe? (glej naloge v zvezku) Npr.: / (x1)(x+1) Obvezno še preizkus! (x+3)(x+1) (2x+6) (x1) X2+ x + 3x +3 2x2 2x + 6x 6 0 x2 9 (x3)(x+3)0 X1 3 x Kako rešujemo racionalne neenačbe? (glej naloge v zvezku) Npr.: Izračunamo ničle in pole, nato pa na osi prikažemo kje je neenačba pri določeni ničlah in polih pozitivna in negativna Ničle: x2 4x (x1) (x3) 0 X1 1 x2 3 Poli. x24x (x2)(x2)0 x1,22 EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA, ENAČBA 1. Definirajte eksponentno funkcijo, narišite njen graf in naštejte osnovne lastnosti te funkcije. F(x) ax 0<a<1 Je padajoča Je pozitivna Začetna vrednost 1 Ničel ni 16

17 Y0 (x os) je asimptota A>0 Je naraščajoča Je pozitivna Začetna vrednost 1 Ničel ni Y0 (x os) je asimptota 2. Definirajte logaritemsko funkcijo, naštejte osnovne lastnosti in narišite njen graf. f (x) loga x Če je osnova a > 1, je graf logaritemske funkcije takle: Logaritemska funkcija v tem primeru: narašča povsod, kjer je definirana, ima ničlo pri x 1, ima navpično asimptoto y 0, D -Z - f + f 3. Kako sta povezani eksponentna in logaritemska funkcija? Primerjajte definicijsko območje in zalogo vrednosti obeh. Grafa sta podobna ( glej prejšnje naloge) Df Zf + 4. Naštejte pravila za računanje z logaritmi. Pravila za računanje z logaritmi: 5. Kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešujemo? 3 9 3x32 x 17

18 X2 6. Kaj so logaritemske enačbe in kako jih rešujemo? Enačba je logaritemska, če v njej nastopa neznanka kot osnova ali v logaritmandu vsaj enega logaritma. a>0 Npr.: Log864x 8x64 8x82 X2 KOTNE FUNKCIJE(glej zvezek) sin2 +cos2 1 ENOTSKA KROŽNICA T (x, y) 1. Definirajte kotno funkcijo sinus in naštejte njene osnovne lastnosti. Sinus kota je razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo. Sin (x) sin x liho Sin x ima periodo 2 2. Definirajte kotno funkcijo kosinus in naštejte njene osnovne lastnosti. Kosinus kota je razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo. Cos (x) cos x sodo Cos x ima periodo 2 3. Definirajte kotno funkcijo tangens in naštejte njene osnovne lastnosti. Tangens kota razmerje med kotu nasprotno in kotu priležno kateto. Tan (x) tan x liho Tan x ima periodo 4. Naštejte osnovne zveze med kotnimi funkcijami. Osnovne zvez med kotnimi funkcijami: Zveza med sinusom in kosinusom sin2 +cos2 1 Zveza med tangensom, sinusom in kosinusom 18

19 5. S pomočjo adicijskih izrekov izpeljite formule za kotne funkcije dvojnih kotov. Sin2x sin (x + x) sinx cosx + cosx sinx adicijski izrek 2 sinx cosx Cos2x cos (x + x) cosx cosx sinx sinx cos2x sin2x adicijski izrek ZAPOREDJA 1. Kaj je zaporedje? Na kakšen način lahko podamo zaporedje? Katere lastnosti zaporedij poznate? Zaporedja so števila zapisana ena za drugim in ločena z vejico (množica števil zapisana po nekem zaporedju). a1, a2 Zaporedje podamo: da zapišemo nekaj prvih členov da napišemo formulo za splošni člen Zaporedje je funkcija f: N R (Nnaravna št., Rrealna št.) LASTNOSTI ZAPOREDIJ omejena rast navzgor in navzdol naraščanje, padanje 2. a) Definirajte aritmetično zaporedje. b) Kako se izraža nti člen zaporedja s prvim členom in diferenco? c)kako izračunamo vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja? a) Zaporedje je aritmetično, če je razlika sosednjih členov konstantna. Primer: 3,9,15,21 (d6) d je razlika ali diferenca b) SPLOŠNI ČLEN ARITM. ZAPOREDJA an a1 + (n1)*d c) VSOTA n ČLENOV ARITM. ZAPOREDJA 19

20 a 1 + a 2 + a 3 +a 4. an Sn Sn * (a1 + an) an a1 + (n1)*d Sn * (2 a1 + (n1) *d) ARITMETIČNA SREDINA: 3. a) Definirajte geometrijsko zaporedje in naštejte njegove lastnosti. b)kako se izraža nti člen zaporedja s količnikom in s prvim členom? c) Kako izračunamo vsoto prvih n členov geometrijskega zaporedja? a) Zaporedje je geo., če je količnik sosednjih členov konstanten. Primer: 5,15,45,135 (q 3) q je količnik ali kvocient q LASTNOSTI: a 1 > 0, a1q, a1g2 (naraščajoče, če je q > 1) zaporedje je padajoče a1 < y < 1, če je q manjši od 0 so alternativajoče GEO. SREDINA: b) an a1 * qn1 c) Sn a1 * GEOMETRIJA 1. Kaj je daljica, nosilka daljice in simetrala daljice? Kako konstruiramo simetralo daljice? Množica vseh točk med točkama A in B na premici p je daljica AB. Točki A in B sta krajišči daljice. Nosilka daljice AB je premica p, ki jo določata točki A in B. 20

21 Simetrala daljice AB je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od krajišč A in B. To je premica, ki daljico razpolavlja in je nanjo pravokotna. 2. Definirajte pojem kota. Kdaj sta dva kota sosednja, sovršna, sokota? Kot je del ravnine, omejen z dvema krakoma, ki se stikata v vrhu. če imata skupen vrh in en krak Sovršna kota sta kota ob dveh sekajočih se premic (ki imata skupen vrh, oba para krakov pa se dopolnjujeta v premici) Sokota sta sosedna kota, ki tvorita skupaj iztegnjeni kot 3. Kaj je simetrala kota in kako jo konstruiramo? Simetrala kota je poltrak, ki kot razpolavlja in ima krajišče v vrhu kota. Točke na simetrali kota so enako oddaljene od krakov kota. 4. V trikotniku opredelite pojme: višina, težiščnica, znamenite točke. Višina trikotnika je odsek na pravokotnici od oglišča do nosilke nasprotne stranice. Znamenite točke: 1. Središče trikotniku očrtanega kroga Simetrale stranic trikotnika se sekajo v eni točke. Ta točka je središče trikotnika očrtanega kroga. 21

22 2. Središče trikotniku včrtanega kroga Simetrala notranjih kotov trikotnika potekajo skozi eno točko. Ta točka je središče trikotniku včrtanega kroga. 3. Težišče Težiščnica v trikotniku je daljica, ki veže oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice. Težiščnice trikotnika se sekajo v eni točki (ležijo v šopu). Ta točka je težišče trikotnika. Težišče trikotnika leži na 1/3 težiščnice merjeno od stranice. 4. Višinska točka Višine trikotnika (nosilke višin trikotnika) se sekajo v eni točki višinski točki 5. Kako definiramo kotne funkcije ostrih kotov v pravokotnem trikotniku? 22

23 6. Kdaj uporabljamo Pitagorov, kdaj sinusni in kdaj kosinusni izrek? Pitagorov izrek: Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet: c2 a2 + b2 (Pitagorov izrek je poseben primer kosinusnega izreka. Velja namreč v pravokotnem trikotniku, kjer je kot enak 90 in zato cos 0.) Uporabljamo ga: V pravokotnem trikotniku, če poznamo dve stranice, Pri načrtovanju iracionalnih števil (korenov) Sinusni izrek: Razmerje med stranico in sinusom nasprotnega kota je konstantno. Uporabljamo ga v poljubnem trikotniku, če poznamo: Stranico in dva notranja kota. Dve stranici in kot, ki leži nasproti eni od stranic. Radij očrtanega kroga in dve stranici. Radij očrtanega kroga in dva kota. Radij očrtanega kroga, stranico in njej priležni kot. Kosinusni izrek: Kvadrat stranice v trikotniku je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, zmanjšani za dvakratni produkt teh dveh stranic in kosinusa kota med njima: Kosinusni izrek uporabljamo v trikotniku, če poznamo: Dve stranici in kot med njima (izračunamo tretjo stranico), Vse tri stranice (izračunamo notranje kote trikotnika). 23

24 7. Opišite enakostranični in enakokraki trikotnik, naštejte njune lastnosti. Kako izračunamo obseg in ploščino trikotnika? Enakostranični trikotnik Dolžina vseh treh stranic so enake. Vsi trije notranji koti so skladni in merijo 60. Vsi trije zunanji koti so skladni in merijo 120. Simetrala stranice v enakostraničnem trikotniku je tudi simetrala notranjega kota, ki leži stranici nasproti. Središče enakostraničnemu trikotniku očrtanega kroga sovpada s središčem trikotniku včrtanega kroga. Točka težišča sovpada s središčem enakostraničnemu trikotniku očrtanega in včrtanega kroga. Ploščina enakostraničnega trikotnika: S Obseg: o 3a Prostornina V Enakokraki trikotnik Ima dve skladni stranici, a b. Višina na osnovnico Vc razpolovi osnovnico in kot. Kota ob osnovnici sta skladna, ß. Ploščina enakokrakega trikotnika. 8. Opišite romb. Kako izračunamo obseg in ploščino romba? Romb je paralelogram, ki ima vse stranice enako dolge. V rombu velja: Diagonali se sekata pravokotno Diagonali razpolavljata notranje kote S 9. Opišite paralelogram. Kako izračunamo obseg in ploščino paralelograma? Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih in skladnih stranic. Lastnosti paralelograma: Nasprotna kota sta skladna. Sosedna kota sta suplementarna. Nasprotni stranici sta skladni in vzporedni. Diagonali se razpolavljata. 24

25 Obseg paralelograma: O 2a + 2b Ploščina paralelograma: Če poznamo osnovnico in višino na osnovnico, izračunamo ploščino po obrazcu: S a * va b * vb Če sta podani obe stranici in kot, ki ga ti dve oklepata, pa uporabimo obrazec: S ab sin ab sin ß 10. Kaj je trapez? Povejte lastnosti enakokrakega trapeza. Kako izračunamo obseg in ploščino trapeza? Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Vzporedni stranici a in c sta osnovnici, stranici b in d pa kraka trapeza. V Enakokrakem trapezu velja: Kota ob osnovnici sta skladna Diagonali sta enako dolgi S ß O a + b + c + d 11. Opišite medsebojno lego krožnice in premice ter opredelite pojme: tangenta, tetiva, sekanta. Glej 17 vprašanje Tetiva je daljica AB, ki povezuje točki A in B na kronici. Tangenta na krožnico je premica, ki se dotika krožnice v točki. Tangenta je pravokotna na polmer krožnice v dotikališču. sekanta je premica, ki seka krožnico v natanko 2 točkah. 12. Opišite prizmo in povejte, kako računamo njeno površino in prostornino. Prizma je geometrisko telo, ki ga omejujeta dva vzporedna skladna večkotnika in stranske ploskve (te so pravokotniki, če je prizma pokončna). Pravilna prizma ima za osnovno ploskev je pravilni večkotnik Enakoroba prizma da so vsi robovi so enako dolgi Pravilna štiristrana enakoroba prizma kocka Višina prizme je enaka stranskemu robu (pokončna prizma) P 2S + Spl VS*v 25 eni

26 13. Opišite piramido in povejte kako računamo njeno površino in prostornino. Piramida je geometrijsko telo, ki ima: Osnovna ploskev: večkotnik Stranske ploskve: trikotniki Osnovni rob Stranski rob Višina: razdalja točke v do osnovne ploskve Stranska višina: višina stranskih trikotnikov (ploskev) Pravilna piramida: osnovna ploskev je pravilni večkotnik in je pokončna. P S + Spl V 14. Opišite valj in povejte kako računamo njegovo površino in prostornino. Valj je geometrijsko telo, ki ima za osnovno ploskev krog. Plašč valja pa je obseg kroga (2 r) in višina. P2S + Spl P 2πr2 + 2πrv P 2πr (r+v) V S*v V πr2v 15. Opišite stožec in povejte kako računamo njegovo površino in prostornino. Stožec je telo, ki je omejeno s krogom in krivo ploskvijo. Krog je osnovna ploskev stožca, kriva ploskev pa je njegov plašč. Plašč stožca je krožni izsek. s s2 P stranica r2 + v2 lo2πr S +Spl Pπr2 +πrs V Spl. V rs 16. Definirajte paralelogram. Kakšne so lastnosti paralelograma? Naštejte posebne primere. Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih in skladnih stranic. Lastnosti paralelograma: Nasprotna kota sta skladna. Sosedna kota sta suplementarna. 26

27 Nasprotni stranici sta skladni in vzporedni. Diagonali se razpolavljata. Posebne vrste paralelograma: Romb Pravokotnik Kvadrat 17. Definirajte krožnico. Opišite vse mogoče medsebojne lege dveh krožnic v ravnini. Za te lege poiščite zveze med polmeroma in razdalo med središčema krožnic. Krožnica je množica točk v ravnini katerih oddaljenost od izbrane točke S je enaka r; izbrano točko S imenujemo središče krožnice, oddaljenost r pa polmer krožnice. Medsebojna lega krožnic: Nimata nobene skupne točke r1 S r2. 1 S 2 D r1 +r2 d(s1, S2) > r1 + r2 D r1 r2 d (S1,S2) r1r2 Imata eno skupno točko D r1 + r2 D (S1,S2) r1+r2 Imata dve skupni točki d (S1, S2) < r1 + r2 27

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO

ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO ŠOLSKI CENTER NOVO MESTO Srednja elektro šola in tehniška gimnazija M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 006/007 NARAVNA ŠTEVILA Katera števila imenujemo naravna števila? Naštejte

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil?

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil? USTNA VPRAŠANJA IZ MATEMATIKE šolsko leto 2005/2006 I. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 1. Naštejte lastnosti operacij v množici naravnih števil. Primer: Izračunajte na dva načina vrednosti izrazov 2. Opišite vrstni

Διαβάστε περισσότερα

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA

1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1 MNOŽICE ŠTEVIL. NARAVNA, CELA, RACIONALNA, REALNA ŠTEVILA 1. Naštej lastnosti osnovnih računskih operacij v množici naravnih števil. 2. Kakšen je vrstni red računskih operacij v množici celih števil?

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. Funkcije in enačbe Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 1. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 ŠTEVILA... 1 1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 1 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost naravnih števil

Deljivost naravnih števil Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva

Διαβάστε περισσότερα

= Števila 264, 252, 504 zapiši kot produkt praštevil in poišči njihov skupni največji delitelj in

= Števila 264, 252, 504 zapiši kot produkt praštevil in poišči njihov skupni največji delitelj in PRIPRAVA NA POM REALNA ŠTEVILA in PKS. Izračunaj: ( ( ) ( )) (( ) ) [ ] ( ( ) ) 4 0 ( ) ( ) 4 + 6 7 4 + + 4 + = 0 4 0 ( + ) 5 + ( 0) ( ) + (( 5) + ( ) ( ) ) = [ ]. Poenostavi in rezultat razstavi: ( +

Διαβάστε περισσότερα

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA Matematika za drugi letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, februar 016 KAZALO 1 Potenčna funkcija... 1.1 Kvadratna

Διαβάστε περισσότερα

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS Seminarska naloga pri predmetu Komuniciranje v matematiki Avtor: Zalka Selak Mentor: prof. dr. Tomaţ Pisanski KAZALO:

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:

Διαβάστε περισσότερα

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2 3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

INŽENIRSKA MATEMATIKA I INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh

Διαβάστε περισσότερα

1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE

1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE 1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a

Διαβάστε περισσότερα

3.letnik - geometrijska telesa

3.letnik - geometrijska telesa .letnik - geometrijska telesa Prizme, Valj P = S 0 + S pl S 0 Piramide, Stožec P = S 0 + S pl S0 Pravilna -strana prizma P = a a + av 1 Pravilna -strana prizma P = a + a a Pravilna 6-strana prizma P =

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 2. Sobota, 4. junij 2011 / 90 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M111401* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

*P093C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Četrtek, 11. februar 2010 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK

*P093C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Četrtek, 11. februar 2010 / 120 minut ZIMSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P093C10111* ZIMSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Četrtek, 11. februar 010 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ Matematika 6. razred

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ Matematika 6. razred PONOVITEV SNOVI ZA NPZ Matematika 6. razred Avtorica: Jelka Županec Šola: VIZ II. OŠ Rogaška Slatina Kazalo. NARAVNA ŠTEVILA... 4. DESETIŠKE ENOTE... 4.2 RAČUNSKE OPERACIJE... 5.2. SEŠTEVANJE... 5.2.2

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Torek, 25. avgust 2009 / 90 minut

Državni izpitni center. Višja raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Torek, 25. avgust 2009 / 90 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M094011* Višja raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 JESENSKI IZPITNI ROK Torek, 5. avgust 009 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese

Διαβάστε περισσότερα

1 3D-prostor; ravnina in premica

1 3D-prostor; ravnina in premica 1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne

Διαβάστε περισσότερα

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,

Διαβάστε περισσότερα

Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu:

Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu: 1. ura Tema: Uvodna ura Oblika: Poglavje: 1. Prva ura po poletnih počitnicah: Sproščeno srečanje in izmenjava prvih vtisov. Režim v novem šolskem letu: 2. Učbeniki. kontrolne naloge spraševanje 3. Hiter

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011 Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost

Διαβάστε περισσότερα

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut

Državni izpitni center. Osnovna raven MATEMATIKA. Izpitna pola 1. Sobota, 4. junij 2011 / 120 minut Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M11140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 011 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat

Διαβάστε περισσότερα

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1 Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2

Διαβάστε περισσότερα

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 2. junij 2007 / 120 minut brez odmora

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 2. junij 2007 / 120 minut brez odmora [ifra kandidata: Dr`avni izpitni center *P071C10111* SPOMLADANSKI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota,. junij 007 / 10 minut brez odmora Dovoljeno dodatno gradivo in pripomo~ki: kandidat prinese s seboj

Διαβάστε περισσότερα

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno

Διαβάστε περισσότερα

PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA

PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA PREDMETNI IZPITNI KATALOG ZA POKLICNO MATURO MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog je določil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na 60. seji 27. 8. 2003 in se uporablja v programih za pridobitev

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega roka 009, dokler ni dolo~en novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat opravljal

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6 1000 Ljubljana Slovenija Nikolaj Lipič in Mojca Rožič 1. naloga: Poimenujte geometrijske like in telesa: pravokotnik romb trikotnik

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica

Διαβάστε περισσότερα

Letnik 0, številka 5

Letnik 0, številka 5 Brihtnež Elektronska revija za mlade matematike Letnik 0, številka 5 c Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije http://www.dmfa.si/brihtnez/brihtnezindex.html Vsebina Vsebina Olimpijski kotiček:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo-

Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA Matematika za 4. letnik srednjega strokovnega izobraževanja -interno gradivo- Avtor: Samo Žerjal Nova Gorica, november 016 KAZALO 1 Trigonometrija... 3 1.1 Grafi in lastnosti

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

*P101C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 5. junij 2010 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK

*P101C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 5. junij 2010 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P101C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 5. junij 010 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem

Διαβάστε περισσότερα

*P091C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 6. junij 2009 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK

*P091C10111* MATEMATIKA. Izpitna pola. Sobota, 6. junij 2009 / 120 minut SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P09C0* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 6. junij 009 / 0 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. Predmetni izpitni katalog za splošno maturo

MATEMATIKA. Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Ljubljana 2015 MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 2017, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto,

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?

22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo

Matematika. Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 0, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Διαβάστε περισσότερα

Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika

Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 09, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Afina in projektivna geometrija

Afina in projektivna geometrija fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +

Διαβάστε περισσότερα

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Dragi polinom, kje so tvoje ničle? 1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.

Διαβάστε περισσότερα

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.

Διαβάστε περισσότερα